автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Алгоритмы построения конечнопредставленных алгебр Ли и их применение в анализе интегрируемости нелинейных дифференциальных уравнений

рГ о ОД

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

5-95-446

На правах рукописи УДК 510.5 512.554.33 517.957

РОБУК -Виктор Николаевич

АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ КОНЕЧНОПРЕДСТАВЛЕННЫХ АЛГЕБР ЛИ И PIX ПРИМЕНЕНИЕ В АНАЛИЗЕ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность: 05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Дубна 1995

Работа выполнена в Лаборатории вычислительной техники и автоматизации Объединенного института ядерных исследований

Научный руководитель:

Доктор физико-математических наук

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор

Кандидат физико-математических наук

В.П.Гердт

А.В.Михалёв Н.Н.Васильев

Ведущая организация:

Институт кибернетики НАН Украины, Киев.

" /

с'С 1995 г. в

10

)0

час. на

Защита диссертации состоится заседании диссертационного совета Д 047.01.04 'при Лаборатории вычислительной техники и автоматизации Объединенного института ядерных исследований, г.Дубна Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОИЯИ. Автореферат разослан "

года.

Ученый секретарь диссертационного совета

З.М.Иванченко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние годы наблюдается большой интерес к компьютерным аспектам комбинаторной алгебры. Под этим, как правило, понимают апализ алгебраических объектов, заданных порождающими элементами и определяющими соотношениями полиномиального типа. Для алгебр Ли метод построения капонических систем порождающих идеалов ( техника композиций ) был введён А.И.Ширшовым (1962г.). Для ассоциативных алгебр изложение этого метода было дано Л.А.Бокутем (1976г.) и Дж. Бергманом (1978г.) В то же время в коммутативном случае довольно большое количество методов и приемов компьютерной алгебры для исследования полиномиальных систем с многими переменными были разработаны на основе техники базисов Гребнера (Б.Бухбергер, 1965г.). Несмотря на то, что концепция базисов Гребнера была обобщена на некоммутативные алгебры ( Т.Мора, 1988г.), область их практического использования все еще остается ограниченной, поскольку метод некоммутативных базисов Гребнера применим на классе алгебр, называемых алгебрами решаемого типа, которые можно рассматривать как промежуточные между коммутативными и некоммутативными алгебрами. К сожалению, анализ алгебр Ли не может быть в общем случае сведен к алгебрам решаемого типа, исключая конечномерные алгебры Ли, обертывающие алгебры которых являются алгебрами решаемого типа.

С другой стороны, проблема построения копечнопредставленных алгебр Ли, т.е. алгебр Ли заданных конечным набором порождающих элементов и определяющих соотношений, имеет большое практическое значение для исследования алгебраической структуры нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных по двум независимым переменным ( НДУ ) в рамках метода Уолквиста-Истабрука (1975г.). Следует отметить, что метод Уолквиста-Истабрука является фактически единственной и наиболее общей вычислительной процедурой, значительно упрощающей построение таких принципиально важных, для методов точного интегрирования НДУ, математических объектов, как псевдопотенциалы. Такие конструкции как, например, Ь — А - пара, I/ —V - пара, преобразования Бэклунда, линеаризующие подстановки, представляют из себя всего лишь частные случаи соответствующих псевдопотенциальных представлений НДУ.

Однако метод Уолквиста-Истабрука не является в полном смысле этого слова регулярным методом построения явного вида псевдопотенциалов для исследуемого нелинейного дифференциального уравнения в частных производных, а только сводит эту задачу к весьма сложной алгебраической задаче, а именно - к задаче построения факторалгебры Ли свободной алгебры Ли по идеалу порождённому набором образующих ( порождающих ) элементов и определяющих соотношений. Иными словами, применение метода Уолквиста-Истабрука приводит, на определённом этапе, к необходимости поиска решений системы нелинейных алгебраических уравнений от некоммутирующих переменных со значениями в алгебрах Ли. Единственным прямым методом решения таких уравнений как раз и является факторизация т.е. последовательное построение нетривиальных алгебраических следствий для начальных полиномиальных уравнений ( определяющих соотношений ) от некоммутирующих переменных ( порождающих элементов ). В общем случае такая задача

неразрешима регулярным способом, хотя бы уже в силу того, что все решения могут лежать в области бесконечномерных алгебр Ли и тогда нам только остаётся, насчитав достаточно большое количество алгебраических следствий, попытаться угадать закономерность в их генерации и таким образом построить рекуррентные соотношения, которые и дадут нам полный ответ о структуре соответствующей алгебры Ли. В тоже время, во многих прикладных задачах удаётся отыскать частные решения в виде конечномерных подалгебр общей алгебры Ли. И этого уже оказывается достаточно для того, чтобы построить явный вид конструктивных, в плане получения широких классов решений исследуемого дифференциального уравнения, псевдопотенциальных представлений. Однако и такой подход приводит во многих случаях к чрезвычайно большому объёму вычислений. С другой стороны сама процедура факторизации использует незначительное число разнотипных операций. Две последние фразы доказывают принципиальную необходимость и реальную возможность, соответственно, применения компьютера в решении подобного сорта задач.

Целью диссертационной работы является разработка алгоритмов для решения задачи факторизации свободной алгебры Ли по идеалу, порождённому конечным набором образующих элементов и определяющих соотношений, а также последующее применение этой техники вычислений к задаче нахождения псевдопотенциальных представлений точно интегрируемых нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных по двум независимым переменным.

Научная новизна. Разработана новая эффективная алгоритмическая процедура для решения задачи факторизации свободной алгебры Ли по идеалу порожденному конечным набором образующих элементов и определяющих соотношений. Основной элемент новизны заключается в отказе от использования традиционной техники композиций Ширшова ( техники базисов Грёбнера ) и в замене её на технику проверок тождеств Якоби для базисных элементов алгебры Ли. С целью эффективизации указанной алгоритмической процедуры доказаны две новые теоремы из области конечнопредставленных алгебр Ли: теорема о порождающих, которая сводит рост объема вычислений тоясдеств Якоби с Л/"3 до М2 и теорема об элементах центра, которая позволяет эффективно организовать поиск элементов центра алгебры Ли. С целью упорядочения вычислительного процесса, а также с целью уменьшения неоднородности исходных определяющих соотношений понятие длины ( степени ) лиевского полинома заменено его новым обобщением, т.е. понятием веса. Новым в предложенной алгоритмической процедуре является также и принцип двойного упорядочения базисных мономов ( но номеру и по весу ), что исключает возможность ошибок в вычислениях.

На основе метода Уолквиста - Истабрука разработан новый конструктивный метод классификации НДУ по признаку наличия псевдопотенциальных представлений. Этот метод позволяет, исходя из общего вида некоторого класса НДУ, строить конкретные НДУ, обладающие хотя бы одним псевдопотенциальным представлением и для каждого такого НДУ - строить широкие классы псевдопотенциальных представлений в той мере, в которой это позволяет решение соответствующей задачи факторизации свободной алгебры Ли.

Для уравпепий Ландау - Лифшица, описывающих нелинейную динамику ан-тиферромагиетнка с одпоосной анизотропией, получен ряд эффективных, в плане построения широких классов решений, псевдопотенциальных представлений.

Для ряда прикладных задач, связаппых с методом построения псевдопотепциа-лов (эволюционные уравнения второго порядка, уравнение Кортевега-де Фриза) полпостью решена задача факторизации свободпой алгебры Ли по идеалу, порожденному конечным набором образующих элементов и определяющих соотношений. Получена новая точно решаемая система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая одномерную динамику дис-сипативпых структур. Предложен и продемонстрирован на примере уравнения Кортевега-де Фриза и ассоциированного с пим уравнения новый метод генерации точно решаемых нелинейных моделей.

Практическая ценность. Разработанные в диссертации методы и алгоритмы создают основу для создания эффективных программ на языках компьютерной алгебры для решепия широкого класса задач, связанных с исследованием алгебр Ли. Этот класс задач содержит как задачи математической физики, в том числе связанные с исследованием интегрируемости нелинейных уравнений в частных производных, так и задачи комбипаторпой алгебры. В этом разделе математики задача анализа конечнопредставленных алгебр Ли уже сама по себе, в ее наиболее общей постановке, является одной из наиболее важных.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Для уравнений Ландау - Лифшица, описывающих нелинейную динамику антиферромагнетика с одноосной анизотропией, получен ряд эффективных, в плане построения широких классов решепий, псевдопотенциальных представлений.

2. Разработан новый конструктивный метод классификации эволюционных уравнений по признаку наличия псевдопотепциальных представлений. С помощью этого метода проклассифицированы эволюционные уравнения второго порядка вида щ = ¡{и)ихх + (и, их). Тем самым построены все эволюционные уравнения, обладающие хотя бы одним псевдопотенциальным представлением и для каждого такого уравнения перечислены все псевдопотенциальные представления в терминах алгебр Ли.

3. Разработана повая эффективная алгоритмическая процедура для решепия задачи факторизации свободной алгебры Ли по идеалу порожденному конечным пабором образующих элементов и определяющих соотношений.

4. С целью эффективизации указапной алгоритмической процедуры доказаны две теоремы из области конечнопредставленных алгебр Ли: теорема о поро-ждагощих, которая сводит рост объема вычислений с Л/"3 до ,\Р и теорема об элементах центра, которая позволяет эффективпо организовать поиск элементов центра алгебры Ли.

5. Для ряда прикладных задач, связанных с методом построения псевдопотенциалов ( эволюционные уравнения второго порядка, уравнение Кортевега-де

Фриза ) полностью решена задача факторизации свободной алгебры Ли по идеалу, порожденному конечным набором образующих элементов и определяющих соотношений.

6. Получена новая точно решаемая система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая одномерную динамику дис-сипативных структур.

7. Предложен и продемонстрирован на примере уравнения Кортевега-де Фриза и ассоциированного с ним уравнения новый метод генерации точно решаемых нелинейных моделей.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

- Международном рабочем совещании "Computer Algebra in Physical Research", Дубна, 1990.

- Международной конференции "Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems", Дубна, 1990.

- на научных семинарах ХГУ, МГУ, ФТИНТ HAH Украины, ХФТИ HAH Украины, ИК HAH Украины, ЛВТА ОИЯИ, ЛТФ ОИЯИ, ЛОМИ, университетов Лейпцига и Грейфсвальда (Германия), Исследовательском центре по информатике в Амстердаме (Голландия).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 научных работах, которые приведены в списке литературы.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения; содержит 76 страниц наборного текста, включал 4 таблицы и библиографический список литературы из 48 названий. Диссертация подготовлена средствами компьютерной системы LVTjtX.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе I - Введении обосновывается актуальность и практическая важность проблематики диссертационной работы, кратко перечислены результаты по главам. В главе II исследуются вопросы связанные с процедурой Уолквиста - Истабрука и её обобщением до уровня конструктивной классификационной процедуры.

В разделе 2.1 на примере уравнения Бюргерса подробно рассмотрено понятие псевдопотенциалов НДУ и процедура Уолквиста - Истабрука вычисления этих псевдопотенциалов. Показано, как из абстрактной конструкции ( F - G пары со значениями в абстрактной алгебре Ли ) можно получать конкретные матричные совместные системы типа L - А -пары, или U - V -пары, путём построения матричного представления соответствующей алгебры Ли, или, путём построения представлений в алгебрах Ли векторных полей, строить псевдопотенциальные конструкции типа подстановки Коула - Хопфа для уравнения Бюргерса.

Замечено, что при последовательном применении этой методики, даже в слу-чаее уранения Бюргерса: щ = ихх + 2uux , мы получаем псевдопотенциальное представление более общего вида, чем подстановка Коула - Хопфа:

4

Ух = My + v2 + уи , yt = уих + уи2 + Х2у2и - А2 у - Хх\2у2 , где yxt = ytx на всех решениях и только на решениях ур. Бюргерса. Действительно, из двух последних уравнений получаем для у уранение Бюргерса:

Vt = Ухт - 2(Aj + hy)y,г ,

а не просто линейное ур. диффузии, как это следует из подстановки Коула - Хопфа.

Раздел 2.2 посвящен демонстрации повой конструктивной классификационной процедуры на примере эволюционных уравнений второго порядка.

Определение. Эволюционным уравнением п - го порядка будем называть дифференциальное уравнение в частных произвольных для скалярной функции и = u(x,t) от двух независимых переменных х и t вида

И( =/(и,и1,им,...,и(")). (1)

Определение. Лиевской F — G парой (FGLie) к - го порядка для исходного уравнения (1) будем называть тройку (F, G, L), где L - алгебра Ли над полем С, F = F(u, Uj„..., ии G = G{u, их,..., u(fc+n_1)) такие функции со значениями в L, что условие

тождественно выполняется на всех решениях и только на решениях исходного эволюционного уравнения (1). Здесь скобки [,] обозначают коммутатор, т.е. обычное лиевское произведение, а под частными производными по х и t подразумевается дифференцирование только динамических переменпых исходного ур. (1).

Определение. Универсальной лиевской F — G парой (UFGLie)k—гопорядка для (1) будем называть такую FGLie(F,G,L) к - то порядка, что для любой FGLit{F', G', L') к - го порядка данного уравнения найдётся единственный гомоморфизм / из L в L' такой, что F F' и G —G'.

Формулировка классификационной задачи теперь будет выглядеть следующим образом: построить одновременно явный вид всех эволюционных уравнений второго порядка, с точностью до точечного преобразования и — и(й), обладающих UFGLie нулевого порядка, и соответствующие UFGLie нулевого порядка.

Далее для эволюционных ур. второго порядка, общего вида щ = fi(u)uxx + Т2{и, ux) , подробно описана классификационная процедура, которая в конечном итоге приводит к следующим результатам:

Вариант I

Щ = (flur)x + /з«г + ао J /з^и ~al J + °1М + «2 , F = Xi + uX2, G = (/,ue + J f3du -a0Jhdu)X2 + X3 .

Определяющие соотношения:

[X2, A'j] = — a0X2, [X3,Xi] = ~a2X2, [X3,X2] =—aiX2.

Здесь ao,ai,a2 - произвольные константы; /ь f2 - произвольные функции от и. Алгебра Ли совпадает с определяющими соотношениями.

Вариант II

«1 = (Л"*)* + {(¿>1 + Ь2и)}г + Ь3 + Ь21 /!¿и}их + (65 + Ьви) / ¡х<1и 4- ЬТи + Ь8, / = Хг + иХ2, <3 = {Ьих + (¿г Ч- Ь2и) / + Ь3и + Ь4}Х2 + / Д¿1] + Хз-

Определяющие соотношения:

[[Х2, Д], + Ь,[Х2, Хг] + Ь5Х2 = О, [[Х2,Х2] + Ь2[Х2+ Ъ6Х2 = О,

[Х3,Х2) + Ъ3\Х2, Хг] + Ь7Х2 = О, [Х3, Хг] + Ь4[Х2 Дг] + Ь8Х2 = 0 .

Здесь и во всех остальных Вариантах путём факторизации, т.е. проверки тождеств Якоби для всех базисных элементов, получаем различные решения.

Первое решение. При Ь2 = Ьв = 0 ( остальные Ъ, - произвольные константы ). Базисные элементы алгебры Ли: Х\, Х2, Х3, Х4 = [Х2, Х\]. Таблица умножения базисных элементов:

[Х1,Х2]=Х4, [ХиХ3] = ЬЯХ2 — 64А4, [Х1,Х4] = -Ь5Х2 + Ь1Х4, [Х2,Х3\=ЪгХг-Ъ3Х4, [Х2,Х4] = О, [Х3,Х4} = -Ъ3Ь5Х2 + (Ь3Ь1-Ъ7)Х4,

Второе решение.

При Ь5 = Ь6 = Ьг = ¿8 = 0 ( остальные 6,- - произвольные константы ). Базисные элементы алгебры Ли: Х1, Х2, Х3, Х4 = [Хг,^]; Таблица умножения базисных элементов:

[X!,Х2] = Х4, [Х2,Х3] = -Ь3Х4, [Хг, Х3] = -Ь4Х4, [Х2,Х4] = Ь2Х4, [А'г, Х4] = ЬА, [Х3, Х4] = (М^ — Ь2Ь4)Х4 .

Вариант III

Щ = «и + (с! 4- с2и)их + с3 + с4и + с$и2 . Р = Х1+ иХ2, д = (их + схи + ^с2и2)Х2 + и[Х2, Хг] + Х3.

Определяющие соотношения:

\[Х2,Хг], Х{\ + с^Хг) + [Х3,Х2] + с4Х2 = О,

[[Х2,Хг],Х2] + \с2[Х2,Хг] + съХ2 = 0, [Х3,Хг] + с3Х2 = 0 .

Первое решение. При с2 = с5 = 0 ( остальные с,- - произвольные константы ). Базисные элементы алгебры Ли: Хг , Х3,Ук = а<1кХх{Х2) , {к}™; Таблица умножения базисных элементов:

[*1,П] = Ук+и[Х3,Ук} = -П+.+СгП+г-с^^ХиХз} = с3К0, [У4Д„] = 0,

6

Второе решение. При с4 = с5 = 0 ( остальные с,- - произвольные константы ). Базисные элементы алгебры Ли: А^, Х3, Уь = а<1кХ\(Хг), Таблица умножения базиспых элементов:

[*ь&]=П+ь [А'ьА'з] =с3УЬ, = [КоДз] = П-с,Го,

Вариант IV

, 1 N / 1 Ч 1

ut = + Pi— +р2)их+рз- +Р4 +Р5" ,

uz иi и

F = Хг + иХ2 , G = (\их - Pl- + р2и)Х2 - -[А'2, Хх] + Хз ■

и2 и II

Определяющие соотношения:

[[*2, + -рзЪ = О,

¡[Х2, Х,],Х2] + [ХиХ3] + р\Х2 = о,

Первое решение. При р4 = 0 ( остальные р, - произвольные константы ). Базисные элементы алгебры Ли:

Xi, Х2, Хз, Х4 = [X2,Xj], Х5 = [Х2, \Х2, Aj]]; Таблица умножепия базисных элементов:

[X2,Xt] = [Х2, Аз] = р2Х4 + psX2, [Х2,Х4] = Х5, [Х2,Х5]=0, [ХьХз]=Х5, [ХъХ4]=Р1Х4-пХ2, [ХЬХ5] = Р1Х5, [Х4,Х5] = о,

[АГ3, Х5] = (pip2 - 2ps)Xs, [А3, Х4] = (Р1Р2 - Ps)Xt - р2р3Х2.

Второе решение. При р3 = р4 — 0 ( остальные р, - произвольные константы ). Базисные элемепты алгебры Ли: X], Х3, Y* = adkX2(Xi), {А-}^. Таблица умножения базиспых элементов:

[Х2,Х3] = р2Гг + Р5Х2, [Х2Д] = И+1, [Г0, Y,] = PlYh [Ко,Х3] = К2, [ym,Vi] = 0, [ХзХ\ = -t+2 + (пръ-рхр2)Уп, {n}~ {т}~ (ОГ

Третье решение.

При рх = рз = р5 = 0 ( остальные С{ - произвольные константы ). Базисные элементы алгебры Ли: Хг, Х3, У к = adk Х1(Х2), {к}^. Таблица умножения базисных элементов:

[&,П] = П+1, [Хг,Хз] = Р2Уи {Уо,Хз}=У2 + Р4Х2, [Ü Дз] = *з, [Хз, Y,] = -Yl+2 - 1-{1 - 2)p2p4Y,.1, [Yi, У}] = l-p2Yu

[У5,п] = |(/-2)У{.ь [УьУо1 = о, [г„,^] = о, тг.

В пункте 2.2.3 , с целью лучшего понимания материала изложенного в главе 3, подробно описан начальный этап процедуры факторизации на примере определяющих соотношений из Варианта III.

Глава III посвящена строгому описанию алгоритмов для работы с конеч-попредставлеппыми алгебрами Ли и демонстрации применения этих алгоритмов к задачам факторирзации свободной алгебры Ли по идеалу заданному набором определяющих соотношений и порождающих элементов, связанным с уравнениями Кортевега - де Фриза и уравнениями для одномерной ленгмюровской турбулентности посредством процедуры Уолквиста - Истабрука.

В разделе 3.1 ( пункты 3.1.1 - 3.1.3 ) приведены основные понятия и определения из теории свободных алгебр Ли.

В пункте 3.1-4 приведено доказательство новой теоремы, которая играет принципиальную роль в эффективизации алгоритма.

Пусть R{X) - базис свободной алгебры Ли L{X) и u,v € R(x), и < v,w = [u,«].

Определение. Будем называть лиевский моном w правильной парой, если w = [u,i>] € R(X). А в том случае, если w = [u,v], v = [uijVj], и < v и и < Vi, то w мы будем называть неправильной парой.

Поскольку основная масса вычислений в представленном в данной работе алгоритме связана с вычислением тождеств Якоби, в частности и для того, что бы выразить неправильную пару через базисные элементы, т.е. определить структурные константы L(X), черезвычайно важной оказывается следующая теорема. Теорема 1. Пусть L - свободная /¡"-алгебра с условием

Vw е L : [и, и] = О

и пусть За, Ь £ L такие, что

Vu, v € L : J(a, и, v) = J(b, и, v) = 0 ,

где

Vu,u,w € L : J(u,v,w) = [u,[v,w]] + [to, [u,v]]-f [«, [«>,«]] .

Тогда

J(p{a,b),u,v) = 0 , где p(a,b) - произвольный лиевский полином от а, Ь над полем К.

Следствие. Если в свободной алгебре L(X)

Vxi € X Л Vu, v £ L : J(xi,u,v) = 0 , 8

то

J(u,v,w) = 0,

т.е. Ь - свободная алгебра Ли.

В разделе 3.2 дано описание основной проблемы рассматриваемой в данной диссертации и, на примере уравнения Кортевега - де Фриза, вводится понятие генетического кода алгебры Ли.

Пусть Ь(Х) - свободная алгебра Ли над полем К, X = {а^,..., - конечный набор порождающих элементов в Ь(Х) и Р = {рг,... ,рт} - конечный набор лиевских полиномов от X, т.е. = р,(Х) € 1>(Х), г = {1,... , т}.

Определение. Если Ь - алгебра Ли порожденная набором элементов А', которые удовлетворяют полиномиальным уравнениям (определяющим соотношениям) Р1(Х) = О (г = {1,.. .т}), тогда Ь называется конечнопорождемной и конечно-определенной или конечнопредставленной алгеброй Ли.

Проблема. Задан конечный набор порождающих элементов X и определяющих соотношений Р - необходимо построить алгебру Ли Ь такую, что X С Ь при условии р,(Х) = 0, р,- € Р. Другими словами, мы должны найти решения полиномиальных уравнений от некоммутирующих переменных в классе алгебр Ли.

Такая проблема является наиболее принципиальной частью конструктивного анализа точной интегрируемости нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных по методу Уолквиста-Истабрука. Так, например, для уравнения КдФ: щ = иххх — 3иих, посредством процедуры Уолквиста - Исгабрука, получаем: . „ . _ .

Хг + и Х2 + и2Х3

О = Х4 + и[Д2Дх] Дг] + \А[*г Д1]Да] - !«»*, -

-2и3Х3 - и2хХз + их[Х2 Д,] + ихх(Х2 + 2иХ3).

и определяющие соотношения:

[[[Л Да] Да] Да] = 0, -|[*гД3] + Д2] Д,] Д2] + Д3Д4] = 0, [[[*„&],&],&] + [Х2,Х4] = 0, [ХиХ4] = [ХгДз] = [Х2Д3] = 0

Перед построением алгебры Ли, имеет смысл упростить данные определяющие »отношения, основываясь на следующей теореме.

Теорема 2. Пусть Ь алгебра Ли. Если г, и, V £ Ь и [г, и] = [г,«] = 0, то г, Р(и,у)] = 0 где Р произвольный лиевский полином от и, v.

Следствие. Если некоторый элемент г € Ь из алгебры Ь коммутирует со всеми юрождающими, то г принадлежит центру Ь {г £

Относительно небольшие по объёму вычисления, основанные на теореме 2, при-юдят нас к следующему виду определяющих соотношений для уравнения КдФ:

. [[[X, Д2] Д2] Д3] = О, [[[X! д2] Д1] Да] - [XI Да] = о, [[[*! Д2] Дг] ,Хг] + [Х2Д4] = 0, [Х,Д4] = 0. (2)

Чтобы использовать алгоритм описанный в следующем разделе, начальные дан-[ые (набор порождающих элементов и определяющих соотношений) должны быть:

9

• градуированы по весу, который выбирается заранее, как это описано в разделе 3.1, что в свою очередь индуцирует градуированное упорядочение на всех остальных базисных мономах и соотношениях;

• взаимно редуцированы и дополненный всеми базисными элементами и соотношениями, которые получены в результате проверки всех тождеств Якоби для троек базисных элементов с суммарным весом не превышающим максимальный вес среди порождающих элементов и определяющих соотношений.

Определение. Таким образом градуированный, упорядоченный и расширенный набор порождающих элементов и определяющих соотношений будем называть генетическим кодом алгебры Ли, которую предполагается построить.

Специальный вспомогательный алгоритм позволяет проводить все эти операции. Результат работы этого алгоритма можно увидеть на следующем примере.

Генетический код алгебры Ли уравненя Кортевега-де Фриза, заданной соотношениями (2), может быть представлен в виде таблицы:

Вес Мо.базисного Генетический код

элемента

1 1 Хг

2 х2

2 3

4

3 5 [Х2,[ХиХ2}]

6 х4

7 [Хи[Хи[ХиХ2]]}

4 [Х2,[Х2,[ХьХ2]]] = 0

[ХьХ,] = 0

[X2,X4} = ~[X1,[X1,[Xi,X,]]]

В разделе 3.3 приведено подробное строгое описание основных модулей алгоритма вычисления алгебраических следствий определяющих соотношений. Результаты работы этого алгоритма проиллюстрированы па двух примерах.

Пункт 3.3.1 ( Основные структуры ).

Пусть R - множество базисных мономов конструируемой алгебры Ли L. Градуировка задает разбиение R — U¡Rl = U¡(X' U S') , где X и S - множества порождающих и базисных элементов, соответственно. Линейное упорядочение на Я. задается биективным отображением / : R —> Л, где R - некоторое линейно упорядоченное множество, например множество натуральпых чисел N. Естественно что при этом R = U¡R1 = U,(X' U Sl) и

r-Uft^í }f

{> \(r¡,rj)es, if fes, ю

Набор R можно рассматривать как нумерацию R.

Определение. Правильная пара называется связанной парой, если она может быть выражена через липейпуга комбипацию базиспых элементов с помощью тождеств Якоби и свободной парой , в противном случае. Естественно, что все неправильные пары так же являются связанными парами.

Следует отметить, что проверка тождеств Якоби для троек более высокого веса может порождать дополнительные связи для мономов более низкого веса, которые ранее рассматривались как базисные элементы. Мы будем называть такие связи возвратными полипомами, поскольку появление таких связей приводит к необходимости начать вычислительный процесс с более низкого веса соответствующего равного весу возвратной фразы. В описании алгоритма такие возвратные полиномы собраны в специальном наборе Р. Пусть В = U¡В1 набор связанных пар. Это означает, что 6 € В iff Ь = J2i <*irn а\ € К, г, 6 R Обозначим через h отображение h : В —> Span(R, К) и введем вспомогательный набор Н, содержащий все промежуточные правильные пары, В последующих вычислениях те пары которые оказываются связанными перемещаются из Н в В.

Далее описан алгоритм вычисления Rn по извесгаым Rk (к < п).

Пункт. 3.3.2 ( Основной алгоритм ).

Input: U h<nRk, U k<nRh, U k<nBk, Uk<nh{Bky,

Output: Rn, Sn, Bn, h(B"), Pn;

H" = 0, Sn = 0, Bn = 0, h(Bn) = 0, Pn = 0;

for each г,- € X such that w{xi) < n do I := n — w(xi);

for each xq 6 X1 do % слова длины 2

if ii< r, then Hn := {(xi,xq)} I) Hn else if x{>xq then Hn := {(г,, x,)} U Я";

end;

for each rq = (г1?,Г2,) € Sl do % тройки с двумя одинаковыми порождающими

if ij = rig or X{ = f2q then

if it < rq then Hn := {(г;,г,)} U Hn else Я" :={(r„i,)}UF

else

if ii < г,, or (ri, < ii < f2, and rlg £ S) or (£,- > r2i and rig, r2q € S)

then Jacobi(xi,r1„r2,); % J вычисляет JH\ JB, JhB, JP Hn := Я" U JH; Bn:=BnUJB-, h{Bn) := h(Bn) U JhB\ replace JB in h(Bn) by JhB; Pn := Pn U JP)\

end; .

for each rq € Bl do

if Xi < riq or (ri, < Xi < r2, and r,, e 5) or (x,- > r2q and rlq,r2q e S) 11

then Jacobi(xi,ri„r2,);

Я" := Hn U JH; Вп := Вп U JB\ h(Bn) := h(Bn) U JhB\ replace JB in h(Bn) by JhB\ Pn := Pn U JP)\

end;

end;

5" Hn \ Bn\ Sn = f{Sn)-,

for each r, € Sn replace r, in h(Bn) by f,.

В пункте 3.3.3 описан подалгоритм проверки тождеств Якоби.

Описанный алгоритм является усовершенствованной версией алгоритма представленного в работе [4]. Главное усовершенствование основанпо на использовании теоремы 1. Это позволяет резко уменьшить рост числа проверок тождеств Якоби при большом числе N базисных элементов. А именно, когда (N —> оо) при фиксированном числе порождающих п возможно следующее уменьшение числа тождеств Якоби подлежащих проверке:

N \ ( N

В пункте 3.3-4 приведено полное решение определяющих соотношений для уравнения Кортевега-де Фриза.

Базисные элементы и их коммутаторы веса 5

No. Базисные элементы и алгебраические соотношения веса 5

8 [^i,[Xi, [Хь [Xi,X2]]]]

9 [X^lXuiXulX^X,]}]]

[[Хь X2], [Xi, [X], X2]]] = — [X2, [Xx, [Xb [Xx,X2]]]] + [Xu [XbX2]]

[[Хг, X2], [X2, [Xb X2]]] = -[X2, [XuX,]}

[[X,, X2], X4] = - [Xx, [X,, [X, [Xx, X2]]]]

Дальнейшие вычисления до элементов веса 20 позволяют угадать рекуррентные формулы полностью определяющие структуру бесконечномерной алгебры Ли. А убедиться в том, что это действительно решение задачи (2) можно путем проверки конечного числа тождеств Якоби.

Базис алгебры Ли: Хь ас! кХ1(Х2) = Ук, [У0,У2к+1] = гк, Х3, {к}? . Алгебра Ли:

[ХьУ*] = П+1, [Х1,Х4]=0, =У»+1, [Уо,2,] = 0 ,

[Уо,У2*+1] = гк, [Уо, У2п] = У2„_ь [У„,УР] = 0, (п + р = 2т), [УП,УР] = (~1)пгт + (-1)рУ5т, (п + Р = 2т + 1), [Угп+и%ч] = [П,Х4] = -У/с+3, [У2р,Яя] = -У2,+2р-11 [гч,гк} = 0, [Х4,^] = уи+з,те, {т}г, {п}г, МГ, Ш-

12

Здесь имеется 6 различных типов базисных элементов Х\, Уо, У2Щ Zq ■

Поэтому достаточно проверить 38 тождеств Якоби для всех этих типов базисных элементов.

В пункте 3.3.5 отмечается наличие возвратных полиномов в вычислительном процессе. Заметим, что здесь мы получаем возвратные полипомы, которые возникают во всех рядах четного веса начипая с веса 10. Причем возврат каждый раз осуществляется па четыре весовых уровня назад. Например первая возвратная фраза появляющаяся при вычислении 10 - го весового уровня имеет вид

= [Хи[Хи[ХиХ2}]} .

Поскольку вес лидирующего монома в этой фразе равен 6, мы вынуждены начать вычислепия с ряда 6 с учетом этой возвратной фразы.

В пункте 3.3.6 описан приём построения частных решений определяющих соотношений. Приведен пример одного из таких частных решений для определяющих соотношений уравнения КдФ.

В разделе 3-4 приведен ещё один пример работы алгоритма с определяющими соотношениями, полученными посредством процедуры Уолквиста - Иста-брука для системы уравнений описывающих одномерную ленгмюровскую турбулентность в плазме возбуждённой сильным электромагнитным полем. Определяющие соотношения:

[ibi2] = [ii,i3] = [i\,Xi] = [х2,х4] = [¿3,14] = [£5,^4] = [¿5,¿б] = 0, [ib [ii,ie]] = [xi, [ii,i5]j = [ib[i2,ZS]] = [¿1, [x3,x5]] = 0,

[¿4,[ij,i6]] = [¿2,[il,ie]] = [¿3, [Al, ie]] = = [£з,[£з,£2]] = о,

[is, [is,ii]]- [x6, [¿6, £i]l = 0, pi,i6], [ii,is]J = о,

[i2, [i3, ¿5]] + [¿з, [i2, is]] = 0, [i2, [i2, i5]] - [¿3, [Хз, is]] = о,

2[i2,ie] + [is, [5s, ¿3]] = 0, 2[i3,ie]+[i5,[i2,i5]] =0,

[[ibie], [i2,is]] + 2i2 = 0, [[xx,ie],[®3,i5]] + 2i3 = 0, 2[i4, i6] -f [i5, [i2, ¿3]] + 4[i5, [ii, i5]] = 0 для шести порождающих {i,}(l < г < б).

Алгебра Ли ( полное решение ): i2 = ¿3 — 0, и ненулевые базисные элементы

ej = ib е2 - х4, е3 = i5, е4 — i6, е5 = [ii,is], е6 = [ii,ie], е7 = [£4, ¿в], е8 = [х5,[хих6]], е9 = [хв, [х4,х6]].

Таблица ненулевых коммутаторов:

[ei,e3] = е5, [еье4] = е6, [е2,е4] = е7, [е3,е5] = -1/2 е7, [е3,ев] = е8, [ез,е8] = -1/2еэ, (е4,е5] = е8, [е4, е6] = —1/2е7, [е4,е7] = е9.

Время работы алгоритма реализованного на языке Reduce для последней задачи составляет примерно два часа на компьютере AT/386, 25Mhz в среде MS-DOS.

В главе IV собраны новые НДУ для которых, методом Уолквиста - Истабрука удалось найти конструктивные псевдопотенциальные представления.

В разделе 4-1 для уравнения Ландау - Лифшица с двуосной анизотропией

13

тп{,г = емгпк{тгц,хх + /?(ршр), (3)

где Ри, - постоянная симметричная матрица размерности 3x3, определяемая симметрией кристалла и геометрией задачи (направлением распространения возмущения в среде ); т,- и тк - компоненты вектора плотности магнитного момента т в декартовых координатах, с условием (т)2 = т\ + т2 + т\ = 1; еш - полностью антисимметричный тензор третьего ранга с условием е]2з = 1, методом Уолквиста - Истабрука построена общая схема псевдопотенциальпых структур:

Г = пцХ{ + Х4> С = ^иттк^Х! + \£{ыт{\Хк, X/] + Х5

с определяющими соотношениями:

[[Х2, Х3], Хг] = р\гХг — Р\2Х3 ,

[[Х3Д,]Д2] = р12Хз-р2зХг ,

[[А-!, Х2], Х3] = Р23Х1 — Р13Х2

[[Х2,Хз]Д2] + [[Х3,Хг},Х1] = Р23Х2 - р22х3 + РпХ3 - р13Хг ,

{[Х3,Хг],Х3] + [[X,,Х2] ,Х2\ = р13х3 - р33х, + р22Хг - р12х2,

[[ХьХа] ДО + [[Х2,Х3],Х3] = р12Х, - риХ2 + рмХ2 - р23Х3 ,

[Х4,Хг] = 0 , [Х4,Х5] = 0 , [А-5, Х{] = е,и[[Хк)Х,],Х4].

Доказано, что при произвольном данные определяющие соотношения вссгд. имеют нетривиальные решения со значениями в алгебре Ли группы БЬ(2,С) Для уравнения Ландау - Лифшида с одноосной анизотропией, т.е. при Д* = ^Рщпь, (п)2 = 1, найдено несколько частных решений этих определяющих соот ношений на базе которых построены конструктивные, в плане построения широки: классов решений исходного уранения Ландау - Лифшица, псевдопотепциальны представления.

В разделе построена новая точнорешаемая диссипативная система НДУ

Щ = ихх - 2(и и)их + (а - 1)иг;г + (1 - а)(и2у + ии2) + Ьхих + (Ь3 - Ь^иу, VI ~ аухх — 2(и + — (а — \)м.х — (1 — а)(«2и + иг>2) + Ь3их + (61 — Ь3)иу

для которой псевдопотенциальные представление является аналогом лианеризук щей подстановки Коула - Хопфа. А именно, замена переменных

_____ Ф\,х _

4>1 + 4*2 Ф\ + ф2

приводит к двум независимым липейным уравнениям:

= ф^х + Ьхфх^ , = аф2,хх + Ъ3ф2гХ .

Приведен ряд интересных решений исходной пелиненйпой системы.

В разделе 4-3 описал мегод, обратный методу Уолквиста - Истабрука, который позволяет па базе известных гепетических кодов алгебр Ли строить новые точно интегрируемые модели. Этот метод продемонстрирован на примере генетического кода уравнения КдФ. А именно, построено повое нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных:

= "¿Ф111 + ((/'(г) + Ш)и +

которое обладает псевдопотепциальпой структурой общего вида с той же системой порождающих элементов и определяющих соотношений, что и для урапения КдФ.

В главе V - Заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации.

Результаты, вошедшие в диссертацию, опубликованы в работах:

1. Боровик А.Е., Робук В.Н., Линейные псевдопотенциалы и законы сохранения для уравнения Ландау - Лифшица, описывающего нелинейную динамику ферромагнетика с одноосной анизотропией., ТМФ, т. 46, N 3, 1981.

2. Робук В.Н. - О классификации эволюционных уравнений второго порядка, в сб. Операторные пространства и функциональный анализ под ред. В.А.Марченко, Наукова думка, Киев, 1987, стр. 58-66.

3. Боровик А.Е., Попков В.Ю., Робук В.Н. - Образование нелинейных структур в точно решаемых диссипативных системах. ДАН СССР, 1989, т.305, N 4, стр. 841 - 843.

4. Akselrod I.R., Gerdt V.P., Kovtun V.E. and Robuk V.N. - Construction of a Lie Algebra by a Subset of Generators and Commutation Relations, In: Computer Algebra in Physical Research, Shirkov D.V., Rostovtsev V.A. and Gerdt V.P. (eds.), World Scientific Publ.Co., Singapore, 1991, pp.306-312.

5. Gerdt V.P., Kovtun V.E. and Robuk V.N. - Genetic Codes of Lie Algebras and Nonlinear Evolution Equations, In: Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems, V.G.Makhankov V.G. and Pashaev O.K.(eds.), SpringerVerlag, Berlin, 1991, pp.124-126.

6. Gerdt V.P., Robuk V.N. and Severyanov V.M. - On Construction of Finitely Presented Lie Algebras. JINR E5-94-302, Dubna, 1994, (Направлено в Журнал вычислительной математики и математической физики).

Рукопись поступила в издательский отдел 30 октября 1995 года.