автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Алгоритмы, основанные на методе функций Ляпунова и теории разностных схем, обеспечивающие техническую устойчивость динамических систем

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Чувашский государственный университет имени И.Н.Ульянова Московский государственный авиационный институт (технический университет)

»ГБ ОД

На правах рукописи УДК 536.01:62.50

ТАРАСОВ Анатолий Пантелеймоновнч

- 2 МАР 1998

АЛГОРИТМЫ, ОСНОВАННЫЕ НА МЕТОДЕ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА И ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИЕ ТЕХНИЧЕСКУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальности: 05.13.16 — Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (физико-математические науки); 05.13.01 — Управление в технических системах (физико-математические науки)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Чебоксары - 1998

Работа выполнена в Чувашском государственном университете имени И.Н.Ульянова и в Московском государственном авиационном институте (в техническом университете)

Научный руководитель — доктор технических наук,

профессор СЕМЕНОВ В.В.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук

профессор ХРУСТАЛЕВ М.М. — кандидат физико-математических наук АЛЕКСЕЕВ Б.В.

Ведущая организация — Ульяновский государственный

университет

Защита состоится 6 марта 1998 года в 15 часов в аудитории В-301 корпуса "В" на заседании диссертационного совета К 064.15.07 в Чувашском государственном университете имени И .Н.Ульянова (428015, г.Чебоксары, Московский просп.,15).

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью учреждения, просим выслать по указанному адресу на имя ученого секретари диссертационного совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Чувашского государственного университета.

Автореферет разослан _199 / года.

Ученый секретарь диссертационного совета

ртационного совета ^г^

к .т.н., доцент БАЙМУЛКИН В.А.

Актуальность темы. Потребности инженерной практики в области динамики машин, конструирования систем автоматического регулирования, радиотехники, ракетостроения вызвали необходимость рассмотрения нового понятия устойчив ости. Дело в том, что, в отличие от классических задач Ляпунова об устойчивости движения, в реальных системах их функционирование происходит на конечном интервале времени, начальные и постоянно действующие возмущения являются конечными величинами, отклонения возмущенных движений не должны превышать некоторой определенной величины. Задачи с такого рода особенностями получили название задач технической (практической) устойчивости пли устойчивости на конечном интервале времени.

Необходимость рассмотрения таких задач впервые было замечено Н.Г.Четаевым и им же были даны некоторые способы их решения. Дальнейшее развитие это направление получило в работах Н.Д.Моисеева, К.А.Абгаряяа, Н.Ф.Кириченко, А.А.Мартышока, К.А.Карачарова, В.И.Зубова и других, а в приложениях к задачам стабилизации— в работах Н.Ф.Кириченко, Ф.Г.Гаращенко, Ф.Д.Фурасова, С.Я.Степанбва, Ван Дань-чжи. Несмотря на значительность результатов, имеющихся в настоящее время в теории технической устойчивости и стабилизации, круг проблем в этой области далеко не исчерпан. Как отмечено К.А.Абгаряном в обзоре работ по технической устойчивости, в задачах технической устойчивости выбор вида областей допустимых состояний имеет существенное значение, в отличие от задачи устойчивости по Ляпунову, в которой вопрос устойчивости не зависит от вида областей допустимых состояний. Система, обладающая технической устойчивостью, например, относительно области в форме п-мерного параллелепипеда, монет оказаться неустойчивой относительно области предельных отклонений в форме шара и наоборот. Поэтому актуальна разработка эффективных конструктивных критериев и условий, решающих задачи технической устойчивости и стабилизации относительно разных форм областей допустимых состояний. Актуальность этих вопросов возрастает в связи с необходимостью получения оптимальных оценок, характеризующих техническую устойчивость.

Современные ЭВМ используются как эффективное средство для ме-тематнческого моделирования сложных задач науки и техники, так и для управления различными объектами, технологическими процессами. Математические модели реализуются на ЭВМ с помощью методов

вычислительной математики, которая должна непрерывно совершенствоваться вместе с прогрессом в области ЭВМ. Использование ЭВМ для управления предполагает обслуживание задач с некоторым тактом дискретности но времена и разработку алгоритмов дискретного управления. Поскольку производительность ЭВМ имеет определенные ограничения, то интересной в важной в практическом отношении будет решение задачи определения максимального допустимого такта, при котором система управления достаточно хорошо выполняет цель функционирования. В частности, при решении задач стабилизации это будет максимальный такт, при котором система устойчива. Известные методы исследования устойчивости по Ляпунову для непрерывно-дискретных систем и методы дискретной стабилизации, как правило, основаны на возможности точного перехода от исходной системы к системе конечно-разностных уравнений либо на различных аппроксимациях непрерывной части. Но возможность точного перехода предполагает в свою очередь определение решений непрерывной части, а аппроксимации нуждаются в строгом обосновании. Поэтому, как отметил В .И. Зубов, представляет большой интерес решение задачи дискретной стабилизация с точки зрения конечно-разностных уравнений при строгом обосновании аппроксимации непрерывной части. Актуальность решения проблемы еще более возрастает для дискретной стабилизации до технической устойчивости, поскольку ранее такие задачи не рассматривались.

Целью данной работы является исследование технической устойчивости математических моделей динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, разработка конструктивных алгоритмов стабилизации, оптимальной стабилизации до технической устойчивости, реализуемых на ЭВМ, разработка конструктивных алгоритмов дискретной стабилизации, на основе которых используются ЭВМ для управления различнымп объектами и технологическими процессами.

В соответствии с поставленной целью в работе решаются следующие задачи:

1. Получение общих критериев и условий технической устойчивости, стабилизации, оптимальной стабилизации для математических моделей динамических систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями.

2. Разработка конструктивных условий технической устойчивости и

конструктивных алгоритмов стабилизации, учитывающих ограниченность управляющих воздействий, для линейных и нелинейных систем.

3. Исследование неклассической задачи оптимальной стабилизации до технической устойчивости, позволяющее максимизировать область начальных возмущений. Разработка численных методов ее решения и аналитических методов, которые в вычислительном плане сводятся к последовательности задач нелинейного программирования.

4. Применение разработанных алгоритмов оптимальной стабилизации для конкретных систем управления и их моделирование на ЭВМ.

5. Строгое математическое обоснование применения ЭВМ для управления различными объектами и технологическими процессами, описываемыми линейными и нелинейными математическими моделями.

Научная новизна работы заключается в постановке задачи синтеза оптимальных алгоритмов стабилизации до технической устойчивости, максимизирующих область начальных возмущений для линейных и нелинейных систем управления и их решение в классе функций Ляпунова квадратичного вида. Впервые исследованы вопросы дискретной стабилизации до технической устойчивости на основе теории разностных схем. Алгоритмы стабилизации сведены к хорошо изученным задачам управления спектром матрицы замкнутой системы.

Методы исследования. При разработке и обосновании алгоритмов непрерывной и дискретной стабилизации движений динамических систем до технической устойчивости применялись методы, основанные на синтезе достижений линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений, автоматического управления, теории разностных схем, методов нелинейного программирования.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью постановок задачи математических методов их решения, численными подтверждениями полученных гарантированных оценок, характеризующих техническую устойчивость.

Теоретическая к практическая ценность работы состоит в том, что полученные конструктивные алгоритмы стабилизации и оптимальной стабилизации, максимизирующие область начальных возмущений, могут быть использованы в инженерной практике при проектировании и конструировании динамических систем. Оценхи областей допустимых возмущений, такта дискретности в алгоритмах дискретной стабилизации могут использоваться при управлении технологическими процессами и различными объектами с помощью ЭВМ.

На защиту выносятся:

— общие критерии технической устойчивости и стабилизации, полученные для допустимых возмущений в форме замкнутых п -мерных шаров;

— конструктивные алгоритмы стабилизации до технической устойчивости для линейных стационарных систем при наличии постоянно действующих возмущений, линейных нестационарных систем, приводимых к каноническому виду, некоторого класса нелинейных систем;

— реализуемые на ЭВМ алгоритмы оптимальной стабилизации, максимизирующие область начальных возмущений для вышеуказанных систем управления;

— алгоритмы дискретной стабилизации до технической устойчивости, на основе которых можно использовать ЭВМ для управления различными объектами и технологическими процессами, описываемыми линейными и нелинейными математическими моделями.

Апробация работы. Основные результаты диссертации представлялись и обсуждались на Всесоюзной конференции но проблемам управления развитием систем (Петрозаводск, 1984), на Уральских региональных конференциях "Функционально-дифференциальные уравнения" (Магнитогорск, 1984; Челябинск, 1987), на Всесоюзной научной конференции "Метод функций Ляпунова в современной математике" (Харьков, 1986), на республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Чувашской АССР (Чебоксары, 1985), на республиканской конференции "Высшая школа народному хозяйству Чувашии" (Чебоксары, 1992), на 11 Всесоюзной конференции по проблемам теоретической кибернетики (Волгоград, 1990), на шестой Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 1992), на научных пшмах-семинарах "Моделирование и исследование устойчивости физических процессов" (Киев, 1990, 1991), на научных конференциях "Моделирование и исследование устойчивости процессов" (Киев, 1992,1993), на международной конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Киев, 1995), неоднократно на итоговых научных конференциях и научных семинарах Чувашского госуниверситета, а тахше неоднократно на научных семинарах кафедры математической кибернетики МАИ им. С.Ордаонвкидае (рук. проф. В.В.Семенов), на семинаре по теории устойчивости процессов и ее приложений в институте механики А.Н.Украины (рук.— чл.-

корр. АН Украины А.А.Мартынюк), на семинаре кафедры моделирования сложных систем Киевского госуниверситета (рук. чл.-корр. АН Украины Б.Н.Бубляк), на семинаре отдела дифференциальных уравнений математического института им. Стеклова АН СССР (рук. проф. В.И.Благодатских).

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 19 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы из 152 наименований, содержит 7 рисунков и 5 таблиц. Ее текст изложен на 141 странице.

Во введении отражены цель работы, ее новизна, актуальность, научная и практическая ценность, дается краткий обзор литературы и краткое содержание диссертации.

В первой главе исследуются задачи технической устойчивости и стабилизации для непрерывных математических моделей динамических систем, допустимые отклонения возмущенных движений которых задаются в виде замкнутых п мерных шаров. Методом функций Ляпунова получены общие критерии технической устойчивости и стабилизации. Для частного вида систем управления разработаны конструктивные алгоритмы стабилизации при ограниченном управлении.

1. Приводятся постановки основных задач, рассматриваемых в работе, излагается материал из теории квадратичных форм и теории матриц с модификациями, необходимыми для более ясного изложения последующего материала.

2. Для систем, возмущенные движения которых в области 5* = = {г,*|||г|| < з*,*о <t< Т,з*,Т < оо}, описываются уравнениями

где х — п-мерная вектор-функция, характеризующая отклонение от програмного движения, — га-мерная вектор-функция, удовле-

творяющая в области 5* условиям теоремы существования и единственности решения, а также ^(¿,0) = 0, управление и строится по принципу полной обратной связи и = «(4, х), является г-мерной вектор-

СЮНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

х = Ф(«,я,ы),

(1) (2)

функцией, принадлежащей некоторому множеству и непрерывных законов управления и и($, 0) 5 0, вектор-функция Ф(£, ж, х)) в 3* удовлетворяет условиям, аналогичным для F(í,a?) в случае, когда допустимые отклонения заданы в виде замкнутых п-мерных шаров, методом функций Ляпунова получены сбпще критерии технической устойчивости и стабилизации.

Теорема 1.2.1. Для того, чтобы нешзмущешюз движение х{£) = 0 системы (1) было технически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы в области St = {ж,«|!(х!| < < < < < Т} существовала такая положительно определенная функция «(*, х) и константа а > 0, что

= {«К«,«) < <*} С & = {х|||х|| < С}, ' ад. п = 0

в [<о,Т]

2) ¿у(г,х)

¿г

3) 5о = {а[|М| < £} С <?С1(*о),

где дЭх — граница области ¿>1; 0 — пустое множество; постоянные 0 < е < С < < з* < оо.

Теорема 1.2.2. Для того, чтобы управление и = и(г,с) 6 ¿7 было стабилизирующим, необходимо и достаточно, чтобы в области St существовала такая положительно определенная функция v(t,z) и постоянная С1 > 0, что

1 ч = {ф(г, х) < С1} с 8идв1 л = 0

в € [40,Т]

2)

Л

= «(*.*)) + —< о,-

(2) ¿=1 от

. 3) С Се1(!э).

3. В классе функций Ляпунова квадратичного вида «(г) = хтУх разработаны конструктивные условия технической устойчивости к конструктивные алгоритмы стабилизации для частного вида систем (1) и

i = Ax'+f{t,x); (3)

x = Ax + Bu + /(t, x), (4)

где f(t,x) — постоянно действующие возмущения, удовлетворяющие в области 5(* условию ||/(f,a;)|| < Lexр (—/?(i)) = 7(f); постоянная L > 0,/?(i) — непрерывная и неотрицательная на [fo,T] функция; ReAj(A) <0, » = Т7п в случае (3), А и В —управляемая пара матриц в случае (4).

Теорема 1.3.1. Если на [¿о »Г] выполняется неравенство

е~ft(£3\+ + ^ ^

Л"

то невозмущенное движение x(t) = 0 системы (3) {e,C(t),f(t)tto,T}-устойчиво, где А+, Л" наибольшее и наименьшее собственные числа положительно определенной симметрической матрицы V, являющейся решением матричного уравнения Ляпунова

ATV 4- VA = -W (5)

с произвольной положительно определенной матрицей W, удовлетворяющей условию

JWx > а||х||2, p(t) = 2iexp (-/?(*)) П1Л

Ф(*) = } exp (£(r - to)) fi(r)dr, а > 0. (6)

<0

При отсутствии постоянно действующих возмущений (f(i,x) = 0) и равномерной области предельных отклонений (C(t) = С) из теоремы 1.3.1 получается следствие, известное по работам В.Д.Фурасова и Ю.Н.Андреева.

Следствие 1.3.2. Если выполняется неравенство

е <

А+С'

то невозмущенное движение = 0 системы (3) {£,С,<0)Г}-устойчиво.

В случае системы (4) получены аналоги вышеприведенных условий при ограничениях на управления по норме ||и(1,г)|| < й,й > 0.

Теорема 1.3.4. Если на интервале [*0, Т\ выполняется неравенство

-

то управление« = Dx стабилизируетневозмущенное движениеx(t) = О системы (4) до {е, C(i),7(i), to, Г}-устойчивосги, где d,-»— i-я строка г х г» матрицы D, в матричных уравнениях (5) вместо матрицы А берется устойчивая матрица Ai = А + BD замкнутой системы.

Алгоритм стабилизирующего управления при ограничениях ||u(i,:c)|| < S,6 > 0:

1) матрица D коэффицЕентов управления u = Dx выбирается из условий устойчивости матрицы Ai = А + BD, что всегда возможно в силу управляемости пары А, В;

2) непрерывная и положительная функция (7(1), характеризующая область последующих возмущений, при t £ [to, Г] определяется из условия

3) фиксируется достаточно малое положительное число а и для положительно определенной симметрической матрицы W с собственными числами

nmXi(W) > а,

решая матричное уравнение Ляпунова Af F + VA\ = —W определяются наибольшее А+ и наименьшее А~ собственные числа положительно определенной матрицы V;

4) по формулам

p(t) = 2L ехр (—0(1)) ||у||з* = 27(t)||V||A Ф(*) = f ехр (£(г - io)) p(r)dr

определяется функция характеризующая постоянно действующие возмущения f(x,t)\

5) постоянная величина е > 0, характеризующая область начальных возмущений, определяется из неравенства

£*^±MS04i) V16[<0,T1.

Бели найденная величина а и функция C(t) в конкретной задаче стабилизации пригодны для пользователя, то задача стабилизации решена, а если же нет, то пункты 2-Ъ пересчитываются заново с другой устойчивой матрицей Ai = А + BD замкнутой системы, определяемой

ю

управлением и = Ъх. Причем в пункте 3 положительную постоянную а и положительно определенную матрицу можно выбирать другими. Следствие 1.3.6. Бели выполняется неравенство

£SN

А-

то управление и = Дестабилизирует невозмущенное движение a(f) = О системы (4) до {е, С, ¿о, Т}-устойчивости.

Стабилизирующее управление u = Dx в следствии 1.3.6 выбирается аналогично стабшшзирущему управлению в теореме 1.3.4, только в этом случае опускается пункт 4.

Во второй главе для линейных стационарных систем, подверженных постоянно действующим возмущениям, линейных нестационарных систем, приводящихся к каноническому виду, некоторого класса нелинейных систем исследованы задачи оптимальной стабилизации до технической устойчивости. Для этих систем получены функционалы, характеризующие качество технической устойчивости, разработаны численные алгоритмы и указ алы аналитические возможности минимизации. Для иллюстрации разработанных алгоритмов рассмотрены разнообразные примеры систем управления и численным моделированием на ЭВМ показано подтверждение результатов исследований.

1. Для линейной системы (4) при f(t, as) = 0 задача оптимальной стабилизации имеет вид

ver 4 "

где функционал

определен на множестве Г = {V|vlfV+ VA\ = —W,i?Wx > а||х||5} положительно определенных матриц V, удовлетворяющих матричному уравнению (5) с произвольной устойчивой матрицей А\ = А + BD и с произвольной правой частью W из области (6). При фиксированной устойчивой матрице Ai эта задача называется задачей об экстремальной функции Ляпунова, методы ее решения приведены в работах Д.Я.Хусаинова, Б.А.Юньковой, Е.В.Ивохипа.

Обобщением и развитием этих методов для задачи оптимальной стабилизации получены следующие основные результаты:

а) если матрицу (Л+ВБ)Т + (А + В Б) выбором управления и = Бх удается сделать отрицательно знакопостоянной, то задача оптимальной стабилизации решена;

б) если нет, то задача оптимальной стабилизации сводится к задаче нелинейного программирования с ограничениями типа неравенств:

1) выбирается матрица В из условия устойчивости матрицы Ах = А + ВО и, решая матричное уравнение Ляпунова

+ УхАг = (7)

с некоторой положительно определенной матрицей

» = 17«, (8)

где а — некоторое фиксированное положительное число, находят собственные числа 0 < Ах < Аг < ... А„ матрицы

2) определяют ортогональную матрицу II, диагоналнзующую положительно определенную матрицу Ух: = иАЦ^ = и <йа$(Ах,..., АП)1!7Т;

3) изменяя минимальное собственное число Ах матрицы У\ на величину ¿1 > 0, а матрицу Ах на ВГ), переписывают уравнение (7)

(Ах + ВВ)ти (Л + <Иа®(ех, 0,... ,0)) +и (Л + Ша8(ех,0,..., 0))ЦТ(А]. + ВВ) -

= [ЕГ<Ка8(ех,0,...,0)С7:П2>+[{7Шав(е1,0,...,0)1^+ (9)

+ [И Ша8(еь 0,..., 0 )итВ1>у + [17 <Иаз(ех, 0,... ,0)17ТВ£>] +

4) вводят г хп- мерную векторную переменную

= (¿и,...,¿хп,¿21)• • • Лг-л) и условие принадлежности матрицы И^(ех,<*) правой части уравнения (9) по критерию Сильвестра записывают п алгебраическими неравенствами:

1,<?) < 0, »=Т7п;

5) вводят 1+гхп-мерную переменную у = (еь^п,.. • Дп><4п, • • • > минимизирующую функцию /х(у) — —ех,

область У ~ {у\у е -К1+гхп, щ{у) <0, » = 1,п} и задача оптимальной стабшшзацаи примет стандартный вид задачи нелинейного программирования:

Если приходится двигать остальные собственные числа А,-, » — 2,п - 1 к числу Ап, то по вышеуказанной процедуре каждый раз нужно решать соответствующую задачу нелинейного программирования.

При наличии постоянно действующих возмущений /(Л, х) функционал, характеризующий качество технической устойчивости, примет вид

А~ А- а

Для минимизации функционала Фз( V) в полученных алгоритмах оптимальной стабилизации движение собственных значений выполняются от больших А+ к меньшим А".

2. При решении конкретных прикладных задач оптимальной стабилизации с помощью алгоритмов предыдущего параграфа могут возникнуть затруднения, связанные с большим количеством вычислений при определении функций Ляпунова для систем высокого порядка, при вычислении собственных чисел н собственных векторов матрицы функции Ляпунова, при учете ограничений ^»С£1> <0 <0, 1 = 1,п, определяемых через определители. Для преодоления этих затруднений разработан градиентный метод оптимальной стабилизации:

И+1 = Ук- акАУк, к = 0,1,2..., где АУ/с — градиент функции многих переменных

пЕи^ - (ЕЮ;.)

*з00= 1 V1 '

определенной па множестве Г; Уо — некоторое положительно определенное решение уравнения (5). Ограничения для выбора шага а*: 1) матрица У& - акАУк должна быть положительно определенным решением уравнения (5); 2) щ = ш - щАУк). Приводится конкретный пример системы автоматического управления, для которой численным методом решена задача оптимальной стабилизации. Покат зало на существенное улучшение оценок, характеризующих техническую устойчивость при алгоритме управления, полученном решением задачи оптимальной стабилизации по сравнению с оценками, полученными при алгоритмах управления, стабилизирующих до асимптотической устойчивости. Результаты смоделированы па ЭВМ и подтверждают проведенные исследования.

3. В случае нелинейных систем управления

я = Ах + Ви + /(*,х),

где /(*, х) в области Б' удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решений и ||/(4,х)]| < = 0, £>(•) — положительная неубывающая непрерывная скалярная функция; в ф ср (ЦгЦ) ||хЦ < М,М > 0, минимизируемый функционал, характеризующий качество технической устойчивости, примет вид

<MV) = ~

еа + 2М—

Минимизация этого функционала зависит от оптимальной стабилизации ио линейной части:

Л+

min ®i(V) = min — кег v ' кег Л~

и удачного выбора постоянной М > 0. Дополнительно линейному случаю разработан метод последовательных приближений, улучшающий оценки технической устойчивости, обусловленные наличием нелинейности. Для нелинейной системы управления

iii = х2) ¿2 = sinxi + и,

описывающей возмущенные движения математического маятника, основываясь на результатах теоретических исследований в 2.1 и 2.3, решена задача оптимальной стабилизации в верхнем неустойчивом положении равновесия. Получены область Uq*1 асимптотической устойчивости и область Рц2*1 наилучших оценок относительно коэффициентов управления u = d\Xi + djXj; d> — di + 2; * = 1,2 (рис.1).

Рпс.1. Область

П^02х1 коэффициентов управления

Ц = ¿\Х\ + ¿2®2

= + 2), определяющих наилучшие оценки.

Численными расчетами на ЭВМ показано, что при начальных условиях £1(0) = 0,5;®2(0) = 0,8 и коэффициентах управления из области V**1 наилучших оценок подтверждаются теоретически гарантированные оценки ||®(4)|| < ч/О»89 « 0,94 и что при этих коэффициентах действительно получаются наилучшие оценки на норму ||х(4)|| решения (рис.2).

Рис.2. Зависимость нормы ||®(£)|| точного решения от времени: а,в,г,д — коэффициенты управления из области асимптотической устойчивости; 6 — коэффициенты управления из области наилучших оценок.

4. Предыдущие подходы синтеза алгоритмов стабилизации и оптимальной стабилизации распространены для линейных нестационарных систем, допускающих существование нестационарных квадратичных функций Ляпунова v(x,t) = з?У(1)х.

5. Получено обобщение классической теоремы об оптимальной стабилизации К.Н.Красовского применительно к технической устойчивости.

6. На основе разработанных конструктивных алгоритмов оптимальной стабилизации решена задача оптимальной стабилизации до технической устойчивости углового положения посадочного аппарата "Сер-вейер" на конечном участке торможения.

Численными расчетами на ЭВМ при начальных условиях г, (0) = 1, » = 175 показано, что при коэффициентах управления из области наилучших оценок подтверждаются гарантированные оценки ||*(<)|| < (1 + Д) • 2,45, /? — сколь угодно малое положительное число и действительно получаются наилучшие оценки на норму ||г(4)|| решения (рис.3).

Рис.3.

«

Зависимость нормы ||ж(4)|| решения от времени: 1 — коэффициенты управления из области наилучших оценок; 2,3,4 — коэффициенты управления из области асимптотической устойчивости.

Третья глава посвящена разработке и обоснованию таких алгоритмов дискретной стабилизации до технической устойчивости невозмущенных движений некоторых классов систем управления, на основе которых можно использовать ЭВМ для управления объектами и различными технологическими процессами.

Подход, развиваемый в этой главе, был предложен В.И.Зубовым,

является дополнением к существующим методам анализа и синтеза непрерывно-дискретных систем.

Определение 1. Кусочно-постоянное управление вида

и(*) = и(4|ь,Хк) при * 6 [*о + кк,+ {к + 1)/»], к = 0,т - 1

называется дискретным управлением.

Определение 2. Дискретное управление и(£) = Хк) называется стабилизирующим иевозмущенное движение ж (2) = 0 системы (2), если при этом управлении решение х(1) = 0 системы (2) технически устойчиво.

Для частного вида системы (2):

х = Ах 4- Ви + /(«), (10)

заданной в области = {г|||ж|| < Я,0 <t < Г}, А, В — управляемая пара матриц; /(¿) — п-мерная непрерывная вектор-функция постоянно действующих возмущений ||/(*)|| < Ьехр(—> 0, задача дискретной стабилизации заключается в выборе дискретного управления «(¿) = Ох(кЬ) при % € [&А, (к + 1 )Л); к = 0,т — 1,1) — пхг постоянная матрица, при котором невозмущенное движение х{£) = 0 системы (10) технически устойчиво.

На основе теории разностных схем получены следующие основные результаты:

Теорема 3.2.1. Если выполняются условия:

1) А и В управляемая пара матриц;

2) при управлении м(<) = Их(кН) решение системы (10) имеет ограниченные вторые производные при кЪ. < * < (к + 1)Л, к = 0,т- 1, то при ограничениях

, С — 2РС}е С _ £7

< ~РМ ' е<2Р&

дискретное управление и = Ох(кк),1 € \кН, (к + 1)/») в дискретные моменты стабилизирует невозмущенное движение = 0 системы (10) до технической устойчивости. Причем алгоритм управления определяется из условия принадлежности собственных чисел = —+ »'/?;, ] = 17п матрицы А + В Б замкнутой системы кругу

а в случае действительных собственных значений щ = -А,- < 0 неравенство (11) примет вид 0 < А,- < 2/Н.

Алгоритм дискретного стабилизирующего управления:

1) определяется матрица В коэффициентов управления и(2) = Вх{кЬ) из условия устойчивости матрицы А\ = А + В В и ее диагонализируе-мости;

2) определяется матрица Л", даагоналпзирующая матрицу А\. В частности, за матрицу N можно взять матрицу из собственных векторов матрицы А\. Находятся величины Р — Н-МЦ.ф =

3) задается постоянная величина С > 0 и достаточно большое число РМ > 0, ограничивающее вторые производные решений системы (7);

4) из неравенств

С , С — 2Р(?е г £7

Е<Ш рм ' 1<д

определяются ограничения на выбор начальных отклонений е, на шаг к дискретности, на Ь, характеризующую постоянно действующие возмущения. Дополнительно вышеуказанному, шаг дискретности Л должен удовлетворять условию принадлежности собственных чисел щ — —а; + оу >0, з — Т~п матрицы А + ВВ замкнутой системы кругу

. 2

что всегда выполнимо при достаточно малом Л.

Если в конкретной задаче, найденные значения е, Л, Ь пригодны для пользователя, то задача дискретной стабилизации решена, а если нет, то пункты 2-4 пересчитываются заново с другой устойчивой и диа-гонализируемой матрицей А\ — А + BDi определяемой дискретным управлением «(<) = Вх(кк).

В некоторых случаях из соображений производительности ЭВМ минимальное значение кт допустимого шага Н дискретности задается заранее. Тогда алгоритм дискретного стабилизирующего управления «(¿) = Вх(кк) выбирается из условия принадлежности собственных чисел щ = —а/ + Щ> су >0, } = Т7п матрицы А + ВВ кругу

(-¿У*'*®'.

п диагоналпзируемости А + Ш>, а величины, характеризующие техническую устойчивость, из неравенств

^ С — РМНп , £7

ОРМНт, !<<-%•

Теорема 3.2.1 обобщена для произвольного I € [0,Т]. В этом случае шаг дискретности удовлетворяет дополнительным ограничениям: Л < тт{Ль Л2/А, Л3}, где

С-АРЦе , С

«1 = —____—, Л3 =

2 РМ ' 3 2у/К(2цС + 21У

за Ла можно взять любое значение, лежащее нейду точками пересечения линий у = е\у = 1 + 2г,ц = ||А + Ш5||, А = ||А + АТ\\/2.

С учетом дополнительных ограничений на выбор шага Л < тт{Л1,Лз/А,Лз} последовательность действий при определении стабилизирующего дискретного управления «(1) = Бх(кк) аналогична случаю теоремы 3.2.1.

3. Получены аналогичные результаты для линейных нестационарных систем, приводящихся к каноническому виду, когда эталонная система выбирается в классе устойчивых стационарных систем с расположением собственных значений щ = —а/ + »73/, а/ > 0,з = 1,п в круге

НГ+^Ш1.

При фиксированной эталонной системе указывается метод, улучшающий оценки технической устойчивости. 4. В случае нелинейных систем

х = Ах + Ви + <р{х) (12)

нелинейность удовлетворяющая условию Липшица \\(р{х{) - 4>(xi)\\ < L\\x\ - z2||,L > 0, усложняет исследование устойчивости получающихся разностных схем и существенно влияет на выбор шага h.

Теорема 3.4.1. Если выполняются условия:

1) А, В — управляемая пара матриц;

2) нелинейность <р{х) в области St удовлетворяят условию Липшица;

3) при дискретных управлениях u(t) = Dx(kh),t 6 [АЛ, (к + 1)Л), к — 0,ш — 1 система (12) имеет ограниченные вторые производные при

I е (АЛ, (к + 1 )Л), то при ограничениях

. (1 2(С-Рае)) С

Л <шш < -, —- , е < ——

\4 РМТ }' Р<3

дискретное управление «0) = 1>г(АЛ),* 6 [АЛ, (А+1)Л), к = 0, т - 1 стабилизирует невозмущенное движение х(Ь) — 0 системы (12) в моменты времени 1,4 до технической устойчивости. Причем выбор алгоритма дискретного стабилизирующего управления и = 23х(АЛ) и оценка величин е и Л нужно выполнить по следующей процедуре:

1) определяется матрица О коэффицентов управления « = Ох (АЛ) из условия устойчивости матрицы А\ + ЗБ и ее дпагонализнруемости;

2) вычисляется матрица И, диагонализирующая Ах, находятся значения р = ргц, д = рг1||, к = рсщ

3) задается постоянная величина С > 0 и достаточно большое число РМ > 0, ограничивающая вторые производные решений системы (12);

4) из неравенств

С , . Г1 2(С-РС}е)} £<РЯ> л<дцр1 К' РМТ }

и условия принадлежности собственных чисел щ — —+ »/?,-, а,- >0, ] = 1,п матрицы А + ВБ кругу

находятся ограничения на выбор величины е и шага дискретности Л.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В д иссертации для математических моделей динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, методом функций Ляпунова е теории разностных схем разработаны конструктивные алгоритмы стабилизации, оптимальной стабилизации до технической устойчивости, в вычислительном плане сводящиеся к задачам нелинейного программирования ж конструктивные алгоритмы дискретной стабилизации, на основе которых можно использовать ЭВМ для управления различными объектами и технологическими процессами.

Основные научные и практические результаты диссертации заключаются в следующем:

1. Методом функций Ляпунова проведены исследования нелинейных математических моделей динамических систем. Доказаны общие критерии технической устойчивости и стабилизации, которые уточняют соответствующие критерии Н.Ф.Кириченко относительно допустимых отклонений возмущенных движений в форме замкнутых п-мерных шаров.

2. Разработаны конструктивные достаточные условия технической устойчивости и конструктивные алгоритмы стабилизации для линейных стационарных систем, подверженных постоянно действующим возмущениям, линейных нестационарных систем, приводимых к каноническому виду, достаточно широкого класса нелинейных систем.

3. Для вышеуказанных математических моделей поставлены задачи оптимальной стабилизации до технической устойчивости, позволяющие максимизировать область начальных возмущений. Разработаны численные алгоритмы н указаны аналитические методы решения этих задач, которые в вычислительном плане сводятся к последовательности задач нелинейного программирования. Предложен метод последовательных приближений, улучшающий оценки технической устойчивости, обусловленные наличием нелинейности.

4. Доказана теорема об оптимальной стабилизации до технической устойчивости с интегральным критерием качества, которая расширяет возможность применения классической теоремы об оптимальной стабилизации Н.Н.Красовского в области задач технической устойчивости.

5. Разработанные алгоритмы оптимальной стабилизации применены для оптимальной стабилизации до технической устойчивости углового положения посадочного аппарата "Сервейер" на конечном участке торможения, а также для оптимальной стабилизации невозмущенного движения осесимметричного летательного аппарата. Результаты смоделированы на ЭВМ и подтверждают теоретические исследования.

6. Впервые исследованы вопросы дискретной стабилизации до технической устойчивости на основе теории разностных схем, которые были поставлены В.И.Зубовым. Разработано строгое математическое обоснование применения ЭВМ для управления технологическими процессами н объектами, описываемыми линейными стационарными системами с постоянно действующими возмущениями, линейными нестационарными системами, приводимыми к каноническому виду, нелинейными системами, удовлетворяющими условию Липшица.

7. Получены все оценки, характеризующие техническую устойчи-

вость: оценки на шаг дискретности, на постоянно действующие возмущения, начальные предельные отклонения. Алгоритмы стабилизации редуцированы к более простым, хорошо изученным теоретически и допускающим эффективную реализацию на современных ЭВМ алгоритмам управления спектрам матрицы замкнутой системы.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в следующих работах.

1. Тарасов А.П. Техническая устойчивость и стабилизация невозмущенных движений динамических систем // Вестн. Чуваш, ун-та, 1997. N 1. С.175-186.

2. Тарасов A.II. Об оптимальных функциях Ляпунова в задачах стабилизации //Всесоюз. конф. "Метод функций Ляпунова в современной математике": Тез. докл. Харьков, 19S6. С.54.

3. Тарасов А.П. Об одном случае численной стабилизации решения линейной системы дифференциальных уравнений // Вопр. качественной теории диф. уравнений. Чебоксары, 1982. С.106-117.

4. Тарасов А.П. Алгоритмы управления, определяющие наилучшие оценки // 11-я Всесоюз. конф. "Проблемы теоретической кибернетики": Тез. докл. Волгоград, 1990. С.43.

5. Тарасов А.П. Численная стабилизация на конечном интервале времени // Укр. конф. "Моделирование и исследование устойчивости процессов": Тез. докл. Киев, 1992. С.47-48.

6. Тарасов А.П. К дискретной стабилизации непрерывных систем // Респ. конф. "Высшая школа народному хозяйству Чувашии": Тез. докл. Чебоксары, 1992. С.19-20.

7. Тарасов А.П. Применение функций Ляпунова к оценкам технической устойчивости //Респ. научно-практ. конф. молодых ученых п специалистов ЧАССР: Тез. докл. Чебоксары, 1985. С.22-23.

8. Тарасов А.П. Выбор оптимальной функции Ляпунова в задаче стабилизации до технической устойчивости. Чебоксары, 1988. 7 с. Дед. в ВИНИТИ 23.06.86, N 4606 В 86.

9. Тарасов А.П. Дискретная стабилизация на конечном интервале времени. Чебоксары, 1986. 8 с. Деп. в ВИНИТИ 23.06.86, N 4608 В 86.

10. Тарасов А.П. Дискретная стабилизация одного класса линейных нестационарных систем. Чебоксары, 1987. И с. Ден. в ВИНИТИ 20.10.87, N 7413 В 87.

11. Тарасов А.П. Об оптимальной стабилизации до технической

устойчивости. Чебоксары, 1987. Э с. Деп. в ВИНИТИ 20.10.87, N 7411 В 87.

12. Тарасов А.П. О наилучших оценках в задаче стабилизации до технической устойчивости. Чебоксары, 1987. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 14.12.87, N 8697 В 87.

13. Тарасов А.П. Стабилизация невозмущенных движений нелинейных систем на конечном интервале времени. Чебоксары, 1990. 7 с. Деп. в ВИНИТИ 04.04.90, N 1859 В 90.

14. Тарасов А.П. Метод функций Ляпунова в задаче стабилизации до технической устойчивости // Всесоюз. школа-семинар "Моделирование и исследование устойчивости физических процессов": Тез. докл. Киев, 1990. С.58.

15. Тарасов А.П. Метод функций Ляпунова в задаче дискретной стабилизации на конечном интервале времени // 2-й науч.-техн. семинар "Моделирование и исследование устойчивости физических процессов" : Тез. докл. Киев, 1991. С.80.

16. Семенов В.В., Тарасов А.П. Техническая устойчивость и стабилизация невозмущенных движений динамических систем // 6-я Четаев. конф. "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением": Тез. докл. Казань, 1992. С.51-52.

17. Семенов В.В., Тарасов А.П. Оптимальная стабилизация углового положения посадочного аппарата "Сервейер" на конечном участке торможения // Укр. конф. "Моделирование и исследование устойчивости процессов": Тез. докл. Киев, 1993.

18. Тарасов А.П. Оптимальная стабилизация до технической устойчивости с интегральным критерием качества // Укр. конф. "Моделирование и исследование устойчивости систем": Тез. докл. Киев, 1995. С.105.

19. Тарасов А.П. Об одном методе последовательных приближений стабилизации до технической устойчивости нелинейных систем управления // Итоговая научн.-техн. конф.: Тез. докл. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 1997.

Введение.

Глава 1. Непрерывные модели динамических систем и стабилизация их движений до технической устойчивости с помощью функций Ляпунова.

1.1. Постановки задач технической устойчивости и стабилизации.

1.2. Общие критерии технической устойчивости и стабилизации.

1.3. Конструктивные условия технической устойчивости и алгоритмы стабилизации для линейных стационарных систем при ограниченном управлении.

Глава 2. Оптимальный синтез непрерывных моделей систем как задача обеспечения системе наилучших качеств технической устойчивости

2.1. Алгоритмы оптимальной стабилизации для линейных систем при постоянно действующих возмущениях.

2.2. Об одном численном методе решения задачи оптимального синтеза.:.

2.3. Алгоритмы оптимальной стабилизации для специального класса нелинейных систем управления.

2.4. О стабилизации движений нестационарных систем управления.

2.5. Стабилизация непрерывных систем управления, оптимальных относительно интегральных критериев качества.

2.6. Оптимальная стабилизация до технической устойчивости углового положения посадочного аппарата "Сервейер" на конечном участке торможения.

Глава 3. Конечно-разностные методы дискретной стабилизации движений систем до технической устойчивости.

3.1. Постановка задачи дискретной стабилизации.

3.2. Конечно-разностный метод дискретной стабилизации для линейных стационарных систем.

3.3. Дискретная стабилизация движений одного класса линейных нестационарных систем.

3.4. Алгоритмы дискретной стабилизации для нелинейных автономных систем.

Необходимость исследования устойчивости движения или некоторого состояния возникает на всех этапах проектирования или исследования физических систем. Впервые строгое математическое определение устойчивости и точные методы решения вопроса устойчивости для достаточно широкого класса систем были даны А.М.Ляпуновым в его знаменитой работе "Общая задача об устойчивости движения" [79]. Эта работа явилась логическим завершением всего предшествующего этапа развития теории устойчивости. С ее появлением теория устойчивости достигла уровня самостоятельной дисциплины, заняв достойное место среди других математических дисциплин. А.М.Ляпуновым были предложены два метода анализа устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Первый метод состоит в построении самих решений дифференциальных уравнений возмущенных движений в виде некоторых рядов. На основании последующего качественного исследования этих решений делаются выводы об устойчивости или неустойчивости. Второй метод заключается в нахождении некоторой вспомогательной функции, по свойствам которой определяется устойчивость или неустойчивость решения. В настоящее время эти функции носят название функций Ляпунова, а метод называется методом функций Ляпунова, вторым методом Ляпунова или прямым методом Ляпунова.

Работа Ляпунова явилась отправным пунктом для исследований такого рода. Его идеи развиваются и углубляются по многим направлениям. Установлены новые теоремы, расширяющие эти методы, решены многие вопросы существования функций Ляпунова и их эффективного построения, исследованы вопросы устойчивости неустановившихся и периодических движений, устойчивости По первому приближению, в критических случаях, при постоянно действующих возмущениях и многие другие. Идеи Ляпунова распространяются на системы, описываемые аппаратом, отличным от обыкновенных дифференциальных уравнений. Обстоятельный анализ работ, основанных на первом методе, приводится в обзоре Н.П.Еругина [47].

Большой вклад в развитие второго метода внесли Г.И.Четаев, К.С.Персидский, Н.Н.Красовский, И.Г.Малкин, Ж.Л.Массера, Р.Беллман и другие (см. обзор В.В.Румянцева Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения. Механика в СССР за 50 лет. Т.1. М.: Наука, 1968. С. 7-66 ). Существенные результаты связаны с именами В.В.Румянцева, Е.А.Барбашина, В.И.Зубова, В.М.Матросова, Ла-Салля, К. Г. Валеева, А.А.Мартынюка и других [17, 18,25, 48-50,71, 101, 102].

Развитием теории устойчивости применительно к системам автоматического управления и регулирования является теория стабилизации движения, которая исследует такие режимы управления системой, при которых некоторое программное движение ( невозмущенное движение ) системы будет устойчивым в том или ином смысле. Во многих случаях наряду с требованием устойчивости невозмущенного движения предъявляются дополнительные требования как к характеру переходных процессов, так и к управляющим воздействиям. Часто эти требования удается выразить в виде минимума некоторого интегрального функционала. Задачи стабилизации с указанными дополнительными требованиями получили название задач оптимальной стабилизации, или аналитического конструирования регуляторов. Общее представление о методах решения, различных ее модификаций и обобщений можно составить по работам А.М. Лё-това [76,77] и его последователей [9,63,65, 66,102].

Одним из принципиально новых понятий устойчивости движения является так называемая техническая устойчивость, потребность в которой вызвана инженерной практикой в области динамики машин, конструирования систем автоматического регулирования, радиотехники, ракетостроения и т.д. Дело в том, что, в отличие от классических постановок А.М.Ляпунова задач устойчивости движения в реальных системах их функционирование происходит на конечном интервале времени, начальные и постоянно действующие возмущения не должны превышать некоторой определенной величины. Задачи с такого рода особенностями получили названия задач технической, практической устойчивости, или устойчивости на конечном интервале времени. "Для прикладных задач имеет значение не только факт существования числа Л(А) > 0 по заданному А> 0, удовлетворяющих определению устойчивости по Ляпунову, но и оценка этих чисел и проверка пригодности оценок в конкретных условиях задачи" [140]. Поэтому основными следует считать те методы решения задач устойчивости, которые дают возможность получения указанных оценок.

История создания теории технической устойчивости и решения связанных с ней проблем имеют очень много аналогий с историей создания теории устойчивости в смысле Ляпунова. Вслед за Н.Г.Четаевым [140] в развитие теории технической устойчивости большой вклад внесли Н.Д.Моисеев, К.А.Карачаров, Н.Ф.Кириченко, А.А.Мартынюк, В.И.Зубов, К.А.Абгарян и другие, [1-5, 48, 55, 56, 59-61, 81-85, 87-89], а в приложение к задачам стабилизации до технической устойчивости Н.Ф.Кириченко, Ф.Д.Фурасов, С.Я.Степанов, Вань Дань-чжи [27, 28, 57, 58, 136]. Несмотря на значительность результатов, достигнутых к настоящему времени, круг проблем в этой области далеко не исчерпан. Как отмечает К.А. Абгарян [1], в задачах технической устойчивости выбор вида областей допустимых состряний имеет существенное значение, в отличие от постановки задачи устойчивости в смысле Ляпунова, когда вопрос устойчивости или неустойчивости не зависит от выбора вида областей допустимых состояний. Система, обладающая технической устойчивостью, например, относительно области в форме п - мерного параллелепипеда может оказаться неустойчивой относительно области предельных отклонений в форме шара и наоборот. Поэтому в вопросах технической устойчивости, стабилизации и оптимальной стабилизации актуальна разработка различных критериев и условий, решающих один и тот же вопрос относительно разных форм областей допустимых состояний. Актуальность перечисленных проблем еще более возрастает в связи с необходимостью получения конструктивных результатов. Под конструктивностью понимается совокупность условий, проверку которых можно выполнить с помощью конечного числа операций.

Современные ЭВМ используются как эффективное средство для математического моделирования сложных задач науки и техники, так и для управления различными объектами, технологическими процессами. Реализация математических моделей на ЭВМ осуществляется с помощью методов вычислительной математики, которая должна непрерывно совершенствоваться вместе с прогрессом в области ЭВМ. Использование ЭВМ для управления предполагает обслуживание задач с некоторым тактом дискретности по времени. Поскольку производительность ЭВМ имеет определенные ограничения, в практическом отношении важна задачаопределения максимально допустимого такта, при котором система управления достаточно хорошо выполняет цель функционирования. В частности, при решении задач стабилизации это будет максимальный такт, при котором система устойчива.

В настоящее время существуют различные подходы к исследованию устойчивости и синтезу непрерывно-дискретных систем : в работах [14-16] данная проблема сводится к исследованию эквивалентной в смысле устойчивости системы с запаздыванием по времени и последующего применения I функционалов Ляпунова. В большом числе работ [6, 10,23,24,29,43,67,68] выражается идея замены' непрерывно-дискретной системы системой разностных уравнений и последующего применения хорошо развитого аппарата анализа и синтеза дискретных систем [44,45,52,69,95,137]. Авторы [106,107] приводят алгоритмы анализа непрерывно-дискретных систем на основе спектральной формы описания систем управления. Частотным методам анализа и анализу с помощью различных преобразований посвящены исследования [19,91,109,113,130]. Все эти методы исследования устойчивости и дискретной стабилизации, как правило, основаны на возможности точного перехода от исходной системы к системе конечно-разностных уравнений, либо на различных аппроксимациях непрерывной части, либо являются приближенными, либо определяют оценки устойчивости лишь для дискретных моментов времени, что, как известно, не исчерпывает проблемы устойчивости и стабилизации непрерывно-дискретных систем, ибо возможность точного перехода предполагает в свою очередь определение решения непрерывной части, аппроксимации нуждаются в строгом обосновании, возникают затруднения при оценке точности приближенных методов. Поэтому, как отметил В.И.Зубов [50], представляет большой интерес решение задачи дискретной стабилизации в произвольные моменты времени с точки зрения конечно-разностных уравнений при строгом обосновании аппроксимации непрерывной части. Решение этой проблемы актуально и в области дискретной стабилизации до технической устойчивости, поскольку ранее такие задачи не рассматривались.

Целью данной работы является исследование технической устойчивости математических моделей динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями; разработка конструктивных алгоритмов стабилизации, оптимальной стабилизации до технической устойчивости, допускающих реализацию на ЭВМ; разработка конструктивных алгоритмов дискретной стабилизации, на основе которых можно использовать ЭВМ для управления различными объектами и технологическими процессами.

В соответствии с поставленной целью в работе решаются следующие задачи:

I. Получение общих критериев и условии технической устойчивости, стабилизации, оптимальной стабилизации для математических моделей динамических систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями.

2. Разработка конструктивных условий технической устойчивости и конструктивных алгоритмов стабилизации, учитывающих ограниченность управляющих воздействий, для линейных и нелинейных систем.

3. Исследование неклассической задачи оптимальной стабилизации до технической устойчивости, позволяющее максимизировать область начальных возмущений.Разработка численных методов ее решения и аналитических методов, которые в вычислительном плане сводятся к последовательности задач нелинейного программирования.

4. Применение разработанных алгоритмов оптимальной стабилизации для конкретных систем управления и их моделирование на ЭВМ.

5. Строгое математическое обоснование применения ЭВМ для управления различными объектами и технологическими процессами, описываемыми линейными и нелинейными математическими моделями.

В диссертации для случая, когда допустимые отклонения заданы в форме замкнутых п - мерных шаров, на основе метода функций Ляпунова получены общие критерии технической устойчивости и стабилизации, близкие к результатам Н.Ф.Кириченко [57], полученным для допустимых отклонений в форме выпуклых открытых многогранников. В отличие от известных работ, при разработке конструктивных условий технической устойчивости и стабилизации, производная от функции Ляпунова не фиксируется, а меняется в области отрицательной определенности. Это позволяет сформулировать ряд оптимизационных задач максимизации области начальных возмущений, имеющих важный прикладной смысл, и разработать методы их решения. Разработанные алгоритмы оптимальной стабилизации применены для оптимальной стабилизации до технической устойчивости углового положения посадочного аппарата "Сервейер" на конечном участке торможения, а также для оптимальной стабилизации невозмущенного движения осесимметричного летательного аппарата. Результаты смоделированы на ЭВМ и полностью подтверждают теоретические исследования. Результатом развития предыдущих условий технической устойчивости применительно к задаче оптимальной стабилизации с интегральным критерием качества является теорема об оптимальной стабилизации до технической устойчивости, полученная с учетом дополнительных ограничений на множество допустимых управлений.

Впервые исследованы вопросы дискретной стабилизации до технической устойчивости с точки зрения уравнений в конечных разностях, указаны все оценки, характеризующие техническую устойчивость. Алгоритмы стабилизации редуцированы к более простым, хорошо изученным теоретически и допускающим эффективную реализацию на современных ЭВМ алгоритмам управления спектром матрицы замкнутой системы.

Теоретическая и практическая ценность работы в том, что полученные конструктивные алгоритмы стабилизации и оптимальной стабилизации, максимизирующие область начальных возмущений, а также алгоритмы оптимальной стабилизации с интегральным критерием качества могут быть использованы в инженерной практике при проектировании и конструировании динамических систем. Оценки такта дискретности, областей допустимых возмущений и алгоритмы дискретной стабилизации могут использоваться при управлении технологическими процессами и различными объектами с помощью ЭВМ.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. .

В первой главе исследованы задачи технической устойчивости и стабилизации для непрерывных математических моделей динамических систем, допустимые отклонения возмущенных движений которых задаются в виде замкнутых и-мерных шаров. Методом функций Ляпунова получены общие критерии технической устойчивости и стабилизации, разработаны конструктивные алгоритмы стабилизации до технической устойчивости для частного вида управляемой системы. В §1.1 приводятся постановки основных задач, рассматриваемых в работе, и излагается вспомогательный материал, необходимый для более ясного изложения последующего материала. В § 1.2 приводятся общие критерии технической устойчивости и стабилизации, полученные на основе метода функций Ляпунова для случая, когда допустимые отклонения заданы в форме замкнутых «-мерных шаров. Эти критерии в последующем будут служить основой для получения соответствующих конструктивных результатов. В §1.3 приводятся конструктивные условия технической устойчивости и конструктивный алгоритм стабилизации для линейных стационарных систем при наличии постоянно действующих возмущений. Под конструктивностью алгоритма понимается последовательность конечного числа операций, выполнение которых определяет данный алгоритм. Причем, в отличие от существующих работ, результаты получены с учетом дополнительных ограничений на множество допустимых управлений, производная от функции Ляпунова не фиксируется, а меняется в области отрицательной определенности. Это позволяет впоследствии сформулировать и решить ряд оптимизационных задач, имеющих важный прикладной смысл.

Вторая глава посвящена рассмотрению задач оптимальной стабилизации (оптимального синтеза) до технической устойчивости, максимизирующих область начальных возмущений 5"о. Для линейных и нелинейных систем управления получены функционалы, характеризующие качество технической устойчивости, разработаны численные алгоритмы и указаны аналитические ме+оды минимизации этих функционалов, которые в вычислительном плане сводятся к последовательности задач нелинейного программирования. Для разнообразных примеров систем управления рассмотрены применения разработанных алгоритмов оптимальной стабилизации и моделированием на ЭВМ показано подтверждение результатов исследований.

В §2.1 приводится постановка задачи оптимального синтеза. Для линейной системы с постоянно действующими возмущениями определяется функционал, характеризующий качество технической устойчивости, приводится общая процедура численного решения задачи оптимальной стабилизации сведением её к задаче нелинейного программирования, указываются возможности аналитического решения. В §2.2 предлагается градиентный метод численного исследования задачи оптимальной стабилизации, свободный от некоторых недостатков предыдущего метода, которые обусловлены большим количеством вычислений при определении функций Ляпунова для систем высокого порядка, при вычислении собственных чисел и собственных векторов матрицы функции Ляпунова. Приводится пример системы автоматического управления, для которой численным методом решена задача оптимальной стабилизации. Результаты смоделированы на ЭВМ и полностью подтверждают проведенные исследования. В §2.3 для нелинейных систем управления со стационарной линейной частью приводятся конструктивные алгоритмы оптимальной стабилизации по линейному приближению. Дополнительно линейному случаю разработан метод последовательных приближений, улучшающий оценки технической устойчивости, обусловленные наличием нелинейности. Причем рассматриваемый класс нелинейных систем является значительным расширением класса нелинейных систем, исследованных некоторыми другими авторами при получении соответствующих конструктивных условий стабилизации. Предыдущие подходы получения конструктивных условий стабилизации, оптимальной стабилизации в классе функций Ляпунова квадратичного вида в §2.4 распространены на линейные нестационарные системы, допускающие существование функций Ляпунова в виде нестационарной квадратичной формы. Исследованию задачи оптимальной стабилизации до технической устойчивости в. ее классической постановке, когда минимизируемый функционал задается в форме интеграла, посвящен §2.5. Впервые результаты подобного рода для случая устойчивости по Ляпунову приведены А.Н. Красовским в работе [66], здесь же обсуждены возможности различных обобщений полученной им основной теоремы об оптимальной стабилизации. Теорема об оптимальной стабилизации, изложенная в этом параграфе, является обобщением указанной теоремы Н.Н.Красовского применительно к технической устойчивости. В §2.6 алгоритмы оптимальной стабилизации, изложенные в предыдущих параграфах, применены для оптимальной стабилизации до технической устойчивости углового положения посадочного аппарата "Сервейер" на конечном участке торможения. Численными расчетами на ЭВМ подтверждены гарантированные оценки на решения, полученные при коэффициентах управления из области оптимальной стабилизации (наилучших оценок) и показано, что при этих коэффициентах управления действительно получаются наилучшие оценки на решения.

В третьей главе математически строго обосновано применение ЭВМ для управления различными объектами и технологическими процессами. Впервые рассмотрены задачи дискретной стабилизации до технической устойчивости и приведены методы их решения на основе теории разностных схем. Для систем управления, изученных во второй главе, разра-г ботаны конструктивные, алгоритмы дискретной стабилизации. При заранее заданном минимальном допустимом такте дискретности кт, алгоритмы дискретной стабилизации сведены к хорошо изученным теоретически и допускающим эффективную реализацию на современных ЭВМ алгоритмам управления спектром матрицы замкнутой системы. Приведен способ, улучшающий оценки, характеризующие техническую устойчивость. В §3.1 % приводятся постановка задачи дискретной стабилизации до технической устойчивости и вспомогательный материал из теории разностных схем с модификациями, необходимыми для дальнейшего изложения материала. В §3.2 получены достаточные условия дискретной стабилизации до технической устойчивости для вполне управляемых линейных стационарных систем при наличии постоянно действующих возмущений. Определены все оценки, характеризующие техническую устойчивость в рассматриваемом г случае: оценки на шаг дискретности, на постоянно действующие возмущения, начальные и последующие предельные отклонения. Алгоритмы стабилизации редуцируется к управлению спектром матрицы замкнутой системы. Разработке алгоритмов стабилизации для линейных нестационарных систем, приводимых к каноническому виду, когда эталонная система выбирается в классе устойчивых стационарных систем с ограничением расположения собственных чисел в некотором замкнутом круге посвящен §3.3. В отличие от стационарного случая матрица коэффициентов усиления в законах стабилизации в каждый дискретный момент времени ^ пересчитывается заново. При фиксированной эталонной системе указывается метод, улучшающий оценки технической устойчивости. Результаты исследования задачи дискретной стабилизации с использованием конечно-разностного подхода для нелинейных систем управления с вполне управляемой линейной частью изложен в §3.4. Ограничения на выбор шага дискретности для нелинейных систем более жесткие, чем для линейных: наличие нелинейности существенно влияет на уменьшение радиуса круга расположения собственных значений матрицы замкнутой системы.

В приложении приводится программа численного решения задачи оптимальной стабилизации для осесимметричного летательного аппарата.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации для математических моделей динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, методом функций Ляпунова и теории разностных схем разработаны конструктивные алгоритмы стабилизации, оптимальной стабилизации до технической устойчивости, в вычислительном плане сводящиеся к задачам нелинейного программирования, и конструктивные алгоритмы дискретной стабилизации, на основе которых можно использовать ЭВМ для управления различными объектами и технологическими процессами.

Основные научные и практические результаты диссертации заключаются в следующем:

1. Методом функций Ляпунова проведены исследования нелинейных математических моделей динамических систем. Доказаны общие критерии технической устойчивости и стабилизации, которые уточняют соответствующие критерии Н.Ф.Кириченко относительно допустимых отклонений возмущенных движений в форме замкнутых п -мерных шаров.

2. Разработаны конструктивные достаточные условия технической устойчивости и конструктивные алгоритмы стабилизации для линейных стационарных систем, подверженных постоянно действующим возмущениям, линейных нестационарных систем , приводимых к каноническому виду , достаточно широкого класса нелинейных систем.

3. Для вышеуказанных математических моделей поставлены задачи оптимальной стабилизации до технической устойчивости, позволяющие максимизировать область начальных возмущений. Разработаны численные алгоритмы и указаны аналитические методы решения этих задач, которые в вычислительном плане сводятся к последовательности задач нелинейного программирования. Предложен метод последовательных приближений, улучшающий оценки технической устойчивости, обусловленные наличием нелинейности.

4. Доказана теорема об оптимальной стабилизации до технической устойчивости с интегральным критерием качества , которая расширяет возможность применения классической теоремы об оптимальной стабилизации H.H. Красовского [66] в области задач технической устойчивости.

5. Разработанные алгоритмы оптимальной стабилизации применены для оптимальной стабилизации до технической устойчивости углового положения посадочного аппарата "Сервейер" на конечном участке торможения, а также для оптимальной стабилизации невозмущенного движения осесимметричного летательного аппарата. Результаты смоделированы на ЭВМ и полностью подтверждают теоретические исследования.

6. Впервые исследованы вопросы дискретной стабилизации до технической устойчивости на основе теории разностных схем, которые были поставлены В.И. Зубовым [50]. Разработано строгое математическое обоснование применения ЭВМ для управления технологическими процессами и объектами, описываемыми линейными стационарными системами с постоянно действующими возмущениями, линейными нестационарными системами, приводимыми к каноническому виду, нелинейными системами, удовлетворяющими условию Липшица.

7. Получены все оценки, характеризующие техническую устойчивость: оценки на шаг дискретности, на величины постоянно действующих возмущений, начальных предельных отклонений. Алгоритмы стабилизации редуцированы к более простым, хорошо изученным теоретически и допускающим эффективную реализацию на современных ЭВМ алгоритмам управления спектром матрицы замкнутой системы.

8. Практическая ценность работы состоит в том , что полученные конструктивные алгоритмы стабилизации и оптимальной стабилизации, максимизирующие область начальных возмущений , а также алгоритмы оптимальной стабилизации с интегральным критерием качества могут быть использованы в инженерной практике при проектировании и конструировании динамических систем . Оценки такта дискретности, областей допустимых возмущений и алгоритмы дискретной стабилизации могут быть использованы при управлении технологическими процессами и различными объектами с помощью ЭВМ . I

1. Абгарян К.А. Устойчивость движения на конечном интервале // Итоги науки и техники. Сер. общ. механики. М.: ВИНИТИ, 1976. Т.З. С.43-126.

2. Абгарян К.А. Об устойчивости движения на конечном промежутке времени // Прикл. матем. и механика. 1968. Т.32, №6. С.977-986.

3. Абгарян К.А. Одна постановка задачи об устойчивости процессов на заданном промежутке времени // Докл. АН СССР. 1973. Т.212, №6.С.1313-1316.

4. Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем. М.:Наука,1973. 432 с.

5. Абгарян К.А. К теории устойчивости процессов на заданном промежутке времени // Прикл. матем. и механика. 1975. Т. 39, № 5. С. 827-334.

6. Аверина А.Д., Модяев А.Д. Исследование нелинейных систем управления на основе применения дискретных моделей // Дискретные нелинейные системы / Под ред. Ю.И. Топчеева. М. Машиностроение, 1982. С. 183-207.

7. Алексеев В.М. Об одной оценке возмущений решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем. и механики. 1961. №2. С. 28-36.

8. Алексеев В.М., Тихомиров В.М. Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.430 с.

9. Альбрехт Э.Г., Шелементьев Г.С. Лекции по теории стабилизации. Свердловск: Изд-во Уральского ун-та. 1972. 273 с.

10. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления / Под ред. A.A. Воронова и И.А. Орурка. М.: Наука, 1984. 344 с.

11. Анциферов Е.Г. Некоторые оптимизационные задачи, связанные с построением устойчивых динамических систем вторым методом Ляпунова

12. Методы оптимизации и их приложения. Новосибирск: Наука, 1982. С. 3-22.

13. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.В. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989. 447 с.

14. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. 424 с.

15. Барабанов А.Т., Агранович Г.А., Кузнецов В.М. Об оптимальной фильтрации в непрерывно дискретных системах // Приборостроение. Киев: Техника, 1975. Вып. 18.

16. Барабанов А.Т., Старожилов Е.Ф. Исследование устойчивости нелинейных гидродинамических объектов с цифровыми регуляторами // Техн. средства изучения и освоения океана: Тез. докл. Всесоюз. конф. 1981 г. Севастополь, 1981. С. 107-108.

17. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.:Наука, 1967. 233 с.

18. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

19. Барковский В.В., Захаров В.Н., Шаталов A.C. Методы синтеза систем управления, основанные на применении ЦВМ. М.: Машиностроение, 1969. 376 с.

20. Болтянский B.F. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. 408 с.

21. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: Иностр. лит., 1954. 216 с.

22. Бертсекас Д. Условная оптимизация и метод множителей Лагранжа. М.: Радио и связь, 1987. 400 с.

23. Белова Д.А., Кузин P.E. Применение ЭВМ для анализа и синтеза автоматических систем управления. М.: Энергия, 1979. 264 с.

24. Бесекерский В.А. Цифровые автоматические системы. М.: Наука, 1976. 576 с.

25. Валеев К.Г., Финин Г.С. Построение функций Ляпунова. Киев: Науко-ва думка, 1981. 412 с.

26. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.

27. Вань Дань-чжи, Степанов С.Л. Численное исследование на конечном интервале времени // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1974. 14, №2. С. 350-364.

28. Вань Дань-чжи, Степанов С.Л. Стабилизация управляемых движений на конечном интервале времени // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1975. 15, №4. С. 908-922.

29. Волгин Л.Н. Оптимальное дискретное управление динамическими системами. М.: Наука, 1986. 240 с.

30. Воронов A.A. Устойчивость управляемость наблюдаемость. М.: Наука, 1979. 336 с.

31. Габасов Ф., Кириллова Ф.Л. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. 508 с.

32. Габасов Ф., Кириллова Ф.Л. Методы оптимизации. Минск: Изд-во Белорус, ун-та, 1975. ,280 с.

33. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Физматгиз, 1953. 492 с.

34. Галиуллин A.C., Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г., Фурасов Ф.Д. Построение систем программного движения. М.: Наука, 1971. 352 с.

35. Гаращенко Ф.Г. Исследование практической устойчивости систем разностных уравнений с помощью функций Ляпунова //Моделир. и оптими-зац. сл. систем. 1983. Вып.2. С. 32-37.

36. Гаращенко Ф.Г. О численном подходе решения задач устойчивости на конечном интервале времени // Докл. АН УССР. Сер. А. 1981. №11. С. 78-81.

37. Гаращенко Ф.Г., Кириченко Н.Ф. Исследование задач по практической устойчивости и стабилизации движения // Изв. АН СССР. Механика тв. тела. 1975. №6. С. 15-24.

38. Гаращенко Ф.Г., Страшнов И.В. Численное построение экстремальных множеств устойчивости // Вычисл. и прикл. математика. .1984. Вып.52. С.118-124.

39. Годунов O.K., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. 440 с.

40. Горбунов А.Д. Об одном методе получения оценок решения системы обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнений // Вестн. Моск. ун-та. Сер. физ.- мат. и естеств. наук. 1950. № 10. С. 19-26.

41. Горбунов А.Д. Об оценках координат решений систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений // Вест. Моск. ун-та. Сер. физ.-мат. и естеств. наук. 1954. №5. С. 27-31.

42. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

43. Дидук Г.А., Коновалов A.C., Орурк И.А., Осипов A.A. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления. М.: Наука, 1984. 344 с.

44. Дискретные нелинейные системы / А.Д. Аверина, А.Н. Герасимов, О.П. Гебродин и др.; Под ред. Ю.И. Топчеева. М.: Машиностроение, 1982. 312 с.

45. Джури Е.И., Цыпкин Я.З. Теория дискретных автоматических систем (обзор)//Авт. и телемеханика. 1970. №6. С. 57-82.

46. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. 432 с.

47. Еругин Н.П. Первый метод Ляпунова // Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1968. С.67-86.

48. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973. 272 с.

49. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. М.: Машиностроение, 1974. 336 с.

50. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 446 с.

51. Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем автоматического управления. М.: Наука, 1981. 336 с.

52. Иванов В.А., Ющенко A.C. Теория дискретных систем автоматического управления. М.: Наука, 1983. 336 с.

53. Каменков Г.В. Об устойчивости движения на конечном интервале времени // Прикл. матем. и механика. 1953. 17, № 5. С. 529-540.

54. Каменков Г.В., Лебедев A.A. Замечания к статье об устойчивости на. конечном интервале времени // Прикл. матем. и механика. 1954. 18, №4. С. 512.

55. Карачаров К.А. Некоторые критерии устойчивости движения при наличии постоянно действующих возмущений // Дифференц. уравнения. 1970. 6, №11. С. 1963-1969.

56. Карачаров К.А., Пилютик А.Г. Введение в техническую теорию устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1962. 244 с.

57. Кириченко Н.Ф. Некоторые задачи устойчивости и управляемости движения. Киев: Изд-во Киев, ун-та, 1972. 212 с.

58. Кириченко Н.Ф. Введение в теорию стабилизации движения. Киев: Вища школа, 1978. 184 с.ч.

59. Кириченко Н.Ф. Об устойчивости движения на заданном множестве в конечном при постоянно действующих возмущениях //Укр. матем. журнал. 1969. 21, вып. 1. С. 98-100.

60. Кириченко Н.Ф. Устойчивость движения при постоянно действующих возмущениях в конечном // Дифференц. уравнения. 1968. т.4, вып. 11. С. 2010-2014.

61. Кириченко Н.Ф., Цыганкова Л.А. Оптимизация практической устойчивости линейных систем. В кн. :Матем. обеспечение систем управления. Киев, 1978. С. 12-20. АН УССР. Ин-т кибернетики. №78-17.

62. Комаров Ю.А., Хусаинов Д.Я. Некоторые замечания об экстремальной функции Ляпунова для линейных систем // Укр. матем. журнал. 1983.1. Т.35, № 6. С. 750-753.

63. Красовский A.A. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973. 558 с.

64. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 211 с.

65. Красовский H.H. Теория оптимальных управляемых систем // Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1968. Т. 1. С. 179-244.

66. Красовский H.H. Проблемы стабилизации управляемых движений.

67. Дополнение к 80. С. 475-514.

68. Крутько П.Д. Построение дискретных управлений в случае неполной степени наблюдаемости // Техн. кибернетика. 1976. № 3. С. 168-171.

69. Крутько П.Д. Вариационные методы синтеза систем с цифровыми регуляторами. М.: Сов. радио, 1967. 440 с.

70. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.: Наука, 1977. 400 с.

71. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971. 432 с.

72. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964. 168 с.

73. Лебедев A.A. К задаче об устойчивости на конечном интервале времени //Прикл. матем. и механика. 1954. Т. 18, № 1. С.75-94.

74. Лебедев А.Л. Об устойчивости движения на заданном интервале времени // Прикл. матем. и механика. Т . 18, №2. С. 139-148.

75. Лебедев A.A. Об устойчивости неустановившегося движения на конечном интервале времени//Тр. / Моск. авиац. ин-т. 1955. Вып. 50. С.7-25,

76. Лебедев A.A. Об устойчивости линейных динайических систем с переменными коэффициентами // Тр. / Моск. авиац. ин-т. 1960. Вып. 121. С. 44-51.

77. Летов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: Физматгиз, 1962. 483 с.

78. Летов A.M. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969. 359 с.

79. Ли Э.Б., Маркус JI. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 с.

80. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостех-издат, 1950. 472 с.

81. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 522 с.

82. Мартынюк A.A. К устойчивости неустановившегося движения на заданном интервале времени // Прикл. механика. 1967. Т. 3, № 5. С. 121-125.

83. Мартынюк A.A. О технической устойчивости сложных систем. В сб.: Кибернетика и вычислительная техника. Сложные системы управления. Киев: Наукова думка, 1972. Вып.15. С. 58-64.

84. Мартынюк A.A. О конечной устойчивости движения на бесконечном интервале времени // Матем. физика. Респ. межвед. сборник. 1973. Вып. 13. С.55-59.

85. Мартынюк A.A. Техническая устойчивость в динамике. Киев: Техника, 1973. 188с.

86. Мартынюк A.A., Лакшмикантам В., Лила С. Устойчивость движения: Метод интегральных неравенств. Киев: Наукова думка, 1939. 272 с.

87. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1976. 320 с.

88. Моисеев Н.Д. О некоторых методах теории технической устойчивости //Тр. / Воен.-возд. академия им. Жуковского. 1945. Вып. 135.

89. Моисеев Н.Д. Обзор развития неляпуновских теорий устойчивости движения // Зап. семинара по теории устойчивости движения. Воен.-возд. академия им. Жуковского. 1946. №1. С. 75-93.

90. Моисеев H.H., Иванилов К.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М.: Наука, 1978. 352 с.

91. Наумов Б.Н. Теория нелинейных автоматических систем. Частотные методы. М.: Наука, 1972. 544 с.

92. Оболенский А.Ю. Об экстремальных функциях Ляпунова для линейных систем с постоянными коэффициентами// Матем. физика. 1983. Вып. 34. С. 6-30.

93. Персидский К.П. Об устойчивости решений дифференциальных уравнений // Изв. АН Каз. ССР. 1950. Вып.4, № 97. С. 3-18.

94. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. 322 с.

95. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука, 1973. 256 с.

96. Пустовойтов H.A. К построению функций Ляпунова методом малого параметра // Тр. семинара по математической физике и нелинейным колебаниям. Киев. 1968. Т. 1,вып.2. С. 186-189.

97. Пустовойтов H.A. К построению функций Ляпунова методом возмущений // Асимптот, методы в теории нелинейных колебаний. Киев: Наукова думка, 1979. С. 171-178.

98. Пустовойтов H.A. Приближенные методы построения функций Ляпунова. Киев. 1974. 28 е./ Ин-т матем. АН УССР. № 74-7. Препринт.

99. Подчукаев В.А. Быстрые алгоритмы анализа и синтеза систем автоматического регулирования на основе полиномиальных функций и их параметров. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 1986. 111 с.

100. Рудаков В.П. Оценка решений и устойчивость на конечном интервале псевдолинейных систем // Диф. уравнения. 1969. Т.5, № 8. С. 1385-1389.

101. Румянцев В.В. Метод фикций Ляпунова в теории устойчивости движения // Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1968. С. 7-66.

102. Румянцев В.В. Об оптимальной стабилизации управляемых систем // Прикл. матем. и механика. Т. 34, вып. 3. 1970. С. 440-456.

103. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. 416 с.

104. Солодовников В.В., Семенов В.В. Спектральная теория нестационарных систем управления. М.: Наука, 1974. 336 с.

105. Семенов В.В., Рыбин В.В. Спектральный анализ линейных непрерывно дискретных и дискретных систем с переменными параметрами на конечных интервалах времени //Адаптивные системы автоматического управления. Киев: Техника, 1978. Вып. 6. С. 106-116.

106. Семенов В.В., Репин В.М. Анализ нелинейных непрерывно дискретных систем управления с переменными параметрами спектральным методом // Системы авт. управления:Труды МВТУ. Вып.4. С. 21-25.

107. Семенов В.В., Тарасов А.П. Техническая устойчивость и стабилизация невозмущенных движений динамических систем // 6-я Четаев. конф. "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" : Тез. докл.- Казань,1992. С. 51-52.

108. Семенов В.В., Тарасов А.П. Оптимальная стабилизация углового положения посадочного аппарата "Сервейер" на конечном участке торможения // Укр. конф. "Моделирование и исследование устойчивости процессов" : Тез. докл. Киев , 1993.

109. Сивцов В.И. Анализ непрерывно дискретных систем на основе двумерных интегральных преобразований // Системы авт. управления : Тр. МВТУ. 1979. Вып.7. С. 108-116.

110. Смирнов Е.Я. Стабилизация линейных систем с неполной обратной связью при наличии дискретной информации о состоянии системы //Управление, надежность и навигация. Саранск. 1980. С. 5-9.

111. Смирнов Е.Я. Некоторые задачи математической теории управления. JL: Изд-во Ленингр. ун-та. 1981. 200 с.

112. Степаньянц Г.А., Шалутков Б.М. О существовании оптимальных функций Ляпунова для динамических систем //Докл. АН СССР. 1973. т.213, № 5. С. 1040-1042.

113. Сю Д., Мейер А. Современная теория автоматического управления и ее применение. М.: Машиностроение, 1972. 552 с.

114. Тарасов А.П. Об одном случае численной стабилизации решения линейной системы дифференциальных уравнений // Вопр. качественной теории диф. уравнений. Чебоксары, 1982. С. 106-117.

115. Тарасов А.П. Применение Функций Ляпунова к оценкам технической устойчивости // Респ. научно-практ. конф. молодых ученых и специалистов ЧАССР: Тез. докл. Чебоксары, 1985. С. 22-23.

116. Тарасов А.П. Выбор оптимальной функции Ляпунова в задаче стабилизации до технической устойчивости. Чебоксары, 1986. 7 с. Деп. в ВИНИТИ 23.06.86, №. 4606 В 86.

117. Тарасов А.П. Дискретная стабилизация на конечном интервале времени. Чебоксары, 1986, 8 с. Деп. в ВИНИТИ 23.06.86, № 4608 В 86.

118. Тарасов А.П. Об оптимальных функциях Ляпунова в задачах стабилизации //Всесоюз. конф. " Метод функций Ляпунова в современной математике": Тез. докл. Харьков, 1986. С. 54.

119. Тарасов А.П. Дискретная стабилизация одного класса линейных нестационарных систем. Чебоксары, 1987. 11 с. Деп. в ВИНИТИ 20.10.87, №7413 В 87.

120. Тарасов А.П. Об оптимальной стабилизации до технической устойчивости. Чебоксары, 1987. 9 с. Деп. в ВИНИТИ 20.10.87, № 7411 В 87.

121. Тарасов А.П. О наилучших оценках в задаче стабилизации до технической устойчивости. Чебоксары, 1987. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 14.12.87, № 8697 В 87.

122. Тарасов А.П. Стабилизация невозмущенных движений нелинейных систем на конечном интервале времени. Чебоксары, 1990. 7 с. Деп. в ВИНИТИ 04.04.90, № 1859 В 90.

123. Тарасов А.П. Метод функций Ляпунова в задаче стабилизации для технической устойчивости // Всесоюз. школа-семинар " Моделированиеи исследование устойчивости физических процессов ":Тез. докл. Киев, 1990. С. 58.

124. Тарасов А.П. Метод функций Ляпунова в задаче дискретной стабилизации на конечном интервале // 2 научно технический семинар " Моделирование и исследование устойчивости физических процессов ": Тез. докл. Киев, 1991. С. 80.

125. Тарасов А.П. Алгоритмы управления, определяющие наилучшие оценки // XI Всесоюзная конференция "Проблемы теоретической кибернетики": Тез. докл. Волгоград. 1990. С. 43.

126. Тарасов А.П. Численная стабилизация на конечном интервале времени //Укр. конф. "Моделирование и исследование устойчивости процессов": Тез. докл. Киев. 1992. С. 47-48.

127. Тарасов А.П. К дискретной стабилизации непрерывных систем //Респ. конференция "Высшая школа народному хозяйству Чувашии": Тез. докл. Чебоксары. 1992. С. 19-20.

128. Тарасов А.П. Оптимальная стабилизация до технической устойчивости с интегральным критерием качества // Укр. конф. "Моделирование и исследование устойчивости систем": Тез. докл. Киев. 1995. С. 105.

129. Тарасов А.П. Об одном методе последовательных приближений стабилизации до технической устойчивости нелинейных систем управления. //Итоговая научн. техд. конф. : Тез. докл. ./ Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та. 1997.

130. Тарасов А.П. Техническая устойчивость и стабилизация невозмущенных движений динамических систем // Вест. Чуваш, ун-та. 1997. № 1. С. 175-186.

131. Тихонов A.A. К вопросу об устойчивости движения на конечном интервале времени II Вестн. Ленингр. ун-та. 1968. № 19. С. 132-137.

132. Тихонов A.A. К задаче об устойчивости движения при постоянно действующих возмущениях // Вестн. Ленингр. ун-та. 1969. № 19. С. 116-122.

133. Тихонов A.A. Об оценках возмущенных движений некоторых нелинейных неавтономных систем // Прикл. механика / Ленингр. ун-т. Л., 1974. Вып. 1. С. 3-10.

134. Федоров С.М., Альтшуллер В.Н. Алгоритм синтеза систем автоматического управления частотными методами // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1973. №6. С. 167-177.

135. Функции Ляпунова и их применения. Сб./Под ред. В.Л. Матросова и А.И. Маликова.Новосибирск: Наука, 1986. 248 с.

136. Фурасов В.Д. Устойчивость движения оценки и стабилизация. М.: Наука, 1977. 248 с.

137. Фурасов В.Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов. М.: Наука, 1982. 192 с.

138. Хусаинов Д.Я., Ивохин Е.В. Об оценке решений линейных систем с использованием функций Ляпунова // Кибернетика. 1985. №. 2. С. 7-10.

139. Хусаинов Д.Я., Комаров Ю.А., Юнькова Е.А., Об одном методе построения оптимальных функций Ляпунова систем линейных дифференциальных уравнений//Автоматика. 1984. №6. С .72-75.

140. Четаев Н.Г. Об одной мысли Пуанкаре // Тр. / Казан, авиац. ин-т. . 1935. №3.

141. Четаев Н.Г. О выборе параметров устойчивой механической системы // Прикл. матем. и мерсаника. 1951. Т. 15, № 3. С. 371-372.

142. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965. 207 с.

143. Чжан Сы-ин. Об устойчивости движения на конечном интервале времени // Прикл. матем. и механика. 1959. Т. 23, № 2. С. 230-238.

144. Чжан Сы-ин. Об оценках решений систем дифференциальных уравнений, накопления возмущений и устойчивости движения на конечном интервале времени // Прикл. матем. и механика. 1959. Т.23, № 4. С. 640-649.

145. Юнькова Е.А., Хусаинов Д.Я. Численное построение экстремальной функции Ляпунова // Вести. Киев, ун-та. Сер. Моделир. и оптимиз. сл.систем. 1982. Вып.1. С. 105-108.

146. Hallam T.G., Komkov. Application of Liapunov s functions to finite time stability//Rev. roum. math, pures et appl. 1969. V.14, № 4. P. 495-501.

147. Kayande A.A., Mohana Rao Rama. Comparison principle andconverse theorems for finite time stability //Notas e Comun. Mat. 1969. V. 15, № 20. P. 1-18.

148. Sosnovski A. Finite dimensional approximation for stabilization of discrete time linear system // Control and Cybernetics. 1980. V.9., № 1-2. P. 53-60.

149. Tsokos C.P., Mohana Rao Rama. Finite time stability of control systems and integral inequalities //Bui. Inst, politehn. Iasi. 1969. V.15 (19), № 1-2. P. 105-112.

150. Weiss L., Infante E.F. On the stability of systems defined over a finite time interval. Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1965. V.54,№1. P. 44-48.

151. Weiss L., Infante E.F. Finite time stability under perturbing forces and on product spaces //IEEE Trans. Automat. Contr. 1967. V. AC 12, № 1. P. 54-59.

152. Weiss L. Converse theorems for finite time stability// Siam. J. Appl. Math. 1968. №6. P. 1319-1324.