автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Алгоритмы дискретных регуляторов многомерных неаффинных объектов на основе приближенных методов прямого оптимального управления

На правах рукописи

Лавру хин Андрей Александрович

АЛГОРИТМЫ ДИСКРЕТНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ МНОГОМЕРНЫХ НЕАФФИННЫХ ОБЪЕКТОВ НА ОСНОВЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ ПРЯМОГО ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

05.13.01 — системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям: информатика, вычислительная техника и управление)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Красноярск — 2007

003066642

003066642

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Омский государственный университет путей сообщениям.

Научный руководитель:

кандидат технических наук, доцент Когут Алексей Тарасович.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Иванчура Владимир Иванович; кандидат технических наук, доцент Ушанов Сергей Викторович.

Ведущая организация:

Омский филиал института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Защита состоится 2 ноября 2007 года в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 212,099.06 при Сибирском федеральном университете по адресу: ул. академика Киршского, 26, Красноярск, 660074, ауд. Д 501.

Факс: (3912) 43-06-92 (ПИ СФУ, для каф. САПР).

Е-таД: sovet@fronfc.iu

ТЪлефон: (3912) 912-295 (ПИ СФУ, каф. САПР).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Политехнического института Сибирского федерального университета.

Автореферат разослан 1 октября 2007 года.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Управление нелинейными объектами является одной из самых сложных и пока окончательно не, решенных задач современной теории и практики автоматического управления, и чаще всего предлагаемые методы ее решения бывают приближенными или численными В нелинейных задачах оптимального управления используются либо конечномерная аппроксимация, либо линеаризация, и в зависимости от специфики их выполнения получаются разные методы В задачах обратной динамики или отслеживания заданной траектории для непрерывных и аффинных, т е линейных относительно управления, объектов предлагается способ, называемый разными авторами «линеаризацией обратной связью», «линейными эквивалентами нелинейных систем» или «алгоритмом точной линеаризации» Одним из подходов к решению данного класса задач является метод прямого оптимального управления, разработанный Б Н Петровым, П Д Крутько и в дальнейшем развитый А И Рубаном для дискретных нелинейных объектов Получение в общем случае точного решения для управляющих воздействий в каждый дискретный момент времени связано с необходимостью существования и определения аналитического выражения для обратных нелинейных функций

Приближенные алгоритмы прямого оптимального управления основаны на аппроксимации гладких нелинейных зависимостей линейным отрезком ряда Тейлора В такое приближение входит только первая производная и теряется информация о более сложных свойствах в поведении функций, поэтому предлагается использовать методику полиномиальной аппроксимации, позволяющую учитывать и высшие производные

Таким образом, при отсутствии аналитического решения или сложности его получения применяют аппроксимацию линейными моделями, что приводит к необходимости построения вычислительной процедуры, область и скорость сходимости которой ограничены Поэтому исследование поведения алгоритмов формирования управлений, как с позиций устойчивости замкнутых систем, так и сходимости рекурсивных методов, является актуальной задачей

Народнохозяйственная (техническая) проблема. В современных системах при технической реализации регуляторов достаточно широко применяются микропроцессорные устройства или контроллеры Таким образом, новые универсальные, эффективные в вычислительном отношении и достаточно простые цифровые алгоритмы формирования управляющих воздействий будут востребованы в промышленности

Научная проблема порождена тем, что в настоящее время не решены теоретические вопросы по управлению нелинейными объектами и нет общих для нелинейных систем научно обоснованных методик проектирования соответствующих регуляторов

Объект исследования — методы управления многомерными динамическими объектами, описываемыми полностью наблюдаемыми дискретными моделями Предполагается, что уравнения линейны относительно переменных состояния и нелинейны по управляющим воздействиям Для реализации алгоритмов необходимо существование первых и вторых производных, а при проведении анализа — и третьих

Предметом исследования являются свойства и характеристики алгоритмов управления, основанных на применении схем линеаризации, учитывающих как первую, так и вторую производные

Цель исследования — анализ и повышение эффективности работы основанных на полиномиальной аппроксимации алгоритмов прямого оптимального управления в дискретных регуляторах неаффинных многомерных динамических объектов

Задачи исследования Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи

получить аналитические выражения для динамических ошибок и интегральных оценок как методических погрешностей при численной реализации рассматриваемых алгоритмов управления,

провести преобразование структурной схемы нелинейной системы к типовому виду задач абсолютной устойчивости, получить соответствующие аналитические зависимости для исследуемого класса многомерных дискретных систем и сформулировать достаточные условия абсолютной устойчивости,

определить основные предпосылки применения метода прямого оптимального управления, при их нарушении провести анализ работоспособности алгоритмов полиномиальной аппроксимации с использованием математических моделей, с разной степенью точности описывающих работу объекта, и разработать более эффективные вычислительные процедуры для дискретных регуляторов,

разработать программный и аппаратный комплексы, реализующие алгоритмы формирования управляющих воздействий на основе современных средств автоматизации математических вычислений, имитационного и физического моделирования

Методы исследования Теоретические исследования проводились на основе теории автоматического управления с привлечением аппарата вычис-

лительных методов для матричного и численного решения дифференциальных уравнений Экспериментальная проверка работоспособности, устойчивости и эффективности алгоритмов осуществлялась современными средствами автоматизации математических вычислений Разработка программного обеспечения микроконтроллеров проводилась современными языковыми средствами программирования и отладки

Основные научные результаты, выносимые на защиту.

1 Методика определения динамических ошибок в замкнутых системах как вычислительных погрешностей

2 Аналитические выражения достаточных условий абсолютной устойчивости при реализации в регуляторах приближенных алгоритмов

3 Методика проверки выполнения основных предпосылок в задачах прямого оптимального управления

4 Модифицированный алгоритм полиномиальной аппроксимации

5 Алгоритмы формирования двухканального управления в электромеханических системах

Значение для теории Аналитические выражения для динамических ошибок и достаточные условия устойчивости системы, полученные при реализации в ней приближенных методов прямого оптимального управления, позволяют определять в зависимости от нелинейной характеристики объекта степень эффективности использования различных схем линеаризации Область применения алгоритмов полиномиальной аппроксимации определяется в соответствии с методикой проверки выполнения основных предпосылок абсолютной управляемости и может быть расширена при их нарушении путем введения предложенной модификации В общем случае метод полиномиальной аппроксимации приводит к более точному решению задач прямого оптимального управления, обратной динамики и к обеспечению абсолютной управляемости в классе нелинейных систем

Значение для практики. Результаты диссертации можно использовать при синтезе алгоритмов функционирования управляющих устройств одно- и многомерными нелинейными, в частности, неаффинными объектами, особенно в системах стабилизации и программного управления исполнительными электромеханическими приводами Программное обеспечение систем диагностирования тяговых двигателей может быть распространено и на электродвигатели постоянного тока общего назначения Применение в цифровых регуляторах модификации алгоритмов позволяет повысить эффективность приближенных итерационных методов управления и расширить границы их возможностей

Достоверность полученных результатов подтверждена совпадением результатов теоретических исследований с результатами экспериментов и практических испытаний, проведенных на реальном объекте

Использование результатов диссертации Результаты работы использованы в Научно-исследовательском институте технологии, контроля и диагностики железнодорожного транспорта (НИИТКД) На основе алгоритма цифрового нелинейного управления приводом постоянного тока разработаны предложения по испытаниям тяговых двигателей в локомотивном депо Московка Омского отделения Западно-Сибирского филиала ОАО «РЖД»

Теоретические результаты и программное обеспечение используется в учебном процессе при проведении занятий по дисциплине «Моделирование систем управления», а также в дипломном проектировании студентов специальности «Управление и информатика в технических системах» Внедрение результатов подтверждается соответствующими актом и справкой

Личный вклад автора. Получены в матричном виде зависимости для оценок вычислительной погрешности рассматриваемых методов управления и достаточные условия устойчивости систем, разработана модификация алгоритма при невыполнении условий абсолютной управляемости, разработан программный комплекс в среде пакета МаЙаЬ, реализующий алгоритмы управления и подпрограммы оценки погрешностей, достаточных условий устойчивости и тестовых примеров, разработано программное обеспечение для микропроцессорной части лабораторного стенда.

Апробация результатов диссертации. Основной материал диссертации отражался в научных докладах, которые обсуждались на II всероссийской научно-практической конференции студентов «Молодежь и современные информационные технологии» (Томск, 2004), XII международной молодежной научной конференции «Туполевские чтения» (Казань, 2004), XI и XII международных научно-технических конференциях студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (Москва, 2005, 2006), XI и XII международных научно-практических конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (Томск, 2005, 2006), VI международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочеркасск, 2006), IV международной научной конференции «Тгапэ-МесЬ-Ай-СЬет» (Москва, 2006), I международной научно-практической конференции «Европейская наука XXI века стратегия и перспективы развития» (Днепропетровск, 2006), всероссийской научно-практической конференции «Проблемы и перспективы развития Транссибирской магистрали в XXI ве-

ке» (Чита, 2006), всероссийской научно-технической конференции молодых ученых «Наука Технологии Инновации» (Новосибирск, 2006), международной научно-практической конференции «Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве и образовании» (Одесса, 2006), всероссийской научно-практической конференции студентов и аспирантов «Молодежь, наука, творчество» (Омск, 2007)

Публикации По теме диссертации опубликовано 22 научные работы одна статья в издании по списку ВАК, семь статей в сборниках научных трудов, 14 работ в материалах международных и всероссийских конференций

Структура и объем диссертационной работы Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка использованных источников из 125 наименований и четырех приложений Работа изложена на 131 с основного текста, содержит 64 рисунка, 4 таблицы и приложения на 17 с

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цель и задачи исследования, рассмотрены вопросы научной новизны и указана практическая ценность работы

В первом разделе диссертации поставлена задача прямого оптимального управления и проведен анализ аналогичных задач в теории управления В качестве метода линеаризации нелинейной функции объекта предложено использовать полиномиальную аппроксимацию

В работе рассматриваются многомерные нелинейные динамические объекты, описываемые разностным уравнением вида

где к — дискретное время, ж = {ж,} е 1" - вектор координат состояния объекта, х° — начальные значения координат, и = {и,} £ Кт — вектор управляющих воздействий, А = {аг)} £ К"хп — системная матрица линейной части, /( ) — известная нелинейная вектор-функция размерности п

Для векторов ж и и должно выполняться неравенство п ^ гтг, а также «ей, где Ы — допустимая область изменения управляющих воздействий

Целью управления на (к + 1)-м дискретном шаге является изменение вектора фазовых координат объекта х^+1) в соответствии с задающей траекторией р(£+1) = {дг} € К™ Следовательно, аналитическим решением задачи будет являться векторное воздействие «(¿+1), определяемое по формуле

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Х(к+1) = А + /(щ+1)), Х(0) = х'

.о

(1)

Щк+1) = ¡и 1{9(к+1) -

(2)

В общем случае обратная функция не всегда может быть найдена, поэтому для определения управляющих воздействий предлагается использовать рекуррентные алгоритмы, основанные на схемах линеаризации

Для повышения точности линейного представления нелинейной функции наряду с методом линеаризации по первой производной вводится полиномиальная аппроксимация, также основанная на разложении в ряд Тейлора, однако учитывающая дополнительно и вторые производные Существуют две формы полиномиальной аппроксимации, которые сравниваются в работе с методом линеаризации первого порядка

Выражение для определения управляющего воздействия, объединяющее все рассматриваемые методы линеаризации, имеет следующий вид

Щк+1) = и(к) + Щк+1) [д(к+1) ~АЩ) - Ф(к+1)] (3)

Входящие в выражение (3) вектор ф(к+1) 6 К" и матрица Щк+1) € Жтхп регулятора рассчитываются по формулам, приведенным в табл 1 (операция

[ ]+ — псевдообращение матрицы, такая что 11 = I)

Таблица 1

Формулы для вычисления матриц регулятора

Наименование метода Расчетные формулы

Метод первого порядка (П1) Первая форма метода второго порядка (П2Ф1) Вторая форма метода второго порядка (П2Ф2) Ф{к+1) = /(к), Щк+1) = [/да] Ф(к+1) = /(*)> Щк+1) = [/да + |/да (V1) ® Я]+ Ф(к+1) = /(*) + 5/(^+1). Щк+1) = [/да]

Элементы матриц /да € К", £ Жпхт и € Жпхт2 являются фиксированными значениями, которые в к-й момент времени принимают функция /(), ее первая и вторая производные Вектор 5(к+ц в алгоритме второго порядка определяется как разность управления ц, найденного методом первого порядка, и щщ, взятого на предыдущем шаге

Регулятор, описываемый уравнением (3), как и объект (1), изображены на структурной схеме системы на рис 1

Рис 1 Общая структурная схема системы управления

В предельном случае при существовании точного аналитического решения регуляторы в обратной связи (РОС) и в прямой цепи (РПЦ) должны полностью компенсировать соответственно линейную часть и нелинейную характеристику объекта, обеспечивая абсолютную управляемость системы Применение схем линеаризации приводит к появлению в системе вычислительной погрешности и динамической ошибки, поведение которой и определяет устойчивость процессов управления Таким образом, необходимо получить аналитические выражения для методических погрешностей и достаточные условия устойчивости системы

Во втором разделе определяется теоретическое выражение для динамической ошибки системы управления при применении в регуляторе рассматриваемых методов линеаризации Вектор динамической ошибки системы

£(к+1) = ®(й+1) - 9(к+1) (4)

рассматривается Как погрешность, возникающая в результате учета только частной суммы при разложении функции /() в ряд Тейлора, поэтому при определении е^+х) используются подходы, принятые в численных методах

Для векторов оценок погрешностей алгоритмов первого П1 и второго П2Ф1, П2Ф2 порядков, которые обозначены как ё^ е М", ё^'Ч € К™ и е £ К™, получены следующие формулы

е(к+1) ~ е(к+1) - 2Цк)°(к+1)>

J2.ll _sP.ll -ГЧ'" 1Н-1!] А3 е{к+1) ~ е(Ь+1) - [б->(*0 ~ 4°(*)] д(*+1)>

„[2,2] _ -[2,2] _ \г гш 1Г[1] _ 1Г[2]1 г3 /7л

(&+1) ~ е(й+1) - [бЦк) ~ 4и(к) "(4+1)> С)

где /до 6 _ матрица третьих производных фунции /( ), а С?Ш и —

матрицы, зависящие от первых и вторых производных фунции /()

При одних и тех же малых изменениях (вариациях) управляющего воздействия i{jfc+t) в системе, где реализованы алгоритмы второго порядка, динамическая ошибка на порядок меньше, чем в системе с методом П1.

Сравнение двух форм метода второго порядка проводилось по величине интегральной абсолютной оценки J, а в качестве эталонного использован алгоритм, полностью учитывающий вторые производные, с предельным значением вычислительной погрешности е-2^.

Установлено, что в общем случае для интегральных оценок jf3l, J"!2,1! и J"l2,2' справедливо соотношение

max J • 21 < шах №J' ^ max (8)

ИЙ/ u&t иШ V '

где — предельное значение оценки для методов второго порядка; №и jp.?] _ значении оценок при реализации методов управления П2Ф1 и П2Ф2.

Неравенства (8) показывают преимущество первой формы алгоритма второго порядка.

Аналогичные результаты теоретического анализа получены также и для скалярных систем.

Проведено имитационное моделирование с использованием пакета Matlab на примере многомерного объекта с гладкой нелинейностью и двумя управляющими воздействиями. Экспериментальные ё и аналитические е значения интегральных показателей в системах с различными алгоритмами управления приведены на рис, 2.

Метод первого Метод второго Метод второго

порядка порядка (первая форма) порядка (вторая форма)

Рис. 2. Интегральные показатели

Сравнение аналитических выражений и подтвердивших их достоверность результатов имитационного моделирования позволило исключить из дальнейшего рассмотрения в работе метод второй формы П2Ф2 как приводящий к более существенной ошибке.

Третий раздел посвящен анализу устойчивости нелинейных скстем с рассматриваемыми приближенными методами управления. Для использования одного из частотных критериев абсолютной устойчивости проведено

преобразование структурной схемы исходной системы, приведенной на рис 1, к типовому виду задач абсолютной устойчивости, показанному на рис 3

ОО

1 \

ч> е Щя)

Рис 3 Структурная схема преобразованной системы

Входное воздействие ёвх связано с вектором задающей траектории д следующим выражением

евх = [4 - (4 + Л) г"1 + А*-2] д (9)

Линейной части системы соответствует передаточная функция

= (1п + А)г-г - Лг"2 (10)

Характеристика Ф нелинейного элемента имеет вид

*(*. е№+1)) = fЫ+l)) - ¡Ы) - (11)

т е зависит как от исходной нелинейной характеристики, так и от способа получения управления Поскольку выходным сигналом элемента Ф является динамическая ошибка е, в работе проведена проверка, которая подтвердила соответствие аналитических выражений для и полученных во

второй главе формул оценок вычислительных погрешностей

На основе частотного критерия абсолютной устойчивости В А Якубовича показано, что для устойчивой работы системы достаточно выполнения неравенств

г = (12)

е1 {к+1)

Величина Мф является максимальным значением Мф, удовлетворяющим условию

М1Шт{е^)Ш{езы)}>а при - оо < и < +оо (13)

Для оценки вектора ошибки е^+1), входящего в неравенства (12), были использованы выражения (5)-(7), полученные во втором разделе

В случае применения алгоритма первого порядка система будет устойчивой при выполнении следующего условия

<МФШ1, (14)

а метода второго порядка — если

е(к+1)

< М,

КУ1/2

т 12-

(15)

Константы тп\ и т^ зависят от поведения первых, вторых и третьих производных функции /(■).

Условия (14) и (15) для заданного объекта позволяют определить эффективность применения в системе управления схем линеаризации первого Й второго порядка.

Для скалярных систем дополнительно получено условие

1/»Р

гаш ■

>л\

Мф

(16)

^ \гт ■ \?'гы ~ з

при выполнении которого метод второго порядка обеспечит в системе более широкую область сходимости.

Условия устойчивости, справедливые для автономных систем, распространяются и на неавтономные, если воздействие д является медленно меняющимся, что эквивалентно требованию малости шага дискретизации.

Имитационное моделирование подтвердило достоверность теоретических выводов как для автономной системы, так и для неавтономной. Области устойчивости, построенные для модельного примера многомерной системы, приведены на рис. 4 для методов первого (а) и второго (6) порядка.

"1(0)

1 о -1 -2 -3

¡РР Н;

"1(0)

-1

О а

1

ХЩГ

Рис. 4. Теоретические (-— для дискретных значений;---— для норм)

и экспериментальные области устойчивости

В результате теоретических и экспериментальных исследований установлено, что метод второго порядка обеспечивает более широкую область устойчивости и лучшее качество процессов управления.

В четвертом разделе рассматривается применение приближенных алгоритмов в задачах управления электроприводом

В работе все теоретические исследования и выводы получены при выполнении основных предпосылок метода прямого оптимального управления, когда уравнение объекта является линейным относительно переменных состояния, а в регуляторе либо используется совпадающая по структуре модель, либо в моменты дискретизации значения г^+1) равны соответствующим координатам объекта Также, должна точно производиться операция псевдообращения и выполняться требование п > то

Для проверки указанных предпосылок было проведено имитационное моделирование для задачи оптимального по быстродействию двухканального управления электродвигателем воздействиями щ и щ, являющимися напряжениями в цепи якоря и обмотке возмущения Желаемая траектория д^+ц определяет требуемую скорость вращения вала двигателя аз^+ц, и ее численные значения получены при аналитическом решении задачи Рассмотрены три модели электродвигателя постоянного тока, основанные на различной точности описания электромеханических и электромагнитных процессов

Результаты экспериментальных исследований подтвердили, что при нарушении основных предпосылок показатели устойчивости и качества процессов управления в системе ухудшаются, особенно это сказывается в методе второго порядка В качестве подтверждения на рис 5 и 6 приведены временные диаграммы изменения требуемой траектории д, скорости вращения вала х и управляющих напряжений щ и щ. Для алгоритма первого порядка процессы показаны на рис 5, а второго — на рис 6 В качестве математического описания двигателя использовалась модель, наиболее отличающаяся от применяемой в регуляторе

В работе предложено при нарушении неравенства п ^ т модифицировать методы и на каждом дискретном шаге производить последовательное определение элементов вектора управляющих воздействий

Применение модифицированного алгоритма в системе двухканального управления электродвигателем способствовало улучшению качества процессов управления, что и отображено на диаграммах рис 7

Для определения эффективности предлагаемых алгоритмов рассматривался эталонный метод с использованием двух оптимально настроенных ПИД-регуляторов для управления напряжениями щ и щ Настройка регуляторов производилась с помощью средств пакета МаШЬ ЭтшЬпк по переходной характеристике Результаты моделирования приведены на рис 8

Рис 5 Временные диаграммы работы электродвигателя с алгоритмом управления первого порядка

1 f-к 1,2

Рис 6 Временные диаграммы работы электродвигателя с алгоритмом управления второго порядка

1 г—1,2

Рис 7 Временные диаграммы работы электродвигателя с модифицированным алгоритмом управления второго порядка

1

— щ

.....- "2

Рис. 8. Временные диаграммы работы электродвигателя с дискретными П ИД-регуляторам и

Численные значения относительных показателей качества, таких как интегральная абсолютная ошибка по скорости ё, конечная ошибка по углу поворота ф и время /2 нахождения скорости в 5%-Й трубке, приведены в табл.2.

Таблица 2

Показатели качества при различных методах управления

Метод управления ё,% Ф,% Ц,%

Дискретный ПИД-регулятор 8,9 22,7 65,8

Методы: первого порядка 6,6 2,8 63,3

второго порядка 12,0 6,5 46,8

второго порядка (модифицированный) 3,1 0,5 83,5

Полученные в диссертации результаты использованы в методическом и программном обеспечении лабораторного комплекса, предназначенного для изучения способов и алгоритмов управления электроприводом.

В работе рассмотрена возможность применения разработанных методов для диагностики тяговых электродвигателей на испытательной станции, структурная схема которой приведена на рис. 9. "Управление работой диагностируемого двигателя ТЭД1, который включается с двигателем ТЭД2 методом взаимной нагрузки, осуществляется посредством напряжений линейного (ЛП) и вольтодобавочного (ВДП) преобразователей. Программное обеспечение регулятора, реализующего разработанные алгоритмы, записыва-

лось в память микропроцессорного блока управления и контроля Требуемой траекторией являлась заданная в соответствии со стандартом скорость вращения вала

-380В

Рис 9 Структурная схема испытательной станции

Результаты моделирования подтвердили возможность применения предлагаемых модифицированных алгоритмов первого порядка, которые обеспечивают требуемую скорость двигателей в диагностическом комплексе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения теоретических и экспериментальных исследований можно сформулировать следующие основные результаты и выводы по работе

1 Получены теоретические зависимости оценок методических погрешностей приближенных алгоритмов синтеза управляющих воздействий, теоретически установлено, что при одних и тех же незначительных изменениях управления алгоритмы второго порядка приводят к динамической ошибке на порядок меньшей, чем при реализации в регуляторах методов первого порядка

2 На основе матричных норм получены аналитические выражения для определения верхних границ интегральных абсолютных оценок качества мно-

гомерных систем при реализации методов второго порядка, обоснован и с помощью имитационного моделирования подтвержден выбор наиболее эффективной формы полиномиальной аппроксимации второго порядка

3 Проведено преобразование структурной схемы исходной нелинейной системы к типовому виду задач абсолютной устойчивости, получены в матричном виде для автономных и распространены на неавтономные системы достаточные условия абсолютной устойчивости, показано, что аналитические выражения для динамических ошибок совпадают с формулами их оценок как методических вычислительных погрешностей и на типовых примерах подтверждено соответствие между теоретическими и экспериментальными областями устойчивости

4 Предложена последовательная процедура формирования в многомерном регуляторе составляющих вектора управляющих воздействий и экспериментально подтверждена результатами имитационного моделирования эффективность ее применения

5 Разработано аппаратное и программное обеспечение лабораторного комплекса для проведения физического моделирования и исследования электропривода постоянного тока, построены математические модели, с разной степенью точности описывающие электротехнические процессы, протекающие в двигателе постоянного тока, и путем имитационного моделирования проведена экспериментальная проверка результатов работы приближенных методов прямого оптимального управления при нарушении основных предпосылок абсолютной управляемости

6 Создано математическое и программное обеспечение многомерного регулятора в системе стабилизации скорости вращения тягового двигателя, включенного по методу взаимной нагрузки на испытательном стенде автоматизированного диагностического комплекса, и экспериментально с помощью имитационного моделирования подтверждена возможность применения приближенных алгоритмов формирования управляющих воздействий в нелинейных системах

Задачи диссертационного исследования успешно решены и цель работы достигнута

Алгоритмы формирования управляющих воздействий в многомерных дискретных регуляторах, основанные на методе полиномиальной аппроксимации, могут применяться не только к рассматриваемым в диссертации объектам электромеханических систем, но и к более широкому классу объектов, описываемых динамическими моделями неаффинного типа при выполнении условий полной наблюдаемости переменных состояния

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В издании по перечню ВАК на момент публикации

1 Лаврухин, АА Оценка точности методов прямого оптимального управления нелинейными многомерными объектами / А Т Когут, А А Лаврухин // Омский научный вестник Межвуз темат сб науч статей / Омский гос техн ун-т Омск, 2006 № 7 (43) С 119-123

Прочие публикации

2 Лаврухин, А А Определение условий устойчивости систем прямого оптимального управления нелинейными объектами / А А Лаврухин // Межвуз сб науч тр / Сибирская гос автомобильно-дорожная академия Омск, 2007 Ч 1 С 183-189

3 Лаврухин, А А Синтез системы управления геофизическим комплексом для поддержания квазиоптимальных режимов / А А Лаврухин // Повышение эффективности работы железнодорожного транспорта Сб науч статей/ Омский гос ун-т путей сообщения Омск, 2006 С 119-125

4 Лаврухин, А А Программное обеспечение устройства управления двигателем постоянного тока в составе следящей системы / А А Лаврухин // Межвуз сб науч тр / Омский гос пед ун-т Омск, 2006 С 39-45

5 Лаврухин, А А Модификация метода Шатровского решения нелинейных задач оптимального управления / А А Лаврухин, А Т Когут // Омский научный вестник Межвуз темат сб науч статей / Омский гос техн ун-т Омск, 2005 № 3 (32) С 81-84

6 Лаврухин, А А Применение методов цифрового управления объектами локальных систем автоматики / А Т Когут, H Ю Безбородова, А А Лаврухин // Вестник Сибирской гос автомобильно-дорожной академии Омск, 2007 С 206-208

7 Лаврухин, А А Использование модифицированного метода Шатровского в задачах Майера поиска оптимального управления / А А Лаврухин // Межвуз сб науч тр / Омский гос пед ун-т Омск, 2005 С 35-40

8 Лаврухин,А А Анализ алгоритмов оптимального управления ускорением движущегося тела / А Т Когут, А В Красулин, А А Лаврухин // Омский научный вестник Межвуз темат сб науч статей / Омский гос техн ун-т Омск, 2004 № 2 (27) С 94-97

9 Лаврухин, А А Расширение областей устойчивости для некоторых навигационных задач / А В Красулин, А А Лаврухин // Туполевские чтения Материалы междунар науч конф / Казанский гос техн ун-т Казань, 2004 Т 2 С 120, 121

10 Лаврухин, А А Алгоритмы оптимального управления нелинейными объектами на основе методов линеаризации / А А Лаврухин, А В Красу-лин, H Ю Безбородова // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика Материалы междунар науч -техн конф / МЭИ М', 2005 TIC 404, 405

11 Лаврухин, А А Построение алгоритмов управления нелинейными динамическими объектами на основе линеаризованных моделей / А А Лаврухин, H Ю Безбородова, А В Красулин // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика Материалы междунар науч -техн конф / МЭИ M , 2006 TIC 494, 495

12 Лаврухин, А А Применение полиномиальной аппроксимации для улучшения сходимости приближенного поиска оптимального управления нелинейным объектом / А А Лаврухин, А В Новокшонова // Современные техника и технологии Сб тр междунар науч -практ конф / Томский политехи ун-т Томск, 2005 Т 2 С 180, 181

13 Лаврухин, А А Анализ точности алгоритмов управления нелинейным дискретным объектом /НЮ Безбородова, А А Лаврухин, А В Красулин / / Современные техника и технологии Сб тр междунар науч -практ конф / Томский политехи ун-т Томск, 2006 Т 2 С 30-32

14 Лаврухин, А А Приближенное решение одной нелинейной задачи оптимального управления с использованием линейных моделей / А А Лаврухин, А Т Когут // Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике Материалы междунар науч -практ конф / Юж -Рос гос техн ун-т Новочеркасск, 2006 С 13-15

15 Лаврухин, А А Исследование вычислительных свойств алгоритма управления одним мехатронным объектом /НЮ Безбородова, А А Лаврухин // Trans-Mech-Art-Chem Материалы междунар науч конф / МИИТ M , 2006 С 7-9

16 Лаврухин, А А Алгоритмы идентификации и управления вынужденными колебаниями механической системы / А Т Когут, H А Тихонова, А А Лаврухин // Европейская наука XXI века стратегия и перспективы развития - 2006 Материалы междунар науч -практ конф / Днепропетровск Наука и образование, 2006 С 49-51

17 Лаврухин, А А Математическое и программное обеспечение системы якорного и полюсного управления двигателем постоянного тока / А Т Когут, А А Лаврухин, А В Красулин // Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве и образовании - 2006 Сб науч тр междунар науч -практ конф / Одесский национальный морской ун-т Одесса, 2006 Т 2 С 22-25

18 Лаврухин, А А Исследование устойчивости динамических систем управления технологическими процессами / А Т Когут, H Ю Безборо-дова, А А Лаврухин // Информационные и телекоммуникационные системы и технологии Материалы междунар науч -практ конф / Санкт-Петербургский политехи ун-т СПб, 2007 С 201-206

19 Лаврухин, А А Реализация оптимального управления ускорением движущегося тела / А А Лаврухин // Молодежь и современные информационные технологии Материалы всерос науч -практ конф / Томский политехи ун-т Томск, 2004 С 195-197

20 Лаврухин, А А Микропроцессорная система управления исполнительными двигателями производственных процессов / А Т Когут, А А Лаврухин, А В Красулин, H Ю Безбородова // Проблемы и перспективы развития Транссибирской магистрали в XXI веке Материалы всерос науч -практ конф / Иркутский гос ун-т путей сообщения Чита, 2006 С 234-237

21 Лаврухин, А А Оценивание характеристик точности одного алгоритма управления дискретным объектом /НЮ Безбородова, А А Лаврухин, А В Красулин // Наука Технологии Инновации Материалы всерос науч -практ конф / Новосибирский гос техн ун-т Новосибирск, 2006 С 3-5

22 Лаврухин, А А Анализ свойств алгоритмов прямого управления по структурным схемам замкнутых систем /НЮ Безбородова, А А Лаврухин // Молодежь, наука, творчество - 2007 Материалы всерос науч -практ конф / Омский гос институт сервиса Омск, 2007 С 349, 350

Лаврухин Андрей Александрович Алгоритмы дискретных регуляторов многомерных неаффинных объектов на основе приближенных методов прямого оптимального управления

Автореф дисс на соискание ученой степени кандидата технических наук

Подписано в печать 26 09 2007 Заказ № 138 Формат 60x90/16 Уел печ л 1 Тираж 120 экз Типография ОмГУПСа, 2007 644046, г Омск, пр Маркса, 35

ВВЕДЕНИЕ

1 Обзор литературы

1.1. Паразитарные системы - эволюционно сформировавшиеся экологические явления.

1.2. Формирование резистентности в организме птиц в ответ на антигенное воздействие.

1.2.1 Формирования специфической резистентности в организме животных на фоне микстпаразитозов.

1.2.2 Современные представления об эффекторных и регулятор-ных механизмах иммунитета при моно- и микстпаразито

1.3. Способы и средства коррекции иммунитета в популяции животных.

1.4. Национальные программы выращивания здорового птице-поголовья и их ветеринарная составляющая.

2. СОБСТВЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ.

2.1. Материалы, методы и объем исследований.

2.2. РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ.

2.2.1. Эпизоотологические параметры популяции птиц, хозяйственно-экологические и биолого-технологические особенности современного птицеводства.

2.2.2. Эпизоотологический мониторинг в условиях современного птицеводства.

2.2.2.1. Основные нозоформы инфекционной и инвазионной патологии птиц в условиях территориальной аппликации промышленного птицеводства.

2.2.2.2. Особенности формирования нозологического профиля заразной патологии птиц в условиях Нижегородской области.

2.2.2.3. Роль и место кишечных нематодозов в формировании суммарной патологии птиц в условиях традиционных и промышленных технологий.

2.2.2.3.1. Эпизоотическое проявление моно- и миксткишечных нематодозов в фермерских птицехозяйствах с традиционным напольным содержанием птицеголовья.

2.2.2.3.2. Границы эпизоотологического проявления кишечных мик-стнематодозов взрослого птицеголовья в птицеводческих хозяйствах с напольным их содержанием.

2.2.2.4. Уровень здоровья и продуктивности - главные эпизоотологические параметры популяции птиц в хозяйствах с различными формами технологии.

4.4. Аппаратное и программное обеспечение лабораторного комплекса.

4.5. Моделирование алгоритмов управления двигателями постоянного тока в автоматизированном диагностическом стенде.

4.6. Выводы и результаты.

Управление нелинейными объектами является одной из самых сложных и пока окончательно не решённых задач современной теории и практики автоматического управления и чаще всего предлагаемые методы её решения бывают приближёиными или численными [6, 9,16, 37, 82,113,116]. В нелинейных задачах оптимального управления используются либо конечномерная аппроксимация, либо линеаризация, и в зависимости от специфики их выполнения получаются разные методы [6]. В задачах обратной динамики или отслеживания заданной траектории для непрерывных и аффинных, т.е. линейных относительно управления, объектов предлагается способ, называемый разными авторами «линеаризацией обратной связью» [37], «линейными эквивалентами нелинейных систем» [82] или «алгоритмом точной линеаризации» [84].

Одним из подходов к решению данного класса задач является метод прямого оптимального управления, разработанный Б. Н. Петровым, П.Д Крутько [54, 55, 89] и в дальнейшем развитый А. И. Рубаном [98, 99] для дискретных нелинейных объектов. Получение в общем случае точного решения для управляющих воздействий в каждый дискретный момент времени связано с необходимостью существования и определения аналитического выражения для обратных нелинейных функций.

Приближённые алгоритмы прямого оптимального управления основаны на аппроксимации гладких нелинейных зависимостей линейным отрезком ряда Тейлора [51,12]. В такое приближение входит только первая производная и теряется информация о более сложных свойствах в поведении функций, поэтому предлагается использовать методику полиномиальной аппроксимации, позволяющей учитывать и высшие производные [46].

Таким образом, при отсутствии аналитического решеиия или сложности его получения применяют аппроксимацию линейными моделями, что приводит к необходимости построения итерационной процедуры, область и скорость сходимости которой ограничены. Поэтому исследование поведения алгоритмов формирования управлений, как с позиций устойчивости замкнутых систем, так и сходимости вычислительных методов, является актуальной задачей.

В современных системах при технической реализации регуляторов достаточно широко применяются микропроцессорные устройства или контроллеры. Таким образом, новые универсальные, эффективные в вычислительном отношении и достаточно простые алгоритмы формирования управляющих воздействий будут востребованы в промышленности.

Научная проблема порождена тем, что в настоящее время не решены теоретические вопросы по управлению нелинейными объектами и не доведены до практического применения алгоритмы синтеза соответствующих регуляторов.

Объект исследования — методы управления многомерными динамическими объектами, описываемыми полностью наблюдаемыми дискретными моделями. Предполагается, что уравнения линейны относительно переменных состояния и нелинейны по управляющим воздействиям. Для реализации алгоритмов необходимо существование первых и вторых производных, а при проведении анализа — и третьих.

Предметом исследования являются свойства и характеристики алгоритмов управления, основанных на применении схем линеаризации, учитывающих и вторую производную.

Цель исследования — анализ и повышение эффективности работы приближённых алгоритмов прямого оптимального управления, основанных на полиномиальной аппроксимации, в дискретных регуляторах неаффинных многомерных динамических объектов.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи: получить аналитические выражения для динамических ошибок и интегральных оценок как методических погрешностей при численной реализации рассматриваемых алгоритмов управления; провести преобразование структурной схемы нелинейной системы к типовому виду задач абсолютной устойчивости, получить соответствующие аналитические зависимости для исследуемого класса многомерных дискретных систем и сформулировать достаточные условия абсолютной устойчивости; получить математические модели, с разной степенью точности описывающие работу двигателя постоянного тока как основного исполнительного элемента в электромеханических системах автоматического управления и на испытательном стенде диагностического комплекса тяговых машин, на основе которых провести анализ работоспособности алгоритмов полиномиальной аппроксимации при нарушении основных предпосылок применения метода прямого оптимального управления и разработать более эффективные вычислительные процедуры в дискретных регуляторах; разработать программный и аппаратный комплексы, реализующие алгоритмы формирования управляющих воздействий на основе современных средств автоматизации математических вычислений, имитационного и физического моделирования.

Теоретические исследования проводились с привлечением аппарата вычислительных методов, теории матриц и устойчивости, методов численного решения дифференциальных уравнений. Проверка работоспособности, устойчивости и эффективности алгоритмов осуществлялась средствами имитационного моделирования с использованием современных средств автоматизации математических вычислений. Разработка программного обеспечения проводилась с применением современных языковых средств программирования и отладки для микроконтроллеров.

Новые научные результаты диссертации заключаются в получении: методики определения динамических ошибок в замкнутых системах как вычислительных погрешностей; аналитических выражений достаточных условий абсолютной устойчивости при реализации в регуляторах приближённых алгоритмов; методики проверки выполенния основных предпосылок в задачах прямого оптимального управления; модифицированного алгоритма полиномиальной аппроксимации; алгоритмов двухканальиого управления в электромеханических системах.

Достаточные условия абсолютной устойчивости при реализации в системах приближённых алгоритмов прямого оптимального управления распространяются и на неавтономные системы. Это подтверждается совпадением соответствующих аналитических выражений с формулами методических погрешностей, полученных при произвольных входных воздействиях. Метод полиномиальной аппроксимации, основанный на схемах линеаризации, приводит к более точному решению задач прямого оптимального управлнеия, обратной динамики и к обеспечению абсолютной управляемости в классе нелинейных систем.

Результаты диссертации можно использовать при синтезе алгоритмов функционирования управляющих устройств одно- и многомерными нелинейными, в частности, неаффинными объектами, особенно в системах стабилизации и программного управления исполнительными электромеханическими приводами. Программное обеспечение систем диагностирования тяговых двигателей может быть распространено и на электродвигатели постоянного тока общего назначения. Применение в цифровых регуляторах модификации алгоритмов позволяет повысить эффективность и расширить границы возможностей приближённых итерационных методов управления.

Достоверность научных положений и выводов подтверждена совпадением результатов теоретических исследований с результатами экспериментов и практических испытаний, проведенных на реальном объекте.

Результаты работы использованы в Научно-исследовательском институте технологии, контроля и диагностики железнодорожного транспорта (НИИТКД). На основе алгоритма цифрового нелинейного управления приводом постоянного тока разработаны предложения по испытаниям тяговых двигателей в локомотивном депо Московка Западно-Сибирской железной дороги.

Теоретические результаты и программное обеспечение используется в учебном процессе при проведении занятий по дисциплине «Моделирование систем управления», а также в дипломном проектировании студентов специальности «Управление и информатика в технических системах». Внедрение результатов подтверждается соответствующими актом и справкой.

Личный вклад автора заключается в получении в матричном виде зависимостей для оценок вычислительной погрешности рассматриваемых алгоритмов управления первого и второго порядка; получении достаточных условий устойчивости многомерных систем, использующих данные алгоритмы; разработке модификации метода управления, основанного на полиномиальной аппроксимации, для использования в системах при невыполнении абсолютной управляемости и заключающейся в последовательном расчёте составляющих вектора управляющих воздействий; разработке программного комплекса в среде пакета математического моделирования Matlab, реализующего алгоритмы управления первого и второго порядка с подпрограммами оценки вычислительных погрешностей и определения достаточных условий устойчивости, на котором промоделирована работа тестовых примеров; получении математических моделей разной степени точности для электродвигателя постоянного тока и проведении их сравнительного анализа в задаче управления электроприводом; обосновании па основе моделирования возможности использования простой модели электродвигателя при реализации системы прямого оптимального управления на основе предлагаемых методов; разработке программного обеспечения для микропроцессорной части лабораторного стенда.

Основной материал диссертации отражался в научных докладах, которые обсуждались на II всероссийской научно-практической конференции студентов «Молодежь и современные информационные технологии» (Томск, 2004), XII международной молодежной научной конференции «Туполевские чтения» (Казань, 2004), XI и XII международных научно-технических конференциях студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (Москва, 2005, 2006), XI и XII международных научно-практических конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (Томск, 2005, 2006), VI международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочеркасск, 2006), IV международной научной конференции «Trans

МесЬ-Аг^СЬет» (Москва, 2006), I международной научно-практической конференции «Европейская наука XXI века: стратегия и перспективы развития» (Днепропетровск, 2006), всероссийской научно-практической конференции «Проблемы и перспективы развития Транссибирской магистрали в XXI веке» (Чита, 2006), всероссийской научно-технической конференции молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (Новосибирск, 2006), международной научно-практической конференции «Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве и образовании» (Одесса, 2006), всероссийской научно-практической конференции студентов и аспирантов «Молодежь, наука, творчество» (Омск, 2007).

По теме диссертации опубликовано 22 научных работы: одна статья в издании по списку ВАК, семь статей в сборниках научных трудов, 14 работ в материалах международных и всероссийских конференций.

Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка использованных источников из 125 наименований и четырёх приложений. Общий объем (с приложениями) составляет 148 страниц печатного текста и содержит 64 рисунка и четыре таблицы.

4.6. Выводы и результаты

1. Разработаны аппаратное и программное обеспечение лабораторного комплекса для проведения физического моделирования и исследования электропривода постоянного тока. Построены математические модели, с разной степенью точности описывающие электротехнические процессы, протекающие в двигателе, и с их помощью проведена путём имитационного моделирования экспериментальная проверка выполнения основных предпосылок абсолютной устойчивости приближённых методов прямого оптимального управления.

2. Предложена и экспериментально подтверждена результатами имитационного моделирования последовательная процедура формирования в каждый дискретный момент времени в многомерном регуляторе составляющих вектора управляющих воздействий.

3. Получены математическое и программное обеспечение многомерного регулятора в системе стабилизации скорости вращения тягового двигателя постоянного тока методом взаимной нагрузки на испытательном стенде автоматизированного диагностического комплекса и экспериментально с помощью имитационного моделирования подтверждена эффективность приближённых алгоритмов формирования управляющих воздействий в нелинейных системах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения теоретических и экспериментальных исследований можно сформулировать следующие основные результаты и выводы по работе в целом:

1. Получены теоретические зависимости оценок методических погрешностей приближённых алгоритмов синтеза управляющих воздействий; теоретически установлено, что при одних и тех же малых изменениях управления алгоритмы второго порядка приводят к динамической ошибке на порядок меньшей, чем при реализации в регуляторах методов первого порядка.

2. Определены на основе матричных норм аналитические выражения для верхних границ интегральных абсолютных оценок качества многомерных систем при реализации методов второго порядка; обоснован и с помощью имитационного моделирования подтверждён выбор наиболее эффективной формы полиномиальной аппроксимации второго порядка.

3. Проведено преобразование структурной схемы исходной нелинейной системы к типовому виду задач абсолютной устойчивости, получены в матричном виде для автономных и распространены на неавтономные системы достаточные условия абсолютной устойчивости, показано, что аналитические выражения для динамических ошибок совпадают с формулами их оценок как методических вычислительных погрешностей и на типовых примерах подтверждено соответствие между теоретическими и экспериментальными областями устойчивости.

4. Предложена и экспериментально подтверждена результатами ими- -тациониого моделирования последовательная процедура формирования в каждый дискретный момент времени в многомерном регуляторе составляющих вектора управляющих воздействий.

5. Разработаны аппаратное и программное обеспечение лабораторного комплекса для проведения физического моделирования и исследования электропривода постоянного тока; построены математические модели, с разной степенью точности описывающие электротехнические процессы, протекающие в двигателе постоянного тока, с помощью которых проведена путем имитационного моделирования экспериментальная проверка выполнения основных предпосылок абсолютной управляемости приближенных методов прямого оптимального управления.

6. Созданы математическое и программное обеспечение многомерного регулятора в системе стабилизации скорости вращения тягового двигателя, включенного по методу взаимной нагрузки на испытательном стенде автоматизированного диагностического комплекса, и экспериментально с помощью имитационного моделирования подтверждена возможность применения приближенных алгоритмов формирования управляющих воздействий в нелинейных системах.

Задачи диссертационного исследования решены успешно и цель работы достигнута.

Алгоритмы формирования управляющих воздействий в многомерных дискретных регуляторах могут применяться не только к рассматриваемым в диссертации объектам электромеханических систем, но и к более широкому классу, описываемому динамическими моделями неаффинного типа при выполнении условий полной наблюдаемости переменных состояния.

1. Авилов, В. Д. Диагностирование и настройка коммутации тяговых и других коллекторных электрических машин / В.Д. Авилов, В.П. Беляев, Ш.К. Исмаилов, В.В. Харламов // Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2002. 134 с.

2. Агуров, П. В. Последовательные интерфейсы ПК. Практика программирования / П.В. Агуров. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. 496 с.

3. Алексеев, В. М. Оптимальное управление / В. М. Алексеев, В. М. Тихомиров, С. В. Фомин. М.: Физматлит, 2005. 384 с.

4. Ананьеве кий, И.М. Методы управления нелинейными механическими системами / И.М. Ананьевский, Ф. Л. Черноусько, С. А. Решмин. М.: Физматлит, 2006. 328 с.

5. Афанасьев, А. П. Продолжение траекторий в оптимальном управлении. / А. П. Афанасьев. М.: КомКнига, 2005. 208 с.

6. Афанасьев, В.Н. Математическая теория констуирования систем управления / В.Н.Афанасьев, В.Б.Колмановский, В.Р.Носов. М.: Высшая школа, 2003. 614 с.

7. Беллман, Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. М.: Наука, 1976. 351 с.

8. Березин, И. С., Методы вычислений / И. С. Березин, Н.П. Жидков. М.: Наука, 1966. Т.1. 632 с.

9. Бесекерский, В. А. Теория систем автоматического управления / В.А.Бесекерский, Е.П.Попов. СПб.: Профессия, 2004. 752 с.

10. Б и р, С. Кибернетика и менеджмент / С. Вир. М.: КомКнига, 2006. 280 с.

11. Васильев, В. И. Синтез многосвязных нелинейных систем методом обобщённой линеаризации / Б. Н. Петров, В. И. Васильев, Ю. М. Гусев // Исследования по теории многосвязных систем. М.: Наука, 1982. 152 с.

12. Вержбицкий, В. М. Численные методы / В. М. Вержбицкий. М.: Высшая школа, 2001. 382 с.

13. Волгин, Л.Н. Оптимальное дискретное управление динамическими системами / Под ред. П. Д. Крутько. М.: Наука, 1986. 240 с.

14. Волков, В.П. Электромашинные устройства автоматики / Н. И. Миловзоров, В. ПВолков. М.: Высшая школа, 1978. 336 с.

15. Волков, Е. А. Численные методы / Е.А. Волков. М.: Наука, 1987. 248 с.

16. Воронов, A.A. Основы теории автоматического управления. Оптимальные, многосвязные и адаптивные системы / А.А.Воронов. Л.: Энергия, 1970. 328 с.

17. Воронов, A.A. Основы теории автоматического управления и регу-лирования / А. А. Воронов, В. К. Титов, Б. Н. Новогранов. М.: Высшая школа, 1977. 519 с.

18. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. М.: Наука, 1988. 548 с.

19. Ганшин, Г. Р. Методы оптимизации и решения уравнений / Г.Р. Ганшин. М.: Наука, 1987. 126 с.

20. Герман-Галкин, С. Г. Компьютерное моделирование полупроводниковых систем в Matlab 6.0 / С. Г. Герман-Галкин. СПб.: Корона принт, 2001. 320 с.

21. Герман-Галкин, С. Г. Электрические машины: Лабораторные работы на ПК / С. Г. Герман-Галкин. М.: Корона принт, 2003. 256 с.

22. Гёльднер, Г. Нелинейные системы управления / Г.Гёльднер, С. Кубик. М.: Мир, 1987. 368 с.

23. ГОСТ 11828-86. Машины электрические вращающиеся. Общие методы испытаний. М.: Изд-во стандартов, 1986. 32 с.

24. ГОСТ 2582-81. Машины электрические вращающиеся тяговые. Общие технические условия. М.: Изд-во стандартов, 1998. 94 с.

25. Гуд вин, Г. К. Проектирование систем управления / Г. К. Гудвин, С.ФГребе, М. Э. Сальгадо. М.: Бином, 2004. 911 с.

26. Дезоер, Ч. Системы с обратной связью: входо-выходные соотноше-ния / Ч. Дезоер М. Видьясагар. М.: Наука, 1983. 280 с.

27. Деруссо, П. Пространство состояний в теории управления (для инженеров) / П. Деруссо, Р. Рой, Ч. Клоуз. М.: Наука, 1970. 620 с.

28. Дорф, Р. Современные системы управления / Р. Дорф, Р. Бишоп. М.: Лаборатория базовых знаний, 2004. 832 с.

29. Евстифеев, A.B. Микроконтроллеры AVR семейства Tiny и Mega фирмы Atmel / A.B. Евстифеев. М.: Додэка-ХХ1, 2004. 560 с.

30. Зайцев, В.Ф. Справочник по нелинейным дифференциальным урав-нениям / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. М.: Физматлит, 1993. 464 с.

31. Захарченко, Д.Д. Тяговые электрические машины / Д.Д. За-харченко, H.A. Ротанов. М.: Транспорт, 1991. 343 с.

32. Зубов, В.И. Лекции по теории управления / В. И. Зубов. М.: Наука, 1975. 496 с.

33. Иванов, В. А. Математические методы теории автоматического регу-лирования. М.: Высшая школа, 1971. 806 с.

34. Изерман, Р. Цифровые системы управления / Р. Изерман. М.: Мир, 1984. 541 с.

35. И л ютов и ч, А.Е. Численный метод для задач оптимального управления с ограничениями на фазовые переменные, основанные на принципе максимума / А.Е. Илютович, Е.3. Хмельницкий. М.: Физматлит, 1991. 48 с.

36. Ильинский, Н.Ф. Общий курс электропривода / Н.Ф. Ильинский, В.Ф. Козачепко. М.: Энергоатомиздат, 1992. 544 с.

37. Ким, Д. П. Теория автоматического управления. Т.2: Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы / Д.П.Ким. М.: Физматлит, 2004. 464 с.

38. Классические методы автоматического управления / Под ред. А. А. Ланнэ. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. 640 с.

39. К о гут, А. Т. Анализ алгоритмов оптимального управления ускорением движущегося тела / А. Т. Когут, А. В. Красулин, А. А. Лаврухин // Омский научный вестник: Межвуз. темат. сб. науч. ст. / Омский гос. техн. ун-т. Омск, 2004. № 2 (27). С. 94-97.

40. Когут, А. Т. Оценивание параметров объекта с существенно нелинейными динамическими характеристиками / А. Т. Когут, Н. А. Тихонова, A.B. Новокшенова // Омский научный вестник. № 4 (33). Омск, 2005. С. 97-100

41. Когут, А. Т. Оценка точности методов прямого оптимального управления нелинейными многомерными объектами / А. Т. Когут, А. А. Лаврухин // Омский научный вестник: Межвуз. темат. сб. пауч. ст. / Омский гос. техн. ун-т. Омск, 2006. № 7 (43). С. 119-123.

42. Когут, А.Т. Полиномиальная аппроксимация в некоторых задачах оптимизации и управления / А. Т. Когут. Омск, Омский гос. ун-т путей сообщения, 2003. 243 с.

43. Когут, А. Т. Применение методов цифрового управления объектами локальных систем автоматики / А. Т. Когут, Н. Ю. Безбородова, А. А.

44. Лаврухин // Вестник Сиб. гос. авто-дор. академии. Омск, 2007. С. 206-208.

45. Когут, С. А. Построение математической модели кинематики и динамики обрабатывающего станка / С. А. Когут, А. А. Симаков, А. Т. Когут // Омский научный вестник. № 2 (31). Омск, 2005. С. 64-67

46. К ори ко в, A.M. Основы теории управления / A.M. Кориков. Томск: НТЛ, 2002. 392 с.

47. Кротов, В.Ф. Методы и задачи оптимального управления / В. Ф. Кротов, В. И. Гурман. М.: Наука, 1973. 448 с.

48. К о р н, Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1973. 832 с.

49. Краснощеченко, В. И. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза / В. И. Краснощеченко. М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2005. 520 с.

50. К р асов с кий, А. А. Теория управления движением / А. А. Кра-совский. М.: Наука, 1968. 467 с.

51. К р у т ь к о, П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Линейные системы / П. Д. Крутько. М.: Наука, 1987. 306 с.

52. К р у т ь к о, П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные системы / П. Д. Крутько. М.: Наука, 1988. 327 с.

53. Крутько, П. Д. Построение алгоритмов управления движением дискретных систем / П. Д. Крутько, Е. П. Попов // Известия АН СССР. Сер. техническая кибернетика. 1979. № 3. С. 159 163.

54. К р у т ь к о, П. Д. Управление исполнительными системами роботов / П. Д. Крутько. М.: Наука, 1991. 256 с.

55. Крылов, В.И. Вычислительные методы. / В.И.Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырный. М.: Наука, 1976. Т.1. 304 с.

56. Куропаткин, П. В. Оптимальные и адаптивные системы / П. В. Куропаткин. М.: Высшая школа, 1980. 287 с.

57. Лаврухин, А. А. Анализ свойств алгоритмов прямого управления по структурным схемам замкнутых систем / Н. Ю. Безбородова, А. А. Лаврухин // Молодежь, наука, творчество 2007: Материалы межвуз. науч.-практ. конф. / Омск, 2007. С. 349, 350.

58. Лавру хин, А. А. Алгоритмы оптимального управления нелинейными объектами на основе методов линеаризации / А. А. Лаврухин, А.

59. B. Красулин, Н. Ю. Безбородова // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика: Тезисы докл. между пар. науч.-тех. конф. / МЭИ. М., 2005. Т. 1.1. C. 404, 405.

60. Лаврухин, А. А. Анализ точности алгоритмов управления нелинейным дискретным объектом / Н. Ю. Безбородова, А. А. Лаврухин, А. В. Красулин // Современные техника и технологии: Материалы науч.-практ. копф. / Томск, 2006. Т. 2. С. 30-32.

61. Лаврухин, A.A. Использование модифицированного метода Шатровского в задачах Майера поиска оптимального управления / А. А. Лаврухин // Межвуз. сборн. науч. трудов / Омский гос. пед. ун-т. Омск, 2005. С 35-40.

62. Лаврухин, А. А. Исследование вычислительных свойств алгоритма управления одним мехатронным объектом / Н. Ю. Безбородова, А. А. Лаврухин // Trans-Mech-Art-Chem: Материалы междунар. науч. конф. / МИИТ. М., 2006. С. 7-9.

63. Лаврухин, A.A. Модификация метода Шатровского решения нели-нейных задач оптимального управления / А. А. Лаврухин, А. Т. Когут // Ом-ский научный вестник: Межвуз. темат. сб. науч. ст. / Омский гос. техн. ун-т. Омск, 2005. № 3 (32). С. 81-84.

64. Лаврухин, А. А. Определение условий устойчивости систем прямого оптимального управления нелинейными объектами / А. А. Лаврухин // Межвуз. сборн. науч. трудов / Сиб. гос. авто-дор. академия. Омск, 2007. С. 183-189.

65. Лаврухин, А. А. Оценивание характеристик точности одного алгоритма управления дискретным объектом / Н. Ю. Безбородова, А. А. Лаврухин, А. В. Красулин // Наука. Технологии. Инновации: Материалы всерос. на-уч.-практ. конф. / Новосибирск, 2006. С. 3-5.

66. Лаврухин, А. А. Программное обеспечение устройства управления двигателем постоянного тока в составе следящей системы / А. А. Лаврухин // Межвуз. сборн. науч. трудов / Омский гос. пед. ун-т. Омск,2006. С 39-45.

67. Лаврухин, А. А. Расширение областей устойчивости для некоторых навигационных задач / А. В. Красулин, А. А. Лаврухин // Тупо-левские чтения: Материалы междунар. науч. копф. / Казаи. гос. тех. ун-т. Казань, 2004. Т. 2. С. 120, 121.

68. Лаврухин, А. А. Реализация оптимального управления ускорением движущегося тела / А. А. Лаврухин // Молодежь и современные информационные технологии: Материалы науч.-практ. конф. / Томск, 2004. С. 195-197.

69. Л а и к ас тер, П. Теория матриц / П. Ланкастер. М.: Наука, 1978. 280 с.

70. J1 ейтман, Дж. Введение в теорию оптимального управления / Дж. Лейтман. М.: Наука, 1968. 192 с.

71. Матвеев, A.C. Оптимальные системы управления: Обыкновенные дифференциальные уравнения. Специальные задачи / А. С. Матвеев, В. А. Якубович. СПб.: Издательство СПбГУ, 2003. 540 с.

72. Медведев, B.C. Нейронные сети. Matlab 6 / В.С.Медведев, В.Г.Потемкин. М.: МИФИ, 2002. 496 с.

73. Методы автоматизированного проектирования нелинейных систем / Под ред. Ю. И. Топчеева. М.: Машиностроение, 1993. 576 с.

74. Методы классической и современной теории автоматического управления. Математические модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления / Под ред. К. А. Пупкова, Н. Д. Егупова. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. Т. 1. 656 с.

75. Методы классической и современной теории автоматического управления. Синтез регуляторов систем автоматического управления / Под ред. К. А. Пупкова, Н. Д. Егупова. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. Т. 3. 616 с.

76. Методы классической и современной теории автоматического управления. Методы современной теории автоматического управления / Под ред. К. А. Пупкова, Н. Д. Егупова. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. Т. 5. 784 с.

77. Мирошник, И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы / И. В. Мирошник. СПб.: Питер, 2005. 336 с.

78. Мирошник, И.В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы / И. В. Мирошник. СПб.: Питер, 2006. 272 с.

79. Моисеев, H.H. Элементы теории оптимальных систем / Н. Н. Моисеев. М.: Наука, 1975. 318 с.

80. Мэтыоз, Д. Г. Численные методы. Использование Matlab / Д. Г. Мэтьюз, К. Д. Финк. М.: Вильяме, 2001. 713 с.

81. П ант ел ее в, A.B. Теория управления в примерах и задачах / A.B. Пантелеев, A.C. Бортаковский. М.: Высшая школа, 2003. 583 с.

82. Первозванский, А. А. Курс теории автоматического управления / А. А. Первозванский. М.: Наука, 1986. 616 с.

83. Петров, Б. Н. Применение теории чувствительности в задачах автоматического управления / Б. Н. Петров, П. Д. Крутько // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1970, №2. С. 202-206.

84. Петров, Ю.П. Вариационные методы теории оптимального управ-ления / Ю. П. Петров. Л.: Энергия, 1977. 280 с.

85. Петров, Ю.П. Новые главы теории управления и компьютерных вычислений / Ю.П.Петров. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. 192 с.

86. Понтрягин, Л. С. Математическая теория оптимальных процессов/ Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе. М.: Наука, 1983. 391 с.

87. Попов, Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления / Е.П.Попов. М.: Наука, 1979. 256 с.

88. Потемкин, В. Г. Вычисления в среде МаШЬ / В. Г. Потемкин. М.: Диалог-МИФИ, 2004. 720 с.

89. Пропой, А.И. Элементы теории оптимальных дискретных систем / А.И. Пропой. М.: Наука, 1973. 210 с.

90. Раб и н ер, Л. Теория и применение цифровой обработки сигналов / Л. Рабинер, Б. Гоулд. М.: Мир, 1978. 848 с.

91. Райбман, Н.С. Построение моделей процессов производства / Н.С. Райбман, В. М. Чадеев М.: Энергия, 1975. 374 с.

92. Рубан, А.И. Адаптивное оптимальное управление динамическими распределенными объектами / А. И. Рубан // Кибернетика, 1987, №1. С.79-84.

93. Рубан, А.И. Адаптивное управление с идентификацией / А. И. Рубан. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1983. 270 с.

94. Самарский, А. А. Численные методы / А. А. Самарский, А. В. Гулин. М.: Наука, 1989. 432 с.

95. Сейдж, Э. Оптимальное управление системами / Э. Сейдж, Ч.С. Уайт. М.: Радио и связь, 1982. 392 с.

96. Сидоров, Д. А. Стабилизация аффинных систем ограниченным управлением / Д. А. Сидоров, С. Б. Ткачев // Нелинейная динамика и управление. М.: Физматлит, 2003. Вып. 1. С. 131-144.

97. Следящие приводы. Электрические следящие приводы / Под ред. Б. К. Чемоданова. М.: Физматлит, 2003. 880 с.

98. Спиди, К. Теория управления. Идентификация и оптимальное управление / К. Спиди, Р. Браун, Дж. Гудвин. М.: Мир, 1973. 248 с.

99. Справочник по теории автоматического управления / Под ред.

100. A.A. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.

101. Справочник по электрическим машинам / Под ред. И. П. Копылова, Б.К.Клокова. М.: Энергоатомиздат, 1989. Т.2. 688 с.

102. Сю, Д. Современная теория автоматического управления и ее при-меиения / Д. Сю, А. Мейер. М.: Машиностроение, 1972. 544 с.

103. Терехов, В. М. Системы управления электроприводов /

104. B.М.Терехов, О.И.Осипов. М.: Академия, 2005. 300 с.

105. Топчеев, Ю.И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования / Ю.И.Топчеев. М.: Машиностроение, 1989. 752 с.

106. Точные методы исследования нелинейных систем автоматического управления / Под ред. Е.П.Попова. М.: Машиностроение, 1971. 324 с.

107. Трауб, Дж. Итерационные методы решения уравнений / Дж. Тра-уб / Под ред. А. X. Сухарева. М.: Мир, 1985. 263 с.

108. Ту, Ю. Современная теория управления / Ю. Ту. М.: Машиностроение, 1971. 472 с.

109. ИЗ. Федоренко, Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления / Р. П. Федоренко. М.: Наука, 1978. 488 с.

110. Филлипс, Ч. Системы управления с обратной связью / Ч. Фил-липс, Р. Харбор. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. 616 с.

111. Хай pep, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи / Э. Хайрер, С. Нерсетт, Г. Ванер: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. 512 с.

112. Цыпкин, Я.3. Основы теории автоматических систем / Я. 3. Цыпкин. М.: Наука, 1977. 560 с.

113. Черноруцкий, И.Г. Методы оптимизации в теории управления / И. Г. Черноруцкий. СПб.: Питер, 2004. 256 с.

114. Черноусько, Ф. Л. Вариационные задачи механики и управления / Ф.Л. Черноусько, Н.В. Баничук. М.: Наука, 1973. 252 с.

115. Черноусько, Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988. 319 с.

116. Чиликин, М.Г. Общий курс электропривода / М.Г. Чиликин, А.С. Сандлер. М.: Энергоатомиздат, 1981. 576 с.

117. Ariyur, К. Real-time Optimization by Extremum-seeking Control / К. Ariyur, M. Kristic. New Jersey: Willey, 2003. 236 p.

118. Gibson, J.E. Non-linear Automatic Control / J.E. Gibson. New York: McGrav-Hill, 1962. Chap.ll.

119. Fletcher, R. Practical Methods of Optimization / R. Fletcher // Unconstrained Optimization. Vol. 1 / N.Y.: Wiley, 1980. 560 p.

120. Hangos, К. M. Analysis and Control of Nonlinear Process Systems / K.M. Hangos, J. Bokor, G. Szederkenyi. London: Springer, 2004. 308 p.

121. Narenda, K.S. Adaptive Control Using Neural Networks and Approximate Models / K.S Narenda, S. Mikhopadhyay // IEEE Transactions on Neural Networks. 1997. Vol. 8. P. 475-485.