автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Алгоритмы численного дифференцирования в задачах управления

ВВЕДЕНИЕ

1. АЛГОРИТМЫ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПОЛИНОМОВ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОБРАТНОГО ЦИФРОВОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.

1.1. Особенности численного дифференцирования в задачах управления

1.2. Анализ свойств алгоритмов численного дифференцирования в частотной области

1.3. Реализация обратного цифрового преобразования с использованием алгоритмов численного дифференцирования

1.4. Выводы.

2. РАЗРАБОТКА ОБРАТНЫХ ЦИФРОВЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ИНВАРИАНТНЫХ К НАЧАЛЬНЫМ УСЛОВИЯМ

2.1. Алгоритмы численного дифференцирования, использующие производные сглаживающих экспоненциальных полиномов

2.2. Типовые алгоритмы обратного цифрового преобразования первого и второго порядков

2.3. Алгоритмы обратного цифрового преобразования для компенсации нулей передаточной функции системы.

2.4. Компенсация кратных корней и полюсов передаточной функции системы.

2.5. Выводы

3. АНАЛИЗ СВОЙСТВ ТИПОВЫХ АЛГОРИТМОВ ОБРАТНОГО ЦИФРОВОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

3.1. Частотные свойства типовых алгоритмов обратного цифрового преобразования

3.2. Частотные свойства алгоритмов обратного цифрового преобразования для компенсации нулей передаточной функции системы

3.3. Выводы

4. АЛГОРИТМЫ ОБРАТНОГО ЦИФРОВОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ.

4.1. Алгоритмы обратного цифрового преобразования высокой точности первого и второго порядков

4.2. Помехозащищенность алгоритмов обратного цифрового преобразования

4.3. Выводы.

5. ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМОВ ОБРАТНОГО ЦИФРОВОГО ПРЕ

ОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ЗНАЧЕНИЙ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ.

5.1. Итеративный алгоритм оценки параметров дрейфового процесса первого порядка по начальному участку наблюдаемой реализации

5.2. Примеры применения алгоритмов обратного цифрового преобразования и итеративного алгоритма для оценки установившихся значений тепловых дрейфов чувствительных элементов инерционных измерительных приборов

5.3. Выводы

Актуальность проблемы:

Операции численного дифференцирования в алгоритмах управления современных технических систем используются достаточно широко в связи с активным внедрением технических средств, использующих цифровую технику для целей управления [6,13,25,27,28,39,45,70,83]. Операции численного дифференцирования применяются как в традиционных ПД и ПИД-регуляторах [14,57,63], так и при реализации сложных законов, например, в системах с переменной структурой [35,36], при отыскании требуемых законов управления методами обратной фильтрации [41,46], реализации оптимальных и адаптивных законов управления [11,57] и т.д.

Существует мнение, что вопросы численного дифференцирования в математической литературе представлены достаточно широко [3,7,8,9, 24,26,40,58,66,68,71,81,84], и поэтому при разработке дискретных алгоритмов управления реализация алгоритмов дифференцирования осуществляется достаточно надежно при использовании стандартных, рекомендуемых в справочниках [4,23,30,31,37,50] процедур.

С другой стороны, известно, что операция численного дифференцирования является нежелательной при синтезе алгоритмов управления, поскольку при дифференцировании подчеркиваются шумовые составляющие в обрабатываемом сигнале. Алгоритмы численного дифференцирования так же чувствительны к выбору интервала дискретизации. Кроме того, в отличие от идеального дифференцирования, которое инвариантно к начальным условиям, алгоритмы численного дифференцирования не гарантируют этого свойства. Следовательно, при использовании алгоритмов численного дифференцирования для реализации алгоритмов управления требуется более детальное изучение данных вопросов, систематических проработок которых нет ни в математической, ни в специальной литературе.

В связи с развитием цифровых управляющих устройств реального времени расширяется круг практических задач автоматического управления, где возникает необходимость применения алгоритмов численного дифференцирования. Назовем некоторые из этих практических задач.

В настоящее время существует широкий класс приборов и систем измерительного направления [55,59,60,73,74,76,77], представляющих собой линейные инерционные системы, выходной сигнал которых имеет информационный характер. На показания таких приборов оказывают влияние переходные процессы, обусловленные динамикой прибора и начальными условиями на выходе. В связи с постоянным повышением требований по точности и быстродействию [15,49,61] на определенных этапах приходится проводить разработку новой модели прибора, вкладывая в это значительные средства.

Для решения задачи уменьшения времени готовности, увеличения точности и быстродействия инерционных приборов можно предложить использование дополнительной цифровой обработки информации с выхода прибора, позволяющей частично или полностью скомпенсировать известную априори его инерционность. Дополнительная цифровая обработка позволяет увеличить полосу пропускания прибора и уменьшить динамическую ошибку, вносимую прибором из-за его инерционности и начальных условий на выходе. Дополнительная цифровая обработка требует разработки и реализации алгоритмического и программного обеспечения, учитывающего динамические свойства прибора, что не связано с изменением конструкции прибора и заменой его базовых элементов. Такая модернизация может значительно продлить жизнь существующим и выпускаемым измерительным приборам и системам при значительно меньших затратах. Например, дополнительная цифровая обработка может увеличить быстродействие и расширить полосу пропускания, сократив время измерения высоких (аномальных) температур, и таким образом продлить жизнь дорогостоящим чувствительным элементам (в металлургии) или решить задачу сокращения времени готовности одноосных гиростабилизаторов, акселерометров, датчиков угловых скоростей и инклинометров и тем самым уменьшить затраты на сами измерения (в нефтегазовой промышленности).

Дополнительная цифровая обработка не требует изменений конструкций приборов и систем независимо от того, имеется или нет встроенный в прибор микропроцессор, так как при этом не нарушается динамика работы исходного прибора или системы.

Известные алгоритмы цифровой фильтрации [1,2,10, 16,22,56,62,85] позволяют решать широкий круг задач, связанных с обработкой информации, и могут работать как в режиме реального времени, так и с задержкой для накопления информации. Например, в книге Парусникова [78] предлагаются алгоритмы на базе дискретного фильтра Калмана, для реализации которых необходимо знание матриц интенсивности помех. Однако в данном случае необходима разработка специальных цифровых алгоритмов дифференцирующего типа [21,47] инвариантных к начальным условиям [17,19] с фиксированной структурой и варьируемыми параметрами и интервалом дискретизации. Несколько упрощает решение поставленной задачи условие, что в большинстве случаев дополнительную цифровую обработку не обязательно осуществлять в режиме реального времени.

Указанные цифровые фильтры по сути должны решать задачу [33,38,51,65] восстановления (оценки) входного (измеряемого) сигнала прибора x(t) по наблюдаемому в дискретные моменты времени выходному сигналу (показанию прибора) y(t) и известному математическому описанию прибора при неконтролируемых начальных условиях на выходе (у(+0),У(+0),/т-1)(+0)). Математически такая постановка означает отыскание численными методами правой части линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами при известном его решении. В дальнейшем будем называть данные цифровые фильтры обратными цифровыми преобразователями [18], а алгоритмы их работы - алгоритмами обратного цифрового преобразования [43,69]. Структурная схема последовательного соединения прибора (W-передаточная функция прибора) с обратным цифровым преобразователем (ОЦП - обратный цифровой преобразователь) представлена на рис.В.1. x(t)

W УЧ) ОЦП

Рис.В.1 Структурная схема последовательного соединения прибора с обратным цифровым преобразователем.

Для реализации обратного цифрового преобразования необходимо подставить в дифференциальное уравнение прибора вместо соответствующих производных выходного сигнала формулы, реализующие алгоритмы численного дифференцирования. Точность восстановления входного сигнала будет зависеть от точности используемого алгоритма численного дифференцирования, поэтому нужны алгоритмы, инвариантные к начальным условиям и имеющие высокую точность дифференцирования.

Вопрос инвариантности алгоритмов численного дифференцирования к начальным условиям не рассматривается в известных математических разработках. Те оценки точности алгоритмов численного дифференцирования, которые приводятся в математической литературе [4,23,30,31,37], достаточно сложно использовать при разработке алгоритмов управления. Анализ точности алгоритмов численного дифференцирования при использовании их для задач управления целесообразно проводить в частотной области, так как в этом случае легко увязать понятие "точности" с понятием "полосы пропускания", которое широко используется при проектировании систем управления.

Данная работа посвящена сравнительному анализу частотных свойств известных алгоритмов численного дифференцирования в частотной области, оценке их работы при ненулевых начальных условиях и разработке новых алгоритмов обратного цифрового преобразования на базе алгоритмов численного дифференцирования, инвариантных к начальным условиям и позволяющих проводить численное дифференцирование с требуемой точностью в заданной области частот.

Отсюда следует, что разработка алгоритмов численного дифференцирования инвариантных к начальным условиям при реализации обратного цифрового преобразования, позволяющего устранить основные недостатки инерционных измерительных приборов и систем, представляет собой актуальную задачу.

Целью диссертационной работы является разработка алгоритмов численного дифференцирования для реализации обратного цифрового преобразования, обеспечивающих инвариантность восстанавливаемого входного сигнала прибора к начальным условиям и высокую точность дифференцирования в полосе пропускания прибора. В соответствии с указанной целью определены следующие задачи:

1. Исследование частотных свойств алгоритмов численного дифференцирования на базе интерполяционных полиномов и построение на их основе обратных цифровых преобразователей.

2. Разработка алгоритмов численного дифференцирования на базе производных сглаживающих экспоненциальных полиномов для решения задачи обратного цифрового преобразования, обеспечивающих инвариантность восстанавливаемого входного сигнала к начальным условиям.

3. Анализ предложенных алгоритмов в частотной области.

4. Синтез инвариантных к начальным условиям алгоритмов обратного цифрового преобразования высокой точности, имеющих минимальные фазовые искажения и учитывающих динамику прибора произвольного порядка.

Методы исследования в предлагаемой диссертационной работе используют в качестве теоретической основы математический аппарат дифференциальных уравнений, методы теории управления, имитационного моделирования и цифровой обработки сигналов.

Моделирование работы предложенных алгоритмов обратного цифрового преобразования проводилось в среде программирования Delphi V5.0 по данным, полученным с реального объекта.

Достоверность полученных результатов подтверждается модельными примерами и данными имитационного моделирования.

Научная новизна:

1. Проведено исследование различных алгоритмов численного дифференцирования в частотной области, выявлена взаимосвязь между шириной полосы пропускания алгоритмов и величиной интервала дискретизации. Показана зависимость обратных цифровых преобразователей на базе данных алгоритмов от начальных условий на выходе прибора.

2. Предложен общий подход к формированию алгоритмов обратного цифрового преобразования инвариантных к начальным условиям. Анализ алгоритма обратного цифрового преобразования общего вида позволил выделить два типовых алгоритма обратного цифрового преобразования, последовательное соединение которых реализует обратное цифровое преобразование любого порядка. Для построения типовых алгоритмов обратного цифрового преобразования использованы алгоритмы численного дифференцирования, полученные при дифференцировании сглаживающих экспоненциальных полиномов.

3. Показана связь при определенных условиях алгоритмов численного дифференцирования на базе сглаживающих экспоненциальных полиномов с известными алгоритмами численного дифференцирования.

4. Предложены алгоритмы обратного цифрового преобразования первого и второго порядков высокой точности, имеющие минимальные фазовые искажения. Последовательное соединение соответствующих алгоритмов высокой точности первого и второго порядков реализует обратное цифровое преобразование для системы произвольного порядка.

5. Разработаны алгоритмы обратного цифрового преобразования высокой точности для компенсации нулей передаточной функции системы.

6. Проанализированы помехозащищенность и частотные свойства алгоритмов обратного цифрового преобразования высокой точности.

7. Рассмотрен пример применения алгоритмов обратного цифрового преобразования высокой точности для прогнозирования установившихся значений теплового дрейфа чувствительных элементов прецизионных приборов.

Практическая ценность работы заключается в разработке алгоритмов обратного цифрового преобразования высокой точности инвариантных к начальным условиям, которые позволяют уменьшить динамическую ошибку, вносимую измерительным прибором, а также увеличить его полосу пропускания и быстродействие. Структура предложенных алгоритмов удобна для программирования в цифровых сигнальных процессорах.

Проведенный анализ частотных свойств алгоритмов позволяет обоснованно подходить к выбору интервала дискретизации. Установлена принципиальная возможность работы обратных цифровых преобразователей высокой точности в условиях аддитивной помехи на входе и выходе прибора.

Ряд результатов используется в учебном процессе кафедры управления и информатики МЭИ при чтении лекций по курсу «Системы автоматизации и управления».

Внедрение результатов работы:

Основные результаты работы вошли в НИР «Разработка алгоритмов цифрового обратного преобразования для микропроцессорных систем управления. Шифр «МИКРО», выполненную для Российского агентства по системам управления (РАСУ) по договору № 105/00 - ЭТ от 1 октября 2000 г. (исполнитель - кафедра управления и информатики МЭИ), итоговые материалы которой были представлены на выставке результатов НИОКР РАСУ.

Подготовлена и сдана в издательство рукопись монографии: «Алгоритмы численного дифференцирования в задачах управления». Апробация работы: Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались:

- на международном научно-техническом семинаре «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (г. Алушта, 1998 г., 2001 г.);

- на международной конференции «Информационные средства и технологии» (г. Москва, 1999 г., 2000 г.);

- на 7-ой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» (г. Москва, 2001 г.).

Отдельные результаты работы обсуждались на научном семинаре кафедры математического моделирования МЭИ в 2001 г.

Публикации: по теме диссертации опубликовано 6 научных работ.

Краткое содержание работы.

В первом разделе «Алгоритмы численного дифференцирования на основе интерполяционных полиномов и их применение для решения задачи обратного цифрового преобразования» формулируются основные требования к выбору алгоритмов численного дифференцирования для их использования при решении задачи обратного цифрового преобразования, рассматриваются частотные свойства известных алгоритмов численного дифференцирования. Выявлена взаимосвязь между шириной полосы пропускания алгоритмов и величиной интервала дискретизации. Показана зависимость результатов работы обратных цифровых преобразователей на базе данных алгоритмов от начальных условий на выходе прибора.

Во втором разделе «Разработка обратных цифровых преобразователей, инвариантных к начальным условиям» предложен общий подход к формированию алгоритмов обратного цифрового преобразования, инвариантных к начальным условиям. Для построения данных алгоритмов обратного цифрового преобразования используются алгоритмы численного дифференцирования на базе производных сглаживающих экспоненциальных полиномов. Анализ алгоритма обратного цифрового преобразования общего вида позволил выделить два типовых алгоритма обратного цифрового преобразования первого и второго порядков. На основе типовых алгоритмов выведены алгоритмы обратного цифрового преобразования для компенсации нулей передаточной функции системы. Показана возможность реализации обратного цифрового преобразования для компенсации нулей и полюсов передаточной функции системы произвольного порядка путем последовательного соединения соот

13 ветствующих типовых алгоритмов обратного цифрового преобразования. Такой подход не связан с громоздкими вычислениями для систем высокого порядка.

В третьем разделе «Анализ свойств типовых алгоритмов обратного цифрового преобразования» исследуются свойства типовых алгоритмов обратного цифрового преобразования первого и второго порядков в частотной области. Недостатком типовых алгоритмов является то, что они вносят значительные фазовые искажения.

Четвертый раздел «Алгоритмы обратного цифрового преобразования высокой точности» посвящен усовершенствованию типовых алгоритмов обратного цифрового преобразования первого и второго порядков для уточнения оценок восстанавливаемого сигнала и исследованию помехозащищенности предложенных алгоритмов.

В пятом разделе «Применение алгоритмов обратного цифрового преобразования для прогнозирования установившегося значения переходного процесса» иллюстрируется одна из возможностей практического применения алгоритмов обратного цифрового преобразования.

В заключении приводятся основные результаты работы.

В приложения приведены некоторые теоретические положения, не вошедшие в основной текст, а также акты об использовании диссертации.

5.3. Выводы.

1. Применение обратного цифрового преобразования высокой точности позволяет увеличить быстродействие и расширить полосу пропускания инерционного измерительного прибора за счет фильтрации переходных процессов, обусловленных динамикой замкнутого контура прибора и неконтролируемыми начальными условиями при включении прибора.

2. При решении задачи сокращения времени готовности прецизионного измерительного прибора можно использовать обратное цифровое преобразование высокой точности для выделения кривой теплового дрейфа на фоне переходных процессов и итеративный алгоритм прогнозирования установившегося значения дрейфа по начальному участку наблюдаемой реализации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В работе были сформулированы основные требования к алгоритмам численного дифференцирования для решения задачи обратного цифрового преобразования. Проведено исследование в частотной области алгоритмов численного дифференцирования на базе интерполяционных полиномов. Выбран наиболее эффективный для решения задачи обратного цифрового преобразования алгоритм численного дифференцирования (первое слагаемое производной интерполяционного полинома Стирлинга). Выявлена взаимосвязь между интервалом дискретизации и полосой пропускания алгоритмов, где они реализуют с достаточной для практики точностью дифференцирующие свойства.

2. Было показано, что применение данных алгоритмов для построения обратных цифровых преобразователей затруднено, поскольку они не обеспечивают инвариантности оцениваемого сигнала к начальным условиям.

3. Предложено представление выходного сигнала системы в виде сглаживающего экспоненциального полинома, дифференцирование которого дает оценки всех производных выходного сигнала системы. Выведена общая форма для реализации обратного цифрового преобразования произвольного порядка на базе предложенных алгоритмов численного дифференцирования, позволяющая получать инвариантные к начальным условиям и имеющие достаточно короткий интервал обработки оценки входного сигнала системы. Показана взаимосвязь между данными алгоритмами и алгоритмами на основе интерполяционных полиномов.

4. Получены типовые алгоритмы обратного цифрового преобразования первого и второго порядков для компенсации одного действительного и пары комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения системы. Последовательное применение соответствующих типовых преобразователей позволит компенсировать любой набор корней характеристического уравнения системы произвольного порядка. Показана возможность компенсации кратных полюсов передаточной функции системы.

5. Недостаток предложенных типовых обратных цифровых преобразователей заключается в том, их ФЧХ в конце полосы пропускания значительно отличаются от идеальной.

6. На базе типовых алгоритмов выведены алгоритмы обратного цифрового преобразования высокой точности, позволяющие получать более точные и инвариантные к начальным условиям оценки входного сигнала. Последовательное соединение соответствующих алгоритмов обратного цифрового преобразования высокой точности первого и второго порядков реализует обратное цифровое преобразование для системы порядка т. На базе данных алгоритмов выведены алгоритмы обратного цифрового преобразования высокой точности для компенсации нулей передаточной функции системы.

7. Проведено исследование работы обратных цифровых преобразователей высокой точности при наличии возмущающих воздействий, которое показало, что данные преобразователи позволяют уменьшать действие высокочастотных составляющих помехи, приложенной к входу системы. Влияние помехи, действующей на выходе системы, можно уменьшить, предварительно сгладив выходной сигнал системы.

8. Показано, что применение обратного цифрового преобразования высокой точности позволяет решать задачи увеличения быстродействия, расширения полосы пропускания и сокращения времени готовности измерительных приборов.

1. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичной обработки данных. - М.: Финансы и статистика, 1985. - 487 с.

2. Александров В.В. Анализ данных на ЭВМ. М.: Финансы и статистика, 1990. - 191 с.

3. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы решения инженерных задач. Обыкновенные дифференциальные уравнения: учебное пособие по курсу «Основы математического моделирования». М.: Издательство МЭИ, 1992. - 128с.

4. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров: Пер. с франц. / Предисловие Луи Де Бройля; Под ред. К.С. Шифрина, 2-е изд. -М.: Наука, 1967.-779 с.

5. Анисимов Д.Н. Идентификация линейных динамических объектов методом экспоненциальной модуляции // Вестник МЭИ. 1994. -№ 2. - С. 74-78.

6. Апарцин А.С. Некоторые интегральные (разностные) неравенства и их приложения. Учебное пособие. Иркутск: изд-во Иркутск, гос. ун-та, 1988.

7. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. -743 с.

8. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений: Пер. с англ. М.: Мир, 1969. -368 с.

9. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Наука, 1987.-598с.

10. Ю.Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. -М.: Мир, 1989.11 .Бесекерский В.А. Динамический синтез систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1970. - 575 с.

11. Бесекерский В.А. Цифровые автоматические системы. М.: Наука, 1976.-575 с.

12. Бесекерский В.А., Изранцев В.В. Системы автоматического управления с микроЭВМ. М.: Наука, 1987. - 318 с.

13. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975. - 767 с.

14. Бесекерский В.А., Фабрикант Е.А. Динамический синтез систем гироскопической стабилизации. Л.: Судостроение, 1968. - 351 с.

15. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. М.: Мир, 1974. -197 с.

16. Борисова И.Е. Алгоритмы численного дифференцирования, инвариантные к ненулевым начальным условиям // Международная конференция «Информационные средства и технологии»: Тез. докл. М., 2000. - Т. 3. - С. 99-102.

17. Борисова И.Е., Колосов О.С. Численное дифференцирование в алгоритмах автоматического управления // Международная конференция «Информационные средства и технологии»: Тез. докл. М., 1999.- Т. 1 - С. 155-159.

18. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория: Пер. с англ. М.: Мир, 1980.

19. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986.

20. Бут Э.Д. Численные методы. М.: Физматгиз, 1959. - 239 с.

21. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. -Новосибирск: Наука, 1983.

22. Воробьева Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по численным методам: Учеб.пособие. М.: Высш. Школа, 1994. - 184 с.

23. Гаврилова О.А., Колосов О.С., Кульмамиров С.А. Автоматизация съема и обработки данных при испытаниях электромеханических систем // Тр. МЭИ. 1989. - № 211. - С. 37 - 45.

24. Гультяев А. Визуальное моделирование в среде MATLAB. Санкт-Петербург: Питер, 2000. - 152 с.

25. Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричикова Е.А. Справочник по высшей математике. 2-ое изд., стереотип. - Минск: Тетра Системе, 2000.

26. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики.- М.: Наука, 1970.

27. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. М.: Наука, 1967.

28. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994.-207 с.

29. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. -М.: Мир, 1971.

30. Емельянов С.В. Бинарные системы автоматического управления. -М.: МНИИПУ, 1984.

31. Емельянов С.В. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука, 1967.

32. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Точные решения. М.: Физматлит, 1995.- 560 с.

33. Ильинский Н.Б. Обратные краевые задачи и их приложения // Со-росовский Образовательный Журнал. 1997. - № 4. - С. 105-110.

34. Карманов В.Г. Математическое программирование: Учебное пособие. М.: Наука, 1980.

35. Коллатц JI. Численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Иностранная литература, 1953. 460 с.

36. Колосов О.С. Обратная цифровая фильтрация динамических процессов // Международный форум информации: Тез. докл. М., 1992.- С. 88-92.

37. Колосов О.С. Экспериментальное определение суммы постоянных времени передаточной функции линейной системы // Межвуз. сб. тр. 1984.-№47.-С. 153-158.

38. Колосов О.С., Борисова И.Е. Алгоритмы обратного цифрового преобразования в задачах управления // Вестник МЭИ. 2002. - № 4.- С. 53-61.

39. Колосов О.С., Кульмамиров С.А. Автоматизация процесса исследования характеристик электромеханических систем управления // Сб. тр. ин-та / Казахский политехнический ин-т. Алма-Ата, Каз-ПИ, 1987.-С. 37-49.

40. Колосов О.С., Кульмамиров С.А. Автоматическое определение параметров автоматических систем регулирования технологическим процессом при наличии аддитивной помехи // Областная научно-техническая конференция: Тез. докл. Павлодар, 1987. - С. 56 - 61.

41. Колосов О.С., Фон Чжань Линь Обратная цифровая фильтрация в задачах управления // Межвуз. сб. науч. тр. МИРЭА «Управление и моделирование в сложных технических системах»: Тез. докл. М., 1995.-С. 105-110.

42. Колосов О.С., Фон Чжань Линь Особенности численного дифференцирования в задачах управления // Вестник МЭИ. 1996. - № 2. - С. 43-45.

43. Колосов О.С., Фон Чжань Линь Типовые алгоритмы обратной фильтрации для задач управления // Международный научно-технический семинар «Искусственный интеллект в системах автоматического управления»: Тез. докл. Киев, 1995. - С. 38 - 40.

44. Коновалов С.Ф., Никитин Е.А., Селиванова JI.M. Проектирование гироскопических систем. М.: Высшая школа, 1980.

45. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. - 832 с.

46. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем: Линейные модели. М.: Наука, 1987. - 304 с.

47. Кубланов М.С. Математическое моделирование. М.: МИИГА, 1992.-48 с.

48. Кузин Л.Т. Основы кибернетики. Математические основы кибернетики. М.: Энергия, 1973.

49. Кулаков Г.Г. Инженерные экспресс методы расчета промышленных систем регулирования. Минск: Высшая школа, 1984.

50. Магнус К. Гироскоп: Теория и применение. М.: Мир, 1974. -526 с.

51. Морозов В.А., Поспелов В.В. Цифровая обработка сигналов. М.: Изд-во МГУ, 1986.

52. Пельпор Д.С., Осокин Ю.А., Рахтеенко Е.Р. Гироскопические приборы систем ориентации и стабилизации. М.: Машиностроение, 1977.

53. Пельпор Д.С., Ягодкин В. В. Гироскопические системы. Проектирование гироскопических систем. М.: Высшая школа, 1977.

54. Пешехонов В.Г. Ключевые задачи современной автономной навигации // Гироскопия и навигация. 1996. - № 1. - С. 48-55.

55. Поллард Дж. Справочник по вычислительным методам статистики. -М.: Финансы и статистика, 1982.63 .Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: Учеб. Пособие для втузов. 2-е изд. - М.: Наука, 1989.

56. Ратникова Т.А., Игнатьева Н.У. Справочные материалы по высшей математике: Учебное пособие по курсу «Высшая математика. Основы математического моделирования» М.: Изд-во МЭИ, 1992. -52 с.

57. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.-261 с.

58. Татевян С.К., Сорокин Н.А., Залеткин С.Ф. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений на основе локальных многочленных приближений // Вычислительные методы и программирование. 2000. - Т. 1. - С. 30-36.

59. Толчеев В.О., Ягодкина Т.В. Методы идентификации одномерных линейных динамических систем. М.: Издательство МЭИ (Московский энергетический институт), 1997. - 108 с.

60. Турчак JI. И. Основы численных методов: Учеб. пособие. М.: Наука, 1990. - 320 с.

61. Фон Чжань Линь Разработка и исследование алгоритмов обратного цифрового преобразования для задач управления: Дис. на соискание ученой степени канд. технич. наук М., 1996. - 215 с.

62. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980.

63. Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1972.

64. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем. М.: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1963.

65. Чистяков B.C. Кратное справочник по теплотехническим измерениям. М.: Энергоатомиздат, 1990.

66. Шестов С.А. Гироскоп на земле, в небесах и на море. М.: Знание, 1989.-188 с.

67. Яковлев В.П. К оценке точности итерационного метода идентификации по дискретным данным // Кибернетика и вычислительная техника. 1974. - № 24. - С. 23-29.

68. Гироскопические системы / Бромберг П.В., Михалев И.А., Пельпор Д.С. и др. М.: Высшая школа, 1971.

69. Гироскопические системы / Под ред. Д. С. Пельмора. М.: Высшая школа, 1988.

70. Задача коррекции в инерциальной навигации. / Под ред. Н.А. Парусникова. М.: Издательство МГУ, 1982.

71. Номенклатура изделий основного производства на 1976 1980 годы / Луцкий приборостроительный завод. - Луцк, 1976.

72. Разработка алгоритмов цифрового обратного преобразования для микропроцессорных систем управления (Шифр «МИКРО»): Отчет о НИР, выполненной по договору № 105/00 ЭТ от 1 октября 2000 г. (рук. НИР - Колосов О.С., исп. НИР -Борисова И.Е.) Рукопись.

73. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Дж. Холл, Дж. Уатт. и др. М.: Мир, 1979.

74. Технология системного моделирования / Е.Ф.Аврамчук, А.А.Вавилов, С.В.Емельянов и др. М.: Машиностроение, 1988.

75. Colebrook F. Automatic Digital Computation. London: H.M. Stationery Office, 1954.

76. Оценки первой производной по различным алгоритмам численного дифференцирования.

77. Рассмотрим выражение (1.4) более подробно.1. At

78. АУо+ДУ-1 1 Ау,+ду2 , (П11)2 2 3! Упростим числитель второго слагаемого выражения (П. 1.1). ЛУ, + Д3>-2 = А^о " А2^ + А2ух А2у2 = А2^0 - А2.у2 (П.1.2)

79. Представим правую часть (П. 1.2) через первые разности.

80. А2>о ~ AV-2 = Aух ~ Ау0 Аух + Ауг = у2 - ух - (у, - у0) - J(Уо У-\) + (У-1 ~ У-2 ) = У г ~ 2У\ + 2У~\ ~ У-г

81. Подставим полученный результат (П. 1.3) в выражение (П. 1.1).

82. Лу а1 (Уг-Уо+Уо-У-i 1 У2-^У1 + 2у1-уЛ yKh)~ « 2 2 3!1. П. 1.4)1. At\6ух 6у,-у2 + 2ух - 2ух + уг = -у2 + 8у, - 8ух + у 12 А/ 12А/

83. Теперь рассмотрим оценку производной (1.5).0At{ 2 2 3! 60 J

84. Рассмотрим разность пятого порядка из третьего слагаемого выражения (П.1.5).a5j2 = AV1-AV21. А4ух=А3у0-А3у11. А3у0 = А2ух-А2у0 (П. 1.6)1. А2 ух Ауг - Аух &У2=Уз~У2

85. Теперь подставим последнее уравнение системы (П. 1.6) в предыдущее уравнение в соответствующие моменты времени:

86. Ух =Уг~Уг-(Уг~ Ух) = Уз'2У2 + JV (П. 1.7)

87. Разность второго порядка А2у0 можно вычислить по Д2^, изменив в выражении (П. 1.7) соответствующие индексы при у A2y,=y2-2yx+yQ. (П. 1.8)

88. Подставим выражения (П. 1.7) и (П. 1.8) в третье уравнение системы (П. 1.6)

89. Уо = (Уг +У\)~ (У2 ~ 2У\ + У о) = Уз ~ 3У2 + *У\ ~ Уо • (П-1 -9)

90. Вычислим разность третьего порядка для значения аргумента ухпо А3у0 и подставим получившееся выражение и выражение (П. 1.9) во второе уравнение системы (П. 1.6)к4У-1=(Уз-ЗУ2+ЗУ1-Уо)-(У2-ЗУ1+Ьо-У~1)= (П1 10)1. Уъ ~4У2 + 6у1-4у0+у1

91. Тогда А4у2 с учетом (П. 1.10) можно записать так:

92. ЛУ2 = У г~ + 6j0 4уг + у2. (П. 1.11)

93. Подставим выражения (П. 1.10) и (П. 1.11) в первое уравнение системы (П. 1.6).

94. AV-2 = (^з + ~ + ^-i) - (3^2 - + - + ) = { ^ = У г - ■$Уг +1 °У1 -10^0 + 5Х-1 - У-2

95. Разность пятого порядка для аргумента у3 определим из выражения (П. 1.12) следующим образом:

96. A5= У2 ~ 5Уг +10Jo -1 Oj^ + 5 уг. (П. 1.13)

97. Рассмотрим сумму выражений (П. 1.12) и (П. 1.13)

98. ДУ2 + ЛУз +Ю ух- Ю у0 + 5 ух уг\у2- Ъух + (п 1 И)

99. Юу0 -lO.y.j + - = Уз - 4у2 + 5у, - 5ух + 4у2 -у3

100. Перепишем выражение (П. 1.5) с учетом формул (П. 1.4) и (П. 1.14)1. At-У2+%Ух-%У-1+У-2 Уз~^У2 + -5>>ч + 4у2 -у1. П.1.15)12 60 Приведем правую часть выражения (П.1.15) к общему знаменателю60

101. P'(t 9у2 + 45У1 ~ 45У-1 + 9У-2 У-30 60At1. П.1.16)

102. Теперь рассмотрим производную интерполяционного полинома Ньютона:1.. 1 о 1 Лy\t0) = — АУ-1 + "Г^7-2 + ~А /3 +.1. А* V. 2 3

103. Рассмотрим первое слагаемое выражения (П. 1.17).1. П.1.17)1. П.1.18)

104. Выражение (П.1.18) представляет собой алгоритм численного дифференцирования с использованием первого слагаемого производной интерполяционного полинома Ньютона.

105. Теперь для оценки производной возьмем два первых слагаемых выражения (П. 1.17):y%) = j-t{Ayl+U2y^1. П.1.19)

106. Второе слагаемое (П.1.19) в соответствии с (П. 1.8) можно записатьтак:1. А2у2=у0-2у1+у2. (П. 1.20)

107. Подставим выражение (П. 1.20) в оценку производной (П. 1.19).vYf) = — fv-v i у<> ~ 2У-1 У-2 2 Jq 2ух +у0- 2ух + У к о J At^Vo У-1 2 ) 2А t '1. По)~ 2А t1. П. 1.21)

108. Рассмотрим оценку производной по трем слагаемым производной интерполяционного полинома Ньютона:1 (