автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.05, диссертация на тему:Цифровой дифференциатор сигналов для корректирующих устройств систем управления

005056937

На правах рукописи

г

Старовойтов Николай Владимирович

ЦИФРОВОЙ ДИФФЕРЕНЦИАТОР СИГНАЛОВ ДЛЯ КОРРЕКТИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Специальность: 05.13.05 - Элементы и устройства вычислительной техники

и систем управления

1 3 ДЕК 2012

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Томск 2012

005056937

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники» (ТУСУР)

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Светлаков Анатолий Антонович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Замятин Николай Владимирович (профессор кафедры автоматизации обработки информации ТУСУРа) кандидат технических наук, доцент

Краснов Иван Юрьевич (доцент кафедры электропривода и электрооборудования Национального исследовательского Томского политехнического университета)

Ведущая организация - Национальный исследовательский

«Томский государственный университет»

Защита состоится «ЗА » декабря 2012 г. в /УУ-Г часов на заседании диссертационного совета Д.212.268.03 Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40, ауд. 203.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники по адресу: г. Томск, ул. Вершинина 74.

Автореферат разослан « 27 » ноября 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета ^/-{¿¿¿Ь^ Мещеряков Р.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Задача цифрового дифференцирования зашумлённого, т.е. заданного с ошибками сигнала (ЦЦС) относится к некорректно поставленным задачам и возникает во всех прикладных задачах, при решении которых возникает необходимость использования производных обрабатываемых сигналов, заданных с ошибками. Поэтому построение оптимальных процедур вычисления производных подобных сигналов, представляет интерес для многих приложений.

Решению задачи ЦДС посвящено множество работ. В частности, задача приближения оператора дифференцирования ограниченными операторами и построение оптимальных методов исследовалась в работах С.Б Стечкина, В.В. Арестова, В.Н. Габушина, Ю.Н. Субботина, В.Н Страхова, А.П. Буслаева, O.A. Тимошина и других. Различные алгоритмы численного дифференцирования, в том числе оптимальные, содержатся в работах В.К. Иванова и Т.Ф. Долгополо-вой, Л. П. Грабаря, В. А. Морозова, Э.В Колпаковой и В.И. Колпакова, В.Б. Де-мидовича, А.Г. Рамма, J. CuIIum и многих других. Оценкой погрешности метода средних функций занимались В.В. Васин, C.W. Groetch, Г.В Хромова, Е.В Шишкова.

Операции цифрового дифференцирования в алгоритмах управления современных технических систем используются достаточно широко в связи с активным внедрением технических средств, использующих цифровую технику для целей управления. Операции численного дифференцирования применяются как в традиционных ПД и ПИД-регуляторах, так и при реализации более сложных законов регулирования, например, в системах с переменной структурой, при отыскании требуемых законов управления методами обратной фильтрации, реализации оптимальных и адаптивных законов управления и т.д.

Отмеченные выше особенности задачи ЦДС и её актуальность во многих отраслях науки и техники стимулируют проведение дальнейших исследований с целью создания таких методов и алгоритмов её решения, которые бы позволяли получать достаточно точные и устойчивые к ошибкам задания измеряемых сигналов оценки их производных по времени и были доступными для программной и аппаратной реализаций современными средствами микропроцессорной техники.

Цель диссертационной работы - заключается в разработке и исследовании методов и алгоритмов ЦЦС, устойчивых к ошибкам в задании сигнала и доступных для реализации в автоматических системах контроля и управления, функционирующих в режимах реального времени. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) сформулировать математическую постановку задачи ЦДС в рамках автоматических и автоматизированных систем (устройств), функционирующих в реальном масштабе времени, и основные требования, которым должны удовлетворять методы и алгоритмы ЦДС, функционирующие в реальном масштабе времени;

з

2) синтезировать алгоритм ЦДС, с использованием интегральных уравнений Вольтерра I рода и реализовать их программно для современных микроконтроллеров и других средств вычислительно техники;

3) синтезировать новый алгоритм регуляризации ЦДС сигналов, основанный на использовании недоопределенных систем линейных алгебраических уравнений и их псевдорешений:

4) сравнить синтезированные методы и алгоритмы ЦДС и их регуляризации с методами и алгоритмами подобного назначения, предложенными академиком АН СССР Тихоновым А.Н.;

5) внедрить синтезированные способы и алгоритмы ЦДС в ПИД-регулятор, используемый в автоматической системе управления асинхронным электродвигателем

Научную новизну полученных в работе результатов определяют:

1. Алгоритм ЦДС, полученный применением уравнения Вольтерра I рода и численного интегрирования функций методом прямоугольников, доступный для реализации в системах реального времени.

2. Оригинальный способ регуляризации ЦДС, основанный на сведении его к решению недоопределенной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и использовании псевдообратных матриц и псевдорешений.

3. Новый способ локальной и глобальной регуляризации плохообуслов-ленных СЛАУ, основанный на введении в матрицу коэффициентов решаемой СЛАУ диагональной матрицы - матрицы регуляризации, позволяющей в широких пределах регуляризировать решаемую СЛАУ.

4. Новый способ выбора параметров регуляризации СЛАУ, основанный на использовании относительных ошибок задания дифференцируемого сигнала и паспортных данных измерительного устройства о его точностных характеристиках.

5. Модифицированная структура ПИД - регулятора, в котором в качестве алгоритма дифференцирования использован синтезированный алгоритм, основанный на применении интегральных уравнений Вольтерра и псевдообратных матриц.

Практическая ценность. Данные алгоритмы могут быть использованы при создании многих других автоматических регуляторов и корректирующих устройств, в которых используются производные по времени регулируемых величин. Например, в системах управления температурой, давлением, скоростью движения и д.р. Разработанные алгоритмы цифрового дифференцирования сигналов применялись компанией «ЭлеСи» при разработке регуляторов систем управления асинхронными электроприводами. Использование разработанного устройства позволило уменьшить погрешность регулирования скорости вращения ротора безредукторного электропривода лифтовой лебедки на 1012%, что позволяет обеспечить большую плавность хода, снизить вредные перегрузки и в целом повысить эксплуатационные характеристики.

Методы исследований. Для решения поставленных задач использовались методы теории вероятностей, математической статистики, методы линейной алгебры, методы оптимизации и методы численного моделирования.

При создании программного обеспечения для исследований синтезированных алгоритмов использовался пакет программ МАТЬАВ, а также написанные специально для него модули, позволяющие в полной мере исследовать все основные характеристики и свойства предлагаемых алгоритмов.

Защищаемые положения. На основе проведенного анализа существующих методов ЦДС и актуальности данной задачи, получены следующие оригинальные результаты, выносимые на защиту:

1) Реализована постановка задачи и сформулированы требования к алгоритму ЦДС в реальном масштабе времени, позволяющие учесть условия работы современных САУ;

2) Разработаны метод и алгоритм ЦДС, основанный на применении интегральных уравнений Вольтерра I рода и его программная реализация на языке программирования МаЙаЬ, позволяющие использовать данный метод в системах реального времени;

3) Способ регуляризации алгоритма ЦДС, основанный на применении интегральных уравнений Вольтерра I рода, позволяющий повысить устойчивость алгоритма и снизить ошибки оценивания производной.

4) Новый способ выбора параметров регуляризации СЛАУ, основанный на использовании относительных ошибок задания дифференцируемого сигнала и паспортных данных измерительного устройства о его точностных характеристиках.

5) Алгоритмическая и программная реализация, алгоритма цифрового дифференцирования, использована при создании ПИД-регулятора, интегрированного в систему управления скоростью вращения ротора асинхронного электропривода (подтверждено актом внедрения)

Достоверность результатов обеспечивается применением строгих математических методов решения задач, обоснованным использованием современных технологий разработки программного обеспечения, тестированием всех программных модулей, экспериментальным исследованием предложенных алгоритмов, а также результатами их внедрения и эксплуатации.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях, симпозиумах, семинарах:

1. Международной научно-практическая конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «СОВРЕМЕННЫЕ ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИИ». Томск, 2008.

2. Межрегиональной научно-технической конференции «Научная сессия ТУ СУР». Томск, 2008.

3. Международной научно-практическая конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «СОВРЕМЕННЫЕ ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИИ». Томск, 2009.

4. Четвертая научно-техническая конференция с международным участием «ЭЛЕКТРОТЕХНИКА, ЭЛЕКТРОМЕХАНИКА И ЭЛЕКТРОТЕХНОЛОГИИ». Новосибирск, 2009.

Диссертация выполнена в рамках:

1) Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы 2009-2011 годы» (проект 2249);

2) Госзадание Минобрнауки РФ ТУСУРу на 3011-2014 гг. (проект 1.1879.2011);

3) Договора о научно-техническом сотрудничестве между кафедрой электронных средств автоматизации и управления (ЭСАУ) ТУСУРа и отделом автоматизации электропривода (ОАЭП) ООО «Эле-Тим» компании «ЭлеСи»,

г. Томск.

Публикации. Основные результаты исследований по теме диссертации отражены в 15 публикациях, цитируемых по ходу изложения материала. Из них 3 (три) опубликованы в журналах, входящих в перечень периодических научных изданий, рекомендуемых ВАК.

Личный вклад автора. Постановка задач и разработка концептуальных положений диссертации выполнены совместно с научным руководителем,

д.т.н., профессором, A.A. Светлановым. Все научные результаты, представленные в диссертации, полученных лично автором или при его участии на всех этапах решения поставленной задачи. Основной объем математического моделирования выполнен автором единолично. Анализ результатов моделирования и экспериментов, а также формулировка основных результатов и выводов, выполнены совместно с A.A. Светлаковым. Некоторые результаты исследований получены совместно с соавторами опубликованных работ.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка использованных источников из 62 наименований. Объем основного текста диссертации составляет 124 страниц машинописного текста, иллюстрированного 19 рисунками и 6 таблицами.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность работы, формулируется цель и задачи исследований, отмечается научная новизна работы, приводится краткая характеристика диссертационной работы.

В первой главе формулируется постановка задачи ЦДС сигналов и осуществляется анализ ее особенностей. Проводится краткий обзор существующих методов решения рассматриваемой задачи и анализируются их достоинства и недостатки. Сформулированы требования к алгоритмам ЦДС в реальном масштабе времени.

Постановка задачи ЦДС и анализ ее особенностей.

1. Дифференцируемый сигнал S является некоторой непрерывной и хотя бы один раз дифференцируемой функцией s = i(f) времени t,

2. Измерения сигнала S осуществляются в дискретные моменты времени tk=tkA+ti,!t = 0,1,2,3,..., где ¿/-заданный интервал времени t, а t0= 0.

3. Измеренные значения sk = S(tk) сигнала S являются аддитивной смесью истинного значения sk=s(tk) сигнала S и ошибки его измерения

ек = E(tk) и, соответственно, удовлетворяют равенствам

Sk =Sk +£к,к = 0,1,2,3,... (1)

4. Ошибки измерения ек являются значениями случайных величин £к,к = 0,1,2,3,..., удовлетворяющих условиям вида

а) М{£к} = 0; б) /){£,} = <т,2 и в) М{£к£к_,} = 0, (2)

где М{£к)нО{£к) - математическое ожидание и дисперсия случайной величины £к, а М{£к£11\ - ковариация случайных величин £к и £к_\; <У1к- некоторое ограниченное неотрицательное число.

5. В каждый момент времени у нас имеются «измеренных значений

> (3)

сигнала полученных в моменты времени Здесь т - некото-

рое ограниченное натуральное число.

Сущность задачи ЦДС заключается в том, чтобы, используя имеющиеся в момент времени 1к измеренные значения (3), вычислять оценку рк его производной^ таким образом, чтобы имело место равенство рк~рк и это равенство выполнялось как можно точнее.

В изложенной выше математической постановке задача ЦДС решается на каждом такте регулирования, т.е. в каждый момент времени /к, к = т,т +),.... При этом на каждом такте осуществляется сдвиг её влево на одно измеренное значение и включение в неё нового значения , т.е. изъятие из неё значения и внесение в неё значения .

Анализ литературных источников, посвященных различным проблемам и методам ЦЦС ^ = ¿'(г), позволяет выделить следующие семь групп методов ЦДС 5:

1) методы, основанные на замене бесконечно малых приращений дифференцируемого сигнала и времени Л их конечными приращениями Дя и Д?; 2)методы, основанные на использовании различных интерполяционных полиномов; 3) методы, основанные на использовании сплайнов; 4) методы, основанные на использовании различных аппроксимирующих функций; 5) методы, основанные на использовании интегральных уравнений; 6) методы, основанные на преобразованиях Фурье и Лапласа; 7) методы, основанные на вейвлет-преобразованиях.

В связи с тем, что задача ЦДС должна решаться в составе автоматических и автоматизированных систем управления функционирующих в реальном масштабе времени, то очевидно, что любой алгоритм решения данной задачи должен удовлетворять следующим трём основополагающим требованиям:

а) должен быть предельно экономичным, обладать достаточно высоким быстродействием и доступным для реализации в системах реального времени;

б) его применение должно обеспечивать достаточно высокую точность вычисляемой с его помощью производной дифференцируемого сигнала;

в) должен быть максимально робастным и, тем самым, обеспечивать высокую устойчивость вычисляемой производной к ошибкам задания дифференцируемого сигнала.

Отмеченные требования, являются изначально противоречивыми и, следовательно, удовлетворить в полной мере и одновременно всем этим требованиям в принципе невозможно. Это стимулирует проведение исследований по совершенствованию методов и разработке новых методов ЦДС, применение которых позволяет выбирать компромиссные варианты, приемлемые для использования при решении реальных прикладных задач.

Во второй главе работы рассмотрены интегральные уравнения В. Воль-терра. Выбор именно их для синтеза методов и алгоритмов ЦДС обусловлен, во-первых, тем, что их использование позволяет синтезировать практически неограниченное множество методов и алгоритмов подобного назначения. Во-вторых, получаемые с их применением методы и алгоритмы ЦДС достаточно легко поддаются регуляризации различными методами. В-третьих, они являются альтернативой обыкновенным дифференциальным уравнениям и позволяют синтезировать не только методы и алгоритмы ЦДС, но и методы и алгоритмы построения математических моделей достаточно широкого класса динамических объектов, а также синтеза управлений данными объектами.

Рассмотрены способы решения уравнений подобного класса и примеры задач, при решении которых применяются интегральные уравнения Вольтерра I рода. Синтезирован и исследован алгоритм ЦДС, в основе которого лежит хорошо известная связи между сигналом s(t) и его производной n-го порядка, которая адекватно описывается интегральным уравнения следующего вида:

}—!—(/-г rWWr^O). (4)

о'(и-1)!

Здесь р(п) (0 -производная n-го порядка от сигнала S в моменты времени t, а т - переменная интегрирования.

Полагая в данном уравнении п=1 и учитывая при этом хорошо известные равенства, 0! = 1 и {t-rf =1, можно видеть, что для производной первого порядка p(t) сигнала s(t) уравнение (4) имеет следующий вид:

t

J p(T)dT = s(t), (5)

о

В оговоренных выше условиях можно вести речь о решении интегрального уравнения (5) только численными методами, заменяя при этом данное уравнение некоторой системой линейных алгебраических уравнений, решение которой близко к решению данного интегрального уравнения.

Учитывая данное обстоятельство, заменим уравнение (5) системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), аппроксимируя при этом интеграл суммой по формуле прямоугольников. В результате получим СЛАУ:

5>(<0 + f,) = s(/0+/t);* = l,m.

/-0

Приведем систему (6) к следующему векторно-матричному виду:

i i К-p = s,

(6)

(7)

Здесь р - m-мерный вектор-столбец оценок производной p(t) в моменты време-

_ i

ни ti-k = \,т; ш - натуральное число, удовлетворяющее равенству т = t / At; s -

m-мерный вектор-столбец измеренных значений сигнала S в эти же самые моменты времени tk,T- символ операции транспонирования векторов и матриц, а К- квадратная порядка m матрица коэффициентов. Матрица К и обратная к ней матрица/Г1 определяются следующими равенствами:

(8)

"дг' 0 0 0

'At 0 • ■ 0"

-дг1 дг1 0 0

At At ■ 0

К = 0 -At 0 0

• 0

At At ■ • At.

0 0 ■ • -дг' дг

i

Решением уравнения (7) является вектор р, определимый равенством:

1 i р = К'1 s .

(9)

Представим данное равенство в развёрнутом, учитывая при этом равенства (8) и (7). В результате получаются следующие равенства:

а) А

= SjAT1

б) рк = -)Д< 1, к = 2,т.

(10)

Рассмотрим теперь одну из оценок рк, вычисляемых в согласно равенству (106). Имея в виду наши дальнейшие цели, заменим у них индекс "к" на 'Ч", а саму оценку рк обозначим символом р,. В результате получим равенство

Р, = = +(в,-£,_1)АГ1 , (11)

позволяющее видеть: 1) при малых значениях Дг слагаемое -5,.,)ДГ' оказывается достаточно точной оценкой производной р, и поэтому можно считать, что имеет место следующее равенство:

р, = р, +Ае,АГ',Ае, = е,(12)

2) при малых значениях Дг и конечном значении Ас, слагаемое Ае,АГ' может оказаться чрезмерно большим, а оценка р, - не иметь ничего общего со значением р,; 3) оценка р, производной р,, вычисляемая в соответствии с данным равенством, оказывается чрезмерно чувствительной к ошибкам задания значений сигнала 5, а задача её вычисления - классическим примером, некорректной задачи.

В третьей главе рассматриваются два метода регуляризации. Первый, так называемый «традиционный» метод, предложенный академиком АН СССР Тихоновым А.Н., широко применяется в современных цифровых методах оценки неизвестных величин. Второй метод, называемый «нетрадиционным», пока не так широко известен и применятся не так часто, как отмеченный выше. Однако, как показано в этой главе, он обладает рядом значительных преимуществ и прежде все таких, как простота и естественность его идейных основ. Данный метод не требует использования различного рода сглаживающих и стабилизирующих функционалов и функций. Он позволяет достаточно просто использовать имеющуюся информацию об ошибках задания дифференцируемого сигнала и их вероятностно-статистических характеристиках.

В основе предлагаемого в работе нетрадиционного метода регуляризации плохо обусловленных СЛАУ лежат следующие пять оригинальных и достаточно логически обоснованных идей, составляющих в своей совокупности его содержательную и математическую сущности.

Первая из них заключается в том, что СЛАУ (7) заменятся системой линейных алгебраических уравнений, имеющей следующий вид:

14 1

Кр+е = 3, (13)

1 11 где, как и в СЛАУ (11), р- вектор оценок компонент вектора р, а е- вектор

оценок ошибок оценивания значений р1, обусловленных заменой интегрального уравнения (5) СЛАУ (7) и наличием ошибок е, в измеренных значениях 5к сигнала 5,

Вторая идея, лежащая в основе предлагаемого метода, заключается в ве-

1

дении 2т - мерного вектора х, определяемого равенством

£ = . (14)

- -

где р = \ р \ , а е = е и замене СЛАУ (13) системой уравнений вида

ВхЛ. 05)

Здесь В - прямоугольная (т х 2т) - матрица, определяемая равенством

ю

В = (К\Ет)т, (16)

где Ет - единичная порядка т матрица.

Третья из рассматриваемых идей состоит в использовании представления вектора е равенством вида

е = Оте', (17)

где От - некоторая диагональная порядка ш матрица, диагональные элементы

I

которой являются строго положительными числами, а е - некоторый га-мерный вектор-столбец, и замене СЛАУ (15) следующей системой уравнений:

В„Хо=5, О«)

матрица Вв и вектор хв которой определяются равенствами вида

а)В0={К\От) и б) хо .

Всюду ниже вместо СЛАУ (18) будем рассматривать СЛАУ вида

(19)

г г

Вх = 5, (2°)

4

полагая при этом, что её матрица Я и её решение х удовлетворяют следующим равенствам:

а)В = (КЮт) и б) ¿ = (2;?). (21)

Четвёртая основополагающая идея синтезируемого в работе метода регуляризации СЛАУ (7) заключается в том, что в качестве решения системы (20)

используется ее псевдорешение д:+ , определяемое равенством

1=В*5, (22)

где В*- прямоугольная (2тхт) - матрица, псевдообратная к матрицей.

Предпочтительность выбора из всего несчётного множества решений СЛАУ (21) в качестве интересующего нас решения данной СЛАУ именно ее

I I

псевдорешения х+ обусловлена, во-первых, тем, что псевдорешение х+ является, как уже отмечено выше, единственным решением СЛАУ (21). Во-вторых из всего множества решений данной системы, уравнений оно и только оно удовлетворяет условию

= аг§тт

1 41 ,Вх = з\,

(23)

где argrnin{...} - аргумент минимума величины, указанной в фигурных скобках

4 X

и удовлетворяющей указанным там же условиям;

х, определяемая равенством

= 1

( 2т

- евклидова норма вектора

(24)

Соотношения (23) и (24) означают, что из всего несчётного множества

4

решений совместной и недоопределенной СЛАУ (22) ее псевдорешение х+ имеет минимальную евклидову норму. Вполне очевидно, что именно это свой-

4

ство псевдорешения х+ выделяет его из всего несчётного множества возможных

решений данной системы и обеспечивает его единственность и, соответственно,

4

более высокую его устойчивость к ошибкам задания 5, по сравнению с любым другим её решением. В-третьих, для вычисления псевдообратной матрицы В* имеется целый ряд алгоритмов, что избавляет от необходимости заниматься разработкой методов и алгоритмов её вычисления.

Пятая идея, лежащая в основе нетрадиционного метода регуляризации СЛАУ (7), заключается в том, что в качестве дополнительной информации, необходимой для определения элементов <1Ц матрицы £>л, используются относительные ошибки измерения значений сигнала 5 и их оценки. Предпочтительность их использования по сравнению с использованием абсолютных погрешностей Д( измерений сигнала £ обуславливается тем, что в этом случае оказывается возможным воспользоваться сведениями о точностных характеристиках измерительных устройств, приводимыми в эксплуатационно-технической документации (технических паспортах, инструкциях по эксплуатации и т.п.), прилагаемой к измерительным устройствам. Реализуется данная идея следующим, предельно простым способом.

Разделим обе части каждого из уравнения СЛАУ (13) на его правую часть. В результате получим СЛАУ вида

(25)

Д*/Дг, 0 0 (V 'Г

Д//Д$2 д< / д?2 • 0 Рг + Зг = 1

дг/д?„ • .Р., А.

где 6] =е1 / оценка фактически неизвестной нам относительной ошибки ¿¿измерения значения ^. Особенность данной СЛАУ в том, что компоненты её пра-

вой части имеют равные значения и эти значения равны 1.0. Данная особенность СЛАУ является существенно важной, так как позволяет без каких либо дополнительных вычислений видеть и оценивать «вклад» каждого из столбцов

I 4

матрицы Кт(ККТ + О]) 1 в оценку р векторар.

Решение СЛАУ (13) в описанных выше условиях принимает следующий

вид

а) р = КТ(ККТ + О2)"15; б) е' = йт(ККт + £ и в) е = Огт(ККт + О*)4 5. (26)

Проведённые численные экспериментальные исследования, рассмотренного выше, метода регуляризации ЦЦС, показали, что:

1. Предложенный нетрадиционный метод регуляризации задачи ЦДС позволяет решать данную задачу не менее успешно, чем применение традиционного метода регуляризации, предложенного академиком А.Н. Тихоновым.

2. Для всех рассмотренных в работе видов сигналов предложенный метод регуляризации позволяет снизить ошибки в оценках по сравнению с оценками, полученными традиционным методом регуляризации, предложенным академиком Тихоновым. Для некоторых сигналов его применение позволяет снизить ошибку дифференцирования на 70% .

В четвёртой главе представлены результаты математического моделирования системы векторного управления асинхронным электроприводом а также результаты их практического применения Моделирование производилось в системе математического моделирования БилиНг^, в ходящей в состав программного продукта \iatlab. Структурная схема, используемая для моделирования, приведена на рисунке 1.

Рисунок 1 структурная схема математической модели.

Важнейшим и основным элементом данных систем является ПИД — регулятор, основной задачей которого является управление режимом работы электропривода. В ней же представлены результаты сравнения качества регулиро-

13

вания, осуществляемого системами с классическим ПИД-регулятором и ПИД-регулятором, в основе которого лежит синтезированный в предыдущей главе метод ЦДС. Применение синтезированного алгоритма позволило уменьшить погрешность регулирования на 34%. Синтезированный ПИД-регулятор нашел свое применение в преобразователях частоты ЕБО-ТСЬ выпускаемых компанией «ЭлеСи», г. Томск. Данный преобразователь частоты разработан специально для, применения в составе главного привода грузопассажирских лифтов жилых и административных зданий, и предназначен для управления скоростью вращения и крутящим моментом электродвигателей (ЭД) переменного тока мощностью от 3,7 до 22 кВт. Использование предложенного метода дифференцирования позволило повысить точность регулирования скорости вращения ротора безредукторного электропривода лифтовой лебедки на 10-12%, что подтверждено актом внедрения.

В заключении представлены основные выводы и результаты диссертации в целом.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

При выполнении диссертационной работы получены следующие основные результаты:

1. Сформулирована задача ЦДС и рассмотрены её особенности, а также проведён краткий обзор наиболее распространенных методов её решения.

2. Синтезирован оригинальный способ регуляризации алгоритма ЦДС, основанный на сведении его к решению недоопределенной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и использовании псевдообратных матриц и псевдорешений.

3. Разаработан новый способ локальной и глобальной регуляризации пло-хообусловленных СЛАУ, основанный на введении в матрицу коэффициентов решаемой СЛАУ диагональной матрицы - матрицы регуляризации, позволяющей регуляризировать решаемую СЛАУ.

4. Синтезирован новый способ выбора параметров регуляризации СЛАУ, основанный на использовании относительных ошибок задания дифференцируемого сигнала и паспортных данных измерительного устройства о его точностных характеристиках.

5. Разработан и внедрён модифицированный ПИД - регулятор, входящий в состав САУ асинхронного электродвигателя, в котором в качестве алгоритма дифференцирования использован синтезированный алгоритм ЦДС. Использование разработанного устройства позволило повысить точность регулирования скорости вращения ротора безредукторного электропривода лифтовой лебедки на 10-12%, что позволяет обеспечить большую плавность хода, снизить вредные перегрузки и в целом повысить эксплуатационные характеристики.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ РАБОТЫ

1. Старовойтов Н.В.. Регуляризация алгоритма псевдообращения матриц по алгоритму Гревилля// Труды XI Международной научно-практическая конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «СОВРЕМЕННЫЕ ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИИ». Томск, 29 марта-2 апреля, 2005.-Томск: Изд-во ТПУ, 2005. -

С. 212-213

2. Старовойтов Н.В. Цифровое дифференцирование сигналов в реальном масштабе времени с применением скользящей квадратичной аппроксимации / A.B. Май-стренко, A.A. Светланов, Н.В. Старовойтов // Омский научный вестник. -2006.-№7(43), С. 106-108.

3. Старовойтов Н.В. Регуляризация простейшего алгоритма цифрового дифференцирования сигналов. / А.В.Майстренко, A.A. Светлаков, Н.В. Старовойтов // Научный вестник Новосибирского государственного технического университета.

- 2006. - № 4 (25). - С. 53-67.

4. Старовойтов Н.В. Некоторые результаты исследования цифрового дифференцирования сигналов основанного на применении квадратичной аппроксимации. / А.В.Майстренко, Н.В. Старовойтов//Материалы докладов межрегиональной научно-технической конференции «Научная сессия ТУСУР», Томск, 4-7 мая 2006. -Томск, 2006. - С. 73-75.

5. Старовойтов Н.В. Цифровое дифференцирования сигналов с применением скользящей аппроксимации и псевдообратных матриц [Текст] / А.В.Майстренко, Н.В. Старовойтов// Труды XII Международной научно-практическая конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «СОВРЕ-МЕННЫЕТЕХНИКАИ ТЕХНОЛОГИИ». Томск, 27 марта - 21 марта, 2006,-Томск: Изд-во ТПУ, 2006. Библиогр. - С. 165-168.

6. Старовойтов Н.В.. Применение регуляризации для простейшего метода цифрового дифференцирования на конечных приращениях сигнала и времени. / А.В.Майстренко, Н.В. Старовойтов // Труды XII Международной научно-практическая конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «СОВРЕМЕННЫЕ ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИИ». Томск, 27 марта - 21 марта, 2006.

- Томск: Изд-во ТПУ, 2006,- С. 168-170.

7. Старовойтов Н.В. Регуляризация алгоритма цифрового дифференцирования сигналов, основанного на использовании приращений дифференцируемого сигнала и времени / A.B. Майстренко, А.А.Светлаков, Н.В.Старовойтов. - М., 2006. - 37 с. Деп. в ВИНИТИ 08.06.2006., № 778-В2006.

8. Старовойтов Н.В. Регуляризация метода цифрового дифференцирования сигнала основанного на применении интегральных уравнений В.Вольтера. / Старовойтов Н.В., Майстренко А.В // Труды XIV Международной научно-практическая конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «СОВРЕМЕННЫЕ ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИИ». Томск, 2008. - Томск: Изд-во ТПУ, 2008. - С. 392-393.

9. Старовойтов Н.В. Выбор оптимального значения параметра регуляризации метода, основанного на применении интегральных уравнений В. Вольтерра / A.B. Майстренко, Н.В. Старовойтов // Материалы докладов межрегиональной научно-технической конференции «Научная сессия ТУСУР». - Томск. - 2008. - С. 255257.

10. Старовойтов Н.В. Определение коэффициентов математической модели разгонной характеристик асинхронного двигателя с помощью алгоритма чувствительности /

Старовойтов Н.В., Майстренко А.В // Труды XV Международной научно-практическая конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «СОВРЕ-МЕННЫЕТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИИ». Томск, 2009. - Томск: Изд-во ТПУ, 2009.-С. 289-291.

11.Старовойтов Н.В. Применение модифицированного алгоритма чувствительности для построения разгонной характеристик асинхронного двигателя / Старовойтов Н.В., Майстренко А.В // Труды XV Международной научно-практическая конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «СОВРЕМЕННЫЕТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИИ». Томск, 2009. - Томск: Изд-во ТПУ, 2009. - С. 291-293.

12.Старовойтов Н.В. Алгоритма чувствительности для построения разгонной характеристики асинхронного двигателя / А.В.Майстренко, Н.В. Старовойтов // Материалы докладов межрегиональной научно-технической конференции «Научная сессия ТУСУР». - Томск. - 2009. - С. 98-101.

13. Старовойтов Н.В. Математическая модель электропривода переменного тока. Электротехника, электроника и электротехнологии ЭЭЭ-2009 / A.B. Майстренко, Н.В. Старовойтов // Материалы четвёртой научно-технической конференции с международным участием. - Новосибирск: Изд-во НГУ, 2009. - С. 147-153.

14. Старовойтов Н.В. Синтез, исследование и сравнительный анализ ПИД-регулятора с функцией прогнозирования основанного на применении нового алгоритма дифференцирования / Старовойтов Н.В., Майстренко A.B. // Труды XVI Международной научно-практическая конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «СОВРЕМЕННЫЕ ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИИ». Томск, 2010. -Томск: Изд-во ТПУ. - С. 233-235.

15. Старовойтов Н.В. Цифровое дифференцирование сигналов с применением многоточечных методов в системах автоматического регулирования процессов /

A.B. Майстренко, A.A. Светлаков, Н.В. Старовойтов // Доклады ТУСУРа. -Томск. - 2009. - № 2(20). - С. 86-89.

Тираж 100. Заказ 1250. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40. Тел. 533018.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЦИФРОВОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ СИГНАЛОВ И ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ ЕЕ РЕШЕНИЯ.

1.1. Введение.

1.2. Постановка задачи цифрового дифференцирования сигнала и анализ ее особенностей.

1.3. Методы цифрового дифференцирования, основанные на замене бесконечно малых приращений дифференцируемого сигнала и времени их конечными приращениями

1.4. Методы цифрового дифференцирования сигнала, основанные на использовании интерполяционных полиномов.

1.5. Методы цифрового дифференцирования сигнала, основанные на использовании сплайнов.

1.6. Методы цифрового дифференцирования сигнала, основанные на использовании аппроксимирующих функций.

1.7. Методы цифрового дифференцирования сигнала, основанные на использовании интегральных уравнений В.Вольтерра.

1.8. Методы цифрового дифференцирования сигнала, основанные на частотных преобразованиях Фурье.

1.9. Методы цифрового дифференцирования сигнала, основанные на вейвлет преобразованиях.

2.2. Интегральные уравнения В. Вольтерра.38

2.3. Краткий обзор методов решения уравнений В. Вольтерра.45

2.3.1 Классификаций интегральных уравнений В. Вольтерра.45

2.3.2 Краткий обзор методов решения интегральных уравнений.46

В. Вольтерра 1-го рода.46

2.3.3 Краткий обзор методов приближенного решения интегральных уравнений

В. Вольтерра 1-го рода.48

2.3.4 Метод регуляризации решения интегрального уравнения.51

В. Вольтерра 1-го рода.51

2.3.5 Краткий обзор методов решения интегральных уравнений.52

В. Вольтерра П-го рода.52

2.3.6 Краткий обзор методов приближенного решения интегральных уравнений

В. Вольтерра Н-го рода.54

2.4. Синтез алгоритма цифрового дифференцирования сигналов, основанного на применении уравнений Вольтерра.56

2.5 Заключение.62

ГЛАВА 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА ЦИФРОВОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

СИГНАЛОВ, ОСНОВАННОГО НА ПРИМЕНЕНИИ УРАВНЕНИЙ В. ВОЛЬТЕРРА.64

3.1. Введение.64

3.2 Регуляризация алгоритма цифрового дифференцирования сигналов, основанного на применении уравнений В. Вольтерра методом Тихонова А.Н.64

3.3 Нетрадиционный подход к регуляризации алгоритма цифрового дифференцирования сигналов, основанного на применении уравнений В. Вольтерра. 66

3.3.1. Идейные основы нетрадиционного метода регуляризации СЛАУ(2.4.10).66

3.3.2. Общее решение СЛАУ (6.9) и четвёртая идея, лежащая в основе предлагаемого нетрадиционного метода регуляризации СЛАУ (2.4.10).71

3.3.3. Пятая основополагающая идея предлагаемого нетрадиционного метода регуляризации плохо обусловленной СЛАУ(2.4.10) и её реализация.79

3.4. Некоторые результаты экспериментальных исследований алгоритмов цифрового дифференцирования сигналов.84

3.5. Заключение.92

ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЕ СИНТЕЗИРОВАННОГО АЛГОРИТМА ЦИФРОВОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ СИГНАЛОВ В ВЕКТОРНОМ УПРАВЛЕНИИ.94

4.1 Введение.94

4.2 Идейные основы и история развития векторного управления асинхронным электроприводом.94

4.3 Математическое моделирование систем управления асинхронным электроприводам.96

4.3.1 Технические характеристики электропривода 4А112МВ6УЗ.96

4.3.2 Математические соотношения для расчёта параметров математической модели электропривода.97

4.3.3 Теоретические основы ПИД - регулирования.102

4.3.4 Математическое моделирование САУ трех фазным электроприводом.105

4.3.5 Математическое моделирование САУ однофазным электроприводом.109

4.4 Преобразователей частоты Е8В-ТСЬ.111

4.5 Дифференциатор на базе ПЛК ЭЛСИ-ТМ.112

4.6 Дифференциатор на базе сигнального микроконтроллера ТМ8320Г2812.114

4.7 Заключение.116

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.117

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.119

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Бурные темпы развития современной микропроцессорной техники, повышение её надёжности и снижение её стоимости, позволяют разрабатывать новые и совершенствовать уже существующие алгоритмы решения прикладных задач в реальном масштабе времени, эффективное решение которых в недалеком прошлом было не возможным. Ярчайшим примером подобной задачи является, задача дифференцирования сигналов (функций времени) или, что, то же самое, вычисления их производных. С данной задачей приходится сталкиваться в самых разнообразных отраслях науки и техники. К ним прежде всего стоит отнести отрасли науки и техники, связанные с математическим моделированием различных динамических процессов и объектов, описываемых дифференциальными уравнениями, и с автоматизацией управления и регулирования данными процессами. Совершенно очевидно, что без умения достаточно эффективно решать данную задачу невозможно вести речь о создании как математических моделей, описывающих с высокой точностью реальные объекты автоматизации, так и автоматических, регуляторов, обеспечивающих реализацию технологических процессов в соответствии с заданными режимами и с достаточно высокой точностью. Это обусловливается тем, что без использования первой и более высокого порядка производных регулируемых переменных и знания достаточно точных оценок их значений невозможно создавать, моделировать и, тем более, реализовывать автоматические регуляторы, удовлетворяющие отмеченным выше требованиям.

Как показал анализ литературных источников [1, 2], основываясь на традиционных аналоговых дифференцирующих цепочках и усилителях, оказывается невозможно создать идеальный или достаточно близкий к нему дифференциатор (аппаратное устройство, реализующее алгоритм 4 дифференцирования), позволяющий дифференцировать преобразуемый сигнал и получать достаточно точную оценку его производной. Основным препятствием, возникающем при создании таких дифференциаторов, является их физическая нереализуемость или неосуществимость. Проведений анализ [3] также показал, что данное препятствие можно обойти, если при создании дифференциаторов использовать современные методы цифрового (или, как их еще нередко, называют численного [3]) дифференцирования сигналов. Высокие точностные характеристики и быстродействие современных микропроцессоров и существующие тенденции их устойчивого роста позволяют видеть, что создание на их основе дифференциаторов сигналов, пригодных для использования в реальном масштабе времени, является вполне разрешимой задачей и возможности её успешного решения с каждым годом всё более расширяются.

Хорошо известной особенностью [4] задачи цифрового дифференцирования наблюдаемого сигнала, значения которого заданы с ошибками, и получения достаточно точных оценок его производных является её некорректность (более подробно анализ причин некорректности задачи цифрового дифференцирования сигналов будет рассмотрен в главе 1). Отмеченная особенность данной задачи делает её решение далеко не тривиальным и зачастую трудно реализуемым. Но данное препятствие, как уже было сказано ранее, можно обойти, используя современные средства микропроцессорной техники и методы цифрового дифференцирования сигналов.

Отмеченные выше особенности задачи цифрового дифференцирования сигналов и её актуальность во многих отраслях науки и техники стимулируют проведение дальнейших исследований с целью создания таких методов и алгоритмов её решения, которые бы позволяли получать достаточно точные и устойчивые к ошибкам задания измеряемых сигналов оценки их производных по времени и были доступными для программной и аппаратной реализаций современными средствами микропроцессорной техники.

Цель диссертационной работы - заключается в разработке и исследовании методов и алгоритмов ЦДС, устойчивых к ошибкам в задании сигнала и доступных для реализации в автоматических системах контроля и управления, функционирующих в режимах реального времени. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) сформулировать математическую постановку задачи ЦДС в рамках автоматических и автоматизированных систем (устройств), функционирующих в реальном масштабе времени, и основные требования, которым должны удовлетворять методы и алгоритмы ЦДС, функционирующие в реальном масштабе времени;

2) синтезировать алгоритм ЦДС, с использованием интегральных уравнений Вольтерра I рода и реализовать их программно для современных микроконтроллеров и других средств вычислительно техники;

3) синтезировать новый алгоритм регуляризации ЦДС сигналов, основанный на использовании недоопределенных систем линейных алгебраических уравнений и их псевдорешений:

4) сравнить синтезированные методы и алгоритмы ЦДС и их регуляризации с методами и алгоритмами подобного назначения, предложенными академиком АН СССР Тихоновым А.Н.;

5) внедрить синтезированные способы и алгоритмы ЦДС в ПИД-регулятор, используемый в автоматической системе управления асинхронным электродвигателем.

Методы исследований. Для решения поставленных задач использовались методы теории вероятностей, математической статистики, методы линейной алгебры, методы оптимизации и методы численного моделирования. При создании программного обеспечения для исследований синтезированных алгоритмов использовался пакет программ МАТЬАВ [5,6], а также написанные специально для него модули, позволяющие в полной 6 мере исследовать все основные характеристики и свойства предлагаемых алгоритмов.

Защищаемые положения. На основе проведенного анализа актуальности данной задачи и существующих методов цифрового дифференцирования сигналов и актуальности данной задачи:

1) Реализована постановка задачи и сформулированы требования к алгоритму цифрового дифференцирования сигналов в реальном масштабе времени.

2) Разработан метод цифрового дифференцирования сигналов, основанный на применении интегральных уравнений Вольтерра 1-рода и его программная реализация на языке программирования Ма11аЬ.

3) Способ регуляризации алгоритма цифрового дифференцирования основанного на применении интегральных уравнений Вольтерра 1-рода.

4) Алгоритмическая и программная реализация на языке программирования, алгоритма цифрового дифференцирования, использована при создании ПИД-регулятора, интегрированного в систему управления скоростью вращения ротора асинхронного электропривода (подтверждено актом внедрения).

Достоверность результатов обеспечивается применение строгих математических методов решения задач, обоснованным использованием современных технологий разработки программного обеспечения, тестированием всех программных модулей, экспериментальным исследованием предложенных алгоритмов, а также результатами их внедрения и эксплуатации.

Научную новизну полученных в работе результатов определяют:

1. Алгоритм ЦДС, полученный применением уравнения Вольтерра I рода и численного интегрирования функций методом прямоугольников, доступный для реализации в системах реального времени.

2. Оригинальный способ регуляризации НДС, основанный на сведении его к решению недоопределенной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и использовании псевдообратных матриц и псевдорешений.

3. Новый способ локальной и глобальной регуляризации плохообусловленных СЛАУ, основанный на введении в матрицу коэффициентов решаемой СЛАУ диагональной матрицы - матрицы регуляризации, позволяющей в широких пределах регуляризировать решаемую СЛАУ.

4. Новый способ выбора параметров регуляризации СЛАУ, основанный на использовании относительных ошибок задания дифференцируемого сигнала и паспортных данных измерительного устройства о его точностных характеристиках.

5. Модифицированная структура ПИД - регулятора, в котором в качестве алгоритма дифференцирования использован синтезированный алгоритм, основанный на применении интегральных уравнений Вольтерра и псевдообратных матриц.

Синтезированный алгоритм наряду с теоретической ценностью, подтвержденной экспериментальным путем с помощью моделирования, имеют так же вполне реальную практическую ценность.

Практическая ценность. Данные алгоритмы могут быть использованы при создании многих других автоматических регуляторов и корректирующих устройств, в которых используются производные по времени регулируемых величин. Например, в системах управления температурой, давлением, скоростью движения и д.р. Разработанные алгоритмы цифрового дифференцирования сигналов применялись компанией «ЭлеСи» при разработке регуляторов систем управления асинхронными электроприводами. Использование разработанного устройства позволило уменьшить погрешность регулирования скорости вращения ротора безредукторного электропривода лифтовой лебедки на 10-12%, что позволяет 8 обеспечить большую плавность хода, снизить вредные перегрузки и в целом повысить эксплуатационные характеристики.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях, симпозиумах, семинарах:

1. Международной научно-практическая конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «СОВРЕМЕННЫЕ ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИИ». - Томск, 2008.

2. Межрегиональной научно-технической конференции "Научная сессия ТУ СУР". - Томск, 2008.

3. Международной научно-практическая конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «СОВРЕМЕННЫЕ ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИИ». - Томск, 2009.

4. Четвертая научно-техническая конференция с международным участием «ЭЛЕКТРОТЕХНИКА, ЭЛЕКТРОМЕХАНИКА И ЭЛЕКТРОТЕХНОЛОГИИ». Новосибирск - 2009.

Публикации. Основные результаты исследований по теме диссертации отражены в 15 публикациях, цитируемых по ходу изложения материала. Из них 3 (две) опубликованы в журналах, входящих в перечень периодических научных изданий, рекомендуемых ВАК.

Личный вклад автора. Диссертация написана с использованием результатов, полученных лично автором или при его участии на всех этапах решения поставленной задачи.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка использованных источников из 62 наименований. Объем основного текста диссертации составляет 124 страниц машинописного текста, иллюстрированного 19 рисунком и 6 таблицами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе проведен анализ существующих методов решения задачи цифрового дифференцирования сигналов, обсуждаются их особенности, достоинства и недостатки. В связи с тем, что существующие методы решения рассматриваемой задачи не отвечают в полной мере предъявляемым к ним требованиям, был синтезирован новый алгоритм цифрового дифференцирования сигналов, предназначенный для решения большого круга задачи, обладающий при этом более высокой устойчивостью к ошибкам в задании исходного сигнала.

При выполнении диссертационной работы получены следующие основные результаты:

1 Сформулирована задача ЦДС и рассмотрены её особенности, а также проведён краткий обзор наиболее распространенных методов её решения.

2. Синтезирован оригинальный способ регуляризации алгоритма ЦДС, основанный на сведении его к решению недоопределенной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и использовании псевдообратных матриц и псевдорешений.

3. Разаработан новый способ локальной и глобальной регуляризации пло-хообусловленных СЛАУ, основанный на введении в матрицу коэффициентов решаемой СЛАУ диагональной матрицы - матрицы регуляризации, позволяющей регуляризировать решаемую СЛАУ.

4. Синтезирован новый способ выбора параметров регуляризации СЛАУ, основанный на использовании относительных ошибок задания дифференцируемого сигнала и паспортных данных измерительного устройства о его точностных характеристиках.

5 Разработан и внедрён модифицированный ПИД - регулятор, входящий в состав САУ асинхронного электродвигателя, в котором в

117 качестве алгоритма дифференцирования использован синтезированный алгоритм ЦДС. Использование разработанного устройства позволило снизить ошибку регулирования скорости вращения ротора безредукторного электропривода лифтовой лебедки на 10-12%, что позволяет обеспечить большую плавность хода, снизить вредные перегрузки и в целом повысить эксплуатационные характеристики.

1. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа: Учебник для вузов. — М.: Наука, 1989. — 735 с.

2. Смирнов В.И Курс Вышей математики. Том I — М.: Наука, 1974. — 479 с.

3. Макаров И.П. Дополнительные главы математического анализа. — М.: Просвещение, 1968. — 311 с.

4. Гулин А. В. Самарский А. А. Численные методы: Учеб. пособие для вузов.

5. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. — 432 с.

6. Лазарев Ю. Моделирование процессов и систем в MATLAB Учебный курс.

7. СПб.: Питер; Киев: Издательская группа BHV, 2005. — 512 с.

8. Черных И.В. Моделирование электротехнических устройств в MATLAB, SimPowerSystems и Simulink. — СПб.: Питер, 2008. — 288 с.

9. Морозов В.А. О задаче дифференцирования и некоторых алгоритмах приближения экспериментальной информации // Вычислительные методы и программировани. — 1970. — с. 46-62

10. Бахвалов Н.С. Численные методы. — М.: Наука, 1975. — 632 с.

11. Самарский A.A. Введение в численные методы: Учебн. пособие для вузов.; 2-е изд. перераб. и доп — М.: Наука, 1987. — 288 с.

12. Ерофеев A.A. Теория автоматического управления: Учебник для вузов. — СПб.: Политехника, 1998. — 245 с.

13. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1963. — 432 с.

14. Воеводин В.В. Линейная алгебра. — М.: Наука, 1974. — 336 с.

15. Светлаков A.A., Старовойтов Н.В. Майстренко A.B. Регуляризация простейшего алгоритма цифрового дифференцирования сигналов // Научный вестник Новосибирского государственного технического университета. — №4., Выпуск 25. — 2006. — с. 53-67

16. Светлаков A.A., Старовойтов Н.В. МайстренкоА.В. Регуляризация алгоритма цифрового дифференцирования сигналов, основанного на использовании приращений дифференцируемого сигнала и времени; 08.06.2006., №778-В2006. — М.: Деп. в ВИНИТИ, 2006. — 37 с.

17. Светлаков A.A., Старовойтов Н.В. Майстренко A.B. Цифровое дифференцирование сигналов с применением многоточечных методов в системах автоматического регулирования процессов. // Доклады ТУСУРа. — №2., Выпуск 22. — 2009. — с. 86-89

18. Воеводин В.В. Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы. — М.: Наука, 1966. —248 с.

19. Жидков Н. П., Березин И.С. Методы вычислений. Том первый. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. — 464 с.

20. Субботин Ю.Н., Стечкин С.Б. Сплайны в вычислительной математике. — М.: Наука, 1975. —264 с.

21. Нильсон Э., Уолш Дж., Алберг Дж. Теория сплайнов и ее приложения. — М.: Мир, 1972. —316 с.

22. Фаддеева В.Н., Фаддеев Д.К. Вычислительные методы линейной алгебры.; 2-е издание — М.: Наука, 1963. — 656 с.

23. Светлаков A.A., Старовойтов Н.В., Майстренко A.B. Цифровое дифференцирование сигналов в реальном масштабе времени с применением скользящей квадратичной аппроксимации. // Омский научный вестник. — №7(43), — 2006. — с. 106-108.

24. Светлаков А.А Обобщённые обратные матрицы: некоторые вопросы теории и применения в задачах автоматизации управления процессами. — Томск: Изд-во НТЛ, 2003. — 388 с.

25. Снеддон И. Преобразование Фурье. — М.: Издательство иностранной литературы, 1955. — 668 с.

26. Степанов P.A., Фрик П.Г., Патрикеев И.А. Вейвлет регуляризация операции дифференцирования сигналов с шумом. // Вычислительные методы и программирование. — №6, — 2005. — с. 35-4.

27. Тихонов Н. А., Васильева А. Б. Интегральные уравнения.; 2-издание — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 160 с.

28. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. — М.: Наука, 1976. —286 с.

29. Лифшиц Е. М., Ландау Л. Д. Механика; 4.е изд., испр. — М.: Наука, 1988. — 216с.

30. Вольман В. И. Техническая электродинамика: Учебник для вузов. — М.: Связь, 1971, —486 с.

31. Владимиров B.C. Уравнения математической физики; 5-е издание — М.: Наука, 1988. —512 с.

32. Полянин А. Д., Манжиров А. В. Методы решения интегральных уравнений: Справочник. — М.: Факториал, 1999. — 272 с.

33. Кристалинский Р. Е. Преобразования Фурье и Лапласа в системах компьютерной математики : Учебное пособие для вузов. — М.: Горячая линия-Телеком, 2006. — 216 с.

34. Лере Ж. Обобщенное преобразование Лапласа. — М.: Мир, 1969. — 167 с.

35. Никольский С. М. Квадратурные формулы.; 4-е изд.,доп — М.: Наука, 1988. —256 с.

36. Сизиков B.C., Верлань. А.Ф. Интегральные уравнения методы алгоритмы программы. — Киев: Наукова думка, 1986. — 544 с.

37. Арсенин В.Я., Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач.; 2-е издание — М.: Наука, 1979. — 286 с.

38. Дёч Г. уководство к практическому применению преобразования Лапласа. С приложением таблиц, составленных Р. Гершелем — М.: Наука, 1965. —287 с.

39. Тихонов А.Н. О нормальных решениях приближенных систем линейных алгебраических уравнений. // Доклады АН СССР. — №254, — Выпуск 3. — 1980. —с. 549-554.

40. Тихонов А.Н. О приближенных системах алгебраических уравнений. // Вычислительная математика и математическая физика. — №20, — Выпуск 6.1980, —с. 1373-1383.

41. Светлаков A.A. Обобщённые обратные матрицы: некоторые вопросы теории и применения в задачах автоматизации управления процессами. — Томск: Изд-во НТЛ, 2003. — 388 с.

42. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 575 с.

43. Ильин В.А. Основы математического анализа. В 2 ч. 4.1: Уч. для вузов.

44. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 648 с.

45. Чеботарев Н.Г. Теория алгебраических функций. — М.: Изд-во ЛКИ, 2007, —400 с.

46. Старовойтов Н.В. Труды XI Международной научно-практическаяконференции студентов, аспирантов и молодых ученых «СОВРЕМЕННЫЕ122

47. ТЕХНИКА И ТЕХНОЛОГИИ» // Регуляризация алгоритма псевдо обращения матриц по алгоритму Гревилля. — Томск, 29 марта 2 апреля, 2005. — с. 9395.

48. Голубь Б.И., Аныферов С.С. Общая теория измерений: учебное пособие. — СПб.: Гор. Линия-Телеком, 2006. — 176 с.

49. Новиков В. А., Соколовский Г. Г. Башарин А. В. Управление электроприводами: Учебное пособие для вузов. — Л.: Энергоиздат, 1982. — 392 с.

50. Чернышев А.Ю., Чернышев И.А., Дементьев Ю.Н. Автоматизированный электропривод: Учебное пособие. — Томск: Изд-во ТПУ, 2009. — 224 с.

51. Ерошкин Е. А., Горячев О. В. Векторное управление асинхронными трехфазными двигателями // Электроника. — №4. — 1999. — с. 14-18

52. Виноградов А.Б. Векторное управление электроприводами переменного тока. — Иваново: Ивановский государственный энергетический университетимени В.И. Ленина, 2008. — 298 с.

53. Усольцев A.A. Частотное управление асинхронными двигателями. Учебное пособие. — СПб: ИТМО, 2006. — 94 с.

54. Кацман М.М. Справочник по электрическим машинам: Учебное пособие для студентов — М.: Издательский центр «Академия», 2005. — 480 с.

55. Старовойтов Н.В. Майстренко A.B. Материалы докладов межрегиональной научно-технической конференции "Научная сессия ТУСУР" // Применеие алгоритма чувствительности для построения разгонной характеристики асинхронного двигателя. — Томск, 2009. — с. 98101.

56. Старовойтов Н.В. Майстренко A.B. Электротехника, электроника и электротехнологии ЭЭЭ-2009 // Математическая модель электропривода переменного тока. — Новосибирск, 2009. — с. 147-153.

57. Хмельницка С.П., Гольдберг О.Д. Электромеханика: Учебник для студентов высших учебных заведений, под ред. Гольдберг О.Д. — М.: Издательский центр «Академия», 2007. — 512 с.

58. Ротач В.Я. Теория автоматического управления. Учебник для вузов. — М.: МЭИ, 2004,—400 с.

59. Зайцев Г. Ф. Теория автоматического управления и регулирования — М.: Выща школа, 1988. — 432 с.

60. Попов Е. П. Бесекерский В. А. Теория систем автоматическог оуправления — Спб: Профессия, 2003. — 750 с.