автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Построение фильтров и дифференциаторов на основе метода пространства состояний

од

На правах рукописи

ДЫЛЕВСКИЙ АЛЕКСАНДР ВЯЧЕСЛАВОВИЧ

ПОСТРОЕНИЕ ФИЛЬТРОВ И ДИФФЕРЕНЦИАТОРОВ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ

Специальность 05.13.01 "Управление и технических системах"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Воронеж—1998

Работа выполнена на кафедре технической кибернетики и автоматиче-. ского регулирования Воронежского государственного университета

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Г. И. Лозгачев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

А. П. Афанасьев, кандидат технических паук Н. Н. Миловидов

Ведущая организация: Институт проблем управления РАН

Защита состоится « » _ 1998 г. в 10' часов на заседа-

нии диссертационного совета К 003.63.01 в Институте системного анализа РАН по адресу: 117312 Москва, проспект 60 летня Октября, 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института системного анализа РАН

Автореферат разослан « / ¿' » С< >у<-? 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук

П. М. Хомяков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При синтезе высококачественных автоматических систем (например, систем управления с переменной структурой, систем экстремального регулирования, систем динамического контроля, прогнозирующих систем и т. д.) одной из важнейших задач является получение информации о высших производных выходного сигнала объекта управления или входного воздействия. Иногда производные можно непосредственно измерять, по значительно чаще наблюдению доступсп только сам полезный сигнал (входное воздействие или выходной сигнал объекта управления). В таких случаях по наблюдаемым значепиям полезного сигнала необходимо восстановить его производные. Получение значений производных обычно затруднено из-за наличия высокочастотных помех измерения полезного сигнала. Известные методы решения задачи многократпого дифференцирования широкого класса сигналов в этом случае оказываются малоэффективными. Действительно, для решения задачи дифференцирования в настоящее время, как правило, используются реальные (неидеальные) дифференциаторы и дифференцирующие фильтры Калмана.

Реальный дифференциатор, обладающий простой структурой и являющийся физически реализуемым устройством, в некоторой полосе частот, определяемой инерционностью [постоянной времени] дифференциатора, можно рассматривать как идеальное дифференцирующее устройство. При этом известно, что неидеальный дифференциатор подчеркивает высокочастотные помехи. Это обстоятельство не позволяет осуществлять качественное многократное дифференцирование, так как измерение сигналов, как правило, сопровождается высокочастотными помехами. Далее отметим, что класс сигналов, которые реальное дифференцирующее звено будет дифференцировать на полубесконечном интервале времени, является очень узким. Так, ошибка дифференцирования сигнала /(<) = <3 будет неограничено расти при I —> 4-ос. Следует заметить, что на конечном отрезке времени путем уменьшения инерционности реального дифференциатора можно добиться любой наперед заданной точности дифференцирования непрерывно дифференцируемых сигналов. Однако уменьшение постоянной времени неидеального дифференциатора приведет к снижению его помехозащищенности.

Дифференцирующий фильтр, впервые предложенный Р. Калманом, позволяет осуществлять асимптотически точное многократное диффе-

I

ренцирование полиномиальных сигналов. Отметим, что заданная точность дифференцирования достигается, в отличие от реального дифференцирующего устройства, при любых коэффициентах усиления, обеспечивающих выполнение лишь условия отрицательности вещественных частей полюсов дифференциатора. Следует добавить, что дифференцирующий фильтр Калмана является помехозащищенным по отношению к высокочастотным помехам.

Таким образом, весьма актуальной является проблема построения дифференциаторов, свободпых от указанных выше недостатков.

Рассмотрим основные подходы к решению задачи фильтрации сигналов. В том случае, если известны статистические характеристики полезного сигнала и помехи, то решение задачи фильтрации может быть получено с помощью методов, разработапных А. Н. Колмогоровым, Н. Винером, Р. Калманом. Если же статистические характеристики полезного сигнала неизвестпы, то решение задачи фильтрации может быть получено с помощью адаптивных фильтров. Однако для осуществления процедур адаптивной фильтрации приходится решать некоторую экстремальную задачу, что затрудняет реализацию адаптивных фильтров. Следует отметить, что новый класс адаптивных регуляторов, разработанный А. А. Красовским, позволяет с помощью наблюдателей Калмана решать задачу фильтрации в случае, когда полезный сигнал заранее неизвестен. Главное отличие новых адаптивных регуляторов от традиционных заключается в том, что оптимизация осуществляется на коротком интервале времени (оптимизация па очередной малый цикл или несколько таких циклов). Принцип построения таких регуляторов основан на аппроксимации сигналов функциями более простой природы (например, алгебраическими полиномами), для которых может быть синтезирован наблюдатель состояния. Теоретически рассмотрен наблюдатель с переменным временем интерполирования, построенный для полиномиальной функции. В настоящей диссертационной работе в качестве аппроксимирующих функций использовались квазиполиномы. При этом показано, что увеличение точности аппроксимации, т. е. повышение степени квазиполинома, а значит и размерности наблюдателя, позволяет существенно улучшить качество фильтрации без каких-либо процедур оптимизации. Такой подход дает возможность сочетать достоинства наблюдателей Калмана и волнового описания сигналов, предложенного С. Джонсоном для более полного использования известной информации о сигнале.

г

К задаче фильтрации примыкает задача восстановления сигнала, искаженного динамикой. Подобная задача является достаточно типичной и часто возникает при получении информации о состоянии объекта. Как правило, эта информация получается с помощью инерционных датчиков, инерционность которых плохо влияет на устойчивость замкнутой системы. Поэтому уменьшение инерционности датчиков в пекоторых случаях может иметь первостепенное значение.

Целью работы является разработка и обоснование метода построения фильтров и дифференциаторов для класса сигналов, определяемого решениями обыкновенного неоднородного дифференциального уравнения с ограниченной правой частью. Синтезированные дифференциаторы должны осуществлять для сигналов рассматриваемого класса асимптотически точное многократное дифференцирование или многократное дифференцирование с наперед заданной точностью, обладать помехоустойчивостью по отношению к высокочастотным помехам в канале измерения. На фильтры накладывается требование асимптотически точного оценивания или оценивания с наперед заданной точностью полезных сигналов при наличии аддитивных помех, принадлежащих достаточно широкому классу сигналов. Кроме того, фильтры и дифференциаторы должны допускать достаточно простую техническую реализацию.

Методы исследования. В диссертационной работе систематически используются понятия и методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, линейной алгебры, функционального и математического анализа, теории устойчивости, теории приближения функций действительного переменного, операционного исчисления, теории автоматического управления.

Научная новизна. Среди полученных в диссертации результатов отметим следующие:

1. Получены оценки точности восстановления наблюдателем состояния части фазовых координат дипамической системы с неизвестным входом.

2. Решена задача многократного дифференцирования на полу бесконечном интервале времени широкого класса сигналов, определяемого дифференциальными неравенствами. Первые производные полезного сигнала получаются одновременно. Построенный дифференциатор помехозащитен. Заданная точность дифференцирования может быть достигнута за счет увеличения размерности дифференциатора.

3. Разработан алгоритм построения модальных дифференциаторов широкого класса сигналов. Синтез дифференциаторов сводится к построению следящей системы с модальным регулятором объекта, представляющего собой цепочку интегрирующих звеньев. Показано, что ошибка дифференцирования сигналов рассматриваемого класса может быть сделана сколь угодно малой за счет увеличения порядка передаточной функции дифференциатора. Дифференциаторы, синтезированные на основе предлагаемого подхода, являются помехоустойчивыми по отношению к высокочастотным помехам.

4. Решена задача фильтрации на полубесконечном интервале времени широкого класса сигналов в присутствии аддитивной помехи измерений того же класса.

5. Доказан критерий полной наблюдаемости расширенной динамической системы, выражаемый через собственные числа матриц подсистем.

6. Решена задача восстановления сигнала, искаженного динамикой. Класс сигналов и динамических объектов достаточно широк.

7. Решена задача многократного дифференцирования на отрезке времени класса сигналов, определяемого дифференциальными неравенствами. Первые производные полезного сигпала получаются одновременно. Заданная точность дифференцирования может быть обеспечена увеличением размерности и степени устойчивости дифференциатора. Синтезированный дифференциатор является помехоустойчивым.

8. Решена задача фильтрации на отрезке времени класса сигналов, определяемого дифференциальными неравенствами, в присутствии аддитивной помехи измерений того же класса. Заданная точность фильтрации может быть достигнута за счет увеличения размерности и степени устойчивости фильтра.

Все основные результаты диссертационной работы являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность работы. Методы построения фильтров и дифференциаторов широкого класса сигналов, разработанные в диссертационной работе, позволяют решать актуальные проблемы теории автоматического управления, связанные с задачей фильтрации и мног ократного дифференцирования сигналов. Развиваемый в диссертации подход к синтезу дифференциаторов может найти широкое применение в различных разделах теории управления: в системах с переменной структурой, в оптимальном управлении, а также для синтеза

известных линейных законов управления, в которых используются производные. Разработанный метод построения фильтров позволяет существенно улучшить качество процессов регулирования и управления п реальных автоматических системах. Предлагаемые в диссертации способы синтеза фильтров и дифференциаторов ориентированы на практическое применение при решении конкретных задач и позволяют автоматизировать процесс создания и исследования фильтров и дифференциаторов с помощью ЭВМ. Полученные в диссертационной работе результаты применены для расчета Д-составляющей ПИД регулятора температуры в реакторе полимеризации изопрена. Синтезированный регулятор был реализован и показал хорошие результаты по сравнению с существующими регуляторами. Кроме того, разработанные в диссертации алгоритмы построения фильтров и дифференциаторов внедрены в программпой системе анализа и оптимизации электронных схем САНОС, использованной при проектировании целого ряда устройств аппаратуры средств связи для серийно выпускаемых изделий.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всероссийских семинарах "Нейроинформатика и ее приложения" (Красноярск, 1996, 1997), Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 1997), Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" (Дубна, 1998), научных семинарах Института системного анализа РАН и кафедры технической кибернетики и автоматического регулирования Воронежского госуниверситета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-9].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключепия, списка литературы из 77 наименований и приложения. Основная часть работы содержит 1G4 страницы машинописного текста и 34 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дастся общая характеристика рассматриваемых в диссертации вопросов, кратко изложено содержание диссертации, приводятся основные определения и обозначения, используемые в дальнейшем.

В частности, через MpWr"'n(T) (М,р = const. > 0, т,п G N, 1 — промежуток множества вещественных неотрицательных чисел) обозначим множество всех функций / £ С"~1('У}, являющихся решением (в

смысле Каратеодори) линейного дифференциального уравнения

/(в)(0 + aif{n~l)(t) + • • • + amf^(t) = №{t) = Vn(t), (1)

где и = п — т и <p„(t) — измеримая функция, удовлетворяющая неравенству

Iv»„(í)l ^ Mpv Vi е т. (2)

При р - 1 и V = 0 имеет место обозначите MWm{T) = M]_W'n-'n{T). Если ai = 0, г = 1,т, то множество MpWm,nl7) обозначаем i\lflW¿n'n(Т).

Класс функций МИ/т[(0, +оо) является достаточно широким. Действительно, алгебраические и тригонометрические многочлены, квазиполиномы, затухающие экспоненты и логарифмические функции удовлетворяют требуемым условиям. Подчеркнем, что класс MW'n [í0, +оо) вышеперечисленными функциями пе исчерпывается.

Множество MpWm'n(Т) содержит все сигналы, являющиеся выходом нейтральных и устойчивых динамических объектов.

В первой главе основное внимание уделяется возможным подходам к решению задач фильтрации и дифференцирования сигналов, приводятся историко-библиографические справки, ссылки па основные работы. Ставится исследовательская задача.

Во второй главе рассматриваются вопросы описания сигналов класса Л/И70т|/1,f>] и MWm[t0, +оо) некоторыми динамическими системами.

Так, если задан класс iMW™^,?)], то для любого е > 0 найдутся целые неотрицательные р и s, что для произвольной / £ MW™[a,b]

существует такой квазиполином р

F(t) = ^e-a,í(Qí(í)sinA<-f R,(t)cosfi,t), /=о

где «(, А € IR, Qi{t) и Л,(i) — алгебраические мпогочлены с вещественными коэффициентами, degQi(t) = q¡, (legR¡(t) = r¡, s = max{g¡,r/},

что для всех к = 0, тп — 1 и t £ [а, Ь] справедливо неравенство

Основываясь на этом факте, показано, что любой сигнал из класса MW¿"[a,b} может быть аппроксимирован на отрезке [а, Ь] с наперед заданной точностью е функцией, являющейся выходом некоторой динамической системы с неизвестным начальным состоянием.

Класс MW (7) (здесь п — гп, так как v — 0) можно рассматривать

как выход динамической системы с пеизвестным входом:

'¿(<) = АхЦ) + Вф),

1/(0 = Сх(1), (3)

где х(г) е кп, <р(г) е м, у{г) е м, а е кпхп, в е кпх\ с е м1хп:

......0.....;;;■■ • V"!,я = ГдЛ.сг=(1,0.....0). (4)

\— ап —ап_ 1 ... —а.\/ \ 1 /

Очевидно, что пара {а, с} полностью наблюдаема. Кроме того, в этой главе (§ 2) доказывается следующий критерий наблюдаемости расширенной системы.

Теорема 1. Пусть заданы матрицы А € К"Хп и С € К1хп такие,

что

А = ,Лт}, С = (СьС2,... ,Ст),

Л;€КП<Х"\ с,-ек1хп(, « = 17^,

и для любого г = 1, т матрица А{ имеет канонический вид, а матрица-строка С, = (1,0,..., 0). Тогда для полной наблюдаемости пары {А, С} необходимо и достаточно, чтобы

то

П = 0.

1=1

Здесь о(А{) — спектр матрицы А{.

В третьем параграфе, который носит вспомогательный характер, изучаются свойства наблюдателей состояния систем специального вида. В частности, показано, что коэффициенты усиления наблюдателя

№ = сщ,

где х{1) £ Е", у{{) е Н, К 6 М"х1, синтезированного для системы (3)-(4) при '-р{1) = 0, определяются по формуле

г-1

кт = (1Г — аг — ^^ г = 1, п. (6)

{=1

Здесь (1Г — коэффициенты желаемого характеристического многочлена

л

Л(р) = ае^ер - а + кс) = с1грп~г, (10 = 1. (7)

В третьей главе исследуется точность оценивания наблюдателем состояния части фазовых координат некоторых динамических систем.

В § 1 с помощью преобразования Лурье получены оценки решений систем дифференциальных уравнений в отклонениях.

Обозначим £(<) = х({) — х(<) и вычтем из системы (3) систему (5). В результате получим систему в отклонениях:

№ = (А-КС)^) + Вф), С(0бКв. (8)

Пусть желаемый характеристический многочлен (7) имеет вил

п

0(Р) = Ц(Р + ^), А^А;, гфз, (9)

Если числа А^Аг,... ,А„ образуют геометрическую прогрессию, т. е.

^з ~ /V-1 > /3 > 0, д>1, ¿ = (10)

то имеет место следующая оценка

К.МК^^^РЁ^, «-^о«.. (.1)

При <-р(1) = 0 имеем оценку Здесь

«=1 ¡=,'+1 Ьп = \\Н„\\ тах &(<0)|, (14)

Я„ — матрица преобразования Лурье, у1-1([3дп~1) — некоторый алгебраический многочлен степени г — 1 с вещественными положительными коэффициентами.

Пусть теперь собственные числа А^Аг,... , Ап образуют арифметическую прогрессию, т. е.

А, = а + в,(з - 1), а > 0, в. > 0, з = Т7п. (15)

Тогда имеем оценку

иок^^)^, <-1* <><., (.0)

где ф{-1((1) — некоторый алгебраический многочлен относительно <1 степени г — 1 с вещественными положительными коэффициентами.

Отметим, что наряду с оценкой (16) при </;(£) = 0 можно рассмотреть следуюн^ю

.-=1^,^*0, (17)

где /(,_¡(а) — некоторый алгебраический многочлен относительно а степени г — 1 с вещественными положительными коэффициентами.

Пусть теперь п ^ т, т. е. в неравенстве (2) V ^ 0. В этом случае

справедлива следующая оценка

+ <18>

где Х2,_1 (п) — некоторый алгебраический многочлен от п степени 2г — 1 с вещественными положительными коэффициентами.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в отклонениях (8), в которой а, = 0, г = 1,п, и характеристический многочлен О(р) матрицы А — КС имеет один корень кратности п, т. с.

В{р) = (р + а)п, а> 1. (19)

Построим для системы (8) функцию Ляпунова следующего вида

(20)

где

Д= -[(Л-Л'С)-']ТС, (21)

а матрица С? представляет собой сумму диагональной и кососимметри-ческой матриц. Элементы матрицы б находятся из уравнения

ГС = П. (22)

В том случае, если спектр матрицы А — КС является гурвицевым, а диагональные элементы матрицы (7 положительны, то функция Ляпунова, определяемая формулой (20), положительно определена. Производная функции V в силу системы (8) имеет вид

или

п п—1 тг

V = - дг,(; - <р [ X] £>+1 Лз -И* X] "'Я1'"] - (23)

.=1 ¿=1

где

л _ ^г1

С^-1 — биномиальные коэффициенты и — элементы матрицы С.

Известно, что в классе квадратичных форм положительная определенность влечет за собой положительную определенность по части переменных. Поэтому при п = 2я + 1 рассмотрим:

I I

Уш = - 92<м1г - V (24)

¿=1 ]=\

где т = 21, т = п — с; Тогда имеем оценку

j=i

¿=1

Здесь а > 1 и v = 2(s — I) + 1. Отсюда следует, что при выполнении условия

ЕЙ; > (26)

¿=1

где

gt(s)=- V1^ ' (27)

справедливо неравенство

йп < о. (28)

Таким образом, при а > max{l, р} за счет выбора достаточно большого s, а значит и п, число <t;(s) можно сделать сколь угодно малым при фиксированных М,р и га, тем самым сужая область, содержащую начало координат, в которой Vim ^ 0.

Аналогично рассматривается случай четного п. С помощью оценок, полученных в § 1 третьей главы, во втором параграфе на отрезке времени исследуются на устойчивость решения однородной системы дифференциальных уравнений в отклонениях. В частности, имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Если пара {Л, С} полностью наблюдаема ив системе (8) (ири (p(t) = 0 J имеем —щ S о(А — КС), i = 1, п, то для произвольного е > 0 и любого начального условия £(<о) существует такое а* > 0, что для каждого a > а* найдется матрица-столбец К* € R"*при которой —Hi — a € a( A — К* С) и неравенство

114(011 < е

выполняется для всех Ь £ (<0, <1].

Таким образом, сдпигая все собственные числа матрицы А—КС (корни многочлена О(р)) вдоль вещественной оси влево на одно и то же положительное число а, можно добиться того, чтобы все координаты вектора ошибки оценивания £(£) по модулю были меньше любого наперед заданного числа для всех < € ¿1]-

Отметим, что заданная точность восстановления координат вектора состояния системы (3) (при (¿>(<) = 0) достигалась за счет достаточно большой степени устойчивости наблюдателя для всех п координат вектора состояния, хотя реальный интерес представляют лишь первые тп (тп ^ п) координат. Поэтому рассмотрим следующую теорему.

Теорема 3. Пусть пара {А, С} полностью наблюдаема и собственные числа — Лх, — А2,... , —А„ матрицы А—КС системы (8) (при у?(<) = 0) выбраны в соответствии с (10). Тогда для произвольного е > 0, любого тп <; п и каждого £(<о) существует такое р' > 1, что для каждого /3 > Р* найдется матрица К* Е М" *1, при которой — А;(/3) € о (А - К'С), j = = 1,п, и неравенства

|&(<)| <е, 1=

имеют место для всех £ 6 ('о,'1]-

Для случая, когда числа — Ах, — А2,... , — Ап образуют арифметическую прогрессию (15) имеет место следующая теорема.

Теорема 4. Пусть пара {/1, С} полностью наблюдаема и собственные числа —А1, -А2,... , — А„ матрицы А—КС системы (8) (при <р(1) = 0) выбраны в соответствии с (15). Тогда для произвольного 6 > 0, любого тп ^ п и каждого £(*о) существует такое а* > 0, что для каждого а > а* найдется матрица К* £ й"* 1, при которой —А ¿(а) € а (А - К*С), ] — — 1, п, и неравенства

< £, г = 1~т,

выполняются для всех < £ (/0, ?]].

В §3 на полубескопечном интервале времени исследуется точность оценивания наблюдателем (5) части фазовых координат системы вида (3). С этой целью рассматриваются оценки, полученные в § 1. Кроме того, с помощью функции Ляпунова (20) доказана частичная устойчивость наблюдателя состояния, синтезированного для системы (3) в частном

случае (когда все элементы последней строки матрицы А нулевые).

Имеет место следующая теорема.

Теорема 5. Пусть для системы (8) выполнено условно (2) (при v — 0) и собственные числа. — Л],— ,-Ап матрицы А — КС удо-

влетворяют условию (10). Тогда для произвольного £ > О, любого m п и каждого начального условия £(tо) существует такое ¡3* > 1, что для любого (5 > ¡3* найдется матрица К* £ И"х 1, при которой — \j(/3) £ a (А — К*С), j — l,r¡, и неравенства

г = Т7ш,

выполняются для всех t > t0.

Таким образом, при любых начальных условиях £(<о) заданная точность восстановления первых ш координат вектора состояния системы (3) достигается при всех t > í0 за счет достаточно большой степени устойчивости (3 наблюдателя (5).

Рассмотрим теперь следующую теорему.

Теорема 6. Пусть для системы (8) выполнено условие (2) (при v — 0) и собственные числа —Ai, — Аг, • ■ • , — Ап матрицы А — КС удовлетворяют условию (10). Тогда для произвольного е > 0, любого натурального m < + 1 и каждого £(<о) существует такое q* > 1, что для любого q > q* найдется матрица К* размерности n х 1, при которой —Aj(q) £ a(A — К*С), j — 1 ,п, и существует такой момент времени t* > ¿o, что для всех t ^ t* выполняются неравенства |&(<)| < £, i = l~m.

Аналогично формулируется следующая теорема.

Теорема 7. Пусть для системы (8) выполнено условие (2) (при v = 0) и собственные числа —А], — Х2,... , — А„ матрицы А — КС удовлетворяют условию (15). Тогда для произвольного е > 0, любого m < п и каждого £(¿o) существует такое d* > 1, что для любого d > d* найдется матрица-столбец К*, при которой —\j(d) £ a (А — К*С), j = 1, п, и существует такое t* > t0, что для всех t ^ t* справедливы неравенства

|&(t)|<e, i = T7m.

Итак, заданная точность оценивания первых m компонент вектора состояния системы (3) достигается за счет достаточно большого расстояния между собственными числами наблюдателя, образующими арифметическую (или геометрическую) прогрессию, причем для произвольной степени устойчивости наблюдателя.

Рассмотрим еще одну теорему.

Теорема 8. Пусть задано множество MWm[tn, +00) up — const > 0. Предположим, что вещественные числа Aj, А2,... ,A„(n G N) образуют арифметическую прогрессию (15) при d > р. Тогда

Ve > 0 Зтг* > m Vtj > п* Ж = K(n) : -A¡(n) £ ст(Л - КС)

V/ G MpWm-n[t0,+oo) V£(<0) G R" ЭГ > f0 V/ ^ t*

Ш/)|<е) Vi=I7^Vj = M.

Таким образом, получен следующий результат: точность оценивания наблюдателем первых m производных сигналов класса MpW"'n [i0, +00) может быть достигнута за счет увеличения размерности системы уравнений, описывающей наблюдатель (при некотором уменьшении быстродействия наблюдателя).

Рассмотренные выше теоремы были доказаны для случая, когда матрица А — КС системы (8) имела действительные и различные собственные числа. При доказательстве этих теорем существенно использовалось преобразование Лурье, которое при кратных собственных числах матрицы А—КС выписатьне удается. Для системы дифференциальных уравнений в отклонениях (8), характеристический многочлен которой имеет один кратный корень, с помощью функции Ляпунова (20) доказана следующая теорема.

Теорема 9. Пусть задано множество AlW™[f0, +00) и р = const > 0. Предположим, что вещественное число а выбрано так, что a > р. Тогда

a) если тп — 21, I £ N, то для любого е. > 0 существует такое натуральное п* — 2s* + 1, s* € N, п* ^ т, что если для произвольного нечетного п > и*, функция f принадлежит множеству AipIIg™'" [i0, -f 00), то всякое решение системы (8) порядка п с начальным значением (.(to), удовлетворяющим условию

удовлетворяет при всех t > to неравенству

b) если m = 21 — 1, i 6 N, то для любого е > 0 существует такое натуральное п" — 2.?*, ,s* £ N, л* ^ т, что если для произвольного четного п > п*, функция f принадлежит множеству М(,И/0т'"[/0, +оо), то всякое решение системы (8) порядка п с начальным значением ((to), удовлетворяющими условию

' удовлетворяет при всех < > <о неравенству

Матрицы А (о; = 0, г = 1, пг,), В, С и Л* имеют соответствующие размеры.

В четвертой главе дается опнеапие алгоритма синтеза дифференциаторов и фильтров (§ 1), рассматривается построение модальных дифференциаторов (§2). Синтез модальных дифференциаторов сводится к построению следящей системы с модальным регулятором объекта, представляющего собой цепочку интегрирующих звеньев. Показано, что ошибка дифференцирования сигналов класса М\¥™[Ьо,+оо) может быть сделана сколь угодно малой за счет увеличения порядка передаточной функции дифференциатора. Дифференциаторы, синтезированные па основе предлагаемого подхода, являются помехоустойчивыми но отношению к высокочастотным помехам. Рассмотрим замкнутую систему, структурная схема которой изображена на рис. 1.

Рис. 1

Здесь / 6 Л/И-о^о+оо) и Игр(р) — передаточная функция регулятора, подлежащая дальнейшему определению. Обозначим

Тогда

где Ук(р) и F(p) — изображения по Лапласу функций ук№) и /(£) соответственно. Таким образом, передаточная функция \Уд0(р) является передаточной фупкцией рассматриваемой замкнутой системы. В качестве 1Уло (р) рассмотрим следующее выражение

Я(р)

\Ул0(р) =

ДрГ

ю

где — желаемый многочлен вида (9)-(10), причем

п п

П{р) = ^о = 1, <?(р) = £ 9«-РП_<' " > 2т-

|'=0 >=о

Коэффициепты <ц многочлена £?(р) выбираются из условия

Г(р) р(р) '

Положим Тогда

Пусть

<7,= 0, г = 0, т —1, = с/,-, » = т, п.

т-1

¿=0

г=т

Далее рассмотрим

<*(*) =/^(О-йФ. к =

или, в пространстве изображений,

= /Яр) - - П(Р), * = 07т,

где С?о*:(р) — алгебраический многочлен от р степени не выше к — 1, коэффициенты которого определяются значениями /^(+<о)|г — 0, к — 1. Пусть Ф(р) — изображение по Лапласу функции Тогда

Ек(р) = (Ф(Р) - Сот(р)) ~ Оок(р), * = 0^.

Рассмотрим

Тогда в пространстве оригиналов имеем

„(„ _ 1\т-1 *(т-1)(2п-т) _

где Япк{я) — алгебраический многочлен от q с положительными вещественными коэффициентами, причем

> п(2т -к- 1) - ^(2 т -к- к = 0

Показано, что устройство с передаточной функцией

всегда реализуемо и является асимптотическим (по п и <) дифференциатором Л-го порядка (& — 0, т — 1) сигналов класса МИ/т[/0, 4-оо). Кроме того, степень числителя передаточной функции такого дифференциатора всегда на т — к (к — 0, т — 1) меньше степени знаменателя.

Таким образом, предложенный в диссертации метод построения модальных дифференциаторов позволяет получать асимптотически точное значение производных сигналов класса М1Ут[<о,+оо). При этом точность дифференцирования достигается за счет увеличения порядка передаточной функции дифференциатора, т. е. за счет усложнения структуры дифференциатора. Кроме того, дифференциаторы, синтезированные на основе предлагаемого подхода, являются помехозащищенными но отношению к высокочастотным помехам.

В § 3 четвертой главы с помощью модальных регуляторов решается задача восстановления сигнала, искаженного динамикой.

В заключении приводятся основные результаты диссертационной работы.

В приложении рассматриваются примеры построения дифференциаторов и их использования в некоторых системах автоматического регулирования и управления. В приложении 1 оценивается эффективность метода расчета Д-составляющей ПИД -регулятора температуры в реакторе полимеризации изопрена. В приложении 2 приводится пример системы с переменной структурой. Приложение 3 содержит пример оптимальной по быстродействию системы. В приложении 4 рассматривается пример повышения точности дифференцирования за счет увеличения размерности дифференциатора. Пример комбинированной следящей системы приведен в приложении 5. В приложении 6 рассматривается пример решения задачи идентификации устойчивых и нейтральных объектов с помощью метода дифференциальной аппроксимации.

выводы

Основные результаты проведенного исследования могут быть сформулированы в виде следующих выводов:

1. Проведен критический анализ известных методов фильтрации и дифференцирования. Сформулирован круг задач, важпых с прикладной и теоретической точки зрения, пе имеющих эффективного решения в рамках известных подходов.

2. Доказана возможность совместного приближения функции класса .ММо"!«^] и ее производных квазиполиномами. Получены оценки совместного приближения, характеризующие зависимость точности аппроксимации от свойств приближаемой функции (порядка ее гладкости), степени и порядка квазимногочлена. Сформулирован и доказан с помощью теории матриц критерий полной наблюдаемости расширенной системы, состоящей из подсистем, описывающих полезный сигнал и помеху измерений. Критерий выражается через собственные числа матриц указанных подсистем.

3. Получены оценки точности восстановления наблюдателем состояния части фазовых координат динамической системы с неизвестным входом, описывающей сигналы класса М\Ут(Т), где Т — промежуток множества неотрицательных вещественных чисел. Решены задачи фильтрации сигналов класса М\У{) [а, />] (в присутствии помехи измерения класса Л^И^,' [а, /)]) и многократного дифференцирования сигналов класса М \У™\а, Ь]. Задача многократного дифференцирования является важнейшей задачей, которая возникает при управлении в технических системах. Заданная точность фильтрации и дифференцирования достигается как за счет увеличения степени устойчивости фильтра (дифференциатора), так и за счет повышения его размерности. Проведено исследование свойств синтезированных фильтров и дифференциаторов. Кроме того, показано, что расширением пространства состояний можно существенно улучшить качество фильтрации и дифференцирования, или же обеспечить условие инвариантности фильтра (дифференциатора) от некоторого класса помех. Решена задача многократного дифференцирования на полупрямой широкого класса сигналов. Синтезированный дифференциатор является помехозащищенным по отношению к высокочастотным помехам. Качество дифференцирования сигналов может быть повышено увеличением как степени устойчивости дифференциатора, так и его размерности.

4. Для управления техническими объектами разработан алгоритм построения модальных дифференциаторов класса сигналов M\V™\t0, +00). Синтез дифференциаторов сводится к построению следящей системы с модальным регулятором объекта, представляющего собой цепочку интегрирующих звеньев. Показано, что ошибка дифференцирования сигналов рассматриваемого класса может быть сделана сколь угодно малой за счет увеличения порядка передаточной функции дифференциатора. Дифференциаторы, синтезированные на основе предлагаемого подхода, являются помехоустойчивыми по отношению к высокочастотным помехам. Решена задача восстановления сигнала, искаженного динамикой. Класс сигналов и динамических объектов достаточно широк. Результаты диссертации использованы для расчета Д-составляющей ПИД-регулятора температуры в реакторе полимеризации изопрена.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1.Дылевский A.D., Лозгачев Г.И. Построение модальных дифференциаторов. — Воронеж, 1998. — 12 с. — Деп. в ВИНИТИ 2.02.98., №517-В98.

2.Дылевский A.B., Лозгачев Г.И. Применение метода пространства состояний для синтеза дифференциаторов. — Воронеж, 1997. — 33 с. — Деп. в ВИНИТИ 02.12.97., №3520-В97.

3. Лозгачев Г. И., Дылевский А. В. О некоторых способах описания сигналов дифференциальными системами // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз. сб. науч. тр. — Воронеж,

1997. — С. 90-94.

4.Лозгачев Г.И., Дылевский A.B. Построение фильтров и дифференциаторов на основе метода пространства состояний // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз. сб. науч. тр. — Воронеж, 1995. — С- 47-53.

5. Лозгачев Г. И., Дылевский А. В. Построение фильтров и дифференциаторов на основе метода пространства состояний // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз. сб. науч. тр. — Воронеж, 1996. — С. 119-126.

6. Лозгачев Г.И., Дылевский A.B. Применение метода пространства состояний для синтеза дифференциаторов // Математика. Компьютер. Образование: Тез. докл. V Межд. копф., 26-30 января 1998 г. — М.,

1998. — С. 120.

7. Лозгачеп Г. И., Дылевский A.B. Применение метода пространства состояний для синтеза дифференциаторов // Нейроинформатика и ее приложения: Тез. докл. V Всерос. ссм., 3- 5 октября 1997 г. — Красноярск, 1997. — С. 118.

8. Лозгачеп Г. И., Дылевский А. В. Синтез дифференцирующих устройств и фильтров с помощью метода пространства состояний // Нейроинформатика и ее приложения: Тез. докл. IV Всерос. сем., 5-7 октября 1996 г. — Красноярск, 1996. - - С. 33.

9. Лозгачев Г.И., Дылевский A.B. Синтез фильтров и дифференциаторов с помощью метода пространства состояний // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. Воронеж, зимней математ. школы, 28 января - 4 февраля 1997 г. — Воронеж, 1997. — С. 105.