автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Алгоритмизация расчета конструкций методом сил

ВВЕДЕНИЕ.

I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ, ДЕФОРМАЦИЙ И МАТРИЦ

ИХ СВЯЗИ ДЛЯ ОТДЕЛЬНОГО СТЕРЖНЯ.

1. Определение деформаций стержня.

2. Построение матриц коэффициентов податливости и жесткости стержня.

3. Правила последовательного и параллельного соединения стержней.

4. Определение деформаций стержня для плоскопрост-ранственнойзадачи.

5. Построение матрицы податливости для плоскопространственной задачи.

II. АЛГОРИТМ МЕТОДА СИЛ НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЙ

СОВМЕСТНОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ.

1. Построение матрицы совместности деформаций системы.

2. Построение матрицы податливости системы.

3. Сведение произвольной нагрузки на стержневую систему к начальным деформациям.

4. Алгоритм расчета систем методом сил.

5. Расчет систем на температурные воздействия и неточность изготовления.

6. Алгоритм метода сил для плоскопространственных стержневых систем.

III. СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ СИЛ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ.

1. Программа для расчета систем методом сил на ЭВМ.

2. Способ оценки числа обусловленности матрицы.

3. Зависимость числа обусловленности матрицы податливости системы от положения точки приведения А.

4. Сравнение обусловленности матриц податливости в методе сил) и жесткости (в методе перемещений).

5. Зависимость числа обусловленности матрицы податливости от выбора контуров.11В

IV. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ МЕТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ.

1. Постановка задачи.

2. Исследование напряженного состояния решетки.

3. Подбор углов поворота защемлений.

4. Расчет решетки с полным опиранием нижнего пояса, на вертикальное смещение фундамента колонны с поворотом всехзащемлений.

5. Расчет решетки без опирания нижнего пояса.

6. Расчет решетки с частичным опиранием нижнего пояса.

Для расчета статически неопределимых стержневых систем используются два классических метода: метод сил и метод перемещений [39]. При "ручных" расчетах они имеют приблизительно одинаковую трудоемкость.

При расчетах стержневых систем на ЭВМ равноправие методов полностью теряется. Наиболее широко распространенным методом расчета стержневых систем на ЭВМ является метод перемещений [18,27, 37,38,39,44,45,48,54], в котором неизвестными параметрами являются перемещения концевых точек стержней - узлов стержневой системы. Большинство существующих программных комплексов для расчета стержневых систем используют этот метод.

Простота алгоритмизации и программирования метода перемещений связана со следующим свойством: выбор и нумерация узлов в стержневой системе полностью определяют блочную структуру матрицы разрешающей системы уравнений, т.е. после нумерации узлов можно однозначно указать расположение нулевых и ненулевых блоков в этой матрице. К достоинствам метода перемещений относятся следующие свойства разрешающей системы уравнений: 1) слабая заполненность, 2)ленточный характер (при "разумной" нумерации узлов), 3) как правило, хорошая обусловленность. Известны и недостатки метода перемещений - ухудшение обусловленности при наличии очень жестких стержней [37], трудность учета связей, не совпадающих по направлению с осями координат [31], и некоторые другие.

Трудоемкость алгоритмизации метода сил обычно объясняют тем, что выбор и нумерация узлов и элементов в стержневой системе не определяют однозначно структуру матрицы разрешающей системы уравнений метода сил [37]. С точки зрения классического метода сил строительной механики это связано с возможностью выбора разных основных систем для расчета одной и той же конструкции.

Известные способы алгоритмизации метода сил [17,27,33,34,37, 48,52,53,54,56,60,61] основаны, как правило, на построении общего решения однородных уравнений равновесия узлов путем того или иного численного способа анализа матрицы узловых уравнений равновесия. При этом структура разрешающей системы уравнений оказывается зависящей от выбранного способа анализа и обеспечить ее положительные свойства (малую заполненность, ленточный характер, хорошую обусловленность) становится затруднительно. Все это, а также сама необходимость выполнения каких-то операций на ЭВМ для построения общего решения однородных уравнений равновесия, делает существующие алгоритмы метода сил значительно менее эффективными по сравнению со стандартным алгоритмом метода перемещений для расчета произвольных статически неопределимых стержневых систем.

Как известно, возможность эффективного построения общего решения однородных уравнений равновесия важна не только для прямого статического расчета стержневых систем, но и при решении других задач: оптимального проектирования, предельного равновесия и некоторых других [27,47,55].

Изложенное позволяет сделать вывод, что задача построения эффективного алгоритма метода сил для произвольных статически неопределимых стержневых систем, сравнимого по сложности с алгоритмом метода перемещений и обладающего перечисленными выше положительными свойствами последнего, продолжает оставаться актуальной.

Данная работа является продолжением, дополнением и реализацией идеи алгоритмизации метода сил, предложенной Лалиным В.В. [22,23]. Основные цели настоящей работы могут быть сформулированы следующим образом.

Разработать эффективный способ построения общего решения однородных уравнений равновесия произвольных статически неопределимых стержневых систем. На основе этого способа построить алгоритм метода сил, сравнимый по сложности с алгоритмом метода перемещений и позволяющий сравнительно просто получать разрешающую систему уравнений со следующими, как и в методе перемещений, положительными свойствами: 1) Слабая заполненность. 2) Ленточный характер. 3) Как правило, хорошая обусловленность.

На основе предложенного алгоритма разработать программу для расчета стержневых систем. Исследовать обусловленность матриц податливости стержневых систем. Сравнить обусловленность матриц податливости (в методе сил) и жесткости (в методе перемещений). Продемонстрировать данный метод на примерах, имеющих практическое применение.

В настоящей работе на примере плоских и плоскопространственных стержневых систем обосновывается следующее утверждение: существует естественный алгоритм формирования матрицы разрешающей системы уравнений метода сил, аналогичный по сложности алгоритму метода перемещений [4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,22,23]. Предлагаемый алгоритм не опирается на наличие какой-либо регулярной структуры стержневой системы; не зависит от наличия или отсутствия в ней шарниров; и, самое главное, обладает следующим свойством: нумерация контуров стержневой системы полностью определяет структуру матрицы разрешающих уравнений метода сил. Это свойство доказывает, что программирование такого алгоритма не сложнее программирования метода перемещений, и позволяет применять метод сил при расчете стержневых систем на ЭВМ.

Основные уравнения статики стержневых систем могут быть записаны в следующем виде [18,27,37,39,48,54]:

АТ* = Р, (1)

Аи = е (е = еу+е°),

2) Ает, (3) где Р-столбец заданной узловой нагрузки, II- столбец перемещений узлов, а-столбец обобщенных усилий, е -столбец обобщенных перемещений (для краткости будем называть их деформациями), е°-столбец заданных начальных деформаций, А -матрица заданных коэффициентов податливости стержней, еу -столбец деформаций, связанных с усилиями, А-заданная матрица, (••)7 -операция транспонирования матрицы.

Уравнения (1)- это уравнения равновесия узлов, (2)-уравнения связи деформации-перемещения, (3)-физические уравнения. Неизвестными в задаче являются столбцы и,сг,еу.Т&к как Л-неособенная матрица, не представляет труда исключить из системы (1)-(3) столбцы а,еу и свести задачу к одному матричному уравнению относительно неизвестных и, следующим образом: из уравнения (3) получим су = А~1еу, или в*. <4> где Ё>= Л"1.

Далее подставим а из уравнения (4) в (1):

АтВе> = Р . (5)

Затем в уравнение (5) подставим еу из уравнения (2), получим

АтШ.и = АтВе° + Р, Х (6) где

А7ЗА = д (7) матрица жесткости системы. Такой способ расчета соответствует методу перемещений, для которого существует хорошо известный стандартный алгоритм [18,20,32,37,44,45,48].

Основная проблема алгоритмизации метода сил заключается в построении общего решения однородных уравнений равновесия

Ата = 0 . (8)

Для статически неопределимых систем число строк и ранг матрицы Ат меньше числа столбцов и, следовательно, однородные уравнения равновесия (8) имеют ненулевые решения. Допустим, что построена фундаментальная система решений уравнения (8). Возьмем эти решения в качестве строк матрицы В, тогда по определению фундаментальной системы справедливо тождество [2,15]

АТВТ з= 0 (9) или АТВТФ = О для любого столбца Ф. Таким образом, матрица В7 дает следующее представление общего решения а0 однородных уравнений равновесия (8): <т0 = ВТФ. Общее решение уравнений равновесия (1) может быть записано в виде а=ВтФ + (г., (10) где сг+ - любое частное решение уравнений (1), Ф-столбец новых неизвестных.

Неизвестные Ф-"лишние" неизвестные по терминологии классической строительной механики, также уместно по аналогии с теорией упругости называть их "функциями" усилий (напряжений). Поскольку частное решение <т+, как правило, найти сравнительно просто- для этого, например, достаточно рассчитать любую статически определимую систему, полученную удалением "лишних" связей из заданной конструкции, - то основная трудность получения представления (10) заключается в построении матрицы В7, или, другими словами, в построении общего решения однородных уравнений равновесия.

Если матрица 5г построена, то дальнейший расчет методом сил выполняется следующим образом. Транспонируя тождество (9), приходим к тождеству

ВА^О . (11)

Умножая уравнение (2), на матрицу В, с учетом (11), получаем О = в(е?+е°). (12)

Уравнения (12) имеют смысл уравнений совместности деформаций

48,54].

Из (3) и (10) следует еу = Л#ТФ + А^ подставляя последнее выражение в (12), приходим к разрешающей системе уравнений метода сил

ВАВТФ = -В(е° + Аа„). (13)

По аналогии с методом перемещений матрицу системы (13)

Ь = ВАВТ (14) можно назвать матрицей податливости конструкции. Решая уравнение (13), находим неизвестные Ф, после чего по формуле (10) можно найти усилия а .

Для построения матрицы ^предлагались различные процедуры, смысл которых в том или ином способе анализа матрицы уравнений равновесия Лт с целью нахождения в ней невырожденного блока или полной системы линейно-независимых столбцов: прямой анализ столбцов матрицы Ат с одновременной оптимизацией выбора линейнонезависимых из них [34,37], сведение задачи к полной проблеме собственных значений для матрицы А7А [33], специальный алгоритм анализа матрицы смежности графа конструкции [17]. Для стержневых систем частного вида разработаны и более простые алгоритмы, например, для рамных систем без шарниров анализ столбцов матрицы А7 сведен к логическим операциям над матрицей инцен-денций графа конструкций [48,49,52,53]. При наличии шарниров предлагается переходить к смешанному методу, вводя в качестве дополнительных неизвестных углы поворота во вспомогательных защемлениях. Переход к смешанному методу, как способ избежать трудностей и автоматического выбора основной системы метода сил, рассматривался в работе [32].

В работе [64] обсуждается малая эффективность применения классического метода сил для конечно-элементного статического и динамического расчета многократно статически неопределимых конструкций по сравнению с методом перемещений (прямым методом жест-костей). Это связано с необходимостью рассмотрения неквадратной матрицы равновесия, содержащей такое же число строк, как и матрица жесткости, но большее число столбцов. Отсюда должна быть решена дополнительная система уравнений, коэффициенты которой образуют матрицу совместности, являющуюся квадратной и симметричной, но, в общем случае, неленточной структуры. Операции с последней требуют большого объема вычислений.

В работе [30] рассматривается задача расчета напряженно-деформированного состояния дважды статически неопределимой дискретной системы. Получены новые матричные соотношения, связывающие статические и геометрические соотношения, которые могут быть получены друг из друга путем простого транспонирования. Введены новые соотношения для функций деформаций с неопределенными коэффициентами, которые позволяют упростить решение системы разрешающих уравнений относительно неизвестных перемещений.

В работе [14] предлагается поиск базисных столбцов матрицы тех уравнений равновесия узлов системы элементов, которые составлены по направлениям неизвестных перемещений.

Поскольку невырожденный блок в матрице Ат , как правило, можно выбрать неединственным образом, то матрица разрешающей системы уравнений метода сил Ь не определяется единственным образом разбиением стержневой системы на элементы. Эта неединственность не позволяет говорить о наличии какого-либо стандартного алгоритма метода сил - алгоритм формирования разрешающей системы уравнений оказывается жестко связанным с выбранным алгоритмом построения матрицы Вт . Необходимость в том или ином виде хранить в памяти ЭВМ матрицу Ат и проводить определенный набор операций с ней для построения матрицы Вт и делает подобные алгоритмы метода сил значительно менее эффективными для расчетов на ЭВМ по сравнению с методом перемещений.

Лалиным В.В. был предложен еще один метод построения общего решения однородных уравнений равновесия. Сущность этого метода состоит в полном отказе от анализа матрицы Ат и заключается в прямом построении уравнений совместности деформаций [22,23]. Допустим, что построена матрица В уравнений совместности деформаций

Ве = 0. (15)

Это значит, что с учетом (2) равенство ВАи=0 выполняется для любого столбца и, следовательно, справедливо тождество (11), а с ним - и тождество (9). Таким образом, с формально алгебраической точки зрения построение матрицы уравнений совместности деформаций эквивалентно построению матрицы общего решения однородных уравнений равновесия. Однако, сложность прямого построения этих матриц несравнима: как показано в работе, матрицу В можно построить в явном виде для произвольной стержневой системы, исходя из простых алгебраических и геометрических соображений. При этом матрица уравнений равновесия Ат нигде не используется и, следовательно, ее построение и хранение в каком либо виде в памяти ЭВМ становится не нужным.

Указанный способ получения общего решения однородных уравнений равновесия позволяет сформулировать алгоритм метода сил, сравнимый по сложности и по своим свойствам с алгоритмом метода перемещений. Как будет показано далее, в предлагаемом алгоритме выбор и нумерация независимых контуров стержневой системы единственным образом определяют блочную структуру матрицы податливости конструкции Ь: как только занумерованы контуры, так сразу можно однозначно указать расположение нулевых и ненулевых блоков в матрице Ь. Неединственность структуры этой матрицы связана только с возможностью выбора разных систем независимых контуров в исходной конструкции.

Основное содержание работы изложено в четырех главах .

В первой главе приводятся определения деформаций и напряжений для отдельного стержня. Выводятся формулы, выражающие деформации через перемещения узлов стержня. Рассматриваются два способа построения матрицы податливости произвольного, плоского стержня: на основе выражения для энергии деформации стержня; и путем непосредственного вычисления коэффициентов податливости с помощью интеграла Максвелла-Мора. Узлы стержня могут быть как жесткими, так и шарнирными. Приводятся результаты для частных случаев: прямолинейный стержень, дуга окружности, полуокружность. Устанавливается связь между матрицами податливости для стержней с двумя жесткими узлами, одним шарнирным и двумя шарнирными узлами. Полученные матрицы податливости являются неособенными для любых стержней. Выводятся правила последовательного и параллельного соединения стержней с различными типами узлов жестких и шарнирных).

При последовательном соединении стержней их матрицы податливости складываются, а при параллельном соединении -складываются их матрицы жесткости. Рассматриваются последовательно плоские и плоскопространственные (изгибаемые из своей плоскости) стержни.

Во второй главе на основании правил, полученных для последовательного и параллельного соединения стержней, получены уравнения совместности деформаций для отдельных контуров плоских стержневых систем. Эти уравнения имеют следующий смысл: сумма деформаций в замкнутом контуре равна нулю. Рассмотрены статически неопределимые контуры с различным числом шарниров. Матрица совместности деформаций стержневой системы состоит из блочных строк, каждая из которых содержит матрицу совместности соответствующего контура.

Смысл проводимых построений заключается в том, что необходимая для метода сил матрица общего решения однородных уравнений равновесия получается простым транспонированием матрицы совместности деформаций. Рассматривается построение матрицы податливости стержневой системы, структура которой полностью определяется нумерацией контуров. Предложен способ сведения нагрузки, действующей на стержневую систему, к начальным деформациям. В результате расчет статически неопределимой стержневой системы сводится к решению двух задач: к расчету отдельных статически определимых контуров на заданную нагрузку и к расчету всей системы на начальные деформации. Полученные результаты можно использовать, в частности, для алгоритмизации метода сил вместо сложной процедуры построения частного решения уравнений равновесия. Приводится расчет систем на температурные воздействия и неточность изготовления. Рассматриваются примеры плоских и плоскопространственных (плоские системы, изгибаемые из своей плоскости) стержневых систем. На основе предложенного способа получения общего решения формируется алгоритм метода сил, сравнимый по сложности и своим свойствам с алгоритмом метода перемещений .

В третьей главе приводится блок-схема программы для расчета статически неопределимых плоских стержневых систем как с шарнирами, так и без шарниров, разработанная на основе предложенного алгоритма . Программа разработана для 1ВМ РС на языке программирования Турбо Паскаль. Проводится исследование обусловленности матриц податливости в методе сил и матриц жесткости в методе перемещений для статически неопределимых стержневых систем. Одним из преимуществ предложенного алгоритма метода сил по сравнению с методом перемещений является возможность менять число обусловленности матрицы разрешающей системы уравнений. Тем самым мы можем уменьшать число обусловленности матрицы податливости в методе сил. В методе перемещений после выбора нумерации узлов число обусловленности матрицы разрешающей системы уравнений менять не можем. В результате сравнения обусловленности матриц податливости (в методе сил) и жесткости (в методе перемещений) установлено, что для некоторых систем число обусловленности матриц податливости в 1000, 10000 раз меньше числа обусловленности матрицы жесткости.

16

В четвертой главе на основе разработанного метода и составленной программы решена практическая задача по определению напряженно-деформированного состояния металлической решетки. На основе полученных результатов были даны рекомендации по рациональному закреплению решетки и сведения об имеющихся наиболее напряженных участках решетки. Результаты расчетов использованы научно-производственным объединением РАНД для обоснования инженерных мероприятий по реставрации решетки и восстановлению первоначального положения колонн.

I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ, ДЕФОРМАЦИЙ И МАТРИЦ ИХ СВЯЗИ ДЛЯ ОТДЕЛЬНОГО СТЕРЖНЯ.

Основные выводы о проделанной работе можно сформулировать следующим образом:

1) Разработан эффективный способ построения общего решения однородных уравнений равновесия произвольных статически неопределимых стержневых систем. Способ основан на прямом построении матрицы совместности деформаций стержневых систем. Матрица общего решения получается транспонированием матрицы совместности деформаций.

2) На основе разработанного способа для плоских и плоскопространственных стержневых систем построен алгоритм метода сил, сравнимый по сложности с алгоритмом метода перемещений и позволяющий получать разрешающую систему уравнений со следующими, как и в методе перемещений, положительными свойствами: 1) Слабая заполненность. 2) Ленточный характер. 3) Как правило, хорошая обусловленность. Предлагаемый алгоритм не опирается на наличие какой-либо регулярной структуры стержневой системы; не зависит от наличия или отсутствия в ней шарниров; и, самое главное, обладает следующим свойством: нумерация контуров стержневой системы полностью определяет структуру матрицы разрешающих уравнений метода сил. Это свойство доказывает, что программирование такого алгоритма не сложнее программирования метода перемещений, и позволяет упростить применение метода сил при расчете стержневых систем на ЭВМ.

3) На основе предложенного алгоритма разработана программа для расчета статически неопределимых плоских стержневых систем как с шарнирами, так и без шарниров. С помощью данной программы можно рассчитывать системы на следующие виды воздействий: силовая и моментная нагрузка произвольного вида, температурные воздействия, осадка опор, неточность изготовления конструкции. Программа также определяет число обусловленности матрицы податливости системы. Программа разработана для IBM PC на языке программирования Турбо Паскаль.

4) Приведено исследование обусловленности матриц податливости в методе сил и матриц жесткости в методе перемещений для статически неопределимых стержневых систем. Одним из преимуществ предложенного алгоритма метода сил по сравнению с методом перемещений является возможность влиять на число обусловленности матрицы разрешающей системы уравнений. Тем самым мы можем уменьшать число обусловленности матрицы податливости в методе сил. В методе перемещений после выбора нумерации узлов отсутствует возможность влиять на число обусловленности матрицы разрешающей системы уравнений. В результате сравнения обусловленности матриц податливости (в методе сил) и жесткости (в методе перемещений) установлено, что для некоторых систем число обусловленности матриц податливости можно сделать на несколько порядков меньше числа обусловленности матрицы жесткости.

5) Предложен способ сведения произвольной нагрузки, действующей на стержневую систему, к начальным деформациям. В результате расчет статически неопределимой стержневой системы сводится к решению двух задач: к расчету отдельных

143 статически определимых контуров на заданную нагрузку и к расчету всей статически неопределимой системы на начальные деформации.

6) На основе разработанного метода и составленной программы решена практическая задача по определению напряженно-деформированного состояния металлической решетки. На основе полученных результатов были даны рекомендации по рациональному закреплению решетки и сведения об имеющихся наиболее напряженных участках решетки. Результаты расчетов использованы для обоснования инженерных мероприятий по реставрации решетки и восстановлению первоначального положения колонн.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В.//Вычислительные методы для инженеров//Учеб. пособие.-М.: Высш. шк.,1994.-544с.:

2. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. -М.: Наука, 1983,336с.

3. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. -М.; Наука, 1976, 608с.

4. Бугаева Т. Н., Лалин В. В. Правила последовательного и параллельного соединения стержней. СПб , СПбГТУ, 1997, 18 с.-Депонировано в ВИНИТИ 02.04.97. № 1057-В97,

5. Бугаева Т. Н., Лалин В. В. Построение матриц совместности деформаций для статически неопределимых стержневых систем. СПб, СПбГТУ, 1997, 20 с. -Депонировано в ВИНИТИ 02.04.97. № 1058-В97.

6. Бугаева Т. Н. Построение матрицы коэффициентов податливости отдельного стержня . СПб, СПбГТУ, 1997, 28 с. Депонировано в ВИНИТИ 02.04.97. № 1056-В97.

7. Бугаева Т. Н., Лалин В.В. Сведение произвольной нагрузки на стержневую систему к начальным деформациям . СПб, СПбГТУ, 1997,18 с. Депонировано в ВИНИТИ 07.05.97. №1528-В97.

8. Бугаева Т. Н., Лалин В.В. Алгоритмизация расчета плоскопрост-ранственнных стержневых систем методом сил на основеуравнений совместности деформаций. СПб, СПбГТУ, 1997, 36 с. Депонировано в ВИНИТИ 24.12.97. №3738-В97.

9. Бугаева Т. Н., Лалин В.В. Исследование обусловленности матриц податливости и жесткости статически неопределимых стержневых систем. СПб, СПбГТУ, 1998, 34 с. Депонировано в ВИНИТИ 06.03.98. №660-В97.

10. Бугаева Т.Н. Исследование напряженно-деформированного состояния решетки Летнего Сада методом сил на основе уравнений совместности деформаций. СПб, СПбГТУ, 1999,29с. Депонировано в ВИНИТИ 30.09.99. №2965 -В99.

11. Бугаева Т.Н. Алгоритмизация расчета стержневых систем на температурные воздействия и неточность изготовления методом сил на основе уравнений совместности деформаций. СПб, СПбГТУ, 1999,27с.- Депонировано в ВИНИТИ 30.09.99, Ks 2966-В99.

12. Бусыгин В.Г. Расчет систем стержневых конечных элементов методом сил: Учеб.пособие/Алт.политехн. ин-т им. И И. Ползунова. -Барнаул: Б.и., 1983. -79с., 23 ил.,4 табл.

13. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. -М.: Наука, 1984, 320с.

14. Герасимов E.H., Дышкант A.B. Алгоритмы декомпозиции задач расчета и оптимизации стержневых систем большой размерности

15. Разраб. и исслед. мет. и деревян. конструкций / Казан, гос. арх.-строит. акад.-Казань 1996.-е. 18-22.-Рус.

16. Гибшман М.Е. Алгоритм анализа статической системы сложных стержневых систем для ЭЦВМ // СМиРС, 1972, № 1, с.39^2.

17. Дарков A.B., Шапошников H.H. Строительная механика. -М.: ВЩ, 1986,607с.

18. Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер//Машинные методы математических вычислений/УПеревод Х.Д. Икрамова. М.: Изд. Мир, 1980.

19. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. -М.: Мир, 1975, 543с.

20. Инкижинов Н.С./Ю расчете рам с участками малой и большой жесткости методом перемещений.//Вопр. прочн. и эксплуат. надежн. судов, конструкций и механизмов// Новосиб. ин-т. инж. вод. трансп.- Новосибирск, 1993. -с.71-77. Рус.

21. Лалин В.В. Уравнения совместности деформаций как основа алгоритмизации метода сил для стержневых систем // Строительная механика и расчет сооружений, СПб, СПбГТУ, 1992, с.96-111.

22. Лалин В.В. Уравнения совместности деформаций для расчета статически неопределимых ферм // Строительная механика и расчет сооружений, СПб, СПбГТУ, 1992, c.l 11-124.

23. Лащеников Б.Я. и др.//Методы расчета на ЭВМ конструкций и сооружений// Б.Я. Лащеников, Я.Б. Дмитриев, М.Н. Смирнов. -М.: Стройиздат, 1993. -365, 3. с.:ил.; 20см.Библиогр.:с.285-289

24. Леонтьев H.H. и др.//Основы строительной механики стержневых систем// Учеб. для строит, специальностей вузов/ H.H. Леонтьев, Д.Н. Соболев, A.A. Амосов. -М.: Изд-во Ассоц. строит, вузов, 1996. -541с.: ил.; 22см. Библиогр.: с.518 (13назв.)

25. Ливсли Р. Матричные методы строительной механики. -М.:1. Стройиздат, 1980,224с.

26. Лукаш П.А; Юрьев А.Г.//Замечание в связи с применением метода сил для расчета статически неопределимых систем//Изв. вузов. Стр-во. -1994. -№ 4. с. 104-106. - Рус.

27. Молчанов И.Н., Николенко Л.Д. Основы метода конечных элементов. -Киев: Наукова думка, 1989, 270с.

28. Огарков В.Б., Стародубцева Т.Н., Русских Ю.А. Об одном алгоритме расчета дважды статически неопределимой системы. //Воронеж. гос. лесотехн. акад. Воронеж., 1996. - 12с.: ил.- Рус. -Деп. в ВИНИТИ 25.12.96, №3788-В96.

29. Перельмутер A.B., Сливкер В.И. Особенности алгоритмизации метода перемещений при учете дополнительных связей // Л., Труды ЛПИ, 1976, № 343, с.28-36.

30. Резников P.A. Решение задач строительной механики на ЭЦВМ. -М.: Стройиздат, 1971,308с.

31. Робинсон Дж., Хаггенмахер Г.В.,Контини Р. Статический расчет конструкций методом сил и перемещений как проблема собственных значений // Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ, т.2, Л., 1974, с.91-102.

32. Розин Л.А. Автоматизация метода сил в строительной механике // СМиРС, 1976, № 4, с. 21-26.

33. Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. -Л.: ЛГУ, 1978,223с.

34. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. -М.: Стройиздат, 1977,129с.

35. Розин Л.А. Стержневые системы как системы конечных элементов. -Л.: ЛГУ, 1976,232с.

36. Розин Л.А. Теоремы и методы статики деформируемых систем. -Л.: ЛГУ, 1986, 276с.

37. Розин Л.А, Константинов И.А., Смелов В.А Расчет статически неопределимых стержневых систем. -Л.: ЛГУ, 1988, 328с.

38. Рябенький В.С.//Введение в вычислительную математику//Учеб. пособие: Для вузов. -М.: Физматлит, 1994.-336с.: ил. Библиогр. 24 назв.

39. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. -М.: Мир, 1979, 392с.

40. Секулович, Миодраг.//Метод конечных элементов//Перевод с сербского Ю.Н.Зуева; Под ред. В.Ш.Барбакадзе. -М.: Стройиздат, 1993. -660, 4. с.:ил.;25см.

41. Сигалов Л.С. Вывод канонических уравнений метода сил с использованием элементарных положений функционального анализа. //Пробл. Теории пластин, оболочки и стержневых систем. Сарат. гос. техн. ун-т. Саратов, 1995 - с.15-16. -Рус.

42. Смелов В.А. Метод перемещений в строительной механике. -Л.: ЛПИ, 1976, 86с.

43. Смирнов А.Ф. и др. Строительная механика. Стержневые системы. -М.: Стройиздат, 1981, 512с.

44. Сподарев Ю.П.// Машинно-ориентированный метод расчета стержневых систем// Пробл. прочн. матер, и сооруж. на трансп.: Тез. докл., предст. На 3 Междунар. конф., Санкт-Петербург, янв. 1995-СПб, 1995.-С.118- Рус.

45. Субботицкий В.В. Расчет оптимальных статически неопределимых ферм. -Владивосток, ДГУ, 1984,124с.

46. Филин А.П. и др. Алгоритмы построения разрешающих уравнений механики стержневых систем. -Л.: Стройиздат, 1983,232с.

47. Филин А.П. Алгоритм построения матрицы при расчете произвольных пространственных рамных (с жесткими контурами) систем методом сил // Строительная механика, М., 1966, с. 181-187.

48. Хечумов P.A. и др.//Сопротивление материалов и основы строительной механики// Учеб. для вузов по спец. "Пр-во строит, изделий и конструкций" P.A. Хечумов, А.Г. Юрьев, A.A. Толбатов. -М.: Изд-во АСВ, 1994. -386с.: ил.;22см. Библиогр.:с.381.

49. Шандрук П.П. Матрицы жесткости и податливости пространственных стержней переменных сечений с учетом сдвига// Киев. Гос. техн. Ун-т стр-ва и арх-ры.-Киев, 1995 -18с.: ил,-Библиогр.: 6 назв.-Рус.-Деп. в ГНТБ Украины 17.07.95, 1815-Ук 95

50. Шварц М.А., Тананайко О.Д. Построение разрешающих уравнений метода сил при использовании локализованных эпюр усилий в основной системе // Расчетно-теоретические исследования и применение ЭВМ в строительстве, Л., 1977, с.34-39.

51. Шварц М.А., Тананайко О.Д. Алгоритмы построения разрешающих систем уравнений для расчета стержневых конструкций //СМиРС, 1978, №4, с.25-30.

52. Шулькин Ю.Б. Теория упругих стержневых конструкций. -М.: Наука, 1984,272с.

53. Besseling J.F. The force method and its application in plasticity problem.//Int. j. сотр. and struct., 1978, V. 8, p. 323-330.

54. Kaneko I., Lawo M., Theerauf G. On computational procedures for the force methods//Int.j. num. Meth.eng., 1982, V. 18, p. 1469-1495.

55. Patnaik S.N. An integrated force method for discrete analysis // Int. j. num. meth.eng., 1973, V.6, №2, p. 237-251.

56. S. Pellegrino, A.S.K. Kwan and T. F. Van Heerden,'Reduction of equilibrium, compatibility and flexibility matrices, in the force method', Int. J. Numer. Methods end., 35, 1219-1239 (1992).

57. S. Pellegrino, T. F. Van Heerden,'Solution of equilibrium equation in the force method: a compact band scheme for underdetermined linear systems', Comput. Struct., 37, 743-751 (1990)

58. Prezemieniechi J. S., Denke P.H. Joining of complex structures by the matrix force method // J. Aircraft, 1966, V. 3, p. 236-243.

59. Robinson J. Automatic selection of redundancies in the matrix force method: the rank technique // Canad. Aeron. Space, 1965,V.l 1, p. 9-12.

60. Scharpf D.W. A new method of stress calculation in the matrics displacement analysis // Int. j. сотр. and struct., 1978, V.8, p.465-477.

61. G. Strang,'A framework for equilibrium equations' ,SIAM Rev., 30, 283-297 (1988).151

62. Исследовано напряженное состояние решетки при различных видах связи решетки с колоннами. Произведен подбор рационального закрепления решетки. На основе полученных результатов были даны сведения об имеющихся наиболее напряженных участках решетки.

63. Получены внутренние усилия в стержнях. Построены эпюры изгибающих моментов на наиболее напряженных участках решетки. Вычисленные напряжения в стержнях с наибольшими внутренними усилиями не превышают допускаемых напряжений.

64. Результаты расчетов решетки Летнего Сада в г. Санкт-Петербурге выполненные в рамках работы, использованы НПО РАНД для обоснования инженерных мероприятий по реставрации решетки и восстановлению первоначального положения колонн.1. Николаенко Ю.И.