автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Алгоритм, программное обеспечение и расчет пространственного напряженно-деформированного состояния пластического материала модели мизеса

На правах рукописи

КУПЦОВ Андрей Валериевич

АЛГОРИТМ, ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ И РАСЧЁТ

ПРОСТРАНСТВЕННОГО НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА МОДЕЛИ МИЗЕСА

Специальность 05 13 18-Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Елец-2007

ОПТ 2007

003161508

Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики, ГОУ ВПО «Воронежский государственный университет»

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор технических наук, профессор Вервейко Николай Дмитриевич, Воронежский государственный университет

доктор физико-математических наук, профессор, академик РАЕН Никитин Лев Васильевич, Институт физики Земли РАН (г. Москва),

доктор физико-математических наук, профессор Сапронов Юрий Иванович, Воронежский государственный университет

Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН (г Владивосток)

Защита состоится «_£» ноября 2007 г в 41 ч в конференц-зале на заседании диссертационного совета К 212 059.01 Елецкого государственного университета им И А Бунина по адресу 399770, Липецкая обл., г Елец, ул Коммунаров, 28

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Елецкого государственного университета им И А Бунина и в сети Интернет по адресу http //www elsu ru/science/avtoref-k01 html

Автореферат разослан «5"» октября 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета «Sr^i- Щербатых В Е

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы определяется тем, что в современных условиях развития науки и техники, в условиях широкого применения новых материалов с заранее заданными свойствами, встала необходимость проводить расчеты напряженно-деформированного состояния более широкого класса пространственных задач теории идеальной пластичности, которые не обладают осевой симметрией и требуют разработки новых математических моделей. Построение таких моделей, рассмотренных в данной диссертации, связано со сложностью решения пространственных задач в случае использования условия пластичности Треска, а также с проблемой незамкнутости модельных уравнений идеальной пластичности при условии Мизеса, которая не была решена полностью до настоящего времени, несмотря на довольно длительную историю исследований в этой области

Одними из первых работ по математическому моделированию течения пластического материала были выполнены Б Сен-Венаном и М Леви в 1870 году Б Сен-Венан получил соотношения для плоской деформации, а М Леви, используя такую же методику, получил уравнения в трехмерном случае А Хаар и Т Карман в 1909 году предложили использовать условие полной пластичности, которое соответствует напряженному состоянию на ребре призмы Треска Соотношения пространственной задачи в этом случае приводят к статической определимости.

В 1944 году А Ю Ишлинский исследовал осесимметричную задачу при условии полной пластичности Хаара-Кармана и получил статическую определимость и гиперболичность пространственной задачи

В исследованиях Д Д Ивлева было установлено фундаментальное значение условия полной пластичности, а также гиперболичность, статическая определимость математической модели пластичности при условии Треска, получены уравнения характеристик и соотношений на них В его исследованиях было показано, что полученные характеристики пространственной задачи при условии полной пластичности Хаара-Кармана образуют конус вокруг третьего главного направления с углом раствора л/4, который касается площадок максимальных касательных напряжений Было также показано совпадение характеристических плоскостей с площадками максимальных касательных напряжений

Г И Быковцевым совместно с Ю М Мяснянкиным были получены соотношения на поверхностях разрыва напряжений в трёхмерных идеальных жё,стко-пластических телах

Значительный вклад в построение и исследование математической модели пластического материала внес Ю Н Радаев В его работах развита общая теория математической пластичности с условием пластичности Треска и обобщенным ассоциированным законом Им был получен ряд новых результатов в слу-

чае плоского деформированного и осесимметричного состояния, дополняющих известные теоремы о геометрии поля скольжения

Большое влияние на исследования в данной области оказали работы Б Д Аннина, А А Буренина, Г.И. Быковцева, Н Д. Вервейко, В.Г Зубчанинова, А А Ильюшина, А Ю Ишлинского, Д Д Ивлева, Л М Качалова, В А Кукуджанова, Л А Максимовой, ВП Мясникова, Ю.М Мяснянкина, Л В. Никитина, Ю.Н Радаева, Т Д Семыкиной, В В. Соколовского, Л А. Толоконникова, Б И. Шемякина, С А Христиановича и др.

В основополагающих трудах А А Самарского в области компьютерного математического моделирования в естествознании, разработаны конечно-разностные методы и подходы, позволяющие решать многие проблемные задачи науки и техники, в том числе, по нахождению напряженно-деформированного состояния плоских и осесимметричных задач

Значительное влияние на развитие в России теории математического моделирования, методов нелинейной динамики оказали также научные труды и большая организационная работа Б Н Четверухина, С П. Курдюмова, С А Ред-козубова, Г Г Малинецкого и др.

Заслуживают внимания и представляют определенный интерес работы С А Редкозубова, А.В Крутова, А В. Воробьева, А.И. Шашкина, связанные с кине-матико-геометрическим моделированием В частности, работы по моделированию задач нелинейной динамики на основе соотношений самоподобия, по прогнозированию поведения в сложных условиях, по геометрическому моделированию в задачах полной пластичности на основе так называемой песчаной аналогии, в которых получены оригинальные соотношения и установлен ряд новых фактов и закономерностей, в том числе, геометрического характера, представляющих общетеоретический интерес и позволяющих получать решения и интерпретировать результаты в широком круге прикладных задач

Однако, даже при таком интенсивном и длительном исследовании методами математического моделирования процессов пластического течения и деформирования, оставался открытым вопрос построения замкнутой математической модели задачи пластического течения материала Мизеса, сформулированной для пространственного напряженного состояния На устранение этого и других пробелов и были направлены усилия при постановке задач и выполнении работы

Диссертация посвящена построению математической модели пластического материала Мизеса, представленной в виде замкнутой системы уравнений в частных производных, а также разработке методов решения пространственных задач, построению численных алгоритмов с реализацией их на ЭВМ с помощью разработанного комплекса программ

В общем пространственном случае исследуется напряжённое состояние на, ребре, которое получено пересечением двух касательных к поверхности Мизеса плоскостей, зависящих от произвольного параметра 1%<р напряжённого состоя-

ния При определенном значении данного параметра, характеризующегося отношением второго главного касательного напряжения к первому, исследуемые плоскости совпадают с гранями призмы Треска. Путем привлечения гипотезы пропорционального нагружения, когда все три главных напряжения зависят от одного параметра, в работе достигнута статическая определимость пространственной задачи

Дели и задачи исследования. Целью проведенной работы является разработка модифицированной математической модели пластического материала Мизеса, методов, вычислительных алгоритмов и комплекса программ для расчёта пространственного пластического напряжённого и деформированного состояния Поставленная цель достигается посредством.

-линеаризации нелинейного условия пластичности Мизеса, -введением и обоснованием гипотезы пропорционального нагружения, являющейся модифицированным условием полной пластичности,

-получением из общей математической модели (с использованием условия полной пластичности Хаара-Кармана) уравнений для плоского и пространственного напряженных состояний,

-нахождением характеристик, соотношений на них для различных задач (Коши, Гурса, смешанной) в случае пространственного напряженно-деформированного состояния при условии полной пластичности Хаара-Кармана и гипотезе пропорционального нагружения в общем случае, а также для плоского напряженно-деформированного состояния,

-получением конечно-разностных схем для решения задач Коши, Гурса, смешанной и численным расчетом поля напряжений, поля скоростей перемещений доя различных напряжённых состояний,

-применением данных конечно-разностных схем для расчёта полей напряжений, скоростей перемещений различных пространственных задач теории пластичности

Методы иид^ммвия. Методами исследования в диссертационной работе являются аналитические точные и численные приближенные итерационные методы, а также численные методы конечных разностей, методы решения и анализа краевых задач для систем уравнений в частных производных, представляющих математическую модель, а также методы программирования на языках Object Pascal, С++

Пплпжяпм, выносимые на защиту;

1 Обоснование статической определимости математической модели идеальной пластичности путем линеаризации условия пластичности Мизеса,

2 Гипотеза пропорционального нагружения, являющаяся модифицированным аналогом условия полной пластичности Хаара-Кармана,

3 Метод характеристик решения пространственных задач идеальной пластичности в напряжениях (Коши, Гурса, смешанная) для линеаризированных условий пластичности Мизеса при гипотезе пропорционального нагружения,

3

4 Разработка программ расчёта напряжённого и деформированного состояний для плоских и пространственных задач теории идеальной пластичности и, соответствующие им, конечно-разностные схемы расчёта напряжённого и деформированного состояний,

5. Апробация предложенных программ для численных расчётов конкретных практических задач

Научная новизна результатов исследования состоит в том, что. -построена математическая модель пластической материала Мизеса, установлена статическая определимость и гиперболичность пространственной задачи теории пластичности в напряжениях при выполнении гипотезы пропорционального нагружения;

-найдены уравнения характеристических плоскостей и соотношения вдоль них для напряжённого и деформированного состояния в плоском и пространственном случаях при гипотезе пропорционального нагружения и выполнении условия полной пластичности дня линеаризированных условий пластичности Мизеса,

-для направляющих косинусов нормалей полученных характеристик построены их конкретные выражения через ориентацию главных напряжений и параметр напряжённого состояния, что позволяет записать соотношения вдоль характеристических плоскостей;

-представлены конечно-разностные схемы для плоского и пространственного напряженного и деформированного состояний при условии полной пластичности и гипотезе пропорционального нагружения для линеаризированных условий пластичности Мизеса,

-разработан численный алгоритм решения плоских и пространственных задач, а также комплекс программ на языках Object Pascal, С++, позволяющий рассчитывать напряженное и деформированное состояние для конкретных задач идеальной пластичности

Достоверность исследований, проведенных в диссертационной работе, основывается на правильно сформулированной математической модели, правильности применения математического аппарата теории уравнений в частных производных, теории конечно-разностных схем и использовании современных языков программирования Достоверность проведенных исследований подтверждается также тем, что полученные результаты совпадают с имеющимися в частных случаях классическими, если в использованной гипотезе пропорционального нагружения задать параметры, входящие в условия пластичности конкретным образом

Практическая значимость исследования состоит в возможности применения метода характеристик и разработанного комплекса программ для большего спектра пространственных задач теории пластичности, в том числе задач, не обладающих осевой симметрией Разработанный метод и программное обеспечение позволяют рассчитывать предельные напряжённое и деформированное

4

состояния тел различной формы при заданной нагрузке

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета 2004-2007 г.г.; научных сессиях факультета ПММ Воронежского государственного университета 2004-2007 г.г., на Воронежской школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» 2004 г., 2005 г, посвященной 75-летию профессора Д Д Ивлева, и 2007 г, посвященной 70-летию профессора Г И. Быковцева; на Воронежской весенней математической школе «Понтрягин-ские чтения -XVI» - «Современные методы теории краевых задач», посвященной 100-летию академика С М Никольского, в VI, VII и VIII Международных научно-технических конференциях «Авиакосмические технологии», 2Ö05-2007 г г., на Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики», посвящённой 70-летию со дня рождения академика В П. Мясникова ИАПУ ДВО РАН, 2006 г Материалы по диссертации размещены также в сети Интернет на сайте Елецкого государственного университета им. И.А Бунина по адресу http'//www elsu ru/science/avtoref-k01 html

Публикации. По теме диссертации в рамках исследуемой темы опубликовано 16 научных работ, перечень которых приведен в конце автореферата, в том числе 2- в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка из 161 наименования Работа Изложена на 161 странице, а также содержит 3 таблицы и 19 рисунков

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы и задачи исследования, научная новизна диссертационной работы, выносимые на защиту научные положения и результаты Проведено обоснование гипотезы пропорционального нагружения, которая является модифицированным обобщённым вариантом условия полной пластичности Хаара-Кармана, а также дана краткая аннотация по главам и краткий обзор работ, касающихся темы диссертации

В первой главе исследована на гиперболичность и статическую определимость математическая модель плоской и пространственной задачи пластического материала для условий пластичности Мизеса при гипотезе пропорционального нагружения, а также при условии полной пластичности Хаара-Кармана В данной главе показано, что математическая модель в виде системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных пространственной задачи идеальной пластичности при линеаризированных условиях Мизеса статически определима и гиперболична как при условии полной пластичности Хаара-Кармана, так и для модифицированного условия пластичности при гипотезе пропорционального нагружения. Это в свою очередь позволило найти уравне-

5

ния характеристик пространственной и плоской задачи идеальной пластичности, соотношений на них, а также провести анализ разрывных решений для напряжённого состояния.

Раздел 1.1 посвящен линеаризации условия пластичности Мизеса путём замены его двумя касательными плоскостями (линиями в случае плоской задачи) в пространстве главных напряжений ст, (рис. 1). В этом случае получаются следующие уравнения плоскостей в главных касательных напряжениях г,, аппроксимирующих поверхность Мизеса (г, -т, = к2):

(2 + (±ЗА, +l)/gp)r, + (2ig<p + (1+3*, ))г2 = л/2 • Л(р), (1)

где = лД2£ + е2 )/3, кг-к{\ + е), е = Ак/к, Л (<p)=yjl + tgtp + tg2<p . Параметры к и Ак характеризуют соответственно предел пластичности и малую величину, на которую он увеличен. Параметр tg(p, входящий в уравнения (1), характеризует отношение второго главного касательного напряжения к первому на ребре М" М*, образованного пересечением касательных плоскостей к поверхности Мизеса (рис.1). В 1.1 были также найдены соотношения в главных напряжениях, характеризующих данное ребро:

ст, -сг2 = £2л/2-Л(р); а2 - ст3 = кгЛ■ tgq> ■ \(<р); -

ст, -cr3 = k2siT-{i + tg(p)\{<p),

Из трёх соотношений (2) можно использовать только два, так как третье является линейной комбинацией двух других, что обусловливает незамкнутость системы уравнений при условии Мизеса.

Рис. 1. Аппроксимация поверхности Рис.2. конусы характеристических

Мизеса парой плоскостей плоскостей и нормалей

6

В разделе 1 2 вводится гипотеза пропорционального нагружения, привлечение которой связано с замыканием системы дифференциальных уравнений равновесия-

^,,=0, (3)

при условии Мизеса Она состоит в предположении зависимости всех трех главных напряжений от параметра напряжённого состояния tg<p на ребре

М*'М*, сделанном исходя из вида соотношений (2), описывающих данное ребро Таким образом, из любых двух линейно-независимых уравнений системы (2) имеют место выражения для ст,, где каждое из них будет характеризовать зависимость, соответствующего главного напряжения от параметра Щ(р

В tg(p)k{(p), а2 - к2л[2(А + В tg(p)h(cp),

аъ = к242{А + (В -1) А(р), где А, В — некоторые параметры, определяемые видом напряжённого состояния Соотношения (4) удовлетворяют автоматически как линеаризированным условиям Мизеса (1), так и нелинейному условию пластичности Мизеса с увеличенным пределом пластичности к2. При выборе параметров А = 0, В = 1 из соотношений (4) получается случай плоского напряжённого состояния

а1=к2^2 +1)Л(0>); <г2=к242 %<рЛ.(<р), <т3 = 0 (5) При постоянном параметре напряжённого состояния tg<p получается пространственный случай, соответствующий ребру призмы Треска. При этом система (4) перепишется следующим образом:

<т, = В, а2 =*2Л/2 В, аъ=к242-(В-1) (6) В разделе 13 1 исследуется система дифференциальных уравнений равновесия, выписанная в главных компонентах напряжений сг, и ориентирующих их направляющих косинусов су с подставленными в них условиями пластичности

(4), которые соответствуют пространственному напряжённому состоянию при гипотезе пропорционального нагружения Данная система оказывается гиперболичной и имеет следующие характеристики

Хх 2 • /, = ±(Ф)+ 2)-1/2|У/|, : Уа I, = 0, |У/|2 = 1, , (7) где Т(<р)=Ъ/{- A{Ztg(p + \) + (В - iУ¡fgф + 2$, являются компонентами градиента характеристической поверхности /, а у,- — новые направляющие косинусы, зависящие от ориентации главных напряжений сп, с,3 и параметра напряженного состояния tg<p следующим образом

у л = [с,! с,, + - с, з с}Ъ) 2 + 1] (г, ] = 1,2,3) (8)

Из уравнений системы (6) видно, что нормали характеристик Х\,г составляют с

направлением у3 = у33) угол сое= ±(г(^)+ 2)'1/2 итем самымоб-

7

разуют конус характеристических нормалей , а нормали характеристик ортогональны v3 и образуют плоскость характеристических нормалей S3 (рис 2)

В 1 3.2 исследуется та же самая система уравнений, но с привлечением условия полной пластичности Хаара-Кармана (г(^з) = 0 ), в результате чего имеют место следующие ортогональные характеристики

А* сп /;=±(2)-х1гЩ, Хъ- Сп /,=0, Wt=f,i -fj- (9)

Характеристики %1Л составляют с направлением сз = (с,3,с23,с^) угол ¡хх = ±яг/4 и тем самьм образуют конус характеристических нормалей Sl, а нормали характеристик Хз ортогональны направлению с3 и образуют плоскость характеристических нормалей S3 (рис 2)

В разделе 13 3 исследуется система дифференциальных уравнений для плоского напряжённого состояния с подставленными условиями пластичности (4) при выборе параметров А = О, В = 1 Характеристики данной системы являются ортогональными и имеют вид

А2 /, = ±(2)-1/2|v/[, |v/|2 =fj -fj. (10)

В разделе 141 найдены дифференциальные соотношения вдоль характеристик системы (7) для общего пространственного случая при гипотезе пропорционального нагружения.

Zi2 ±|V/| V(<p) Ш(<р)+Гл dvn=Q, fj dv/3=0, (И)

где ^)=(1 + Гч {<p))u-\<p){2 + T{<p))-V2, Tl{<p)={2tg<p+\)A{<p)

В разделе 14 2 найдены дифференциальные соотношения вдоль характеристик системы (9) для пространственного случая при условии полной пластичности Хаара-Кармана

Ххл + |V/| (4к2У dcr3+ fj dcn = 0, Хъ '■ fj dcn = 0 (12)

В разделе 1.4 3 найдены дифференциальные соотношения вдоль характеристик системы (10) для плоского напряженного состояния

± [V/| (2)-,,2®{<р) ditg^+f , dcn = 0, (13)

где 0({г>) = Л2О) () -tg(p )/2, ©(?>) d({g<p)=da1t{ax-(J7)

В разделе 1 5 проведен анализ разрывных решений на поверхностях разрыва напряжений Было выявлено, что поверхности разрыва совпадают с характери-, стическими, а также получены соотношения на них

Таким образом, незамкнутая математическая модель для распределения напряжений в пространстве (1)-(3) линеаризирована и приведена к замкнутой определенной математической модели

Во второй главе рассмотрены численные методы решения пространственных и плоских задач в рамках модели идеальной пластичности определения

8

напряжённого состояния (Коши, Гурса, смешанная) для линеаризированных условий пластичности Мизеса при гипотезе пропорционального нагружения, при выполнении условия полной пластичности Хаара-Кармана Для всех перечисленных задач, соответствующих напряженных состояний, получены конечно-разностные схемы определения напряжённого состояния

В разделе 2 1.1 приводится конечно-разностная схема решения задачи Коши для случая пространственного напряжённого состояния при выполнении гипотезы пропорционального нагружения-

1?к (2 Пу4+1 -П'+1-/* —П'4-'* +Пн1у+и -п'"14-7-1* +п'ч-/+и -П'-1у_и)ф +у\^к + О,

+ -у'п'+хк +у',?гЛк-у\?~1к)=0, (14)

п~1(<р) г4(<р}, и?+1+<!=0, ^+^=0, , 025 (у;;,А+у;р,А+уЦ+,к+у^к)

Данная задача состоит в том, чтобы найти решение в точке на следующем слое, исходя из того, что оно известно в области зависимости на предыдущем слое, то есть, зная решение в области АВСВ, образованной характеристическими плоскостями, требуется определить его в точке К (рис 3).

В разделе 2 1.2 приводится конечно-разностная схема задачи Гурса для пространственного напряжённого состояния при гипотезе пропорционального нагружения

^'-у^Ф (15)

Ф у)^+хк - = 0; + У%к+1 = 0,

05 + = =

Системы (14-15) являются системами 10-ти линейно-независимых уравнений относительно переменных 11{<р)ик*х,у']к*х Для окончательного определения напряженного состояния при решении задач Коши и Гурса для пространственного напряженного состояния необходимо воспользоваться уравнениями (4), (8) В разделе 2 13 приводится конечно-разностная схема смешанной задачи, ко-

9

торая состоит в нахождении параметра напряжённого состояния П в точке О плоскости АВСй, которая не является характеристической, исходя из того, что направляющие косинусы на ней известны Vрч и известно решение Т\(<р), урд на одной из характеристик АРНО (рис 4)

—хик~1(п.ик+г ~П'+1ук + —П'~1у~1к)ф

-У,?* О

В разделах 221, 22 2, 223 приводятся аналогичные конечно-разностные схемы решения задач Коши, Гурса и смешанной для расчета пространственного напряжённого состояния при выполнении условия полной пластичности Хаара-Кармана, ав23 1,232,233 выписаны конечно-разностные схемы для аналогичных задач плоского напряжённого состояния

В разделе 2 4 представлен комплекс программ численного расчета напряжённого состояния задач о растяжении полосы, ослабленной V-образным вырезом, для плоского и пространственного случаев Данный комплекс программ разработан на языках Object Pascal, С++, и его основу составляют конечно-разностные схемы, полученные в данной главе Приведённая на рис 5 структурная схема описывает работу программного комплекса, который состоит из трех основных программ и способен рассчитывать три вида напряжённого состояния пластического материала модели Мизеса. плоского, осесимметричного и общего пространственного Работу данного комплекса программ можно представить следующим образом

-ввод начальных данных и выбор рассматриваемого напряжённого состояния с помощью модуля InputOutput,

-запуск модуля Calculate, который по очереди обращается к процедурам решения задачи Коши (Coshy), решения задачи Гурса (Gaursat), решения смешанной задачи (MixedTask),

-запуск процедур Coshy, Gaursat, MixedTask, содержащих конечно-разностные схемы, полученные в данной главе и позволяющие рассчитать напряженное состояние с помощью функции Determinant, вычисляющей определитель матрицы n-го порядка,

-вывод результатов в модуль Calculate, который в свою очередь выводит их в таблицу на форме модуля InputOutput и сохраняет в текстовые файлы,

Рис 5 Структурная схема комплекса программ

-запуск из модуля Calculate процедур DrawGraphCoshy, DrawGraphGaursat, DrawGraphMixedTask, которые позволяют графически представить численные результаты, полученные с помощью процедур Coshy, Gaursat, MixedTask, а также вывести их на основную форму модуля InputOutput.

Для полосы с идеальным и V-образным вырезом в 20 градусов линии скольжения показаны на рис.6-7. Для пространственной задачи о растяжении бруса с углом разреза в 35 градусов характеристики и ориентация главных напряжений растягиваемого бруса с аналогичными вырезами показаны на рис.8-9.

Рис.6. Характеристические линии Рис.7. Характеристические линии

для полосы с идеальным вырезом для полосы с вырезом 20 градусов

Для трёхмерного случая (рис.8-9), исходя из симметрии выреза, области пластического течения представлены только с одной стороны. Полученное решение для плоской задачи отличается от решения, найденного Л.М. Качановым на величину е, а для е = 0 даёт полное совпадение.

Рис.8. Ориентация сг2 в узлах пересечения Рис.9. Ориентация <т3 в узлах пересечения характеристик характеристик

12

В третьей главе исследуется деформированное состояние для пространственных и плоских задач теории идеальной пластичности и найдены уравнения, характеризующие деформированное состояние в плоском и пространственном случаях, характеристики для них, бихарактеристики, а также дифференциальные соотношения, выписанные вдоль характеристик В данной главе были также сформулированы теоремы Генки и проведён анализ разрывных решений для деформированного состояния

Раздел 3 1 содержит основные уравнения, определяющие пластическое деформированное состояние для линеаризированных условий Мизеса в скоростях перемещений для пространственного случая

- (2Кх ■ и,д + К2 (и, 2 + и2, )+К,- (и1>3 + щл))/ с,з ©

©Оч• (и2,1 +ихг)+2Кг-и22 + Кг (и2з + щ2))/с23 = О,

~{2К1 и1,1+К2-{щ,2+и2,\)+КЪ {щ,Ъ+изЛ,Си® ^

(«1,3 +"3,1)+ К2 ("2,3 + «3,2 )+2К3~ «3,3 )/ с33 = °>

«1,1+«2,2+"з,з =0;

Кх—с2х с32— с3, с22, К2—с12 — с32-сц, К3 =с(1 с22— с12 с21 В 3 1 1 исследуются характеристические свойства системы уравнений (16) Найденные характеристики для пространственного деформированного состояния совпадают с характеристиками системы (9) для пространственного напряженного состояния при условии полной пластичности Хаара-Кармана

В 3 1 2 исследуется система дифференциальных уравнений для плоского деформированного состояния Полученные характеристики совпадают с характеристиками для плоского напряжённого состояния (10)

В 3 2 1 найдены дифференциальные соотношения вдоль характеристик системы (9) для пространственного деформированного состояния

Х\,2 ¿щ-Щс^ЩТ/;) IV/]2 =/, /, (17)

В данном разделе были также сформулированы теоремы Генки

В разделе 3 2 2 определены бихарактеристики пространственного поля скоростей и соотношения вдоль них, имеющие следующий вид:

^.з-Л с,ъ-с1и1-с]з ¿«,=0 (г,./= 1,2,3, г*у) (18)

В 3 2 3 найдены дифференциальные соотношения вдоль характеристик системы (10) плоского деформированного состояния-

*1,2-(сп±с21) <*Щ+{си+сг\) ¿«2=° (19)

В 3 3 проведен анализ разрывных решений на поверхностях разрыва деформаций Было выявлено, что поверхности разрыва деформаций совпадают с характеристическими

В четвёртой главе приводятся численные методы расчета деформированного состояния (Коши, Гурса, смешанная) пространственных и плоских

13

задач теории идеальной пластичности В разделе 4 1 приведены общие сведения о законах деформированного состояния

В разделе 4 2.1 рассмотрена конечно-разностная схема решения задачи Ко-ши для случая пространственного деформированного состояния

(с2з -с21) (<+1 - и** -м1,+и'№)-(и|4:+1 -а^'*)®

®(с,з -с„)+(Зс23 + с21) (и^-иГ1* +иГ'^-иГ1^)-(зс13 +си)®

-и?-"1 +и'2^+1кО, (с23 -с22) (и,""*1 -и^+,к)-(г4к+]-г4+и +и?]+хк (20)

®(<аз-Си) +(зс23 +с22) («Г -«Г* -м1'"1",ЧА)-(зс13 +с12)® ■14 -йГ1* о

Система (20) является системой 2-х линейных уравнений относительно переменных (рис 3)

В 4 2 2 приводится конечно-разностная схема задачи Гурса для пространственного деформированного состояния® - и';1}к + и'2+,-1+1к - и^1к)= 0; (Зс23 + с21) («Г - «Г* + МГи+14 " "Г0"'*)- (Зс13 + с„)® (21)

® (и'{ш - и'-Х1к + - и^"4*)= 0

Система уравнений (21) является системой 2-х линейных уравнений относительно переменных и'{ш, и'2к+1 (рис 4)

В 4 2 3 приводится конечно-разностная схема смешанной задачи пространственного деформированного состояния Данная задача состоит в нахождении компонент щ,и2 в точках плоскости, которая не является характеристической, исходя из того, что на ней известна зависимость

а и, +и2 =0 (22)

и известно решение вдоль одной из характеристик Предполагая, что решение известно в характеристической плоскости АР НО (заданы значения функций и,, и2), а также в плоскости А ВС И известна указанная линейная зависимость между компонентами и,, и2 (22), требуется определить компоненты и'{к+1 ,и2к+х в точке О (рис 4) Конечно-разностная схема смешанной задачи имеет вид (зс23 + с21) [и'?'л - + - (Зс13 + сп)®

® (и'?+[ - и'-1* + - и'21'~и)= 0; а к?*+1 + и]к*х = 0

Система уравнений (23) является системой 2-х линейных уравнений относительно переменных и"к+1, м2А+1

Направляющие косинусы сц во всех трех конечно-разностных схемах задач

14

Коши, Гурса и смешанной для пространственного деформированного состояния считаются рассчитанными из конечно-разностных схем, соответствующих задач для пространственного напряжённого состояния Разделы 4 3 1, 4 3 2, 4 3 3 содержат аналогичные конечно-разностные схемы для плоского деформированного состояния В 4 4 приведён пример численного расчёта поля скоростей перемещений

Заключение содержит анализ результатов и выводы, оценку практической значимости полученных результатов

Личный вклад автора определяется тем, что 1) диссертация выполнена персонально автором; 2) автор самостоятельно участвовал в формулировке задачи по построению замкнутой математической модели пространственного течения материала [1-12], 3) под руководством научного руководителя получены характеристики дифференциальных уравнений математической модели и дифференциальные соотношения вдоль них [1-3, 7, 13, 14], 4) самостоятельно построены конечно-разностные схемы 1-го порядка точности [3-9], 5) самостоятельно разработан комплекс программ для расчёта плоского и пространственного напряжённого состояния (результаты расчетов представлены в работах [4, 7,11, 15, 16]), 6) самостоятельно исследовал различные варианты условия полной пластичности [10,12]

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1 Построена замкнутая математическая модель пространственного напряжённо-деформированного состояния пластического материала Мизеса, доказана гиперболичность уравнений и статическая определимость пространственной задачи идеальной пластичности для линеаризированных условий пластичности Мизеса при гипотезе пропорционального нагружения и условии полной пластичности Хаара-Кармана,

2 Проведено обоснование гипотезы пропорционального нагружения, которая является модифицированным вариантом условия полной пластичности и приводит к статической определимости и гиперболичности в пространственном случае,

3 На основе разработанной замкнутой математической модели пластического материала Мизеса построены конечно-разностные схемы для численного решения пространственных задач в напряжениях и скоростях перемещений (Коши, Гурса, смешанная),

4 Рассмотрены конкретные примеры компьютерного моделирования пространственного напряженного состояния на основе предложенных конечно-разностных схем,

5. Показано, что математические модели пластического материала для плоского и осесимметричного случаев следуют из общей модели, предложенной в данной работе, как частные случаи при е 0.

15

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1 Вервейко Н Д Итерационный метод решения задач теории идеальной пластичности / Н Д Вервейко, А В Купцов // Вестник ВГУ Сер Физ, Мат -Воронеж,2005 -№1 -С. 149-153

2 Вервейко НД Поле скоростей пространственной статически определимой задачи идеальной пластичности / НД Вервейко, AB Купцов // Вестник ВГУ Сер Физ, Мат - Воронеж, 2006 -№2 -С. 174-179

Статьи и материалы конференций

3 Вервейко Н.Д. Метод характеристик решения трехмерных пространственных задач теории пластичности / Н Д Вервейко, А В Купцов //Современные проблемы механики и прикладной математики: труды междунар. школы-семинара - Воронеж ВГУ, 2004 4 1 -Т 1.-С 116-119.

4 Вервейко Н Д Итерационный метод решения задач теории идеальной пластичности / Н Д Вервейко, А В Купцов // Понтрягинские чтения - XVI материалы Воронежской весенней матем школы к 100-летию акад С М Никольского. - Воронеж ВГУ, 2005 - С 41

5 Вервейко Н Д. Однородные конечно-разностные схемы решения задач теории пластичности / Н Д Вервейко, А В Купцов // АКТ-2005 труды 6-й междунар конф —Воронеж,2005 Ч 1 -С 221-226.

6 Вервейко Н Д Построение статически определимой системы уравнений идеальной пластичности для пространственного напряженного состояния / Н Д Вервейко, А.В Купцов // Современные проблемы механики и прикладной математики труды междунар школы-семинара к 75-летию Д Д Ивлева -Воронеж ВГУ, 2005 Ч 1.-С 93-95.

7. Вервейко НД Поле скоростей пространственной статически определимой задачи идеальной пластичности/ Н Д Вервейко, А В Купцов // АКТ-2006 труды 7-й междунар конф - Воронеж, 2006 -С 513-524

8 Вервейко Н Д К статической определимости пространственной задачи теории идеальной пластичности / Н Д Вервейко, А В Купцов // Вестник ЕГУ им И А. Бунина.-Елец, 2006 -№1 -С 143-152

9 Вервейко НД, К сходимости итерационного метода решения пространственных задач теории идеальной пластичности с условием пластичности Ми-зеса / Н Д Вервейко, А В Купцов // Фундаментальные и прикладные вопросы механики: материалы всерос конф к 70-летию акад В П Мясникова -Владивосток ИАПУ ДВО РАН, 2006. - С. 35-37.

16

10 Вервейко Н Д Допустимые варианты полной пластичности пространственных задач идеальной пластичности при условии Мизеса / Н Д Вервейко, А В. Купцов//Вестник ПММ.-Воронеж ВГУ, 2006-Вып.б - С 28-31

11 Вервейко Н Д К гиперболичности пространственной задачи теории идеальной пластичности при условиях Мизеса и модифицированном условии полной пластичности Хаара-Кармана/ Н.Д Вервейко, А В Купцов // Математические модели и операторные уравнения сб ст —Воронеж ВГУ, 2007 -Т 4.-С 38-53.

12 Купцов А.В. Построение устойчивых конечно-разностных схем пространственных задач идеальной пластичности /А В Купцов // Вестник ПММ - Воронеж ВГУ, 2006-Вып 6.-С 83-89

13 Вервейко Н.Д Конечно-разностные схемы расчета пространственного деформированного состояния идеально-пластического материала/ НД Вервейко, А В Купцов // АКТ-2007 труды 8-й междунар конф — Воронеж, 2007 -С 327-332

14. Вервейко Н Д Статическая определимость пространственной задачи идеальной пластичности при условии Мизеса / Н Д Вервейко, А В Купцов // Современные проблемы механики и прикладной математики труды междунар школы-семинара к 70-летию Г И Быковцева. - Воронеж ВГУ, 2007 -С. 57-61

15 Купцов А В Сравнительная оценка решения осесимметричной задачи пластичности методом характеристик и методом линеаризации условия пластичности Мизеса /А В Купцов // АКТ-2007. труды 8-й междунар конф — Воронеж, 2007 - С 188-192

16 Купцов А.В Численный расчет пространственного напряжённого состояния для линеаризированной модели пластического материала Мизеса / А В Купцов // Современные проблемы механики и прикладной математики труды междунар. школы-семинара к 70-летию Г.И Быковцева — Воронеж ВГУ, 2007 -С 210-212

Подписано в печать 28.09 2007 Формат 60x84/16 Бумага для множительных аппаратов Уел печ л 1,1 Тираж 100 экз Зак

ГОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» 394026 Воронеж, Московский просп, 14

Введение.

Глава I. Построениие характеристик и соотношений на них для пространственного напряженное сотояния при условии пластичности Мизеса

1.1. Моделирование напряжённого состояния пластического материала.

1.2. Гипотеза пространственного пропорционального нагружения.

1.3.1. Характеристики уравнений пространственного напряженного состояния в общем случае.

1.3.2. Характеристики уравнений пространственного напряженного состояния при условии полной пластичности Хаара-Кармана.

1.3.3. Характеристики уравнений плоского напряженного состояния.

1.4.1. Соотношения вдоль характеристических плоскостей общей пространственной задачи.

1.4.2. Соотношения вдоль характеристических плоскостей пространственной задачи при условии полной пластичности Хаара-Кармана.

1.4.3. Соотношения вдоль характеристических линий в плоском напряженном состоянии задачи.

1.5. Условия совместности на поверхностях разрыва напряжений.

Актуальность работы определяется тем, что в современных условиях развития науки и техники, в условиях широкого применения новых материалов с заранее заданными свойствами, встала необходимость проводить расчёты напряжённо-деформированного состояния более широкого класса пространственных задач теории идеальной пластичности, которые не обладают осевой симметрией и требуют разработки новых математических моделей. Построение таких моделей, рассмотренных в данной диссертации, связано со сложностью решения пространственных задач в случае использования условия пластичности Треска, а также с проблемой незамкнутости модельных уравнений идеальной пластичности при условии Мизеса, которая не была решена полностью до настоящего времени, несмотря на довольно длительную историю исследований в этой области.

Одними из первых работ по математическому моделированию течения пластического материала были выполнены Б. Сен-Венаном и М. Леви в 1870 году. Б. Сен-Венан получил соотношения для плоской деформации, а М. Леви, используя такую же методику, получил уравнения в трёхмерном случае. А. Хаар и Т. Карман в 1909 году предложили использовать условие полной пластичности, которое соответствует напряжённому состоянию на ребре призмы Треска. Соотношения пространственной задачи в этом случае приводят к статической определимости.

В 1944 году А.Ю. Ишлинский исследовал осесимметричную задачу при условии полной пластичности Хаара-Кармана и получил статическую определимость и гиперболичность пространственной задачи.

В исследованиях Д.Д. Ивлева было установлено фундаментальное значение условия полной пластичности, а также гиперболичность, статическая определимость математической модели пластичности при условии Треска, получены уравнения характеристик и соотношений на них. В его исследованиях было показано, что полученные характеристики пространственной задачи при условии полной пластичности Хаара-Кармана образуют конус вокруг третьего главного направления с углом раствора я/4, который касается площадок максимальных касательных напряжений. Было также показано совпадение характеристических плоскостей с площадками максимальных касательных напряжений.

Г.И. Быковцевым совместно с Ю.М. Мяснянкиным были получены соотношения на поверхностях разрыва напряжений в трёхмерных идеальных жёсткопластических телах.

Значительный вклад в построение и исследование математической модели пластического материала внёс Ю.Н. Радаев. В его работах развита общая теория математической пластичности с условием пластичности Треска и обобщённым ассоциированным законом. Им был получен ряд новых результатов в случае плоского деформированного и осесимметричного состояния, дополняющих известные теоремы о геометрии поля скольжения.

Большое влияние на исследования в данной области оказали работы Б.Д. Аннина, А.А. Буренина, Г.И. Быковцева, Н.Д. Вервейко, В.Г. Зубчани-нова, А.А. Ильюшина, А.Ю. Ишлинского, Д.Д. Ивлева, JI.M. Качанова, В.А. Кукуджанова, JI.A. Максимовой, В.П. Мясникова, Ю.М. Мяснянкина, JI.B. Никитина, Ю.Н. Радаева, Т.Д. Семыкиной, В.В. Соколовского, JT.A. Толо-конникова, Е.И. Шемякина, С.А. Христиановича и др.

В основополагающих трудах А.А. Самарского в области компьютерного математического моделирования в естествознании, разработаны конечно-разностные методы и подходы, позволяющие решать многие проблемные задачи науки и техники, в том числе, по нахождению напряжённо-деформированного состояния плоских и осесимметричных задач.

Значительное влияние на развитие в России теории математического моделирования, методов нелинейной динамики оказали также научные труды и большая организационная работа Б.Н.Четверухина, С.П. Курдюмова, С.А. Редкозубова, Г.Г. Малинецкого и др.

Заслуживают внимания и представляют определенный интерес работы С.А. Редкозубова, А.В. Крутова, А.В. Воробьева, А.И. Шашкина, связанные с кинематико-геометрическим моделированием. В частности, работы по моделированию задач нелинейной динамики на основе соотношений самоподобия, по прогнозированию поведения в сложных условиях, по геометрическому моделированию в задачах полной пластичности на основе так называемой песчаной аналогии, в которых получены оригинальные соотношения и установлен ряд новых фактов и закономерностей, в том числе, геометрического характера, представляющих общетеоретический интерес и позволяющих получать решения и интерпретировать результаты в широком круге прикладных задач.

Однако, даже при таком интенсивном и длительном исследовании методами математического моделирования процессов пластического течения и деформирования, оставался открытым вопрос построения замкнутой математической модели задачи пластического течения материала Мизеса, сформулированной для пространственного напряжённого состояния. На устранение этого и других пробелов и были направлены усилия при постановке задач и выполнении работы.

Диссертация посвящена построению математической модели пластического материала Мизеса, представленной в виде замкнутой системы уравнений в частных производных, а также разработке методов решения пространственных задач, построению численных алгоритмов с реализацией их на ЭВМ с помощью разработанного комплекса программ.

В общем пространственном случае исследуется напряжённое состояние на ребре, которое получено пересечением двух касательных к поверхности Мизеса плоскостей, зависящих от произвольного параметра tgcp напряжённого состояния. При определённом значении данного параметра, характеризующегося отношением второго главного касательного напряжения к первому, исследуемые плоскости совпадают с гранями призмы Треска. Путем привлечения гипотезы пропорционального нагружения, когда все три главных напряжения зависят от одного параметра, в работе достигнута статическая определимость пространственной задачи.

Дели и задачи исследования. Целью проведённой работы является разработка модифицированной математической модели пластического материала Мизеса, методов, вычислительных алгоритмов и комплекса программ для расчёта пространственного пластического напряжённого и деформированного состояния. Поставленная цель достигается посредством: -линеаризации нелинейного условия пластичности Мизеса; -введением и обоснованием гипотезы пропорционального нагружения, являющейся модифицированным условием полной пластичности;

-получением из общей математической модели (с использованием условия полной пластичности Хаара-Кармана) уравнений для плоского и пространственного напряжённых состояний;

-нахождением характеристик, соотношений на них для различных задач (Коши, Гурса, смешанной) в случае пространственного напряжённо-деформированного состояния при условии полной пластичности Хаара-Кармана и гипотезе пропорционального нагружения в общем случае, а также для плоского напряженно-деформированного состояния;

-получением конечно-разностных схем для решения задач Коши, Гурса, смешанной и численным расчётом поля напряжений, поля скоростей перемещений для различных напряжённых состояний;

-применением данных конечно-разностных схем для расчёта полей напряжений, скоростей перемещений различных пространственных задач теории пластичности.

Методы исследования. Методами исследования в диссертационной работе являются аналитические точные и численные приближенные итерационные методы, а также численные методы конечных разностей, методы решения и анализа краевых задач для систем уравнений в частных производных, представляющих математическую модель, а также методы программирования на языках Object Pascal, С++.

Положения, выносимые на защиту:

1. Обоснование статической определимости математической модели идеальной пластичности путём линеаризации условия пластичности Мизеса;

2. Гипотеза пропорционального нагружения, являющаяся модифицированным аналогом условия полной пластичности Хаара-Кармана;

3. Метод характеристик решения пространственных задач идеальной пластичности в напряжениях (Коши, Гурса, смешанная) для линеаризированных условий пластичности Мизеса при гипотезе пропорционального нагружения;

4. Разработка программ расчёта напряжённого и деформированного состояний для плоских и пространственных задач теории идеальной пластичности и, соответствующие им, конечно-разностные схемы расчёта напряжённого и деформированного состояний;

5. Апробация предложенных программ для численных расчётов конкретных практических задач.

Научная новизна результатов исследования состоит в том, что:

-построена математическая модель пластического материала Мизеса, установлена статическая определимость и гиперболичность пространственной задачи теории пластичности в напряжениях при выполнении гипотезы пропорционального нагружения;

-найдены уравнения характеристических плоскостей и соотношения вдоль них для напряжённого и деформированного состояния в плоском и пространственном случаях при гипотезе пропорционального нагружения и выполнении условия полной пластичности для линеаризированных условий пластичности Мизеса;

-для направляющих косинусов нормалей полученных характеристик построены их конкретные выражения через ориентацию главных напряжений и параметр напряжённого состояния, что позволяет записать соотношения вдоль характеристических плоскостей;

-представлены конечно-разностные схемы для плоского и пространственного напряженного и деформированного состояний при условии полной пластичности и гипотезе пропорционального нагружения для линеаризированных условий пластичности Мизеса;

-разработан численный алгоритм решения плоских и пространственных задач, а также комплекс программ на языках Object Pascal, С++, позволяющий рассчитывать напряженное и деформированное состояние для конкретных задач идеальной пластичности.

Достоверность исследований, проведенных в диссертационной работе, основывается на правильно сформулированной математической модели, правильности применения математического аппарата теории уравнений в частных производных, теории конечно-разностных схем и использовании современных языков программирования. Достоверность проведенных исследований подтверждается также тем, что полученные результаты совпадают с имеющимися в частных случаях классическими, если в использованной гипотезе пропорционального нагружения задать параметры, входящие в условия пластичности конкретным образом.

Практическая значимость исследования состоит в возможности применения метода характеристик и разработанного комплекса программ для большего спектра пространственных задач теории пластичности, в том числе задач, не обладающих осевой симметрией. Разработанный метод и программное обеспечение позволяют рассчитывать предельные напряжённое и деформированное состояния тел различной формы при заданной нагрузке.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского государственного университета 20042007 г.г.; научных сессиях факультета ПММ Воронежского государственного университета 2004-2007 г.г.; на Воронежской школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» 2004 г., 2005 г., посвященной 75-летию профессора Д.Д. Ивлева, и 2007 г., посвященной 70-летию профессора Г.И. Быковцева; на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения -XVI» - «Современные методы теории краевых задач», посвященной 100-летию академика С.М. Никольского; в VI, VII и VIII Международных научно-технических конференциях «Авиакосмические технологии», 2005-2007 г.г.; на Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики», посвященной 70-летию со дня рождения академика В.П. Мясникова ИАПУ ДВО РАН, 2006 г. Материалы по диссертации размещены также в сети Интернет на сайте Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина по адресу: http://www.elsu.ru/science/avtoref-k01.html

Публикации. По теме диссертации в рамках исследуемой темы опубликовано 16 научных работ, перечень которых приведён в конце диссертации, в том числе — 2 в изданиях, рекомендуемых ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и библиографического списка из 161 наименования. Работа изложена на 161 странице, а также содержит 3 таблицы и 19 рисунков.

Основные выводы по четвёртой главе

В данной главе получены конечно-разностные схемы решения задач Коши, Гурса и смешанной по расчёту поля скоростей для плоского и пространственного случая. Построенные для этих задач конечно-разностные схемы состоят из двух уравнений для определения двух компонент скоростей (третья компонента исключена путём её выражения и подстановкой в основные уравнения из условия несжимаемости). Меньшее количество уравнений по сравнению с конечно-разностными схемами для определения напряжённого состояния объясняется тем, что в деформированном состоянии не требуется находить косинусы, ориентирующие главные напряжения. Это объясняется тем, что можно использовать их массивы для определения деформированного состояния, полученные при исследовании напряженного состояния аналогичных задач Коши, Гурса и смешанной. Откуда следует, что шесть уравнений ортонормированности и ортогональности для этих направляющих косинусов не являются необходимыми для расчёта и не будут включены в конечно-разностные схемы определения деформированного состояния. В данной главе был также произведён численный расчёт поля скоростей перемещений, который показал, что решение линеаризированной задачи отличается от решения нелинейной на величину s, характеризующую погрешность линеаризации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Построена замкнутая математическая модель пространственного напряжённо-деформированного состояния пластического материала Мизеса, доказана гиперболичность уравнений и статическая определимость пространственной задачи идеальной пластичности для линеаризированных условий пластичности Мизеса при гипотезе пропорционального нагружения и условии полной пластичности Хаара-Кармана;

2. Проведено обоснование гипотезы пропорционального нагружения, которая является модифицированным вариантом условия полной пластичности и приводит к статической определимости и гиперболичности в пространственном случае;

3. На основе разработанной замкнутой математической модели пластического материала Мизеса построены конечно-разностные схемы для численного решения пространственных задач в напряжениях и скоростях перемещений (Коши, Гурса, смешанная);

4. Рассмотрены конкретные примеры компьютерного моделирования пространственного напряжённого состояния на основе предложенных конечно-разностных схем;

5. Показано, что математические модели пластического материала для плоского и осесимметричного случаев следуют из общей модели, предложенной в данной работе, как частные случаи при s -> 0.

1. Аннин Б. Д., Черепанов Г. П. Упругопластическая задача. Новосибирск: Наука, 1983.-240 С.

2. Аннин Б.Д. Подмодели уравнений идеальной пластичности Треска/ Б.Д. Аннин // Материалы всеросс. конф. «Проблемы механики» к 90-летию А.Ю. Ишлинского. М.: Физматлит, 2003. - С. 94-99.

3. Артёмов М. А., Ивлев Д. Д. О статических и кинематических соотношениях теории идеальной пластичности при кусочно-линейных условиях текучести/ М. А. Артемов, Д. Д. Ивлев // Изв. РАН. Механика тверд, тела, 1995.-№3,-С. 104-110.

4. Арутюнян Н.Х., Радаев Ю.Н. Упругопластическое кручение призматических стержней / Н.Х.Арутюнян, Ю.Н. Радаев // Изв АН СССР. Механика твёрдого тела, 1987. № 5- С. 117-125.

5. Арутюнян Н.Х., Радаев Ю.Н. Упругопластическое кручение цилиндрического стержня при конечных деформациях/ Н.Х.Арутюнян, Ю.Н. Радаев // Прикл. матем. и механика, 1989. Т. 53. Вып. 6. С. 1014-1022.

6. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов М.: Наука, 1973. -631 С.

7. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы/ Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков М.: Наука, 1987. - 600 С.

8. Бережной И. А., Ивлев Д. Д. Об интегральных неравенствах теории упругопластического тела/ Д.Д. Ивлев, И.А. Бережной // Прикл. матем. и механика, 1980. Т. 44. Вып. 3. - С. 540-549.

9. Буренин А.А., Быковцев Г.И., Ковтанюк JI.B. Об одной простой модели для упругопластической среды при конечных деформациях / А.А. Буренин, Г.И. Быковцев, JI.B. Ковтанюк // ДАН, 1996. Т. 347. № 2. - С. 199-201.

10. Быковцев Г. И. К теории осесимметричного состояния идеально-пластического материала/ Г. И. Быковцев, Д. Д. Ивлев, Т. Н. Мартынова // Прикл. механика и техн. физика, 1963. №5. - С. 102-108.

11. Быковцев Г.И. Плоская деформация идеальных жёсткопластических тел с учётом изменения границы/ Г. И. Быковцев, А. И. Хромов // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела, 1979. №2. - С. 71-78.

12. Быковцев Г.И. Плоская задача о вдавливании жёсткого штампа в идеальное жёсткопластическое полупространство/ Г. И. Быковцев, А. И. Хромов // Изв. АН СССР. Механика твёрдого тела, 1981. №2. - С. 47-52.

13. Быковцев Г.И. Теория пластичности/ Г. И. Быковцев, Д. Д. Ивлев -Владивосток: Дальнаука, 1998. 528 С.

14. Быковцев Г.И. Избранные вопросы механики деформируемых сред/ Г. И. Быковцев- Владивосток: Дальнаука, 2002. 566 С.

15. Валюхов С.Г., Костин В.А., Сапронов Ю.И., Семёнов С.М. Оптимизация шестеренчатых зацеплений винтовых поверхностей/ С.Г. Валюхов, В.А. Костин, Ю.И. Сапронов, С.М. Семёнов Воронеж: ВГУ, 2005. - 177 С.

16. Вервейко Н.Д., Купцов А.В. Однородные конечно-разностные схемы решения задач теории пластичности / Н.Д. Вервейко, А.В. Купцов // Труды 6-й междунар. конф. «Авиакосмические технологии». Воронеж: ВГТУ, 2005. -Ч. 1. - С. 221-226.

17. Вервейко Н.Д., Купцов А.В. Итерационный метод решения задач теории идеальной пластичности / Н.Д. Вервейко, А.В. Купцов // Вестник ВГУ. Серия Физика, Математика, 2005. -№1. С. 149-153.

18. Вервейко Н.Д., Купцов А.В. Поле скоростей пространственной статически определимой задачи идеальной пластичности / Н.Д. Вервейко, А.В. Купцов // Тр. 7-й междунар. конф. «Авиакосмические технологии». Воронеж: ВГТУ, 2006. - С. 513-524.

19. Вервейко Н.Д., Купцов А.В. К статической определимости пространственной задачи теории идеальной пластичности / Н.Д. Вервейко, А.В. Купцов // Вестник ЕГУ им. И.А. Бунина, 2006. №1. - С. 143-152 .

20. Вервейко Н.Д., Купцов А.В. Поле скоростей пространственной статически определимой задачи идеальной пластичности / Н.Д. Вервейко, А.В. Купцов // Вестник ВГУ. Серия Физ., Матем., 2006. №2. - С. 174179.

21. Вервейко Н.Д., Купцов А.В. К сходимости итерационного метода решения пространственных задач теории идеальной пластичности с условием пластичности Мизеса / Н.Д. Вервейко, А.В. Купцов //

22. Материалы всеросс. коиф. «Фундаментальные и прикладные вопросы механики» к 70-летию академика В.П. Мясникова. Владивосток: Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, 2006. - С. 35-37.

23. Вервейко Н.Д., Купцов А.В. Допустимые варианты полной пластичности пространственных задач идеальной пластичности при условии Мизеса / Н.Д. Вервейко, А.В. Купцов // Вестник ПММ. Воронеж: ВГУ, 2006. Вып. 6.-С. 28-31.

24. Галин JI.A. Плоская упругопластическая задача/ JI.A. Галин // Прикл. матем. и механика, 1946. Т. 10. Вып. 3.

25. Гейрингер Г. Некоторые результаты в теории идеально пластического тела/ Г. Гейрингер // Сб. переводов «Проблемы механики», М.: 1955.

26. Гейрингер Г. Математические теории неупругой сплошной среды/ Г. Гейрингер, А. Фрейденталь М.: Физматлит, 1962. - 432 С.

27. Генки Г. Пространственная задача упругого и пластического равновесия/ Г. Генки //Изв. АН СССР. ОТН, 1937.-№2.-С. 187-196.

28. Годунов С.К. Уравнения математической физики/ С.К. Годунов М.: Наука, 1971.-416 С.

29. Гудьер Дж.Н., Ходж Ф.Г. Упругость и пластичность// Дж.Н. Гудьер, Ф.Г. Ходж Пер. с англ. М.: Изд-во иностранной литературы, 1960. - 192 С.

30. Зб.Задоян М.А. Пространственные задачи теории пластичности / М.А. Задоян -М.: Наука, 1992.-384 С.

31. Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности/ В.Г. Зубчанинов М.: Высшая школа, 1990. - 368 С.

32. Ивлев Д.Д. Об определении перемещений в задаче JI. А. Галина/ Д.Д. Ивлев // Прикл. матем. и механика, 1957. Т. 21. Вып. 5. - С. 716-717.

33. Ивлев Д.Д. Приближенное решение упругопластических задач теории идеальной пластичности методом малого параметра/ Д.Д. Ивлев // Докл. АН СССР, 1957. Т. 113.-№2.-С. 294-296.

34. Ивлев Д.Д. О диссипативной функции упрочняющихся пластических сред/Д.Д. Ивлев//Докл. АН СССР, 1957. Т. 116.-№5.-С. 1037-1039.

35. Ивлев Д.Д. Вдавливание тонкого лезвия в пластическую среду/ Д.Д. Ивлев // Изв. АН СССР, ОТН, 1957. №10. - С. 89-93.

36. Ивлев Д.Д. Об общих уравнениях теории идеальной пластичности и статики сыпучих сред/ Д.Д. Ивлев // Прикл. матем. и механика, 1958. Т. 22.-Вып. 1.-С. 90-96.

37. Ивлев Д.Д. Об одном классе решений общих уравнений теории идеальной пластичности/ Д.Д. Ивлев // Изв. АН СССР, ОТН, 1958. -№11. -С. 107-109.

38. Ивлев Д.Д. О разрывных решениях пространственных задач теории идеальной пластичности/ Д.Д. Ивлев // Прикл. матем. и механика, 1958. Т. 22.-Вып. 4.-С. 480-486.

39. Ивлев Д.Д. О соотношениях, определяющих пластическое течение при условии пластичности Треска, и его обобщениях/ Д.Д. Ивлев // Докл. АН СССР, 1959. Т. 124. №3. - С. 546-549.

40. Ивлев Д.Д. К теории идеальной пластической анизотропии/ Д.Д. Ивлев // Прикл. матем. и механика, 1959. Т. 23. -Вып. 6. С. 1107-1114.

41. Ивлев Д.Д. Об экстремальных свойствах условий пластичности/ Д.Д. Ивлев // Прикл. матем. и механика, 1960. Т. 24. Вып. 5. - С. 951-955.

42. Ивлев Д.Д. Об идеально-пластическом течении материала с учетом остаточных микронапряжений/ Д.Д. Ивлев // Прикл. матем. и механика, 1962. Т. 26. Вып. 4. - С. 709-714.

43. Ивлев Д.Д. К теории сплошных сред/ Д.Д. Ивлев // Докл. АН СССР, 1963. Т. 148.-№1.-С. 64-66.

44. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности/ Д.Д. Ивлев М.: Наука, 1966. -232 С.

45. Ивлев Д.Д. О теории трещин квазихрупкого разрушения/ Д.Д. Ивлев // Прикл. механика и техн. физика, 1967. №6. - С. 88-128.

46. Ивлев Д.Д. Об одном построении теории трещин/ Д.Д. Ивлев // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела, 1967. №6. - С. 91-94.

47. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела/ Д.Д. Ивлев, Г. И. Быковцев М.: Наука, 1971.-232 С.

48. Ивлев Д.Д., Внедрение гладкого сферического штампа в жесткоплас-тическое полупространство/ Д.Д. Ивлев, Р.Н. Непершин // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела, 1973. №4. - С. 159-166.

49. Ивлев Д.Д., Ершов JI.B. Метод возмущений в теории упругопластического тела/ Д.Д. Ивлев, Л.В. Ершов М.: Наука, 1978. - 208 С.

50. Ивлев Д.Д. Об обобщении решения Прандтля в сферических координатах/ Д. Д. Ивлев, А. В. Романов // Прикл. матем. и механика, 1982. Т. 46. -Вып. 5.-С. 869-871.

51. Ивлев Д. Д. К теории предельного состояния пластических пористых тел/ Д.Д. Ивлев // Изв. РАН. Механика тверд, тела, 1992. №3. - С. 163-166.

52. Ивлев Д. Д. Об общих уравнениях теории идеальной пластичности/ Д.Д. Ивлев // Сб. трудов «Проблемы механики сплошной среды» к 60-летию акад. В. П. Мясникова. Владивосток, 1996. С. 112-115.

53. Ивлев Д. Д. О соотношениях ассоциированного закона пластического течения в обобщенных переменных/ Д.Д. Ивлев // Докл. АН, 1998. Т. 363. -№6. С. 775-776.

54. Ивлев Д. Д. Полная пластичность в теории идеально-пластического тела/ Д.Д. Ивлев, А. Ю. Ишлинский // Докл. АН, 1999. Т. 368. №3. - С. 333334.

55. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред / Д.Д. Ивлев М.: Физмат, 2001. Т.1.-448 С.

56. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред / Д.Д. Ивлев М.: Физмат, 2002. Т.2.-448 С.

57. Ивлев Д.Д. Теория предельного состояния и идеальной пластичности / Д.Д. Ивлев Воронеж: ВГУ, 2005. - 357 С.

58. Ивлев Д.Д. О переходе статически неопределимого состояния в статически определимое / Д.Д. Ивлев // Вестник ЧГРУ им. И.Я. Яковлева. Серия Механика предельного равновесия, 2007. -№1. С. 5-10.

59. Ильюшин А.А. Пластичность/ Ильюшин А.А. М.: Гостехиздат, 1948. -376 С.

60. Ильюшин А.А. Замечания о некоторых статьях, посвященных критике теории пластичности / Ильюшин А.А. // Изв. АН СССР, ОТН, 1950. № 6. -С. 940-951.

61. Ильюшин А.А. Полная пластичность в процессах течения между жесткими поверхностями / А.А. Ильюшин // Прикл. математ. и механика, 1955.Т. 19.-С. 693-713.

62. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории// А.А. Ильюшин М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 271 С.

63. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды/ А.А. Ильюшин М.: Изд-во московского университета, 1990. - 310 С.

64. Ильюшин А.А. Труды (1935-1945) / Е.А. Ильюшина, М.Р. Короткина-М.: Физматлит, 2003. Т. 1. 352 С.

65. Ильюшин А.А. Труды (1946-1966). Пластичность/ Е.А. Ильюшина, М.Р. Короткина М.: Физматлит, 2004. Т. 2. - 480 С.

66. Ишлинский А.Ю. Математическая теория пластичности / А.Ю. Ишлинский, Д.Д. Ивлев М.: Физматлит, 2001. - 701 С.

67. Ишлинский А.Ю. Осесимметричная задача теории пластичности и проба Бринелля/ А.Ю. Ишлинский // Прикл. матем. и механика, 1944 Т.8.-Вып.З. - С. 201-224.

68. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики / А.Ю. Ишлинский // М.: Наука, 1986.-Т.1. -С. 62-83.

69. Ишлинский А.Ю. Учёные записки МГУ / А.Ю. Ишлинский // Механика, 1996. Вып. 117.-С. 90-108.

70. Качанов JI.M. Вариационные принципы для упругопластических сред // Прикл. матем. и механики, 1942. Т.6. Вып. 2-3. - С. 187-196.

71. Качанов Л.М. Основы теории пластичности/ Л.М. Качанов М.: Гостехиздат, 1956. - 324 С.

72. Качанов Л.М. Основы теории пластичности/ Л.М. Качанов М.: Наука, 1969.-420 С.

73. Качанов Л.М. Основы механики разрушения/ Л.М. Качанов М.: Наука, 1974.-312 С.

74. Койтер В.Т. Общие теоремы теории упруго-пластических сред / В.Т. Койтер — пер. с англ. М.: 1961. 80 С.

75. Криштал М.М. Неустойчивость и мезоскопическая неоднородность пластической деформации / М.М. Криштал //Физическая мезомеханика, 2004. Т.7. -№ 5. С. 31-45.

76. Крутов А.В. Некоторые прикладные задачи: геометрико-кинематические модели / А.В. Крутов. М.: Изд-во РУДН, 2001. - 252 С.

77. Кукуджанов В.А., Никитин JI.B. Распространение волн в стержнях из неоднородного упруговязкопластического материала/ Кукуджанов В.А., Никитин JI.B.// Изв АН СССР. Механика и машиностроение, 1960. -№4. -С. 53-59.

78. Кукуджанов В.А., Никитин JI.B. Удар о жёсткую преграду стержня с кусочно-постоянным пределом текучести / В.А. Кукуджанов, JI.B. Никитин // Инж. Механика твёрдого тела, 1961. № 1. - С. 177-183.

79. Купцов А.В. Построение устойчивых конечно-разностных схем пространственных задач идеальной пластичности при условии Мизеса. / А.В. Купцов // Вестник ПММ. Воронеж: ВГУ, 2007. Вып. 6. - С. 83-89.

80. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред / Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. М.: Гостехиздат, 1953. - 788 С.

81. Леви М. К вопросу об общих уравнениях внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределами упругости/ М. Леви // Теория пластичности. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. -С. 20-23.

82. Лоде В. Влияние среднего главного напряжения на текучесть металлов/ В. Лоде //Теория пластичности. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. -С. 168-205.

83. Максимова Л.А. О линеаризированных уравнениях пространственных течений идеально-пластических тел / Л.А. Максимова // ДАН РАН, 1998. Т. 385.-№6. -С. 772-773.

84. Максимова Л.А. О разрывных решениях при условии полной пластичности / Л.А. Максимова // Изв. НАНИ ЧР, 2000. № 4. - С. 34-38.

85. Максимова Л.А. О статически определимых состояниях при условии пластичности Мизеса/ Л.А. Максимова // Вестник ЧГРУ им. И .Я. Яковлева. Сер. Механика предельного равновесия, 2007. -№1. С. 56-59.

86. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики/ Г.И. Марчук // М.: Наука, 1980.-534 С.

87. Мосолов П. П., Мясников В. П. Механика жесткопластических сред/ П. П. Мосолов, В. П. Мясников М.: Наука, 1981. - 208 С. .:<:■.

88. Мураками С., Радаев Ю.Н. Математическая модель трёхмерного анизотропного состояния повреждённости/ С. Мураками, Ю.Н. Радаев//Изв. РАН. Механика твёрдого тела, 1996. № 4 - С. 94-110.

89. Мясников В.П., Гузев М.А. Неевклидова модель упругопластического материала с дефектами структуры/ В.П. Мясников, М.А. Гузев // Сб. тр.

90. Проблемы механики сплошных сред и элементов конструкций» к 60-летию Г.И. Быковцева. Владивосток: Дальнаука, 1998. С. 209-224.

91. Мяснянкин Ю.М. О поверхностях скольжения в трёхмерных жёсткопластических телах / Ю.М. Мяснянкин, Г.И. Быковцев // Докл. АН СССР, 1966. Т.167-№ 5.-С. 1260-1262.

92. Мяснянкин Ю.М. О соотношениях на поверхностях разрыва в твёрдых идеальных жёсткопластических телах/ Ю.М. Мяснянкин, Д.Д. Ивлев, Г.И. Быковцев//Докл. АН СССР, 1967.Т.177-№5.-С. 1039-1042.

93. Мяснянкин Ю.М. О соотношениях на поверхностях разрыва скоростей перемещений в идеальных жёсткопластических телах/ Ю.М. Мяснянкин // Тр. конф. «Математическое моделирование систем» - Воронеж, 1998. -С. 121-125.

94. Надаи А. Пластичность/ А. Надаи М.; Л.: ОНТИ, 1936. - 280 С.

95. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел/ А. Надаи Т.1. М.: Изд-во иностр. литературы, 1954. - 648 С.; Т. 2. М.: Мир, 1969. - 864 С.

96. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во московского университета, 1995. 366 С.

97. Прагер В. Теория идеально-пластических тел / В. Прагер, Ф. Ходж -М.: Изд-во иностранной литературы, 1956. 398 С.

98. Прагер В. Введение в механику сплошных сред / В. Прагер- М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. 312 С.

99. Радаев Ю.Н. Дополнительные теоремы теории плоской и осесимметричной задачи математической теории пластичности/ Ю.Н. Радаев // Вестник СамГУ, 2004. -№2 (32). С. 41- 61.

100. Радаев Ю.Н. Группы симметрий дифференциальных уравнений осесимметричной задачи математической теории пластичности / Ю.Н. Радаев // Вестник СамГУ, 2004. -№4 (34). С. 99-111.

101. Радаев Ю.Н. О t-гиперболичности пространственных задач теории плас-тичности / Ю.Н. Радаев, В.А. Гудков // Вестник СамГУ, 2005. №3 (37).-С. 57-70.

102. Радаев Ю.Н. Группы симметрий дифференциальных уравнений плоской задачи математической теории пластичности / Ю.Н. Радаев, В.А. Гудков // Вестник СамГУ, 2006. №4 (44). - С. 66-84.

103. Радаев Ю.Н. Трёхмерные уравнения связанной задачи математической теории пластичности/ Ю.Н. Радаев // Вестник ЧГРУ им. И .Я. Яковлева. Серия Механика предельного равновесия, 2007. -№1. С. 90-121.

104. ИЗ. Ратнер С.И. К вопросу о задачах теории пластичности/С.И. Ратнер// Изв. АН СССР, ОТН, 1950. №3. - С. 435-450.

105. Редкозубов С.А. О связи обобщенной гармонической пропорции с представлением функций / С.А. Редкозубов, А.В. Крутов // Оптимизация и моделирование в автоматизированных системах: Межвуз. сб. науч. тр. -Воронеж: ВГТУ, 2003. С. 248-253.

106. Редкозубов С.А. Интегрирование на основе кинематико-геометрической модели / С.А. Редкозубов, А.В. Кругов, В.И. Тасенко, С.А. Силкин // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки, 2007. Т. 12. Вып. 2. - С. 230-234.

107. Самарский А.А. Численные методы математической физики/ А.А. Самарский, А.В. Гулин М.: Научный мир, 2000. - 316 С.

108. Самарский А.А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. 2-е изд. / А.А. Самарский, А.П. Михайлов. - М.: Физматлит, 2002. - 320 С.

109. Седов А.И. Механика сплошной среды/ А.И. Седов М.: Наука, 1973. 2 Т.-536,584 С.

110. Сен-Венан Б. Об установлении уравнений внутренних движений, возникающих в твёрдых пластических телах за пределами упругости / Б. Сен-Венан // Сб. «Теория пластичности» М.: Изд-во иностранной литературы, 1948.-С. 11-19.

111. Сен-Венан Б. Дифференциальные уравнения внутренних движений, возникающих в твёрдых пластических телах и граничные условия для этих тел / Б. Сен-Венан // Сб. «Теория пластичности» М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. С. 24-33.

112. Соколовский В.В. О некоторых работах по теории пластичности / В.В. Соколовский // Прикл. матем. и механика, 1945. Т. 9. Вып. 6.

113. Соколовский В.В. Пластическое равновесие при плоском напряжённом состоянии по Сен-Венану / В.В. Соколовский // Прикл. матем. и механика, 1946. Т. 10.-Вып. 2.

114. Соколовский В.В. Об одной форме представления компонент напряжения в теории пластичности/ В.В. Соколовский // АН СССР, 1948. Т. 61.-Вып. 2.

115. Соколовский В.В. Теория пластичности/ В.В. Соколовский М.: Высшая школа, 1969. - 608 С.

116. Станюкович К.П. Неустановившееся движение сплошной среды / К.П. Станюкович М.: Наука, 1971. - 856 С.

117. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твёрдых телах/ Т. Томас М.: Мир, 1964. - 308 С.

118. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред/ К. Трусделл М.: Мир, 1972. - 592 С.

119. Уилкинс M.JI. Расчет упругопластических течений/ M.J1. Уилкинс // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1964. С. 212-263.

120. Хаар А., Карман Т. К теории напряжённых состояний в пластических и сыпучих средах / А. Хаар, Т. Карман // Теория пластичности. Сб. статей. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948.

121. Хаар А., Карман Т. Теория пластичности / А. Хаар, Т. Карман // Сб. статей. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. С. 41-56.

122. Хилл Р. Математическая теория пластичности/ Р. Хилл- Сб. переводов. М.: Гостехиздат, 1956.-407 С.

123. Хромов А.И. Деформация и разрушение жёсткопластических тел / А.И. Хромов Владивосток: Дальнаука, 1996. - 181 С.

124. Хромов А.И. Локализация пластических деформаций и разрушение жёсткопластических тел / А.И. Хромов // Докл. РАН, 1998. Т. 362 № 21. C. 202-205.

125. Хромов А.И. Деформация и разрушение жёсткопластической полосы при растяжении / А.И. Хромов // Механика твёрдого тела, 2000 № 1 - С. 136-142.

126. Христианович С.А. Плоская задача математической теории пластичнос-ти при внешних силах, заданных на замкнутом контуре/ С. А. Христианович // Мат. сб. Новая серия, 1936. Т. 1. Вып. 4. - С. 511-534.

127. Христианович С.А. К теории идеальной пластичности/ С.А. Христианович, Е.И. Шемякин // Механика твёрдого тела, 1967. №. 5.

128. Шилд Р.Т. О пластическом течении металлов в условиях осевой симметрии / Р.Т. Шилд // Сб. переводов. «Механика». М.: Изд-во иностранной литературы, 1957. - №. 2. - С. 102-122.

129. Drucker D.C. Some implications of work hardening and ideal plasticity/

130. D.C. Drucker// Quart. Appl. Math, 1950. V.7.-P. 411 418.

131. Drucker D.C. A more fundamental approach to plastic stress-strain relations/ D.C. Drucker // Proc. First. U. S. Nat. C. Appl. Mech. ASME, 1951 -P. 487491.

132. Haar A., Karman Th. von. Zur Theorie der Spaunungszustnaqe in plastischen und sandartigen Hedien / A. Haar, Th. Karman // Nachr. Kg. Ges. Wiss. Gott. Math.-phys. Kl., 1969. H.2. S. 204.

133. Henky H. Zur Theory plastischer Deformationen und der hierdurch im Material hervorqerufenen Nachspaunungen / H. Henky // ZAMM, 1924 Bd. 4., H. 4.-S. 323.

134. Hill R. The theory of wedge indentation of ductile materials/ R. Hill, Lee E. H., Tupper S. J. //Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1947. V. 188. № 1013. -P. 273-289.

135. Hill R. Some special problems of indentation and compression in plasticity/ R. Hill // Proc. 7th Intern. Congr. Appl. Mech. L., 1948. V. 1. P. 365-377.

136. Hill R. Mathematical theory of plasticity/ R. Hill Oxford. Clrendon Press, 1950.-407 P.

137. Kuhlmann-Wilsdorf D. Theory of plastic deformation: properties of low energy dislocation structures // Mater. Sci. and Eng. A, 1989. V.l 13. P. 1-41.

138. Lee Т.Н. Plastic Flow in a V-Notched Bar Pulled in Tension/ Т.Н. Lee // J. Appl. Mech., 1952. V. 19. -P. 331-336.

139. Mohr 0. Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik / O. Mohr-Berlin, 1914.

140. Nadai A. Uber die Gleit und Verzweigungsflachen einiger Gleichgewichtszustande bildsamer Massen und die Nachspannugen bleibend verzerter Korper/A. Nadai //Z. phys, 1924. B.30, H. 2. ZS. - P. 106-138.

141. Prager W., Hodge F. Theory of perfectly plastic solids / W. Prager, F. Hodge New York - London, 1951.

142. Prager W. On the use of singulazyield conditions and associated flow rules / W. Prager // J. Appl. Mech., 1953. V. 20.

143. Prager W. The necking of tension specimen in plane plastic flow / W. Prager, E. Onat // J. Appl. Mech., 1954. -V. 24. -P. 491-493.

144. Prager W. On ideal locking materials / W. Prager // Trans. Soc. Reology, 1957.-V. 1.

145. Prager W. Elastic Solids of Limited Compressibity / W. Prager // Actes IX. C. Int. de Mec. Appl. Bruxelles, 1957. -T. 5.

146. Prandtl L. Spunnungsverteilung in platischen Korpern // Proceedings of 1-st Int. Congr. Appl. Mech. Delft, 1924. S. 43-54.

147. Prandtl L. Uber die Eindringung -festigkeit (Harte) plastischer Baustiffe und die Festigkeit im Schneiden / L. Prandtl // ZAMM, 1928 Bd. I. - H. I.

148. Radayev Y. N. Mathematical Description of Anisotropic Damage State in Continuum Damage Mechanics/ Y. N. Radayev, S. Murakami, K. Hayakawa //Trans. Japan Soc. Mech. Engn., 1994. V. 60 A., №. 580- P. 68-76.

149. Richmond O. Plane strain necking of V-notched and un-notched tensile bars/

150. Richmond // J. Mech. And Phys. Solids, 1969. V. 17. № 2. - P. 83-90.

151. Taylor G.J., Quinney H. The plastic distortion of metals // Philosophical Transactions of the Royal Society, 1931. Ser. A., № 230. - P. 323-362.

152. Tomas T. The General Theory of compatibility conditions/ T. Tomas // Jnt.

153. Eng. Sc., 1966. V. 4, № 3.- P. 207-233.

154. Shield R.T. On the plastic flow of metals under conditions axial symmetry/ R.T. Shield// Proc. Roy. Soc. London. Ser. A., 1955. V. 233, № 1193. - P. 267-287.