Активная идентификация объектов управления

Орлов, Юрий Феликсович

Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Активная идентификация объектов управления

доктора физико-математических наук: Орлов, Юрий Феликсович
город: Москва
год: 2006
специальность ВАК РФ: 05.13.01

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Активная идентификация объектов управления»

Автореферат диссертации по теме "Активная идентификация объектов управления"

На правах рукописи

Орлов Юрий Феликсович

АКТИВНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ

Специальность: 05.13.01 - системный анализ,

управление и обработка информации

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена на кафедре Нелинейных динамических систем и процессов управления факультета Вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

ПаучмыИ консультант: академик РАН, профессор

Коровин Сергей Константинович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Крищенко Александр Петрович

доктор физико-математических наук, профессор Блкин Владимир Иванович

доктор технических наук,

профессор Рыков Александр Семёнович

Ведущая организация: Институт проблем управления РАН

Защита состоится 18 декабря 2006 г., в 11 часов, на заседании диссертационного совета Д-002.086.02 при Институте системного анализа РАН по адресу: 117 312, г. Москва, проспект 60-летия Октября, д. 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института системного анализа РАН.

Автореферат разослан 15 ноября 2006 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д-002.086.02 доктор технических наук, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Можно выделить ряд направлений, в которых в настоящее время разрабатываются различные методы идентификации линейных стационарных объектов управления. Это направления, основанные на методе наименьших квадратов, методе инструментальных переменных (К. Вонг), 4SID методе (М. Виберг, Б- Мур), идентификации по частотным характеристикам (Г.Л. Рабкин, Б.А. Митрофанов, Ю.О. Штеренберг, A.A. Кардашов, JT.B. Карнюшин, Е. Леви), рандомизированных алгоритмах идентификации (О.Н. Граничин, В.Т. Поляк), системах с идентификатором (А.Л. Бунич, H.H. Бахтадзе).

В процессе идентификации наряду с управлением часто используют испытательный сигнал (дополнительное воздействие, предназначенное для идентификации объекта), параметры которого согласуют с режимом нормальной эксплуатации объекта и допустимыми потерями качества управления. В этом случае говорят об активной идентификации. При пассивной идентификации испытательный сигнал отсутствует а измеряемым входом объекта является управляющее воздействие, которое не связано с задачей идентификации а определяется целью управления. При таком входе идентификация объекта не всегда возможна (входной сигнал должен иметь достаточно богатый спектр).

Подходы, основанные на методе наименьших квадратов и стохастической аппроксимации, предполагают помехи и возмущения случайными процессами с известными статистическими характеристиками. Наряду с ними разрабатывается ряд методов идентификации линейных стационарных объектов при неизвестных ограниченных возмущениях. Так, конечно-частотный метод (А.Г. Александров) позволяет идентифицировать объекты при почти произвольных неизвестных ограниченных внешних возмущениях и помехах измерения. Для этого он использует испытательный сигнал в виде суммы гармоник (число которых не превышает порядка объекта). В этом методе имеется автоматическая настройка частот такого сигнала, сокращающая время идентификации, и его амплитуд, осуществляемая для обеспечения требований к допустимым границам входа и выхода объекта (которые выполняются, когда испытательный сигнал отсутствует). Рандомизированные алгоритмы решают аналогичные задачи, но они предполагают, что испытательный сигнал - случайный процесс (с известными статистическими характеристиками). При таком сигнале трудно гарантировать заданные допуска на выходы объекта.

Метод конечно-частотной идентификации разработан в основном для одномерных объектов при известном порядке их дифференциальных

уравнений.

Настоящая работа посвящена развитию конечно-частотной идентификации на многомерный случай объекта неизвестного порядка. Среди частотных методов идентификации многомерных объектов (объектов с несколькими входами и несколькими выходами) можно отметить неитерационные алгоритмы импульсной реализации Б. Хо, Р. Калмана и С. Кунга приведённые в работах Т. МакКелви, К. Лью (1994), П. Оьерсши и Б. Мура (1996). Следует отметить, однако, что процесс получения частотной характеристики в методах этого направления не обсуждается - она полагается заданной точно либо с белошумными отклонениями. В последнем случае эти методы требуют бесконечного числа испытательных частот. Кроме того, в этих методах не оговаривается класс виешних возмущений и помех измерений, приводящий к белошумным отклонениям частотных характеристик.

Одна из трудностей, возникающих при развитии конечно-частотного метода на многомерный случай связана с обеспечением сходимости процесса идентификации (стремления идентифицированных коэффициентов описания объекта к их точным значениям). Такая сходимость возможна только в структуре канонической формы объекта (допускающей единственное представление её коэффициентов). Структура канонической формы определяется её структурными параметрами (целочисленными значениями). Последние полагаются неизвестными и определяются в процессе идентификации по экспериментальным данным. Установленные таким образом оценки структурных параметров могут отличаться от истинных (т.е. не принадлежать объекту) и задача идентификации в этом случае получается некорректно поставленной (сколь угодная близость выходов модели и реального процесса может приводить к сколь угодно большому различию в коэффициентах канонических форм истинного и идентифицированного объекта).

Исследование вопроса сходимости сталкивается с проблемой определения структурных параметров объекта по полученной в результате эксперимента частотной характеристике. Определение коэффициентов канонической формы возможно только при известной, либо определённой (по матрицам частотных параметров) структуре.

Следующий вопрос, который возникает в процессе построения алгоритма идентификации связан с числом гармоник (частот) испытательного сигнала. В одномерном случае известен результат о числе частот, необходимом для идентификации объекта - оно не должно быть меньше порядка объекта. В многомерном случае достаточность такого числа частот сохраняется и все частотные методы исходят из этого предположения. В связи с этим возникает вопрос о минимальном числе частот

полигармонического испытательного сигнала, необходимом для идентификации многомерного объекта.

Ответы на поставленные выше вопросы позволят решить одну из центральных проблем идентификации, связанную с проверкой необходимых условий сходимости её по идентифицируемым коэффициентам. Её решение позволит построить метод проверки этих условий для определения момента окончания процесса идентификации (зависящего от реализовавшихся внешнего возмущения и помехи измерения).

Дель и задачи работы. Цель настоящей работы - разработать метод активной идентификации стационарного многомерного объекта, при неизвестных ограниченных внешних возмущениях и помехах измерения, позволяющий проверить необходимые условия её сходимости по идентифицируемым коэффициентам. Для достижения этой цели нужно:

1. Построить алгоритм идентификации стационарного многомерного объекта по его частотным параметрам (матрицам частотной характеристики, определённым на минимальном числе частот). Для построения этого алгоритма решить следующие частные задачи (изложенные в пунктах 2 и 3):

2. Установить минимальное число частот, необходимое для идентификации многомерного объекта.

3. Найти условия при которых задача идентификации такого объекта по его частотным параметрам имеет единственное решение.

4. Разработать метод идентификации стационарного многомерного объекта по оценкам его частотных параметров, позволяющий проверять необходимые условия её сходимости по идентифицируемым коэффициентам. Для разработки этого метода решить следующие частные задачи (изложенные в пунктах 5, 6 и 7):

5. Исследовать сходимость процесса идентификации (определения параметров) объекта при исчезающей ошибке в определении частотных параметров.

6. Если такой сходимости нет - решить некорректно поставленную задачу идентификации (объектов из этого класса).

шению (т.е. класс объектов, для которых задача идентификации корректно поставлена с учётом этих условий).

8. Исследовать сходимость процесса фильтрации (определения оценок частотных параметров объекта). Установить скорость такой сходимости.

9. Исследовать применимость предлагаемого метода идентификации для задач адаптивного управления.

10. Разработать программное обеспечение для численного анализа процессов конечно-частотной идентификации и адаптивного управления многомерным объектом.

Методы исследования. Для решения этих задач был использован математический аппарат матричной алгебры и методы теории управления, основанные на концепции пространства состояний, полиномиальных форм и частотных представлений.

Достоверность. Достоверность полученных результатов подтверждается численными исследованиями и данными моделирования.

Научная новизна. Научная новизна работы определяется следующими теоретическими, прикладными и практическими результатами, полученными лично автором.

Теоретические результаты:

1. Доказана теорема об определении минимального числа частот, необходимого для частотной идентификации многомерного объекта.

2. Доказана теорема об определении структуры канонической формы модели объекта по его частотным параметрам.

3. Доказана теорема существования и единственности решения задачи идентификации в структуре (канонической формы модели) объекта по его частотным параметрам.

4. Доказано утверждение сходимости процесса идентификации при известной (либо точно определённой) структуре объекта. При этом установлено, что ошибки идентификации объекта имеют порядок погрешностей определения его частотных параметров.

5. Установлен класс «структурно грубых» объектов (для которых процесс идентификации сходится при исчезающей ошибке в определении частотных параметров к точному (единственному, в (определённой по ним) структуре объекта) решению).

6. Решена некорректно поставленная задача идентификации «структурно негрубых» объектов (сколь угодно малая погрешность в определении частотных параметров которых может привести к неверному определению структуры).

7. Доказаны утверждения сходимости процесса фильтрации и дана оценка скорости его сходимости при различных способах приложения испытательных сигналов к объекту (последовательном - к каждому его входу отдельно, параллельном - ко всем его входам одновременно и комбинированном).

8. Доказаны теоремы: а) существования и единственности решения задачи идентификации в структуре объекта по модифицированным его частотным параметрам, б) об определении структуры объекта по модифицированным его частотным параметрам и с) о минимальном числе частот модифицированного испытательного сигнала, необходимом для идентификации объекта.

9. Доказано утверждение об установившихся амплитудах вынужденных колебаний замкнутой системы (объект-регулятор).

10. Доказано утверждение сходимости процесса адаптации при ограниченных внешних возмущениях объекта.

Прикладной результат:

11. Разработан пакет программ АБАРЬАВ-М (оформленный в виде МАТЬАВ-расширения) для моделирования процессов конечно-частотной идентификации и частотного адаптивного управления многомерными объектами.

Внедрение. Программы реализующие предлагаемые в работе алгоритмы использовались, в частности, при выполнении научно-исследовательской работы по контракту с ракетно-космической корпорацией «Энергия» им. С.П. Королёва в рамках международного проекта «Морской старт» (где применялись для моделирования процессов идентификации и адаптации в реальной системе-термостатирования). Пакет программ АОАРЬАВ-М внедрён в учебный процесс.

Поддержка. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 095-01-00526а и 05-08-01177).

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на 2-ой Российско-шведской конференции но автоматическому управлению (Санкт-Петербург, 1995); Симпозиуме по управлению СЕТТГ95 (Куритиба, Парана, Бразилия, 1995); I, 1Г, III и IV Международных конференциях «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'2000'03'04'05 (Москва, 2000, 2003, 2004, 2005); Международной научной конференции «Аналитическая теория автоматического управления и её приложения» АТАУ'2000 (Саратов, 2000); VII Международной конференции «Обратные и некорректно поставленные задачи», памяти академика А.Н. Тихонова (Москва, 2001); 15-ом Всемирном конгрессе IFAC (Барселона, Испания, 2002); Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB» (Москва, 2002); Международной конференции «Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении» (Саратов, 2002); II Международной конференции по проблемам управления (Москва, 2003); II Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB» (Москва, 2004); а также на семинарах МГУ, МЭИ, МИСиС, ИПУ и ИСА РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 50 научных работ (из которых 15 - в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях). Приведённый в конце автореферата список из 27 работ полностью отражает содержание диссертационной работы.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, шести глав и приложений к ним, заключения и списка литературы из 175 наименований. Она изложена на 325 страницах, содержит 2 рисунка и 3 таблицы.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели и задачи работы, приведены методы исследования и отражена научная новизна.

В первой главе приводится обзор литературы, посвященной методам частотной идентификации объектов с одним и несколькими входами и выходами. Глава завершается постановкой задач диссертации.

Базовым в настоящей работе является метод конечно-частотной идентификации многомерных объектов. Приведём основные сведения о нём, для чего рассмотрим полностью управляемый стационарный объект управления, описываемый уравнением вида

рЫу0»)+.. .+р[1]у+рМу = <эМиЫ+.. .+Qll)й+Q[o)u+f) , > <0) (!)

где у{1) £ ВТ - выходная переменная; и{Ь) £ Ит - входное воздействие; и (» = 1,17, } = 1,7) - производные этих вектор-функций; f{t) £ IV - внешнее возмущение - ограниченная функция: ^ /«* > где /»* (г = 1, г) ~ некоторые числа; число входов т и выходов г объекта известны; г] > 7 . Для простоты объект будем полагать асимптотически устойчивым.

Коэффициенты полиномов матриц

?мЛ +, м | (,- = 17?, 1 = ,

описания Р(в)у = (д(8)и объекта (1) не известны. Известна лишь структура (структурные коэффициенты и степени полиномов этих матриц), причём она такова, что коэффициенты полиномов матриц (2) определены в ней однозначно. Структурными, для определённости, положим коэффициенты =1 (г = 1, г) . Считаем также, что ф О

(г - ТТт, j - Т7г) и д^''1 ф 0 (1 = Т^г, 3 = 1,ш) , где - сокра-

щённая запись: при i • j .

Задача идентификации состоит в том, чтобы найти оценки и коэффициентов объекта (1) такие, чтобы выполнились

требования к относительной точности идентификации:

< к£ = 177, ,-=17?,

где (¿ = 0,77у, {=1^?, j=lГ~F) и (А = 0,7,-,-, ¿=1~т)

- заданные числа.

Для решения задачи идентификации ко входу объекта (1) последовательно прикладываются т векторов испытательных сигналов, вида

Ц;(*) = У^Рзк$лпык{г-1и)со\} Ет, j-l, тп, (4)

¿=1

где р]к -амплитуда к -й гармоники испытательного сигнала ] -го эксперимента.; ык - частота к -й гармоники - заданные числа (такие, что

Рзк ф 0, ык ф 0 (з = 1, т, к= 17ё) и |ш,-| ф | (г ф .;')), (5)

д - число гармоник, зависящее от метода идентификации (здесь полагается равным порядку п объекта, либо значению г) = тах,^ т)^ , если порядок объекта неизвестен); со1,- Ет - ] -й столбец единичной матрицы Ет ; <и - время начала испытаний; г - длительность каждого эксперимента - время, необходимое для обеспечения требований (3). Число г зависит от выбора значений (5) и внешнего возмущения, с учётом которого производится этот выбор.

Выходы У](г) = со1(г/и(0, •• УгЛ')) С? = I»"1) объекта (1),

возбуждённого испытательным сигналом (4), подаются на входы фильтра Фурье, выходы которого дают оценки

Ф,к = Ф,к(Т) = I y}(t)smuk(t~tu) dt,

PjkT J

rr з = T7iS, k = ~e, (6)

■ф}к = = —— / yj(t)cosuk{t-tu)dt,

PjkT J

<«+0'-l)r

векторов 4>jk = col( ф-ijk, <t>2jk, <t>rjk ) = col j ReJu^O ш*)]

и Ф]к = col( ipijk, rp2jk> • • •. 4>rjk ) = col, Imju'.jljj wfc)J матриц

Фк = Re^jwi) u Фк — Im W(] uk), k = (7)

■частотных параметров объекта — значений его передаточной матрицы

W(s) = I?-l(s)Q(s) (8)

11а частотах (5), где j - мнимая единица.

Оценки коэффициентов объекта (1) находятся по оценкам (6) векторов его частотных параметров, следующим образом. Передаточная матрица (8), с учётом её значений (7) на наборе (5), позволяет записать следующую однородную систему линейных уравнений

<?w(j"07 + --- + 3[11j"* + Q[0]- _

- (Pl4]a«04 + -" + -P[1]jwt + P[°i)(#i+j«iSb) = 0r.m, k= l.e,

где 0r,m _ нулевая г x ш -матрица.

С учётом известной структуры, такая система может быть записана в виде следующей совокупности уравнений

£>£ Не/$ _ (Ке/ _ № _

0=0 0=0

¿г ^ $ - х;(ьп^ +не / ^ -

Р—О о

а=1£=0

__ _ _

г = 1, г, з = 1,т, £ = где частотные параметры заменены их оценками.

Во второй главе предлагается способ идентификации стационарного объекта управления, описываемого уравнением вида

жр = ЛрХр + Ври, у = СрХр -+• Юи, / > <о, (9)

где хр(*) € ЯРГ - вектор состояния, у(Ь) £ Дг - выходная переменная, и{1) 6 - входное воздействие. Коэффициенты матриц Ар , Вр , Ср и О и значение пр не известны. Число входов т и выходов г объекта известны.

Исходным является следующий набор г х т -матриц

Фк = Ке№(бк) и ^=1111^), * = Т7ё (Ю)

частотных параметров объекта (9), где И^в) = Ср(£,Прв—Ар)~1Вр+£> его передаточная матрица, а числа

8к = А+ 1ык € С, ь,к фО (к =17ё), \ш{\ф ^фз), (11)

где значение А > а > 0 (оценку а > тах1<к<„р(11е АК(ЛР)) степени неустойчивости можно определить экспериментально; здесь АК(Л/) -к-с собственное значение матрицы М ).

Матрицы (10) находятся экспериментально и задача идентификации объекта (9) состоит в определении по ним матриц Ат , Вт , Ст и О его минимальной реализации

¿ш = Атхт + Вти, у = Стхт+ Ои, г > ¿о, (12)

где хт(г) € .ТГ .

Чтобы исключить неоднозначность её решения, объект идентифицируем в канонической форме (Люенбергера), вида

х=Ах + Ви, у = Сх + £)и, t>t0,

(13)

где х(1) £ Л" , с блоками Ац и с^ (г = 1, г, ] = 1, г) матриц А и С специальной структуры:

Л« =

/0 0 • • 0 /0 0 • • 0 \ -4

1 0 ■ • 0 0 0 • • 0

0 1 • • 0

. 1 "«[Г11 У 0 0 • ■ 0 -Г11 0 /

\0 0 • • 1 и 0 • • 0

(14)

сц — (О •■■ 0 1), «.->,■ = ( О •■• о -Сц), С,<_, = (0 ••• 0),

в которой = тт(//Ч, ц) , а г/,- (: = 1, г) - индексы Кронексра -минимальные числа, при которых строки (где ст|1- = го\у,- Сп

i -я строка матрицы Ст ) матрицы наблюдаемости

От=(

-ш,1

иш,2

ст,г |(ст,1Лш)Т (ст,2^т)Т (Сш/^}1

(«т^Г1)7 )

линейно выражаются через предыдущие (верхние) строки этой матрицы. Матрица В состоит из блоков Ьу = со1 ^, ...,

(г = 17?, з - 1,т) .

Задачу идентификации объекта (9) в канонической форме (13) раз-объём на несколько подзадач.

Пусть индексы щ (: = 1, г) Кронекера объекта (9) известны. Число д для определённости положим равным п - порядку минимальной реализации (12) объекта (9): д + щ + ■ —Н 1/г = п .

Задача 2.1 (параметрической идентификации). По матрицам частотных параметров (10) найти коэффициенты

к = 0,14] — 1, си,

«г.

к = 0,«/| -1,

» = 1.г> 3 = 1,г; I = ТГг, з' - Т7т

канонической формы (13). Решение задачи 2.1 представлено в виде следующей теоремы:

Теорема 2.1. Коэффициенты (15) матриц А , В , С и D :

i-i

*=j+1

+ (¿><j - 4})P,[i'J'"11 = 0, i = j + 1, r, j = 1, г — 2,

QI;] = Я'у1 - £ ' = °> Vií ~ 1' ' = ^ j ~ ^ /1 í-i ■

d¡i = "Ji?1 ~ £ c,l9¡i']' * = ^ J = í=i

= 4fc] - A = 0,i/i-l, ¿= lTF, i = Mí,

канонической (£ор.«ы (13) определяются по матрицам (10) частотных параметров объекта (9) из решения системы 'частотных уравнений идентификации

т г —1

£ £ я^«« + £ Л = -я"*^, * = т^, (17)

i=l j = 0 i=l j=zо

в которой úkk = "¡t , ^ki = min(fjt, i/í) при k < i и = min(t/jt + l,i/,) при k > i, Í2 = [Aí^e + diagíwi, u2, ..., )® J]®Em , где ® -

символ кронекерова праипеЬния матриц, J = ( ® -1 ) , ,•,= «* /

(t = 1 ,т) , где I = ( £m 0m 0m •■■ Ет 0m )Т , 0m ¿

0m,m « Ь,- = col, H (i ~ lTr) , где Я = ( -Ф2 -V2 ■ ■ ■

-Фе -*в f .

Решение системы (17) существует и единственно.

Примечание 2.1. Очевидно, что при v\ < и2 < • • • < иГ коэффициенты c^j — 0 и о^ — (А; = 0, i'ij — 1, i = 1, г, j = 1, г) , а при D = 0r>m коэффициенты ¿J^ = (к = 0, щ — 1, i = l,r, j = 1 ,т) .

Пусть, теперь, известен только порядок тг минимальной реализации (12) объекта (9).

Задача 2.2 (структурной идентификации). По матрицам (10) частотных параметров определить индексы v¡ (i = 1, г) Кронекера объекта (9).

Решение задами 2.2 представлено в виде следующей теоремы:

Теорема 2.2. Минимальные числа (г — 1, г) , при которых столбцы ОиЧ11 матрицы

{F\1H

hr | Qhi ПН2 • • ■ Qh.T | • ■ ■

| n^hr ••• Qn~lhr )

где ^ = ( / С21 •■• ап~11 ) , линейно выражаются через предыдущие столбцы этой матрицы, являются индексами Кронекера (структурными показателями наблюдаемости) объекта.

В главе определяется также число д частот (11), необходимое для идентификации объекта (9) в канонической форме (13).

Задача 2.3. Установить минимальное число частот, необходимое для идентификации объекта (определения коэффициентов (.15) матриц А , В , С и О модели (13) по наборам значений (10) и (11)^.

Решен не задачи 2.3 представлено в виде следующей теоремы:

Теорема 2.3. Минимальное число частот, необходимое для идентификации объекта, равно

вт'т —

(и + 1)тп + п

2 m

(18)

Здесь ("ж] - минимальное целое число, большее либо равное х , a v - индекс наблюдаемости объекта - минимальное число, для которого rankOm,*-i = rankOm,v , где От,р = ( С£ A^fil • • • Л&ТС£ )Т .

Теорема 2.3 сформулирована в предположении, что индекс v наблюдаемости и порядок п минимальной реализации (12) объекта (9) известны (в предположении известного п сформулирована также теорема 2.2). В противном случае их значения можно установить по частотным параметрам (10) объекта (9), для чего определим на значениях (10) и (11) матрицы

Fa =

Ет А Ет ■ ResfEm

От Wl Ет • • Im s"Ejri

Ет ХЕт • Re Em

От и2Ет • ■ Im s%Em

Ет А Ет ■ R es%Em

От UeEm ' ■ Im s°Em

(

-фТ

-\<pf + -ЛФ? + W2&2

-Ф1 -А Ф1 + Ы,Ф1

\ -4 -щ1

-Refaf + lmsfy? \ -Resf^-Imsfi?

-Resf^J-Ims^J

-Ree^X + Im^

— Re s?!?, — Im цРф?

-i'i / "Утверждение 2.1. Минимальное число if , для которого

rank ( Fu | Gu-1 ) = rank ( | G„ )

является индексом наблюдаемости объекта.

(19)

Утверждение 2.1 позволяет организовать поиск значения и с проверкой условия (19). В результате такого поиска формируется матрица

( Fv | С?„ ) = ( I Ш ■■■ ПЧ | Н ПН

П"Н ) . (20)

Утверждение 2.2. Порядок минимальной реализации объекта определяется формулой п = rank ( Fv | G„ ) — rank.F„ .

Утверждения 2.1 и 2.2 позволяют определить минимальное число (18) частот, необходимое для идентификации объекта, индекс v наблюдаемости и порядок п минимальной реализации которого неизвестны.

На основе приведённых выше утверждений построен следующий

Алгоритм 2.1 (идентификации объекта по матрицам его частотных параметров). Его основные этапы: а) последовательное определение индекса и наблюдаемости объекта; б) определение индексов щ (г .= 1, г) Кронекера объекта (размеров блоков (14) канонической формы (13)); в) формирование и решение системы (17) частотных уравнений идентификации (при этом, при выполнении пункта (а) формируется матрица (20) а для выполнения пунктов (б) и (в) используются её столбцы); г) вычисление по формулам (16) коэффициентов матриц А , В , С и D канонической формы (13).

В третьей главе предлагается метод идентификации объекта (9) в канонической форме (13) по оценкам его частотных параметров.

Исходным является следующий набор r х т -матриц

Фк=Фк + €} U Фк = фк-fif, k=T7e

оценок частотных параметров (10) объекта, где S^ и - матрицы погрешностей их определения, для которых существуют достаточно малые числа £ф и , такие, что |] S сф и W^t II ^ е*ф = в) -

Обозначим е = max ^ ||£f ||, .... 11^11, Н^Н ) ■

Задача идентификации объекта (9) по матрицам

Фк-Фк(е) и Фк = Фк(е), к=ТП> (21)

оценок его частотных параметров формулируется как и в предыдущей главе и также разбивается на несколько подзадач.

Пусть индексы i(t = 1, г) Кронекера объекта (9) известны и в := v 1 + "2 Н-----1- vT = п .

Задача 3.1 (параметрической идентификации). По матрицам (21) оценок частотных параметров объекта (9) найти оценки

= ан(£)> k = 0. ^0 — 1. ¿¡j = c,j(e), i = J7r, j -T7F; ¿й1 = k = Q,Ui -1, dtj = diiie), i = l,r, j = 1,m K '

коэффициентов (15) канонической формы {13) такие, что

limn^Ce)-«!;1, fc = 0,fy-l,- lim с0(е) =су, ¿ = 17?, j = l,r ; ][mbj*5(e) = b[*\ A = 0,i/,- -1, limdy(e) = <fy, г = 177, Г^т.

Решение задачи 3.1. Заменяя в формулах теоремы 2.1 матрицы (10) на матрицы (21) получим искомые оценки (22) коэффициентов матриц А , В , С и D . В формулах теоремы 2.1 при этом Я заменится на Я = ( —Фх —— Ф2 —#2 • • • —— ) Т ) Л,- на }Н = со1,- Я , на , на , а£> на , bbJ на , с*, на с*,- и du на dki , Всё кроме утверждения о существовании и единственности решения системы

т Уь т Sa — 1

£ £ + ЕЕ = -nVk hk, к = TT7, (24)

t = l j=0 t = l j=0

остаётся в силе при такой замене в теореме 2.1. Последнее же выделено в отдельное

Утверждение 3.1. При известной либо точно определённой структуре (индексах щ (г = 1, г) Кронекера) объекта (9):

а) решение системы (24) существует и единственно при е —+ 0 /

б) оценки (22) коэффициентов матриц канонической д5ор.мы(13), полученные (косвенно) из решения системы (24), обладают свойством (23) сходимости к их истинным значениям.

в) ошибки идентификации имеют порядок погрешностей определения матриц частотных параметров.

Примечание 3.1. Скорость сходимости (23) и точность решения системы (24) частотных уравнений идентификации существенно зависит от выбора испытательных частот.

Пусть, теперь, известен только порядок п минимальной реализации (12) объекта (9).

Задача 3.2 (структурной идентификации). По матрицам (21) оценок частотных параметров объекта (9) найти его индексы Ui (г = 1, г) Кронекера при е G Л[0, £*] , где г* - достаточно малое положительное число.

Примечание 3.2. В главе показано, что любое, сколь угодно малое изменение хотя бы одного коэффициента матриц (10) частотных параметров может привести к тому, что индексы щ (i=l,r) последовательным перебором (см. теорему 2.2) столбцов матрицы

( F | in h 2 ••• hr | nhi Qh2 ■■• f2hr .

■••¡i?"-1/^ n^h-i i2n~lhT ) , { '

и формальной проверкой их на линейную независимость к предыдущим будут определены неверно. Если определённые по матрицам (21) значения Ui (i — 1, г) не являются при этом структурными показателями наблюдаемости объекта (9), то процесс идентификации (определения коэффициентов матриц А = А(е) , В = В(е) , С = С(е) и D — D(e) по матрицам (21)) будет расходиться при г —*■ 0 , что указывает на некорректность задачи (структурной) идентификации. ■

Для наглядности столбцы блока G=( Н QH ■•■ fin~lH ) матрицы (25) расположим в виде таблицы

/Н Пкг ■■■ Hil~lhi f2ilhi n*i+1h h2 fih2 ■•• i2^-lh2 i2**h2 /2ia+1/l

• nn~lhi ■ nn~lh2

iir niir ■■■ i2i>'~1hr nQrhr ••• i2n-4\r

и рамку которой взяты первые п линейно независимых (между собой н по отношению к столбцам блока Р ) столбцов П1 1ц (_?' = 0, />» — 1,

1,г) блока С? (которые назовём п- н а бором). Векторы (г = 1, г) п-набора будем называть замыкающими, а (г = 1, г)

- претем^емтаими в га-набор.

Для решения задачи 3.2 построен

Алгоритм 3.1 (определения индексов Кронекера (наблюдаемости) объекта). Его идея состоит в следующем: организуем замену замыкающих векторов претендентами а критерием такой замены выберем определитель матрицы Грама составленной из столбцов блока Г и обновляемым при каждой замене п-набором блока О .

Теорема 3.1. Найдётся такое значение е* , что для любого 0 < £ < с" оценки ¿>,- = 1/;(е) (г = 1, г) индексов Кронекера, полученные по алгоритму 3.1, будут совпадать с их истинными значениями.

Некорректность задачи структурной идентификации проявляется не для всех объектов. Выделен класс объектов, допускающий отклонения в определении матриц его частотных параметров, не приводящие к ошибочному определению структуры. Для них доказана следующая

Теорема 3.2. Найдётся такое значение е* , что для любого 0 < £ < е" минимальные числа (г = 1, г) , при которых столбцы матрицы (25) линейно выражаются через предыдущие столбцы этой матрицы, будут индексами Кронекера (наблюдаемости) объекта если и только если

■= I/, ¡ = 1, П — 1/Г + Г и VI = и — 1, » = п — иг + г + 1, г.

Четвёртая глава посвящена испытаниям стационарного объекта управления, описываемого уравнением вида

¿р = ЛрЖр + Вр« + Мр/, у = Сржр + Ои + N4, г>«о, (26)

где /(I) € IV1 - внешнее возмущение и г}{1) е Дс - помеха измерения - ограниченные функции: ¡/¿(О! /* (г = 1,/') и |!7{(<)1 < ц" (г = 1,?) , где /* и 77* - некоторые (неизвестные) числа. Коэффициенты матриц Ар , Вр , Ср , О , Мр , N и значение пр не известны. Число входов т и выходов г объекта известны. Для простоты объект (26) полагается асимптотически устойчивым.

Оценки частотных параметров (6) получаются в результате последо• вателъпых испытаний объекта (26) с несколькими входами. Так, на

интервале времени tu <t <tu + r испытательный сигнал (4) подаётся только на первый вход: «i(í) = 2t=i Pi* smw*(< — tu) , при Uj(t) = 0 (j = 2, m) , затем - на второй вход: «2(í) = 2t=i РгА sinu>k(t — íu) . при u\(t) = 0 и uj(t) = 0 (j = 3, m) на интервале времени („ + т< t < tu + 2т , и т.д., до um(í) =' Pmfc sintjfc(í •— fu) , при tij(¿) = 0

(j = 1, m — 1) на интервале времени tu + (m — l)r < t < iu -f mr .

Примечание 4.1. Очевидно, что попытка подать испытательный сигнал

«i(0 1 ( Рп Р\2 ••• pie \ fsinw^í-íu)

Р21 /»22 ■•• P2S sinw 2(í-fu)

«m(0 .

\ Pml Pm2

Pme J

_ sinwe(í — tu)

на все входы объекта (26) одновременно, приведёт к тому, что выходы фильтра Фурье примут значения

т т

}=1 :=1

из которых «выделить» оценки (6) векторов матриц частотных параметров объекта (26) будет невозможно. ■

В главе предлагается проводить параллельные испытания объекта (26), прикладывая испытательный сигнал

uj(t) = ^2Pjksinujk{t-tu), j=l,m, tu <t <tu+T,

(27)

*=l

ко всем его входам одновременно, где и и ¡к ~ амплитуды и частоты гармоник испытательного сигнала - заданные числа, такие, что

Pjk ф 0, Wjk ф 0 (j = 1,т, к = 17ё), knifcil Ф K'jitJ (ji А ф j2lk2)•

(28)

Фильтры Фурье выхода объекта (26), возбуждённого испытательным сигналом (27), примут аналогичный (6) вид

Í.+T

Ф"к = Ф"к(г) = ~Г / sin ~ <u> dt<

(-т 3=Xmt £=T7i. (29)

— I y(t)cosujk(t —;tu) dt, iT J

= ^Jk(r)

pjk-¡ 2

Pjki

Задача идентификации объекта (26) состоит в определении по векторам (29) оценок А{т) , В(т) , С(т) и £>(т) матриц его минимальной реализации

± = Ах + Ви + у-Сх + Ви + т]\ I > (30)

где а;(г) е В.п , f'(t) = Mf{t) и т/'М = Мт](1) . Для определённости положим, что матрицы описания (30) имеют структуру канонической формы (13). Сформулированную таким образом задачу разобъём на несколько подзадач.

Задача 4.1. Исследовать сходимость (29) при т —» оо .

Для формулировки условий сходимости векторов (29) оценок частотных параметров к их истинным значениям ф^ = со1;- Ф" и -ф"к = со\]Ф" (.7 = 1, ш, к = 1, д) - столбцам модифицированных г х тп -матриц

< = и = к=ТГе, (31)

частотных параметров объекта (26), определённых на частотах удовлетворяющих неравенствам (28), введём получаемые экспериментально функции фильтруемости:

«»+Г

= — [ т^п^ку-^си,

Р]кТ «/ ___

У — 1, гтг, к-1,д,

= — / у(*)совыд(<-«„)<«,

«и

являющиеся выходами фильтра Фурье (29), на входы которого подаётся «естественный» (при «(<) = 0тд ) выход у(г) объекта (26).

Возмущение f(t) и помеху 17(4) будем полагать строго ФФ-филь-трусмыми на заданном наборе частот (28) (функциями, для которых пределы Птт.,ю ^"(г) = 0 и Пт,--,» = 0 (»" = ТГг, ] = 1,т,

к — 1, д) существуют и равны нулю). Для исследования скорости сходимости (29), в главе рассмотрен случай, когда их компоненты

оо

/«(о = £/«<» ^и*+«= ттм. (32)

/3=0

ОО

= «=ТГс> (33)

0=0

- ограниченные неизмеряемые полигармонические функции неизвестных частот uJQß , w%ß и фаз <pfoß , ч>%р (а - TT/I, а = ТТс, ß = О.оо) , амплитуды faß и Tfaß которых - неизвестные числа, удовлетворяющие неравенствам

оо со

^2\faß\< fo, а = Т77< и £|>7s/j| < 9а, « = 17?,

ß—Q ß=0

где /* и (а = 1 ,(i, а = TT?) - известные числа. Очевидно, что если Iw^l ф Icjj-tl и \ulß\ ф |cjjfc| (а = ТТИ , Q = TT? , ß = 0,оо ,

j = 1, m , i = , то возмущение (32) и помеха (33) строго ФФ-фильтруемы. Тогда справедливо будет следующее

Утверждение 4.1. Справедливо предельное равенство Дт ф"к{г) = col j и Ига ф"к(т) = colj , j = TTm, к = TTß. При этом ошибки фильтрации удовлетворяют неравенствам

где £k(x(t0),T) = 2(Vt(x(i0))e-,"r+yt(«(io))+^fc+r5'fc/* + |^|C*i7*)/r , " Vfc(a;(io)) - матрицы чисел, зависящих от начальных условий, Xk — 0т при т кратном litfws и uijk кратных шь , u>i = mini^jXm^^fc^pWjjfc , ff - - maxi<Ä<„(ReAK(A)) - степень устойчивости, tia = maXo<u;<oo |w/a(jw)| , [iy/a(s)] = W)(«) = Ср^прв-Лр)-1 •Afp, sajk = maxo<p<oo(l/|w^-l-wjj.|+ l/faiß -^jk\)/\pjk\ « сй;* = maxo^^ooil/lw^ + ujk\ + - ujk\)/\p}k\ (i = TT?, j = TTm ,

k = а = 1,/i, ö = .

Задача 4.2. По значениям (29) найти оценки

= ^(r), k = 0,Vi -1, dij = dijir), ¿=17?, j = TTm коэффициентов (15) канонической формы (13) такие, что lim а|<5(г) = а£], ¿ = 0,i/o-l, lim су(т) = су, » = lTr, j = l7r~m,

T—.oo J T—>M

lim 2>[^(r) = i = 0,i/,• —1, lim dij(r) = dij, ¿ = l,r, j = l,m.

r—.00 ^ J 7"—УОО

Решение задачи 4.2 совпадает с решением задачи 3.1. Отличие лишь в построении матрицы fl — diag( J ® Í2ít J <g> Í22, ..., J ® Í2e ) , где Í2k = diag( uu, uj2t, ■ ■ -, ) (к = 1, g) и матрицы H = Н(т) = ( -<Z>f(r) _фп(т) _фп{т) ... _фл(г)

Утверждение 3.1 со сменой базы предела ( е —* 0 на г —* оо ) также остаётся в силе (например, его пункт (а) теперь следует читать так: решение предельной (при т —► оо ) системы (24) существует и единственно).

Задачи 2.2 и 2.3 структурной идентификации объекта при параллельных испытаниях решаются аналогично (модификации указанных задач и их решения приведены в главе). Так, например, модификация задачи 2.3 приводит к решению, представленному следующей теоремой:

Теорема 4.1. Минимальное число частот (28), необходимое для идентификации объекта посредством параллельных испытаний, равно

_ f(t/+ 1)т + п É'min — I 2

Теорема 4.1 сформулирована в предположении, что индекс и наблюдаемости и порядок п минимальной реализации (30) объекта (26) известны. В противном случае предлагается проводить комбинированные (последовательно-параллельные) испытания, позволяющие находить значения этих чисел.

Так, поиск значения и удобнее организовать последовательной проверкой условия (19) для I/ := 0,1,2,..., где G-1 = 0 . Матрицы (31) можно определять при этом также последовательно, приложением ко входу объекта q = и + 1 испытательных сигналов, вида

U k(t) = Col( Pile sin Wik(t — tu), ..., pmk sinw^f - tu) ), . .

tu + (* - l)r < t < íu + kr, k = l,e, K '

по одной гармонике на каждый его вход. Если выходы объекта yk (t) = col{ yyk(t), 3/2t(0> ■ • • 1 Уг) = l.fi) подать, при этом, на входы фильтра Фурье, его выходы дадут оценки (29) векторов ф"к = col( &ljk> = colj П и = col( rijk, .... Ф%к ) = col,- ф?

матриц (31) частотных параметров.

Наряду с сокращением числа экспериментов (с .{у -(- l)m при последовательных испытаниях, где для экспериментального получения одной пары матриц Фк(т) и Фк(т) необходимо поставить m экспериментов длительностью г , последовательно прикладывая ко входу

объекта (26) т векторов испытательных сигналов, вида

ujk(t) = col( 0, ..., 0, pjk sinw*(< - tu), 0, ..., 0 ), _

tu + (к - 1 )mr + (j - l)r < i < tu + (к- l)mr + jT, j = l,m,

подавая каждый раз его выход на вход фильтра Фурье, до t/+l при параллельных испытаниях) комбинированные испытания позволяют также понизить число частот гармоник испытательного сигнала (34) до минимального. Для этого достаточно формировать его гармониками следующих частот

ujk — ^(irn+j — k) mod m+(t —l)m+l i_

j=l,m, к = l)m+l,im, i=l,g/m; (35)

йкф 0 (* = tl), (i^j),

где p = m\e/rn\ . При m = 3 и g = 5 , например, частоты (35) примут следующие значения

Uli = wi, W12=W3, Wi3 = w2, wi4=tD4, ы15 = ы6, ^21=^2, w22~^l, w23=w3, li 24=wg, w25 = w4, ^31=1^31 W32 = W2, W33=<Di, W34=tD6, W35=W5.

Идея сокращения испытательных частот проста: в разных экспериментах гармонику одной и той же частоты предлагается использовать на разных входах.

Утверждение 4.2. Минимальное число частот (значений удовлетворяющих условию (35)^, необходимое для идентификации объекта посредством комбинированных испытаний, равно

«Ь. = - •

Утверждения 2.1, 2.2 и теорема 2.2 остаются в силе для частот, удовлетворяющих как условию (28), так и (35). Построенный на их основе алгоритм второй главы также сохраняется после замены матриц частотных параметров модифицированными, полученными в результате комбинированных испытаний.

В пятой главе предлагается метод частотного адаптивного управления многомерным объектом с неизвестными постоянными коэффициентами при ограниченных полигармонических возмущениях с бесконечным числом гармоник с неизвестными амплитудами и частотами. Целью управления является обеспечение заданных границ вынужденных колебаний выходов объекта и регулятора. Метод основан на

чкопериментальном определении частотных параметров объекта и замкнутой системы, возбуждённых «достаточно малым» испытательным сигналом.

Рассмотрим линейную стационарную систему, описываемую уравнениями

¿р = Архр + Вр(и + /), у = СрЖр, *>*„; (36)

хс = Асхс + Всу, и = Ссхс, (37)

где xp(í) € Rn и xQ(t) 6 Rn - векторы состояния объекта (36) и регулятора (37), u(t) G Rm и y(t) е Rr - векторы управления и регулируемых (измеряемых) переменных, f(t) & Rm - вектор неизмеряемых внешних возмущений - ограниченных полигармонических функций

оо

= J= l7m. (38)

частоты u>[ и фазы ip¡k {j = к = 1, оо) которых - неизвестные

числя, а амплитуды fjjt удовлетворяют условиям

со

/Д</;2, з =1^, (39)

Jb=l

в которых fj (j = 1, тп) - заданные числа. Ар , Вр , Ср , Ас , Вс и Сс - матрицы чисел. Пара (Ар,Вр) предполагается управляемой, а пара (Ар, Ср) - наблюдаемой.

Вынужденные колебания на выхода объекта и регулятора при t —> оо описываются выражениями

оо

К (i) = + víW)). i =

оо

«¿(О = X>i(wí)sin(u/{* + <py(w{)), j=T7TS. ¡fc=l

Матрицы Ap , ¿?p и Cp объекта (36) таковы, что для них существуют такие матрицы Ас , Вс и Сс регулятора (37), что амплитуды вынужденных колебаний выходов объекта и регулятора удовлетворяют требованиям

оо со

£¿2("í)<y;2, ¿ = 17? и Í = (40)

где у,* и й* (г = 1, г, з = 1, т) - заданные числа.

Пусть матрицы Ар , Вр и Ср объекта не известны. В этом случае для построения регулятора (37) применим адаптивное управление, которое описывается уравнениями с кусочно-постоянными коэффициентами

<*<*«, /с=1,ЛГ.

В этих уравнениях к - номер интервала адаптации (к = 1, /V) ,

- момент окончания к -го интервала, 1К , также как число N и матрицы Лс*^ , Вс^ и Сс(к) , находятся в процессе адаптации, Ь -заданная матрица, »(*)($) £ /£т - вектор испытательных воздействий.

По окончании процесса адаптации, в момент времени tff , регулятор описывается уравнениями (37), в которых Ас = Лс^ , Вс — Вс^ и Г -г^

— Ос

Задача 5.1. Найти алгоритм адаптации коэффициентов регулятора (41), такой, чтобы система (36), (37) удовлетворяла требованиям (40) к установившимся амплитудам вынужденных колебаний.

Для решения задачи 5.1 построен следующий

Алгоритм 5.1 (адаптивного управления объектом (36) при возмущениях (38)), состоящий из (ЛГ) интервалов, в которых идентификация осуществляется по частотным параметрам объекта (условно назовём их первым интервалом адаптации) либо замкнутой системы (которые назовём вторым интервалом адаптации).

Первый интервал адаптации:

1. Проводится серия последовательных испытаний объекта (36), по результатам которых определяются матрицы

Фк = Фк(г^) и Фк — Фк{т^), к = ТГо (42)

оценок его частотных параметров.

Примечание 5.1. Последовательные испытания в алгоритме проводятся для определённости и без труда могут быть заменены параллельными.

2. Но матрицам (42) идентифицируется объект (36) в канонической форме (Л юенбергера), вида:

¿(1) = Л(1)Ж(1) + В(1)(„ + /}) у = <7(1^(1),

(43)

с матрицами Л<»> , В<»> и С« специальной структуры (её вид для матриц А , В и С приведён под описанием (13)), которая определяется по ходу формирования системы частотных уравнений идентификации.

3. По результатам идентификации (матрицам описания (43)) формируются уравнения Риккати и решается задача Яоо-субоптималь-ного адаптивного управления, в результате чего синтезируется регулятор (41) для второго интервала адаптации, вида

¿<2> = + + £«(2>, « = С^х™.

(44)

ПтороН интервал адаптации:

4. Проводится серия испытаний объекта (36), замкнутого регулятором (44), по результатам которых определяются матрицы

0* = е*(г?>) И = Е*(г<2>), ¿ = 17ё, (45)

оценок частотных параметров замкнутой системы, вида Ап

ВРС<2>

в[ ^Ср -Ас ^

(°т) *

гр ] *<2} \ '

(46)

Примечание 5.2. Здесь )

- матрицы частотных параметров системы (46), передаточная матрица которой

= [Ег - И^)^)]-1^*)^),

(47)

Примечание 5.3. Замкнутая система (46) может оказаться неустойчивой. В этом случае нужно отключить регулятор (44) и увеличить время фильтрации на третьем интервале адаптации:

Г(3) = г(2) + Ж1

по сравнению с первым интервалом. Далее, решая систему частотных уравнений идентификации, найти матрицы А^ , £К3) и а затем, решая уравнения Риккати - матрицы , В™ и нового регулятора. Время фильтрации нужно увеличивать до тех пор, пока замкнутая система не станет асимптотически устойчивой.

5. По матрицам (45) оценок частотных параметров замкнутой системы (46) находятся новые значения матриц

Ф*=<Мг<2>) и Фь=ЩтЮ), к=Т:~е (48)

оценок частотных параметров объекта (36). Для этой цели используется связь

Фк+З^к = [в*+^*] х . т

х^еМ^+^ + иг.ОыОГ1. *= 1,е, { '

с очевидностью вытекающая из (47). Заменяя в (49) матрицы <9* и Ек (к = 1, £>) их оценками, получим искомые матрицы (48).

6. По матрицам (48) снова идентифицируется объект (36), вида:

¿(2> = А^х™ + + /), у = С^2\ (50)

структура матриц канонической формы которого определена в (43).

7. Коэффициенты матриц описаний (43) и (50) проверяются на близость. Если условия близости выполняются, то процесс адаптации заканчивается при N = 2 , а искомые матрицы регулятора (37) имеют вид: у!с = , Вс = Ви Сс = Сс• В противном случае (при недостаточной точности идентификации полученного на первом интервале адаптации объекта) по алгоритму 3.1 «уточняется» структура описания (50) в которой снова идентифицируется объект (выполняется пункт 6 настоящего алгоритма если новая структура описания отличается от полученной в его пункте 2), затем синтезируется новый регулятор (для третьего интервала адаптации) и т.д..

Примечание 5.4. В главе приводятся подробное решение задачи 5.1, процедура .f/oo-субоптимального адаптивного управления, сходимость процесса адаптации и пример адаптивного управления реальным физическим объектом - гироплатформой.

В шестой главе приводится описание пакета программ ADAPLAB-М - MATLAB-расширения, разработанного для моделирования процессов конечно-частотной идентификации и частотного адаптивного управления многомерными объектами, статистические свойства внешних возмущений и помех измерений которых неизвестны, а сами возмущения и помехи являются произвольными ограниченными функциями.

Классы решаемых задач пакета программно реализованы в виде директив и включают в себя, в частности, модификации метода:

• Конечно-частотной идентификации

• Частотного адаптивного управления

Директивы используют модули библиотеки ADAPLAB-M, реализующие, в частности, алгоритмы:

идентификации параметров (объекта либо замкнутой системы), среди которых функции: FMIi - построения частотной матрицы (20), Frld - решения системы (17) частотных уравнений идентификации, NuFDP - определения индексов Кронекера (наблюдаемости) по набору частот и матриц частотных параметров (см. теорему 2.2);

преобразования форм, среди которых функции: Салоп - преобразования формы (12) Коши к канонической форме (13) Люенберге-ра, Cauchy - построения канонической формы Люенбергера по матричной канонической форме «вход-выход», InOut - построения матричной канонической формы «вход-выход» по канонической форме Люенбергера, NuCauchy - определения индексов Кронекера (наблюдаемости) по матрицам Ат и Ст описания (12);

моделирования (объекта либо замкнутой системы), среди которых функции: TimeNet - формирования временной сетки, Dist -внешних возмущений (и помех измерений), Test - генератора испытательного сигнала, Analysis -моделирования при произвольных входных воздействиях;

вычисления оценок частотных параметров (объекта либо замкнутой системы), среди которых функции: Fourier - фильтра Фурье (6), FDP и FDPI0 - вычисления матриц (10) частотных параметров по описанию в форме Коши и «вход-выход» соответственно, ReCalc - вычисления (по формулам (49)) матриц частотных параметров объекта по матрицам частотных параметров замкнутой системы;

самонастройки испытательного сигнала, среди которых функции: ТипЯЬо - самонастройки его амплитуд, ТипОп^а - определения границ испытательных частот, ШТхте - определения времени фильтрации из необходимых условий сходимости границ собственных частот по времени, РИТм^Т - определения времени фильтрации по заданным границам функций фильтруемости, ТеэгОт - вычисления испытательных частот;

процедуры управления, среди которых функции: Нз.сса1;1 - решения уравнения Риккати, СоггЬгоЫ} и Со1гЬго1Н - построения регулятора по параметрам объекта с использованием процедуры ££?-оп-тимального и //оо-субоптимального управления соответственно.

Ввод и сохранение данных обеспечивают функции ввода/вывода. Имеется интерфейс ввода, вывод таблиц и графиков на экран, ведение протокола и пр.

Все примеры настоящей диссертационной работы выполнены в МАТ-ЬАВ-расширении АОАРЬАВ-М.

Основные результаты работы

На основании выполненных исследований разработаны теоретические и прикладные положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное научное достижение. На их основе впервые в теории и практике идентификации и управления:

1. Предложен подход активной идентификации стационарного многомерного объекта (9) по его частотным параметрам (10), определённым на минимальном числе частот (11).

Для его реализации: а) установлено минимальное число (18) частот, необходимое для идентификации объекта и б) предложен способ определения структуры (индексов Кронекера) объекта по его частотным параметрам, в которой задача идентификации имеет единственное решение.

2. Разработан метод идентификации (определения структуры и коэффициентов матриц описания (13)) стационарного многомерного объекта (9) по оценкам (21) его частотных параметров, позволяющий проверять необходимые условия её сходимости по идентифицируемым коэффициентам.

Для его реализации: а.) исследована сходимость процесса идентификации и установлено, что при известной (либо точно определённой) структуре объекта ошибки идентификации имеют порядок погрешностей определения его частотных параметров; б) установлен класс «структур-

но грубых» объектов (для которых процесс идентификации сходится при исчезающей ошибке в определении частотных параметров к точному (единственному, в (определённой по ним) структуре объекта) решению) и с) решена некорректно поставленная задача идентификации «структурно негрубых» объектов (сколь угодно малая погрешность в определении частотных параметров которых может привести к неверному определению структуры).

3. Предложены сокращающие число экспериментов модификации (27), (28) и (34), (35) испытательного сигнала, обеспечивающие одновременное использование всех входов объекта (26).

Для этой цели: а.) исследована сходимость процесса фильтрации и дана оценка скорости его сходимости при различных способах приложения испытательных сигналов к объекту (последовательном - к каждому его входу отдельно, параллельном - ко всем его входам одновременно и комбинированном) и б) решена задача идентификации объекта по модифицированным его частотным параметрам (полученным посредством параллельных либо комбинированных испытаний объекта).

4. Используя полученные (в п. 1-3) результаты построен алгоритм 5.1 адаптивного управления (37) стационарным многомерным объектом (36) при ограниченных полигармонических возмущениях (38) с бесконечным числом гармоник с неизвестными амплитудами и частотами.

5. Для практического применения полученных результатов разработано программное обеспечение для идентификации и адаптивного управления многомерным объектом, оформленное в виде MATLAB -расширения ADAPLAB-M.

Основные публикации по теме диссертации

1. Orlov Yu.F., Alexandrov V.A. Frequency adaptive controller CHAR-6 // Preprints of 2nd IFAC Symposium on Intelligent Components and Instruments for Control Applications. SICICA'94. Budapest, Hungary, June 8-10 1994. P. 311-315.

2. Alexandrov A.G., Orlov Yu.F. ADAPLAB - computer aided design of frequency adaptive control // Preprints of 2nd IFAC Symposium on Intelligent Components and Instruments for Control Applications. SICICA'94. Budapest, Hungary, June 8-10 1994. P. 316-321.

3. Александров A.J., Орлов Ю.Ф. Конечно-частотная идентификация многомерных объектов // Труды 2-ой Российско-шведской конференции по автоматическому управлению. RSCC'95. СПб., 1995. С. 65-69.

4. Орлов Ю.Ф. Сократимость полиномов при конечно-частотной идентификации // Сборник научных трудов. М: МИСиС, 1998. С. 173180.

5. Орлов Ю.Ф. Способ решения частотных уравнений идентификации // Сборник научных трудов. М: МИСиС, 1998. С. 180-184.

6. Орлов Ю.Ф. Определение структурных инвариантов многомерного объекта по его частотным характеристикам // Труды I Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления». SICPRO'2000. М.: ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, 26-28 сентября 2000. CD-ROM №ISBN 5-201-09605-0. С. 221-237.

7. Орлов Ю.Ф. Способ конечно-частотной идентификации многомерного объекта // Труды I Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления». SICPRO'2000. М.: ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, 26-28 сентября 2000. CD-ROM JVUSBN 5201-09605-0. С. 237-244.

8. Александров А.Г., Орлов Ю.Ф. f/oo-субоптимальное адаптивное управление // Труды XII Байкальской Международной конференции «Методы оптимизации и их приложения». Иркутск, Байкал, 24 июня - 1 июля 2001. С. 20-24.

9. Alexandrov A.G., Orlov Yu.F. Frequency adaptive control of multivariable plants // Preprints of the 15th Trienial World Congress of the IFAC. b'02. Barcelona, Spain, 21-26 July 2002. On CD-ROM. T-Th-M03-3.

10. Орлов Ю.Ф. Частотная идентификация и адаптивное управление многомерными объектами // Дифференциальные уравнения, 2002. Т. 38. №8. С. 1143-1145.

Александров А.Г., Орлов Ю.Ф. Пакет программ ADAPLAB для идентификации и адаптивного управления // Автоматизация в промышленности, 2003. JV» 8. С. 16-19.

Александров А.Г., Орлов 10.Ф., Михайлова JI.C. Программное обеспечение конечно-частотной идентификации и адаптивного управления многомерными объектами // Труды II Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления». SICPRO'03.

М.: ИПУ им. В.Л. Трапезникова РАН, 29-31 января 2003. CD-ROM № ISBN 5-201-14948-0. С. 2531-2556.

13. Alexandrov A.G., Orlov Yu.F., Mikhailova L.S. ADAPLAB-M: identification and adaptation toolbox for MATLAB // 13th Symposium on System Identification. IFAC SYSID'03. Rotterdam, Netherlands, 27-29 August 2003. On CD-ROM. P. 995-1000.

14. Орлов Ю.Ф. Идентификация объекта no оценкам частотных характеристик // Сборник научных трудов «Робастное управление и частотная идентификация». Электросталь: ЭПИ МИСиС, 2004. С. 110-125.

15. Орлов Ю.Ф. Определение интервалов допустимых значений частотных характеристик многомерного объекта, обеспечивающих сохранение его структурных инвариантов // Сборник научных трудов «Робастное управление и частотная идентификация». Электросталь: ЭПИ МИСиС, 2004. С. 158-168.

10. Александров А.Г., Орлов Ю.Ф., Михайлова Л.С. ADAPLAB-M: директива для самонастройки испытательного- сигнала // Труды II Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB». М.: ИПУ им. В. А. Трапезникова РАН, 2004. CD-ROM №ISBN 5-201-14971-5. С. 6-17.

17. Александров А.Г., Орлдв Ю.Ф. ADAPLAB-директива: точное адаптивное управление в системах с эталонной моделью // Труды III Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления». SICPRO'04. М.: ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, 28-30 января 2004. CD-ROM JY«ISBN 5-201-14966-9. С. 2556-2570.

18. Орлов Ю.Ф. Конечно-частотная идентификация многомерных объектов // Дифференциальные уравнения, 2004. Т. 40. №8. С. 11451146.

19. Александров А.Г., Орлов Ю.Ф. ADAPLAB-M: директива для идентификации с самонастройкой испытательного сигнала // Труды IV Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления». SICPRO'05. М.: ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, 2005.

20. Александров А.Г., Орлов Ю.Ф. ADAPLAB-M: директива для частотного адаптивного управления с самонастройкой испытательного сигнала // Труды IV Международной конференции «Идентифи-

кация систем и задачи управления». SICPRO'05. М.: ИПУ им. В.Л. Трапезникова РАН, 2005.

21. Александров А.Г., Орлов Ю.Ф. Сравнение двух методов идентификации при неизвестных ограниченных возмущениях // Автоматика и телемеханика, 2005. Т. 66. № 10. С. 128-147.

22. Орлов Ю.Ф. Конечно-частотная идентификация многомерных объектов при почти произвольных ограниченных возмущениях // Дифференциалы! ые уравнения, 2006. Т. 42. №2. С. 280-281.

23. Орлов Ю.Ф. Идентификация по частотным параметрам // Дифференциальные уравнения, 2006. Т. 42. №3. С. 425-428.

24. Орлов Ю.Ф. Структурная идентификация многомерного объекта // Дифференциальные уравнения, 2006. Т. 42. №4. С. 567-569.

25. Орлов Ю.Ф. О числе частот для идентификации объекта управления // Дифференциальные уравнения, 2006. Т. 42. №5. С. 710-713.

26. Александров А.Г., Орлов Ю.Ф. Частотное адаптивное управление многомерными объектами // Автоматика и телемеханика, 2006. Т. 67. №7. С. 104-119.

27. Орлов Ю.Ф. О некорректности структурной идентификации // Дифференциальные уравнения, 2006. Т. 42. JV»8. С. 1135-1137.

Автореферат

Формат 60 к 84 yg . Усл.печ.л. 1. Тираж 100 экз. Оригинал-макет подготовлен в системе IATgX.

16 •

Оглавление автор диссертации — доктора физико-математических наук Орлов, Юрий Феликсович

Список обозначений

Введение

1 Состояние проблемы и задачи диссертации

1.1. Метод уравнений движения.

1.1.1. Метод наименьших квадратов.

1.1.2. Метод инструментальных переменных.

1.1.3. Гармонические модулирующие функции

1.1.4. О процессе идентификации.

1.2. Метод конечно-частотной идентификации.

1.2.1. Частотные уравнения идентификации.

1.2.2. Условия сходимости идентификации.

1.2.3. О самонастройке частот и амплитуд испытательного сигнала.

1.2.4. Идентификация неустойчивых объектов

1.3. Метод инструментальных переменных.

1.3.1. Непрерывный аналог метода.

1.3.2. Связь с методом конечно-частотной идентификации

1.3.3. Различие методов идентификации.

1.3.4. Выводы.

1.4. Классический частотный метод.

1.5. Конечно-частотная идентификация многомерных объектов

1.5.1. Задача идентификации.

1.5.2. Матрицы частотных параметров.

1.5.3. Частотные уравнения идентификации.

1.5.4. Идентификация неустойчивых объектов

1.6. Подпространство-основанная (4SID) идентификация по частотной характеристике.

1.6.1. Детерминированный подход.

1.6.2. Стохастический подход.

1.6.3. Выводы.

Введение 2006 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Орлов, Юрий Феликсович

2.2. Постановка задачи.68

2.3. Параметрическая идентификация .71

2.4. Структурная идентификация.73

2.5. О числе частот для идентификации объекта управления 74

2.6. Алгоритм идентификации.77

2.7. Пример.78

3 Идентификация по оценкам частотных параметров 81

3.1. Введение.81

3.2. Предварительные сведения .84

3.3. Параметрическая идентификация .85

3.4. Некорректность задачи структурной идентификации . . 87

3.5. Алгоритм определения индексов Кронекера объекта . . 90

3.6. Пример.94

3.7. Структурно грубые объекты.101

4 Испытания объекта 103

4.1. Введение.103

4.2. Постановка задачи.105

4.3. О частотных параметрах объекта.108

4.4. Параметрическая идентификация .112

4.5. Структурная идентификация.114

4.6. Алгоритм идентификации.118

4.7. Пример.120

4.7.1. Идентификация объекта по матрицам частотных параметров.121

4.7.2. Параметрическая идентификация объекта известной структуры.122

4.7.3. Идентификация объекта известного порядка . . . 123

4.8. Выбор испытательных частот.125

5 Частотное адаптивное управление 127

5.1. Введение.127

5.2. Постановка задачи.131

5.3. Управление для известного объекта.132

5.4. Первый интервал адаптации.134

5.4.1. Частотные параметры объекта.134

5.4.2. Идентификация объекта.135

5.4.3. Синтез регулятора.137

5.5. Второй интервал адаптации.138

5.5.1. Частотные параметры замкнутой системы . 138

5.5.2. Идентификация объекта.139

5.5.3. Условия окончания процесса адаптации.140

5.6. Сходимость процесса адаптации .141

5.7. Алгоритм адаптации.143

5.8. Пример.145

5.8.1. Модель системы.145

5.8.2. Постановка задачи.147

5.8.3. Подход к решению задачи.147

5.8.4. Решение задачи.149

5.9. Заключение .152

6 Разработка программного обеспечения для идентификации и адаптивного управления 153

6.1. Введение.154

6.2. Пакет программ ADAPLAB-M .155

6.2.1. Назначение пакета и классы решаемых задач . . 156

6.2.2. Структура программ пакета.158

6.3. Конечно-частотная идентификация .160

6.3.1. Частотные параметры объекта.161

6.3.2. Идентификация объекта.162

6.3.3. Условия окончания процесса идентификации . . . 163

6.4. Частотное адаптивное управление.165

6.4.1. Управление известным объектом.166

6.4.2. Первый интервал адаптации .167

6.4.3. Второй интервал адаптации.168

6.5. Интерфейс.170

6.6. Пример.171

6.6.1. Модель объекта.171

6.6.2. Идентификация по частотным параметрам . 173

6.7. Заключение .175

Заключение 176

Литература 178

Приложения 199

ПЛ. Приложение к главе 1 .199

П. 1.1. Доказательство леммы 1.1.199

П.1.2. Пример.202

П.2. Приложение к главе 2 .205

П.2.1. Матричные разложения.205

П.2.2. Доказательство леммы П.1 .212

П.2.3. Доказательство леммы П.2.215

П.2.4. Доказательство леммы П.З.258

П.2.5. Доказательство леммы П.4.258

П.2.6. Доказательство теоремы 2.2.261

П.2.7. Доказательство утверждения 2.1.271

П.2.8. Доказательство утверждения 2.2.273

П.2.9. Доказательство теоремы 2.1.273

П.2.10. Доказательство теоремы 2.3.276

П.2.И.Доказательство утверждения пункта 3 алгоритма

2.6.277

П.2.12. Альтернативный подход.278

П.З. Приложение к главе 3 .280

П.3.1. Доказательство утверждения 3.1.280

П.3.2. Доказательство теоремы 3.1.282

П.3.3. Доказательство теоремы 3.2.284

П.4. Приложение к главе 4.286

П.4.1. Доказательство утверждения 4.1.286

П.4.2. Доказательство теоремы 4.1.293

П.4.3. Доказательство утверждения 4.6.296

П.4.4. Условия сходимости идентификации для одномерных объектов .298

П.5. Приложение к главе 5 .302

П.5.1. Доказательство утверждения 5.1.302

П.5.2. Доказательство утверждения 5.3.304

П.6. Приложение к главе 6.306

П.6.1. Функции пакета ADAPLAB-M .306

П.6.2. Структурная схема директивы IdFDPcon.322

П.6.3. Структурная схема директивы AdFDPcH.323

Список обозначений - равно по определению; - эквивалентно по определению; - тождественно равно; - приблизительно равно;

•С - много меньше ( - много больше); - операция присвоения (а := b - а присваивается значение Ь), например: s := j Wk , i := i + 1, и т.д.

Множества

N, Z, R, С - множества натуральных, целых, вещественных и комплексных чисел соответственно;

Z+ - множество положительных целых чисел, Z+ = iVU {0} , N = Z+ \ {0} ;

R+ , R~ - множества положительных и отрицательных вещественных чисел соответственно;

R[a,b], i2(a, 6], Я[а,Ь), i?(a,6) - замкнутое, открытое слева, справа и открытое множества вещественных чисел соответственно на интервале [a, b]; R+ = Я[0, оо), R~ = R(—oо, 0), R = R(—оо, оо); пГ/п = m:n = {m, m+1, .,n} - множество целых чисел от т Е Z до п 6 Z (т <п); ж,- (г = I~п) ~ {жь ж2, • • • > хп } ;

0 - пустое множество.

Элементы

Элементы обозначаются строчными буквами: а , Ь , с,

Re а, Im а - вещественная и мнимая части комплексного числа а 6 С , а = Re а + j Im а ; а| - модуль числа а (\а\ = \jRe2 а + Im2 а для а Е С );

-г - символ вычисления относительной ошибки: а -г- Ь = |а — Ь|/|Ь| если Ь ф 0 либо а-т-b = |а| если 6 = 0; ж] - максимальное целое число, меньшее либо равное х ; ж] - минимальное целое число, большее либо равное х .

Глобальные имена элементов j - мнимая единица (прямой шрифт).

Векторы

Векторы обозначаются строчными жирными буквами: х , у , z , . По умолчанию векторы - столбцы.

Rn , Сп - пространства п -мерных векторов с вещественными и комплексными координатами соответственно; rOW ( Ж1, Х2, . . . , хп) = IOWi=1:nX г =

Х\ Хч ■ ■ • хп хТ - эквивалентные обозначения п -мерной вектор-строки; col(Х\, х2, ., Хп) = coli=i,nXi =

Zl Х2 х - эквивалентные обозначения п -мерного вектор-столбца.

Матрицы

Матрицы обозначаются прописными буквами: А , В , С , a,-j] = А - эквивалентные обозначения матрицы; ч 71 X 771 ту у »т1

К , С - пространства п х т -матриц с вещественными и комплексными элементами соответственно; a>i»j - сокращённая запись: a,j при i • j , например: a^j, a,->j, a,-<j, б1г>^ , a,<j и т.д. (то же относится и к блокам: - уЦ- при г • j ); row2- А - i-я строка пхт -матрицы А (1 < г < п ), row,- А = rowJ=i:m a,ij = row( ац, ai2, ., a!m ) ; colj A - j -й столбец пхт -матрицы A (1 < j < m ), colj A = со1ы:п ciij = col( a\j, a2j, ., anj); dij = rowj colj A - элемент n x m -матрицы A , стоящий на пересечении г -й строки и j -го её столбца (1 < г < тг, 1 < j < m); rowi:p А - блок с г -й по р -ю строки пхт -матрицы А (1<г<р<п); colj:9 А - блок с j -го по q -й столбец п хт -матрицы А (1 < j < q < п); rowi:p colj:9 A - блок с i -й по р -ю строки и с j -го по q -й столбец пхт -матрицы А (1 < г < р < п , 1 < j < q < т)\ diag(an, а22, •. •, аПп) - диагональная матрица с элементами оц , а22, ., апп вдоль диагонали; операции diagA = со1(ац, а22, ., апп) и diagdiagA = diag(an, 022, • • •, апп ) определены в соответствии с MATLAB соглашением;

Ат - транспонирование матрицы А = [a,j]: Ат = [а,,-];

А~1 - обращение квадратной либо псевдообращение прямоугольной матрицы; запись А~* означает (А')~1 , например: А~т , А~* и т.д.; det А - определитель матрицы А ; rank А - ранг матрицы А ; range А - область значений матрицы А range А = {у 6 R171 : у = Ах для некоторого х 6 Rn} ; null А - ядро (нуль-пространство) матрицы А null А = {х е Rn : Ах = 0пд} ; ■ || - норма матрицы (если не указана явно, то подразумевается любая норма); || • ||оо - Яоо-норма (определение см. на стр. 166);

А (А) - спектр матрицы А: \(А) = roots det (i^s—А) = {Ai, Л2,., An}, Ak(A) = Xk - к-е собственное значение матрицы A, Amax(A) = max A (A) - максимальное собственное значение матрицы А;

Jk{A), crmax(A), <7min(A) - к-е, максимальное и минимальное сингулярное значения матрицы А соответственно: аk(A) = А]/2(АтА);

8> - символ кронекерова произведения матриц.

Глобальные имена матриц

Еп - единичная п х п -матрица; е^ - символ Кронекера (i -то j -й элемент единичной матрицы): ец = 1 , e^j = 0 ;

0n m - нулевая п х ш -матрица, 0„ = 0п>тг;

J = О

1 о матричная мнимая единица.

- И

Полиномы и полиномиальные матрицы

Полиномы обозначаются строчными буквами: p(s), q(s), r(s), ., а полиномиальные матрицы - прописными: P(s), Q(s), i?(s),. от s. deg p(s) - степень полинома p(s); rootsp(s) - множество (совокупность) корней полинома p(s); пусть

71 p(s) =рп п (s-sl), тогда rootsp(s) = { sj, ., s* } и root*p(s) = k=i si; при n — 1: = rootp(s);

U - пространство унимодулярных матриц (полиномиальная матрица, определитель которой не зависит от s и не равен нулю, называется унимодулярной). о(-) - (о-малое - символ порядка) функция того же порядка малости, что и её аргумент;

О(-) - (о-болыпое - символ порядка) функция более высокого порядка малости, чем её аргумент; - оценка значения • а - оценка числа а , а - вектора а , А - матрицы А , и т.д.); а, а] - интервальное число а , где а - его левая (нижняя) граница и а - его правая (верхняя) граница (возможны производные записи, например: а, = - г-й элемент интервального вектора а, fljj = [ojj,aij] - ij -й элемент интервальной матрицы А , и т.д.); п \ п\

- число сочетаний из п по га: = С„ = —-— •

Прочее ш п т\{п - ш)!

Введение

Актуальность темы

Можно выделить ряд направлений, в которых в настоящее время разрабатываются различные методы идентификации линейных стационарных объектов управления. Это направления, основанные на методе наименьших квадратов [123], методе инструментальных переменных (К. Вонг [174], Т. Сёдерстрем и П. Стоика [161, 162, 164], Я.З. Цыпкин и А.С. Поздняк [76]), 4SID методе (М. Виберг [171], П. Оверсши и Б. Мур [150]), идентификации по частотным характеристикам (Г.Л. Рабкин, Б.А. Митрофанов и Ю.О. Штеренберг [66], А.А. Кардашов и JI.B. Картошин [38], Е. Леви [131]), рандомизированных алгоритмах идентификации (О.Н. Граничин и Б.Т. Поляк [32]), системах с идентификатором (А.Л. Бунич и Н.Н. Бахтадзе [30]).

В процессе идентификации наряду с управлением часто используют [1, 33, 40] испытательный сигнал (дополнительное воздействие, предназначенное для идентификации объекта), параметры которого согласуют с режимом нормальной эксплуатации объекта и допустимыми потерями качества управления. В этом случае говорят об активной идентификации. При пассивной идентификации испытательный сигнал отсутствует а измеряемым входом объекта является управляющее воздействие, которое не связано с задачей идентификации а определяется целью управления. При таком входе идентификация объекта не всегда возможна (входной сигнал должен иметь достаточно богатый спектр).

Подходы, основанные на методе наименьших квадратов и стохастической аппроксимации, предполагают помехи и возмущения случайными процессами с известными статистическими характеристиками. Наряду с ними разрабатывается ряд методов идентификации линейных стационарных объектов при неизвестных ограниченных возмущениях. Так, конечно-частотный метод (А.Г. Александров [3]) позволяет идентифицировать объекты при почти произвольных неизвестных ограниченных внешних возмущениях и помехах измерения. Для этого он использует испытательный сигнал в виде суммы гармоник (число которых не превышает порядка объекта). В этом методе имеется автоматическая настройка частот такого сигнала, сокращающая время идентификации, и его амплитуд, осуществляемая для обеспечения требований к допустимым границам входа и выхода объекта (которые выполняются, когда испытательный сигнал отсутствует). Рандомизированные алгоритмы решают аналогичные задачи, но они предполагают, что испытательный сигнал - случайный процесс (с известными статистическими характеристиками). При таком сигнале трудно гарантировать заданные допуска на выходы объекта.

Метод конечно-частотной идентификации разработан в основном для одномерных объектов при известном порядке их дифференциальных уравнений.

Лью (1994), П. Оверсши и Б. Мура [149] (1996). Следует отметить, однако, что процесс получения частотной характеристики в методах этого направления не обсуждается - она полагается заданной точно либо с белошумными отклонениями. В последнем случае эти методы требуют бесконечного числа испытательных частот. Кроме того, в этих методах не оговаривается класс внешних возмущений и помех измерений, приводящий к белошумным отклонениям частотных характеристик.

Цель и задачи работы

Цель настоящей работы - разработать метод активной идентификации стационарного многомерного объекта, при неизвестных ограниченных внешних возмущениях и помехах измерения, позволяющий проверить необходимые условия её сходимости по идентифицируемым коэффициентам. Для достижения этой цели нужно:

2. Установить минимальное число частот, необходимое для идентификации многомерного объекта.

7. Установить класс объектов, для которых процесс идентификации сходится при исчезающей ошибке в определении частотных параметров к точному (единственному, с учётом условий пункта 3) решению (т.е. класс объектов, для которых задача идентификации корректно поставлена с учётом этих условий).

9. Исследовать применимость предлагаемого метода идентификации для задач адаптивного управления.

Методы исследования

Для решения этих задач был использован математический аппарат матричной алгебры и методы теории управления, основанные на концепции пространства состояний, полиномиальных форм и частотных представлений.

Достоверность

Достоверность полученных результатов подтверждается численными исследованиями и данными моделирования.

Научная новизна

Научная новизна работы определяется следующими теоретическими, прикладными и практическими результатами, полученными лично автором.

Теоретические результаты:

2. Доказана теорема об определении структуры канонической формы модели объекта по его частотным параметрам.

10. Доказано утверждение сходимости процесса адаптации при ограниченных внешних возмущениях объекта.

Прикладной результат:

11. Разработан пакет программ ADAPLAB-M (оформленный в виде MATLAB-расширения) для моделирования процессов конечно-частотной идентификации и частотного адаптивного управления многомерными объектами.

Внедрение

Программы реализующие предлагаемые в работе алгоритмы использовались, в частности, при выполнении научно-исследовательской работы по контракту с ракетно-космической корпорацией «Энергия» им. С.П. Королёва в рамках международного проекта «Морской старт» (где применялись для моделирования процессов идентификации и адаптации в реальной системе термостатирования). Пакет программ ADА-PLAB-M внедрён в учебный процесс.

Поддержка

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 095-01-00526а и 05-08-01177).

Апробация работы

Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на 2-ой Российско-шведской конференции по автоматическому управлению (Санкт-Петербург, 1995); Симпозиуме по управлению СЕТТГ95 (Куритиба, Парана, Бразилия, 1995); I, II, III и IV Международных конференциях «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'2000'03'04'05 (Москва, 2000, 2003, 2004, 2005); Международной научной конференции «Аналитическая теория автоматического управления и её приложения» АТАУ'2000 (Саратов, 2000); VII Международной конференции «Обратные и некорректно поставленные задачи», памяти академика А.Н. Тихонова (Москва, 2001); 15-ом Всемирном конгрессе IFAC (Барселона, Испания, 2002); Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB» (Москва, 2002); Международной конференции «Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении» (Саратов, 2002); II Международной конференции по проблемам управления (Москва, 2003); II Всероссийской научной конференции «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB» (Москва, 2004); а также на семинарах МГУ, МЭИ, МИСиС, ИПУ и ИСА РАН.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 50 научных работ (из которых 15 - в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях). Работы [8, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 26, 47, 48, 50, 51, 52, 53, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 83, 84, 85, 87, 88, 146], приведённые в списке литературы, полностью отражают содержание диссертационной работы.

При этом в публикации, выполненные в соавторстве, соискателем внесён следующий вклад. В работах [8, 15, 25, 26, 87] диссертанту принадлежит разработка аналитического аппарата идентификации (формулы, уравнения и их вывод, формулировка и доказательство теорем, лемм, утверждений), а также выполнение примеров на базе программ пакета ADAPLAB-M. В работах [13, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 83, 84, 85, 88, 146] диссертанту принадлежит посторение алгоритмов идентификации и их реализация в виде программ пакета ADAPLAB-M, разработка программного обеспечения MATLAB-расширения ADAPLAB-M и решение в нём численных примеров.

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из введения, шести глав и приложений к ним, заключения и списка литературы из 175 наименований. Она изложена на 325 страницах, содержит 2 рисунка и 3 таблицы.

Заключение диссертация на тему "Активная идентификация объектов управления"

Заключение результаты, выносимые на защиту)

1. Предложен подход активной идентификации стационарного многомерного объекта (2.1) по его частотным параметрам (2.2), определённым на минимальном числе частот (2.3).

Для его реализации: а) установлено минимальное число (2.16) частот, необходимое для идентификации объекта и б) предложен способ определения структуры (индексов Кронекера) объекта по его частотным параметрам, в которой задача идентификации имеет единственное решение.

2. Разработан метод идентификации (определения структуры и коэффициентов матриц описания (3.5)) стационарного многомерного объекта (3.1) по оценкам (3.4) его частотных параметров, позволяющий проверять необходимые условия её сходимости по идентифицируемым коэффициентам.

Для его реализации: а) исследована сходимость процесса идентификации и установлено, что при известной (либо точно определённой) структуре объекта ошибки идентификации имеют порядок погрешностей определения его частотных параметров; б) установлен класс «структурно грубых» объектов (для которых процесс идентификации сходится при исчезающей ошибке в определении частотных параметров к точному (единственному, в (определённой по ним) структуре объекта) решению) и с) решена некорректно поставленная задача идентификации «структурно негрубых» объектов (сколь угодно малая погрешность в определении частотных параметров которых может привести к неверному определению структуры).

3. Предложены сокращающие число экспериментов модификации (4.8), (4.9) и (4.26), (4.28) испытательного сигнала, обеспечивающие одновременное использование всех входов объекта (4.1).

Для этой цели: а) исследована сходимость процесса фильтрации и дана оценка скорости его сходимости при различных способах приложения испытательных сигналов к объекту (последовательном - к каждому его входу отдельно, параллельном - ко всем его входам одновременно и комбинированном) и б) решена задача идентификации объекта по модифицированным его частотным параметрам (полученным посредством параллельных либо комбинированных испытаний объекта).

4. Используя полученные (в п. 1-3) результаты построен алгоритм 5.1 адаптивного управления (5.2) стационарным многомерным объектом (5.1) при ограниченных полигармонических возмущениях (5.3) с бесконечным числом гармоник с неизвестными амплитудами и частотами.

Библиография Орлов, Юрий Феликсович, диссертация по теме Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

1. Агафонов С.А., Фомин В.Н. Идентификация объектов управления с использованием пробных сигналов. J1., 1982. Деп. в ВИНИТИ от 3 августа 1982 г., №4226-82. 22 с.

2. Александров А.Г. Синтез регуляторов многомерных систем. М.: Машиностроение, 1986. 272 с.

3. Александров А.Г. Метод частотных параметров // Автоматика и телемеханика, 1989. Т. 50. № 12. С. 3-15.

4. Александров А.Г. Частотные регуляторы // Автоматика и телемеханика, 1991. Т. 52. №1. С. 22-33.

5. Александров А.Г. Частотное адаптивное управление. I // Автоматика и телемеханика, 1994. Т. 55. №12. С. 93-104.

6. Александров А.Г. Частотное адаптивное управление. II // Автоматика и телемеханика, 1995. Т. 56. №1. С. 117-128.

7. Александров А.Г. Адаптивное управление на основе идентификации частотных характеристик // Известия РАН: «Теория и системы управления», 1995. №2. С. 63-71.

8. Александров А.Г., Орлов Ю.Ф. Конечно-частотная идентификация многомерных объектов // Труды 2-ой Российско-шведской конференции по автоматическому управлению. RSCC'95. СПб., 1995. С. 65-69.

9. Александров А.Г., Честное В.Н. Синтез многомерных систем заданной точности. I. Применение процедур ^^-оптимизации // Автоматика и телемеханика, 1998. Т. 59. №7. С. 83-95.

10. Александров А.Г., Честное В.Н. Синтез многомерных систем заданной точности. II. Применение процедур Яоо-оптимизации // Автоматика и телемеханика, 1998. Т. 59. №8. С. 124-138.

11. И. Александров А.Г. Конечно-частотная идентификация: многомерный объект // Международная конференция по проблемам управления. Избранные труды. М.: ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, 1999. Т. 1. С. 15-28.

12. Александров А.Г. Конечно-частотная идентификация дискретных объектов // Труды 6-го Санкт-Петербургского симпозиума по теории адаптивных систем, посвящённого памяти Я.З. Цыпкина. SPAS'99. СПб., 1999. Т. 2. С. 5-8.

13. Александров А.Г. Частотное адаптивное управление устойчивым объектом при неизвестном ограниченном возмущении // Автоматика и телемеханика, 2000. Т. 61. №4. С. 106-116.

14. Александров А.Г., Орлов Ю.Ф. Яоо-субоптимальное адаптивное управление // Труды XII Байкальской Международной конференции «Методы оптимизации и их приложения». Иркутск, Байкал, 2001. С. 20-24.

15. Александров А.Г. Конечно-частотная идентификация: границы частот испытательного сигнала // Автоматика и телемеханика, 2001. Т. 62. №11.

16. Александров А.Г., Орлов Ю.Ф. Пакет программ ADAPLAB для идентификации и адаптивного управления // Автоматизация в промышленности, 2003. №8. С. 16-19.

17. Александров А.Г. Конечно-частотная идентификация: самонастройка испытательного сигнала // Сборник научных трудов «Ро-бастное управление и частотная идентификация». Электросталь: ЭПИ МИСиС, 2004. С. 67-97.

18. Александров А.Г., Орлов Ю.Ф. Сравнение двух методов идентификации при неизвестных ограниченных возмущениях // Автоматика и телемеханика, 2005. Т. 66. № 10. С. 128-147.

19. Александров А.Г., Орлов Ю.Ф. Частотное адаптивное управление многомерными объектами // Автоматика и телемеханика, 2006. Т. 67. №7. С. 104-119.

20. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. 424 с.

21. Барабанов А.Е., Граничин О.Н. Оптимальный регулятор линейного объекта с ограниченной помехой // Автоматика и телемеханика, 1984. Т. 45. №5. С. 39-46.

22. Белозеров В.Е., Осетинский Н.И. Инварианты и канонические формы одного класса линейных управляемых систем. В кн.: Теория сложных систем и методы их моделирования. Труды семинара. М.: ВНИИСИ, 1984, с. 18-25.

23. Бунин А.Л., Бахтадзе Н.Н. Синтез и применение дискретных систем управления с идентификатором. М.: Наука, 2003. 232 с.

24. Горский В.Г., Адлер Ю.Г., Талалай A.M. Планирование промышленных экспериментов. М.: Металлургия, 1978.

25. Граничин О.Н., Поляк Б. Т. Рандомизированные алгоритмы оценивания и оптимизации при почти произвольных помехах. М.: Наука, 2003. 291 с.

26. Граничин О.Н., Фомин В.П. Адаптивное управление с использованием пробных сигналов // Автоматика и телемеханика, 1986. Т. 47. №2. С. 100-112.

27. Автоматизированное проектирование систем управления / Под ред. М. Джамшиди и Ч. Дж. Хергета. М.: Машиностроение, 1989. 344 с.

28. Дьяконов В.П., Круглое В. MATLAB. Анализ, идентификация и моделирование систем. Специальный справочник. СПб.: Питер, 2002. 448 с.

29. Математическая теория планирования эксперимента / Под ред. С.М. Ермакова. М.: Наука, 1983. 392 с.

30. Земляков С.Д., Рутковский В.Ю. Обобщённые алгоритмы адаптации одного класса беспоисковых самонастраивающихся систем с моделью // Автоматика и телемеханика, 1967. Т. 28. №6. С. 88-94.

31. Кардашов А.А., Карнюшин JI.B. Определение параметров системы по экспериментальным (заданным) частотным характеристикам // Автоматика и телемеханика, 1958. Т. 19. №4. С. 334-345.

32. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. 656 с.

33. Красовский А.А. Динамика непрерывных самонастраивающихся систем. М.: Наука, 1963. 468 с.

34. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.

35. Лъюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991. 432 с.

36. Медведев B.C., Потёмкин В.Г. Control System Toolbox. MATLAB 5 для студентов. М.: Диалог-МИФИ, 1999. 287 с.

37. Мироновский Л.А. Аналоговое и гибридное моделирование: многомерные системы. Л.: ЛИАП, 1986. 88 с.

38. Михайлова Л.С., Баукова Н.Г. ГАММА-2РС: директивы идентификации // Труды II Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления». SICPRO'03. М.: ИПУ им. В. А. Трапезникова РАН, 2003. CD-ROM №ISBN 5-201-14948-0.

39. Идентификация динамических систем / Под ред. А. Немура. Вильнюс: Минтис, 1974. 287 с.

40. Орлов Ю.Ф. Сократимость полиномов при конечно-частотной идентификации // Сборник научных трудов. М: МИСиС, 1998. С. 173-180.

41. Орлов Ю.Ф. Способ решения частотных уравнений идентификации // Сборник научных трудов. М: МИСиС, 1998. С. 180-184.

42. Орлов Ю.Ф. Исследование уравнений конечно-частотной идентификации. Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. 1999.

43. Орлов Ю.Ф. Способ конечно-частотной идентификации многомерного объекта // Труды I Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления». SICPRO'2000. М.: ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, 2000. CD-ROM №ISBN 5-201-09605-0. С. 237-244.

44. Орлов Ю.Ф. Идентификация многомерных объектов в канонической форме по оценкам частотных характеристик // Труды Международной научной конференции «Аналитическая теория автоматического управления и её приложения». АТАУ'2000. Саратов, 2000. С. 51-56.

45. Орлов Ю.Ф. Идентификация объекта на компакте // Тезисы докладов VII Международной конференции «Обратные и некорректно поставленные задачи», памяти академика А.Н. Тихонова. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 2001. С. 63.

46. Орлов Ю.Ф. Конечно-частотная идентификация многомерных объектов при параллельных испытаниях // Тезисы доклада Международной конференции «Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении». Саратов, 2002. С. 125-127.

47. Орлов Ю.Ф. Частотная идентификация и адаптивное управление многомерными объектами // Дифференциальные уравнения, 2002. Т. 38. №8. С. 1143-1145.

48. Орлов Ю.Ф. Идентификация объекта по оценкам частотных характеристик // Сборник научных трудов «Робастное управление и частотная идентификация». Электросталь: ЭПИ МИСиС, 2004. С. 110-125.

49. Орлов Ю.Ф. Конечно-частотная идентификация многомерных объектов // Дифференциальные уравнения, 2004. Т. 40. №8. С. 1145-1146.

50. Орлов Ю.Ф. Конечно-частотная идентификация многомерных объектов при почти произвольных ограниченных возмущениях // Дифференциальные уравнения, 2006. Т. 42. №2. С. 280-281.

51. Орлов Ю.Ф. Идентификация по частотным параметрам // Дифференциальные уравнения, 2006. Т. 42. №3. С. 425-428.

52. Орлов Ю.Ф. Структурная идентификация многомерного объекта // Дифференциальные уравнения, 2006. Т. 42. №4. С. 567-569.

53. Орлов Ю.Ф. О числе частот для идентификации объекта управления // Дифференциальные уравнения, 2006. Т. 42. №5. С. 710-713.

54. Орлов Ю.Ф. О некорректности структурной идентификации // Дифференциальные уравнения, 2006. Т. 42. №8. С. 1135-1137.

55. Орлов Ю.Ф. Идентификация по частотным параметрам при параллельных испытаниях // Автоматика и телемеханика, 2007. Т. 68. №1.

56. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. 303 с.

57. Розенвассер Е.Н. О математическом описании многомерных линейных систем на основе моделей «вход-выход» // Автоматика и телемеханика, 1994. Т. 55. №1. С. 47-62.

58. Соколов В.Ф. Адаптивное робастное управление с гарантированным результатом в условиях ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика, 1994. Т. 55. №2. С. 121-131.

59. Соколов В.Ф. Адаптивное робастное управление дискретным скалярным объектом в /i-постановке // Автоматика и телемеханика, 1998. Т. 59. №3. С. 107-131.

60. Математические методы в теории систем. Сборник статей. М.: Мир, 1979.

61. Теория систем. Математические методы и моделирование. Сборник статей. М.: Мир, 1989. 384 с.

62. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

63. Фомин В.Н., Фрадков A.JI., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981. 448 с.

64. Фрадков А.Л. Адаптивное управление в сложных системах: беспоисковые методы. М.: Наука, 1990. 296 с.

65. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 655 с.

66. Цыпкин Я.З., Поз-няк А.С. Обобщённый метод инструментальных переменных в задачах идентификации линейных объектов // Доклады АН СССР, 1989. Т. 306. №5. С. 1068-1072.

67. Цыпкин Я.З. Информационная теория идентификации. М.: Наука, 1995. 336 с.

68. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975. 688 с.

69. Современные методы идентификации систем / Под ред. П. Эйк-хоффа. М.: Мир, 1983. 400 с.

70. Якубович В.А. Рекуррентные конечно-сходящиеся алгоритмы решения систем неравенств // Доклады АН СССР, 1966. Т. 166. № 6. С. 1308-1311.

71. Якубович В.А. Адаптивная стабилизация непрерывных линейных объектов // Автоматика и телемеханика, 1988. Т. 49. №4. С. 97107.

72. Alexandrov A.G. Finite-frequency method of identification // Preprints of 10th IFAC Symposium on System Identification. Copenhagen, Denmark, 1994. V. 2. P. 523-527.

73. Alexandrov A.G., Orlov Yu.F. ADAPLAB computer aided design of frequency adaptive control // Preprints of 2nd IFAC Symposium on Intelligent Components and Instruments for Control Applications. SICICA'94. Budapest, Hungary, 1994. P. 316-321.

74. Alexandrov A.G., Orlov Yu.F. Training in the identification and adaptive control processes using the package ADAPLAB // Preprints of Workshop on Control Education and Technology Transfer Issues. CETTI'95. Curitiba, Parana, Brazil, 1995. P. 117-120.

75. Alexandrov A.G., Panin S.Yu., Orlov Yu.F. Computer-aided training maitaince on the base of CACSD GAMMA-IPC and ADAPLAB // Symposium on Advances in Control Education. Istanbul, Turkey, 1997.

76. Alexandrov A.G. Accurate adaptive control // Proceedings of the IASTED International Conference "Automation Control and Information Technology". Novosibirsk: ACTA Press, 2002. ISNB: 0-88986342-3. P. 212-217.

77. Alexandrov A.G., Orlov Yu.F. Frequency adaptive control of multi-variable plants // Preprints of the 15th Trienial World Congress of the IFAC. b'02. Barcelona, Spain, 2002. On CD-ROM T-Th-M03-3.

78. Alexandrov A.G., Orlov Yu.F., Mikhailova L.S. ADAPLAB-M: identification and adaptation toolbox for MATLAB // 13th Symposium on System Identification. IFAC SYSID'03. Rotterdam, Netherlands, 2003. On CD-ROM. P. 995-1000.

79. Barraud A., Larminat Ph. de Minimal Realization and Approximation of Linear Systems from Normal Operating Records, // Proc. 3rd IFAC Symposium on Identification and System Parameter Estimation, Hague/Delft, TS-S, 1973. P. 953-956.

80. Beghelli S., Guidorzi R., Rossi R. External descriptions in the structural and parametric identification of linear and bilinear mutlivariable systems // Int. Conf. Inf. Sc. Syst., Patras, Greece, 1976.

81. Beghelli S., Guidorzi R.P. A new input-output canonical form for mul-tivariable systems // IEEE Trans. Automat. Control, 1976. V. AC-21. P. 692-696.

82. Beghelli S., Guidorzi R.P. Transformations between input-output multi-structural models-properties and applications // Int. J. Control, 1983. V. 37. P. 1385-1400.

83. Bingulac S.P. Identification of multivariable dynamic systems // Proc. 4th IFAC Symposium on Identification and System Parameter Estimation, Tbilisi, Georgia, North-Holland, Hague, 1976. Paper 21.3. P. 521-530.

84. Blessing P. Identification ot the input-output and noise-dynamics of linear multivariable systems // Proc. 5th IFAC Symposium on Identification and System Parameter Estimation, Darmstadt, Pergamon Press, Oxford, 1979. Vol. 1. P. 445-452.

85. Bonivento C., Guidorzi R. Parametric identification of linear multi-variable systems // Twelfth JACC, Washington University, St. Louis, Missouri, 1971. Paper No. 5-66. P. 242-249.

86. Bonivento C., Guidorzi R. Application of an identification method to distillation columns // Sixth Ann. Princeton Conf. Inf. Sci. Systems, Princeton Univ., New Jersey, 1972, P. 185-189.

87. Brunovsky P. A classification of linear controllable systems // Kiber-netika, 1970. No. 6. P. 176-188.

88. Clark J.M.C The consistent selection of a parametrizations in system identification 11 Proc. 1976 JACC, West Laffayette, 1976. P. 576-580.

89. Correa G.O., Glover K. Pseudo-canonical forms, identifiable parametrizations and simple parameter estimation for linear multivariable systems // Automatica, 1984. V. 20. Input-output models. P. 429-442. Parameter estimation. P. 443-452.

90. Dahleh M.A., Pearson J.B. /i-optimal feedback controllers for MIMO discrete-time systems // IEEE Trans. Automat. Control, 1987. V. AC-32. P. 314-322.

91. Denham M. Canonical forms for the identification of multivariable linear systems // IEEE Trans. Automat. Control, 1974. V. AC-19. P. 646-656.

92. Dickinson B.W., Kailath Т., Morf M. Canonical matrix fraction and state-space descriptions for deterministic and stochastic linear systems 11 IEEE Trans. Automat. Control, 1974. V. AC-19. P. 656-667.

93. Doyle J.C., Glover K., Khargonekar P.P., Francis B.A. State-space solution to standard H2 and Hoc control problem // IEEE Trans. Automat. Control, 1989. V. AC-34. No. 8. P. 831-846.

94. Fan J.C., Kobayachi T. Simple adaptive PI controller for linear system with constant disturbances // IEEE Trans. Automat. Control, 1998. V. AC-43. No. 5.

95. Furuta КHatakeyama S., Kominami H. Structural identification and software package for linear multivariable systems // Automatica, 1981. V. 17. P. 755-762.

96. Gauthier A., Landau I.D. On the recursive identification of multi-input, multi-output systems // Automatica, 1978. V. 14. P. 609-614.

97. Gevers M., Wertz V. Uniquely identifiable state-space and ARM A parametrizations for multivariable linear systems // Automatica, 1984. V. 20. No. 3. P. 333-347.

98. Gevers M.R. ARMA models, their Kronecker indices and their McMillan degree // Int. J. Control, 1986. V. 43. P. 1745-1761.

99. Glover K., Willems J. C. Parametrizations of linear dynamical systems: canonical forms and identifiability // IEEE Trans. Automat. Control, 1974. V. AC-19. P. 640-646.

100. Graebe S.F. Robust and adaptive control of an unknown plant: A benchmark of new format // Preprints of 12th World Congress of IFAC. Sydney, Australia, 1993. V. 3. P. 165-170.

101. Guidorzi R.P., Marro G. Partial identification of large-scale systems // Tenth Ann. Alerton Conf. Circuit Syst. Th., University of Illinois, 1972.

102. Guidorzi R.P., Rossi R. Identification of a power plant from normal operating records // Automatic Contr., Th. Applic. (Analheim, Calif.), 1974. V. 2. No. 3. P. 63-67.

103. Guidorzi R. Canonical structures in the identification of multivariable systems // Automatica, 1975. V. 11. P. 361-374.

104. Guidorzi R. Invariants and canonical forms for systems structural and parametric identification // Automatica, 1981. V. 17. P. 117-133.

105. Guidorzi R.P., Losito M.P., Muratori T. The range error test in the structural identification of linear miltivariable systems // IEEE Trans. Automat. Control, 1982. V. AC-27. No. 5. P. 1044-1054.

106. Hazewinkel M., Kalman R.E. On invariants, canonical forms and moduli for linear, constant, finite-dimensional dynamical systems. In Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems Theory, 1976, V. 131. P. 48-60, Springer-Verlag, New York.

107. Hazewinkel M. Moduli and canonical forms for linear dynamical systems, II: The topological case // Math. Systems Theory, 1977. V. 10. No. 4. P. 363-385.

108. Hazewinkel M. Moduli and canonical forms for linear dynamical systems, III: The algebraic-geometric case // Proc. of the 1976 NASA-AMES Conf. on Geometric Control Theory, Math. Sci. Press, 1977.

109. Hinrichsen D., Pratzel-Wolters D. Generalized Hermite matrices and complete invariants of strict system equivalence // SIAM J. Control, 1983. V. 21. P. 289-305.

110. Ho B.L., Kalman R.E. Effective construction of linear state-variable models from input/output functions. Regelungstechnic, 1966. V. 14. P. 545-548.

111. Hsia T.C. Identification: Least Squares Methods. Lexington Books, Lexington, Mass., 1977.

112. Irwin G.W., Roberts A.P. The Luenberger canonical form in the state/parameter estimation of linear systems // Int. J. Control, 1976. V. 23. No. 6. P. 851-864. (дополнение: Int. J. Control, 1979. V. 29. No. 3. P. 537-540.)

113. Kailath T. Linear systems. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1980. 682 p.

114. Keviczky L., Banyasz. Cs. Some new results on multiple input-multiple output identification methods // Proc. 4th IFAC Symposium on Identification and System Parameter Estimation, Tbilisi, Georgia, North-Holland, Hague, 1976.

115. Kollar I. Frequency domain system identification toolbox. Natick. MA. The MathWorks, 1994.

116. Kotta U. Structure and parameter estimation of multivariable systems using eigenvector method // Proc. 5th IFAC Symposium on Identification and System Parameter Estimation, Darmstadt, Pergamon Press, Oxford, 1979. V. 1. P. 453-458.

117. Kung S. A new identification method and model reduction algorithm via singular value decomposition // Proceedings of 12th Asilomar Conference on Circuits, Systems and Computers. Pacific Grove. CA, 1978. P. 705-714.

118. Lawrence P.J., Rogers G.J. Sequential transfer-function synthesis from measured data // Proceedings IEE, 1979. V. 126. No. 1. P. 104-106.

119. Levy E.C. Complex curve fitting // IRE Trans. Autom. Control, 1959. V. 4. P. 37-49.

120. Lilly J.H. Adaptive state regulation in the presence of disturbances of known frequency range // IEEE Trans. Automat. Control, 1998. V. AC-43. No. 7.

121. Liu K., Jacques R.N., Miller D.W. Frequency domain structural system identification by observability range space extraction // Proceedings of the American Control Conference. Baltimore. Maryland, 1994. V. 1. P. 107-111.

122. Liu R., Suen L.-C. Minimal dimension realization and identifiability of input-output sequences // IEEE Trans. Automat. Control, 1977. V. AC-22. P. 227-232.

123. Ljung L., Rissanen J. On canonical forms, parameter identifiability and the concept of complexity // Proc. 4th IFAC Symposium on Identification and System Parameter Estimation, Tbilisi, Georgia, paper 13.6, North-Holland, Hague, 1976. P. 58-69.

124. Ljung L. System Identification Toolbox: Manual, The MathWorks, Inc., Sherborn, Mass., 1986.

125. Luenberger D.G. Canonical forms for linear multivariable systems // IEEE Trans. Automat. Control, 1967. V. AC-12. P. 290-293.

126. Maroulas J., Barnett S. Canonical forms for time-invariant linear control systems: a survey with extensions. II. Multivariable case // Int. J. Systems Science, 1979. V. 10. P. 33-50.

127. Mathelin M., Bodson M. Canonical vs pseudo-canonical forms for the structural and parametric identification of multivariable systems // European Control Conference ECC'91. Grenoble. France, 1991. P. 1282-1287.

128. Mayne D.Q. A canonical model for identification of multivariable systems // IEEE Trans. Automat. Control, 1972. V. AC-17. P. 728-729.

129. Mayne D.Q. Parametrization and identification of linear multivariable systems, in: Stability ot stochastic dynamical systems, Lect. Notes Math., V. 294, Springer, Berlin, 1972.

130. McKelvey T. An efficient frequency domain state-space identification algorithm // Proceedings 33-rd IEEE Conference on Decision and Control. Lake Buena Vista. Florida. USA. 1994. P. 3359-3364.

131. Narendra K.C., Valavani L.S. Stable adaptive control design-direct control // IEEE Trans. Automat. Control, 1978. V. AC-23. No. 4.

132. Narendra K.C., Annaswamy F.M. Robust adaptive control in the presence of bounded disturbance // IEEE Trans. Automat. Control, 1986. V. AC-31. No. 4.

133. Niederlinski A., Hajdasinski A. Multivariable system identification // Proc. 5th IFAC Symposium on Identification and System Parameter Estimation, Darmstadt, Pergamon Press, Oxford, 1979. V. 1. P. 43-76.

134. Orlov Yu.F., Alexandrov V.A. Frequency adaptive controller CHAR-6 // Preprints of 2nd IFAC Symposium on Intelligent Components and Instruments for Control Applications. SICICA'94. Budapest, Hungary, 1994. P. 311-315.

135. Overschee P. Van, Moor B.De, Aling H., Kosut R., Boyd S. A fully interactive identification module for Xmath // Preprints of 10th IFAC Symposium on System Identification, 1994. V. 4. P. 1.

136. Overbeek A.J.M. van, Ljung L. On-line structure selection for multivariable state-space models // Automatica, 1982. V. 18. No. 5. P. 529-543.

137. Overschee P. Van, Moor B.De. Continuous-time frequency domain sub-space system identification // Preprints of 13th World Congress of IFAC, 1996. V. 1. P. 157-162.

138. Overschee P. Van, Moor B.De. Subspace identification for linear systems: theory, implementation, applications. Norwell, MA: Kluwer, 1996.

139. Parks P.C. Lyapunov redesign of model reference adaptive control system 11 IEEE Trans. Automat. Control, 1966. V. AC-11. No. 3. P. 362-367.

140. Pintelon R., Guillaume P., Rolain Y., Schoukens J., Van hamme H. Parametric identification of transfer functions in the frequency domain A survey // IEEE Trans. Automat. Control, 1994. V. AC-39. No. 11. P. 2245-2260.

141. Popov V.M. Invariant description of linear, time-invariant controllable systems // SIAM J. Control, 1972. V. 10. No. 2. P. 252-264.

142. Pratzel-Wolters D. Canonical forms for linear systems // Linear Algebra and its Applications, 1983. V. 50. P. 437-473.

143. Radenkovic M.S., Michel A.N. Robust adaptive systems and self stabilization // IEEE Trans. Automat. Control, 1992. V. AC-37. No. 9. P. 1355-1369.

144. Rissanen J. Basis of invariants and canonical forms for linear dynamic systems // Automatica, 1974. V. 10. P. 175-182.

145. Rosenbrock H.H. State-space and multivariable theory. -Wiley, New York, 1970.

146. Sanathanan С.К., Koerner J. Transfer function synthesis as a ratio of two complex polynomials // IEEE Trans. Automat. Control, 1963. V. AC-9. No. 1. P. 56-58.

147. Sinha N.K., Kwong Y.H. Recursive estimation of the parameters of linear multivariable systems, // IFIC Symp. Multivar. Technol. Systems, Fredericton, N. В., 1977.

148. Shinbrot M. On the analysis of linear and nonlinear systems // Trans. ASME, 1957. V. 79. P. 547-552.

149. Soderstrom Т., Stoica P. Instrumental variable methods for system identification. Lecture notes in control and information sciences. Springer-Verlag, New York, 1983.

150. Soderstrom Т., Stoica P. System identification. Prentice-Hall, Engle-wood Cliffs, New Jersey, 1989. 612 p.

151. Stoica P., Soderstrom T. Optimal instrumental-variable methods for the identification of multivariable linear systems // Automatica, 1983. V. 19. P. 425-429.

152. Suen L.C., Liu R. Determination of the structure of muhivariable stochastic linear systems // IEEE Trans. Automat. Control, 1978. V. AC-23. No. 3. P. 458-464.

153. Sun J., Ioannou P. Robust adaptive LQ control schemes // IEEE Trans. Automat. Control, 1992. V. AC-37. No. 1. P. 100-106.

154. Software demonstration sessions / Edited by Blanke M. and Soderst-rom T. // Preprints of 10th IFAC Symposium on System Identification. SYSID'94, 1994. V. 4. 36 p.

155. Tse E., Weinert H.L. Structure determination and parameter identification for multivariable stochastic linear systems // IEEE Trans. Automat. Control, 1975. V. AC-20. No. 5. P. 603-613.

156. Vanecek A. Control of Initially Unknown Plants // Kybernetika (Prague), 1977. V. 13. No. 6. P. 371-420.

157. Velis J. On-line identification of multivariable linear systems of unknown structure from input-output data // Preprints 2nd Prague IFAC Symp. Ident. Process Param. Estim., 1970. Pt. 1. paper 1.5.

158. Viberg M. Subspace methods in system identification // Preprints of 10th IFAC Symposium on System Identification. SYSID'94, 1994. V. 1. P. 1-12.

159. Whitfield A.H. Transfer function synthesis using frequency response data // Int. J. Control, 1986. V. 43. No. 5. P. 1413-1426.

160. Wolovich W.A. Linear multivariable systems. New-York: Springer-Verlag, 1974. 358 p.

161. Wong K. Y., Polak E. Identification of linear discrete time systems using the instrumental variable approach // IEEE Trans. Automat. Control, 1967. V. AC-12. P. 707-718.

162. Zhao X., Lozano R. Adaptive pole placement for continuous-time system in the presence of bounded disturbance // Preprints of 12th World Congress of IFAC. Sydney, Australia, 1993. V. 1. P. 205-210.

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00