автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Исследование уравнений конечно-частотной индентификации

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ И СПЛАВОВ (ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) ЭЛЕКТРОСТАЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ

На правах рукописи УДК 62-50

Орлов Юрий Феликсович

ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КОНЕЧНО-ЧАСТОТНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Специальность: 05.13.01 - управление в технических системах

(физико-математические науки)

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -доктор физико-математических наук профессор А. Г. Александров

Электросталь - 1999

1г

Г+1

Оглавление

Введение 4

1 Состояние проблемы и задачи диссертации 8

1.1 Частотная идентификация1 одномерных объектов............9

1.1.1 Параметрическая (МНК) идентификация

по частотным характеристикам..........................9

Детерминированный подход................9

Стохастический подход . . . .............................11

Общий подход к решению задачи..... ....... 11

1.1.2 Конечно-частотная идентификация....................11

Описание объекта .................... • 12

Частотные параметры................. . 12

Частотные идентификационные уравнения............13

1.2 Частотная идентификация многомерных объектов............14

1.2.1 Подпространство-основанная (МНК) идентификация

по частотным характеристикам....................14

Детерминированный подход..............................15

Стохастический подход....................................17

1.2.2 Конечно-частотная идентификация....................18

Описание объекта ..................... . 18

Матрицы частотных параметров........... . 20

Частотные идентификационные уравнения............21

1.3 Реализация алгоритмов частотной идентификации.....21

1.4 Задачи диссертации................................22

2 Идентификация одномерных объектов 24

2.1 Постановка задачи................................24

2.2 Идентификация в случае

р > п и д = 7 либо р = п и д>7..............................26

2.3 Гипотеза сократимости......... ....................28

2.4 Идентификация в случае р > п и д > у .... .......30

2.5 Структурное свойство частотных

идентификационных уравнений..................................32

2.6 Алгоритмы конечно-частотной идентификации....... . 34

3 Идентификация многомерных объектов 38

3.1 Постановка задачи................................................38

3.2 Структурные инварианты........................41

3.3 Идентификация по частотным параметрам . . ........43

3.4 Идентификация по оценкам частотных параметров.....48

4 Моделирование процессов идентификации 51

4.1 Пакет программ АДАПЛАБ......................................51

4.1.1 Назначение пакета и классы решаемых задач .... 51

4.1.2 Структура программ пакета..............................52

4.2 Моделирование процессов идентификации ВСОТР .....54

4.2.1 Алгоритм идентификации процессов ..............55

4.2.2 Моделирование процесса идентификации.......57

4.3 Частотные адаптивные регуляторы: идентификационный подход......................................58

4.3.1 Частотный адаптивный регулятор ЧАР-6.......58

4.3.2 Частотный адаптивный регулятор ЧАР-12......59

Заключение 62

Литература 63

А Приложение ко второй главе 72

А.1 Частотные идентификационные уравнения....................72

А.2 Доказательство утверждения 2.2................................75

А.З Доказательство утверждения 2.4................................76

А.3.1 Случай известной структуры..................77

А.3.2 Случай завышенной на единицу структуры......80

A.4 Доказательство утверждения 2.5................................84

В Приложение к третьей главе 87

B.1 Частотные идентификационные уравнения....................87

В.2 Доказательство леммы 3.1 ................... . 92

В.З Доказательство теоремы 3.1.......................93

В.4 Доказательство утверждения 3.1....................97

B.5 Доказательство утверждения 3.2....................97

С Приложение к четвёртой главе 99

C.1 Список директив пакета АДАПЛАБ..............99

С.2 Модульный состав пакета АДАПЛАБ.............103

С.З Интерфейс..............................106

С.3.1 Ввод исходных данных.................. . 106

С.3.2 Вывод результатов счёта................. 108

С.4 Пример работы в пакете АДАПЛАБ ..............108

С.4.1 Текст директивы 111.3..................108

С.4.2 Ввод исходных данных..................118

С.4.3 Протокол результатов счёта...............119

Введение

Актуальность темы

В последние несколько лет разрабатывается ряд методов идентификации линейных объектов при неизвестных ограниченных возмущениях. Эти методы используют рекуррентные целевые неравенства, либо подходы, основанные на методе наименьших квадратов. Их алгоритмы используют выход объекта, содержащий две неопределённые компоненты: одна зависит от неизвестных коэффициентов объекта, вторая от возмущения. В этих условиях точность идентификации ограничена, в принципе, и зависит от реализовавшегося возмущения.

Конечно-частотный метод, как и классические частотные методы идентификации, основан на использовании испытательных гармонических воздействий, позволяющих разделить указанные неопределённые компоненты выхода объекта, и благодаря этому достичь любой желаемой точности идентификации. Этот метод разработан в основном для одномерных объектов (объектов с одним входом и одним выходом) при известном порядке дифференциальных уравнений объекта.

Основу этого метода составляют частотные идентификационные уравнения, использующие частотные характеристики объекта. Настоящая работа посвящена развитию конечно-частотной идентификации на случай объекта неизвестного порядка и случай многомерного объекта.

Цель и задачи работы

Цель работы состоит в исследовании уравнений конечно-частотной идентификации, формируемых по частотным характеристикам при неизвестной структуре (порядке дифференциальных уравнений) идентифицируемой модели. Для достижения этой цели необходимо

1. Исследовать свойства идентифицируемой передаточной функции в зависимости от выбора структуры модели объекта неизвестного порядка.

2. Проанализировать влияние погрешности измерения частотных характеристик на коэффициенты идентифицируемой модели.

3. Исследовать совместность частотных уравнений, возникающих при идентификации многомерных систем, а также существование и единственность их решений.

4. Разработать пакет программ для численного анализа процессов конечно-частотной идентификации.

Методы исследования

Для решения этих задач был использован математический аппарат матричной алгебры, приёмы и понятия классической и методы современной теории управления, основанные на концепции пространства состояний, полиномиальных форм и частотных представлений.

Научная новизна

Научная новизна работы определяется следующими теоретическими, прикладными и практическими результатами, полученными лично автором.

Теоретические результаты

1. Доказано, что идентифицированные полиномы числителя и знаменателя передаточной функции объекта совпадают с истинными, если известна степень одного из этих полиномов, а предполагаемая степень другого полинома превышает истинную.

2. Доказано, что идентифицированные полиномы числителя и знаменателя передаточной функции объекта имеют общие корни, если обе предполагаемые степени этих полиномов превышают истинные.

3. Доказано, что сколь угодно малое изменение определённых коэффициентов матрицы частотных идентификационных уравнений позволяет исключить наличие общих корней.

4. Доказана теорема о связи структурных показателей наблюдаемости с матрицами частотных параметров многомерных систем.

5. Среди бесконечного множества её решений выделено единственное -каноническое представление, порождающее это множество.

6. Доказано, что система частотных уравнений идентификации многомерных систем всегда совместна.

Прикладной результат

Разработан пакет программ АДАПЛАБ для моделирования процессов конечно-частотной идентификации и адаптивного управления.

Практические результаты

1. Построены Частотные Адаптивные Регуляторы ЧАР-6 и ЧАР-12. Проведены их испытания с имитатором физического объекта, которые подтвердили эффективность частотной идентификации и адаптивного управления.

2. Пакет программ АДАПЛАБ использовался для моделирования процессов идентификации и адаптации в реальной системе термостати-рования.

Внедрение

Предлагаемые в работе алгоритмы реализованы в виде программ. Пакет программ АДАПЛАБ внедрён в учебный процесс. Он использовался, в частности, при выполнении научно-исследовательской работы по контракту с ракетно-космической корпорацией «Энергия» им. С. П. Королёва в рамках международного проекта «Морской старт».

Апробация работы

Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на 2-ой российско-шведской конференции по автоматическому управлению (Санкт-Петербург) и симпозиуме СЕТТГ95 (Куритиба, Парана, Бразилия), а также на семинарах МИСиС, МГУ, МЭИ и ИСА РАН.

По теме диссертации опубликовано 16 научных работ. Работы поддерживались грантом 095-01-00526а РФФИ.

Глава 1 Состояние проблемы и задачи дщссертащш

Идентификация объектов давно уже выделилась в самостоятельную область науки, с чётким «каркасом» ставших классическими направлений. Методы идентификации, условно, можно разделить на временные и частотные. Чаще всего они разрабатываются применительно к одномерным либо многомерным объектам. Ряд работ предлагает различные методы временной идентификации одномерных [24], [25], [40] и многомерных [41], [50], [60], [76] объектов и соответственно частотной идентификации одномерных [69], [78] и многомерных [66] объектов.

В последние годы развивается несколько подходов к идентификации объектов, подверженных неизвестным, ограниченным внешним возмущениям и помехам измерений: метод наименьших квадратов (МНК) [77]; рекуррентные целевые неравенства (РЦН) [36]; построение множества возможных моделей (МВМ) [62]; параметрическая идентификация по частотным характеристикам (ПЧИ) [69]; подпространство-основанная идентификация (ПОИ) [76]; конечно-частотная идентификация (КЧИ)

М-

Частотные методы идентификации основаны на использовании гармонических испытательных (пробных) воздействий, прикладываемых к устойчивому объекту при условии, что частоты этих воздействий не совпадают с частотами внешних возмущений.

Конечно-частотный подход, чьи уравнения исследуются в данной работе, позволяет использовать произвольные ограниченные внешние возмущения и расширить класс идентифицируемых объектов до неустойчивых.

У

1.1 Частотная идентификация одномерных объектов

Частотной идентификации одномерных объектов, основанной на методе наименьших квадратов, посвящена обзорная статья [69]. Наряду с МНК разрабатывается конечно-частотный подход. Ниже приведёно краткое описание этих подходов.

1.1.1 Параметрическая (МНК) идентификация по частотным характеристикам

МНК идентификация коэффициентов передаточной функции одномерного объекта по частотным характеристикам осуществляется в рамках детерминированного либо стохастического подхода. Детерминированный подход предполагает наличие «изолированного» объекта, в то время как стохастический подход рассматривает «реальный» объект, подверженный внешним возмущениям. Последний подход обеспечивает (строго доказанную) сходимость идентифицированной модели к «реальному» объекту лишь при «белошумных» внешних возмущениях и помехах измерения.

Детерминированный подход

Идентификация передаточной функции

цЛЛ = Ч*) = + М + • • • + Ь7-1*7-1 + 1 ; й(з) 1 + ах* + • • • + а^!»»"1 + апзп'

по набору N > п пар значений wf и ги]? (к = частотной характе-

ристики, построенной экспериментально на наборе частот Шк (к = 1, АГ) , впервые была осуществлена в 1955 году советскими учёными Рабкиным, Митрофановым и Штеренбергом [32]. Неизвестные (идентифицируемые, искомые) коэффициенты здесь и далее будем выделять чертой сверху.

Очевидным, при оптимальном выборе неизвестных («1, Й2, ..., ап; Бо, • • •, Ь7) или (ат, Ът) является (введённый в 1958 году Кардашо-вым [21]) критерий, минимизирующий ошибку

n

к = Е

к=1

ЮШъ) ( $ . .

2

= е*е. (1.2)

Несмотря на простоту критерия, минимизация ошибки (1.2) приводит к весьма трудоёмким вычислениям, поскольку вектор ä нелинеен в пределах модуля и следовательно, общая задача относится к семейству нелинейных наименьших квадратов. Решение последней приводит к процедуре подгонки по методу наименьших квадратов. Учитывая сей факт Леви [58] модифицировал в 1959 году эту процедуру, предложив в качестве минимизирующей ошибки выбрать

n _ „

KL = £ \ЧМ) - К + jwi) ä(jüjk)\2 = e*LeL. (1.3)

k=l

Взвешенная множителем \ä(jujk)\2 линейная задача наименьших квадратов асимптотически эквивалентна исходной нелинейной. Ясно, что такая взвешенность будет смещать установленную передаточную функцию, что отразится на её пригодности. Этот недостаток был устранён в 1963 году Саназананом (Sanathanan) и Кёрнером (Koerner). Они предложили итерационный подход, компенсирующий и асимптотически устраняющий любое смещение. В 1979 году Лоуренце (Lawrence) и Роджерс (Rogers) столкнулись с проблемой сходимости метода Саназанана и Кёр-нера. Ими был предложен рекурсивный метод решения линейной задачи наименьших квадратов. Недостатком этого метода является потребность в очень большом числе данных либо итераций.

Дальнейшие усовершенствования подхода проявились в наделении минимизирующей ошибки весом, модификации нормировки искомых коэффициентов, включении в модель известных особенностей системы, и т. д..

Стохастический подход

Идентификация пары |a(s), 6(s)| осуществляется по набору N > п пар оценок значений wf = wf + ef и wf = wf + sf (/с = 1, iV") частотной характеристики, построенной экспериментально на наборе частот шк (к = 1 ,N) , где ef и e]¡ (к — 1, N) - «белошумные» погрешности их определения (м (е® + = О) .

Предлагаемые критерии и их усовершенствования по большей части идут в параллели с развитием детерминированного подхода.

Общий подход к решению задачи

Решение задачи наименьших квадратов

пипУ"

ЧГ

п 2

(1.4)

. 3

параметрической идентификации по частотным характеристикам состоит в построении переопределённой системы линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов передаточной функции одномерного объекта

Ах = Ь,

и её формальном решении

х* = А^Ъ = (.АТА)~1АТЪ. (1.5)

Инверсия Мура-Пенроуза часто численно неустойчива. Для решения задачи применяют адаптированный под конкретный алгоритм, альтернативный подход [64] Нобле (1976), использующий методику преобразования Хаусхолдера.

1.1.2 Конечно-частотная идентификация

Приведём краткое описание конечно-частотного подхода к идентификации коэффициентов передаточной функции одномерного объекта.

Описание объекта

Полностью управляемый одномерный объект описывается обыкновенным дифференциальным уравнением вида

flni/(n)+fl„-i»M + - • -+ац/+у = Ц_1«(7_1) + - • -+М+М+/, (1.6)

где y{t) - измеряемый выход, u(t) - управляемый вход, f(t) - внешнее возмущение - ограниченная функция \f(t)\ < /* , где /* - заданное число.

Передаточная функция такого объекта имеет вид

= + + - + + где n>7. (L7)

w a(s) 1 + ßis +----(- an^\sn~l + ansn v 7

Оценка Co € R+ удовлетворяющая соотношению

lim y{t)e~Cot = 0 ~ Co > max{Re[roots a(s)]} (1*8)

определяет степень неустойчивости [5] объекта (1.6). Для асимптотически устойчивых систем Cq = 0. Значение Со далее будем считать известным так как его можно определить экспериментально.

Частотные параметры

Зададимся набором чисел

{si | Si = \+juJi £ С, üJi> 0 (г = 1~п), uJi^üJj {гфэ), А>С0>0}. (1.9)

Заметим, что условие Л > Со гарантирует, что S{ никогда не совпадёт с корнем полинома a(s) .

Частотными параметрами называется 2п набор чисел

OLi = Reiy(sj), ßi = lmw(si) г = 1,п. (1-Ю)

Оценки частотных параметров дц и Д- (г = 1 ,п) можно получить экспериментально. Для этого ко входу объекта (1.6) приложим испытательное воздействие

п

u(t) = ext Y, Pi smojit, (1.11)

г=1

где pi и üj{ (г = l,n) - амплитуды и частоты испытательного воздействия а Л - коэффициент экспоненциального взвешивания - заданные числа.

Выход объекта y(t) после умножения на е~м (экспоненциального взвешивания) подадим ко входу фильтра Фурье [40]. Последний даст оценки частотных параметров

2 т

dti — щ(т) =-J y(t)e~M sineOit dt

Рг2Т°т i = Tл (1.12)

ßi = ßi(t) = —J cos Uit dt

где r - время фильтрации.

Оценки частотных параметров при любых ограниченных внешних возмущениях обладают свойством [5] сходимости к частотным параметрам

lim а{(т) = а{, ИшД-(г) = Д- г = 1~п. . (1лз)

Частотные идентификационные уравнения

Частотные идентификационные уравнения можно получить из однородного тождества Безу

a(s)b(s) - b{s)a(s) = 0, (1.14)

если выразить его известную часть через передаточную функцию

b(s) — w(s)cl(s) = 0 (1.15)

и распространить полученное выражение на наборах (1.9) и (1.10). В конечном итоге распавшаяся по Ее и 1т система примет вид

71—1 . П

53 Re s\bj — 53 [Resjo>i — Ims]

a,j = Oii

Й I1 . . ¿ = (1-16)

1т Ъ] — 53 [1т аг + Re А] а 1 = /Зг-¿=1

Частотные идентификационные уравнения являются частным случаем частотных уравнений [5]. Их можно построить также по оценкам частотных параметров и Д- (г = 1, п) получаемым с выхода фильтра Фурье

71—1

53 Re s\ bj — 53 Re sj 6ii — Im sj ßi

a,j = a>i

¿1 .. . i = (1.17)

53 Im.s']&j — 53 Imff-c^ + ResfA aj = ßi 3=0 j=1

Из сходимости (1.13) оценок частотных параметров следует [38] сходимость оценок коэффициентов передаточной функции объекта.

Задача 1.1 [44] При известных степенях п и 7 найти коэффициенты полиномов ä(s) и b(s) по заданным значениям оценок частотных параметров.

1.2 Частотная идентификация многомерных объектов

Частотный подход к идентификации многомерных об