автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Задачи оптимального управления инвестициями и сбережениями

Общая характеристика работы

Основное содержание работы

Глава 1. Задачи оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями 23

§ 1.1.Постановка задачи. Условия оптимальности.23

§ 1.2.Методы решения линейных задач оптимального управления со смешанными ограничениями .25

1.2.1. Методы решения задач линейного динамического программирования . 25

1.2.2. Методы решения линейных задач оптимального управления со смешанными ограничениями в функциональных пространствах.20

1.2.3. Методы, основанные на декомпозиции по времени.28

§ 1.3.У чет фазовых ограничений в задачах оптимизации на конечном и бесконечном интервалах времени .31

1.3.1. Конечный интервал времени.32

1.3.2. Бесконечный интервал времени.36

Глава 2. Модели инвестиций 42

§ 2.1.Скользящее планирование.42

§ 2.2.Неопределенный горизонт планирования.43

§ 2.3.Модель поведения производителя.45

§ 2.4.Влияние распределения собственности в модели максимизации капитала . 49

§ 2.5.Максимизация капитала и неопределенный горизонт времени .50

§ 2.С.Модель Вольтерра-Солоу.52

§ 2.7.Особые решения.54

Глава 3. Модели оптимального поведения потребителей 58

§ 3.1.Формальная постановка задачи.58

§ 3.2.Поведение производителя при фиксированных внешних параметрах .01

3.2.1. Структура решения.01

3.2.2. Доказательство теорем.03

3.2.3. Упрощенная постановка задачи управления активами.72

3.2.4. Оптимальное соотношение между активами и спрос на деньги.74

§ 3.3.Расслоение домашних хозяйств.75

§ 3.4.Свойства решения задачи скользящего планирования.79

§ 3.5.Спш'уляно возмущенные уравнения.81

§ 3.0.Теоремы существования и единственности решений .83 3.0.1. Каноническая задача оптимального управления с гладкой зависимостью от времени.83

3.0.2. Теорема о существовании минимума.84

3.0.3. Теорема единственности.80

3.6.4. Задачи с параметрами.80

3.0.5. Теорема существования решений для нелинейных уравнений.87

3.0.0. Доказательство существования с использованием фазовых траектории 87

Глава 4. Методы решения линейных алгебраических систем 88 § 4.1.Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом простых итераций.88

§ 4.2.Метод Якобп.91

§ 4.3.Метод Зейделя.93

§ 4.4.Понятие о методе релаксации.98

§ 4.5.0 других итерационных методах решения СЛАУ.100

§ 4.0.0 роли ошибок округления в итерационных методах.104

§ 4.7.Матричная регуляризация систем линейных алгебраических уравнений . . . 100

4.7.1. Линейные операторные уравнения в унитарном пространстве.100

4.7.2. Метод поиска нормального решения.109

Литература 112

Приложение 1 119

Приложение 2 122

Приложение 3 125

Приложение 4 128

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задачи оптимального управления инвестициями и сбережениями в непрерывной постановке относятся к классу задач с фазовыми и смешанными ограничениями. Из известных методов решения указанных задач являются: прямые методы (спуск в пространстве управлений); метод вариации фазовых переменных; метод штрафных функций; метод приращении функционала; принцип максимума. В вычислительном плане наиболее точные результаты получаются с использованием принципа максимума. Однако применение принципа максимума требует решения ряда проблем, которые могут быть успешно преодолены но мере накопления опыта решения конкретных задач оптимального управления. Указанное обстоятельство связано, с одной стороны, со сложной формулировкой принципа максимума для задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями. Сложность математического аппарата не позволяет надеяться в ближайшее время на упрощение формулировки принципа максимума. С другой стороны, известно, что принцип максимума редуцирует исходную постановку задач к краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений, причем в таких задачах существует дополнительные алгебраические связи типа равенств и неравенств. В свою очередь краевая задача требует решения трех основных проблем: задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений; решение в каждой расчетной точке t задач нелинейного программирования; поиск нулей трансцендентных функций. Очень часто в принципе максимума возникает неединственность множителей Лагранжа, появляется вырожденный принцип максимума, а также возникает проблема момента схода с ограничения типа неравенств. Совокупность указанных условий определяет геометрию оптимальной траектории или, другими словами, множество активных индексов для ограничений типа неравенств. Еще одна проблема связана с нерегулярностью принципа максимума. Это приводит к появлению меры, что означает появление обобщенной функции в правой части сопряженных дифференциальных уравнений. Отсюда следует актуальность разработки методики решения задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями на базе принципа максимума.

Как известно, принцип максимума (ПМ) для простейшей нелинейной задачи оптимального управления был сформулирован JI.C. Понтрягиным и доказан В.Г. Болтянским. С тех пор появилось большое количество работ, посвященное ПМ в различных задачах оптимального управления [1-8].1 Наиболее глубокие и серьезные исследования были проведены в работах A.A. Милютина и А.Я. Дубовицкого. В этих работах теория ПМ была продвинута на широкий класс задач с фазовыми и смешанными ограничениями (в том числе и нерегулярными). По существу, проблема получения необходимых условий первого порядка для указанных задач в этих работах полностью решена.

При решении задачи Коши возникают так называемые жесткие уравнения, которые требуют применения специальных методов. Жесткость задачи является отражением того факта, что в рассматриваемом объекте протекают разиотемповые процессы. Участок быстрого начального изменения фазовой координаты называется пограничным слоем. Выделение жестких систем уравнения в отдельный класс вызвано трудностями их численного интегрирования классическими явными методами. Оказалось, что мшили шаг интегрирования, используемый в пограничном слое, не может быть увеличен вне пограничного слоя, хотя производная становится существенно меньше. Для устранения указанного ограничения были предложены различные методы, однако и в настоящее время проблема численного решения жестких систем остается актуальной. Это связано с увеличением классов решаемых

В общей .характеристике работы ссылки на цитируемую литературу относятся к литературе, список которой нрииедеи на странице 1-1 задач, общностью их постановки и разнообразием численных методов. Работы по созданию численных методов ведутся в двух направлениях. Первое направление связано с применением неявных схем (Ваннер Г., Хайрэр Э., Федоренко Р.П. и др.). Другое направление связано с расширением границ применимости явных схем (Лебедев В.II., Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б., Дпкусар В.В. и др.) Отметим также и скрытые формы проявления жесткости. Например, большой класс гладких оптимизационных конечномерных задач с трудом поддается решению традиционными методами первого и второго порядка из-за овражного рельефа поверхностен уровней. Исследования этого явления показало, что трудности связанные с жесткостью системы, описывающих траекторию наискорейшего спуска (Ра-китский Ю.В., Устцнов С.М., Черноруцкий И.Г. и др.).

Для предварительной оценки определения геометрии оптимальной траектории используют метод приращения функционала, а также дискретизацию исходной непрерывной задачи. В результате получается задача нелинейного программирования (НП) большой размерности. Важным частным случаем такой задачи является задача линейного программирования (ЛП). Задачам ЛП посвящено огромное количество исследовании. Первоначально исследования касались в основном симплекс-метода. В 1979 году появилась работа Л.Г. Ха-чияна, в которой к задачам ЛП применен принципиально новый алгоритм (так называемый метод эллипсоидов). Метод эллипсоидов был разработан A.C. Немировским, Н.Э. Шором и Д.Б. Юдиным. На базе предложенного алгоритма Л.Г. Хачшш доказал полиномиальную сложность ЛП. Однако этот метод оказался неконкурентоспособным с симплекс-методом. В 1984 году Н.К. Кармаркар предложил полиномиальный алгоритм, не только превосходящий метод эллипсоидов по эффективности теоретической оценки числа арифметических операций, но и конкурентоспособный с симплекс-методом на практике. Вскоре было обнаружено, что метод Кармаркара тесно связан с методом логарифмических барьеров Фиакко и Мак-кормпка (метод внутренней точки). 10.Г. Евтушенко и Ю.Д. Жадан распространили идеи проектирования градиента и метода барьерных функций на общие задачи НП. Несколько вариантов метода было реализовано программно и включено в библиотеку ДИСО. Следует отметить, что метод внутренней точки для задач ЛП следует из работ Ю.Г. Евтушенко и Ю.Д. Жадапа как частный случай, что подтверждается публикацией вышеупомянутых авторов в 1973 году. Отметим, что при решении задач оптимального управления методы дискретизации приводят к задачам ЛП большой размерности, которые как правило, плохо обусловлены. Для такого рода задач применяют специальные методы регуляризации (А.Б. Бакушипский, Л.В. Гончарский, Ф.П. Васильев и др.). В работах Мангасарьяна и его сотрудников (США) основное внимание уделялось нахождению нормальных решений в задачах ЛГ1. Поиску порм;и1ьиых решений также посвящена работа Голикова А.И. и Евтушенко Ю.Г. А.Е. Умпов сводил задачу ЛП к задаче негладкой оптимизации, зависящей от параметра. Для задач квадратичного программирования (КП) применяются конечные и итеративные методы (Поляк Б.Т., Дикусар В.В., и др.). Основные трудности решения указанных задач связаны с их плохой обусловленностью.

Отметим, что при решении ряда задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями принцип максимума вырождается, т.е. становится тривиальным. Последнее означает, что для исследования задачи необходимо применять высшие порядки. Многие авторы рассматривали этот вопрос в плане расширения границ применимости принципа максимума в вырожденных задачах (Дубовнцкий А.Я-., Дубовицкий В.А., Третьяков A.A., Измаилов А.Р., Арутюнов A.B. и др.). Их результаты в основном связаны с теоремами существования принципа максимума для вырожденного случая. Следует указать работы Днкусара В.В., который применил методы регуляризации структуры ограничений, что позволило распространить принцип максимума Щ) на вырожденные задачи. В плане высших порядков отметим работы Дмитрука A.B., Милютина A.A. и Осмоловского Н.П. Дмптрук A.B. получил условия второго порядка в задачах оптимального управления, линейных по управлению [7].

Целыо работы являются: разработка и исследование эффективных методов численного решения задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями; решение некорректных задач линейной алгебры; разработка методов оценки геометрии оптимальной траектории; разработка методов решения задач при наличии особых управлений.

Методы исследования. Схема Дубовицкого-Мшпотина, методы решения жестких система, методы решения некорректных задач линейного программирования, методы продолжения решений'по параметру, итеративные методы решения линейных алгебраических система.

Научная новизна работы. Расширение границ применимости известных методов для решения некорректных задач линейного программирования. Предложен метод возмущения для определения оптимального управления на особых режимах. Исследование и тестирование предложенных методов и алгоритмов выполнялось на базе модельных примеров и прикладных задач.

Практическая ценность определяется универсальностью предложенных алгоритмов для решения некорректных задач. Самостоятельную ценность представляют две важные практические задачи: оптимальное управление инвестициями и сбережениями.

Аппробация работ. Результаты диссертации докладывались и обсуждались в Математическом институте имени В.А. Стеклова РАН, ВЦ РАН, ИММ РАН, ЦЭМИ РАН, MATH, МАИ, МФТИ, ИСА РАН, ИПУ РАН, а также на "Понтрягинских чтениях - XIII" (Воронеж 3-9 мая 2002 г.) и па Международной математической конференции "Ерупшские чтения —VIII" (Брест, Беларусь, 20-23 мая 2002 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1-4], список которых приведен в конце общей характеристики работы.

Личный вклад диссертанта. Все результаты, вынесенные автором на защиту, получены самостоятельно. В работах, выполненных в соавторстве, диссертанту принадлежат все результаты, кроме постановок основных задач.

Объем и структура диссертации. Диссертация содержит 130 страниц текста, включая рисунки. Текст разделен на введение, 4 главы, заключение, 4 приложения и списка литературы из 115 наименований.

Заключение

1. Предложен способ линейной аппроксимации производственной функции с учетом фазового ограничения.

2. Предложен метод возмущения для определения оптимального управления в случае особого режима.

3. В задачах оптимального управления инвестициями и сбережениями использована модель Лотки-Вольтерра для численности трудовых ресурсов.

4. Введена линейная функции полезности.

5. Предложен новый функционал полезности потребления на бесконечном интервале времени.

6. Предложена матричная регуляризация линейной системы для решения некорректной задачи линейного программировании.

7. Решены две важные; практические задачи.

Приведенные примеры расчетов показали эффективность разработанной мелодики д. л я выделенного класса задач.

В] = АА']В + В

29) уточнить по формуле

Вк+[ = [Е + А-'А] 1 (Вк + В + АА-{В).

30)

1. Афанасьев А. П., Дикусар В. В., Милютин А. А., Чукапов С. А. Необходимые условия в оптимальном управлении. М.: Паука, 1990.

2. Кривобок II. Г. Методы решения линейных динамических задач экономического планирования, основанные па декомпозиции по времени. Автореферат диссертации на соискание ученой степени к.ф. м.п. М.: МФТИ, 198G.

3. Милютин А. А., Илкп'овпч А.Е., Осмоловский Н.П., Чукапов С. В. Оптимальное управление! и .линейных системах. М., Наука, 1993.

4. Шмидт А. Г. Учет фазовых ограничений в задачах оптимизации па конечном п бесконечном интервалах времени // Математическая экономика и функциональный анализ. М.: Наука, 1974. С. 233 247.

5. Асеев С.М., Кряжимскпп А. В., Тарасьев A.M. Принцип максимума Поптрягииа и условия трансверсальности для одной задачи оптимального управления па бесконечном интервале // Труды матем. ппст. им. В.А. Стеклова, 2001. Т. 233, С. 71 88.

6. G. Бродский Ю.И. Необходимые условия экстремума в задачах оптимального управления. Автореферат диссертации па соискание ученой степени к.ф. м.п. М.: МФТИ, 1979.

7. Дмитрук А. В. Квадратичные условия Понтрягинекого минимума для особых экстремалей в задачах оптимального управления. Автореферат диссертации па соискание ученой степени д.ф.-м.и. Санкт-Петербург, СПГУ, 1993.

8. Дикусар В. В., Милютин А. А. Качественные и количественные методы в принципе максимума. М.: Наука, 1989.

9. Гуриев С.М. Некоторые математические модели формирования инвестиций и сбережений. Автореферат диссертации па соискание ученой степени к.ф. м.п. М.: ВЦ РАН, 1994.

10. Пелнх В. И., Пелнх С. В. Железное правило экономического роста, введенное из моделей"! Вольтерра и Со.лоу. Труды кафедры математического анализа и теории функций Волгоградского госуд. университета. Волгоград: ВГН, 2002.

11. Дикусар В. В., Кошька М., Фигура А. Методы продолжения решений по параметру. М.: МФТИ, 2001.

12. Дикусар 13.В., Кошька М., Фигура А. Количественные и качественные1 методы в задачах оптимального управления е: фазовыми и смешанными ограничениями. М.: МФТИ, 2001.

13. Вуйтешич М., Гживаченский М., Дикусар В.В., Калешок A.B., Кошька М., Фигура А. Методы интегрирования жестких систем обыкновенных дпе1к}>еренцпалм1ых уравнений. М.: МФТИ, 2002.

14. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и не'лпне'йпые уравнения. М.: Высшая школа, 2000.

15. Публикации по теме диссертации

16. Дикусар В.В., Рудецка Гутковска С. Оптимальное управление инвестициями и cuе-режепиями // Журнал "Исследование операции (модели, системы, решения)". М.: ВЦ РАН, 2001. С. 20 31.

17. Дикусар В.В., Рудецка Гу гконска С. Задачи оптимального управления инвестициями и сбережениями. "Понтрягинские чтения XIII" // Современные методы в теории краевых задач. Воронеж, 3 9 мая 2002 г. Тезисы докладов. 1 стр.

18. Дикусар В.В., Рудецка- Гутковска С. Методы интегрирования сингулярно-возмущенных уравнений. Международная математическая конференция. "Ерупшскис чтения VIII". Брест, Беларусь, 20 23 мая 2002 г. Тезисы докладов, 1 стр.

19. Дикусар В.В., Рудецка Гутковска С. Матричная регуляризация систем линейных алгебраических уравнений// Журнал "Исследование операций (модели, системы, решения)". М.: ВЦ РАН, 2002. С. 19-27.1. Введение

20. Об иррациональном поведении поведении см., например, |4.максимизирующую значение заданного функционала. Однако при попытке сформулировать экстремальный принцип дли задачи распределении ресурсов во времени возникают две серьезных проблемы.

21. Отметим, однако, чте) многие результаты, получечшыо в работе! 10) для функций СГША, н.м(!К)т место и д.чи произвольных иошутых (функций иеии'чнеЧтн.

22. Формирование предложения сбережений неотделимо от формирования спроса на деньги. Традиционно, в экономической теории (|34|) сирое па деньги обуславливается двумя факторами:

23. Опцхщионный спрос па деньги возникает, поскольку деньги служат средством платежа. Операционный спрос па деньги был впервые проанализирован И. Фишером 35.

24. Ограничения вида рС < М/т называюте:я ограничениями ликвидное:™ 25.' Отме'тим, что в экономической теории до сих пор не существует общепринятого езднозпачнеич) опре>

25. Следует отметить, впрочем, работу |43|, в которой предпринята относительно успешная попытка разработать последовательное определение .ликвидности.

26. Глава 1. Задачи оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями

27. Рассматривается следующая задача оптимального управления 511:-/:(/.) = A(t)x(t) + B(t)u(1.), *(()) = t G 0,T.; (1.1)

28. C(t)u(t) < D(t)x(t) + f(t), «(/.) > 0; (1.2)

29. Задача с терминальным функционалом является достаточно общей, поскольку задача с интегральным функционалом:т

30. C(t)u(t.) < h(t) + j I<{t, т)и{т)(1т, y{t) > 0; (1.4)оогде h(t) = /(f) + Dt)X(t)x°; K(t, т) = й{1)Х(1.)Х~1{т)В{т).

31. Сделаем следующие предположения относительно задачи (1.1) (1.3).предположение 1.1 Матрица C(t) такова, что множество U(.т(/.), /.), задаваемое ограничениями (1.2), ограничено для любого X'(/.).

32. Это "предположение" известно в литературе , как условие; Слейтера.

33. Зденл. dtт = da¡) + das мера, сингулярная по отношению к мере .Небела и ечк'гоящая из дискретной меры <la¡j, и непрерывной сингулярной ме:ры das

34. ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ 1.3 Оптимальное решение задачи (1.1) (1.3) не' пмечп' фазовых те>10Это предпо.'юженне вьпюлнелю, например, в задаче динамическелч) межотраслевого баланса, рассмотренной в |54|.

35. Условия дополняющей пежесткости представляются в эквивалентной форме в виде; принципа максимума:€ U°{x*{t), p*(t), t) = Argmax{p*(t)B(t)u \ и e U(x*(t), /)};

36. U(x(t), t) = {u I C(t)u < D(t)x(t) + I(t), и > ()}; U'Jj

37. G íl°(p*{t), x*(/.), t) = АгКшшМЯ(ф:*(/.) +/(/.). | и> £ «(//(/). /.)};0 = I uiC(t) > p(t)B(t), и > ()}. li'iUJ§ 1.2. Методы решения линейных задач оптимального управления со смешанными ограничениями

38. Назовем конечно-разностным аналогом задачи (1.1)-(1.3) следующую задачу:

39. Х" + > ~ = + Вкик, ту = А' ~ 0.Л' I;т

40. Задача (1.11) известна в литературе как задача линейного динамического программирования (ЛДП).

41. В свою очередь, в методах решения задач в функциональных преклрапетвах также можпе) выделить две группы методов:- методы, основанные на идеях математического программирования;методы, оопоияиные на декомпозиции задачи по времени.

42. Задача (1.4) (1.5) записывается в операторной форме следующим образом:1. < h, и > 0, и £ L™0,T.; (с, и) —> шах;где (•,•) означает интеграл от 0 до Т, a L — линейный оператор из (1.4).

43. Внеся в операторное неравенство условие; неотрицательности «(/.) и ограничение снизу па величину функционала, получаем следующую задачу поиска дешустпмого решения:1.<h, меО),Т. (1.12)

44. Функциональные методы можно разделить на два класса по наименованию пространства, в котором строятся итерационные схемы |69).

45. Первый класс методов прямые методы (итерационные схемы работают в пространстве искомых функций управлений и фазовых координат), например методы, связанные; с введением штра(})пе>го е.)ункциопала J ТС) J:1. F = (Lu h}+, [Lu-h}+),где z}+ = шах{(), z}.

46. F = {(L*A, L*А) + 1 + (//., А.2}, где; L* оператор, сопряженный к L , а искомое допустимое; решение; выражаете:» через А*:1. А* ! + (/',, А*).' 'и.)!! уе:ловпи, что 1 + (/».,, А*)] ^ 0, в противном случае задача (1.12) неразрешима.

47. В отличие от вышеуказанных методов, существуют методы, которые оперируют одновременно и с прямыми, и с двойственными переменными. Двойственная задача к задаче; (1.4)-(1.5), в операторной форме записывается в виде:р, Л.) —> шт.

48. Тогда задача поиска оптимального решения исходной задачи сводится к задаче поиска допустимого решения следующей задачи:

49. Н{х, и, t, р) = ~f°{x, и, i) и, t).

50. В основу метода положена известная (формула Розоноэра 80. для приращения функционала:j

51. Д J(и) = j AvH{x, и, р, t) dt, + Я;огде AvH{x, и, р, t.) = Н(х, v, р, t) Н{х, и, р, /,); В. = о(||Ax(i)||r); a p{t.) удовлетворяет системе:p{t) = -Н'х{х, и, р, г),при начальных условиях:р(Т) = -Fi(x)х=х(Т,и)

52. Здесь Д J(u) -- приращение функционала на траектории x(v(t.), t) по отношению к значению функционала па траектории x(u(t), t).

53. Д./ = -AvH(x(0), и(в), р(в), 0)е + о(е).

54. Пусть на исходной траектории u(t,), x(t), u(t) принцип максимума ne выполняется на некотором множестве положительной меры: М(0) G 0,Т. Тогда существует множество M (a) G М{0):1иах{Д„//(x(t), u(i), p{t), t) I v G V) > a, t. G M{a).

55. Bi,i6ep<!M 0, 0 + c. G M (а) и построим игольчатую вариацию. Тогда при достаточно малом е получим Д./ < 0.

56. Новое управление ui(t.) в данных методах ищется в форме синтеза. По известной допустимой траектории x(t.), 4i{t) построим функцию синтеза:u(t, х) = G(t)D(t)x(t) + f(t)}. (1.13)

57. Тогда траектория х(t) удовлетворяет уравнению:i = A{t)x{t) + B{t)G{t)l{t.y, A{t) = A{t) + B{t)G(t)D(t). (1.14)

58. Вариация матрицы 5G(t) порождает вариацию управления:

59. SJ = J {II(x(t), (G(t) + 6G(t))(D(t)x(t) + f(t)), /7(0, t)~ оT

60. H(x(t), G(t){D(t)x(t) + f(t),p(t), t).dt = Jp(t)B(t)Su(t)dt-, (1.15)огде p(t), w(t) удовлетворяют соотношениям:p(t) = -p(t)A(t)-u(t)D(t), p(T) = c;u(t)=p(t)B(t)G(t). >

61. Полученная формула приращения функцпоп^иш может рассматриваться как аналог формулы Розоноэра для задач со смешанными ограничениями.

62. В работе |74. предполагалось, что в задаче (1.1)—(1.3) отсутствуют особые режимы.

63. Методы, основанные на декомпозиции но времени, в частности методы, основанные; на идеях прогонки, имеют ряд достоинств.

64. Во-первых, как уже; указывалось во введении, эти методы позволяют находить одновременно с решением прямой задачи и решение двойственной, что особенно важно для анализа чувствительности критерия качества (функционала) от параметров задачи.

65. В-третьих, в методах прогонки на каждой итерации управление и соответствующая ему (фазовая траектория являются допустимыми, в смысле ограничений (1.1)--(1.2). Это важное свойство позволяет прервать итерационный процесс метода на любой итерации.

66. Пусть состояние экономического процесса (или экономической системы) описывается в момент времени £ с помощью вектора х(1). В качестве такого вектора обычно берут вектор основных фондов (капитала).

67. В качестве функционала для оптимизационной задачи рассмотрим функционал смешанного типа:7'

68. Да:, и) = I ЩхЩ, «(*). Л + ^х(Г). (1.19)о

69. Введем теперь функцию Гамильтона в следующем виде:

70. Н = U(х, и, t)+pf(x, и, í), (1-20)где р — вектор сопряженных переменных (цен).

71. Задача (1.17)-(1.19) вместе с соответствующими условиями трансверсальности представляет собой частный случай общей оптимизационной задачи Больца. Сформулируем для нее принцип максимума.

72. ТЕОРЕМА 1.2 Пусть и* (t) максимизирует па интервале 0,Т. функционал (1.19) при условиях (1.17) и (1.18). Тогда существует такой вектор цеп p{t), что для любого t выполняются следующие условия:a) u*(t.) максимизирует (1.20);1. ОН

73. Г))Р = --ГГ~ пРи * =-Ач> Р = Р(Ч;их ОУа) р{Т) = —— при х = х(Т) (условие трансверсальности). их

74. Предыдущая теорема может быть теперь сформулирована в следующем виде:

75. В этом примере С и Т являются управлениями, а К — фазовая координата.

76. Приведем теперь некоторые нестрогие рассуждения, которые показывают, как Теорема 1.3 обобщается на случай ограничений (1.24).

77. Пусть теперь для некоторого и*, максимизирующего //(:/;, и, р, t) при условиях (1.24) (•«* = и*(х, р, /,)), имеет место строгое; неравенство1. Ft{x,u*,t)> 0. (1.28)

78. Тогда <.* = 0, причем это равенство останется справедливым и для достаточно малых изменений любой компоненты вектора х, поэтому = 0. Таким образом, в общем случае1. Ох^

79. Гг{х, и, /,) ^ = 0 для всех г. (1.29)их,

80. Из (1.25) и (1.27) следует, что

81. Ь(х,и*,р,д*^,)=Н(х,и*,р^.). (1.30)

82. Равенство (1.30) есть тождество по х для любых р, I. Поэтому имеем:1Ь{х, и*,р, <?*,*) йН(х, и*, р, 0 ^йх (1х

83. Используя (1-26) и (1.29), нетрудно видеть, что1Ь{х, и*,р, д*, I) 0Ь | ОЬ 01Г + дЬ Од* йх Ох Оа Ох Од Ох1. ОЬ „ . Од* ОЬ , п„ч— + и*,1)-ф- = —. (1.32)1. Ох Ох Ох

84. Если максимум Н достигается во внутренней точке, тойН{х, ц*,р, I) йН ^ ОН Ои* ОНйх Эх ди дх, Охи (1.31) принимает вид1. ОЬ ОН Ох Ох

85. В общем случае уравнение (1.31) будет следующим1. ОЬ ОН) дх Охгде1.33)

86. Я0(я, р, t) = Н(х, и*, р, t).

87. Исходя из этого, естественно поэтому в формулировке принципа максимума с (фазовыми ограничениями уравнение для цен обобщить следующим образом:р = -~ при х = x(t), u = u*{t), p=p(t). (1.34)1. Ox

88. Сформулируем теперь с учетом (1.24), (1.25), (1.2G), (1.27) и (1.34) принцип максимума для случая фазовых ограничений в форме Эрроу.

89. ТкоРЕМЛ 1.4 Пусть u*(t) максимизирует па интервале 0,Т. иптецшлг1.Ux{t), u{t)i.dtпри условия (1.17), (1.18), (1.24) 11 условии х(Т) > 0. Пусть также огртичения (1.24) удовлетворяют указанным выше условиям.

90. TlCOl'KMA 1.5 Если функция Hl)(x, р, t) вогнута по х для данных р и /., то уп.>аалеинс u(t), удовлетворяющее условиям Теоремы 1.4 (или Теорем 1.2 и 1.3), является оптимальным (для соответствующей задачи).13.2. Бесконечный интервал времени

91. Трудовые: ресурс.ы считаются здесь постоянными, а амортизации основных с.юпдов не учитывается. В этом случае мы имеем1. Н = и{С)е~+ р11.= U{C)e-i" + pi + (¡{PK -С-I),где q — множитель Лагранжа. УсловиядЬ п 01 п -=0, ^=0 дают1. U'{C)e-pt = ч = р. (1.38)

92. Тогда уравнение (1.36) с учетом (1.38), (1.39) и (1.40) принимает вид:еР-р)11. К = РК--. (1.41)1. Ро

93. Общее решение уравнения (1.41)0.р)11. К = Aeßi +evдаозависит от двух произвольных постоянных: А и ро- Эти постоянные нужно выбрать таким образом, чтобы выполнялись условие трансверсальности lim рК = 0 и начальное условиеi—>оо

94. Ь = и {С) + (р — ?/)/ — ЦС + ц/(К); и'(С)=р, (1.42)где Г. -- множитель Лагранжа.

95. Пусть решение (1.42) есть С = С(р). Тогда легко видеть, что1. К = 1(К)-С{р)- (1.43)1. Ь={р-Г{К).р. (1.44)

96. Уравнения (1.43), (1.44) имеют точку равновесия, определяемую равенствами К = 0. р = 0, т.е.= С(р), }'{К) = р.

97. Обозначим ее через (К*, р*).

98. Итак, оптимальная траектория должна удовлетворять уравнениям (1.43), (1.44). начальному условию и условию трансверсальности. Результаты удобно изобразить на следующей фазовой диаграмме;.

99. Через точку равновесия (К*, р") проходит еще одна интегральная кривая уравнений (1.43), (1.44), однако можно показать, что она не является оптимальной.

100. Под инвестицией в периоде £ мы понимаем вектор I следующего вида:1 = xt 1.

101. Множество производственных возможностей St.(xt-i) 6 Еп+Х состоит из всевозможных векторов (</t, /f), которые можно реализовать в периоде; t из данного состояния :£(. Другими словами,1. Jи ~xt-i) G Dt{xt-i).

102. Назовем траекторию {xri }т>г достижимой из если существует последовательность {(</т, /т)}тх, удовлетворяющая соотношенияме/т, 1Т) € ST{xT-1); хт хт-\ = 1Т

103. Пусть множество Si(x) обладает следующими свойствами:

104. St(x) непусто, замкнуто и ограничено для всех х > 0;

105. Множество достижимости At(xо) определим как совокупность всех xt, находящихся надопустимых траекториях, достижимых из х-ц. Из условий 1 и 4 следует, что Л/(хо) выпуклое ограниченное множество.

106. Следующее условие является динамическим обобщением известного .условия продукта ности экономической системы в статическом случае. Для всех /, = 1,2,. существует хот: бы один xt > 0, удовлетворяющий условиюi е ^t(xo). (i--*

107. Mt(pt, xt-i) = шах Ht(pt, <j, I).

108. Функция Mt(pt, x) при любом фиксированном есть вогнутая функция от х > 0. При всех этих предположениях имеет место следующая теорема.

109. РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВ: :Н1ДГГ БИБЛИОТЕК/

110. Глава 2. Модели инвестиций§ 2.1. Скользящее планирование

111. Рассмотрим экономического агента, максимизирующего значение аддитивного функционала

112. EJ = / Se~bI (IT / u(x(t))dt. (2.2)1. J о Jo

113. Переставив местами интегралы и вычислив интеграл по Т, получаем• оо

114. EJ = / u(x(t),s,p(t))dt (2.3)1. J)

115. Групповые свойства экспоненциальной функции сильно облегчают процедуру скользящего планирования для функционала (2.2) по сравнению с функционалом с функцией дисконтирования общего вида Ь(г, ¿). Действительно, если ввести функцию Беллмапа

116. Данное соотношение показывает, что если прогноз изменения внешних переменных оправдывается, то для определения оптимального управления необходимо в каждый момент времени решать одну и ту же задачу (2.2) 10.

117. Предположим, что капитал К амортизируется с темпом а и восстанавливается за счет капиталовложений I1. К = -аК + I.

118. Капиталовложения могут финансироваться за счет нераспределенной прибыли рУ — хЬ — гВ или за счет эмиссии новых ценных бумаг (облигаций) 5В:пр1 = рУ вЬ-тВ + бВ.

119. П(а■ р) = шах 1 '-= шах /) Ь р. (2.4)рК 1>0 ' '

120. Будем считать, что производственная функция неоклассическая, то есть выполнены следующие условия:= 0, /(оо) = оо, /'(0) = оо, /'(оо) = 0, /' > 0. ./" < 0. (2.5)

121. Уравнение для изменения К и ограничения на управления В и L записываются следующим образомk = -aK + F(K,L)-S-± + ?^., (2.8)1. Р Р1. В = и (2.9)0 < и < й, Ь > 0, рК >оВ (2.10)

122. Здесь й — число, ограничивающее сверху эмиссию ценных бумаг (например, превышающее физически возможный спрос на ценные бумаги).

123. Из однородности производственной (функции следует, что в каждый момент времени соотношение между трудом и капиталом определяется из задачи максимизации текущей прибыли1(1)= аг§шахГ(1,1) (2.11)к \р; 1> о р1

124. При этом валовая прибыль равнарР{К,Ь)-зЬ = рш(^. (2.12)

125. Проинтегрируем уравнения (2.8)-(2.10) и определим значение критерия (2.6)ггдер{Т)К{Т) = е^+г)г|р(0)К0 + <r(0) j е(7*+г~")гхх«(<)-2-2-2—ъ-dt >, (2.13)7тг + г----iа7тт = П ( ^ — а. (2.14)