автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Модели потребления и вопросы оптимального управления

Российская Академия Наук

Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН

На правах рукописи УДК 517.977

Меерсон Алла Юрьевна

МОДЕЛИ ПОТРЕБЛЕНИЯ И ВОПРОСЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 05.1.3.01 - системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2004

Работа выполнена в Вычислительном центре им. академика А. А. Дородницына Российской Академии Наук.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В. В. Дикусар

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А. П. Афанасьев; кандидат физико-математических наук, доцент В. Б. Гусев

Ведущая организация: Центральный экономико-математический институт РАН

Защита состится «24» июня 2004 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д.002.226.02 Института проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН

Адрес: 117997 Москва, Профсоюзная ул., д. 65 С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПУ РАН Автореферат разослан «_»_2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

к. т. и. В. Н. Лебедев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Потребление является одним из важнейших понятий рыночной экономики. В экономически развитых странах потребители уже давно рассматриваются как принципиально важная часть национальной экономической системы, которая представляет интересы всего населения и учитывается во всех процессах макрорегулирования и статистической отчетности.

Использование классических регрессионных моделей для анализа и прогнозирования характеристик потребительского поведения в наших сегодняшних условиях чрезвычайно затруднено ввиду невозможности получения достаточно длинных и стабильных временных рядов значений основных макроэкономических переменных. В связи с этим несомненный интерес представляют модели, для которых могут быть пригодны единовременно полученные данные. Именно такая модель и предлагается.

Совершенно очевидно, что такое моделирование невозможно без выявления устойчивых связей между доходом, потреблением и накопленными сбережениями. Необходим также принцип, на основании которого регулируется потребление. Этот принцип основывается на понятии скользящего планирования и удобно формулируется на языке теории оптимального управления.

С другой стороны теория оптимального управления, основанная на принципе максимума, проникает в различные области научного знания, в том числе и в различные экономические вопросы. Ясно, что она должна быть основным аппаратом в моделях потребления.

Цель работы. Основной целью работы является выявление и исследование устойчивых зависимостей между доходом, накопленными сбережениями и потреблением и построение математической модели поведения потребителя в соответствии со скользящим планированием с применением теории оптимального управления при наличии фазовых ограничений.

Научная новизна и ценность работы. Отметим, что подход к изучению поведения потребителя с помощью принципа максимума Понтрягина уже применялся в недавних работах С. М. Гуриева, А. А. Петрова, И. Г. Поспелова, А.

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ

БИБЛИОТЕКА С 01

А. Шананина. Настоящая работа дополняет и обобщает цикл работ указанных выше авторов, касающийся лишь математических моделей потребления и оптимального управления. В работе рассмотрены вариационная задача, задача Понтрягина, вариационная задача с фазовым ограничением, задача Понтрягина с фазовым ограничением (задача Дубовицкого - Милютина). Впервые найден объект, который назван в работе индикаторной функцией, свойства монотонности которой позволяют сформулировать простые достаточные условия, когда решение какой-либо из названных выше задач автоматически удовлетворяют фазовому оганичению, означающему неотрицательность накопленных сбережений.

Результаты настоящей работы могут быть использованы в стратегическом управлении и планировании макроэкономических процессов в стране. Кроме того, разработанная аналитическая техника может быть использована в экологии для определения оптимального размера популяции какого-либо вида живых существ.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной научно-технической конференции и Российской школе молодых ученых и специалистов, посвященная 60-летию МГТУ МАМИ «Системные проблемы качества, математического моделирования и информационных технологий» (Москва - Сочи, 1999 г.);

на Международном научном симпозиуме «Автотракторостроение. Промышленность и высшая школа» (Москва, МГТУ «МАМИ», 29-30 сентября 1999 г.);

на Международной конференции и Российской научной школе «Системные проблемы качества, математического моделирования, информационных, электронных и лазерных технологий». (Москва -Сочи. 2001);

на Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». (Дубна 2001 г.);

на XXXIX Международной научно-технической конференции ААИ. «Приоритеты развития отечественного автотракторостроения и подготовки инженерных и научных кадров» (Москва, МГТУ «МАМИ» 2002 г.);

на научном семинаре отдела Института математического моделирования РАН под руководством доктора физ.-мат. наук А. П. Михайлова;

- на научном семинаре ВЦ РАН «Методы нелинейного анализа» под руководством доктора физ -мат наук, профессора Е А Гребеникова,

- на научном семинаре ИСА РАН под руководством доктора физ -мат. наук, профессора А. П Афанасьева;

- на научном семинаре в ЦЭМИ

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 11 работах.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа объемом 113 страниц состоит из введения, двух глав и заключения Библиография содержит 81 наименование

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сначала в общей постановке формулируется задача оптимального управления потреблением, состоящая из уравнения связи, которое включает в себя зарплаты и пенсии, потребление, накопленные сбережения и процент по наличным деньгам; функционала, выражающего интегральную дисконтированную полезность потребления, который нужно минимизировать, граничных условий на концах временного интервала; ограничений на потребление, которое мы считаем управление, и фазового ограничения, означающего неотрицательность накопленных сбережений.

Далее, приводится индикаторная функция, которая весьма удобна для получения достаточных условий, при которых удовлетворяется фазовое ограничение

Затем, приводится разъяснение, что понимается под вариационной задачей с фазовым ограничением, что понимается под задачей Л С. Понтрягина, а что под задачей А. Я Дубовицкого - А. А Милютина.

Эффективность применения индикаторной функции основано на представлении для накопленных сбережений вариационной задачи с фазовым ограничением, которое справедливо в предположении, что потребители оценивают полезность потребительских расходов монотонной вогнутой функцией, которая описывает постоянное отвращение к риску по Эрроу-Пратту.

Приводится также представление для функции потребления вариационной задачи с фазовым ограничением.

После этого показано как выражается функция потребления задачи Л. С. Понтрягина с фазовым ограничением, и как через нее выражаются соответствующие ей накопленные сбережения.

В конце введения кратко описано множество примеров, которые будут приводиться в настоящей работе.

В первой главе, приводятся результаты моделирования зависимости потребления от дохода и накопленных сбережений на основе принципа максимума. На основании принципа максимума Понтрягина дается формулировка и точное решение задачи максимизации потребления. Роль оптимального управления в оптимизационной задаче, на которой основано моделирование играет функция потребления. Рассмотрены условия реализации максимума функционала для найденных потребления и накопленных сбережений. Вводится индикаторная функция, с помощью которой довольно удобно формулировать и изучать условия, при которых решение вариационной задачи автоматически удовлетворяет фазовому ограничению неотрицательности накопленных сбережений домашнего хозяйства. Подробно разобран случай режима отсутствия накопленных сбережений.

В пункте 1.1 исследуется задача оптимального управления, основанная на принципе максимума Понтрягина, потреблением. Роль управления играет функция потребления Роль уравнения связи играет дифференциальное уравнение

динамического баланса между доходами, расходами и накопленными сбережениями

где накопленные сбережения,

процент по наличным деньгам.

При выполнении уравнения связи задача о рациональном поведении потребителей ставится как задача максимизации функционала выражающего интегральную дисконтированную полезность потребления

б

|и(с(/))ехр(-50а».

(2)

где и — функция полезности, а О — коэффициент дисконтирования будущей полезности. Кроме этого, справедливы условия

Исследование проводится на базе принципа максимума Л.С. Понтрягина. Основную трудность представляет собой исследование фазового ограничения, возникающего из условия неотрицательности накопленных сбережений.

х 2:0 (6)

Далее, в этом пункте получено представление для функции потребления и представление для накопленных сбережений, которые удовлетворяют принципу максимума Понтрягина для функционала (2), уравнения (1) и граничных условий (3) и (4).

В пункте 1.2 показано, что найденные в предыдущем пункте представления для потребления и накопленных сбережений реализуют максимум функционала (2), если считать, что полезность потребительских расходов оценивается монотонной функцией которая описывает относительное отвращение к риску по Эрроу-Пратту

В пункте 1.3 вводится так называемая индикаторная функция

которая позволяет получить достаточные условия выполнения фазового ограничения (б).

Эффективность индикаторной функции (7) для получения достаточных условий, когда фазовое ограничение (б) выполняется автоматически основано на представлении для накопленных сбережений

Это представление справедливо в предположении, что согласно известной теоретической схеме полезность потребительских расходов оценивается монотонной вогнутой функцией ^с), входящей в (2), которая описывает постоянное отвращение к риску по Эрроу-Пратту:

и'{с)

(9)

Функция потребления при этих условиях может быть записана в виде

Константа Т)/А при этом определяется из (4) - граничного условия замыкания задачи на правом конце временного промежутка. Выражение для этой константы с учетом (9) будет иметь вид

В пункте 1.4 изучаются условия, когда описывающая накопленные сбережения функция не меняет знак, сформулированные при помощи индикаторной функции. Эти условия легко получаются из представления (8) для накопленных сбережений.

В пункте 1.5 изучается режим отсутствия накопленных сбережений. Этим режимом мы считаем стратегию поведения потребителей, когда тратятся все деньги, т е все полученные средства идут на потребление, а накопленные сбережения равны нулю Этот пункт богат примерами и численными расчетами.

В главе 2 приводится эффективное решение различных задач максимизации потребления В связи с общепринятой терминологией мы сначала формулируем различные задачи максимизации потребления: вариационную задачу, задачу Л. С. Понтрягина, задачу А. Я. Дубовицкого - А. А. Милютина.

Далее мы изучаем условия, когда решение вариационной задачи автоматически является решением задачи Л. С. Понтрягина. В связи с этим и возникают ограничения на функцию потребления, играющую роль управления.

На основании наработанной математической техники осуществляется следующий этап экономических исследований. Он посвящен выходу из режима отсутствия накопленных сбережений.

Следующий уровень математических исследований требует введения и изучения так называемых элементарных решений задач Л. С. Понтрягина и А. Я. Дубовицкого - А. А. Милютина.

После введения указанных выше элементарных решений становится возможным описать алгоритм получения решений задач Л. С. Понтрягина и А Я. Дубовицкого - А. А. Милютина максимизации потребления в общем случае.

В пункте 2.1 приводятся различные постановки задачи максимизации потребления домашнего хозяйства

Под вариационной постановкой задачи максимизации потребления понимается нахождение функции потребления максимизирующей функционал (2), и накопленных сбережений, удовлетворяющих уравнению (1) и условиям (3) и (4) на концах рассматриваемого временного промежутка Однако, решение этой вариационной задачи не должно противоречить ограничению (5) на функцию потребления. Т. о., ограничение (5) не должно быть сдерживающим Однако, задача о долге в данной работе не рассматривается, поэтому эта вариационная постановка имеет экономический смысл только при выполнении фазового ограничения (6), которое означает неотрицательность накопленных сбережений Поэтому, задачу максимизации функционала (2) при выполнении уравнения связи (I), заданных, т. е. закрепленных значениях накопленных сбережений на концах временного промежутка (3) и (4) и справедливости фазового ограничения (6) мы называем вариационной постановкой задачи максимизации потребления с закрепленными концами и фазовым ограничением.

В соответствии со сложившейся в задачах оптимизации и управления терминологией, задачу максимизации функционала (2) при условиях (3) и (4), к которым добавлено ограничение (5) на функцию потребления, которая, как нами уже отмечалось ранее, играет роль управления, мы должны назвать задачей Л С. Понтрягина. В этом случае ограничение (5) является сдерживаюшим. Однако, и эта задача Л С. Понтрягина имеет экономический смысл только при выполнении фазового ограничения (6), которое означает неотрицательность накопленных сбережений. Поэтому, задачу максимизации функционала (2) при выполнении уравнения связи (1), закрепленных значениях накопленных сбережений на концах временного промежутка (3) и (4), с ограничением (5) на функцию потребления, играющую роль управления, можно также рассматривать лишь при условии справедливости фазового ограничения (б) А такую задачу, согласно все той же сложившейся в задачах оптимизации и управления терминологией принято называть задачей А. Я. Дубовицкого - А А. Милютина.

В пункте 2.2 изучаются ограничения на функцию потребления, играющую роль управления. Там показано, что решение вариационной задачи автоматически является решением задачи Л. С. Понтрягина при условиях

с

А

6у-{«1>41

С < ПИП • (и")"' ~ уф. ••)

—е

Л

/

Е > шах 1 1*1"« 41

(«Г' -л

ч

Далее, в этом пункте приводятся условия более удобные, чем последние два неравенства. Однако, эти условия выводятся из этих неравенств и, поэтому, эквивалентны им.

В пункте 2.3 исследуется выход за рамки режима отсутствия накопленных сбережений.

Из примеров разобранных в конце предыдущей главы возникает следующий вопрос. Если мы рассматриваем ту же самую задачу максимизации потребления с нулевыми условиями на концах отрезка [/о, '|]| что и в пункте 1.5, то совсем не обязательно, чтобы у решения задачи с фазовым ограничением (6) накопленные сбережения были тождественным нулем.

В рамках разработанной в настоящей работе аналитической техники, для того, чтобы рассматриваемая задача имела решением не равные тождественно нулю накопленные сбережения нужна неотрицательность, а в некоторых точках интервала строгая положительность экстремали нашей задачи без фазового

ограничения (6).

Основываясь на утверждениях пункта 1.4, можно сказать, что если индикаторная функция (7) не является строго монотонно возрастающей или постоянной, то мы вправе ожидать, что экстремаль нашей задачи без фазового ограничения (6) будет неотрицательна, а в некоторых точках интервала строго положительна.

Приведенные в этом пункте примеры, подкрепленные численными расчетами подтверждают только что сказанное.

В пункте 2.4 разобраны, так называемые элементарные решения задач Л. С. Понтрягина с фазовым ограничением или А. Я. Дубовицкого — А. А. Милютина максимизации потребления. Решения этих задач мы называем элементарными, если

потребление с = с(/), удовлетворяющее принципу максимума Понтрягина, на всем временном отрезке [¡о, Л] либо принадлежит внутренности отрезка [с, с], либо является одним из его концов. Накопленные сбережения при этом выражаются формулой

I {яма» /ячь

(12)

В пункте 2.5 дается алгоритм решений задач Л. С. Понтрягина с фазовым ограничением или А. Я. Дубовицкого - А. А. Милютина максимизации потребления

Сначала из решений, приведенных в предыдущем пункте строим функцию потребления для решения задачи Л. С. Понтрягина

(13)

Константа ц/А при этом также определяется из (4) - граничного условия замыкания задачи на правом конце временного промежутка

|йЧ<Ь 'с [«>)•!• ]«»>*

1с(т)е' <¡1= |Р(т)е' ¿х+х^* -х,

(14)

Отметим также, что из формулы (14) при (9) и (10) получается формула (11).

Накопленные сбережения в этом более общем случае задачи Л. С. Понтрягина выражаются формулой (12). Заметим, что если мы в формулу (12) подставим (10), а затем (11), то получим представление (8). В многочисленных примерах, для которых

подробно рассмотрены случаи, когда уравнение (14) приводит к выражению для искомой константы Ц/А, а когда из (14) для этой константы получается трансцендентное уравнение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Задачи оптимального управления являются эффективным математическим аппаратом в различных вопросах математической экономики.

I В зависимости от наличия и характера ограничений на управление, роль которого играет потребление, н фазовых ограничений на накопленные сбережения сформулированы различные задачи максимизации функции полезности потребления: вариационная задача с фазовым ограничением, задача Л. С. Понтрягина с фазовым ограничением (задача А. Я. Дубовицкого - А. А. Милютина).

2. На основании принципа максимума Понтрягина найдено точное решение задачи максимизации полезности потребления в вариационной постановке. Рассмотрены условия реализации максимума функционала, выражающего дисконтированную полезность потребления для точно найденных потребления и накопленных сбережений.

3. Предложена и исследована индикаторная функция, с помощью которой весьма удобно формулировать и изучать условия, при которых решение вариационной задачи автоматически удовлетворяет фазовому ограничению неотрицательности накопленных сбережений. Детально разобран не только случай режима отсутствия накопленных сбережений, но и случай выхода за рамки этого режима.

4. Введены и изучены так называемые элементарные решения задачи Л. С. Понтрягина с фазовым ограничением (задачи А. Я Дубовицкого - А. А. Милютина), которые можно также назвать решениями с гладкой функцией потребления. Исследованы условия, когда решение вариационной задачи автоматически является решением задачи Л. С. Понтрягина. В связи с этим возникают ограничения на функцию потребления, играющую роль управления.

5. После введения указанных выше элементарных решений найдено условие замыкания на правом конце временного промежутка задачи максимизации потребления в общей постановке. Приведены примеры реализации этого условия и описан алгоритм получения решений задач Л. С. Понтрягина с фазовым ограничением максимизации функции полезности потребления в общем случае.

6. Приведены примеры расчета качественного и количественного исследования предложенных задач в зависимости от параметров.

ПУБЛИКАЦИЙ

Основные результаты диссертации изложены в работах:

1 Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Свойства решений динамического уравнения денежного баланса для небогатых семей с фиксированным доходом // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики: Междувед. сб., М.: МФТИ, 1996. С. 142-145.

2. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Свойства решений динамического уравнения семейного баланса//Некоторые проблемы, фундаментальной и прикладной математики: Междувед. сб., М.: МФТИ, 1997. С. 124-131.

3. Меерсон А.Ю, Черняев А П. Точное решение уравнения динамического баланса для денежных семейных накоплений // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики: Междувед. сб., М.: МФТИ, 1998. С. 94-98.

4. Меерсон А.Ю, Черняев А.П. Уравнения динамического баланса и их приложения в экологии и экономике//Моделирование процессов управления и обработки информации: Междувед, сб., М.: МФТИ, 1998. С. 179-186.

5. Меерсон А.Ю. Экономические и экологические приложения уравнений динамического баланса//Системные проблемы качества, математического моделирования и информационных технологий. Международная научно-техническая конференция и Российская научная школа молодых ученых и специалистов, посвященная 60-летию МГТУ МАМИ. Ч. 2. Москва - Сочи, 1999. С. 124

6. Меерсон А.Ю. Экономическая трактовка некоторого класса дифференциальных уравнений динамического баланса//Автотракторостроение. Промышленность и высшая школа. Международный научный симпозиум. Тезисы докладов. М., МГТУ МАМИ, 29-30 сентября 1999 г. С. 42 - 43.

7. Черняев А. П., Меерсон А. Ю. Построение модели семейного бюджета на основе задачи Коши для дифференциального уравнения динамического баланса со смешанным доходом и сложной функцией расхода//Системные проблемы качества, математического моделирования, информационных, электронных- и лазерных технологий. Материалы Международной конференции и Российской научной школы. Ч. 1. Москва -Сочи. 2001. С. 100- 101.

8. Черняев А. П., Меерсон А. Ю. Моделирование зависимости потребления домашнего хозяйства от дохода и накоплений//Математика. Компьютер. Образование. Тезисы. Вып. 9. М. 2001. С. 153.

9. Черняев А. П., Меерсон А. Ю. Моделирование зависимости потребления домашнего хозяйства от дохода и накоплений//Математика. Компьютер. Образование. Сб. научн-тр. Вып. 9. Ч. 1. Москва - Ижевск. 2002. С. 199-203.

. 10. Меерсон А. Ю., Черняев А. П. Вариационная постановка задачи максимизации потребления домашнего хозяйства//ХХХ1Х Международная научно-техническая конференция ААИ. Приоритеты развития отечественного автотракторостроения и подготовки инженерных и научных кадров. Тезисы докладов. М.: МГТУ «МАМИ», 2002.. С. 23 - 24.

11. Черняев А. П., Меерсон А. Ю. Вариационная постановка задачи максимизации потребления домашнего хозяйства//Математика: фундаментальные вопросы, приложения, преподавание. Межвед. сб. научн. тр. Вып. 3. М.: МГУП, 2003. С. 222-230.

Личный вклад диссертанта. В работе 1 автору принадлежит исследование свойств решений уравнения динамического баланса. В работе 2 автору принадлежит вывод уравнения динамического баланса с полным обоснованием. В работе 3 автор приводит пример уравнения динамического баланса, решение которого может быть выписано без квадратур. В работе 4 автор рассматривает экономическую трактовку уравнения динамического баланса в одномерном и двумерном случаях. В работе 7 автору принадлежит модификация уравнения

динамического (баланса В работе 8 автору принадлежит модель потребления на основе принципа максимума Понтрягина В работе 9 автору принадлежат постановки вариационной задачи и задачи Понтрягина с фазовым ограничением и без него. В работе 10 автором получены аналитические выражения для функции потребления и накопленных сбережений. В работе 11 автором вводится индикаторная функция и разработаны способы ее применения

1- 96 73

Введение.

Глава 1 Моделирование зависимости потребления домашнего хозяйства от дохода и накопленных сбережений на основе принципа максимума.

1.1. Задача оптимального управления домашнего хозяйства.

1.2. Реализация максимума функционала для найденных потребления и накопленных сбережений.

1.3. Выражения для потребления и накопленных сбережений в случае постоянного относительного отвращения к риску. Индикаторная функция.

1.4. Условия, когда описывающая накопленные сбережения домашнего хозяйства функция не меняет знак, сформулированные при помощи индикаторной функции.

1.5. Домашнее хозяйство в режиме отсутствия накопленных сбережений.

Глава 2 Эффективное решение различных задач максимизации потребления домашнего хозяйства.

2.1. Различные задачи максимизации потребления домашнего хозяйства в связи с общепринятой терминологией.

2.2. Ограничения на функцию потребления домашнего хозяйства, играющую роль управления.

2.3. Выход домашнего хозяйства за рамки режима отсутствия накопленных сбережений.

2.4. Элементарные решения задач Л. С. Понтрягина и А. Я. Дубовицкого -А. А. Милютина максимизации потребления домашнего хозяйства.

2.5. Алгоритм решений задач Л. С. Понтрягина и А. Я. Дубовицкого - А. А. Милютина максимизации потребления домашнего хозяйства.

В работе исследуется задача оптимального управления, основанная на принципе максимума Понтрягина [1], потреблением домашних хозяйств. Роль управления играет функция потребления с = c(t). Роль уравнения связи играет дифференциальное уравнение динамического баланса между доходами, расходами и накопленными сбережениями х = рх+Р-с, (1) где х = х(7)- накопленные сбережения, Р = Р(7) - зарплаты и пенсии, р = р(t) -процент по наличным деньгам .

При выполнении уравнения связи задача о рациональном поведении потребителей ставится как задача максимизации функционала, выражающего интегральную дисконтированную полезность потребления i

Ju(c(f))exp(-80df, (2) о где и - функция полезности, а 5 - коэффициент дисконтирования будущей полезности [2]. Кроме этого, справедливы условия х('о) = хо: (3) х(/,) = х,, (4) а

0<с<с<с< +оо. (5)

Исследование проводится на базе принципа максимума JI.C. Понтрягина. Основную трудность представляет собой исследование фазового ограничения, возникающего из условия неотрицательности накопленных домашним хозяйством сбережений. х > О,

Введение так называемой индикаторной функции

I }p(s)«/s J p(s)c/ s р(т)е' dx + xQe'"

Ф(0 = — u Г

5т-Jp(s)£/

Jp(s)t/ s eT d т

6)

7) позволяет получить достаточные условия выполнения этого фазового ограничения как в вариационной задаче:, так и в задаче JI.C. Понтрягина.

Под вариационной постановкой задачи максимизации потребления домашнего хозяйства понимается нахождение функции потребления максимизирующей функционал (2), и накопленных сбережений, удовлетворяющих уравнению (I) и условиям (3) и (4) на концах рассматриваемого временного промежутка. Однако, решение этой вариационной задачи не должно противоречить ограничению (5) на функцию потребления. Т. о., ограничение (5) не должно быть сдерживающим. Однако, эта вариационная постановка имеет экономический смысл только при выполнении фазового ограничения (6), которое означает неотрицательность накопленных сбережений. Поэтому, ' задачу максимизации функционала (2) при выполнении уравнения связи (1), заданных, т. е. закрепленных значениях накопленных сбережений на концах временного промежутка (3) и (4) и справедливости фазового ограничения (6) мы называем вариационной постановкой задачи максимизации потребления домашнего хозяйства с закрепленными концами и фазовым ограничением.

В соответствии со сложившейся в задачах оптимизации и управления терминологией, задачу максимизации функционала (2) при условиях (3) и (4), к которым добавлено ограничение (5) на функцию потребления, которая, как нами уже отмечалось ранее, играет роль управления, мы должны назвать задачей Л. С. Понтрягина. В этом случае ограничение (5) является сдерживающим. Однако, и эта задача JI. С. Понтрягина имеет экономический смысл только при выполнении фазового ограничения (б), которое означает неотрицательность накопленных сбережений. Поэтому, задачу максимизации функционала (2) при выполнении уравнения связи (1), закрепленных значениях накопленных сбережений на концах временного промежутка (3) и (4), с ограничением (5) на функцию потребления, играющую роль управления, можно также рассматривать лишь при условии справедливости фазового ограничения (6). А такую задачу, согласно все той же сложившейся в задачах оптимизации и управления терминологией принято называть задачей А. Я. Дубовицкого - А. А. Милютина.

Эффективность индикаторной функции (7) для получения достаточных условий, когда при решении вариационной задачи фазовое ограничение (6) выполняется автоматически основано на представлении для накопленных сбережений х(0= J(uT

-}p(S)</S

Jp(sVs б/т[ф(0-ф(/,)

X, f(uT г Л и

J p(s)i/s e! dx

8)

Это представление справедливо в предположении, что согласно известной теоретической схеме [3] домашние хозяйства оценивают полезность потребительских расходов монотонной вогнутой функцией и(с), входящей в (2), которая описывает постоянное отвращение к риску по Эрроу-Пратту [4]: u'(c)

Функция потребления при этих условиях может быть записана в виде с(г) = (иУ А Л

5r-|p(s) ds

10)

Константа г)/А при этом определяется из (4) - граничного условия замыкания задачи на правом конце временного промежутка. Выражение для этой константы с учетом (9) будет иметь вид

Л Г '» А г i Jp(s)ds Jp(s)ds р(т)ег dx+x0e"

-х, а > 0. j(u У

8т- J p(s) ds

П) p(s)ds e1 d T

В более общем случае задачи JI. С. Понтрягина накопленные сбережения могут быть выражены формулой

Jp(s)ds J P(s)ds x(r) = J[p(x)-c(x)]e' d x+ x0e'"

12)

Заметим, что если мы в формулу (12) подставим (10), а затем (11), то получим представление (8).

Для решения задачи Л. С. Понтрягина в формулу (12) в качестве функции потребления нужно подставлять выражение c(t) = max' min

Н" А

6/-jfpfs)ds

Л с / ю ГП1ГК maxs u')' А

S/-Jp(s) ds

13)

Константа r|/A при этом также определяется из (4) - граничного условия замыкания задачи на правом конце временного промежутка jp(s)ds p(s) ds }p(s)ds с(т)е' dx = |р(т)е' d т + х0е,; -x,. (14) с.

Отметим также, что из формулы (14) при (9) и (10) получается формула (11).

В многочисленных примерах, для которых

Р(0 = Р0 ер', Р0 = const > 0, р = const > 0, р(Г) = р = const > О подробно рассмотрены случаи, когда уравнение (14) приводит к выражению для искомой константы г)/А, а когда из (14) для этой константы получается трансцендентное уравнение.

Определены и подробно разобраны: случай режима отсутствия накопленных сбережений домашнего хозяйства, а также случай выхода домашнего хозяйства за рамки режима отсутствия накопленных сбережений.

Основные результаты диссертации изложены в работах [71 - 81].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Несмотря на то, что домашнее хозяйство существует с древних времен, экономика домашнего хозяйства стала популярной лишь в последние годы [17 -40].

Задачи оптимального управления являются эффективным математическим аппаратом в различных вопросах математической экономики [9, 10, 11, 41 -61].

Несмотря на некоторые различия в изложении принципа, максимума Понтрягина [1, 8, 16, 62 - 70] результаты настоящей работы, очевидно, не зависят от того, какую форму принципа максимума взять за основу.

Остановимся кратко на основных результатах настоящей работы.

В соответствии с общепринятой в задачах оптимального управления терминологией мы, в зависимости от наличия и характера ограничений на управление, роль которого играет потребление, и фазовых ограничений на накопленные домашним хозяйством сбережения сформулировали различные задачи максимизации потребления домашнего хозяйства: вариационную задачу, задачу JT. С. Понтрягина и задачу А. Я. Дубовицкого - А. А. Милютина.

На основании принципа максимума Понтрягина [1] найдено точное решение задачи максимизации потребления домашнего хозяйства в вариационной постановке. Рассмотрены условия реализации максимума функционала, выражающего дисконтированную полезность потребления для точно найденных потребления и накопленных сбережений.

Найдена и исследована индикаторная функция, с помощью которой весьма удобно формулировать и изучать условия, при которых решение вариационной задачи автоматически удовлетворяет фазовому ограничению неотрицательности накопленных сбережений домашнего хозяйства. Детально разобран не только случай, когда домашнее хозяйство живет в режиме отсутствия накопленных сбережений, но и случай выхода домашнего хозяйства за рамки этого режима.

Введены и изучены так называемые элементарные решения задач JI. С. Понтрягина и А. Я. Дубовицкого - А. А. Милютина, которые можно также назвать решениями с гладкой функцией потребления. Исследованы условия, когда решение вариационной задачи автоматически является решением задачи Л. С. Понтрягина. В связи с этим возникают ограничения на функцию потребления, играющую роль управления.

После введения указанных выше элементарных решений найдено условие замыкания на правом конце временного промежутка задачи максимизации потребления домашнего хозяйства в общей постановке. Приведены примеры реализации этого условия и описан алгоритм получения решений задач Л. С. Понтрягина и А. Я. Дубовицкого - А. А. Милютина максимизации потребления домашнего хозяйства в общем случае.

1. Понтрягин J1.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов - М.: Наука, 1983.-302 с.

2. Гуриев С.М., Поспелов И.Г. Модель общего равновесия экономики переходного периода 11 Математическое моделирование, 1994. Т. 6, №2. С. 3-21.

3. Гуриев С.М. Модель формирования сбережений и спроса на деньги: I // Математическое моделирование, 1994. Т. 6, №7. С. 15-40.

4. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа.- М.: Наука, 1989. 736 с.

5. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа.- М.: Наука, 1988. 816 с.

6. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1964. 608 с.

7. Алексеев В. М., Галеев Э. М., Тихомиров В. М. Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи. Учебное пособие. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1984. 288 с.

8. Дикусар В. В., Кошька М., Фигура А. Методы продолжения решений в прикладных задачах оптимального управления. Московский физико-технический институт (государственный университет), 2001. 156 с.

9. Дикусар В. В., Гживачевский М., Кошька М., Фигура А. Задачи оптимального управления при наличии ограничений общего вида. Московский физико-технический институт (государственный университет), 2001. 55 с.

10. Дикусар В. В., Кошька М., Фигура А. Качественные и количественные методы в задачах оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями. Московский физико-технический институт (государственный университет), 2001. 141 с.

11. Милн-Томсон Л. М., Комри Л. Дж. Четырехзначные математические таблицы. М.: Наука, 1964. 248 с.

12. Дикусар В. В. Методика численного решения краевых вариационных задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений: Автореферат докт. дисс. Дубна: ОИЯИ, 1982.

13. Гирсанов И. В. Лекции по математической теории экстремальных задач. Изд-во МГУ. 1970, 118 с.

14. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.480 с.

15. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. М.: Мир, 1978. 318 с.

16. Preferences, Utility and Demand. ed by Chipman J. S., Hurwicz L., Richter M. K., Sonnenschein H. F. / New York, 1971.510р.

17. Слуцкий Е. Е. К теории сбалансированного бюджета потребителей. //Экономико математические методы. М.: ЦЭМИ АН СССР, 1963, вып. 1. С. 241 -270.

18. Afriat S. N. The construction of utility function from expediture data. // International economic review, 1967. V. 8, № 1. P 67 77.

19. Varian H. Non-parametric tests of consumer behaviour. // The review of economic studies, 1983. V. L(l), № 1. P. 99- 110.

20. Шананин А. А. Непараметрические методы анализа структуры потребительского спроса. // Математическое моделирование, 1993. Т. 5, № 9. С. 3 -17.

21. Чернавский Д.С., Рахимов А.Х. Об экономической структуре общества (спектр накоплений). Препринт ФИАН. 1991. № 15.

22. Чернавский Д.С., Попков Ю.С., Рахимов А.Х. Математическая модель типологии семейных накоплений//Экономика и математические методы, 1994. Т. 30, вып. 2. С. 98-106.

23. Чернавский Д.С., Пирогов Г.Г., Чернавская О.Д., Щербаков А.В., Суслаков Б.А. Динамика экономической структуры общества (математическая модель) // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 1996. Т. 4, № 3. С. 67-76.

24. Жеребин В.М., Романов А.Н. Экономика домашних хозяйств. -М.: Финансы, ЮНИТИ, 1998. 231 с.

25. Жеребин В.М. Экономика домашних хозяйств и некоторые средства ее макромоделирования // Экономика и математические методы. 1997. Т.33, вып.1. С. 63-76.

26. Глущенко К., Топилина В. Об оценке численности домохозяйств //Вопросы экономики 1995, № 9.

27. Елизаров В., Зверева Н., Колабихина И. Основные направления комплексного подхода к исследованию семьи и домохозяйства. Определение понятий // Домохозяйство, семья и семейная политика. М. МГУ, 1997.

28. Жеребин В. М. Классификация, функции и значение деятельности домашних хозяйств // Вопросы статистики. 1997, № 2.

29. Беккер Г. Экономика семьи и макроповедение И США: экономика, политика, идеология. 1994, № 2, 3.

30. Петров А. А., Поспелов И. Г., Шананин А. А. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996. - 544 с.

31. Поспелова Л. Я., Шананин А. А. Анализ торговой статистики Нидерландов 1951 1977 гг. с помощью обобщенного непараметрического метода. -М.: ВЦ РАН, 1998.-36 с.

32. Гуриев С. М. Модель формирования сбережений и спроса на деньги: II // Математическое моделирование, 1994. Т. 6, №7. С. 41 54.

33. Гуриев С. М. Математическая модель стимулирования экономического роста посредством восстановления сбережений // Математическое моделирование, 1996. Т. 8, №4. С. 21-46.

34. Гуриев С. М. Некоторые математические модели формирования инвестиций и сбережений. Диссертация на соискание учен. степ. канд. физ мат. наук.-М.: ВЦ РАН, 1994. - 118 с.

35. Гуриев С. М., Шахова М. Б. Модель адаптации поведения домашних хозяйств // Моделирование процессов управления и обработки информации. Междувед. сб. научн. тр. М.: МФТИ. 1994.

36. Петров А. А., Шананин А. А. Условия интегрируемости, распределения доходов и социальная структура общества // Математическое моделирование. 1994. Т. 6, № 8. С. 3-23.

37. Айвазян С. А. Модель формирования распределения населения России по величине среднедушевого дохода// Экономика и математические методы. 1997. Т. 33, вып. 4. С. 74- 86.

38. Черняев А. П. Дифференциальные уравнения динамического баланса и их приложения // Соросовский Образовательный Журнал, 2000. Т. 6, № 11. С.117 -122.

39. Черняев А. П. Уравнения динамического баланса и их приложения в экологии и экономике // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. Сб. научн. тр. М.: МФТИ, 2003, С. 101 108.

40. Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для ВУЗов. -М.: ЮНИТИ, 1998. 240 с.

41. Петров А. А. Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент М.: Наука, 1996.- 251 с.

42. Канторович JT. В., Горстко А. Б. Математическое оптимальное программирование в экономике. М.: Знание, 1968. 96 с.

43. Хенкин Г. М., Шананин А. А. Теоремы Бернштейна и преобразование Радона. Приложения в теории производственных функций // Проблемы кибернетики / Под ред. И. М. Гельфанда, С. г. Гиндикина. М.: Наука, 1989. С. 200 -236.

44. Математическое моделирование: Процессы в сложных экономических и экологических системах / Под ред. А. А. Самарского, Н. Н. Моисеева, А. А. Петрова. -М.: Наука, 1986. С. 7- 196.

45. Математическое моделирование: Методы описания и исследования сложных систем / Под ред. А. А. Самарского, Н. Н. Моисеева, А. А. Петрова. М.: Наука, 1989. С. 121 -266.

46. Поспелов И. Г. Динамическая модель поведения контрагентов на рынке // Экономика и математические методы. 1988. Т. XXIV, вып. 3. С. 497 508.

47. Поспелов И. Г. Эволюционный принцип в описании экономического поведения: Дисс. доктора физ.-мат наук М.: ВЦ АН СССР, 1989. - 353 с.

48. Дикусар В. В., Синягин С. Ю. Качественные и численные методы в задаче оптимального управления внешним долгом. М.: ВЦ РАН, 2000. 48 с.

49. Абрамов А. П., Дикусар В. В. Нерегулярные точки в двусекторной экономической модели внешнего долга // Дифференциальные уравнения. Минск, 1997. Т. 33, № 12, С. 1203 1209.

50. Синягин С. Ю. Методы вычисления первого приближения в задаче оптимального управления о внешнем долге // Проблемы нелинейной динамики и управления. Сборник трудов ИСА РАН. М.: Эдиториал УРСС, 1999. С. 209-216.

51. Петров А. А., Шананин А. А. Об одной модели потребления продуктов текущего и длительного пользования. М.: ВЦ РАН, 1997. 60 с.

52. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А., Левин В. Л. Методы теории экстремальных задач в экономике. М.: Наука, 1981. - 193 с.

53. Дубовицкий А. Я., Милютин А. А. Теория принципа максимума// Методы теории экстремальных задач в экономике. М.: Наука, 1981. С. 6-47.

54. Евстигнеев И. В., Катышев П. К. Нестационарные оптимизационные модели экономической динамики // Методы теории экстремальных задач в экономике. М.: Наука, 1981. С. 48-71.

55. Зак Ф. Л. Устойчивость экономического равновесия // Методы теории экстремальных задач в экономике. М.: Наука, 1981. С. 72 - 106.

56. Левин В. Л. Теоремы выпуклого анализа и гарантированная прибыль в условиях неопределенности // Методы теории экстремальных задач в экономике. -М.: Наука, 1981. С. 107- 137.

57. Милютин А. А. О квадратичных условиях экстремума в гладких задачах с конечномерным образом // Методы теории экстремальных задач в экономике. -М.: Наука, 1981. С. 138 177.

58. Полтерович В. М., Спивак В. А. Сравнение равновесий при многозначном спросе//Методы теории экстремальных задач в экономике. М.: Наука, 1981. С. 178- 192.

59. Фридман А. А. Равновесие в модели смешанной экономики // Экономика и математические методы. 1993. Т. 29, вып. 1. С. 138 146.

60. Фридман А. А. Модели перехода к рыночной экономике и благосостояние потребителей // Экономика и математические методы. 1994. Т. 30, вып. 4. С. 106-111.

61. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. -М.: Наука, 1969. 408 с.

62. Олейников В. А., Зотов Н. С., Пришвин А. М. Основы оптимального и экстремального управления. М.: Высшая школа, 1969. 296 с.

63. Лейтман Дж. Введение в теорию оптимального управления. М.: Наука, 1968. 192 с.

64. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. / Пер. с англ. Л. Л. Леонтьевой под ред. Я. Н. Ройтенберга. М.: Наука, 1972. 574 с.

65. Сухарев А. Г., Тимохов А. В., Федоров В. В. Курс методов оптимизации. -М.: Наука, 1986. -328 с.

66. Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. - 432 с.

67. Дикусар В. В., Милютин А. А. Качественные и численные методы в принципе максимума. М.: Наука, 1989. - 144 с.

68. Андреева Е. А., Цирулева В. М. Вариационное исчисление и методы оптимизации. Учебное пособие. Тверь: Твер. гос. ун-т, 2001. - 576 с.

69. Корн Г, Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1978. 831 с.

70. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Свойства решений динамического уравнения денежного баланса для небогатых семей с фиксированным доходом // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики: Междувед. сб., М.: МФТИ, 1996. С. 142-145.

71. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Свойства решений динамического уравнения семейного баланса // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики: Междувед. сб., М.: МФТИ, 1997. С. 124-131.

72. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Точное решение уравнения динамического баланса для денежных семейных накоплений // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики: Междувед. сб. М.: МФТИ, 1998. С. 94-98.

73. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Уравнения динамического баланса и их приложения в экологии и экономике // Моделирование процессов управления и обработки информации: Междувед. сб., М.: МФТИ, 1998. С. 179-186.

74. Черняев А. П., Меерсон А. Ю. Моделирование зависимости потребления домашнего хозяйства от дохода и накоплений // Математика. Компьютер. Образование. Тезисы. Вып. 9. М. 2001. С. 153.

75. Черняев А. П., Меерсон А. Ю. Моделирование зависимости потребления домашнего хозяйства от дохода и накоплений // Математика. Компьютер. Образование. Сб. научн. тр. Вып. 9. Ч. 1. Москва Ижевск. 2002. С. 199-203.

76. Черняев А. П., Меерсон А. Ю. Вариационная постановка задачи максимизации потребления домашнего хозяйства // Математика: фундаментальные вопросы, приложения, преподавание. Межвед. сб. научн. тр. Вып. 3. М.: МГУП, 2003. С. 222-230.