автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Задача оптимального управления ресурсами промышленного предприятия с учетом взаимодействия со смежными предприятиями

003464560

На правах рукописи

Старинец Дмитрий Владимирович

Задача оптимального управления ресурсами промышленного предприятия с учетом взаимодействия со смежными предприятиями.

Специальность 05.13.01. - Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность).

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

9 и.

Москва - 2009

003464560

Работа выполнена в Московском физико-техническом институте (Государственный университет)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Дикусар Василий Васильевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Березнев Валентин Александрович

кандидат физико-математических наук Дарьин Александр Николаевич

Ведущая организация: Центральный экономико-математический институт РАН

Защита диссертации состоится 02 апреля 2009г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д002.017.03 при Учреждении Российской академии наук Вычислительный Центр им. A.A. Дородницына РАН по адресу: 119991, г. Москва, ул. Вавилова, д. 40 в конференц-зале.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного центра им. A.A. Дородницына РАН

Автореферат разослан 2009 г.

Ученый секретарь совета по защите докторских и кандидатских диссертаций

кандидат физико-математических наук

Мухин A.B.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Развитие отечественного промышленного производства за счет повышения эффективности взаимодействия промышленных предприятий может обеспечить решение целого ряда острых производственных и социально-экономических проблем в условиях кризиса. При этом необходимо отметить, что замещение импорта должно помочь развитию отечественного производства и проведению технического перевооружения российских предприятий, значительный износ оборудования которых приводит к снижению эффективности промышленного производства в целом. Это особенно актуально в условиях экономического кризиса.

Отметим, что показатели конкурентоспособности улучшаются при объединении предприятий в рамках корпорации. Большую роль приобретают методики и технологии, которые позволяют повысить уровень производственных и социальных показателей. Для этого необходимо разрабатывать методы подготовки и принятия эффективных управленческих решений.

Наступивший кризис промышленного производства выявил очевидную необходимость пересмотра методов управления промышленными предприятиями в сторону улучшения эффективности потребления ресурсов. Настоящая работа посвящена решению важной частной задачи - улучшению эффективности взаимодействия промышленных предприятий.

Цель работы:

построение модели взаимодействия промышленных предприятий в условиях кризиса производства;

решение задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями (схема Дубовицкого-Милютина) для разработанной модели;

решение задач линейного программирования большой размерности методом продолжения решения по параметру;

на основании проведенных исследований - предоставить возможность выработки обоснованных эффективных управленческих решений для оптимального развития промышленного производства в условиях кризиса. Методы исследования. Основным инструментом для решения поставленных задач является принцип максимума (схема Дубовицкого-Милютина) и метод продолжения решения по параметру. Поставленные задачи (за счет дискретизации обыкновенных дифференциальных уравнений) сводятся к задачам линейного и нелинейного программирования большой размерности. Применение принципа максимума в дискретном варианте сводит первоначальную задачу к задаче линейного программирования большой размерности. В качестве параметра выступает время. Это позволяет сначала на малом отрезке решать задачу малой размерности и затем полученное приближение используется при его продолжении по параметру. Научная новизна.

Решена новая важная задача эффективного управления ресурсами с учетом взаимодействия двух промышленных предприятий в условиях кризиса производства.

Разработан новый эффективный подход к решению задачи линейного программирования большой размерности за счет продолжения решения по параметру. Для интегрирования жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений разработаны специальные явные схемы,

которые показали свою эффективность при численном решении указанных систем. Также были применены методы параметризации при качественном и численном решении задачи взаимодействия двух промышленных предприятий. В предложенной модели принцип максимума выполняется тривиально, т.е. является вырожденным. Для построения содержательного принципа максимума в правые части обыкновенных дифференциальных уравнений вводятся малые параметры, которые позволяют исследовать задачу с помощью классического принципа максимума. Данный подход является новым, так как по существу применяется регуляризация основной задачи в отличие от известных работ, в которых регуляризация применяется для сопряженной системы уравнений.

Обоснованность научных положений.

Теоретические положения и выводы диссертации сформулированы в виде утверждений и теорем, которые строго доказаны. Практическая ценность.

Модели, методы и алгоритмы, разработанные в диссертации, применялись для решения практических задач взаимодействия промышленных предприятий, а также в учебном процессе в Московском Физико-Техническом институте и в Вычислительном Центре РАН. Предложенные методы продолжения решения по параметру, а также методы регуляризации вырожденных задач могут быть использованы в теоретических исследованиях при решении прикладных задач оптимального управления. Был адаптирован пакет прикладных программ БАЛАНС-2 для решения задачи ЛП и использован для практических численных расчетов показателей эффективности производства на модельном примере (с применением метода продолжения решения по параметрам).

Апробация работы.

Основные положения исследования докладывались и обсуждались на международной конференции в Черногории (International Conference «Nonlinear Analysis and Optimization Problems», Montenegrin Academy of Sciences and Arts, Petrovac, Montenegro, October 06th - 10th, 2008), на 14-ой Байкальской школе-семинаре СО РАН «Методы оптимизации и их приложения». (Иркутск-Байкал 2-8-го июля 2008г.)и на научных семинарах в МФТИ и в ВЦ РАН. Личный вклад.

1) Проведен качественный и количественный анализ задачи эффективного управления взаимодействием двух промышленных предприятий.

2) Разработан прямой численный метод построения гипотезы по определению множества активных индексов для задачи управления с ограничениями типа неравенств (гнометрия оптимальной траектории).

3) Предложена регуляризация вырожденного случая принципа максимума.

4) Разработан явный эффективный численный метод решения жестких систем ОДУ.

5) Автором адаптирован пакет прикладных программ БАЛАНС-2 использование которого позволяет выработать обоснованные управленческие решения.

Публикации. Основные результаты исследования отражены в восьми публикациях. Список работ приведен в конце автореферата. В совместных работах автору принадлежит 50% результатов.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения и четырех глав и приложения. Список использованной литературы составляет 103 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во «Введение» приведены цели исследования, актуальность, обзор литературы по данному вопросу и основные результаты, выносимые на защиту. Дана характеристика научной новизны, практической значимости и указаны апробации полученных результатов.

В первой главе излагаются различные формы задач линейного программирования (ЛП), куда входят также несобственные задачи. Здесь для решения задачи ЛП предлагается метод введения параметра в целевую функцию. Это дало возможность получить эффективную оценку решения задачи ЛП. Кроме того использовался адаптированный пакет прикладных программ БАЛАНС - 2, который обеспечил многократное формирование условий нахождения решения и создания необходимых для анализа выходных файлов. Была использована реализация для ОС Windows 2К-ХР базовой версии алгоритма анализа неполных математических моделей (разработанная в 1985 году в IIASА, в рамках проекта Regional Development, на языке "Fortran-IV" для ПЭВМ Altus-2. Авторы: Ким К.В. и Умнов А.Е.), адаптированная для языка С++ на кафедре высшей математики МФТИ в рамках совместных исследований с ЗАО «Оптимизационные системы и технологии» (БАЛАНС - 2). В комплекс программных средств решения задач ЛП были включены модули диагностики и анализа качества (получаемых на основе найденных решений) гипотез об оптимальной геометрии фазовых траекторий. Специальные программные средства были разработаны для решения сопряженных задач, проверки формализма Понтрягина-Дубовицкого-Милютина и прямой проверки оптимальности решения на множестве допустимых вариаций.

Во второй главе приводятся постановки линейных задач оптимального управления со смешанными ограничениями.

Под задачей оптимального управления со смешанными ограничениями понимается задача следующего вида: найти управление

«со

, дающее минимум функционалу

о

при условиях Л(0 = A(t)x(t) + B{t)u{t) + с(0 ; л(0) = х0 ; х(Т) е 5 ;

V(x,t)={ueRr \ G(t)x{t) + ЛГ(0«(0 + 40 < о}, необходимые условия оптимальности имеют вид:

ДД0(<3(0^(0 + AT(0ÎT(0 + w(0) ^ = 0, 7 = 1,. ...m,

^0ет(О+^т(ОЖО+Ат(<Ж(О=0, «(0 = arg max (V/„(dT (t)x(t) + eT(t)v(t)) + y7T{t){A{t)x\t) + B(t)v(t) + c(t)))

veV{x,ty »

где вектор ч> 0 ) является решением системы уравнений

VT = -¥od4t)-¥\t)A(t)+X\t)G(t) с условиями

vT{T)-¥y п. Далее рассматриваются достаточные условия оптимального управления, основанные на методике сведения линейной задачи ОУ со смешанными ограничениями к задаче ЛП в банаховых пространствах, предложенной A.M. Тер-Крикоровым. Далее рассматриваются две задачи:

Задача 1.

Найти управления

м* (0 6 С,[о,Г]

дающие максимум линеиному

функционалу

+ max (1)

о

при следующих ограничениях:

(2)

х* = x'a(i) + м*я(0 + а'('),

(3)

АО )=а\х\тУ2>-с',

(4)

-x'c(i)+u'D(t)<b'(l), и' >0.

Матрицы л(г), ß(<), с (') и D(') и векторы o*(i), *'(/) имеют ограниченные измеримые компоненты, которые выражают обобщенные технологические и весовые показатели. Соответствующие матрицы и векторы имеют следующие размеры: А[п х и]5 в[ш х и], c[n х г], o[m х г], ô["xï], а*["], é*H, «["], с*[?]. Векторы с символом * являются строками, без - столбцами.

Задача 2..

Найти управления v(0e ¿'До,?! Vе" , дающие минимум линеиному функционалу

j{v)= a *jc(0)- с'ц + j \b'(t)v + a'(t)x\t -> min (5)

о

при следующих ограничениях: -i = ^(r)jr + C(/)v + a(i)j (6)

= (7)

- +D(t)v > b(t) ; у > 0. (8)

Достаточные условия оптимальности задач 1 и 2 даются следующей теоремой:

Теорема 1 (Тер-Крикоров). Пусть для некоторых допустимых управлений " (') и Ч задач 1 и 2 выполнены условия

Игй-'Ф^0,*-1"^,

(9) (10) (11)

причем первые два равенства выполняются почти при всех t . Тогда »"('), *"(') будет оптимальным решением задачи 1, а ч , *(') будет

оптимальным решением задачи 2.

Необходимые условия оптимальности для задачи 1 формулируются в терминах принципа максимума Понтрягина с использованием сопряженных переменных Связь сопряженных переменных с (') и

переменных задачи 2 дается следующими леммами:

Лемма 1. Если при допустимом управлении задачи 1 существует вектор сопряженных переменных константа ¥о<® и векторы

множителей Лагранжа удовлетворяющие дифференциальным

уравнениям и краевым условиям для НО, условиям Блисса и условиям дополняющей нежесткости для то МО и '/(') являются

допустимыми управлением и фазовым вектором задачи 2.

Лемма 2. Если существуют допустимые управления «*('), у(0, 1 задач 1 и 2, и они удовлетворяют условиям (2.5.9)-(2.5.11), то вектор траектории •*(') задачи (2.5.5)-(2.5.8), соответствующей управлению у(0, является вектором сопряженных переменных задачи (2.5.1)-(2.5.4) при ^о =_1.

На основании лемм 1 и 2 теорема 1 переформулируется следующим образом:

Теорема 2. Если при данном допустимом управлении и (0 задачи 1 существуют число Ч/о=~', кусочно-гладкая вектор-функция

но,

измеримые вектор-функции > 0, и вектор - 0 такие, что

выполняются условия (2.5.12)-(2.5.15), то "*(') - оптимальное управление задачи 1.

Таким образом, теорема 2 дает возможность использовать сопряженные переменные для доказательства оптимальности полученного решения в задаче ОУ.

Третья глава посвящена вопросу нахождения первого приближения геометрии оптимальной траектории при смешанных ограничениях, типа неравенств.

Исследуется вопрос об эффективном (с точки зрения затрат машинных ресурсов) способе нахождения численного решения задач 1 и 2. Требование эффективного решения обусловлено многократным решением задач 1 и 2 при различных значениях параметров. Известно, что достаточно экономичные методы решения задач класса 1-2 базируются на использовании методов прогонки, требующих априорного разделения

для каждого множества условий = на

подмножествах активных и неактивных ограничений. При этом, как правило, используются какие-либо специфические особенности системы ограничений.

В этом случае приемлемой альтернативой сложным схемам решения задач оптимального управления методом прогонки может служить схема формирования гипотезы о геометрии оптимальной траектории задачи 1-2, основанная на использовании приближенного решения, получаемого путем дискретизации времени. Преимущества предлагаемого метода заключаются в том, что он не различает отдельные ограничения на ограничения по фазам, управлениям или смешанным ограничениям. Следовательно, метод решения дискретизированной задачи не будет обладать недостатками метода прогонки. Дискретизированная задача является задачей ЛП, и в этой задаче фазовые и управляющие переменные уже неразличимы, что является преимуществом данного подхода.

и

Следовательно, для получения решения дискретизированной задачи необходимо надежное программное средство.

Суть рассматриваемой схемы выделения множества активных ограничений заключается в дискретизации времени и сведении исходной задачи 1-2 к вспомогательной задаче математического программирования с конечным числом переменных. Дифференциальные уравнения при этом заменяются конечно-разностными по схеме Эйлера первого или второго порядка точности. Подобные задачи рассмотрены в трудах Ю.Г. Евтушенко. Решение данной вспомогательной задачи рассматривается как некоторое приближение к решению исходной, и на его основании производится выделение подмножества активных ограничений.

Доказана теорема о необходимых и достаточных условиях устойчивости задачи ЛП, в зависимости от вариаций параметров задачи.

Приведена иллюстрация применения теоремы об устойчивости для различных случаев изменения параметров задачи. Сначала рассмотрены случаи, когда изменяется только один из параметров: с , ь или Л . Затем случаи, когда меняются пары параметров, и, наконец, последний случай одновременного изменения всех трех параметров. Далее рассматриваются частные случаи устойчивости задачи ЛП.

В четвертой главе рассматриваются вопросы практической реализации предлагаемого подхода на примере параметрической линеаризации, дискретной аппроксимации и аналитического исследования для динамических моделей взаимодействия двух промышленных предприятий.

Приводится детальное содержательное описание моделируемой системы для случая параметрической линеаризации рассматриваемой модели.

Динамическая модель взаимодействия двух предприятий имеет вид: Задача 3:

а ограничения на управления и фазовые переменные соответственно

е<б(0<б; &йЯ(/)<Л; ^€[0,Г]

найти тах^сг) при условиях

К(0) = 0; ДО) = 0; £(0) = 0; У(Г) = 0; ДГ) = 0 .

Здесь:

- общий объем ресурсов, передаваемый от предприятия -донора предприятию - акцептору;

- интенсивность поставки ресурсов (управление);

- суммарный объем производства промышленной продукции;

- интенсивность промышленного производства (управление);

- прибыль от реализации произведенной продукции; Остальные переменные Ро(0 > Р(0 являются параметрами

модели, которые могут выступать в роли весовых и управляющих функций.

Доказана теоремы:

1. Если параметры и управления задачи 3 измеримы и для правых частей дифференциальных уравнений выполнены условия Филиппова А.Ф. и существует хотя бы одна допустимая пара, удовлетворяющая всем условиям задачи 3, то оптимальное решение существует и единственно.

2. Принцип максимума для задачи 3 выполняется тривиально.

Далее предлагается регуляризация задачи 3 за счет введения малых параметров в правые части дифференциальных уравнений. При этом получается нетривиальный принцип максимума.

На графиках 1 и 2 приведены характерные решения для фиксированных параметров 2_. б . Д-.я и рЛ1) ,/>(') 'е[0,7']_ Приведенные графики построены с помощью графического пакета и адаптированного пакета прикладных программ БАЛАНС — 2.

График 1

Проверка правильности построения гипотезы о геометрии оптимальной траектории для рассматриваемых задач выполнялась по принципу максимума Понтрягина.

На графике 1 приведена динамика фазовых переменных, откуда хорошо видно, что при кризисных явлениях нет никакой прибыли на определенном интервале времени, что характеризуется поведением кривой

(/). Здесь по оси ординат отложены условные единицы значений фазовых переменных, а по оси абсцисс характерное время с выбором подходящего масштаба.

Для рассматриваемой модели параметр-функции в качестве примера задавались в виде:

|ао > 'е [0,го) [а0, 1Е[Т0+А,Т]

'е [0,г) I е [т,т + &) I е [г + Д,Т]

Где а0,Ь0, а,Ь - константы.

График 2

График 2 иллюстрирует динамику управляющих функций (для модельного примера). Значения на оси ординат слева характеризуют интенсивности, а справа — параметр-функции. А по оси абсцисс отложено характерное время.

В приложении изложен новый эффективный метод интегрирования жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений на базе параметризации явных схем. Выводы:

Предложена модель взаимодействия двух промышленных предприятий, которая описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений с фазовыми и смешанными ограничениями.

Разработаны явные численные методы для интегрирования жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Разработан способ оценки геометрии оптимальной траектории. Предложен метод регуляризации вырожденного принципа максимума в задаче взаимодействия двух промышленных предприятий.

Доказана теорема существования и единственности оптимального решения в задаче взаимодействия.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

Дикусар В.В., Старинец Д. В.Управление риском портфеля ценных бумаг Труды ИСА РАН. Т.31(1) Динамика неоднородных систем. 2007г.С. 14-22.

Старинец Д. В. Методы продолжения при решении краевых задач оптимального управления. Труды ИСА РАН. Т.31(1) Динамика неоднородных систем. 2007г.С.74-80.

Дикусар Э.В., Чекарев Д.А., Старинец Д.В. Достаточные условия экстремума в линейной задаче оптимального управления. Труды ИСА РАН. Т.32(1) Динамика неоднородных систем. 2008г С. 16-23.

Дикусар Э.В., Чекарев Д.А., Старинец Д.В. Сходимость дискретных аппроксимаций. Труды ИСА РАН. Т.32(1) Динамика неоднородных систем. 2008г. С. 101-110.

Дикусар Э.В., Чекарев Д.А., Старинец Д.В. Численно-аналитический метод решения задач оптимального управления со смешанными ограничениями.

Труды ИСА РАН. Т.32(1) Динамика неоднородных систем. 2008г.С. 111122.

Дикусар В.В., Старинен Д.В. Методы интегрирования жестких систем явными методами. Труды 14-ой Байкальской школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». Иркутск-Байкал 2-8-го июля 2008г. т.З ИСЭМ СО РАН 2008. С. 77-85.

Dikusar V.V., Starinets D.V. Continuation methods for solving boundary value problems. Abstracts of International Conference «Nonlinear Analysis and Optimization Problems», Montenegrin Academy of Sciences and Arts, Petrovac, Montenegro, October 06th - 10th , 2008. P.37.

Dikusar V.V., Starinets D.V. Determined portfolio dynamic problem. Abstracts of International Conference «Nonlinear Analysis and Optimization Problems», Montenegrin Academy of Sciences and Arts, Petrovac, Montenegro, October 06th-10th, 2008. P.38.

Подписано в печать19.02.2009 г. Исполнено 25.02.2009 г. Печать трафаретная

Заказ № 1902 Тираж 80 экз.

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (495)975-78-56 www.autoreferat.ru

Введение.

Глава 1. Модель динамического взаимодействия двух промышленных предприятий.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Условия существования, единственности и оптимальности.

1.3. Проблема тривиальности решения сопряженной задачи.

1.4. Регуляризация принципа Максимума.

1.5. Продолжение решений по параметру.

Глава 2. Математическое моделирование линейных динамических систем со смешанными ограничениями.

2.1. Постановка параметрической задачи оптимального управления.

2.2. Необходимые условия оптимальности для общей задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина и формализм Дубовицкого-Милютина.

2.3. Линейные параметрические модели с ограничениями смешанного типа.

2.4. Условия оптимальности для линейных задач.

2.5. Задачи оптимального управления 1 и 2.

Глава 3. Решение линейных задач оптимального управления со смешанными ограничениями методом дискретизации по времени.

3.1. Построение конечно-разностной аппроксимации модели.

3.2. Схема решения параметрических задач оптимального управления.

3.2.1. Получение аппроксимации решения прямой задачи.

3.2.2. Выделение множества активных ограничений.

3.2.3. Построение аппроксимации решения сопряженной задачи.

3.3. Сходимость дискретных аппроксимаций.

Глава 4. Задачи линейного программирования.

4.1. Различные формы задач линейного программирования (ЛП).

4.2. Двойственность в задачах ЛП.

4.3. Метод эллипсоидов.

4.4 Метод внутренней точки.

4.5. Барьерно-проективные методы.

4.6. Устойчивость задач ЛП.

4.7. Регуляризация неустойчивых задач.

4.8. Обобщённая задача ЛП.

Выводы.

Список публикаций автора.

Актуальность. Развитие отечественного промышленного производства за счет повышения эффективности взаимодействия промышленных предприятий может обеспечить решение целого ряда острых производственных и социально-экономических проблем в условиях кризиса. При этом необходимо отметить, что замещение импорта должно помочь развитию отечественного производства и проведению технического перевооружения российских предприятий, значительный износ оборудования которых приводит к снижению эффективности промышленного производства в целом. Эти вопросы становятся достаточно актуальными в современных условиях экономического кризиса.

Отметим, что показатели конкурентоспособности улучшаются при объединении предприятий в рамках корпорации. Большую роль приобретают методики и технологии, которые позволяют повысить уровень производственных и социальных показателей. Особо важное значение приобретают методы подготовки и принятия эффективных управленческих решений.[33-35],[54].

Наступивший кризис промышленного производства выявил очевидную необходимость пересмотра методов управления промышленными предприятиями в сторону улучшения эффективности потребления ресурсов. Настоящая работа посвящена решению важной частной задачи — улучшению эффективности взаимодействия промышленных предприятий. Цель работы. Целью работы является: построение модели взаимодействия промышленных предприятий в условиях кризиса производства; решение задач оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями (схема Дубовицкого-Милютина [9]-[11]) для разработанной модели; решение задач линейного программирования большой размерности методом продолжения решения по параметру [24]-[30]; на основании проведенных исследований - предоставить возможность выработки обоснованных эффективных управленческих решений для оптимального развития промышленного производства в условиях кризиса. Методы исследования. Основным инструментом для решения поставленных задач является принцип максимума (схема Дубовицкого-Милютина) и метод продолжения решения по параметру. Поставленные задачи (за счет дискретизации обыкновенных дифференциальных уравнений) сводятся к задачам линейного и нелинейного программирования большой размерности [20]-[23], [36]-[39], [43], [44], [53], [55], [62], [63],[87-97]. Применение принципа максимума в дискретном варианте сводит первоначальную задачу к задаче линейного программирования большой размерности. В качестве параметра выступает время. Это позволяет сначала на малом отрезке решать задачу малой размерности и затем полученное приближение используется при его продолжении по параметру. Научная новизна.

Решена новая важная задача эффективного управления ресурсами с учетом взаимодействия двух промышленных предприятий в условиях кризиса производства.

Разработан новый эффективный подход к решению задачи линейного программирования большой размерности за счет продолжения решения по параметру. Для интегрирования жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений разработаны специальные явные схемы [24]-[29], [63], [80], которые показали свою эффективность при численном решении указанных систем. Также были применены методы параметризации при качественном и численном решении задачи взаимодействия двух промышленных предприятий [33]. В предложенной модели принцип максимума выполняется тривиально, т.е. является вырожденным. Для построения содержательного принципа максимума в правые части обыкновенных дифференциальных уравнений вводятся малые параметры, которые позволяют исследовать задачу с помощью классического принципа максимума [1]-[16]. Данный подход является новым, так как по существу применяется регуляризация основной задачи в отличие от известных работ, в которых регуляризация применяется для сопряженной системы уравнений. Обоснованность научных положений.

Теоретические положения и выводы диссертации сформулированы в виде утверждений и теорем, которые строго доказаны. Практическая ценность.

Модели, методы и алгоритмы, разработанные в диссертации, применялись для решения практических задач взаимодействия промышленных предприятий, а также в учебном процессе в Московском Физико-Техническом институте и в Вычислительном Центре РАН. Предложенные методы продолжения решения по параметру, а также методы регуляризации вырожденных задач могут быть использованы в теоретических исследованиях при решении прикладных задач оптимального управления. Был адаптирован пакет прикладных программ БАЛАНС-2 для решения задачи ЛП и использован для практических численных расчетов показателей эффективности производства на модельном примере (с применением метода продолжения решения по параметрам).[27], [41],[62],[80].

Апробация работы.

Основные положения исследования докладывались и обсуждались на международной конференции в Черногории (International Conference «Nonlinear Analysis and Optimization Problems», Montenegrin Academy of Sciences and Arts, Petrovac, Montenegro, October 06th - 10th , 2008), на 14-ой Байкальской школе-семинаре СО РАН «Методы оптимизации и их приложения». (Иркутск-Байкал 2-8-го июля 2008г.) и на научных семинарах в МФТИ и в ВЦ РАН.

Личный вклад.

1) Проведен качественный и количественный анализ задачи эффективного управления взаимодействием двух промышленных предприятий.

2) Разработан прямой численный метод построения гипотезы по определению множества активных индексов для задачи управления с ограничениями типа неравенств (геометрия оптимальной траектории).

3) Предложена регуляризация вырожденного случая принципа максимума.

4) Разработан явный эффективный численный метод решения жестких систем ОДУ.

5) Автором адаптирован пакет прикладных программ БАЛАНС-2, использование которого позволяет выработать обоснованные управленческие решения.

Публикации. Основные результаты исследования отражены в восьми публикациях. Список работ приведен в конце автореферата. В совместных работах автору принадлежит 50% результатов.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, шести рисунков, одной таблицы и двух приложений. Список использованной литературы составляет 109 наименований.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1 Дикусар В.В., Старинец Д. В.Управление риском портфеля ценных бумаг Труды ИСА РАН. Т.31(1) Динамика неоднородных систем. 2007г.С. 14-22.

2 Старинец Д. В. Методы продолжения при решении краевых задач оптимального управления. Труды ИСА РАН. Т.31(1) Динамика неоднородных систем. 2007г.С.74-80.

3 Дикусар Э.В., Чекарев Д.А., Старинец Д.В. Достаточные условия экстремума в линейной задаче оптимального управления. Труды ИСА РАН. Т.32(1) Динамика неоднородных систем. 2008г С. 16-23.

4 Дикусар Э.В., Чекарев Д.А., Старинец Д.В. Сходимость дискретных аппроксимаций. Труды ИСА РАН. Т.32(1) Динамика неоднородных систем. 2008г. С. 101-110.

5 Дикусар Э.В., Чекарев Д.А., Старинец Д.В. Численно-аналитический метод решения задач оптимального управления со смешанными ограничениями. Труды ИСА РАН. Т.32(1) Динамика неоднородных систем. 2008г.С. 111-122.

6 Дикусар В.В., Старинец Д.В. Методы интегрирования жестких систем явными методами. Труды 14-ой Байкальской школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». Иркутск-Байкал 2-8-го июля 2008г. т.З ИСЭМ СО РАН 2008. С. 77-85.

7 Dikusar V.V., Starinets D.V. Continuation methods for solving boundary value problems. Abstracts of International Conference «Nonlinear Analysis and Optimization Problems», Montenegrin Academy of Sciences and Arts, Petrovac, Montenegro, October 06th - 10th , 2008. P.37.

8 Dikusar V.V., Starinets D.V. Determined portfolio dynamic problem. Abstracts of International Conference «Nonlinear Analysis and Optimization Problems», Montenegrin Academy of Sciences and Arts, Petrovac, Montenegro, October 06th - 10th, 2008. P.38

1.J. Arrow. Applications of control theory to economic growth. Mathematics of the decision sciences, part 2, 1968, American mathematical Society, Providence, Rhode 1.land.

2. O.L. Mangasarian. Sufficient conditions for the optimal control of nonlinear systems. SI AM. J. Control 4 (1966), P. 139-151.

3. Fiacco Anthony V., McCormick Garth P. Nonlinear Programming: Sequential Unconstrained Minimization Techniques. John Wiley and Sons, Inc., New York, 1968.

4. Ho J.K. Nested decomposition and multistate linear programs. Management Science, 1973. Vol. 20. № 3. pp. 282-292.

5. Milyutin A.A., Osmolovskii N.P., Calculus of Variations and Optimal Control. AMS, Providencs, Rhode Island, 1998.

6. Stoer J, Bulirsch P., Introduction to Numerical Analysis. Springer-Verlag, 1990.

7. Алифанов O.M., Артюхин E.A., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.

8. Арутюнов А.В. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М.: Изд-во "Факториал", 1997.

9. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высш. школа, 2003.

10. Афанасьев А.П., Дикусар В.В., Милютин А. А., Чуканов С.А. Необходимое условие в оптимальном управлении. — М.: Наука, 1990.

11. Афанасьев А.П. Линейные по управляющим воздействиям задачи оптимального управления. Препринт. М.: ВНИИСИ.

12. Белухин В.П. Параметрический метод решения задач линейного программирования Автоматика и телемеханика, 1975. № 3. С. 95-103.

13. Бетт Дж. Сведение задачи оптимального управления к задаче нелинейного программирования большой размерности. Корпорация Боинг. 1998.

14. Биргер Е.С., Пестряков А.К. О численном отыскании допустимого плана развития экономики. Автоматика и телемеханика, 1976. № 14. С. 102-108.

15. Бирюков С.И., Шибанов А.В. Алгоритм поиска сбалансированного плана в динамической модели экономики. В сб. "Моделирование и управление в развивающихся системах". М.: Наука, 1978. С. 76-81.

16. Будак Б.М., Бертович Е.М. Разностные аппроксимации для задач оптимального управления с подвижными концами при наличии фазовых ограничений. I. П. III "Вестник МГУ. Матем. механика", 1969, №6. Стр. 5968; 1970, №1, Стр. 39-47; 1970, №2. Стр 23 32.

17. Вайнберг М.М. Функциональный анализ. М., Просвещение. 1979.

18. M.J7. Вайцман, А.Г. Шмидт. Принцип максимума для дискретных экономических процессов на бесконечном интервале времени. Кибернетика. 1971. № 5.

19. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

20. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М, Факториал, 2002.

21. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. М.: Факториал, 1998.

22. Гилязов С.Ф. Приближенное решение некорректных задач. М.: МГУ, 1995.

23. Данциг Дж. Линейное программирование, его обобщения и применения. М.: Прогресс, 1966.

24. Дикусар В.В. Методика численного решения краевых вариационных задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Автореферат дисс. д.ф.-м.н., Дубна, ОИЯИ, 1982.

25. Дикусар В.В., Милютин А.А, Качественные и численные методы в принципе максимума. М., Наука, 1989.

26. Дикусар В.В., Кошъка М., Фигура А. Методы продолжения решений в прикладных задачах оптимального управления. М., МФТИ, 2001.

27. Дикусар В.В., Гживачевский М., Кошъка М., Фигура А. Методы продолжения решений в прикладных задачах оптимального управления. М.,МФТИ, 2001.

28. Дикусар В.В., Кошъка М., Фигура А. Задачи оптимального управления при наличии ограничений общего вида. М., МФТИ, 2001.

29. Дикусар В.В., Кошъка М., Фигура А. Методы решения плохо обусловленных линейных систем. М.: ВЦ РАН, 2001.

30. Дикусар В.В., Синягин С.Ю. Качественные и численные методы в задаче оптимального управления внешним долгом: Сообщ. по прикл. матем. / ВЦ РАН. М., 2000.

31. Дубовицкий А.Я., Дубовицкий В.А. Принцип максимума траекторий, границы которых лежат на фазовой границе. Черноголовка. Препр., 1988.

32. Дубовицкий А.Я., Дубовицкий В.А. Критерий существованиясодержательного принципа максимума в задаче с фазовыми ограничениями. М., Дифференциальные уравнения, т.31, №10, 1995.

33. Дюкалов А.Н., Иванов Ю.Н., Илютович А.Е., Токарев В.В., Уздемир А.П. Методы решения линейных динамических задач экономическогопланирования. В сб. "Измерения, контроль, автоматизация", 1979, № 5. Стр. 43-54.

34. Дюкалов А.Н., Илютович А.Е. Магистральные свойства оптимальных траекторий динамической модели межотраслевого баланса в непрерывном времени. Автоматика и телемеханика, 1074. № 6. Стр. 59-89.

35. Дюкалов А.Н. Некоторые задачи прикладной математической экономики. М.: Наука, 1983.

36. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.

37. Еремин И.И., Мазуров В.Д. Нестационарные процессы математическогопрограммирования. М., Наука, 1979.

38. Ермольев Ю.М., Гуленко В.П., Царенко Т.И. Конечно-разностный методв задачах оптимального управления. Киев: Наукова думка, 1978.

39. Измайлов А.Ф., Третьяков А.А., 2-регулярные решения нелинейных задач. М., Физматгиз, 1999.

40. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964.

41. Коротких М.П. Язык «/,» моделирования динамических систем. МФТИ,1993.

42. Косарев В.И. 12 лекций по вычислительной математике. М.: Изд-во МФТИ, 2000.-224 с.

43. Кривобок И.Г. Методы решения линейных динамических задач экономического планирования, основанные на декомпозиции по времени. Автореф. дисс. к.ф.-м.н. М.: ИСА РАН, 1986.

44. Кривоножко В.Е., Чеботарев С.П. О методе факторизации в задачах линейного динамического программирования. Автоматика и телемеханика, 1976. № 6. Стр. 80-90.

45. Крылов И. А., Черноусъко Ф.Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления. ЖВМиМФ, 1962, Т. 2, № 6, Стр. 1132 1139.

46. Левиков А.А. Об условиях экстремума для выпуклой задачи оптимального управления. М.: 1982. 60 с. (Препринт ВЦ АН СССР).

47. Левиков А.А. Предельные свойства линейной задачи оптимального управления. ЖВМиМФ, 1977. Т. 17. № 4. С. 879-889.

48. Любушин А.А. О применении модификаций метода последовательных приближений для решения задач оптимального управления. ЖВМиМФ, 1982. Т.22,№1. Стр. 30-35.

49. Мееров М.В., Литвак Б.Л. Оптимизация систем многосвязного управления. М.: Наука, 1972.

50. Милютин А.А., Илютович А.Е., Осмоловский Н.П., Чуканов С.В. Оптимальное управление в линейных системах. М., Наука, 1993.

51. Мордухович Б.Ш. Существование оптимальных управлений. М., Сб. "Итоги науки и техники. Современные проблемы математики" т.6, (стр. 205-261), М., ВИНИТИ. 1976.

52. Морозов В.А. Алгоритмические основы методов решения некорректно поставленных задач. Сб. "Численный анализ: теория, приложения, программы". М.: МГУ, 1999, Стр.3-26.

53. Муртаф В. Современное линейное программирование. М.: Мир, 1984.

54. Петров А.А. Проблемы математического описания экономических процессов и системного анализа экономики. Сб. "Математическое моделирование: Методы описания и исследования сложных систем". М.: Наука, 1989.

55. Поляк Б. Т. Об одном методе решения задач линейного и квадратичного программирования большого объема. М.: МГУ, 1969, вып. 12, Стр. 10-17.

56. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., Физматгиз, 1976.

57. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 2001.

58. Попов Л.Д. Несобственные задачи оптимизации, методы их оптимальной коррекции и приложения. Автореферат дисс. д.ф.-м.н., Новосибирск, Институт математики им. С.Л.Соболева, 1997.

59. Пропой А.К, Ядыкин А.Б. Модифицированные соотношения двойственности в задачах линейного динамического программирования. Автоматика и телемеханика, 1975, № 5. Стр. 106 114.

60. Розоноэр Л.И. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории оптимальных систем. I, II Автоматика и телемеханика, 1959. Т. XX, № 10. Стр. 1320-1334; № 11, Стр. 1441-1458.

61. Тер-Крикоров A.M. Оптимальное управление и математическая экономика. М.: Наука, 1977

62. Умное А.Е. Система содействия принятию решений «Баланс». М.: МФТИ, 1991.

63. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М., Наука, 1978.

64. Федосеев А.В. Оптимальное управление в трехсекторной модели экономики слаборазвитой страны. ЖВМиМФ. Т.12. №4. 1971.

65. Чарный В.К Функциональные методы решения линейных динамических задам экономического планирования. Автоматика и телемеханика, 1975. № 11. С. 159 169.

66. Чекарев Д.А. Построение класса чисел с плавающей точкой повышенной точности. // Управление и обработка информации: модели процессов: Сб.ст./Моск. физ.-тех. ин-т. -М., 2001. С. 244-248.

67. Чекарев Д.А. Схема получения численного решения сопряженной задачи по известному численному решению прямой в задаче оптимального управления. // Обработка информации и моделирование: Сб.ст./Моск. физ.-тех. ин-т. М., 2002. - С. 329-332.

68. Чекарев Д.А. Модель экономической системы с эффектом накопления в задаче оптимального управления внешним долгом. // Моделирование иобработка информации: Сб.ст./Моск. физ.-тех. ин-т. М., 2003. - С. 39-43.

69. Умное А.Е., Умное Е.А., Чекарев Д.А. Анализ эффективности схем дискретной аппроксимации в задачах оптимального управления. // Моделирование и обработка информации: Сб.ст./Моск. физ.-тех. ин-т. -М., 2003.-С. 44-52.

70. Умное А.Е., Умное Е.А., Чекарев Д.А. Использование метода параметризации в задачах оптимального управления со смешанными ограничениями. // Моделирование процессов управления: Сб.ст./Моск. физ.-тех. ин-т. -М., 2004. С. 124-131.

71. Умное А.Е., Умное Е.А., Чекарев Д.А. Параметрический двухуровневыйметод решения задач оптимального управления со смешанными ограничениями. // Моделирование процессов управления: Сб.ст./Моск. физ.-тех. ин-т. М., 2004. - С. 132-140.

72. Умное А.Е., Умное Е.А., Чекарев Д.А. Оценки погрешности дискретнойаппроксимации решения задач оптимального управления со смешаннымиограничениями. // Моделирование процессов управления: Сб.ст./Моск. физ.-тех. ин-т. М., 2004. С. - 141-148.

73. Дикусар В.В., Чекарев Д.А. Численно-аналитический метод решения задач оптимального управления: Сообщ. по прикл. матем. / ВЦ РАН. М., 2004.-31с.

74. Чекарев Д.А. Увеличение разрядной точности решателя посредством введения нового класса чисел с плавающей точкой повышенной точности. XLIII Научная конференция МФТИ: Тез. докл. М., 2000, ч. VII С. 27.

75. Чекарев Д.А. Оценка погрешности численного решения задачи оптимального управления для линейной модели управления внешним долгом. XLVI Научная конференция МФТИ: Тез. докл. М., 2003, С. 91.

76. Черноусъко Ф.Л., Колмановский В.Б., Вычислительные и приближенные методы оптимального управления. М., Сб. "Итоги науки и техники. Математический анализ", т.14, 1977.

77. Чуканов С.В. О непрерывной зависимости решений задачи оптимального экономического планирования от условий задачи. Автоматика и телемеханика, 1978. № 5. Стр. 113

78. Шалашилин В.К, Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решений по параметру и наилучшая параметризация. Эдиториал. УРСС, 1999.

79. Шатровский Л. И. Об одном численном методе решения задач оптимального управления. М., ЖВМ и МФ, 1962, №2.

80. Шикин Е.В. Линейные пространства и отображения. М.: МГУ, 1987.

81. Шмидт А.Г. Учет фазовых ограничений в задачах оптимизации на конечном и бесконечном интервалах времени. В сб. "Математическая экономика", 1982. Стр. 233-247

82. А. Ашманов Линейное программирование. М., Наука, 1981.

83. А.Г Сухарев, А.В. Тимохов, В.В. Фёдоров. Курс методов оптимизации. М., Наука, 1986.

84. Д.В. Беклемишев. Дополнительные главы линейной алгебры. М., Наука, 1983.

85. Л.Г. Хачиян. Полиномиальный алгоритм в линейном программировании. ДАН СССР, 1979, 244, №5, с. 1093-1096.

86. Д.Б. Юдин., А.С. Немировский. Информационная сложность и эффективные методы решения выпуклых экстремальных задач. Экономика и мат. методы, XII, № 2, 1976.

87. Н.З. Шор. Метод отсечения с растяжением пространства для решения задач выпуклого программирования. Кибернетика, -1977,-№ 1.

88. Л.Г. Хачиян. Сложность задач линейного программирования. Новое в жизни, науке, технике. Серия математика, кибернетика, 10 М., Знание, 1987.

89. Karmarkar N.K. A new Polynomial Time Algorithm for Linear Programming, Combinatorica 4, pp. 373-395, 1984.

90. Fiacco A.V. and McCormick. Nonlinear Programming: Sequential Unconstrained Mimmization Techniques, John Wiley and Sons, New York, 1968.

91. B. Jansen, C. Roos, T. Terlaky, J-Ph. Vial. Interior Poin Methodology for Linear Programming: Duality, Sensivity Analysis and Computational Aspects. Report 93-28. Delft University of Technology. Delft 1993.

92. Ю.Г. Евтушенко, В.Г. Жадан. Барьерно-проективные и барьерно-ньютоновские численные методы оптимизации (случай нелинейного программирования). Сообщения по вычислительной математике. М., ВЦ РАН, 1991.

93. Ю.Г. Евтушенко, В.Г. Жадан; Барьерно-проективные и барьерно-ньютоновские численные методы оптимизации (случай линейного программирования). Сообщения по вычислительной математике. М., ВЦ РАН, 1992.

94. Y.G. Yevtushenko, V.G. Zhadan. Stable Barrier-Projection and Barrier-Newton Methods for Linear and Nonlinear Programming In "Algorithms for

95. Continuous Optimization. The State of Art". NATO ASI Series. Vol. 434. Kluwer Academic Publishers, 1994, pp. 255-286.

96. Дикусар В.В. Обобщённая задача линейного программирования. Доклады РАН, том 348, №6, 1996, с. 1-3.