автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Выделение особенностей для задач с пограничным слоем

Г' Г 5 ОД

На пр-тах рукописи

Багаев Борис Михайлович

Выделение особенностей для задан с пограничным слоем Специальность 05.13.18 - Теоретические осноаы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат Диссертации на соискание ученой степени доктора фиэико-математичеекпх наук

Красноярск - 1997

Работа выполнена в Сибирской Аэрсжоемлческод Академии

Официальные оппоненты: - доктор фпзако-матсматнческпх наук, профессор Новиков Е.А.

- доктор фидасо-математцтсских паук, профессор Лаевский Ю.М.

- доктор фвдгио-математЕческЕХ наук, профессор Лксейкпп В.Д.

Ведущая организация: Институт математики к мехашпш УрО РАН

Защита состоится "26 сентябре " 1957 г. б 14 часов ыа заседашш диссертационного совета Д 064.54.01 по защате диссертаций са созскагше ученой степени доктора наук в Красноярском государстветгом технической! уш;всрснтете( 660074, Красноярск, уя. Кпренскато, 26).

С днессертаиией ыо;иио ознакомиться Б библиотеке Красноярского государственного технического укипсрсктета.

Отзывы на автореферат ю двух экземплярах, зайеренные печатью учре- • ■лж-ни-л просим выслать л о адресу: 620049, г. Кр&сполрс;:--«!), ул. Ленина 70, Ученому секретарю диссертационного соната.

Автореферат разослан "7 " августа 1937 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.т.к., профессор

В.Н.Тпмофееп

Общая характеристика работы.

Актуальность определяется той ролью, которую играют численные методы при решении сингулярно возмущенных задач.

При исследовании данных задач численными методами, с применением вычислительной техники, мы приходим к построению разностных схем. Возникает еще один векторный параметр, характеризующий шаг разностной сетки. Необходимо так подбирать шаги разностной сетки или схему, чтобы получить решение, равномерно сходящееся по малому параметру, независимо от числа узлоз разностной сетки.

При разработке специальных численных методов сложились четыре подхода: 1) сспованпый на сгущении разностной сетки; 2) использующий специальные подгоночные схемы; 3) основанный на выделении особенностей, 4) использующий усеченные разностные схемы.

В первом подходе основополагающими работами являются работы Н.С.Бахвалова, В.Д.Лпсеякина, Г.И. Шишкина. Здесь главным является выбор критерия по сгущеншо разностных сеток: или равномерная ограниченность производных во всей области переменных или ограниченность производных с учетом роста по малому параметру в зоне влипия функций типа погранслоя. Г.И.Шпшкпн создал новый метод к построению разностных сеток равномерных как з зоне погранслоя, так п вне его.

Во втором подходе следует отметить классические работы Д.Н.Аллена, Р.В. Саусвелла, А.М.Ильина, которые построили и обосновали разностные схемы для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений . Далее эти принципы были продолжены К.В. Емельяновым п Г.И. Шишкиным . Последний защитил докторскую диссертацию по разработке схем с использованием метода сгущающихся сеток для параболических и эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных. Им доказано, что невозможно получпть равномерные по параметру сходящиеся разностные схемы с подгоночными коэффициентами для задач с параболическим поградслоем. Метод подгонки развивается в работах А.И.Задорина, предложившего строить подгоночные коэффициенты с учетом неравномерности сеток, сгущающихся по принципу равномерной ограниченности поточечной вариации.

Третьему подходу посвящена данная диссертация. Ранее метод исчерпывания особенностей применялся в регулярных задачах без малого параметра, когда функцию особенности удается ¿ценить или выписать в

явном виде. В этом слз'чае структура приближенного решения учитывает специфику исследуемой задачи. Для сингулярно возмущенных задач, когда функции типа погранслоя можно выписать в явном виде, посвяицеыа кандидатская /диссертация Б.М. Багаева "Вариационно-разностный метод решения эллиптических уравнений с малым параметром при старших прозводных". В данной работе этот метод выделения особенностей развивается для более широкого класса задач. Оценки сходимости приближенного решения к точному получены в равномерных или в специальных энергетических нормах, которые с физической точки зрения отражают минимум энергии решепиа исходной задачи.

Следует отметить работу БлатоваИ.А., в которой рассматривался аналогичный подход для квазилинейного уравнения и получены оценки сходимости в равномерной норме.

Четвертый подход основан на классических схемах A.A.Самарского. Первой работой для схем повышенного порядка точности, использующей тождество Г.И.Марчука, следует назвать работу В.П.Гаевого, затем эти принципы отражены в работах М.В. Алексеевского. Использованию тождества Г.И.Марчука и специальных базисных функций посвящены работы Боглаева И.П. и Боглаева Ю.П., Сечина А.Ю.

В диссертации разрабатывается метод аддитивного выделения особенностей в виде погранфункций. В ряде задйч не удается выписать функции типа погранслоя в явном виде и включить их в структуру приближенного решения. Для таких задач предлагается численный алгоритм для построения функций типа погранслоя, который заключается в том, что происходит замена переменных в области погранслоя, и в новых переменных задача не является сингулярно возмущенной, что позволяет применять классические методы типа Галеркина, которые достаточно хорошо описывают поведение функций типа погранслоя.

Цель работы состоит в разработке метода выделения особенностей для сингулярно возмущенных задач.

Цель достигается решением ряда следующих теоретических и практических задач.

1. Разработан метод выделения особенностей для сингулярно возмущенных эллиптических п параболических уравнений на основе вариационно-разностных схем, равномерно сходящихся по малому параметру в энергетических нормах, учитывающих рост производных от ре-

тения. Проведено исследование сходимости приближенных решений ь точному для ряда задач в равномерных нормах.

2. Разработан метод выделения особенностей для нестандартного класса задач, в которые включаются пнтегро- дифференциальные уравнения, метод регуляризации для задач с интегральными операторами, задачи оптимального управления, задачи со степенным пограничным слое!.!, задачи с несколькими малыми параметрами при старшей производной.

3. Применен метод выделения особенностей для исследования прикладных задач для температурных полей при обжиг« алюминиевого электролизера, п которых малый параметр играет роль коэффициента температуропроводности. Оптимизация коэффициентов теплообмена и температуры окружающей среды на способ обжига подины алюминиевого электролизера. Построены асимптотические разложения и разностные схемы с учетом влияния малого параметра на тепловое поле.

4. Применен данный подход при исследовании задач тенлонереноса при электронпо-лучевой обработке материалов. Это задачи быстропротека-ющкх процессов с концентрированными источниками энергии, локально определенными в небольшой зоне влияния. Проведен анализ задачи Стефана с фазовыми переходами для жидкой среды и г азообразной.

Научная новизна.

В диссертационной работе предлагается новый метод аддитивного выделения особенностей для решения сингулярно возмущенных задач. Основная идея метода сводится к построению разностных схем с учетом асимптотических разложений и включению их в структуру приближенных решений. Большинство задач исследуется в энергетической норме, которая с физической точки зрения довольна естественна. Кроме этого, рассматривается и стандартный подход исследования разностных схем в разномерной норме.

Исследованы свойства возникающих систем линейных алгебраических уравнений , которые получены в результате дискретизации исходной задачи. Доказано, что при стремления малого параметра к нулю, обусловленность систем линейных алгебраических уравнений улучшается. При увеличении малого параметра обусловленность систем совпадает с результатами стандартных классических схем. Это позволяет применять достаточно широкий класс квадратурных формул.

Данный метод распространен на ннтегро-дифференцшшьные задачи,

метод регуляризации для задач с интегральными операторами, ликейно квадратичной задачи оптимального управления, задач со степенным пограничным слоем, квазилинейные уравнения, уравнения с несколькими .малыми параметрами при старших производных.

Рассмотрены прикладные задача температурных ползя ояюшшасво-го электролизера, а которых малый параметр играет роль коэффициента температуропроводности, динамика температурных напряжений, перемещений частиц вещества , возникающих деформаций материала. Проведена оптимизация коэффициентов теппообмепз и температуры окружающей среды па способ обжига поднпы алюмикизвого электролизера. Построены асимптотические разложения и разностные схемы с учетом влияния малого параметра на тепловое поле. Полученные результаты согласуются с экспериментальными данными.

Исследуется класс задач с учетом теплопереноса при электроннолучевой обработки материалов. Это задача быстронротекаюхцих процессов с коацетрированнымп источниками энергии, локально определенными в небольшой зоне влияния. Рассматрпвается задача Стефаяа с фазовыми переходами для жпдкой среды п газообразной. В твердой среде изучается влияние температурных напряжений в изделиях кз железа п стали. Рассматривается динамика скоростей перемещений частот. Проведен аяаллз динамики границ плавления п кспаренга для различных материалов типа АМГ6, Си, Ре от потека тепловой энергии 2 различных диапазонах. Полученные результаты согласуются с экспериментальными данными.

Научная п практическая цепкость определяется применением данных модели для предварительного выбора технологических параметров па ОАО "КРАЗ"; ГП "КРАСМАШ", что позволяет выбирать наиболее рациональные режпыы эксплуатации, технологии производства п присодит к увеличении срока службы алюминиевого электролизера.

Разработан новый подход к построению приближенных решений сингулярно возмущенных задач. Основная идея подхода сводится к построению разностных схем с учетом асимптотических разложений и включению их в структуру приближенных решений. Доказаны оценки сходимости приближенных решений к точному в энергетических нормах и равномерной метрике. На тестовых примерах проведено сравнение метода выделения особенностей, изучаемого в данной работе, с известными методиками Г.И.Шишкина и получены более высокие оценки погрешности приближенных решений.

Исследованы свойства возникающих систем линейных алгебраических

уравнений, которые получены п результате дискретизации исходной задачи. Доказало, что при стремлении малого параметра к нулю, обусловленность дискретных систем линейных алгебраических уравнений улучшается. При увеличении малого параметра обусловленность систем совпадает с результатами стандартных классических схем. Это позволяет оценить абсолютные к относительные погрешности приближенных решений, использовать достаточно широкий класс квадратурных формул.

Данный подход распространен на хштегро-дифференциальные задачи, метод регуляризации для задач с интегральными операторами,линейно квадратичных задач оптимального управления, задач со степенным пограничным слоем, квазилинейных уравнений, уравнений с несколькими малыми параметрами при старших производных. Доказаны теоремы о сходимости приближенных решений к точному в энергетических и равномерных нормах.

Рассмотрены задачи но влиянию температурных нолей обжпга алюминиевого электролизера, анализируются задачи но возникновению термо-унругнх напряжений в углеграфптовой футеровке , получены численные оценки на динамику деформаянп л перемещений углеграфцтопых блоков при сстьнзадпп тугуяа, предлагаются оптимальные способы обжпга с учетом влшшшг иозффшргевхоз тсплоо-Тмска и температуры охружаюшей среды алюшгаезого электролизера. Построены асимптотические разложения и разностные схемы с учетом влияния малого параметра ¡1а тепло-пое ноле. Полученные результаты согласуются с экспериментальными данными.

Полученные модели используются на ОАО "КРАЗ" для режимов об-п.'зтга подины ажодтапевого электролизера в качестве предварительного выбора некоторых технологических параметроз.

Исследуется класс задач с учетом теплопереноса при электрокио-луче^са обработке материалов. Рассматривается задачи Стефана с фа-з-г"Л!:-т переходами длл датдкоп среды и газообразной. Б твердой среде пзутататся вяжшпе температурных палряжешет в изделиях аз железа и стали. Растатривается динамика скоростей перемещений частиц. Проведен г.я&лнэ дппамикп границ плавления и исяпрерпя для различных ма-терналез тина АМГО, Си, Ре от потока тепловой энергии в различных диапазонах. Полученные результаты согласуются г. экспериментальными данными.

Полученные модели используются на ГП "КРАСМАПГ для электронно лучевой обработки изделий и качестве предварительного выбора неко-

то;я>1Х технологических параметров.

Тездгсьт, защищсе.-йьзе автором

1. В диссертационной работе предлагается кезый метод к решению пшгулярпо возмущенных задач. Йсследосалы к доказаны оценки сходимости приближенных решешш к точцлму для трехмерных зляиптичеекпх уравнений тика реакшш-двффузгя, хгогда функцяк тала иогранслоа выписываются в явном и;:дс.

2. Обостюианы оцс-ш:п сходккостц нр;:бяшкешшх рошешш эллиптических ц параболических уравнений с случае задач реагецпп-дпффузан к конвокпшт-д иффузкк. когда ногракслойнаа часть находится чкелеппо.

3. Нрояедси анализ даскрешых систем линейных алгеСоад'мских уравнений. Доказано, что при стришгеша малого параметра к нулю, обусловленность систем улучшается. Это позволяет выбирать достаточно широкий класс квадратурный формул.

4. Метод аддитивного выделения особенностей распространен па специальные сингулярно возмущенные уравнения, а именно: интегро-дпфференцлалышс задачи, метод регуляризация для задач с кнтеграль-ньшп операторами, линейно квадратичная задача оптимального управления, задача со степенным пограничным слоем, цзазкшшейное уравнение.

5. Метод аддитивного выделения особенностей распространен на задачи по влиянию температурных попей алюминиевого электролизера, построены асимптотические разлодссная и разностные схемы с учетом влияния малого параметра. Проведена оптимизация коэффициентов теплообмена и температуры окрухсаюшсй среды на способ обжига алюминиевого электролизера.

6. Изучен класс задач с учетом тсплоперепоса при электронно-лучевой обработке материалов. Построены разностные схемы с использованием асимптотического анализа решения исходной задачи. Проведен анализ динамики границ фазовых переходов для илгдкой и газообразной.сред в зависимости от потока тепловой энергии в различных диапозонах.

Апробаций результатов. Результаты работ докладывались ца Всесоюзных конференциях Вариационно разностные методы задач математической физики , Новосибирск ,1979,1981.;

на Всесоюзной конференции в ИТПМ СО АН СССР 1978.;

на семинаре профессора А.Ф. Сидорова п институте математики Ур. научного Центра АН СССР, 1979.;

на Всесоюзной конференции Вычислительные методы задач математической физики, Минск 1980.:

па BcsccnojsK'ii птколс-еемилпрс по »vrosnv малою шцкистр.!, Мзллек,19о2.;

па Вс»сохозкой школ-; по иехеречтшлм эадачам, HunvnGnpcK, 1931.; на Всоссгазцом семинаре по «irnxiuaaun и ртд>'ленто дпкк^тхй, Краепоярсх , 1932.;

на Веесою":школах по Вычислительным методам -N 1: Шушс-лское 1979; N 2: Дгггпогорсх 1031; 3: Иовоокбирсп 1933; N о: Нозислбцрск 1989; N 7: Uoi,ocnC:ipa; J DDI; In G: Шупь-вплч- 1993; X 9: Шуна-маюе 1993;

Всссо::пг.о1 шт:оло В!дчцсп'*глтхгнь!.> метод1-! математическое моделирование, Красноярск; - Шутекскол, КРУ; 19Sf>.;

па XII Всесоюзно;"; конференции Достяаеиня и ж.-рспег;типы ¡«пиши диффузионной озарктг, Москза ,1037.;

па Всесоюзной конференция Вычислительные мчтоды " магемятаче-с:;ое моделиронялие Красноярск - Абакан, КРУ, 1909.;

па Всесоюзной школе Кспструпрозааве алгоритмов и решение задач матеяатачсскс-ä фязякп., Кемерово, Й1Ш АК СССР, Кем.ГУ, 1989.:

па Всесогоожуй высташа? "Теплопроводность" МВТУ им. Н.Э. Баумана, Москва НИК ПМП - 19S9.;

на се:и:"е;у; а::аг;емиг:а А.А.Углепа л иисштуте «тали а силаьол. 1990.; ла Всесоюзной школе Слагуллрлгле возмуаздшяг в опгг.лалын-м jnpa-глзтя;, АшхгЗлд 1991.;

из Есесо:о?т:оп коордплацпозкгд, соилцашш: Случайный ю-иск как метод адаптация п сдотшитоцзи сл'сшх систем, Давиогорск,1991.;

на Всесоюзно;! учредитель сод aombeneimiU! Международной аехоцца-nun: СлучайшIiiпопех а опткмгпкции слокних систем, Дшнюгорск.КШ.; глг Мккдуп-уродпол копфорсиплп CSAM'93 Сапкт-Иетербург, 1993. Публпгсащш результатоз. Результаты работ опулшюшшы d -12 работах it приводится в списке литературы. Содержание диссертации.

В первой гладе рассмотрены стационарные сингулярно возмущенные задачи типа реакшш-днфф.уз:щ.

Рассматриваются задачи в областях с гладкими границами, а также в областях с угловыми точками. Для этих задач выводятся априорные оценки решеитш, отражающие поведение решений и их производных к окрестностях пограничных слоен. При построении схем используются асимптотические, разложения, которые позволяют определять структуру

решения. Погрешность таких разностных схем определяется поведенп-

ем решения, выбором апроксимирующпх операторов и сгущением узлов используемых сеток. Для конструируемых схем выводятся условия, достаточные для равномерно!! сходимости по малому параметру. Подходящим выбором параметров рассмотренных схем, распределением узлов сеток обеспечивается монотонность выбранных схем и равномерная по параметру сходимость. Исследование проводится в энергетических и равномерных нормах.

В трехмерной области П рассмотрим задачу Дирихле для эллиптического уравнения, вырождающегося в уравнение нулевого порядка:

Ьи{х) = -£*Ь0и(х) + а(х)и(г) = /(х), х<=П, (1)

и(х) = -ф(х), х € Г, (2)

Здесь коэффициенты уравнения ограничены и удовлетворяют условию эллиптичности: зз з

«о < Е < ¿е (з)

<=1 ij=l 1=1

а также условиям:

<x(z) > а > 0, ф) > 0, х SQ . . (4)

Теорема 1. Пусть для задачи (1)-{2) выполнены условия (3),(4), тогда имеет место сходимость приближенного решения к точному с оценкой

и Л» ^ f е3/2+ Л г < т,

где |jw|i5 = e(Du, Du) + (v, и) ; (и, и) = jQ игЛх] г— шаг разпоствой сеткп.

Теорема 2. Пусть для задачи (1)-(2) выполнены условия (3),(4) , тогда приближенное решение сходится к точному решешцо в равномерной норме со скоростью:

max (и - иА| < С < Т! + V 6 5 Г' (5)

П 1 \ Т' + £lT, £>Т. 4 1

с константой С независящей от г, £.

Получен следующий результат для эвклидовой нормы матрицы А системы линейных уравнений:

||Л|| < С(£2г + т3); jl-4"1 jj < Сг~3; comï(A) < С{ 1 + (s/rf).

Матрица А с уменьшенном малого параметра £ обладает тем спой ствоы, что ее обусловленность улучшается. При е порядка единицы ее обуслсзлепность совпадает с классическими разностными схемами.

Во втором параграфе рассматривается краевая задача п области с углами. Для простоты построения асимптотического разложения и это;.! параграфе мы рассмотрим область 1"! в виде параллелепипеда

П = {(*,!/, *): И, Ы,И< 1}.

Граница Г будет состоять из шести плоскостей, параллельных осям координат. В области П рассмотрим задачу (1)-(2) с условиями (3),(4). Приближенное решение имеет структуру:

ДГ—1

ик(х,у,г)= 22 (6)

|\7,*=1

£

+ П,

t,j.ter

где Piß— билинейные базисные функции, П— функция типа погранслоя, «о = f/a(x); Ofijt— неизвестные коэффициенты.

Матрица А с уменьшением малого параметра £ обладает свойством, что ее обусловленность улучшается. При £ порядка единицы ее обусловленность совпадает с классическими разностными схемами.

Теорема 3. Пусть для задачи (1)-(2) выполнены условия (3)-(4), тогда приближенное решение uh(x,y,z) сходится к точному решению и(х,у,г) с оценкой

£3 + hi, для е < к,

с константой С незапп^яцей от е, Л— шаг разностной сетки.

Теорема 4. Пусть для задачи (1)-(2) выполнены условия (3)-(4) тогда приближенное решение ик(х,у,г) сходится к точному решению и(х,у,г) в равномерной метрике с оценкой

шах ¡и — иь\ < С I о 1 ' ~ ХеН + Ь2, дляе > Л ' ,

с константой С независящей от е, Л.

Во второй главе изучаются нестационарные сингулярно возмущенные задачи типа реакцпн-диффузпп.

и

В первом параграфе исследуется параболическое уравнение с малым параметром при производной по времени. Решается задача на основе выделения пограничного слоя. Решение задачи представляется в виде суммы двух функций, каждая пз которых удовлетворяет некоторому (своему) параболическому уравнению. Для нахождения гладкой составляющей решения применяется метод Галеркина. Для нахождения составляющей решения, задающей погранслойный рост по времени, осуществляется переход к "медленному времени".

Теорема 5. Пусть коэффициенты обладают необходимой гладкостью , тогда для явной и неявной схем справедливы оценки ( для явной схемы необходимо выполнение условия Ц<№\т< eft2)

е max (и - uf - и - «} - uj)(i) < С10(/г! + це + г), для t < ***, (7) е шах (и - и? - и - uf - uS)(i) < Сю (Л2 + г), для t > t*\

l"<t<T

где t"— ширина погранслоя.

Для схемы Кранка-Николсопа

e max (" - «} - uj,u - uf - u£)(i) ^ Cw{h2 + A + т2), для* < (8)

е шк(11 - «i - «21« - "!>)(*) s Cio(^2 + Г3), snst > Г,

Во втором параграфе исследуется параболическое уравнение с малым параметром при старшей производной.

Для построения приближенного решения предлагается метод Галеркина. Исходная задача разбивается на несколько вспомогательных задач, которые не имеют особенностей, по Малому параметру как первоначальная. Для иллюстрация предложенной методика приводятся чнсленные расчеты при различных значениях малого параметра.

Рассматривается первая краевая задача для параболического уравнения с малым параметром е > 0 :

Lu = c(x,t)^-e^ + a(x,t)u=f(x,t),(x,t)ei2. (9)

Поставим краевые условия:

ф,0) = Ь(х), u(l,i) = u(0,t) = 0. (10)

Будем предполагать, что коэффициенты задачи удовлетворяют условиям согласования, обладают нужной гладкостью, кроме того:

а(х, 1) > 0, с(х,1) > 0, (x,t) 6 О. (11)

Под областью Я понимаем:

П = {(е,<):0<:Г<1, *е[0,Г]}.

Теорема 6. Пусть для схемы Кранка-Николсона: задачи (9) выполнены условия (И), тогда справедливы опенки:

тах(с(и2 - V*), (г* - < С10(^2 + г2).

Здесь /1, г— шаги разностной сетки.

В третьем параграфе исследуется уравнение с разрывными коэффициентами и малым параметром при старшей производной. Рассматривается задана (¿ = 1,2):

Он

1щ = + + с*'¿^ = ^ е п,; (12)

= {0 < х < 0.5; 0 < « < ту, П2 = {0.5 < х < 1; 0 < * < Г}. При t ■= 0 определяется разрывная функция

«,(2,0) = д\{х)-, ^(гг.О) = д2(х)- н(0.5,0) = д3. (13)

На границе области для простоты считаем заданным условие:

иКО.О = «*!(<); «2(1,0 = <£(<)• (14)

При х — 0.5 зададим: условно в виде контакта:

г) = ^(0.5,0; «1(0.5,<) = "2(0-5, г). (15)

Коэффициенты с,', Ь;, /,• имеют разрывы первого рода в точке х — 0.5 :

¿¡(г,<)>0;с,(х,0>0. (16)

В точках (0,0); (0,1) выполняются условна согласования для функций /,•; д*; (1,. Внутри областей эти функции считаются достаточно гладкими. -

Теорема 7. Пусть для задачи (12) выполнены необходимые условия , тогда справедливы оценки для функции г = и — ин, т— шаг по (, Л— шаги по х.

тах(«,г) < С(г2 + /£ + + Л2, +

[ а{г, *)<« < С(г2 + + ^ + + Ь2„).

¿ъ

В третьей главе изучаются сингулярно возмущенные задачи типа конвекции диффузии.

В первом параграфе изучается несамосопряженпая задача Дирихле иа прямоугольнике для эллиптического уравнения с однородным! краевыми условиями.

В качестве примера, в этом параграфе рассматривается задача

Ей = £гЛи - а— = /; (г, у) € П, (17)

оу

с граничными условиями

и(х,у)^0;{х,у)еГ, (18)

где О = {(х, у) : 0 < г < й\ 0 < у < о},

а,/6 С4(П), а >а>0ш Я; (19)

/(0,0) = /(0,й) = ^(0,0)=0;

С о.

Тогда интегральная постахговка может быть записана в виде:

Г 0

В(и,и) = (/,г?у) = / /ч«ий1 еИ^1 (О). (20)

Jíl

Теорема 8. Пусть для задачи (17) выполнены соответствующие условия (19), тогда имеет место оценка:

N - < СаЬ. (21)

Здесь щ аппроксимирует гладкую составляющую решения.

Теорема 9. Пусть для задачи (17) выполнены условия (19), тогда для схемы Кракка - Нкколсопа справедливы оценки

тах(мЬ№)) < С20(т2 + /¡¿). (22)

Здесь «.'1 аппроксимирует функцию типа погранслоя.

Во втором параграфе изучается параболическое уравнение с конвективными членами .

TlcpoMR 10. Пустьлп.шолл-'лтг лсоПлодллт"- , гс.гдл ;.'.*: ' <■■■: -

ми К panic а - Кплолсспа:

A(0Jоь)1"*'*03 -i- --i(Vo ',)0.5(а'vl -cJ) = FU^): - (J 'Г 0.5} Г.

с:г;ч:едя:глг.1 оцепкк г*— noi г /ллюсгь гллх:сЛ -V: г. игл з :«!>.•, s •

, - < CWr: : l I'J ,

•\<>'<v- • - - • -3 TpsTi.e'' ; mprirpaihe псллсдустсл. элхпггтгг^м. :е ураяиеяж» с ?!:с:г<:г>-:.-глляып.т гтогрппслсеи .

В отом гтграгрл^о лссл^дуе-гег; па прлтл;угол:л:лке П здлплллп-лллл-

- -!- лл:(Ы ~ /; {.;. у ■ ~ iL \

П - {(-.у) . ' í 1:-л;:лу£ на гг.лллл ; Г.

; 'Л i < J: ' -•--=: v.j ; \V;y;¡ < Д. < - • л v'.y -? г; Г;

i); 4l0) » >í 1} = 0: ,tiv(U) > 0; ;' C'sñv f = 0м Га = {(*,<)); (я, 1);0 < х < 1.) С2ъ)

О Гогжки!« через = {(0,у) ■ 0 < у < I,} ; Г+ — {(1,у) : 0 < у < 1, }: -..-.згсрио чаляслт от гиаха (&,п) следующим сСразом:

(?.,п) = Оия Г0, (М) < Она Г.., (Ь,п) > О на Г+.

(5

Теорема 11. Приближенное решение u¡ гладкой составляющей сходится к точному решению щ, при этом справедлива оценка:

\\Щ - «ÍIU.a < c-J^h+h2); ||U] - и?|!оо,л < cl5(e^h + h^lnh.

Теорема 12. Приближенное решение и§ сходится к точному решению задачи для функции типа погранслоя , при этом справедлива оценка:

Si«2 - «ílloo.A < cu-,{£h + h, + h2)lnh.

В четвертой главе исследуются специальные сннгулярно-шзмущенные задачи.

В этой главе рассмотрены различные постановки задач, в которых малый параметр приводит к различным сингуяярноетям. Для каждой из этих задач сначала проводится асимптотическое исследование. Затем предлагается численный алгоритм, основанный на асимптотическом разложении.

Изучение начинается с квазилинейного уравнения с малым параметром при старшей производной. Предлагается выделять особенности в виде погранфункций, которые носят экспоненциальный характер. С помощью метода Гаяеркпна строится система нелинейных алгебраических уравнений, для которой применяется метод Ньютона со специальным выбором начального значения. Доказана сходимость приближенного решения к точному в специальных энергетических нормах.

Основная задача разбивается на две вспомогательные, одна из которых служит для построения функции типа погранслоя, другая для гладкой составляющей.

Рассматривается следующая краевая задача:

Lu = -su + а(х, и)и + Ь(х, и)'- 0, г £ (0,1), (29)

v(0) = гг(1) = 0. (30)

Относительно коэффициентов задачи предполагаете:, что

а(х,и) < ай < 0; £ С'([0:1] * {-со,со)), (31)

Ъ(х, и) £ С!([0,1] , {-со, ос))', С, < ~и 4- _

аи аи ах

где С i, С-2 > 0— константы , не зависят от и.

Теорема 13. Пусть для задачи (29) выполнены условия (31), тогда для приближенного решения «¿(х) имеет место оценка

Il Ti — и g — П''\\с < С

{h + д/е, еслие < h, h + Л/л/ё, если s > h..

В следующем параграфе рассматриваются разностные схемы для линейно-квадратичной задачи оптимального управления с быстрыми к медленными движениями.

Рассмотрим сингулярно-возмущенную задачу оптимального управления, в которой требуется минимизировать функционал:

+ 0

при условиях

1{и) = 0.5[C7ixC23]

•5 Г [(Сц C2z]D J о

' я, еН2 ' ' Схх '

С2Г

+

Схх Cs^z

H- и Ru)dt —* min

(33)

х = A^t'Vx + Â2{t)z + Bi(t)u, л(0) = г0,

ci = A3(t)x + Ai(t)z + D-i(t)u, ;(fl) = ;0. {.14;

где x <Z E", z E E™, n € ET, s > 0.— малый параметр, T > 0 фиксированный момент време.та, штрих означает тракслоетрованне. Предположим, что сыполшпотея' следующие требования'.

I. Матрицы At(i), Ai(t), Л3(£), Л,('г). Bt(i), B:(t), Dit), R{t) дважды непрерывно дпфференплруемы па [0,Т].

II. Матрицы B{t), Л[1) полоа'птслыто спредолепы naît). Г].

" Я ; ?Я> 1

III. Матрица Н(;\ — ,,, .,* I - постоянная, положительно ш>лу-

Kli-s j

сяг.епленная, кепрерывкал по а.

IV. Слетела, списываемая урз:шеип?мп (39) управляема и наблюдаема й пограиачпем слпе для каледлго фиксированного момента зремени t £ ¡0, Г], т.е. на [0,Т|.

гап</{ П% AtB»,..., ДГ'-Йк} = m, гши;{С;>Л4С:,,...,(Д'4Г'-,СУ2} = т.

Изучаются разностные схемы для уравнения Рикхатн и краевая задача.

Теорема 14. Пусть £ля задан; (33),(3*1) Еылолкепы условия 1-1У, тогда для кркбякжешдаго решения Я; г сзраЕсяякьа оценка:

< СЛ"

и<г<1

я = 1 для схемы Эйлера, гг > 2 для схем повышенного порядка точности .

В следуют?:.! параграфе исследуются: Ептегро-дпфферсицнальпыг операторы. Во многих случаях шпсгро-дз^ферскпсалыше ураавеспя Сьаь-ет удобнее использовать црг. рсизшш пракютссиЕз: задан. Рассмотрим следующую задачу:

Ьи = -А/ -¡'-СП- / Л"(.т; = /, -5(0,1). (35)

••'с

у; 0) = V}, и{1) — иь 0 < е « 1. (35)

Слетаем следующие преддолзяаяпхя «а коэффлгшелтьх зад^чг

Г1

о. / е 1], л £ С^О, 1] * ГО, I]), К > 0. а ~ / > с > 0. (37)

./о

Для задачи справедливо ьсхмдтотпчесдое разлоакнез по малому параметру г. Введем обозначения

г;= -- ~с -г 171, аь^ - | =

= е;ф(-А0г/е)(и3 - иа(0)), = ехрГХДг - 1)/е)(гг} - иа(1)), Аг = >п ~ \/а(1).

Для приближенного решения заменяй штегралы хгадратурнед формулой тргпеппй. В итоге подходам :: системе лппзндых елгебрехгче-етз:

уравнений:

(33)

иЦ = иь, и, - VI, (/£ = /; - £("С -г ~ 1, -V- 1.

Эта система линейных алгеораг.'че«;:;:: ур;шнег;нй имеет плотную матрацу. Р'азностная схема является монотонной .

Теорема 15. Пусть для задрчд; (33),(35) выполнены услезпг '37) , тогда справедлива опенка

¡и-ъ^-ъ^ и"{<СН\ (39)

Расетотрим спу! одау зпдачу для плтсгрп-ляф »»гртолпяяьиого оператора

¿-¡г: — га" пи — Ъч ■}- / К(х,у)ш!у = / (0,1), (40)

Ло

7/(0) - п0,л(1) = г/ь 0<е«1. (41)

Огг.о ептегллю кооффпкяслтрз за дат сделгсм врелполо:::сяяя

а,ь, / <= с!{о, 1}, л' -г сг([о, 1] • [о, II), и > л > о, а > о, .т е {о, 1),

¿(.г) - 1*К(х,у)4у > /3 > 0. (12)

¿'о

Тп.:сг:,1 сОразом, сзлесосЗразцсг построить нонотспяую разностную схему па рвггс^грдсЗ сст;» Пто-гспт квадратурные фор?гулы траггецпа, пострел:! сдстему лгпгг."~;ьтх йлга'р.тггчссгапс уразеейдй:

¿V - ~ 2и? + + - «?)/>' -

и* «"'г» и» = аь т = (-13)

Тсех>2*.га 1С . Пусть для з«т:п (-10),(-11) »ьшеяпезш условия (42) . теп» г-ргЛл:-::*;га~.23 ркггдгз °г;'(.т) сводится к тотпему решению «(х) .

• ¡11 ~ г - <!(.?) < СЛ. (44)

Огдсгхьгэ пзутгзтея пгтед регуддриздшп. Оа дрсдстазляет интерес дтадзп с дра^ьгдудгем трогрзфем, когда уравнена? Фредгольма первого рода сзаглтся к рехггегггэ лятегро-дгффсреотсальпых уразвевпй.

В этом дзргтрафг рдсо'.отр-ига иезроси о тс;-;, ка:: :,тетсд разложения г.э тгпрг^гкру с?.тзга с регул.-фтааяягй нскоректдо-постазлстшх задач. ОяпоЗ. аз тдгапгшх токах задач дгдгется решение урапнгяпя Фредгольма первого рода.

/ Л'(г,?Мг/М =/(*), 16(0,11. («)

л

Тг.кад задача гвкягтел «скорсдтпз посгазд?пной и се решение неедин-гтвгчпю. Однако, если потребовать от функции и(.г) дополпитолишх огр:ип:т:':>пт:2 то решсипе (-15) моего ппйта я ограниченном зиножегтие.

Метод регуляризации позволяет выделять классы ограничений на решение и(х). Наиболее простой подход состоит в сведении уравнений Фред-гоаьма первого рода к уравнению :

г'

е«£(х) + I K(x,y)us{y)dy = /(*), х е [0,1]. (46)

J о

Будем предполагать, что коэффициенты задачи (45) удовлетворяют условиям

/ес2(о,1], Л" ec2(io,i)-[o,i}), к > л'0>о. (47)

Эга задача ухе является корректной а доказано существование единственность для задачи (45). Второй подход состоит в решении пнтегро-дифференцнальяого уравнения

еи'с(х) + / К(х, y)u€{y)dy = /(*), и,(0) = 0. (48)

J о

Эта задача также является корректно-поставленной. Наконец, рассмо-1 рим третий случай

ги'(х) 4- / К(х, у)иМ*и = /(«), * 6 (0, Я (49)

J в

Обычно для ¿ыбора ед1Шственного решения и6 рассматривают стабиля-laiop:

П(и) = / (Аи2 + &(« )tyx, lhth > 0, 0i + & > 0.

J и

Пост роим сглаживающий функционал

rl /■!

Л/Ч«, Г) = /'( / ' Л'(х, - + еЩи).

Л JQ

Тогд<> функция и" обеспечивает минимум сглаживающего функционала а .мяяехся приближенным решением задачи (54) с точностью <5 > 0:

Аг(г/,Г)=Ы А/Ч«,/).

Особый интерес представляк> г дифференциальные уравнения с ке-( колькими малыми параметрами. Асимптотика построения погранфупк-цнн изменяет« к для построения численных алгоритмов. В работе построены асимптотические р.< 1Л.м.<-|шя но параметрам. Предложена разностная

схема па основе метода Галерхлна с выделением функций типа погран-слоя. Доказала сходимость приближенного решения к точному в равномерной метрике и в энергетической норме. Приведены результаты численных экспериментов.

Пусть дано уравнение:

Lu = -eiu" + e2&(a:)u' 4- а(х)и = f(x), x 6 (0,1), (50)

«(0) = ы(1) = 0, (51)

с малыми параметрами £1,Ег > 0.

Относительно коэффициентов задачи предполагается ,что

а, / е <72[0,1], Ь€С'[0,1], а > а > 0, Ь > 0. (52)

Рассмотрим разностную схему исходя из интегрального тождества:

i(u, v) = f [evv 4- е"Ь(х)и v + auv)dx,

Jo

(/,v)= / fvdx, v(0) = v(l)~0. Jo

0

Приближенное решение ик(х) будем искать в виде:

N ___

«л(х) = а^(х) + По(х) + 0о(я). (53)

¿=о

где кусочно-лилейные базисные фупкипи, П, -функции типа псгранслоя.

Для выполнения граппчяьк условий следует, что:

«а = «о(0) = • • •' ^ = цо(1) - (54)

Тогда молено считать, что:

к-1 _ ___

ик(х) = ^ "¡'»'¿(г) + /Ф). р(х) - О:0<рв(х) + П№к(х) + П0(.т) + е0(.г). ¡=1

Получены оценки погрешности прполгпкешгого решения в энергетической к равномерной норме. Приведены численные эксперименты, подтвежда-ющке эффективность предложенной методики.

В следующем параграфе лзучьихст. м. ;,лч.. f> стгпешнлм вограав'чзым

слоем. Здесь рассматривается линейное vii.....-^uje якффсравщшьиоз

\ равнение с малы« параметров upa tvapiuui: иродзгодаой. Предлагается алгоритм а'ухциин; разностной сетки ко ia-ад рат лчному залолу ь облагал! влляляа сгекстшх функций. Строится однородная коцсергагЕ&ца;.. осома, аря этом даиффсренпцаяьшли оператор задача првлодаггся и дпгер-геытпому инду. Доказана сходимость првйлилаяшаго решая;.'.;: к точному г< р^ытч-мерсх; мстрлае. Проделся анализ предяэ;:;олн^л cxeacr с лзааст-!:а;л; ранее методиками. Приводится чколенпый эххиерлмалт. Рассмотрим следующую задачу

Lu » (е -ь x)t:" 4- W + ¿(х)и - /(»), X 6 (О,1) (Si)

о гпаа-ц-шьша условиями I рода:

и(0) — л(1) -- 0. (iU)

ОгкосЕтельяо I.->э-аф:;циы1ТО» задача сделаем следующее вргдподх^езиг

<;!» > > о. йА/еС,:[од). ¿(г) < о. (STj

Приведем задачу к самосопряженному ¡.-иду. Возимо:.! :ааоа:ц'д гаа- i'~ ¡ ар; -- j','(ii(a)/(;a}-c))(fa). Упколазаа ypcoacur.e (55) пг. заалу1а:-<

/.¡а ^ z)Lu - (V-u)' -i- -ii'(-)« - F(s). г € [u, 1], <S:*

У; x) = + г), i'(xj « уД-)/(е -i-

Рлссга/грам дл/i задач:: (55) однородную кo^eera,..r;.aaay:.} e:a:::y

■ i 1 I — ¿¿',* --H'' ,, ... • I ...

- -r-Uui—f-- -- -v bS- u„

««-- 4' - ^'i-i/s ~ т Zi'li.'-i -

:-~tfi/i — + + — -r>~ -¿-i/2.

. -J, i r'a»:;; t

- (f / A - г- ( « f /

Ji.l, "i - "'«i.-^j

Теорема 17 . Пуезь для редк-нпа } и,уеааалл (57), тагда

нриПлшкелное решение нл(.г) задача {55) схилигез ь то'гламу решена» 2

равномерной метрике, причем гпраедлии* оиекка.

шах |нА - "j < Ch2. (СО)

¡a'-. s -1

В Глазе 5 проводится исследование тепловых полей алюминиевого электролизера .

В данной главе рассматриваются различные постановки задан, в которых основным является получепие информации о температурных полях, возникающих з разных частях алюминиевого электролизера. В дальнейшем эта информация применяется к различным способам обжига, выбору оптимальных вариантов облснга, исследованию деформаций, возникающих в углеграфптовом блоке, определению температурных напрялсенпй в углеграфптовом блоке. Задачи рассматриваются в эитальпийнон постановке, которая позволяет учитывать фазовые превращения из одного состояния вещества з другое.

В первом параграфе рассматриваются способы обжига алюминиевого электролизера для получения алгампння пз расплавленЕШХ солей. Одной лз целен работы является повышение срока службы электролизера за счет равномерности нагрева подовых блоков.

Применительно к обжигу подин алюминиевых электролизеров в качестве математической модели выбрано уравнение теплопроводности, дополненное начальными и соответствующими граничными условиями:

эт д ...^.ат. +Й(Л(Т)|?)+ §;№)%) +М*,у,Ъ е п,

где П— расчетная область алхомняевого элехгтролизера; с, р, А— удельная теплоемкость, плотность, теплопроводность материалов; Т— температура; /1 - внутренние источники тепла; I— время; (ж, у, г)— пространственные координаты.

Во втором параграфе рассматривается оптимизация тепловых режимов обработай алюминиевых элетролпзероп.

Обжиг топочными газами, в отличии от другнх видов обжига, позволяет эффективно управлять температурным режимом и целенаправленно формировать температурное поле углеродистой футеровки. Температурное ноле углеродистой футеровки з процессе обжига будет определяться распределением теплового потока до поверхности подины и его интенсивностью. •

Поставим граничные условия на поверхности углеграфптовош блока у = 0 :

дТ

- = ог(Г - Т:)(х.у = о, О, (021

г I

13 которых необходимо подобрать параметры Тг, а,. Эти параметры определяются путем сжигания топлива форсунками пли нагревательными элементами ц могут принимать заданные значения в конкретном состоянии. При этом известно, что они должны находиться в заданном интервале:

как функция двух переменных ¿1, го. Для того, чтобы сформулировать задачу оптимизации необходимо сформулировать критерий оптимизации. В зависимости от этого критерий могут быть различные постановки задач.

Выберем контрольные точки (х^гц), ..., (хм, ум). Потребуем чтобы в них были заданные значения температур: Т1,...,Тм. Таким образом, мы построим функцлолад:

Выбирая определенный способ обжига, задается распределение (а:;,!/;) по времени. Мшшмпзпруя функционал (64) на каждом временном интервале, мы выбираем оптимальный режим обжига.

В третьем параграфе исследуется трехмерная модель углеграфлтового блока алюминевого электролизера .

При создании углеграфитовых блоков, из которых собирают подину алюминиевого электролизера, придерживаются определенной технологии. Основная суть которой состоит в следующем: расплавленный чугун заливают в специально подготовленную формовку из углеграфата и стального блюмса . При остывании чугуна происходит деформация в углеродистом блоке. В результате возникают микротреицшы, ко которым в дальнейшем просачивается электролит и жидкий алюминий. Основная задача состоит в определения наиболее опасных мест, где возникают эти микротрещины, снижения температурного поля градиентов за счет дополнительных добавок из вспомогательных материалов в углеграфатовом б ланч;.

В четвертом параграфе изучается асимптотический анализ решения от малого параметра, который является отношением е = сТисп/£>цс„ , где г- удельная теплоемкость, Тш„ - температура испарения вещества, £„„,-удельная теплота фтопою перехода испарения.

(63)

и

(64)

.ч

В пятом параграфе исследуются тепловые режимы пуска алюминиевого электролизера. В качестве начального поля температур выбирается распределение теплового потока после режима обжига . Далее в течение семп суток происходит режим пуска, а котором температура в углегра-фитовом блоке достигает значения эксплутащюнной температуры. Приводятся графики движения корочки - границы остывания электролита в зависимости от времени. Построена зависимость линии гарписажа, которая играет защитную функцию при эксплуатации электролизера.

В шестой главе изучаются модели распространения теплового поля с учетом фазовых превращений для электронно-лучевой обработки материалов.

В первом параграфе на основе задачи Стефана исследуются трехмерные модели температурного поля при обработке материалов электронно лучевой сваркой в пространстве п во зремени. Рассматриваются различные способы воздействия источника энергии, такие как сканирующий луч, точечный источник. Получены графики движения границ испарения и плавления. В приведенных моделях используется энтальпийная постановка задачи.

Эиталыхийная постановка задачи позволяет одновременно учитывать тепловые процессы п фазовые превращения.

ш - Фъ - - |<А<Т>| >" =2) € а

(65)

На тело П = {(х,у, z) : z0 < х < уо < У < Уп, < * < действует тепловой источник q[Bm/cs,t2), который движется по исправлению у со скоростью v (см/с). Источник q может быть сканирующим или точечным.

Гауссовскаа форма источника определяется зависимостью:

q = qQÂ{t)expl-/3(:r! + (у - vt)2)],

где A(i)~ коэффициент поглощения знергна, /3— параметр, определяющий радиус распространенна форгш источника, rl0 — U//S2— амплитуда источника, где U— напряжение электронно лучевой пушки (Кв); I- ток а (милпамперах); 5— площадь распределения электронного луча. Температура Т п энтальпия H связаны соотношением:

dГ, если Т<Т„Л,

сТ + £„„, если Тпл <Т< Тчсп, (СО)

сТ + Ь„„ -Ь £„<-», если Т > Тцсп,

-(

[ й, если Я < сТпл,

I Тпл, если сТш < Я < сТпл + Ltw,

т = Î Ш - ¿г,.,)/с, если сТпл -г L„, < H < сТисп + LnA,

еслисГиет + < Я < сТЦС1! + £„„ + £„„„ I (Я - £пл - Lucn)/c, если Я > сТш„ + £пл + 1ысп,

(67)

где р, с, А— плотность, удельная теплоемкость, температуропроводнолсть вещества, Тпл, Тисп— температура плавления п испарения вещества, L^cn- удельная теплота процесса,а- коэффициент обмена с окружающей средой, Ç(x, у, z, t)- поверхность испарения, ц{х, у, z, t)~ поверхность плавления, причем в начальный момент времени:

Ç(x,y,z, 0) = ф, y,z,0) = 0. В начальный момент времени полагаем:

дТ

= q.

Во втором параграфе рассмотрела двумерная модель тепловых процессов.

Здесь исследованы циллшгдрвческая ы декартовая системы коордкнат.

Можно находить динамику границ испарения в целом интервале :

< < (^Г"

Подобным же образом, можно находить динамику границ плавления в целом интервале :

< ыг1) <

В декартовой системой координат построены грьфщ-.и динамики развития фазовых границ плавления и испарения вещества.

В следующем параграфе изучаются одномерные модели тепловых процессов.

Так как тепловые модели п многомерных случаях являются трудоемкими, то многие явления можно изучать с помощью более простых моделей. Рассмотрены в этом параграфе тепловые процессы, связанные с излучением, кроме того предложены динамические сетки, меняющиеся во времени п зависящие от мощности теплового источника.

В ряде случаев распространение тепловых процессов локально описывается с помощью одномерного уравнения теплопроводности. Если тепловой фронт распространяется одинаково по всем пространственным переменным, то удобно ввести сферическую систему координат.

В следующем параграфе изучаются асимптотические разложения по малому параметру.

Исследование разложений по малому параметру можно проводить различными способами. Если изделие имеет определенные геометрические параметры, то в качестве малого параметра выступает соотношение размеров по разным направлениям. Известны ряд работ для тонких пластин, стержней п т.д. В данном параграфе малый параметр связан с теилофизп-ческими характеристиками. Изменение температурного поля происходит за счет источника энергии д.

Уравнение в безразмерных величинах имеет вид:

39 <Э29

~ Икр' ® — У — (63)

с граничным условием

+ (69)

атоу На подвижной границе полагается:

в(у = *(г),т)=1. (70)

Будем искать решение в виде следующих разложений по параметру е : в(у, т) = е0(гл т) + £<Э\{у, т) +....

2(г) = гв(т)+£г1(г) + ....

Мультипликативный метод разложения строят как произведение членов внутреннего л внешнего разложения ( имеющих общую часть ). Используя этот метод получим, что скорость движения границы испарения рав-иа:

^ = [1 + е[0.5е?'/с(0.-5>/г) - ехр(-г/4)/^Щ]- (71)

•[2(1 - е/(У??))8т-1[(И-0.25^/т)-1''2]/я].

В пятом параграфе рассмотрены задачи теплоперскоса в тонких пластинах. Исследуются режимы закалки изделий из стали. Построены

асимптотические разжшшшг, которые учитываются при построешш разностных схем. В качество управляющих параметров выбираются различные техиолопш остывания материала. В результате проведенных экспериментов рекомендуются наиболее подходящие материалы п технологии процесса охлаждения изделий.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Разработан метод аддитивного выделения особенностей для сингулярно возмущенных задач. В тех случаях, когда функции тппа пограп-сло.ч достаточно просты, они вгашчыотся а структуру приближенного решена«. В других случаях рассмотрен подход, связанный с численным вычислением функций тппа погргшеаоя.

Исследование сходимости проведано как в ьнергстическпх норнах, так п в равномерной метрике. Эиергстнческве нормы позволяют доказать сходимость праблшксииых решенщ! к точному по энергии, что лмеет наксное значение для прикладных задач.

Лроьиааго числсшао сравнение нредло;.х'кны;: мстодше с известными алгоритмами. На цросте:ш;пх тестовых примерах получены резулнта-ш, подтил'рлсдапщне эффективность метода выделения особенностей для сингулярно возмущенных задач. Сравнение чнелепнш: результатов приведено в раопомераой метрике.

2. Проьеден анализ полученных дискретных систем линейных алгебраических уравнений . Доказано, что при уменьшении малого параметра число обусловленности систем уменьшается, прн увеличении малого параметра числа обслоадспнос'ш систем становится как в обычных разностных схемах. Это позволяет строить системы линейных уравнений с положительно определенными матрицами, с диагональным преобладанием. Поэтому можно использовать различные квадратурные формулы и оценить абсолютные н относительные погрешности приближенных решений.

3. Данный подход расширен для задач с ннтегро-дифференциальными операторами, метода регуляризации интегральных уравнений, для линейно квадратичной задачи оптимального управления с быстрыми ц медленными движениями, для задачи со пененным пограничным слоем, квазилинейного уравнения, для уравнения с несколькими малыми параметрами при старших производных.

Построены разностные схемы на основе разбиения ¿¡сходной задачи на несколько вспомогательных. Доказаны оценки сходимости прг.илшкеп-иъгх решешш к точному.

Для уравнения с несколькими малымп параметрами нрочеделы чпслезные эксперименты, подтверждающие эффективность данного подхода.

4. На основе разработанного подхода рассмотрены прикладные задачи по влиянию температурных полей алгомпнлевого электролизера, в которых малой параметр играет роль коэффициента темиоратуронроводпо-стп. Рассмотрены задачи с динамикой температурных напряжений, перемещений частпц, возникающих деформаций материала. Проведена численная оптимизация коэффициентов копсехтпоттого теплообмена и температуры окружающей среды на способе обжига подппы алгомтшевого электролизера. Построена асимптотика разложения по малому параметру я построены разностные схемы с учетом влияния малого параметра па динамику температурного поля аяго'сшсвого электролизера. Результаты согласуются с экспериментальными данными п используются на ОАО КРАЗ " для предварительного выбора технологических параметров.

5. На основе разработанного подхода исслодогап класс задач с учете:.; тенлоперелоса прл элезтрош» лупезей обработке изделий. Рассмотрена задача Стефана в энталышйяой постановке для задач с фазовыми, перс-водами пз гайкой среды л газообразной. Проведен чпслслпып анализ ллпампки скоростей плавлепгга я яспарснля для различных матерпалоэ в зависимости от удельной мощности теплового потока энергии з различных дпапозонах.

Результаты чпелеяных экспериментов совпадают с аналогичными ре-зультатамп, опубликованными в научно технических :к}гркалах п используются па ГП " КРАСМАШ - ЗАВОД " при электронно лучевой обработке изделий в качестве предварительного выбора технологических параметров.

Литература

1. Багаев Б.М.,Шайдурсв В.В. Вариационно-разностное метод решение уравнения с малым параметром . В сб.: Методы вычислительной и прикладкой математики. ВЦ СО АН СССР, Новосибирск,12 стр.,1377.

2. Багаев Б.М.,Шайдуроп В.В, Повышение точности вариационно разностных решений дифференциальных задач с особенностями. В кн. Вычислительные методы в математической физике н оптимальном управлении, ВЦ СО АН СССР.13 стр..1978.

3. Багаев Б.M. Вариационно-разностное решение уравнения с малым параметром при старшей производной. В сб.; Математические модели механики сплошной среды. Красноярск, КГУ, 8 стр.,1979.

4. Багаев Б.М. Метод Ритца для обыкновенного дифференциального уравпения с малым параметром при старшей производной. Государственный фонд алгоритмов и программ. Программа N П 003730, 20 стр.,1979.

5. Багаев Б.М. Метод Галеркина для обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной. Сб. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск,ВЦ СО АН CCCP,N 1.Т.10, 12 стр.,1979.

С. Багаев Б.М. Метод Ритца для уравнения с малым параметром . Препринт ВЦ СО АН СССР , N 21, Красноярск ,24 стр.,1980.

7. Багаев Б.М., Добронец Б.С. Двусторонний метод решения обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром . Депонированные рукописи, 1930, N 1 (99), Дек. N 3422-79, N 141 , 12 стр.,1980.

8. Bagaev В.M., Shaydorov V.V. Ameliration de lar precision des sheiaas aux diofference variationnelles pour les equatins différentielles aves singularities. Book; Etude numérique des grands systems, Dunod, Paris,14 p.,1974.

9. Багаев Б.М. Метод Галеркина для уравнения с малым параметром при старшей производной. Сб. Методы аппроксимации ы интерполяции. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР,10 стр.,1981.

10. Багаев Б.М.,Рожанская Е.А. Решение повышенной точности для обыкновенного дифференциального уравпения с малым параметром ирк старшей производной. Препринт ВЦ СО АН СССР ,N 2, Красноярск ,2 стр., 1932.

11. Багаев Б.М. Варпацпоако-разностныи катод решения злшптячг-1 чеих уравнений с малым параметром при старших нролзицпшлх. Б кн.: Некорректные задачи матепатической физики к анализа. Новосибирск, Наука,3 стр.,1984.

12. Батась Б.М., Богданов С.Н., Смирнов А.В., Шайдуроа В.В., Щспа-попская Т.Ф. Пакет прикладных программ решения трехмерных краевых тплч для ЭЛЛЛП1 пчеекпх ураьамта второго парадна (MQK-3). Препринт ВЦ СО АН СССР, Красноярск . N 21, 24 стр.,1984.

13. Багаев Б.М..Григорьева Е.А. Кпазипяаешме ураикепне с ма-лим параметром при старшей пропчгюдпой. Депонированные рукописи, íi анг.1987, Дсп. N 57Ü9-B87. 12 .-тр..1987.

14. Багаев Б.М..Солу( енко 11.11. Численное решение дли задач со степенным пограничным слоем. Летншриьашилс рукописи, б аьг.1937, Деп.

Ut

N 5707-В87, 8 стр.,1937.

15. Багаев Б.М. Решение параболического уравнения с малым параметром при производной по времени. Сб. Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, N 14,1.17, 14 стр.,1986.

16. Багаеа Б.М.,Пучкоза О.В. Численные методы решений с разрывными коэффициентами п малым параметром. Труды копферетши, Шушенское 27 мая 1937, Красноярск, 1 стр.,1987.

17. Багаев Б.М.,Дадеуш Л.И., Семичева Л.Г.. Новиков В.Г. Применение ЭВМ дли управления процессом нагрева па диффузионной сварке разнородных материалов. Информационный листок, N Б-87 , Серия Р 31.35.23, Красноярск, 2 стр.,1987.

13. Вагаез Б.М. Числеплое исследование для параболического уравнения с магам параметром. Сб. Численный анализ и пакеты прикладных программ. Красноярск, КГУ, 8 стр.,1986.

19;- Еагге'з Б.М.,Апаяасепко В,Ф., Семичева Л.Г., Новиков В.Г. Математическое моделирование процессом нагрева диффузионной сварки с наложением ультразвуковых колебаний разнородных матерпалэз. Труды XII Всесоюзной конференции Достижения п перспективы развития диффузионной сварка. Москва 12-14 февраля, 1 стр.,1987.

20. Багаев Б.М. Исследование параболического урапяешзя с малым параметром при старшей производной. В сб. Моделирование в механике, Т 2(19), N 3, Новосибирск, 13 стр., 1238.

21. Багаев Б.М.,Солусенко Н.П. Численное решение для задач со степенным пограничным споем. В сб. Моделирование в механике, Т 3(20), N 1, Новосибирск, 6 стр.,1989.

22. Багаев Б.М.,Попев Е.А. Исследование температурных напряжений в металлах при воздействии концентрированными потоками энергии. Труды конференции, Абакан, 23.05.-03.05 1989. Красноярск , К ГУ, 2 стр., 1989.

23. Багаев Б.М.,Григорьева Е.А. Квазилинейное уравнение с малым параметром при старшей производной. Труды конференции, Абакан, 28.05.-03.06 1989, Красноярск , КГУ,1 стр.,1989.

24. Багаев Б.М.,Лаптепок В.Д. Програмный комплекс СВАРКА . Информационно Поисковая Система. Всесоюзная выставка ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ, N 09 от 23.03.89, МВТУ им. Н.Э.Баумана, Москва, НИИ ПМП 1989, 8 стр.,1989.

25. Багаев Б.М.Григорьева Е.А. Квазилинейное уравнение с малым параметром при старшей производной. В сб. Моделирование в механике.

Т 3(20), N 3, Новосибирск,9 стр.,1989.

26. Багаев Б.М.Григорьева Е.А. Сингулярно возмущенная задача в прямоугольнике. Депонированные рукописи, 25.12.1989, Деп. N 7647-В89, 12 стр.,1989.

27. Багаев Б.М. Численный метод решения уравнения теплопереноса е электронно-лучевой сварке. Сб. Конструирование алгоритмов и решение задач математической физики, Москва, ЙПМ АН СССР, 4 стр.,1989.

28. Багаев Б.М.,Злобны B.C., Крюковский В.А., Потылицин Г.А., До-бронец Б.С. Моделирование обжига подины алюминевых электролизеров. Цветные металлы. N 11, Москва,4 стр., 1990.

29. Багаев Б.М.,Злобин B.C., Потылицин Г.А. Способ обжига подины алюминевого электролизера. Авторское свидетельство N 1713985, Приоритет изобретения 7 мая 1990, Заявка N 4841117, 4 стр.,1990.

30. Багаев Б.М. Выделение особенностей для задач с пограничным слоем. В сб. Моделирование в механике, Т 3(20), N 2, Новосибирск, 18 стр.,1989.

31. Багаев Б.М.,Лаитсиох В.Д. Оптимизация системы стабилизации и глубины проплавления прд электрошю-лучевой сварке. Труды координационного совещания, Дивногорск 18-22 марта 1991, Случайный поиск как метод адаптации и оптимизации сложных систем, Красноярск, 3 стр.,1991.

32. Багаев Б.М.,Сллвпня Т.А. Управление процессом электроннолучевой сварки на основе влияния температурных полей. Сб. Управление производственными и техническими системами. Красноярский политехнический институт, Красноярск, 10 стр.,1990.

33. Багаев Б.М.,Лаптенок В.Д. Моделирование температурных полей при электронно-лучевой сцарке. Физика и Химия обработки материален. Москьа, N 2, 5 стр.,1991.

34. Багаев Б.М. Оптимизация параметров электронно-лучевой сварки. Труды Учредительной конференции Международной ассоциации, Дивно-горек 16 -20 марта 1992, Красноярск, КИКТ 3 стр.,1992.

35. Багаев Б.М. Моделирование тепловых процессов сварочного производства. Красноярск, КИКТ, 55 стр.,1992.

36. Багаев Б.М., Ремизов H.A. Определение реакций опор составной конструкции на ЭВМ при действии переменных нагрузок, Красноярск, КИКТ, 2G стр., 1992.

37. Bagaev В.М. The numerical optimization of the Stephan problem. International conference, CSAM'93 St.Poterlmrg, July 19-23,lp, 1993.

38. Багаев Б.М.,Солусенко II.П., Обыкновенное дифференциальное уравнение с несколькими малыми параметрами пря производных . Деп. в ВИНИТИ от 13.02.97., N 494 -В97, 17 стр., 1997. -

39. Багаев Б.М. Сеточные методы для некоторых сингулярно возмущенных задач. Деп. в ВИНИТИ от 24.02.97., N 588 -В97, 28 стр.,1997.

40. Багаев Б.М. Сингулярно возмущенные задачи типа конвекции -диффузии. Деп. в ВИНИТИ от 24.02.97., N 589 -В97, 32 стр. ,1997.

41. Багаев Б.М. Выделение особенностей для трехмерных сингулярно возмущенных задач. Деп. в ВИНИТИ от 24.02.97., N 590 -В97, 28 стр.,1997.

42. Багаев Б.М.,Злобпн B.C., Евменов В.А. Формирование температурного поля углеродистой футеровки алюминиевого электролизера прп обжиге з зависимости от температуры греющих газов. Деп. в ВИНИТИ от 26.03.97., N 917 -В97, 32 стр.,1997.

Подписано в печать 31.07.S7 Тираж 100 экз. Заказ N ¿Ш . Отпечатано в типографии КГТУ, 660074 Красноярск, ул.Кярепского, 26