автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование в задачах управления пограничным слоем при различных режимах течения

На правах рукописи

Осадчая Дамира Маликовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ РЕЖИМАХ ТЕЧЕНИЯ

05.13.18- математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Казань-2005

Работа выполнена в Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева

доктор физико-математических наук, профессор Гараев Кавас Гараевич

доктор физико-математических наук, профессор Лапин Александр Васильевич доктор технических наук, профессор Федяев Владимир Леонидович

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УНИТАРНОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАКЕТНЫЙ ЦЕНТР «КБ им. академика В.П. Макеева»

Защита состоится 2005 г, в часов-на заседании

диссертационного совета Д 212.079.01 в Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева по адресу: 420111, г. Казань, ул. К.Маркса, 10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева.

Автореферат разослан «

У/ 2005 г.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Ученый секретарь

диссертационного совета, ггу1\ У

доктор физико-математических наук --- П.Г. Данилаев

М-ч

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема управления пограничным слоем, возникающем при обтекании тел, является особенно актуальной при сверхзвуковых режимах течения. При этом практический интерес представляют следующие задачи: задача минимизации интегрального сопротивления трения, приводящая к уменьшению лобового сопротивления обтекаемого тела; задача минимизации теплового потока, передаваемого от горячего газа к обтекаемой поверхности. Особый интерес представляет задача обеспечения нормального функционирования некоторых устройств, установленных на летательных аппаратах, для которых необходимо создавать определенный температурный режим в соответствующих местах обшивки, обтекаемой потоком. В частности, на определенной площади следует поддерживать постоянную температуру (например, при аэрофотосъемке это необходимо для получения минимальных оптических искажений).

При этом в качестве управляющего воздействия выступает удельный расход охладителя, подаваемого через пористый или перфорированный участок обтекаемой поверхности. При решении вариационных задач в качестве ограничения выступает кинетическая энергия вдуваемого газа (мощность системы управления), которая рассчитывается с учетом фильтрационного закона Дарси. По-видимому, вариационная задача об оптимальном вдуве охладителя была впервые поставлена в рамках точных уравнений движения жидкости или газа типа Прандтля Т.К. Сиразетдиновым и в последствии решена в работах О.Г. Дивакова, А.Н. Крайко, В.Г. Павлова, К.Г. Гараева, A.A. Афанасьева, Ж.Ж. Жанабекова, А.Т. Лукьянова, Н.Г. Бильченко и других авторов.

Цель работы:

- разработка математической модели для турбулентного режима обтекания на составной пластине с учетом сопряженного тепломассобмена с целью стабилизации температуры на защищаемом участке;

- постановка и решение вариационных задач о минимизации величины ньютоновского трения на заостренном клине и конусе в сверхзвуковом потоке.

На защиту выносятся:

- математическая модель сопряженного тепломассообмена в двухфазной среде «газ-стенка», состоящая из уравнений турбулентного пограничного слоя, уравнения распространения тепла в составной обшивке летательного аппарата и условия теплового баланса на обтекаемой поверхности;

- постановка и методы решения задачи управления температурным режимом на внешней стороне обшивки на защищаемом участке затупленной пластины при сверхзвуковом режиме обтекания;

- результаты вычислительного эксперимента по стабилизации температуры на защищаемом участке твердой стенки;

- сравнение эффективности газовых завес;

- постановка и решение вариационных задач об оптимальном вдуве охладителя в сверхзвуковой пограничный слой на клине и заостренном конусе.

Научная новизна. Во-первых, использованная в диссертации математическая модель для решения задачи управления тепловыми режимами на определенных участках поверхности, обтекаемой сверхзвуковым турбулентным потоком, по-видимому, предложена впервые.

Во-вторых, автору неизвестны постановки и решения, рассмотренных в диссертации вариационных задач по оптимальному управлению пограничным слоем на заостренных тонких телах при сверхзвуковом режиме обтекания.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы математического моделирования, теории пограничного слоя, тепломассобмена, метод обобщенных интегральных соотношений Дородницына и методы вычислительной математики.

Достоверность исследований обеспечивается корректным использованием метода обобщенных интегральных соотношений A.A. Дородницына, теории сопряженного тепломассобмена и методов вычислительной математики.

Практическая значимость полученных результатов заключается в том, что разработанные модели и методы позволяют, во-первых, обеспечить требуемые тепловые режимы на поверхностях, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа при турбулентном режиме обтекания и, во-вторых, построить оптимальные законы вдува охладителя на пористом клине и конусе при их обтекании сверхзвуковым потоком: минимизируется сопротивление трения, что, в конечном итоге, должно привести к снижению веса двигательной установки.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

- VII Четаевской международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», Казань, 1997 г.;

- VIII Четаевской международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», Казань, 2002 г.;

- XXIII Российской школе по проблемам науки и технологий, Миасс, 2003 г.;

- XII Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения», Саратов, 2004 г. (2 доклада);

- VII международной летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смешные вопросы», Казань, 2005 г.;

- Всероссийском семинаре по аналитической механике, устойчивости и управлению движением. Казань, 2005 г.;

- научных семинарах кафедр теоретических основ теплотехники и специальной математики Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева (КАИ).

Постановка и решение задач по оптимальному управлению ламинарным пограничным слоем на клиньях и остром конусе в сверхзвуковом потоке были проведены согласно договору-подряду №05-5.2-263 на средства фонда НИРОКР РТ по теме: «Теоретико-групповые методы в проблеме управления ламинарным пограничным слоем».

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-10].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка литературы. Объем диссертации 116 страниц машинописного текста.

Во введении дана общая характеристика работы, приведено обоснование актуальности темы, определена цель работы, отмечены новизна и практическая значимость исследований и краткое содержание глав диссертации.

В первой главе рассматривается задача сопряженного тепломассобмена в двухфазной среде «сжимаемый газ - твердая стенка» с целью обеспечения требуемого теплового режима. В первом разделе главы предлагается математическая модель для расчета тепловых режимов для случая турбулентного течения газа в пограничном слое на произвольном теле, обтекаемом под нулевым углом атаки

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

б

Р=рЯТ.

Здесь и, V - проекции вектора скорости на координатные оси;р - давление; р,р

плотность и вязкость газа; Рг - число Прандтля; Я = А + — - полная энтальпия (И -

статическая энтальпия); е - соответствует параметрам газа на внешней границе пограничного слоя; о - точке полного торможения; ю - параметрам газа на стенке; показатель &=0 для плоского потока и А=1 для осесимметричного; г(х) - радиус тела осевой симметрии; р. ъ - эффективная вязкость, определяемая в соответствии с модификацией формулы Прандтля, предложенной Ван-Дристом:

\\2

+ РХ2У2

( уУ*

ди ду'

ди

где ц = це0т£(т), V, = х = 0>4> = ' ^ = 26.

Граничные условия к системе (1)

и(г,0)=0, У(х,Я(*,0)=Л„(х),

Ру,

и(х,у)-> ие(л), Н(х,у)^Не при у >оо. С помощью преобразований А.А. Дородницына

, = -±-'(а (1 -а2У^г* А г =_М_

^ 0 1 У тах^еО

система (1) приводится к виду

_ ди _ дй

-ди _ди „2\ д

и--+ \М-= В\1 — VI/—и и- —

дз с* У ' 0/

£ 3/

ди дн» „

—+—=0,

_д\и _3*1/ 1 д

и—^+уу— =---

д* д1 Рг д(

Зц/

аГ

+ а?! —1 ] — Рг ) д(

ш-

дй

д,I

(2)

(3)

Граничные условия (2) примут вид:

и=0, y=l-Tw при/ = 0; и -> 1, у/ ->0 при /->оо, (5)

<7 \Р)

где л

»e

I, zV-Ч и ^

w^ut+wjev^, и, и.

г дх тг 2к

, 1|/ = 1-т-а2, ^ = а=7Г~

еО " max

(6)

Для решения краевой задачи (4), (5) используется метод интегральных соотношений A.A. Дородницына, ограничиваясь при этом аппроксимирующей системой

_ х

второго приближения (штрих означает дифференцирования по х=—):

Г34^0 32^,

V

'I / N

(7)

' с ш0 zrol ®0 ®l 2®? й0

со, =6m—г* -6ß —S-+—!---!---^

+ <?

6 2 39, 690

во 0 I Рг^беД в, е0

30,0О

66.

±0.1 4^1-3^0

Рг0о^ 6, 0О/

+ 4

ml-

где

Условие сопряжения тепловых потоков на обтекаемой поверхности записывается в виде

к^ еп

З^о _4®1. |= , 0О 01

■ дГ

I & Л=0

I 00

• (8)

Здесь к = -^ —г*; <7=ае(1-а^)н ; А.* - коэффициент теплопроводности

материала стенки; (рК)^ = т ■ ре0^Уе0 , где т - безразмерный расход охлади-

Температура Т определяется путем решения уравнения теплопроводности в проницаемой стенке

сап-

дТ _ д ду дх

/ —• \

дТ сЬс

,дТ ду

(9)

где а=срре0

I

V »К ге0г тах

Рис. 1

Для случая теплоизолированных на концах участков пластины краевые условия к уравнению (9) задавались в виде (рис.1): 1. Непроницаемый участок (/я = 0):

Т*

430 420 410 400 390 380 370 360 350 340 330 320 310 300 290

\ П

— - 2 кн —

- 1

\ 1

\ 1

\

\

—

!

9,10 9,90 10,00 10,10 10,20

Рис. 3. Зависимости температуры стенки от координаты при различных числах Маха: М.-1Д -от М.-14 Г- М.-2.0 .

10,30

(рУ)„ кг/(м с) 0,600

0,640 0,480

0,420 0,360 0,300 0,240 0,180 0,120 0,060 0,000

Ч»2 км

----

----

1

9,80 9,90 10,00

Рис. 4. Зависимости раскола воздуха от координаты при различных числах Маха: М.=1Д -от М«=1,5 то- М„«2,0 . -о-

В пятом разделе проведен вычислительный эксперимент для случая теплоизолированной пластины.

Расчеты проведены при различных значениях параметров набегающего потока (числа Маха, высоты), теплофизических свойств материала стенки (пористости, теплопроводности, толщины обшивки). Удалось построить такой закон управления местным расходом газа через пористый участок поверхности, который обеспечивает постоянную температуру наружной стороны защищаемого участка пластины.

На рис. 3 показана зависимость температуры стенки Т„ от безразмерной коор-

_ х

динаты х = — на высоте 2км при различных числах Маха, а на рис. 4 представлена

зависимость местного расхода воздуха на пористом участке от координаты х, которая дается формулой

Здесь параметры а и Ъ для заданной высоты являются функциями числа Маха.

Рис. 6

где Pt - угол полураствора клина, который предполагается таким, чтобы ударная волна была присоединенной.

Ньютоновское сопротивление трения с точностью до постоянной можно записать в виде

Мощность системы управления оценивается интегралом

1

N* = jm2 (x)d5c. (13)

о

Аппроксимирующая система для случая обтекания клиньев (ае = const) и линейной зависимости вязкости от температуры (б0 = b, = l) запишется в виде

в'0=18т-д

где

( 32 34"

и

ие . К

V ' max

, (14)

)м1'

Ставится вариационная задача: среди непрерывных законов вдува т(х) требуется найти такой, который реализует минимальное значение функционала (12) при дифференциальных связях (14) и изоперимстрическом условии (13).

Получена приближенная аналитическая формула для оптимального управления:

где постоянная с0 находится в соответствии с изопериметрическим условием, а параметр р определяется из алгебраического уравнения.

Выигрыш в величине ньютоновского трения, который дает оптимальное управление т(х) по сравнению с неоптимальным (постоянным законом вдува), определяется по формуле

ЛУ —_3L

уо ■ф

'тр

где - значение силы трения, соответствующее постоянному закону вдува, а Х^

- значение трения, соответствующее оптимальному вдуву.

Проведен вычислительный эксперимент для значений угла полураствора клина Р* =0°; =3°; =6 =9°, при числах Маха Мх = 2;3;4;5.

Результаты вычислений показали, что при фиксированном р выигрыш увеличивается с увеличением числа Маха, а при фиксированном М®, максимальная эффективность достигается на пластине.

Максимальная эффективность оптимального управления по сравнению с неоптимальным (постоянным) законом вдува достигает 34%.

В этой же главе поставлена и решена задача об определении оптимального закона вдува в пограничный слой на остром тонком конусе в сверхзвуковом потоке, реализующего минимальное значение ньютоновского сопротивления трения. Оптимальное управление в первом приближении также получено в аналитическом виде.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссергационной работе получены следующие результаты:

1. Предложена математическая модель сопряженного тепломасссообмена в двухфазной среде «сжимаемый газ-твердая стенка», состоящая из уравнений пограничного слоя газа и уравнения теплопроводности в обшивке летательного аппарата, позволяющая поставить и решить задачу управления температурой обшивки на защищаемом участке поверхности при турбулентном режиме течения.

2. С помощью вычислительного эксперимента найдены законы распределения удельного расхода газа через пористый или перфорированный участок, обеспечивающие заданные температуры защищаемого участка затупленной пластины; показана возможность стабилизации температуры на этом участке (расход охладителя является монотонно возрастающей функцией на предвключенном участке). Получена аналитическая формула для соответствующих потребных перепадов давления.

3. На основе полуэмпирического метода расчета турбулентного пограничного слоя Кутателадзе С.И. и Леонтьева А.И. показана эффективность использования переменного закона вдува по нормали по сравнению с тангенциальным и постоянным законом вдува.

4. Поставлена и решена вариационная задача об оптимальном вдуве охладителя, минимизирующего интегральное сопротивление трения, испытуемого клином в сверхзвуковом потоке при ламинарном режиме течения. В качестве ограничения выступает мощность системы охлаждения, рассчитываемая с учетом фильтрационного закона Дарси. Оптимальное управление в первом приближении найдено в аналитической форме.

5. Поставлена и решена вариационная задача об оптимальном вдуве для случая обтекания сверхзвуковым потоком тонкого кругового конуса при предположении о том, что ударная волна является присоединенной. Проведенный вычислительный •жсперимент для различных чисел Маха набегающего потока и углов полураствора конуса показали эффективность оптимального вдува по сравнению с неоптимальным (постоянным) законом вдува: выигрыш в значении минимизируемого функционала достигает 30%.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Дербенев С.А., Осадчая Д.М. Об одной задаче оптимального управления пограничным слоем // VII Четаевская международная конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». Казань. 1997. С. 115.

2. Гараев К.Г., Дербенев С.А., Осадчая Д.М. Об одном способе стабилизации температуры на внешней стороне обшивки в турбулентном сверхзвуковом потоке // VIII Четаевская международная конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». Казань.2002. С. 349

3. Гараев К.Г., Дербенев С.А., Осадчая Д.М. О рациональной тепловой защите поверхностей в турбулентном сверхзвуковом потоке // Известия высших учебных «ведений «Авиационная техника». Казань. 2002. №2. С. 31-35.

4. Осадчая Д.М. К задаче оптимизации тепломассообмена в ламинарном пограничном слое при сверхзвуковом режиме течения // тез. ХХШ Российская школа по проблемам науки и технологий. Миасс. 2003. С. 18.

5. Дараган М.А., Осадчая Д.М. К задаче оптимального управления ламинарным пограничным слоем на клиньях в сверхзвуковом потоке // Вестник КГТУ. Казань. 2004. №1. С. 26-29.

6. Гараев К.Г., Дараган М.А., Осадчая Д.М. Оптимально управляемый пограничный слой на клине при сверхзвуковом режиме обтекания // XII Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения». Сарагов. 2004. С. 54-55.

7. Дербенев С.А., Осадчая Д.М. Расчет рациональной тепловой защиты при обтекании тела сверхзвуковым турбулентным потоком газа // Тез. XII Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложения». Саратов.

2004. С. 68.

8. Дербенев С.А., Осадчая Д.М. Обеспечение требуемого температурного режима на обтекаемой поверхности с помощью газовых завес// Вестник КГТУ. Казань.

2005. №2. С. 33-35.

9. Гараев К.Г., Осадчая Д.М. Необходимые условия экстремума и первый интервал в задаче оптимального управления ламинарным пограничным слоем на теле вращения. Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т.30 / Казанское математическое общество. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы // Материалы седьмой Международной Казанской летней научной школы-конференции. Казань. 2005. С. 41-43.

10. Гараев К.Г., Осадчая Д.М. Оптимальный вдув охладителя в ламинарный пограничный слой на круговом конусе в сверхзвуковом потоке // Тез. докл. Всероссийского семинара по аналитической механике, устойчивости и управления движением. Казань. 2005. С. 28-29.

Автор благодарит доцента С.А. Дербенева за помощь, оказанную при работе над диссертацией.

Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ.л. 1,25. Усл.печ.л. 1,16. Усл.кр.-отт. 1,16. Уч.-изд.л. 1,09. Тираж 100. Заказ Е236.

Типография Издательства Казанского государственного технического университета 420111 Казань, К. Маркса, 10

РНБ Русский фонд

2007-4 5275

28 Ф ЕВ 200S

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА

Управление тепловыми режимами на поверхностях в турбулентном сверхзвуковом потоке.

1.1. Математическая модель для расчета тепловых режимов в двухфазной среде: «газ-стенка».

1.2. Определение поля температур в твердой стенке, составленной из пластин с различными теплофизическими свойствами.

1.3. Определение поля температур в стенке переменной толщины.

1.4. Расчет уравнений турбулентного пограничного слоя на теплоизолированной стенке.

1.5. О потребном перепаде давления над пористой стенкой, обеспечивающем заданный закон вдува охладителя.

ГЛАВА

Управление тепловым режимом на адиабатической стенке с помощью газовых завес.

2.1. Типы газовых завес и их эффективность.

2.2. Газовая завеса с предвключенным пористым участком.

2.3. Газовая завеса, создаваемая тангенциальным вдувом газа через щель

2.4. Числовые расчеты газовых завес.

ГЛАВА

Оптимальное управление ламинарным пограничным слоем в сверхзвуковом потоке.

3.1. Аппроксимирующая система второго приближения.

3.2. Постановка и решение оптимальной задачи для случая обтекания клиньев.

3.3 Оптимальный вдув охладителя в ламинарный пограничный слой на круговом конусе в сверхзвуковом потоке.

3.4. Минимизация сопротивления трения в сверхзвуковом потоке на основе точных уравнений движения типа Прандтля.

Для большинства газов внутренние трения и теплопроводности проявляются в основном в довольно тонких слоях, примыкающих к обтекаемой поверхности. Поэтому для решения многих практических задач обтекания тел потоком газа с большими скоростями пользуются идеями и методами теории пограничного слоя, которые были предложены Л. Прандтлем для течения несжимаемой жидкости в 1904 г. [74].

Теория пограничного слоя оказалась очень плодотворной и дала мощный толчок к развитию теоретических исследований. Под влиянием задач, поставленных развитием авиационной и ракетной техники, эта теория быстро развилась и превратилась в самостоятельный раздел механики жидкости и газа.

Следует отметить, что в зависимости от значений числа Рейнольдса и других условий течения внутри пограничного слоя, он может быть ламинарным или турбулентным. Теория ламинарного пограничного слоя в настоящее время довольно глубоко развита в многочисленных исследованиях [см. например 27, 36, 43, 44, 52, 60, 68], чего нельзя утверждать в отношении турбулентного пограничного слоя.

Главными областями применения теории пограничного слоя являются задача о вычислении сопротивления, возникающего при обтекании тела вследствие трения жидкости о поверхность тела, расчет теплопередачи между телом и обтекаемой жидкостью, определение точки отрыва пограничного слоя и др.

Имеются различные способы, позволяющие влиять на характеристики пограничного слоя. Один из таких способов, заключающийся в отсасывании пограничного слоя, указал еще Л. Прандтль в своей первой работе о пограничном слое.

Как показали расчеты, ламинарный пограничный слой в состоянии преодолеть без отрыва относительно небольшое расстояние, а при турбулентном течении опасность отрыва значительно меньше, чем при ламинарном, так как турбулентное течение дает непрерывный перенос импульса из внешнего течения в пограничный слой. Несмотря на это и при турбулентном режиме течения желательно управлять пограничным слоем.

Методы управления пограничным слоем проверены экспериментально [1, 3, 7, 8, 38, 40, 41], а часть из них исследована теоретически [6, 27, 36, 39, 49, 59, 60, 68]. Все способы управления пограничным слоем предполагают: либо охлаждение обтекаемой стенки, либо вдув в пограничный слой или, отсос, либо придание стенке особой формы, либо приведение стенки, на которой образуется пограничный слой, в движение в сторону течения, либо сдув пограничного слоя.

Охлаждение обтекаемой стенки позволяет в области сверхзвуковых чисел Маха полностью стабилизировать пограничный слой и уменьшить его толщину. Если через пористую или перфорированную стенку вдувать (отсасывать) газ в пограничный слой, то можно уменьшить теплопередачу между стенкой и внешним течением и уменьшить сопротивление трения и, следовательно, уменьшить лобовое сопротивление обтекаемого тела.

Из всех способов управления пограничным слоем наибольшее практическое значение представляют отсос и вдув в пограничный слой [28, 44, 68].

Точное решение задачи о трении и теплообмене при вдуве в турбулентный пограничный слой представляет большие трудности, поэтому на практике широко используются эмпирические зависимости [45-48].

Следует также отметить, что в качестве средства, создающего эффект пленочного охлаждения, широко используется и тангенциальный вдув.

Вдув газа в пограничный слой используется как средство уменьшения трения и теплопередачи. С увеличением скорости вдува в направлении нормали к стенке напряжение трения в пограничном слое, уменьшается [28, 44, 68]. Причем, если вдува нет, то максимум напряжения трения имеет место на стенке, а с увеличением интенсивности вдува напряжение на стенке значительно уменьшается, а в пограничном слое существенно возрастает, достигая максимума на некотором удалении от поверхности. При этом, если интенсивность вдува невелика, то сохраняются основные допущения теории пограничного слоя. Методы расчета параметров турбулентного пограничного слоя при наличии вдува представлены в многочисленных работах ( см., например, [1, 3, 49, 53, 59]).

Наряду с классическими постановками задач по управлению пограничным слоем на проницаемых профилях в последние годы благодаря работам Казанского профессора Т.К. Сиразетдинова и его учеников успешно развивается новое направление: теория оптимально управляемого пограничного слоя.

Первой публикацией в этом направлении является работа [62].

Как уже было отмечено, одним из способов решения этой задачи является управление местными значениями градиентов продольной скорости на обтекаемой поверхности путем вдува жидкости в пограничный слой. Так как энергетические ресурсы (суммарный расход жидкости, мощность системы управления) ограничены, то естественным образом возникает вариационная задача оптимального управления пограничным слоем.

В работах [63, 64] в качестве функционалов выступает либо суммарное ньютоновское трение, либо количество тепла в единицу времени, передаваемое от пограничного слоя к обтекаемой поверхности; управлением служит скорость вдува, который предполагается «слабым», т.е. практически не влияющим на внешней границе пограничного слоя. В качестве ограничений выступает суммарный расход и кинетическая энергия вдуваемой жидкости (мощность системы управления). Разработан метод интегрирования сопряженной системы, основанный на идее пограничного слоя решений для множителей Лагранжа. Позднее Крайко [42] сделал полезное замечание к проблеме интегрирования сопряженной системы, вытекающее из факта существования интеграла Крокко для уравнения энергии в случае обтекания пластинки при числе Прандтля Рг = 1 и постоянной температуре стенки.

В работе [9] с помощью теоремы Нетер [73] был найден первый интеграл сопряженной системы для случая минимизации силы трения в пограничном слое несжимаемой жидкости на произвольном проницаемом профиле. Групповые свойства уравнений оптимального управляемого пограничного слоя исследованы в работе [26], а в [25] было осуществлено их расслоение. В работе [11] построено основное интегральное соотношение сопряженной системы и получено следствие из первого интеграла, которое предложено использовать для построения минимизирующей последовательности оптимальных законов вдува. На примере обтекания пластинки была показана эффективность использования группового подхода к решению вариационной задачи по сравнению с идеей пограничного слоя решений для множителей Лагранжа, предложенного в [64].

Задача оптимизации теплообмена для случая несжимаемой жидкости с учетом уравнения теплового баланса рассмотрена в работе [10], а в работах [12, 14] поставлена и решена задачи минимизации конвективного теплового потока, передаваемого от пограничного слоя сжимаемого газа к обтекаемой поверхности соответственно в плоском и осесимметрическом случаях. Получен первый интеграл сопряженной системы, справедливый для любой зависимости вязкости от температуры, любой скорости на внешней границе пограничного слоя и произвольной температуры стенки.

В работе [2] дана постановка и решение задачи оптимального управления двухфазным пограничным слоем несжимаемой жидкости (через проницаемую поверхность подается жидкость с физическими свойствами, резко отличающимися от свойств жидкости в основном потоке). Разработан алгоритм построения оптимального закона вдува для случая обтекания пластинки; в качестве функционала выступает величина силы ньютоновского трения, в качестве ограничений - расход и энергия вдуваемой жидкости. В статье [38] результаты работы [2] были распространены на случай оптимизации теплового обмена в двухфазном пограничном слое несжимаемой жидкости. Отметим, что в работах [2, 38] для построения оптимальных управлений был использован первый интеграл сопряженной системы, полученный ранее в [9].

В работе [21] была разработана разностная схема для уравнений оптимально управляемого пограничного слоя, а в статье [22] для случая обтекания клиньев потоком несжимаемой жидкости впервые была доказана конечность оптимального управления в критической точке. Следует подчеркнуть, что разностные схемы была построены с учетом первого интеграла, полученного профессором К.Г. Гараевым для сопряженной системы относительно множителей Лагранжа.

В работе [12, 14] поставлена и решена задача о построении оптимальной неразрушающей тепловой защиты поверхностей, обтекаемых потоком вязкого газа при любой зависимости вязкости от температуры, произвольном числе Прандтля и произвольной температуре поверхности. Отметим, что в работе [64] подобная задача была поставлена для случая постоянной температуры стенки и линейной зависимости вязкости от температуры; там же были получены необходимые условия оптимальности. В качестве функционала выступает конвективный тепловой поток, передаваемый от пограничного слоя к стенке; в качестве управления - местный расход газа через проницаемую поверхность. Задача решается при ограничении на мощность системы охлаждения, которая рассчитывается с учетом закона Дарси [4, 57]. Оптимальная задача алгоритмизирована: проблема поиска оптимального управления с помощью метода обобщенных интегральных соотношений A.A. Дородницына [35, 51, 56] сведена к рекуррентному интегрированию двух систем обыкновенных дифференциальных уравнений с разрешимыми особенностями в точке полного торможения потока. Проведен вычислительный эксперимент по построению оптимального расхода охладителя через пористую стенку кругового цилиндра. Минимизирующая последовательность строилась комбинированным способом: на первой итерации оптимальное управление определялась методом типа Пикара, последующие приближения методом наискорейшего спуска [63]; была обнаружена быстрая сходимость итерационного процесса: оптимальное управление, найденное в первом приближении в аналитическом виде, дает значение функционала, совпадающее с точностью до 1-2% с его значением, полученным для «предельного» управляющего воздействия. Работа [14] посвящена минимизации тепловых потоков на проницаемых телах вращения. Получены необходимые условия оптимальности, построен первый интеграл сопряженной системы, получен оптимальный закон вдува охладителя в первом приближении (также в аналитической форме), разработан итерационный подход к построению последовательности оптимальных управлений. Проведен вычислительный эксперимент для случая обтекания сферы сверхзвуковым потоком. Кроме того, поставлена и решена задача о форме внутреннего контура стенки, обеспечивающей требуемую температуру наружной стороны обшивки. В работе [5] рассмотрена задача оптимального управления пограничным слоем диссоциирующего газа при гиперзвуковых режимах течения.

Следует подчеркнуть, что все указанные здесь оптимальные задачи принадлежат к классу двумерных вариационных задач типа Майера [16].

Среди зарубежных работ следует отметить работы [69, 70], в которых рассмотрены задачи оптимального управления ламинарным пограничным слоем несжимаемой жидкости в стационарном случае, уравнения которого взяты в форму Мизеса: требуется найти уравнение (вдув или отсос [70], или распределение скорости на внешней границе пограничного слоя [69]), реализующее заданное распределение продольной компоненты скорости в фиксированном сечении х = х*. Функционал записывается в виде чебышевского отклонения действительного распределения скорости от желаемого. В обеих работах наискорейшего спуска проведены вычислительные эксперименты для модельных задач; при этом обнаружена достаточно быстрая сходимость метода последовательных приближений.

Данная диссертация посвящена управлению пограничным слоем при различных режимах течения, как в случае ламинарного, так и турбулентного потока. Работа состоит из трех глав.

В первой и второй главах рассмотрена задача управления температурным режимом на поверхностях, обтекаемых вязким газом в турбулентном сверхзвуковом потоке, что является важной проблемой прикладной аэродинамики: в некоторых случаях на определенных участках поверхности летательного аппарата необходимо создать определенный температурный режим, который требуется для нормального функционирования соответствующих приборов и оборудования, установленных на летательном аппарате, например, для проведения аэрофотосъемки на прозрачном участке обшивки необходимо поддерживать постоянную температуру для уменьшения оптических искажений.

В первой главе работы для этой цели предлагается математическая модель задачи тепломассообмена между турбулентным сверхзвуковым газовым потоком и произвольной криволинейной поверхностью с учетом сопряженного тепломассообмена. Эта модель представлена уравнениями турбулентного пограничного слоя, составленных с учетом гипотезы Прандтля-Ван-Дриста [49] и уравнениями распространения тепла в обшивке летательного аппарата с соответствующими граничными условиями. С помощью преобразований Степано-ва-Манглера-Дородницына эти уравнения приведены к виду, близкому к уравнениям пограничного слоя для несжимаемой жидкости и для решения соответствующей краевой задачи используется метод обобщенных интегральных соотношений А.Дородницына.

Расчет поля температур в твердой стенке, обтекаемой сверхзвуковым потоком, произведен для случая, когда стенка составлена из последовательно соединенных между собой частей с различными теплофизическими свойствами. Вначале идет непроницаемая часть, затем проницаемая, через которую осуществляется вдув газа и затем непроницаемая пластина (которую и необходимо защищать). Краевая задача стационарной теплопроводности для составной пластинки решена методом Бубнова-Галеркина и вариационным методом.

Вычислительный эксперимент проведен для различных значений параметров набегающего потока (числа Маха, высота), теплофизических свойств материала стенки (пористость, теплопроводность, толщина), а также скоростях вду-ва.

В результате был построен закон управления местным расходом газа через пористый участок обшивки, который обеспечивает практически постоянную температуру защищаемой части обшивки.

Во второй главе также рассмотрена задача стабилизации температуры на защищаемом участке пластины с применением полуэмпирической теории Кутателадзе-Леонтьева; в этом случае защищаемая часть представляет собой адиабатическую пластинку с предвключенным участком, который можно либо охлаждать, либо осуществлять вдув (по нормали к поверхности). Кроме того, рассматривался и тангенциальный вдув: через щель в обшивке перед защищаемым участком производится вдув охладителя по касательной к поверхности в предположении ее адиабатичности.

Расчеты проведены для различных чисел Маха, высотах и скоростей вдува; варьировалась и высота щели при тангенциальном вдуве. Вдувался воздух. Результаты расчетов показали, что эффективность газовых завес с подачей охладителя выше, чем у завесы с охлаждаемым предвключенным участком; при тангенциальном вдуве можно обеспечить практически постоянную температуру защищаемого участка поверхности. Однако для этого требуется значительно больший расход воздуха, чем при вдуве по нормали

В третьей главе работы поставлены и решены задачи оптимального управления ламинарным пограничным слоем на тонких клиньях и конусах в сверхзвуковом потоке. Система уравнений, описывающая ламинарный пограничный слой на цилиндрическом теле при его обтекании сверхзвуковым газом под нулевым углом атаки приводится к аппроксимирующей системе второго приближения (в смысле A.A. Дородницына). Ставится вариационная задача: среди непрерывных функций, описывающих законы вдува, требуется найти такой, который реализует минимальное значение ньютоновского сопротивление трения, при заданном ограничении на мощность системы управления.

Получена приближенная формула для оптимального управления.

Проведен вычислительный эксперимент для различных значений угла полураствора клина при различных числах Маха. Результаты вычислений показали, что при фиксированном угле полураствора выигрыш увеличивается с увеличением числа Маха, а при фиксированном числе Маха максимальная эффективность достигается на пластине.

Максимальная эффективность оптимального управления по сравнению с постоянным законом вдува достигает 34%.

В этой же главе поставлена и решена задача об определении оптимального закона вдува в пограничный слой на остром конусе в сверхзвуковом потоке, реализующего минимальное значение ньютоновского сопротивления трения. Оптимальное управление в первом приближении также получено в аналитическом виде.

Завершая вводную главу подчеркнем, что проблема управления пограничным слоем является особенно актуальной при сверхзвуковых режимах течения.

Цель работы:

- разработка математической модели для турбулентного режима обтекания сверхзвуковым потоком составной пластины с учетом сопряженного тепломас-собмена с целью управления температурным режимом на защищаемом участке;

- постановка и решение вариационных задач о минимизации величины ньютоновского трения на заостренном клине и конусе в сверхзвуковом потоке.

Практическая значимость полученных результатов заключается в том, что разработанные модели и методы позволяют, во-первых, обеспечить требуемые тепловые режимы на защищаемых участках поверхностей, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа при турбулентном режиме обтекания; во-вторых, построить оптимальные законы вдува охладителя на пористом клине и конусе при их обтекании сверхзвуковым потоком, что, в конечном итоге, должно привести к снижению веса двигательной установки.

Основные научные результаты:

- математическая модель сопряженного тепломассообмена в двухфазной среде «газ-стенка», состоящая из уравнений турбулентного пограничного слоя, уравнения распространения тепла в составной обшивке летательного аппарата и условия теплового баланса на обтекаемой поверхности;

- постановка и методы решения задачи управления температурным режимом на внешней стороне обшивки на защищаемом участке затупленной пластины при сверхзвуковом режиме обтекания;

- результаты вычислительного эксперимента по стабилизации температуры на защищаемом участке твердой стенки;

- сравнение эффективности газовых завес;

- постановка и решение вариационных задач об оптимальном вдуве охладителя в сверхзвуковой пограничный слой на клине и заостренном конусе.

Научная новизна. Во-первых, использованная в диссертации математическая модель для решения задачи управления тепловыми режимами на определенных участках поверхности, обтекаемой сверхзвуковым турбулентным потоком, по-видимому, предложена впервые.

Во-вторых, автору неизвестны постановки и решения, рассмотренных в диссертации вариационных задач по оптимальному управлению пограничным слоем на заостренных тонких телах при сверхзвуковом режиме обтекания.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы математического моделирования, теории пограничного слоя, тепломас-собмена, метод обобщенных интегральных соотношений Дородницына и методы вычислительной математики.

Достоверность исследований обеспечивается корректным использованием метода обобщенных интегральных соотношений A.A. Дородницына, теории сопряженного тепломассобмена и методов вычислительной математики.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

- VII Четаевской международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», Казань, 1997 г.;

- VIII Четаевской международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», Казань, 2002 г.;

- XXIII Российской школе по проблемам науки и технологий, Миасс, 2003 г.;

- XII Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения», Саратов, 2004 г. (2 доклада);

- VII международной летней научной школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», Казань, 2005 г.;

- Всероссийском семинаре по аналитической механике, устойчивости и управлению движением. Казань, 2005 г.;

- научных семинарах кафедр теоретических основ теплотехники и специальной математики Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева (КАИ).

Постановка и решение задач по оптимальному управлению ламинарным пограничным слоем на клиньях и остром конусе в сверхзвуковом потоке были проведены согласно договору-подряду №05-5.2-263 на средства фонда НИОКР РТ по теме: «Теоретико-групповые методы в проблеме управления ламинарным пограничным слоем».

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [17,18, 23,24, 30-33,54, 55].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертации 116 страниц машинописного текста. Диссертация содержит 6 таблиц и 16 рисунков.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Предложена математическая модель сопряженного тепломасссообмена в двухфазной среде «сжимаемый газ-твердая стенка», состоящая из уравнений пограничного слоя газа и уравнения теплопроводности в обшивке летательного аппарата, позволяющая поставить и решить задачу управления температурой обшивки на защищаемом участке поверхности при турбулентном режиме течения.

2. С помощью вычислительного эксперимента найдены законы распределения удельного расхода газа через пористый или перфорированный участок, обеспечивающие заданные температуры защищаемого участка затупленной пластины; показана возможность стабилизации температуры на этом участке (расход охладителя является монотонно возрастающей функцией на предвклю-ченном участке). Получена аналитическая формула для соответствующих потребных перепадов давления.

3. На основе полуэмпирического метода расчета турбулентного пограничного слоя Кутателадзе С.И. и Леонтьева А.И. показана эффективность использования переменного закона вдува по нормали по сравнению с тангенциальным и постоянным законом вдува.

4. Поставлена и решена вариационная задача об оптимальном вдуве охладителя, минимизирующего интегральное сопротивление трения, испытуемого клином в сверхзвуковом потоке при ламинарном режиме течения. В качестве ограничения выступает мощность системы охлаждения, рассчитываемая с учетом фильтрационного закона Дарси. Оптимальное управление в первом приближении найдено в аналитической форме.

5. Поставлена и решена вариационная задача об оптимальном вдуве для случая обтекания сверхзвуковым потоком тонкого кругового конуса при предположении о том, что ударная волна является присоединенной. Проведенный вычислительный эксперимент для различных чисел Маха набегающего потока и углов полураствора конуса показали эффективность оптимального вдува по сравнению с неоптимальным (постоянным) законом вдува: выигрыш в значении минимизируемого функционала достигает 30%.

1. Авдуевский B.C., Калашкин В.Н. Проблемы расчета трения и теплообмена в турбулентном пограничном слое. Изв. АН СССР, Энергетика и транспорт, №5, 1967. С. 9-24.

2. Афанасьев A.A. Оптимальный вдув инородной жидкости в пограничный слой // Тр. КАИ, Казань, 1972. Вып. 147. С. 38-44.

3. Барышев Ю.В., Леонтьев А.И., Пейкер Н.К. Турбулентный пограничный слой на проницаемой поверхности при интенсивных вдувах. Инженерно-физический журнал, 1976, т. XXX, № 5. С. 773-779.

4. Белов C.B. Пористые материалы в машиностроении. М.: Машиностроение,1981.247 с.

5. Бильченко Н.Г., Гараев К.Г. Об оптимальном управлении тепломасообменом в ламинарном пограничном слое диссоциирующего газа // (Известия высш. учеб. заведений). Авиационная техника. 2000, № 3. С. 17-19.

6. Волчков Э.П. Пристенные газовые завесы. Новосибирск: Наука, 1983. 240 с.

7. Волчков Э.П., Кутателадзе С.С., Леонтьев А.И. О влиянии сжимаемости и неизотермичности газа на эффективность заградительного охлаждения при турбулентном пограничном слое. Журнал прикладной механики и технической физики, 1966, № 4. С. 126-129.

8. Волчков Э.П., Левченко В.Я. Эффективность газовой завесы в турбулентном пограничном слое. Журнал прикладной механики и технической физики, 1965, №5. С. 142-146.

9. Гараев К.Г. Об инвариантных вариационных задачах // Материалы I Поволжской конференции по автоматическому управлению. Казань: Таткнигиздат, 1971. С. 121-129.

10. Гараев К.Г. Теоретико-групповой подход к решению задачи оптимального управления ламинарным пограничным слоем // (Изв. высш. учеб. заведений). Авиационная техника, 1977, № 2. С. 40-44.

11. Гараев К.Г. К задаче построения оптимального управления трением в ламинарном пограничном слое // (Изв. высш. учеб. заведения). Авиационная техника, 1981, №2. С. 27-31.

12. Гараев К.Г. Об оптимальном управлении тепломассообменом в ламинарном пограничном слое сжимаемого газа на проницаемых поверхностях // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1988, № 3. С. 92-100.

13. Гараев К.Г. К задаче оптимизации тепломассообмена в ламинарном пограничном слое при наличии равновесной диссоциации // (Изв. высш. учеб. заведения). Авиационная техника, 1989, № 4. С. 12-14.

14. Гараев К.Г. Об оптимальном управлении движением газа в ламинарном пограничном слое на проницаемых телах вращения // Проблемы аналитической механики, устойчивости и управления движением. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1991. С. 226-231.

15. Гараев К.Г. Об оптимальном вдуве охладителя в ламинарный пограничный слой сжимаемого газа // Прикладная математика и механика. Т 65, 2001, №2. С. 261-267.

16. Гараев К.Г. Группы Ли и теория Нетер в проблеме управления с приложениями к оптимальным задачам пограничного слоя // Казан, гос. техн. ун-т. Казань, 1994. 240 с.

17. Гараев К.Г. Дербенев С.А., Осадчая Д.М. О рациональной тепловой защите поверхностей в турбулентном сверхзвуковом потоке // (Изв. высш. учеб. заведений). Авиационная техника, 2002, № 2. С. 31-35.

18. Гараев К.Г., Кусюмов А.Н., Павлов В.Г. Об управлении температурой поверхности сферы, обтекаемой высокоскоростным потоком вязкого газа // (Изв. высш. учеб. заведений). Авиационная техника, 1987, № 2. С. 22-25.

19. Гараев К.Г., Кусюмов А.Н., Павлов В.Г. Об одной задаче управления в турбулентном пограничном слое сжимаемого газа // Устойчивость и управление: межвузовск. сб. / КАИ. Казань: 1988. С. 15-19.

20. Гараев К.Г., Овчинников В.А. Об одной разностной схеме для уравнений оптимально управляемого пограничного слоя // (Изв. высш. учеб. заведений). Авиационная техника, 2002, № 3. С. 15-18.

21. Гараев К.Г., Овчинников В.А. Инвариантные краевые задачи оптимально управляемого пограничного слоя // Прикладная математика и техническая физика. 2003. Т.44. № 1. С.33-38.

22. Гаравев К.Г, Осадчая Д.М. Оптимальный вдув охладителя в ламинарный пограничный слой на круговом конусе в сверхзвуковом потоке // Всероссийский семинар по аналитической механике, устойчивости и управления движением. Казань. 2005. С.

23. Гараев К.Г., Павлов В.Г. Групповое расслоение уравнений оптимально управляемого пограничного слоя // (Изв. высш. учеб. заведений). Авиационная техника, 1977, № 4. С. 30-33.

24. Гараев К.Г., Павлов В.Г. Групповые свойства уравнений оптимально управляемого пограничного слоя // (Изв. высш. учеб. заведений). Авиационная техника, 1970, № 4. С. 5-9.

25. Гинзбург И.П. Теория сопротивления и теплопередачи. Л.: ЛГУ, 1970. 376 с.

26. Гошек И. Аэродинамика больших скоростей. М.: Изд-во ИЛ, 1954. 548 с.

27. Гришин A.M. Математическое моделирование сопряженных задач механики реагирующих сред // Численные методы задач переноса. Ч. 2. Минск: Изд-во ИТМС АН БСССР, 1979. С. 65-85.

28. Дараган М.А., Осадчая Д.М. Оптимально управляемый пограничный слой на клине при сверхзвуковом режиме обтекания // XII Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функции и их приложения», Саратов, 2004. С. 54-55.

29. Дербенев С.А., Осадчая Д.М. Об одной задаче оптимального управления пограничным слоем // VII Четаевская международная конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». Казань. 1997. С. 115.

30. Дербенев С.А., Осадчая Д.М. Обеспечение требуемого температурного режима на обтекаемой поверхности с помощью газовых завес // Вестник КГТУ. Казань, 2005, № 2. С. 33-35.

31. Дербенев С.А., Осадчая Д.М. Расчет рациональной тепловой защиты при обтекании тела сверхзвуковым турбулентным потоком газа // XII Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функции и их приложения». Саратов, 2004. С. 68.

32. Дородницын A.A. Ламинарный пограничный слой в сжимаемом газе // Сб. теоретических работ по аэродинамике. М.: Оборонгиз. 1957. С. 140-173.

33. Дородницын A.A. Об одном методе решения уравнения ламинарного пограничного слоя // Прикл. математика техн. физитка. 1960, № 3. С. 111-118.

34. Дорренс У.Х. Гиперзвуковые течения вязкого газа. М.: Мир, 1966. 439 с.

35. Дракин И.И. Аэродинамический и лучистый нагрев в полете. М.: Оборонгиз, 1961. 95 с.

36. Жанабеков Ж.Ж., Лукьянов А.Т. Об оптимальном управлении теплообменом на пористой поверхности // (Изв. высш. учеб. заведений). Авиационная техника, 1977, № 2. С. 55-61.

37. Жукаускас А., Шланчаускас А. Теплоотдача в турбулентном потоке жидкости. Вильнюс: МИНТИС, 1973. 327 с.

38. Зинченко В.И., Путянина E.H. Исследование тепломассообмена при обтекании тел различной формы с учетом вдува // ИФЖ, т. 45, № 1, 1983. С. 11-21.

39. Комаров В.П., Леонтьев А.И. Экспериментальное исследование эффективности завесы в турбулентном пограничном слое газа. / Теплофизика высоких температур. 1970, т. 8, № 2. с. 353-358.

40. Крайко А.Н. К оптимальному управлению пограничным слоем // (Изв. высш. учеб. заведений). Авиационная техника, 1979, № 1. С. 124-125.

41. Краснов Н.Ф. Аэродинамика тел вращения. М.: Машиностроение, 1964. 572с.

42. Краснов Н.Ф., Кошевой В.Н. Управление и стабилизация в аэродинамике. М.: Высшая школа, 1978. 480 с.

43. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. Новосибирск: Наука, 1970. 660 с.

44. Кутателадзе С.С. Теплопередача и гидродинамическое сопротивление: Справочное пособие. М.: Энергоатомиздат. 1990. 367 с.

45. Кутателадзе С.С., Леонтьев А.И. Тепломассообмен в турбулентном пограничном слое. М.: Энергия, 1972. 323 с.

46. Кутателадзе С.С., Леонтьев А.И. Тепломассообмен и трение в турбулентном пограничном слое. 2-е изд., перераб. М.: Энергоатомиздат, 1985. 320 с.

47. Лапин Ю.В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа. М.: Наука, 1982.312 с.

48. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. 847 с.

49. Лю-Шень-Цуань. Расчет ламинарного слоя в сжимаемом газе при наличии отсоса или вдува // Журнал вычислит, математики и физики, 1962, № 5. С. 868-883.

50. Механика в СССР за 50 лет. Т.2. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970. 880 с.

51. Мугалев В.П. Исследование теплообмена и характеристик турбулентного пограничного слоя на пористой поверхности. В кн.: Тепло- и массоперенос, т.1 / Под ред. A.B. Лыкова, Б.М. Смольского. М.: Энергия, 1968. С. 33-38.

52. Осадчая Д.М. К задаче оптимизации тепломассообмена в ламинарном пограничном слое при сверхзвуковом режиме течения // XXIII Российская школа по проблемам науки и технологий, 2003. Миасс. С. 18.

53. Осадчая Д.М., Дараган М.А. К задаче оптимального управления пограничным слоем на клиньях в сверхзвуковом потоке // Вестник КГТУ. Казань, 2004 № 1.С. 26-29.

54. Павловский Ю.Н. Численный расчет ламинарного пограничного слоя в сжимаемом газе // Вычисл. математика и физика. 1962, № 5. С. 884-901.

55. Панкратов Б.М. Спускаемые аппараты. М.: Машиностроение, 1984. 232 с.

56. Панкратов Б.М., Полежаев Ю.В., Редько А.К. Взаимодействие материалов с газовыми потоками. М. Машиностроение. 1976. 224 с.

57. Репухов В.М. Теория тепловой защиты стенки вдувом газа. Киев: Наукова думка, 1980. 296 с.г

58. Романенко П.Н. Гидродинамика и тепломассообмен в пограничном слое. М.: Энергия. 1974. 464 с.

59. Себеси Т., Смит A.M., Мозинский Г. Теплопередача. Мир, 1970, № 2. С. 140-151.

60. Сиразетдинов Т.К. Оптимальные задачи газодинамики // (Изв. высш. учеб. заведений). Авиационная техника. 1963. № 2. С. 26-29.

61. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1979. 478 с.

62. Сиразетдинов Т.К., Диваков О.Г. Оптимальное управление пограничным слоем // (Изв. высш. учеб. заведений). Авиационная техника. 1969, № 3. С. 513.

63. Тумашев Г.Г. Лекции по газовой динамике. Казань: изд-во КГУ, 1987. 100 с.

64. Харченко В.Н. Теплообмен в сверхзвуковом турбулентном пограничном слое при вдуве охлаждающего газа через щель / Теплофизика высоких температур, 1972, т. 10, № 1. С. 101-105.

65. Шехтер Р. Вариационный метод в инженерных задачах. М.: Мир, 1971. 291с.

66. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 712 с.

67. Brauner C.M., Crolet M.H., Misiti M., Gay B. Optimal control of the laminar boundary layer by blowing or suction the wall. «Namber. Methods Laminar and Turbulent Flow//Proc. 1 st. int. Conf. Swansea, 1978», London-Plymount, 1978. P. 369-377.

68. Goldstein R.G., Eckert E.R.G., Wilson D.J. Film cooling with normal injection into a superconic flow. Trans. ASME, Ser. B, 1968, vol. 90, № 4. P. 584-589.у

69. Goldstein R.G., Shavit G., Chen T.S. Film cooling effectiveness with injection through a porous section. Trans. ASME, Ser. C, 1965, vol. 87, № 3. p. 353-363.

70. Noether E. Invariation probleme // Nath. Kg. Ges. Wiss. Gottingen. Math. Phys. 1918, k. l.P. 235-257.

71. Prandtl L., Uber Flussigkeitsbewegung bee sehr Kleiner Reibung. III. Intern. Math. Kongr. Heidelberg 1904. P. 484-491.

72. Reinolds W.C., Kays W.M., Klene S.A. A summary of experiment on turbulent heat transfer from a non-isothermal flat plate. Trans. ASME, Ser. C, 1960, vol. 82, №4. P. 341-348.

73. Seban R.A. Heat transfer and effectiveness for a turbulent boundary layer with tangential fluid injecton. Trans. ASME, Ser. C, 1960, vol. 82, № 4. P. 3030-312.S