автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Вычислительные методы трехмерной томографической реконструкции в конусе лучей

На правах рукописи

С'Ывьл*—

ШАПОШНИКОВА Елена Владимировна

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ТРЕХМЕРНОЙ ТОМОГРАФИЧЕСКОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ В КОНУСЕ ЛУЧЕЙ

05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации

(промышленность) 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новосибирск - 2006

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Новосибирский государственный технический университет»

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, доцент Трофимов Олег Евгеньевич

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Зеркаль Сергей Михайлович

Защита состоится «21» ноября 2006 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.173.05 при Новосибирском государственном техническом университете по адресу 630092, г, Новосибирск, пр. Карла Маркса,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета.

доктор технических наук,

доцент Фроловский Владимир Дмитриевич

Ведущая организация

Конструкторско-технологический институт научного приборостроения СО РАН (КТИНП СО РАН, г. Новосибирск)

20

Автореферат разослан октября 2006

г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.Т.Н., профессор

Воевода А. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования. Объектам исследования диссертации являются методы, формулы и алгоритмы трехмерной вычислительной томографии по данным в конусе лучей.

Актуальность работы. Под вычислительной диагностикой, к методам которой относится компьютерная томография, понимается совокупность методов и средств, предназначенных для изучения характеристик исследуемых объектов по результатам косвенной информации о них. Вычислительная диагностика имеет дело с большим объемом информации об объекте, обработка и интерпретация которой невозможна без применения современных методов вычислительной математики, развитого программного обеспечения и высокопроизводительных средств вычислительной техники.

Принципиальное отличие реконструктивной вычислительной томографии от традиционной заключается в том, что в вычислительной томографии используется сложная математическая обработка, представляющая собой, как правило, решение обратной задачи. На сегодняшний день вычислительная томография представляет собой сформировавшееся научное направление со своим кругом задач и методами их решения.

Значительный прогресс метода компьютерной томографии обусловлен его преимуществом перед многими другими методами диагностики. Отличие этого метода заключается в том, что его информативность о каждом элементарном объеме исследуемого объекта во много раз выше, чем в других известных методах.

Важнейшей частью томографии является математическое и программное обеспечение, реализующее алгоритмы томографической реконструкции. Математическая база реконструктивной томографии была создана И. Радоном еще в 1917 году, однако, методы двумерной вычислительной томографии начали активно развиваться только в 60-х годах прошлого века. В последние десятилетия XX века и в настоящее время создаются и развиваются методы трехмерной реконструктивной томографии по данным в конусе лучей. Толчком к созданию и бурному развитию метода трехмерной томографии стала необходимость разработки метода вычислительной диагностики, отличающегося высокой скоростью получения данных и достоверностью реконструкции. К основным приложениям трехмерной реконструктивной томографии могут относиться: медицинская диагностика, неразрушающая диагностика промышленных изделий, реконструкция объектов в электронной микросколии, задачи геофизики.

Для решения задачи томографической реконструкции по данным в конусе лучей получены аналитические формулы обращения, однако, при создании по этим формулам численных алгоритмов и исследовании их работы на реальных системах, возникают проблемы, связанные с достоверностью и эффективностью вычислений. Таким образом, существует необходимость разработки методов и формул трехмерной томографии/ обеспечивающих

наиболее достоверное восстановление изображения и упрощающих численные алгоритмы томографической реконструкции.

На сегодняшний день широкое распространение получили приближенные алгоритмы трехмерной томографии, но необходимо отметить, что следствием приближенного решения задачи трехмерной томографической реконструкции является ухудшение качества изображения, в частности, появление артефактов при увеличении угла конуса рентгеновского пучка.

Большой объем вычислений, необходимый в точной трехмерной томографии, требует применения метода быстрых вычислений на основе кластерных технологий.

Важность обсуждаемого вопроса подтверждается также большим количеством международных конференций по данной тематике, проводимых в настоящее время.

Цель работы. Разработка методов и формул трехмерной томографии, обеспечивающих наиболее достоверное восстановление изображения и упрощающих численные алгоритмы томографической реконструкции.

Задачи исследования

1. Уточнение алгоритма томографической реконструкции для схемы получения данных с траекторией источника излучения, состоящей из двух окружностей, с целью наиболее достоверного восстановления изображения.

2. Приведение формулы обращения лучевого преобразования к форме, позволяющей не выходить за пределы единичной сферы при обращении лучевого преобразования в трехмерном пространстве.

3. Исследование устойчивости алгоритма томографической реконструкции к случайным помехам.

4. Разработка программного обеспечения на основе созданных методов и алгоритмов, в том числе с применением параллельных вычислений.

Методы исследований. Полученные результаты основаны на применении численных методов, методов математического анализа, параллельных вычислений и моделирования на ЭВМ.

Моделирование и вычислительный эксперимент проводились с использованием программного обеспечения, реализованного на С++,

Научную новизну представляют следующие методы и формулы трехмерной томографии.

1. Для схемы получения данных с траекторией источника излучения, состоящей из двух пересекающихся окружностей, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях, уточнен шаг численного алгоритма томографической реконструкции, соответствующий выбору положения источника излучения, и предложен метод выбора положения источника, обеспечивающий наилучшее восстановление в заданной точке.

2. Для рассматриваемой схемы получения данных определены направления, на которых достоверность реконструкции будет наибольшей или наименьшей, и предложен метод выбора положения траектории источника

относительно объекта такой, чтобы качество реконструкции в заданной точке было наиболее достоверным.

3. Получено выражение обращения трехмерного лучевого преобразования, включающее дифференцирование я интегрирование функции на единичной сфере.

Достоверность результатов подтверждается компьютерным моделированием с использованием разработанных тестовых объектов и публикацией материалов, в том числе в рецензируемых изданиях.

Практическая значимость и реализация результатов

Полученные методы и формулы и созданное на этой основе программное обеспечение могут быть использованы:

- в промышленных и медицинских томографах нового поколения с соответствующей схемой сбора информации;

- при исследовании алгоритмов томографии в конусе лучей на скорость восстановления, качество реконструкции и устойчивость к помехам.

Методы и формулы трехмерной томографии, предложенные в диссертационной работе, использовались для разработки вычислительных алгоритмов трехмерной томографической реконструкции в рамках проекта «Сервер условно-корректных задач», осуществляемого при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований.

Материалы диссертации использовались в учебном процессе НГТУ при выполнении выпускных магистерских работ в процессе подготовки магистров по направлению 23010068 "Информатика и вычислительная техника".

Основные положения, выносимые на защиту

1. Метод выбора положения источника, обеспечивающий наиболее достоверную реконструкцию в заданной точке для схемы получения данных с траекторией источника излучения, состоящей из двух пересекающихся окружностей, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях.

2. Для рассматриваемой схемы получения данных определение направлений, на которых достоверность реконструкции объекта будет наибольшей или наименьшей.

3. Выражение обращения трехмерного лучевого преобразования, включающее дифференцирование и интегрирование функции на единичной сфере.

4. Разработанное на основе предложенных методов и алгоритмов программное обеспечение, в том числе с использованием параллельных вычислений» позволяющее выполнять восстановление изображений и исследовать алгоритмы на скорость восстановления, качество реконструкции и устойчивость к помехам.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на:

1. Международной конференции «Перспективные методы томографической диагностики: разработка и клиническое применение» (Томск, 26-27 июня, 2003)

2. в"1 Korea-Russia International symposium on science and technology KORUS (Tomsk, June 26 - July 2, 2004)

3. International conference Inverse problems: Modeling and Simulation (Fethiye, Turkey, June 7-12, 2004)

4. Конференции-конкурсе работ студентов, аспирантов и молодых ученых «Технологии Microsoft в информатике и программировании» (Новосибирск, 21-23 февраля 2004)

5. II Международной конференции «Параллельные вычисления и задачи управления» (Москва, 4-6 октября, 2004)

6. Научно-технической конференции "Томография" (Москва, 22 марта,

2005)

7. The IASTED International Conference on Automation, Control and Applications (Novosibirsk, June 20-24, 2005)

Работа частично поддержана грантами РФФИ (№№ 03-01-00910, 03-0790060, 05-01-10667, 06-01-81000), 2002-2005 гг., грантами фонда Научный потенциал за 2004, 2005 гг., грантом INTAS Хй 03-58-66 на посещение летней школы 6th ШЕЕ EMBS International Summer School on Biomedical Imaging, 2004 г, и грантом WCIPT4 Student Bursaiy, 2005 r.

Личный вклад. Метод выбора положения источника, обеспечивающий наиболее достоверное восстановление изображения в заданной точке, модификация формулы обращения лучевого преобразования и разработанное программное обеспечение принадлежат автору.

Публикации. По результатам исследований опубликовано 6 печатных работ, в их числе 1 статья в центральном издании, входящем в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ, и 5 докладов в трудах международных конференций.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 102 наименования, приложений, содержит 45 рисунков, 1 таблиц/, общий объем составляет 136 страниц,

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируются основные цели работы, показана актуальность темы, научная новизна и практическая значимость результатов, перечислены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе излагаются общие сведения о методах вычислительной томографии. Рассматривается метод трехмерной рентгеновской томографии, освещаются ключевые теоретические вопросы и вычислительные алгоритмы трехмерной томографической реконструкции.

Выполняется обзор основных трудов российских и зарубежных авторов, чьи работы связаны с разработкой математической теории и практического применения методов трехмерной томографической реконструкции.

Томография - метод неразрушающего исследования внутренней структуры объекта посредством многократного его просвечивания в различных пересекающихся направлениях. В рентгеновской томографии изображение внутренней структуры объекта восстанавливают (реконструируют) по данным об ослаблении рентгеновского излучения, проходящего через объект. Ослабление рентгеновского излучения вдоль луча, соединяющего источник и приемник, является интегральной характеристикой плотности исследуемого объекта,

В хорошо разработанном и широко используемом на сегодняшний день методе двумерной томографии используется веерный пучок излучения и одномерная линейка детекторов.

Схема сканирования с двумерным детектором и коническим пучком (рис. 1) была разработана, в основном, в связи с необходимостью выполнять реконструкцию изображения в четырехмерной (простанственно-временной) области, для чего требуется регистрировать данные по всем сечениям одновременно. Для описываемой схемы сканирования математически решается задача восстановления функции трех пространственных переменных по ее интегралам вдоль прямых, лежащих в трехмерном пространстве.

Необходимо отметить, что переход от веерной к конической геометрии значительно усложняет задачу восстановления. Строго говоря, задача реконструкции в конусе лучей не может быть сведена к задаче послойной реконструкции в веере лучей. Кроме того, невозможно путем подбора параметров получить соотношение между лучевым преобразованием в конусе лучей и лучевым преобразованием в параллельных лучах.

Лучевое преобразование функции /(л) определяется формулой

Здесь у(Л) = 5 = -точка в трехмерном пространстве, £ = ~~

направляющий вектор, / - одномерная переменная интегрирования, -

интеграл от функции вдоль луча, проходящего через точку /(Л) в направлении вектора £ =

Функция У(х) = /(^(,^2,по ее интегралам gf■(A,£) находится как:

Формула (2) называется формулой обращения лучевого преобразования. Здесь у(Л) = (^Х^з(^)) - траектория движения источника излучения, точка

л = и вектоР определяют плоскость Р(х, р). Символ

(**/)№ я = В} (Л,£) = I + .

о

(О

означает интегрирование по единичной окружности S(x, ß) с центром в точке х лежащей в плоскости P(x,ß)t оператор L(D,ß) - дифференцирование функции в направлении вектора/?.

Формула (2) получена A.C. Денисюком и O.E. Трофимовым, и является развитием формулы Туя. В отличие от формулы Туя формула (1) позволяет создавать численные алгоритмы полной томографической реконструкции в конусе лучей.

Во второй главе формула обращения (2) исследуется для схемы получения данных с траекторией источника излучения в виде двух окружностей, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 1). Такая траектория удовлетворяет условию Кириллова-Смита-Туя для точного восстановления: любая плоскость, пересекающая объект, должна пересекать траекторию движения источника. Уточняется шаг численного алгоритма по формуле (2), соответствующий выбору положения источника излучения. Предлагаемый метод выбора положения источника обеспечивает наилучшее восстановление изображения в заданной точке..

Рис. 1. Схема получения данных: траектория движения источника излучения — две пересекающиеся окружности, лежащие во взаимно перпендикулярных

плоскостях, плоский детектор

Реконструкция - это дискретизированное изображение. В случае, если реконструкция получена по модельным данным, то о качестве ее судят путем сравнения с дискретизированными данными самой модели. Визуальная оценка является наиболее прямым методом. Для этого отображают

реконструированное изображение и изображение модели и смотрят, все ли характеристики модели воспроизведены на реконструкции и нет ли ложных деталей, возникших в процессе реконструкции.

В непрерывном случае задача томографической реконструкции относится к классу задач, для которых небольшое изменение в исходных данных может вызвать большие изменения в решении. При этом, дискретизация, обычно использующаяся в реальных условиях, может выступать как метод регуляризации. Таким образом, при создании алгоритма томографической реконструкции необходимо удостовериться в том, что при наличии некоторого уровня шума можно получить достоверную информацию о внутренней структуре объекта. Поскольку погрешности влияют на конечные результаты, получаемые в процессе реконструкции, то важно знать как природу этих погрешностей, так и механизм влияния их на результаты, к которым приводит данный алгоритм реконструкции.

Для моделирования проекций в конусах лучей в настоящей работе получены явные формулы лучевого преобразования простых объектов — куба и шара.

По результатам вычислительного эксперимента предложен метод выбора положения источника, обеспечивающий наиболее достоверное восстановление плотности объекта в заданной точке. Определены направления, на которых достоверность реконструкции объекта будет наибольшей или наименьшей, и предложен метод выбора положения траектории источника относительно объекта такой, чтобы качество реконструкции в заданной точке было наилучшим.

На начальном этапе вычисления по формуле (2) необходимо найти точку пересечения плоскости Р(х,Р{$,<р)) с траекторией источника излучения. Так как траектория движения источника состоит из двух окружностей, то плоскость Р(х>0(в>ф)) может пересекать обе окружности (рис. 2). В таких случаях выбор окружности оказывает существенное влияние на результаты реконструкции.

Показано, что если точку положения источника выбирать на окружности, плоскость которой составляет с вектором ^ = больший угол, то такой

метод выбора точки положения источника позволяет получать наиболее достоверные результаты. При этом наиболее достоверные результаты получаются в точках, принадлежащих прямым, ортогональным плоскостям, в которых лежат окружности, составляющие траекторию источника.

Моделировался случай, когда исходными данными являются значения

функции g'¥(Яi4), заданные на поверхности плоского детектора.

Параметры системы получения данных и алгоритма при моделировании:

- траектория источника излучения состоит из двух пересекающихся о кружно сейти единичного радиуса, лежащие в плоскостях г = 0 и ^ = 0;

- размер регистрирующей матрицы детектора 0,4x0,4, 512x512 ячеек;

- шаг при движении источника вдоль траектории ЗХ = 2¿г/360;

- шаги для @(<р, в): 8(р = 2-к/200, 66 »тс/100.

Рис. 2. Пересечение траектории движения источника плоскостью Р(х, 0(0, <р)) в

точках У(Л)2> Г(Л)з.

Представлены результаты реконструкции однородного шара единичной плотности, радиуса 0,1, с внутренней шаровой полостью радиуса 0,02. Центры шара и полости находятся в точке (0, 0, 0).

Восстанавливались значения в 100 точках на отрезках, принадлежащих осям X, У, 2 с шагом 0,3 для каждой оси.

б)

Рис. 3. Результаты реконструкции в точках, принадлежащим прямым - осям

координат: X (а), У (б) и X (в).

I — действительные значения, 2 - восстановленные значения

На рис. 3 представлены результаты реконструкции в точках, принадлежащим прямым - осям координат.

Наиболее достоверные результаты получены в точках, лежащих на осях У и Z) наименее - в точках на оси X. Это позволяет сделать вывод, что для наиболее достоверного восстановления значения в точке х = (х^х^хз) необходимо иметь траекторию движения источника, лежащую в плоскости, ортогональной вектору х = (Х}, х2, хз).

Рис. 4. Результат реконструкции в точках: по оси X (а), по оси Y (б); 1 — действительные значения,

2 — восстановленные значения, 360 проекций на окружности,

3 - восстановленные значения, 720 проекций на окружности

В некоторых случаях можно выбирать траекторию источника, наилучшую для заданного направления. В случаях, когда этого делать нельзя,

необходимо учитывать, что в направлении, ортогональном отсутствующей плоскости, качество восстановления будет хуже, чем в направлениях, ортогональных плоскостям траектории источника.

Нечеткость границ шара и полости обусловлена объемом проекционных данных. Показано, что при увеличении количества проекций качество реконструкции повышается, при этом эффект разной достоверности сохраняется. На рис. 4 приведены результаты реконструкции в точках по осям Хи У для 720 и для 360 положений источника на окружности.

Показано (рис, 5), что перечисленные положения сохраняются также при добавлении к исходным данным 5% шума с равномерным распределением.

Рис, 5. Результат реконструкции в точках: при наличии шума (а), без шума (б); 1 - действительные значения, 2 - восстановленные значения по оси X, 3 - восстановленные значения по оси V,

В третьей главе внутренний интеграл

/(*,&= (3)

формулы (2) представлен в форме, удобной для вычислений для случая задания исходных данных трехмерной томографии на единичной сфере.

Под значениями, полученными на единичной сфере, подразумеваются значения лучевого преобразования, соответствующие единичному вектору £ в формуле лучевого преобразования (I).

В формуле (1) величины и определяют один и

тот же луч, но, значение лучевого преобразования gj(Л,£) функции /С*) —/(хъх2>хъ) зависит от величины а. При описании реальной системы получения данных необходимо учитывать, что на детекторе мы имеем значения лучевого преобразования gf(S,£), полученного по формуле (1) при = 1.

При обращении лучевого преобразования по формуле 2, учитывается, что вектор £ не единичной длины, а именно, в части формулы, где описывается интегрирование по окружности и дифференцирование по в направлении /? (оператор L(D,0)). Так, интегрирование выполняется но окружности единичного радиуса, а при дифференцировании по направлению р вектор £ не единичный.

Поскольку в общем случае вектор 4 не единичной длины, то можно записать

и преобразовать выражение к виду, при котором можно дифференцировать, не выходя за пределы единичной сферы.

Пусть sqj-(f¿,v,s) - функция, заданная на единичной сфере sqj- (fj, у, s) = qj- (cos v cos //, sin v cos ¿j, sin //, s),

-/г/2 £//£ я72, 0 £ ^ £ 2;r, и для произвольного вектора £ выполняется соотношение

Я/ (/Л = Щ/ (М£)> »

где

= , Í2»Й) - arcsin , -~,

ViI +Й VÍ12+Í22

Получено следующее выражение обращения трехмерного лучевого преобразования, включающее дифференцирование и интегрирование функции на единичной сфере

t 2я я/2 а

„ ч -Iff COS0

^) = ГТ J J -х

в г2?д5я}(м(е><Р>в>)Мв><Р>о>\У(Л)) „ w

ХШ[{ -^-+

+ Г---хСу(в,ф)с!ф]с1Ш<р, (4)

о &

где

См(<р,ф) =

л/1—'соя <р соб гу)2 СОБ <р5Ш О

Су(р,ф)= о-

1-(СО50СО5й>)

В отличие от формулы (2), полученное выражение позволяет не выходить за пределы единичной сферы при обращении лучевого преобразования в трехмерном пространстве.

Также рассматривается такая постановка задачи, когда значения функции заданы на плоском детекторе и формулы обращения томографической реконструкции преобразуются к виду, естественному для схемы с плоским детектором и при задании на детекторе значений, соответствующих реальным системам получения данных, т.е. для луча (51,значение лучевого

преобразования (5, исследуемой функции, заданное на детекторе,

соответствует значению исследуемой функции для луча (.?,£) при = I.

Получена формула

2я ж!2 , ^

/(*)-—2 | I ОО50 ^-[1(ХЛ<Р,фШ<р, (2)

которая позволяет при обращении лучевого преобразования перейти от интегрирования по окружности в трехмерном пространстве координат к интегрированию по прямой в плоскости регистрации (в двумерном пространстве координат р1, р2) при задании значений на плоском детекторе, соответствующих реальным системам получения даных.

В четвертой главе описывается разработанное на основе предложенных алгоритмов и методов программное обеспечение, в том числе с использованием параллельных вычислений, позволяющее выполнять восстановление изображений и исследовать алгоритмы на скорость восстановления, качество реконструкции и устойчивость к помехам.

Программное обеспечение позволяет выполнять:

— моделирование двумерных рентгеновских проекций простых объектов;

— точную трехмерную томографическую реконструкцию для схемы получения данных с траекторией источника, состоящей из двух окружностей;

— приближенную томографическую реконструкцию для схемы получения данных с траекторией источника, состоящей из одной окружности (алгоритм Фельдкампа);

— для описываемой схемы получения данных — приближенную томографическую реконструкцию с использованием приближения трехмерной реконструкции реконструкцией в веере лучей на основе преобразования Фурье и алгоритма свертки и обратного проецирования.

Описана программа, реализующая трехмерную томографическую реконструкцию с применением параллельных вычислений.

Для быстрого восстановления методом точной трехмерной томографической реконструкции предлагаются два способа организации параллельных вычислений: с управляющим процессом и без управляющего процесса.

Особенность алгоритмов трехмерной томографической реконструкции состоит в необходимости выполнения большого объема вычислений для получения значения плотности в одной точке. Таким образом, уже на этапе моделирования возникает проблема организации быстрых вычислений.

При распараллеливании задачи необходимо обеспечить максимальную эффективность используемых ресурсов, для чего применен метод сбалансированной загрузки процессоров вычислительной системы, основанный на учете загрузки каждого процессора и динамическом распределении вычислений по доступным ресурсам

Для распараллеливания томографической реконструкции был выбран подход, при котором вычисление значения функции в одной точке целиком выполняется одним процессом. Таким образом, необходимо решить задачу обработки массива, значения элементов в котором определяются сложным выражением и требуют большого объема вычислений. Но поскольку время вычисления значения в точке не является постоянным, то простым разбиением числа всех точек на количество процессоров эта задача не может быть решена. Кроме того, необходимо учесть неоднородность узлов в вычислительном комплексе.

В целях достижения большей эффективности распараллеливания было опробовано два способа организации динамическомого распределения вычислений: без управляющего процесса и с управляющим процессом.

В первом случае возможна следующая реализация. Для организации прохода по точкам создается счетчик точек в файле. Каждый процесс, выполнив вычисления в точке и сохранив результат, обращается к счетчику за следующей точкой; доступ к счетчику осуществляется в блокирующем режиме.

Такой алгоритм размещения позволяет организовать динамическую балансировку загрузки процессоров. Задача легко масштабируется на любое количество процессоров л, 1<п<т, где т — количество точек для восстановления (рис. 6), при этом достигается высокая эффективность

распараллеливания, но возникают дополнительные сложности при организации глобального учета состояния вычислений. Кроме того, так как обращение к файлу происходит в монопольном режиме, возможны ситуации, когда к файлу будет образовываться очередь и, следовательно, возникать простои процессоров.

Для организации выполнения задачи с использованием управляющего процесса выделяется один процесс, который раздает точки считающим процессам, проверяет выполнение счета в каждой точке и сохраняет результат. Кроме того, он сохраняет контекст исполняемой задачи, так как обладает всей достаточной информацией - таким образом, решается проблема корректной приостановки задачи.

Таким образом, при наличии управляющего процесса легко организовать глобальный учет состояния вычислений, но при небольшом количестве задействованных процессоров увеличивается время простоя процессора, на котором выполняется управляющий процесс, и распараллеливание задачи оказывается неэффективным.

Рис. 6. Ускорение вычислений

Отмечено, что при увеличении количества процессоров время выполнения задачи при использовании разных подходов становится приблизительно равным.

Можно предположить, чгго количество процессоров, на котором при разных способах размещения задачи время выполнения становится приблизительно равным, будет зависеть от таких параметров программы и многопроцессорной системы, как; алгоритм реконструкции, необходимая точность реконструкции, мощность процессоров, время обмена между процессорами и др. Поэтому выбор первого или второго способа будет зависеть от конкретных условий реконструкции и общей постановки задачи.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Для схемы получения данных с траекторией источника излучения, состоящей из двух пересекающихся окружностей, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях, уточнен шаг численного алгоритма томографической реконструкции, соответствующий выбору положения источника излучения, и предложен метод выбора положения источника, обеспечивающий наиболее достоверное восстановление изображения в заданной точке.

2. Для рассматриваемой . схемы получения данных определены направления, на которых достоверность реконструкции будет наибольшей или наименьшей, и предложен метод выбора положения траектории источника относительно объекта такой, чтобы качество реконструкции в заданной точке было наиболее достоверным.

3. Получено выражение обращения трехмерного лучевого преобразования, включающее дифференцирование и интегрирование функции на единичной сфере. В отличие от полученных ранее формул это выражение позволяет не выходить за пределы единичной сферы при обращении лучевого преобразования в трехмерном пространстве,

А. Получены явные формулы для лучевого преобразования куба и шара, которые используются для моделирования трехмерной томографической реконструкции и позволяют установить ряд свойств формул обращения лучевого преобразования.

5. При организации параллельных вычислений предложено два способа организации динамического распределения вычислений для томографической реконструкции: без управляющего процесса и с управляющим процессом.

6. На основе предложенных алгоритмов и методов разработано программное обеспечение, решены прикладные задачи:

— моделирования точной трехмерной томографической реконструкции;

— реконструкции приближенными алгоритмами по исходным данным, полученным на реальных томографических системах.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Трофимов О. Е., Касьянова С. Н., Шапошникова Е. В. Томографическая реконструкция в трехмерных конусах лучей // Труды международной конференции "Перспективные методы томографической диагностики: разработка и клиническое применение". - Томск: STT, 2003. - С, 54-55.

2. Шапошникова Е. В. О точности определения границ объекта при томографической реконструкции в конусах лучей // Автометрия. — 2004, - Т. 40, № I.-С.36-40.

3. Shaposhnikova Е. On random noise effect on the cone-beam tomographic reconstruction accuracy // Proc. 8th Korea-Russia International symposium on science

and technology KORUS. - Tomsk: TPU, 2004. - P. 146-149. (Влияние помех на достоверность томографической реконструкции в конусе лучей)

4. Шапошникова Е. В., Романенко А. А. Использование параллельных вычислений для моделирования трехмерной томографической реконструкции в конусах лучей if Труды международной конференции «Параллельные вычисления и задачи управления» - Москва, 2004. — С. 221-225.

5. Trofimov О. Е., Shaposhnikova Е. V. The explicit formulas for cube and sphere // Proc. of the IASTED International Conference on Automation, Control and Applications. - Novosibirsk: ACTA Press, 2005. - P. 290-295. (Точные формулы лучевого преобразования для куба и сферы)

6. Likhachov A.V., Shaposhnikova Е. V., Trofimov О. Е. On the differentiation and integration of ray transform on the unit sphere // Proc. of the IASTED International Conference on Automation, Control and Applications. — Novosibirsk: ACTA Press, 2005 - P. 10-14, (Дифференцирование и интегрирование лучевого преобразования на единичной сфере)

Подписано в печать 16.10.2006, Формат 84x60x1/16 Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Печ. л. 1,25. Заказ № 1216

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20

Введение.

Глава 1. Метод вычислительной томографии.

1.1. Задача восстановления функции по ее линейным интегралам.

1.2. Метод двумерной томографии.

1.2.1. Схемы сканирования в двумерной томографии.

1.2.2. Решение двумерной задачи.

1.2.3. Алгоритмы двумерной томографической реконструкции.

1.3. Метод трехмерной томографии в конусе лучей.

1.3.1. Постановка трехмерной задачи и методы решения.

1.3.2. Формула точной трехмерной томографической реконструкции.

1.3.3. Приближенные алгоритмы трехмерной томографии.

1.4. Выводы по главе.

Глава 2. Исследование достоверности алгоритма трехмерной томографической реконструкции.

2.1 Формулы лучевого преобразования простых объектов.

2.1.1. Формула лучевого преобразования для куба.

2.1.2. Формула лучевого преобразования для шара.

2.2. Достоверность трехмерной реконструкции для траектории источника излучения, состоящей из двух окружностей.

2.3. Достоверность трехмерной реконструкции при наличии шума.

2.4. Выводы по главе.

Глава 3. Преобразование формулы обращения.

3.1. Дифференцирование и интегрирование лучевого преобразования на единичной сфере.

3.2. Формула трехмерной реконструкции для плоского детектора

3.2.1. Дифференцирование и интегрирование лучевого преобразования в плоскости детектора.

3.2.2. Сравнение алгоритмов реконструкции.

3.3. Выводы по главе.

Глава 4. Программное обеспечение трехмерной томографической реконструкции.

4.1. Программа для вычисления рентгеновских проекций и выполнения трехмерной томографической реконструкции в конусе лучей.

4.2. Применение параллельных вычислений для выполнения трехмерной томографической реконструкции.

4.3. Выводы по главе.

Объект исследования. Объектом исследования диссертации являются методы, формулы и алгоритмы трехмерной вычислительной томографии по данным в конусе лучей.

Актуальность работы. Под вычислительной диагностикой, к методам которой относится компьютерная томография, понимается совокупность методов и средств, предназначенных для изучения характеристик исследуемых объектов по результатам косвенной информации о них. Вычислительная диагностика имеет дело с большим объемом информации об объекте, обработка и интерпретация которой невозможна без применения современных методов вычислительной математики, развитого программного обеспечения и высокопроизводительных средств вычислительной техники.

Принципиальное отличие реконструктивной вычислительной томографии от традиционной заключается в том, что в вычислительной томографии используется сложная математическая обработка, представляющая собой, как правило, решение обратной задачи. На сегодняшний день вычислительная томография представляет собой сформировавшееся научное направление со своим кругом задач и методами их решения.

Значительный прогресс метода компьютерной томографии обусловлен его преимуществом перед многими другими методами диагностики. Отличие этого метода заключается в том, что его информативность о каждом элементарном объеме исследуемого объекта во много раз выше, чем в других известных методах.

Важнейшей частью томографии является математическое и программное обеспечение, реализующее алгоритмы томографической реконструкции. Математическая база реконструктивной томографии была создана И. Радоном еще в 1917 году, однако, методы двумерной вычислительной томографии начали активно развиваться только в 60-х годах прошлого века. В последние десятилетия XX века и в настоящее время создаются и развиваются методы трехмерной реконструктивной томографии по данным в конусе лучей. Толчком к созданию и бурному развитию метода трехмерной томографии стала необходимость разработки метода вычислительной диагностики, отличающегося высокой скоростью получения данных и достоверностью реконструкции. К основным приложениям трехмерной реконструктивной томографии могут относиться: медицинская диагностика, неразрушающая диагностика промышленных изделий, реконструкция объектов в электронной микроскопии, задачи геофизики.

Для решения задачи томографической реконструкции по данным в конусе лучей получены аналитические формулы обращения, однако, при создании по этим формулам численных алгоритмов и исследовании их работы на реальных системах, возникают проблемы, связанные с достоверностью и эффективностью вычислений. Таким образом, существует необходимость разработки методов и формул трехмерной томографии, обеспечивающих наиболее достоверное восстановление изображения и упрощающих численные алгоритмы томографической реконструкции.

На сегодняшний день широкое распространение получили приближенные алгоритмы трехмерной томографии, но необходимо отметить, что следствием приближенного решения задачи трехмерной томографической реконструкции является ухудшение качества изображения, в частности, появление артефактов при увеличении угла конуса рентгеновского пучка.

Большой объем вычислений, необходимый в точной трехмерной томографии, требует применения метода быстрых вычислений на основе кластерных технологий.

Важность обсуждаемого вопроса подтверждается также большим количеством международных конференций по данной тематике, проводимых в настоящее время.

Цель работы. Разработка методов и формул трехмерной томографии, обеспечивающих наиболее достоверное восстановление изображения и упрощающих численные алгоритмы томографической реконструкции.

Задачи исследования

1. Уточнение алгоритма томографической реконструкции для схемы получения данных с траекторией источника излучения, состоящей из двух окружностей, с целью наиболее достоверного восстановления изображения.

2. Приведение формулы обращения лучевого преобразования к форме, позволяющей не выходить за пределы единичной сферы при обращении лучевого преобразования в трехмерном пространстве.

3. Исследование устойчивости алгоритма томографической реконструкции к случайным помехам.

4. Разработка программного обеспечения на основе созданных методов и алгоритмов, в том числе с применением параллельных вычислений.

Методы исследований. Полученные результаты основаны на применении численных методов, методов математического анализа, параллельных вычислений и моделирования на ЭВМ.

Моделирование и вычислительный эксперимент проводились с использованием программного обеспечения, реализованного на С++.

Научную новизну представляют следующие методы и формулы трехмерной томографии.

1. Для схемы получения данных с траекторией источника излучения, состоящей из двух пересекающихся окружностей, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях, уточнен шаг численного алгоритма томографической реконструкции, соответствующий выбору положения источника излучения, и предложен метод выбора положения источника, обеспечивающий наилучшее восстановление в заданной точке.

2. Для рассматриваемой схемы получения данных определены направления, на которых достоверность реконструкции будет наибольшей или наименьшей, и предложен метод выбора положения траектории источника относительно объекта такой, чтобы качество реконструкции в заданной точке было наиболее достоверным.

3. Получено выражение обращения трехмерного лучевого преобразования, включающее дифференцирование и интегрирование функции на единичной сфере.

Достоверность результатов подтверждается компьютерным моделированием с использованием разработанных тестовых объектов и публикацией материалов, в том числе в рецензируемых изданиях.

Практическая значимость и реализация результатов.

Полученные методы и формулы и созданное на этой основе программное обеспечение могут быть использованы:

- в промышленных и медицинских томографах нового поколения с соответствующей схемой сбора информации;

- при исследовании алгоритмов томографии в конусе лучей на скорость восстановления, качество реконструкции и устойчивость к помехам.

Методы и формулы трехмерной томографии, предложенные в диссертационной работе, использовались для разработки вычислительных алгоритмов трехмерной томографической реконструкции в рамках проекта «Сервер условно-корректных задач», осуществляемого при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований.

Материалы диссертации использовались в учебном процессе НГТУ при выполнении выпускных магистерских работ в процессе подготовки магистров по направлению 23010068 "Информатика и вычислительная техника".

Основные положения, выносимые на защиту

1. Метод выбора положения источника, обеспечивающий наиболее достоверную реконструкцию в заданной точке для схемы получения данных с траекторией источника излучения, состоящей из двух пересекающихся окружностей, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях.

2. Для рассматриваемой схемы получения данных определение направлений, на которых достоверность реконструкции объекта будет наибольшей или наименьшей.

3. Выражение обращения трехмерного лучевого преобразования, включающее дифференцирование и интегрирование функции на единичной сфере.

4. Разработанное на основе предложенных методов и алгоритмов программное обеспечение, в том числе с использованием параллельных вычислений, позволяющее выполнять восстановление изображений и исследовать алгоритмы на скорость восстановления, качество реконструкции и устойчивость к помехам.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на:

1. Международной конференции «Перспективные методы томографической диагностики: разработка и клиническое применение» (Томск, 26-27 июня, 2003)

2. 8th Korea-Russia International symposium on science and technology KORUS (Tomsk, June 26 - July 2,2004)

3. International conference Inverse problems: Modeling and Simulation (Fethiye, Turkey, June 7-12,2004)

4. Конференции-конкурсе работ студентов, аспирантов и молодых ученых «Технологии Microsoft в информатике и программировании» (Новосибирск, 21-23 февраля 2004)

5. II Международной конференции «Параллельные вычисления и задачи управления» (Москва, 4-6 октября, 2004)

6. Научно-технической конференции "Томография" (Москва, 22 марта, 2005)

7. The IASTED International Conference on Automation, Control and Applications (Novosibirsk, June 20-24,2005)

Работа частично поддержана грантами РФФИ (№№ 03-01-00910,03-0790060, 05-01-10667, 06-01-81000), 2002-2005 гг., грантами фонда Научный потенциал за 2004,2005 гг., грантом INTAS № 03-58-66 на посещение летней школы 6th IEEE EMBS International Summer School on Biomedical Imaging, 2004 г. и грантом WCIPT4 Student Bursaiy, 2005 r.

Личный вклад. Метод выбора положения источника, обеспечивающий наиболее достоверное восстановление изображения в заданной точке, модификация формулы обращения лучевого преобразования и разработанное программное обеспечение принадлежат автору.

Публикации. По результатам исследований опубликовано 6 печатных работ, в их числе 1 статья в центральном издании, входящем в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ, и 5 докладов в трудах международных конференций.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 102 наименования, приложений, содержит 45 рисунков, 1 таблицу, общий объем составляет 136 страниц.

Основные результаты работы

1. Для траектории источника излучения, состоящей из двух пересекающихся окружностей, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях уточнен шаг численного алгоритма томографической реконструкции, соответствующий выбору положения источника излучения, и предложен метод выбора положения источника, обеспечивающий наиболее достоверное восстановление плотности объекта в заданной точке.

2. Для рассматриваемой траектории источника излучения определены направления, на которых достоверность реконструкции будет наибольшей или наименьшей и предложен метод выбора положения траектории источника относительно объекта такой, чтобы качество реконструкции в заданной точке было наиболее достоверным.

3. Получено выражение обращения трехмерного лучевого преобразования, включающее дифференцирование и интегрирование функции на единичной сфере. В отличие от полученных ранее формул, это выражение позволяет не выходить за пределы единичной сферы при обращении лучевого преобразования в трехмерном пространстве.

4. Получены явные формулы для лучевого преобразования куба и шара, которые используются для моделирования трехмерной томографической реконструкции и позволяют установить ряд свойств формул обращения лучевого преобразования.

5. При организации параллельных вычислений предложено два способа организации динамического распределения вычислений для томографической реконструкции: без управляющего процесса и с управляющим процессом.

6. На основе предложенных алгоритмов и методов разработано программное обеспечение, решены прикладные задачи: моделирования точной трехмерной томографической реконструкции; реконструкции приближенными алгоритмами по исходным данным, полученным на реальных томографических системах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Аюпова Н.Б., Голубятников В.П. Алгоритмы решения многомерных обратных задач интегральной геометрии и комплексы прямых и плоскостей. // Методы решения некорректных задач. Новосибирск: ИМ СО РАН, 1990. С. 36-44.

2. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973.632 с.

3. Благовещенский А.С. О восстановлении функции по известным интегралам от нее, взятым вдоль линейных многообразий. // Математические заметки. 1986. - Т. 39. - № 6. - С. 841-849.

4. Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления. СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 600 с.

5. Гельфанд И. М. Интегральная геометрия и ее связь с теорией представлений // УМН. -1960. -№ 2. С. 155-164.

6. Гельфанд И. М., Гиндикин С. Г., Граев М. И. Избранные задачи интегральной геометрии. М.: Добросвет, 2000. - 208 с.

7. Денисюк А. С. Исследование по интегральной геометрии в вещественном пространстве: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. Наук. М., 1991.-16 с.

8. Жирнов В. Т., Смирнов К.К., Трофимов О.Е. О численных методах решения задач томографии. // Методы и средства обработки изображений. Новосибирск: ИАиЭ СО АН СССР, 1982. - С.105-114.

9. Календер В. Компьютерная томография. М.: Техносфера, 2006. -344 с.

10. Касьянова С. Н., Трофимов О. Е. Компьютерное моделирование алгоритма трехмерной томографии для траектории источника,состоящей из двух пересекающихся окружностей // Автометрия. -1996.-№6.-С. 50-59.

11. Касьянова С. Н., Трофимов О. Е. Формулы обращения для томографической реконструкции при использовании плоского детектора // Автометрия. 2000. - № 3. - С. 32-44.

12. Кириллов А. А. Об одной задаче И. М. Гельфанда // Доклады Академии наук СССР. -1961. Т. 137. - №2. - С. 276-277.

13. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функции и функционального анализа. М: Наука, 1972. - 496 с.

14. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. М: МЦНМО, 1999. - 960 с.

15. Корнеев В. Д. Параллельное программирование в MPI. -Новосибирск: Изд-во ИВМиМГ СО РАН, 2002. 215 с.

16. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырский П. И. Вычислительные методы. Т. 1. М.: Наука, 1976. - 304 с.

17. Лаврентьев М. М., Зеркаль С. М., Трофимов О. Е. Численное моделирование в томографии и условно-корректные задачи. -Новосибирск: Изд-во ИДМИ НГУ, 1999. 171 с.

18. Лихачев А. В., Пикапов В. В. Синтезированный алгоритм трехмерной томографии. // Математическое моделирование. 1998. - № 1. - С. 73-75.

19. Луис А. К., Наттерер Ф. Математические проблемы реконструктивной томографии // ТИИЭР, 1983. Т. 71, № 3. С. 111125.

20. Маковски А. Физические проблемы реконструктивной томографии // ТИИЭР, 1983. Т. 71, № 3. - С. 104-111.

21. Мерсеро Р. М., Оппенхейм А. В. Цифровое восстановление многомерных сигналов по их проекциям // ТИИЭР, 1974. Т. 67, № 10.-29-51.

22. Моли Б. Unix/Linux. Теория и практика программирования. -КУДИЦ-Образ, 2004. 576 с.

23. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. -М.: Мир, 1990.-288 с.

24. Немнюгин С., Стесик О. Параллельное программирование для многопроцессорных вычислительных систем. СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 400 с.

25. Пикалов В. В. Пакет прикладных программ, ориентированный на задачи вычислительной томографии. // Вопросы реконструктивной томографии. Новосибирск, 1985.-С. 132-135.

26. Реконструктивная вычислительная томография: Тематический вып. // ТИИЭР, 1983. Т. 71, № 3. -192 с.

27. Страуструп Б. Язык программирования С++. СПб.; М.: Невский диалект - Издательство БИНОМ, 1999.-991 с.

28. Терещенко С. А. Методы вычислительной томографии. М.: Физматлит, 2004. - 320 с.

29. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1986.

30. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Тимонов А. А. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987. -160 с.

31. Трофимов О. Е. К задаче восстановления функции по ее интегралам вдоль прямых, пересекающих заданную кривую // Методы решения условно-корректных задач. Новосибирск: ИМ СО АН СССР. -1991.

32. Трофимов О. Е. Использование формул обращения, содержащих обобщенные функции, при построении алгоритма трехмерной томографической реконструкции. // Автометрия. 1993. - № 2. - С. 55-61.

33. Трофимов О. Е. О преобразовании Фурье лучевых данных. // Автометрия. -1993. № 4. - С. 110-112.

34. Трофимов О. Е. О численных алгоритмах трехмерной томографической реконструкции. // Автометрия. 1992. - № 1. - С. 181-186.

35. Формалев В. Ф., Ревизников Д. JI. Численные методы. М.: Физматлит, 2004. - 400 с.

36. Хахлютин В.П. О восстановлении функции по ее интегральным характеристикам на линейных многообразиях и примыкающие вопросы // Препринт. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1989. - 35 с.

37. Хелгасон С. Преобразование Радона. М.: Мир, 1983.

38. Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям: основы реконструктивной томографии. М.: Мир, 1983. - 352 с.

39. Ценсор Я. Методы реконструкции изображений, основанные на разложении в конечные ряды // ТИИЭР. 1983. - Т.71. - № 3. - С. 148-160.

40. Шапошникова Е. В. О точности определения границ объекта при томографической реконструкции в конусах лучей. // Автометрия. -2004. -№1.- С. 36-40.

41. Шапошникова Е. В., Лихачев А. В., Трофимов О. Е. Программная реализация методов трехмерной томографической реконструкции в конусе лучей // Тез. докл. научно-технической конференции "Томография". Москва, 2005.

42. Шапошникова Е. В., Романенко А. А. Использование параллельных вычислений для моделирования трехмерной томографической реконструкции в конусах лучей // Докл. межд. конф. «Параллельные вычисления и задачи управления» Москва, 2004. - С. 221-225.

43. Altschuler М. D., Herman G. Т. Fully three-dimensional image reconstruction using series expansion methods // A review of information processing in medical imaging. / Eds. Brill A. B. et al. Oak Ridge, 1977. -P. 124-142.

44. Beattie J.W. Tomographic reconstruction from fan beam geometry using Radon's integration method // IEEE Trans, on Nuclear Science. 1975. -Vol. NS-22. - № 2. - P. 359-363.

45. Colsher J. G. Iterative three-dimensional image reconstruction from tomographic projections // Comput. Graph. Im. Proc. 1977. - № 6. - P. 513-537.

46. Danielsson P.E., Edholm P., Eriksson J., Seger M.M. Towards exact 3D-reconstruction for helical scanning of long objects // Int. Meeting on Fully Three-dimensional Image Reconstruction. -Nemacollin, 1997. P. 1-4.

47. Defrise M., Clack R., Leahy R. A note on Smith's reconstruction algorithm for cone-beam tomography // IEEE Tans. Med. Imag. -1992. Vol. 12. P. 622-623.

48. Eggermont P. P. В., Herman G. Т., Lent A. Iterative algorithms for large partitioned linear systems, with application to image reconstruction // Linear Alg. and its Appl. -1981. № 40. - P. 37-67.

49. Feldkamp L. A., Davis L. C., Kress J. W. Practical cone-beam algorithm // J. Opt. Soc. Am. -1984. -№ 1(6). -P. 21-43.

50. Finch D. V. Cone beam reconstruction with sources on a curve // SLAM J. Appl. Math. 1985. - № 45(4). - P. 665-673.

51. Finch D. V., Solmon D. C. A characterization of the range of the divergent beam X-ray transform // SIAM J. Math. Anal. 1983. - № 14(4). - P. 767771.

52. Finch D. V., Solmon D. C. Stability and consistency for the divergent beam X-ray transform // Mathematical aspects of computerized tomography / Eds. Herman G.T., Natterer F. New York: Springer-Verlag, 1980. P. 100-111.

53. Finch D. V., Solmon 1)7 C. Sums of homogeneous functions and the range of the divergent beam X-ray transform // Numer. Funct. Anal, and Optimiz. -1982. № 5(4). - P. 363-419.

54. Goitein M. Three-dimensional density reconstruction from a series of two-dimensional projections // Nuclear Instruments and Methods. 1972. -Vol. 101.-P. 509-518.

55. Grangeat P. Mathematical framework of cone beam 3D reconstruction via the first derivative of the Radon transform // Mathematical Methods in Tomography / Eds. Herman G.T., Louis A.K., Natterer F. Springer-Verlag, 1990.-P. 66-97.

56. Grangeat P. Analyse d'un systeme d'imagerie 3D par reconstruction a partir de radiographic X en geometrie conique // These de doctorat. -1987.

57. Grangeat P., Lemasson P., Melennec P., Sire P. Evaluation of the 3-D Radon transform algorithm for cone beam reconstruction // Medical Imaging V: Image Processing. Proc. Of SPIE 1445 / Ed. Loew M. H. -Bellingham: SPIE, 1991,-P.320-331.

58. Image Reconstruction from Projections: Implementation and Applications / Ed. G. T. Herman. Berlin and New York: Springer-Verlag, 1979.252 p.

59. Herman G. Т., Rowland S. W. Three methods for reconstructing objects from X-rays: A comparative study // Computer Graphics and Image Processing. 1973. - Vol. 2. - P. 151 -178.

60. Hamaker C., Smith К. Т., Solmon D. C., Wagner S. L. The divergent beam X-ray transform // Rocky Mount J. of Math. 1980. - № 10(1). - P. 253283.

61. Как A. C., Slaney M. Principles of Computerized Tomographic Imaging. -New York: IEEE, 1988. P. 49-112.

62. Kowalski G., Multislice reconstruction from twin cone-beam scanning // IEEE Trans. Nucl. Sci. -1979. NS № 26(2). - P. 2895-2903.

63. Kudo H., Saito Т. Derivation and implementation of a cone-beam reconstruction algorithm for non-planar orbits // IEEE Trans. On Med. Imag. Vol. 13,№ l.-P. 196-211.

64. Kudo H., Saito T. Feasible cone beam scanning methods for exact reconstruction in three-dimensional tomography // J. Opt. Soc. Am. A. -1990.- Vol.7.-P.2169-2183.

65. Kudo H., Saito T. Helical scan computed tomography using cone-beam projections // Conf. Record of the 1991 IEEE Nuclear Science Symp. and Medical Imaging Conf.-New York: IEEE, 1991.-P. 1958-1962.

66. Likhachov A.V., Shaposhnikova E. V., Trofimov О. E. On the differentiation and integration of ray transform on the unit sphere // The LASTED International Conference on Automation, Control and Applications. Novosibirsk: ACTA Press, 2005 - C. 10-14.

67. Macovski A., Alvarez R.E., Chan J.L.-H., Stonestrom J.P., Zatz L.M. Energy dependent reconstruction in X-ray computerized tomography // Comput. Biol. Med. -1976. Vol. 6. - P. 325-336.

68. Minerbo G. N. Convolutional reconstruction from cone-beam projection data // IEEE Trans. Nucl. Sci. -1979. Vol. NS-26. - P. 2682-2684.

69. Minerbo G. M. Maximum entropy reconstruction from cone-beam projection data // Comput. Biol. Med. 1979. - № 9. - P. 29-37.

70. Nalcioglu O., Cho Z. H. Reconstruction of 3-D objects from cone-beam projections // Proc. IEEE. -1978. Vol. 66. - P.1584-1585.

71. Palamodov V., Denisjuk A. Inversion de la transformation de Radon d'appris des donnres incompletes, C.R.A.S., Paris, t.307, Srr. I, 1988, P. 181-183.

72. Peyrin F. С. The generalized back-projection theorem for cone-beam reconstruction // IEEE Trans. Nucl. Sci. 1985. - Vol. NS-32. - P. 15121519.

73. Peyrin F., Goutte R., Amiel M. Analysis of a cone-beam x-ray tomographic system for different scanning modes // J. Opt. Soc. Am. A. -1992.-Vol. 9.-P. 1554-1563.

74. Ritman E. L, Robb R. A, Johnson S. A, Chevalier P. A, Gilbert В. K, Greenleaf J. F, Sturm R.E, Wood E. H. Quantitative imaging of the structure and function of the heart, lungs, and circulation // Mayo Clin. Proc. -1978. № 53(1). - P. 3-11.

75. Rizo P., Grangeat P., Sire P., Lemasson P., Melennec P. Comparison of two three-dimensional x-ray cone-beam reconstruction algorithms with circular source trajectories // J. Opt. Soc. Am. A. -1991. Vol. 8. P. 16391648.

76. Robb R. A. X-ray computed tomography: advanced systems in biomedical research // Three-dimensional biomedical imaging. CRC Press, 1985. -Vol.1.-P. 107-164.

77. Robb R. A., Hoffman E. A., Sinak L. J., Harris L. D., Ritman E. L. Highspeed three-dimensional X-ray computed tomography: the Dynamic Spatial Reconstructor // Proc. IEEE. -1983. № 71(3). P. 308-319.

78. Robb R. A., Lent A. N., Gilbert В. K., Chu A. The dynamic spatial reconstructor: a computed tomography system for high-speed simultaneous scanning of multiple cross sections of the heart // J. Med. Syst. 1980. -№4.-P. 253-288.

79. Schlindwein M. Iterative three-dimensional reconstruction from twin cone-beam projections // IEEE Trans. Nucl. Sci. 1978. - № NS - 25(5). - P. 1135-1143.

80. Shaller S., Stierstorfen K., Bruder H., Kachelnies M., Flohr T. Novel Approximate approach for high-quality image reconstruction in helical cone beam CT at arbitrary pitch. // SPIE Medical Imaging Conference Proc.-2001.-P. 113-127.

81. Shaposhnikova E. On random noise effect on the cone-beam tomographic reconstruction accuracy // Proc. 8th Korea-Russia International Symposium on Science and Technology KORUS 2004. Tomsk: TPU, 2004.-P. 146-149.

82. Shepp L. A., Logan B. F. Reconstructing interior head tissue from X-ray transmissions // IEEE Trans. Nuc. Sci. 1974. - Vol. 21. - No. 2. - P. 228-236.

83. Shepp L. A., Logan B. F. The Fourier reconstruction of a head section // -IEEE Trans. Nuc. Sci. -1974. Vol. 21. - P. 21-43.

84. Smith B. D. Cone-beam convolution formula // Comput. Biol. Med. -1983.-№13(2).-P. 81-87.

85. Smith B.D. Cone-beam tomography: resent advances and tutorial review // J. Optical Engineering. -1990. № 29(5). - P. 524-534.

86. Smith B. D. Image reconstruction from cone-beam projections: necessary and sufficient conditions and reconstruction methods // IEEE Trans, on Med. Imag. -1985. P. 14-25.

87. Smith B. D., Chen J. Implementation, investigation and improvement of a novel cone-beam reconstruction method // IEEE Tans. Med. Imag. -1992. -Vol. 11.-P. 260-266.

88. Trofimov О., About one form of inversion formula for cone-beam tomography // Process Imaging for Automatic Control, Proc. of SPIE 4188. -2001.-P. 111-120.

89. Trofimov О. E., Computer modeling of cone beam reconstruction // Proc. Int. Conf. Frontiers in Industrial Process Tomography II. 1997. - P. 257260.

90. Trofimov О. E., Cone beam reconstruction and Fourier transform of distributions // Lecture Notes in Computer Science. Springer-Verlag, 1990.-No.719.-P. 66-97.

91. Trofimov О. E., Correlation of two methods of cone-beam reconstruction // J. of Sys. Analysis-Modeling Simulation. Gordon and Breath Publishers S.A.,-1995.-Vol. 18. — P. 169-172.

92. Trofimov О. E., Shaposhnikova E. V. The explicit formulas for cube and sphere // Proc. of the IASTED International Conference on Automation, Control and Applications. Novosibirsk: ACTA Press, 2005. - P. 290295.

93. Tuy H. K. An inversion formula for cone-beam reconstruction // SLAM J. Appl. Math. -1983. -№ 43(3). -P. 546-552.

94. Wang G., Lin Т., Cheng P., Shinozaki D. M. A general cone-beam reconstruction algorithm // IEEE Trans. Med. Imag. 1993. - Vol. 12. -P. 486-496.

95. Webb S., Sutcliffe J., Burkinshaw L., Horsman A. Tomographic reconstruction from experimentally obtained cone-beam projections //-IEEE-TransrMed.Tmag. -1987. Vol. 6. - P. 67-73.

96. Yan X., Leahy R. M. Cone-beam tomography with circular elliptical and spiral orbits // Phys. Med. Biol. -1992. Vol. 37. P. 563-577.

97. Yan X., Leahy R. M. Derivation and analysis of a filtered backprojection algorithm for cone beam projection data // IEEE Tans. Med. Imag. -1991. -Vol.10. P. 462-472.

98. Zeng G. L., Gullberg G. T. A cone-beam tomography algorithm for orthogonal circle-and-line orbit // Phis. Med. Biol. 1992. - Vol. 37. - P. 563-577.