автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Разработка устойчивых методов реконструкции изображений с применением вейвлет-преобразования

На правах рукописи

Лавров Семен Александрович

РАЗРАБОТКА УСТОЙЧИВЫХ МЕТОДОВ РЕКОНСТРУКЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ С ПРИМЕНЕНИЕМ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Специальность 05.13.17 — Теоретические основы информатики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 2 НОЯ 2012

Снежинск-2012

005055760

005055760

Работа выполнена в Снежинском физико-техническом институте - филиале федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» (СФТИ НИЯУ МИФИ)

Научный руководитель: СИМОНОВ Евгений Николаевич

доктор технических наук, старший научный сотрудник, профессор кафедры радиотехники филиала ФГБОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет» (национальный исследовательский университет) в г. Кыштыме

Официальные оппоненты: МОКЕЕВ Владимир Викторович

доктор технических наук, старший научный сотрудник, заведующий кафедрой информационных систем ФГБОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет» (национальный исследовательский университет)

ТЕРЕЩЕНКО Сергей Андреевич доктор физико-математических наук, профессор кафедры биомедицинских систем ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образо-

вательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский Национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики (г. Санкт-Петербург)

Защита состоится «12» декабря 2012 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета Д 212.298.18 при ФГБОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет» (национальный исследовательский университет) по адресу: 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 76, ауд. 1001 .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южно-Уральского государственного университета.

Автореферат разослан «5» ноября 2012 г.

Ученый секретарь , ,—

диссертационного совета М.Л. Цымблер

о

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Рентгеновская компьютерная томография, как научное направление, сформировалась в конце 20-го столетия. За короткий период она стала одним из мощных методов в исследовании внутреннего состояния неоднородных объектов через их визуализацию.

Практическое применение компьютерная томография, в силу своих уникальных свойств по измерению и визуализации плотности в любой точке объема исследуемого объекта, нашла в различных областях науки и техники: в медицинских исследованиях (лучевая диагностика), в определении параметров внутреннего состояния физических и биологических объектов (диагностика плазмы, объемная конфигурация макромолекул и др.), в интроскопии технических устройств и систем (диагностика и контроль тепловыделяющих элементов атомных реакторов, лопаток турбин авиационных двигателей и др.).

Качество и скорость реконструкции распределения плотности в исследуемом объекте во многом зависит от используемого математического аппарата.

В настоящее время одной из актуальных задач в современной рентгеновской компьютерной томографии является совершенствование методов реконструкции томографического изображения, что приводит к повышению качества томографических изображений.

Трудность решения этой задачи заключается в том, что задача реконструкции распределения плотности является некорректной. Небольшие погрешности в измеряемых данных могут привести к большим погрешностям в реконструируемой функции. Физически это означает, что имея погрешности в измерении проекционных данных, в том числе, за счет погрешности дискретности отсчетов единичных детекторов рентгеновского излучения и единичных ракурсов облучения объекта исследования, реконструируемое изображение получается с артефактами, что и подтверждается на практике. Поэтому необходимо совершенствовать методы реконструкции.

На качество томографических изображений влияют факторы процесса их реконструкции. Одними из важных факторов являются качество проекционных данных (погрешность, шум), по которым проводится реконструкция изображения, и алгоритм реконструкции, который должен быть устойчивым к погрешностям и шумам проекционных данных.

Классические интегральные алгоритмы реконструкции томографического изображения, регуляризация которых основана на преобразовании Фурье, могут привести к погрешностям в изображении при зашумленных проекционных данных.

Причиной этих погрешностей может быть неточная фильтрация проекционных данных из-за фундаментального недостатка преобразования Фурье, базой которого являются гармонические функции, и которое может давать значительные погрешности при скачкообразных измерительных данных с детекторов (эффект Гиббса). Преобразование Фурье имеет и другой существенный недостаток, например, невозможность указать соответствие локальной частотной области сигнала его локальной временной (пространственной) области, что усложняет фильтрацию априори известной дефектной временной (пространственной) локальной области.

Вейвлет-преобразование не имеет вышеуказанных недостатков преобразования Фурье. В диссертации рассматриваются методы, позволяющие усовершен-

ствовать алгоритмы реконструкции томографического изображения с целью улучшения качества проекционных данных и изображений. В основе этих исследований лежит вейвлет-анализ одномерных и двумерных сигналов.

Цель и задачи исследования. Цель данной работы состояла в разработке методов, позволяющих повысить качество томографических изображений, для алгоритма реконструкции, основанного на интегральном методе, - методе свертки, обратном проецировании и вейвлет-фильтрации проекционных данных.

Для исследования алгоритма реконструкции с вейвлет-фильтрацией проекционных данных необходимо разработать на основании математической модели, описывающей физические процессы, происходящие при распространении рентгеновского излучения в исследуемом объекте, алгоритмы моделирования проекционных данных, а также исследовать методы ускорения процесса реконструкции.

Таким образом, для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать алгоритм реконструкции томографического изображения с вейвлет-фильтрацией проекционных данных, повышающий устойчивость реконструкции и качество реконструируемого изображения.

2. Разработать алгоритмы, позволяющие проводить математическое моделирование проекционных данных при различных условиях сканирования объектов (веерного, параллельного).

3. Разработать методы ускорения процесса реконструкции томографического изображения на основе перегруппировки («перепаковки») веерных проекционных данных в параллельные.

4. Разработать программное обеспечение процесса реконструкции томографического изображения и моделирования проекционных данных с дружественным интерфейсом (создать эмулятор рентгеновского компьютерного томографа).

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработан новый устойчивый интегральный алгоритм реконструкции томографического изображения с применением вейвлет-фильтрации проекционных данных, повышающий устойчивость реконструкции и качество реконструируемого изображения.

2. Предложен новый алгоритм моделирования проекционных данных для исследования устойчивости алгоритмов реконструкции томографического изображения.

3. Разработан алгоритм, позволяющий ускорить процесс реконструкции томографического изображения в два раза без потери устойчивости (качества изображения), основанный на перегруппировке проекционных данных из веерной геометрии в параллельную.

4. На основе разработанного метода повышения устойчивости реконструкции томографического изображения с применением вейвлет-фильтрации создано новое программное обеспечение (реконструктор томографического изображения), с помощью которого можно проводить моделирование проекционных данных, исследование по устойчивости алгоритмов реконструкции и эксперименты в области рентгеновской компьютерной томографии. Реконструктор может быть интегрирован в существующие программные системы, применяемые для решения практических задач в реальных рентгеновских компьютерных томографических комплексах.

Теоретическая ценность работы. Исследования в данной работе показали улучшение качества томографических изображений, путем применения алгоритма реконструкции, основанного на методе свертки, обратном проецировании и вейв-лет-фильтрации шумов проекционных данных и изображений.

Научные результаты работы нашли применение в производственной деятельности научно-производственного объединения ЗАО «Тестрон».

Применение разработанного реконструктора томографического изображения позволило существенно повысить быстродействие процесса реконструкции методом перегруппировки веерных проекционных данных в параллельные и повысить точность реконструкции за счет вейвлет-фильтрации исходных данных.

Использование разработанного программного обеспечения, реализующего описанные методы, позволило провести ряд модельных экспериментов, обеспечило повышение скорости и точности восстановления структуры объектов.

При проведении исследований в томографической системе для проверки трубопроводов и сварных соединений разработанное программное обеспечение позволило провести сравнение характеристик различных алгоритмов реконструкции и обеспечить наглядную визуализацию результатов.

Разработан эмулятор рентгеновского компьютерного томографа. Эмулятор представляет собой программный комплекс, позволяющий моделировать проекционные данные, а также проводить реконструкцию томографических изображений по модельным и реальным проекционным данным.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы, разработанные методы, алгоритмы и результаты вычислительных экспериментов докладывались автором на следующих конференциях: международной научно-практической конференции «Снежинск и Наука - 2009. Современные проблемы атомной науки и техники», всероссийской научной конференции «Научная сессия НИЯУ МИФИ -2011».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ, причем работы [1-4] опубликованы в журналах, включенных ВАК в перечень журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [10]. В совместных работах научному руководителю E.H. Симонову принадлежит постановка задачи, С.А. Лаврову принадлежат полученные результаты.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографии. Объем диссертации составляет 122 страницы, объем библиографии - 79 наименований.

Содержание работы

Во введении приводится обоснование актуальности темы, формулируются цель и задачи исследований, отмечается научная новизна и практическая ценность работы.

В первой главе, «Аналитический обзор реконструкции изображений в рентгеновской компьютерной томографии», состоящей из трех разделов, проводится аналитический обзор интегральных методов реконструкции томографиче-

ских изображений. Рассмотрены основные принципы получения информации о структуре исследуемого объекта в рентгеновской компьютерной томографии. Приводится описание геометрий сканирования, а также преобразования Радона, как основы получения проекционных данных. Описан вывод формулы обращения преобразования Радона, которая используется для реконструкции изображений в рентгеновской компьютерной томографии по моделируемым и реальным проекционным данным. Приведено описание кратномасштабного анализа теории вейвле-тов, а также обзор методов реконструкции томографического изображения.

В первом разделе вводится понятие проекционных данных и описываются различные геометрии сканирования: параллельная, веерная, конусная. Приведены принципы сканирования объектов и сбора проекционных данных в разных геометриях.

Рассмотрена связь между преобразованием Радона и законом ослабления излучения Бугера - Ламберта - Бера, как основа вычисления проекционных данных (см. рис. 1).

В рентгеновской компьютерной томографии преобразование Радона - это интеграл от функции f.i(x,y), характеризующий линейный коэффициент ослабления излучения веществом, вдоль прямой L, перпендикулярной единичному вектору {cos a, sin а} и с кратчайшим расстоянием до центра координат равным s. Тогда реконструкция изображения сводится к восстановлению функции fj(x,y): x = scosa-lsma, y = ssina+lcosa,

q(s,a)= jn(s cos a -1 sin a, s sin a +1 cos a)dl,

L

где q(s,a) - проекционные данные.

Приведен обзор методов устойчивого решения обратной задачи рентгеновской компьютерной томографии: метод двумерной фильтрации, метод преобразования Фурье, метод свертки и обратного проецирования, метод регуляризации Тихонова. Также приведен вывод формулы обращения преобразования Радона:

Я <0 1 ^

ц{х,у) = J J g(s'-s) q(s,a)dsda, g(s) = — J \u\e'"dw, (1)

о -so 4ТГ -05

где j^xcosa+^sina.

Поскольку второй интеграл расходится, то для обеспечения сходимости вводят предельную частоту wnp. Существует и другой подход, основанный на оконном преобразовании Фурье. Теорема о центральном сечении говорит, что при

реконструкции изображения по проекциям не следует ожидать, что метод (1) даст лучшую оценку функции ¡л(х,у), чем ее аппроксимация jj(x,y) с ограниченной шириной спектра. Формулы (1) представимы в следующем виде:

Р(х,у) = }] g(s'-s) q(s,a)dsda, g(s) = -L-} \W\K(w)e*°dw (2)

0 4Я" -x

где K(\v) - функция окна.

В отличие от предыдущего случая, здесь происходит свертка исходных проекций q(s,a) с функцией g(s) со своим фильтрующим окном K(w). При различном выборе фильтрующих окон получаются различные сворачивающие функции. Выбор фильтрующей функции во многом определяет качество реконструируемого изображения.

Во втором разделе рассматриваются вейвлеты, как основа разработки фильтров проекционных данных и изображений. Приводится описание дискретного вейвлет-преобразования, двумерного дискретного вейвлет-преобразования, стационарного дискретного вейвлет-преобразования.

В третьем разделе приведен обзор методов решения задачи рентгеновской компьютерной томографии.

Таким образом, для проведения анализа качества реконструкций томографических изображений достаточно рассмотреть параллельную и веерную геометрии сканирования, потому что они являются базовыми для остальных. Преобразование Радона позволяет разработать различные подходы моделирования проекционных данных для исследования методов решения обратной задачи рентгеновской компьютерной томографии (восстановление томографического изображения).

Среди рассмотренных методов реконструкции томографического изображения наибольшее распространение получили метод свертки и обратного проецирования с фильтрующими окнами и метод регуляризации Тихонова. Однако, при наличии значительных погрешностей в проекционных данных применение данных методов может быть недостаточно для получения качественных изображений, и требуется разработка других методов, повышающих устойчивость реконструкции изображения.

Во второй главе, «Исследование процессов моделирования проекционных данных и реконструкции изображений в рентгеновской компьютерной томографии», рассматриваются аналитический и дискретный подходы моделирования проекционных данных. Приводятся алгоритмы вычисления проекционных данных в рентгеновской компьютерной томографии, необходимых для проведения анализа качества реконструированных изображений с использованием новых разработанных методов и без них.

Описаны формулы реконструкции изображений для параллельной геометрии сканирования и приведен вывод формулы реконструкции для веерной геометрии сканирования.

Для отработки алгоритмов реконструкции и методов, повышающих качество изображений, необходимо моделировать тестовые изображения и соответствующие им проекционные данные. В первом разделе рассмотрены два подхода моделирования проекционных данных: аналитический и дискретный. Когда рентгеновский луч проходит через элементы области объекта, то он теряет свою интенсивность пропорционально произведению линейного коэффициента ослабления

излучения 11 для материала, отображенного в данном пикселе, на длину отрезка, пройденного лучом через этот пиксель. Тогда

где Ц. - линейный коэффициент ослабления, соответствующий ¿-му пикселю, I. - длина отрезка, пройденного лучом в г'-м пикселе.

ЦМЬ - диаграмма деятельности вычисления проекционных данных для параллельной и веерной геометрий сканирования будет иметь вид, представленный на рис. 2.

Рис. 2. ЦМЬ-диаграмма деятельности вычисления проекционных данных

Задача реконструкции изображения по томографическим проекционным данным является некорректной задачей, так как малые погрешности в проекционных данных могут привести к большим погрешностям при реконструкции. Проекционные данные, получаемые с реальных томографов, всегда содержат шумовые составляющие.

Во втором разделе описана формула реконструкции томографического изображения для параллельной геометрии сканирования, а также ее дискретное представление.

В третьем разделе приведен вывод формулы реконструкции томографического изображения для веерной геометрии сканирования, а также ее дискретное представление.

Таким образом, приведенные алгоритмы моделирования проекционных данных позволяют проводить численные эксперименты, необходимые для достижения цели диссертационной работы, а также проверку работоспособности алгоритмов реконструкции.

Уменьшение времени получения изображений из проекционных данных является важной и необходимой задачей. Для ускорения процесса реконструкции применяется перегруппировка веерных проекционных данных в параллельные.

В третьей главе, «Анализ влияния процесса ускорения реконструкции в рентгеновской компьютерной томографии», рассматривается метод перегруппировки, уменьшающий время реконструкции томографического изображения в два раза. Приводятся результаты анализа уровня ошибки реконструкций, полученных для веерной геометрии сканирования и параллельной геометрии после перегруппировки при различном числе детекторов и ракурсов.

В первом разделе описан метод перегруппировки. Количество отсчетов детектора, ракурса и матрицу проекционных данных для веерной геометрии обозначим соответственно через ЛГ2, М2 и Л2, для параллельной геометрии соответственно - N1, М\ и А\.

Перегруппировка переводит матрицу А2(й -втО" • Д/),1 ■ Ау + / ■ А/?),

1<у<М2 в матрицу Л,(ЬД£,с-Д0), 2 2 2 2

1 < с < М,.

Для получения матрицы А\ нужно провести интерполяцию, например, линейную. Интерполируя набор веерных данных Л,(£> • Бт(/ • Ау),1 ■ Ау + } ■ А/5) по значениям / • Ау + ]■ Ар, получают наборы параллельных, но не эквидистантных проекционных данных А(В ■ Бт(1 ■ Ау),с ■ Ав). Проведя вторую интерполяцию А(И • 51п(1 ■ Ау),с ■ Ав) по значениям й^тО-Ау), получают матрицу А,(к ■ А£,с ■ Ав)'. На рис. 3 приведена ЦМЬ - диаграмма деятельности процесса

реконструкции изображения с использованием перегруппировки.

Для получения оценок качества реконструируемых изображений во втором разделе вводятся нормированная абсолютная средняя мера различия (егг\) и средняя квадратичная ошибка реконструкции (егг2).

1 Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям: Основы реконструктивной томографии. Пер. с англ. М.: Мир, 1983. 352 с.

/

егг. =

где и йу - плотности /-го элиза ву'-ой строке матриц для первой и второй реконструкций (матрицы изображений имеют размер £ х £).

В третьем разделе рассмотрен анализ уровня ошибки при перегруппировке. Получены численные результаты для высококонтрастных и низкоконтрастных изображений при различных параметрах перегруппировки.

Перегруппировка веерных проекционных данных в параллельные используется для сведения к минимуму количества данных, необходимых для реконструкции изображения, и тем самым уменьшает время реконструкции изображения. Но реконструированные изображения для веерной геометрии и параллельной (после перегруппировки) не имеют абсолютного сходства.

Перегруппировка может быть использована для сокращения времени реконструкции томографического изображения. Но при этом необходимо установить

оптимальные параметры перегруппировки (число детекторов, число ракурсов), которые следует применять для уменьшения уровня ошибки между реконструированным изображением в веерной геометрии и в параллельной - после перегруппировки проекционных данных. Проведенные исследования показали, что с увеличением числа ракурсов (при веерной геометрии сканирования и параллельной (после перегруппировки) использовалось 512 детекторов и 600 ракурсов), уровень ошибки реконструкции изображений для веерной геометрии и параллельной после перегруппировки уменьшается, как для высококонтрастных, так и для низкоконтрастных объектов (до 0,01). Количественный анализ указывает на существование областей (например для низкоконтрастной модели, число ракурсов в перегруппировке 120), в которых уровень ошибки реконструкции уменьшается с уменьшением числа детекторов (число детекторов 256 - ошибка 0,039, для 512 детекторов -0,042). Существует переходная область (для низкоконтрастной модели диапазон детекторов от 256 до 1024 и число ракурсов от 165 до 480), в которой с увеличением или уменьшением числа детекторов, при неизменном числе ракурсов, уровень ошибки реконструкции увеличивается (например, для 190 ракурсов 512 детекторов - ошибка 0,023, 256 детекторов - 0,025, 1024 детектора - 0,025). Если число ракурсов увеличено (находится за переходной областью), тогда следует увеличить и число детекторов в перегруппировке. Если число ракурсов существенно уменьшено (находится перед переходной областью), тогда следует уменьшить и число детекторов в перегруппировке.

В таблице 1 представлено сравнение по времени реконструкции (в секундах) томографического изображения для различного разрешения, числа ракурсов и числа детекторов без использования перегруппировки проекционных данных и с ней.

Таблица 1 - Сравнение по времени реконструкции

число детекторов- число детекторов- число детекторов-

разрешение ракурсов (400-400) ракурсов (512-400) ракурсов (512-600)

без пере- с пере- без пере- с пере- без пере- с пере-

груп., с. груп., с. груп., с. груп., с. груп., с. груп., с.

169x169 5 1 7 2 12 2

256x256 8 2 11 3 20 5

400x400 18 6 22 7 35 11

512x512 30 9 34 12 44 14

Рассмотренные методы реконструкции томографического изображения могут быть недостаточными для повышения качества изображения, в особенности, когда проекционные данные являются достаточно зашумленными (влияние ошибок измерений электронной системы сбора данных, технических и физических факторов сканирующей системы, источника излучения томографического комплекса). Требуются дополнительные подходы, обеспечивающие повышение качества реконструируемых изображений.

В четвертой главе, «Улучшение качества реконструкции в рентгеновской компьютерной томографии с применением вейвлет-фильтрации», рассматривается использование кратномасштабного анализа теории вейвлетов как инструмента фильтрации проекционных данных и с целью повышения устойчивости

алгоритмов реконструкции. Приводятся способы выбора порога и типы пороговой обработки. Вводится метод вейвлет-фильтрации для пороговой обработки с перепадом. Доказывается теорема об уменьшении или не изменении нормированной абсолютной средней меры различия и средней квадратичной ошибки реконструкции с использованием вейвлет-фильтрации для пороговой обработки с перепадом для корректного выбора значения порога, применяемой в алгоритме очистки проекционных данных от шума. Проводится анализ влияния шумов на алгоритмы реконструкции томографических изображений с использованием вейвлет-фильтрации.

Также здесь рассмотрена оценка применения вейвлет-фильтрации проекционных данных и реконструированных изображений, проведен численный анализ с помощью компьютерного моделирования, и показано влияние на погрешность различных вариаций методов вейвлет-фильтрации.

В первом разделе описывается способ наложения аддитивного белого гаус-совского шума на проекционные данные.

Во втором разделе рассматривается применение кратномасштабного анализа в теории вейвлетов для фильтрации проекционных данных и изображений. Считаем, что шум содержится в высокочастотных компонентах, т.е. находится в коэффициентах вейвлет-преобразования, отвечающих за более малые масштабы {(1). Тогда фильтрация сводится к приравниванию нулю коэффициентов с1 ниже заданного значения (порога)1.

Таким образом, алгоритм вейвлет-фильтрации проекционных данных сводится к следующим шагам:

1. Проведение вейвлет-преобразования проекционных данных. Например, с использованием стационарного дискретного вейвлет-преобразования;

2. Задание порога для коэффициентов вейвлет-преобразования с/ в соответствии с их уровнем;

3. Проведение пороговой обработки;

4. Восстановление проекционных данных по измененным коэффициентам. Например, используя обратное стационарное дискретное вейвлет-преобразование.

В этом разделе описана предложенная автором обработка данных, основанная на синтезе жесткой пороговой обработки и равномерном квантовании, — пороговая обработка с перепадом.

Доказана теорема о применимости вейвлет-фильтрации проекционных данных для пороговой обработки с перепадом при реконструкции томографического изображения.

Теорема. Пусть для выбранного порогового значения Т выполняются следующие условия: Э^ eZ,.92 eZ, такие что для \/г{ е, \/г2 е$2 и уровня разложения]: djA =0, с1 < Т, (1 >Т,

~dj.k)VjAY^Pb)

teZ jeJteZ

Ы Z jeJkeS,

Z Tdj.^jAr^Pb)

jeJk<¡9,

1 Штарк Г.-Г. Применение вейвлетов для ЦОС. Пер. с англ. М.: Техносфера, 2007. С.110-111.

b=l,..., M2, p = l,...,N2, (M2 - число отсчетов ракурсов, N2 - число отсчетов детекторов), a,d - коэффициенты вейвлет-преобразования, (р — масштабирующая функция, ц/ - вейвлет. Тогда применение предложенной вейвлет-фильтрации проекционных данных для пороговой обработки с перепадом для значения порога Т уменьшает или не изменяет нормированную абсолютную среднюю меру различия и среднюю квадратичную ошибку реконструируемого распределения линейных

коэффициентов ослабления, т.е. еггх(р,ц*) <errx{p,Jl), err2(j.i,/.i')< err2(p,fl), где - реконструируемые распределения линейных коэффициентов ос-

лабления для проекционных данных без шума, зашумленных проекционных данных и вейвлет-фильтрованных проекционных данных для пороговой обработки с перепадом.

В третьем разделе описана количественная оценка соотношения между устойчивостью метода реконструкции и разрешающей способностью (егг3)'.

ish,I

err, =1 -li^!-,

2£(£-l)(max/ -min/ )

i.j '' ij 1

где tij и hij — плотности /-го элиза в у-ой строке матриц для первой и второй реконструкций (матрицы изображений имеют размер £ х £).

Эта оценка отражает следующее: чем выше ее значение, тем больше устойчивость и меньше разрешающая способность метода реконструкции, и наоборот, чем ниже ее значение, тем ниже устойчивость и больше разрешающая способность метода реконструкции.

В четвертом разделе приведены результаты вычислительных экспериментов (погрешность реконструкции), подтверждающие эффективность предложенного метода вейвлет-фильтрации. Реконструкция проводилась по методу обратного проецирования с фильтрацией сверткой. Для метода регуляризации — усечения частот, в качестве оконных функций использовались следующие: прямоугольное, гауссовское, Хэмминга, Ханна, Шеппа — Логана, также использовался метод регуляризации Тихонова. Кроме этого была проведена вейвлет-фильтрация для пороговой обработки с перепадом как для отдельных ракурсов (lDwf), так и для всей матрицы проекционных данных (2Dwf), двумерная вейвлет-фильтрация для жесткой пороговой обработки полученной реконструкции (2Dwfr). При анализе использовался вейвлет Хаара и Добеши. Уровень разложения равнялся трем. Реконструкция изображения проводилась при отсутствии погрешностей в проекционных данных, а также с 5 и 10 % гауссовским шумом.

В этом разделе также приведены зависимости полученных оценок для гаус-совского окна, метода регуляризации Тихонова (для различных параметров регуляризации).

В таблице 2 приведены оценки реконструкции по проекционным данным с 5 % гауссовским шумом без вейвлет-фильтрации и с ней. При этом была проведена вейвлет-фильтрация для пороговой обработки с перепадом как для отдельных ракурсов (lDwf), так и для всей матрицы проекционных данных (2Dwf), двумерная

' Shchekotin D., Sizikov V. Enhancement of tomographic image quality by means of a regulari-zation method // Proc. Int. Topical Meeting on Optical Sensing and Artificial Vision. Saint Petersburg, 2004. Vol. 1. P. 370-375.

вейвлет-фильтрация для жесткой пороговой обработки полученной реконструкции (2Э\у1г).

Таблица 2 - Оценка реконструкции изображения по проекционным данным с 5%

методы оценка название окна

прямоугольное Хэмминга Ханна Шеппа — Логана

нет errx 0,5733 0,3492 0,335 0,5117

err2 0,5428 0,3795 0,3711 0,4921

err3 0,8907 0,9508 0,9546 0,9079

lDwf errx 0,383 0,2379 0,2329 0,3368

err2 0,3976 0,3185 0,319 0,3634

err} 0,9352 0,969 0,9709 0,9459

2Dwf 2Dwfr err, 0,2281 0,1782 0,1813 0,2085

err2 0,298 0,2995 0,3051 0,2913

err. 0,9723 0,9795 0,9802 0,975

В результате проведенных исследований установлено следующее: проведение вейвлет-фильтрации проекционных данных снижает нормированную абсолютную среднюю меру различия при реконструкции томографического изображения, снижает среднюю квадратичную ошибку реконструкции, увеличивает устойчивость метода реконструкции на 2-4%.

Также в этом разделе приведено сравнение результатов реконструкций, полученных с использованием собственного программного обеспечения и других программ, а именно программы «Tomography» и подпрограммы, входящей в пакет «Matlab». Результаты приведены в таблице 3.

Таблица 3 - Сравнение результатов, полученных с помощью разных программ

уровень шума, % Реконструктор Tomography Matlab

err\ егг2 егг3 errt err2 err3 err; err2 err}

0 0,041 0,043 0,968 0,134 0,134 0,963 0,102 0,103 0,971

1 0,118 0,1293 0,977 0,272 0,275 0,936 0,167 0,171 0,951

2 0,139 0,146 0,974 0,365 0,365 0,915 0,240 0,273 0,965

5 0,208 0,210 0,959 0,496 0,498 0,881 0,331 0,348 0,952

10 0,401 0,401 0,918 0,556 0,554 0,871 0,431 0,447 0,933

12 0,412 0,411 0,921 0,587 0,582 0,864 0,587 0,604 0,920

Результаты проведенных исследований нашли практическое применение в разработке программного обеспечения, позволяющего проводить эксперименты в области рентгеновской компьютерной томографии (разработан эмулятор рентгеновского компьютерного томографа). Кроме этого, проведенные работы в ЗАО «Тестрон» позволяют сделать вывод о том, что научные результаты диссертационной работы могут быть использованы в рентгеновских компьютерных томографах

промышленного назначения (имеется акт о внедрении реконструктора томографического изображения).

Алгоритм реконструкции томографического изображения для ускорения восстановления в настоящее время переводится на многопроцессорную графическую платформу параллельных вычислений NVIDIA CUDA. Время реконструкции для объемных изображений рентгеновской компьютерной томографии (обрабатываются сотни томограмм 2D, 3D, 4D) уменьшается в 40-50 раз относительно типовых однопроцессорных ПЭВМ.

В заключении суммируются результаты диссертационной работы.

Основные результаты диссертационной работы

На защиту выносятся следующие новые научные результаты:

1. Интегральный алгоритм реконструкции томографического изображения с применением вейвлет-фильтрации проекционных данных, повышающий устойчивость реконструкции и качество реконструируемого изображения.

2. Алгоритмы моделирования проекционных данных в параллельной и веерной геометрии пучков рентгеновского излучения для исследования устойчивости алгоритмов реконструкции томографического изображения.

3. Алгоритм, позволяющий ускорить процесс реконструкции томографического изображения в два раза без потери устойчивости (качества изображения), основанный на перегруппировке проекционных данных из веерной геометрии в параллельную.

4. Программное обеспечение реконструктора томографического изображения для параллельного и веерного пучков рентгеновского излучения, однослойного, многослойного и спирального сканирования с применением вейвлет-фильтрации, позволяющего проводить моделирование проекционных данных, исследование устойчивости алгоритмов реконструкции и эксперименты в области рентгеновской компьютерной томографии.

Публикации по теме диссертации

Статьи, опубликованные в журналах аз списка ВАК

1. Лавров С.А., Симонов E.H. Влияние «перепаковки» проекций пучка излучения из веерной геометрии в параллельную на качество томографических изображений // ВАНТ: Математическое моделирование физических процессов, 2009. Вып. 4. - С. 78-84.

2. Лавров С.А., Симонов E.H. Алгоритм преобразования проекционных данных веерной геометрии в параллельную при реконструкции томографических изображений // Медицинская техника, 2010. № 3. С. 41-47.

3. Лавров С.А., Симонов E.H. Реконструкция томографических изображений методом обратного проецирования с использованием вейвлет-фильтрации проекционных данных // Медицинская физика, 2011. № 1. С. 59-68.

4. Лавров С.А., Симонов E.H. Реконструкция и анализ томографических изображений для веерной геометрии и преобразования в геометрию параллельного пучка // Медицинская физика, 2009. № 1. С. 66-73.

Другие публикации

5. Lavrov S.A., Simonov E.N. Effect of regrouping of projecting data from fan to parallel geometry in reconstruction of tomographic images // Biomedical Engineering, 2010. Vol. 44, № 3. P. 114-120.

6. Лавров С.А., Симонов E.H. Влияние параметров «перепаковки» проекционных данных веерной геометрии в параллельную при реконструкции томографических изображений: Сборник научных трудов. Международная науч.-пракг. конф. «Снежинск и Наука - 2009. Современные проблемы атомной науки и техники», 2009. С. 56-66.

7. Лавров С.А., Симонов E.H. Реконструкция томографических изображений с использованием вейвлет-фильтрации и обратного проецирования // Всероссийская научная конференция: Научная сессия НИЯУ МИФИ 2011: Аннотации докладов, 2011. С. 50.

8. Лавров С.А. Повышение устойчивости алгоритмов реконструкции томографических изображений: Материалы международной заочной науч.-практ. конф. «Инновации в науке», 2012. Часть 1. С. 10-21.

9. Лавров С.А. Дискретный подход моделирования проекционных данных для параллельной геометрии сканирования в рентгеновской томографии: Материалы региональной науч.-практ. конф. «Молодежь и наука», 2012. Т. 1. С. 24-31.

Свидетельство о регистрации программы

Ю.Лавров С.А., Симонов E.H. Свидетельство о государственной регистрации программы реконструции томографических изображений для ЭВМ «Реконструктор» № 2011612631 от 31.03.2011.

Подписано в печать 7 ноября 2012 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,2. Тираж 100 экз.

Типография ОАО «Радий» 456830, г. Касли, ул. Свердлова, 83

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР РЕКОНСТРУКЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ В РЕНТГЕНОВСКОЙ КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ.

1.1 Принципы получения информации о структуре исследуемого объекта.

1.2 Вейвлеты как основа разработки фильтров проекционных данных и изображений.

1.3 Обзор методов решения задачи рентгеновской компьютерной томографии.

Выводы по главе 1.

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЕКЦИОННЫХ ДАННЫХ И РЕКОНСТРУКЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ В РЕНТГЕНОВСКОЙ КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ.

2.1 Моделирование проекционных данных.

2.2 Реконструкция томографического изображения для параллельной геометрии сканирования.

2.3 Реконструкция томографического изображения для веерной геометрии сканирования.

Выводы по главе 2.

ГЛАВА 3. АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ПРОЦЕССА УСКОРЕНИЯ РЕКОНСТРУКЦИИ В РЕНТГЕНОВСКОЙ КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ.

3.1 Перегруппировка проекционных данных из веерной в параллельную геометрию сканирования.

3.2 Уровень ошибки реконструкции.

3.3 Анализ уровня ошибки при перегруппировке.

Выводы по главе 3.

ГЛАВА 4. УЛУЧШЕНИЕ КАЧЕСТВА РЕКОНСТРУКЦИИ В РЕНТГЕНОВСКОЙ КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ВЕЙВ ЛЕТ-ФИЛЬТРАЦИИ.

4.1 Аддитивный белый гауссовский шум и проекционные данные.

4.2 Применение кратномасштабного анализа в теории вейвлетов для фильтрации проекционных данных и изображений.

4.3 Количественная оценка вейвлет-фильтрации.

4.4 Погрешность реконструкции при использовании методов вейвлет-фильтрации

4.5 Апробация результатов диссертации и практическая ценность.

Выводы по главе 4.

Актуальность темы

Рентгеновская компьютерная томография как научное направление сформировалась в конце 20-го столетия. За короткий период она стала одним из мощных методов в исследовании внутреннего состояния неоднородных объектов через их визуализацию.

Практическое применение рентгеновская компьютерная томография, в силу своих уникальных свойств по измерению и визуализации плотности в любой точке объема исследуемого объекта, нашла в различных областях науки и техники: в медицинских исследованиях (лучевая диагностика), в определении параметров внутреннего состояния физических и биологических объектов (диагностика плазмы, объемная конфигурация макромолекул и т.д.), в интроскопии технических устройств и систем (диагностика и контроль тепловыделяющих элементов атомных реакторов, лопаток турбин авиационных двигателей и т.д.) [25, 29, 31, 33, 65].

Одной из главных задач в современной рентгеновской компьютерной томографии является повышение качества томографических изображений.

Томографический процесс от начала исследования объекта до получения изображения заключается в следующем. Сквозь объект пропускают пучок рентгеновских лучей. В результате некоторое количество квантов поглощается веществом, которое находится внутри объекта, детекторы регистрируют число квантов, вышедших из объекта, полученная разница и является интегральной характеристикой плотности по лучу, расположенному от излучателя до детектора. Этот процесс повторяется, но уже для других ракурсов излучателя и детекторов, столько, сколько необходимо исследователю. Затем по полученным данным с помощью компьютера и соответствующего программного обеспечения проводится процесс восстановления внутренней структуры объекта и вывод его в виде томограммы (реконструкции изображения плотности исследуемой области объекта).

На качество томограмм влияют факторы процесса их реконструкции. Одними из важных факторов являются качество проекционных данных (погрешность, шум), по которым проводится реконструкция изображения, и алгоритм реконструкции, который должен быть устойчивым к погрешностям и шумам проекционных данных.

В диссертации рассматриваются методы, позволяющие усовершенствовать алгоритмы реконструкции томографического изображения с целью улучшения качества проекционных данных и изображений и повышающие устойчивость алгоритмов реконструкции. В основе этих исследований лежит вейвлет-анализ одномерных и двумерных сигналов [3, 12]. Цель и задачи исследования

Цель данной работы состояла в разработке методов, позволяющих повысить качество томографических изображений для алгоритма реконструкции, основанного на интегральном методе, - методе свертки, обратном проецировании и вейвлет-фильтрации проекционных данных.

Для исследования алгоритма реконструкции с вейвлет-фильтрацией проекционных данных необходимо разработать на основании математической модели, описывающей физические процессы, происходящие при распространении рентгеновского излучения в исследуемом объекте, алгоритмы моделирования проекционных данных, а также исследовать методы ускорения процесса реконструкции.

Таким образом, для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработать алгоритм реконструкции томографического изображения с вейвлет-фильтрацией проекционных данных, повышающий устойчивость реконструкции и качество реконструируемого изображения.

2. Разработать алгоритмы, позволяющие проводить математическое моделирование проекционных данных при различных условиях сканирования объектов (веерного, параллельного).

3. Разработать методы ускорения процесса реконструкции томографического изображения на основе перегруппировки («перепаковки») веерных проекционных данных в параллельные.

4. Разработать программное обеспечение процесса реконструкции томографического изображения и моделирования проекционных данных с «дружественным» интерфейсом (создать эмулятор рентгеновского компьютерного томографа).

Научная новизна

1. Разработан новый устойчивый интегральный алгоритм реконструкции томографического изображения с применением вейвлет-фильтрации проекционных данных, повышающий устойчивость реконструкции и качество реконструируемого изображения.

2. Предложен новый алгоритм моделирования проекционных данных для исследования устойчивости алгоритмов реконструкции томографического изображения.

3. Разработан алгоритм, позволяющий ускорить процесс реконструкции томографического изображения в два раза без потери устойчивости (качества изображения), основанный на перегруппировке проекционных данных из веерной геометрии в параллельную.

4. На основе разработанного метода повышения устойчивости реконструкции томографического изображения с применением вейвлет-фильтрации создано новое программное обеспечение (реконструктор томографического изображения), с помощью которого можно проводить моделирование проекционных данных, исследование устойчивости алгоритмов реконструкции и эксперименты в области рентгеновской компьютерной томографии. Реконструктор может быть интегрирован в существующие программные системы, применяемые для решения практических задач в реальных рентгеновских компьютерных томографических комплексах.

Теоретическая ценность работы

Исследования в данной работе показали улучшение качества томографических изображений путем применения алгоритма реконструкции, основанного на методе свертки, обратном проецировании и вейвлет-фильтрации шумов проекционных данных и изображений.

Научные результаты работы нашли применение в производственной деятельности научно-производственного объединения ЗАО «Тестрон».

Применение разработанного реконструктора томографического изображения позволило существенно повысить быстродействие процесса реконструкции методом перегруппировки веерных проекционных данных в параллельные и повысить точность реконструкции за счет вейвлет-фильтрации исходных данных.

Использование разработанного программного обеспечения, реализующего описанные методы, позволило провести ряд модельных экспериментов, обеспечило повышение скорости и точности восстановления структуры объектов.

При проведении исследований в томографической системе для проверки трубопроводов и сварных соединений разработанное программное обеспечение позволило провести сравнение характеристик различных алгоритмов реконструкции и обеспечить наглядную визуализацию результатов.

Разработан эмулятор рентгеновского компьютерного томографа. Эмулятор представляет собой программный комплекс, позволяющий моделировать проекционные данные, а также проводить реконструкцию томографических изображений по модельным и реальным проекционным данным. Апробация работы

Основные положения диссертационной работы, разработанные методы, алгоритмы и результаты вычислительных экспериментов докладывались автором на следующих конференциях: международной научно-практической конференции «Снежинск и Наука - 2009. Современные проблемы атомной науки и техники», всероссийской научной конференции «Научная сессия НИЯУ МИФИ-2011».

По теме диссертации опубликовано десять печатных работ, четыре из которых размещены в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных в действующем перечне высшей аттестационной комиссии, одна в зарубежном научном журнале:

- Лавров С.А., Симонов E.H. Влияние "перепаковки" проекций пучка излучения из веерной геометрии в параллельную на качество томографических изображений // ВАНТ: Математическое моделирование физических процессов. 2009. Вып.4. С.78-84.

- Лавров С.А., Симонов E.H. Алгоритм преобразования проекционных данных веерной геометрии в параллельную при реконструкции томографических изображений // Медицинская техника. 2010. №3. С.41-47.

- Лавров С.А., Симонов E.H. Реконструкция и анализ томографических изображений для веерной геометрии и преобразования в геометрию параллельного пучка // Медицинская физика. 2009. №1. С. 66-73.

- Lavrov S.A., Simonov E.N. Effect of regrouping of projecting data from fan to parallel geometry in reconstruction of tomographic images // Biomedical Engineering. 2010. Vol. 44, №3. P. 114-120.

- Лавров C.A., Симонов E.H. Влияние параметров "перепаковки" проекционных данных веерной геометрии в параллельную при реконструкции томографических изображений: Сборник научных трудов. Международная науч.-практ. конф. "Снежинск и Наука - 2009. Современные проблемы атомной науки и техники". 2009. С. 56-66.

- Лавров С.А., Симонов E.H. Реконструкция томографических изображений с использованием вейвлет-фильтрации и обратного проецирования // Всероссийская научная конференция «Научная сессия НИЯУ МИФИ -2011»: Аннотации докладов, 2011. С. 50.

- Лавров С.А., Симонов E.H. Реконструкция томографических изображений методом обратного проецирования с использованием вейвлетфильтрации проекционных данных // Медицинская физика. 2011. №1. С. 59-68.

- Лавров С.А., Симонов E.H. Свидетельство о государственной регистрации программы реконструции томографических изображений для ЭВМ «Реконструктор» № 2011612631 от 31.03.2011.

- Лавров С.А. Повышение устойчивости алгоритмов реконструкции томографических изображений: Материалы международной заочной науч.-практ. конф. "Инновации в науке". 2012. Часть 1. С. 10-21.

- Лавров С.А. Дискретный подход моделирования проекционных данных для параллельной геометрии сканирования в рентгеновской томографии: Материалы региональной науч.-практ. конф. «Молодежь и наука». 2012. Т. 1. С. 24-31.

Основные результаты диссертационной работы

На защиту выносятся следующие новые научные результаты:

1. Интегральный алгоритм реконструкции томографического изображения с применением вейвлет-фильтрации проекционных данных, повышающий устойчивость реконструкции и качество реконструируемого изображения.

2. Алгоритмы моделирования проекционных данных в параллельной и веерной геометрии пучков рентгеновского излучения для исследования устойчивости алгоритмов реконструкции томографического изображения.

3. Алгоритм, позволяющий ускорить процесс реконструкции томографического изображения в два раза без потери устойчивости (качества изображения), основанный на перегруппировке проекционных данных из веерной геометрии в параллельную.

4. Программное обеспечение реконструктора томографического изображения для параллельного и веерного пучков рентгеновского излучения, однослойного, многослойного и спирального сканирования с применением вейвлет-фильтрации, позволяющего проводить моделирование проекционных данных, исследование устойчивости алгоритмов реконструкции и эксперименты в области рентгеновской компьютерной томографии.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие результаты:

1) Разработан устойчивый интегральный алгоритм реконструкции томографического изображения с применением вейвлет-фильтрации проекционных данных.

2) Разработан новый алгоритм вычисления преобразования Радона, позволяющий получать проекционные данные для различных геометрий сканирования (параллельной, веерной).

3) Разработано программное обеспечение для реконструкции томографического изображения, основанное на методе свертки, обратном проецировании со стандартными ядрами свертки и вейвлет-фильтрации проекционных данных.

4) Ускорен в два раза процесс реконструкции томографического изображения путем применения перегруппировки веерных проекционных данных в параллельные.

5) Произведен анализ влияния параметров перегруппировки на устойчивость реконструкции (значение погрешности) в реконструируемых изображениях.

6) Получено оптимальное число детекторов и ракурсов при перегруппировке.

7) Разработан новый метод фильтрации проекционных данных, основанный на синтезе пороговой обработки и равномерного квантования вейв-лет-коэффициентов.

8) Исследовано влияние вейвлет-фильтрации проекционных данных на качество получаемых изображений. Приведены сравнительные оценки устойчивости (уровней ошибки реконструируемых изображений) для разработанного алгоритма с вейвлет-фильтрацией и для существующих методов повышения устойчивости реконструкции, основанных на усечении высоких пространственных частот объекта исследования и методе регуляризации Тихонова. Результаты исследований разработанного алгоритма реконструкции с применением вейвлет-фильтрации проекционных данных показывают значительное уменьшение уровня ошибки в реконструированных изображениях (на 2-4 %).

На основе полученных результатов разработано программное обеспечение реконструктора томографического изображения (эмулятор рентгеновского компьютерного томографа), с помощью которого можно проводить моделирование проекционных данных, исследование устойчивости алгоритмов реконструкции и эксперименты в области рентгеновской компьютерной томографии. Программное обеспечение разработано с помощью объектно-ориентированного языка программирования С#.

Научные результаты работы нашли применение в производственной деятельности научно-производственного объединения ЗАО "Тестрон".

Применение разработанного реконструктора томографического изображения позволило существенно повысить быстродействие процесса реконструкции методом перегруппировки веерных проекционных данных в параллельные (в два раза) и повысить точность реконструкции за счет вейвлет-фильтрации исходных данных (на 2-4 %).

Использование разработанного программного обеспечения, реализующего описанные методы, позволило провести ряд модельных экспериментов, обеспечило повышение скорости и точности восстановления структуры объектов.

При проведении исследований в томографической системе для проверки трубопроводов и сварных соединений разработанное программное обеспечение позволило провести сравнение характеристик различных алгоритмов реконструкции и обеспечить наглядную визуализацию результатов.

1. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения//УФН. 1996. Т. 166. 11. С. 1145-1170.

2. Бейтс Р., Мак-Доннелл М. Восстановление и реконструкция изображений. М.: Мир, 1989. 336 с.

3. Борисенко H.A., Фертман А.Д. Автоматизированный анализ экспериментальных данных с применением вейвлет-преобразования // Приборы и техника эксперимента. 2003. №2. С. 28-34.

4. Борн М., Вольф Э. Основы оптики: Пер. с англ. М.: Наука, 1973. 720 с.

5. Бугер П. Оптический трактат о градации света. Пер. с франц. Изд. Академии Наук СССР, 1950. 478 с.

6. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наук. Думка, 1986. 544 с.

7. Гуров И.П., Сизиков B.C., Щекотин Д.С. Методы восстановления изображений в рентгеновской томографии. Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2003. №11. С. 97-104.

8. Давенпорт В.Б., Рут B.JI. Введение в теорию случайных сигналов и шумов. Пер. с англ. М.: Изд-во иностранной литературы, 1960. 468 с.

9. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 464 с.

10. Добрушин P.JI. Избранные работы по математической физике. МЦНМО, 2007. 720 с.

11. Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук. 2001. Т.171, №5. С. 465-501.

12. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. Изд.2-е, перераб. и доп. М.: СОЛОН-Пресс, 2004. 400 с.

13. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.

14. Иванов И.В., Попов В.Ю. Конформные отображения и их применения. М.: Едиториал УРСС, 2002. 324 с.

15. Календер В. Компьютерная томография. Основы, техника, качество изображений и области клинического использования. Пер. с англ. М.: Техносфера, 2006. 344 с.

16. Лавров С.А., Симонов E.H. Алгоритм преобразования проекционных данных веерной геометрии в параллельную при реконструкции томографических изображений // Медицинская техника. 2010. №3. С. 41-47.

17. Лавров С.А., Симонов E.H. Влияние "перепаковки" проекций пучка излучения из веерной геометрии в параллельную на качество томографических изображений // ВАНТ: Математическое моделирование физических процессов. 2009. Вып. 4. С. 78-84.

18. Лавров С.А. Дискретный подход моделирования проекционных данных для параллельной геометрии сканирования в рентгеновской томографии: Материалы региональной науч.-практ. конф. «Молодежь и наука». 2012. Т. 1.С. 24-31.

19. Лавров С.А. Повышение устойчивости алгоритмов реконструкции томографических изображений: Материалы международной заочной науч.-практ. конф. "Инновации в науке". 2012. Часть 1. С. 10-21.

20. Лавров С.А., Симонов E.H. Реконструкция и анализ томографических изображений для веерной геометрии и преобразования в геометрию параллельного пучка // Медицинская физика. 2009. №1. С. 66-73.

21. Лавров С.А., Симонов E.H. Реконструкция томографических изображений методом обратного проецирования с использованием вейвлетфильтрации проекционных данных // Медицинская физика. 2011. №1. С. 59-68.

22. Лавров С.А., Симонов E.H. Свидетельство о государственной регистрации программы реконструции томографических изображений для ЭВМ «Реконструктор» № 2011612631 от 31.03.2011.

23. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. Пер. с англ. М.: Мир, 2005. 672 с.

24. Марусина М.Я., Казначеева А.О. Современные виды томографии. СПб: СПбГУ ИТМО, 2006. 132 с.

25. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. Пер. с англ. М.: Мир, 1990. 288 с.

26. Патрикеев И.А., Фрик П.Г. Вейвлет-томография в условиях шума // Мат. моделир. сист. и процессов: Сб. научн. тр. / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1997. №5. С. 86-92.

27. Петров Ю.П., Сизиков B.C. Корректные, некорректные и промежуточные задачи с приложениями: Учебное пособие для вузов. СПб: Политехника, 2003. 261 с.

28. Пикалов В.В., Мельникова Т.С. Томография плазмы. Новосибирск: Наука, 1995. 229с.

29. Пикалов В.В., Непомнящий A.B. Итерационный алгоритм с вэйвлет-фильтрацией в задаче двумерной томографии // Вычислительные методы и программирование. 2003. Т.4. С. 244-253.

30. Привалова Е.С. Возможности компьютерной томографии в нейрохирургической практике // Украинский медицинский вестник. 2000. №4(18). С. 81-89.

31. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. Пер. с англ. М.: Мир, 1978. 835 с.

32. Семенов В.Ю. Компьютерная томография в практике муниципального здравоохранения российской федерации. М.: Медкнига, 2007. 192 с.

33. Смоленцев H.K. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в Matlab. М.: LVR Пресс, 2005. 304 с.

34. Соболь И.М. Метод Монте-Карло. М., «Наука», 1968. 64 с.

35. Терещенко С.А. Вычислительная томография. М.: МГИЭТ (ТУ), 1995. 76 с.

36. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. 3-е изд. М.: Наука, 1986. 288с.

37. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов A.A. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987. 160 с.

38. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. 232 с.

39. Троицкий И.Н. Статистическая теория томографии. М.: Радио и связь, 1989. 240 с.

40. Хелгасон С. Преобразование Радона. Пер. с англ. М.: Мир, 1983. 152 с.

41. Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям: Основы реконструктивной томографии. Пер. с англ. М.: Мир, 1983. 352 с.

42. Штарк Г.-Г. Применение вейвлетов для ЦОС. Пер. с англ. М.: Техносфера, 2007. 192 с.

43. Щекотин Д.С. Сравнение и развитие различных методов реконструкции изображений в рентгеновской томографии // Современные направления приборостроения, информационных и гуманитарных наук. Сборник научных трудов. СПб: СПбГУ ИТМО. 2004. Т.2. С. 247-254.

44. Aldroubi A., Unser М. Wavelets in medicine and biology. Boca Raton: CRC Press, 1996.

45. Berenstein C., and Walnut D. Local Inversion of the Radon Transform in Even Dimensions Using Wavelets. Center For The Applications Of Mathematics, George Mason University, Reference: CAM-21/93, 1993.

46. Bhatia M., Karl W.C., Willsky A.S. A Wavelet-based Method for Multiscale Tomographic Reconstruction // IEEE Trans.Med. Imag. 1996. 15. № 1. P. 92101.

47. Birge L., Massart P. From model selection to adaptive estimation, in D. Pollard, Festchrift for L. Le Cam, Springer, 1997. P. 55-88.

48. Birge L., Massart P. Gaussian model selection. J. Eur. Math. Soc. 3, 2001. P. 203-268.

49. Bracewell R.N. Fourier analysis and imaging. Springer, 2004. 704p.

50. Candès E. J., Wakin M. B., Boyd S. P., Enhancing Sparsity by Reweighted 11 Minimization // J Fourier Anal Appl. 2008. 14. P. 877-905.

51. Chang S.G., Yu B., Vetterli M. Spatially adaptive wavelet thresholding with context modeling for image denoising. IEEE Transactions on Image Processing, 2000. Vol. 9, №9. P. 1522-1531.

52. Coifman R., Donoho D. Translation-invariant De-noising, in Wavelets and Statistics, Antoniadis, A. and Oppenheim, G., Eds. Springer-Verlag, 1995.

53. Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets. Communications in Pure and Applied Mathematics 41, 1988. P. 909- 996.

54. Daubechies I. The wavelet transform, time-frequency localization and signal analysis // IEEE Trans. Inform. Theory. 1990. Vol. 36. P. 961-1005.

55. DeStefano J., and Olson T. Wavelet Localization of the Radon Transform in Even Dimensions. Proceedings of the IEEE-SP International Symposium on Time-Frequency and Time-Scale Analysis, October 1992. P. 137-140.

56. Donoho D. De-noising by soft-thresholding // IEEE Trans. Inform. Theory. 1995. 41, №3. P. 613-627.

57. Donoho D. Nonlinear solution of linear inverse problems by wavelet-vaguelette decompositions // Journal of Applied and Computational Harmonic Analysis, 1995. Vol. 2, №2. P. 101-126.

58. Donoho D., Johnstone I. Adapting to Unknown Smoothness via Wavelet Shrinkage // Journal of American Statistics Association, 1995. Vol. 90, №432. P. 1200-1224.

59. Donoho D., Johnstone I. Ideal spatial adaptation via wavelet shrinkage. -Biometrika, 1994. Vol. 81. P. 425-455.

60. Gao H. Wavelet shrinkage denoising using the non-negative garrote // J. Comp. Graph. Statist. 1998. Vol. 7. P. 469-488.

61. Jae S. Lim. Two-dimensional signal and image processing. Prentice Hall signal processing series, 1990. 694 p.

62. Jin Yinpeng, Angelini E., Laine A. Wavelets in medical image processing: de-noising, segmentation, and registration. 2004. 66 p.

63. Kronland Martinet R., Morlet J., Grossmann A. Analysis of sound patterns through wavelet transforms, Internat // J. Pattern Recognition and Artificial Intelligence. 1987. 1. P. 677-680.

64. Laine A., Schuler S., Fan J., Huda W. Mammographic feature enhancement by multiscale analysis, IEEE Trans. Medical Imaging, 1994. Vol. 13. № 4. P. 725-740.

65. Lavrov S.A., Simonov E.N. Effect of regrouping of projecting data from fan to parallel geometry in reconstruction of tomographic images // Biomedical Engineering. 2010. Vol. 44, №3. P. 114-120.

66. Lin F., Chen Y. et al. A wavelet-based approximation of surface coil sensitivity profiles. // Human brain mapping. 2003. Vol. 19. P. 96-111.

67. Louis A.K., Maass D., Rieder A. Wavelets: theory and applications. 1997. 342 p.

68. Mallat S. A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet representation, IEEE Trans. PAMI, 1989. 11. P. 674-693.

69. Mallat S. Multifrequency channel decompositions of images and wavelet models, IEEE Trans. Acoust. Signal Speech Process., 1989. 37. P. 2091-2110.

70. Mallat S. Multiresolution approximation and wavelet orthonormal basis of LA2(R) // Trans. AMS, 1989. Vol. 315.

71. Peyrin F., Zaim M., and Goutte R. Multiscale Reconstruction of Tomographic Images. Proceedings of the IEEE-SP International Symposium on Time-Frequency and Time-Scale Analysis, October 1992. P. 219-222.

72. Sahiner B., and Yagle A. E. Image Reconstruction From Projections Under Wavelet Constraints, to appear in IEEE Transactions on Signal Processing, December 1993.

73. Sahiner B., and Yagle A. E. Limited Angle Tomography Using the Wavelet Transform. Preprint, October 1993.

74. Shchekotin D., Sizikov V. Enhancement of tomographic image quality by means of a regularization method // Proc. Int. Topical Meeting on Optical Sensing and Artificial Vision. Saint Petersburg, 2004. Vol. 1. P. 370-375.

75. Shepp L.A., Logan B.F. The Fourier reconstruction of a head section, IEEE Trans. Nucl. Sei., NS-21, 1974. P. 21-43.

76. Stein C. Estimation of the mean of a multivariate normal distribution. Annals of Statistics, 1981. Vol. 9. P. 1135-1151.

77. Theußl T. On windowing for gradient estimation in volume visualization // Institute of computer graphics. Vienna university of technology, 1998. 14 p.

78. Young, Randy K. Wavelet theory and its applications. Kluwer academic publishers, 2007. 244 p.