автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Вычислительная технология и инструментальные средства решения задач оптимального управления

На правах рукописи

ГОРНОВ Александр Юрьевич

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНОЛОГИЯ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ СРЕДСТВА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

ООЗ 161ОБ2

Иркутск - 2007

003161062529

Работа выполнена в Институте динамики систем и теории управления Сибирского отделения Российской Академии наук.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Столяров Лев Николаевич; член-корреспондент РАН Ушаков Владимир Николаевич; доктор технических наук, профессор Елисеев Сергей Викторович.

Защита диссертации состоится 1 ноября 2007 г. в 10-00 ч. на заседании диссертационного совета Д 218.004.01 в ГОУ ВПО «Иркутский государственный университет путей сообщения» ФАЖТ Российской Федерации по адресу: 664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Иркутский государственный университет путей сообщения» ФАЖТ России.

Автореферат разослан 28 сентября 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Ведущая организация:

Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской Академии наук.

доктор технических паук

Общая характеристика работы

Актуальность работы определяется тремя существенными факторами Первым из них является значимость математического моделирования как одного из важнейших методов научных исследований, характеризующегося постоянным расширением областей применения и привлечением специалистов из разных предметных областей, не всегда обладающих высокой математической квалификацией. Корректность (правдоподобие, адекватность) математических моделей является необходимым условием практического использования созданных моделей и имеющихся программных средств В то же время этот вопрос недостаточно проработан: отсутствуют методики оценки правдоподобия и корректировки математических моделей, что затрудняет процесс создания адекватных моделей и их верификации

Вторым фактором, определяющим актуальность работы, является объективная трудность решения задач оптимизации динамических систем, и, как следствие, недостаточность существующих технологий и программных комплексов для решения таких задач Необходимы сравнительный анализ существующих технологий и программных комплексов, разработка общего методического подхода к решению поставленной проблемы и реализации программных инструментальных средств, позволяющих детально исследовать поставленные задачи оптимизации Решение этой проблемы требует разработки соответствующих методик оценки качества алгоритмов и программ и их сравнительной оценки

Третий фактор связан с одной из современных тенденций развития информационных технологий, а именно, с переходом к использованию Интернет как среды программирования, к созданию распределенных программных комплексов, вычислительных серверов, ядром которых являются специализированные комплексы программ, и специализированных ^еЬ-сервисов (ЭДеЬ-служб), предоставляющих пользователям спектр вычислительных ус-

луг Использование технологии Web-сервисов позволяет эффективно решить проблему отчуждаемости программного продукта от его разработчиков. Для реализации этих тенденций при решении задач оптимального управления необходимы адаптация унаследованного программного обеспечения, разработка технологии создания Web-сервисов в области оптимального управления и технологии экспертной поддержки удаленных пользователей, не всегда обладающих требуемой математической и/или программистской квалификацией

Разработка программных средств для решения задач оптимального управления (ЗОУ) началась еще в 60-х годах и велась во многих научных организациях. Среди российских пакетов программ для ЗОУ необходимо упомянуть программный комплекс CONTROL (Федоренко Р П, Попов В С , ИПМ АН СССР им M В Келдыша, ЭВМ БЭСМ-6, ЭВМ VAX); программный комплекс ДИСО - «Диалоговая Система Оптимизации» (Евтушенко Ю.Г, Грачев H И., ВЦ АН СССР, ЭВМ БЭСМ-6, IBM PC, блок «Оптимальное управление»); 111111 ЛЗОУ для линейных задач (Тятюшкин А И., ИрВЦ СО РАН, ЭВМ БЭСМ-6), lililí МАПР - «Математическое программирование в многомерных задачах» (Тятюшкин А И, ИрВЦ СО РАН, ЭВМ БЭСМ-6, ЭВМ Эльбрус), «ПГШ для ЗОУ» (Гурман В И, Батурин В А , ИрВЦ СО РАН, ЭВМ БЭСМ-6), ШШ КОНУС - «Комплексная Оптимизация Нелинейных Управляемых Систем» (Жолудев А.И, Тятюшкин А И, ИрВЦ СО РАН, ЕС ЭВМ, IBM PC). Аналогичные работы велись и за рубежом Среди известных программных средств - RIOTS-MATLAB - «Recursive Integration Optimal Trajectory Solver» (A. Schwartz, E Polak, Y. Chen), SOCS - «Sparse Optimal Control Software» (J Betts), PDECON - (K. Schittkowski, University of Bayreuth, Germany), программные технологии Argonne National Laboratory (J. More, A Bondarenko, D. Bortz) на основе программных комплексов DONLP2, LANCELOT, MINOS, SNOPT, LOQO, MISER3 (KL Teo, C.J Goh, Hong Kong Polytechnic University), DIRCOL (O. von Stryk, Darmstadt University, Ger-

many); MINOPT (С Schweiger, С. Floudas, Princeton University)

Несмотря на значительные усилия многих специалистов, решение практических задач оптимального управления продолжает оставаться серьезной проблемой С другой стороны, сложность современных прикладных задач оптимального управления предъявляет высокие требования как к самим вычислительным методам оптимизации, так и к программному обеспечению этих задач. Построению численных процедур поиска оптимальных решений в задачах оптимизации динамических систем посвящено большое количество публикаций, среди которых следует отметить работы Р Беллмана, А Брай-сона, О.В. Васильева, В.В Величенко, Р. Габасова и Ф.М Кирилловой, Ю Г Евтушенко, В.Ф Кротова, В.И. Гурмана, В Ф Демьянова и A.M. Руби-нова, Ю М Ермольева, Н Н Красовского, Н Н Моисеева, В А Срочко, А И Тятюшкина, Р.П. Федоренко, Ф.Л Черноусько, ТМ Энеева Однако универсальные алгоритмы, ориентированные на решение широкого класса задач, недостаточно гибко учитывают специфические особенности задачи и, несмотря на высокую производительность современных ЭВМ, часто требуют чрезмерных затрат машинного времени и объема оперативной памяти

Теоретические результаты, направленные на конструирование вычислительных методов построения внутренних и внешних аппроксимаций множеств достижимости нелинейных управляемых систем, развивались в последние годы в работах ряда авторов, среди которых нельзя не отметить работы Ф JI Черноусько, А А. Толстоногова, А Б Куржанского, А В. Лотова, М.М Хрусталева, В Н Ушакова, М С Никольского, А И. Панасюка, А Г. Ченцова, В А Комарова, Г Н Константинова, А. Дончева, S. Raczynski, P. Wolenski, F Lempio, A. Kastner-Maresch, A Cellma, Н Frankowska, R.W. Brockett Ими были предложены несколько принципиально различных подходов к построению численных процедур аппроксимации множеств достижимости и интегральных воронок Однако известные к настоящему времени алгоритмы для такого типа задач не всегда могут обеспечить надежное реше-

ние и требуют дальнейшего развития Еще одной проблемой, к настоящему моменту не имеющей удовлетворительного решения, является проблема поиска глобального экстремума в ЗОУ, по которой известны лишь несколько публикаций. Разработка адаптивных алгоритмов, позволяющих гибко учитывать особенности искомого управления и структуру ограничений и задача создания на этой основе надежных информационных технологий и программных продуктов, поддерживающих всю цепочку вычислительного эксперимента «модель - метод - алгоритм - программа», доступных для широкого пользователя, к настоящему времени продолжает оставаться актуальной

Все вышеперечисленное определяет актуальность темы исследований диссертационной работы

Целью диссертационной работы является создание методологии эффективного решения задач оптимального управления путем разработки вычислительной технологии и инструментальных средств ее поддержки, а также применение разработанных вычислительной технологии и инструментальных компонентов для решения сложных прикладных задач оптимизации динамических систем

Для достижения цели необходимо решить следующие задачи'

1) исследование и сравнительный анализ существующих технологий и программных комплексов для решения задач оптимального управления,

2) разработка методического подхода к построению вычислительной технологии, основанного на использовании методов оценки правдоподобия оптимизационных моделей и качества алгоритмов оптимизации, а также современных информационных технологий ^еЬ-сервисов),

3) создание методик оценки правдоподобия и корректировки оптимизационных моделей;

4) разработка алгоритмов оптимизации, отвечающих требованиям эффективности, надежности, точности, создание методик оценки качества и

регулярного тестирования этих алгоритмов;

5) создание программных средств, реализующих перечисленные методики и алгоритмы и соответствующих требованиям, предъявляемым к современным программным комплексам,

6) разработка технологии решения задач оптимального управления в Интернет и экспертной поддержки удаленного пользователя.

Методы исследования включают методы математического моделирования, системного анализа, теории программирования, конечномерной оптимизации, теории управления, численного анализа

Научная новизна. Впервые для решения задач оптимального управления разработаны методологический подход и вычислительная технология, основанные на применении современных информационных технологий (\^еЬ-сервисов) и включающие методики оценки правдоподобия и корректировки оптимизационных моделей, алгоритмы оптимизации, отвечающие требованиям эффективности, надежности, точности, методики оценки качества и регулярного тестирования алгоритмов, инструментальные средства решения задач оптимального управления в виде специализированного вычислительного сервера в Интернет, а также технологию решения задач оптимального управления через Интернет и технологию экспертной поддержки удаленного пользователя

На защиту выносятся:

1) методики оценки правдоподобия и корректировки оптимизационных моделей,

2) алгоритмы оптимизации, отвечающие требованиям эффективности, надежности, точности,

3) методики оценки качества и регулярного тестирования этих алгоритмов,

4) технология решения задач оптимального управления через Интернет,

5) технология экспертной поддержки удаленного пользователя.

Практическая значимость диссертационной работы состоит в разработке инструментальных средств для решения задач оптимального управления и их использовании для решения прикладных задач из различных областей науки и техники, а также в обеспечении возможности специалистам различных прикладных областей решать задачи оптимального управления с использованием созданного вычислительного сервера через Интернет.

Результаты диссертационной работы являются обобщением более чем двадцатипятилетней научно-производственной деятельности соискателя Разработка и применение предложенных в диссертации вычислительной технологии и программных средств, выполненные в течение 1981-2007 гг., производились в рамках плановых тем ИДСТУ СО РАН и хоздоговорных тем с Раменским приборостроительным КБ (от 01 03 1991 «Разработка диалогового комплекса программ для решения задач оптимального управления», № 2/92 от 01.01 1992 «Создание комплекса программ для разработки алгоритмов управления самолетом в общепилотажных режимах, специальных режимах и режимах наведения»), Институтом программных систем РАН (№ 32/90 от 01 09.1990 «Программная реализация комплекса ОРТСОН для задач оптимального управления»), Институтом систем энергетики им. Л А Мелентьева СО РАН (№ 82/89 от 01 08 1990 «Исследование принципов оптимального управления передачами постоянного тока в составе основной сети ЕЭЭС СССР»; № 39/2 от 01 04 2002 «Научно-исследовательская работа по созданию вычислительного ядра вычислительного сервера ОРТСОИ для задач оптимального управления»)

Кроме того, результаты работы внедрены в грантах РФФИ № 99-01-00216 «Свойства динамических систем, связанные со структурой множества их решений, и приложения», Глобального экологического трастового фонда (ГЭФ) по проекту «Сохранение биоразнообразия» Российской Федерации, № 1010008-83 «Разработка и внедрение механизмов устойчивого природопользования в Центральной экологической зоне озера Байкал», РФФИ № 018

01-00101 «Параллельные вычисления и многометодная технология решения задач оптимального управления с автоматическим выбором метода», РФФИ-ГФЕН Китая № 02-01-39006 «Оптимизация и идентификация эволюционных управляемых систем и приложения к хемивариационным неравенствам», РФФИ № 03-01-00203 «Параметрическая оптимизация управляемых систем»; РФФИ № 02-07-90343 «Internet-технология поддержки удаленного пользователя пакета прикладных программ OPTCON-2 для решения сложных задач оптимального управления»; РФФИ № 04-01-00857 «Разработка численных методов для жестких систем и дифференциально-алгебраических уравнений; возникающих при решении вырожденных задач оптимального управления», РФФИ № 04-07-90401 «Инструментальные средства экспертной поддержки математического моделирования, доступные пользователям с применением Internet-технологии»; РФФИ № 06-01-00247 «Исследование эволюционных включений и управляемых систем с операторами монотонного типа», РФФИ № 06-07-89215 «Информационно-вычислительная система для экспертной поддержки пользователей математических пакетов, применяемых в слабо-формализованных предметных областях (медицина, биология, геология, география)»; гранте фундаментальных исследований СО РАН № 2003-3 «Методы, технологии и инструментальные средства создания вычислительной инфраструктуры в Internet», гранте РГНФ № 04-02-00271 «Разработка методов и технологии моделирования динамических систем в экономике», гранте Иркутской областной администрации «Медико-экономический прогноз развития трудовых ресурсов промышленных центров Иркутской области».

Личный вклад автора. Все теоретические результаты диссертационной работы получены лично автором. Программные реализации алгоритмов и методик выполнены автором, за исключением системных компонентов ПК OPTCON, реализованных А.О. Диваковым, и системных компонентов вычислительного сервера OPTCON, реализованных Д В Подкаменным Из совместных работ, опубликованных в соавторстве, в диссертации использованы

результаты, полученные автором лично

Достоверность полученных результатов. Результаты и выводы, представленные в диссертации, обоснованы корректным применением математического аппарата и проведением многовариантных вычислительных экспериментов, подтверждающих работоспособность разработанного инструментария.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на международных, всесоюзных и всероссийских научных конференциях: VII Всесоюзной конференции «Проблемы теоретической кибернетики» (Иркутск, 1985), Байкальских школах-семинарах «Методы оптимизации и их приложения» (Иркутск, 1983, 1986, 1989, 1992, 2001, 2005), IX-XI Всесоюзных симпозиумах «Системы программного обеспечения решения задач оптимального планирования» (Минск, 1986, Нарва-Йыэссу, 1988; Кострома, 1990), VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986); IV Международной конференции по пограничным и внутренним слоям (BAIL-IV, Новосибирск, 1986); Всесоюзном совещании «Обеспечение надежности при управлении развитием и функционированием электроэнергетических систем» (Иркутск, 1988), Международной школе СЭВ «Экологические основы управления и планирования ландшафта» (Новы Двур, ЧССР, 1988), III Международной конференции «Differential inclusions and control» (Переславль-Залесский, 1998), Международной конференции по распределенным системам «Экономика и охрана окружающей среды» (Екатеринбург, 2000); Международной конференции «Математика, Интеллект, Управление» (Иркутск, 2000); Международной конференции по нелинейной демографии (Германия, Росток, 2000), III Международной конференции «Проблемы управления и моделирования в сложных системах» (Самара, 2001), Международной конференции «Optimization and Optimal Control» (Улан-Батор, Монголия, 2002); Байкальских конференциях по информационным технологиям (Иркутск, 1993, 1996, 1998-2005); V Все-

российском семинаре «Моделирование неравновесных систем» (Красноярск, 2002), II-III Региональных школах-семинарах «Распределенные и кластерные вычисления» (Красноярск, 2002, 2003), IV Российской конференции «Дискретный анализ и исследование операций» (Новосибирск, 2002), Выездном заседании координационного научного совета по программе «Информационные и телекоммуникационные ресурсы СО РАН» (Иркутск, 2002), Международном симпозиуме «Обобщенные решения в задачах управления» (Пере-славль-Залесский, 2002); Международной конференции «Вычислительные технологии и математическое моделирование в науке, технике и образовании» (Алма-Ата, 2002), «Ляпуновских чтениях» (Иркутск, 2002), XIV «Пон-трягинских чтениях» «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 2003), Всероссийской конференции «Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы» (Улан-Удэ, 2003), XII Всероссийской конференции «Математическое программирование и приложения» (Екатеринбург, 2003), Международной конференции «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» (Усть-Каменогорск, Казахстан, 2003)

Основные результаты диссертации на разных этапах ее выполнения обсуждались в ведущих научных центрах- Вычислительном центре РАН (г Москва), Московском государственном университете (факультет вычислительной математики и кибернетики), Вычислительном центре СО РАН (г Новосибирск), Институте кибернетики им В М Глушкова (г Киев), Институте проблем управления РАН (г Москва), Центральном экономико-математическом институте РАН (г. Москва), Институте программных систем РАН (г Переславль-Залесский), Институте математики и механики УрО РАН (г. Екатеринбург), Институте математики СО РАН (г. Новосибирск), Институте вычислительного моделирования СО РАН (г Красноярск), Иркутском государственном университете, Институте систем энергетики им Мелентье-ва СО РАН (г Иркутск)

Публикации по теме диссертации включают 62 работы, среди которых 13 статей в журналах, входящих в перечень журналов, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов, одна монография; 18 публикаций в трудах международных, 13 - в материалах всероссийских научных конференций; остальные публикации - в сборниках трудов научных организаций

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, трех приложений и списка литературы из 396 наименования. Общий объем работы составляет 323 страницы, в тексте содержится 17 таблиц и 12 рисунков

Краткое содержание диссертационной работы

Во введении обосновываются актуальность и практическая значимость проведенных в диссертационной работе исследований, приводятся иерархия рассматриваемых в работе формализованных задач и краткое изложение основных результатов по главам Автор выражает искреннюю благодарность за

Рис. 1 Структура и состав диссертационной работы 12

внимание, оказанное работе, академикам РАН Ю И Шокину, С.Н Васильеву, ЮГ. Евтушенко, И.И Еремину и члену-корреспонденту РАН А А Толстоногову

Структура и состав диссертационной работы, отражающие содержание понятия «вычислительная технология», приведены на рис 1.

Задачи, рассматриваемые в диссертации, разделены на типовые (классы задач) и конкретные (экземпляры из классов задач). Иерархия математических задач, рассматриваемых в диссертационной работе, показана на рис. 2. Конкретные задачи сгруппированы в коллекции тестовых задач. Кроме того, к конкретным задачам отнесены прецеденты решенных прикладных задач оптимизации динамических систем.

Рис 2 Иерархия математических задач, рассматриваемых в диссертационной работе

Типовые задачи включают- задачу оптимального управления со свободным правым концом (ЗОУСК)

* = /0(0, "(0,0, х((0 ) = х°, Т =

и, <и(г)<иё, 10(и) = (р00(/,)) -» Ш1п;

- задачу оптимального управления с терминальными ограничениями (30-УТО), в которой к ЗОУСК добавляются ограничения

13 (и) = (р} {х{1х)) = (<)0, у = 1 ,т\

- задачу оптимального управления с фазовыми ограничениями (ЗОУФО), в которой к ЗОУТО добавляются ограничения

IJ(u) = g}(x{t),u^t\t)<Oi

и задачи фазового оценивания

Нередко встречающиеся на практике задачи с интегральными функционалами, задачи с недифференцируемыми функциями в правых частях, задачи с фазовыми ограничениями-равенствами, задачи с промежуточными ограничениями, задачи с нефиксированным временем процесса, задачи с запаздыванием и другие, решение которых возможно путем редукции с типовым задачам, отнесены к так называемым «задачам широкого класса»

В первой главе выполнен анализ классов задач оптимального управления, рассмотрены существующие попытки построения вычислительных технологий для решения задач этих классов

Формулируется проблема правдоподобия и корректировки оптимизационных моделей и приводятся впервые разработанные методики оценки правдоподобия и корректировки оптимизационной модели (ОМ) Приведены введенные автором определения правдоподобия и меры правдоподобия. Мера правдоподобия ОМ определяется как тп = Р/У, мера неправдоподобия:

г

где IV - количество утверждений и соответствующих тестов

опровержения, имеющихся для исследуемой ОМ, Р - количество правдоподобных свойств ОМ (опровержение не найдено), О- количество неправдоподобных свойств ОМ (опровержение найдено) По определению, имеет место очевидное равенство Шр + ТПд = 1

Коррекцией ОМ называется процедура (сценарий) ее изменения, модификации, замены, увеличивающая меру ее правдоподобия относительно некоторого списка свойств Вводятся сценарии доказательства правдоподобия оптимизационных моделей, основанные на опровержении утверждений о наличии тех или иных свойств модели.

Суть предложенной методики состоит в поэтапном выделении требуемых свойств, формулировке соответствующих утверждений и попытке их опровержения В каждом случае ставится и решается задача поиска контрпримера к постулированному утверждению Постановка данной вычислительной задачи и оценка успешности ее решения (опровержение свойства) выполняются экспертом Неуспешность решения (ситуация, когда не удается опровергнуть утверждение) является доказательством правдоподобия этого свойства, таким образом, сценарии доказательства правдоподобия свойств модели тождественны сценариям опровержения утверждений В работе рассмотрены 14 вариантов типовых свойств ОМ и соответствующих им сценариев их опровержения Ниже приводится пример одного из сценариев

Пусть имеются а) структура системы дифференциальных уравнений (СДУ) с неизвестными коэффициентами, б) экспериментальная кривая хэ{1); в) критерий близости решения СДУ и Хэ (/), г) пороговое значение критерия близости £э

Утверждение 1. Среди решений СДУ имеется траектория, не превышающая порогового значения критерия близости к хэ (?).

Сценарий опровержения утверждения 1.

1 Выбирается пороговое значение£э, полагается рекордное значение целевого функционала — °о.

2 Для имеющейся СДУ формулируется ЗОУ min

h

3. Выбирается начальное значение набора коэффициентов (псевдослучайный вектор)

4. Решается ЗОУ, сформулированная на шаге 2

'г

5 Запоминается м г = mm /(**(')- хэ{1))2 dt , где x*(t) оп-

'о

тимальная траектория в ЗОУ

6 Если МТ < MREC; полагается Мшс = Мт

7 Производится экспертная оценка необходимости продолжения процесса поиска набора коэффициентов Если эксперт решил продолжить поиск (решение эксперта - «да»), то производится переход на шаг 3

8 Если МREC > £э - утверждение 1 считается опровергнутым, иначе - доказанным

Сценарий завершен

Вторая глава посвящена рассмотрению мультиметодных технологий решения задач оптимального управления Сформулированы принципиальные положения мультиметодной технологии. Автор предлагает отличающуюся от традиционной трактовку термина «мультиметодность», подразумевающую интеграцию совокупности не только математических, но и инженерных методов решения ЗОУ. В главе описаны разработанные автором алгоритмы для решения ЗОУ с параллелепипедными, терминальными и фазовыми ограничениями, глобализующие алгоритмы Рассмотрены предложенные автором специализированные вычислительные схемы для различных типов задач,

приведенных на рис. 2, а также способы дискретизации непрерывной задачи и оценки 1радиентов функционалов, алгоритмы верификации компонентов ЗОУ и фазового оценивания.

Главным ресурсом повышения эффективности и надежности пакетов оптимизации, по мнению автора, являются многометодные комбинированные схемы применения алгоритмов, позволяющие использовать сильные стороны разных методов на различных стадиях решения.

В основе мультиметодной вычислительной технологии лежат разработанные автором модификации алгоритмов, качество которых исследовано с помощью предложенных методик Эти алгоритмы перечислены ниже

Методы безусловной оптимизации (ЗОУСК)- 1) алгоритмы, основанные на принципе максимума, 2) классические алгоритмы сопряженного градиента Флетчера-Ривса и Полака-Поляка-Рибьера, 3) овражный алгоритм Нестерова; 4) Spectral Projected Gradient Евтушенко, 5) алгоритм выпуклых оболочек, 6) квазиньютоновский алгоритм BFGS, 7) алгоритм Ньютона; 8) алгоритм покоординатного спуска, 9) поисковый алгоритм Пауэлла, 10) двухпарамет-рический метод сопряженного градиента

Методы учета параллелепипедных ограничений (ЗОУСК) 1) алгоритм условного градиента; 2) алгоритм проекции градиента; 3) алгоритмы неэквивалентных преобразований.

Методы учета терминальных ограничений (ЗОУТО). 1) алгоритм внешних штрафных функций, 2) алгоритм модифицированной функции Лагранжа, 3) алгоритм линеаризации, 4) алгоритм точной дифференцируемой штрафной функции

Методы учета фазовых ограничений (ЗОУФО): 1) алгоритм внешних штрафных функционалов, 2) алгоритм функциональных множителей Лагранжа, 3) алгоритм параметризации ограничений; 4) алгоритм нелинейного приведенного градиента

Методы глобализации решения. 1) случайный мультистарт, 2) методы, ос-

нованные на аппроксимациях множества достижимости (МД) Ниже приведены примеры модификации некоторых алгоритмов. Пример 1. Метод, предложенный Ю Е. Нестеровым для минимизации сильно выпуклых функций, предполагает априорное знание константы сильной выпуклости и константы Липшица для градиента Модификация этого метода для задачи оптимального управления (ЗОУСК) включает встроенные механизмы оценки данных констант на итерациях алгоритма. Модифицированный овражный алгоритм Нестерова

0 Полагается А0 =М° =Z° =1, v°(f) = u°(t), t e T На к -й итерации (к > 0)

1 Вычисляется ßk > 0 из уравнения L 2. Полагается

ук (0 = arg mm {/„ (и(а,-)) \ u(a,t) = uk(t) + a [vk (t) - ик (/)] ,-оо < а < оо}, teT

3 Ищется

uk+l(t) = arg mm {I0(u(a,)) u{a,t) = yh{t) - a VI0(yk(t)), 0 < а < oo }, teT

4 Вычисляется Ak+i = ßkMk + (l~ßk)Ak.

(v/0 0uk+l (0) - v/0(M* (0, Uk+l (0 - uk(tj)

5 Вычисляется N = ~-—-J-, teT

uk+1(t)-uk(t)

6 Оценивается Mk+l =mm {Nk,Mk}

7 Оценивается Lk+X = max {Nk,Lk}

8 Полагается

АШ Аы Г W A>

Итерация завершена

v*+1 (t) = (l-ßk)^vk(t) + ßk^yk(t)--£-T V/0 (/(/)) . teT

Пример 2. Сформулируем модифицированную функцию Лагранжа следующего вида:

т т

ML(u,y,s) = I0(u) + ^Tyj -Ij{u) + Yusf

7=1 7=1

Здесь Sj, j — \,т - коэффициенты штрафа (или, в другой терминологии,

коэффициенты регуляризации)

Алгоритм модифицированной функции Лагранжа для ЗОУТО имеет вид

1 Выбирается начальное приближение и°(/), у®, Sj,j = \,т

к 1С к

2 С имеющимися у , S , используя и (t) в качестве начального

приближения, решается задача

min ML(u,yK,sK) = ML(uK+\yKysK)

иШ

3 Вычисляется новое приближение по двойственным переменным

,т

л-0 сД г г-

4 Определяется относительное изменение двойственных переменных

Ду„„=тах

К J

5. Если Д утах > Д (А - алгоритмический параметр) - увеличиваются все

К.Л-1 К -

коэффициенты штрафа =10 ^ =

6 Если А ,утах ^ А, то увеличиваются те коэффициенты штрафа, которые не позволили существенно уменьшить соответствующие невязки

7 К =К+\, переход на шаг 2

Алгоритм завершен

Разработан параллельный мулътиметодный алгоритм для ЗОУСК, позволяющий автоматически строить вычислительную схему для конкретной задачи. Идея мультиметодного алгоритма заключается в поочередном применении всех базовых алгоритмов, выборе из них «победителя», и старте следующей итерации, начиная с управления, достигнутого «победителем». Базовые алгоритмы на каждой итерации останавливаются по достижении своих критериев остановки или после решения заданного количества задач Коши Мулътиметодный алгоритм заканчивает работу, если ни один из базовых алгоритмов не смог улучшить значение целевого функционала более, чем на априори заданное значение. На рис 3 показана схема мультиметодного параллельного алгоритма, далее приведен пример его применения

Рис 3 Схема мультиметодного параллельного алгоритма

Для решения невыпуклых задач оптимального управления разработана и реализована вычислительная технология для ЗОУСК, основанная на методе случайного мультистарта, включающая:

1) четыре алгоритма генерации псевдослучайных стартовых управлений, основанных на различных гипотезах о структуре стартовых управлений;

2) два алгоритма селекции экстремумов, учитывающих значение целевого функционала, терминальное состояние системы и вид локально-оптимального управления,

3) критерий остановки алгоритма в виде модифицированной статистической оценки вероятности существования ненайденных локальных экстремумов,

4) алгоритм оценки объемов областей притяжения различных экстремумов

х, = х, соз(х2) -щ Л-(О) = (0,0) [ и11 £ 1 Г е [0Л] = х2 + 81П(Х,) + и1 1(и) = х,(1) -> шш

птераиш юоо 0,8—I

Время 1062 сек Критерий остановки-108 0

N | фуикционал { Объем | 0 6 — ^

! I 1358540е-001 0470 - '«

Рис 4 Задача из тестовой коллекции невыпуклых ЗОУ. Крестиками отмечены места нахождения локальных экстремумов

Пример оформления решенной невыпуклой задачи оптимального управления

из коллекции тестовых задач, включающий информацию о найденных локальных экстремумах и стационарных точках, графики оптимальных траектории и управления, аппроксимацию множества достижимости и оценки объемов областей притяжения экстремумов, приведен на рис 4.

Алгоритмы фазового оценивания, позволяющие получить информацию

I

о нелокальных свойствах управляемой динамической системы, могут быть полезны при конструировании вычислительных технологий для различных актуальных математических задач- интервальной математики, поиска глобального экстремума, дифференциальных игр, задач нормирования воздействий, конструирования моделей и др Для задачи фазового оценивания - построения внутренних оценок множества достижимости - в диссертации реализованы два новых типа методов: методы максимизации объема и методы стохастической аппроксимации Интегральные воронки аппроксимируются как последовательности множеств достижимости, построенные в различные моменты времени.

В методах максимизации объема, ориентированных на решение задач фазового оценивания на плоскости, используется идея об аппроксимации границы множества достижимости кусочно-линейными правильными контурами и максимизации объема тел, ими ограничиваемых Для получения равномерных аппроксимаций используется специализированный функционал, штрафующий за неравномерность аппроксимирующих контуров Численное решение вспомогательных задач оптимального управления большой размерности (2 N к , где -Мд - число ребер контура), требует применения специальной технологии оптимизации

Сконструируем управляемую систему из ^ подсистем Уз J = l,NR,

каждая подсистема соответствует одной вершине аппроксимирующего хон-тура Размерность рассматриваемой системы, таким образом, равна П •

у 1 = 1, П- Nгде П - число фазовых переменных исходной системы Для хаждой подсистемы определен свой собственный набор управлений

V.(7), 1 — 1 ,Г - Nд где Г- число управлений в исходной системе, с одинаковыми для всех подсистем параллелепипедными ограничениями; размерность управлений общей системы V" -А/^ Объем (в двухмерном случае площадь) фигуры, ограничиваемой контуром, можно вычислить по следующей формуле

т = о5ц II

У=1

При отсутствии дополнительных требований к аппроксимирующему контуру в процессе варьирования управлений появляются звенья произвольно большого размера, что «выгодно» с точки зрения увеличения ограничиваемой им (контуром) площади, но приводит к очень грубой аппроксимации границы МД на некоторых участках. Для преодоления этой проблемы вводится «функционал равномерной аппроксимации», штрафующий за существенно различный размер звеньев контура:

/.(V) =

7=1

где L(yj - у ) = .¡{у) ~y)Af + {у] - у)-Х f - Длина J звена, S, ~ Tfi^yj yj-\ (¿j)) - средняя длина звена по контуру,

"я J=1

Уо = Уn r ~ условие замкнутости контура Аппроксимирующая ЗОУ для рассматриваемой системы в сформулированных терминах может быть поставлена в следующем виде /0(v) —> max при условии 1г (v) = 0. Пример решения задачи фазового оценивания приведен на рис 5.

Пример X

X5 — X г

Х2 - М - 5Ш С^т).

= (5 ,0) / е [0 ,5]_\и \Ш 1

Рис. 5. Решение задачи фазового оценивания для тестового примера методом максимизации объема

Для задачи фазового оценивания множества достижимости управляемых систем с разрывными правыми частями предложена технология аппроксимации исходной системы последовательностью гладких управляемых систем. Пример 4.

Щ. — Х2. г е ¡0,11.

А*, —2-г", — Элт2 - ) ■ ехр(—л-2 ) и — ни} О 5-х\ )

л, (О) = 1.0, *2(0) ^ 1.0, -1 ы(1) а }

0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2

х1

Рис. 6. Решение задачи фазового оценивания для тестового примера с разрывной правой частью

Аппроксимативные задачи оптимального управления решаются с использованием ПК ОРТССЖ При размерности контура 100 (что приводит к аппроксимирующей задаче с 200 фазовыми переменными и 100 управлениями) характерное время расчетов на Реп(шш-2/366 составило около 10 минут На рис 6 продемонстрирована сходимость аппроксимирующей последовательности множеств к решению рассматриваемой задачи.

Методы стохастической аппроксимации, применимые для решения задач произвольной размерности, основаны на идее аппроксимации множества достижимости по методу Монте-Карло Алгоритм стохастической аппроксимации содержит набор методов генерации случайных допустимых управлений различных типов релейные, кусочно-линейные, «табличные», «сплайн-управления»

Предлагаемые подходы опробованы на большом числе тестовых примеров, используемых для задач оптимального управления и фазового оценивания Для исследования свойств предложенных алгоритмов разработаны специализированные тестовые коллекции управляемых систем.

В третьей главе рассматриваются вопросы оценки качества алгоритмов и программных комплексов для решения ЗОУ Автор предлагает рассматривать качество алгоритма как совокупность свойств точности, надежности и эффективности и приводит сценарии доказательства этих свойств. Под точностью алгоритма понимается его способность находить решение задачи, достаточно близкое к идеальному Надежность алгоритма - способность находить с заданной точностью решение для любой задачи из того множества задач, для которого он предназначен Эффективность алгоритма - способность находить решение задачи за априори указанное время.

Рассмотрена проблема оценки качества вычислительного алгоритма. Доказательством качества оптимизационного алгоритма будем называть процесс его тестирования в целях опровержения утверждений о его точности, надежности или эффективности. Качество алгоритма считается доказанным,

если не удалось опровергнуть ни одно из трех постулируемых свойств.

Предложены сценарии доказательства свойств алгоритмов, основанные на коллекциях тестовых задач Процесс доказательства свойства строится по принципу «от противного» - выдвигается утверждение и ищется прецедент, его опровергающий. Ниже приводится пример одного из сценариев

Пример сценария оценки точности. Точность алгоритма оценивается с помощью набора тестовых задач с известными эталонными решениями, точнее, решениями, полученными с помощью расчетов эталонными алгоритмами Задача считается решенной точно, если значение целевого функционала отличается от эталонного не более, чем на заранее заданную величину Утверждение 2. Алгоритм обладает свойством точности Сценарий опровержения утверждения 2. О Выбирается набор тестовых задач Т = {/,,* = 1, Ит }, А^- - число задач в наборе, задаются Е - порог точности решения, А, - норма критерия точности.

1. Алгоритмом А0 решаются поочередно все тестовые задачи из набора

2. Даются экспертные оценки решений, вычисляется Л^ - число задач, решения которых не превышают порога точности £.

3 Вычисляется оценка точности алгоритма 0( = / Ыт

4 Если О, < А( - утверждение 2 считается опровергнутым, иначе - истинным.

Сценарий завершен

Далее в главе рассматриваются предложенные автором методики регулярного тестирования алгоритмов оптимизации и коллекция собранных им же тестовых задач Предлагается использовать стресс-тестирование для доказательства нерегулярных свойств алгоритмов. Автором выполнено сравнительное тестирование алгоритма ОРТСОИ в сравнении с несколькими известны-

ми программными комплексами (LANCELOT, MINOS, SNOPT, LOQO), где OPTCON в большинстве случаев выигрывает (см. пример 5) Рассмотрено также тестирование параллельной мультиметодной схемы (см. пример 6) и приведена предлагаемая автором методика оценки качества программных комплексов для ЗОУ.

При разработке и исследовании алгоритмов использованы следующие методики тестирования- i) сравнительное тестирование; 2) статистическое тестирование; 3) стресс-тестирование

Сравнительное тестирование (самая известная методика) предполагает решение одних и тех же тестовых задач различными алгоритмами и сравнение результатов с целью выбора наилучших модификаций Практически все алгоритмы, положенные в основу разработанных программных комплексов -результат естественного отбора по данной методике.

Статистическое тестирование основано на специализированных параметризованных тестах со случайным выбором их параметров Полученные таким способом статистические выводы позволяют делать заключения о нелокальном поведении алгоритмов

Стресс-тестирование (новая методика, предложенная автором) направлено на получение информации о предельных свойствах программной реализации и представляет собой своеобразный «полигон для апробации» алгоритмов. Основой методики служит специальный набор тестовых примеров (тестовая коллекция), ориентированных на типовые особенности задач оптимизации

Сформулированы требования к коллекциям тестовых ЗОУ Помимо стандартных требований, известных для коллекций конечномерных экстремальных задач, добавлены также специфические для ЗОУ требования, такие, как овражность функционала, разномасштабность системы дифференциальных уравнений, вырожденность условий оптимальности, аргументность, недифференцируемость правых частей, многоэкстремальность и другие Разработа-

ны методики конструирования тестовых задач с требуемыми свойствами, с помощью данных методик созданы специализированные коллекции для ЗОУ и задачи фазового оценивания

Пример 5. Задача Linear Tangent Steering Problem (Boeing Computer Services).

j>j = a cos(u) y2 = a sm(u), | и j < я/2 te[0,tf] tf -»min

Табл. 1. Сравнительное тестирование ПК OPTCON на задаче Linear Tangent-Steering Problem (Источник: Boeing Computer Sevices) Здесь N - число точек дискретизации системы, в ячейках указаны достигнутое значение целевого функционала и затраченное процессорное время Прочерк означает, что решение данным пакетом не получено.

ПАКЕТ N=10 N=50 N=100 N=500

LANCELOT 0.557575 0.9 0 554672 26 0.554595 181 0 554537 2100

MINOS 0.557575 01 1.8 0.554596 8 42

SNOPT 0 557575 0.7 0 554673 4 0.554596 21 0 554573 9S0

LOQO 0 557575 3.9 0.647145 242 0.595038 704

OPTCON 0 553370 7 0.554522 12 0.554558 20 0.554570 27

Пример 6. Модельная задача управления.

х2 = 0.072 -0.0968 х\ -0.0605 smxlt ¿з = 0.232 (1 + щ) - 0.297 лг3 + 0.0919 cos xt,

70 (в) = +1 ООО ((х, (/1) + 0.4502)2 + х\ ) + (*3 ) -1 043)2 ), я(0) = (-0.0436,0,1 1), ¿€[0,^], | щ(0 |<1, 1*0 (и) = 6.301571

Тестировались поочередно все десять базовых алгоритмов, и затем применялась мультиметодная схема как одиннадцатый тестируемый алгоритм Лучшее по значению минимизируемого функционала из полученных решений принималось за эталонное, и все остальные результаты сравнивались с ним В столбце 1 таблицы 2 указан номер тестируемого метода (см методы безусловной оптимизации для ЗОУСК), в столбце 2 - расхождение полученного значения функционала с эталонным, в столбце 3 - решенные задачи Коши, в столбце 4 - затраченное процессорное время После таблицы приводится последовательность номеров базовых алгоритмов, «победивших» на каждой итерации мультиметодной схемы.

Табл. 2. Сравнительное тестирование параллельной мультиметодной схемы

Метод А II Задачи Коши Время, сек

1 2 0-Ю4 100012 100

2 з о ю-1 101182 103

3 4 9 10'2 100045 88

4 2.6 10'2 100020 88

5 4 2-Ю'2 100008 88

6 1.5-Ю"1 100098 87

7 3 4 10~2 100105 86

8 7 0-Ю-1 29752 26

9 9.5 ¡О"5 100031 92

10 3 9-Ю'9 85151 78

И 0 (276503) 37296 (30237) (249)

Последовательность оптимальных алгоритмов 10, 8, 8, 8, 1,1.

Сравнительное тестирование предложенного параллельного мультиме-тодного алгоритма на коллекции тестовых задач в сравнении с базовыми алгоритмами, на основе которых он сконструирован, подтверждает, помимо его высокой надежности, также его высокую точность, практически во всех задачах был продемонстрирован лучший по точности результат.

Проведенными расчетами доказано, что предложенные в работе алгоритмы достаточно надежны, эффективны и конкурентоспособны при решении ЗОУ

Четвертая глава посвящена описанию программных продуктов для решения ЗОУ, разработанных автором, а также под его руководством и при его участии Рассматривается предложенный общий подход к реализации программных средств для ЗОУ. Технология реализации программного комплекса для решения ЗОУ включает следующие функциональные подсистемы: 1) ревизор программной постановки задачи; 2) конструктор стартового состояния; 3) настройщик дискретизации, 4) резидент обработки нештатных ситуаций, 5) конструктор вычислительных схем, 6) менеджер настройки управляющих параметров, 7) менеджер постоптимизационного анализа, 8) супер-вайзер вычислительного процесса

Предложена методика конструирования алгоритма, включающая итеративно применяемые этапы его разработки и селекции выбор математической конструкции, реализация алгоритмов для вспомогательных задач; сборка первой версии, сравнительное тестирование, оценка перспективности, конструирование адаптационных механизмов; сравнительное тестирование, статистическое тестирование, стресс-тестирование, интеграция с программным комплексом, опытная эксплуатация После оснащения алгоритма необходимыми адаптационными механизмами его размер в виде текста на алгоритмическом языке может вырасти в 3-10 раз. Адаптационные механизмы включают критерии остановки, механизмы управления работой алгоритма (алгоритмические параметры, ограничители по числу итераций, процессор-

ному времени, числу решенных задач Коши и др.), способы согласования точностей решения всех подзадач; алгоритмы учета предыстории итерационного процесса; механизмы защиты от вычислительных особенностей («аво-стов», деструктивных машинных нулей, потери значащих цифр), нормировки промежуточных данных; механизмы самоконтроля алгоритма (зацикливание, число неэффективных итераций, чрезмерная малость вариаций), средства взаимодействия с пользователем (значения параметров по умолчанию, разноуровневый вывод промежуточных результатов, диагностика выхода)

Качество алгоритмической схемы может быть принципиально оценено по следующей формуле: К — Kl К2 К} Ki Ks. Здесь коэффициент К{ отражает качество математического метода, лежащего в основе алгоритма, К2 зависит от качества алгоритмов решения вспомогательных задач, ^ отражает мощность адаптационных механизмов, встроенных в алгоритм, КА зависит от количества усилий по исследованию и доводке алгоритма,

числа изученных его вариантов, Щ, отражает длительность его эксплуатации, опыт его практического применения, количество найденных со временем тонких ошибок

Предложенные методики применены при реализации программных комплексов для решения ЗОУ для разных ЭВМ и различных операционных сред блок нелинейного оптимального управления в ППП МАПР (ЭВМ БЭСМ-6, язык программирования АЛГОЛ-ГДР), ПК OPTCON под управлением MS DOS (язык С), версия ПК OPTCON на основе параллельных алгоритмов (MS Windows, язык С) и современная версия ПК OPTCON-2 как ядро вычислительного сервера (язык С++) Рассматриваются функциональное наполнение OPTCON-2, основные понятия, используемые при работе с сервером, и синтаксис языков математической и программной постановок задач, описанный с помощью формул Бэкуса-Наура

В заключительном разделе главы дается сравнительный анализ качества

программных комплексов для ЗОУ в соответствии с предложенной методикой экспертной оценки качества программных комплексов для ЗОУ, основанной на системе из 15 критериев, включающих эффективность методов, адекватность методов классам задач, функциональную достаточность, функциональную незамкнутость, математическую обоснованность, вычислительную устойчивость, комплексное использование вычислительных ресурсов, качество пользовательского интерфейса и др. Выполненная с применением данной методики оценка программных средств, разработанных автором в разные годы, показывает, что по большинству характеристик последняя версия превосходит свои прототипы.

Пятая глава посвящена вопросам разработки вычислительной технологии решения ЗОУ через Интернет

Предложена общая технологическая схема постановки и решения ЗОУ, формализующая взаимодействие пользователя и эксперта (рис 7)

Рис 7 Технологическая схема постановки и решения задачи оптимального управления

Предлагается технология построения оптимизационных моделей для ЗОУ, описывается синтаксис языка содержательной постановки задачи с помощью формул Бэкуса-Наура. Технология построения математических моделей для ЗОУ предполагает использование в качестве базовой модели задачи оптимального управления класс линейно-квадратичных задач с параллеле-пипедными, терминальными и фазовыми ограничениями. Предлагаемая технология реализуется поэтапно, выделение существенных факторов; деление факторов на моделируемые и немоделируемые, оцифровка моделируемых факторов, генерация неуправляемой системы, исследование и коррекция неуправляемой системы; выделение управляющих воздействий, оцифровка управляющих воздействий, генерация управляемой системы; исследование управляемой системы, задание целей управления, исследование и коррекция управляемой системы.

Рассматривается проблема отчуждаемости программного обеспечения (ПО) и вопросы адаптации унаследованного ПО (ПО, не отвечающего требованиям современных информационных технологий). Предлагается, как один из путей решения проблемы отчуждаемости программных продуктов для решения ЗОУ, переход к Web-cepвиcaм (№еЬ-службам) Рассматривается Интернет-технология решения ЗОУ с использованием вычислительного сервера ОРТСОИ

Технология экспертной поддержки удаленного пользователя предполагает постановку и решение различных содержательных задач из стандартного набора

1) поиск структуры модели, описывающей исследуемое явление (структурная идентификация динамической системы),

2) поиск значений параметров модели фиксированной структуры, соответствующих имеющимся эмпирическим данным (параметрическая идентификация),

3) качественное исследование поведения модели в некоторой области ее оп-

ределения (длительность переходных процессов, время стабилизации, разномасштабность движений, жесткость и т.п.);

4) поиск особых состояний системы (стационарных точек, аттракторов, магистральных и погранслойных участков и т п.),

5) исследование предельных свойств системы (времени быстродействия, множества достижимых состояний, решений при предельных значениях параметров и т.п ),

6) поиск областей неадекватности модели,

7) упрощение модели (поиск структуры и значений параметров новой, более простой модели, аппроксимирующей известную модель с заданной точностью, контрастирование модели);

8) поиск структуры управляющих воздействий (структурная идентификация управляемой системы),

9) исследование принципиальной разрешимости поставленной задачи при заданных параметрах (перевод из точки в точку, проводка системы по заданной трубке и т п ),

10) исследование принципиальных возможностей различных управляющих воздействий влиять на заданные функционалы (управляемость),

И) поиск оптимальных значений управляющих параметров и управлений-функций в интересах некоторого функционала (собственно задача оптимального управления),

12) поиск прямых ограничений на управляющие воздействия, позволяющих удержать систему в заданном множестве состояний (задача нормирование воздействий),

13) поиск структуры позиционного управления, управления с обратной связью (структурный синтез оптимального управления),

14) исследование оптимальных возможностей выбранного семейства управляющих функций (параметрический синтез оптимального управления),

15) исследование структуры оптимального управления на некотором множе

стве параметров системы (поиск поверхностей переключения, закономерностей оптимальных законов управления, зависимость от параметров модели),

16) исследование влияния траекторных ограничений (прямых, терминальных, фазовых, смешанных) на структуру оптимального управления,

17) выявление степени влиятельности целевого функционала и ограничений (двойственные оценки функционалов);

18) исследование нелокальных свойств заданного функционала (поиск локальных и глобального экстремумов, оценка размеров областей притяжения экстремумов);

19) приведение задачи к стандартному виду, предусмотренному входным языком применяемого программного средства,

20) построение приемлемой методики дискретизации непрерывной задачи (нахождение сетки дискретизации и метода интегрирования),

21) настройка параметров используемых алгоритмов,

22) создание подхода к преодолению вероятных нефизичностей на стартовом этапе расчетов,

23) максимально точное решение задачи при наличии достаточного большого ресурса по времени расчета,

24) максимально быстрое решение задачи с целью получения информации о качественном поведении системы на оптимальном управлении;

25) поиск вычислительной схемы, надежно решающей задачи оптимизации систем из некоторого класса или множества (решение потока однотипных задач)

На рис 8 приведен пример интерфейса пользователя клиента вычислительного сервера ОРТС(Ж

Гпроцясси ГГТардиетр'д ] Модель 1 "Тдбд^йд"]" Графики ( Прмоьщ, | ~

Рис. 8. Пример интерфейса пользователя ПК ОРТСОМ-2

Процессы

Врпи |Чшск|и ]910сск

Потр?п1ИОс*н ^*гетр»[1К1ввикж:£'ЛОГР= (>' Н-

ПОТ?» 4 9r.CH

Требуй** точность : " V'.: ■, .'I :■ М .1: V; ., сгрщнлчпшп-

ТершошшШс «раетянЕ1.3е-07 ■' (Ц 7 I 1г }'

■ V" Г

7 .Ое-О?

Цслсчсй функция«« - 6 41 11!; ИсЧО Д«1ИГ«уМ. щппш ТОЧНОСТЬ

43 6.453'4е+К1 7 0е-07 4] 64ШЗе+00 1 Об Э У>

40 448573««) 1 <н-06 г Л (+07 19 6 48;'Чг»ОС' 2 Зг-06 ) 47<-К17

33 6.«ЭГ6е+00 Ле-М

36 6 ¿ЕЗб^п-ОО " < 3< 6.«!441т00 1

34 6.4£486с+0<>4 1 'х-

Л ^пмк

В шестой главе рассматривается применение разработанных автором программных продуктов для решения ряда прикладных задач. Излагается общая диалоговая технология решения ЗОУ и описывается решение следующих задач: задача ориентации орбитального телескопа; планирующая посадка тяжелого летательного аппарата; задача управления манипулятором промышленного робота; оптимизация режимов электроэнергетической сети с элементами постоянного тока; задача восстановления Черных Земель в Калмыкии; задача оптимизации лесопользования; прогнозирование экономической ситуации Кабанского района Бурятии, Оценивается сложность и особенности решения рассмотренных задач,

В приложениях к работе приводятся синтаксис языка диалоговой системы ППП МАПР-ОУ, тестовая коллекция множеств достижимости управляемых систем и тестовая коллекция ЗОУ,

Основные результаты работы

В диссертационной работе получены следующие результаты.

1. Выполнено исследование задач оптимального управления широкого класса и разработан методический подход к построению вычислительной технологии решения ЗОУ, включающий-

• методики и технологии оценки правдоподобия и корректировки оптимизационных моделей,

• алгоритмы оптимизации, отвечающие требованиям эффективности, надежности, точности,

• методики оценки качества и регулярного тестирования этих алгоритмов и программных средств для решения ЗОУ,

• принципы построения программных комплексов для решения ЗОУ и инструментальных средств, реализующих разработанные алгоритмы и методики.

2 Разработана основанная на применении современных информационных технологий ^еЬ-сервисов) вычислительная технология решения задач оптимального управления, включающая-

• технологию оценки правдоподобия и корректировки оптимизационных моделей,

• технологию тестирования (сравнительное тестирование, статистическое тестирование, стресс-тестирование) алгоритмов и оценки качества программных средств,

• технологию решения задач оптимального управления через Интернет;

• технологию экспертной поддержки удаленного пользователя;

• инструментальные средства решения задач оптимального управления в виде специализированного вычислительного сервера в Интернет.

3 Разработанные методики, алгоритмы и программные средства применены для решения ряда прикладных задач и при выполнении работ по грантам РФФИ и РГНФ

Список основных научных публикаций

В изданиях, рекомендованных ВАК

1 Горнов А.Ю Технология экспертной поддержки постановки и решения задач оптимизации динамических систем // Вычислительные технологии 2003. Т 8. С. 276 283.

2. Горнов А Ю. Технология оценки правдоподобия оптимизационной модели//Вычислительные технологии. 2004. Т 9(11). С. 120 129.

3. Горнов А.Ю. Интерактивная технология генерации динамических моделей и инструментальные средства ее поддержки / АЮ. Горнов, JIВ Массель // Вычислительные технологии 2004 Т 9 (П) С 129 136.

4. Горнов А.Ю. Создание вычислительных ресурсов в Internet на основе унаследованного программного обеспечения / JI.B. Массель, А Ю. Горнов, ДВ. Подкаменный // Вычислительные технологии. 2002. Т 7 С 247 253

5 Горнов А.Ю. Internet-технология математического моделирования и вычислительного эксперимента для решения задач оптимального управления / В А Батурин, А Ю Горнов, Л.В. Массель // Вычислительные технологии 2002 Т. 7 С. 339 347.

6 Горнов А.Ю. Интеграция математических и информационных технологий методический подход и опыт реализации / Л.В. Массель, А Ю Горнов, В А. Батурин // Вычислительные технологии 2003

Т. 8 С 206 213

7 Горнов АЮ. Архитектура инструментальной среды для поддержки интерактивной технологии построения динамических моделей / Л В. Массель, А Ю Горнов, Е А. Болдырев // Вычислительные технологии. 2004 Т 8 (III). С 150 157.

8 Горнов АЮ. Технология проектирования программных комплексов для задач оптимального управления И Вестник ИрГТУ 2004. № 1 (17) С. 148 153.

9 Горнов А.Ю. Параллельный алгоритм поиска оптимального управления в задачах с параллелепипедными ограничениями Н Вестник ИрГТУ. 2004 №3(19) С. 104 110.

Ю.Горнов А.Ю. Верификация постановки и решения' задачи оптимального управления // Вестник ИрГТУ - 2006. - № 2(26). - Т 3 - С. 131-138

11. Горнов А Ю Подход к построению нелокального синтеза оптимального управления / Т.С. Ливанцова, А.Ю.Горнов И Вестник ИрГТУ -2006 - № 2(26). - Т 3. - С. 142-148.

12. Горнов А.Ю Подход к исследованию невыпуклых задач оптимального управления с параллелепипедными ограничениями / АЮ Горнов. A.B. Данеева И Вестник Бурятского ун-та Сер «Математика и информатика». - 2005. - Вып 2. - Улан-Удэ - С. 122-130

38

13 Горнов А Ю, Данеева А В. Методики конструирования тестовых задач оптимального управления / А Ю. Горнов, А В Данеева // Вестник Бурятского ун-та Сер. «Математика и информатика». - 2006 - Вып 3 -Улан-Удэ.-С 136-143

14 Горнов АЮ Решение линейного алгебраического уравнения с помощью нейронной сети Хопфилда / Л Ю Анапольский, Е А ГТетрякова, А-Ю Горнов//Изв Вузов. Приборостроение -1994 -Т. 37, вып 3-4 -С 51-56

15 Горнов А.Ю Психофизиологические и мотивационные составляющие трудового потенциала промышленных предприятий, оценка и управление / М.П Дьякович, Е.П. Бокмельдер, АЮ. Горнов Н Бюллетень ВСНЦ СО РАМН. - 2004. - № 3 - С. 24-27.

В других журналах и изданиях

16.Горнов АЮ. Интеграция информационных технологий в системных исследованиях энергетики / Л.В. Массель, Е.А Болдырев, А Ю Горнов и др Новосибирск: Наука, 2003 320 с

17. Горнов А Ю Численное решение задач оптимального управления в пакетном режиме / А Ю Горнов, А И. Жолудев, А.И Тятюшкин // Пакеты прикладных программ Опыт разработки. - Новосибирск' Наука, 1983 -С 3-17.

18 Горнов А Ю Технология решения задач оптимального управления, основанная на ППП «Математическое программирование в многомерных задачах» / А Ю. Горнов, А И Жолудев, А И. Тятюшкин // Теоретические и прикладные вопросы оптимального управления - Новосибирск Наука, 1985 - С 226-244

19 Горнов А Ю. Опыт решения задач оптимального управления с пограничным слоем / А.Ю. Горнов, М Г Дмитриев, А.И. Тятюшкин - 1985 - 18 с. - Деп. ВИНИТИ 09 12 1985, № 8441-В

20 Gomov A.U Interior and outer boundary layers m the optimal control problems Asymptotic and numerical methods / S V Belokopitov, M.G Dmitnev, A.U Gornov et al // Proc. of the BAIL-4 Conf - Dublin, Ireland • Boole Press Limited. - 1986. - P. 216-221

21 Горнов АЮ Пакет прикладных программ «Математическое программирование многомерных задач» 50850000709 / Р. Габасов, А И Тятюшкин, А И Жолудев и др. // Алгоритмы и программы Инф бюлл. -М -ВНТИЦ -1986 -№2(71) -2068 - С 33.

22 Горнов А Ю. Оптимизация управления в динамических режимах ЭЭС, содержащих элементы постоянного тока / Ю А. Горнов, Н.Г Касимов, Ю Н Кучеров // Надежность при управлении развитием и функционированием электроэнергетических систем. - Иркутск СЭИ СО РАН, 1988 - С 200-208.

23.Горнов А.Ю Динамический мониторинг деградации и восстановления пастбищ Черных Земель / Б В. Виноградов, А.К. Черкашин, А.Ю. Горнов, К Н. Кулик П Проблемы освоения пустынь - Ашхабад. - 1990 -№ 1. - С 10-19

24. Горнов А.Ю Опыт применения пакета прикладных программ к задаче оптимального управления маневрирующим летательньм аппаратом / С-Н. Даровских, А И Жолудев, А Ю Горнов и др. // Интеллектуализация программных средств - Новосибирск-Наука, 1990 - С. 17-22.

25 Горнов А Ю Программное обеспечение задач оптимального управления с терминальными ограничениями: автореф дис. . канд физ.-мат. наук 05.13.16/ГорновАЮ -Иркутск, 1990 -20с

26. Горнов А.Ю. Оптимизация лесопользования в гаежных лесах лесо-сырьевой базы Усть-Илимского ЛПК / Черкашин А К Горнов А Ю. // Оптимизация геосистем -Иркутск, 1990 - С 99-113

27.Gomov A.Yu. Dynamic monitoring of degradation and restoration of pastures in the Black Lands of Kalmykia / B.V Vinogradov, A.K. Cherkashm, A.Yu. Gornov, K.N. Kulik // Probl-Desert-Dev New York -NY Aller-tonPress -1990 -N1 -P.7-14 http://wsare.usuedu/pasture/datat-z.htm

28 Gornov A Yu On a Class of Algorithms for Constructing Internal Estimates of Reachable Set//DIC-98. Proc of the Int. Workshop (Sept 7-11, 1998,Pereslavl-Zalessky) -Pereslavl-Zalessky, 1998 -P. 10-12

29 Gornov A Yu Applying the Variational Maximum Principle to a Model of Age-Specific Drug Initiation / E.P. Bockmelder, G. Feichtmger, A Yu Gornov // Proc of Intern Conf «Distributed System and Optimization» (May 26-29, 2000, Ekaterinburg) -Ekaterinburg, 2000. - P. 289-292

30 Горнов А Ю. Параметрический анализ числа решений уравнений равновесия трехузловой электроэнергетической системы / Л.Ю. Анаполь-ский, А.Ю Горнов // Тр XII Байкальской Междунар школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения» (Иркутск, Байкал 2001) -Иркутск,2001 -Т 6. -С 156-161

31 Gornov A Yu An Approach to Mathematical Modelling of Age-Specific Social and Economic Processes / G. Feichtmger, A Yu Gornov, E P. Bockmelder // Тр. XII Байкальской Междунар школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения» (Иркутск, Байкал. 2001). - Иркутск, 2001.-Т. 2 -С 216-221.

32 Горнов А.Ю. Программная реализация мультиметодной технологии для задач оптимального управления / А Ю. Горнов, А И Тятюшкин // Сб тр. 3 Междунар конф. «Проблемы управления и моделирования в сложных системах» (Самара, 4-9 сентября 2001 г.). - Самара, 2001 - С. 301-307

33 Горнов А.Ю. Оптимизация рекламной деятельности по вовлечению потребителей новых товаров. Распределенная модель / Е.П Бокмель-дер, А Ю Горнов, Г. Файхтингер // Оптимизация, управление, интеллект -2002. - № б -С. 149-157.

34 Горнов А.Ю. Параллельные алгоритмы поиска оптимального управления / А.Ю. Горнов, А И. Тятюшкин // Тр Междунар. симп. «Обобщенные решения в задачах управления» (Переславль-Залесский, 27-31 августа 2002г.).-Переславль-Залесский,2002 -С. 139-144

35 Горнов А Ю. Моделирование и численное решение социально-экономических задач с учетом возрастной специфики / А Ю. Горнов, Е П Бокмельдер, Г Файхтингер // Тр Междунар. симп «Обобщенные решения в задачах управления» (Переславль-Залесский, 27-31 августа 2002 г.) - Переславль-Залесский, 2002. - С 160-165.

36 Горнов А.Ю. Метод максимизации объема для аппроксимации интегральной воронки нелинейной управляемой динамической системы на плоскости // Тр Междунар симп. «Обобщенные решения в задачах управления» (Переславль-Залесский, 27-31 августа 2002 г) - Пере-славль-Залесский, 2002 - С. 200-204.

37 Gornov A Yu Parallel and Distributed Computations for Solving Optimal Control Problems / A I. Tyatyushkm, A Yu Gomov // Intern Conf on Optimization and Optimal Control (August 13-17, 2002, Mongolia, Ulaanbaa-tor). - Ulaanbaator, 2002 -P 31-32

38 Горнов А.Ю. Разработка удаленного доступа к пакету прикладных программ для решения задач оптимального управления / Д В. Подсменный, Е.А Болдырев, А Ю Горнов И Тр. II межрег школы-семинара «Распределенные кластерные вычисления» - Красноярск, 2002 - С 1— 8

39. Горнов А Ю Алгоритмы решения аппроксимативных задач математического программирования, возникающих при оптимизации динамически х систем // Сб тр XII Всерос. конф «Математическое программирование и приложения». - Екатеринбург, 2003 - С. 86-87

40 Горнов А Ю. Мультиметодная технология численного решения экстремальных краевых задач для нелинейных динамических систем // Сб тр. Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения-XIV» «Современные методы теории краевых задач» (Воронеж, 3-9 мая 2003 г ). - Воронеж, 2003. - С. 42-43

41 Горнов АЮ Комплекс программ OPTCON для решения прикладных задач оптимального управления // Материалы Всерос. конф. «Инфо-коммуникационные и вычислительные технологии и системы» - Улан-Удэ, 2003 -Ч 1 -С 112-115

42. Горнов А.Ю О некотором опыте численного решения невыпуклых задач оптимального управления / А В. Данеева, А.Ю. Горнов // Материалы Всерос. конф с междунар. участием «Математика, ее приложения и математическое образование» - Улан-Удэ. изд-во ВСГТУ, 2005 - С

75-78

43.Горнов А Ю Численное исследование задач оптимального управления в жестких системах // Тр. XIII Байкальской Междунар школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения» - Иркутск, 2005 -Т. 5 -С. 77-83.

44. Горнов А.Ю. Распределенная модель управления состоянием здоровья рабочих предприятий с вредными условиями труда / Е.П. Бокмельдер, М П. Дьякович, А Ю Горнов Н Тр. ХП1 Байкал!,ской Междунар. школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения» - Иркутск, 2005 -Т 5.-С 51-56

45. Горнов А.Ю. Подход к поиску глобального экстремума в задаче оптимального управления / ТС. Ливанцова, А.Ю. Горнов // Тр X Байкальской Всерос. конф. «Информационные и математические технологии в науке, технике и образовании». - Иркутск. ИСЭМ СО РАН, 2005 - Ч I - С 154-160.

46.Горнов А Ю. Технология построения линейных динамических моделей для исследований в экономике / JIВ Массель, А Ю. Горнов, С.В Бахвалов // Тр X Байкальской Всерос. конф «Информационные и математические технологии в науке, технике и образовании» - Иркутск. ИСЭМ СО РАН, 2005 - Ч. II - С. 118-123

47 Горнов А.Ю. Разработка информационно-вычислительной системы для экспертной поддержки пользователей математических пакетов при численном решении задач оптимального управления / А.Ю. Горнов, Т С Зароднюк // Современные технологии. Системный анализ Моделирование -Иркутск ИрГУПС.-2006 -№1.-С 114-119

48 Горнов А Ю Об одной методике генерации тестовых задач оптимального управления / А В Данеева, А.Ю. Горнов Н Тр. Междунар симпозиума «Обобщенные решения в задачах управления». - Улан-Удэ изд-во ВСГТУ, 2006. - С 43-45

49 Горнов А Ю Опыт разработки программ социально-экономического развития городов (на примере г. Иркутска) / Ефимова Н В , Рукавишников В С., Горнов А.Ю. и др. // Материалы пленума «Современные проблемы гигиены города, методология и пути решения» - Москва, 2006 -С. 106-108.

Редакпиоино-издателъский отдел ИДСТУ СО РАН Подписано в печать 20.09.07. Формат- 60x90 1/16. Бумага SvetoCopy. Печать трафаретная. Усл.-изд. л. 2,0. Тираж 150 эзсз.

Введение

1 ПРАВДОПОДОБИЕ И КОРРЕКТИРОВКА ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ

1.1 Математическое моделирование и вычислительный эксперимент

1.2 Анализ класса задач оптимального управления (ЗОУ).

1.3 Методика оценки правдоподобия оптимизационной модели.

1.4 Сценарии доказательства правдоподобия оптимизационной модели

1.5 Методика корректировки оптимизационной модели

2 МУЛЬТИМЕТОДНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

2.1 Принципиальные положения мультиметодной технологии.

2.2 Алгоритмы решения задач оптимального управления с параллелепи-педными ограничениями.

2.3 Алгоритмы решения ЗОУ с терминальными ограничениями.

2.4 Алгоритмы учета фазовых ограничений.

2.5 Глобализующие алгоритмы в задачах оптимального управления

2.6 Специализированные вычислительные схемы для различных типов задач

2.7 Дискретизация непрерывной системы и оценка градиентов функционалов

2.8 Верификация компонентов ЗОУ.

2.9 Алгоритмы фазового оценивания.

3 КАЧЕСТВО АЛГОРИТМОВ И ПРОГРАММНЫХ КОМПЛЕКСОВ ДЛЯ ЗОУ

3.1 Сценарные методы доказательства качества алгоритмов.

3.2 Методики регулярного тестирования алгоритмов оптимизации.

3.3 Коллекции тестовых задач.

3.4 Стресс-тестирование для доказательства нерегулярных свойств алгоритмов.

3.5 Сравнительное тестирование алгоритма OPTCON.

3.6 Тестирование параллельной мультиметодной схемы.

3.7 Методика оценки качества программных комплексов для ЗОУ.

4 ПРОГРАММНЫЕ ПРОДУКТЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗОУ

4.1 Общий подход к реализации программных средств для ЗОУ.

4.2 Блок нелинейного оптимального управления в ППП МАПР (ППП МАПР-ОУ)

4.3 Реализация ПК OPTCON под управлением MS DOS.

4.4 Распараллеливание алгоритмов ПК OPTCON.

4.5 ПК OPTCON-2 как ядро вычислительного сервера.

4.6 Сравнительный анализ качества программных комплексов для ЗОУ

5 ЭКСПЕРТНАЯ ПОДДЕРЖКА ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА

ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗОУ ЧЕРЕЗ ИНТЕРНЕТ

5.1 Проблемы отчуждаемости программного обеспечения (ПО) и унаследованное ПО.

5.2 Технология построения оптимизационных моделей для ЗОУ

5.3 Интерфейс пользователя-клиента вычислительного сервера ОРТСОК

5.4 Технология экспертной поддержки удаленного пользователя.

5.5 Интернет-технология решения ЗОУ с использованием вычислительного сервера ОРТСОИ.

6 РЕШЕНИЕ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ

6.1 Общая технология решения ЗОУ широкого класса. Приемы и способы редукции широкого класса ЗОУ к канонической задаче.

6.2 Задача ориентации орбитального телескопа.

6.3 Планирующая посадка тяжелого летательного аппарата

6.4 Задача управления манипулятором промышленного робота

6.5 Оптимизация режимов электроэнергетической сети с элементами постоянного тока

6.6 Задача восстановления Черных земель в Калмыкии.

6.7 Задача оптимизации лесопользования.

6.8 Прогнозирование экономической ситуации Кабанского района Бурятии

Актуальность темы диссертационной работы определяется тремя существенными факторами. Первым из них является значимость математического моделирования как одного из важнейших методов научных исследований, характеризующегося постоянным расширением областей применения и привлечением специалистов из разных предметных областей, не всегда обладающих высокой математической квалификацией. Корректность (правдоподобие, адекватность) математических моделей является необходимым условием практического использования созданных моделей и имеющихся программных средств. В то же время этот вопрос недостаточно проработан: отсутствуют методики оценки правдоподобия и корректировки математических моделей, что затрудняет процесс создания адекватных моделей и их верификации.

Вторым фактором, определяющим актуальность работы, является объективная трудность решения задач оптимизации динамических систем и недостатки существующих технологий и программных комплексов (ПК) для решения этих задач. Для преодоления этих недостатков необходим сравнительный анализ существующих технологий и программных комплексов, разработка общего методического подхода к решению поставленной проблемы и реализации программных инструментальных средств, позволяющих детально исследовать поставленные задачи оптимизации. Преодоление этой проблемы требует разработки соответствующих методик оценки качества алгоритмов и программ и их сравнительной оценки.

Третий фактор связан с одной из современных тенденций развития информационных технологий, а именно, с переходом к использованию Интернет как среды программирования, к созданию распределенных программных комплексов, вычислительных серверов, ядром которых являются специализированные комплексы программ, и специализированных \¥еЬ-сервисов (\УеЬ-служб), предоставляющих пользователям спектр вычислительных услуг. Использование технологии \УеЬ-сервисов может позволить эффективно решить проблему отчуждаемости программного продукта от его разработчиков. Для применения этих тенденций при решении задач оптимального управления необходимы адаптация унаследованного программного обеспечения, разработка технологии создания ШеЬ-сервисов в области оптимального управления и технологии экспертной поддержки удаленных пользователей, не всегда обладающих требуемой математической и/или программистской квалификацией.

Основной целью диссертации является исследование и разработка вычислительной технологии решения задач оптимального управления и инструментальных средств ее поддержки, а также применение разработанной вычислительной технологии и инструментальных компонентов для решения сложных прикладных задач оптимального управления.

Для достижения этой цели необходимо решить задачи разработки:

1) методического подхода к построению вычислительной технологии, основанного на использовании методов оценки правдоподобия оптимизационных моделей и качества алгоритмов оптимизации, а также современных информационных технологий ('\¥еЬ-сервисов);

2) методик оценки правдоподобия и корректировки оптимизационных моделей;

3) алгоритмов оптимизации, отвечающих требованиям эффективности, надежности, точности;

4) методик оценки качества и регулярного тестирования этих алгоритмов;

5) программных средств, реализующих перечисленные методики и алгоритмы и соответствующих требованиям к современным программным комплексам;

6) технологии решения задач оптимального управления в Интернет и экспертной поддержки удаленного пользователя.

Методология исследования опирается на основные положения системного анализа, методы теории программирования, конечномерной оптимизации, теории управления, численного анализа.

Постановка задачи оптимального управления.

Классическая задача оптимального управления. Пусть имеется управляемый процесс, описываемый системой обыкновенных дифференциальных уравнений х = /(ж(£),гб(£),£) с начальными условиями х{Ц) = а;0, определенный на интервале Т = [¿о,^]- Здесь t — независимая переменная (чаще всего время), х(1) — п-вектор фазовых координат, и({) — г-вектор управляющих функций, п-вектор-функция f(x(t),u(t),t) предполагается непрерывно-дифференцируемой по всем аргументам, кроме Начальный фазовый вектор х(Ьо) = х° задан. Допустимыми будем называть управляющие функции е и С Ег для V где и — выпуклое замкнутое множество из соответствующего пространства.

Задача оптимального управления со свободным правым концом траектории (ЗОУСК) состоит в поиске вектор-функции удовлетворяющей ограничениям и доставляющей минимум функционалу 1о(и) = po(x(ti)). В задаче оптимального управления с терминальными ограничениями (ЗОУТО) присутствуют также ограничения вида Ij{u) = (fj{x{t\)) — (<)0, j = 1,т. В задаче оптимального управления с фазовыми ограничениями (ЗОУФО) к ЗОУТО добавляются также фазовые ограничения типа неравенства Ij(u) — gj(x(t),u(t),t) < 0, j = 1 ,mt.

Все функции <Pj(x(ti)), j = 0, т и gj(x(t), u(t),t), j = 1, mt предполагаются непрерывно-дифференцируемыми по всем аргументам.

Базовые (стандартные) типы задач. При реализации программных средств для задач оптимального управления (ЗОУ) удобнее рассматривать несколько другой вид оптимизационной модели. В качестве базовой (стандартной, канонической) постановки задачи, воспринимаемой входными языками программных комплексов, рассматривается следующая:

X = f{x(t),u(t),prp,t),

Щ < u(t) < Ug,

Iq(u) = ipo(x(ti),prp) min, (ЗОУСК)

Ij(u) = <рз(х{ь),ргр) = (<)0, 3 = (ЗОУТО)

Ij(u) = gj(x(t),u(t),prp,t) < 0, j=Tjnb. (ЗОУФО)

Здесь ui,ug — r-вектора параллелепинедных ограничений на управление, ргр — ¿-вектор постановочных параметров - констант, присутствующих в модели, но не изменяемых в процессе оптимизации. В диссертационной работе будем рассматривать три типа стандартных задач оптимального управления — ЗОУСК, ЗОУТО и ЗОУФО.

Рассматриваемые классы прикладных задач. Рассмотренные постановки задачи, естественно, не являются всеобщими и не могут охватить всего многообразия практически значимых оптимизационных моделей. В то же время чрезмерное усложнение базовых моделей также нецелесообразно, так как влечет соответствующее усложнение алгоритмов и программных средств, что делает их еще менее доступными для широкого пользователя. Выход видится в применении методик редуцирования задач к стандартной форме (чаще всего, к последовательности задач в стандартной форме) и применении имеющихся программных технологий.

Будем рассматривать решение задач оптимального управления следующих нестандартных типов:

- задачи с интегральными функционалами;

- задачи с недифференцируемыми функциями в правых частях;

- задачи с фазовыми ограничениями-равенствами;

- задачи с промежуточными ограничениями;

- алгебро-дифференциальные задачи;

- задачи с нефиксированным временем процесса;

- задачи с запаздыванием.

Для приведения задачи к каноническому виду (стандартизации задачи) известно множество математических приемов и методов. Большинство таких приемов позволяют свести исходную задачу к одной или последовательности стандартных задач. Авторство таких приемов проследить довольно трудно, но они часто применяются в различных работах [1, 7, 61, 63, 83, 122, 126, 138, 139, 160, 183, 199, 208, 209, 235, 277, 278, 289, 299, 304, 331, 337]. Необходимо заметить, что корректность таких приемов изучена недостаточно. Имеются примеры [208], когда математически эквивалентное преобразование одной задачи в другую, не меняя множества решений, тем не менее, радикально меняет их свойства (например, исходная система была устойчива, преобразованная — неустойчива и наоборот). По мнению автора, применение таких подходов требует осторожности, дополнительных усилий по оценке полученного результата и может производиться только с участием экспертка-математика и постановщика задачи.

В диссертационной работе предлагается подход к конструированию вычислительных алгоритмов, позволяющий расширить область применения вычислительных методов оптимального управления и получать решения разнородных задач оптимизации в динамических системах на основе единой вычислительной технологии.

Обзор пакетов прикладных программ (ППП) для решения ЗОУ. Разработка алгоритмов для решения задач оптимального управления началась в условиях наличия многочисленных заказов со стороны практических приложений еще в 60-х годах и велась во многих организациях. Однако большинство предлагаемых методов были реализованы в виде научно-исследовательских прототипов программ и не прошли требуемые этапы доведения до уровня программного продукта.

Российские пакеты программ для ЗОУ. Первым технологически оформленным программным средством для задач оптимального управления можно считать программный комплекс CONTROL (Федоренко Р.П, Попов B.C., ИПМ АН СССР им. М.В.Келдыша, ЭВМ БЭСМ-6, ЭВМ VAX) [220, 221, 277]. Реализованная технология детально описана в монографии [277], долгое время служившей уникальным учебным пособием по практическому решению задач.

В рамках проекта ДИСО— "Диалоговая Система Оптимизации" (Евтушенко Ю.Г., Грачев Н.И., ВЦ АН СССР, ЭВМ БЭСМ-6, IBM PC) [51, 79, 80, 81, 100, 101] был создан блок "Оптимальное управление", реализующий методы редукции к задаче математического программирования. Программный комплекс включал развитую диалоговую систему, что позволяло применять разнообразные интерактивные технологии решения [101]. Несколько позже возможности ДИСО были расширены на класс разрывных задач [79, 81].

Для линейных ЗОУ А.И.Тятюшкиным (ИрВЦ СО РАН, ЭВМ БЭСМ-6) [264, 266, 267, 270, 271] был разработан пакет программ (ППП ЛЗОУ), включающий большое количество разнообразных методов, глубоко учитывающих специфику линейных систем [271].

В рамках программного проекта МАПР - "Математическое программирование в многомерных задачах" (Тятюшкин А.И., Горнов А.Ю., ИрВЦ СО РАН, ЭВМ БЭСМ-6, ЭВМ Эльбрус) [60] для нелинейных ЗОУ была реализована и около десяти лет развивалась диалоговая технология решения. Блок "Нелинейное оптимальное управление" ППП МАПР был использован при решении значительного числа прикладных задач оптимизации [71].

Параллельно ведущаяся в этой же организации разработка "ППП для ЗОУ" (Гурман В.И., Батурин В.А., ЭВМ БЭСМ-6) включала методы, основанные на достаточных условиях оптимальности, и активно применялась для решения навигационных и эколого-экономических задач [84].

Пакет программ КОНУС — "Комплексная Оптимизация Нелинейных Управляемых Систем" (Жолудев А.И., Тятюшкин А.И., ИрВЦ СО РАН, ЕС ЭВМ) был основан на методе редукции к задаче математического программирования и алгоритмических компонентах, аналогичных ППП MINOS [112, 270].

Программный проект OPTCON (Горнов А.Ю., ИрВЦ СО РАН, IBM PC) был направлен на создание компактной, но многофункциональной технологии решения ЗОУ. Реализованная на его основе мультиметодная технология применима к широкому классу задач и более 15 лет используется в практических приложениях [75].

Зарубежные пакеты программ для ЗОУ. За рубежом, по данным сайта Control Engineering Virtual Library, около 400 организаций ведут работы, связанные с оптимизацией динамических систем. Однако, как и в России, только немногие из них уделяют внимание созданию и развитию программных технологий для задач оптимального управления.

В рамках проекта MATLAB реализовано приложение RIOTS -"Recursive Integration Optimal Trajectory Solver" (Schwartz A., Polak E., Chen Y.) [373].

По заявлению авторов, RIOTS является "наилучшим решателем задач оптимального управления" ("The Most Powerful Optimal Control Problem Solver"), но "распространяется без всяких гарантий производительности и точности" ("distributed without any performance or accuracy guarantees"). В сопроводительных документах указано, что пользователь должен знать "теорию оптимального управления, оптимизацию и численные методы аппроксимации". Результатов серьезного тестирования или применения технологии к решению практических задач в научной литературе не приводится.

SOCS — "Sparse Optimal Control Software" (J. Betts) — программный комплекс, реализуемый службой Boeing Computer Services фирмы Boeing [307]. Оптимизационное ядро составляют алгоритмы SPRNLP и BARNLP (последовательное квадратичное программирование). В доступных публикациях описывается довольно развитая программная технология, успешно применяемая к решению практических задач навигации, робототехники и химической кинетики.

PDECON — (К. Schittkowski, University of Bayreuth, Germany) — программная технология для широкого класса задач оптимального управления, включающего, кроме классических постановок, системы дифференциальных уравнений в частных производных и алгебро-дифференциальные системы [372]. Алгоритмическую основу технологии составляют оригинальные методы последовательного квадратичного программирования, разрабатываемые этой научной группой более 30 лет. По оценкам автора, это лидирующая разработка в рассматриваемом классе программных продуктов.

В Аргоннской национальной лаборатории (Argonne National Laboratory) при поддержке министерства энергетики США ведется разработка и тестирование технологий решения задач оптимального управления (More J., Bondarenko A., Bortz D.), основанных на передовых коммерческих пакетах математического программирования (DONLP2, LANCELOT, MINOS, SNOPT, LOQO) [310].

MISER3 (Teo K.L., Goh C.J., Hong Kong Polytechnic University) -программный комплекс оптимизации динамических систем, развиваемый около 15 лет [379]. Предлагаемая технология в значительной степени опирается как на теорию оптимального управления, так и на классическую конечномерную оптимизацию. Имеется большое число публикаций по решению практических задач с использованием MISER3.

DIRCOL (О. von Stryk, Darmstadt University, Germany) — пакет программ, основанный на коллокационных методах и редукции к задаче математического программирования [389, 390]. В качестве базовой оптимизационной технологии используются известные пакеты NPSOL и SNOPT (Systems Optimization Laboratory, Stanford University) [365]. Утверждается, что DIRCOL эксплуатируется в 60 организациях. Имеются публикации о приложениях технологии к решению прикладных задач из робототехники, навигации, биологии и экономики.

В 1998 г. был анонсирован амбициозный проект создания набора оптимизационных технологий, включающего программный комплекс для задач динамической оптимизации — MINOPT (Schweiger С., Floudas С., Princeton University) [374]. За небольшим исключением, данная технология является расширенным интерфейсом между задачей и набором пакетов конечномерной оптимизации (CPLEX, LPSOLVE, MINOS, NPSOL, SNOPT, DASOLV, DAESSA). Публикаций о тестировании и практическом применении ПК MINOPT в прессе найти не удалось.

Свойства программных технологий для задач оптимизации динамических систем. Выделим те слабости и уязвимые места вышеописанных программных технологий, которые препятствуют их широкому применению на практике.

Подавляющее большинство технологий остаются труднодоступными. Неуклюжесть интерфейсов многие авторы разработок пытаются преодолевать, создавая версии технологий в виде Toolbox для Matlab. Однако это несущественно снижает квалификационную планку для пользователя — неспециалиста в вычислительной математике, которому предлагается освоить множество сложных понятий и взять на себя полную ответственность за качество полученного решения.

Большинство технологий, особенно зарубежных, реализованы с использованием заимствованной алгоритмической базы, что препятствует глубокому учету специфики задач оптимального управления. Идея использования мощных пакетов конечномерной оптимизации, несомненно, упрощает реализацию, но сильно ограничивает дальнейшие возможности создания гибких вычислительных схем. В конечном итоге в выигрыше по критериям эффективности и надежности оказываются те программные комплексы (PDECON, MISER3, российские пакеты), авторы которых сохранили контроль над базовыми оптимизационными компонентами, что, как правило, подтверждается вычислительными экспериментами.

В большинстве технологий неразвиты или просто отсутствуют инструментальные компоненты, требуемые для детального исследования оптимизационных моделей и экстремальных задач такого типа. Алгоритмы для нелинейных ЗОУ, по известной классификации [123, с. 16-17], несомненно, относятся ко второму, более сложному типу алгоритмов, для которых не гарантируется получение приемлемых результатов за конечное число шагов. Таким же неудобным свойством обладают даже многие вспомогательные задачи, используемые в этих алгоритмах. В этом случае для получения надежных результатов необходимо иметь развитый набор инструментальных средств верификации различных аспектов решения — качества дискретизации, качества решения дискретизованных задач, постоптимизационного анализа.

Практически все рассмотренные технологии лишены средств поддержки и автоматизации моделирования. По опыту автора, при решении практических задач около 90 % времени эксперта тратится на создание и доводку модели, и только 10 % — собственно на оптимизацию. При конструировании моделей и постановке задачи оптимизации, естественно, возникает множество сложных вопросов (идентификация модели, исследование предельных свойств, поиск особых состояний, упрощение модели, нахождение адекватной структуры управляющих воздействий и т.д.), без корректного решения которых невозможно рассчитывать на успех. Большинство из этих задач могут быть решены, хотя бы частично, с использованием оптимизационных процедур, что требует специальных интерфейсов, технологий и подходов.

Научная новизна. Предложен методический подход и разработана основанная на применении современных информационных технологий (\¥еЬ-сервисов) вычислительная технология решения задач оптимального управления, включающая: методики оценки правдоподобия и корректировки оптимизационных моделей; алгоритмы оптимизации, отвечающие требованиям эффективности, надежности, точности; методики оценки качества и регулярного тестирования этих алгоритмов; инструментальные средства решения задач оптимального управления в виде специализированного вычислительного сервера в Интернет, а также технологию решения задач оптимального управления через Интернет и технологию экспертной поддержки удаленного пользователя.

На защиту выносятся:

1) методики оценки правдоподобия и корректировки оптимизационных моделей;

2) алгоритмы оптимизации, отвечающие требованиям эффективности, надежности, точности;

3) методики оценки качества и регулярного тестирования этих алгоритмов;

4) технология решения задач оптимального управления через Интернет;

5) технология экспертной поддержки удаленного пользователя.

Практическая значимость диссертационной работы состоит в разработке инструментальных средств для решения задач оптимального управления и их использовании для решения прикладных задач из различных областей науки и техники, а также в обеспечении возможности специалистам различных прикладных областей решать задачи оптимального управления с использованием созданного вычислительного сервера через Интернет.

Внедрение. Результаты диссертационной работы являются обобщением более чем двадцатипятилетней научно-производственной деятельности соискателя.

Разработка и применение предложенных в диссертации вычислительной технологии и программных средств, выполненные в течение 19812006 гг., производились в рамках плановых тем ИДСТУ СО РАН (ранее — ИрВЦ СО АН СССР) и хоздоговорных тем с Раменским приборостроительным КБ (от 01.03.1991 "Разработка диалогового комплекса программ для решения задач оптимального управления"; № 2/92 от 01.01.1992 "Создание комплекса программ для разработки алгоритмов управления самолетом в общепилотажных режимах, специальных режимах и режимах наведения"); Институтом программных систем РАН (№ 32/90 от 01.09.1990 "Программная реализация комплекса ОРТСОМ для задач оптимального управления"); Институтом систем энергетики (№ 82/89 от 01.08.1990 "Исследование принципов оптимального управления передачами постоянного тока в составе основной сети ЕЭЭС СССР"; № 39/2 от 01.04.2002 "Научно-исследовательская работа по созданию вычислительного ядра вычислительного сервера ОРТСОН для задач оптимального управления").

На разных этапах работа выполнялась при поддержке грантов РФФИ № 99-01-00216 "Свойства динамических систем, связанные со структурой множества их решений, и приложения"; Глобального экологического трастового фонда (ГЭФ) по проекту "Сохранение биоразнообразия" Российской Федерации, № 1010008-83 "Разработка и внедрение механизмов устойчивого природопользования в Центральной экологической зоне озера Байкал"; РФФИ № 01-01-00101 "Параллельные вычисления и многоме-тодная технология решения задач оптимального управления с автоматическим выбором метода"; РФФИ-ГФЕН Китая № 02-01-39006 "Оптимизация и идентификация эволюционных управляемых систем и приложения к хемивариационным неравенствам"; РФФИ № 03-01-00203 "Параметрическая оптимизация управляемых систем"; РФФИ № 02-07-90343 "Internet-технология поддержки удаленного пользователя пакета прикладных программ OPTCON-2 для решения сложных задач оптимального управления"; РФФИ № 04-01-00857 "Разработка численных методов для жестких систем и дифференциально-алгебраических уравнений, возникающих при решении вырожденных задач оптимального управления"; РФФИ № 04-07-90401 "Инструментальные средства экспертной поддержки математического моделирования, доступные пользователям с применением Internet-технологии"; РФФИ N2 06-01-00247 "Исследование эволюционных включений и управляемых систем с операторами монотонного типа"; РФФИ № 06-07-89215 "Информационно-вычислительная система для экспертной поддержки пользователей математических пакетов, применяемых в слабоформализованных предметных областях (медицина, биология, геология, география)"; гранта фундаментальных исследований СО РАН № 2003-3 "Методы, технологии и инструментальные средства создания вычислительной инфраструктуры в Internet", гранта РГНФ № 04-02-00271 "Разработка методов и технологии моделирования динамических систем в экономике"; гранта Иркутской областной администрации "Медико-экономический прогноз развития трудовых ресурсов промышленных центров Иркутской области".

Личный вклад автора. Основные теоретические результаты диссертационной работы получены лично автором. Программные реализации алгоритмов и методик выполнены лично автором, за исключением системных компонентов ПК OPTCON, реализованных А.О. Диваковым, и системных компонентов вычислительного сервера OPTCON, реализованных Д.В. Подкаменным. Из совместных работ, опубликованных в соавторстве, в диссертации использованы результаты, полученные автором лично.

Апробация диссертационной работы. Результаты диссертационной работы докладывались на всесоюзных, всероссийских и международных конференциях: VII Всесоюзной конференции "Проблемы теоретической кибернетики" (Иркутск, 1985); Байкальских школах-семинарах "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 1983, 1986, 1989,

1992, 2001, 2005); IX-XI Всесоюзных симпозиумах "Системы программного обеспечения решения задач оптимального планирования" (Минск, 1986; Нарва-Йыэссу, 1988; Кострома, 1990).; VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986); IV Международной конференции по пограничным и внутренним слоям (BAIL-IV, Новосибирск, 1986); Всесоюзном совещании "Обеспечение надежности при управлении развитием и функционированием электроэнергетических систем" (Иркутск, 1988); Международной школе СЭВ "Экологические основы управления и планирования ландшафта" (Новы Двур, ЧССР, 1988); III Международной конференции "Differential inclusions and control" (Переславль-Залесский, 1998); Международной конференция по распределенным системам "Экономика и охрана окружающей среды" (Екатеринбург, 2000); Международной конференции "Математика, Интеллект, Управление" (Иркутск, 2000); Международной конференции по нелинейной демографии (Германия, Росток, 2000); III Международной конференции "Проблемы управления и моделирования в сложных системах" (Самара, 2001); Международной конференции "Optimization and Optimal Control" (Улан-Батор, Монголия, 2002); Байкальских конференциях по информационным технологиям (Иркутск, 1993, 1996, 19982007); V Всероссийском семинаре "Моделирование неравновесных систем" (Красноярск, 2002); II-III Региональных школах-семинарах "Распределенные и кластерные вычисления" (Красноярск, 2002, 2003); IV Российской конференции "Дискретный анализ и исследование операций" (Новосибирск, 2002); Выездном заседании координационного научного совета по программе "Информационные и телекоммуникационные ресурсы СО РАН" (Иркутск, 2002); Международном симпозиуме "Обобщенные решения в задачах управления" (Переславль-Залесский, 2002); Международной конференции "Вычислительные технологии и математическое моделирование в науке, технике и образовании" (Алма-Ата, 2002); "Ляпу-новских чтениях" (Иркутск, 2002); XIV Понтрягинских чтениях "Современные методы теории краевых задач" (Воронеж, 2003); Всероссийской конференции "Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы" (Улан-Удэ, 2003); XII Всероссийской конференции "Математическое программирование и приложения" (Екатеринбург, 2003); Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" (Усть-Каменогорск, Казахстан, 2003).

Основные результаты работы на разных этапах ее выполнения обсуждались в ведущих научных центрах: Вычислительном центре АН СССР г. Москва), Московском государственном университете (факультет вычислительной математики и кибернетики), Вычислительном центре СО АН СССР (г. Новосибирск), Институте кибернетики им. В.М.Глушкова (г. Киев), Институте проблем управления РАН (г. Москва), Центральном экономико-математическом институте РАН (г. Москва), Институте программных систем РАН (г. Переславль-Залесский), Институте математики и механики УрО АН (г. Екатеринбург), Институте математики СО РАН (г. Новосибирск), Институте вычислительного моделирования СО РАН (г. Красноярск), Иркутском государственном университете, Институте динамики систем и теории управления СО РАН, Институте систем энергетики СО РАН (г. Иркутск).

Публикации по теме диссертации.

1. Горнов А.Ю., Жолудев А.И., Тятюшкин А.И., Эринчек Н.М. Численное решение задач оптимального управления в пакетном режиме // Пакеты прикладных программ. Опыт разработки. — Новосибирск: Наука, 1983. — С. 3-17.

2. Горнов А.Ю., Жолудев А.И., Тятюшкин А.И., Эринчек Н.М. Технология решения задач оптимального управления, основанная на ППП "Математическое программирование в многомерных задачах" // Теоретические и прикладные вопросы оптимального управления. — Новосибирск: Наука, 1985. - С. 226-244.

3. Горнов А.Ю., Дмитриев М.Г., Тятюшкин А.И. Приближенное решение сингулярно возмущенных задач оптимального управления // Тез. докл. Всесоюзн. конф. "Проблемы теоретической кибернетики". - Иркутск, 1985. - Ч. И. - С. 39-40.

4. Горнов А.Ю., Дмитриев М.Г., Тятюшкин А.И. Опыт решения задач оптимального уравления с пограничным слоем / ИрВЦ СО АН СССР. - Иркутск, 1985. - 18 с. - Деп. в ВИНИТИ 09.12.1985, № 8441-В.

5. Горнов А.Ю. Диалоговая система ППП МАПР для задач оптимального управления // Тез. докл. IX Всесоюзн. симпозиума "Системы программного обеспечения решения задач оптимального планирования". - Минск, 1986. - С. 29-30.

6. Горнов А.Ю., Дмитриев М.Г., Тятюшкин А.И. Опыт решения задач оптимального уравления с пограничным слоем // Тез. докл. VI Всесоюзн. съезде по теор. и прикл. механике. — Ташкент, 1986. — С. 212-213.

7. Belokopytov S.V., Dmitriev M.G., Gerasimov V.A., Klishevich A.M., Gornov A.U., Tyatyushkin A.I., Pasynkov V.M. Interior and outer boundary layers in the optimal control problems. Asymptotic and numerical methods // Proc. of the BAIL-4 Conf. — Dublin (Ireland): Boole Press Limited, 1986. - P. 216-221.

8. Белокопытов C.B., Герасимов В.А., Горнов А.Ю., Дмитриев M.Г., Клишевич A.M., Пасынков В.H., Тятюшкин А.И. Внутренние и внешние погранслои в задачах оптимального управления. Асимптотические и численные методы расчета // Тез. докл. IV Междунар. конф. по погр. и внутр. слоям. — Новосибирск, 1986. — С. 20.

9. Габасов Р., Тятюшкин А.И., Жолудев А.И. и др. Пакет прикладных программ "Математическое программирование многомерных задач" // Алгоритмы и программы: Инф. Бюлл. — М.: ВНТИЦ, 1986. — № 2 (71). — С. 33.

10. Горнов А.Ю., Касимов Н.Г., Кучеров Ю.Н. Оптимизация управления в динамических режимах ЭЭС, содержащих элементы постоянного тока. Надежность при управлении развитием и Функционированием электроэнергетических систем. — Иркутск: СЭИ, 1988. — С. 200-208.

11. Горнов А.Ю. Технология решения прикладных задач оптимального управления в диалоговом режиме // Тез. докл. X Всесоюзн. симпозиума "Системы программного обеспечения решения задач оптимального планирования". — Нарва-Йыэсуу, 1988. — С. 184.

12. Горнов А.Ю., Касимов Н.Г., Кучеров Ю.Н. Модель оптимального управления переходными режимами ЭЭС, содержащих элементы постоянного тока // Всесоюзн. науч.-техн. конф. "Создание комплексов электротех. оборудования высоковольтной, преобразовательной, сильноточной и полупроводниковой техники". — М., 1989. — С. 22.

13. Виноградов Б.В., Черкашин А.К., Горнов А.Ю., Кулик К.Н. Динамический мониторинг деградации и восстановления пастбищ Черных Земель // Проблемы освоения пустынь. — Ашхабад, 1990. — № 1. - С. 10-19.

14. Даровских С.Н., Горнов А.Ю., Жолудев А.И., Тятюшкин А.И., Ха-ютин М.И., Ширяев В.И., Эринчек Н.М. Опыт применения пакета прикладных программ к задаче оптимального управления маневрирующим ЛА // Интеллектуализация программных средств. — Новосибирск: Наука, 1990.

15. Горнов А.Ю. Программное обеспечение задач оптимального управления с терминальными ограничениями: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. — Иркутск, 1990. — 20 с.

16. Черкашин А.К., Горнов А.Ю. Оптимизация лесопользования в таежных лесах лесосырьевой базы Усть-Илимского ЛПК // Оптимизация геосистем. — Иркутск: Ин-т географии СО АН СССР, 1991. — С. 99-112.

17. Vinogradov В. V., Cherkashin А.К., Gornov A.Yu., Kulik K.N. Dynamic monitoring of degradation and restoration of pastures in the Black Lands of Kalmykia // Probl-Desert-Dev. - N.Y.: Allerton Press, 1990. -№ 1. — P. 7-14. — http://wsare.usu.edu/pasture/datat-z.htm/.

18. Анапольский Л.Ю., Петрякова E.A., Горнов А.Ю. Решение линейного алгебраического уравнения с помощью нейронной сети Хопфил-да // Известия вузов. Приборостроение. — 1994. — Т. 37, Вып. 3-4. — С. 51-56.

19. Gornov A. Yu. On a Class of Algorithms for Constructing Internal Estimates of Reachable Set // Proc. of the Intern. Workshop DIC-98. Pereslavl-Zalessky, Sept. 7-11, 1998. - Pereslavl-Zalessky, 1998. - P. 10-12.

20. Bockmelder E.P., Feichtinger G., Gornov A. Yu. Applying the Variational Maximum Principle to a Model of Age-Specific Drug Initiation // Proc. of Intern. Conf. "Distributed System and Optimization". Ekaterinburg, May 26-29, 2000. - Ekaterinburg, 2000. - P. 289-292.

21. Анапольский Л.Ю., Горнов А.Ю. Параметрический анализ числа решений уравнений равновесия трехузловой электроэнергетической системы //Тр. XII Байкальской Междунар. конф. "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск, Байкал. — Иркутск, 2001. — Т. 6. - С. 156-161.

22. Feichtinger G., Gornov A.Yu., Bockmelder E.P. An Approach to Mathematical Modelling of Age-Specific Social and Economic Processes // Тр. XII Байкальской Междунар. конф. "Методы оптимизации и их приложения". - Иркутск, 2001. - Т. 2. - С. 216-221.

23. Горнов А.И., Тятюшкин А.И. Программная реализация мультиме-тодной технологии для задач оптимального управления // Тр. III Междунар. конф. "Проблемы управления и моделирования в сложных системах". Самара, 4-9 сентября 2001 г. — Самара: ИПУСС РАН, 2001. - С. 301-307.

24. Масселъ Л.В., Горнов А.Ю., Подкаменный Д.В. Создание вычислительных ресурсов в Internet на основе унаследованного программного обеспечения // Вычислительные технологии. — 2002. — Т. 32, № 4. - С. 247-253.

25. Батурин В.А., Горнов А.Ю., Массель JI.B. Internet-технология математического моделирования и вычислительного эксперимента для решения задач оптимального управления // Вычислительные технологии. - 2002. - Т. 32, № 4. - С. 339-347.

26. Бокмельдер Е.П., Горнов А.Ю., Файхтингер Г. Оптимизация рекламной деятельности по вовлечению потребителей новых товаров. Распределенная модель // Оптимизация, управление, интеллект. — 2002. - № 6. - С. 149-157.

27. Горнов А.Ю., Тятюшкин А.И. Параллельные алгоритмы поиска оптимального управления // Обобщенные решения в задачах управления: Тез. докл. Междунар. симпозиума. Переславль-Залесский, 27-31 августа 2002 г. - Переславль-Залесский, 2002. - С. 139-144.

28. Горнов А.Ю., Бокмельдер Е.П., Файхтингер Г. Моделирование и численное решение социально-экономических задач с учетом возрастной специфики // Обобщенные решения в задачах управления: Тез. докл. Междунар. симпозиума. Переславль-Залесский, 27-31 августа 2002 г. — Переславль-Залесский, 2002. — С. 160-165.

29. Горнов А.Ю. Метод максимизации объема для аппроксимации интегральной воронки нелинейной управляемой динамической системы на плоскости // Обобщенные решения в задачах управления: Тез. докл. Междунар. симпозиума. Переславль-Залесский, 27-31 августа 2002 г. - Переславль-Залесский, 2002. - С. 200-204.

30. Горнов А.Ю., Зоркалъцев В.И., Филатов А.Ю. Алгоритмы внутренних точек с неточным решением вспомогательной задачи // Дискретный анализ и исследование операций: Тез. докл. Российской конф. Новосибирск, 24-28 июня 2002 г. — Новосибирск, 2002. — С. 154.

31. Tyatyushkin A.I., Gornov A. Yu. Parallel and Distributed Computations for Solving Optimal Control Problems // Intern. Conf. on Optimization and Optimal Control. Ulaanbaator (Mongolia), August 13-17, 2002. — Ulaanbaator, 2002. - P. 31-32.

32. Горнов А.Ю. Технология решения задач оптимизации непрерывных динамических систем, основанная на комплексе программ OPTCON // Моделирование неравновесных систем: Тез. докл. V Всерос. семинаpa. Красноярск, 18-20 октября 2002 г. — Красноярск, 2002. — С. 5051.

33. Подкаменный Д.В., Болдырев Е.А., Горнов А.Ю. Разработка удаленного доступа к пакету прикладных программ для решения задач оптимального управления // Тр. II Межрег. школы-семинара "Распределенные кластерные вычисления". — Красноярск, 2002. — С. 1-8.

34. Горнов А.Ю. Интегрирование систем полулинейных гиперболических уравнений с использованием многоточечной аппроксимации Паде // Ляпуновские чтения: Тез. докл. Иркутск, 25-27 ноября 2002 г. - Иркутск, 2002. - С. 17.

35. Горнов А.Ю. Алгоритмы решения аппроксимативных задач математического программирования, возникающих при оптимизации динамических систем //12 Всерос. конф. "Математическое программирование и приложения". Екатеринбург, 24-28 февраля 2003 г. — Екатеринбург, 2003. - С. 86-87.

36. Горнов А.Ю., Масселъ Л.В., Подкаменный Д.В. Создание вычислительных ресурсов в Internet на основе унаследованного программного обеспечения // Интеграция информационных технологий в системных исследованиях энергетики. — Новосибирск: Наука, 2003. — С. 258-296.

37. Горнов А.Ю. Мультиметодная технология численного решения экстремальных краевых задач для нелинейных динамических систем // Сб. тр. Воронежской весенней математической школы "Понтря-гинские чтения-XIV" "Современные методы теории краевых задач". - Воронеж, 2003. - С. 42-43.

38. Массель Л.В., Горнов А.Ю., Батурин В.А. Интеграция математических и информационных технологий: методический подход и опыт реализации // Вычислительные технологии. — 2003. — Т. 8. — С. 206-213.

39. Горнов А.Ю. Технология экспертной поддержки постановки и решения задач оптимизации динамических систем // Вычислительные технологии. - 2002. - Т. 8. - С. 276-283.

40. Горнов А.Ю. Комплекс программ OPTCON для решения прикладных задач оптимального управления // Материалы Всерос. конф. "Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы". - Ч. 1. - Улан-Удэ, 2003. - С. 112-115.

41. Горнов А.Ю. Реализация метода случайного мультистарта для задачи оптимального управления // Ляпуновские чтения. Тез. докл. - Иркутск, 2003.

42. Горнов А.Ю. Технология проектирования программных комплексов для задач оптимального управления // Вестник ИрГТУ. — 2004. — m (17). - С. 148-153.

43. Горнов А.Ю. Технология оценки правдоподобия оптимизационной модели // Вычислительные технологии. — 2004. — Т. 9 (II). — С. 120-129.

44. Горнов А.Ю. Параллельный алгоритм поиска оптимального управления в задачах с параллелепипедными ограничениями // Вестник ИрГТУ. - 2004. - №3 (19). - С. 104-110.

45. Горнов А.Ю. Мультиметодный алгоритм решения задачи оптимального управления с параллелепипедными ограничениями // Сб. тр. Между нар. конф. "Математическое программирование и приложения". — Екатеринбург, 2004.

46. Горнов А.Ю., Массель Л. В. Интерактивная технология генерации динамических моделей и инструментальные средства ее поддержки // Вычислительные технологии — 2004. — Т. 9 (II). — С. 129-136.

47. Дьякович М.П., Бокмельдер Е.П., Горнов А.Ю. Психофизиологические и мотивационные составляющие трудового потенциала промышленных предприятий: оценка и управление // Бюллетень ВСНЦ СО РАМН. - 2004. - № 3. - С. 24-27.

48. Dyakovich M., Bokmelder Е., Gornov A. Worker's health dynamic control model //Intern. Conf. Mathematical Modelling Social Economic Dynamics (Международная конференция математическое моделирование социальной и экономической динамики (MMSED-2004)). — Moscow. — MSSU, 23-25 of June 2004. - P. 100.

49. Массель JI.В., Горнов А.Ю., Болдырев Е.А., Бахвалов C.B., Черноусое A.B., Копайгородский A.A. Архитектура инструментальной среды для поддержки интерактивной технологии построения динамически х моделей // Вычислительные технологии. — 2004. — Т. 8 (III). - С. 150-157.

50. Данеева A.B., Горнов А.Ю. О некотором опыте численного решения невыпуклых задач оптимального управления // Материалы Всерос. конф. с междунар. участием "Математика, ее приложения и математическое образование". — Улан-Удэ, 2005. — Улан-Удэ: Изд-во ВСГ-ТУ. - С. 75-78.

51. Горнов А.Ю., Данеева A.B. Подход к исследованию невыпуклых задач оптимального управления с параллелепипедными ограничениями // Вестник Бурятского университета. Сер. "Математика и информатика". - 2005. - Вып. 2. - С. 122-130.

52. Горнов А.Ю. Численное исследование задач оптимального управления в жестких системах // Тр. XIII Байкальской Междунар. школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". — 2005, Иркутск.

- Т. 5. - С. 77-83.

53. Бокмельдер Е.П., Дъякович М.П., Горнов А.Ю. Распределенная модель управления состоянием здоровья рабочих предприятий с вредными условиями труда //Тр. XIII Байкальской Междунар. школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". — 2005, Иркутск.

- Т. 5. - С. 51-56.

54. Ливанцова Т. С., Горнов А.Ю. Подход к поиску глобального экстремума в задаче оптимального управления // Тр. X Байкальской все-рос. конф. "Информационные и математические технологии в науке, технике и образовании". — Ч. I. - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2005. — С. 154-160.

55. Масселъ Л.В., Горнов А.Ю., Бахвалов С.В. Технология построения линейных динамических моделей для исследований в экономике // Труды X Байкальской Всероссийской конференции "Информационные и математические технологии в науке, технике и образовании".

- Ч. И. - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2005. - С. 118-123.

56. Горнов А.Ю., Данеева A.B. Методики конструирования тестовых задач оптимального управления // Вестник Бурятского ун-та. Сер. "Математика и информатика". 2006. — Вып. 3. — С. 136-143.

57. Горнов А.Ю. Верификация постановки и решения задачи оптимального управления // Вестник ИрГТУ. - 2006. - Т. 3, №2 (26). - С. 131-138.

58. Горнов А.Ю., Зароднюк Т. С. Разработка информационно-вычислительной системы для экспертной поддержки пользователей математических пакетов при численном решении задач оптимального управления Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. — Иркутск: ИрГУПС. - 2006. - №1. - С.

59. Ливанцова Т.С., Горнов А.Ю. Подход к построению нелокального синтеза оптимального управления // Вестник ИрГТУ. — 2006. — Т. 3, №2 (26). - С. 142-148.

60. Данеева A.B., Горнов А.Ю. Об одной методике генерации тестовых задач оптимального управления // Тез. докл. Междунар. симпозиума "Обобщенные решения в задачах управления". — Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2006. - С. 43-45.

61. Ефимова Н.В., Рукавишников B.C., Лещенко Я.А., Киндрич В.А., Чубук В.Н., Горнов А.Ю., Зароднюк Т. С. Опыт разработки программ социально-экономического развития городов (на примере г. Иркутска) // Матер, пленума "Современные проблемы гигиены города, методология и пути решения". - Москва, 2006. — С. 106-108.

Содержание диссертационной работы по главам.

В первой главе рассматривается поставленная автором проблема оценки правдоподобия и корректировки оптимизационных моделей. Вводятся основные понятия, связанные с математическим моделированием и проведением вычислительного эксперимента, анализируется класс задач оптимального управления, рассматриваются вычислительные технологии задач оптимального управления. Приводятся введенные автором определения правдоподобия и меры правдоподобия, описываются разработанные им же методики оценки правдоподобия и корректировки оптимизационных моделей, а также сценарии доказательства правдоподобия оптимизационных моделей, основанные на опровержении утверждений о наличии тех или иных свойств модели.

Вторая глава посвящена рассмотрению мультиметодных технологий решения задач оптимального управления. В главе излагаются принципиальные положения мультиметодной технологии, подчеркивается, что автор предлагает отличающуюся от традиционной трактовку термина "мультиметодность", подразумевающую интеграцию совокупности не только математических, но и технологических инженерных методов решения ЗОУ. В главе описаны разработанные автором алгоритмы для решения ЗОУ с параллелепипедными, терминальными и фазовыми ограничениями, глобализующие алгоритмы. Рассматриваются предлагаемые автором специализированные вычислительные схемы для различных типов задач, а также способы дискретизации непрерывной задачи и оценки градиентов функционалов, алгоритмы верификации компонентов ЗОУ и фазового оценивания.

В третьей главе рассматриваются вопросы оценки качества алгоритмов и программных комплексов для решения ЗОУ. Автор предлагает рассматривать качество алгоритма как совокупность свойств точности, надежности и эффективности и приводит сценарии доказательства этих свойств. В главе рассматриваются предлагаемые автором методики регулярного тестирования алгоритмов оптимизации и коллекция собранных автором тестовых задач. Предлагается использовать стресс-тестирование для доказательства нерегулярных свойств алгоритмов. Комментируются результаты проведенного автором сравнительного тестирования алгоритма OPTCON и нескольких известных программных комплексов, где OPTCON в большинстве случаев выигрывает в эффективности. Рассматривается также тестирование параллельной мультиметод-ной схемы и приводится предлагаемая автором методика оценки качества программных комплексов для ЗОУ.

Четвертая глава посвящена описанию разработанных автором программных продуктов для решения ЗОУ. Рассматривается общий подход к реализации программных средств ОУ и реализации программных комплексов для решения ЗОУ для разных ЭВМ и различных операционных сред: блок нелинейного оптимального управления в ППП МАПР, ПК OPTCON под управлением MS DOS, версия ПК OPTCON для распараллеливания алгоритмов и современная версия ПК OPTCON-2 как ядро вычислительного сервера. Рассматриваются функциональное наполнение OPTCON-2, основные понятия, используемые при работе с сервером, и синтаксис языков математической и программной постановок задач, описанный с помощью формул Бэкуса-Наура. В заключительном разделе главы дается сравнительный анализ качества программных комплексов для ЗОУ в соответствии с методикой, приведенной в предыдущей главе, и отмечается, что по большинству характеристик последняя версия превосходит свои прототипы.

Пятая глава посвящена вопросам разработки вычислительной технологии решения ЗОУ через Интернет. Рассматривается проблема отчуждаемости программного обеспечения (ПО) и вопросы адаптации унаследованного ПО (не отвечающего требованиям современных информационных технологий). Предлагается, как один из путей решения проблемы отчуждаемости программных продуктов для решения ЗОУ, переход к Web-сервисам (Web-службам). Предлагается технология построения оптимизационных моделей для ЗОУ, описывается синтаксис языка содержательной постановки задачи с помощью формул Бэкуса-Наура. Рассматривается Интернет-технология решения ЗОУ с использованием вычислительного сервера OPTCON. Описывается технология экспертной поддержки удаленного пользователя, иллюстрируется интерфейс пользователя — клиента вычислительного сервера ОРТССЖ.

В шестой главе рассматривается применение авторских программных продуктов для решения ряда прикладных задач. Излагается общая диалоговая технология решения ЗОУ и описывается решение следующих задач: задача ориентации орбитального телескопа; планирующая посадка тяжелого летательного аппарата; задача управления манипулятором промышленного робота; оптимизация режимов электроэнергетической сети с элементами постоянного тока; задача восстановления Черных Земель в Калмыкии; задача оптимизации лесопользования; прогнозирование экономической ситуации Кабанского района Бурятии. Оценивается сложность и особенности решения рассмотренных задач.

В заключении излагаются результаты диссертационной работы. В приложениях к работе приводятся синтаксис языка диалоговой системы, тестовая коллекция множеств достижимости управляемых систем и тестовая коллекция ЗОУ.

Выводы. Базовый вариант оптимального управления в условиях социально-экономического равновесия, как показывают расчеты, требует экстенсивного использования ресурсов, роста инвестиций и информированности населения при ограничении дотаций населения. Эти тенденции можно учесть, варьируя свободные коэффициенты в базовых уравнениях.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие основные результаты.

1. Выполнено исследование задач оптимального управления широкого класса и разработан методический подход к построению вычислительной технологии решения ЗОУ, включающий:

• методики оценки правдоподобия и корректировки оптимизационных моделей;

• алгоритмы оптимизации, отвечающие требованиям эффективности, надежности, точности;

• методики оценки качества и регулярного тестирования этих алгоритмов и программных средств для решения ЗОУ;

• принципы построения программных комплексов для решения ЗОУ и инструментальных средств, реализующих разработанные алгоритмы и методики.

2. Разработана основанная на применении современных информационных технологий (Web-сервисов) вычислительная технология решения задач оптимального управления, включающая:

• технологию оценки правдоподобия и корректировки оптимизационных моделей;

• технологию тестирования (сравнительное тестирование, статистическое тестирование, стресс-тестирование) алгоритмов и оценки качества программных средств;

• технологию решения задач оптимального управления через Internet;

• технологию экспертной поддержки удаленного пользователя;

• инструментальные средства решения задач оптимального управления в виде специализированного вычислительного сервера в Internet.

3. Разработанные методики, алгоритмы и программные средства применены для решения ряда прикладных задач, опыт применения интегрирован в виде обобщенной методики (технологии) решения ЗОУ.

1. Аграчев A.A., Гамкрелидзе Р. В. Вариация "замена времени" в оптимальном управлении // Докл. АН СССР. 1990. - Т. 311, № 2. -С. 265-270.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., 1979.

3. Амербаев В.М. Теоретические основы машинной арифметики. — Алма-Ата: Наука, 1976. — 324 с.

4. Антипин A.C. Непрерывные и итеративные процессы с операторами проектирования // Вопросы кибернетики. Вычислительные вопросы анализа больших систем. — М.: Наука, 1989. — С. 1-43.

5. Аргучинцев A.B., Васильев О.В. Итерационные процессы принципа максимума и их модификации в системах с распределенными параметрами // Дифф. уравнения. — 1996. — Т. 32, JV0- 6. — С. 797-803.

6. Артемьев С. С. Простой, быстрый, надежный алгоритм переменного порядка и шага, основанный на методах типа Розенброка. — Новосибирск, 1984. 40 с. - (Препринт / ВЦ СО АН СССР; № 543).

7. Арутюнов A.B. Расширения и возмущения задач оптимального управления // Тр. МИАН. 1998. - Т. 220. - С. 27-34.

8. Асеев С.М. Метод гладких аппроксимаций в теории необходимых условий оптимальности для дифференциальных включений // Изв. РАН. Сер. мат. 1997. - Т. 61, № 2. - С. 3-26.

9. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. — М.: Машиностро-ние, 1968. 764 с.

10. Афанасьев В.Н., Колмановский В.В., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. — М.: Высшая школа, 1989. 447 с.

11. Ащепков Л. Т. Оптимальное управление разрывными системами. — Новосибирск: Наука, 1987. — 227 с.

12. Бабенко К.И. Основы численного анализа. — М.: Наука, 1986. — 744 с.

13. Бабенко К.И., Годунов С.К., Софронов И.Д., Федоренко Р. П. и др. Теоретические основы конструирования численных алгоритмов задач математической физики. — М.: Наука, 1979. — 295 с.

14. Ватищев Д. И. Поисковые методы оптимального проектирования. — М.: Сов. радио, 1975. — 214 с.

15. Батурин В.А., Горнов А.Ю., Масселъ Л.В. Internet-технология математического моделирования и вычислительного эксперимента для решения задач оптимального управления // Вычислительные технологии. 2002. - Т. 32, № 4. - С. 339-347.

16. Батурин В.А., Урбанович Д.Е. Приближенные методы оптимального управления, основанные на принципе расширения. — Новосибирск: Наука, 1997. — 174 с.

17. Бахвалов Н.С. Численные методы. Т. 1. — М.: Наука, 1975.

18. Бежанова М.М. Практическое программирование. — М.: Научный мир, 2001. 269 с.

19. Бежанова М.М., Ильин В.П. Некоторые вопросы технологии разработки ППП // Пакеты прикладных программ. Функциональное наполнение. — М.: Наука, 1986. — С. 90-110.

20. Бейкер ДжГрейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. — М.: Мир, 1986. 502 с.

21. Беллман Р. Динамическое программирование. — М.: Наука, 1976. — 352 с.

22. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. — М.: Наука, 1969. — 118 с.

23. Белов E.H., Поляк Б. Т., Скоков В.А. Комплекс программ оптимизации // Эконом, и мат. методы. 1978. — Т. 14, № 4. — С. 792-796.

24. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагран-жа. — М.: Радио и связь, 1987. — 400 с.

25. Благодатских В.И. О выпуклости сфер достижимости // Дифф. уравнения. 1972. - Т. 8, № 12. - С. 2149-2155.

26. Благодатских В.И. Принцип максимума для дифференциальных включений // Тр. МИ АН СССР. 1984. - Т. 166. - С. 23-43.

27. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Тр. МИАН СССР. — 1985. — Т. 169. С. 194-252.

28. Богатырев A.B. Поглощаемые и непоглощаемые точки множеств достижимости и обобщенные уравнения Гамильтона-Якоби // Изв. РАН. 1992. - Т. 56, № 1. - С. 215-228.

29. Богатырев A.B., Пятницкий Е.С. Необходимые условия оптимальности в терминах обобщенных уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана при наличии фазовых ограничений // Тр. МИАН. — 1995. Т. 211. - С. 62-80.

30. Борзое В.И., Игонина Т.Р. О задаче полета летательного аппарата на максимальную дальность // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1982. - № 2. - С. 20-24.

31. Бояринцев Ю.Е. Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы. — Новосибирск: Наука, 2000. — 223 с.

32. Браверман Э.М., Мучник И.Б. Структурные методы обработки эмпирических данных. — М.: Наука, 1983. — 464 с.

33. Брайсон А., Хо-Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972. - 544 с.

34. Брукс Ф.П. Как проектируются и создаются программные комплексы. М.: Наука, 1979. - 152 с.

35. Брюхов Д.О., Задорожный В.И., Калиниченко Л.А., Курошев М.Ю., Шумилов С.С. Интероперабельные информационные системы: архитектуры и технологии // СУБД. — 1995. — N2 4.

36. Бутковский А.Г. Метод интегральных воронок дифференциальных включений для исследования управляемых систем // Дифф. уравнения. 1985. - Т. 21, № 8. - С. 1304-1313.

37. Бэбб Р., Мак-Гроу Дж., Акселърод Т. и др. Программирование на параллельных вычислительных машинах. — М.: Мир, 1991. — 376 с.

38. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. — М.: Наука, 1977. — 623 с.

39. Васильев О.В. Лекции по методам оптимизации. — Иркутск: Изд-во Иркут.ун-та, 1994. — 340 с.

40. Васильев О.В., Бельтюков Н.Б., Терлецкий В.А. Алгоритмы оптимизации динамических систем, основанные на принципе максимума // Вопросы кибернетики. Модели и методы анализа больших систем. М.: Наука, 1991. - С. 17-38.

41. Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий В.А. Методы оптимизации и их приложения. — Новосибирск: Наука, 1990. — 148 с.

42. Васильев О.В., Тятпюшкин А.И. Об одном методе решения задач оптимального управления, основанном на принципе максимума // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1981. — Т. 21, № 6. — С. 1376-1384.

43. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1974. — 374 с.

44. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1981. 400 с.

45. Вахромеев С.А. О трансверсальной выпуклости множеств достижимости одного класса гладких управляемых систем // Докл. РАН. — 1994. Т. 337, № 5. - С. 545-547.

46. Величенко В. В. Численный метод решения задачи оптимального управления // ЖВМ. 1966. - Т. 6. - С. 635-647.

47. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. — М.: Высшая школа, 2002. 840 с.

48. Веселое E.H., Мазурик В.П. Диалоговая система оптимизации: Инструкция пользователю. — М.: ВЦ АН СССР, 1980. — 56 с.

49. Вилков A.B., Жидков Н.П., Щедрин В.М. Метод отыскания глобального минимума функции одного переменного // ЖВМиМФ. — 1975. № 4. - С. 1040-1042.

50. Виноградов Б.В., Черкашин А.К., Горнов А.Ю., Кулик К.Н. Динамический мониторинг деградации и восстановления пастбищ Черных Земель // Проблемы освоения пустынь. — Ашхабад, 1990. — № 1. С. 10-19.

51. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984. 320 с.

52. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. — СПб.: БХВ-Петербург, 2002. 608 с.

53. Габасое Р., Кириллова Ф.М. Конструктивные методы оптимального управления // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. — 1983. — № 2. — С. 169-185.

54. Габасое Р., Кириллова Ф.М. Конструктивные методы оптимизации. Ч. 2: Задачи управления. — Минск: Университетское, 1984. — 207 с.

55. Габасое Р., Кириллова Ф.М., Тятюшкин А.И. Конструктивные методы оптимизации. Ч. 1: Линейные задачи. — Минск: Университетское, 1984. 214 с.

56. Габасое Р., Кирилова Ф.М. Методы оптимизации. — Минск: Изд-во Белорус, ун-та, 1981. — 350 с.

57. Габасое Р., Тятюшкин А.И., Жолудев А.И. и др. Пакет прикладных программ "Математическое программирование многомерных задач" // Алгоритмы и программы: Инф. Бюлл. — М.: ВНТИЦ, 1986. № 2 (71). - С. 33.

58. Гилл Ф., Мюррей У. Численные методы условной оптимизации. — М.: Мир, 1977. 290 с.

59. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. — М.: Наука, 1985.

60. Гловински Р., Лионе Ж.Л., Тремолъер Р. Численное исследование вариационных неравенств. — М.: Мир, 1979. — 574 с.

61. Глушков В.М., Олеярш Г. Б. Диалоговая система планирования ДИСПЛАН // Упр. машины и системы. 1976. - № 4. - С. 123124.

62. Годунов С.К., Антонов А.Г, Кирилюк О.П., Костин В.И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений. — Новосибирск: Наука, 1988. — 456 с.

63. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. — М.: Наука, 1977. 439 с.

64. Голуб Дж, Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999. 548 с.

65. Гольштейн Е.Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Лагранжа. Теория и методы оптимизации. — М.: Наука, 1989. — 400 с.

66. Гончаров В.В., Толстоногое A.A. О непрерывных селекторах и свойствах решений дифференциальных включений с т-аккретивными операторами // Докл. АН СССР. — 1990. — Т. 315, № 5. С. 1035-1039.

67. Горнов А.Ю. Программное обеспечение задач оптимального управления с терминальными ограничениями: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. — Иркутск, 1990. — 20 с.

68. Горнов А.Ю., Жолудев А.И., Тятюшкин А.И., Эринчек Н.М. Численное решение задач оптимального управления в пакетном режиме // Пакеты прикладных программ. Опыт разработки. — Новосибирск: Наука, 1983. С. 3-17.

69. Горнов А.Ю., Дмитриев М.Г., Тятюшкин А.И. Опыт решения задач оптимального уравления с пограничным слоем / ИрВЦ СО АН СССР. Иркутск, 1985. - 18 с. - Деп. в ВИНИТИ 09.12.1985, № 8441-В.

70. Горнов А.Ю., Дмитриев М.Г., Тятюшкин А.И. Опыт решения задач оптимального уравления с пограничным слоем // Тез. докл. VI Всесоюзн. съезде по теор. и прикл. механике. — Ташкент, 1986. — С. 212-213.

71. Горнов А.Ю., Дмитриев М.Г., Тятюшкин А.И. Приближенное решение сингулярно возмущенных задач оптимального управления // Тез. докл. Всесоюзн. конф. "Проблемы теоретической кибернетики". Иркутск, 1985. - Ч. II. - С. 39-40.

72. Горнов А.Ю., Зоркалъцев В.И., Филатов А.Ю. Алгоритмы внутренних точек с неточным решением вспомогательной задачи // Дискретный анализ и исследование операций: Тез. докл. Российской конф. Новосибирск, 24-28 июня 2002 г. — Новосибирск, 2002. — С. 154.

73. Горнов А.Ю., Касимов Н.Г., Кучеров Ю.Н. Оптимизация управления в динамических режимах ЭЭС, содержащих элементы постоянного тока. Надежность при управлении развитием и Функционированием электроэнергетических систем. — Иркутск: СЭИ, 1988. — С. 200-208.

74. Грачев Н.И., Евтушенко Ю.Г. Пакет программ для решения задач оптимального управления. — М.: ВЦ АН СССР, 1978. — 77 с.

75. Грачев Н.И., Фильков А.Н. Алгоритмические основы оптимизации управляемых систем с разрывной правой частью. — М.: ВЦ АН СССР, 1986. 35 с.

76. Грачев Н.И., Фильков А.Н. Решение задач оптимального управления в системе ДИСО. М.: ВЦ АН СССР, 1986. - 67 с.

77. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления. — М.: Наука, 1977. 304 с.

78. Гурман В. И. Принцип расширения в задачах оптимального управления. М.: Наука, 1985. - 288 с.

79. Гурман В.И., Батурин В.А., Расина И.В. Приближенные методы оптимального управления. — Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1983. — 178 с.

80. Гурман В.И., Дмитриев М.Г., Осипов Г.С. Интеллектуальная мно-гометодная технология для решения и анализа задач управления (концепция). — Переславль-Залесский, 1996. — 11 с. — (Препринт / Ин-т программных систем РАН).

81. Гурман В.И., Константинов Г.Н. Множества достижимости управляемых систем. Связь с уравнением Беллмана / ИГУ. — Иркутск, 1981. 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 14.08.81, № 4038-81.

82. Гурман В.И., Константинов Г.Н. Оценка множеств достижимости управляемых систем // Динамическое управление. — Свердловск, 1979. С. 72-73.

83. Гусейнов Х.Г., Моисеев А.Н., Ушаков В.Н. Об аппроксимации областей достижимости управляемых систем // ПММ. — 1998. — Т. 62, Вып. 2. С. 179-187.

84. Гусейнов Х.Г., Ушаков В.Н. Дифференциальные свойства интегральных воронок и стабильных мостов // ПММ. — 1991. — Т. 55, Вып. 1. С. 72-78.

85. Дал У., Дейкстра Э., Хоор К. Структурное программирование. — М.: Мир, 1975.

86. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. — М.: Радио и связь, 1985. 304 с.

87. Демьянов В.Ф., Рубинов A.M. Приближенные методы решения экстремальных задач. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1968. — 179 с.

88. Дзядык В. К. Аппроксимативные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. — Киев: Наукова Думка, 1988. — 304 с.

89. Дику cap В. В., Милютин А. А. Качественные и численные методы в принципе максимума. — М.: Наука, 1989.

90. Дмитриев М.Г. Пограничный слой в задачах оптимального управления // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. - № 4. - С. 6369.

91. Дмитриев М.Г., Клишевич A.M. Итерационные методы решения сингулярно возмущенных краевых задач условно устойчивого типа // ЖВМ. 1987. - Т. 27, № 12. - С. 1812-1823.

92. Дыхта В.А., Деренко Н.В. Численные методы решения задач импульсного управления, основанные на обобщенном условии стационарности // Сб. тр. Всерос. науч. школы. — Иркутск, 1994. — Т. 2. — С. 59-70.

93. Дэннис Дж., Шнабелъ Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. — М.: Мир, 1988. — 440 с.

94. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. — М.: Наука, 1982. — 432 с.

95. Евтушенко Ю.Г., Бурдаков О.П., Голиков А.И., Жадан В.Г., Потапов М.А. Диалоговый комплекс ДИСО. Раздел нелинейного программирования (версия 2) / ВЦ АН СССР. М., 1982. - 88 с. -Деп. в ВИНИТИ 01.06.1982, № 2716-82.

96. Евтушенко Ю.Г., Жадан В. Г. Об одном подходе к систематизации численных методов нелинейного программирования // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. - № 1. - С. 47-59.

97. Евтушенко Ю.Г., Жадан В. Г. Точные вспомогательные функции в задачах оптимизации // ЖВМ и МФ. — 1990. — Т. 30, № 1. -С. 43-57.

98. Еремин И. И. Метод штрафов в выпуклом программировании // ДАН СССР. 1967. - Т. 173, № 4. - С. 748-751.

99. Еремин И.И. Структура и организация пакета оптимизации ОПТИМА-2 // Пакеты прикладных программ. Методы оптимизации. М.: Наука, 1984. - С. 3-25.

100. Ермольев Ю.М., Гуленко В.П., Царенко Т.Н. Конечно-разностный метод в задачах оптимального управления. — Киев: Наукова Думка, 1978.

101. Ершов А.П., Ильин В.П. Пакеты прикладных программ как метод решения прикладных задач // Пакеты прикладных программ. Проблемы и перспективы. — М.: Наука, 1982. — С. 4-18.

102. Жадан В. Г. Численные методы линейного и нелинейного программирования. ВЦ РАН, 2002. - 65 с.

103. Жиглявский A.A., Жилинскас А.Г. Методы поиска глобального экстремума. — М.: Наука, 1991. — 248 с.

104. Жилинскас А., Шалтянис В. Поиск оптимума. — М.: Наука, 1989. 128 с.

105. Жилинскас А.Г. Глобальная оптимизация. Аксиоматика статистических моделей, алгоритмы, применения. — Вильнюс: Мокслас, 1986. 166 с.

106. Жолудев А.И., Тятюшкин А.И., Эринчек Н.М. Численные методы оптимизации управляемых систем // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1989. - № 4. - С. 14-31.

107. Зоркальцев В. И. Семейство алгоритмов метода внутренних точек // Приближенные методы анализа и оптимизации. — Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1985. С. 55-71.

108. Зубов В.И. Лекции по теории управления. — М.: Наука, 1975. — 496 с.

109. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ. — Киев: Наукова думка, 1986. 584 с.

110. Исаев В.К., Сонин В.В. Новый подход к проблеме аппроксимации и его приложение к вариационным и минимаксным задачам //Тр. ЦАГИ. 1975. - Вып. 1646. - С. 3-23.

111. Казаков В.А., Кротов В.Ф. Итеративный метод построения разрывных решений задач оптимального управления // АиТ. — 1995.— № 1. С. 29-43.

112. Каменев Г.К. Алгоритм сбижаюгцихся многогранников // ЖВМ. — 1996. Т. 36, № 4. - С. 134-147.

113. Каменев Г. К. Об одном классе адаптивных алгоритмов аппроксимации выпуклых тел многогранниками // ЖВМ. — 1992. — Т. 32, № 1. С. 136-152.

114. Каменев Г. К. Об эффективности хаусдорфовых алгоритмов полиэдральной аппроксимации выпуклых тел // ЖВМ. — 1993. — Т. 33, № 5. С. 796-805.

115. Каменев Г.К., Кондратьев Д. Л. Об одном методе исследования незамкнутых нелинейных моделей // Мат. моделирование. — 1992. Т. 4, № 3. - С. 105-118.

116. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976. — 576 с.

117. Кауэлл У. Зарубежные библиотеки и пакеты программ по вычислительной математике. — М.: Наука, 1993. — 344 с.

118. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. — М.: Мир, 1998. — 575 с.

119. Келли Г.Дж. Метод градиентов // Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета. — М.: Наука, 1965. — С. 101-116.

120. Кирин Н.Е. Вычислительные методы теории оптимального управления. Л.: Изд-во ЛГУ, 1968.

121. Кирин Н.Е. Методы последовательных оценок в задачах оптимизации управляемых систем. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1968.

122. Клир Д. Системология. Автоматизация решения системных задач. — М.: Радио и связь, 1990. — 539 с.

123. Комаров В.А. Об одном способе описания эволюции множества достижимости дифференциального включения // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1995. - Т. 211. - С. 235-242.

124. Комаров В. А. Об уравнении множеств достижимости дифференциальных включений // Дифф. уравнения. — 1988. — № 4. — С. 629694.

125. Комаров В.А. Оценки множества достижимости дифференциальных включений // Мат. заметки. — 1985. — Т. 37, Вып. 6. — С. 916925.

126. Комаров В. А. Уравнение множеств достижимости дифференциальных включений в задачах с фазовыми ограничениями // Тр. МИАН СССР. 1988. - Т. 185. - С. 116-125.

127. Комаров В.А., Певчих К.Э. Об одном методе аппроксимации множеств достижимости дифференциальных включений с заданной точностью // ЖВМ. 1991. - Т. 31, JV® 1. - С. 152-157.

128. Константинов Г.Н. Нормирование воздействий на динамические системы. — Иркутск: Изд-во ИГУ, 1983. — 187 с.

129. Корнейчук П.П. Сплайны в теории приближений. — Новосибирск: Наука, 1984. 352 с.

130. Корноушенко Е.К. Интервальные покоординатные оценки для множеств достижимых состояний линейной стационарной системы. Ч. 1,2 // АиТ. 1980. - № 5. - С. 12-22; № 12. - С. 10-17.

131. Коробов В. И. О сходимости одного варианта метода динамического программирования для задач оптимального управления // ЖВМ. — 1968. Т. 8, № 2. - С. 429-435.

132. Красовский A.A. и др. Справочник по теории автоматического управления. — М.: Наука, 1987. — 712 с.

133. Красовский H.H. Теория управления движением. — М.: Наука, 1968. 476 с.

134. Кротов A.A., Лупян Е.А. Обзор методов реструктуризации и интеграции информационных систем. — www.citforum.ru.

135. Кротов В.Ф. Вычислительные алгоритмы решения и оптимизации управляемых систем уравнений. Ч. 1,2 // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1975. - № 5. - С. 3-15; № 6. - С. 3-13.

136. Кротов В. Ф. Методы решения вариационных задач на основе достаточных условий абсолютного минимума. Ч. 1-4 // АиТ. — 1962. — Т. 23, № 12. С. 1571-1583; 1963. - Т. 24, № 5. - С. 581-598; № 7. -С. 826-843; 1965. - Т. 26, № 11. - С. 24-41.

137. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. — М.: Наука, 1973. — 446 с.

138. Кротов В.Ф., Фельдман И.Н. Итерационный метод решения задач оптимального управления // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. — 1983. № 2. - С. 160-168.

139. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Алгоритмы метода последовательных приближений для задач оптимального управления // ЖВМ. — 1972. № 1. - С. 14-34.

140. Крылов И. А., Черноусъко Ф.Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления // ЖВМ. — 1962. № 6. - С. 1132-1138.

141. Кузнецов С. Переносимость и интероперабельность информационных систем и международные стандарты. — www.citforum.ru.

142. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. — М.: Наука, 1977. — 392 с.

143. Куржанский А.Б., Никонов O.E. К задаче синтеза стратегий управления. Эволюционные уравнения и многозначное интегрирование // Докл. АН СССР. 1990. - Т. 311, № 4. - С. 788-793.

144. Куржанский А.Б., Филиппова Т.Ф. Об описании множества выживающих траекторий дифференциального включения // Докл. АН СССР. 1986. - Т. 289, № 1. - С. 38-41.

145. Куржанский А.Б., Филиппова Т.Ф. Об описании множества выживающих траекторий управляемой системы // Дифф. уравнения. — 1987. Т. 23, № 8. - С. 1303-1315.

146. Куржанский А.Б., Филиппова Т.Ф. Об описании пучка выживающих траекторий дифференциального включения // Докл. АН СССР. 1986. - Т. 279, № 1.

147. Курина Г.А. О поведении множеств достижимости линейных мат-рично сингулярно возмущенных систем // Тр. Мат. ин-та РАН. — 1995. Т. 211. - С. 316-325.

148. Ладыженский Г.М. Системы управления базами данных — коротко о главном // СУБД. 1995. - № 1-4.

149. Ларичев О.И., Горвиц Г.Г. Методы поиска локального экстремума овражных функций. — М.: Наука, 1990. — 95 с.

150. Левин М.Г. Программное обеспечение для решения задач численного анализа на СМ ЭВМ. — Кишинев: Штиинца, 1991. — 238 с.

151. Легонькое В. И. О построении программного обеспечения вычислительного эксперимента // Пакеты прикладных программ. Вычислительный эксперимент. — М.: Наука, 1983. — С. 83-99.

152. Легонькое В. И. О построении программного обеспечения вычислительного эксперимента // Алгоритмы и алгоритмические языки. Пакеты прикладных программ. Вычислительный эксперимент. — М.: Наука, 1983. С. 86-101.

153. Легонькое В. И. Проблемы и пути разработки программного обеспечения вычислительного эксперимента // Комплексы программ математической физики и архитектура ЭВМ: Тр. школы-семинара. — Красноярск: ВЦ АН СССР, 1988. С. 218-234.

154. Летов A.M. Динамика полета и управления. — М.: Наука, 1969. — 259 с.

155. Лотов A.B. О понятии обобщенных множеств достижимости и их построении для линейных управляемых систем // Докл. АН СССР. 1980. - Т. 250, № 5. - С. 1081-1083.

156. Лотов A.B. Численный метод построения множеств достижимости для линейной управляемой системы // ЖВМ. — 1972. № 3. -С. 785-788.

157. Лотов A.B. Численный метод построения множеств достижимости для линейных управляемых систем с фазовыми ограничениями // ЖВМ. 1975. - Т. 1, № 1. - С. 67-78.

158. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. — М.: Наука, 1986. — 232 с.

159. Любушин A.A., Черноусько Ф.Л. Метод последовательных приближений для расчета оптимального управления // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. - № 2. - С. 147-159.

160. Майерс Г. Искусство тестирования программ. — М.: Финансы и статистика, 1982. — 176 с.

161. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1980.

162. Массель Л.В., Болдырев Е.А. Моделирование и разработка современных программных комплексов (на примере исследования проблемы энергетической безопасности) // Вычислительные технологии. 2002. - Т. 7, № 4. - С. 59-70.

163. Масселъ Л.В., Болдырев Е.А., Горнов А.Ю. и др. Интеграция информационных технологий в системных исследованиях энергетики / Под ред. Н.И. Воропая. — Новосибирск: Наука, 2003. — 320 с.

164. Масселъ Л.В., Горнов А.Ю., Батурин В.А. Интеграция математических и информационных технологий: методический подход и опыт реализации // Вычислительные технологии. — 2003. — Т. 8. — С. 206-213.

165. Масселъ Л.В., Горнов А.Ю., Подкаменный Д.В. Создание вычислительных ресурсов в Internet на основе унаследованного программного обеспечения // Вычислительные технологии. — 2002. — Т. 32, № 4. С. 247-253.

166. Математическая энциклопедия: В 5 томах / Под ред. И.М. Виноградова. — М.: Сов. энциклопедия, 1982.

167. Матросов В.М. и др. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости. — М.: Наука, 1987. — 312 с.

168. Мелик-Гайзакян И.В., Мелик-Гайзакян М.В., Тарасенко В.Ф. Методология моделирования нелинейной динамики сложных систем. — М.: Физматлит, 2001. 272 с.

169. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: математические основы. — М.: Мир, 1978. — 311 с.

170. Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов в примерах и задачах. — М.: Физматлит, 2002. — 320 с.

171. Моисеев H.H. Математика ставит эксперимент. — М.: Наука, 1979. — 224 с.

172. Моисеев H.H. Универсум, информация, общество. — М.: Устойчивый мир, 2001. 200 с.

173. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. — М.: Наука, 1971. 424 с.

174. Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем. — М.: Наука, 1975. 488 с.

175. Моисеев H.H., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. — М.: Наука, 1975. — 526 с.

176. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимации в задачах оптимизации и управления. — М.: Наука, 1988. — 360 с.

177. Москаленко А. И. Методы нелинейных отображений в оптимальном управлении. — Новосибирск: Наука, 1983. — 222 с.

178. Немировский A.C., Юдин Д.Б. Сложность задач и эффективность методов оптимизации. — М.: Наука, 1979.

179. Немировский A.C., Юдин Д.Б. Информационная сложность математического программирования // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1983. - № 1. - С. 88-117.

180. Нестеров Ю.Е. Эффективные методы в нелинейном программировании. — М.: Радио и связь, 1989. — 302 с.

181. Нивергельт Ю., Фаррар Дж., Рейнгольд Э. Машинный подход к решению математических задач. — М.: Мир, 1979. — 351 с.

182. Никольский М.С. Об аппроксимации множества достижимости для управляемого процесса // Мат. заметки. — 1987. — Т. 41, № 1. — С. 71-76.

183. Никольский М.С. Об одном методе аппроксимации множества достижимости для управляемого процесса // ЖВМ. — 1988. — Т. 28, № 8. С. 1252-1254.

184. Никольский М.С. Об оценке множества достижимости нелинейного управляемого объекта изнутри // Дифф. уравнения. — 1999. — Т. 35, № 11. С. 1487-1491.

185. Нурминский Е.А. Численные методы выпуклой оптимизации. — М.: Наука, 1991.

186. Овсеевич А.И., Черноусько Ф.Л. Двусторонние оценки ОД управляемых систем // ПММ. 1982. - Т. 46, Вып. 5. - С. 737-744.

187. Огнивцев С. Б. Метод построения множества достижимости для линейных управляемых систем с фазовыми ограничениями // ЖВМ. 1977. - № 5. - С. 1311-1315.

188. Опарин Г.А., Феоктистов А.Г., Новопашин А.П. Инструментальные системы организации распределенных вычислений в сети Интернет (обзор). Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2002. - 38 с.

189. Опарин Г.А., Феоктистов Д. Г. Генерация управляющей программы пакета прикладных программ в метасистеме САТУРН // Пакеты прикладных программ. Технология разработки. — М.: Наука, 1984. С. 4-14.

190. Орлов В.Я., Поляк Б.Т., Ребрий В.А., Третьяков Н.В. Опыт решения задач оптимального управления // Выч. методы и программирование. 1967. - Вып. 9. - С. 179-192.

191. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. — М.: Мир, 1991. — 367 с.

192. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения систем уравнений со многими неизвестными. — М.: Мир, 1975.

193. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. — М.: Изд-во МГУ, 1999. — 237 с.

194. Панасюк А.И. Дифференциальное уравнение невыпуклых множеств достижимости // Мат. заметки. — 1985. — Т. 37, № 5. — С. 717-726.

195. Панасюк А.И. Необходимое и достаточное условие выпуклости множеств достижимости дифференциальных включений // Мат. заметки. 1987. - Т. 41, № 2. - С. 207-215.

196. Панасюк А.И. Уравнение множеств достижимости // Сиб. мат. журн. 1986. - Т. 25, № 4. - С. 143-154.

197. Панасюк А.И., Панасюк В.И. Асимптотическая магистральная оптимизация управляемых систем. — Минск: Наука и техника, 1986. — 296 с.

198. Панасюк А.И., Панасюк В.И. Об одном уравнении, порождаемом дифференциальным включением // Мат. заметки. — 1980. — Т. 27, № 3. С. 429-437.

199. Панасюк А.И., Панасюк В.И. Уравнение областей достижимости и их применение в задачах оптимального управления // АиТ. — 1982. № 5. - С. 67-68.

200. Пененко В.В., Поттосин И.В., Светланова Ф.Г. Принципы построения базового системного обеспечения пакетов прикладных программ // Пакеты прикладных программ. Системное наполнение. — М.: Наука, 1984. С. 12-28.

201. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ. — М.: Высшая школа, 1989. — 367 с.

202. Петров Ю.П. Изменение корректности при эквивалентных преобразованиях математических моделей // Сорос, обр. журн. — 2000. — Т. 6, № 12. С. 114-118.

203. Петров Ю.П. Оптимальное управление электроприводом. — Л.: Энергия, 1971. С. 49-50.

204. Петров Ю.П., Петров Л.Ю. Неожиданное в математике и его связь с авариями и катастрофами последних лет. — СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000. 115 с.

205. Подкаменный Д.В., Болдырев Е.А., Горнов А.Ю. Разработка удаленного доступа к пакету прикладных программ для решения задач оптимального управления // Тр. II Межрег. школы-семинара "Распределенные кластерные вычисления". — Красноярск, 2002. — С. 1-8.

206. Подчукаев В.А. К задаче определения возможных состояний нестационарной линейной системы // АиТ. — 1975. — № 7. — С. 187-189.

207. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. — М.: Наука, 1975. 464 с.

208. Пойа Д. Математическое открытие. — М.: Наука, 1976. — 448 с.

209. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. — М.: Мир, 1974.

210. Половинкин Е.С. Необходимые условия в задаче оптимизации с дифференциальным включением // Тр. Мат. ин-та РАН. — 1995. — Т. 211. С. 387-400.

211. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. — М.: Наука, 1983. — 382 с.

212. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002. - 303 с.

213. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.В. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1961. 384 с.

214. Попов B.C., Федоренко Р.П. О стандартной программе решения задач оптимального управления. — М., 1983. — 32 с. — (Препринт / ИПМ АН СССР).

215. Попов B.C., Федоренко Р.П. Комплекс программ для приближенного решения задач оптимального управления (Описание применения). М.: ИПМ АН СССР, 1984. - 56 с.

216. Прангишвили И.И., Виленкин С.Я., Медведев И.Л. Параллельные вычислительные системы с общим управлением. — М.: Энергоатом-издат, 1983.

217. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия. Введение. М.: Мир, 1989. - 478 с.

218. Приходько А.П. О множествах достижимости в банаховом пространстве // Вестник Харьков, ун-та. — 1979. — № 177. — С. 27-35.

219. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. — М.: Наука, 1973. 255 с.

220. Пшеничный Б.П. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. — М.: Наука, 1980.

221. Пшеничный В.Н. Метод линеаризации. — М.: Наука, 1979. — 208 с.

222. Пшеничный В.Н. Необходимые условия экстремума. — М.: Наука, 1982.

223. Пшеничный В.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. — М.: Наука, 1975.

224. Ракитский Ю.В., Устинов C.M., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. — М.: Наука, 1979. — 208 с.

225. Розанов М.Н., Кучеров Ю.Н. Модель анализа надежности основных сетей ЕЭЭС, содержащих передачи постоянного тока // Анализ и оптимизация надежности объединенных энергосистем. — Фрунзе, 1985. С. 44-46.

226. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. — М.: Наука, 1989. 432 с.

227. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. — М.: Физматлит, 2001. — 320 с.

228. Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. — М.: Мир, 1973. — 244 с.

229. Сейдж Э.П., Уайт Ч.С.Ш. Оптимальное управление системами. — М.: Радио и связь, 1982.

230. Сейсов Ю.Б., Шагаев Ч. Условия выпуклости множества достижимости // Известия Туркмен. АН СССР. 1978. - № 6. - С. 3-8.

231. Сидоренко Г. В. Уточнение оценки нижней грани функционала в задаче оптимального управления // Сб. тр. Всерос. науч. школы. — Иркутск, 1995. Т. 4.

232. Скоков В. А. Некоторый вычислительный опыт решения задач нелинейного программирования // Математические методы решения экономических задач. — М.: Наука, 1977. — Т. 7. — С. 51-69.

233. Скоков В.А., Нестеров Ю.Е., Пурмаль Е.И. Пакет анализа оптимизационных экономических моделей — ППП "ПАОЭМ ЕС ЭВМ". Нелинейное программирование. — М.: ЦЭМИ АН СССР, 1980. — 55 с.

234. Советский энциклопедический словарь / Под ред. A.M. Прохорова. — М.: Сов. энциклопедия, 1981. — 1600 с.

235. Срочко В.А. Вариационный принцип максимума и методы линеаризации в задачах оптимального управления. — Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1989. — 160 с.

236. Срочко В.А. Вычислительные методы оптимального управления. — Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1982. — 110 с.

237. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. — М.: Физматлит, 2000. — 160 с.

238. Стечкин C.B., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. — М.: Наука, 1976. — 248 с.

239. Столяров Л.Н., Кукушкина О.В., Поликарпов А.А., Столярова Е.М. Новостная машина для экспресс-анализа текстовых потоков электронных СМИ. М., 2004. - 12 с. - (Препринт / МФТИ).

240. Столяров Л.Н., Новик К.В. Joiner-сеть для моделирования взаимодействующих параллельных процессов. — М., 2005. — 4 с. — (Препринт / МФТИ).

241. Столяров JI.H., Новик K.B. Струйный анализ временных рядов // Моделирование процессов управления и обработки информации. — М.: МФТИ, 1999. С. 198-212.

242. Стрекаловский A.C. Минимизация разности двух выпуклых функций. — Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 2002. — 52 с.

243. Стрекаловский A.C., Шаранхаева Е.В. О невыпуклой задаче оптимального управления // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2005. - Т. 45, № 10. - С. 1785-1800.

244. Стронгин Р. Г. Численные методы многоэкстремальной оптимизации. М.: Наука, 1978. - 238 с.

245. Стуруа Б. Г. О структуре множества достижимости для управляемых систем с инерцией // Мат. заметки. — 1991. — Т. 49, № 2. — С. 150-151.

246. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. — М., 1981.

247. Суслов С.И. О выпуклости достижимых множеств одного класса динамических систем // Управляемые системы. — Новосибирск, 1979. № 18. - С. 59-64.

248. Сухарев А.Г., Тимохов A.B., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. — М.: Наука, 1986.

249. Табак Д., Куо В. С. Оптимальное управление и математическое программирование. — М.: Наука, 1975. — 216 с.

250. Талдыкин А.Т., Уланова ТА. Об управлении пучком траекторий с помощью систем функций // Дифф. уравнения. — 1981. № 6. -С. 1132-1134.

251. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. - 288 с.

252. Толстоногое A.A. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. — Новосибирск: Наука, 1986. — 295 с.

253. Толстоногое A.A. Об уравнении интегральной воронки дифференциального включения // Мат. заметки. — 1982. — Т. 32, № 6. — С. 841-852.

254. Толстоногое A.A. О структуре множества решений дифференциального включения с невыпуклой правой частью // УМН. — 1981. — № 4. С. 226-227.

255. Толстоногое A.A. Свойства множеств достижимости эволюционных включений и управляемых систем субдифференциального типа // Сиб. мат. журн. 2004. - Т. 45, № 4. - С. 920-945.

256. Труды Междунар. конф. "Идентификация систем и задачи управления". SICPRO-2000. 26-28 сентября 2000 г. М.: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2000.

257. Турчак Л.М., Плотников П.В. Основы численных методов. — М.: Физматлит, 2002. — 304 с.

258. Тятюшкин А.И. Численные методы решения задач оптимального управления с ограничениями на фазовые координаты // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 1998. — N2 2. — С. 127-133.

259. Тятюшкин А.И. Мультиметодная технология и параллельные вычисления в задачах оптимального управления // Тр. XII Байкальской Междунар. конф. "Методы оптимизации и их приложения". — Иркутск, 2001. Т. 2. - С. 172-178.

260. Тятюшкин А.И. Мультиметодные алгоритмы для численного решения задач оптимального управления //Тр. АНН "Нелинейные науки на рубеже тысячелетий". — 2001. — С. 79-94.

261. Тятюшкин А.И. Мультиметодные алгоритмы оптимизации управления // Материалы науч.-метод. семинара "Информационные технологии в образовании и науке". — Иркутск, 2001. — С. 52-54.

262. Тятюшкин А.И. Параллельные алгоритмы для расчета оптимального управления // Тр. III Междунар. конф. "Проблемы управления и моделирования в сложных системах". — Самара: ИПУСС РАН, 2001. С. 265-271.

263. Тятюшкин А.И. Параллельные вычисления в задачах оптимального управления // Сиб. ЖВМ СО РАН. Новосибирск, 2000. - Т. 3, № 2. - С. 181-190.

264. Тятюшкин А.И. ППП КОНУС для оптимизации непрерывных управляемых систем // Пакеты прикладных программ: Опыт использования. — М.: Наука, 1989. — С. 63-83.

265. Тятюшкин А. И. Численные методы и программные средства оптимизации управляемых систем. — Новосибирск: Наука, 1992. — 193 с.

266. Тятюшкин А.И. Численные методы решения задач оптимального управления с ограничениями на фазовые координаты // Изв. АН. Теория и системы управления. — 1998. — № 2. — С. 127-133.

267. Уилкинсон Дж., Райнш К. Справичник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. — М.: Машиностроение, 1976. — 389 с.

268. Уолш Д. Руководство по созданию документации для математического обеспечения. — М.: Наука, 1975. — 128 с.

269. Ушаков В.Н., Хрипунов А.П. О приближенном построении интегральных воронок дифференциальных включений // ЖВМ. — 1994. Т. 34, № 7. - С. 965-977.

270. Уэйт М., Прата С., Мартин Д. Язык Си. М.: Мир, 1988. - 512 с.

271. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. — М.: Наука, 1978. 488 с.

272. Федоров В.В. Численные методы максимина. — М.: Наука, 1979.

273. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с многозначной разрывной правой частью // Докл. АН СССР. 1963. - Т. 151, № 1. -С. 65-68.

274. Фокс Дж. Программное обеспечение и его разработка. — М.: Мир, 1985. 368 с.

275. Формалъский A.M. Об угловых точках границ областей достижимости // ПММ. 1983. - Т. 47, Вып. 4. - С. 566-574.

276. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. — М.: Мир, 1980. — 279 с.

277. Хайлов E.H. Параметризация множества управляемости линейной динамической системы // Тр. Мат. ин-та РАН. — 1995. — Т. 211. — С. 401-410.

278. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений // Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. М.: Мир, 1999. - 685 с.

279. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. — М.: Мир, 1990. — 512 с.

280. Хакен Г. Информация и самоорганизация.— М.: Мир, 1991.

281. Химмелъблау Д. Прикладное нелинейное программирование. — М.: Мир, 1975. 534 с.

282. Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1979. — 312 с.

283. Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М.: Мир, 1991. — 368 с.

284. Хофер Э., Лундерштедт Р. Численные методы оптимизации. — М.: Машиностроение, 1981. — 192 с.

285. Хрусталее М.М. Необходимые и достаточные условия оптимальности в форме уравнения Беллмана // Докл. АН СССР. — 1978. — Т. 242, № 5. С. 1023-1026.

286. Хрусталее М.М. Точное описание множеств достижимости и условия глобальной оптимальности динамических систем // АиТ. — 1988. № 5. - С. 62-70; № 7. - С. 70-80.

287. Челиковскы С. Множество достижимости для билинейных систем // Вестник МГУ. Вычисл. математика и кибернетика. — 1985. № 4. - С. 52-57.

288. Ченцов А.Г. Допустимые множества и их релаксации. I: Краевые задачи. — Пермь: Перм. политех, ин-т, 1990. —- С. 185-196.

289. Черкашин А.К. Модель динамики лесонасаждений лесхоза и ее применение для решения прогнозных задач // Планирование и прогнозирование природно-экономических систем. — Новосибирск: Наука, 1984. С. 69-81.

290. Черкашин А.К., Горнов А.Ю. Оптимизация лесопользования в таежных лесах лесосырьевой базы Усть-Илимского ЛПК // Оптимизация геосистем. — Иркутск: Ин-т географии СО АН СССР, 1991. — С. 99-112.

291. Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988. - 319 с.

292. Черноусько Ф.Л. Эллипсоидальные оценки области достижимости управляемой системы // ПММ. — 1981. — Т. 45, Вып. 1. — С. 11-19.

293. Черноусько Ф.Л., Баничук В. П. Вариационные задачи механики и управления. — М.: Наука, 1973. — 238 с.

294. Чичинадзе В.К. Решение невыпуклых нелинейных задач оптимизации. М.: Наука, 1983. - 256 с.

295. Шатровский Л. И. Об одном численном методе решения задач оптимального управления // ЖВМ. 1962. - Т. 2, № 3. - С. 488-491.

296. Шкондин А.И. Параметрическое представление интегральной воронки дифференциального включения // ЖВМ. — 1998. — Т. 38, № И. С. 1795-1800.

297. Энеев Т.М. О применении градиентного метода в задачах оптимального управления // Космические исследования. — 1986. — № 5. — С. 651-669.

298. Agrachev A.A., Gamkrelidze R.V. Symplectic methods for optimizations and control // Geometry of feedback and optimal control. N.Y.: M. Dekker, 1998. - P. 19-77.

299. Barzilai J., Borwein J.M. Two point step size gradient methods // IMA J. of Numerical Analysis. 1988. - № 8. - P. 141-148.

300. Behrens D., Caulkins J.P., Tragler G., Haunschmied J.L., Feichtinger G. A dynamic model of drug initiation: implications for treatment and drug control // Mathematical Biosciences. — 1999. — Vol. 159. P. 1-20.

301. Betts J.T. Practical Methods for Optimal Control Using Nonlinear Programming. Philadelphia: SIAM, 2001. - 190 p.

302. Birgin E., Evtushenko Yu.G. Automatic Differentiation and Spectral Projected Gradient Methods for Optimal Control Problems // Optimization Methods k Software. 1998. - Vol. 10, № 2. - P. 125146.

303. Blatt M., Schittkowski K. PDECON: A FORTRAN code for solving optimal control problems based on ordinary, algebraic and partialdifferential equations: Report, Department of Mathematics, University of Bayreuth, 1997.

304. Bondarenko A., Bortz D., More J. A Collection of Large — Scale Nonlinearly Constrained Optimization Test Problems // Optimization Online. — 1998. — Vol. 20. — citeseer.ist.psu.edu/383097.html.

305. Bressan A., Piccoli B. A Baire Category Approach to the Bang-Bang Property: Ref. S.I.S.S.A. 70/92/M. 21 p.

306. Bressan A., Colombo G. Generalized Baire category and differential inclusions in Banash spaces //J- Differential Equations. — 1988. — Vol. 76. P. 135-158.

307. Brockett R. W. On the reachable set for bilinear systems // Lect. Notes Econ. and Math. Syst. 1975. - Vol. 111. - P 54-63.

308. Buckley A. A portable package for testing minimization algorithms // Proc. of COAL Conf. on Math. Progr. Colorado, 1982.

309. Cellina A., Ornelas A. Representation of the Attainable Set for Lipschitzian Differential Inclusions // Rocky mountain J. Math. — 1992. Vol. 22, № 1. - P. 117-124.

310. Chernousko F.L. Ellipsoidal Bounds on Solutions of linear Differential Equations with Uncertain Matrices // Proc. of the Intern. Workshop. Pereslavl-Zalessky, Sept. 7-11, 1998. Pereslavl-Zalessky, 1998. - P 5.

311. Cowell W.R., Fosdick L.D. A Program for Development of High Quality Mathematical software // University of Colorado Department of Computer Science Report CU-CS-070-75. 1975.

312. Cowell W.R., Fosdick L.D. Mathematical software production. Mathematical software. III. — Academic Press, 1977. — P. 195-224.

313. Crowder H.P., Dembo R.S., Mulvey J.M. Reporting computational experiments in mathematical programming // Math. Programming. — 1978. Vol. 15. - P. 316-329.

314. Czyzyk J., Mesnier M., More J. The NEOS (Network-Enabled Optimization System) Server: Technical Report 97/02, Optimization Technology Center, February 1997.

315. Dadebo S., Luus R. Optimal control of time-delay systems by dynamic programming // Optimal Control Application & Methods. — 1992. — № 13. P. 29-41.

316. Denkowski Z., Migorski S., Mortola S. Differential inclusions and minimizing movements. — Pisa, 1993. — (Preprint / SNS Pisa; № 36).

317. DiPillo G., Grippo L. A new class of augmented Lagrangians in nonlinear programming // S.J.C.O. 1979. - № 17. - P. 618-628.

318. Dmitriev M.G., Soltanov S.T. Asymptotics of Outer Attainability Sets Ellipsoidal Estimates for Linear Singularity Perturbed Control Systems // Proc. of the Intern. Workshop. Pereslavl-Zalessky, Sept. 711, 1998. Pereslavl-Zalessky, 1998. - P. 6.

319. Donchev A.L., Farkhi E.M. Error estimates for discretized differential inclusions // Computing. 1989. - Vol. 41. - P. 349-358.

320. Dontchev A.L., Hager W. W. Euler approximation of the feasible set // Numer. Funct. Anal, and Optimiz. 1994. - Vol. 15, № 3&4. - P. 245261.

321. Donchev A.L., Lempio F. Difference methods for differential inclusions: A survey // SIAM Rev. 1992. - Vol. 34, № 2.

322. Feichtinger G., Gornov A.Yu., Bockmelder E.P. An Approach to Mathematical Modelling of Age-Specific Social and Economic Processes // Тр. XII Байкальской Междунар. конф. "Методы оптимизации и их приложения". — Иркутск, 2001. — Т. 2. — С. 216-221.

323. Figurina T.Yu., Ovseevich A.L. Limit Behavior of Attainable Sets of Singularity Perturbed Linear Control Systems // Proc. of the Intern. Workshop. Pereslavl-Zalessky, Sept. 7-11, 1998. — Pereslavl-Zalessky, 1998. P.6-8.

324. Fletcher R. Practical Methods of Optimization. Vol. 1, 2. N.Y., 1980; 1981.

325. Floudas C.A., Pardalos P.M. A Collection of Test Problems for Constrained Global Optimization Algorithms. — Springer-Verlag, 1990. 180 p.

326. Ford B. Parameterization of the environment for transportable numerical software // ACM Trans, on Numer. Soft. — 1978. № 4. -P. 100-103.

327. Forsythe G. Algorithms for scientific computations // Comm. ACM. — 1966. № 9. - P. 255-256.

328. Frankowska H. Contingent cones to reachable sets of control systems // SIAM J. Contr. and Optimiz. 1989. - Vol. 27, № 1. - P. 170-198.

329. Gill P.E., Murray W., Picken S.M., Wright M.H. The design and structure of a Fortran program library for optimization // ACM Trans, on Math. Soft. 1979. - № 5. - P. 259-283.

330. Gornov A.Yu. On a Class of Algorithms for Constructing Internal Estimates of Reachable Set // Proc. of the Intern. Workshop DIC-98. Pereslavl-Zalessky, Sept. 7-11, 1998. Pereslavl-Zalessky, 1998. -P. 10-12.

331. Grienwank A.O. Generalized descent for global optimization // J. Optimiz. Theory and Applic. 1981. - Vol. 34, № 1. — P. 11-39.

332. Griewank A. On Automatic Differentiation // Mathematical Programming: Recent Developments and Applications. — Kluwer Academic Publ., 1989. P. 83-108.

333. Grippo L., Lampariello F., Lucidi S. A nonmonotone line search technique for Newton's method // SIAM J. on Numerical Analysis. — 1986. Vol. 23. - P. 707-716.

334. Gurman V.l. Representation of Relaxed Control Systems // Proc. of the Intern. Workshop. Pereslavl-Zalessky, Sept. 7-11, 1998. — Pereslavl-Zalessky, 1998. P. 12-14.

335. Hackl G. Reachable sets, Control Sets and their Compupation: Dissertation. — Universität Augsburg, Augsburger Mathematische Schriften Bend, 1996.

336. Hajek 0., Loparo K.A. Bilinear control: geometric properties of reachable sets // Lect. Notes Econ. and Math. Syst. — 1988. — Vol. 302. P. 262-273.

337. Han S.P., Mangasarian O.L. Exact penalty function in nonlinear programming // Math. Programming. — 1979. — № 17. — P. 251-269.

338. Hock W., Schittkowski K. Test examples for Nonlinear Programming Codes // Lecture Notes in Economics and Math. Systems. Vol. 187. — N.Y.: Springer-Verlag, 1981. 177 p.

339. Program Direcyions for Computational Mathematics: Unnumbered report. Dept. of Energy / Ed. by R.E. Huddleston. — Washington, D.C., 1979.

340. Jacson R., Mulvey J. A critical review of comparisons of mathematical programming algorithms and software (1953-1977) // J. of Research of the National Bureau of Standards. 1978. - Vol. 83, № 6. - P. 563-584.

341. Junkins J.L., Turner J.D. Optimal Continuous Torgue Attitude Maneuvers // Paper 78-1400 AIAA Astrodynamic Conf. Paloalto. — Calif, 1978.

342. Kastner-Maresch A. Implicit Runge-Kutta methods for differential inclusions // Numer. Funct. Anal, and Optimiz. — 1991. — Vol. 11, №- 9/10.

343. Krener A. J., Schattier H. The structure of small-time reachable sets in low dimensions // SIAM J. Contr. and Optim. 1989. Vol. 27, №1.-P. 120-147.

344. Krotov V.F. Global methods in optimal control theory. — N.Y.: Marcel Dekker Inc., 1996.

345. Kurzhanski A.B. On Reachability Problems for Uncertain Systems // Proc. of the Intern. Workshop. Pereslavl-Zalessky, Sept. 7-11, 1998. — Pereslavl-Zalessky, 1998. P. 14-17.

346. Kurzhanski A.B., Valyi I. Ellipsoidal techniques for dynamic systems: Control synthesis for uncertain systems // Dynamics and Control. — 1992. Vol. 2, № 2. - P. 87-111.

347. Kurzhanski A.B., Valyi I. Ellipsoidal techniques for dynamic systems // Dynamics and Control. 1991. - Vol. 1. - P. 357-378.

348. Lempio F. Modified Euler methods for differential inclusions // Proc. of Workshop on Set-Valued Anal. Bulgaria, Sept. 17-21, 1990. -Pamporovo (Bulgaria), 1990.

349. Lempio F. Euler's method revisited // Тр. Мат. ин-та РАН. — 1995. — Т. 211. С. 473-494.

350. Lotov A.V. Generalized reacable sets method in multiple criteria problems // Methodology and Software for Interactive Decision Support. N.Y.: Springer, 1986. - Vol. 337,- P. 250-256.

351. Lyness J.N. A benchmark experiments for minimization algorithms // Math. Сотр. 1979. - № 33. - P. 249-264.

352. Mayne D.O., Polak E. First order strong variation algorithms for optimal control // JOTA. 1975. - Vol. 16, № 3/4. - P. 277-301.

353. Miller H. W. Reengineering Legacy Software Systems. — Digital Press, 1998. 250 p.

354. More J.J. Notes on optimization software // Technical Report of NATO Advanced Research Institute Conf. on Nonlinear optimizatiom, Cambridge (UK), 1981 / Ed. by M.J.D. Powell. N.Y.: Academic Press, 1982. - P. 339-352.

355. More J. J., Garbow B.S., Hillstrom K.E. Testing unconstrained optimization software // ACM Trans, on Math. Soft. — 1981. — Vol. 7, № 1. P. 17-41.

356. More J.J., Wright S.J. Optimization Software Guide. — Philadelphia; Pennsylvania: SIAM Publications, 1993.

357. Murtagh B.A., Saunders M.A. MINOS 5.4 User's Guide: Report SOL 83-20R, Systems Optimization Laboratory, Stanford University, December 1983 (revised February 1995). — 135 p.

358. Newbery A.C.R. The Boeing library and handbook of mathematical routines // Mathematical Software. — 1971. — P. 153-169.

359. Niepage H.-D., Wendt W. On the discrete convergence of multistep methods for differential inclusions // Numer. Funct. Anal, and Optimiz. 1987. - Vol. 9, № 5/6. - P. 591-617.

360. Nikolskii M.S. Some Theorems about Govering and their Applications for Estimations of Reachable sets from within // Proc. of the Intern.

361. Workshop. Pereslavl-Zalessky, Sept. 7-11, 1998. — Pereslavl-Zalessky, 1998. P. 17-19.

362. Raczynski S. Differential Inclusions in System Simulation // Transaction of the SCS. 1996. - Vol. 13, № 1. - P. 47-54.

363. Rice J.R. Software for numerical computation // Research Directions in Software Technology. Cambrige, 1979. - P. 688-708.

364. Runge C. Ueber die numerische Auflösung von Differentialgleichungen // Math. Ann. 1895. - Bd. 46, № 2. -S. 167-178.

365. Schittkowski K. Nonlinear Programming Codes. — Berlin: SpringerVerlag, 1980. 242 p.

366. Schwartz A., Polak E. Consistent approximations for optimal control problem based on Runge-Kutta integration // SIAM J. Control Optimization. — 1996. Vol. 34, № 4.

367. Schweiger V., Rojnuckarin A., Floudas C.A. MINOPT: A Software Package for Mixed-Integer Nonlinear Optimization. — Princeton: Princeton University, 1996.

368. Shekel J. Test function for multimodal search technique // Proc. of 5th Princeton Conf. Inform. Sei. Systems. — Princeton, 1971. — P. 354-359.

369. Sidorenko G.V., Verkhozina I.O. Estimation of the Solutions to the Integral Funnel Equations // Proc. of the Intern. Workshop. Pereslavl-Zalessky, Sept. 7-11, 1998. Pereslavl-Zalessky, 1998. - P. 19-21.

370. Smith B.T., Boyle J.M., Cody W.J. The NATS approach to quality software // Software for Numer. Math. / Ed. by D.J. Evans. — N.Y.: Academic Press, 1974. P. 393-405.

371. Taubert K. Converging multistep methods for initial value problems involving multivalued maps // Computing. — 1981. — Vol. 27. — P. 123136.

372. Teo K.L., Goh C.J., Wong K.H. A Unified Computational Approach to Optimal Control Problems // Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics. — N.Y.: John Wiley & Sons, 1991.

373. Tjatjushkin AT. The Multiprocessor Technology of a Search for Optimal Control // Proc. of the Intern. Workshop. Pereslavl-Zalessky, Sept. 711, 1998. Pereslavl-Zalessky, 1998. - P. 72-74.

374. Tolstonogov A.A. Topological Properties of the "State-Control" Pairs for Nonlinear First Order Evolution Control Systems and their Applications // Proc. of the Intern. Workshop. Pereslavl-Zalessky, Sept. 7-11, 1998. Pereslavl-Zalessky, 1998. - P. 21.

375. Towards Global Optimization / Ed. by L.C.W. Dixon, G.P. Szegö. — Amsterdam: North-Holland Publ. Company, 1978. — 363 p.

376. Towards Global Optimization. 2 / Ed. by L.C. W. Dixon, G.P. Szegö. — Amsterdam: North-Holland Publ. Company, 1978. — 400 p.

377. Vakhrameev S.A. On the reachable sets and bang-bang theorems for nonlinear smooth control systems of constant rank // Proc. of First Asian. Contr. Conf. (ASCC). Tokyo, July 27-30, 1994.

378. Valyi I. Ellipsoidal approximations in problems of control // Modelling and adaptive control. N.Y.: Springer-Verl., 1988. - P. 361-384.

379. Vasiliev 0. V. Optimization methods. — Florida: World Federation Publisher Comp., 1996.

380. Veliov V.M. Second order discrete approximation to strongly convex differential inclusions // Syst. and Control Lett. — 1989. — Vol. 13. — P. 263-269.

381. Winter R. A characterization of the reachable set for non-linear control systems // SIAM J. Contr. and Optimiz. 1980. - № 6. - P. 599-610.