автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Вычисление интегральных характеристик эллипсоидоподобных геометрических объектов по разновидностям их проекций

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ДОНЕЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Р

го од

лт?»*гііапа їм; пгтш о;.№гчг,:„

Л1Ш иіі\і0ріл иил 1>ДПКімршіги

УДК 515.2

ОБЧИСЛЕННЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЕЛШСОЇДОПОДІБНИХ ГЕОМЕТРИЧНИХ ОБ’ЄКТІВ ЗА РІЗНОВИДАМИ ЇХ ПРОЕКЦІЙ

Спеціальність 05.01.01 - прикладна геометрія, інженерна графіка

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

Донецьк - 2000

Дисертацією е рукопис.

Робота виконана в Харківському державному політехнічному університеті Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: - доктор технічних наук, професор Куцснко Леонід Миколайович, професор кафедри пожежної техніки, Харківський інститут пожежної безпеки МВС України

Офіційні опоненти: - доктор технічних наук, доцент Найдииі Андрій Володимирович, завідувач кафедри прикладної математики і обчислювальної техніки,

Таврійська державна агротехнічна академія, м. Мелітополь;

кандидат технічних наук, професор Седлецька Наталя Іванівна, професор кафедри нарисної геометрії, інженерної і машинної графіки,

Київський національний університет будівництва і архітектури

Провідна організація: - Національний технічний університет України

(Київський політехнічний інститут), кафедра нарисної геометрії, інженерної і машинної графіки, Міністерство освіти і науки України, м. Київ.

Захист відбудеться “ /2" ЖОбії)НД 2000 р. о /3 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 11.052.04 у Донецькому державному технічному університеті за адресою: 83000, Донецьк - 00, вул. Артема 58, ауд. 6.202

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Донецького державного технічного університету за адресою: 83000, Донецьк - 00, вул. Артема 58, кор. 2

Автореферат розісланий “ <9 ” дРРРСНА 2000 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради '"/£¿'£2^ Івченко Т.Г.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Становлення виробничого потенціалу України «можливе без інформаційного забезпечення систем автоматизованого проектування діагностичних центрів, спроможних провадити комплексний аналіз властивостей різноманітних виробів. У широкому розумінні кожному промисловому виробу - як геометричному об’єкту - притаманні щонайменше три характеристики: форма, чміст і вплив на оточуючі об’єкти. Це відповідає основним філософським <атегоріям, що пояснюють взаємний зв’язок упорядкованої сукупності елементів та процесів, які утворюють предмет або явище. Так, категорія форми дає уяву про геометричну форму об’єкта та його інтегральні характеристики (об’єм і площу поверхні). Категорія вмісту характеризує речовину, з якої складається об’єкт 'питома щільність, пористість). Категорія впливу дає уяву про фізичне поле, яке утворює в навколишньому середовищі речовина об’єкта (гравітаційне, магнітне, теплове). На практиці визначення форми, вмісту і впливу фізичного поля ідійснюється за допомогою певних “інформаційних проекцій” об’єкта - відповідно, ортогональної. Радона і радіаіьно-параіельної (Ш’-проекції). Тому розв’язання цього кола задач звичайно розглядають як процес реконструкції (відтворення) эб’скта за його проекціями.

Дослідження об’єкта за його проекціями належать до головних напрямів розвитку прикладної геометрії та інженерної графіки. Значний вклад у розв’язання конкретних задач відтворення об’єктів за їх проекціями зробили В.О.Анпілогова, В.В.Ванін, С.М.Ковальов, В.Є.Михайленко, В.М.Найдиш, В.С.Обухова, А.В.Павлов,

О.Л.Підгорний, К.О.Сазонов, Н.І.Седлецька, І.А.Скидан та ін. Однак проведені дослідження не дозволяють говорити про створення наскрізного інформаційного забезпечення комплексної реконструкції об’єкта за різновидами йош проекцій. Зокрема це стосується і досліджень у галузі математичного забезпечення алгоритмів стереології, комп'ютерної томографії та дистанційної діагностики теплового променевого випромінювання як єдиного комплексу алгоритмів.

Однією з причин цього, на наш погляд, була відсутність геометричних моделей, які б дозволили з єдиних позицій пояснити методи реконструкції об’єкта за різновидами його проекцій, та математичних процесорів, що дозволяють здійснювати дослідження на аналітичному рівні. У роботах Л.М.Куценка, І.Т.Пупко, Д.В.Бондаря, І.Б.Шеліхової та Є.М.Сівак проведені дослідження стосовно створення методу комплексної реконструкції об’єкта за його проекціями (метод А-виображеііь), у гому числі й реалізованих засобами математичного процесора Маріє V.

Отже, для створення інформаційної бази методу комплексної реконструкції об’єкта необхідні алгоритми геометричного моделювання та відтворення об’єкта за його тіньовими (ортогональними) проекціями, інформаційними проекціями Радона і КР-проекціями. Як приклад «спільного об’єкта реконструкції» в роботі обрано иліпсоїОоподібтіи об'єкт, розгляд якого в повній мірі ілюструє метод і являє інтерес для задач комп'ютерної стереології, комп’ютерної томографії та алгоритмів оцінки променевого теплового випромінювання

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана на кафедрі нарисної геометрії і графіки Харківського державного політехнічного університету в рамках наукової роботи «Геометричне моделювання променевого теплообміну між факелом полум’я та поверхнями канонічної форми», що ведеться в ХІПБ МВС України (реєстраційний номер 010011000052).

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є розробка теоретичної основи алгоритмів комплексної реконструкції еліпсоїдоподібного об’єкта за трьома різновидами його проекцій: тіньовими (ортогональними), інформаційними Радона і ЯР-проекціями, з подальшим обчисленням інтегральних характеристик цього об’єкта.

Об'єктом дослідження є явище відновлення еліпсоїдоподібного об’єкта за різновидами проекцій з можливістю обчислення його інтегральних характеристик.

Предметом дослідження є еліпсоїдоподібний об’єкт, заданий різновидами своїх проекцій. Прикладами еліпсоїдоподібних об’єктів є: гранули твела (в комп’ютерній стереологіі); домени включення (в комп’ютерній томографії) та факели газового полум’я (в дистанційній діагностиці променевого випромінювання).

Методи дослідження: операції теорії множин та Л-функцій, методи інтегрального числення, метод проекцій Радона, метод сфери одиничного радіуса.

Для досягнення мети досліджень у дисертації поставлені такі задачі:

1) розробити концепцію методу комплексної реконструкції об'єкта за

наступними різновидами його проекцій: тіньовими (ортогональними),

інформаційними Радона і ЯР-проекціями;

2) запропонувати оснований на К-функціях метод опису відновленого геометричного об’єкта за його тіньовими (ортогональними) проекціями, інформаційними проекціями Радона та КР-проекціями;

3) створити для середовища математичного процесора Маріє V програмне забезпечення визначення геометричних параметрів еліпсоїдоподібного тіла та інтегральних характеристик за різновидами його проекцій;

4)розв’язати дві реальні задачі:

■ розробити алгоритми та скласти програми визначення параметрів еліпсоїдоподібних включень для алгоритмів стереології та

■ розробити метод дистанційної оцінки кількості тепла, що потрапляє на елементарну площадку при випромінюванні тепла з еліпсоїдоподібної поверхні газового факелу полум’я.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у наступному:

- введено нове поняття ортогонального апроксиманта та визначені його інтегральні характеристики, що дозволяє точніше моделювати процес реконструкції об’єкта за його проекціями;

- введено нове поняття еліпсоїдала, опис якого дозволяє точніше агіроксимувати деякі природні об'єкти (наприклад, домени включення або газові факели полум’я),

- вперше розроблено метод обчислення кутових коефіцієнтів випромінювання для системи поверхонь «еліпсоїдоподібний об’єкт - елементарна площадка» при різноманітному розташуванні об’єктів як в просторі, так і на площині.

з

Вірогідність результатів підтверджується доведенням тверджень та графічними зображеннями ортогональних апроксимантів, відновлених геометричних об’єктів та їх проекцій, а також розрахунками реальних об’єктів в процесі впровадження методу в практику.

Практичне значення одержаних результатів. Викладені в дисертації результати досліджень є науковою основою для практичного використання інформаційного забезпечення методів комплексної реконструкції (відтворення) об’єкта за різновидами його проекцій на основі сучасних математичних процесорів. Одержані результати дозволяють створювати та впроваджувати в реальну практику алгоритми у галузі стереології, томографії та дистанційної діагностики променевого теплового випромінювання. Впровадження результатів роботи виконано в Науково-дослідному технологічному інституті приладобудування (м.Харків)-при проектуванні виробів комп’ютерної діагностики, та у Відкритому Акціонерному Товаристві «Турбоатом» (м.Харків) - для реконструкції внутрішньої структури лопаток робочого колеса турбіни. Реалізація підтверджується довідками про використання запропонованих у роботі методик.

Особистий внесок здобувана. Особисто автором розроблена теоретична основа та складено алгоритми комплексної реконструкції еліпсоїдоподібного тіла за його проекціями. Конкретний внесок до наукових праць полягає в розробці методу геометричного моделювання об’єктів за їх трьома різновидами конкретних проекцій: тіньовими (ортогональними), інформаційними Радона і ЛР-проекціями. При цьому було залучено математичний процесор Маріє V для обчисленням їх інтегральних характеристик.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на:

¡3 Міжнародній науково - практичній конференції «Сучасні проблеми геометричного моделювання» (м. Харків, 1998 р.);

□ науково - практичних конференціях «Сучасні проблеми геометричного моделювання» (м. Мелітополь, 1998 р., 1999 р.);

И Міжнародній науково - практичній конференції «Сучасні проблеми геометричного моделювання» (м. Донецьк, 2000 р.);

О науковому семінарі кафедри нарисної геометрії, інженерної і комп’ютерної графіки КНУБАпід керівн. д.т.н., проф. В.Є.Михайленка (м. Київ, 1999р.);

О науковому семінарі кафедри нарисної геометрії НТУУ “КШ” під керівн. д.т.н., проф. А.В.Павлова (м. Київ, 1999 р.);

О науковому семінарі кафедри прикладної геометрії і інженерної графіки ХТУРЕ під керівн. к.т.н., проф. В.П.Ткаченка (м. Харків, 1999 р.).

Публікації. За результатами наукових досліджень опубліковано 13 робіт (з них 12 статей одноосібно та 8 статей у виданнях, які рекомендовано ВАК України).

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку літератури із 180 найменувань та додатків. Робота містить 168 сторінок основного тексту та 82 рисунки, побудованих за допомогою комп’ютера.

МІСТ РОБОТИ

Вступ містить загальну характеристику роботи. Обгрунтована актуальність теми досліджень, сформульовані мета та задачі досліджень. Показана наукова новизна і практична цінність отриманих рішень.

У першому розділі розглянуто геометричні задачі, що виникають в алгоритмах реконструкції об’єкта за різновидами його проекцій: ортогональними -в стереології, Радона - в комп’ютерній томографії та радіально-паралельними (ЯР-проекціями) - при дистанційній оцінці променевого випромінювання. Здійснено формалізацію комплексної реконструкції об’єкта за його проекціями: тіньовими ортогональними (рис. 1а), інформаційними Радона (рис. 16) та ЯР-проекціями (рис.їв). Як приклад спільного об’єкта реконструкції обрано сліпсоїдоподібний об'єкт, який в подальшому називається еліпсоїдаюм.

Визначення. Еліпсоїдалом називається еліпсоїдоподібний геометричний об’єкт з «хвилястою» поверхнею, описи якої мають вигляд: х = Rsinffcosip', у= /?sinarsin#sin^>; z = Rchacosd (виштіугийешпссдаап); х = Rsinocos<p\ y = Rsin0sm^>; r = Reos# (сфероїдал), x= R cha sin 0 eos p, y = RchaúnOs\r\(p:: - R sha eos <9 (сплюснутий еліпеоідал). Тут 0 - кут між віссю Oz і поточним вектором г довжиною R; ф - кут між віссю Ох та проекцією вектора г на площину Oxy; a - параметр еліптичності.

Зазначено, що еліпсоїдальну форму об’єктів необхідно враховувати при складанні алгоритмів реконструкції: гранули твела - в комп’ютерній стереології, домену включення - в комп’ютерній томографії та факела газового полум’я -при оцінці променевого теплового випромінювання. Розглянуто варіанти опису «збудження» поверхні еліпсоїдала за допомогою тригонометричних функцій R{ip,6) = $тп<ръ\пт9 та поліномів Лежандра Р{(р,в) = únmp Р(п,тхos0). На рис. 2 зображено приклади еліпсоїдалів.

піансічсшія. Інтегральними характеристиками еліпсоїдала будемо називати його об'єм та площу поверхні

Рис. 2. Приклади еліпсоїдала для n=12, т=6 (а) та п=24, ш^12 (б).

Проведено огляд методів відновлення інформації про еліпсоїдоподібні геометричні об’єкти та їх інтегральні характеристики за їх проекціями.

Пропонується метод реконструкції об’єкта еліпсоїдоподібної форми на основі застосування операції R-кон’юнкції. Суть методу пояснимо на простому прикладі. Нехай на горизонтальній координатній площині Оху в області О. задано функцію f(x,y), графік z = f(x,y) якої має вигляд «пагорба» з однією вершиною. Розглянемо проекції цього «пагорба» на деяку кількість горизонтально проекціюючих «картинних» площин. Побудуємо сім’ю циліндричних поверхонь, для яких контури проекцій будуть напрямними, а твірними будуть відповідні їм напрями проекціювання. Вважатимемо, що ці циліндричні поверхні «виготовлені» з непрозорого матеріалу. «Освітимо» сукупність циліндричних поверхонь у напряму осі Oz. В результаті освітленою залишиться множина фрагментів циліндричних поверхонь, об’єднання яких дає наближення графіка функції z = f(x,y) (за умови «вдалого» розташування картинних площин). Показано, що на аналітичному рівні розглянуту геометричну модель можна описати за допомогою R-кон’юнкції. Тому метод реконструкції об’єкта за його «тіньовими» проекціями одержав назву кок 'юнктивиого. Зазначено, що розглянута в роботі концепція дозволяє з єдиних позицій пояснити методи реконструкції еліпсоїдала за трьома різновидами його проекцій (рис. 1) та визначення його інтегральних характеристик. Робота має на меті створення програм комплексної реконструкції об'єкта. При цьому використання процесора Maple V дозволяє провести частішу досліджень на аналітичному рівні.

Рис. 3. Канонічний еліпсоїд та його ортогональний апроксимант

Другий розділ дисертації присвячено питанням складання алгоритмів реконструкції еліпсоїдала за його тіньовими ортогональними проекціями (рис. І а).

Існують впровадження, в яких застосовуються тіньові проекції. Так, у комп’ютерній стереології, де речовину просвічують рентгенівськими променями, тіньові проекції використовуються для визначення параметрів доменів включення.

При цьому вважається, що поверхню домену можна апроксимувати еліпсоїдом. Тоді на фотоприймачах - детекторах, які розташовані взаємно ортогонально, тіньовими проекціями будуть еліпси. Тобто виникає геометрична задача: відновити еліпсоїд за інформацією про еліпси - його проекції, та визначити інтегральні характеристики об’єкта.

Наведене впровадження пояснює геометричне узагальнення у вигляді ортогонального апроксиманта. Нехай маємо опукле тіло А, яке описане в прямокутній системі координат Охуг нерівністю ґ(х,у,г)>0 (позначається А:ґ(х,у,2)>0). Розглянемо проекції А на три координатні площини Аху:Ґ|(х,у)>0; АХ/.:Ґ2(х,г)>0 і АУх^з(у,г)>0.

Визначення. Ортогональним апроксимантом тіла А називається тіло Ахуг, яке утворено в результаті перетину ортогональних проекціюючих циліндрів, побудованих на проекціях Аху ; АХ7. і Ау/, тобто Ахуг = Аху п Ах/. ^ Ау/.

Твердження /. Ортогональний апроксимант можна описати за допомогою нерівності Ахп '■ ґі( х,у) а ґг( \,г) л ґз( у,г )> 0, де л - знак Л-кон’юнкції.

а2 Ь2

розташування - тобто коли його півосі а, Ь і с направлено вздовж координатних осей. Опис ортогонального апроксиманта еліпсоїда (рис. 3) має кон’юнктивний вигляд

Спочатку розглянуто еліпсоїд А: 1 -

-?2о

у випадку «канонічного»

1-^ а2 Ь2

Твердження 2. Об’єм

а с ортогонального

Гі >1 £І'

І Ь2 с2.

(1)

апроксиманта еліпсоїда слід

обчислювати за формулою 1 1___ [/з« /і\іЛх,})\<1усіх

де /„ ,.(.ї, у) = />, Л^,//Л/. (.V, у) = Р2 V ¿^2 , Я,

=«•, 1-

Ч\

г

■ суі

Рі

-ц\ :-~ї і ц. = -<у

Тут л і V - знаки К-кон'юнкиії та І*-диз'юнкції.

Формули твердження 2 покладено в основу програми обчислення Vp об’єму тіла AXyz- Знайдені значення Vp були зіставлені з точними значеннями V = 4яаЬс/3 об’єму еліпсоїда. Встановлено, що має місце співвідношення Vp/V=l,1636 = const. Тому вираз для обчислення VP має вигляд добутку Vp = kabc. Після обчислення значення Vp при а = b = с = 1 знаходимо, що k = 4,8742. Таким чином, об’єм ортогонального апроксиманта Axyz еліпсоїда А з півосями а, b і с можна обчислювати за формулою VP = 4,8742abc.

Твердження J. Площу поверхні ортогонального апроксиманта Axyz еліпсоїда А слід обчислювати за формулою

dydx

Далі розглянуто загальне положення еліпсоїда 1

Z

0

У

£1 .її а2 Ьг с

глобальній системі координат Oxyz. Для того, щоб описати цей еліпсоїд, повернутий в просторі Oxyz на кут а навколо осі, напрям якої визначено вектором ¡xn, у,,, z„), було використано формули заміни змінних

X = Ьп х + Ь2] у ^ b,i z; V = Ь|2 х + Ьаг У + b32 z;

де

Ьц = рі2 + (1 - рЛ с,; b12 = Рі р2 cd + рз s,;

Ьгі = Рі P2 cd - рз st; Ь22 = Рз2 + (І - Рз2) с,;

Ьзі = Рі Рз Са + р2 Ьз2 = Р2 рз Cd - рі s¡;

Тут обрано наступні позначення: st = sina; ct = cosa; c¿ = 1-cosa, а через pi, p2 i pj позначено напрямні косинуси вектора [xn, у„, z^}, тобто

„ _ Хп________________„ _ У Я Z'

Р\ - П~ 5 . 2 , А "

Z — Ьіз х + Ьгі у +■ bjj z,

Ьіз = Рі Рз са - р2 s,;

Ь2з = Р2 Рз Cd + pi st; Ьзз = Рз2 + (1 -рз2)сі.

■Jxl+yl+=2»

4xl+yl+zl'

Pi

№+УЇ+гІ

Для визначеності розглянуто випадок значень параметрів а=2; Ь=1,5; с=1; а=1; хп=2; уп=1; лі=0. Тоді рівняння повернутого еліпсоїда має вигляд

1 - 0,3628 х2 + 0,3796 х у + 0,3588 х г - 0,7526 у2 - 0,4249 у г - 0,5791 г2 = 0.

Мовою МарІеУ було складено програму, яка дозволила описати в аналітичному вигляді проекції повернутого еліпсоїда на координатні площини Рху = 1 - 0,3072 х2 + 0,2479 х у - 0,6746 у2;

= 1 - 0,4904 г2 - 0,2372 у ъ - 0,6533 у2;

= 1 -0,3149х2-^ 0,2516x2-0,5191 г2 та визначити габаритні розміри цих проекцій (еліпсів) хгпах = 1,8751; хтіп = - 1,8751; утах = 1,2653; утт = - 1,2653; гіпах = 1,4604; гтіп = - 1,4604.

Апроксимант описано за допомогою Я-кон’юнкцій Рхуг - Рху л Руг л Р хг. На рис. 4 зображено аксонометрію ортогонального апроксиманта. В роботі показано, що кон'гонктивна форма опису апроксиманта не є зручною для визначення його

інтегральних характеристик. Тому в програмі передбачено опис фрагментів еліпсів-проекцій, шо на координатних площинах Оуг і Охг:

>г1 = -0,2419}'+0,02039^-306270у2 +490370; у: 2 = -0,2419у - 0,02039^-306270у2 +490370; х:1 = 0,2424^+0,00154¡V-230690г2 +811110; Х2І = 0,2424_у-0,00154к/-230690*г+811110. Це дозволило описати «верхню» і «нижню» частини апроксиманта як Г5иР= хгі а угі та = хг2 V уті. Пересвідчитися в дійсності опису можна за допомогою побудови зображення системи допоміжних поверхонь сумісно з повернутим еліпсоїдом (рис.5)

Рис. 4. Ортогональний апроксимант Рис. 5. Допоміжні поверхні для визначення повернутого еліпсоїда інтегральних характеристик

З рис. 5 видно, що складові поверхні апроксиманта необхідно «коректувати» стосовно площини Оху. Це здійснено шляхом вибору меж інтегрування. В результаті обчислень одержано значення об’єму апроксиманта У_з = 15,73 (для порівняння точне значення об’єму еліпсоїда \М = 12,57) та площі поверхні апроксиманта 8_б = 32,93 (для порівняння площа поверхні еліпсоїда Б і = 27,89).

Таким чином, цей приклад ілюструє один з висновків роботи: якщо вважати, що домен включення має форму еліпсоїда, то при відтворені на основі його тіньових проекцій деякого об’єкта, одержимо «гарантовану» похибку обчислення інтегральних характеристик, яка має порядок 15-20%. Цю похибку можна усунути, якщо вважати, що домен включення має форму ортогонального апроксиманта еліпсоїда зі здалегідь відомими інтегральними характеристиками.

Наведено приклад реконструкції еліпсоїдоподібних включень у речовину на основі їх тіньових проекцій при складання алгоритмів комп’ютерної стереології, де контроль якості здійснюється методом «просвічування» речовини променями за допомогою електронного мікроскопу. Складено програму, яка дозволяє обчислювати інтегральні характеристики ортогонального апроксиманта в залежності від його ортогональних тіньових проекцій на координатні площини. Алгоритми впроваджено в НДТ1П при проектуванні виробів комп’ютерної діагностики.

Третій розділ дисертації присвячено створенню алгоритмів реконструкції об’єкта за проекціями Радона (рис.1 б) з метою складання уявлення про внутрішню структуру об’єкта (щільність, пористість, тощо). При цьому об’єкт розбивається на паралельні шари, у межах яких розподіл внутрішньої структури шару описується функцією z=f|x,y) з областю визначення Í1 Далі обирається сім’я паралельних променів {L} в площині Оху, що перетинають Q. Інтеграл від функції f(x,y) вздовж променя (променевий інтеграл) визначає проекцію Радона. При цьому функції f(x,y) ставиться у відповідність функція двох змінних R(S,(p) - проекція Радона. Змінна ер (кут між віссю х та нормаллю сім’ї променів {L}) фіксує напрям «просвічування», а змінна S - відстань від точки полюса об’єкта (рис. 6). Цим перетинам відповідають значення інтеграла R. Одержана функція R(S,<p) є образом функції f(x,y). Подібні «тіньові» образи називаються радонівськими. Тобто виникає геометрична задача відновити поверхню, яка задана на області еліпса, за інформацією про її «тіньові» проекції, що входить до кола задач прикладної геометрії.

Як приклад області Q в роботі обрано еліпс як переріз еліпсоїда (рис.6).

х2 у1

Функція f(x,y) дорівнює р всередині еліпса + ~ ' > > дорівнює нулю зовні.

Рис. 6. Схема «просвічування» об’єкта Рис. 7. Сім’я проекціюючих циліндрів

Твердження 4. Опис проекції Радона для випадку еліпса має вигляд

2 р А В і 2 ........j-

Ríi.fp) = ^ W>~s для всіх j s і <а(<р), (2)

де а2 (ф) = A2 cos2 (ф) + В2 sin2 (ф).

На рис.7 зображено сім’ю циліндричних поверхонь, у яких напрямні збігаються з проекціями Радона, а твірні розташовано паралельно відносно напрямів відповідних променів (вони визначаються значеннями кута ф). З геометричної точки зору пояснити процес реконструкції еліпса можна так: засобами комп'ютерної

графіки здійснюється побудова нової поверхні Ч^им, апліката якої дорівнювала б сумі аплікат усіх циліндричних поверхонь для всіх допустимих точок горизонтальної координатної площини. Тоді реконструйованим еліпсом можна вважати перетин побудованої поверхні Tsum із площиною рівня z = const. У роботі пропонується здійснювати побудову нової поверхні Ч'міи, в якій апліката збігається з мінімальною аплікатою серед усіх циліндричних поверхонь для всіх допустимих точок горизонтальної координатної площини. Надано геометричне пояснення методу на ОСНОВІ кон’юнкгивної реконструкції об’єктів за ДОПОМОГОЮ поверхні Ч'мвд. Реконструйованим еліпсом можна вважати перетин побудованої поверхні із площиною, що розташована паралельно координатній площині Оху.

Твердження 5. Опис реконструйованого еліпса здійснюється за формулою

-v f Ja2 cos2(<pj)+ В2 sin2 {<pj) - s2 R(s,<p) - 2p А В л----------------------------------

A2 cos2(^) + B2 sin2 (<Pj) j

(3)

де а - операція И-кон'юнкції, ф] = лШ;! в | < а(ф^.

На базі цього було складено Маріе-програму реконструкції. На рис. 8 наведено приклади виконання програми.

а := 5.: Ь := 2.: N := 12:

f := proc(x,y,tet) local а2,р:

а2 := аЛ2 * sin(tet)Ä2 + ЬЛ2 * cos(tet)A2:

sqrt(a2 - (х * sin(tet) - у * cos(tet))л2)/sqrt(а2): end:

for і from 1 to N do tet:=i*Pi/N: ff[i] := f(x,y,tet): od:

fff := min(seq(ff[i],i=l..N)): # побудова поверхні Ч'нін

= plot3d((fff(x,y)), x=-5..5, y=-2..2, style=contour):

= contourplot((fff(x,y)),x=-5..5,y=-2..2, filled=true): = plottools [transform]((x, y) -> [x, y, 0]):

displayUp, f(q)}, orientation= [-155,60], grid = [30,30]) ;

На базі кон’юнктивної форми відновлення об’єкту розроблено програми комп'ютерної томографії. Програми передано для впровадження у ВАТ «Турбоатом» у системах комп'ютерної реконструкції внутрішньої структури лопаток ту рбіни.

Четвертий розділ дисертації присвячено алгоритмам дистанційної оцінки теплового променевого випромінювання об’єкта за його ЛР-проекціями (рис. і в). Запропоновано метод обчислення локальних кутових коефіцієнтів випромінювання (ККВ) для системи поверхонь «еліпсоїдал-елементарна площадка» на основі методу сфери одиничного радіуса, де значення локального ККВ дорівнює відношенню площі ЯР-проекції поверхні В до я (як площі круга одиничного радіуса). Тобто проблема зводиться до геометричної задачі побудови КР-проекції поверхні з наступною оцінкою величини її площі. При променевій теплопередачі від поверхні А

через а і (3 позначено гострі кути між напрямом випромінювання та нормалями до елементарних ділянок сІА і (ЇВ поверхонь А і В, г - відстань між центральними точками цих ділянок. Алгоритм обчислення ККВ на основі растрових зображень ЯР-проекцін має недолік, пов’язаний з необхідністю контролювати крок дискретності растра в залежності від положення віддаленого і малого за розмірами об’єкта В.

В роботі запропоновано схему обчислень, де еліпсоїдал В представлено системою перерізів 5В сім’єю площин, які проходять через його велику вісь. Перерізами будуть криві, які умовилися називати пелюсткоподібними. Наведено формули обчислення площі кожної з КР-проекцій. При цьому мається на увазі, що фігура ¿В випромінює теплову енергію, розташована на площині рівня х=р і обмежена пелюсткоподібною кривою /<’(/) = г + к зіп(г /) з полюсом в точці (р,д,\у) (рис.9). На рис. 10 наведено ЛР-проекцію кривої для г=Т7; к=І; \у=25; р=5 і ч=10. ИР-проекція еліпсоїдала наближено визначається як об’єднання ЯР-проекцій перерізів.

Твердження 6. Якщо опис пелюсткоподібної кривої обрано у вигляді А'(У) = р ; >'(/) = (г + к 5Іп(г/))С05/ + д ; 7,{і) = (г + ^5Іп(г /))$іп/ + и’, то її локальний ККВ відносно елементарної площадки на площині Оху з центральною точкою О дорівнює

до поверхні В локальний ККВ дорівнює інтегралу

Рис.9 Взаємне положення кривої і сфери

Рис. 10 Приклад ЯР-проекції

^хг(о + гг(0+2(0’ ’ ' уІх2(і) + у2(п+г(о2

Складено Маріе-програму обчислення «поля» значень V [і, і] локальних ККВ відносно кожного з перерізів еліпсоїдала, фрагмент якої має вигляд

> г := 17: к := 1: V := 25: р := 5: я := 10:

> XX := гоипсІ<у»+,»/2) : її := гоип<3(»г/2) :

> £ог і £гош 2 Ьо XX сіо р := і: £ог з Ггого 0 іо її ёо я:= і:

> И := (Ъ) -> г + к * віп(г * Ъ):

> х := р: V := К(і:) * соэШ + ч: г := К{-Ь) * зіп(і:) + «:

> гпат := зчгЫхл2 + уА2 + гА2) : хгр := х/гпат: угр:=у/гпат: ;

> ргох := йі£€(хгр,1:): ргоу := сіі££(угр^):

> ЕТ := хгр*ргоу-угр*ргох:

> Іикі := еуаіі?(вЬисіепМвіїпрзоп] (ЕТ,Ъ=0. .2*Рі,12) /2./Рі,5);

> V[і,і] := Іикі; осі: осі: _____

На рис. ] 1 наведено графік значень V [і,.)] локальних ККВ для прямокутника {2< х<37; -12<у<12} на площині Оху («пелюсткоподібне джерело тепла» умовно зображено зменшеним). На рис. 12 зображено лінії однакових значень локальних ККВ.

Для середовища процесора Маріє V розроблено програму комп’ютерної дистанційної діагностики, що дозволяє оцінити теплове променеве випромінювання від еліпсоїдоподібного факела полум’я на основі його ІІР-проекшї. Поверхню збурення полум’я сферичної форми описано у сферичних координатах (Му за допомогою поліномів Лежандра Р"'(.х)у вигляді /?(імг) = ґ+ рбіптх Р”*(со5м).

іе т і п - сферичні гармоніки, г - радіус кулі, р - масштабний коефіцієнт. На рис. 13 ображено «збурену» поверхню сфери для випадку г=20; т=6; п=12, р=0.2-105, де юбудову здійснено за допомогою Маріе-програми:

► т := 6: п := 12: г := 20: р := 0.2*10Л(-5):

► и := г + р * si.li (п * V) * ЬедепсігеР (п,т,соз («)) ;

► ріс^в [рІоіЗсі] ([ вчітЬ (иА2 + 1) * соб(у) * віп(к) ,

зчгі(ил2 + 1) * зіп(у) * sin(w), и * соб (>?) ] ,\г=0. .2*Рі, *т=0..Рі, scaling=C0NSTRAINED,oriєntation=[-10,45], дгісі= [50,50] , вЬасІіпд=ХЇ, 1ідЬі=[100, ЗО , 1,1,1]) ;

У роботі складено програми обчислення локальних ККВ для еліпсоїдалів еліпсоїдів), півосі яких дорівнюють а, Ь і с. На рис. 14 наведено приклади графіків міни значень локального ККВ залежно від відстані р від осі еліпсоїда до початку оординат. При цьому параметр с набував значень 5, 10, 15, 20, 25 за умови, що =Ь=1 і 'я=2ц = 6 (перший варіант) і чг=2л - 30 (другий варіант).

Рис. 13. Еліпсоїдал, за допомогою якого Рис, 14. Графіки залежності

апроксимовано поверхню полум’я локальних ККВ для еліпсоїда

Метод обчислення локальних ККВ використано при створенні програмного абезпечення систем діагностики. .Апаратура призначена для дослідження променевої еплової енергії, яка надходить на елемент поверхні від газового факелу полум’я (що іає важливе значення, наприклад, в задачах космічної технології). Впровадження езультатів роботи виконано в НДТІП (м. Харків) при розробці математичного абезпечення алгоритмів проектування виробів діагностичної техніки.

ВИСНОВКИ

Дисертацію присвячено розробці методу комплексної реконструкції еліпсоїдоподібного тіла (елінсоїдала) за його трьома різновидами проекцій: тіньовими ортогональними, інформаційними Радона і ЛР-проекціями, з метою створення на єдиній теоретичній базі комп’ютерних алгоритмів для стереології, томографії та дистанційна оцінки величини променевого теплового випромінювання.

При цьому одержано такі результати, шо мають наукову та практичну цінність.

1. Розроблено концепцію методу комплексної реконструкції об’єкта за

наступними різновидами його проекцій: тіньовими (ортогональними),

ШформаШИНИмй РыДОПы 1 КРтПр05КЦ1ЯМй.

2. Вперше запропоновано методи:

- опису тіла, яке утворено в результаті перетину ортогональних проекціюючих циліндрів даного геометричного об’єкта (ортогонального апроксиманта);

- обчислення об’єму та площі поверхні ортогонального апроксиманта;

- опису на основі И-кон’юнкції реконструйованого об’єкта за його проекціями Радона;

- опису ЛР-проекцій еліпсоїдоподібних об’єктів;

- обчислення локальних кутових коефіцієнтів випромінювання для еліпсоїдоподібних об’єктів.

3. Створено алгоритмічне забезпечення визначення геометричних параметрів еліпсоїдоподібного тіла та його інтегральних характеристик за різновидами його проекцій засобами математичного процесора Маріє V.

4. Розв’язано дві реальні задачі:

♦ розроблено програмне забезпечення для алгоритмів стереології, призначених для визначення параметрів еліпсоїдоподібних включень;

♦ розроблено комплекс програм дистанційної оцінки кількості тепла, що потрапляє на елементарну площадку координатної площини при випромінюванні еліпсоїдоподібною поверхнею факелу полум’я.

5. Вірогідність результатів підтверджено шляхом доведення тверджень та побудованими за допомогою ЕОМ графічними зображеннями поверхонь геометричних тіл для тестових прикладів.

6. Впровадження результатів роботи виконано в Науково-дослідному технологічному інституті приладобудування (м. Харків) при проектуванні сучасних діагностичних виробів та у Відкритому Акціонерному Товаристві «Турбоатом» (м. Харків) для реконструкції внутрішньої структури лопатей робочого колеса турбіни. Реалізація підтверджується довідками про використання запропонованих у роботах методик.

7. Одержані в дисертації результати дозволяють створювати та впроваджувати в реальну практику універсальні комп’ютерні алгоритми у галузі стереології, томографії та дистанційної діагностики променевого теплового випромінювання.

Основні положення дисертації опубліковано у таких роботах:

1. Семенова - Куліш В.В. Обчислення об’єму ортогонального апроксиманта еліпсоїда // Прикладна геометрія та інженерна графіка. - К: КНУБА. - 1999. - Вип. 65,- С. 201-204.

2. Семенова - Куліш В.В. Обчислення локальних кутових коефіцієнтів випромінювання для фігур нетрадиційної форми // Проблемы пожарной безопасности: Сб. науч. тр. - Харьков: ХИПБ. - 1999. - Вып. 6 - С. 138-141.

3. Семенова В.В. Опис геометричної форми та обчислення об’єму

ортогонального апроксиманта еліпсоїда // Труды Таврической государственной агротехнической академии. - Мелитополь: ТГАТА. - 1999. - Вып. 4. Прикладная г<»пмАттта м тоЖии-я - Т *5 - Р I 19_1 16

» *“*— * • - • * *~ * * “■ *

4. Семенова - Куліш В.В., Куценко Л.М. Обчислення локальних кутових коефіцієнтів випромінювання для еліпсоїда // Труды Таврической государственной агротехнической академии. - Мелитополь: ТГАТА. - 1999. - Вып. 4. Прикладная геометрия и инженерная графика. - Т. 7. - С. 12-15.

5. Семенова - Куліш В. В. Обчислення локальних кутових коефіцієнтів випромінювання для кулі // Труды Таврической государственной агротехнической академии. - Мелитополь: ТГАТА. - 1999. - Вып. 4. Прикладная геометрия и инженерная графика. - Т. 9. - С. 45-47.

6 Семенова - Куліш В.В. Метод обчислення локальних кутових коефіцієнтів випромінювання для плоских фігур. // Труды Таврической государственной агротехнической академии. - Мелитополь: ТГАТА. - 1999. - Вып. 4. Прикладная геометрия и инженерная графика. - Т. 10. - С. 116-119.

7. Семенова - Куліш В.В. Обчислення локальних кутових коефіцієнтів випромінювання для еліпса // Прикладна геометрія та інженерна графіка. - К: КНУБА. - 1999. - Вип. 66,- С. 234-237.

8. Семенова - Куліш В.В. Реконструкція еліпса за його інформаційними проекціями Радона // Прикладна геометрія та інженерна графіка. - К: КНУБА. - 2000. -Вип. 67,-С. 200-203.

9. Семенова В.В. Метрические характеристики эллипсоида общего вида (обзор литературы) // 36. праць Міжнар. науково-практичної конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання”. - Харків: ХІПБ МВС України. - 1998. - 4.4. -С. 157-163.

10. Семенова В.В. Вычисление параметров трехосного эллипсоида по его ортогональным проекциям // 36. праць Міжнар. науково-практичної конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання”. - Харків: ХІПБ МВС України. -1998. - 4.4.-С. 149-156.

11. Семенова В.В. Определение формы поверхности объекта с использованием конического светового потока // 36. праць Міжнар. наук. - практ. конф. “Сучасні проблеми геометричного моделювання”. - Харків: ХІПБ МВС України. - 1998. - 4.2. -С. 118-123.

12. Семенова В.В. Определение параметров эллипса по координатам ею характерных точек // Труды Таврической государственной агротехнической

академии. - Мелитополь: ТГАТА. - 1999. - Вып. 4. Прикладная геометрия и инженерная графика. - Т. 4. - С. 121-124.

13. Семенова - Куліш В.В. Опис проекцій Радона для еліпсоїда И Тезисы докладов Междунар. научн. - практ. конф. “Современные проблемы геометрического моделирования”. - Донецк: ДонГТУ. - 2000. - С. 152-153.

В роботі [4], опублікованої у співавторстві з науковим керівником Л.М.Куценко, останнім здійснювалась постановка задачі дослідження; її розв’язання виконано В. В. Семсновою-Куліш. Автором розроблено варіант методу обчислення локальних кутових коефіцієнтів випромінювання для еліпсоїда.

Семенова - Куліш В.В. Обчислення інтегральних характеристик еліпсошоподібних геометричних об’єктів за різновидами їх проекцій. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.01.01 - прикладна геометрія, інженерна графіка. - Донецький державний технічний університет, Донецьк, Україна, 2000.

Дисертацію присвячено розробці методу комплексної реконструкції еліпсоїдоподібного тіла за різновидами його проекцій: тіньовими (ортогональними), інформаційними Радона і радіально-паралельними проекціями (RP-проекціями), із подальшим обчисленням їх інтегральних характеристик. Запропоновано метод опису гіла, яке утворено в результаті перегину ортогональних проекціюючих циліндрів даного геометричного об’єкта (ортогонального апроксиманта). Одержано значення об’єму та площі поверхні ортогонального апроксиманта. Складено алгоритми побудови реконструйованого об’єкта за його проекціями Радона. Отримано зображення RP-проекцій еліпсоїдоподібних об’єктів та опис їх в аналітичному вигляді. Обчислено кутові коефіцієнти випромінювання (ККВ) для еліпсоїдоподібних об’єктів. Алгоритми реалізовано засобами математичного процесора Maple V. Розв’язано дві реальні задачі: 1) розроблено метод визначення параметрів еліпсоїдоподібних включень для алгоритмів у стереології; 2) розроблено метод дистанційної оцінки кількості тепла, що потрапляє на елементарну площадку при випромінюванні тепла з еліпсоїдоподібної поверхні факелу полум’я.

Ключові аіова: ортогональний апроксимант, еліпсоїдоподібний геометричний об’єкт, проекції Радона, кутовий коефіцієнт випромінювання (ККВ), радіально-паралельна проекція (RP-проекція).

Семенова-Кулиш В. В. Вычисление интегральных характеристик эллипсоидоподобных геометрических объектов по разновидностям их проекций.

- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.01.01 - прикладная геометрия, инженерная графика. - Донецкий государственный технический университет, Донецк, Украина, 2000.

Диссертация посвящена разработке метода комплексной реконструкции эллимсоидолодобного гела по его трем разновидностям проекций: теневым

(ортогональным), информационным Радона и радиально-параллельным проекциям (RP-проекциям), с дальнейшим вычислением их интегральных характеристик. В качестве объекта реконструкции выбрано эллипсоидоподобное тело (эллипсоидал), которое встречается при составлении алгоритмов в стереологии (форма гранулы твэла), томографии (форма домена включения) и оценки лучевого теплового излучения (форма факела газового пламени).

Предложены методы описания тела, которое образовано в результате пересечения ортогональных проецирующих цилиндров данного геометрического объекта, - ортогонального апроксиманта. Определение и описание ортогонального аппроксиманта выполнено с применением математической операции R-конъюнкции. Реконструкцию эллипсоидалз производят по его ортогональным теневым проекциям. Теневые проекции используются, например, в ядерной технологии для определения энергетических параметров микротвэлов. При этом предусматривается, что поверхность гранулы с достаточной точностью можно аппроксимировать эллипсоидалом. На фотоприемниках - детекторах, которые расположены взаимно ортогонально, теневыми проекциями эллипсоидала (эллипсоида) будут лепесткоподобные кривые (эллипсы). В частности, возникает задача восстановления эллипсоида по эллипсам. Восстановленным объектом будет ортогональный аппроксимант. В работе рассмотрена схема восстановления эллипсоидала по его теневым проекциям при помощи графического редактора 3D Studio. Вычислены объем и площадь поверхности ортогонального аппроксиманта, которые определяют энергетические характеристики гранулы.

Разработаны алгоритмы реконструкции объекта по проекциям Радона с целью получения представления о его внутренней структуре (плотности, удельном наполнении объема, пористости)- Приведена геометрическая интерпретация радоновских образов в компьютерной томографии. Предложен новый метод реконструкции объекта с применением математической операции R-конъюнкции. Рассмотрены описания проекций Радона для эллипсоидоподобных геометрических объектов. Проведен сравнительный анализ предложенного в работе метода и традиционного метода реконструкции объекта.

Предложен метод описания RP-проекций эллипсоидоподобных объектов. Вычислены значения угловых коэффициентов излучения (УКИ) для эллипсоидоподобных объектов, в том числе для фигур уровня, заданных уравнениями в неявном и параметрическом виде. При этом учитывалось различное расположение эллипсоидоподобных объектов. Получены изображения RP-проекций эллипсоидоподобных объектов и методы описания их в аналитическом виде, необходимые при диагностике энергетического поля объекта. Рассмотрен метод решения задачи оценки теплового потока, который передается некоторой части горизонтальной или вертикальной координатной плоскости в результате теплового излучения от факела пламени в виде эллипсоида вращения. На основе данного метода разработан алгоритм вычисления интегральных угловых коэффициентов при теплопередачи от эллипсоида вращения на некоторую фигуру, которая может быть расположена как в вертикальной, так и в горизонтальной плоскостях. При создании

алгоритма использовались следующие математические пакеты: Maple V; Surfer (Win 32), ver 6.04; Table Curve 3D ver. 2 for Win 32, которые позволяют быстро строить графики двух переменных, а также аналитически описывать поверхности, заданные дискретно в виде массива.

В работе разработано алгоритмическое обеспечение для определения геометрических параметров эллипсоидоподобного тела и его интегральных характеристик по разновидностям его проекций с применением математического процессора Maple V.

Решены две реальные задачи: 1) разработан метод определения параметров эллипсоидоподобных включений для алгоритмов в стереологии; 2) разработан метод дистанционной оценки количества тепла, которое поступает на элементарную площадку при излучении тепла с эллипсоидоподобной поверхности факела пламени.

Ключевые слова: ортогональный аппроксимант, эллипсоидоподобный

геометрический объект, проекции Радона, угловой коэффициент излучения (УКИ), радиально-параллельная проекция (RP-проекиия).

Semenova-Kulish V. V. Calculation of the integrated characteristics of ellipsoidal geometrical objects by varieties of its projections. - Manuscript.

Thesis for a candidate’s degree by speciality' 05.01.01 - applied geometry, engineering graphics. - The Donetsk Technical State University, Donetsk, Ukraine, 2000.

The dissertation is devoted to the elaboration of complex reconstruction method of ellipsoidal object by varieties of its projections with the further calculation of their integrated characteristics. It is shadow (orthogonal) projections, information projections of Radon and radial parallel projections (RP-projections). It is offered the description method of object which is formed as the result of intersection of the orthogonal project of cylinders of the given geometrical object (orthogonal approximant). The values of volume and area of the orthogonal approximant surface are received. The algorithms of the reconstructed object construction on its Radon projections are elaborated. The RP-projections of ellipsoidal objects image and its analytical description are received. The values of view factors for ellipsoidal objects are calculated. Algorithms have been realized by methods of the mathematical processor Maple V. Two real tests are solved: 1 ) the method of ellipsoidal inclusions parameters definition for algorithms in stereology is elaborated; 2) the method of a distance estimation of heat quantity that acts onto an elementary area during heat radiation from the ellipsoidal surface of the flame torch.

Key words: orthogonal approximant, ellipsoidal geometrical object, images of Radon, view factor, radial parallel projections (RP-projections).

Підписано до друку 5.09.2000 p. Формат 60x90/16

Друк, ризограф. Ум. Друк. арк. 1,25

Тираж 100 . Вид, № 78 Зам. № 118

Х1ПБ МВС України, 61023, м. Харків, вул. Чернишевського, 94.