автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Геометрическое моделирование волновых процессов на поверхности жидкости

ПС» »Г«Г» •Л-1» '

Афонин Игорь Михайлович

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ

Специальность 05.01,01 - Прикладная геометрия и кнженергая

Автореферат дессертзггйи на соискание ученой степени кандидата технических н^у:-"

Москва - 1993

Работа выполнена на кафедре "Прикладная геометрия" Московского Государственного авиационного института (технического университета)

Научный рукоаодитель-засл. деят. науки и техники России,

доктор технических наук, профессор Якунин В. И.

Официальные оппоненты: засл. деят. науки и техники России,

доктор технических наук, профессор Бусыгин В. А., кандидат, технических наук, доцент Кондрус В. В.

Ведущая организация: НИИ прикладной математики и механики при МГТУ им. Н. Э. Баумана, г. Москва.

Защита состоится "2.У" 1998 г. в ¡Л- часов

на заседании диссертационного Совета Д 063.51.07 по специальности 05.01.01 - "Прикладная геометрия и инженерная графика" при Московском Государственном университете пищевых производств, в ауд. 504, корп. А.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные гербовой печатью, просим присылать по адресу:125080,Москва, Волоколамское шоссе, МГУПП, отдел Ученого секретаря.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГУПП.

Автореферат разослан "дЬо" нол^рл 1998 г" Ученый секретарь диссертационного совета,

д. п. н., профессор '_ Акимова И. Н.

Общая характеристика работа,

Актуальность. Геометрическое-моделирование^ процессов распространения гравитационных волн на поверхности жидкости с применением численных методов имеет важное значение для понимания сложных процессов распространения и дифракции волн в открытой области, а также с практической целг-з - для расчета оптимальной конструкции защитных портовых сооружений. Одним из достоинств геометрических моделей является возможность получения наглядных представлений о рассматриваемых волновых процессах и выявление общих приемов в различных численных методах моделирования. Существуют аналитические модели позволяют рассматривать задачи в системе волна- гавань в пергсм приближении, тогда как большинство характерных режимов распространения волны, особенно в областях с переменной глубиной, являются весьма сложными и описываются какими-либо асимптотическими теориями весьма приблизительно, не давая точного решения. Характерным примером процессов подобного типа является процесс распространения волн с учетом переменного коэффициента отражения от береговой линии сложной формы э открытой области. Этот, процесс носит стационарный С по времени) характер, обладает достаточно широкой характерной полосой частот волнения жидкости и может быть описан различными математическими' моделями с медленно меняющимися вдоль основного направления распространения амплитудами, полей.

Применение численных методов решения .задачи защиты портовых сооружений, имеющих, как правило, сложную геометрическую конфигурацию сооружений, а также неоднородную глубину акватории, не дает, требуемой точности решения.

Результаты решения полученные при помощи этих методов представляются в цифровом виде. Они требуют для своего представления в графическом, т.е. наиболее удобном для восприятия виде, разработки дополнительных алгоритмов ' и программ.

Разработка метода геометрического моделирования волновых процессов на поверхности жидкости основывалась на трудах ученых прикладников наших соотечественников Бюшгенса С. С., Иванова Г. С., Котова И. И., Кузнецова 8. В., Пилюгина В. В., Фролова С. А., Якунина В. И. и других, а также ряда иностранных ученых Пратт М. ( Pratt M. ), Препарата Ф. С Preparata F. ), Фокс А. С Faux I. ), Форрест А. С Forrest А. ), Шеймос M. CShamos M.) и других.

Разрабатываемый в диссертации метод геометрического моделирования процесса распространения волн в прибрежной зоне и акватории порта по своей сущности является более точным при решении задач такого класса, чем чисто'численные методы. Так учет переменной глубины поверхности дна акватории может быть осуществлен при помощи задания этой поверхности точечным базисом. Аппроксимация береговой линии ' сложной конфигурации может быть с достаточной для практического строительства волнозащитных сооружений точностью осуществлена отрезками прямых. Для поверхности дна гавани необходимо использование более точных методов обеспечивающих дифференцируемость аппроксимирующей функции. Найденное в результате расчетов решение представляется на экране компьютера в виде схемы. Разработанный алгоритм.' решения изначально является геометрическим и требует для графического преставления значительно меньше ■ времени на обработку, чем численные.

Целью работы является: разработать методы геометрического моделирования и исследовать с помощью созданных на их эснове вычислительных моделей процессы"формирования поля гравитационных поверхностных' волн в протяженной области с размерами во много длин волн при набегании внешней монохроматической волны с произвольного направления.

Методика исследований. Решение задач, поставленных в диссертации, базируется на методах аналитической, дифференциальной, проективной геометрии, геометрии многомерных пространств, а также применении численных методов решения дифференциальных уравнений и компьютерной графики.

Теоретической основой проведенных исследований являются работы:

- по теории геометрических преобразований, аппроксимации поверхностей, вопросам геометрического моделирования ~ Аминова Ю. А., Валькова К. И., Иванова Г. С., Котова И. И., Первиковой В. Н., Рыжова Н, Н., Стародетко Е. А., Тевлина А. М., Тузова А. Д., Филиппова П. В., Четверухина Н.Ф., Якунина В.И.;

- по вопросам автоматизации графического решения задач -Котова И.И., Пилюгина В. В., Фролова С. А., Шишкина Е.В., Якунина В. И., Ньюмена У.,• Форсайта Дж.;

- по численным методам решения задач, получающихся в результате геометрического моделирования - Григорьева А. Д. $ Ефимова Я В., Кацене'ленбаума В.З., Тихонова А.Н., Бенерджи П., Шутца.Б. и других.

Научную новизну проведенных исследований определяют

следующие положения:

- разработана геометрическая модель на основе сингулярных

- б -

интегральных уравнений, описывающая процессы распространения гравитационных волн в протяженной области открытого типа с различными граничными условиями;

- для анализа поставленной задачи, рассмотрение процесса распространения волн в исследуемой акватории, применены методы геометрической акустики;

- разработан метод расчета волнозащищенности гавани с использованием приемов дифференциальной геометрии;

- рассмотрено влияние защитных сооружений и формы береговой линии на защищенность акватории порта;

- исследованы процессы формирования волнового поля в гавани с учетом возможных резонансов и потерь на излучение через входной створ;

Практическая значимость работы подтверждается следующими достигнутыми результатами:

1.Результаты работы могут быть использованы при исследованиях распространения волн в гаванях с целью разработки и оптимизации формы защитных сооружений.

2.Полученные результаты могут быть использованы при физическом анализе сходных волновых процессов в открытых системах с неоднородным заполнением, например, в различных акустических устройствах.

3. Разработанные на основе геометрического. моделирования численные модели могут быть также применены для разработки конструкций тонкостенных оболочек, ■ которые рассчитываются исходя из аналогичных математических уравнений.

4. Результаты исследований позволяют упростить процесс проектирования волнозащитных сооружений путем использования разработанных в диссертации алгоритмов и компьютерных .

' программ для моделирования проектируемых сооружений. -

Реализация работы. Методы геометрического моделирования гравитационных волн на прибрежной водной поверхности и

пакеты програмного обеспечения _ для ПЭВМ используются______при

проектировании волнозащитных сооружений, а также внедрены в практику расчетов распространения волн давления, возбуж-цаемых поверхностными источниками сейсмических колебаний.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы доложены и обсуждены на следующих семинарах и научно-технических конференциях:

- научном семинаре "Проблемы информатики и вычислительной техники" (Москва, МПУ, 1991, 1992 и 1993 гг.);

- научном семинаре кафедры "Инженерная графика" (Москва, МГУПП, 1995, 1996 , 1997, 1998 гг.);

- 2-й " Международной конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук "(Москва, МГТУим. Н.Э.Баумана, январь 1994г.);

- 7-й и 8-й Всероссийской научно-практической конференции по графическим информационным технологиям "Кограф - 97" и "Кограф - 98" (Нижний Новгород, октябрь 1997, 1998 гг.);

-5-й Международной научно - практической конференции "Современные проблемы геометрического моделирования" (Мелитополь, сентябрь 1998 г.).

Публикации. По результатам исследований опубликовано 7

научных статей и тезисов докладов, отражающих основные результаты проведенных исследований.

На защиту выносятся: 1. Геометрическая модель, описывающая волны, в акватории с глубиной меньшей длины волны, позволяющая исследовать резонансные волновые процессы взаимодействия набегающих

волн с береговой линией сложной формы.

2. Методика геометрического моделирования и алгоритм лучевого акустического метода расчета распространения волн в двумерной неоднородной среде, позволяющая получить устойчивый и быстрый результат распространения волн в открытой области.

3. Метод расчета общего случая распространения волн с использованием конформных преобразований, позволяющий учитывать неоднородное по глубине дно и переменное граничное условие на береговой линии в рассматриваемой акватории.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, . списка используемой литературы и приложений. Диссертация содержит 177 страниц машинописного текста, 44 рисунка, 2 таблицы. Список литературы включает 121 наименование.,

Содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель и задачи исследований, ее научная новизна и практическая значимость.

В первой главе содержится обзор литературы, показывающей роль геометрических методов решения задачи моделирования поверхностных- гравитационных волн, рассматриваемой в диссертации, и анализирующей проблемы составления численных схем расчета для соответствующих геометрических моделей, описывающих волны на ■ поверхности жидкости. Рассмотрены основные геометрические характеристики векторных ¡'.полей и исследованы свойства поля скоростей жидкости в рассматриваемой диссертационной задаче.

Проанализированы основные имеющиеся в настоящее время методы расчета аналогичных"" задач- предложена систематизация численных алгоритмов, включающих в себя~постановку. задачи в терминах интегральных уравнений, лучевое описание и метод разложения по собственным функциям, рис.1. Приведен также сравнительный анализ различных методов вычислений по их эффективности и трудоемкости.

На основе сравнения имевшихся методов, для применения в геометрическом моделировании в качестве его вычислительной основы, выбраны три, как наиболее эффективных, и имеющих геометрическое истолкование и применимость к широкому классу задач: метод граничных интегральных уравнений, лучевой метод (метод геодезических) и метод моделирования с использованием ' конформных преобразований.

Во второй главе проведен вывод основного уравнения для потенциала скорости жидкости Ф, описывающего безвихревое иззнтропическое движение идеальной неразрывной жидкости. Рассмотрены геометрические характеристики такого вида движения среды: средняя кривизна векторного поля направлений скоростей п С $Сх,у,г) =у(х,у,г)п, V - величина скорости), его голоноыность, кривизна, а также проанализированы поля присоединенных векторов к полю п. Сделан переход от общего уравнения Лапласа для потенциала Ф Ш=0) в случае произвольного трехмерного течения идеальной жидкости ' к лианеризованной модели за счет преобразования нелинейного граничного условия на свободной поверхности жидкости -кт)+Ф+ ^(Ф2+Ф2+Фг)+ £ =0 на 8,

- I с X у г р

где р - давление, р - плотность жидкости, у=7|(х,гД), рис.2. С помощью введения дополнительного условия о малости глубины

Численные методы (ЧМ)

Временные

Глобальные методы (ГМ)

Ма гричной линии передачи (ММЛГ1)

Метод пряных {МП}

Поверхностные ШВМ)

Объемные методы (ОМ)

Функции Грина (МО)Г) Метод коллокации (ИК)

..• 1

Си1гулприых ж~ теграпьньк урав-неш-и (МСИУ) Вслсмогзтепьных ИСТОЧ-МКОВ (МВИ)

Конечных разностей (ИКР)

Частотные СО

Минимальных автономных блоков (ММАБ!

Собственных функций ■ (МСФ)

Проекционные методы "(ПМ)

Метод частичных областей {МЧС)

Точечного сшивания

(МТСШ)

1

Сшивания усредненных полей (МУП}

Энергетический (МЭ)

Интегральных /равнении в час тич-ых областях

(МНУ 40)

Иипедансный (МИ)

Вариационный метод частичных обпаыей <ВЖО)

Точечного согласования

. (МТСО}

Нулевого поп я (МНГ1)

Классические проекционные <КПМ)

Вариационный метод (ВМ)

Конечных элементов

<МКЭ>

о ■

Рис.1. Классификация численных методов решения волновых задач на поверхности жидкости.

У к

/ 2 А х у=-И^

'/////¿/Ш//

Рис.2

акватории, по сравнению с длиной волны, сделан переход от трехмерного уравнения Лапласа (эллиптического типа) к двумерному уравнению Гельмгольца С гиперболического типа).

(М>) +СЬФ) - - Ф = - V.

х к г г Ц II Ц I

В этом уравнении КС х,у,г, 1) представляет собой потенциальную функцию для всех внешних сил, кроме силы тяжести, (например для сил, вызывакщх приливы), так что величина № (значение этой функции на свободной поверхности) будет равна У?( х,0,гД). Граничное условие 2-го рода (V =0), для уравнения

п

Гельмгольца, соответствует жесткой поверхности берегов и дна, рис.3.

Предполагается, что h постоянно, т.е. глубина акватории всюду одинакова. Такое преобразование кроме понижения размерности задачи повышает устойчивость ее численного решения на ЭВМ, за счет изменения типа уравнения и позволяет применить геометрические методы исследования.

В диссертации исследуются установившиеся волновые движения, когда зависимость от времени имеет гармонический

характер: <J(x,z,t) =H(x;z) е^. С помощью преобразования -1/2

H(x,z) = h GCx,z) получен основной вид уравнения, описывающего волновое движение, которое используется . в геометрическом моделировании

div gradC О + Hx,z)G = О,

г .

где k2(x,z) = twVg - ~ div grad h + j- ^^ ^ ]/h -переменное волновое число, определяемое характером поверхности дна, заданного функцией hCx,y)..

Геометрический смысл развитой модели заключается в использовании понятия проекции искомого решения с двумерной области на одномерную границу, нахождении решения для проекций и последующего восстановления полного поля по свойствам проекций. Такой прием анализа прямо основан на методах начертательной геометрии. Метод использует сингулярные интегральные уравнения, полученные на основе применения формул Грина и двумерного уравнения Гельмгольца:

(1 - Í- )ФСг ) = f[®Cr)FCr,r) - uCrÓG(r,r )Шг) + 2п , о J no.no

: i + pKr)GCr,r)dACr),

•' Jo

Ч А

где у - угол поворота границы в точке г , рис. 4.

А

обл.

А-^г

Рис.4

Задача сводится к решении системы линейных алгебраических

уравнений

N N

I А. = I й4 а 1 п)

1 = 1

где Р1 Р СЧ-| 0й5, индекс 1 - номер узла границы,

3 - номер элемента границы, рис.5.

- 14 -

Рассматриваются трудности численной реализации такой модели, прочны возникновения % различных типов числзнных неустойчивостей, а также способы их устранения. Показано, что при решении задачи распространения волны в га- ани при наличии сложной границы оптимальной является ее линейная аппроксимация. В качестве примера использования предложенной модели рассматривается задача на прямоугольной области с входным отверстием на одной из сторон.

На рис. б приведено сравнение численного и точного решений на границе области, а на рис.7 - сравнение численного и точного решений внутри нее.

1 1 i ъЛГ i _____

i U i i П 1 1 Г/ 1 1 // 1 t //] 1 1 Г 1 1 __'___dj___i_____ i\i

_ _ in 1 1 т/ / ' (If i HI i 111 i In 1 1 It 1 ¿Л i *\v~

1 /X/I I ГУ^-. , t&i-iy 1 1 ХГ17 1 1

-0.1 О - III II III 11 III I III H 1 141I 4 II | 4 II HI ll| II I ГЩ Il| 1Г I rn nil -j>

O.OO 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 L

Рис. 6

На рисунке б кривая l- аналитическое решение;' результаты численного решения: кривая 2 (14 точек разбиения границы с равномерным шагом) и кривая 3 (28 точек разбиения). Видно, что даже при минимальном числе разбиений наибольшее отклонение численного решения не превышает 5% от точного.

•СО - 15 -

На рисунке 7 кривая 1- точное решение; кривая 2- численное решение. Отличие точности решения не превышает 2

В третьей главе рассматривается расчет распространения волн в двумерной неоднородной среде методом геометрической акустики. Сначала рассматривается лучевая структура полей а средах, свойства которых медленно изменяются в пространстве, например глубина гавани. Лучевое строение поля рассмотрено двумя способами. Волновые фронты и нормали к ним, рис.8а, т.е. лучи, можно построить, если решить дифференциальное уравнение эйконала.

-16 -

здесь ( и 7] координаты на поверхности, .принятого за начг ьный волнового фронта ¡ЗСт).

.. Показано, что лучи, имеющие разную амплитуду и идущие параллельно друг другу, обмениваются энергией. Можно также получить лучи, рассматривая интегральное представление поля и определяя его в точке наблюдения методом стационарной фазы. Этот подход позволяет сформулировать условие применимости геометрической акустики к гравитационным волнам на поверхности жидкости. Изложен метод моделирования и описана структура программы, разработанной на его основе. На рис. 86 дан пример расчета изменения энергии волны при распространении ее над пологим дном при его различной крутизне "а". По горизонтальной оси отложено расстояние до берега в метрах, а по вертикальной- энергия в долях от исходной энергии волны.

1.00 0.80 0.60 -Е

0.40

0.20 -

0.00 £

I т » МТГПТТГТП ГГГ1 ГЦ П НИ I щ Г I I I 1 I I I I I I I Г ГГ| 1 1ЧТ1 I I I I I I I

-20б.0 0.0 200.0 400.0 600.0 800.0 1000.0 1200.0

Рассмотрена дифракция на больших телах, с ребрами или гладких, которые могут служить моделями псртоз:к сооружений и естественных-особенностей_берегсасй ли-::-:;:. Прнблиуэние Кирхгофа (физическая теория дифракции } Д'дет возможность определить поля всюду, кроме, иногда несущественной, области глубокой тени или больших углов дифракции. Предложенная ж? Келлером геометрическая теооия диу?£::ции, в котооой постулируется лучевая структура дифракционных полей тс:-::-.с л в тени, позволяет существенно уточнить структуру высокочастотных полей и расширяет область применимости геометрической акустики. Этот метод Является одним из наиболее наглядны, хотя и требует при своей реализации довольно сложного алгоритма, учитывающего появление новых лучей на неоднородностях и затухания старых при последовательных отражениях и зыходах через входной стзср.

Приведено обоснование применения этого >.:-этога к рассматриваемой задаче и показано, что луч, вдоль которого распространяется энергия, является геодезической линией на поверхности жидкости с плавно меняющимися, свойствами. Раззнл метод сглаживания эффективного коэффициента преломления :-.& основе параболической интерполяции. Рассмотрены асимптотические методы в дифракции волн, включая прямей лучевой метод, а также алгоритмы параболического уравнения и геометрической теории дифракции. Перзьй способ реализован э виде численного алгоритма. Оь основан на селении •.•^зяекпй геометрической акустики

а)

сЗт

б)

ар от

а§ _ г ст

где Б - эйконал, р = 7 Б. Параметр т вдоль направления р се зан с длиной дуги, о условием сЗт^о/п. Вектор г определяет точку на луче, а вектор <3г/с1т - касательный к лучу. Вектор р, определяющий направление луча, изменяется вдоль луча, в направлении градиента п.

На рис. 9 показано решение модельной задачи о распространении лучей над уединенным углублением дна, имеющем круговую симметрию. По осям отложены расстояния в метрах.

0.00 200.00 400.00 600.00 800.00 1000

- 19 -

На рис. 10 и И даны примеры расчета распростренения волны в гавани сложной формы типа "гребенки" на основе алгоритма, - использующего приближение параболического

уравнения. Штрих-пунктирные линий с цифрами~ обозначают-----------

уровень волнения в данной зоне акватории в долях от исходного волнения. Пунктирные линии - первичный фронт волн, точечные линии - отраженный фронт волны.

\

\

/

! >

\ И I________1

\ , Л I---------и , к ч

X >--' г Г 1 К/ \ \

/ у' -Л и/^-ч А > \

'' ' \' И ■ Луг \ I 1

/ / х >Л ____4« НП

/ Л-. , !_______/

I / Ы х,

г >

А \ "/'У \

• • . \ V' 1

Рис.10. Без учета отражения

7-1-

з ... ¡.а

•....................Г ;

V ь '

и' 1

^ 1 г\

■ .>., \ ./

/ \ У

- 20 -

Четвертая глаза посвящена применению разработанных методов геометрического* моделирования к определению волнового возмущения поверхности жидкости. В основу положена методика двукратного конформного преобразования рассматриваемой области. Разработана общая постановка неоднородной краевой задачи третьего рода для двумерного уравнения Гельмгольца в области сложной формы.

После 'конформного отображения области с границей Г на круг ед; личного радиуса имеем следующую граничную задачу -AG + kY(r,p)G =0, г<1

о

5G

G + Zip) — = F(f>) при г=1, где Д - оператор Лапласа в цилиндрических координатах г и р. Область, где ищется решение, это круг, определяемый условием г<1, 0 < р < 2п . Бее функции: G, n*, Z и F полагаются периодичными по углу <р с цериодом 2п. • Предложен способ ее решения неполным методом Галеркина. Общая постановка задачи разделена на два этапа: построение двустороннего конформного преобразования заданной области на единичный круг .и обратно, и решение неоднородной краевой задачи в единичном круге с применением быстрого преобразования Фурье, рисЛ2.

Решение определяется в виде суммы (Хг,р) - Ч(г,<р) +

А'/ = 0, г<1

"Ч? ~""" —

V + Эг = рГ=1

и для

Д1 + кУ(г,р)И =-кгп*Сг,^У, г<1

+ 2С 0 ~ - О, г=1

Заключение.

По результатам проведенных в диссертационной работе

исследований можно сделать следующие выводы:

1. Разработанная геометрическая модель, описывающая волны в акватории с глубиной меньшей длины волны, позволяет исследовать резонансные волновые процессы взаимодействия набегающих волн с береговой линией сложной конфигурации.

2. Методика геометрического моделирования и алгоритм лучевого акустического метода расчета распространения волн в двумерной неоднородной среде, дают устойчивый и быстрый результат для определения характеристик распространения волн в открытой области.

3. Моделирование распространения волн лучевым методом учитывает вклад лучей, образующихся от резких изломов

, границы гавани при . расчете их методом геометрической

- теории дифракции.

4.Использование методов дифференциальной геометрии для расчета волнения позволяет исследовать общие случаи распространения волн, учитывающие неоднородное по глубине

дно и переменнее граничное условие на береговой линии в рассматриваемой, акватории.

5. Комплекс методов моделирования с единым геометрическим подходом, дает возможность исследовать различные случаи гравитационных волновых процессов на поверхности жидкости.

6. Результаты исследований позволяют упростить процесс проектирования волнозащитных сооружений путем использования разработанных в диссертации алгоритмов и компьютерных программ для моделирования проектируемых сооружений.

Публикации.

1. Афонин И.М. Применение метода граничных элементов для расчета стационарных волн в двумерной области. Деп. в ВИНИТИ №2000-В95 от 04.07.95., -И с.

2. Афонин И. М. Сравнительный анализ методов моделирования волновых процессов на поверхности жидкости. Деп. в ВИНИТИ Ы°2517-В95 от 30.08.95., -15 с.

3. Афонин И.М. Расчет волновых процессов на поверхности жидкости лучевым и резонансным методами. Деп. в ВИНИТИ Н°3050-В95 от 20.11.95., -21 с.

4. Афонин И.М., Якунин В.И. Геометрическое ■ моделирование волн на поверхности жидкости. Тезисы докладов 7-ой Всероссийской научно - практической конференции по компьютерной геометрии и • графике "Кограф 97", Нижний Новгород, 27-31 октября 1997г., с. 31-32.

5. Кузнецов В. В., Ледовских И. А., Афонин И. М. Моделирование поверхностных гравитационных"волн-в—прибрежной зоне. Труды 2-ой Международной конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук". М.: МГТУ, 1994, с. 179-182.

5. Якунин В. И., Афонин И. М. Геометрическое моделирование волнового возмущения жидкости методом двусторон него конформного преобразования. Тезисы докладов 5-ой Международной научно -практической конференции "Современные проблемы геометрического моделирования", Мелитополь, 8-10 сентября 1998., с. 42-43.

1. Якунин В. И., Афонин И. М. Геометрическое моделирование движения поверхности жидкости методом конформного преобразования. Тезисы докладов 8-ой Всероссийской научно -практической конференции по графическим информационным технологиям "Кограф - 98", Нижний Новгород, 20-23 октября 1998, с. 47-48.

эдписано к печати 16.11.98г. Зак. 191 Объем 1,25 п.л.Тир.100 лпография МГТУ им. Н.Э.Баумана.

Министерство общего и профессионального образования РФ Московский Государственный авиационный институт С технический университет)

АФОНИН Игорь Михайлович ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ

Специальность - 05.01.01 (прикладная геометрия и инженерная графика)

На правах рукописи УДК: 514.86:534.141

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата технических наук

Г-<

Научный руководитель: засл. деят. науки и техники России доктор технических наук, профессор В. И. ЯКУНИН

Москва 1998 г.

- 2 -СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ. ................................................... 4

ГЛАВА 1. Анализ состояния проблемы и актуальность

поставленных задач. .............................. 12

§1.1. Формулировка задачи о гравитационных волнах

на поверхности жидкости. ...................... 12

§1.2. Основные геометрические характеристики

векторных полей ................................ 22

§1.3. Систематизация алгоритмов решения задачи

анализа волнения. ............................. 31

ГЛАВА 2. Геометрическое моделирование резонансных волновых

процессов на основе метода граничных элементов.■ ■ • 43

§2.1. Вывод основного уравнения для потенциала

скорости жидкости. ............................. 43

§2.2.Геометрические характеристики безвихревого

течения идеальной жидкости. ..................... 48

§2.3. Преобразование уравнений движения жидкости

для геометрического моделирования. .............. 54

§2.4.Метод геометрического моделирования

на основе интегральных уравнений. ............... 65

ГЛАВА 3. Расчет распространения волн в двумерной неоднородной

среде методами геометрической акустики. ........... 76

§3.1. Обоснование применения методов геометрической акустики для моделировании поверхностных волн.... 76

§3.2. Луч как геодезическая линия при распространении волн в пространстве с плавно изменяющимися свойствами. ...................................... 78

§3.3. Асимптотические методы в дифракции волн на

протяженных телах. ............................. 111

§3.4.Распространение волн через большие отверстия. ■ •. 126

ГЛАВА 4. Определение волнового возмущения поверхности

жидкости методами дифференциальной геометрии.• • ■ • 136

§4.1. Постановка неоднородной краевой задачи 3-го

рода для неполного метода Галеркина............. 136

§4.2.Алгоритм построения конформного преобразования заданной области в единичный круг и ему обратного. ................................. 138

§4.3. Решение неоднородной краевой задачи с

применением быстрого преобразования Фурье. ..... 156

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. ............................................... 165

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. ....................................... 168

ПРИЛОЖЕНИЯ. ...................'............................ 178

ВВЕДЕНИЕ.

Актуальность исследования.

Геометрическое моделирование процессов распространения гравитационных волн на поверхности .жидкости с применением численных методов имеет важное значение для понимания сложных процессов распространения и дифракции волн в открытой области, а также с практической целью - для расчета оптимальной конструкции защитных портовых сооружений. Одним из достоинств геометрических моделей является возможность получения наглядных представлений о рассматриваемых волновых процессах и выявление общих приемов в различных численных методах моделирования. Существующие аналитические модели [51,781 позволяют рассматривать задачи в системе волна-гавань в первом приближении, тогда как большинство характерных режимов распространения волны, особенно в областях с переменной глубиной, являются весьма сложными и описываются какими-либо асимптотическими теориями [57,71,104] весьма приблизительно, не давая точного решения. Характерным примером процессов подобного типа является процесс распространения волн с учетом переменного коэффициента отражения от береговой линии сложной формы в открытой области. Этот процесс носит стационарный (по времени) характер, обладает достаточно широкой характерной полосой частот волнения жидкости и может быть описан различными математическими моделями [21,261 с медленно меняющимися вдоль основного направления распространения амплитудами полей.

Применение численных методов решения задачи защиты портовых сооружений, имеющих, как правило, сложную геометрическую конфигурацию сооружений, а также неоднородную глубину акватории, не дает требуемой точности решения. Результаты решения полученные при помощи этих методов представляются в цифровом виде. Они требуют для своего представления в графическом, т.е. наиболее удобном для восприятия, виде разработки дополнительных алгоритмов и программ.

Разработка метода геометрического моделирования волновых процессов на поверхности жидкости основывалась на трудах ученых прикладников наших соотечественников Бюшгенса С. С. , Иванова Г. С. , Котова И. И., Кузнецова В. В., Пилюгина В. В., Фролова С. А., Якунина В. Й. и других, а также ряда иностранных ученых Пратт М. С Pratt M. ), Препарата Ф. С Preparata F. ), Фокс А. С Faux I. ), Форрест А. С Forrest А. ), Шеймос M. (Shamos MJ и других.

Разрабатываемый в диссертации метод геометрического моделирования процесса распространения волн в прибрежной зоне и акватории порта по своей сущности является более точным при решении задач такого класса, чем чисто численные методы [ 95, 27 ]. Так учет переменной глубины поверхности дна акватории может быть осуществлен при помощи задания этой поверхности точечным базисом [70]. Аппроксимация береговой линии сложной конфигурации может быть с достаточной для практического строительства волнозащитных сооружений точностью осуществлена отрезками прямых [1193. Для поверхности дна гавани необходимо использование более точных методов [ 2, 34, 35, 77, 90 ], обеспечивающих дифференцируемость аппрок-

симирующей функции. Найденное в результате расчетов решение представляется на экране компьютера в виде схемы С45, 87, 88, 100, 106]. Разработанный алгоритм решения изначально является геометрическим и требует для графического представления значительно меньше времени на обработку, чем численные.

Целью работы является: разработать методы геометрического моделирования и исследовать с помощью созданных на их основе вычислительных моделей процессы формирования поля гравитационных поверхностных волн в протяженной области с размерами во много длин волн при набегании внешней монохроматической волны с произвольного направления.

Методика исследований. Решение задач, поставленных в

диссертации, базируется на методах аналитической, дифференциальной, проективной геометрии, геометрии многомерных пространств, а также применении численных методов решения дифференциальных уравнений и компьютерной графики.

Теоретической основой проведенных . исследований являются работы:

- по теории геометрических преобразований, аппроксимации поверхностей, вопросам геометрического моделирования -Аминова Ю. А., Валькова К. И., Иванова Г. С., Котова И. И., Первиковой В. Н., Рыжова Н. Н., Стародетко Е. А., Тевлина А. М., Тузова А. Д., Филиппова П. В., Четверухда Н. Ф., Якунина В. И.;

- по вопросам автоматизации графического решения задач -

Котова И. И., Пилюгина В. В., Фролова С. А., Шишкина Е. В. , Якунина В.И., Ньюмена У., Форсайта Дж.;

- по численным методам решения задач, получающихся в результате геометрического моделирования - Григорьева А. Д., Ефимова Н. В., Каценеленбаума Б. 3., Тихонова А. Н., Бенерджи П., Шутца Б. и других.

Научная новизна.

Научную новизну проведенных исследований определяют следующие результаты:

- разработана геометрическая модель на основе сингулярных интегральных уравнений, описывающая процессы распространения гравитационных волн в протяженной области открытого типа с различными.граничными условиями;

- уточнен геометрический метод лучевого анализа при распространении волн (построение геодезических линий в неоднородном пространстве);

- разработан метод расчета волнозащищенности гавани с использованием приемов дифференциальной геометрии;

- рассмотрено влияние формы сооружений и береговой линии на защищенность акватории порта;

Практическая ценность работы заключается в следующих полученных результатах:

1.Результаты работы могут быть _ использованы при исследованиях распространения волн в гаванях с целью

разработки и оптимизации, формы защитных сооружений.

2. Полученные результаты могут быть использованы при -физическом анализе сходных волновых процессов в открытых системах с неоднородным заполнением, например, в различных акустических устройствах.

3. Разработанные на основе геометрического моделирования численные модели могут быть также применены для разработки конструкций тонкостенных оболочек, которые рассчитываются исходя из аналогичных математических уравнений.

4.Результаты исследований позволяют упростить процесс проектирования волнозащитных сооружений путем использования разработанных в диссертации алгоритмов и компьютерных программ для моделирования проектируемых сооружений.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Геометрическая модель, описывающая волны в акватории с глубиной меньшей длины волны, позволяющая исследовать резонансные волновые процессы взаимодействия набегающих волн с береговой линией сложной формы.

2. Методика геометрического моделирования и алгоритм лучевого акустического метода расчета распространения волн в двумерной неоднородной . среде, позволяющая получить устойчивый и быстрый результат распространения волн в открытой области.

3.Метод расчета общего случая распространения волн с

использованием конформных преобразований, позволяющий учитывать неоднородное по глубине дно и переменное граничное условие на береговой линии в рассматриваемой акватории.

Структура диссертации.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка используемой литературы и приложений. Диссертация объемом 177 страниц машинописного текста, содержит 44 рисунка, 2 таблицы. Список литературы включает 121 наименование.

В первой главе содержится обзор литературы, показывающей роль геометрических методов решения задачи моделирования поверхностных гравитационных волн, рассматриваемой в диссертации, и анализирующей проблемы составления численных схем расчета для соответствующих геометрических моделей, описывающих волны на поверхности жидкости. Предложена систематизация численных алгоритмов, включающих в себя постановку задачи в терминах интегральных уравнений, лучевое описание и метод разложения по собственным функциям. Приведен также сравнительный анализ различных методов вычислений по их эффективности и трудоемкости. -

Вторая глава посвящена разработке геометрической модели

для резонансных волновых процессов на поверхности жидкости с помощью метода граничных элементов. Геометрический смысл развитой модели заключается в применении принципа проекции искомого решения с двумерной области на одномерную границу, нахождении решения для проекций и последующего

восстановления полного поля по свойствам проекций. Такой прием анализа прямо основан на методах начертательной < геометрии. Метод использует сингулярные интегральные уравнения, полученные на основе применения формул Грина и двумерного уравнения Гельмгольца. Задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. Рассматриваются трудности численной реализации такой модели, причины возникновения различных типов численных неустойчивостей, а также способы их устранения. Показано, что при решении задачи распространения волны в гавани при наличии сложной границы оптимальной является ее линейная аппроксимация. В качестве примера использования предложенной модели рассматривается задача на прямоугольной области с входным отверстием на одной из сторон.

В третьей главе рассматривается расчет распространения

волн в двумерной неоднородной среде методом геометрической акустики. Приведено обоснование применения этого метода к рассматриваемой задаче и показано, что луч, вдоль которого распространяется энергия, является геодезической линией на поверхности жидкости с плавно меняющимися свойствами. Развит метод сглаживания эффективного коэффициента преломления на основе параболической интерполяции. Рассмотрены асимптотические методы в дифракции волн, включая прямой лучевой метод, а также алгоритмы параболического уравнения и геометрической теории дифракции. Первый способ реализован в виде численного алгоритма.

Четвертая глава посвящена разработке методов геометрического моделирования волнового возмущения поверхности жидкости в наиболее общем случае. В основу положена

- и -

методика дв-укратного конформного преобразования рассматриваемой области. Разработана общая постановка неоднородной краевой задачи третьего рода для двумерного уравнения Гельмгольца в области сложной формы. Предложен способ ее решения неполным методом Галеркина. Общая постановка задачи разделена на два этапа: построение двустороннего конформного преобразования заданной области на единичный круг и обратно и решение неоднородной краевой задачи в единичном круге с применением быстрого преобразования Фурье.

В заключении изложены основные результаты, полученные в работе.

Результаты диссертационной работы докладывались на:

- научном семинаре "Проблемы информатики и вычислительной техники" (Москва, МПУ, 1991, 1992 и 1993 гг,

- научном семинаре кафедры "Инженерная графика" (Москва, МГУПП, 1995, 1996 , 1997, 1998 гг.),

- 2-й Международной конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук "(Москва, МГТУим. Н.Э.Баумана, январь 1994 г.),

- 7-й Всероссийской научно-практической конференции по компьютерной геометрии и графике "Кограф 97" (Нижний Новгород, НГТУ, октябрь 1997 г.),

-5-й Международной научно - практической конференции "Современные проблемы геометрического моделирования" (Мелитополь, сентябрь 1998 г.),

- 8-й Всероссийской научно - практической конференции по графическим информационным технологиям "Кограф - 98" (Нижний Новгород, октябрь 1998 г.), .

и опубликованы в работах [ 8, 9, 10, И, 47 ,93, 94 1.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ' СОСТОЯНИЯ ПРОБЛЕМЫ И АКТУАЛЬНОСТЬ ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ.

§1.1. Формулировка задачи о гравитационных волнах на поверхности жидкости.

Рассмотрение волн на поверхности жидкости является предметом.многих прикладных наук. Различные виды волн можно разделить на два основных класса С51,783: капиллярные и гравитационные. Первый тип - преобладает для волн малой, по отношению к глубине акватории, длины, когда определяющими являются молекулярные силы, характеризуемые коэффициентом поверхностного натяжения. Второй вид волн наиболее существенен, когда длина волны велика (\>0.1м.), так что основные характеристики определяются действием сил земного притяжения. В этом случае диапазон значений изменяющийся от 10 до 100м, наиболее важен при рассмотрении штормовых волн, несущих огромную энергию. Защита от волн прибрежных строений и акваторий портов представляет собой практически важную проблему. Для ее эффективного решения целесообразно развитие геометрических Скак наиболее наглядных даже в силу самой постановки задачи) методов моделирования (рис. 1.1.1), опирающихся на проведение численных расчетов и представление их результатов в- графическом виде на экране компьютера.

Число методов, применяемых в науке и технике, весьма велико С713. Среди них существенное значение имеют те, которые дают информацию о форме и размерах объектов и их относительном положении в пространстве. Такими методами конструирования и использования соответствующих моделей являются методы геометрического моделирования [24].

Ршх1Л.1. Схема связей и задач геометрического моделирования для моделирования волновых процессов в гавани.

Процесс математического моделирования идет обычно по одному из двух путей. Первый - геометрическое описание явлений, в этом случае сразу можно приступать к геометрическому моделированию. Второй, когда вводятся те или иные аналитические описания, тогда развиваются действия, характерные для аналитического пути.

На практике получили распространение и различные смешанные методы. Например, сначала даются геометрические описания, а затем производятся математические расчеты. Такая последовательность действий довольно часто используется в физике С 41]. При выполнениии инженерных расчетов нередко поступают наоборот: сначала получают аналитические зависимости, а потом - воплощают их в геометрической модели, например в номограмме С 45, 96, 97].' Примерная схема использования геометрических методов приведена на рис.1.1.2.

Встречаются и другие варианты комбинированного использования математических методов. Важно отметить, что на заключительном этапе моделирования различные способы математического моделирования порой приводят к одинаковым результатам. Следует подчеркнуть, что геометрический способ описания явлений, а следовательно, и процесс геометрического моделирования, возможны всегда, когда применимы математические методы [98].

Из