автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.09, диссертация на тему:Выбор оптимальных траекторий набора высоты транспортного самолета с учетом требований к точности навигации

На правах рукописи

Краснобаев Василий Константинович

ВЫБОР ОПТИМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ НАБОРА ВЫСОТЫ ТРАНСПОРТНОГО САМОЛЕТА С УЧЕТОМ ТРЕБОВАНИЙ К ТОЧНОСТИ НАВИГАЦИИ

Специальность 05 07 09 "Динамика, баллистика и управление движением летательных аппаратов"

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 2007

003061341

Работа выполнена на кафедре «Динамика и управление летательны аппаратов» факультета Авиационной техники Московского Авиационног Института (Государственного Технического Университета, МАИ)

Научный руководитель

Доктор технических наук, профессор Брусов Владимир Сергеевич

Официальные оппоненты

Ведущая организация

Доктор технических наук, профессор Кубланов Михаил Семенович Московский государственный технический университет гражданской авиации, Кандидат технических наук Гревцов Николай Максимович

Центральный Аэрогидродинамический Институт им проф Н Е Жуковского Государственный научно-исследовательский институт гражданской авиации

Защита состоится «_»_2007 года в «_» часов на

заседании диссертационного совета Д212 125 12 Московского авиационного института (Государственного Технического Университета) по адресу 125993, г Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское ш 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационног института (Государственного Технического Университета)

Автореферат разослан «_

2007 г

Отзывы, заверенные печатью, просим направлять по адресу 125993, г Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское ш 4

Ученый секретарь диссертационного совета Д212 125 к т н , доцент

Дарнопых В В

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Интенсификация воздушного движения в конце XX века привела к ужесточению требований, предъявляемых к траектории полета воздушных судов (ВС) В то же время рост цен на авиационное топливо, техническое обслуживание ВС и стоимость их компонентов привели к необходимости оптимизации траектории движения ВС с учетом экономических факторов Связующим между динамикой движения ВС и экономикой его эксплуатации являются прямые эксплуатационные расходы (ПЭР)

Таким образом, актуальность работы обусловлена необходимостью повышения экономической эффективности эксплуатации ВС путем оптимизации параметров его движения при наличии ограничений

Целью работы является повышение экономической эксплуатации ВС путем применения метода расчета траектории набора высоты транспортным самолетом, обеспечивающим уменьшение эксплуатационных расходов при безусловном учете фазовых ограничений на конец траектории

Методы исследования

При получении результатов диссертации использовались методы теории оптимального управления, вычислительной математики, а также методы математического моделирования и численного решения задач в системе "МАТЛАБ"

Объектом исследования является оптимальная по ПЭР траектория движением ВС с учетом ограничений, накладываемых на фазовые координаты на конце траектории

Предметом исследования является метод поиска оптимального управления самолетом в виде последовательности кусочно-гладких функций, обеспечивающей минимизацию расходов при одновременном выполнении краевых условий

Научная новизна состоит в следующем

1) при интегрировании системы дифференциальных уравнений в качестве независимой переменной использована величина, пропорциональная ПЭР, что позволяет рассматривать время как одну из фазовых переменных и тем самым упростить формулировку задачи четырехмерной навигации,

2) для учета ограничений на конце траектории разработан и применен метод "скользящей сетки", сводящий задачу к выбору оптимальной последовательности участков горизонтального полета и набора высоты, удовлетворяющей заданным краевым условиям

Практическая значимость работы.

Полученный метод позволяет находить оптимальную по ПЭР траекторию выхода транспортного самолета на заданный эшелон за заданное время или на заданной дальности, при этом контролируемые параметры полета - воздушная скорость V и угол наклона траектории 0 являются кусочно-гладкими функциями С точки зрения практического применения метода важным является то, что он не привязан к какому-либо конкретному типу самолета и, следовательно, может быть использован при расчетах траекторий любых летательных аппаратов Результаты

работы внедрены в Государственном Научно-Исследовательском Институ Гражданской Авиации (ФГУП ГосНИИГА) и Центрально Аэрогидродинамическом институте (ЦАГИ) имени профессора Н Е Жуковского, чт подтверждается соответствующими актами о внедрении

Достоверность_результатов обеспечивается использование

рекомендованных исходных данных, широко распространенного в научной инженерной практике программного обеспечения, а также схемой построен« расчетных алгоритмов

Апробация работы и публикации по теме диссертации. Положения работы докладывались на заседании кафедры 106 МАИ "Динамик и управление полетом летательных аппаратов", а также на семинарах в ЦАГИ ГОСНИИ ГА Список публикаций (статьи и тезисы к конференциям), в том числе одобренных ВАК изданиях [2,6] приведен в конце реферата Результаты, выносимые на защиту.

1) Метод расчета оптимальной траектории полёта самолета, использующий пр интегрировании уравнений движения независимую переменнук пропорциональную прямым эксплуатационным расходам на рассматриваемо: участке полета,

2) Алгоритм выбора оптимального управления транспортным самолетом на участк набора высоты, при котором управление принимается в виде последовательност кусочно-гладких функций, соответствующих участкам горизонтального полета набора высоты, названный методом «скользящей сетки»,

3) результаты исследования зависимости значения целевой функции от параметро расчетного метода для случаев набора заданной высоты на заданной дальности за заданное время,

4) изменение величины целевой функции при использовании траектории, отлично от оптимальной,

5) результаты расчетов оптимальных режимов набора высоты самолетами Ил-86 Ту-154Б при варьировании заданных дальности и времени выхода на заданнуг высоту

Структура и объём диссертации.

Работа состоит из введения, трех глав, приложений и заключения Основно текст содержит 131 страницу, включая 24 таблицы и 27 рисунков Списо литературы состоит из 57 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведена общая характеристика работы Обосновываете актуальность темы, излагаются научная новизна и практическая значимость работы В первой главе рассмотрена математическая формулировка задач: оптимального управления транспортным самолётом Проанализировано состояни исследований в соответствующей области теории оптимального управления Приведены наиболее часто употребляемые для расчёта траектории методы теори: оптимального управления- динамическое программирование, метод максимум Понтрягина и энергетический метод

Сформулирована техническая постановка задачи оптимального

управления, решаемая на следующих этапах жизненного цикла самолета-^проектирование самолета и расчет его летно-гекнических характеристик, 2)штурманский расчет полета, 3 Оперативное изменение плана полета, в том числе и с использованием бортового навигационного комплекса

Рассмотрены прямые эксплуатационные расходы, обосновывается их использование в качестве целевой функции при оптимизации траектории полета

Ядром существующих исследований оптимального управления летательным аппаратом является дифференцирование системы уравнений, описывающих его движение в пространстве В качестве независимой переменной традиционно используется время, что наглядно показывает динамику исследуемого объекта, но не позволяет отследить связь объекта управления и внешней по отношению к нему среды При оптимизации траектории самолета необходимо непосредственно связать характеристики его траектории с вкладываемыми в нее ресурсами (время достижения определенных параметров и требуемые затраты топлива) Такая связь станет очевидной, если в качестве независимой переменной принять ПЭР Кроме того, преимуществом использования ПЭР в качестве независимой переменной является упрощение исходной задачи оптимального управления в ее математической постановке При решении задачи четырехмерной навигации (движение самолета в декартовой системе координат и время как четвертая координата) удобно, чтобы все искомые характеристики траектории являлись фазовыми переменными, а система уравнений движения интегрировалась вдоль некоторой независимой переменной

Отказ от времени в качестве независимой переменной и выбор в ее качестве иной величины позволяет легко решить эту задачу, приняв за момент окончания интегрирования достижение заданного значения одной из фазовых координат (времени, высоты или дальности полета) в соответствии с поставленной задачей Прямые эксплуатационные расходы (DOC - Direct operation costs), представляют собой необходимые для выполнения полета ресурсы (время, топливо, финансы) DOC = CTOnJ1Q + CmT

здесь т - время полета,Q - расход топлива за полет, С„ - стоимость летного часа (без топлива), С„„- стоимость топлива

В качестве оптимизируемой примем величину, равную

•f = C,t„o«+CfQ

Здесь J-ПЭР, с,-стоимость времени, гтл -время полета, сf - стоимость топлива, Q-расход топлива за полет

Рассмотрим уравнения движения самолета в вертикальной плоскости

L = VcosO,

h = V sin 9 , (1)

Где V - воздушная скорость, h - высота полета, L - пройденное самолет., расстояние, m - текущая масса самолета, 9 - угол наклона траектории, qs секундный расход топлива

V и в- программное управление, ограниченное условиями

K,¿V<Vmax (2),

или, в векторной форме u = (V,G)

Тангенциальная и нормальная перегрузка определяются по формулам

Pcos(a-cp)-Xa

=-—--———,

mg

Р sin(a - ф) + Ya

mg

где Р - тяга, Ха - сила лобового сопротивления, У, - подъёмная сила, а - угол атак] Ф - угол установки двигателей, ш - масса самолета, g - ускорение свободног падения

Секундный расход топлива можно выразить следующим образом

Я5 = Рсуд, где суа(У,Ь) - удельный расход топлива Далее в работе принимаются следующие допущения

1 Разность углов а - ф * О

2 Поляра самолета определяется параболической зависимостью с« = схао + Ас„2, где А - коэффициент отвала поляры

Полагаем, что функционал, являющийся критерием оптимальности, записан форме Лагранжа

где (3)

<о

а = С„ !Стт, /3600, секундный расход топлива,/0 и время начала окончания процесса соответственно Приведя задачу Лагранжа к задаче Майер; получим новую переменную и новый функционал

х = ^(д,+а)Л, (4)

'о

J=x(t1) (5)

Функционал (3) связан с ПЭР соотношением ПЭР =

Добавим в систему уравнений (1) переменную х = <?,,+ а Далее, выбрав х в качестве новой независимой переменной, монотонн возрастающей от /0 до /,, получим систему уравнений ¿1 _ У(х) соьвМ

<3х + а — -

» , > I®/

ах Я,+а

¿т _ д, (¡х + а '

(Н = 1 ск Ч, +а

Начальные условия

Шо) = А>, Кх0) = К, т(х0) = т0, /(х0) = 10

Мы имеем задачу Майера с ограничениями на правом конце Для учета этих ограничений введем новую переменную

у - \дх, дополнив систему (6) уравнением

о

Л

Запишем новый функционал ^ = у(хк) или ./'= Ф(>4) (7)

Выполнение ограничений на отдельные фазовые координаты является необходимым условием поставленной задачи оптимального управления самолетом Как показывает практика, при рассмотрении траекторного управления самолетом в вертикальной плоскости могут быть выделены следующие задачи выход на заданную высоту, выход на заданную высоту к заданному рубежу или достижение в горизонтальном полете заданного рубежа в заданное время

Выбор той или иной задачи, а также точность выхода на заданный рубеж определяется конкретными условиями полета и требованиями УВД

Кроме ограничений на траекторию необходимо также учитывать присущие самолету ограничения на управляющие переменные V и б По максимальной скорости Утз„ приняты ограничения по приборной скорости, выбираемое из условий прочности самолета (возможное появление остаточных деформаций) или по допустимому числу Мтачдоп, при превышении которого происходит ухудшение продольной устойчивости самолета, а также иные неблагоприятные последствия, связанные с приближением критического числа М

Ограничения по минимальной приборной скорости определяются согласно

РЛЭ

Ограничение по максимальному углу наклона траектории 6т„ связано с ограничением располагаемой тяги Максимальный угол наклона траектории может быть найден из соотношения Р -X.

51Пб„

расп

гад

где Ррасл - располагаемая суммарная тяга силовой установки, зависящая от высоты и скорости полета, Ха - сила лобового сопротивления, т - масса самолета, g -ускорение свободного падения

В качестве расчетного случая в работе рассмотрен набор начальной высоты крейсерского полега 9600 метров самолетами Ил-86 и Ту-154Б, являющимися, согласно существующим сертификационным правилам АП-25, самолетами транспортной категории Начальная высота составляет 400 метров, считаем, что на меньших высотах траектория должна прежде всего обеспечивать безопасность полета и, следовательно, ее параметры не могут быть изменены с целью

уменьшения эксплуатационных расходов Наложены ограничения на время и дистанцию набора высоты, при этом полет может происходить по любой реализуемой самолетом траектории с условием выполнения установленных эксплуатационных ограничений

Вторая глава посвящена оптимизация траектории набора высоты транспортного самолета Функция Гамильтона для системы уравнений (б) и функционала (7) имеет вид

V(x)cosB(x) + V(x)sin8(x) _ х _Si_+ х _J_+ j, _ф(х) (8) qs + a qs+a qs+a qs+a

Так как конечное значение независимой переменной (аналога времени) на правом конце траектории не задано и независимая переменная не входит явно в граничные условия, то можно считать, что на оптимальной траектории гамильтониан равен нулю Н = 0 (9)

Сопряженная система 81

(Ю)

oh 8т

В большинстве случаев для сопряженной системы уравнений присуща неустойчивость, не позволяющая производить ее численное интегрирование Избежать этого помогает следующий прием

Вместо системы (10) вводится следующая система уравнений

8L

+ (Ю')

oh

>4 =-|l + e(M)Xm, cm

at

dy

Здесь e(?.,x) - такая функция, что при ее использовании в сопряжённой системе уравнений (10') для всякого решения Цх) остается постоянной сумма квадратов его

координат ¿/^ = const

Г11 ог I х) = —--. 4 --, где

^ - правые части системы (7), аг,- соответствующие фазовые переменные Так как в конечный момент времени заданы не все фазовые переменные, то недостающие условия - значения сопряженных переменных в конечный момент времени могут быть найдены из условия трансверсальности, записываемое в виде ) - Н{хк + X, О, )51 + Хк (хк )5И + Л„, (х, )8т + Лу (хк )5у = 0 (11) где

дХь оЬ дЪ дт д1 ду

5Ф(Ч)=0 гф(х!.)=0 рф(х>) = 0 ^^Кр аф(хк)=1

дхк дЬ дт ду &

а так же условия равенства нулю гамильтониана и его производных по управлению на оптимальной траектории

Н = 0,

5У

эо

Таким образом, мы имеем краевую задачу, для решения которой можно воспользоваться одним из известных способов В настоящей работе выбран метод градиентного спуска, для которого характерна простота вычислений и который обеспечивает хорошие результаты в случае, когда функция не содержит "оврагов" и в искомой области имеется выраженный экстремум

Алгоритм метода определения оптимальных режимов самолета с учетом ограничений

Рассмотрим задачу динамического программирования, представляющую собой поиск кратчайшего расстояния между двумя точками, или как изложено в некоторых работах, оптимальной программы достижения заданных высоты и скорости самолета На рис 1 представлена задача достижения заданной высоты на заданной дальности Операция достижения конечных координат самолета и Ьк разбивается на несколько шагов, называемых элементарными операциями Нахождение оптимальной траектории состоит в выборе последовательности вертикальных с, и горизонтальных I, шагов, где - число шагов по координатам Ь и Ь соответственно Каждый шаг характеризуется значением целевой функции, достигаемом на этом шаге, а критерий выбора направления в очередной точке -минимизация целевой функции Способы решения таких задач известны и достаточно изучены, но в приложении к рассматриваемой задаче выбора оптимальной траектории достижения одновременно двух координат - высоты и дальности полета самолета, необходимо принимать во внимание характерные для

го

динамики самолёта особенности, требующие обязательного учёта в процессе решения.

Ь

ЬкЛ'к

2

1. 3

с2 сг

ь

Рис. 1. Схема достижения заданной высоты и дальности в задаче динамического программирования

Во-первых, рассмотрим точку 1. Достичь её можно, используя комбинацию отрезков с, и 1, или с2 и 1,. При переходе далее, в точку 2 значение целевой функции изменится на величину, зависящую от того, каким путём мы добрались до точки I. В самом деле, комбинации отрезков (с,;!,) и (с2;12) с точки расходов не равнозначны, так как достижение заданных значений Ь, и Ь, происходит по разным траекториям, с разными начальными условиями. Таким образом, мы имеем столько возможных значений целевой функции на следующем шаге, сколькими путями мы подошли к рассматриваемой точке. Это обстоятельство не даёт возможности использовать метод динамического программирования в его классическом виде.

Во-вторых, оптимальный набор высоты транспортного самолёта происходит с переменным углом наклона траектории и заканчивается в точке, в общем случае не совпадающей с заданным узлом сетки. Учитывая указанные особенности траектории набора высоты, построим область, в которой будем искать оптимальную траекторию набора высоты как последовательность кусочно-гладких функций У|(х),е,(х),...Уп(х),еп(х), где п - суммарное число шагов. Предположим, что задачей является достижение Ь„ и Ьк при начальных условиях и (рис.2).

Построим оптимальную траекторию у,, заканчивающуюся в точке с координатами Момент достижения заданной высоты выбран в качестве

момента окончания процесса исходя из того, что: а)основная цель - набор требуемой

высоты, б)требования по точности выдерживания заданной высоты полета гораздо выше, чем требования к точности навигации по дальности и времени пролета контрольных точек маршрута

Возможны два случая а) Ь,<Ц(этот случай изображен на рисунке 2, и б)Ь,>Ьк Рассмотрим случай (а) Построим оптимальную траекторию у2, отстоящую от траектории у, на участок горизонтального полета протяженностью , такой, что траектория у2 удовлетворяет заданным требованиям по точности навигации

Очевидно, что искомая оптимальная траектория, переводящая самолет из точки с координатами (110,Ь0) в точку (йк,Ьк) будет лежать в области, ограниченной точками (Ь0 ,Ь0)-(Ьк ,Ь,)-(Ьк, Г-к )-(Ьк ,ЬЬи) Для ее построения предложено построить в полученной области сетку с заданным числом шагов по горизонтали и вертикали, рассчитать все располагаемые пути и выбрать оптимальную последовательность шагов Однако существует обстоятельство, затрудняющее реализацию данного способа расчета оптимальной траектории Как было замечено ранее, рассчитанная оптимальная траектория не всегда заканчивается в точке, служащей первым приближением, и несмотря на то, что при дроблении полной траектории на более мелкие участки величина ошибки вывода в заданную точку пространства уменьшается, но тем не менее требует учета в процессе вычислений

На рисунке 3 показана ситуация, когда при расчете элементарной операции набора высоты оптимальная траектория приходит из точки (Ь, ,Ь0) в точку (Ь2 ,Ц) вместо точки (Ь2 Предположим, что точка Ц лежит на к участке горизонтального полета, где к е [1 «,], п,- общее число участков горизонтального полета Теперь построим новую сетку, "опирающуюся" на точку (Ь2 ,Ц) и состоящую по горизонтали из п, - к ячеек, оставив прежнее деление по вертикали

Рис 2 Область, в которой ищется оптимальная траектория набора высоты на заданной дальности

При расчете возможных траекторий, начинающихся в точке,

ставшей "опорной", новая сетка будет использоваться до тех пор, пока очередная рассчитанная траектория не пройдет мимо соответствующей узловой точки

/

./ у .

ь 0 ь ( ь,

Ь 5 Ь 1

Рис 3 Сдвиг сетки на 2-м и последующих этапах расчета участков полета

Таким образом, алгоритм метода, названного "методом скользящей сетки" состоит в следующем

1) рассчитывается начальная оптимальная траектория у,,

2) проверяется выполнение условий на конце траектории,

3) при невыполнении условий на конце траектории оптимальная траектория выбирается следующим образом

а) строится траектория у2, удовлетворяющая конечным условиям,

б) выбирается число шагов по высоте пс и дальности п,, общее число возможных путей при этом р = 2" ;

в) для каждой элементарной операции строится оптимальная траектория, при этом интегрирование заканчивается при достижении для горизонтального полета -

значения Ьк1 = Ь0, + -

здесь Ь0,- начальное значение дальности, Ц,-

координата точки кривой у2, лежащей на данной высоте Ь,, ^ число пройденных участков горизонтального полета, для участков набора высоты интегрирование заканчивается в точке 2 (достижение высоты), заданная для участка высота при этом

рассчитывается аналогично по формуле Ьк1=Ь0, +———-, где Ь01- начальное

пс —ш

значение высоты, Ьк- конечное значение высоты, т- число пройденных участков набора высоты В рассматриваемой работе Ьь задано и шаг по высоте постоянен 4) выбирается путь, соответствующий минимальному значению целевой функции,

5) при необходимости соответствующие элементарным операциям законы управления, составляющие выбранный путь, аппроксимируются кривыми, позволяющими их использование для программного управления самолётом Одной из особенностей метода может стать достаточно большое число элементарных операций, однако, во-первых на каждом s-том из пс+п, шагов вновь рассчитывается лишь V элементарных операций, во-вторых, отсекается часть путей, выходящих за пределы кривых у, и у,, и в-третьих, элементарные операции сами по себе не слишком велики, то есть результаты расчетов требуют относительно немного места для хранения в памяти ЭВМ

Исходя из особенностей метода, основным вопросом, подлежащим исследованию, является определение влияния числа шагов по высоте и дальности на точность выполнения краевых условий и величину целевой функции

В случае (б), когда L,>Lk, как левая, так и правая границы области, включающей оптимальную траекторию, будут являться программой набора высоты с максимальной вертикальной скоростью VymB Построение сетки осуществляется так же, как и в предыдущем случае, а в качестве начальных законов управления для участков набора высоты можно принять режимы максимальной скороподъемности

В третьей главе "Расчет оптимальных режимов полета с учетом ограничений, накладываемых системой УВД", приведены результаты расчетов оптимальных траекторий, определенных с использованием новой независимой переменной и учитывающих ограничения на конец траектории

Произведен расчет следующих участков полета самолетов Ил-86 и Ту-154Б. набор начальной высоты крейсерского полета от h = 400м до hw, участок крейсерского полета и снижение с h^ до h = 400м

Исследование оптимальных режимов полёта без учёта ограничений на конец траектории.

В настоящей работе в качестве исходного режима полета приняты- набор высоты от 400 до 9600 метров на дистанции 150 км за 780 секунд, крейсерский полет на высоте 9600 м на рас-стояние 93 км в течении 660 секунд и снижение с высоты 10600 до 400 м на дальности 150 км за время 1200 секунд Получены следующие результаты

Таблица 1 Уменьшение ПЭР на режимах набора высоты, крейсерского полёта и

Тип ВС Набор высоты Крейсерский полет Снижение

Ил-86 -12% -28% -17%

Ту-154Б -15% -28% -17%

Значительное по сравнению с описанными выше результатами уменьшение ПЭР связано с достаточно отличающемся от оптимального начальным приближением закона управления, не отражающего особенности динамики рассматриваемых ВС Отсюда следует вывод, что для повышения экономии авиаперевозок как персонал авиакомпаний, планирующий и выполняющий полеты,

так и служба УВД при управлении полетами должны учитывать тип и характеристики осуществляющих полеты воздушных судов Сходимость метода

В качестве условия окончания итерационного процесса принято достижение

значения относительного изменения функционала reí = ~ ^ ;где J(k) и J (к -1)

- значения функционала на данном и предшествующем шагах итерации, равного О 01 Заданная относительная точность расчетов в работе достигалась, как правило, на третьем шаге итерации Хорошая сходимость выбранного метода обеспечивается выбором достаточно близкого к оптимальному начального закона управления, а так же предварительным выбором значений шагов градиентного метода и £„

Таким образом, используемый градиентный метод решения задачи оптимального управления обладает хорошей сходимостью при решении поставленной задачи, что подтверждается результатами расчетов Выполнение условий на конце траектории

Как показывают проведенные расчеты, требования к точности выхода самолета в заданную точку выполняются не во всех расчетных случаях

Так, выход самолета Ил-86 на заданную высоту происходит на 8,5 км (48 сек) ранее заданных контрольных параметров, а для Ту-154Б опережение составляет 29,5 км (130 сек) В горизонтальном полете оба самолета выходят в заданную точку на 16 мин ранее назначенного времени, а при снижении выходят на заданную высоту соответственно на 2,1 км и 2,3 км далее указанной точки маршрута В случае горизонтального полета при использовании в качестве контролируемого параметра лишь скорости самолета невозможно добиться выполнения этих условий, что является "платой" за оптимизацию расходов В случае набора высоты и снижения мы имеем два управляющих параметра, что дает возможность попытаться за счет некоторого увеличения целевой функции добиться выполнения условий на конце траектории

Исследование оптимальных режимов набора высоты с учетом ограничений на конец траектории.

При расчетах оптимальных режимов набора высоты с полным учетом ограничений на конец траектории исследовались

- влияние числа ячеек сетки по вертикали и горизонтали на величину целевой функции,

- изменение параметров оптимальной траектории набора высоты при различных полетных весах самолетов,

- значение целевой функции в зависимости от числа горизонтальных площадок

При исследовании влияния числа ячеек сетки по вертикали и горизонтали на величину целевой функции были приняты следующие исходные данные стоимость топлива с, =0 4USD/xr, точность выхода на заданную высоту по дальности Д1 = 3840м, по времени At = 18с Начиная набор высоты с 400м, требовалось выйти на высоту 9600 м на дальности 150 км или времени 780 с. Стоимость времени для Ил-86 - 4500USD/час, начальная масса -180 т, для Ту-154Б 3800USD/4ac и 90 т соответственно

Параметры начальной оптимальной траектории наборы высоты самолетом Ил-86 представлены в таблице 2

Таблица 2 Набор высоты самолета Ил-86

Lk h 'Ч J

м [ш] [kgl [kg]

139630 9600 177350 730 4920

Из таблицы видно, что рассчитанная оптимальная траектория не удовлетворяет заданным требованиям как по дальности (-10370 м), так и по времени (-50 сек) выхода на высоту крейсерского полета Данное несоответствие было разрешено с помощью использования метода "скользящей сетки" При поиске оптимальной траектории, удовлетворяющей требованиям по дальности полета, число шагов по горизонтали варьировалось от двух до пяти, число шагов по вертикали - от двух до шести Значения функционала (кг) в зависимости от числа шагов представлены в таблице 3 Как видно из приведенных выше таблиц, влияние на значение целевой функции оказывает лишь количество ячеек сетки по вертикали Количество ячеек по горизонтали не оказывает влияние на значение целевой функции

Таблица 3 Значения функционала (кг) для различных конечных траекторий при

nv I «h — 2 3 4 5

2 5212 5212 5212 5212

3 5203 5203 5203 5203

4 5198 5198 5198 5198

5 5195 5195 5195 5195

6 5194 5194 5194 5194

Значение целевой функции менялось от 5212 кг для nv = 2 до 5194 кг при nv = 6„ или на 0,36% от своего максимального значения, соответствующего nv =2. При этом "штраф" за выполнение краевых условий на конце траектории составляет 292-275 кг, или 5,93-5,59% от значения, полученного на начальной оптимальной траектории, найденной без учета краевых условий Для оценки полученных цифр необходимо отметить, что, во-первых, несмотря на относительно небольшое (менее одного процента) уменьшение расходов на траектории при увеличении числа ячеек до шести, указанное снижение расходов соответствует одному летному циклу (или одному полету), в то время как современный пассажирский самолет аккумулирует за год несколько тысяч циклов, поэтому экономия, отнесенная на длительный период времени, весьма значительна. Во-вторых, увеличение значения целевой функции на траектории, удовлетворяющей граничным условия, является безусловной платой за безопасность полетов, и, следовательно, не может быть игнорировано

Как видно из графиков, оптимальной является траектория, состоящая из трёх последовательных участков набора высоты, выдерживания самолета на постоянной

высоте и заключительного набора высоты Это объясняет, почему значение целевой функции зависит только от количества ячеек сетки по вертикали Что касается вертикального разбиения исследуемой области, то количество ячеек по высоте (шаг сетки) определяет высоту, на которой находится горизонтальный участок траектории Чем ближе эта высота к оптимальной высоте крейсерского полета при текущем весе самолета, тем меньше значение целевой функции на всей оптимальной траектории Более подробно зависимость функционала от высоты горизонтального участка будет исследована далее

Рассмотрим зависимость значений функционала от числа ячеек по вертикали Как видно из таблицы 3, значение целевой функции при увеличении числа ячеек с двух до трех уменьшается на -0,17%, с трех до четырех - на 0,15%, с четырех до пяти - на 0,06% и с пяти до шести приблизительно на 0,02% Таким образом, можно считать, что дальнейшее увеличение количества шагов по вертикали не ведет к существенному изменению функционала

Во всех случаях обеспечивается требуемая точность выхода на заданную высоту, различие в дистанциях набора высоты лежит в пределах 100 метров или 0,07% от заданного значения Вариации массы самолета и времени набора высоты также крайне малы и находятся в пределах 0,01% (для массы) и 0,13% (для времени) от максимального значения

Рассмотрим теперь набор высоты самолетом Ил-86 за заданное время

Таблица 4 Значения функционала (кг) для различных конечных траекторий при

наборе высоты за заданное время для Ил-86

пу | П„ — 2 3 4 5

2 5198 5212 5198 5198

3 5187 5187 5187 5187

4 5181 5181 5181 5181

5 5178 5178 5178 5178

6 5177 5177 5177 5177

Так же, как и в предыдущем случае, значение функционала зависит только от количества ячеек сетки по вертикали и не зависит от числа ячеек по горизонтали Значение целевой функции меняется от 5212 кг для пу = 2 и пк =3 до 5177 кг при Пу = 6, или на 0,67% от своего максимального значения, соответствующего пу = 2 и = 3 При этом "штраф" за выполнение краевых условий на конце траектории составляет 292-257 кг, или 5,93-5,22% от значения, полученного на начальной оптимальной траектории, найденной без учета краевых условий Для задачи набора заданной высоты за заданное время для Ил-86 значение целевой функции при увеличении числа вертикальных ячеек с двух до трех и пк = 2 уменьшается на -0,21%, с трех до четырех - на 0,12%, с четырех до пяти - на 0,06% и с пяти до шести - приблизительно на 0,02% Следовательно, как и при выборе оптимальной траектории с ограничением на заданную дальность, достаточно разбиения области, в которой находится оптимальная траектория, на шесть вертикальных ячеек, а дальнейшее увеличение количества ячеек по вертикали не ведет к существенному

изменению функционала Во всех случаях обеспечивается требуемая точность выхода на заданную высоту, различие в времени набора высоты лежит в пределах 1-6 секунд от заданного значения, или 0,13-0,77% Вариации массы самолета и дистанции набора высоты лежат в пределах 0,01% (для массы) и 0,09% (для дальности) от максимального значения

Таблица 5 содержит параметры начальной оптимальной траектории наборы высоты самолетом Ту-154Б

Таблица 5 Набор высоты самолетом Ту-154Б

I ь тк Л

[ш] 1 [т] [к§] [с] [к§]

119470 1 9600 88090 650 3610

Расчетные данные, представленные в этой таблице, показывают, что набор высоты происходит значительно быстрее (на 130 сек) и раньше (на 30530 м), чем задано условиями задачи Для поиска оптимальной траектории, удовлетворяющей требованиям по дистанции выхода на заданную высоту, число шагов по горизонтали варьировалось от двух до пяти, число шагов по вертикали - от двух до восьми Значения функционала в зависимости от числа шагов представлены в таблице 6

Таблица 6 Значения функционала (кг) для различных конечных траекторий при

наборе высоты на заданной дальности для Ту-154Б

"V I 2 3 4 5

2 4379 4379 4379 4379

3 4346 4346 4346 4346

4 4311 4311 4311 4311

5 4292 4292 4292 4292

6 4280 4280 4280 4280

7 4270 4270 4270 4270

8 4264 4264 4264 4264

Значение целевой функции меняется от 4379 кг для пу=2 до 4264 кг при пу =8, или на 2,63% от своего максимального значения, соответствующего =2 "Штраф" за выполнение краевых условий на конце траектории составляет 769-654 ш, или 21,3-18,12% от значения, полученного на начальной оптимальной траектории, найденной без учета условий на правом конце траектории Рассмотрим зависимость значений функционала от числа ячеек по вертикали Как следует из таблицы 9, значение целевой функции при увеличении числа ячеек по вертикали с двух до трех уменьшается на ~0,75%, с трех до четырех - на 0,8%, с четырех до пяти - на 0,43%, с пяти до шести - на 0,27%, с шести до семи - на 0,23% и с семи до восьми - на 0,12% Очевидно, что дальнейшее увеличение количества шагов по вертикали не ведет к существенному изменению функционала

Во всех случаях обеспечивается требуемая точность выхода на заданную высоту, различие в дистанциях набора высоты лежит в пределах 300 метров или

0,2% от заданного значения Изменения массы самолета и времени набора высоты находятся в

пределах 0,03% (для массы) и 3,44% (для времени) от максимального значения Рассмотрим набор высоты самолетом Ту-154Б за заданное время

Таблица 7 Значения функционала (кг) для различных конечных траекторий при

2 3 4

2 4167 4167 4167

3 4151 4151 4151

4 4149 4149 4149

5 4149 4149 4149

Таблица 7 подтверждает, что значение функционала зависит только от количества ячеек сетки по вертикали и не зависит от числа ячеек по горизонтали Значение целевой функции меняется от 4167 кг для пу =2 и п„ = 2 до 4149 кг при лу = 5, или на 0,43% от своего максимального значения, соответствующего п, = 2 и пь = 2 При этом "штраф" за выполнение краевых условий на конце траектории составляет 557-539 кг, или 15,43-14,93% от значения, полученного на начальной оптимальной траектории, найденной без учёта краевых условий Таким образом, для задачи набора заданной высоты за заданное время для Ту-154Б значение целевой функции при увеличении числа ячеек с двух до трех при пь = 2 уменьшается на ~0,38%, с трех до четырех - на 0,05%, а при увеличении числа ячеек от четырех до пяти значение целевой функции не меняется В данном случае достаточно разбиения области, в которой находится оптимальная траектория, на пять вертикальных ячеек Во всех случаях обеспечивается требуемая точность выхода на заданную высоту, различие в времени набора высоты лежит в пределах 2-3 секунд от заданного значения, или 0,26-0,38% Изменения массы самолета и дистанции набора высоты находятся в пределах 0,01% (для массы) и 0,29% (для дальности) от максимального значения

В таблице 8 приведено значение высоты "ступеньки" в зависимости от количества ячеек "скользящей сетки" по вертикали

Таблица 8 Расположение "ступеньки" в зависимости от количества шагов по вертикали при пь =2

Кол-во ячеек Ил-86 [м] Ту-154 Гм1

Ь Т Ь г

2 5000 5000 5000 5000

3 6530 6530 6530 6530

4 7300 7300 7300 7300

5 7760 7760 7760 7760

6 8067 8067 8067

7 8290

8 8450

Таблица 9 Значение функционала (кг) в зависимости от числа шагов по вертикали при П|, -2_____________

Н[м] 5000 6530 7300 7760 8067 8290 8450

Ил-86 Ь 5212 5203 5198 5195 5194

Ил-86 1 5198 5187 5181 5178 5177

Ту-154 Ь 4379 4346 4311 4292 4280 4270 4264

Ту-154 г 4666 4651 4149 4149

Как видно из рисунка 4, на высоте приблизительно 7500-8000 м наступает "насыщение", то есть функционал практически не зависит от количества ячеек сетки по вертикали, и, следовательно, от высоты "ступеньки" Практически это означает, что в случае необходимости выполнения требований УВД по выходу на заданную высоту в заданной точке по дальности или высоте, участок горизонтального полёта самолета должен располагаться на высоте, по возможности ближайшей к начальной высоте крейсерского полета Необходимо отметить, что в данной работе высоты горизонтального полета определялись только с учетом количества ячеек сетки по вертикали, начальной и конечной высоты полета без учета существующих норм вертикального эшелонирования из-за их многообразия Графики, построенные на рисунке 5, позволяют определить значение целевой функции на любой высоте, лежащей между начальной и конечной высотами, в то время как фактическая сетка эшелонов горизонтального полета зависит от требований авиационных властей, в зоне ответственности которых происходит полет самолета

Изменение параметров оптимальной траектории набора высоты при различных полётных весах самолётов.

Для практических целей представляет интерес оценка влияния начального веса самолета на величину целевой функции Рассмотрен набор высоты самолета Ил-86 при пу=6 и и,, =2 Параметры начальной траектории для различных весов (160, 170,183 т) приведены в таблицах 10 и 11

Таблица 10 Набор высоты самолета Ил-86 с весами 160, 170, 183 тонны при пу =6 и пь=2 Начальная траектория

т0 Ь тк Т }

[кг] [м] [кг] [с] [кг]

160000 115330 157790 600 4090

170000 127080 167580 660 4490

180000 139630 177350 730 4920

183000 143960 180270 750 5070

Для самолета Ту-154Б рассмотрен набор высоты при весах 70, 80, 95 тонн, при этом число ячеек сетки по вертикали и горизонтали принято пу = 8 и пь = 2

Параметры начальной траектории для различных весов (70, 80, 90, 95 т) приведены в таблицах 13 и 14.

По результатам расчётов построены таблицы изменения целевой функции в зависимости от начального взлётного веса самолёта в процентах её значения для оптимальной траектории, построенной без учёта краевых условий.

Из таблиц 14 и 15 видно, что наибольшее изменение целевой функции при учёте требований к точности выхода на заданную высоту приходится на малые начальные веса. Для самолёта Ил-86 это увеличение составляет приблизительно 20% при весе 160тиЗ%при весе 183 т. а для самолёта Ту-154Б свыше 50% при начальном весе 70 т и 6-11% лри весе 95 т. Этот факт объясняется тем, что при малых весах набор высоты происходит на больших вертикальных скоростях, что приводит к

Таблица 1 ]. Результаты расчётов для различных начальных весов самолёта Ил-86 при =6 и =2-

Искомая Щ ъ К % Т 1

переменная [кг] [м] Гм1 [кг] И [кг]

]60000 149510 8067 157530 Г 798 4967

ь 170000 149520 8067 167390 790 5077 '

180000 150150 8067 177260 785 5194

183000 150070 8067 180220 782 5224

160000 149550 8067 157530 778 4901

г 170000 149450 8067 167400 778 5029

180000 149980 8067 177260 781 5177

183000 150120 8067 180220 781 5219

Ье1чгееп се ч1':.> роаШоп агиЭ (агде! Ттсися

«700

<ем>

£

^ «00 * ШО 4200

ноо

5005 55О0 6000 6500 7000 7500 ЭМИ Й50Г>

Ти1М (о 1

..................... ПИМЫ

Рис.4. Зависимость значения функционала от высоты горизонтального участка.

Таблица 12 Набор высоты самолета Ту-154Б с весами 70,80,90 тонн при п ч, = 6 и пь =2 Начальная траектория

т0 L «Ч Т J

[кг] [м] [кг] [с] [кг]

70 81488 68672 451 2518

80 99069 78405 541 3024

90 119470 88090 650 3610

95 131950 92910 710 3970

увеличению дистанции, остающейся до заданной точки выхода на эшелон крейсерского полета и, следовательно, большей длине горизонтального участка полета Так, при начальном весе 160 т выход самолета Ил-86 на эшелон 9600 м происходит на 34,7 км (180 с) ранее заданных параметров траектории, а при начальном весе 183 т - 6 км (30 с) соответственно Для самолета Ту-154Б при начальном весе 70 т выход на заданный эшелон на 68,5 км (330 с) ранее требуемого, а при начальном весе 95 т- лишь на 18 км или 70 с

Таблица 13 Результаты расчетов для различных начальных весов самолета Ту-154 при nv =8 и nh =2

Искомая m0 L hjt mk T J

переменная Гкг] [м] f»0 [кг] [с] [кг]

70000 148020 8450 68270 830 3913

Lf 80000 147150 8450 78080 820 4076

90000 147100 8450 87880 814 4264

95000 147770 8450 92770 826 4414

70000 146480 7300/8450 68290 788 3796

tf 80000 145120 7300 78100 786 3972

90000 145530 8840 87910 780 4149

95000 144840 7300/8450 92820 778 4231

Таблица 14 Зависимость изменения целевой функции от начального веса самолета Ил-86

m0 [кг] 160000 170000 180000 183000

Lf 21,44 13,07 5,57 3,04

tf 19,83 12 5,22 2,94

Таблица 15 Зависимость изменения целевой функции от начального веса самолета

m0 [кг] 70000 80000 90000 95000

Lf 55,4 34,79 18,12 11,18

tf 50,75 31,35 14,93 6,57

22

I

Влияние распределения горизонтальны* участков полёта по высотам на значение функционала.

На рисунке 5 показано влияние высоты горизонтального участка полёта на значение целевой функции на оптимальной траектории, при условии, что высота горизонтального участка определяется количеством шагов разбиения области допустимых траекторий. Однако в практике может случиться, что но требованию УВД экипаж будет вынужден выполнять набор высоты исходя не из характеристик самолёта, а в соответствии с командами диспетчера. Необходимо исследовать, каковы будут потери при выдерживании самолёта на высоте, не являющейся оптимальной. Для решения указанной задачи произведён расчёт набора высоты самолёта Ил-86 с весом 180 т при nv =6 и Ту-154 с весом 90 т при nv =8 (для дальности) и nv = 5 (для времени). Число горизонтальных участков во всех случаях принято равным трём. Графики показывают значительную зависимость функционала от высоты горизонтального участка полёта. Следовательно, для повышения экономической эффективности эксплуатации необходимо располагать горизонтальный участок полёта как можно выше. Это обстоятельство должно приниматься во внимание как экипажем при выполнении полёта, так и наземными службами (УВД, служба подготовки полётной информации).

ReEalionsfiip between kevfct step position and target hncfoon value tot all edcutetad uajtcioiies foi (396 (m-1801) srcd Tu-1S4B (m=901)

Рис.5 Зависимость между положением горизонтального участка и значением целевой функции для всех рассчитанных траекторий

Влияние удаления точки выхода на заданный эшелон на значение функционала.

В некоторых случаях необходима информация о зависимости расходов при наборе высоты от дальности (или времени) выхода на заданный эшелон полёта. В настоящей работе такая зависимость исследована, результаты расчётов приведены на рисунке б.Заданная дальность выхода на эшелон варьировалась в диапазоне от рассчитанной дистанции выхода на заданный эшелон без учёта ограничений на конец траектории до 190 км, время выхода - соответственно. от рассчитанного времени выхода на заданный эшелон без учёта ограничений до 980 секунд.

Расчёты показывают, что при удалении (по времени или по дальности) заданной точки выхода на требуемую высоту полёта по сравнению с оптимальной траекторией, рассчитанной без учёта ограничений на дальность и время, наблюдается значительный рост эксплуатационных расходов. Следовательно, что при предварительном расчёте полета, а также при разработке в рамках системы УВД требований к набору высоты для обеспечения наименьшего значения целевой функции необходимо задавать точку выхода на заданный эшелон по возможности ближе к точке, определяемой оптимальной траекторией набора высоты без учёта краевых условий.

КрШолОД ЬеЬуееп '6"5;'' скйапи ог: г~,е ¿х) ЛшЯог Гог орита! !го^с1ог<^

Рис. 6. Зависимость между заданной дистанцией и временем набора высоты и значением целевой функции.

24

I

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1 Рассмотрена задача определения оптимальной траектории набора высоты транспортного самолета с учетом ограничений на фазовые координаты на правом конце траектории, вытекающие из современных требований по точности навигации

2 Показана возможность решения ряда практических задач с использованием новой независимой переменной, пропорциональной прямым эксплуатационным расходам

3 Для расчетов траекторий набора высоты предложен метод "скользящей сетки", доказана возможность его практического использования

4 Исследовано решение краевой задачи оптимального управления, в качестве варьируемых приняты параметры как самого расчетного метода, так и свойства исследуемого объекта управления

5 Проведено численное решение ряда практических задач расчета оптимальных траекторий набора высоты самолетами Ил-86 и Ту-154Б

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Брусов ВС, Краснобаев В К, Тюменцев ЮВ, Хасянов М X «Анализ и сопоставление возможностей традиционных и нетрадиционных классов математических моделей, привлекаемых для решения задачи управления движением летательных аппаратов»//Отчет по теме 1 1 06-М МАИ, 2006

2 Краснобаев В К «Выбор новой независимой переменной в задаче оптимального управления летательным аппаратом» //Научный вестник МГТУ ГА - М ,2004, Выпуск №72, с 87-90

3 Краснобаев В К «Выбор оптимальной по ПЭР траектории набора высоты транспортным самолетом с учетом ограничений на фазовые координаты на правом конце траектории» //МНТК «Гражданская авиация на современном этапе развития науки, техники и общества», посвященная 35-летию МГТУ ГА Тезисы докладов -М , 2006 г, с 76-77

4 Краснобаев В К «Метод расчета оптимальной траектории набора высоты транспортным самолетом, учитывающий ограничения на конечные значения фазовых координат» // 5-я Международная конференция «Авиация и космонавтика-2006» Тезисы докладов - М , 2006 г, с 54

5 Краснобаев В К «Оптимальный набор высоты среднемагистральным транспортным самолетом на заданной дальности» //Сборник научных трудов

ГОСНИИ ГА - М., Выпуск № 310, 2007 г. (в печати)

6 Краснобаев В К «Оптимальный набор высоты широкофюзеляжным транспортным самолетом на заданной дальности» //Научный вестник МГТУ ГА -М, 2007, Выпуск №111 , с.182-184

7 Краснобаев В К «Экономические основы оптимизации эксплуатации гражданских самолетов» //Сборник "Математико-статистический анализ социально-экономических явлений" - М , Изд-во МЭСИ, 2003 г, с 84-86

Множительный центр МАИ (ГТУ) Заказ отО3072ОО7г Тираж^О экз

Введение

Глава 1. Математическая формулировка задачи поиска оптимального управления транспортным самолётом

1.1 Состояние исследований в области 10 оптимального управления транспортным самолётом.

1.2 Техническая постановка задачи.

1.3 Прямые эксплуатационные расходы как ^ показатель эффективности эксплуатации транспортного самолёта.

1.4 Уравнения движения самолёта и функционал, 20 являющийся критерием оптимальности.

1.5 Ограничения, накладываемые на траекторию полёта транспортного самолёта.

1.6 Расчётные случаи для задачи оптимального 26 набора высоты.

1.7 Выводы главы 1.

Глава 2 Оптимизация траектории набора высоты 28 транспортного самолёта.

2.1 Решение задачи оптимального управления.

2.2 Численный метод решения задачи оптимального управления.

2.3 Способ учёта ограничений на конце траектории.

2.4 Программное обеспечение метода

2.5 Выводы главы

Глава 3 Численное моделирование оптимальных 49 режимов полета.

3.1 Расчёт оптимальных режимов набора высоты, крейсерского полёта и снижения без учета ограничений по дальности и времени выхода в заданный пункт маршрута. ^

3.2 Исследование оптимальных режимов снижения с полным учетом ограничений на конец траектории.

3.2.1 Влияние числа ячеек сетки по вертикали и 60 горизонтали на величину целевой функции.

3.2.2 Изменение параметров оптимальной 88 траектории набора высоты при различных полётных весах самолётов.

3.2.3 Влияние распределения горизонтальных 92 участков полёта по высотам на значение функционала.

3.2.4 Исследование зависимости между заданной дистанцией набора высоты и значение целевой функции.

3.3 Выводы главы 3.

Актуальность темы

Интенсификация воздушного движения в конце XX века привела к ужесточению требований, накладываемых на траекторию полета гражданского воздушного судна (ВС). В то же время рост цен на авиационное топливо, техническое обслуживание ВС и стоимость их компонентов приводят к необходимости оптимизации траектории движения ВС с учётом экономических факторов. Связующим между динамикой движения ВС и экономикой его эксплуатации являются прямые эксплуатационные расходы (ПЭР).

Таким образом, актуальность работы обусловлена необходимостью повышения экономической эффективности эксплуатации ВС путём оптимизации параметров его движения при наличии ограничений.

Цель исследования

Целью работы является разработка метода выбора оптимальной траектории набора высоты при безусловном учёте фазовых ограничений на конец траектории.

Научная новизна

Для решения задачи поиска оптимального управления транспортным самолётом с учётом ограничений на конце траектории автором сделано следующее:

1) В дифференциальных уравнениях, описывающих движение самолёта, в качестве независимой переменной вместо времени используется величина, пропорциональная прямым эксплуатационным расходам

ПЭР). Основанием для данной замены является то, что для решения задач четырёхмерной навигации удобнее, чтобы время было зависимой переменной (в этом случае проще выписать ограничения задачи). Необходимо, чтобы независимая переменная была связана с физическим смыслом задачи и являлась монотонно возрастающей (убывающей) величиной. Использование в качестве независимой переменной иной, чем время, величины встречается, в частности, в расчётах динамики космических аппаратов [13,30] или при расчётах траекторий полёта самолёта энергетическим методом.

2) Для построения траектории, оптимальной траектории, приходящей в заданную точку, разработан метод "скользящей сетки". Данный метод представляет собой модификацию метода динамического программирования, широко применяемого при решении задач оптимального управления, учитывающую особенности динамики полёта самолёта и ограничения на его траекторию. Суть метода заключается в построении области, в которой находится траектория, соответствующая искомому оптимальному управлению, заключённой между рассчитанной с учётом выбранного критерия оптимальности траекторией и траекторией, отстоящей от оптимальной на величину первоначальной невязки и разбиения этой области на ряд участков по обоим рассматриваемым координатам. Оптимальная траектория рассматривается как совокупность участков, обеспечивающих наименьшее значение целевой функции и переводящих объект в заданную конечную точку. При этом разбиение оставшейся области на каждом последующем шаге производится в соответствии с оставшимся числом шагов и фактическими координатами, характеризующими окончание предыдущего шага. Оптимальное управление рассматривается как совокупность кусочно-гладких функций.

Практическая значимость работы

Полученная процедура позволяет находить оптимальную по ПЭР программу выхода транспортного самолёта на заданный эшелон за заданное время или на заданной дальности, при этом контролируемые параметры полёта - воздушная скорость Уи угол наклона траектории 0 являются кусочно-гладкими функциями. Результаты работы внедрены в Государственном Научно-Исследовательском Институте Гражданской Авиации (ФГУП ГосНИИГА) и Центральном Аэрогидродинамическом институте (ЦАГИ) имени профессора Н.Е.Жуковского (акты о внедрении).

Результаты работы доложены:

Положения работы докладывались на заседании кафедры 106 МАИ "Динамика и управление полётом летательных аппаратов", а также на семинарах в ЦАГИ и ГОСНИИ ГА.

Публикации:

1. Брусов B.C., Краснобаев В.К., Тюменцев Ю.В., Хасянов М.Х. Анализ и сопоставление возможностей традиционных и нетрадиционных классов математических моделей, привлекаемых для решения задачи управления движением летательных аппаратов,- Отчет по теме 1.1.06, Каф. 106, Москва, МАИ, декабрь 2006 г.

2. Краснобаев В.К. Выбор новой независимой переменной в задаче оптимального управления летательным аппаратом. - Научный вестник МГТУ ГА, №72, 2004.

3. Краснобаев В.К. Выбор оптимальной по ПЭР траектории набора высоты транспортным самолётом с учётом ограничений на фазовые координаты на правом конце траектории. -Тезисы докладов МНТК «Гражданская авиация на современном этапе развития науки, техники и общества», посвящённой 35-летию МГТУ ГА. М, 2006.

4. Краснобаев В.К. Метод расчёта оптимальной траектории набора высоты транспортным самолётом, учитывающий ограничения на конечные значения фазовых координат. -Тезисы докладов 5-й Международной конференции «Авиация и космонавтика-2006». М, 2006.

5. Краснобаев В.К. Оптимальный набор высоты среднемагистральным транспортным самолётом на заданной дальности -Сборник научных трудов

ГОСНИИ ГА, выпуск 310, 2007.

6. Краснобаев В.К. Оптимальный набор высоты широкофюзеляжным транспортным самолётом на заданной дальности. - Научный вестник МГТУ ГА, №111, 2007.

7. Краснобаев В.К. Экономические основы оптимизации эксплуатации гражданских самолётов. -Сборник "Математико-статистический анализ социально-экономических явлений". М., Издательство МЭСИ, 2003.

Состав работы

Диссертационная работа состоит из следующих основных разделов: "Введение", глава 1 "Математическая формулировка задачи поиска оптимального управления транспортным самолётом", глава 2 "Оптимизация траектории набора высоты транспортным самолётом", глава 3 "Численное моделирование оптимальных режимов полета ", "Заключение".

Во "Введении" анализируется состояние исследований в области оптимального управления самолётом на современном этапе, показаны цель и величины ограничений, накладываемых УВД, на траекторию транспортного самолёта и делается вывод о необходимости их соблюдения при расчётах траектории полёта, актуальность и новизна работы.

В Главе 1 "Математическая формулировка задачи поиска оптимального управления транспортным самолётом " приведены математическая модель движения самолёта, рассмотрены целевая функция, ограничения и расчётные случаи для задачи оптимального управления.

Глава 2 "Оптимизация траектории набора высоты транспортным самолётом " посвящёна разработке методов оптимизации управления самолёта и их алгоритмов.

Глава 3 "Численное моделирование оптимальных режимов полета " содержит результаты расчётов оптимальных траекторий, определённых с использованием новой независимой переменной, и учитывающих, при необходимости, ограничения на конец траектории.

В разделе "Заключение" приведены выводы и оценка полученных результатов.

В "Приложении" помещены таблицы с результатами расчётов, а также пояснения к некоторым формулам.

3.3 Выводы главы 3.

Произведён расчёт оптимальных режимов набора высоты самолётов Ил-86 и Ту-154Б с учетом ограничений, накладываемых современной системой управления воздушным движением. Показано, что найденная с использованием метода "скользящей сетки" оптимальная траектория состоит из участков набора высоты, горизонтального полёта и заключительного набора высоты с выходом в точку с заданной дальностью или временем. Основной параметр используемого расчётного метода - количество ячеек сетки по вертикали, определяющее положение участка горизонтального полёта. Чем ближе высота горизонтального полёта к оптимальной для данного веса высоте полёта, тем меньше значение целевой функции.

Также показано, что с точки зрения экономии ресурсов (времени и топлива) при необходимости выхода в точку, не совпадающую с пересечением заданного эшелона оптимальной по заданному критерию траекторией со свободным концом, органам УВД необходимо стремиться выдерживать ВС на возможно большей высоте.

Исследована зависимость целевой функции от заданных дистанции и времени набора высоты. Сделан ввод о том, что для обеспечения наименьшего значения целевой функции необходимо задавать точку выхода на заданный эшелон по возможности ближе к точке, определяемой оптимальной траекторией набора высоты без учёта краевых условий.

Заключение

1. Сформулирована задача определения оптимальной траектории набора высоты транспортного самолёта с учётом ограничений на по точности выхода в заданную точку маршрута, накладываемых системой управления воздушным движением.

2. Уравнения движения самолёта рассматриваются с новой независимой переменной, пропорциональной прямым эксплуатационным расходам, что позволило разработать эффективный метод построения оптимальной траектории набора высоты, наглядно показывающий связь между траекторией движения и эксплуатационными расходами.

3. Для решения краевой задачи оптимального управления при наличии ограничений на фазовые переменные на правом конце предложен метод "скользящей сетки". Исследована зависимость указанного метода как от параметров расчёта, так и от свойств исследуемого объекта.

4. Проведено численное решение ряда практических задач расчёта оптимальных траекторий полёта самолётов Ил-86 и Ту-154Б. Показана возможность применения предложенного расчётного метода "скользящей сетки" для расчётов траекторий набора высоты на этапе подготовки полёта.

5. Решение ряда практических задач с использованием новой независимой переменной, пропорциональной прямым эксплуатационным расходам, подтвердило удобство записи ограничений на фазовые координаты и наглядность зависимости эксплуатационных расходов от параметров траектории полёта.

1. Ануфриев И.Е. Самоучитель MATLAB 5.3/6.x. СПб.: БХВ-Петербург, 2002.

2. Белкин A.M., Миронов Ю.В., Рублёв Ю.И., Сарайский Ю.Н. Воздушная навигация: справочник. М.: Транспорт, 1988.

3. Бехтир В.П., Ципенко В.Г. Практическая аэродинамика самолета Ил-86. М.: Воздушный транспорт, 1993.

4. Бехтир П.Т. Практическая аэродинамика самолета Ту-154. М.: Машиностроение, 1977.

5. Блисс Г.А. Лекции по вариационному исчислению. М.: ИЛ, 1960.

6. Бунаков А.Э., Гревцов Н.М., Мельц А.Б., Сазонов Д.С., Тегин A.B. Расчёт экстремалей и поиск глобально оптимальной траектории в задаче облёта препятствий // Учёные записки ЦАГИ, т.XXXIII, № 3-4.

7. Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Высшая школа, 2001.

8. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977.

9. Дьяконов В. MATLAB б: учебный курс. СПб.: Питер, 2001.

10. Игонина Т.М. Планируемое движение J1A на экстремальную дальность. Диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук 01.02.01, М., 1984.

11. Исследование операций в гражданской авиации. Голубев И.С. и др. М.: Транспорт, 1980.

12. Краснобаев В.К. Выбор новой независимой переменной в задаче оптимального управления летательным аппаратом// Научный вестник МГТУ ГА, №72, 2004, с.87-90.

13. Краснобаев В.К. Метод расчёта оптимальной траектории набора высоты транспортным самолётом, учитывающий ограничения на конечные значения фазовых координат. -Тезисы докладов 5-й Международной конференции «Авиация и космонавтика-2006». М, 2006, с.54.

14. Краснобаев B.K. Оптимальный набор высоты среднемагистральным транспортным самолётом на заданной дальности -Сборник научных трудов ГОСНИИ ГА, выпуск 310, 2007.

15. Краснобаев В.К. Оптимальный набор высоты широкофюзеляжным транспортным самолётом на заданной дальности. Научный вестник МГТУ ГА, №111, 2007, с.182-184.

16. Краснобаев В.К. Экономические основы оптимизации эксплуатации гражданских самолётов// Сб. "Математико-статистический анализ социально-экономических явлений". М.Ж Изд-во МЭСИ, 2003, с.84-86.

17. Кротов В.Ф. Вычислительные алгоритмы решения и оптимизации управляемых систем уравнений// Техническая кибернетика, №5,6 1975.

18. Кротов В.Ф. Методы решения вариационных задач на основе достаточных условий оптимальности// Автоматика и телемеханика, 1962, №12; 1963, №5;1964, №7.

19. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики, т.2, № 6, 1962.

20. Кубланов М.С. Выбор оптимальных режимов набора высоты и снижения самолета с учетом ограничений. Диссертация на соискание степени к.т.н. М., 1988.

21. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко A.B. Математическое программирование. М.: Высшая школа, 1976.

22. Летов A.M. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969.

23. Летова Т.А. Прямые методы решения задач оптимального управления. М.: Изд-во МАИ, 1983.

24. Лигум Т.И., Скрипниченко С.Ю., Шишмарёв A.B. Аэродинамика самолёта Ту-154Б. М.: Транспорт, 1985.

25. Малышев В.В. Конспект лекций по курсу "Теория оптимальных систем", М.: Изд-во МАИ, 1973.

26. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971.

27. Наставление по производству полётов в гражданской авиации СССР (НПП ГА-85). М.: Воздушный транспорт, 1985.

28. Остославский И.В., Стражева И.В. Динамика полета. Траектории летательных аппаратов. М.: Оборонгиз, 1963.

29. Павлов К.А., Милевский В.И. Задачи оптимизации траекторного движения самолета. М.: Изд-во МАИ, 1985.

30. Пантелеев A.B., Бортаковский A.C., Летова Т.А. Оптимальное управление в примерах и задачах. М.: Изд-во МАИ, 1996.

31. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961.

32. Розоноэр Л.И. Принцип максимума Понтрягина в теории оптимальных систем. //Автоматика и телемеханика, 1959, т.20 № 10,11.

33. Скрипниченко С.Ю. Оптимизация режимов полёта по экономическим критериям, М.: Машиностроение, 1988.

34. Скрипниченко С.Ю. Оптимизация режимов полета самолета. М. : Машиностроение, 1975.

35. Скрипниченко С.Ю. Теоретические основы повышения экономичности полёта. М.: ГОСНИИГА, 2005.

36. Скрипниченко С.Ю. Энергетический метод определения оптимальных режимов набора высоты и снижения пассажирского самолета по критерию минимума себестоимости перевозок. М.: ГОСНИИГА, 1970.

37. Хофер Е., Лундерштадт Р. Численные методы оптимизации. М.: Машиностроение, 1982.

38. Чертёж ММЗ им. С.В. Ильюшина № 1.8601.6909.100.

39. Чупрун Б.Е. К решению оптимальных задач с использованием принципа максимума//Автоматика и телемеханика, №9, 1967.

40. Шатровский Л.И. Об одном численном методе решения задачоптимального управления// Журнал вычислительной математики и математической физики, №3, том 2, 1962.

41. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1965.46."Air Transport world", №10, 2004.

42. Barman J., Erzbergert H. Fixed-range optimum trajectories for short-haul aircraft// Journal of Aircraft, Vol.13, № 10, 1976.

43. Burrows J.W. Fuel optimal trajectory computation//Journal of Aircraft,Vol. 19, № 4, 1983.

44. Commercial aircraft DOC methods// AIAA Report 90-3224, 1990.

45. DOC 4444 ATM/501 "Организация воздушного движения. Правила аэронавигационного обслуживания". Международная организация гражданской авиации, 2001.

46. DOC 9574 AN/934 "Руководство по применению минимума вертикального эшелонирования в 300 м (1000 футов) междуэшелонами полёта 290 и 410 включительно". Международная организация гражданской авиации, 2002.

47. Erzbergert Н., Homer L. Constrained optimum trajectories with specified range//Journal of guidance and control, Vol 3, № 1, 1980.

48. EUR RVSM АТС Information notice, January 2000.

49. Federal Aviation Regulation Part 91 General Operating and Flight Rules, Federal Aviation Administration, Department of Transportation, 2003.

50. Flight Dispatcher Training Manual. Boeing, BCAG, 1995.

51. NAVIGATION STRATEGY FOR ECAC. NAV.ETl.ST16-001, 1999. 57.Schultz R., Zagalsky N. Aircraft performance optimization//

52. Journal of aircraft, Vol 9, № 2, 1972.