автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.04, диссертация на тему:Восстановление изображений, искажённых свёрткой с неизвестной функцией

ВЕЕДЕНИЕ.

Краткий обзор материалов диссертационной работы.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

ГЛАВА 1. Решение задачи слепой деконволюции методами безусловной оптимизации.

1.1. Выбор методов безусловной оптимизации для решения задачи слепой деконволюции.

1.2. Постановка задачи.

1.3. Анализ методов безусловной оптимизации.

1.4. Алгоритмы решения задачи слепой деконволюции основанные на методах безусловной оптимизации.

1.4.1. Алгоритм градиентного спуска.

1.4.2. Алгоритм наискорейшего градиентного, спуска.

1.4.3. Модифицированный алгоритм циклического покоординатного спуска

1.4.4. Модифицированный алгоритм Хука-Дживса.

1.4.5. Модифицированный алгоритм Флетчера-Ривса.

1.5. Выводы по результатам главы 1.

ГЛАВА 2. Учёт априорной информации при решении задачи слепой деконволюции методами условной оптимизации.

2.1. Априорная информация и необходимость её учёта при решении задачи слепой деконволюции.

2.2. Выбор штрафных и барьерных функций для учёта априорной информации при решении задачи слепой деконволюции.

2.3. Выбор вида штрафных и барьерных функций.

2.4. Учёт ограничения на пространственную протяжённость носителей восстанавливаемых изображений.

2.5. Учёт неотрицательности решения.

2.6. Учёт ограничения на «суммарную яркость» свёртки.

2.7. Учёт ограничения на число «ярких точек».

2.8. Учёт априорной информации о числе градаций яркости в восстанавливаемых изображениях.

2.9. Выводы по результатам главы 2.

ГЛАВА 3. Методы компенсации искажений свёртки при решении задачи слепой деконволюции.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Метод усечения.

3.3. Метод коррекции искажённого изображения.

3.4. Выводы по результатам главы 3.

ГЛАВА 4. Моделирование процесса восстановления изображений, искажённых свёрткой с неизвестной функцией.

4.1. Критерии качества восстановления.

4.2. Описание программного обеспечения для моделирования и восстановления реальных изображений.

4.3. Масштабирование.

4.4. Формирование начального приближения и носителей восстанавливаемых изображений.

4.5. Моделирование процесса восстановления изображений.

4.5.1. Условия моделирования.

4.5.2. Восстановление алгоритмом градиентного спуска.

4.5.3. Восстановление модифицированным алгоритмом Флетчера-Ривса.

4.5.4. Восстановление алгоритмом ЦПСМ.

4.5.5. Восстановление модифицированным алгоритмом Хука-Дживса.

4.5.6. Определение затрат машинных ресурсов.

4.6. Исследование влияния учёта априорной информации на эффективность восстановления.

4.6.1. Учёт точности задания носителей восстанавливаемых изображений.

4.6.2. Учёт неотрицательности решения.

4.6.3. Учёт ограничения на «суммарную яркость» свёртки.

4.6.4. Учёт априорной информации о числе градаций яркости в восстанавливаемых изображениях.

4.6.5. Эффективность восстановления при учёте априорной информации.

4.7. Исследование влияния искажений свёртки на эффективность восстановления.

4.7.1. Моделирование процесса восстановления при искажениях свёртки.

4.7.2. Исследование методов решения задачи слепой деконволюции, компенсирующих искажения свёртки.

4.8. Исследование эффективности восстановления при воздействии на свёртку релеевского шума.

4.8.1. Определение величины отношения «сигнал/шум».

4.8.2. Исследование влияния релеевского шума на качество восстановления

4.9. Выводы по результатам главы 4.

ГЛАВА 5. Восстановление изображений, искажённых реальными устройствами.

5.1. Определение затрат машинных ресурсов.

5.2. Искажения свёртки.

5.3. Восстановление фотографических изображений.

5.4. Восстановление астрономических изображений.

5.5. Восстановление медицинских изображений.

5.6. Восстановление радиолокационных изображений.

5.7. Стратегия восстановления.

5.8. Выводы по результатам главы 5.

Восстановление изображений, искажённых свёрткой с неизвестной функцией (слепая деконволюция)- задача, часто встречающаяся в локации, астрономии, медицинской диагностике и многих других областях науки и техники. Искажения подобного рода возникают в системах формирования изображений (СФИ) в радио, оптическом, акустическом диапазонах и связаны с неточностью изготовления, настройки и влиянием других неконтролируемых внешних и внутренних факторов на системную функцию СФИ. Решение задачи слепой де-конволюции (ЗСД) является всегда в таких ситуациях актуальным, так как позволяет повысить точность и разрешающую способность СФИ, определить системную (искажающую) функцию СФИ и часто получить информацию из восстановленных изображений, недоступную при использовании любых других методов обработки. В рамках этой актуальной проблемы формулируются и решаются научные и прикладные задачи диссертационной работы.

Анализ известных в настоящее время алгоритмов решения ЗСД позволил выявить их следующие основные недостатки:

1. Возможность решения ЗСД в подавляющем большинстве случаев подтверждается только на основании результатов моделирования, при этом эффективность алгоритмов невысока, а при восстановлении изображений искажённых реальными СФИ- низкая. Под эффективностью понимается возможность получения качественного результата восстановления при экономии затрат машинных ресурсов (время, память);

2. Мало исследован вопрос о влиянии на эффективность восстановления априорной информации об изображениях. Под априорной информацией понимаются «ограничения», накладываемые на изображения (неотрицательность, ограниченность носителей и т. д.), не сужающие общность решаемой задачи;

3. Неустойчивость к нелинейным искажениям и шумам в зарегистрированной свёртке. Отсутствие методов решения ЗСД, уменьшающих влияние искажений свёртки на качество восстановления.

В настоящее время развитие вычислительной техники и модернизация некоторых известных алгоритмов позволили повысить их эффективность при восстановлении изображений, искажённых реальными устройствами, однако затраты машинных ресурсов, необходимые для получения качественного результата восстановления, остаются большими.

В последнее время прослеживается тенденция отступления от решения «классической» ЗСД и переход к рассмотрению следующих её модификаций: полуслепая деконволюция (искажающая функция принадлежит к известному классу функций с набором неизвестных параметров); множественная слепая деконволюция (известно несколько искажённых изображений одного объекта). Это учитывается при разработке алгоритма восстановления и обеспечивает его эффективность только при решении конкретной задачи. Однако, широкий спектр различных прикладных задач, решаемых в рамках рассматриваемой проблемы, обуславливает целесообразность разработки единой и эффективной методики решения ЗСД.

Следовательно, актуальна задача разработки и исследования универсальных алгоритмов решения ЗСД, повышающих точность и разрешающую способность широкого класса СФИ при экономии затрат машинных ресурсов.

В связи с изложенным, тема диссертационной работы «Восстановление изображений, искажённых свёрткой с неизвестной функцией» актуальна с научной точки зрения и имеет важное практическое значение.

Прежде всего, необходимо отметить, что уже при решении обычной задачи восстановления изображений [1-3]- решение интегрального уравнения Фред-гольма 1-го рода типа свёртки: возникают сложности, вызванные её некорректностью [1-8] (по Тихонову), что приводит к невозможности получения для неё общего аналитического решения [6-8] (аналитическое решение интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода возможно лишь в частных случаях [7]). И хотя в 1943 г. А. Н. Тихонов разраба

1) тывает общую теорию решения некорректных задач- метод регуляризации [4, 5], где, в частности, рассматривается вопрос о решении интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода типа свёртки, она не гарантирует нахождения точного решения в случае неточно известной левой части уравнения (1), что часто встречается при решении практических задач. Это, в свою очередь, обуславливает некорректность ЗСД и существенным образом затрудняет разработку эффективных алгоритмов её решения.

Первым шагом в разработке теории и алгоритмов решения ЗСД можно считать доказательство единственности решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода типа свёртки с неизвестным ядром для финитных, многомерных функций [9]. Реальные изображения обычно удовлетворяют этим требованиям: являются пространственно ограниченными (финитность); имеют размерность равную двум (многомерность). Учитывая, что существование решения можно достоверно гарантировать исходя из физического смысла рассматриваемой задачи, возникает проблема разработки алгоритмов решения ЗСД, устойчивых к искажениям свёртки и обеспечивающих качественный результат восстановления при экономии затрат машинных ресурсов.

Естественно предположить, что решение ЗСД связанно с классической задачей восстановления изображений [2]. Анализ известных методов восстановления изображений [1,2] позволяет привести их следующую классификацию:

• линейные методы: регуляризация Тихонова, оптимальная и управляемая линейная фильтрация, статистическая регуляризация решения, обладающие такими достоинствами, как относительная простота реализации, возможность использования при решении широкого спектра различных задач с относительно малыми затратами машинных ресурсов, а также следующими недостатками: неустойчивы к действию нелинейных искажений в свёртке, ограничена возможность получения высокого разрешения;

• нелинейные методы: теоретико-информационные методы, нелинейная оптимизация, методы решения некорректных задач оптимизации, обладающие такими достоинствами, как возможность учёта априорной информации, возможность повышения разрешающей способности алгоритмов, а также следующими недостатками: сложность реализации, большие затраты машинных ресурсов;

• итерационные методы: метод простой итерации, методы итераций с ограничениями, метод проекций на выпуклые множества, регуляризированные итерационные методы, итерационные методы с псевдодифференциальными операторами ограничения, эмпирические итерационные методы восстановления, обладающие такими достоинствами, как относительная простота реализации, возможность учёта априорной информации на каждом итерационном шаге, а также следующими недостатками: большие затраты машинных ресурсов, сходимость итерационного процесса нельзя гарантировать во всех случаях.

На основании вышеизложенного можно сделать следующие выводы:

• использование линейных методов целесообразно в случае слабо искажённых и зашумлённых изображений и (или) существовании жёстких ограничений на затраты машинных ресурсов;

• использование нелинейных методов оправдано в случае отсутствия жёстких ограничений на затраты машинных ресурсов, и (или) при восстановлении сильно искажённых изображений, когда к качеству восстановления предъявляются жёсткие требования;

• использование итерационных методов можно считать компромиссным по рассмотренным свойствам, относительно линейных и нелинейных методов.

Отметим, что вышеуказанные свойства методов восстановления будут, в общем, аналогичны при их использовании для решения ЗСД.

В работе предложено классифицировать алгоритмы решения ЗСД в зависимости от используемых при её решении следующих математических методов:

• методы нелинейного программирования (безусловная, условная, глобальная оптимизация, теоретико-информационные методы);

• алгебраические методы (основаны на свойствах нулей многочленов);

• итерационные методы;

• эвристические методы.

Ниже рассмотрены основные направления и алгоритмы решения ЗСД, известные в настоящее время.

Алгоритмы решения ЗСД, основанные на методах нелинейной оптимизации

В работе [10] для решения ЗСД используется алгоритм «имитации отжига» (АИО) (предложен Метрополисом и др. [11], для вычисления стандартных функций статистической механики), основанный на методе глобальной оптимизации Монте-Карло. Для нахождения глобального минимума целевой функции <р(х),х е Я" {(р{х)~ необязательно гладкая и непрерывная) АИО генерирует последовательность точек х0,х1,.,хк. На к-ом шаге новая точка к+1 генерируется созданием небольшого произвольного отклонения от точки хк. Изменение целевой функции записывается, как А<р = <р(хк+1)-(р(хк) и новая точка хк+] принимается если А<р <0. Если А<р>0, то хк+1 принимается с вероятностью р = ехр{-А^»/Г}, где Т- аргумент, известный под названием «температура». Изначально, параметру Т присваивается большое значение (порядка типичного пошагового изменения <р(х)), которое, затем, постепенно уменьшается с увеличением к. При большом Т АИО может не сходиться в локальном минимуме ср(Т), т.к. может быть принято отклонение, увеличивающее <р(х). С уменьшением Т принимается всё меньшее число отклонений, увеличивающих ср(х), пока не останутся только те, которые приводят к её уменьшению. Тогда окончательная точка должна будет находиться рядом с глобальным минимумом (р(х), что зависит от следующих факторов: топология <р(х), количество точек взятых между каждым уменьшением Т.

Отметим следующие основные недостатки АИО: большие затраты машинных ресурсов, необходимые для получения качественного результата восстановления; зависимость сходимости в глобальный оптимум целевой функции ср{х) от значения параметра Т (строгой теории выбора начального значения и изменения в процессе восстановления не разработано).

В работе [12] для решения ЗСД показана возможность применения алгоритма наискорейшего градиентного спуска для восстановления комплексных, пространственно-ограниченных, многомерных сигналов. Здесь процедура решения уравнения свёртки сводится к нахождению оценок искомых изображений путём оптимизации методом наискорейшего градиентного спуска заданной целевой функции, сформированной так, что её глобальный минимум соответствует точным значениям искомых изображений. В настоящее время экспериментально установлено, что использование алгоритма наискорейшего спуска для решения практических задач (наличие искажений в свёртке, восстанавливаемые изображения имеют большие (>32*32 пикселя) линейные размеры) приводит к сходимости в локальный минимум выбранной целевой функции, что обуславливает невозможность его практического использования для решения ЗСД (п. 1.4.2).

В работе [13] предложены следующие два алгоритма решения ЗСД, использующие апериодическую модель свёртки: алгоритм, основанный на методах нелинейной оптимизации, для коррекции в пространственной области; модифицированная винеровская фильтрация с регулируемым параметром. Суть алгоритма, основанного на методах нелинейной оптимизации, состоит в следующем. Оптимизация, полученных путём применения метода наименьших квадратов и метода множителей Лагранжа функций невязок, нахождение минимума которых обеспечивает решение ЗСД, приводит к решению уравнения Ньютона-Гаусса. Для его решения используются методы наискорейшего градиентного спуска и сопряжённых градиентов. Также для оптимизации полученных целевых функций применяется модификация алгоритма LSI {least-squares and iterative algorithm), рассмотренного, например, в работе [14]. Это также приводит к решению уравнения Ньютона-Гаусса, для чего используется модификация методов наискорейшего градиентного спуска и сопряжённых градиентов. Модифицированная винеровская фильтрация представляет собой, по сути, регуляризирующий фильтр Тихонова [4]. Предложен [13] способ определения начального значения и изменения в процессе восстановления параметра регуляризации. Результаты моделирования показывают, что совместное использование рассмотренных алгоритмов [13] позволяет получать качественный результат восстановления при следующих условиях:

• около 200 итераций (искажения в свёртке отсутствуют);

• около 1000 итераций (свёртка искажена действием равномерно распределённого аддитивного шума).

Анализ полученных в работе [13] результатов показывает следующее:

• сформированные при моделировании искажающие функции имеют простую (гауссову) пространственную структуру, что существенно снижает затраты машинных ресурсов при восстановлении;

• воздействие на свёртку аддитивного шума с равномерным распределением, (аппроксимация реальных искажений свёртки) приводит к резкому снижению эффективности восстановления. Это позволяет сделать предположение, что при решении практических задач, где искажения свёртки носят сложный (часто нелинейный) характер, обеспечение качественного результата восстановления потребует существенного увеличения затрат машинных ресурсов;

• данные об эффективности предложенных алгоритмов при восстановлении изображений искажённых реальными устройствами отсутствуют.

Алгоритмы решения ЗСД, основанные на свойствах нулей многочленов В работе [15] для решения ЗСД предложен цифровой алгоритм, основанный на анализе нулей двумерных целых функций, представляющих х- преобразование свёртки восстанавливаемых изображений. Однако, в предложенном виде данный алгоритм не может быть использован для решения практических задач [15], т.к. является неустойчивым к искажениям свёртки и ошибкам вычислений, при этом его использование требует больших затрат машинных ресурсов.

В работе [16] предложен алгоритм восстановления изображений, искажённых свёрткой с неизвестной функцией (функцией рассеяния точки- ФРТ) по нулевым таблицам спектра мощности. Для полиномиальной аппроксимации Комплексного многочлена используются точки, в которых двумерный спектр обращается в нуль. Положение нулевых точек является общим, как для комплексного спектра, так и для спектра мощности. Поэтому фаза комплексного полинома вместе с известной информацией о спектре мощности может быть использована в качестве начального приближения в предложенном итерационном алгоритме. Отмечается, что данное утверждение полезно, как для восстановления фазы, так и для решения ЗСД.

В работе [17] предложены алгоритмы слепого обращения свёртки, искажённой аддитивным гауссовым шумом, использующие таблицу нулей ъ- преобразования: алгоритм соответствия нулевой карты, алгоритм согласования нулевой траектории. Результаты моделирования подтверждают возможность использования предложенных алгоритмов для решения ЗСД. Экспериментально установлено [17], что при использовании алгоритма соответствия нулевой карты (размер носителя свёртки 256*256 пикселей, искажения- аддитивный гауссов шум) реальные части восстановленного и искажённого изображения визуально мало различимы. Время восстановления в данном случае составляет 15 часов. Для алгоритма согласования нулевой траектории получены аналогичные результаты. Отметим следующие недостатки рассмотренных алгоритмов:

• возможность их использования для решения ЗСД подтверждена на основании результатов моделирования. Результаты восстановления изображений, искажённых реальными устройствами отсутствуют;

• исследованные в работе искажения свёртки (аддитивный гауссов шум) не соответствуют действительности, т. к. при решении практических задач искажения зарегистрированной свёртки имеют сложный, часто нелинейный характер.

Т.о. можно сделать вывод о нецелесообразности практического использования предложенных в работе [17] алгоритмов решения ЗСД, что обусловлено сложностью их программной реализации и большими затратами машинных ресурсов, необходимых для получения качественного результата восстановления.

Вообще, возможность использования нулей г-преобразования двумерных сигналов с ограниченным носителем для решения ЗСД была предложена в работах [18, 19]. С математической точки зрения обоснование возможности восстановления изображения по его таблице нулей г-преобразования [19] подтверждается на основании теории целых функций экспоненциального типа [23]. В работах [19, 20] показана возможность успешного использования предложенной методики для восстановления в отсутствии шумов и искажений в свёртке. В работах [21, 22] предложено усовершенствование методики восстановления с использованием нулевых таблиц, основанное на аппроксимации факторизации нулей реальной плоскости Фурье для решения задачи слепого обращения ансамбля (известно несколько искажённых изображений объекта). Алгоритмы решения ЗСД, предложенные в [24, 25] и названные дискретное преобразование Фурье и метод линейных уравнений, сложны при реализации и требуют больших затрат машинных ресурсов. Также при их использовании возникает проблема выбора числа нулей из таблицы нулей г-преобразования [17].

В завершении отметим, что основным недостатком, присущим всем алгоритмам решения ЗСД, основанным на свойствах нулей многочленов, является их плохая устойчивость к нелинейным искажениям свёртки, что существенно усложняет их практическое использование.

Эвристические алгоритмы решения ЗСД

В работах [26, 27] показана возможность использования для решения ЗСД алгоритма многократной фильтрации (МФ). Данный алгоритм является эвристическим и основан на многократной инверсной (винеровской, тихоновской, гомоморфной и т.д.) фильтрации восстанавливаемых изображений. За одну итерацию фильтрация осуществляется дважды: по текущему приближению восстанавливаемого изображения и искажающей функции. К недостаткам данной методики можно отнести то, что даже в отсутствии искажений в свёртке, после некоторого числа итераций величина, характеризующая качество восстановления, перестаёт увеличиваться, т. е. существует некоторый «порог точности», которым ограничен данный алгоритм, при этом строгое доказательство его сходимости отсутствует. Отметим также, что в предложенном виде [27] восстановление изображений, искажённых реальными устройствами, алгоритмом МФ невозможно (установлено экспериментально).

Алгоритмы решения ЗСД, основанные на теоретико-информационных методах

В работе [28] для решения ЗСД предложено использовать «слепую форму» алгоритма Ричардсона-Люси (АРЛ). АРЛ первоначально получен на основании теоремы Байеса в начале 1970 г. [29, 30] для решения задачи обычной деконволюции: g(x) = |/г(х, у)/(у)с1у, g(x) и /г(х) - известные (возможно неточно), а /(5с) — оо искомая функции. Итерационная процедура решения задачи деконволюции

АРЛ имеет следующий вид: = yf(3FJ A(r) g О) г- номер итерации. (8) Ь(х)

В начале 1980-ых г. АРЛ был получен заново Шенноном и Варди [31] для решения проблем томографии, при исследовании эмиссии позитронов с доминированием статистик Пуассона. Этот метод использовал решение, найденное путём применения алгоритма «максимизации» Демпстера [32]. В слепой форме АРЛ [28] на каждую «внешнюю» итерацию требуется следующие два шага: 1. Предполагается, что известна функция /г(х) и итерационная процедура g(x) повторяется к раз операция свёртки);

2. Предполагается, что известна функция /(х) и итерационная процедура hM{x) = ht{x) Я-х) g(x) повторяется к раз.

Затем осуществляется переход к следующей внешней итерации (т.е. п.1). Похожий алгоритм решения ЗСД был разработан Холмсом [33], также путём использования алгоритма «максимизации» Демпстера.

При тестировании «слепой» АРЛ сравнивался с алгоритмами слепой деконволюции Дейви с винеровским фильтром [34] и Холмса. Эксперимент проводился для изображений размером 64*64 пикселя. Свёртка искажалась путём прибавления к её значениям случайного числа наложений с распределением Пуассона со средним пиксельным значением неискажённого изображения. Установлено, что «слепой» АРЛ имеет более высокую помехоустойчивость для выбранных начальных приближений.

К недостаткам «слепого» АРЛ [28] можно отнести следующее:

• вычислительная сложность алгоритма;

• большие затраты машинных ресурсов, необходимые для получения качественного результата восстановления;

• не исследована помехоустойчивость АРЛ при воздействии на свёртку нелинейных искажений, что часто встречается при решении практических задач;

• сходимость АРЛ не доказана с математической точки зрения.

Отметим также, что большинство приведённых в работе [28] выводов и экспериментальных данных относительно эффективности использования АРЛ относится к решению задачи простой или «полуслепой» (искажающая функция задана параметрически) деконволюции.

В работе [35] предложен итерационный алгоритм восстановления размытых изображений, комбинирующий применение винеровской фильтрации в частотной области и АРЛ- в пространственной, т. н. цепной алгоритм Винера-Люси (ЦАВЛ). Показано [35], что «слабым местом» при восстановлении АРЛ и винеровской фильтрацией является локальная потеря информации. Рассмотрен подход, позволяющий уменьшить такие потери, как в частотной, так и в пространственной области. Эффективность использования ЦАВЛ исследована теоретически, на основании схемы, которая приближает его к действию простого инверсного фильтра, не вызывающего увеличение шумов, что, однако, не может быть достаточным для определения свойств рассматриваемого алгоритма. ЦАВЛ также был применён для обработки инфракрасных изображений. При этом установлено хорошее сохранение высокочастотных компонент в спектральной области, теряемых при Винеровской фильтрации, с одновременным уменьшением числа итераций, по сравнению с использованием АРЛ. Однако вычислительные сложности, связанные с необходимостью использования комбинации АРЛ и винеровской фильтрации, а также оставшаяся неисследованной эффективность работы алгоритма при воздействии на свёртку нелинейных искажений оставляют вопрос об использовании ЦАВЛ для решения практических задач открытым.

Не вдаваясь в подробности, отметим ещё ряд известных алгоритмов решения ЗСД, основанных на итерационных и теоретико-информационных методах [36-42], использование которых, как показывает анализ, при решении практических задач затруднено следующими факторами:

• большие затраты машинных ресурсов, необходимые для получения качественного результата восстановления;

• неустойчивость к шумам и нелинейным искажениям в свёртке.

Полуслепая и множественная слепая деконволюция

Как уже было отмечено ранее, в последнее время прослеживается тенденция разработки алгоритмов, отступающих от решения классической ЗСД.

Так, в работе [43] рассмотрены алгоритмы решения ЗСД, предназначенные для восстановления при наличии ансамбля искажённых изображений, искажённых статистически-независимыми функциями. Алгоритмы используют принцип нулевого листа (основанный на том, что нулевой лист искажённого изображения в отсутствии помех является совокупностью нулевых листов восстанавливаемого изображения и искажающей функции), а также модификацию алгоритма «обнулить-добавить» [44].

Отметим, что самая ранняя разработка алгоритмов решения ЗСД, использующих принцип нулевых листов- спекл-интерферометрия- была выполнена Лэйбери [45]. Алгоритмы обладали следующими недостатками: требовали оценку искажающей функции и восстанавливали автокорреляцию объекта. Кнокс и Томпсон предложили алгоритмы [46], позволяющие восстанавливать фазу Фурье, однако необходимость в знании оценки искажающей функции осталась. Разработанный в последствии алгоритм «сместить-добавить» [47], основанный также на принципе нулевых листов, обеспечивает качественный результат восстановления в случае, когда восстанавливаемое изображение обладает единственным доминирующим ярким пикселем.

В работе [48] представлен алгоритм решения ЗСД в случае, когда известно два искажённых изображения полезного объекта- алгоритм разделения изображений. Предложенная методика заключается в следующем. Формируется отношение: D=IJI2 =tJt2 , где /,,/2 - известные спектры искажённых изображений, г 1,т2- спектры неизвестных искажающих функций. Итерационная процедура формирует оценки т1,т2, на основании которых, путём инверсной фильтрации, определяются оценки спектра восстанавливаемого изображения 0Х,02. Затем, используя полученные Ох,Ог осуществляется коррекция тх,т2 и т. д. Это позволяет сократить число неизвестных в решаемой задаче («исключено» восстанавливаемое изображение). При моделировании установлено [48], что для получения качественного результата восстановления изображения размером 16*16 пикселей требуется 120 итераций предложенного алгоритма (120 мин. при использовании ПВМ Pentium 166 MHz, 16 Mb RAM).

В работе [49] рассматривается итерационный алгоритм решения ЗСД, основанный на методе максимума апостериорной вероятности, использующий несколько кадров искажённого изображения, принятых через турбулентную атмосферу. Не останавливаясь подробно на этом алгоритме, отметим, что для успешного восстановления необходимо иметь параметрическую оценку искажающей функции- ФРТ.

Возможным, с точки зрения дальнейшего развития, способом решения ЗСД является модификация решения задачи реконструкции точки рассеяния человеческого глаза от двух изображений на сетчатке с помощью алгоритма двойного прохода с фазовым поиском [50]. Данная методика, изложенная в работе [51], использует модификацию повторяющегося алгоритма преобразования Фурье, состоит из двух шагов и предназначена для декорреляции ФРТ глаза. На первом шаге формируется оценка фазы путём проведения цикла итераций алгоритма преобразования Фурье: известная корреляционная функция должна «ходить вперёд и назад» между объектной плоскостью и плоскостью Фурье, налагая связи на поддержку (форму носителя) и на позитивность восстанавливаемой функции в пространственной области. Полученная оценка фазы используется для второго шага, состоящего из цикла гибридных итераций «ввода-вывода» [51]. Однако, модифицированный (и обычный) повторяющийся алгоритм преобразования Фурье, требует хороших оценок поддержки объекта. И хотя было разработано несколько способов реконструкции поддержки объекта от поддержки автокорреляции [52, 53], они требуют существенных затрат машинных ресурсов, что уже при решении задачи декорреляции вызывает большие сложности. Также необходимо отметить, что обычная техника алгоритма повторяющихся преобразований Фурье, весьма часто «застаивается в неправильных» решениях, существенно увеличивая затраты машинных ресурсов.

В работе [54] рассмотрен алгоритм восстановления изображений, искажённых турбулентной атмосферой. Алгоритм является модификацией алгоритма Гершберта-Сакстона и использует усечение спектра восстанавливаемого изображения на уровне, определяемом интенсивностью шумов. ФРТ считается принадлежащей к классу параметрических функций, описываемых рассматриваемым в работе выражением- модель турбулентных искажений.

В работе [55] предложены итерационные алгоритмы восстановления изображений, искажённых симметричным смазом, дефокусировкой и амплитудным смазом. Предложенные алгоритмы предполагают, что искажающая функция принадлежит к классу детерминированных функций с набором неизвестных параметров, с большой степенью точности описывающих рассматриваемые искажения. Отметим, что представленные в работе результаты восстановления реальных астрономических изображений подтверждают высокую эффективность предложенных алгоритмов.

В работах [56-61] предложены различные модификации алгоритмов Ричардсона-Люси, Гершберта-Сакстона и максимума энтропии, позволяющие сократить затраты машинных ресурсов при решении ЗСД, предполагающие, однако, что искажающая функция принадлежит к известному классу функций с набором неизвестных параметров.

В работе [62] предложены алгоритмы решения ЗСД, использующие параметрическую оценку искажающей функции- ФРТ. Проведённые исследования показывают, что методы оценивания ФРТ, использующие технологию «ргхе1-Ъу-р1хеЪ, приводят к большим затратам машинных ресурсов [63, 64]. Для решения этой проблемы предложен алгоритм параметрической слепой деконво-люции (ПСД) [65, 66], использующий формирование оценки ФРТ, зависящей от ряда неизвестных параметров. В работе используется типичная ФРТ телескопа с круговой симметрией [67]. Тогда оптимизация функционала заданного вида позволяет восстановить искажённое изображение и оценить параметры ФРТ, определив тем самым искажающую функцию. При моделировании установлено, что используемые в работе [62] алгоритмы решения задачи ПСД, разработанные на основе формализма Демпстера [32], устойчивы к искажениям свёртки и требуют для получения качественного результата восстановления несколько тысяч итераций. Однако, существенные затраты машинных ресурсов и принятие ФРТ, заданной параметрически, обуславливают нецелесообразность использования предложенной методики решения ЗСД [62] для восстановления изображений, искажённых реальными устройствами.

В заключении отметим, что общим «недостатком» рассмотренных алгоритмов полуслепой и множественной слепой деконволюции является необходимость иметь несколько искажённых изображений, либо априорную информацию о принадлежности искажающей функции к определённому классу функций, что невозможно обеспечить во многих практических задачах. Под «недостатком» понимается возможность эффективного использования данных алгоритмов только в конкретных случаях, что существенно сужает общность решаемой задачи. При этом широкий спектр различных прикладных задач, решаемых в рамках рассматриваемой проблемы, обуславливает важность разработки универсальной методики решения ЗСД, эффективной во всех случаях.

Проведённый анализ подтверждает, что известные в настоящее время алгоритмы решения ЗСД обладают следующими основными недостатками:

1. Малоэффективны, а в большинстве случаев- непригодны для восстановления изображений, искажённых реальными устройствами;

2. Неустойчивы к нелинейным искажениям в зарегистрированной свёртке.

На основании вышеизложенного можно сделать заключение о том, что известные в настоящее время алгоритмы решения ЗСД не соответствуют требованиям, возникающим при решении практических задач. Это обуславливает научно-техническую значимость и практическую ценность решаемых в диссертации вопросов по разработке эффективных алгоритмов решения ЗСД.

Проведённый анализ известных алгоритмов решения ЗСД позволил сформулировать ряд актуальных задач, исследуемых в диссертации:

1. Разработка алгоритмов решения ЗСД, основанных на методах оптимизации (позволяющих учитывать априорную информацию об изображениях), обеспечивающих повышение точности и разрешающей способности широкого класса СФИ при экономии затрат машинных ресурсов;

2. Разработка методов решения ЗСД, уменьшающих влияние искажений зарегистрированной свёртки на точность и разрешающую способность СФИ;

3. Разработка программного обеспечения (ПО) для моделирования на ЭВМ и исследования сходимости и помехоустойчивости разработанных алгоритмов;

4. Разработка стратегии и ПО для восстановления изображений, искажённых реальными устройствами.

КРАТКИЙ ОБЗОР МАТЕРИАЛОВ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

В первой главе диссертации обоснована целесообразность использования оптимизационных методов для решения ЗСД. Путём модификации конкретных методов безусловной оптимизации разработаны новые алгоритмы решения ЗСД, как базовые для дальнейшей разработки алгоритмов восстановления.

Во второй главе диссертации на основании анализа физических свойств изображений выявлены виды априорной информации, существенно повышающие эффективность восстановления, не сужая общности решаемой задачи. Путём модификации конкретных методов условной оптимизации разработаны новые алгоритмы решения ЗСД, позволяющие учитывать выбранную априорную информацию и обеспечивающие повышение точности и разрешающей способности широкого класса СФИ при существенной экономии затрат машинных ресурсов по сравнению с известными в настоящее время алгоритмами (гл. 4, 5).

В третьей главе диссертации разработаны методы решения ЗСД, компенсирующие искажения свёртки, вызванные нелинейностью и ограничением величины динамического диапазона амплитудной характеристики устройств регистрации информации. Разработаны (на основе предложенных в гл.2) алгоритмы решения ЗСД, использующие предложенные компенсационные методы, позволяющие при незначительных затратах машинных ресурсов существенно повысить точность и разрешающую способность СФИ (гл.4, 5).

В четвёртой главе диссертации приведены результаты исследования, путём моделирования на ЭВМ, сходимости и помехоустойчивости разработанных алгоритмов восстановления, а также эффективности предложенных методов компенсации искажений свёртки при решении ЗСД.

В пятой главе диссертации разработана стратегия восстановления. Приведены примеры восстановления изображений, искажённых реальными устройствами, при решении конкретных научно-технических задач, подтверждающие эффективность разработанных алгоритмов решения ЗСД.

22

ОСНОВЫНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Разработанные алгоритмы решения ЗСД обеспечивают повышение точности и разрешающей способности широкого класса СФИ при существенной экономии затрат машинных ресурсов (уменьшение времени восстановления на порядки) относительно известных в настоящее время алгоритмов;

2. Разработанные методы решения ЗСД, компенсирующие искажения свёртки, позволяют повысить на 10-ь30% точность и разрешающую способность СФИ при незначительных затратах машинных ресурсов;

3. Разработанные стратегия и ПО для восстановления изображений, искажённых реальными устройствами, обеспечивают при решении конкретных научно-технических задач высокую эффективность восстановления.

5.8. Выводы по результатам главы 5

1. Разработана стратегия и ПО для восстановления изображений искажённых реальными устройствами.

2. Экспериментально подтверждено, что использование разработанных алгоритмов (гл.1- 3) решения ЗСД, ПО и стратегии восстановления для обработки изображений искажённых реальными устройствами при решении конкретных научно- технических задач обеспечивает повышение точности и разрешающей способности широкого класса СФИ при экономии затрат машинных ресурсов (уменьшение времени восстановления на порядки), относительно известных в настоящее время алгоритмов (табл.5.1, 5.2). Установлено, что полученные результаты можно использовать для анализа СФИ (получение оценки ФРТ) (рис.5.3, 5.6, 5.9, 5.12, 5.15, 5.18, 5.20, 5.22).

116

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Научные и прикладные задачи настоящей диссертации формулируются и решаются в рамках проблемы обеспечения качественного результата восстановления изображений, искажённых свёрткой с неизвестной функции, при экономии затрат машинных ресурсов.

Для исследований данной работы выделен круг вопросов, связанных с разработкой и повышением эффективности алгоритмов решения ЗСД, основанных на методах нелинейной оптимизации.

Основные теоретические и прикладные результаты диссертации можно сформулировать следующим образом:

1. Обосновано использование оптимизационных методов для решения ЗСД. Путём модификации конкретных методов безусловной оптимизации разработаны новые алгоритмы решения ЗСД, как базовые для дальнейшей разработки алгоритмов восстановления.

2. Анализ физических свойств изображений позволил выявить виды априорной информации, существенно влияющие на качество восстановления, не сужающие общность решаемой задачи. Путём модификации конкретных методов условной оптимизации разработаны новые алгоритмы решения ЗСД, позволяющие учитывать выбранную априорную информацию и обеспечивающие повышение точности и разрешающей способности широкого класса СФИ при экономии затрат машинных ресурсов (уменьшение времени восстановления на порядки) относительно известных в настоящее время алгоритмов восстановления.

3. Показана возможность уменьшения влияния искажений свёртки на качество восстановления при решении ЗСД. Разработаны эффективные методы решения ЗСД, компенсирующие искажения, вносимые в свёртку нелинейностью и ограниченным динамическим диапазоном амплитудной характеристики устройств регистрации информации, позволяющие повысить на 10+30% точность и разрешающую способность СФИ при незначительных затратах машинных ресурсов относительно восстановления без их использования.

117

4. Разработано ПО для моделирования на ЭВМ и исследования сходимости и помехоустойчивости (при воздействии на свёртку релеевского шума, и искажений, вызванных нелинейностью и ограничением динамического диапазона амплитудной характеристики устройств регистрации информации) разработанных алгоритмов восстановления и эффективности предложенных методов компенсации искажений свёртки при решении ЗСД.

5. Разработана стратегия и ПО для восстановления изображений, искажённых реальными устройствами. Приведённые примеры восстановления радиолокационных, фотографических, астрономических и медицинских изображений подтверждают, что разработанные алгоритмы решения ЗСД при решении конкретных научно-технических задач обеспечивают повышение точности и разрешающей способности широкого класса СФИ при экономии затрат машинных ресурсов (уменьшение времени восстановления на порядки) относительно известных в настоящее время алгоритмов восстановления.

118

1. Василенко Г. И. Теория восстановления сигналов.-М.:Сов. радио, 1979.-272 с.

2. Василенко Г. И., Тараторин А. М. Восстановление изображений.- М.: Радио и связь, 1986.- 304 с.

3. Хургин Я. И., Яковлев В. П. Методы теории целых функций в радиофизике теории связи и оптике.- М.: «Физ.-мат. лит.», 1962.- 220 с.

4. Тихонов А. Н. Методы решения некорректных задач. -М.: Изд-во «Наука», 1986.-288 с.

5. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. -М.: Изд-во «Наука», 1990- 232 с.

6. Смирнов В. И. Курс высшей математики.- М.: Гос. изд. технико-теоретической лит, 1957.- Т.4.- 812 с.

7. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.- М.:- «Наука», 1981- 542 с.

8. Краснов М. JI. Интегральные уравнения.- М.: «Наука», 1975.- 304 с.

9. Бакалов В. П., Русских Н. П. О возможности решения уравнения свёртки при неизвестном ядре в случае многомерных пространственно-ограниченных сигналов // Автометрия.-1985.-№5.-С.92-95.

10. McCallum В. С. Blind deconvolution by simulated annealing.- Opt. Comm., 1990, vol. 75, N. 2, p. 101-105.

11. Metropolis N., Rosenbluth A., Rosenbluth M., Teller A., Teller E., Chem J. Phys. 21 (1953) 1087.

12. Астафьев А. В., Бакалов. В. П., Русских Н. П. Применение градиентного метода при восстановлении двумерных сигналов при неизвестных искажениях // Автометрия.-1989.-№ 1 .-С. 105-107

13. Z. Mou-yan, Rolf Unbehauen New algorithms of two-dimensional blind deconvolution Optical Engineering Vol.34 No. 10, 2945-2953 (1995).

14. Z. Mou-yan and Rolf Unbehauen «Approximate factorization of multivariable polynomials», Signal Process. 14, 141-152 (1988).

15. Бакалов В. П., Мартюшев Ю. Ю., Русских Н. П. Цифровой алгоритм восстановления пространственно-ограниченных сигналов по свёртке с неизвестной искажающей функцией// Автометрия.-1988.-№1.-С.101-103.

16. Chen Pi-tung., Fiddy М. A., Liao С. W., Pommet D. A. Blind deconvolution and fhase retrieval from point zeros.- J. Opt. Soc. Am., 1996, vol. 13, N. 7, p. 1524-1531.

17. P. J. Bones, C. R. Parker, В. I. Satherley, and R. W. Watson, «Deconvolution and phase retrieval with use of zero sheets», J. Opt. Soc. Am. Vol. 12, No. 9, 1842-1857. (1995).

18. R. H. T. Bates, В. K. Quek, and C. R. Parker, "Some implications of zero sheets for blind deconvolution and phase retrieval", J. Opt. Soc. Am. A 7, 468-479 (1990).

19. R. G. Lane and R. H. T. Bates, "Automatic multidimensional deconvolution", J. Opt. Soc. Am. A 4, 180-188 (1987).

20. D. C. Ghiglia, L. A. Romero and G. A. Mastin, "Systematic approach to two-dimensional blind deconvolution by zero-sheet separation", J. Opt. Soc. Am. A 10, 1024-1036 (1993).

21. P. Chen, M. A. Fiddy,, A. H. Greenaway and Y. Wang, "Zero estimation for blind deconvolution from noisy sampled data", in Digital ImageRecovery and Synthesis II, P. S. Idell, ed., Proc. Soc. Photo-Opt. Instrum. Eng. 2241, 2029, 14-22 (1993).

22. P. Chen and M. A. Fiddy, "Two dimensional blind deconvolution from point zero location", in Inverse Optics III, M. A. Fiddy, ed., Proc. Soc. Photo-Opt. Instrum. Eng. 2241,238-249(1994).

23. A. A. G. Requicha, «The zeros of entire functions: theory and engineering applications», Proc. IEEE 68,308-328 (1980).

24. A. Zakhor and D. Izraelevitz, "A note on the sampling of zero crossings of two-dimensional signal", Proc. IEEE 74, 1285-1287 (1986).

25. R. W. Watson, C. R. Pareker and P. J. Bones, "Demonstration of two-dimensional consistent deconvolution using zeros", Opt. Commun. 93, 359-365 (1992).

26. Бакалов В. П., Русских Н. П. Моделирование процесса восстановления двумерных сигналов искажённых свёрткой с неизвестной функцией // Изв. вузов. Радиоэлектроника.-1987.-№7.-С.71-72

27. Бакалов В. П., Новокшанов О. Н. Восстановление изображений по свёртке с неизвестной функцией // Будущее авиации и космонавтики: Сборник тезисов статей научно-исследовательских работ студентов.-1998.-С.55-58.

28. Brinicombe А., М., Fish D., A., Pike Е., R., Blind deconvolution by means of the Richardson-Lucy algorithm.- J. Opt. Soc. Am., 1995, vol. 12, N. 1, p. 58-65.

29. Richardson W. H. Bayesian- based iterative method of image restoration.- J. Opt. Soc. Am. 62, 55-59 (1972).

30. Lucy L. B. An iterative technique for the rectification of observed distributions.-Astron. J. 79, 745-754 (1974).

31. Shepp L. A., Yardi Y. Maximum likelihood reconstruction for emission tomography .- IEEE Trans. Med. Imaging MI-1, 113-122 (1982).

32. Dempster A. P., Laird N. M., Rubin D. B. Maximum likelihood from incomplete data via the EM algorithm.- J. R. Stat. Soc. 39, 1-38 (1977).

33. Holmes T. J. Blind deconvolution of quantum-limited incoherent imagery: maximum likelihood approach.- J. Opt. Soc. Am. A 9, 1052-1061 (1992).

34. Davey B. L. K., Lane R. G., Bates R. H. T. Blind deconvolution of noisy complex- valued image.- Opt. Commun. 69, 353-356 (1989).

35. Tsumuraya Fumiak Deconvolution based on the Wiener- Lucy chain algorithm: An approach to recover local information losses in the deconvolution procedure.- J. Opt. Soc. Am., 1996, vol. 13, N. 7, p.1532-1536.

36. G. A. Ayers and J. C. Dainty, «Iterative blind deconvolution method and its application», Opt. Lett. 13(7), 547-549 (1988).

37. B. L. K. Davey, R. G. Lane, and R. H. T. Bates, «Blind deconvolution of noisy complexvalued image», Opt. Comm. 69 (5, 6), 353-356 (1989).

38. J. H. Seldin and J. R. Fienup «Iterative blind deconvolution algorithm applied to phase retrieval» J. Jpt. Soc. Am. A 7,428-433 (1990).

39. N. Miura, N. Baba, S. Isobe, M. Noguchi and Y. Norimoto «Binary star reconstruction whit use of the blind deconvolution method» J. Mod. Opt. 39 (5), 1137-1146(1992).

40. R. G. Lane, «Blind deconvolution of speckle images» J. Opt. Soc. Am. A 9(9), 1508-1514(1992).

41. N. Nakajima, «Blind deconvolution using the maximum likelihood estimation and the iteration algorithm», Opt. Comm. 100, 59-66 (1993)

42. N. Miura and N. Baba, «Extended-object reconstruction with sequential use of the iterative blind deconvolution method», Opt. Com. 89, 375-379 (1992).

43. B. L. Satherley and P. J. Bones, «Zero tracks for blind deconvolution of blurred ensembles», Applied Optics. 33, 2197-2205 (1994).

44. R. Y. T. Bates, B. K. Quek, and C. R. Parker, «Some implications of zero sheets for blind deconvolution and phase retrieval», J. Jpt. Soc. Am. A 7,468-479 (1990).

45. A. Labeyrie, «Attainment of diffraction-limited resolution in large telescopes by Fourier analyzing speckle patterns in star images», Astron. Astrophys. 6, 85-87 (1970).

46. K. T. Knox and B. J. Thompson, «Recovery of images from atmospherically degraded short-exposure photographs», Astrophys. Lett. 193, L45-L48 (1974).

47. A. M. Sinton, B. L. K. Davey, and R. H. T. Bates, «Augmenting shift-and-add with zero-ahd-add», J. Opt. Soc. Am. A 3, 1010-1017 (1986).

48. S. Barraza-Felix and B. R. Frieden, «Regularization of the image division approach to blind deconvolution», Appl. Opt. Vol.38, No.l 1, 2232-2239 (1999).

49. D. R. Gerwe and M. A. Plonus, «Image restoration of multiple noisy images by use of a priori knowledge of the anisoplanatic point-spread function», Optics Letters, Vol.23, No.2, 83-85 (1998).

50. Santamaria J., Artal P., Bescos J. Determination of the point-spread function of the human eye using a hybrid optical- digital method.- J. Opt. Soc. Am. A 4, 1109-1114(1987).

51. Iglesias I., Lopz-Gil N., Artal P. Reconstruction of the point-spread function of the human eye from two double- pass retinal images by phase- retrieval algorithms. -1998, vol. 15, N. 2, p. 326-339.

52. Fienup J. R., Crimminis T. R., Holstynski W. Reconstruction of the support of an object from the support of its autocorrelation.- J. Opt. Soc. Am. 72,610-624 (1982).

53. Crimminis T. R., Fienup J. R., Thelen B. J. Improved bounds on object support from autocorrelation support and application to phase retrieval.- J. Opt. Soc. Am. A 7,3-13 (1990).

54. Курикша А. А., Жулина Ю. В.- «Восстановление искажённых изображений в оптических системах при пуассоновских флуктуациях сигнала в фотоприёмнике»//Радиотехника и электроника, 2000. Т.45 №3.-С.313-319.

55. Пахомов А. А.- О восстановлении изображений искажённых симметричным смазом, дефокусировкой и амплитудным смазом., 2000. Т.45 №3.-С. 333-338.

56. S. С. David, В. and М. Andrews, «Acceleration of iterative image restoration algorithms», Appl. Opt. Vol. 36, No. 8, 1766-1775 (1997).

57. D. S. C. Biggs, and M. Andrews, «Conjugate gradient acceleration of maximum-likelihood image restoration», Electron. Lett. 31,1985-1986 (1995).

58. H. M. Adorf, R. N. Hook, L. B. Lucy, and F. D. Murtagh, «Accelerating the Richardson-Lucy Restoration Algorithm», in Fourth ESO/ST-ECF Data Analysis Workshop, (European Southern Observatory, Garcing, Germany, 1992), pp. 99-103.

59. T. J. Holmes and Y.-H. Liu, «Acceleration of maximum-likelihood image restoration for fluorescence microscopy and other noncoherent imagery», J. Opt. Soc. Am. A 8, 893-907(1991).

60. R. G. Lane, «Methods for maximum likelihood deconvolution», J. Opt. Soc. Am. A 13, 1992-1998(1996).

61. J. E. Dorband, N. L. Bonavito, and, T. Busse, «Maximum entropy restoration of blurred and oversaturated Hubble Space Telescope imagery», Appl. Opt. 32, 5768-5774(1993).

62. J. Markham and J. A. Conchello, «Parametric blind deconvolution: a robust method for the simultaneous estimation of image and blur», Vol. 16, No. 10, 23772390 (1999)

63. E. Thiebaut and J.-M. Conan, «Strict a priori constraints for maximum-likelihood blind deconvolution», J. Opt. Soc. Am. A 12, 485-492 (1995)

64. R. G. Paxman, T. J. Schulz and J. R. Fienup, «Joint estimation of object and aberrations by using phase deversity», J. Opt. Soc. Am. A 9, 1072-1085 (1992)

65. V. Krishnamurthi, Y. -H. Liu, S. Bhattacharyya, J. N. Turner, and T. J. Holmes, «Blind deconvolution of fluorescence micrographs by maximum-likelihood estimation», Appl. Jpt. 34, 6633-6647 (1995)

66. J. A. Conchello, «Superresolution and convergence properties of the expectation-maximisation algorithm for maximum-likelihood deconvolution of incoherent images», J. Opt. Soc. Am. Vol. 15, No. 10, 2609-2619 (1998)

67. F. S. Gibson and F. Lanni, «Experimental test of an analytical model of aberration in an oil-immersion objective lens used in three-dimensional light microscopy», J. Opt. Soc. Am. A 8, 1601-1613 (1991).

68. Гончарский А. В., Черепащук A. M., Ягола А. Г. Некорректные задачи астрофизики." M.: Наука, 1985, 352 с.

69. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов.-М.: «Мир», 1978, 848 с.

70. Бессонов JI. А. Линейные электрические цепи.- М.: «Высшая школа», 1968, 256 с.

71. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы.- М.: «Радио и связь», 1986,512 с.

72. Бакалов В. П. Двумерные пространственно-ограниченные непрерывные сигналы, восстанавливаемые по амплитудному спектру // Автометрия.- 1985.-№2. С.30-34.

73. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. -М.: Изд-во «Мир», 1982.

74. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Изд-во «Мир», 1975.-534 с.

75. Гилл Ф., Мюррей У. Численные методы условной оптимизации. -М.: Изд-во «Мир», 1977.- 290 с.

76. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Изд-во «Мир», 1985.- 510 с.

77. Пшеничный Б. Н. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Изд-во «Наука», 1975.- 320 с.

78. Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М:. Изд-во «Наука», 1982.- 432 с.

79. Реклейтис Г., Рейвиндран А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике. т.1.- М.: Изд-во «Мир», 1983.- 350 с.

80. Cea Ж., Оптмизация. Теория и алгоритмы М.: Изд-во «Мир», 1973.- 244 с.

81. Михалевич В. С., Гупал А. М., Норкин В. И. Методы невыпуклой оптимизации. М.: Изд-во «Наука», 1987.- 280 с.

82. Жиглявский А. А., Математическая теория глобального случайного поиска. JL: Изд-во Ленинградского университета, 1985.- 296 с.

83. Прэтт У. Цифровая обработка изображений: Пер. с англ.- т.2.- М.: Мир, 1982,- 792 с.

84. Ахманов С. А., Дьяков Ю. Е., Чиркин А. С. Введение в статистическую радиофизику и оптику.- М.: Наука, 1981.- 640 с.

85. Радиоприёмные устройства / Под ред. В. И. Сифорова.- М.: «Сов. радио», 1974.-538 с.

86. Подбельский В. В. Язык СИ++.-М.: «Финансы и статистика», 1996, 560 с.

87. Бабе Б. Просто и ясно о Borland С++.- М:. «Бином», 1995.- 395 с.

88. Уолнем К. Объектно-ориентированное программирование Borland С++.-Минск.: «Попурри», 1997, 640 с.

89. Сван Т. Программирование для Widows в Borland С++.-М.: «Бином», 1996, 480 с.129

90. Арнуш К. Освой самостоятельно Borland С++.- М.: «Бином», 1997, 720 с.

91. Линдли К. Практическая обработка изображений на языке СИ.-М.: «Мир», 1996,512 с.

92. Палагин Ю. И., Шалыгин А. С. Прикладные методы статистического моделирования." Ленинград.: «Машиностроение», 1986, 319 с.

93. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники.- т.1.- М.: «Сов. радио», 1974.- 552 с.

94. Аллан В. Применение цифровой обработки сигналов: Пер. с англ./ Под ред. А. М. Рязанцева.- М.: «Мир», 1980.- 552 с.

95. М. С. Roggemann, D. W. Tyler, «Model-based image reconstruction by means of a constrained least-squares solution», Appl. Opt, Vol. 32, No. 11, 2360-2368 (1997).

96. Новокшанов О. H. Модифицированный алгоритм циклического покоординатного спуска для решения задачи слепой деконволюции.// Вестник Московского авиационного института.-2000, Том.7, №2 (в печати).

97. Бакалов В. П., Воеводин С. М., Новокшанов О. Н. Улучшение качества эхо-графических изображений путём устранения искажений, вызванных свёрткой с неизвестной функцией.// Клиническая визуальная диагностика.- 2000, Выпуск 1.-С. 98- 100.

98. Бакалов В. П., Новокшанов О. Н. Метод компенсации искажений свёртки для решения задачи слепой деконволюции.// Вестник Московского авиационного института (в печати).