автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Вопросы теории и элементы математического обеспечения оптимизационных задач в машиностроении

пв и»

ЗЛГОГР АДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

НАГИБИН Владимир Петрович

ВОПРОСЫ ТЕОРИИ И ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАД \Ч В МАШИНОСТРОЕНИИ

05.13.16- применение вычислительной т ехиики, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

ВОЛГОГРАД 1993

Работа выполнена в Волгоградском государственном техническом университет?

Научный руководитель -Официальные оппоненты:

Ведущая организация -

доктор физико-математических наук, профессор Г.И.Брьгзгалин

доктор физико- математических наук, профессор Ю.В.Нсмировский

доктор технических наук, профессор Г.Т.Тарабрин

акционерное общество открытого типа "Волгоградский тракторный завод"

Защита состоится " 2.5 "января 1994 г. в Ю- часов на заседании специализированного совета К 063.76.05 Волгоградского государственного технического университета по адресу:

400066, г. Волгоград, проспект Ленина 28, ауд. 209.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета. Автореферат разослан " 2,4 " декабря 1993 г.

е \

- '

Учёный секретарь ; специадизи;>ованного совета кандидат технических наук, доцент .

В.М.Водопьянов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Оптимизация как процесс нахождения наилучших вариантов из множества альтернатив лежит в основе всей инженерной деятельности. Б частности, она является одним из важнейших этапов проектирования новых, в том или ином смысле более эффективных в сравнении с уже существующими материалов, конструкции и технологических процессов в различных отраслях машинос . роения.

Важно игметить, что большинство оптимизационных задач, с которыми приходится сталкиваться в инженерной практике, япляются многокритериальными и их размерность достаточно велика. Это вахено по--стольку, поскольку многокритериальность задачи приводит к необходимости достижения некоторого компромисса, как можно более адекватно отражающего реальную ситуацию. Однако этот компромисс, как правило, не очевиден, что создаёт серьёзные трудности в формализации задачи математической постановке). Кроме того, даже в тех случаях, когда задача формализована и выбранный критерий более или менее адекватно отражает моделируемую ситуацию, на успех в решении исходной инженерной задачи надеяться рано, поскольку большая размерность (количество варьируемых параметров^ задачи, с одной стороны, ориентирует исследователя на её решение с использованием ЭВМ, а с другой -является одной из основных причин её плохой обусловленности. Другими словами, лрн использовании ЭВМ с арифметикой конечной точности задача з процессе её решения заменяется отличной эт неё "машинной задачей", приближённое решение которой, выдаваемое ЭВМ, может существенно отличаться от решения исходной задачи.

К вышеизложенному остаётся лишь добавить, что сложность и объём задач, вь^вггаемкх практикой, как показывает опит отечес-зенных и зарубежных исследователей, нашедший своё отражение в многочисленных публикациях последних лет, опережают прогресс в развитии вычне-

лительисй техники. Поэтому вопросы, связанные с совершенствованием уже существующих и разработкой ноьих, более оффе'-тияиых математических ь.етодо:: и алгоритмов решении оптпмизаци.г.шых задач, безус • о ловно, являются актуальными и предстааляют не только научный интерес, но и ¡фактическую ценьость в случае успешного их решения.

Цель работы состоит ь создании высококачественного математического обеспечени:: конечномерных задач безусловной оптимизации и его применении к задачам

1) математической обработки экспериментальных данных;

2) оцешшаши качества слоистых металлокомпозитов как элементов машиностроительных конструкций, удовлетворяющих тем пли иным условиям их эксплуатации;

3) проектирования в элементах машиностроительных конструкций оптимальных по сопротивляемости эксплуатационной нагрузке полей остаточных напряжений.

Поставленная, цель достигается сведением рассматриваемых задач к конечномерным задачам с одной целевой функцией. При этом высокое качество вычислений обеспечивается предварительным исслед^ва! чем обусловленности задач, если в этом возникает необходимость, и использованием для их решения хорошо обусловленных алгоритмов.

Методы исследования. В работе использовались аналитические и численные методы линейной алгебры, анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории экстремальных зада« и математической обработки экспериментальны;: данных.

Научная новизна. На основании обработки результатов экспериментального исследования слоистых металл "»композитов, изготовленных на основе сплавов В95 и Д16 с прослойками мягкого алюминия АД1М, предложены функциональная зависимость динамической трещиностой-кости композиционного материала от его структурных параметров: тол-

щшы мяггссй прослойки и количества высокопрочных слоев, - ; -также в соавторстве с Г.И. Бризгалиным и Д.И. Цветковым два критерия качества материала, позволяющих в широком спектре возможных ситуаций гибко учитывать систему предпочтений эксперта или лг.ца, принимающего решение, по таким свойствам как сопротивляемость распространению поперечной трещины при ударном изгибе или демпфирующая способность и высокочастотная усталость (второй критерий позволяет сравнивать раз л к .ные материалы с одинаковым значением вибропрочностн).

В соав! орстве с A.C. Самохиным предложен подход к определению ' таких полей остаточных напряжений в машиностроительных деталях, , при наличии которых они наилучшим образом сопротивлялись бы статической или кзазнстатической на груз jj.

В рамках предложенного автором подхода к количественному оцениванию обусловленности задач линейной алгебра установлено, что мерой обусловленности систем нормальных уравнений, возникающих из задач среднеквадратичного приближения функций алгебраическими многочленами, может служить отклонение их определителя от 1.

Предложено треугольное разложение симметричных матриц, обладающее рядом преимуществ перед известными разложениями.

В соавторстве с A.C. Турбабиным получены более тонкие и сравнении с известными условия сходимости итерационного процесса решения нелинейной двухточечной краевой задачи. .

Практическая ценность. На основании результатов проведённого нсследовлкия

1) рекомендованы структуры слоистых мета-чокоипознтов с высокими значениями прочности, усталости, вязкосги разрушения и демпфирующей сгизбвссти;

, 2) найдено оптимальное поле остаточных напряжении для тонкого кольца р предположении, что его напряженное состояние является плоским осссиммстричным и зависящим только от радиуса;

3) разработано высококачественное математическое обеспечение широкого круга оптимизационных задач, втом числе и многокритериальных.

Внедрение результате:; работы. Разработанное автором математическое обеспечение было использовано при выполнении ряда хоз. договорных и гос. бюджетных НИР, а также при проведении лабораторных работ по общему и некоторым специальным курсам высшей математики, что подтверждается актом с внедрении результатов НИР в учебный процесс.

Апробация работы. Осиоьные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Воронежской заммней математической школе (Воронс>к,январь 1978 г.), научной сессии Воронежского государственного университета (Воронеж, март 1978 г.), областной научно-технической конференции молодых специалистов нефтяной и газовой промышленности (Волгоград, июнь 1978 г.), областной конференции молодых учёных и специалистов "Новые материалы, кострукцин и технологические процессы" (Волгоград, ноябрь 1983 г.), научном семинаре "Оптимальное проектирование конструкций, машин и приборов" под руководством академика В И.Моссаковского (Днепропетровск, октябрь 1984 г.), II Всесоюзном симпозиуме по механике разрушения (Житомир, октябре 1985 г.),

областной научной конференции "Снижение материалоёмкости, эконо-

о

мия электроэнергии и повышение долговечности деталей машин за счёт применения прогрессивных методов термической и химико-термической обработки" (Волгоград, ноябрь 1985 г.), Всесоюзной научно-методической конференции "Проблемы чистой и прикладной математики" (Тула, январь 1988 г.), региональных научно-технических конференциях "Про-

грессшшые методы получения конструкционных материалов и покрытой, повышающих долговечность деталей машин" (Волгоград, ноябрь 1988 г.) и "Свойства порошковых и композиционных материалов, технология их получения с применением импульсных нагрузок и обработки давлением" (Волгоград, декабрь 1988 г.), XI Всесоюзной конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (Волгоград, октябрь 1989 г.), IX научной конференции профессорско-преподавательского состава Волгоградского государственного университета (Волгоград, апрель 1992 г.), а также ежегодных научных конференциях Волгоградского государственного технического университета (Волгоград, 1981-1993 гг.)^

Публикации. По результатам диссертации автором опубликовано 11 научных работ.

Структура и объём работы. Диссертация состоит нз введения, трёх глав, выводов и списка литературы, включающего в себя 59 наименований. Она изложена на 83 страницах машинописного текста (основной текст занимает 71 с границу), содержит 7 рисунков и 3 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обзор задач и методов, рассматриваемых в диссертации, характеристику современного состояния исследуемых еоп[-> сов и обоснование актуальности темы исследования.

Глзва 1 посзящена задачам многокритерйальной оптимизации на множествах из конечномерных пространств и включает в себя три параграфа.

В первом параграфе рассматриваются вопросы построения критериев - ачества слоистых композиционных материалов (СКМ) - целевых функций задачи их оптимального проектирования. В частности, строится критерий качества максимально сопротивляющихся распространению

s

поперечной трещины при ударном изгибе СКМ, создаваемых на основе епдапов В05 и Д16 с прослойками АД1М. Для этого

1) анализируются осциллограммы процесса их динамического разрушения и устанавливается наличие функциональной зависимости между дин;шнческойтрещиностойкостью {ударной вязкоетью) (X и структурными параметрами СКМ: толшиной д мягкой прослойки и количеством п высокопрочных слоев, - выражаемая формулой

а = I—j п(п—4) Ц (u-l)(S/z-29)<5 ; (1>

2) по правилу смеси аппроксимируется статическая прочность О вдоль слоев СКМ:

(2)

где Ь^С7а/0',п, Оа - предел прочности мягких прослоек, От - предел прочности монолитного материала, H - толщина СКМ;

3) строятся частные качества

а о

г г t2 +0.64 „ „ с / 2+1.76 „

g I ~ 0.5 J -dt и 92=G.9J —-,-dt <3>

1 / —0.64 2 ,t2-Q.49

1.5 0.Я

для a>O.Sncr>0.7.

Далее единый критерий качества q определяется как среднее значение частных качеств q j и ¡?2НЗ соотношения

Г\(я) +/2(<?) =/i(? 0 +/2(9 2), (4)

где fi(g)= shq, /2(9) ~ • В сил ^формулы

Aishx s=in(jc+V 1 ) он может быть записан в виде

ç = 1п jo.7Sshgj + 0.25s/î92 + Vl + (0.75s/i<? , +0.25sA$] '

и с учётом соотношений (1)-(3) является функцией структурных параметров СКМ.

Другой предлагаемый в работе критерий качества СКМ строится на основании результатов экспериментального исследования выносливости и демпфирующей способности грех типов материалов, изготовленных сваркой взрывом на основе сплава В95 с прослойками АД1. Он позволяет гибко учитывать систему предпочтений эксперта или лица, принимающего решения, в широком спектре возможных ситуаций и, в частности, в тех случаях, когда сравниваемые материалы имеют одинаковое значение вибропрочности.

Заметим, что схемы построения обоих критериев качества СКМ одинаковы. Однако з отличие от первого второй критерий соотношением вида (4) определяется клк неявная функция частных качеств и для егэ вычисления необходимо использовать численные методы.

Во втором параграфе рассматриваются вопросы количественного оценивания обусловленности вычислений з задачах линейной алгебры. Предлагается в качесве меры их обусловленности использовать отклонение от 1 того или иного среднего значения совокупности ведущих миноров матриц решаемых задач или некоторых эквивалентных совокупностей величин. В частности, в задачах среднеквадратичного приближенил функций алгебраическими многочленами в качестве меры обусловленности гауссопскнх исключений для систем нормальных уравнений предлагается использовать отклонение от 1 их определителя -п-ой степени среднего 1 еометрического ведущих элементов алгоритма. Этот вывод подтверждается экспериментальными исследованиями автора в случае приближения таблично заданной функции и обосновывается на примере задачи приближения непрерывной функции.

В третьем параграфе для симметричных матриц А — (а,у), играющих важную роль в теории и методах решения экстремальных задач, изучаются треугольные разложения вида

Л=5-Ми, " (5)

где Б = (5,7) - нижняя треугольная матрица, О — - диагональная

матрица. ж- знак транспонирования. Предполагается^ что все ведущие миноры матрицы А отличны от нуля и предлагается следующий выбор гкагональных элементов матрицы В:

<1[ = 1Л,7 (/ = 1,2,..., п), - (6)

где п - порядок рассматриваемых матриц,. В этом случае -'-1 "

517 = ^1/» s■xs/k/su, (/ = 2,3,...,/; / = 1,2,...,л) (7)

¿=1

и решение системы линейных алгебраических уравнений

Ах —Ь

сводится к последовательному решению систем I

у—1

и .

л

2 «у/*/ = «яУ/ (1=1,2,...,л). /=*

Заметим, что ведущие мкноры матрицы 5, элементы которой вычисляются по формулам (7), совпадают с ведущими минорами матрицы А. Поэтому принятое выше соглашение относительно последних является необходимым и достаточным условием существования разложения (5)-(6).

Глава 2 посвящена задачам оптимизации на множествах из бесконечномерных пространств и включает в себя два параграфа.

В первом параграфе исследуются вопросы, связанные с определением такого поля остаточных напряжений в детали, при наличии которого она наилучшим образом сопротивлялась бц эксплуатационной нагрузке. Предлагается критерий оптимальности полей остаточных напряжений для случая статической ми квазмстатической нагрузки. Рассматриваются случаи, когда нагрузка изменяется пропорционально одному или нескольким параметрам. Оптимальное поле остаточных напряжений определяется как решение минимаксной задачи: м! лимизируется максимальное значение интенсивности касательных напряжений (в качестве условия текучести принят критерий Мизсса). Далее задача сводится к минимизации интегрального функционала.

Приводятся результаты численного решения рассматриваемой задачи для тонкого кольца, напряжённое состояние которого предполагается плоским осссиммстрнчным. Задача сводится к минимизации функции многих переменных и решается методом Хука-Дживса. Отмечается, что создание оптимального поля остаточных напряжений существенно расширяет диапазоны нагрузок, при которых деформации кольиа являются упругими.

Во втором параграфе рассматриваются вопросы оптимизации на множестве эквивалентных норм пространства С1 условий сходимости итерационного процесса решения нелинейного дифференциального уравнения вида

5 =/({.х,х) - (8)

с граничными условиями

*(а) = Л, Х(Ь)=В. (9)

Эти вопросы представляют не только самостоятельный интерес. Они ик.ересны ещё и постольку, поскольку к задаче (8)-(9), как известно, могут быть сведены задачи, подобные рассмотренным в предыдущем параграфе.

Найденные условия сходимости представляют собой менее жёсткие в сравнении с известными ограничения на константы Липшица правой части уравнения {8>.

о Глава 3 содержит элементы математического обеспечения оптимизационных задач. В ней представлены алгоритмы, реализующие

1) метод Хука-Дживса;

2) метод скорейшего спуска;

3) вычисление среднего значения с группы действительных чисел *1»*2>—>*в6 определяемою уравнением

п п

2/*(с)=:£

А=1 *=1

где/монотонно убывающие/возрастающие и непрерывные на отрезке [а,Ь] функции (&=1,2,...,/¿);

4) методм теории приближения функций;

5) треугольно-- разложение симметричных матриц и решение систем линейных алгебг шческих уравнений.

выводы

1. Исследованы юпросы построения целевых функций в задачах многокритериальной оптимизации на множествах из конечномерных пространств. Предложены критерии качества СКМ пг- сопротивляемости распространению поперечной трещины при ударном изгибе и по совокупности свойств выносливости к демпфирование колебаний, а также мера

обусловленности вычислений в задачах среднеквадратичного приближе-

о

ния функций алгебраическими многочленами.

2. Построено треугольное разложение симметричных матриц, обяа- . дающее перед известными разложениями такими преимуществами :.ак

простота, экономия памяти при реализации на ЭВМ, достаточно высокая точность. Реализующие это разложение и решение системы линейных алгебраических -'равнений алгоритмы triad и cotriad внедрены в учебный процесс.

3. Исследованы вопросы проектирования в машиностроительныхде-талях. полей остаточных напряжений, повышающих ilk сопротивляемость эксплуатационной нагрузке. Предложен критерий их оптимальности дл5. случая статической или квазистатической нагрузки. Найдено оптимальное поле остаточных напряжений для тонкого кольца, напряженное состояние которого предполагалось плоским осесимметричньш.

4. Получены более тонкие в сравнении с известными условия сходимости итерационного процесса решения двухточечной краевой задачи.

5. Разработано математическое обеспечение широкого круга оптимизационных задач, представляющее собою библиотеку подпрограмм, написанных на языке FORTRAN 77 я ранслированных на машинах типа IBM PC с использованием компилятора фирмы Microsoft версии 3.31. Подпрограммы библиотеки реализуют известные и разработанные автором алгоритмы. Библиотеке в целпм присущи такие качества как мощность, гибкость, лё!кость в использовании и модификации, портабель-ность и надёжность в работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Нагибин В.П., Турбабип А.С. Сходимость итерационных процессоз для интегральных уравнений Гаммерштейна / ВГУ. - Воронеж, 1978. - Юс. - Рукописьдеп. в ВИНИТИ 1 февраля 1979 г., No444-79 Деп.

2. Самохин АС., Нагибин В.Г1. О критерии оптимальности полей оста--эчных напряжений // Новые материалы, хонструк'уш и технологические процессы (тезисы докладов). - Волгоград, 1983. - С. 10.

3. Цветков Д.И., Нагибин В.П., Челышев В.В., Худышкип В.Ф. Оптимизация качества СКМ на основе экспериментов по распространению попьреч эй трещины при удароном изгибе // Трещиностой-

п кость материалов ч элементов конструкций. II Всесоюзный симпозиум но механике разрушения (Житомир, 15-17 октября 1985 г.). Тезисы докладов: В 3-х т. / ИПП АН УССР. - Киев, 1985. - Т. 3. - С. 97-9S.

4. Нагибин В.П., Туроабин A.C. Опецна. ¡ыше нормы ч условия сходимости итерационного процесса для двухточечной краевой задачи / Ред. ж. 'Известия вузов. Математика". - Казань, 1985. - 13 с. -Рукопись деп. в ВИНИТИ 12 ноября 1985 г., No 7909-Е85.

5. Воинов Б. А.. Нагибин В.Л. Исследование зависимостей между коли ■ чествекными характеристиками износостойких сплаЕов чёрных металлов // Тезисы докладов hl/чной конференции "Снижение материалоёмкости, экономия электроэнергии и повышение долговечности деталей машин за счёт применения прогрессивных методов термической и химикотерми^еской обработки". - Волгоград, 1985. -С. 16-18.

6. Самохин A.C., Нагибин В.П. Об оптимальных поля,, остаточных напряжений // Металловедение и прочность материалов: Межвузовский сб. науч. трудов / ВслгПИ. - Волгоград, 1987. - С. 233-243. -Рукопись деп. в Черметинформации 31 июля 1987 г., No 4117-чм87.

7. Всйнов Б.А., Нагибин В.П. Статистическое исследование свойств белых чугунов // Региональная научно-техническая конференция

г

"Прогрессивные методы получения конструкционных материалов и покрытий, повышающих долговечность детг лей машин". Тезисы докладов. - Волгоград, 1988. - С. 96-97.

8. Брызгалин Г.И., Цветков Д.И., Нагибин В.П., Абрамов В.Я. Оценка качества взрывосваркых слоистых материалов // Тезисы докладов

региональной научно-технической конференции "Сгойства порошковых и композиционных материалов, технология их получения с применением импульсных нагрузок и обработки даэ тенисм". - Волгоград, 1988.-С. 92-94. 9. Брызгалин Г.И., Цветков Д.И., Нагибин В.П., Абрамов В.Я. Оценка качества взрнвосварных слоистых материалов // Металловедение и прочноегь материалов: Межвузовский сб. науч. трудов / ВолгПИ. -Волгоград, 1989. - С. 138-142.

. 10. Брызгалин Г.И., Цветков Д.И., Карташов Г.Г., Нагибин В.П., Писарев А.В. Оценка качества слоистых металлических материале? по высокочастотной зыносливости и демпфирующей способности // Проблемы прочности. - 1989. - N0 12 (246). - С. 36-40. 11. Нагибин В.П. Сб одном треугольном разложении симметричных матриц // Тезисы докладов IX научной конференции профессорско-преподавательского состава и XII науч!. эй студенческой коьферен-ции / ВолГУ. - В0Л101 рад, 1992. - С. 139.

Подписано в печать 3.12.93 г. Формат 60x84 1/16. Бумага гасетизя. Усл. nc-i. л. 1.0. Уч.изд-л. 0.95. Тираж 100 экз. Заказ SC'k .Беплатно.

Межвузовасий ротапритный участок Волгорадсхого государственного технического уинсерситета. Волгоград - 66, ул. Совестска» 35.