Вопросы прогнозируемости в изотропных моделях с самоорганизованной критичностью

Шаповал, Александр Борисович

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Вопросы прогнозируемости в изотропных моделях с самоорганизованной критичностью

доктора физико-математических наук: Шаповал, Александр Борисович
город: Москва
год: 2011
специальность ВАК РФ: 05.13.18

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Вопросы прогнозируемости в изотропных моделях с самоорганизованной критичностью»

Автореферат диссертации по теме "Вопросы прогнозируемости в изотропных моделях с самоорганизованной критичностью"

005015736

Шаповал Александр Борисович

ВОПРОСЫ ПРОГНОЗИРУЕМОСТИ В ИЗОТРОПНЫХ МОДЕЛЯХ С САМООРГАНИЗОВАННОЙ КРИТИЧНОСТЬЮ

Специальность 05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 мдр 1Ш

Москва -

2011

005015736

Работа выполнена в Международном институте теории прогноза землетрясений и математической геофизики Российской академии наук.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН Николаев Алексей Всеволодович

доктор физико-математических наук, профессор Малинецкий Георгий Геннадьевич

доктор физико-математических наук, профессор Фурсиков Андрей Владимирович

Ведущая организация:

Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича. Российской академии наук

Защита состоится 20 марта 2012 г. в АА часов на заседании диссертационного совета Д 002.024.02 в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук по адресу: 125047. Москва, Миусская пл., д. 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук

Автореферат разослан СреРрд^13 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.024.02, кандидат физико-математических наук ' ^ В. Щерица

1 Общая характеристика работы

Актуальность. Парадигма самоорганизованной критичности — эволюции системы к критическом}' состоянию без настройки каких-либо параметров — привлекла к себе повышенное внимание сразу же после разработки [1] Баком, Тангом и Визенфельдом первой модели (модели БТВ), демонстрирующей это свойство. С одной стороны, из-за своей простоты, с другой, из-за фундаментальности, парадигма самоорганизованной критичности (СОК) оказалась востребованной в таких разнообразных областях знания, как геофизика, физика плазмы, биология, макроэкономика [2,3]. Существование достаточно полных геофизических данных позволяет оценить применимость теории СОК к описанию процесса формирования землетрясений.

Для прогноза землетрясений изучают и анализируют предшествующие им явления (предвестники) [4,5]. Наиболее исследованный и часто встречающийся предвестник — повышение сейсмической активности в разные интервалы времени, предшествующие сильным землетрясениям [б]. Некоторым землетрясениям предшествует сейсмическое затишье [7] или сочетание активизации и затишья в разных пространственно-временных областях [8]. На основе найденных предвестников построены алгоритмы среднесрочного прогноза, достаточно эффективно предсказывающие сильные землетрясения в реальном времени. Десятилетия мониторинга в различных регионах мира позволили оценить как эффективность некоторых из алгоритмов прогноза, так и их статистическую значимость.

Несмотря на. заметные успехи в прогнозировании землетрясений, ряд исследователей считают используемые предвестники «нефизич-ными», а текущие результаты прогноза ненадёжными [13]. Дискуссия о возможности прогноза опирается на представление о сейсмическом процессе как об эволюции системы блоков различной величины с самоподобной структурой [14]. Блоки взаимодействуют друг с другом и находятся в постоянном медленном движении, во время которого система накапливает напряжение. Землетрясения сопровождаются освобождением накопленного напряжения, происходящим почти мгновенно по сравнению со временем накопления. Энергия, выделенная при освобождении напряжения, не имеет преимущественных масштабов. В соответствии с законом Гутенберга- Рихтера веро-

ятностное распределение выделенной при землетрясениях энергии убывает степенным образом. Степенные распределения и автомодельные свойства сейсмичности типичны для систем, находящихся в критическом состоянии. Поэтому полагают, что процесс подготовки землетрясений порождается типичной системой с СОК.

Отсутствие выделенных масштабов, вообще говоря, свидетельствует о непредсказуемости системы [15]. Опираясь на закон Гутенберга-Рихтера, некоторые учёные утверждают, что прогноз землетрясений в принципе не возможен [16]. Гипотеза о непрогнозируемое™ систем с СОК подтверждалась сравнительным анализом предсказуемости в различных моделях сейсмичности. В частности, известно, что события в модели БТВ практически не предсказуемы с помощью алгоритмов прогноза землетрясений, адаптированных к модельной динамике [17]. Таким образом, следует либо считать недостаточно обоснованными результаты прогноза землетрясений, либо поставить под сомнение самоорганизацию сейсмических процессов, либо уточнить гипотезу о непредсказуемости типичных систем с самоорганизованной критичностью.

Вопросы типичности и прогнозируемости модели БТВ неразрывно связаны с общей теорией этой модели. Её динамика определяется с помощью эволюционного оператора, действующего в подходящем топологическом пространстве [18]. Доказано существование стационарной точки этого оператора, интерпретируемой как критическое состояние. Сформулировано алгебраическое и комбинаторное описание конфигураций, т. е. точек фазового пространства, возникающих в критическом состоянии с положительной вероятностью. Установлено. что корреляционные функции на этих конфигурациях являются степенными. В некоторых случаях удаётся найти показатели степени [18]. Открытым остаётся вопрос о распределении событий по размерам, устойчивость которого относительно малых изменений модельных правил поддерживала бы тезис о типичности модели БТВ. Численный анализ свидетельствует о степенном распределении размеров событий в значительном диапазоне величин [19]. Описание «хвоста» этого распределения, универсальное относительно объема модельной системы, до сих пор неизвестно.

Задача о прогнозируемости систем с СОК теоретически сложна и исследуется эмпирически. Алгоритмы прогноза землетрясений, ос-

нованные на повышении сейсмической активности перед сильными землетрясениями, фиксируют в модели БТВ определённое затишье (анти-активизацию). предшествующее крупным событиям. Влияние факта слабой прогнозируемое™ модели БТВ на исследователей оказалось столь большим, что он автоматически распространялся на её модификации без соответствующей проверки. Поэтому остаётся не ясным, затишье перед крупными событиями и их слабая предсказуемость—это свойства целого класса самоорганизованных критических систем, или характеристики конкретной модели, устраняемые малым изменением её правил.

Принципы прогноза землетрясений и методология, оценивающая эффективность прогноза, обладают определённой универсальностью и, потому, характеризуются широкой применимостью. Наиболее успешными. видимо, являются прогнозы результатов парламентских и президентских выборов [20], наступления рецессий в США [21] и роста преступности в российских регионах [22], тогда как прогноз финансовых крахов [23], несомненно, не столь эффективен.

Цель диссертационной работы — показать, что в рамках типичных систем с самоорганизованной критичностью существует модель сейсмического процесса, крупные события которой эффективно прогнозируемы с помощью адаптированных предвестников сильных землетрясений. Для достижения цели решаются следующие задачи.

1. Классифицировать модификации модели БТВ, получаемые из модели БТВ малым изменением правил, и обосновать, что модель БТВ не является типичной моделью с СОК.

2. Построить алгоритм прогноза, эффективно предсказывающий крупные события в модели БТВ, основываясь на предшествующем им затишье.

3. Модифицировать модель БТВ, с целью добиться эффективного прогноза крупных событий, основанного на аномальном увеличении активности событий средних масштабов. Показать существование временной неоднородности прогноза в моделях.

4. Оценить прогнозируемость последовательности предсказываемых событий по распределению времени между' ними.

Направления исследования. Вопросы прогнозируемое™ в моделях с самоорганизованной критичностью принадлежат междисциплинарной области, включающей в себя ряд направлений математики, физики, информатики и экономики.

В работе исследованы теоретические аспекты прогнозируемости в математических моделях с самоорганизованной критичностью, отражающих основные свойства сейсмического процесса. К теоретическим аспектам относятся

• вопросы прогнозируемости конкретных систем,

• оптимизация параметров алгоритмов прогноза.

При анализе прогнозируемости конкретных систем был рассмотрен широкий класс изотропных моделей с самоорганизованной критичностью, одним из представителей которого является модель БТВ. Прогнозируемость обосновывается построением численных алгоритмов прогноза, эффективность которых оценивается в терминах ошибок первого и второго рода. Для проверки типичности моделей исследуются распределения модельных событий по размерам и распределения напряжения по пространственному объёму системы.

Методы исследования. Работа, выполнена с помощью эмпирических и теоретических методов исследования, характерных для сложных систем с большим числом степеней свободы. Модельная динамика реализована с помощью компьютерного моделирования. Достоверность результатов подтверждается стандартными статистическими тестами.

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Построена математическая модель с СОК, близкая к модели Бака-Танга-Визенфельда, в которой существует эффективный прогноз крупных событий, основанный на увеличении активности событий средних масштабов.

2. Показано, что прогнозируемость построенной модельной системы неоднородна по времени.

3. Классифицированы основанные на механизме БТВ изотропные модели с СОК без диссипации распространения напряжения.

Разработан численный алгоритм, прогнозирующий крупные события в моделях с достаточно высокой эффективностью.

4. Найдена нормировка крупных событий в модели БТВ относительно объёма модельной системы.

5. Подтверждена универсальность методологии прогноза землетрясений. Оценена прогнозируемостъ последовательности крахов на фондовых рынках.

Научная новизна и практическая значимость. Впервые показано, что

• модель БТВ и её простейшие модификации обладают эффективной предсказуемостью, основанной на затишье;

• при введении нелинейной диссипации распространения напряжения в модель БТВ имеет место активизационный сценарий крупных модельных событий, позволяющий их прогнозировать с высокой эффективностью.

Эффективность прогноза крупных событий в модели БТВ и её модификациях, полученная в диссертационной работе, принципиально выше, чем в предыдущих исследованиях. Этот результат достигнут по следующим причинам.

1. Известные к настоящему времени результаты прогноза в модели БТВ получены при сравнительном анализе предсказуемости различных моделей с помощью конкретных предвестников. В диссертационной работе при построении алгоритма прогноза используется близкий предвестник, оптимизированный непосредственно для модели БТВ, что позволяет получить более эффективный прогноз.

2. В диссертации разработан новый, более эффективный алгоритм прогноза крупных событий в модели БТВ, основанный на пространственной кластеризации напряжений.

3. Показано, что (в определённом смысле) малые изменения правил модели БТВ, не нарушающие СОК, существенно повышают предсказуемость крупных событий в получающихся моделях.

4. Введение в модель БТВ нелинейной диссипации при распространении напряжений изменяет прогнозируемость качествен-

но: адаптированные алгоритмы прогноза землетрясений фиксируют увеличение событий средних размеров перед крупными событиями, а не уменьшение, как в модели БТВ.

Для существования эффективного прогноза важно, что изучаемые модели осуществляют колебания вокруг критической точки. Установлено, что вариация предсказуемости чувствительна к суммарному напряжению, накопленному системой. Показано, что эффективный прогноз землетрясений в реальном времени не противоречит самоорганизованной критичности сейсмического процесса. Однако качество прогноза землетрясений может ухудшаться без адаптивной коррекции алгоритмов, поскольку модели с СОК допускают перестройку квази-стационарных режимов.

В диссертации оценена предсказуемость последовательности финансовых крахов. Предшествующие работы [23] стремились предсказать наступление крахов, обосновывая эффективность своих методов сравнением с результатом случайного прогноза. В настоящей работе предсказуемость впервые рассматривается как свойство исследуемых финансовых рядов. Анализ последовательности крахов (игнорирующий остальные данные временного ряда) даёт грубую оценку предсказуемости временных рядов и устанавливает границу эффективности, которую должен превзойти любой алгоритм прогноза, претендующий на практическое внедрение.

Апробация работы. Научно-исследовательская работа по теме диссертации включена в план исследований Международного института теории землетрясений и математической геофизики РАН (МНТП РАН). Работа проведена при поддержке РФФИ (гранты 05-05-64384-а, 08-05-00215-а, 11-01-00887-а, 11-06-00278-а) и в рамках Программы № 13 Президиума РАН «Изменения окружающей среды и климата: природные катастрофы». Результаты исследования обсуждались на международных форумах: 23d International Conference on Mathematical Geophysics «Extreme Earth Events» (Франция, 2000), European Geophysical Union General Assembly (Австрия, 2007), конференции им. И. Г. Петровского «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Россия, 2007), конференции «Extreme events: causes and consequences» (Франция, 2008).

Автор неоднократно докладывал результаты работы на научно-исследовательских семинарах МНТП РАН, механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, ИПМ им. Келдыша РАН.

Публикации. Содержание диссертации отражено в опубликованных двадцати работах (16 — в журналах, входящих в Перечень ВАК), список которых приведён в заключении. Все результаты, полученные за время совместной работы с М. Г. Шнирманом, включены в диссертацию с его согласия и одобрения.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, библиографического списка, включающего 162 наименования, и одного приложения. Работа изложена на 199 страницах, содержит 49 рисунков и 3 таблицы.

2 Краткое содержание работы 2.1 Глава 1. Модель БТВ

В первой главе приводится краткий обзор моделей подготовки сильных землетрясений. В частности, доказана устойчивость равновесия в модели кластеризации [24]. Далее в этой главе исследована модель БТВ [1], которая называется моделью песка (sand-pile, SP). Хотя в приложениях к сейсмическим потокам естественно говорить о напряжении, а не о песке, в изложении используются общепринятые понятия. Правила эволюции модели интерпретируются в терминах сейсмических процессов, а наблюдаемая динамика имеет общие черты с реальностью.

2.1.1 Определение модели

Обозначения. В модели рассматривается квадратная решётка Ах = {(¿,i)}£7=] со стороной в L клеток. В каждой клетке (г, j) находятся hij песчинок. Совокупность называют конфигурацией. Пусть Н = 4 — пороговое значение количества песчинок в клетке.

Тогда клетка является устойчивой, если она содержит меньше, чем Я песчинок. Конфигурация, состоящая только из устойчивых клеток, устойчива.

Динамика. Начальная конфигурация Е(0) — 5о предполагается устойчивой. Эволюция системы состоит из переходов от устойчивой конфигурации £(£), наблюдаемой в момент времени t, к устойчивой конфигурации + 1) по следующим правилам. Наугад (с равной вероятностью) выбирают клетку (г, решётки и добавляют в неё песчинку:

Если сохраняется условие < Н, то ничего больше не происходит в момент времени Конфигурация 5(4 + 1) получена.

Если, напротив, после падения песчинки значение ¡г^ равно Я, то клетка (г,у) становится неустойчивой и пересыпает свои четыре песчинки соседним клеткам по одной. Каждая соседняя клетка получает по одной песчинке:

где с(г,— произвольная клетка, имеющая с (г,^) общую сторон}'. Граничное условие предполагается открытым, т. е. пересыпание на границе диссипативно. Пересыпание может привести к появлению новых неустойчивых клеток (содержащих не меньше, чем четыре песчинки). Они также пересыпают четыре песчинки, и т. д., пока не получится устойчивая конфигурация. Это и есть + 1).

Основные понятия. Событием называют последовательные пересыпания (2), (3), переводящие возникшую в результате добавления песчинки по формуле (1) неустойчивую конфигурацию в устойчивую. Его размер й —количество неустойчивых клеток в течение пересыпания, подсчитанное с учётом кратности. Диссипация на границе обеспечивает конечность событий. Магнитуда т — 1о§;10 в. Выборка последовательных событий образует каталог.

(1)

-кс(г,Л +'1)

(2) (3)

2.1.2 Характеристики модельной динамики.

Концептуальное положение модели БТВ состоит в том, что модельная система приходит в критическую точку, которая описывается, в частности, отсутствием преимущественных размеров. В первой главе представлены результаты о распределении размеров, находящиеся в рамках этого положения и придающие ему строгий смысл.

Степенной закон. В соответствии с правилами модели построен достаточно протяжённый каталог событий. Функция F(s, L) обозначает кумулятивное на экспоненциально увеличивающихся интервалах распределение событий по размерам s для фиксированного L, т. е. F (s. L) — это доля событий каталога, имеющих размер сг 6 [s/As, sAs). где As > 1—некоторое число. Тогда [25] степенная зависимость

F(s,L)*CLs~b (4)

имеет место на диапазоне размеров si < s < s*, где s; — мало по сравнению с L, s* пропорционально площади решётки, Cl > О — некоторая константа, зависящая от L, Ъ « 0.20. Формула (4) не зависит ни от начальных условий, ни от каталога. Она свидетельствует о критичности модельной системы.

Универсальный скейлинг. В формуле (4) длина решётки L является параметром. Согласно [19], имеет место универсальная нормировка распределения по L при s < s* :

F(s,L)^L~11U(s/L12), (5)

где JJ{-) - некоторая универсальная функция, не зависящая от L, 71 к. 0.4 и 72 = 2.

Для крупных событий (s > s*) формула (5) неверна. Распределение крупных событий как функция от длины решётки, зависит не от одного показателя степени, а от семейства показателей [26].

2.1.3 Описание «хвоста» распределения

Скейлинг квантиля распределения размеров. В диссертационной работе найдено семейство степенных зависимостей раз-

меров крупных событий от длины решётки. Через Fc(s, L) обозначается дополнительная функция распределения крупных событий (т. е. Fc(s,L) — это вероятность того, что размер произвольного крупного события больше, чем s, и Fc(s*,L) = 1). По произвольной вероятности 5 определяется квантиль s (другими словами, s — это решение уравнения Fc(s, L) = S.) В работе показано, что квантиль s является степенной функцией длины решётки при фиксированном 6:

s(6, L) « VsLQl. (6)

Утверждается, что = 2, если 5 = 1 (и рассматриваются все крупные события), что согласуется с (о). Уменьшение вероятности 5 приводит к увеличению Наибольшее а<5)Гпах « 2.7.

Вообще говоря, существуют события, размер которых имеет больший порядок по L. Например, крупнейшее событие модели происходит при добавлении песчинки в конфигурацию, состоящую из всех «троек» (hij = 3 Vi, j). Его размер s = L3/6 + 0(L2). Однако вероятность событий, имеющих асимптотику Las cüj > аг,тах быстро убывает с ростом L. Поэтому асимптотика (6) справедлива лишь для показателей а& € [2,сцтах].

Универсальная нормировка по L. Малая длина промежутка, на котором лежат a>s позволяет найти универсальную нормировку по L распределения крупных событий. В диссертации введена нормированная магнитуда

log (s/(s*L2)) log(yo/s*) + (ao-2)logL' U

где Qo ~ 2.7 — наибольший достижимый показатель в (6), а Vo — соответствующая ему константа из этой же формулы. Установлено, что распределение размеров крупных событий является некоторой функцией д(тп) нормированной магнитуды. Гистограмма функции д{тп) представлена на рис. 1 (функция G(mn) — это доля событий каталога, имеющих нормированную магнитуду из интервала [тп -Атп,тп + Атп), где Дт„ - некоторое положительное число).

X Ь=64

0.12 -* о ¿.=256

8 * • 1=1024

0.1

0.08 0.06 а 9 ■

Рис. 1. Совпадение вероятностных распределений крупных событий по размерам при различных длинах Ь решётки. Функция С(тпп) — это доля лавин с нормированной магниту-дой т„ € [т„ - Дш„,тп + Атп), Атп = 0.0025, а0 = 2.7, У0 = 0.21.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ">.

2.2 Глава 2. Классификация изотропных решётчатых моделей с самоорганизованной критичностью

Механизм медленного накопления напряжения и его быстрого сброса, лежащий в основе модели БТВ, порождает неисчислимое многообразие изотропных моделей с самоорганизованной критичностью. Возникает вопрос о сходствах и различиях этих моделей. Во второй главе решена задача их классификации и показано, что модель БТВ качественно отличается от формально близких моделей.

2.2.1 Семейства моделей

Источник моделей. Простейшие изменения модели БТВ связаны с порогом неустойчивости Н высот /гц- и способом пересыпания песчинок. В модели БТВ Н — 4. Это объясняется тем, что внутренняя клетка решётки имеет четыре соседа, которым, будучи неустойчивой, она передаёт четыре песчинки поровну. Поэтому легко переопределить модель для любого Н, кратного четырём. Если Н не делится на четыре, то пересыпание песчинок поровну осуществимо с помощью стохастики.

Определение динамики. Предполагается, что

• порог неустойчивости равен Н (т. е. устойчивая конфигурация определяется неравенствами 0 ^ < Н Уг^).

• Неустойчивая клетка (г, ,7) пересыпает все свои Н^ песчинки «соседям» по одной. Клетка с(г, ]), в которую попадает очередная песчинка, выбирается наугад из четырёх ближайших «соседей» клетки (г, э)\

Остальные правила эволюции такие же, как и в модели БТВ.

Пороговое значение H является параметром. Модель с H = 2 введена Манной [27]. Обобщение модели Манна при произвольном H исследовано в [28].

Критическое состояние. Согласно [27,28], существует критическое состояние модельных систем. Критическое состояние описывается степенным распределением событий на всём диапазоне размеров: F(s, L) = Cbs~h, где через F(s, L) обозначено кумулятивное на экспоненциально увеличивающихся интервалах распределение размеров s событий, произошедших на решётке длины L. Показатель Ь степенного закона для всех моделей семейства приближённо равен 0.27, что отличается от показателя 0.20 для модели БТВ (показатели для некумулятивного распределения равны 1.27 и 1.20 соответственно).

Классы Манна и БТВ. Совпадение показателя Ъ степенного распределения свидетельствует, что модели семейства принадлежат к одному классу. Его называют классом Манна. Согласно [29], незначительные вариации правил (8), (9), при малых H и сохранении изотропности пересыпания не выводят модели из класса Манна.

Модели класса Манна качественно отличаются от модели БТВ стохастическим пересыпанием. Однако этого отличия недостаточно. чтобы объяснить появление двух разных классов моделей, потому что при Я —> оо стохастичность пересыпания исчезает (среднеквадратичное отклонение пересыпания H песчинок по формуле (9) пропорционально \/~Н. а нормирующим множителем является Н).

hij —> 0, hc(i,j) —> hc{i,j) + 1 hiJ Р33'

(8) (9)

2.2.2 Классификация моделей

Семейства с исчезающей стохастикой. В диссертации построены различные семейства изотропных БР, у которых среднеквадратичное отклонение пересыпания мало по сравнению с Я, а правила пересыпания различны. Если неустойчивая клетка пересыпает все свои песчинки (как в модели Манна), то определён вид БР, называемый далее БРаи(Я), где, как и раньше, параметр Я задаёт пороговую высоту. Семейство, исследованное в [28] — типичный пример. Если неустойчивая клетка пересыпает фиксированное количество песчинок, равное Я, то такие модели названы 8Рах(Я) (они впервые введены в диссертации).

Утверждается, что имеет место качественное различие между семействами: при Я —¥ оо модели 8Рац(Я) демонстрируют свойства модели Манна, а модели ЭРех(Я) — модели БТВ.

Семейства с неисчезающей стохастикой. Во второй главе впервые исследованы БР, у которых среднеквадратичное отклонение о пересыпания Н песчинок пропорционально Я. Они названы ЭРГПС)(Я). Критическое состояние этих моделей описывается степенным некумулятивным распределением размеров событий с показателем степени Ь ~ 1.27, имеющим место в классе Манна.

Стационарное распределение высот. Чтобы различать динамику моделей ЗРГГК}(Я) и 8Рац(Я) в работе введено стационарное распределение высот Пусть <рн{0~ это доля клеток (г,чьи высоты равны (Я. Высоты устойчивых клеток равны 0, 1, ..., Я — 1. Поэтому функция <рн{() определена в точках 0, 1 /Я, ..., (Я —1)/Я. Она задаёт вероятностное распределение высот. Так как расстояние между точками, в которых определена у?#(С)> равно 1 /Я, величина рн(() = <Рн(ОН интерпретируется как плотность. Функция ря(С)> вообще говоря, зависит от времени. Поэтому в работе используется её осреднение по времени без изменения обозначения.

В главе 2 найдены типичные плотности рн при больших Я.

(01) Функция с четырьмя пиками. Её носитель стремится к четырём точкам при Я —^ ос.

(Б2) Плотность, состоящая из четырёх ступенек. Ступеньки соответствуют четырём возможным значениям высот в модели БТВ. (ВЗ) Функция, близкая к линейной. Более точно, показано, что на интервалах [0,0.25], [0.25,0.75] и [0.75,1] плотность рц аппроксимируется прямыми с высокой точностью, причём их коэффициенты наклона различаются незначительно (менее 10%).

Плотность (Б1) описана в [28,30], а плотности (Б2), (БЗ) не были известны ранее.

Описание классов. Таким образом, в работе показано, что существуют три вида предельной (по Н) динамики семейств БР. Они представлены в таблице 1.

Таблица 1. Классы моделей при Я оо в соответствии с плотностью рн и показателем Ь некумулятивного распределения размеров. Указано ключевое правило эволюции, влияющее на класс модели, где а — среднеквадратичное отклонение пересыпания Н песчинок.

Характеристика Ключевое правило эволюции Представитель

Ь к 1.20, ступенчатая плотность (Б2) а = д(Н), пересыпание фиксированного числа песчинок БРпЛЮ

Ь « 1.27, плотность с четырёхточечным носителем (Б1) а — б{Н), пересыпание всех песчинок БР-МН)

Ь ~ 1.27, плотность кусочно-линейная (БЗ) <7 = 0{Н) ЭР™ ¿{Н)

Переход между классами. Особый интерес представляет переход от одних классов моделей к другим. В диссертации изучены семейства моделей ЭРах{Н) при малых Н. При Н — 4 имеет место модель БТВ. При Н = 2 или Н = 3 ЭР близки к модели Манна, а при Н = 1 модель переходит в случайное блуждание на квадратной решётке с поглощающей границей. Для исследования перехода между классами при малых изменениях параметра введены модели

с нецелым количеством пересыпаемых песчинок (но с целым числом песчинок в каждой клетке). Кажущееся противоречие преодолено с помощью стохастики. Например, при Н = 3.9 неустойчивые клетки передают три песчинки в среднем один раз из десяти, а четыре песчинки — в девяти.

Установлено, что модели семейства при Н (Е (1,4) принадлежат тому же классу, что и модель Манна. Как бы ни было Н близко к единице или четырём, с увеличением размера решётки график распределения событий приближается к графику модели Манна. Переход как к случайному блужданию, так и к модели БТВ оказывается негладким. Таким образом, модель БТВ оказывается особой точкой семейства моделей, лежащих в классе Манна. Следовательно модель БТВ не является типичной моделью с СОК.

2.3 Глава 3. Прогноз в модели БТВ и её модификациях

В главе 3 обсуждается принципиальный вопрос о прогнозиру-емости моделей с СОК. Исходная точка исследования — результат об очень слабой прогнозируемости модели БТВ [17] и достаточно эффективный прогноз сильных землетрясений в реальном времени [6,9,31]. Цель главы — построить эффективный алгоритм прогноза для модели БТВ.

Алгоритм прогноза. Следуя работе [6], определены предвестник, тревоги и алгоритм прогноза. Объектом исследования является каталог, наполняющийся в реальном времени. Формулируется задача — определить в момент времени I. произойдёт ли в течение следующего интервала времени (¿, £ + Т) событие магнитуды, не меньшей некоторого тпо- Эти события называют целевыми. Пусть ш > 0 и Т > 0 — некоторые числа. Тогда предвестник в момент времени £ определяется как произвольный функционал определённый на каталоге протяжённостью и>, предшествующем моменту времени Ь. Если попадает в область аномальных значений Аф то. говорят, что объявлена (включена) тревога на интервале I + Т). Тревога заканчивается (выключается) в момент времени ¡! ■+ Т или при появлении целевого землетрясения. Предвестник Ф вместе с правилом

объявления и снятия тревог задаёт алгоритм прогноза.

Формально, пусть — произвольный момент времени, такой что &(ton) € Аф. Тогда тревога заканчивается в t0ff = tm 4- Т, если на промежутке [t0Tl, tm + Г) не происходят целевые события. В противном случае через t0ff обозначается момент первого целевого события. Объединение всех (возможно, пересекающихся) интервалов [ton-, toff) формируют периоды повышенной вероятности (ППВ) крупных событий.

Целевое событие, которое произошло, когда тревога не была объявлена, т. е. за пределами ППВ, называется пропуском цели.

Определение эффективности. Пусть п — доля пропусков цели, т —доля времени тревог (длина ППВ, делённая на протяжённость каталога). Тогда пит являются двумя ошибками прогноза [32]. Обычно уменьшение г приводит к увеличению п. Для выбора оптимальной пары (п, т) определяются потери прогноза е как п + т и эффективность как 1-е. Чем меньше е, тем эффективнее прогноз.

Для пуассоновского процесса г ~ 1. Напротив, значение е = О является недостижимым «идеалом» прогноза. Прогноз сильных землетрясений в различных регионах мира с помощью алгоритма М8 (с 1990 года применяемом в реальном времени) приводит кек 0.5 [9]. Согласно [17], предсказуемость крупных событий в модели БТВ характеризуется е и 0.9.

2.3.1 Прогноз с помощью адаптированных предвестников

землетрясений

В главе 3 проведён сравнительный анализ прогнозируемое™ SP. Исследованы несколько моделей со стохастическим пересыпанием, близкие к модели Манна, и модель БТВ. Установлено, что все выбранные модели прогнозируемы с помощью предвестников сильных землетрясений, адаптированных к модельной динамике. Прогнози-руемость в моделях улучшена с помощью построения предвестников. опирающихся на свойства модельной динамики. Интерес представляет разработка их сейсмических аналогов.

5 ? %

(Ь)

-А- ¥

0.6

0.5

0.4

0.3

-.-^— -чз

0 0.2 0.4 0.6 0.8 Л

5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Ш

Рис. 2. (а) Убывание суммы ошибок е при увеличении нижней границы то целевых событий для предвестников Фр, Ф^, Фг\ (Ь) Диаграмма ошибок алгоритмов прогноза., использующих предвестники Фи, Ф^, Фг; то = 5.92.

Адаптация предвестников. В третьей главе адаптированы

следующие предвестники землетрясений [9]:

• Ф^ ~ количество событий средних масштабов.

• Фр — отклонение текущей сейсмичности от линейного тренда,

• ¿^ — концентрация землетрясений.

Множество аномальных значений предвестника Фх, где X — это Аг, £), или определяется неравенствами Фх<Ф*х- Таким образом, предвестники «срабатывают» при уменьшении активности. Значения подобраны и зафиксированы.

Эффективность прогноза. Рассматривается модель ЭРйх(Я) при Н = 2, принадлежащая классу Манна. Длина решётки Ь = 256. Фиксирован каталог, протяжённостью 106 единиц времени (т. е. за время наблюдений в решётку добавлено 10ь песчинок). Зависимость е от нижней границы магнитуды 1Щ целевых событий для трёх алгоритмов прогноза показана на рис. 2. а (значения параметров алгоритмов для понимания результата не существенны и здесь не указаны). Имеют место следующие утверждения.

• Прогноз событий основан на «затишье» (уменьшении количества событий средних масштабов.

• Эффективность прогноза повышается с увеличением размера целевых событий.

• Сумма ошибок е Е [0.5,0.55] является устойчивым результатом прогноза крупнейших событий.

Неявная зависимость т от п, называемая диаграммой ошибок (рис. 2, Ь), показывает, что на значительном диапазоне ошибок (п € [0.15,0.45], т е [0.15,0.45]) сумма ошибок остаётся меньше, чем 0.55, что свидетельствует об устойчивости е.

2.3.2 Прогноз, основанный на свойствах модели

Предвестники. Помимо адаптации предвестников землетрясений, в диссертации построены предвестники, связанные с модельной динамикой. Согласно проведённому анализу, крупнейшие модельные события прогнозируются по затишью, им предшествующему, во время которого система становится перегруженной. Поэтому в главе 3 определяется предвестник высота формулой ^(й) = гДе

значения взяты в конце момента времени

В диссертационной работе проверяется гипотеза, что перегрузка, предшествующая полномасштабным событиям, происходит неравномерно, и образуются кластеры клеток с большим количеством песчинок. Соответствующий неоднородности предвестник Фс (кластеризация) определяется следующим образом. Выделены клетки, находящиеся в перегруженных частях решётки. Их объединение обозначено А*ь. Множество А*ь разделено на связные подмножества, называемые кластерами, = иК у Пусть — количество кластеров, р^ — доля клеток в кластере Kj, т. е. р^ — \К^\/\К*Ь\. Тогда размерность ц определяется формулой

При больших а на размерность оказывает влияние контрастность кластеров, а при малых — их количество. В работе фиксировано промежуточное <7 = 2. Описанная процедура выполняется в каждый момент времени I. Предвестником кластеризация называется функционал /ф). Связанный с ним алгоритм прогноза объявляет тревогу, если размерность р становится малой. По существу это означает,

что появляется один или несколько доминирующих кластеров. Детали связаны с точным определением множества Используемая в диссертации размерность /х успешно применялась в [33] для анализа сейсмических потоков (но не для прогноза землетрясений).

Эффективность прогноза. Алгоритмы прогноза, построенные по предвестникам высота и кластеризация, использованы для прогноза крупных событий в модели БТВ и в моделях класса Манна (8Рдх(Я) при Н = 2,3,5). Эффективность алгоритмов демонстрирует следующие закономерности.

1. Сумма ошибок е = е(шо) как функция от нижней границы магнитуды то целевых событий убывает для всех моделей.

2. Функции е(то) слабо отличаются для моделей класса Манна и оценивают снизу ту же функцию для модели БТВ.

3. Оптимальные прогнозы: е ~ 0.4 ± 0.05 и е ~ 0.65 ± 0.05 для моделей класса Манна и модели БТВ соответственно.

2.4 Глава 4. Диссипативная детерминированная модель с активизационным сценарием сильных событий

Анализ, проведённый в главе 3, показывает, что крупным событиям в БР предшествует определённое затишье. Видимо, часть времени система проводит в критической точке, где является непредсказуемой. Баланс песчинок поддерживается за счёт событий средних масштабов, которые, обладая слабой диссипацией, уравновешивают медленное накопление песчинок. Существуют такие промежутки времени, на которых событий средних масштабов происходит аномально мало. Тогда диссипация уменьшается и система становится перегруженной — оказывается в закритическом состоянии. Чем больше «лишних» песчинок накопила система, тем крупнее событие следует ожидать. Значит, предсказуемость крупнейших событий, основанная на затишье, является следствием слабой диссипативности событий средних масштабов.

исходит диссипативно (в отличие от исходной модели, где диссипация происходит только на границе решётки). Нелинейность механизма диссипации приводит как к степенному диапазону распределения размеров, так и к активизационному сценарию крупных событий.

Отличия от модели БТВ. Новая модель имеет следующие отличия от модели БТВ.

((11) Песчинки добавляются исключительно в центр решётки. (62) Пересыпания песка диссипативны как на границе решётки, так и внутри неё. Они определяются формулой

где с(г,^') — произвольная клетка, имеющая с (г,]) общую сторону, с^ — количество диссипировавших песчинок.

Из-за правила ((11) модель оказывается полностью детерминированной. Хаотическое поведение достигается за счёт большого числа степеней свободы.

Диссипация. Чтобы определить событийную диссипацию, в каждой клетке (г,^) устанавливается счётчик г^ перегруженности этой клетки. В начале каждого момента времени все счётчики г^ обнуляются. Как только клетка (г, з) становится перегруженной, её счётчик увеличивается на единицу. Событийная диссипация й^ в клетке (г,^) отсутствует, если в текущий момент времени счётчик г^ меньше некоторого критического значения г* (общего для всех клеток решётки). Если критическое значение г* достигнуто, то «включается» событийная диссипация. Она устанавливается равной некоторому значению й* > 0:

2.4.1 Модель

(10) (П)

если гц < г ;

иначе.

Параметры. Модель зависит от двух параметров: г* и с?*. Если значение г*, включающее событийную диссипацию, велико, то счётчики 2у (почти никогда) не достигают значения г*. Следовательно, событийная диссипация практически отсутствует, и модель едва ли отличима от модели БТВ, в которой добавление песчинок происходит в центр решётки. Напротив, малое значение 2* уничтожит сильные события. Поэтому интересная динамика имеет место при промежуточных значениях 2*. Параметр сГ определяет величину диссипации.

Рис. 3. Кумулятивный на экспоненциально растущих интервалах график повторяемости событий для (а) сГ = 1 при различных 2* и (Ь) г* = 10 при различных (Г. Пунктиры — границы аппроксимаций.

2.4.2 Закон повторяемости событий

В главе 4 показано, что вид распределения размеров событий сохраняется на достаточно большом диапазоне значений параметров. Кумулятивная на экспоненциально растущих интервалах функция F(s. Ь) размеров й при фиксированной длине решётки Ь имеет степенную часть, горб и резкий обрыв (рис. 3). Исключением является случай малых г*, когда крупных события отсутствуют, что характеризуется убыванием Г($.Ь). более быстрым, чем степенное.

2.4.3 Прогноз

Предвестник. В качестве предвестника используется функционал = 10"(т_т-), используемый в третьей главе для предвестника концентрация. Суммирование производится по тем событиям каталога, которые произошли на временном интервале [£ — и имеют магнитуду из [т_,т+). Здесь и> — протяжённость скользящего окна. и т+ — границы рассматриваемых для прогноза магнитуд, и имеет смысл веса, приписываемого каждому событию. Алгоритм прогноза, построенный по предвестнику ЬР^ объявляет тревогу, если его значение превосходит некоторое критическое значение Щ.

Эффективность. В диссертации исследовано влияние порога диссипации г* на эффективность прогноза при фиксированной величине диссипации <Г = 1. Показано, что малым 2* соответствует слабая эффективность (е « 0.8), при больших г* предсказуемости нет вообще, а при промежуточных 2* сумма ошибок е рз [0.65,0.7]. Малые z* не адекватны сейсмическому процессу из-за отсутствия степенного распределения размеров, а большие г* соответствуют динамике БТВ, в которой не реализуется активизационный сценарий

Рис. 4. Диаграмма ошибок для шести последовательных интервалов в 100000 единиц каждый (увеличивающиеся плюсы +), их среднего (•) и двух независимых интервалов (о, □), протяжённостью 500000 единиц времени, один из которых получен при других начальных условиях. В легенде каждому символу соответствует количество целевых событий и пара (п,т).

"'0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 п

В работе фиксировано промежуточное 2* = 10 и установлено, что с увеличением диссипации эффективность прогноза повышает-

крупных событий.

0.5

0.4

0.3

0.2 п л

\ о N4

+ 67, (0.19,0.27)

+ 31, (0.29,0.25)

+ 60, (0.22,0.29)

+ 62, (0.21,0.35)

+ 44, (0.14,0.27)

+ 69, (0.19,0.36)

• 333, (0.20,0.30)

о 337, (0.18,0.33)

□ 372, (0.16,0.36)

ся. При г* = 10, d* = 10 сумма ошибок е ~ 0.5. Для подтверждения этого результата представлена диаграмма ошибок, рис. 4. Пары (п,т), соответствующие шести последовательным интервалам в 100000 единиц времени лежат между прямыми п + г = 0.4 и п + т = 0.6.

Локальная нестационарность. В главе 4 установлено, что стационарный режим в модели связан с очень большими масштабами времени. Численный эксперимент даёт возможность построить алгоритм прогноза (подобрав наилучшие параметры) на достаточно длинных промежутках. Настройка алгоритма на меньших временных масштабах оказывается чувствительной к локальной нестационарности процесса: эффективный прогноз с течением времени становится неэффективным. Аналогичная ситуация может иметь место и в сейсмичности, где количество данных ограничено.

Колебания вокруг критической точки. В отличие от модели БТВ, динамика построенной модели характеризуется колебаниями системы вокруг критической точки. Если превышен критический уровень песка, т. е. система находится в закритическом состоянии, то даже малые возмущения конфигурации порождают крупное событие. Долгий подготовительный процесс не является необходимым. Крупное событие может произойти в «любой момент». Поэтому предсказуемость в закритическом состоянии, е ~ 0.57, оказывается хуже средней предсказуемости.

Временами система характеризуется резким уходом вниз от критической точки в результате диссипативного события. Тогда увеличение активности в части решётки не порождает крупное событие, поскольку остальные части решётки недостаточно нагружены, и обеспечивает ложную тревогу. Крупное событие случится позднее (и, возможно, останется непредсказанным), когда в результате падения новых песчинок очередное событие распространится в перегруженную часть решётки. Предвестник Фз практически не эффективен в этих условиях. Это согласуется с тем, что обсуждаемые предвестники предназначены для прогноза систем, находящихся вблизи критической точки.

Постепенно накапливая песчинки, система входит в так называемое подкритическое состояние, в котором наблюдается незначительная недостача песка по сравнению с критическим состоянием. Именно подкритическое состояние характеризуется самой эффективной предсказуемостью, е ~ 0.44. При подходе снизу к критической точке процесс подготовки событий, состоящий в увеличении количества событий средних масштабов, наиболее заметен.

Размер целевых событий. В рассмотренной модели, как и в модели БТВ (1) предсказываемые события лежат на загибе графика повторяемости, а не на его степенной части; (2) эффективность прогноза увеличивается с размером целевых событий. Второе свойство соответствует сейсмичности, так как землетрясения магниту-ды М ^ 8 предсказываются определённо лучше, чем землетрясения магнитуды М ^ 7.5 [9].

Роль событийной диссипации и точечного напряжения.

В построенной модели нелинейная диссипация не даёт возможность системе уйти высоко в закритическое состояние. Поэтому крупным событиям предшествует определённая подготовка, выражающаяся в событиях средних масштабов. Из-за точечного нагружения эти события происходят в одном месте пространства. Поэтому они кластеризуются по времени и фиксируются предвестниками. В диссертации утверждается, что переход к равномерному нагружению разрушает а.ктивизационный сценарий крупных событий.

2.5 Глава 5. Оценка прогнозируемости последовательности целевых событий

В пятой главе решается задача прогноза целевых событий по распределению времени между ними. Для выборки последовательных сильных землетрясений, которые характеризуются сейсмическими брешами (seismic gaps), доказана оценка сверху эффективности прогноза по заданному коэффициенту вариации выборки. Далее исследована последовательность крахов финансовых индексов, как

пример каталога, для которого, в отличие от каталога землетрясений, достаточно высока вероятность наступления нового целевого события непосредственно после предыдущего. В этом случае предсказуемость целевых событий оценивается численно.

2.5.1 Прогноз целевых событий при заданном коэффициенте вариации

Пусть задано распределение £ времени между целевыми событиями плотностью /(<). = Р{£ ^ р. = М£. Тогда [32] решение задачи оптимального управления

где р б [0,1] — произвольное число. По стратегии однозначно восстанавливается алгоритм прогноза, для которого тревога объявлена в если = 1. и не объявлена, если и(^) = 1. Дробные значения и{£) — р означают, что в момент времени I тревога объявляется с вероятностью р.

Ожидаемые потери Мг на оптимальной стратегии равны

где х~ — х при х < 0 и х~ — 0 иначе. Сейсмические потоки характеризуются [34] достаточно малой плотностью /(¿) при малых £ (так что тревога не объявляется по правилу (13)) и относительно большой плотностью, когда t велико. Следующая теорема даёт оценку е при фиксированном коэффициенте вариации а¡¡, если интервал относительно больших значений /(¿) вырождается в точку.

определяет оптимальную стратегию

(13)

(14)

Теорема 1. Пусть коэффициент вариации Оц = y/D^/fi распределения £ времени между целевыми событиями меньшее единицы. Предполагается, что условие

№ > Fc(t)/fi (15)

выполнено в единственной точке fit*, имеющей положительную вероятность: Р{£ = /ii*} > 0, и f(t) = 0 при t > fit*. Тогда сумма ошибок е удовлетворяет неравенству г ^ сг^, равенство в котором, достигается при t* = 1 + In (l/(l — и

( e-t/M _ е1-Г + I _ а2 > если t е |0> ф* _ ^.

Fc{t) = i 1 - о*, если t € [fJ,(t* — l),/ii*); (16)

[о, если i G [/¿i*, oo).

Теорема 1 оценивает наилучшую достижимую стратегию прогноза по последовательности целевых событий.

2.5.2 Прогнозируемость последовательности крахов

Целевые события. Для последовательности ежедневных до-ходностей крупных фондовых индексов условие (15) выполнено, как правило, при малых t. Поэтому предсказуемость последовательности крахов исследуется численно. Исследуются наиболее значимые американские и европейские индексы DJIA, NASDAQ, S&P500, САС40, DAX, FTSE. Целевым событием (крахом) называется наступление доходности r(t), меньшей некоторого фиксированного значения г* (по смыслу задачи, отрицательного).

Алгоритм. Пусть в некоторый день t произошёл крах. Тогда алгоритм А объявляет тревогу непосредственно после краха на интервал [t 4- 1Л + Т], где Т — параметр алгоритма. Если следующее целевое событие произойдёт в tn G [t + IЛ + Т], то оно называется предсказанным. В этом случае новая тревога объявляется на интервал [/,„ + l.i„ + Т]. Если, напротив, tn > t + Т, то целевое событие, произошедшее в tn, не предсказано. Новая тревога по-прежнему объявляется на [tn + 1, tn + Т].

■t 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

+ +

\ <Ь +

о +

o\ Ot

-i

0.1

0.2

0.3

0.4

Название Год N п т £

DJIA 1928 100 0.15 0.16 0.31

DJIA 1969 34 0.32 0.08 0.40

САС40 1990 56 0.23 0.21 0.44

DAX 1990 62 0.14 0.20 0.34

FTSE 1984 32 0.25 0.09 0.34

NASDAQ 1971 78 0.20 0.12 0.32

S&P500 1950 38 0.37 0.06 0.43

Рис. 5. Результаты прогноза по всем (слева, звезда) и по индивидуальным (справа, таблица) индексам при г* = -0.04, Г = 50. В 1-ой строке таблицы — результаты настройки. Интервал прогноза — с года, указанного в столбце "год" до 2010-го года (1968-го для 1-ой строки). Незакрашенные круги и плюсы на рисунке соответствуют результатам прогноза при переменном г* и Т соответственно и фиксированном втором параметре.

Настройка параметров. На учебной выборке (каталоге) проводится оптимизация г* и Т. В качестве учебной выборки используется первая половина последовательных доходностей индекса DJIA (1928-1968). Далее алгоритм с фиксированными параметрами г* и Т применяется ко всем.указанным выше индексам. Пусть (щ,ц) — ошибки прогноза на г-ом индексе; £,; — протяжённость соответствующего каталога, Nt — количество целевых событий в этом каталоге, Aj — Ni/Ci — интенсивность целевых событий. Тогда суммарные ошибки (п, т) алгоритма вычисляются как п = ^Ж1' т ~ •

Предсказуемость крахов Алгоритм А на единой выборке из американских и европейских индексов алгоритм предсказывает корректно 77% целевых событий (п = 0.23), тогда как тревоги продолжаются в течение 16% (т = 0.16) рассматриваемых временных интервалов, рис. 5. Этот результат устойчив по параметрам краха и алгоритма А.

3 Заключение

В диссертации решена крупная научная проблема: показано, что широкий класс сложных систем с СОК предсказуем с помощью универсальных предвестников.

Впервые установлена предсказуемость крупнейших событий в модели БТВ и в её простейших модификациях. Предсказано около 80% целевых событий, тогда как доля времени тревоги составляет приблизительно 25%. Этот результат свидетельствует о существовании эффективного прогноза в системах с СОК и, следовательно, подтверждает, что представление о самоорганизации сейсмического процесса согласуется с предсказуемостью сильных землетрясений.

В модели БТВ прогнозируемы лишь крупнейшие события. Им предшествует аномально малое количество событий средних масштабов. Такое затишье перед крупнейшими событиями объясняется слабым влиянием событий средних масштабов на диссипацию системы.

Впервые построена диссипативная модификация модели БТВ с активизационным сценарием крупных событий, который достигнут благодаря добавлению к механизму БТВ точечного нагружения и событийной диссипации. К модельной динамике адаптированы предвестники сильных землетрясений. Алгоритмы прогноза, основанные на адаптированных предвестниках, предсказывают свыше 80% крупных событий, объявляя тревогу в течение трети исследуемого времени.

Стационарность модельной системы имеет место на чрезвычайно длинных временных интервалах, соответствующих десятилетиям эволюции сейсмических процессов. Алгоритмы прогноза, настроенные на меньших интервалах, временами оказываются неэффективными. Анализ модели даёт основание ожидать, что эффективность прогноза землетрясений чувствительна к локальной нестационарности сейсмического процесса и неоднородна по времени.

Показано, что все изученные системы прогнозируемы благодаря их колебаниям вокруг критической точки. В модели БТВ и её простейших модификациях, не обладающих событийной диссипацией, система временами становится перегруженной, поднимается в закри-тическое состояние и становится предсказуемой. Построенная модель с событийной диссипацией также предсказуема в закритическом со-

стоянии (хотя механизм прогноза в ней принципиально иной). Однако наибольшая эффективность достигается в подкритическом состоянии, где крупным событиям необходим подготовительный процесс, проявляющийся в увеличении числа событий средних масштабов.

Подтверждена универсальность методологии прогноза крупных землетрясений анализом последовательности крупных падений наиболее значимых финансовых индексов.

Классифицированы изотропные решётчатые модели с СОК без событийной диссипации при стремлении к бесконечности количества устойчивых состояний отдельных клеток решётки. Классификация проведена в терминах одномерного стационарного распределения состояний отдельных клеток (при интерпретации речь идёт о напряжении на разломах).

Построено семейство моделей, непрерывно зависящее от параметра и осуществляющее переход от моделей класса Манна к модели БТВ и к случайному блужданию на квадратной решётке с поглощающей границей. Показано, что как случайное блуждание, так и модель БТВ являются особыми точками семейства. Таким образом, модель БТВ выделяется из формально близких к ней моделей класса Манна. Указана универсальная нормировка крупных событий модели БТВ.

Содержание работы отражено в следующих статьях, опубликованных в журналах из перечня ВАК.

1. Shapoval А.В., Shnirman M.G. Strong events in the sand-pile model //International J. of Modem Physics C. 2004. V. 15. P. 279-288.

2. Shapoval А.В., Shnirman M.G. Scaling properties of strong avalanches in sand-pile // International J. of Modern Physics C. 2005. V. 16. P. 341-348.

3. Shapoval А.В., Shnirman M.G. Crossover phenomenon and universality: from random walk to deterministic sand-piles // International J. of Modern Physics C. 2005. V. 16. P. 1893-1907.

4. Shapoval А.В., Shnirman M.G. How size of target avalanches influences prediction efficiency // International J. of Modern Physics C. 2006. V. 17. P. 1777-1790.

5. Shapoval А.В., Shnirman M.G. Randomness and step-like distribution of pile heights in avalanche models // European Physical J.

В. 2007. V. 59. P. 399-403.

6. Шаповал А.Б., Шнирман М.Г. Эффективность прогноза в модели образования лавин в зависимости от размера предсказываемых событий // Физика Земли. 2008. № 6. С. 61-67.

7. Shapoval А.В., Shnirman M.G. Sand density as sandpile descriptor // Int. J. of Modern Physics C. 2008. V. 19. P. 995-1006.

8. Шаповал А.Б., Шнирман М.Г. Прогноз крупнейших событий в модели образования лавин с помощью предвестников землетрясений // Физика Земли. 2009. № 5. С. 39-46.

9. Шаповал А.Б., Шнирман М.Г. Диссипативная детерминированная модель БТВ с активизационным сценарием сильных событий // Физика Земли. 2009. № 5. С. 47-56.

10. Shnirman M.G., Shapoval А.В. Variable predictability in deterministic dissipative sandpile // Nonlinear Processes in Geophysics. 2010. V. 17. P. 85-91.

11. Shapoval A.B. Prediction problem for target events based on the inter-event waiting time // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2010. V. 389. P. 5145-5154.

12. Шаповал А.Б., Шнирман М.Г. Об универсальности алгоритмов прогноза крупных событий в сложных системах // Информ. технологии и вычислит, системы. 2011. № 1. С. 24-34.

13. Шаповал А.Б. Устойчивость стационарного критического состояния в модели образования кластеров // Известия вузов: прикладная нелинейная динамика. 2011. Т. 19. С. 45-55.

14. Шаповал А.Б., Попов В.Ю- Численно-аналитический алгоритм оценки предсказуемости крахов // Математическое моделирование. 2011. Т. 23. № 8. С. 65-74.

15. Shapoval А.В., Shnirman M.G. The BTW mechanism on a. self-similar image of square: a path to unexpected exponents // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 2011. doi:10.1016/j.physa.2011.08.020.

16. Шаповал А.Б., Шнирман М.Г. Универсальность алгоритмического прогноза экстремальных событий временных рядов // Ин-форм. технологии и вычисл. системы. 2011. № 4. С. 58-65.

Из других публикаций по теме диссертации основными являются следующие статьи.

17. Shapoval A.B., Shnirman M.G. Prediction in a two-sign avalanche model // Computational Seismology and Geodynamics j Chowd-hury D.K. (ed.) V. 7. American Geophysical Union, Washington D. C., 2005. P. 188-197.

18. Shapoval А.В., Shnirman M.G. Scenarios of large events in the sandpile model // Computational Seismology and Geodynamics / Ismail-Zade A. (ed.) American Geophysical Uninon, Washington D. C., 2008. V. 8. P. 179-183.

19. Шаповал А.Б.. Шнирман М.Г. О тотальности крупнейших событий в модели накопления песка // Вычислительная сейсмология. 2004. Вып. 35. С. 258-267.

20. Shapoval А.В., Shnirman M.G. Universality of Precursors Predicting Largest Earthquake in Advance // Geophys. Res. Abstracts. 2007. V. 9. [Электронный ресурс]. CD-ROM, EGU2007-A-00242.

Благодарности. Автор глубоко признателен М. Г. Шнирману за обсуждения полученных результатов и всестороннюю поддержку на различных этапах подготовки диссертации. Автор благодарен М. И. Вишику за постоянное внимание к работе.

список литературы

[1] Bak P., Tang С., and Wiesenfeld К. Self-Organized Criticality: An Explanation of 1// Noise // PRL. 1987. V. 59. P. 381-384.

[2] Bak P. How nature works: the science of self-organized criticality. Springer-Verlag New York, Inc., 1996. 205 pp.

[3] Sornette D. Critical Phenomena in Natural Sciences: Chaos, Fractals, Self-organization, and Disorder. Concept and Tools. Springer, Berlin, 2000. 528 pp.

[4] Сидорин А.Я. Предвестники землетрясений. M.: Наука, 1992. 191 с.

[5] Молчан Г.М., Ротвайн И.М. Статистический анализ долгосрочных предвестников сильных землетрясений // Прогноз землетрясений и изучение строения Земли. Вычисл. сейсм. 1979. Вып. 16. С. 52-66.

[6] Keilis-Borok V.I. and Soloviev A.A. (eds.) Nonlinear Dynamics of the Lithosphere and Earthquake Prediction. Sp.-V., Heidelberg. 2003. 208 pp.

[7] Wyss M.. Shimazaki K, and Urabe T. Quantitative mapping of a precursory quiescence to the Izu-Oshima 1990 (M6.5) earthquake, Japan // Geophys. J. Int. 1996. V. 127. 735-743.

[8] Широков В.А. Опыт краткосрочного прогноза времени, места и силы камчатских землетрясений 1996-2000 гг. с магнинудой М — 67,8 по комплексу сейсмологических данных. Геодинамика и вулканизм Курило-Камчатскай островодужной системы. ИВГиГ ДВО РАН, Петропавловск-Камчатский, 2001. 428 с.

[9] Кособоков В.Г. Прогноз землетрясений: основы, реализация, перспективы // Вычисл. сейсм. 2005. Вып. 36. С. 1-175.

10] Keilis-Borok V.I. and Rotwain I.M. Diagnosis of time of increased probability of strong earthquakes in different regions of the world: algorithm CN // Earth Plannet. Inter. 1990. V. 61. P. 57-72.

11] Соболев Г.А., Тюпкин Ю.С. Стадии подготовки, сейсмические предвестники и прогноз землетрясений Камчатки // Вулканология и сейсмология. 1998. № 6. С. 17-26.

12] Shebalin P. Increased correlation range of seismicity before large events manifested by earthquake chains //Tectonophys. 2006. V. 424. P. 335-349.

13] Kagan Y.Y. and Jackson D.D. Comment on 'Testing earthquake prediction methods: «The West Pacific short-term forecast of earthquakes with magnitude MwHRV >= 5.8»' by V. G. Kossobokov // Tectonophysics. 2006. V. 413. P. 33-38.

14] Соболев Г.А. Основы прогноза землетрясений. М.: Наука, 1993. 313с.

15] Bak P., Paczuski М. Complexity, contingency, and criticality // Proc. Nat. Sci. USA. 1995. V. 92. P. 6689-6696.

16] Geller R.J. Earthquake prediction: A critical review // Geophys. J. Int. 1997. V. 131. P. 425-450.

17] Pepke S.L. and Carlson M.M. Predictability of Self-Organizing Systems // Phys. Rev. E. 1994. V. 50. P. 236-242.

18] Dhar D. Theoretical Studies of Self-Organized Criticality // Phys. A. 2006. V. 369. P. 29-70.

19] Carlson J.M., Swindle G.H. Self-organized criticality: sandpiles, singularities, and scaling // Proc. Nat. Sci. USA. 1995. V. 92. V. 6712-6719.

20] Lichtman A.J. The Keys to the White House: Forecast for 2008 // The International J. of Applied Forecasting. 2006. V. 3. P. 5-9.

21] Keilis-Borok V.I., Stock J.H., Soloviev A., and Mikhalev P. Pre-recession pattern of six economic indicators in the USA // J. of Forecasting. 2000. V. 19. P. 65-80.

22] Кузнецов И.В., Родкин M.B., Серебряков Д.В., Урядов О.Б. Иерархический подход к динамике преступности // Новое в синергетике. Новая реальность, новые проблемы, новое поколение. / под ред. Г. Г. Малинецкого. М.: Наука. 2007. С. 203-228.

23] Sornett.e D. and Zhou W.-X., Predictability of large future changes in major financial indices // International Journal of Forecasting. 2006. V. 22. P. 153-168.

[24] Gabrielov A., Newman W.I., Turcotte D.L. An exactly soluble hierarchical clustering model: inverse cascades, self-similarity, and scaling // Phys. Rev. E. 1999. 60. P. 5293-5300.

[25] Lubeck S. and Usadel K.D. Numerical determination of the avalanche exponents of the Bak-Tang-Wiesenfeld model // Phys. Rev. E. 1997. V. 55. P. 4095-4099.

[26] Tebaldi C., De Menech M., and Stella A.L. Multifractal scaling in the Bak-Tang-Wiesenfeld sandpile and edge events // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83. P. 3952-3955.

[27] Manna S.S. Two-state model of self-organized criticality //J. Phys. A. 1991. V. 24. P. L363-L369.

[28] Liibeck S. Crossover phenomenon in self-organized critical sandpile models // Phys. Rev. E. 2000. V. 62. P. 6149-6154.

[29] Ben-Hur A., Biham O. Universality in sandpile models // Phys. Rev. E. 1996. V. 53. P. R1317-R1320.

[30] Zhang Y.-C. Scaling theory of self-organized criticality // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 63. P. 470-473.

[31] Соболев Г.А., Пономарев А.В. Физика землетрясений и предвестники. М.: Наука. 2003. 270 с.

[32] Молчан Г.М. Оптимальные стратегии в прогнозе землетрясений. Современные методы интерпретации сейсмологических данных // Вы-числ. сейсм. 1991. 24. С. 3-18.

[33] Блантер Е.М., Шнирман М.Г. О мультифрактальном подходе к вопросу кластеризации эпицентров // Вычисл. сейсм. 1992. Вып. 25. Р. 4662.

[34] Nishenko S.P., Circum-Pacific. Seismic Potential 1989-1999, USGS, Open File Report, 89-86. 1989 126 pp.

Оглавление автор диссертации — доктора физико-математических наук Шаповал, Александр Борисович

Введение

1 Скейлинговые свойства крупных событий в модели БТВ

1.1 Направления развития моделей с СОК.

1.1.1 Модель блоков и пружин.

1.1.2 Самоподобная фрактальная модель.

1.1.3 Модель разрыва пучка волокон.

1.1.4 Иерархические модели разрушения.

1.1.5 Иерархическая модель кластеризации.

1.2 Модель БТВ.

1.2.1 Определение эволюции.

1.2.2 Степенной закон повторяемости событий.

1.2.3 Нормировка крупных событий.

1.2.4 Результаты главы

2 Модели со случайным перераспределением песчинок

2.1 Определение моделей.

2.1.1 Модель Манна.

2.1.2 Семейства моделей БР.

2.2 Распределение высот.

2.2.1 Плотность с четырьмя пиками и модель Чанга

2.2.2 Ступенчатые плотности и модель БТВ

2.2.3 Принципиальная роль стохастики.

2.3 Целочисленные модели с дробным пересыпанием.

2.4 Графики повторяемости для моделей с малыми критическими высотами

2.4.1 Случайное блуждание как особая точка семейства

2.4.2 Модель БТВ как другая особая точка семейства

2.5 Результаты главы.

3 Прогноз в моделях: затишье вместо активизации

3.1 Алгоритмы прогноза и их эффективность.

3.2 Определение предвестников.

3.3 Реализация алгоритма прогноза.

3.4 Численные результаты прогноза.

3.4.1 Эффективность для различных целевых событий

3.4.2 Причины эффективности предвестников

3.4.3 Диаграмма ошибок.

3.5 Высота кучи и кластеризация песчинок.

3.5.1 Закон повторяемости событий

3.5.2 Предвестники.

3.5.3 Эффективность прогноза.

3.6 Результаты главы

4 Диссипативная детерминированная модель с активизаци-онным сценарием сильных событий

4.1 Модель

4.2 Закон повторяемости событий

4.3 Предвестник сильных событий.

4.4 Количественные результаты прогноза.

4.4.1 Качественные свойства семейства моделей

4.4.2 Неоднородность прогноза во времени

4.4.3 Адаптация алгоритма М8.

4.5 Результаты главы

5 Предсказуемость последовательности целевых событий

5.1 Оценка предсказуемости при редком повторении событий

5.1.1 Задача оптимизации.

5.1.2 Оптимальная стратегия.

5.2 Оценка предсказуемости при заданном коэффициенте вариации

5.2.1 Мотивировка.

5.2.2 Основная теорема

5.3 Свойства функции риска.

Введение 2011 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Шаповал, Александр Борисович

Общая характеристика работы

Актуальность. Парадигма самоорганизованной критичности — эволюции системы к критическому состоянию без настройки каких-либо параметров — привлекла к себе повышенное внимание сразу же после разработки [42] Баком, Тангом и Визенфельдом первой модели (модели БТВ) с самоорганизованной критичностью (СОК) С одной стороны, из-за своей простоты, с другой, из-за фундаментальности, принципы самоорганизованной критичности (СОК) оказались востребованы в таких разнообразных областях знания, как геофизика, физика плазмы, биология, макроэкономика [10, 19, 37]. Существование достаточно полных геофизических данных позволяет оценить применимость теории СОК к описанию процесса формирования землетрясений [144].

Для прогноза землетрясений изучают и анализируют предшествующие им явления (предвестники) [11, 21, 23, 27, 96]. Наиболее исследованный и часто встречающийся предвестник — повышение сейсмической активности в разные интервалы времени, предшествующие сильным землетрясениям [26, 52, 53, 54, 89, 123]. Некоторым землетрясениям предшествует сейсмическое затишье [24, 159, 161] или сочетание активизации и затишья в разных пространственно-временных областях [30, 83]. На основе найденных предвестников построены алгоритмы среднесрочного прогноза, эффективно предсказывающие сильные землетрясения в реальном времени

27, 17, 93, 94, 139]. Десятилетия мониторинга в различных регионах мира позволили оценить как эффективность некоторых из алгоритмов прогноза, так и их статистическую значимость [6, 13, 96].

Несмотря на заметные успехи в прогнозировании землетрясений, ряд исследователей считают используемые предвестники недостаточно «физич-ными», а текущие результаты прогноза ненадёжными [75, 92]. Дискуссия о возможности прогноза землетрясений опубликована в журнале Nature (1999)1. Она опирается на представление о сейсмическом процессе как о самоорганизованной критической системе блоков различной величины с самоподобной структурой. Блоки взаимодействуют друг с другом и находятся в постоянном медленном движении, во время которого система накапливает напряжение. Землетрясения сопровождаются освобождением накопленного напряжения, происходящим почти мгновенно по сравнению со временем накопления [6, 22]. Энергия, выделенная при освобождении напряжения, не имеет преимущественных значений. В соответствии с законом Гутенберга-Рихтера [78] вероятностное распределение выделенной при землетрясениях энергии убывает степенным образом. Степенные распределения и автомодельные свойства сейсмичности типичны для систем, находящихся в критическом состоянии [18]. Поэтому полагают, что процесс подготовки землетрясений порождается типичной системой с СОК.

Отсутствие выделенных масштабов, вообще говоря, свидетельствует о непредсказуемости системы [40]. Поэтому, опираясь на закон Гутенберга-Рихтера, ряд исследователей заключают, что прогноз землетрясений не возможен [75]. Гипотеза о непрогнозируемости систем с СОК подтверждается сравнительным анализом предсказуемости различных моделей сейсмичности, проведённым в [127], где, в частности, установлено, что события в модели БТВ практически не предсказуемы с помощью ряда алгоритмов прогноза землетрясений, адаптированных к модельной динамике. Таким

1http://www. nature.com/nature/debates/earthquake/equakeframeset. html образом, следует либо считать недостаточно обоснованными результаты прогноза землетрясений, либо поставить под сомнение самоорганизацию сейсмических процессов, либо уточнить гипотезу о непредсказуемости типичных систем с самоорганизованной критичностью.

Представление о модели БТВ как о типичной модели с СОК не согласуется с результатами [45, 107]. Поэтому естественно уточнить модель БТВ, построив достаточно широкий класс моделей, которые, с одной стороны, реализуют феномен самоорганизованной критичности, а, с другой стороны, воспроизводят наблюдаемые характеристики сейсмического процесса, в частности, прогнозируемость крупных событий.

К настоящему времени аналитически установлен ряд свойств модели БТВ. Динамика модельной системы определена с помощью эволюционного оператора, действующего в подходящем топологическом пространстве [66]. Доказано существование стационарной точки этого оператора, интерпретируемой как критическое состояние [67]. Сформулировано алгебраическое и комбинаторное описание конфигураций, т. е. точек фазового пространства, возникающих в критическом состоянии с положительной вероятностью [69]. Установлено, что корреляционные функции на этих конфигурациях являются степенными [131]. В некоторых случаях удаётся найти показатели степени [70, 86]. Классификация моделей проводится в терминах показателей степенных законов. Однако вид распределения событий по размерам теоретически не установлен.

Численный анализ свидетельствует о степенном распределении событий по размерам в значительном диапазоне [59]. Описание «хвоста» этого распределения, универсальное относительно объема модельной системы, до сих пор неизвестно.

Вопрос о прогнозируемости систем с СОК теоретически сложен и исследуется эмпирически. Алгоритмы прогноза землетрясений, основанные на повышении сейсмической активности перед сильными землетрясениями, фиксируют в модели БТВ определённое затишье (анти-активизацию), предшествующее крупным событиям. Влияние факта слабой прогнозиру-емости модели БТВ на исследователей оказалось столь большим, что он автоматически распространялся на её модификации без соответствующей проверки. Поэтому остаётся не ясным, затишье перед крупными событиями и их слабая предсказуемость — это свойства целого класса самоорганизованных критических систем, или характеристики конкретной модели, устраняемые малым изменением её правил.

1. Классифицировать модификации модели БТВ, получаемые из модели БТВ малым изменением правил, и найти нормировку крупных событий модели БТВ, универсальную относительно объёма модельной системы.

4. Оценить прогнозируемость последовательности предсказываемых событий по распределению времени между ними.

Направления исследования. Вопросы прогнозируемости в моделях с самоорганизованной критичностью принадлежат междисциплинарной области, включающей в себя ряд направлений математики, физики, информатики и экономики. Междисциплинарный характер исследования отражается в диссертации, где анализируются фрактальные и мультифракталь-ные объекты, изучаются свойства модельных систем в термодинамическом пределе, используются методы теории распознавания образов.

В работе исследованы теоретические аспекты прогнозируемости в моделях с самоорганизованной критичностью, отражающих основные свойства сейсмического процесса. К теоретическим аспектам относятся

• вопросы прогнозируемости конкретных систем,

• оптимизация параметров алгоритмов прогноза.

Методы исследования. В работе использованы эмпирические и теоретические методы исследования, типичные для сложных систем с большим числом степеней свободы. Модельная динамика реализована с помощью компьютерного моделирования. Достоверность результатов подтверждается стандартными статистическими тестами.

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Построена математическая модель с самоорганизованной критичностью, близкая к модели Бака-Танга-Визенфельда, в которой существует эффективный прогноз крупных событий, основанный на увеличении активности событий средних масштабов.

2. Показано, что прогнозируемость построенной модельной системы неоднородна по времени.

3. Классифицированы основанные на механизме БТВ изотропные модели с самоорганизованной критичностью без диссипации распространения напряжения. Разработан численный алгоритм, прогнозирующий крупные события в моделях с достаточно высокой эффективностью.

4. Найдена универсальная нормировка крупных событий в модели БТВ.

5. Подтверждена универсальность методологии прогноза землетрясений. Оценена неслучайность последовательности крахов на фондовых рынках.

Научная новизна и практическая значимость. Впервые показано, что в модель БТВ и её простейшие модификации обладают эффективной предсказуемостью, основанной на затишье;

Эффективность прогноза крупных событий в модели БТВ и её модификациях, полученная в диссертационной работе, принципиально выше, чем в исследовании [127]. Этот результат достигнут по следующим причинам.

1. Известные к настоящему времени результаты прогноза в модели БТВ получены при сравнительном анализе предсказуемости различных моделей с помощью конкретного предвестника. В диссертационной работе при построении алгоритма используется прогноза близкий предвестник, но настроенный непосредственно для модели БТВ, что позволяет получить более эффективный прогноз.

3. Показано, что (в определённом смысле) малые изменения правил модели БТВ существенно улучшают предсказуемость крупных событий в получающихся моделях.

4. Наконец, введение в модель БТВ нелинейной диссипации при распространении напряжений изменяет прогнозируемость качественно: адаптированные алгоритмы прогноза землетрясений фиксируют увеличение событий средних размеров перед крупными событиями, а не уменьшение, как в модели БТВ.

Для существования эффективного прогноза оказывается существенным, что изучаемые модели осуществляют колебания вокруг критической точки. Установлено, что вариация предсказуемости чувствительна к суммарному напряжению, накопленному системой. Таким образом, диссертационное исследование свидетельствует, что эффективный прогноз землетрясений в реальном времени не противоречит самоорганизованной критичности сейсмического процесса. Однако качество прогноза землетрясений может ухудшаться без адаптивной коррекции алгоритмов, поскольку модели с СОК допускают перестройку квази-стационарных режимов.

В диссертации оценена предсказуемость последовательности финансовых крахов. Предшествующие работы [147] стремились предсказать наступление крахов, обосновывая эффективность своих методов сравнением с результатом случайного прогноза. В настоящей работе предсказуемость впервые рассматривается как свойство исследуемых финансовых рядов. Анализ последовательности крахов (игнорирующий остальные данные временного ряда) даёт грубую оценку предсказуемости временных рядов и устанавливает границу эффективности, которую должен превзойти любой алгоритм прогноза, претендующий на практическое внедрение.

Проведённое исследование также вносит вклад в теорию СОК. Используемая к настоящему моменту классификация изотропных моделей с самоорганизованной критичностью (при недиссипативной передаче напряжения) грубо разделяет системы на два класса: (1) модель БТВ и (2) остальные модели. В диссертационной работе указаны семейства моделей, принадлежащие к классу БТВ, а второй класс разбит на два подкласса. Новая классификация связана с правилами эволюции модельной системы.

Апробация работы. Научно-исследовательская работа по теме диссертации включена в план исследований Международного института теории землетрясений и математической геофизики РАН (МНТП РАН). Работа проведена при поддержке РФФИ (гранты 05-05-64384-а, 08-05-00215-а, 11-01-00887-а, 11-06-00278-а) и в рамках Программы № 13 Президиума РАН «Изменения окружающей среды и климата: природные катастрофы». Материалы исследования докладывались и получили положительные отзывы на международных научных форумах: 23d International Conference on Mathematical Geophysics «Extreme Earth Events» (La Citadelle Villefranche Sur Mer, France 2000), European Geophysical Union General Assembly (Wien, Austria, 2007), международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (памяти И. Г. Петровского, Москва, МГУ, 2007), конференции «Extreme events: causes and consequences» (Paris, Fiance, 2008), 16ой и 18ой Международных конференциях «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2009 и 2011).

Автор неоднократно докладывал результаты работы на научно-исследовательском семинаре МИТП РАН, на семинарах «Аттракторы нелинейных динамических систем» механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, «Будущее прикладной математики» ИПМ им. Келдыша РАН, «Вычислительная математика, математическая физика, управление» института вычислительной математики РАН.

Публикации. Содержание диссертации отражено в двадцати работах, опубликованых в открытой печати. Все результаты, полученные автором за время совместной работы с М. Г. Шнирманом, включены в диссертацию с согласия и одобрения соавтора.

Сейсмичность, модели самоорганизованной критичности, прогноз

Как происходят землетрясения? Этот вопрос, с давних пор интересовавший людей, остаётся актуальным и сегодня. Крупные землетрясения происходят в различных регионах Земли. Они сопровождаются значительными разрушениями и человеческими жертвами. Так, недавнее землетрясение на Суматре (26.12.2004, магнитуда М = 9.2), крупнейшее за последние сорок лет, привело к сотням тысячам погибших.

Поток землетрясений как проявление сложной системы. Механизм формирования землетрясений до сих полностью не изучен, а наблюдаемые закономерности описывают вероятностные распределения сейсмических характеристик. Ситуация принципиально отличается от классической механики, законы которой позволяют найти по заданным начальным условиям координаты и скорости материальных точек в произвольный будущий момент времени. Вероятностные закономерности и определённые трудности использования начальных условий типичны для так называемых сложных систем. Тем существеннее, что сейсмологи умеют прогнозировать место и время индивидуальных крупных землетрясений. Речь идёт об указании пространственно-временной зоны, в которой ожидается землетрясение, магнитуда которого принадлежит заданному диапазону магнитуд. Несмотря на то, что некоторые землетрясения предсказать не удаётся, существующие алгоритмы прогноза оказываются эффективными [100, 25, 101].

Теоретический подход. Принципиальная проблема, с которой сталкиваются геофизики,— отсутствие достаточно представительных рядов данных, что затрудняет общее понимание сейсмического процесса. Опираясь на отдельные детали, которые представляются существенными, исследователи строят теоретические модели, чтобы получить как можно более полное описание сейсмичности. Совпадение теоретических выводов наблюдаемым закономерностям свидетельствует об адекватности модели.

Накопление и освобождение напряжения. В основе процесса формирования землетрясений лежит медленное движение тектонических плит с характерной скоростью — несколько сантиметров в год. Движению противодействует сила трения, возникающая из=за постоянного контакта движущихся поверхностей. Поэтому движение увеличивает напряжение в плитах. Когда напряжение оказывается слишком большим, происходит землетрясение. Оно сопровождается значительным выделением энергии, разрушением контактных поверхностей и быстрым перемещением плит вдоль разломов (до нескольких десятков сантиметров).

Закон повторяемости. Самоподобие сейсмического процесса характеризуется законом Гутенберга-Рихтера [78]. Этот закон, установленный эмпирически, утверждает, что логарифм количества землетрясений линейно зависит от магнитуды. Наклон b линейной зависимости является важнейшей характеристикой сейсмического процесса в исследуемом регионе. Значение Ь зависит от региона. В среднем по миру оно близко к —1 [119].

Имеет смысл аппроксимировать логарифм количества землетрясений линейной функцией магнитуды на малых временных промежутках. Полученные таким образом колебания наклона линейной аппроксимации используются при построении предвестников сильных землетрясений [16,143].

Закон Омори. За основными толчками обычно следуют землетрясения меньших магнитуд (происходящие в том же регионе). Их называют аф-тершоками. Некоторые землетрясения сопровождаются длинной последовательностью афтершоков. Эмпирически установлено, что количество аф-тершоков убывает как степенная функция времени. Первые исследования показали, что показатель степени равен единице (закон Омори, [125]). В настоящее время считается выполненным модифицированный закон Омори, предложенный Утцу [151], с неуниверсальным показателем степени (его типичные значения лежат на интервале [0.7,1.5]).

Модели землетрясений. Существуют различные подходы к моделированию сейсмичности. Обширный обзор моделей даёт совокупность книг [23, 24, 121, 133, 144, 150]. Работы Барриджа-Кнопова [55] и Карлсон-Лангера [58] положили начало интенсивному развитию моделей «блоков и пружин». В них одномерная система блоков, сцеплённых пружинами, движется с медленной постоянной скоростью, преодолевая силу трения. Модельная система демонстрирует закон Гутенберга-Рихтера и активиза-ционный сценарий крупных событий (т. е. увеличение количества событий средних масштабов перед полномасштабными событиями).

Олами, Федер и Кристенсен рассмотрели двумерную модификацию модели Барриджа-Кнопова, реализованную в виде клеточного автомата, и показали, что показатель степени в модельном степенном законе повторяемости событий не универсален, а зависит от диссипации [124]. При определённой диссипации показатель принимает значения, наблюдаемые в реальности.

Исследования [65, 80] концентрируются на фрактальной геометрии разломов и имитируют движение броуновских профилей. Такой подход также приводит к неуниверсальности показателя степенного закона. Он зависит от фрактальности, которая в реальности может быть связанной с возрастом системы разломов. Моделирование восстановления профилей после разрушения, вызванного модельным землетрясением, позволяет ставить задачи о кластеризации землетрясений во времени и в пространстве.

Нельзя не упомянуть о модели освобождения напряжений [152] и иерархических моделях [49, 50], оказывающих влияние на современные исследования [87, 105, 155].

Предложенные модели землетрясений реализуют наблюдаемые характеристики сейсмического процесса: закон повторяемости Гутенберга-Рихтера, модифицированный закон Омори, кластеризацию землетрясений во времени и в пространстве и существование устойчивых паттернов, позволяющих предсказывать крупные землетрясения с достаточной эффективностью. Видимо, наиболее адекватное описание сейсмического процесса осуществляется в рамках самоорганизованных критических систем.

Модель «куча песка». Понятие самоорганизованной критичности, лежащее в основе представления об эволюции тектонических плит, введено в 1987 году Баком, Тангом и Визенфельдом [42]. Они построили модель «куча песка» (sand-pile, или просто модель песка), далее БТВ (по первым буквам фамилий), достигающую критическое состояние без настройки каких-либо модельных параметров. Динамика модели характеризуется медленным случайным накоплением песчинок, их быстрым детерминистским пересыпанием и диссипацией на границе. Спустя некоторое время после начала эволюции добавление песчинок и диссипация на границе уравновешивают друг друга, и система оказывается в критическом состоянии.

Грубой иллюстрацией модели является образование кучи песка на квадратном столе при случайном падении песчинок. Образование больших куч приводит к пересыпанию песка. Диссипация происходит, когда песчинки падают со стола.

Интерпретация в сейсмических терминах. Согласно [41], модель песка можно рассматривать как модель образования землетрясений. Естественно, что песчинки в модели играют символическую роль. В геофизических приложениях вместо песчинок используют такие понятия как энергия или напряжение. Интерпретируя модель в геофизических терминах, говорят, что происходит медленное накопление напряжения при движении тектонических плит и быстрый сброс напряжения во время землетрясений [129].

Стационарное состояние модели. Некоторые важные свойства модели песка установлены математически строго. Дхар [66] описал пространство мер, связанное с эволюцией модельной динамики и доказал существование инвариантной меры, которое интепретируется как стационарное состояние системы.

Развивая методы [66], многочисленные исследователи (например, [67, 70]) описали термодинамический предел в модели песка и её обобщениях. Систематическое изложение результатов и современное состояние теории может быть найдено в [69, 86].

Модификации модели БТВ. За прошедшие годы появилось большое количество модификаций модели песка, которые обозначаются SP (от английского sand-pile, «куча песка»). По-видимому, наиболее близки к первоисточнику модели Чанга [162] и Манна [114]. В исходной модели БТВ песчинки одна за одной падают на квадратную решётку. Если число песчинок в какой-нибудь клетке оказывается равным пороговому значению Н = 4, то она становится неустойчивой и передаёт свои песчинки четырём ближайшим «соседям» (клеткам имеющим с ней общую сторону). При пересыпании возможно достижение порогового значения в другой клетке. Тогда пересыпание продолжается до тех пор, пока число песчинок в каждой клетке решётки не окажется меньше порога. Событием (говорят, ещё лавина или землетрясение) называется процесс пересыпания, описанный выше, а размером события - количество пересыпаний.

В модели Чанга песчинки предполагаются бесконечно делимыми. Разрешается добавлять в клетку произвольное вещественное число песчинок, например, полпесчинки, или одну сотую часть. Здесь пороговое значение равно единице, а не четырём, и на решётку песок падает не по одной песчинке, а по некоторому малому (значительно меньше единицы) количеству песчинок. Превышение порога в произвольной клетке приводит к передаче всего песка, содержащегося в ней, четырём ближайшим «соседям» поровну. В результате получается непрерывный аналог исходной модели песка.

В модели Манна пороговое значение равно двум, большое детерминистские правила пересыпания заменены стохастическими. Выбор клетки для каждой передаваемой песчинки происходит случайным образом.

Показатели степенных законов. Критическое состояние в моделях SP характеризуется степенными законами повторяемости событий. Отсюда значительный интерес к показателям степеней, возникающих в степенных законах повторяемости. Эти показатели удалось найти с большой точностью численными методами [79] для модели БТВ. Опрелённые трудности возникли при определении показателя Ьвтш в законе Гутенбегра-Рихтера. Непосредственная апроксимация и более изощрённые методы [61, 71, 108] оценивают Ьвтуу £ (1-20,1.33). В более поздних работах [63, 137, 149] установлено, что количество событий как функция от их размера убывает степенным образом только на интервале, не затрагивающем крупные события. На полном интервале размеров закон повторяемости крупных событий описывается не одним показателем степени, а с помощью непрерывного семейства показателей [149].

События в моделях Чанга и Манна также удовлетворяют степенным законам. Некоторые показатели степени совпадают с соответствующими показателями модели БТВ. Однако модели Чанга и Манна реализуют свой закон повторяемости событий. Во-первых, этот закон остаётся степенным даже для крупных событий [61, 114, 128]. Некоторое отклонение от степенной функции за счёт недостатка самых крупных событий объясняется эффектом конечного размера решётки [61]. Во вторых, величина Ьм ~ 1-27 показателя степенной функции в моделях Манна и Чанга, видимо, отличается (хотя и незначительно) от соответствующей величины для модели БТВ. Естественно, в последнем случае показатель вычислен только на том интервале размеров, где он существует, игнорируя крупные события [71].

Показатель степени в законе повторяемости событий определяет классификацию БР. Оказалось [45], что незначительные изменения правил пересыпания в модели Манна сохраняют показатель Ъ ~ Ьм (как и показатели других степенных закономерностей). В статье [45] высказано предположение, что БР с симметричным в среднем пересыпанием лежат в том же классе, что и модель Манна (см. также [68]). Построенная в [91] модель БР, в которой пересыпание детерминировано, локально несимметрично, но изотропно в среднем, подтверждает это предположение.

Переход между моделями Манна и Чанга. В работах [106, 107] исследовано однопараметрическое семейство моделей БР с правилами пересыпаниями, идентичными модели Манна. Пороговое значение Н, при котором происходит пересыпание, является параметром. Установлено, что корреляция количества песчинок, содержащихся в соседних клетках, положительна для малых Н, включая случай Н = 2 т. е. модель Манна. А для Н —>• оо корреляция становится отрицательной, что соответствует модели Чанга. Несмотря на различные пространственные корреляционные свойства, все модели семейства обладают показателем Ь в законе повторяемости, близким к значению Ъм■ Некоторое отклонение от Ьм наблюдается при промежуточных между двумя и бесконечностью значениях Н (порядка сотен). Таким образован, построен гладкий переход от 8Р Манна к БР Чанга внутри одного класса моделей.

Прогноз в моделях 8Р. Так как модель БТВ, согласно [41], может использоваться для моделирования процесса формирования землетрясений, то естественно выяснить её прогнозные свойства. В работе [127] проведён сравнительный анализ предсказуемости в известных моделях с самоорганизованной критичностью с помощью предвестников крупных землетрясений алгоритма М8, по-видимому, наиболее апробированного к настоящему времени [93, 100]. Установлено, что среди них модель БТВ обладает самой слабой (и очень слабой) прогнозируемостью. Найденная предсказуемость в модели БТВ достигается за счёт предвестника, характеризующего затишье, предшествующее крупным событиям. Однако, в реальности чаще реализуется противоположный сценарий: увеличение активности обычно свидетельствует о процессе подготовки сильного землетрясения.

Реализуемость свойств сейсмических процессов в рамках моделей БР. Авторы модели БТВ сформулировали концепцию самоорганизованной критичности. Однако буквальная аналогия динамики их модели сейсмическому процессу едва ли существует. Модельные показатели степенных законов универсальны (тогда как в реальности зависят от региона), малая активность, как предвестник крупных событий, имеет вид, инвертированный к реальности (затишье вместо активизации).

Возникает вопрос, можно ли в рамках моделей БР имитировать процесс подготовки сильных землетрясений. Авторы большинства цитированных выше моделей (блоковых, иерархических и др.) использовали парадигму самоорганизованной критичности, но отказались от принципов построения моделей БР. В диссертационной работе, напротив, показано, что в рамках моделей БР модельная динамика имеет общие черты с динамикой сейсмичности.

Структура и результаты диссертации. Первая глава диссертации состоит из двух частей. В первой части представлен обзор моделей сейсмичности с СОК. Во второй части подробно описана модель БТВ, различными способами оценены показатели степенных законов, исследованы крупные события модели БТВ, размер которых лежит вне диапазона степенного распределения. В первой главе проанализирована мультифрактальная зависимость распределения этих событий от длины Ь решётки, что дало возможность впервые предъявить универсальную по Ь нормировку распределения крупных событий.

Во второй главе изучены модели БР со случайным пересыпанием. Введено новое однопараметрическое семейство моделей песка. Параметром является количество V пересыпанных песчинок, которое незначительно отличается от порога Н. Содержательная новизна заключается в правилах пересыпаниях. Неустойчивая клетка передаёт четырём ближайшим соседям фиксированное количество песчинок, причём происходит это, по-возмож-ности, поровну. Разработано обобщение на случай дробного количества раздаваемых песчинок. Построенное непрерывное (по параметру ь>) семейство осуществляет при и Е [1,4] переход от моделей класса Манна к случайному блужданию [29] и к модели БТВ. Случайное блуждание {у = 1) и модель БТВ (р = 4) оказываются особыми точками семейства. Несмотря на непрерывную зависимость эволюционного оператора от параметра, переход оказывается негладким. Таким образом, в диссертации установлено, что диапазон показателей степенного закона не реализуем в рамках широкого класса изотропных ЭР.

Далее, исследованы модели, у которых значение порога Н несоизмеримо больше, чем количество 5 добавляемых в систему песчинок, как в модели Чанга [162]. Установлено, что на динамику моделей существенно влияет дисперсия случайного пересыпания. Показано, что при относительно малой дисперсии (она мала, например, при применении правил модели Манна) возможны два исхода. Если неустойчивая клетка (в которой количество песчинок превышает порог Н) отдаёт все свои песчинки, то свойства моделей с Н 5 и модели Чанга оказываются близкими. Если неустойчивая клетка передаёт фиксированное количество песчинок, равное Н, то БР демонстрирует свойства модели БТВ.

В главе 3 исследованы прогнозные свойства моделей ЭР. Вопреки сложившемуся мнению [127, 129], показана принципиальная возможность прогнозировать крупные события с высокой эффективностью. Предвестниками крупных событий являются увеличение песка в решётке и его кластеризация по пространству.

Продолжая исследование [127], в третьей главе адаптированы предвестники реальных землетрясений для прогнозирования крупных событий в простой модификации модели Манна. Установлено, что предвестники обладают определённой эффективностью, причём эффективность увеличивается при возрастании размера прогнозируемых событий.

В главе 4 построена БР, в которой крупным событиям предшествует увеличение активности. Принципиальная новизна модели — введение диссипации распространения напряжения. Алгоритм прогноза, основанный на аномальном увеличении количества событий средних масштабов, предсказывает крупные события с высокой эффективностью. Установлена неоднородность эффективности прогноза во времени.

В главе 5 решается задача прогноза целевых событий по распределению времени между ними. Для выборки последовательных сильных землетрясений, которые характеризуются сейсмическими брешами (seismic gaps), доказана оценка сверху эффективности прогноза по заданному коэффициенту вариации выборки. Далее исследована последовательность крахов финансовых индексов, как пример каталога, для которого, в отличие от каталога землетрясений, достаточно высока вероятность наступления нового целевого события непосредственно после предыдущего. В этом случае предсказуемость целевых событий оценивается численно.

Заключение диссертация на тему "Вопросы прогнозируемости в изотропных моделях с самоорганизованной критичностью"

Выводы

1. В диссертации впервые установлена предсказуемость крупнейших событий в модели БТВ и её простейших модификациях. Предсказано около 80% целевых событий, тогда как доля времени тревоги составляет приблизительно 25%. Этот результат свидетельствует о существовании эффективного прогноза в моделях с самоорганизованной критичностью и, следовательно, подтверждает, что представление о сейсмическом процессе как о динамической самоорганизованной системе не противоречит предсказуемости сильных землетрясений.

2. В модели БТВ прогнозируемы лишь крупнейшие события. Им предшествует аномально малое количество событий средних масштабов. Такое затишье перед крупнейшими событиями объясняется слабым влиянием событий средних масштабов на диссипацию системы.

3. Впервые построена модель с самоорганизованной критичностью, основанная на механизме БТВ, демонстрирующая активизационный сценарий крупных событий. Активизационный сценарий достигнут за счёт добавления к механизму БТВ точечного нагружения и нелинейной диссипации распространения напряжения. К модельной динамике адаптированы предвестники сильных землетрясений. Алгоритмы прогноза, основанные на адаптированных предвестниках, предсказывают свыше 80% крупных событий, объявляя тревогу в течение трети исследуемого времени.

4. Установлено, что модельная предсказуемость улучшается с увеличением (а) диссипации, (Ь) магнитуды целевых событий. Пункт (Ь) соответствует сейсмичности, где землетрясения магнитуды 8 и выше прогнозируются определённо лучше землетрясений с магнитудой М ^ 7.5. Что касается пункта (а), то хотя влияние диссипации на сейсмичность несомненно, оценить это влияние количественно представляется проблематичным.

5. Стационарность модельной системы имеет место на достаточно длинных временных интервалах, соответствующих десятилетиям эволюции сейсмических процессов. Анализ модельной динамики даёт основание ожидать, что эффективность прогноза землетрясений чувствительна к локальной нестационарности сейсмического процесса и неоднородна по времени.

6. Показано, что все изученные системы прогнозируемы благодаря колебаниям вокруг критической точки. В модели БТВ и её простейших модификациях, не обладающих событийной диссипацией, система временами становится перегруженной, поднимается в закритическое состояние и становится предсказуемой. Построенная модель с диссипацией распространения напряжения также предсказуема в закритическом состоянии (хотя механизм прогноза в ней принципиально иной). Однако наибольшая эффективность достигается в подкритическом состоянии, где крупным событиям необходим подготовительный процесс, проявляющийся в аномальном увеличении событий средних масштабов.

7. Продемонстрирована универсальность методологии прогноза крупных землетрясений на примере последовательности крупных падений наиболее значимых финансовых индексов.

8. Классифицированы изотропные решётчатые модели с самоорганизованной критичностью без диссипации распространения напряжения при стремлении к бесконечности количества устойчивых состояний отдельных клеток решётки. Классификация проведена в терминах одномерного стационарного распределения состояний отдельных клеток (при интерпретации речь идёт о напряжении на разломах). Установлено, что при исчезающей стохастике распространения напряжения существуют два типичных вида моделей. Если неустойчивая клетка теряет фиксированное количество песчинок, то динамика модели имеет черты модели БТВ. Если неустойчивая клетка отдаёт все свои песчинки, то модель принадлежит классу Манна. Отдельный класс составляют модели с неисчезающей стохастикой распространения напряжения.

9. Построено семейство моделей, непрерывно зависящее от параметра и осуществляющее переход от моделей класса Манна к модели БТВ и к случайному блужданию на квадратной решётке с поглощающей границей. Показано, что как случайное блуждание, так и модель БТВ являются особыми точками семейства. Таким образом, модель БТВ выделяется из формально близких к ней моделей класса Манна. Указана универсальная нормировка крупных событий модели БТВ.

Заключение

В диссертации решена проблема прогнозируемости в моделях с самоорганизованной критичностью (СОК). Установлено, что типичные самоорганизованные критические системы предсказуемы. В одних системах эффективный прогноз крупных событий достигается за счёт затишья, им предшествующего. В других имеет место аномальное увеличение событий средних масштабов перед полномасшатбным событием, обеспечивающее прогнози-руемость полномасштабных событий (т. е. событий, распространяющихся по всему пространственному объёму системы).

Полученный результат принципиально изменяет представления о прогнозируемости систем с СОК. После исследований [37, 127] возникла популярная гипотеза о непредсказуемости типичных систем с СОК. Полагая сейсмический процесс динамической системой с СОК, из этой гипотезы в работах [75, 76] сделан вывод о невозможности прогноза землетрясений, несмотря на существование алгоритмов прогноза, эффективно предсказывающие землетрясения в реальном времени [96]. Диссертационная работа показывает отсутствие противоречий между существованием эффективного прогноза землетрясений и представлением о сейсмическом процессе как о системе с СОК.

В первой главе исследована модель БТВ [41, 42] (первый пример модели с СОК), которая называется моделью песка (sand-pile, SP). Правила эволюции модели могут быть интерпретированы в терминах сейсмических процессов, а наблюдаемая динамика имеет общие черты с реальностью. В модели БТВ на квадратную решётку со стороной в Ь клеток падают песчинки. Одна песчинка за один момент времени. Клетка, в которую падает песчинка, выбирается наугад (с равной вероятностью). Через Кц обозначается количество песчинок в клетке (г, э) (другими словами, Нц — это высота кучи в клетке (г^)). Если после падения песчинки клетка содержит Н = 4 песчинки, то она становится неустойчивой и пересыпает свои четыре песчинки соседним клеткам: каждая соседняя клетка получает по одной песчинке. Пересыпание может привести к появлению новых неустойчивых клеток (содержащих не меньше, чем четыре песчинки). Они также пересыпают четыре песчинки, и т. д., пока все клетки решётки не окажутся устойчивыми. Граничное условие предполагается открытым, т. е. пересыпание на границе диссипативно. Пересыпание происходит мгновенно. По окончании пересыпания очередная песчинка падает на решётку. Событием называется процесс последовательных пересыпаний. Его размер — количество неустойчивых клеток в течение пересыпания, подсчитанное с учётом кратности. Магнитуда — это десятичный логарифм размера.

При любых начальных значениях высот Кц модельная система спустя некоторое время приходит в критическое состояние. Критическое состояние модели БТВ описывается, в частности, степенным распределением событий по размерам, которое имеет место для размеров, не превосходящих некоторого 5*. События, имеющие размер, больший, чем я*, называют крупными.

Объект исследования первой главы — крупные события модели БТВ. Через -Рс(з, £) обозначена дополнительная функция распределения крупных событий. По доле 8 крупных событий определён квантиль в как решение уравнения

Рс(з,Ь) = 6 167 при фиксированном Ь. В первой главе установлено, что в является степенной функцией длины решётки при фиксированном з(6,Ь)ъУ5Ьа\ (6.1) где > 0 не зависит от Ь а щ е [2, ОДлпахЬ Наибольший достижимый показатель а^тах «2.7.

Вообще говоря, существуют события, размер которых имеет больший порядок по Ь. Например, крупнейшее событие модели происходит при добавлении песчинки в конфигурацию, состоящую из всех «троек» (к^ = 3 Уг^). Его размер й = Ь3/6 + 0(1/2). Однако при численном эксперименте значения а§ > а^щах, недостижимы (вероятность соответствующих сверхкрупных событий быстро убывает по Ь).

Пользуясь формулой (6.1), найдена универсальная нормировка (относительно линейного размера решётки Ь) распределения крупных событий по размерам на интервалах, экспоненциально растущей длины.

Результаты главы 1 развивают положения статей [57, 61] о простом скей-линге основной части распределения и исследования [64, 149] о мульти-фрактальности «хвоста» этого распределения.

Во второй главе классифицированы изотропные решётчатые модели с СОК. Появление простейших модификаций модели БТВ связано с изменениями порога неустойчивости Н высот /г^ и способа пересыпания песчинок неустойчивыми клетками. Следуя [114], детерминированное распространение событий заменено на стохастическое. Типичный пример возникающей модели описан Манной [114]. В среднем распространение событий сохраняется изотропным, а среднеквадратичное отклонение а стохастического распространения является параметром моделей.

В диссертации установлено, что

• если стохастика распространения событий исчезает (сг/Н —>• 0 при Н —у оо), и неустойчивая клетка передаёт все свои песчинки, то модель принадлежит тому же классу, что и модель Манна;

• если стохастика распространения событий исчезает, и неустойчивая клетка передаёт фиксированное количество песчинок, то модель принадлежит тому же классу, что и модель БТВ;

• существует отдельный класс моделей с неисчезающей стохастикой распространения событий.

Анализ изотропных решётчатых моделей с СОК, проведённый в диссертации, дополняет исследования [45, 47, 61, 91, 107] о сходстве и различиях этих моделей. В главе 2 впервые показано, что свойства модели БТВ являются типичными для целого класса моделей. Также впервые выделены правила распространения событий, определяющие качественные свойства моделей.

Особый интерес представляет переход между классами моделей. Во второй главе построено однопараметрическое семейство моделей, правила распространения событий в которых гладко зависят от параметра, осуществляющее переход от моделей класса Манна к модели БТВ. Показано, что несмотря на формальную принадлежность модели БТВ к построенному семейству, ее критическое состояние принципиально отличается от критического состояния остальных моделей семейства. Поэтому модель БТВ нельзя называть типичной моделью с СОК и распространять её свойства на близкие модели без соответствующей проверки.

В главе 3 обсуждается принципиальный вопрос о прогнозируемости моделей с самоорганизованной критичностью. Исходная точка исследования — результат об очень слабой прогнозируемости модели БТВ [127] и достаточно эффективный прогноз сильных землетрясений в реальном времени [6, 25, 96, 101]. В третьей главе построен эффективный алгоритм прогноза крупных событий в модели БТВ и её простейших модификаций из класса Манна. Этот результат свидетельствует, что представление о самоорганизации сейсмических процессов не противоречит предсказуемости землетрясений.

Для прогноза модельных событий адаптированы предвестники: количество событий средних масштабов, отклонения этого количества от линейного тренда, концентрация событий, — используемые в алгоритмах прогноза землетрясений [93, 94], достаточно эффективно предсказывающих сильные землетрясения в реальном времени. Адаптируя эти предвестники к динамике моделей класса Манны и модели БТВ, в третьей главе показано, что

• крупные события этих моделей обладают определённой предсказуемостью;

• эффективность прогноза повышается с увеличением размера прогнозируемых событий;

• предсказуемость полномасштабных событий (занимающих весь пространственный объём) основана на уменьшении количества событий средних масштабов; в эффективность прогноза крупных событий в моделях класса Манны значительно выше, чем в модели БТВ.

Далее в третьей главе улучшена прогнозируемость в изотропных решётчатых моделях с СОК путём построения предвестников, опирающихся на свойства модельной динамики. Эти предвестники количественно описывают нагружение системы песчинками и кластеризацию нагружения. Представляет интерес разработка их сейсмических аналогов.

Анализ, проведённый в главе 3, показывает, что крупным событиям в исследуемых изотропных ЭР предшествует определённое затишье. Видимо, часть времени система проводит в критической точке, где является непредсказуемой. Баланс песчинок поддерживается за счёт событий средних масштабов, которые, обладая слабой диссипацией, уравновешивают медленное накопление песчинок. Существуют такие промежутки времени, на которых событий средних масштабов происходит аномально мало. Тогда диссипация уменьшается и система становится перегруженной — оказывается в закритическом состоянии. Чем больше «лишних» песчинок накопила система, тем крупнее событие следует ожидать. Значит, предсказуемость крупнейших событий, основанная на затишье, является следствием слабой диссипативности событий средних масштабов. Получается, что диссипация влияет на события, но обратная связь незначительна.

В четвёртой главе в модель Б ТВ введена событийная диссипация (другими словами, диссипация при распространении напряжения). Это означает, что распространение события по решётке происходит диссипатив-но (в отличие от исходной модели, где диссипация происходит только на границе решётки). Нелинейность механизма диссипации приводит как к степенному диапазону распределения размеров, так и к активизационному сценарию крупных событий.

Новая модель имеет следующие отличия от модели БТВ.

11) Новые песчинки добавляются исключительно в центр решётки. ((12) Пересыпания песка диссипативны как на границе решётки, так и внутри неё. Они определяются формулой где c(i,j) — произвольная клетка решётки, имеющая с (i,j) общую сторону, Dij — количество диссипировавших песчинок.

Диссипация D^ в клетке (i,j) нелинейно зависит от того, сколько раз в течение текущего события была перегружена клетка (i,j). Именно нелинейность диссипации отличает построенную модель от моделей, разработанных и исследованных в [109, 111, 156] и приводит к нетривиальным результатам, связанными с предсказуемостью модели. hc(i,j) —> K(i,j) + 1 Vc(i, j)

6.2) (6.3)

В четвёртой главе адаптированные предвестники сильных землетрясений, перечисленные выше, используются для прогноза крупных событий в построенной диссипативной модели. Показано, что эти предвестники фиксируют повышение количества событий средних масштабов перед полномасштабными событиями, что позволяет прогнозировать полномасштабные события с определённой эффективностью. Разработанный алгоритм прогноза предсказывает приблизительно пять прогнозируемых событий из каждых шести, тогда как тревога продолжается около трети исследуемого интервала времени.

В отличие от модели БТВ, динамика построенной модели характеризуется колебаниями вокруг критической точки. В диссертации указаны три типичных режима:

1) уход вниз от критической точки;

2) незначительный недостаток песчинок — подкритическое состояние системы;

3) превышение критического уровня песка — закритическое состояние

Если система находится в закритическом состоянии, то даже малые возмущения конфигурации порождают крупное событие. Долгий подготовительный процесс не является необходимым. Крупное событие может произойти в «любой момент». Поэтому предсказуемость в закритическом состоянии, оказывается хуже средней предсказуемости.

Режим ухода вниз от критической точки характеризуется тем, что увеличение активности в части решётки не порождает крупное событие, поскольку остальные части решётки недостаточно нагружены, и обеспечивает ложную тревогу. Крупное событие случится позднее (и, возможно, останется непредсказанным), когда в результате падения новых песчинок очередное событие распространится в перегруженную часть решётки. Разработанный алгоритм прогноза практически не эффективен в этих условиях, что согласуется с тем, что обсуждаемые предвестники предназначены для прогноза систем, находящихся вблизи критической точки.

Наконец, подкритическое состояние характеризуется самой эффективной предсказуемостью. Именно при подходе снизу к критической точке процесс подготовки событий, состоящий в увеличении количества событий средних масштабов, наиболее заметен.

В пятой главе указаны наименьшие достижимые потери ё при фиксированном отношении ам среднеквадратичного отклонения к среднему распределения F. Показано, что если некоторый регион мира характеризуется значением коэффициента вариации распределения времени между крупными землетрясениями, то стратегии S, использующие только распределение времени между предсказываемыми землетрясениями не эффективны, а к алгоритмам, сравнимыми с 5 в других регионах, следует подходить с известной осторожностью.

Разработанные методы, оценивающие эффективность алгоритмов прогноза, применимы к достаточно протяжённым временным рядам, различной природы. В пятой главе проводится анализ предсказуемости наиболее значимых фондовых индексов: американские DJIA, NASDAQ, S&P500, европейские САС40, DAX, FTSE. азиатские HSI, STI и российский RTSI.

Построен алгоритм А, объявляющий тревогу продолжительностью Т, непосредственно после целевого события. Целевыми событиями являются крупные дневные падения фондового индекса. Алгоритм предсказывает в среднем каждые пять целевых событий из шести, тогда как тревога продолжается около трети времени мониторинга.

Построение прогнозных стратегий и их оценка в терминах ошибок прогноза дополняет эконометрический анализ влияния макроэкономических показателей на финансовые кризисы. Политические и экономические факторы, влияние которых на наступление кризисов признано статистически значимым, видимо, могут быть использованы при построении прогнозных стратегий, т. е. правил объявления тревог. Если эти стратегии претендуют на практическое использование, то их эффективность должна быть выше, чем у алгоритма А.

Обосновано, что последовательность крахов наиболее значимых фондовых индексов обладает предсказуемостью. Можно ожидать, что с вероятностью, превышающей 0.5, за крупным дневным падением последует следующее в течение малого промежутка времени. По прогнозным свойствам, оценённым с помощью ошибок пит, фондовые индексы объединяются в группы. В пятой главе показано, что наиболее значимые американские и европейские индексы имеют похожую предсказуемость, тогда как предсказуемость азиатских индексов принципиально иная.

Библиография Шаповал, Александр Борисович, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Блантер Е.М., Шнирман М.Г. О мультифрактальном подходе к вопросу кластеризации эпицентров // Вычислительная сейсмология. 1992. Вып. 25. С. 46-62.

2. Гельфанд И.М., Губерман Ш.А., Кейлис-Борок В.И., Кнопофф JL, Пресс Ф., Рацман Е., Ротвайн И.М., Садовский A.M. Условия возникновения сильных землетрясений в Калифорнии и некоторых других регионах // Вычислительная сейсмология. 1976. Вып. 9. 3-90.

3. Добровольский И.П. Теория подготовки тектонического землетрясения. М.: ИФЗ РАН. 1991. 217 с.

4. Журков С.Н. Кинематическая концентрация прочности // Вестник АН СССР. 1968. Т. 3. С. 46-57.

5. Кейлис-Борок В.П., Кособоков В.Г., Мажкенов С.А. О подобии в пространственном распределении сейсмичности // Вычислительная сейсмология. 1989. Вып. 22. С. 28-40.

6. Кособоков В.Г. Прогноз землетрясений: основы, реализация, перспективы // Вычислительная сейсмология. 2005. Вып. 36. С. 1-175.

7. Кособоков В.Г., Мажкенов С.А. Интенсивность потоков землетрясений в очаговогй области // Доклады Академии наук Республики Казахстан. 1992. № 1. С. 53-57.

8. Кузнецов И.В., Родкин М.В., Серебряков Д.В., Урядов О.Б. Иерархический подход к динамике преступности // Новое синергетике. Новая реальность, новые проблемы, новое поколение. Сборник статей

9. Под редакцией Г.Г. Малинецкого. Часть 1. М.: Радиотехника. 2006. 120 с.

10. Мажкенов С.А. Сейсмическое затишье как долгосрочный предвестник сильных землетрясений в северном Тянь-Шане. // Известия Ан КазССР. Серия геологическая. 1990. № 3. С. 41-50.

11. Малинецкий Г.Г., Курдюмов С.П. Нелинейная динамика и проблемы прогноза // Вестник РАН. 2001. Т. 31, №3. с. 210-232.

12. Моги К. Предсказание землетрясений. М.: Мир. 1988. 382 с.

13. Молчан Г.М. Оптимальные стратегии в прогнозе землетрясений. Современные методы интерпретации сейсмологических данных / / Вычислительная сейсмология. 1991. Вып. 24. С. 3-18.

14. Молчан Г.М., Ротвайн И.М. Статистический анализ долгосрочных предвестников сильных землетрясений // Вычислительная сейсмология. 1979. Вып. 16. С. 52-66.

15. Мячкин В.И. Процессы подготовки землетрясений. М. Наука. 1978. 231 с.

16. Наркунская Г.С., Шнирман М.Г. Иерархическая модель дефектооб-разования и сейсмичность // Вычислительная сейсмология. 1989. Вып. 22. С. 56-62.

17. Наркунская Г.С., Шнирман М.Г. Об одном алгоритме прогноза землетрясений. // Вычислительная сейсмология. 1990. Вып. 23. С. 27-37.

18. Новикова О.В., Ротвайн И.М. Опыт заблаговременного прогноза землетрясений с помощью алгоритма КН // Доклады РАН. 1996. Т. 48. С. 548-551.

19. Писаренко В.Ф., Родкин М.В. Распределения с тяжелыми хвостами: приложения к анализу катастроф. М.: ГЕОС. 2007. 242 с.

20. Подлазов A.B., Осокин А.Р. Самоорганизованная критичность эруптивных процессов в солнечной плазме. // Математическое моделирование. 2002. Т .14. С. 118-126.

21. Рундквист Д.В., Гатинский Ю.Г., Буш В.А., Кособоков В.Г. Территория России в современной структуре Евразии: геодинамика и сейсмичность. // Вычислительная сейсмология. 2001. Вып. 32. С. 266-277.

22. Садовский М.А. (редактор). Долгосрочный прогноз землетрясений: Методические рекомендации. М.: ИФЗ АН СССР, 1986. 127 с.

23. Садовский М.А., Писаренко В.Ф. Сейсмический процесс в блоковой среде. М.: Наука. 1991. 96 с.

24. Сидорин А.Я. Предвестники землетрясений. М.: Наука. 1992. 191 с.

25. Соболев Г.А. Основы прогноза землетрясений. М.: Наука. 1993. 313с.

26. Соболев Г.А., Пономарев A.B. Физика землетрясений и предвестники. М.: Наука. 2003. 270 с.

27. Соболев Г.А., Тюпкин Ю.С. Аномалии в режиме слабой сейсмичности перед сильными землетрясениями Камчатки // Вулканология и сейсмология. 1996. № 4. С. 64-74.

28. Соболев Г.А., Тюпкин Ю.С. Стадии подготовки, сейсмические предвестники и прогноз землетрясений Камчатки // Вулканология и сейсмология. 1998. № 6. 17-26.

29. Смирнов В.Б. Повторяемость землетрясений и параметры сейсмического режима // Вулканология и сейсмология. 1995. № 3. с. 59-70.

30. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1, 2. М.: Мир, 1984.

31. Шаповал А.Б., Шнирман М.Г. Сценарий сильных событий в модели накопления песка // Вычислительная сейсмология 2002. Вып. 33. С. 267-277.

32. Шаповал А.Б., Шнирман М.Г. О тотальности крупнейших событий в модели накопления песка // Вычислительная сейсмология 2004. Вып. 35. С. 258-267.

33. Шаповал А.Б., Шнирман М.Г. Эффективность прогноза в модели образования лавин в зависимости от размера предсказываемых событий // Физика Земли. 2008. № 6. Р 61-67.

34. Al-Anaswah N. and Wilfling В. Identification of Speculative Bubbles Using State-Space Models with Markov-Switching // Social Science Research Network, http://ssrn.com/abstract=1341730. 2009.

35. Allegre C. J., Le Моиё1 J.L., and Provost A. Scaling rules in rock fracture and possible implications for earthquake prediction // Nature. 1982. V. 297. 47-49.

36. Andersen J.V., Sornette D. and Leung K.T. Tri-critical behavior in rupture induced by disorder // Physical Review Letters. 1997. V. 78. P. 2140-2143.

37. Bak P. How nature works: the science of self-organized riticality. Springer-Verlag New York, Inc. 1996. 205 pp.

38. Bak P., Chen K., and Tang C. A forest-fire model and some thoughts on turbulence // Physical Review A. 1992. V. 147. P. 297-300.

39. Bak P., Chen K., Scheinkmen J., and Woodford M. Aggregate Fluctuation from Independent Sectoral Shocks: Self-Organized Criticality in a Model of Production and Inventory Dynamics // Rich. Economiche. 1993. V. 47. P. 3-30.

40. Bak P., Paczuski M. Complexity, contingency, and criticality // Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA. 1995. V. 92. P. 6689-6696.

41. Bak P., Tang C., Earthquake as a self-organized critical phenomenon //J. Geophysical Research. 1989. V. 94. P. 15635-15637.

42. Bak P., Tang C., and Wiesenfeld K. Self-Organized Criticality: An Explanation of 1// Noise // Physical Review Letters 1987. V. 59. P. 381-384.

43. Barabasi A.L. and Stanley H.E. Fractal consepts in surface growth. 1995. Cambridge University Press, Cambridge. 388 pp.

44. Barriere B. and Turcotte D.L. Seismicity and self-organized criticality // Physical Review E. 1994. V. 49. P. 1151-1160.

45. Ben-Hur A., Biham 0. Universality in sandpile models // Physical Review E. 1996. V. 53. P. R1317-R1320.

46. Bershadskii A. and Sreenivasan K.R. Multiscale Self-Organized Criticality and Powerful X-ray Flares // European Physical J. B. 2003. V. 35. P. 513-515.

47. Biham O., Milshtein E., Malcai O. Evidence for universality within the classes of deterministic and stochastic sandpile model // Physical Review E. 2001. V. 63. P. 061309-061316.

48. Blanchard Ph., Cessac B., Kruger T. What can one learn about Self-Organized Criticality from Dynamical Systems Theory? // cond-mat/9912081 vl. 1999.

49. Blanter E.M., Shnirman M.G., Le Mouel J.-L. Temporal variation of predictability in a hierarchical model of dynamical self-organized criticality // Physics of the Earth and Planetary Interiors. 1999. V. 111. P. 317-327.

50. Blanter E.M., Shnirman M.G., Le Mouel J.-L., and Allegre C.J. Scaling laws in blocks dynamics and dynamic self-organized criticality // Physics of the Earth and Planetary Interiors. 1997. V. 99. P. 295-307.

51. Bodin P., Brown S., Matheson D. Laboratory Observations of Fault-normal Vibrations During Stick Slip // J. Geophysical Research 1998. V. 103. P. 29931-29944.

52. Bowman J.R. A seismic precursor to a sequence of Ms. 6.3-6.7 mid-plate earthquakes in Australia // Pure and Applied Geophysics. 1997. V. 149. P. 61-78.

53. Bowman D.D., Ouilon G., Sammis C.G., Sornette A., and Sornette D. An observational test of the critical earthquake concept // J. Geophysical Research 1998. V. 103. 24359-24372.

54. Bufe C.G., Nishenko S.P., and Varnes D.J. Seismicity trends and potential for large earthquakes in the Alaska-Aleutian region / / Pure and Applied Geophysics. 1994. V. 142. P. 83-99.

55. Burridge R., Knopoff L. Model and theoretical seismicity // Bull. Seis. Soc. Am. 1967. V. 57. P. 341-371.

56. Mc Cann W.R., Nishenko S.P., Sykes L.R., Krause J. Seismic gaps and plate tectonics: seismic potential for major boundaries // Pure and Applied Geophysics. 1979. V. 117. P. 1082-1147.

57. Carlson J.M., Chayes J.T., Grannan E.R., Swindle G.H. Self-organized criticality and singular diffusion // Physical Review Letters. 1990. V. 65, P. 2547-2550.

58. Carlson J.M., Langer J.S. Properties of earthquakes generated by fault dynamics // Physical Review Letters. 1989. V. 62. P. 2632-2635.

59. Carlson J.M., Swindle G.H. Self-organized criticality: sandpiles, singularities, and scaling // Proc. Natl. Sci. USA. 1995. V. 92. V. 67126719.

60. Chen K., Bak P., Obukhov S.P. Self-organized criticality in a crack-propogation model of earthquakes // Physical Review A. 1991. V. 43. P. 625-630.

61. Chessa A., Stanley E.H., Vespignani A., and Zapperi S. Universality in Sandpiles // Physical Review E. 1999. V. 59. P. R12-R15.

62. Christensen K. and Olami Z. Vatiation of the Gutenberg-Richter b values and nontrivial temporal correlation in a spring-block model for earthquakes //J. Geophysical Research 1992. V. 97. P. 8729-8735.

63. De Menech M. and Stella A.L. From waves to avalanches: Two different mechanisms of sandpile dynamics // Physical Review E. V. 62. 2000. P. R4528-R4531.

64. De Menech M., Stella A.L. and Tebaldi C. Rare Events and Breakdown of Simple Scaling in the Abelian Sandpile // Physical Review E. 1998. V. 58. P. R2677-R2680.

65. De Rubeis, Hallgass V.R., Loreto V., Paladin G., Pietronero L., and Tosi P. Self-affine Asperity Model for Earthquakes // Physical Review Letters. 1996. V. 76. P. 2599-2602.

66. Dhar D. Self-organized critical state of sandpile automaton models // Physical Review Letters. 1990. V. 64. P. 1613-1616.

67. Dhar D. The Abelian Sandpile and Related Models // Physica A. 1999. V. 263. P. 4-25.

68. Dhar D. Some results and a conjecture for Manna's stochastic sandpile model // Physica A. 1999. V. 270. P. 69-81.

69. Dhar D. Theoretical Studies of Self-Organized Criticality // Physica A. 2006. V. 369. P. 29-70.

70. Dinaburg E., Maes C., Pirogov S., Redig F., Rybko A. The Potts model built on sand //J. Stat. Phys. 2004. V. 117. P. 179-198.

71. Dorn P.L., Hughes D.S., and Christensen K. On the avalanche size distribution in the BTW model (preprint) // www.cmth.ph.ic.ac.uk/-people/k.christensen/papers/preprints/preprintbtw.pdf 2000.

72. Drossel B. and Schwabl F. Self-organized critical forest-fire model // Physical Review Letters. 1992. V. 69. P. 1629-1632.

73. Eftaxias K., Contoyiannis Y., Balasis G., Karamanos K., Kopanas J., Antonopulos G., Koulouras G., and Nomicos C. Evidence of fractional

74. Brownian-motion-type asperity model for earthquake generation in candidate pre-seismic electromagnetic emissions // Nat. Hazards Earth Syst. Sci. 2008. V. 8. P. 657-669.

75. Gabrielov A., Newman W.I., Turcotte D.L. Exactly soluble hierarchical clustering model: Inverse cascades, self-similarity, and scaling // Physical Review E. 1999. V. 60. P. 5293-5300.

76. Geller R.J. Earthquake prediction: A critical review // Geophysical Journal International. 1997. V. 131. P. 425-450.

77. Geller R.J., Jackson D.D., Kagan Y.Y., and Mulargia F. Earthquakes cannot be predicted // Science. 1997. V. 275. P. 1616-1617.

78. Geilikman M.B., Golubeva T.V., and Pisarenko V.F. Multifractal patterns of seismicity // Earth planet. Sci. Lett. 1999. 1-2. P. 127-132.

79. Gutenberg G. and Richter C.F. Magnitude and energy of earthquakes // Ann. Geophys. 1956. V. 9. P. 1-15.

80. Grassberger P. and Manna S.S. Some more sandpiles // J. Phys. (France). 1990. V. 51. P. 1077-1098.

81. Hallgass R., Loreto V., Mazzella O., Paladin G., and Pietronero L. Earthquakes statistics and fractal faults // Physical Review E. 1997. V. 56. P. 1346-1356.

82. Halsey T.C., Jensen M.H., Kadanoff L. Fractal measures and their singularities: The cnaracterization of strange sets // Physical Review A. 1986. V 33. P. 1141-1151.

83. Hemmer P.C. and Hansen A. The distribution of simultaneous fiber failures in fiber bundles // Journal of Applied Mechanics. 1992. V. 59. P. 909-914.

84. Huang Q., Sobolev G.A., and Nagao T. Characteristics of the seismic quiescence and activation patterns before the M = 7.2 Kobe earthquake, January 17, 1995 // Tectonophysics. 2001. V. 337. P. 99-116.

85. Ito K. Towards a new view of earthquake phenomena // Pure and Applied Geophysics. 1992. V. 138. 531-548.

86. Ivashkevich E.V., Priezzhev V.B. Introduction to the sandpile model // Physica A. 1998. V. 254. P. 97-116.

87. Jarai A. A. On the thermodynamics limit for a one-dimensional sandpile process // Markov Processes and Related Fields. 2005. V. 11. P. 313336.

88. Jaume S.C. Changes in earthquake size-frequency distributions underlying accelerating seismic moment/energy release // AGU Monograph Geocomplexity and the Physics of Earthquakes / ed. by J.B. Rundle, D.L. Turcotte, and W. Klein. 2000. P. 199-210.

89. Johansen A., Ledoit O., Sornette D. Crashes as Critical Points // Int. J. of Theoretical and Applied Finance. 2000. V. 3. P. 219-255.

90. Jones L.M. Foreshocks (1966-1980) in the San Andreas system, California // Bulletin of the Seismological Society of America. 1984. V. 74. 1361-1380.

91. Kaizoji T., Kaizoji M. Power law for the calm-time interval of price changes // Physica A. 2004. V. 336 P. 563-570.

92. Karmakar R., Manna S.S., and Stella A.L. Precise Toppling Balance, Quenched Disorder, and Universality for Sandpiles // Physical Review Letters. 2005. V. 94. P. 088002-088005.

93. Kagan Y.Y. and Jackson D.D. Comment on 'Testing earthquake prediction methods: The West Pacific short-term forecast of earthquakes with magnitude MwHRV > = 5.8' by V. G. Kossobokov // Tectonophysics. 2006. V. 413. P. 33-38.

94. Keilis-Borok V.I., and Kossobokov V.G. Preliminary activation of seismic flow: Algorithm M8 // Physics of the Earth and Planetary Interiors. 1990. V. 61. P. 73-83.

95. Keilis-Borok.V.I and Rotwain I.M. Diagnosis of time of increased probability of strong earthquakes in different regions of the world: algorithm CN // Physics of the Earth and Planetary Interiors 1990. V. 61. P. 5772.

96. Keilis-Borok V.I. Intermediate-term earthquake prediction // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1996. V. 93. P. 3748-3755.

97. Keilis-Borok V.I. Fundamentals of Earthquake Prediction: Four Paradigms / / Nonlinear Dynamics of the Lithosphere and Earthquake Prediction. / V.I. Keilis-Borok and A.A. Soloviev (eds.). Springer-Verlag, Heidelberg. 2003. P. 1-36.

98. King G. The accommodation of large strains in the upper lithosphere of the earth and other solids by self-similar fault systems: The geometrical origin of b-value // Pure and Applied Geophysics. 1983. V. 121. P. 761815.

99. Kloster M., Hansen A. and Hemmer P.C. Burst avalanches in solvable models of fibrous materials // Physical Review E. 1997. V. 56. P. 26152625.

100. Kossobokov V.G., Keilis-Borok V.I., and Smith W.W. Localization of intermediate-term earthquake prediction // J. Geophysical Research. 1990. V. 95. P. 19763-19773.

101. Kossobokov V., Shebalin P. Earthquake Prediction // Nonlinear Dynamics of the Lithosphere and Earthquake Prediction / Keilis-Borok V.I. and Soloviev A.A. (eds.). Springer-Verlag. 2003. P. 141-208.

102. Mantegna R.N. and Stanley H.E. An Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance. 1999. Cambridge University Press, Cambridge. 148 pp.

103. Laurson L., Alava M.J., and Zapperi S. Power Spectra of Self-Organized Critical Sandpiles //J. Statistical Mechanics 2005. V. 11. P. L001-L007.

104. Lee J.W., Lee K.E., Rikvold P.A. Waiting-Time distribution for Korean Stock-Market Index KOSPI // Journal of the Korean Physical Society. 2006. V. 48. P. S123-S126.

105. Lu C. and Vere-Jones D. Application of linked stress release model to historical earthquake data: Comparison between two kinds of tectonic seismicity // Pure and Applied Geophysics. 2000. V. 157. P. 23512364.

106. Lübeck S. Moment analysis of the probability distribution of different sandpile models // Physical Review E. 2000. V. 61. P. 204-209.

107. Lübeck S. Crossover phenomenon in self-organized critical sandpile models // Physical Review E. 2000. V. 62. P. 6149-6154.

108. Lübeck S. and Usadel K.D. Numerical determination of the avalanche exponents of the Bak-Tang-Wiesenfeld model // Physical Review E. 1997. V. 55. P. 4095-4099.

109. Lübeck S., Rajewsky N., and Wolf D.E. A deterministic sandpile automaton revisited // European Physical J. B. 2000. V. 13. P. 715-721.

110. Malamud B.D., Morein G., and Turcotte D.L. Forest fires: an example of self-organized critical behavior // Science. 1998. V. 281. P. 18401842.

111. Malcai O., Shilo Sh., and Biham O. Dissipative sandpile models with universal exponents // Physical Review E. 2006. V. 73. P. 056125056129.

112. Malevergne Y., Sornette D. Multivariate Weibull Distributions for Asset Returns // Finance Letters. 2005. V. 2. R 16-32.

113. Manna S.S. Large-scale simulation of avalanche cluster distribution in sand pile model //J. of Statistical Physics. 1990. V. 59. R 509-521.

114. Manna S.S. Two-state model of self-organized criticality // J. of Physics A. 1991. V. 24. R L363-L369.

115. March T.K., Chapman S.C., Dendy R.O., Merrifield J.A. Off-Axis Electron Cyclotron Heating and the Sandpile Paradigm for Transport in Tokamak Plasmas // Physics of Plasmas. 2004. V. 11. P. 659-665.

116. Molchan G.M. Earthquake prediction as a decision-making problem // Pure and Applied Geophysics. 1997. V. 149. P. 233-247.

117. Molchan G.M. Earthquake Prediction Strategies: A Theoretical Analysis // Nonlinear Dynamics of the Lithosphere and Earthquake Prediction / Keilis-Borok V.I. and Soloviev A.A. (eds.). Springer-Verlag. 2003. P. 209-238.

118. Molchan G.M., and Dmitrieva O.E. Aftershocks identification: methods and new approaches // Geophysical Journal International. 1992. V. 190. P. 501-516.

119. Molchan G., Romashkova L. Earthquake prediction analysis based on empirical seismic rate: the M8 algorithm // Geophysical Journal International. 2010. V. 183. P. 1525-1537.

120. Narteau C, Shebalin P., Holschneider M., Le Mouel J.-L., and Allegre C. Direct simulations of the stress redistribution in the scaling organization of fracture tectonics (SOFT) model // Geophysical Journal International. 2000. V. 141. P.115-135.

121. Newman W., Gabrielov A., and Turcotte D.L., ed. Nonlinear Dynamics and Predictability of Geophysical Phenomena. AGU, Washington, D. C., Int. Union of Geodesy and Geophys. 1994. 108 pp.

122. Nishenko S.P. Circum-Pacific Seismic Potential 1989-1999 // USGS, Open File Report. 1989. 126 pp.

123. Ogata Y., Utsu T. Katsura K. Statistical discrimination of foreshocks from other earthquake clusters // Geophysical Journal International 1996. V. 127. P. 17-30.

124. Olami Z., Feder H., Christensen K. Self-organized criticality in a continuous, nonconservative cellular automaton modeling earthqaukes // Physical Review Letters. 1992. V. 68. P. 1244-1247.

125. Omori F. On the aftershocks of earthquakes // J. of the College of Science. 1894. V. 7. P. 111-200.

126. Parisi G. Complex Systems: a Physicist's Viewpoint // cond-mat/0205297. 2002.

127. Pepke S.L. and Carlson J.M. Predictability of Self-Organizing Systems // Physical Review E. 1994. V. 50. P. 236-242.

128. Pietronero L., Vespignani A., and Zapperi S. Renormalization scheme for self-organized criticality in sand-pile models // Physical Review Letters. 1994. V. 72. P. 1690-1693.

129. Pradhan S. Physics models of earthquake // Science and Culture. 2007. V. 3. P. 4-7.

130. Pradhan S., Hansen A, and Hemmer P.C. Crossover Behavior in Burst Avalanches: Signature of Imminent Failure // Physical Review Letters. V. 95. P 125501-125505.

131. Priezzhev V.B. Structure of Two Dimensional Sandpile. I. Height Probabilities //J. Stat. Phys. 1994. V. 74. 955-979.

132. Raberto M., Scalas E., Mainardi F. Waiting-times and returns in high-frequency financial data: an empirical study // Physica A. 2002. V. 314 P. 749-755.

133. Rundle J.B., Turcotte D.L., and Klein W., ed. Geocomplexity and the Physics of Earthquakes. AGU, Washington, D. C. 2000. 296 pp.

134. Sadovsky M.A., Golubeva T.V., Pisarenko V.F., and Shnirman M.G. Characteristic dimensions of rock and heirarchical properties of seis-micity // Izv. Acad. Nauk SSSR, Phys. Solid Earth. 1984. V. 20. P. 87-96.

135. Shapoval A.B. Prediction problem for target events based on the interevent waiting time // Physica A. 2010. V. 389. P. 5145-5154.

136. Shapoval A.B., Shnirman M.G. Strong events in the sand-pile model // Int. J. Mod. Phys. C. 2004. V. 15. P. 279-288.

137. Shapoval A.B., Shnirman M.G. Scaling Properties of Strong Avalanches in Sand-Pile // Int. J. Mod. Phys. C. 2005. V. 16. P. 341-348.

138. Shapoval A.B., Shnirman M.G. Crossover Phenomenon and Universality: from Random Walk to Deterministic Sand-Piles // Int. J. Mod. Phys. C. 2005. V. 16. P. 1893-1907.

139. Shebalin P. Increased correlation range of seismicity before large events manifested by earthquake chains // Tectonophysics. 2006. V. 424. P. 335-349.

140. Shnirman M.G. and Blanter E.M. Self-organized criticality in a mixed hierarchical system // Physical Review Letters. 1998. V. 81. P. 54455448.

141. Shnirman M.G. and Blanter E.M. Scale invariance and invariant scaling in a mixed hierarchical system // Physical Review E. 1999. V. 60. P. 5111-5120.

142. Shnirman M.G. and Blanter E.M. Hierarchical models of seismicity // Nonlinear Dynamics of the Lithosphere and Earthquake Prediction / Keilis-Borok V.I. and Soloviev A. A. (eds.). Springer-Verlag, Heidelberg. 2003. P. 37-70.

143. Smith W. The b-value as an earthquake precursor // Nature. 1981. V. 289. P. 136-139.

144. Sornette D. Critical Phenomena in Natural Sciences: Chaos, Fractals, S elf-organization, and Disorder. Concept and Tools. Springer, Berlin 2000.

145. Sornette D. Predictability of catastrophic events: material rupture, earthquakes, turbulence, financial crashes and human birth // Proceeding of the National Academy of Sciences USA. 2002. V. 99. P. 25222529.

146. Sornette D., Knopoff L. The paradox of the expected time until the next earthquake // Bull. Seismol. Soc. Am. 1997. V. 87. P. 789-798.

147. Sornette D. and Zhou W.-X. Predictability of large future changes in major financial indices // International Journal of Forecasting. 2006. V. 22. P. 153-168.

148. Stanley H.E., Amaral L.A.N., Buldyrev S.V., Gopikrishnan P., Plerou V., and Salinger M.A., Self-Organized Complexity in Economics and Finance // Proceedings of the National Academy of Sciences USA. V. 99. 2002. P. 2561-2565.

149. Tebaldi C., De Menech M., and Stella A.L. Multifractal scaling in the Bak-Tang-Wiesenfeld sandpile and edge events // Physical Review Letters. V. 83. P. 3952-3955.

150. Turcotte D.L. Fractals and Chaos in Geology and Geophysics, 2nd edn. Cambridge Univer. Press, Cambridge 1997. 412 pp.

151. Utsu T. A statistical study on the occurence of aftershocks // Geophys. Mag. 1961. V. 30. P. 521-605.

152. Vere-Jones D. Earthquake prediction: a statistician's view // J. Phys. Earth. 1978. V. 26. P. 129-146.

153. Vere-Jones D. Forecasting earthquakes and earthquake risk // International J. of Forecasting. 1995. V. 11. P. 503-538.

154. Vorobieva I.A., Panza G.F. Prediction of the occurrence of Related Strong Earthquakes in Italy // Pure and Applied Geophysics. V. 141. 1993. P. 25-41.

155. Weatherley D., Jaume S.C., and Mora P. Evolution of stress deficit and and changing rates of seismicity in cellular automaton models of earthquake faults // Pure and Applied Geophysics. 2000. V. 157. P. 2183-2207.

156. Wiesenfeld K., Theiler J., and McNamara B. Analytical and numerical studies on deterministic sandpiles // Physical Review Letters. 1990. V. 65. P. 949-952.

157. Working Group on California Earthquake Probabilities. Probabilities of Large Earthquakes Occurring in California on the San Andreas Fault // U.S. Geol. Surv. Open File Report, 88-398. 1998. 66 pp.

158. Wyss M. (editor). Evaluation of proposed earthquake precursors. AGU, Washington, D. C. 1991. 94 pp.

159. Wyss M., Shimazaki K, and Urabe T. Quantitative mapping of a precursory quiescence to the Izu-Oshima 1990 (M6.5) earthquake, Japan // Geophysical Journal International. 1996. V. 127. P. 735-743.

160. Wyss M. Cannot Earthquakes Be Predicted? // Science. 1997. V. 278. P. 487-490.

161. Wyss M., Martyrosian A. H. Seismic quiescence before the M7, 1988, Spitak earthquake, Armenia // Geophysical Journal International. 1998. V. 134. 329-340.

162. Zhang Y.-C. Scaling theory of self-organized criticality // Physical Review Letters. 1989. V. 63. P. 470-473.

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00