автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Новые математические модели, методы и характеристики в теории самоорганизованной критичности

Введение.

1. Концепция мягкого моделирования.

2. Черты сложного.

2.1. Прерванное равновесие.

2.2. Фликкер-шум.

2.3. Степенные законы распределения вероятностей.

3. Парадигма самоорганизованной критичности.

3.1. "Песочная" модель.

3.2. Критичность и целостность.

4. Обзор некоторых самоорганизованно критических моделей.

4.1. DR-модель.

4.2. Критичность в неконсервативных системах.

4.3. Прерывистое движение. Модель блоков и пружин.

4.4. Модель разрыва пучка волокон.

4.5. Модель лесного пожара.

4.6. Модели биологической эволюции.

5. Структура диссертации.

Глава 1. Способы описания масштабно-инвариантных систем и свойства степенных распределений.

1.1. Обзор некоторых свойств степенных распределений.

1.2. Реальные степенные распределения. Масштаб и среднее, крупные и типичные события.

1.3. Роль больших и малых значений. Рубеж распределения.

1.4. Реальные степенные распределения вероятностей.

1.4.1. Конечно-размерный скейлинг.

1.4.2. Связь показателей степенных распределений.

1.5. Обработка выборок в ранговом представлении.

1.5.1. Ранговое представление.

1.5.2. Определение параметров распределения.

1.5.3. Проблемы измерений и формирования выборок.

Глава 2. Механизмы возникновения степенных распределений.

2.1. Степенные распределения с точки зрения теории ветвящихся процессов.

2.2. Ветвящиеся процессы с зависимыми частицами.

2.2.1. Простейший ветвящийся процесс с зависимыми частицами.

2.2.2. Линейный мультипликативный процесс.

Описание в терминах ветвящегося процесса.

2.3. Модели линейного роста в целостных системах.

2.3.1. Два типа степенных распределений. Примеры.

2.3.2. Модель А - простейшие правила.

2.3.3. Временная динамика модели А.

2.3.4. Модель В - правила с выбытием.

2.3.5. Линейный рост. Общий анализ.

Глава 3. Мягкая универсальность в модели освобождения поверхности.

3.1. Обзор моделей роста и освобождения поверхности и свойств экстремальных моделей.

3.2. Экстремальные модели в теории самоорганизованной критичности.

3.3. Управление самоорганизованно критическими системами на примере модели освобождения поверхности.

3.3.1. Представление об универсальности и управлении критичностью.

3.3.2. Модель с защитой минимумов или модель гекатонхейров.

Глава 4. Описание солнечных вспышек с позиций теории самоорганпзованной критичности.

4.1. Общий контекст проблемы.

4.1.1. LH-модель.

4.1.2. PKL-модель.

4.2. Модель аннигиляции магнитных элементов.

4.3. Роль инерции и теоретически анализ модели.

Основные результаты диссертации.

В предшествующем развитии нелинейной динамики можно выделить два больших периода, связанных с развитием двух ее парадигм. В рамках первой было показано, что во многих открытых нелинейных системах вдали от равновесия происходит самоорганизация. При этом обычно возникают пространственно-неоднородные стационарные (т.е. не зависящие от времени) распределения переменных, которые И.Р. Пригожин предложил называть диссипативными структурами [1]. Либо возникают периодические или непериодические колебания, которые с легкой руки Р.В. Хохлова стали называть автоволновыми процессами [2].

При построении второй парадигмы основное внимание было уделено динамическому хаосу - сложному непериодическому поведению в простейших детерминированных системах (т.е. в таких, где будущее однозначно определяется прошлым и настоящим и нет случайных факторов). Основным результатом этого периода стало установление факта пределов предсказуемости, т.е. существование горизонта прогноза - конечного времени, через которое динамический прогноз поведения системы становится невозможен. Были также описаны универсальные сценарии перехода от простого движения к хаотическому при изменении внешнего параметра.

Обе развитые парадигмы базируются на ключевом для нелинейной динамики представлении о самоорганизации, т.е. о выделении из большого, а иногда бесконечного числа переменных, описывающих систему, сравнительно небольшого числа величин, называемых параметрами порядка, к которым на больших временах подстраиваются остальные степени свободы системы. Активные исследования в рамках обеих парадигм проводились в течении 30 лет научной школой член-корр. РАН С.П. Курдюмова [3,4,5].

Одной из важнейших проблем современной нелинейной науки является вопрос о природе и свойствах сложного. Где граница, отделяющая простое от сложного? Какие механизмы приводят к появлению у сложной системы свойств, которых отсутствуют у ее частей, т.е. к целостному поведению? Можно ли выделить общие черты в поведении сложных систем разной природы и, если «да», то чем обусловлена эта общность? Каковы перспективы развития единых подходов к сложному, применимых не только в технических, но и в общественных науках, а также в науках о живом? Обусловлена ли сложность процессами самоорганизации или является организованной искусственно?

Поиск ответов на эти и многие другие вопросы связан со становлением новой парадигмы нелинейной динамики - третьей по счету, - которая могла бы в полной мере претендовать на звание "науки о сложности" (science of complexity). Она призвана сформировать язык для описания свойств целостности и системности, катастрофического и рефлексивного поведения, необратимо развивающихся систем, взаимодействия явления и процессов разных масштабов.

Этот круг тем обычно обозначают словосочетанием "жизнь на кромке хаоса", хотя, по-видимому, более точной является метафора С.П. Обухова о скольжении вдоль этой кромки [6], поскольку сложное не вытеснено на кромку, а только на ней и может существовать.

Можно сказать, что создаваемая парадигма сама, в некотором смысле, лежит на кромке хаоса, т.е. на стыке двух предшествующих парадигм. Сами они слишком просты, чтобы описывать сложное, ведь поведение изучаемых в их рамках систем достаточно однородно - диссипативные структуры "одинаково регулярны", хаос - "одинаково нерегулярен".

Кроме того, целостное поведение предполагает не только выделение параметров порядка из числа старых переменных, но и формирование в процессе самоорганизации новых, что также выходит за рамки парадигм самоорганизации и хаоса.

Основные результаты диссертации

1. Введены две новые статистические характеристики, адекватные свойствам систем, поведение которых описывается степенными законами распределения вероятностей. Первая, названная масштабом, определяет характерный размер крупных событий, происходящих в системе. Вторая - рубеж - дает представление о соотношении крупных и мелких событий.

2. Проведено исследование ветвящихся процессов как механизма возникновения степенных распределений вероятностей. Рассмотрена также связь ветвящихся процессов с зависимыми частицами и линейного мультипликативного процесса. Построены модели линейного роста, приводящие к степенным распределениям. Тем самым продемонстрирована принципиальная возможность возникновения степенных распределений в линейных системах.

3. Предложен вариант самоорганизованно критической модели освобождения поверхности, демонстрирующий явление мягкой универсальности, заключающееся в возможности непрерывного изменения одного из критических индексов системы путем вариации управляющего параметра без воздействия на остальные индексы.

4. Построена двумерная самоорганизованно критическая модель солнечных вспышек, представляющая их как лавинообразный процесс аннигиляции противоположно направленных трубок магнитного поля в солнечной хромосфере. Эта модель дает простое качественное объяснение механизма развития вспышек и их статистики.

Считаю приятным долгом поблагодарить С.П. Курдюмова и Г.Г. Малинецкого за поддержку и внимание к работе, а также В.А. Шупера, Ю.А. Данилова, И.В. Кузнецова, А.Б. Потапова и М.А. Лившица за полезное обсуждение и помощь при подготовке работ, на основе которых была написана эта диссертация. Особую признательность хочется выразить А.Р. Осокину, в соавторстве с которым были получены результаты, легшие в основу четвертой главы диссертации.

1. НиколисГ., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. - М.: Мир, 1979. -512 с.

2. Зыков B.C. Моделирование волновых процессов в возбудимых средах. М.: Наука, 1984. -166 с.

3. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992. - 544 с.

4. Режимы с обострением. Эволюция идеи: Законы коэволюции сложных структур/ Сер. "Кибернетика: неограниченные возможности и возможные ограничения". М. Наука, 1998. - 255 с.

5. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику/ Сер. "Кибернетика: неограниченные возможности и возможные ограничения". М.: Наука, 1997.-255 с.

6. Obukhov S.P. Self-organized criticality: Goldstone modes and their interactions// Phys. Rev. Lett. 1990. V.65, N12, p.1395-1398.

7. Gould S.J., Eldredge N. Punctuated equilibrium comes of age// Nature. 1993. V.366, p.223-227.

8. BakP., SneppenK. Punctuated equilibrium and criticality in a simple model of evolution// Phys. Rev. Lett. 1993. V.71, N24, p.4083-4086.

9. Bak P., Tang C. Earthquakes as a self-organized critical phenomenon// Journal of Geophysical Research B. 1989. V.94, N11, p.15635-15637.

10. DuttaP., Horn P.M. Low-frequency fluctuations in solids: 1/f noise// Reviews of Modern Physics 1981. V.53, N3, p.497-516.

11. Weissman M.B. 1/f noise and other slow, nonexponential kinetics in condensed matter// Reviews of Modern Physics. 1988. V.60, N2, p.537-571.

12. Sole R. V., Bascompte J. Are critical phenomena relevant to large-scale evolution?// Proc. R. Soc. London B. 1996. V.263, p.161-168.

13. SoleR. V., ManrubiaS.C., BentonM., BakP. Self-similarity of extinction statistics in the fossil record//Nature. 1997. V.388, p.764-767.

14. Vattay G., Harnos A. Scaling behavior in daily air humidity fluctuations// Phys. Rev. Lett. 1994. V.73, p.768. http://xxx.lanl.gov/abs/adap-org/9311004

15. LowenS.B., TeichM.C. Fractal renewal processes generate 1 If noise// Phys. Rev. E. 1993. V.47, N2, p.992-1001.

16. MaslovS., PaczuskiM., BakP. Avalanches and 1 If noise in evolution and growth models// Phys. Rev. Lett. 1994. V.73, N16, p.2162-2165.

17. Newman M.E.J., SibaniP. Extinction, diversity and survivorship of taxa in the fossil record. http://xxx.lanl.gov/abs/adap-org/9811003

18. Newman M.E.J. A model of mass extinction// J. Theor. Biol. 1997. V.189, p.235-252.

19. SoleRV., ManrubiaS.C. Criticality and unpredictability in macroevolution// Phys. Rev. E. 1997. V.55, N4, p.4500-4507.

20. SneppenK., BakP., Flyvbjerg Я, Jensen M.H. Evolution as a self-organized critical phenomena// Proc. Natl. Acad. Sci USA. 1995. V.92, p.5209-5213.

21. Sole R. V., AlonsoD., McKaneA. Scaling in a multispecies network model ecosystem. http://xxx.lanl.gov/abs/adap-org/9907010

22. KeittT.H., Stanley H.E. Dynamics of North American breeding bird populations// Nature. 1998. V.393, p.257-260.

23. Burlando B. The fractal dimension of taxonomic systems// J. Theor. Biol. 1990. V.146. P.99-114.

24. Burlando B. The fractal geometry of evolution// J. Theor. Biol. 1993. V.163. P.161-172.

25. Newman M.E.J., Eble G.J. Decline in extinction rates and scale invariance in the fossil record. http://xxx.lanl.gov/abs/adap-org/9809004

26. Newman M.E.J. Self-organized criticality, evolution and the fossil extinction record// Proc. R. Soc. London B. 1996. V.263, p. 1605.

27. Bak P. How nature works: the science of self-organized criticality. Springer-Verlag New York, Inc. 1996.-205 p.

28. Голицын Г.С. Землетрясения с точки зрения теории подобия// ДАН. 1996. Т.346, №4, с.536-539.

29. Reduction and predictability of natural disaster// Eds. J.B. Rundle, D.L. Turcotte, W. Klein/ Proceedings of the workshop "Reduction and predictability of natural disasters" held January 5-9, 1994 in Santa Fe, New Mexico. 1995.

30. Rhodes C.J., Anderson R.M. Power laws governing epidemics in isolated populations// Nature. 1996. V.381, p.600-602.

31. Turcotte D. Fractals and Chaos in Geology and Geophysics. Cambridge Univ. Press, 1997 (Second Edition).

32. Mantegna R.N., Stanley H.E. Scaling behavior in the dynamics of an economic index// Nature. 1995. V.376, p.46-49.

33. DharD., Majumdar S.N. Abelian sandpile model on the Bethe lattice. J. Phys. A: Math. Gen. 1990. V.23, p.4333-4350.

34. LuE.T., Hamilton R.J., McTiernan J.M., BromundK.R. Solar flares and avalanches in driven dissipa-tive systems// The Astrophysical Journal. 1993. V.412, p.841-852.

35. LuE.T., Hamilton RJ. Avalanches and the distribution of solar flares// The Astrophysical Journal. 1991. V.380, p.L89-L92.

36. Подлазов A.B., ОсошнА.Р. Самоорганизованно критическая модель солнечных вспышек// Математика. Компьютер. Образование. Вып.7, часть II, с.384-392/ Сборник трудов конференции. -М: Прогресс-Традиция, 2000.

37. Хайтун С.Д. Наукометрия. Состояние и перспективы. М.: Наука, 1983. - 279 с.

38. Хайтун С.Д. Проблемы количественного анализа науки. М.: Наука, 1989. - 280 с.

39. Петров В.М., Яблонский А.И. Математика и социальные процессы. (Гиперболические распределения и их применение)/ Сер. "Математика и кибернетика. М.: Знание, 1980. - 64 с.

40. Яблонский А.И. Математические модели в исследовании науки. М.: Наука, 1986. - 352 с.

41. Трубников Б.А. Закон распределения конкурентов//Природа. 1993. Т.11, с.3-13.

42. Хаггет П. География: синтез современных знаний. М: Прогресс, 1979.

43. Пивоваров Ю.Л. Основы геоурбанистки. Урбанизация и городские системы. М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1999. - 232 с.

44. Пиотровский Р.Г., Бектаев КБ., Пиотровская А.А. Математическая лингвистика. М.: "Высш. школа", 1977.

45. ОрловЮ.К. Невидимая гармония//Сб. "Число и мысль". Вып. 3, с. 70-106. -М.: Знание, 1980.

46. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. М.: Мир, 1967. - 752 с.

47. Bak P., Tang С., WiesenfeldK. Phys. Rev. Lett. 1987. V.59, p.381-384.

48. Bak P., Tang C„ WiesenfeldK. Self-organized criticality// Phys. Rev. A. 1988. V.38, N1, p.364-374.

49. Бак П., ЧенК. Самоорганизованная критичность// В мире науки. 1991. №3, с.16-24. Scientific American, 264(1) (January 1991).

50. Zhang Y-C. Scaling theory of self-organized criticality// Phys. Rev. Lett. 1989. V.63, N5, p.470-473.

51. Majumdar S.N., Dhar D. Height correlations in the Abelian sandpile mode// J. Phys. A: Math. Gen. 1991. V.24, p.L357-L362.

52. Ma Ш. Современная теория критических явлений. М.: Мир, 1980. - 298 с.

53. SornetteD., JohansenA., Domic I. Mapping self-organized criticality onto criticality. J. Phys. I (France). 1995. V.5. P.325.

54. Clar S., Drossel В., Schwabl F. Forest fires and other examples of self-organized criticality// J. Phys.: Cond. Mat. 1996. V.8, p.6803.

55. Bak P., Chen К Aggregate fluctuations from independent sectoral shocks: Self-organized criticality in a model of production and inventory dynamics// Ricerche Economiche. 1993. V.47, p.3.

56. HwaRC., Pan J. Self-organized criticality in quark-hadron phase transition// Nucl. Phys. A. 1995. V.590, p.601. http://xxx.lanl.gov/abs/hep-ph/9505376

57. MorleyP.D., Schmidt I. Platelet collapse model of pulsar glitches// Europhys. Lett. 1996. V.33, p.105-109. http://xxx.lanl.gov/abs/astro-ph/9411053

58. Nagatani T. Self-organized criticality in ID traffic flow model with inflow or outflow// J. Phys. A: Math. Gen. 1995. V. 28, p.L119-L124. http://www.iop.org/PEL

59. NagelK, RaschkeE. Self-organized criticality in cloud formation?// PhysicaA. 1992. V.182, p.519-531.

60. RinaldoA., Rodriguetz-Iturbe I., RigonR, Ijjasz-Vasquez E., Bras R.L. Self-organized fractal river network// Phys. Rev. Lett. 1993. V.70, N6, p.822-825.

61. ClaudinP., Bouchaud J.-P. Static avalanches and giant stress fluctuations in silos// Phys. Rev. Lett. 1997. V.78, N2, p.231-234.

62. Dhar D„ Ramaswamy R Exactly solved model of self-organized critical phenomena// Phys. Rev. Lett. 1989. V.63, N16, p. 1659-1662.

63. DharD. Self-organizing critical state of sandpile automation models// Phys. Rev. Lett. 1990. V.64, N14, p.1613-1616.

64. Feder H.J.S., FederJ. Self-organized criticality in a stick-slip process// Phys. Rev. Lett. 1991. V.66, N20, p.2669-2672.

65. Manna S.S. Critical exponents of the sand pile models in two dimensions// PhysicaA. 1991. V.179, N2, p.249-268.

66. OlamiZ, Feder H.J.S., Christensen К. Self-organized criticality in a continuous, nonconservative cellular automaton modeling earthquakes// Phys. Rev. Lett. 1992. V.68, N8, p. 1244-1247.

67. Christensen K., Olami Z Scaling, phase transition, and nonuniversality in a self-organized critical cellular-automaton model// Phys. Rev. A. 1992. V.46, N4, p. 1829-1838.

68. Grassberger P. Efficient large-scale simulations of a uniformly driven system// Phys. Rev. E. 1994. V.49, N3, p.2436-2444.

69. Bottani S., Delamotte B. Self-organized criticality and synchronization in pulse coupled relaxation oscillator systems: the Olami, Feder and Christensen model and the Feder and Feder model// PhysicaD. 1997. V. 103, N1 -4, p.430-441.

70. Klein W., Rundel J. Comment on "Self-organized criticality in a continuous, nonconservative cellular automaton modeling earthquakes"// Phys. Rev. Lett. 1993. V.71, N8, p.1288-1288.

71. Carlson J.M., Longer J.S. Properties of earthquake generated by fault dynamics// Phys. Rev. Lett.1989. V.62, N22, p.2632-2635.

72. Carlson J.M., Longer J.S. Mechanical model of an earthquake fault// Phys. Rev. A. 1989. V.40, N11, p.6470-6484.73. de Sousa VieiraM. Self-organized criticality in a deterministic mechanical model// Phys. Rev. A. 1992. V.46, N10, p.6288-6293.

73. Liu W.-S., Lu Y.N., Ding E.J. Dynamical phase transition and self-organized criticality in a theoretical spring-block model// Phys. Rev. E. 1995. V.51, N3, p.1916-1928.

74. HeldG.A., SolinaD.H. II, KeaneD.T., HaagW.J., Horn P.M., GrinsteinG. Experimental study of critical-mass fluctuations in an evolving sandpile// Phys. Rev. Lett. 1990. Y.65, N9, p.l 120-1123.

75. Jaeger H.M., Liu C., NagelS.R. Relaxation at the angle of repose// Phys. Rev. Lett. 1989. V.62, N1, p.40-43.

76. PaczuskiM, BoettcherS. Universality in sandpiles, interface depinning, and earthquake models// Phys. Rev. Lett. 1996. V.77, N1, p.l 11-114.

77. Andersen J. V., SornetteD., Leung K.-T. Tri-critical behavior in rupture induced by disorder// Phys. Rev. Lett. 1997. V.78, p.2140-2143.

78. Zhang S., Fan Q, DingE. Critical processes, Langevin equation and universality// Physics Letters A. 1995. V.203, p.83-87.

79. Владимиров В. А., Воробьев Ю.Л., Подлазов A.B. и др. Управление риском. Риск, устойчивое развитие, синергетика/ Сер. "Кибернетика: неограниченные возможности и возможные ограничения" -М.: Наука, 2000-432 с.

80. Подлазов А.В. Самоорганизованная критичность и анализ риска. Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2001. В печати.

81. Вак Р, Chen К., Tang С. A forest-fire model and some thoughts on turbulence// Physics Letters A.1990. V.147, N5-6, p.297-300.

82. DrosselB. and SchwablF. Self organization in a forest-fire model// Fractals. 1993. V.l, N4, p.1022-1029.

83. DrosselB., ClarS., SchwablF. Crossover from percolation to self-organized criticality// Phys. Rev. E. 1994. V.50, N4, p.R2399-R2402.

84. Grassberger P., KantzH. On a forest fire model with supposed self-organized criticality// Journal of Stat. Phys. 1991. V.63, N3-4, p.685-700.

85. Drossel B. Self-organized criticality and synchronization in the forest-fire model// Phys. Rev. Lett. 1996. V.76, p.936-939.

86. Roberts B.W., Newman M.E.J. A model for evolution and extinction// J. Theor. Biol. 1996. V.180, p.39.

87. BakP., Flyvbjerg H., LautrupB. Coevolution in a rugged fitness landscape// Phys. Rev. A. 1992. V.46, N10, p.6724-6730.

88. PaczuskiM, MaslovS., BakP. Avalanche dynamics in evolution, growth, and depinning models// Phys. Rev. E. 1996. V.53, N1, p.414-443.

89. Grassberger P. The Bak-Sneppen model for punctuated evolution// Phys. Lett. A. 1995. V.200, p.277-282.

90. Maslov S. Time directed avalanches in invasion models// Phys. Rev. Lett. 1995. V.74, N5, p.562-565.

91. KlafterJ., Shlesinger M.F., Zumofen G. Beyond Brownian motion// Physics Today. 1996 (February), p.33-39.

92. Sole R. V., Manrubia S.C. Extinction and self-organized criticality in a model of large-scale evolution// Phys. Rev. E. 1996. V.54, N1, p.R42-R45.

93. Newman M.E.J., Roberts B. W. Mass-extinction: Evolution and the effects of external influences on unfit species// Proc. R. Soc. London B. 1995. V.260, p.31.

94. Newman M.E.J., SneppenK. Avalanches, scaling and coherent noise// Phys. Rev. E. 1996. V.54, N6, p.6226-6231. http://xxx.lanl.gov/abs/cond-mat/9606Q66

95. Sneppen K., Newman M.E.J. Coherent noise, scale invariance and intermittency in large systems// Physica D. 1997. V. 110, p.209.

96. Золотарев B.M. Одномерные устойчивые распределения/ Сер. "Теория вероятностей и математическая статистика". М.: Наука, 1983. - 304 с.

97. Золотарев В.М. Устойчивые законы и их применения/ Новое в жизни, науке, технике. Математика, кибернетика. №11. М: Знание, 1984. - 64 с.

98. Kanamori В.Н., Anderson D.L. Theoretical basis of some empirical relations in seismology// Bull. Seism. Soc. Am. 1975. V.65, N5, p.1073-1095.

99. Подлазов A.B. Самоорганизованная критичность и анализ риска// Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2001. В печати.

100. Воробьев Ю.Л., Малинецкий Г.Г., Махутов Н.А. Теория риска и технологии обеспечения безопасности. Подход с позиций нелинейной динамики. Часть III Проблемы безопасности в чрезвычайных ситуациях. 1998. №11, с.5-21.

101. Воробьев Ю.Л., Малинецкий Г.Г., Махутов Н.А. Теория риска и технологии обеспечения безопасности. Подход с позиций нелинейной динамики. Часть II// Проблемы безопасности в чрезвычайных ситуациях. 1999. №1, с. 18-41.

102. Воробьёв Ю.Л., Малинецкий Г.Г., Махутов Н.А. Управление риском и устойчивое развитие. Человеческое измерение. Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. В печати.

103. Катастрофы и общество. М.: Контакт-Культура, 2000. 332 с.

104. Малинецкий Г.Г., Подлазов А.В. Парадигма самоорганизованной критичности. Иерархия моделей и пределы предсказуемости// Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 1997. Т.5, №5, с.89-106.

105. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.2. М.: Мир, 1967. - 752 с.

106. KadanoffL.P., NagelS.R, WuL., ZhouS. Scaling and universality in avalanches// Phys. Rev. A. 1989. V.39, N12, p.6524-6537.

107. TangC., BakP. Critical exponents and scaling relations for self-organized critical phenomenon// Phys. Rev. Lett. 1988. V.60, N6, p.2347-2350.

108. HentschelH.G.E., Family F. Scaling in open dissipate system// Phys. Rev. Lett. 1991. V.66, N15, p.1982-1985.

109. Rank Countries by Population, http://www.census.gov/ipc/wvyw/idbrank.html

110. Demographic Yearbook. Capital cities and cities of 100,000 and more inhabitants. http://www.un.org/Depts/unsd/demog/index.html

111. Харрис Т. Теория ветвящихся процессов. M.: Мир, 1966. - 355 с.

112. BakP., FlyvbjergH. Self-organization of cellular magnetic-domain patterns// Phys. Rev. A. 1992. V.45, N4, p.2192-2200.

113. Подлазов А.В. Новые аспекты самоорганизованной критичности// Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 1995, № 86.

114. SornetteD. Linear stochastic dynamics with nonlinear fractal properties// PhysicaA. 1998. V.250, N1-4, p.295-314. http://xxx.lanl.gov/abs/cond-mat/9709101

115. Sornette D. Multiplicative processes and power laws// Phys. Rev. E. 1998. V.57, p.4811-4813.

116. SornetteD., ContR. Convergent multiplicative processes repelled from zero: power laws and truncated power laws// J. Phys. France I. 1997. V.7, p.431-444.

117. Подлазов А.В. Модель гекатонхейров освобождения поверхности и мягкая универсальность в теории самоорганизованной критичности// Прикладная нелинейная динамика (известия ВУЗов). 1999. Т.7, №6, с.3-16.

118. KimJ.M., Kosterlitz J.M. Growth in restricted solid-on-solid model// Phys. Rev. Lett. 1989. V.62, N19, p.2289-2292.

119. KardarM., ParisiG., Zhang Y.-C. Dynamic scaling of growing interface// Phys. Rev. Lett. 1986. V.56, N9, p.889-892.

120. Medina E., Hwa Т., Kardar M., Zhang Y.-C. Burgers equation with correlated noise: Renormalization-group analysis, applications to directed polymers and interface growth// Phys. Rev. A. 1989. V.39, N6, p.3053-3075.

121. RubioMA., Edwards C.A., Dougherty A., GollubJ.P. Self-affine fractal interface from immiscible displacement in porous media// Phys. Rev. Lett. 1989. V.63, N16, p.1685-1688.

122. Kardar M., Zhang Y.-C. Scaling of directed polymers in random media// Phys. Rev. Lett. 1987. V.58, N20, p.2087-2090.

123. KrugJ. Scaling relation for a growing interface. Phys. Rev. A. 1987. V.36, N11, p.5465-5466.

124. KimJ.M., Moore M. A., Bray A.J. Zero-temperature polymers in a random potential// Phys. Rev. A. 1991. V.44,N4, p.2345-2351.

125. KimJ.M., BrayAJ., Moore M.A. Domain growth, directed polymers, and self-organized criticality// Phys. Rev. A. 1992. V.45, N12, p.8546-8550.

126. Bales G.S., RedfieldA.C., ZangwillA. Growth dynamics of chemical deposition// Phys. Rev. Lett. 1989. V.62, N7, p.776-779.

127. Zhang J, Zhang Y.-C., Alstrom P., Levinsen M.T. Modeling forest fire by a paper-burning experiment, a realization of interface mechanism// Physica A. 1992. V.189, N3-4, p.383-389.

128. Kerstein A.R., Ashurst Wm.T. Propagation rate of growing interface in stirred fluids// Phys. Rev. Lett. 1992. V.68, N7, p.934-937.

129. SneppenK. Self-organized criticality and interface growth in a random medium// Phys. Rev. Lett. 1992. V.69, N24, p.3539-3542.

130. KimJ.M., SarmaS.D. Dynamical universality of the nonlinear conserved current equation for growing interface// Phys. Rev. E. 1995. V.51, N3, p.1889-1893.

131. Horvdth V.K., Family F., Vicsek T. Anomalous noise distribution of the interface in two-phase fluid flow// Phys. Rev. Lett. 1991. V.67, N23, p.3207-3210.

132. Lam C.-H., Sander L.M. Surface growth with power-low noise// Phys. Rev. Lett. 1992. V.69, N23, p.3338-3341.

133. Lam C.-H., Sander L.M., WolfD.E. Surface growth with temporally correlated noise// Phys. Rev. A. 1992. V.46, N10, p.R6128-R6131.

134. VergelesM. Self-organization at nonzero temperature// Phys. Rev. Lett. 1995. V.75, N10, p. 1969-1972.

135. Leschhorn H., TangL-H. Avalanches and correlations in driven interface depinning// Phys. Rev. E. 1994. V.49, N2, p.1238-1245.

136. Maslov S., PaczuskiM. Scaling theory of depinning in the Sneppen model// Phys. Rev. E. 1994. V.50, N2, p.R643-R646.

137. ZaitsevS.I. Robin Hood as self-organized criticality//Physica A. 1992. V.189, N3-4, p.411-416.

138. PaczuskiM., BakP., MaslovS. Laws for stationary states in systems with external dynamics// Phys. Rev. Lett. 1995. V.74, N21, p.4253-4256.

139. Christensen K, Corral A., Frette V, FederJ., Jossang T. Trace dispersion in a self-organized critical system// 1996. Phys. Rev. Lett. V.77, N1, p. 107-110. http://xxx.lanl.gov/abs/cond-mat/9602067

140. Lauritsen K.B. and Alava M.J. Self-organized criticality and interface depinning transitions. In Press. http://xxx.lanl.gov/abs/cond-mat/9903346

141. Parker E.N. ApJ. 1988. V.330, p.474.

142. Priest E.R. Proceedings of 9th European Meeting on Solar Physics. In press.

143. KruckerS, BenzA.O. Energy distribution of heating processes in the quiet solar corona// The Astro-physical Journal. 1998. V.501, p.L213.

144. КуртВ., НыммикР.А. Распределение событий солнечных космических лучей по величине флюенса протонов// Космические исследования. 1997. T.35, №6, с.598-609.

145. Crosby N.В., VilmerN., LundN., Sunyaev R. Deka-keV X-ray observations of solar bursts with WATCH/GRANAT: frequency distributions of burst parameters// Astron. Astrophys. 1998. V.334, p.299-313.

146. Crosby N.B., Aschwanden M.J., Dennis B.R. Sol. Phys. 1993. V. 143, p.275-299.