автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Вопросы построения программной траектории выведения ракеты-носителя с космическим аппаратом

На правах рукописи

МАЗГАЛИН Дмитрий Вениаминович

ВОПРОСЫ ПОСТРОЕНИЯ ПРОГРАММНОЙ ТРАЕКТОРИИ ВЫВЕДЕНИЯ РАКЕТЫ-НОСИТЕЛЯ С КОСМИЧЕСКИМ АППАРАТОМ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Р МАР ДОЗ

Екатеринбург — 2013

005050322

Работа выполнена в отделе прикладных проблем управления ФГБУН Институт математики и механики им. H.H. Красовского Уральского отделения Российской академии наук.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

с.н.с Кукушкин Александр Петрович

Официальные оппоненты: Чепцов Александр Георгиевич,

доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАН,

ФГБУН Институт математики и механики

им. H.H. Красовского Уральского отделения

Российской академии наук,

заведующий отделом управляемых систем

Вельский Лев Николаевич, кандидат технических наук, ФГУП Научно-производственное объединение автоматики имени академика H.A. Семихатова, заместитель генерального директора по ракетно-космической тематике

Ведущая организация: ОАО «Государственный ракетный центр

имени академика В.П. Макеева», г. Миасс

Защита состоится «2JÜ» MW7Ü 2013 года в часов на заседании диссертационного совета Д 212.285.25 на базе ФГАОУ ВПО «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина» по адресу:

620000, г. Екатеринбург, пр. Ленина, 51, комн. 248, зал заседаний диссертационных советов.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГАОУ ВПО «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина».

Автореферат разослан

" /5"" cpejfylQAJ? . 2013 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

В.Г. Пименов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Одной из важных задач баллистического навигационного обеспечения запуска ракеты-носителя (РН) с космическим а.ппа-ратом (КА) является расчет программной номинальной траектории ее движения на активном участке (АУ). Построение программной траектории полета осуществляется в целях:

- оценки возможности выведения полезной нагрузки с помощью РН на заданную орбиту, то есть проведения проверки возможности реализации задачи пуска;

- получение исходной информации по параметрам-траектории полета для расчета коэффициентов бортового полетного задания.

Построение программного движения должно осуществляться с выполнением условий:

- оптимальности программного движения по критерию максимизации веса выводимой РН на заданную орбиту;

- падения отделяемых элементов конструкции РН в заданные районы.

В настоящее время предъявляется ряд принципиально новых условий:

- должны учитываться изменения по условиям пуска, в первую очередь данные по систематике ветра и уточнения по массовым характеристикам РН;

- построение программного движения должно проводиться с учетом огра^ ничений по углам атаки, скольжения и угловым скоростям разворота РН, обусловленных минимизацией поперечных перегрузок на атмосферном участке полета и конструктивными особенностями носителя;

- выведение КА на орбиты, задаваемые оскулирующими высотами над поверхностью общеземного эллипсоида;

- построение программного движения и подготовка бортового полетного задания должны проводиться оперативно перед стартом с применением штатной наземной аппаратуры системы управления.

Анализ известных алгоритмических решений построения программного движения РН на активном участке, опубликованных в литературе, показывает следующее. Базовыми монографиями по рассматриваемой тематике являются труды Д.Ф. Лоудена1, Р.Ф. Аппазова2, A.M. Летова3, Ю.Г. Сихарулидзе4, О.М. Алифанова5.

1 Лоудеи Д.Ф. Оптимальные траектория для космической навигации. М.: Издательство МИР. 1966

2Аппазов Р.Ф., Сытин О.Г. Методы проектирования траекторий носителей и спутников Земли. М.: Наука. 1987.

3Летов A.M. Динамика полета н управление. М.: Наука. 1969.

4Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика летательных аппаратов. М.: Бином. 2011.

5Алифанов О.М. Баллистические ракеты и ракеты-носители. М.: Дрофа. 2004.

Исследования, изложенные в монографиях, проводились при предположении, что за управляющий параметр принимается угол ориентации вектора тяги по углу тангажа, угол рыскания полагается равным нулю.

В монографиях А. Брайсона, Хо Ю-ши6 методами классического вариационного исчисления и Дж. Лейтмана7 на основе принципа максимума Понтря-гина определена структура оптимального программного управления на безатмосферном активном участке при описании гравитационных сил плоскопараллельным однородным гравитационным полем.

Оптимальная программа угла тангажа представляется дробно-линейным тангенсом, то есть

где $(£) - угол тангажа, ta - начало движения, с* - параметры управления.

Для определения параметров управления с* необходимо проводить решение двухточечной краевой задачи.

В работе А.П. Кукушкина8 исследуется структура оптимального по быстродействию управления, когда в качестве управления принимается нормальное ускорение.

Общие принципы управления полетом и построения программного движения рассматриваются в монографиях Г.Н. Разоренова9, А.П. Разыграева10. В монографии под общей редакцией профессора Г.Н. Лебедева11 исследованы вопросы построения программного движения РН с использованием градиентных методов определения управления.

Общие теоретические и практические вопросы построения оптимального программного движения с использованием градиентных методов рассмотрены в монографиях Р.П. Федоренко12 и Э.П. Сейдж, Ч.С. Уайт13. В связи с большой сложностью и временными затратами, градиентные методы нельзя применить в случае оперативного расчета полетного задания РН.

На предприятии ФГУП НПО автоматики им. академика Н.А. Семихатова при создании системы управления РН Союз-2 проводились исследования по методам построения программной траектории. Тем не менее, задача построения программного движения для трехступенчатой РН типа Союз-2 не имеет

6Брайсон А., Хо Ю-ши. Прикладная теория огггимального управления. М.: Издательство МИР. 1972.

тЛейтман Дж. Введение в теорию оптимального управления. М.: Наука. 1968.

8Кукушкин А.П. Исследование структуры оптимальных по быстродействию траекторий в плоском поле тяготения. Сб. статей. Вопросы оптимизации нелинейных систем автоматического управления. Сверд-лш«:к.: УНЦ АН СССГ. 1975.

9Разоренов Г.Н. Системы управления летательными аппаратами. М.: Машиностроение. 2003.

10Разыграев А.П, Основы управления полетом космических аппаратов. М.: Машиностроение. 1990.

11Лебедев Г.Н. Системы управления летательными аппаратами. М-: Издательство МАИ. 2007.

12Федоренко Р.П. Приближенпое решение задач оптимальпого управления. М.: Наука. 1978

,3Сс;йдж Э.П., Уайт Ч.С. Онтимальпос управление системами. М.: Радио и снизь. 1982.

полного решения, и его поиск является актуальной проблемой.

Цель работы. Разработка аналитических и численных методов расчета программной номинальной траектории выведения РН на орбиту, при использовании которых обеспечивается выполнение требований, предъявляемых к построению программного движения.

Методы исследования. Основные результаты базируются на использовании теории оптимального управления (принцип максимума Понтрягина), численных методах нелинейного программирования и линейной алгебры, на результатах теории движения тел небесной механики.

Научная новизна работы. В работе получены следующие новые результаты.

1. Решена задача определения параметров оскулирующей орбиты14 при ее задании высотами, отсчитываемыми от поверхности общеземного эллипсоида. Получены в аналитическом виде ограничения на задающие орбиту параметры, выполнение которых достаточно для существования и построения соответствующей им оскулирующей орбиты. Разработан вычислительный метод расчета параметров оскулирующей целевой орбиты при отсчете высот от поверхности общеземного эллипсоида.

2. Для задачи построения программного движения на атмосферном участке полета РН были разработаны:

- способ построения программного управления по углам тангажа и рыскания на атмосферном участке полета, обеспечивающий прохождение участков траектории с повышенными скоростными напорами с соблюдением заданных ограничений на углы атаки и скольжения в условиях воздействия систематических составляющих скорости ветра;

- способ определения азимута пуска и параметра программы по углу атаки, при которых обеспечивается приведение точки падения корпуса первой ступени в разрешенный район.

3. Для задачи построения программного движения на безатмосферном участке полета конечной (третьей) ступени РН разработан метод, в котором исходная задача разделяется на следующие подзадачи:

- построение оптимального управления боковым движением с минимизацией потерь по кажущейся скорости в плоскости орбиты,

- построение оптимального управления вертикальным движением РН с минимизацией потерь по кажущейся скорости на тангенциальное направление скорости в плоскости орбиты на момент выведения,

- определение момента выключения двигательной установки (ДУ) третьей ступени по достижении требуемого значения тангенциальной скорости

14Эльнсберг П.Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли. М.: Наука. 1965.

и выбора приведенной широты точки выведения по минимуму расстояния до заданной орбиты по тангенциальному направлению.

Для каждой подзадачи найдена структура квазиоптимального управления при использовании в качестве управляющих параметров программных значений угловых скоростей разворота РН. Разработан численный метод определения параметров полученной структуры управления.

4. Исследована и подтверждена работоспособность разработанных алгоритмов и методов определения их параметров па реальных траекториях выведения РН типа Союз-2.

Практическая ценность работы. Разработанные в диссертации методы и алгоритмы построения программного движения использованы в научно-исследовательских и опытно-конструкторских работах, проводимых ФГУП НПО автоматики им. Н.А. Семихатова с участием ИММ УрО РАН. Способы построения программного движения на атмосферном участке полета первой ступени и на безатмосферном участке полета третьей ступени реализованы в системе подготовки полетного задания РН Союз-2.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-технических конференциях, семинарах, научно-технических советах предприятий и организаций, в том числе на шестых научных чтениях по военной космонавтике памяти М.К. Тихонраво-ва "Космос и обеспечение безопасности России" (г. Юбилейный, 2006 г.),на 3 Международной конференции "Параллельные вычисления и задачи управления памяти И.В. Прангишвили" (г. Москва, 2006 г.), научно-технической конференции "Проблемные вопросы открытия и эксплуатации трасс запусков космических аппаратов, баллистического и метеорологического обеспечения пусков ракетоносителей" (г. Москва, 2010 г.).

Публикации. Основные результаты работы изложены в 7 статьях, список которых приведен в конце реферата. Из них две опубликованы в рецензируемых научных журналах, определенных ВАК. В совместной работе [3] А.П. Кукушкину принадлежит постановка задачи получения первых интегралов для уравнений принципа максимума на основе свойства симметрии, а диссертанту - вывод интегралов и определение структуры оптимального управления. В работе [2] В.И. Починскому принадлежит постановка задачи и реализация разработанного метода непосредственно в системе подготовки полетного задания в НАСУ РН Союз-2, а диссертанту - разработка структуры управления, разработка метода определения азимута пуска и программы угла тангажа на атмосферном участке полета РН, результаты исследований по вычислительным методам определения азимута и параметров программы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,

четырех глав, двух приложений и списка цитируемой литературы. Главы разбиты на разделы. Объем диссертации составляет 1.36 страниц текста, в том числе 14 таблиц, 12 рисунков. Список цитируемой литературы содержит 47 названий.

Содержапие диссертации. Исследуемое движение носителя описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений девятого порядка:

' dx/dt = V,

dV/dt = Wn(t, х, 1?, ф) + WA(t, х, V, i9, ф) + g(x), < dm/dt = —jU, (1)

dd[dt = Uö(t), ^ dip/dt =

где x 6 R3 - вектор координат, V £ Я3 - вектор скоростей, т — текущая масса носителя, ц - величина секундного расхода. Начальный момент ig и начальные условия для этой системы считаем известными: x(to) = xq, V(to) = Vo, i9(to) = ¿'о, Ф(^о) = Фа- Момент окончания активного участка tj не фиксирован. Явные выражения для вычисления гравитационного ускорения д(х) е R3, реактивного ускорения \Уц(Ь,х,д,ф) е R3, аэродинамического ускорения WA(t, х, V, -д, ф) е R3 приведены в трудах Р.Ф. Аппазова2.

В момент окончания движения tf должно обеспечиваться выведение РН на околоземные эллиптические орбиты. Уравнение орбиты имеет вид:

F1(x(tf),p,e,u,ul) = 0,Р2{У(^),р,е,и,щ) = О,FUF2 6 Я3, (2)

где р - фокальный параметр орбиты, е - эксцентриситет орбиты, и - текущее значение приведенной широты. Значения р, е вычисляются через задаваемый набор параметров (in,ri,h2,h\,ui), где in - угол наклона плоскости орбиты к экватору, £1 - долгота восходящего узла в точке выведения; ^ - максимальная высота над поверхностью Земли; h\ - минимальная высота над поверхностью Земли, щ - приведенная широта точки орбиты с минимальной высотой.

Угловые скорости 11$, Щ изменения углов ф(углы тангажа и рыскания) рассматриваются как управляющие воздействия, ограниченные по величине неравенствами |t/,j(f)| < Ugr, \U^(t)\ < Ugr, п.в. t 6 [to,tf\.

На участке полета первой ступени имеются ограничения на возможные значения фазовых координат;

- вертикальный полет ($(£) = тг/2, ф{Ь) = 0) на начальном участке t € [i0, inri], где tnrt — момент окончания участка вертикального полета;

- полет с выполнением ограничений по величинам углов атаки и скольжения при прохождении участка повышенных скоростных напоров;

2Аппазов Р.Ф., Сытин О.Г. Методы проектирования траекторий лосктелей и спутников Земли. М.: Наука. 1987.

- набранные параметры движения на момент окончания полета первой ступени должны обеспечивать попадание отделяемых элементов конструкции в заданный район.

В работе решаются следующие задачи:

1. Определение параметров орбиты и вычисление по ним терминальных условий на момент tf окончания движения носителя по задаваемым величинам (г„,Ü,h2,hi,ui) над поверхностью общеземного эллипсоида.

2. Построение управления на участке полета первой ступени с обеспечением падения отделяемых элементов конструкции в заданный район падения и выполнения ограничений по углам атаки и скольжения.

3. Определение квазиоптимального управления (структура управления и значения его параметров) при движении носителя на участке полета третьей ступени. Система уравнений движения носителя на участке полета третьей ступени, где отсутствуют аэродинамические силы, получается из системы (1) обнулением Wa и имеет вид:

' dx/dt = V, dV/dt = WR(x,ti,i>) + g(x),

dm/dt = —ß, (3)

dd/dt = U^(t), . dip/dt = ЩЦ).

Требуется при заданных начальных условиях найти управление Щ, удовлетворяющее ограничениям, обеспечивающее выведение на эллиптическую орбиту и минимизирующее значение функционала J — —m(tf).

Во ВВЕДЕНИИ обосновывается актуальность темы, формулируется цель диссертационной работы, содержится обзор имеющихся работ по исследуемой тематике.

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ исследуется задача определения параметров эллиптической орбиты по заданным условиям на момент окончания выведения РН. Эллиптические орбиты используются для описания целевого множества в терминальном методе наведения при нахождении программного движения. Для РН типа Союз-2 эллиптическая орбита задается следующим составом параметров: углом наклона плоскости орбиты к экватору (г„), долготой восходящего узла (П) в точке выведения; максимальной высотой (/¡,2) над поверхностью Земли; минимальной высотой (h{) над поверхностью Земли и значением приведенной широты (щ) в точке минимума расстояния от орбиты до поверхности Земли.

В качестве модели поверхности Земли могут задаваться сфера среднего радиуса или общеземной эллипсоид. Постановка подобной задачи содержит-

ся в монографии Р.Ф. Аппазова, О.Г. Сытина, а также в работе И.К. Ба-жинова, В.П. Гаврилова15. Там же содержится решение задачи определения параметров орбиты при отсчете высот от сферы.

В диссертационной работе проведено исследование и разработан метод определения параметров эллиптической орбиты с отсчетом высот от общеземного эллипсоида при ее задании выше описанным составом параметров.

Текущее значение h высоты орбиты вычисляется по формуле

h — р/(1 + ecos(u — w)) — аог(1 — fcsin2u), (4)

где к = 0.5е2г sin2 in, aoz - большая полуось земного эллипсоида; e2¿ - квадрат второго эксцептриситета; р - фокальный параметр орбиты; и — приведенная широта; и - аргумент перигея; е - эксцентриситет орбиты.

Решается задача нахождения такой совокупности параметров р, е, и), задающих функцию (4), для которых точка минимальной высоты (щ, hi) и точка максимальной высоты (и2, hí) являются экстремальными. Под экстремальными точками (и, h) понимаются точки, которые удовлетворяют формуле (4) и обращают в ноль первую производную этой функции.

Теорема 1 определяет условия для параметров (гп, щ, h\, /12), задающих орбиту относительно общеземного эллипсоида, выполнение которых достаточно для существования соответствующей эллиптической орбиты.

Теорема 1. Эллиптическая орбита с параметрами (р, е, и>) при отсчете высот от общезелмого эллипсоида существует, если совокупность величин in, Щ, hu h2 где h2 > hi, h2 < 0.5aoz удовлетворяет условию (h2 - /ц) > \fÍkaoz. Если (h2—hi) < л/2kaoz, то для существования орбиты достаточно выполнения условия (h2 — h\) > kaoz max{c,os 2uL + 5 • 1СГ2 sin2ui, eos 2ui — 5 • 10~2sin2Mi}.

Доказательство теоремы является конструктивным и на его основе построен алгоритм определения р, е, и> - параметров эллиптической орбиты и и2 -приведенной широты точки, в которой достигается максимальная высота над поверхностью общеземного эллипсоида.

ВО ВТОРОЙ ГЛАВЕ приведена модель движения центра масс РН с учетом систематики ветра и проведены исследования по построению программного управления движением РН па атмосферном участке полета первой ступени с учетом изложенных ранее требований. Плоскость полета РН определяется заданием азимута пуска По.

15Бажинов И.К., Гаврилов В.П. Навигационное обеспечение полета орбитального комплекса «Салют-6» - «Союз»- «Прогресс». М.: Наука. 1985.

Программа по углу тангажа JÎpr(i) задается в виде:

п ,,ч Г 7Г/2, если tkp<t< t„rt, рт(- J \ 0(i) + a(i), если t > tnrt,

где a(t) = a exp(a(i - inrt))(l ~ exp(a(i - inrt))), 6{t) - угол тангажа вектора поточной скорости центра масс, a(i) - угол атаки, tnrt - момент окончания участка вертикального полета, tkp - момент начала движения РН, а. - амплитуда утла атаки, а - коэффициент развертки программы угла атаки по времени.

Программа по углу рыскания фрг(t) задается в виде:

Г 0, есл

Л ) I

. , . если tkp<t < ta,

1M«) = < ~™ieamt>tat

где <т(Ь) - угол рыскания вектора поточной скорости, 1а - момент достижения высоты ка и начало учета действия ветра при формировании программного управления. Вычисление управления Щ, Щ по угловым скоростям разворота по углам тангажа и рыскания на интервале 1), где и = £Пг« + проводится по соотношениям:

тт - / - , если 1(^+1) - < идг,

и* ~ \ и^Ы^м) ~ т))/^), если - !?(£{))/Д£| > и^,

Г (^(г1+1) - ф(и))/А«, если 1(^(^+1) - < ¿V,

и*-\ - если |(<М£;+1) - > ^г,

где ^ - левый конец интервала формирования программного управления, Д£ - величина интервала, 11дт - ограничение по угловой скорости разворота. На интервале полета управление Щ, Щ принимается постоянным.

Значения $,^(£¿+1), Фрг{и+г) вычисляются методом Эйлера по параметрам движения центра масс РН и ветра на момент ф{и) - имеющиеся на

момент углы тангажа и рыскания РН.

Значение параметра а выбирается из условия обеспечения величины модуля угла атаки |а(*)| < адт и а(£) < 0 на момент достижения высоты /га = 3.5 км. Значения ка, адг задаются разработчиком системы стабилизации исходя из конструктивных требований и модели движения.

Параметрами управления, с помощью которых можно обеспечивать нулевые значения прогнозируемых отклонений по дальности Ь и отклонению В па момент окончания работы ДУ первой ступени, являются а и По-

Определение параметров а, Пц производится из условия минимума отклонения точки падения корпуса первой ступени от центра разрешенного района:

min{ V/(L(â,n0))2 + (B(â,n0))2} = ттр(й,П0).

а,По б,По

Разработанный вычислительный метод нахождения значений й, По представляет собой итерационный способ, основанный на последовательной линеаризации отклонений L(ä, По), В(й, По) по приращениям Ай,ДП с ограничением приращения й на шаге по членам второго порядка.

Условие нахождения Дй,ДП на шаге:

min \Lo + L\ • Да|, где ¿о - L(ä, П0) - Ц (Я(й,П0)/||)„ L, = § - Ц • §/||, Aaffr <

VC

2 -£)/|0|, ДП = (—1)(5(й, По) + ^Да)/^, е - ограничение на величину определяющего члена второго порядка.

В качестве начального приближения (а, По) брались значения, полученные в предположении номинальных условий пуска и отсутствия вращения Земли.

Разработка специализированного вычислительного метода определения й, По обусловлена тем, что известные методы поиска минимума: метод наискорейшего спуска по градиенту функции с организацией поиска минимума целевой функции вдоль градиентного направления методом квадратичной аппроксимации, метод минимизации с использованием вторых производных (метод Ньютона второго порядка) - приводили к медленной сходимости или к расходимости процесса. Определение й, По методом Ньютона из условия решения системы уравнений Ь{ й, По) = 0, В (а, По) = 0 приводило при некоторых сочетаниях возмущений к расходящемуся процессу.

Разработанный способ определения (й, По) был исследован и протестирован на данных шести запусков РН Союз-2 при составляющих ветра, равных значениям, полученным по данным метеозондирования перед пуском, а также при задании систематических возмущений по термодинамическим характеристикам атмосферы и ветра для каждого месяца года. Полученные данные моделирования и результаты пусков при величине Д4 = 1 сек. показали хорошую сходимость метода и выполнение требований по точности построения программной траектории движения РН.

В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ проведено определение структуры оптимального управления при построении программного движения на участке выведения третьей ступени носителя, который заканчивается выведением на заданную орбиту.

Движение рассматривается в орбитальной системе координат4 Ощт^щ, ориентация вектора тяги задается орбитальными углами тангажа (И) и рыс-

4Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика летательных аппаратов. М.: Бином. 2011.

кания (ф).

Система уравнений движения (3) третьей ступени носителя на последнем участке активного полета в орбитальной системе координат имеет вид:

drji/dt = 774, dr¡i¡dt = 775, drj3/dt = т/6, dru/dt = дт fa ,V2,m) + р/т cos ■& cos ф, drj^/dt = gm(m,V2: Vs) + P/m sin tfcosi/',

< drje/dt = gnJjh, m, m) ~ P/m sin Ф, (5)

dm/dt = —/¿, dti/dt = Щ, йф/dt = Щ.

В (5) m - текущая масса PH, P - величина тяги ДУ РН, ц - секундный расход массы ДУ, 9щ{г}иЩ,т), i = 1,2,3 - проекции гравитационного ускорения.

Начальные условия (¿o, mo> ^о. Фо) известны. Значения Щ, Щ должны удовлетворять ограничениям: \Щ\ <11дг,\Щ\ < Ugr, Ugr = 1 град/сек.

Начальные значения углов тангажа и рыскания должны удовлетворять ограничениям |i?o| < тг/2, \фо\ < 7г/2.

Конечные терминальные условия (2) в орбитальной системе координат задаются в виде r]i(tf) = t¡íz-

Viz = О,

Щг = р/(1 + ecos(uQ - ш)), ( Viz = 0, •

Viz = \/аог9о(аог/р)(Л + eCQS(ц„ -?75г = \/aazgo{a0z/p)e sin(ite - ш), _ í?6z = 0.

Через tf обозначен момент выведения РН на заданную орбиту, иа - приведенная широта точки выведения.

В качестве критерия оптимальности программного движения принят максимум массы РН, выводимой на заданную орбиту. При условии непрерывности работы' ДУ максимизация выводимой массы РН эквивалентна минимизации времени выведения J = tj — to-

Таким образом, имеем следующую математическую постановку задачи: для автономной нелинейной системы (5), описывающей движение центра масс РН иа активном участке полета третьей ступени, требуется построить программное управление Uo, Щ, удовлетворяющее ограничениям и обеспечивающее переход системы из начального фазового состояния в терминальное (конечное) состояние за минимальное время.

Программы по углам тангажа и рыскания, построенные в орбитальной системе координат, пересчитываются в приборную инерциальную систему координат с помощью матрицы, вычисляемой по значениям широты точки старта tpst, долготы точки старта Asi, азимута пуска П0 и значений гп, Г2, иа.

Решение задачи построения оптимального управления полетом третьей ступени РН при описании ее движения уравнениями (5) с использованием принципа максимума Понтрягина приводит к необходимости решения двухточечной краевой задачи для системы нелинейных дифференциальных уравнений 18-го порядка.

Для преодоления возникающих существенных вычислительных трудностей в определении структуры управления осуществляется переход к модельному представлению гравитационного поля Земли. В качестве модели берется однородное параллельное гравитационное поле, построение которого проводится по координатам в момент начала управления r/f и координатам в конечной терминальной точке (г — 1,2,3).

9т = OmiifiiViz) = const. (7)

Выбор такой модели гравитационного поля позволяет получить простые по структуре, экономичные по времени решения алгоритмы управления, что важно с точки зрения их использования при построении программной траектории при оперативном расчете полетного задания. Одновременно при этом, как показали проведенные исследования, обеспечиваются требуемая точность управления по выведению на орбиту и малое отличие по величине выводимой массы РН по сравнению с вариантом точного описания гравитационного поля. Введение такого представления гравитационного ускорения позволяет свести определение структуры оптимального управления к последовательному определению структуры управления для бокового, вертикального и горизонтального движений РН, на которые распадается при использовании модели (7) общее движение, задаваемое системой (5).

Для обеспечения оптимальности использования энергетики при построении управлений боковым и вертикальным движениями вводятся дополнительные функционалы. Время окончания управления tf берется общим для указанных выше трех движений РН.

Определение оптимального управления для модельной задачи будем проводить на основе принципа максимума Понтрягина.

Система уравнений бокового движения для основных переменных записывается в виде:

dr^/dt = »fe,

dm/dt =дщ- (P/m) sin ф, dm/dt = —/i, dí/'/dí = Щ, где Р — const, дт = const.

Критерий оптимальности для построения управления:

Ч

~ J-ф — / (Р/т){ 1 — cosф)dт —> min. J

«0

Ограничение на управление

\Щ\ < Ugr.

Начальные условия на момент ¿о известны:

' m(to) = т(*о) = 1б1

m(ío) = то,

фЦо) = Фо,

\ф0\ < тг/2.

Терминальные условия на момент окончания движения t/:

= Viz, Vf>(tf) =

1p(tf) - свободно, tf - считается заданным.

O) (10)

(И)

(12)

Запишем Гамильтониан системы (8)

Н = ХзПб + Хе(дт ~ (P/m) sinф) - Xmß + ХфЩ+ +Хо(Р/т)(1 — cos^O-

Система (8) с критерием оптимальности (9) и ограничением (10) относится к классу систем, возможно имеющих участки особого управления, так как управление Щ входит в гамильтониан линейно.

Система уравнений для сопряженных переменных имеет вид:

' dXo/dt = 0, dXz/dt = 0,

dXe/dt = -Аз, (13)

dXm]dt = (P/m2)( Ао(1 — cos ф) — Aß simp), ч dX^/dt = (P/m)(Ag cos^A — AosinV>)>

причем tf) = 0 в силу условий трансверсальности.

Экстремальное управление, при его существовании, представляется в виде:

U _ í CVsign(AV;(í)), если ХфЦ) ф 0; ^ \ особое управление, если Л,^ (t) = 0.

Возьмем управление для системы (8) с критерием (9) со следующей структурой:

TT = / '§П(-Л6 - tfflto), если t0<t<tsi,\ . .

ф X A§cos2(arctg(-Ag + Ag ■ (í - ío))), если ís0 < t < t¡. 1 ;

Здесь и далее arctg означает главное значение функции, принимающей значение из интервала [—7г/2,7г/2].

Ему соответствует следующий закон изменения угла ip(t):

é(t) = / + ^^("^б _ tgV'oH* - ío). если tQ<t< tsip; Щ ' \ arctg(—Ag + A§ • (£ - í0)), если tsi, < t < t¡.

Особое оптимальное управление Щ = cos2 ф будет удовлетворять ограничению (10), если I А® I < Ugy

Для того, чтобы управление (14) переводило систему (8) из состояния (11) в состояние (12), значения параметров (А°, А°, t37j,) должны удовлетворять следующей системе:

t^, tf V6z = ri° + gm-{tf- to) - J(P/m) sin i¡>(i)dt - J{P/m) smi¡){t)dt,

ta t-йф

ts-ф

V3z = Щ tf

i + vi(tf - to) + - J(P/m)(tf - t) sinФ№-

(15)

-J(P/m){tf - t) sm.ф(t)dt,

¿»у

Фо + ¡7,^п(-А[! - tgф0)(ts-ф - ¿о) = аг^(-А§ + - ¿0)),

где si.il ф{£) в соответствии с законом управления (14) вычисляется по соотношениям

• / _ / 8т{ф0 + - tgфo){t - ¿о)) при t е Цо, Ъф),

ЗШV ~ \ зт(агс(,§(-А° + А§(* - «„))) при í €

Первое и второе уравнения системы (15) есть запись в интегральном виде первого и второго уравнений системы (8). Третье уравнение вытекает из

условия непрерывности по углу ф(£) и,одновременно, это соотношение для определения моментов времени, в которые производная ¿Хф/Л обращается в ноль.

Справедлива следующая теорема:

Теорема 2. Управление (14) для системы (8) с критерием (9), ограничением (10) и краевыми условиями (11), (12) является допустимым и удовлетворяет необходимым условиям оптимальности принципа максимума Понтрягина и условию Кэлли, если параметры А", А", ¿¡¡^ есть решение системы (15), А" удовлетворяет ограничению || < IIдт, а ^ - наименьшее значение £ £ [£0, Ь/], при котором величина производной <1\ф/сИ обращается в ноль.

Таким образом, определена структура оптимального программного управления боковым движением.

В целях получения представления втф в виде линейной функции от па^ раметров управления и, соответственно, более простых соотношений для нахождения параметров управления был введен упрощенный функционал для оценки потерь по кажущейся скорости из-за реализации бокового движения.

й = У №^(1 + Ь/4 + (6)2/8) яш2 фйт, (16)

¿0

где Ъ = 2(с1дг)2(\/2—1), йдг - верхняя граница возможных значений изменения синуса угла рыскания в полете (| з1п[ < ¿дг).

За счет использования упрощенного функционала могут возрасти потери по кажущейся скорости в плоскости орбиты. Оценка отличия точного функционала от упрощенного получена в теореме 3.

Теорема 3. Для функционала (9) и упрощенного функционала Зрф (16), при выполнении по траектории полета условий \ ыт ^(¿)1 < йдг, 0 ^ ¿¡¡Т < 1, 1^(4)1 < зг/2, справедлива оценка:

Ь

< (2-5Ь2 + 2-6(Ь3 + (^)262) + 2-7(^г)81 _ ^ ) ¡(Р/тп)<1т, (17)

¿0

где (¿о, tf) - интервал рассматриваемого участка полета.

Для РН типа Союз-2 на участке полета третьей ступени выполняются

ограничения < 1/2, < 1/2, /(Р/т)йг < 4000 м/сек. В этих усло-

Ьо

виях замена точного функционала на приближенный приводит к потере по

величине кажущейся скорости не более 5 м/сек (эквивалентно уменьшению выводимой массы РН на 15 кг).

Рассмотрим решение задачи определения структуры оптимального управления для системы (8) с упрощенным критерием (16).

Обозначим к = 1/(1 + 6/4 + Ь2/8).

Гамильтониан системы (8) с критерием (16) запишется в виде:

Н = А37?6 + Ав(дт - (P/m) sinф) - Xmß + + A0(P/m)A;_1(sin2 ф).

Возьмем управление для системы (8) с критерием (16) со следующей структурой:

TJ = / ^rSign(-feAg - sin^o), если t0 < t < t3i>\ . .

ф \ A§fc/cos(arcsin(-A;(Ag-Ag-(i-io)))), если < i < ¿,. У '

Ему соответствует следующий закон изменения угла ф(t):

j _ f Фо + Ugrsign(—kXß - sin ipo){t - к), если t0<t < t^;

VlJ' ~ \ arcsin(—A;(Aß - Ag ■ (f - i0)j), если t^<t< tf.

Для вычисления ф(Ь) должно выполняться условие

Для того, чтобы управление (18) переводило систему (8) из состояния (И) в состояние (12), значения параметров {А®, должны удовлетворять

следующей системе:

(19)

(20)

_ фо - £/srsign(fcAg + втф0)(^ - t0) = -arcsin(fcAg - k\%[tsi, - t0)),

где вга^(£) в соответствии с законом управления (18) вычисляется по соотношениям

. Г + г/гrSign(-fcЛg - вт^оК* - *о)) при t е [¿о, Ъф),

^ ~ \ 8т(агсзт(—- А§(£ - ¿0)))) при £ €

Справедлива следующая теорема:

Теорема 4. Управление (18) для системы (8) с критерием (16), ограничением (10) и краевыми условиями (11), (12) является допустимым и удовлетворяет необходимым условиям оптимальности принципа максимума Понтрягина и условию Кэлли, если параметры Л^, есть решение

системы (21), А° удовлетворяет ограничениям (19),(20), а наи-

меньшее значение £ € [¿о, £/], при котором величина производной й\ф/<И обращается в ноль.

Считая управление боковым движением построенным, рассмотрим вопрос о структуре управления вертикальным движением. Система дифференциала ных уравнений, описывающая вертикальное движение в рамках сформулированной задачи, берется в следующем виде:

¿т/Л — —(1, к <М/<11 = Щ.

Начальные условия на момент ¿о: гЦ, тц, - известны.Терминальные паг-раметры на момент условного окончания т^г, т]5г - заданы, - свободно, - считается формально заданным. Интервал управления [¿о,£/] фиксирован. Значение tf соответствует принятому при рассмотрении бокового движения. Имеется ограничение на управление вида \Щ\ < и^.

В качестве критерия оптимальности берется функционал

^ = [(1 _ сое 19) (Р/гп) соя 1р(1т тт. (23)

J и-я

и

Значение функционала равно потере кажущейся скорости по оси Ощ из-за реализации вертикального движения по переводу РН из начального состояния (£0]т?2. лТ) в конечное (г/,7&,

Выбранный функционал (23) обеспечивает набор максимума значения действительной скорости вдоль оси От]1- Решение по структуре управления вертикальным движением получается на основании теоремы 2. Повторяя выкладки, аналогичные проведенным при анализе бокового движения, получим

оптимальное управление, если оно существует, в виде

и = Г идг8щп(Х^)),если Ай(^) Ф О,

особое управление, если = 0.

Обозначим момент перехода с начального разворота на участок особого управления через ts#. Тогда значение синуса от программного угла тангажа, непосредственно входящего в уравнение изменения линейных координат (22), можно найти по соотношениям

' 9 = / + - ЪШ - ¿о))> если 10<Ь<

8т ~ I + (Л5(г))2, если и < % <

где А5(£) = А° — — ¿о) ~ решение сопряженной системы уравнений для системы (22).

Значение в силу непрерывности изменения угла находится из соотношения

■в0 + идгзщп(А° - tgtf(í))(ísl, - г0) = ап^(А° - ~ *о))-

Таким образом, определена структура управления вертикальным движением ракеты-носителя.

Система дифференциальных уравнений, описывающая горизонтальное движение, имеет следующий вид:

{¿Т]1 /ей = щ,

<1щ/сИ — дт + (Р/т) соэ ■д соэ ф, йт/<И = —/х.

Начальные условия на момент £о: Чъ *74>гоо ~ заданы. Конечные условия: Ли, Шх ~ заданы. Угловые программы $(£), ф(Ь) считаем известными функциями времени. Время окончания выведения не задано и рассматривается как параметр управления. Вторым управляющим параметром для достижения краевых условий берется значение приведенной широты точки выведения. Момент выдачи команды на выключение ДУ третьей ступени определяется по достижении заданного значения тангенциальной скорости. Выбор параметра иа (приведенной широты точки выведения) определяется из условия обеспечения выведения на орбиту. Одновременно с определением структуры оптимального управления проведена параметризация способа управления.

В ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ изложены результаты построения вычислительного метода определения параметров управления для участка полета третьей ступени и описания комплекса программ, разработанного для решения задач построения управления.

Система уравнений движения третьей ступени РН с учетом построенной структуры управления записывается в виде:

dm/dt = щ, drii/dt = 775,

dm/dt = 7/6)

dru/dt = gm (771,772,773) + P/m cos 1? cos ф, dr\b/dt = gm (771,772,773) + Р/тп sin 7? cos V, drja/dt = ^(771,772,773) - P/m sin?/;, m(i) —m0 — ß(t - tQ),

I m _ / tSÍ^o + ÍV^Í-^e - tS^o)(i - ío)), если t0<t< t^, ЩП ) ~ \ -Ag + Ag(i - i0), если < t < tf,

M\ - / + Usr siSn(As ~ tg^o)^ - ¿o)), если t0<t< f41?, ~ \ Ag - A°2{t -10), если irf < t < tf.

Здесь tf — момент окончания управления полетом. Начальные условия на момент t(¡ считаются известными: t0,r¡f(i = 1,2,6), то, т30, Фа-Вычисление sin a;, cosa: через tgx проводится по соотношениям: sin а; = tgx/i/l + tg2x, cosa: = l/\/l + tg2x.

Терминальные конечные краевые условия даются соотношениями (6). Так как правые части системы не являются дифференцируемыми функциями по искомым переменным, то применять для отыскания величин параметров управления метод Ньютона нельзя.16 В связи с этим в диссертационной работе был разработан специализированный итерационный метод поиска значений параметров ts^, Ag, A®, tS0, A?, A°, tf, ua.

Существенное упрощение процесса определения параметров управления достигается, если компоненты вектора скорости V3i = grii(jlj(T))dT и радиус-вектора rs¿ = — r)gr,i(r¡j(T))dr, обусловленные действием гравитационных сил, вычислять с использованием начальных (77°), конечных (гцг) условий и взятого интервала управления (ío, tf) по улучшенному методу трапеций с использованием первых производных.

Методические погрешности вычисления интегралов от проекции гравитационного ускорения убывают по мере уменьшения оставшегося времени движения и становятся практически незначительными (менее 2 • Ю-3 м/сек по скорости, 1 м по координате) за 50 секунд до окончания участка выведения. Запишем систему для параметров, определяющих боковое движение, с учетом выбранной структуры управления, способа вычисления составляющих

1бАфанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Наука. 2003.

от гравитационных сил, в интегральном виде. Vez

= VÍ + VS3- J(Р/т) sin(V>0 + tVsign(-A° - tgVo)(r - t0))dr+

t to t +X¡ j(P/rnWl + (X4-Xí{r-t0))4T - Aijjí^^dr,

tg\p

Viz = VÍ + Ve (Ь - to) + rs3 - (W - to) J(P/m) sin(^o+

ta tf

(24)

+Ugrsign(-Ag - tgV>b)(r - t0))dr + >%f-

t8í¡,

WM ¿T

y/l+W-Wr-to))2

tsip

ti

-Ag J{P/m){t¡ - r)(r - ío)/x/l + (Ag-^(r-ío))2dr,

tai>

■фо + fSrSÍgn(-Ag - ~ = arctg(-Ag + - í0)),

m(r) = m0 - (r - i0)¿í.

Будем решать систему (24) итерационным способом. Присвоим Af¿, A®, t31¡M входящим в систему (24) линейно, индекс г, а входящим нелинейно (под знаком функций) индекс г-1. В качестве начальных значений возьмем А°(0) = О, А§(0) = 0, 0) = í0. Для нахождения г'-го приближения (A°(i), А°(г), ts$(i)) получаем линейную систему. При практических вычислениях оказалось достаточно не более 10 итераций для получения коэффициентов программного управления с требуемой точностью.

Нахождение значений параметров управления А®, А° существенно упрощается, если для оценки потерь по кажущейся скорости использовать упрощенный функционал (16). В этом случае значения Ag, A¡j находятся из системы линейных уравнений. Значение ts1¡, определяется из уравнения

_ У>р + arcsin(fc(Ag - Ag(¿.,,¿, - to))) , ,

ts*~t0 Í7ffrsign(—fcAg — sin^o) ^ '

по методу сжатых отображений. В качестве нулевого приближения берется значение tQ. Итерационный процесс определения ts$ будет сходиться, если значение производной от правой части соотношения (25) по t¡будет по модулю меньше 1, то есть выполняется неравенство |Í7sr eos | < l.17 Вычисленные значения Ajj, А° определяют физически реализуемое управление,

17Деыидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной матетатики. М.: Наука. 1970.

если выполняется неравенство \к(\° - A°(i - io))| < 1 Для t G [to,f/]. Кроме того, третье уравнение в (21) при \ф\ < тт/2 имеет единственное решение, что при линейности первого и второго уравнений системы (21) обеспечивает единственность ее решения. Таким образом, найденное управление (18) с найденными значениями параметров в рамках модельной задачи с функционалом (16) будет глобально оптимальным.

Уравнения для нахождения параметров вертикального движения А°, А®, fslj записываются и решаются аналогично уравнениям для бокового движения. За действующее кажущееся ускорение принимается (Р/т) cos ф.

Для определения (u„,t/) будем использовать следующую систему уравнений:

ti

Viz = Va + К (tf) + J (P/m)cos ^ cos ^

(26)

mz = 4 + 4l(tf -tj) + rgi (tf) + J (tf- t) (£) cos д cos ф-dt.

to

Систему (26) предлагается решать следующим образом.

Берем сетку из Nu + 1 (Лгц - четное) возможных значений приведенных широт точки выведения: щ = щ+jdu, j = —Nu/2,..., -1, 0,1,..., Nv/2, где du - шаг по приведенной широте. Значение щ задается из физических соображений. В цикле по значениям щ проводится определение tf посредством решения первого уравнения системы (26) методом Ньютона, включая определение управления боковым и вертикальным движением (программ ^>(i),$(i)). Для первого шага значение t/ берется равным номинальному времени работы ДУ. Обозначим его через tf(iij). Далее с использованием второго уравнения (26) вычисляется разность йщ = t]u(uj) - rji(tf{uj)). Значение uj, при котором достигается минимум \dr]ij\ и соответствующее ему значение f/, принимаются за решение системы (26) uaitj.

Определение и уточнение параметров управления проводится на активном участке полета третьей ступени в опорные моменты времени tj — tо + jAt^, j = 1,2,.., где ¿о - начало участка, Д£з - шаг по опорным моментам времени, tj <tf — АЬз. Уточнение параметров управления прекращается за 30-40 сек. до окончания полета. Проведенные расчеты на траекториях выведения РН показали, что при значениях du=0.0003, Nn = 60, At3 = 10 сек обеспечивав ются требуемые точность построения программного движения и временные затраты на его нахождение.

Экспертная оценка построенного управления, проведенная ИММ УрО

РАН (эталонное управление строилось методом спуска в пространстве управлений с реализацией спуска на каждом шаге методом сопряженных градиентов), показала, что возможное увеличение выводимой массы РН при использовании эталонного управления не превышает 20 кг (0.2 % от ее значения)17.

Для проведения работ по расчету коэффициентов управления полученной структуры и оценок точности построения программной траектории были разработаны два программных комплекса. Первый комплекс предназначен для нахождения коэффициентов управления и расчета программной траектории движения центра масс РН на атмосферном участке полета первой ступени. Второй комплекс - для нахождения параметров целевой орбиты, расчета коэффициентов управления и программной траектории на участке полета третьей ступени (конечный участок выведения РН). Программные комплексы созданы на языке высокого уровпя Borland Pascal, включают в себя файлы основной программы, входящие в нее модули, текстовые файлы, содержащие исходные данные по условиям пуска, характеристики РН, признаки, задающие условия построения программной траектории, требования по точности пристрелки и число допустимых итераций.

Заключение.

1.Разработан способ нахождения параметров оскулирутощей орбиты при ее задании высотами, отсчитываемыми от поверхности общеземного эллипсоида.

2. Определена структура управления и разработан вычислительный метод определения параметров управления для построения программного движения на атмосферном участке полета РН в условиях учета систематики скорости ветра и ограничений по угловым скоростям разворотов РН.

3. Решена задача построения оптимального управления движением РН на участке полета третьей ступени. Доказано, что управление выбранной структуры для модельной задачи удовлетворяет необходимым условиям оптимальности. Разработан вычислительный метод определения параметров управления установленной структуры.

Основные результаты работы опубликованы в рецензируемых научных журналах и изданиях, определенных ВАК:

[1] Мазгалин Д.В. Построение способа управления ракетой-носителем при использовании в качестве управления программных угловых скоростей разворотов.// Информационно-управляющие системы. 2010. № 3(46). -С. 21-29.

17Костоусова Е.К., Починский В.И. О задачах выведения ракеты-носителя на заданные эллиптические орбиты. Труды Института математики и механики УрО РАН. Том 18 №3: ИММ УрО РАН. 2011.

[2] Мазгалин Д.В., Починский В. И. Метод определения азимута пуска и программы угла тангажа на атмосферном активном участке полета РН. // Вестник ЮУрГУ. Серия "Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника". 2010. - Вып. 12, № 22(198). - С. 47-50.

Другие публикации:

[3] Кукушкин А.П., Мазгалин Д.В. Структура оптимального управления при выведении полезной нагрузки на орбиту// Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 37-й Региональной молодежной конференции. - Екатеринбург: УрО РАН. 2006. - С. 335-340.

[4] Мазгалин Д.В. Построение программного управления боковым движением ракеты-носителя на участке полета последней ступени//Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 38-й Региональной молодежной конференции. - Екатеринбург: УрО РАН. 2007. - С. 301-306.

[5] Мазгалин Д.В. Построение программного движения РН на атмосферном участке полета. //Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 39-й Всероссийской молодежной конференции. - Екатеринбург: УрО РАН. 2008. - С. 275-281.

[6] Мазгалин Д.В. Построение эллиптической орбиты КА с заданными значениями высот относительно поверхности общеземного эллипсоида. // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 40-й Всероссийской молодежной конференции. - Екатеринбург: УрО РАН. 2009. -С. 241-246.

[7] Мазгалин Д.В. Способ построения программной траектории полета ракеты-носителя. // Наука и технологии: Материалы 32-й Всероссийской конференции. - Миасс: МСНТ. 2012. - С. 181-183.

Подписано в печать 11.02.2013. Формат 60x84 1/16

Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,-Ц_

Тираж 100 экз. Заказ № и

Отпечатано в типографии ИПЦ УрФУ 620000, Екатеринбург, ул. Тургенева, 4

Институт математики и механики им. H.H. Красовского Уральского отделения Российской академии наук

на правах рукописи

Jj^CVßJXAAMj

04201355157

Мазгалин Дмитрий Вениаминович

ВОПРОСЫ ПОСТРОЕНИЯ ПРОГРАММНОЙ ТРАЕКТОРИИ ВЫВЕДЕНИЯ РАКЕТЫ-НОСИТЕЛЯ С КОСМИЧЕСКИМ

АППАРАТОМ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: кандидат физ.-мат. наук, с.н.с. А.П. Кукушкин

ЕКАТЕРИНБУРГ — 2012

Содержание

Введение 4

Глава 1. Исследования по построению целевой орбиты РН 12

1.1 Способ задания орбиты на которую должен быть выведен РН . 12

1.2 Эллиптическая орбита с отсчетом высот от поверхности Земли сфера.................................14

1.3 Эллиптическая орбита с отсчетом высот от поверхности Земли общеземной эллипсоид........................15

1.4 Орбита в нормальном гравитационном поле............21

Глава 2. Построение программного движения РН на атмосферном участке полета 25

2.1 Анализ литературных данных ...................32

2.2 Структура программного управления на атмосферном участке полета.................................34

2.3 Определение параметров программной функции угла атаки и азимута пуска.............................37

2.4 Определение параметров управления методом последовательной линеаризации ..........................38

2.5 Результаты численного моделирования ..............45

Глава 3. Построение управления движением РН на участке выведения третьей ступени на орбиту 51

3.1 Модель движения. Математическая постановка задачи.....51

3.2 Анализ методов решения задачи по опубликованным данным. . 55

3.3 Декомпозиция задачи построения управления движением РН . 57

3.4 Структура оптимального управления боковым движением. ... 62

3.5 Структура управления для движения в плоскости орбиты ... 70

3.6 Построение программного движения в варианте приближенного оценивания потерь по кажущейся скорости ..........78

Глава 4. Алгоритм определения параметров управления для

участка полета третьей ступени РН 88

4.1 Система уравнений для определения параметров управления . . 89

4.2 Преобразование уравнений для определения параметров управления..................................90

4.3 Вычисление коэффициентов Ъц,Удг, гд{..............94

4.4 Определение параметров управления ...............100

4.5 Уточнение параметров управления по траектории полета .... 103

4.6 Оценка эффективности разработанного метода построения программного движения.........................105

4.7 Описание комплекса программ для решения задач построения управления..............................112

Заключение 122

Приложение 1. Построение программного движения на участке

полета второй ступени РН. 125

Приложение 2. Системы координат. 129

Введение

Одной из важных задач баллистического навигационного обеспечения запуска ракеты-носителя (РН) с космическим аппаратом (КА) является расчет программной номинальной траектории движения РН на активном участке полета. Построение программной траектории полета проводится перед запуском РН и осуществляется в целях:

- оценки возможности выведения полезной нагрузки РН на орбиту с заданными характеристиками при выделенных затратах по топливу, то есть проведения проверки возможности реализации задачи пуска;

- получения исходной информации для расчета параметров бортового полетного задания: программ по углам тангажа, рыскания, кажущейся скорости, коэффициентов и установочных значений функционалов управления и т.д.;

- получения исходной информации по траектории полета для систем слежения и внешних траекторных измерений;

- определения исходной информации для построения аварийных трасс полета.

Приведенный неполный перечень вопросов, для решения которых требуется знание траекторных параметров программного движения РН на активном участке, подтверждает важность правильного и оптимального решения задачи построения программного движения.

К построению программной траектории на активном участке полета ракеты-носителя, согласно составу задач баллистико-навигационного обеспечения подготовки к полетам и в период выполнения полета орбитального комплекса «Салют-6» - «Союз» - «Прогресс» [1],технического задания на разработку системы управления (СУ) РН по теме Союз-2 [2], ограничений на динамические параметры движения РН [13] предъявляются следующие требования:

- при непрерывной работе двигательных установок (ДУ) должно обеспечиваться выведение РН на эллиптические околоземные орбиты;

- программное движение должно быть оптимальным по критерию максимизации веса выводимого РН на заданную орбиту при выполнении краевых условий;

- отделяемые элементы конструкции РН (корпуса первой, второй ступеней) должны после отделения от РН и последующего полета по баллистической траектории попадать в центры разрешенных районов падения;

- задание орбиты, на которую должно обеспечиваться выведение РН по программной траектории, осуществляется следующими параметрами: углом наклона (гп), долготой восходящего узла (Г2), аргументом перигея (си), максимальной высотой (/12), минимальной высотой (/¿1). В качестве высот задаются их оскулирующие значения. За поверхность Земли для определения значений высот принимается поверхность общеземного эллипсоида или поверхность сферы радиуса Язг;

- ограничения по значениям программных угловых скоростей по углам тангажа и рыскания не более 1 град/сек по всей траектории; по углам атаки и скольжения не более 10-20 угловых минут в районе скоростей полета близких к звуковым (0, 7 < М < 1,3, где М - число Маха);

- программные значения по углам тангажа $(£) и рыскания ф(£) продольной оси РН должны лежать в диапазоне от минус 90 до плюс 90 градусов;

- должны быть обеспечены жесткие требования по точности построения программной траектории выведения.

Построение программной траектории с выполнением предъявляемых требований должно осуществляться с учетом следующих моделей описания внешних действующих факторов:

- описание нормального потенциала гравитационного поля и фигуры Земли берутся в соответствии с моделью "Параметры Земли 1990" [3]

- описание горизонтальной скорости ветра и термодинамических характе-

ристик атмосферы по ОСТ 92-5216-92 [4] при запуске с полигона Байконур, ОСТ 92-9704-95 [5] при запуске с полигона Плесецк и ГОСТ 4401-81 [6] в остальных случаях.

Существенно новым моментом в подготовке баллистических данных для пуска РН является обеспечение возможности оперативного уточнения, корректировки и изменения исходных данных на подготовку полетного задания. Это касается в первую очередь данных по массовым характеристикам РН, даты, времени пуска. Более точные данные по массовым характеристикам РН возможно получить по результатам определения плотности горючего с учетом результатов прогноза температуры внешней среды и анализа его сортности. Кроме того, потребность оперативного пересчета полетного задания возможна из-за переноса по тем или иным причинам времени, даты пуска, например, по метеоусловиям из-за сильного ветра, грозы и т.д.

Для выполнения этого условия подготовка полетного задания должна проводиться во время предстартовой подготовки на вычислительных средствах наземной автономной системы управления (НАСУ), вычислительные возможности которой по производительности существенно ниже цифровых вычислительных машин (ЦВМ) вычислительных центров. Время подготовки полетного задания, в которое входит время расчета программной траектории, не должно превышать 20 - 25 минут.

Алгоритмическое обеспечение построения программной траектории и подготовки полетного задания должно быть простым, полностью и надежно решать функциональные задачи, удовлетворять требованиям по точности решения и реализовываться на вычислительных средствах НАСУ.

Проведем анализ известных алгоритмических решений по построению программного движения РН на активном участке, опубликованных в литературе, и их соответствия ранее перечисленным условиям.

Базовыми монографиями по рассматриваемой тематике являются труды Д.Ф. Лоудена [7], Р.Ф. Аппазова, О.Г. Сытина [8], A.M. Летова [9], Ю.Г. Си-

харулидзе [10], Д.Е. Охоцимского [11]. Рассмотрение проблемы построения программного движения баллистической ракеты (БР) на активном участке с анализом и описанием существующих, применяемых методов содержится в монографиях Л.Н. Лысенко [12], О.М. Алифанова, А.Н. Андреева, В.Н. Тущина [13], Г.Н. Разоренова, А. Бахрамова, Ю.Ф. Титова [14].

В указанных работах содержится:

- описание уравнений движения РН и возможные способы их упрощения;

- общая математическая постановка задачи построения программного движения РН как вариационной задачи нахождения функции, доставляющей экстремум функционалу при наложенных связях в виде нелинейных дифференциальных уравнений;

- возможные способы задания программного движения на атмосферном и внеатмосферном активных участках в виде функций определенной структуры с параметрами;

- способы нахождения значений параметров структур на основе метода Ньютона посредством численного моделирования.

Исследования в монографиях проводились при выполнении следующих основных предположений:

- движение РН рассматривается как движение материальной точки под действием гравитационной, реактивной и аэродинамической сил;

- действие реактивной силы направлено по оси РН;

- при движении на атмосферном участке ветровые возмущения отсутствуют;

- программное движение по углу рыскания принимается равным нулю;

- рассматривается плоское движение и за управляющий параметр принимается угол ориентации вектора тяги по углу тангажа. На атмосферном участке в качестве управления принимается программное значение по углу атаки.

В монографиях А. Брайсона, Хо Ю-ши [15] методами классического вари-

ационеого исчисления и Дж. Лейтмана [16], [32] на основе метода принципа максимума Понтрягина определена структура оптимального программного управления на безатмосферном активном участке при выполнении следующих предположений:

- рассматривается плоское движение РН как материальной точки;

- реактивная тяга направлена по оси РН;

- аэродинамические силы отсутствуют;

- гравитационные силы описываются плоскопараллельным гравитацион-

ным полем;

- за управляющий параметр принято значение по углу тангажа. Получена структура управления по углу тангажа в виде «дробно-линейного» тангенса

гдд{г) = * +

Сз+С4(*-*о)

где $(£) - угол тангажа, ¿о ~ начало движения, с* - параметры управления.

Для определения параметров управления Сг необходимо проводить решение двухточечной краевой задачи.

В монографиях О.М. Алифанова, А.Н. Андреева, В.Н. Тущина [13], Л.Н. Лысенко [12], вышедших в начале 2000 годов, ставится задача определения программного движения на атмосферном участке с учетом ветровых возмущений. Задача рассматривается в рамках плоского движения. Значение угла рыскания полагается равным нулю. За управляющий параметр принимается коэффициент по углу атаки в заданной структуре. На безатмосферном участке предлагается программное движение по углу тангажа определять аналогично [10], в рамках модельной задачи движения в плоскопараллельном гравитационном поле. Ограничения по угловым скоростям разворотов РН не учитываются и конкретные решения по алгоритмическому обеспечению построения программного движения с учетом всего комплекса ограни-

чений на движение РН отсутствуют. В монографии под общей редакцией профессора Г.Н. Лебедева [17], трудах ИММ УрО РАН [26], [35] исследованы вопросы построения программного движения РН с использованием градиентных методов определения управления. Общие теоретические и практические вопросы построения оптимального программного движения с использованием градиентных методов рассмотрены в монографиях Р.П. Федоренко [20], Э.П. Сейдж, Ч.С. Уайт [21], Ф.Л. Черноусько, Н.В. Банничук [31]. В связи с большими сложностями и временными затратами градиентные методы, на настоящий момент времени, нельзя применить в случае оперативного расчета полетного задания РН.

На предприятии ФГУП НПО автоматики им. академика Н.А. Семихатова при создании системы управления РН Союз-2 проведена разработка системы подготовки полетного задания, включая расчет программной траектории движения. Вместе с тем, ряд вопросов по выбору и обоснованию структуры управления и способов определения параметров управления при построении программной траектории остаются открытыми.

Результаты проведенного анализа опубликованных материалов показывают, что задача построения программного движения РН типа Союз-2 на активном участке для условий и ограничений, приведенных выше, не имела известного полного решения и его поиск является актуальной проблемой.

Исследуемое движение носителя описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений восьмого порядка:

(1х/(И = V,

(IV/(11 = х, 0, <ф) + х, V, ф) + д{х), (1ф/(И =

к

где х £ В? - вектор координат, V €Е Я3 - вектор скоростей. Началь-

(1

ный момент ¿о и начальные условия для этой системы считаем известными: ж (¿о) — £о> о) — Ц): $(¿0) = Аь Ф^о) — ^о- Момент окончания активного участка £/ не фиксирован. Явные выражения для вычисления гравитационного ускорения д(х) £ Л3, реактивного ускорения х, ф) € Я3, аэродинамического ускорения е Я3 приведены в трудах Аппазова Р.Ф. [8].

В момент окончания движения tf должно обеспечиваться выведение РН на околоземные эллиптические орбиты. Уравнение орбиты имеет вид е, 1А,= 0 6 Д3, = 0 6 Я3, где р - фо-

кальный параметр орбиты, е - эксцентриситет орбиты, и - текущее значение приведенной широты. Значения р, е вычисляются через задаваемый набор параметров (гп,Г2,где гп ~ угол наклона плоскости орбиты к экватору, П - долгота восходящего узла в точке выведения, /¿2 - максимальная высота над поверхностью Земли, - минимальная высота над поверхностью Земли, щ - приведенная широта точки орбиты с минимальной высотой.

Угловые скорости £/$, 11ф изменения углов тр (углы тангажа и рыскания) рассматриваются как управляющие воздействия, ограниченные по величине неравенствами < идг, \Щ{1)\ < идг, п.в. £ £

На участке полета первой ступени имеются ограничения на возможные значения фазовых координат:

- вертикальный полет ($(£) = 7г/2, = 0) на начальном участке £ Е [¿о 5 ) где £пгг - момент окончания участка вертикального полета;

- полет с выполнением ограничений по величинам углов атаки и скольжения при прохождении участка повышенных скоростных напоров. При этом набранные параметры движения на момент окончания полета первой ступени должны обеспечивать попадание отделяемых элементов конструкции в заданный район.

Целью диссертационной работы является исследование для РН класса Союз-2 способов решения следующих задач.

1. Разработка метода построения целевой орбиты, на которую должен быть выведен РН, по задающим ее параметрам (углу наклона, долготе восходящего узла, максимальной и минимальной высотам).

2. Разработка способа управления движением центра масс РН для построения программной траектории на атмосферном участке полета с учетом:

- задания термодинамических характеристик атмосферы в соответствии с ОСТ [4], [5];

- выполнения ограничений по величинам углов атаки и скольжения по траектории программного движения;

- минимизации отклонения точки падения корпуса первой ступени (боковых блоков) после ее отделения от носителя и последующем движении по баллистической траектории от заданного центра района падения;

- выполнения ограничений на величины программных угловых скоростей, программных углов разворотов РН.

3. Разработка способа управления движением центра масс РН для построения программной траектории на безатмосферном участке полета третьей ступени с учетом:

- выведения максимальной массы РН на заданную орбиту;

- ограничений по программным значениям угловых скоростей, углов разворотов РН;

- выполнения условий по точности выведения.

Определение структуры оптимального управления при выполнении перечисленных условий, ее теоретическое обоснование и разработка численных методов нахождения значений ее параметров.

4. Проведение исследований по подтверждению правильности и эффективности предлагаемых решений методами математического моделирования.

Таким образом, исследуемые в диссертационной работе вопросы затрагивают построение оптимального программного движения РН на активном участке траектории при оперативном ее расчете в наземной аппаратуре систе-

мы управления в период подготовки к пуску и ограничениях на программные значения угловых скоростей и углов разворота РН.

Глава 1. Исследования по построению целевой орбиты РН

1.1 Способ задания орбиты на которую должен быть выведен РН

Орбита, на которую должно обеспечиваться выведение РН типа Союз-2, может задаваться следующими вариантами:

- эллиптическая орбита;

- первый виток в нормальном гравитационном поле.

Нормальное гравитационное поле описывается нулевой и второй зональной гармониками модели "Параметры Земли 1990".

Под