автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Вопросы математического моделирования, связанные с краевыми задачами для уравнения Рейнольдса теории газовой смазки

На правах рукописи

4 яЛ

ЛУПУЛЯК Сергей Валерьевич

ВОПРОСЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С КРАЕВЫМИ ЗАДАЧАМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ РЕЙНОЛЬДСА ТЕОРИИ ГАЗОВОЙ СМАЗКИ

Специальность: 05.13.16 - Применение вычислительной техники,

математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1998

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном техническом университете.

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Ю. Я. Болдырев.

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук П. А. Жилин,

профессор Санкт-Петербургского государственного технического университета.

Кандидат физико-математических наук Г. Г. Агишев, старший научный сотрудник высшего военно-морского инженерного училища (г. Пушкин).

Ведущая организация:

Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе (Санкт-Петербург)

Защита состоится » и,У 1998 года в часов на заседании

специализированного совета Д 063.38.18 в Санкт-Петербургском государственном техническом университете по адресу: 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29, X корпус, аудитория №

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного технического университета.

Автореферат разослан «» .ЛЛСсрТО— 1998 года. Ученый секретарь

специализированного совета Д 063.38.18

доктор биологических наук ^ Зинковский.

Актуальность темы. Проблема разработки математического аппарата, вычислительных алгоритмов и программных средств для проектирования опорных и уплотнительных узлов на газовой смазке является одной из актуальных задач прикладной математики и механики, так как подобные узлы имеют ряд преимуществ, по сравнению с обычными, и уже сегодня нашли широкое применение в различных областях.

Экспериментальные исследования в области газовой смазки чрезвычайно затруднены, так как рабочий газовый слой в газодинамических узлах очень тонок - порядка микрон. В связи с этим, эксперименты являются дорогостоящими, а зачастую и опасными, поскольку могут привести к разрушению испытуемого изделия. Кроме того, в ряде случаев эксперимент является технически неосуществимым. В связи с этим, в данной области особое значение имеет математическое моделирование.

Бурное развитие вычислительной техники обеспечило возможность решения недоступных ранее вычислительных задач. В настоящее время имеется большое число работ, посвященных расчётам существующих и проектированию новых узлов, использующих в своей работе принцип газовой смазки. Значительный вклад здесь внесли отечественные учёные: Бургвиц А.Г., Галахов М.А., Григорьев Б.С., Заблоцкий Н.Д., Завьялов Г.А., Емельянов A.B., Коровчинский A.B., Котляр Е.М., Левина Г.А., Лойцянский Л.Г., Лучин Г.А., Пинегин C.B., Поспелов Г.А., Сергеев С.И., Сипенков И.Е., Слезюш H.A., Снопов А.И., Сте-панянц Л.Г., Шейнберг С.А., Шидловский В.П., Яковлев В.И., а также зарубежные: Аусмен Д., Зоммерфельд Д., Кастелли В., Константинеску В., Штернлихт Б., Элрод X., и многие другие.

Вместе с тем, на пути разработки вычислительных алгоритмов и проведения вычислений имеются определённые трудности, связанные с отсутствием или недостаточностью теоретических исследований вопросов корректности, устойчивости и сходимости этих алгоритмов. Без подобной теоретической базы ценность вычислительного эксперимента значительно снижается, так как невозможно сказать, насколько результаты, полученные при помощи вычислений, соответствуют рассматриваемой математической модели.

Изучение сходимости вычислительных алгоритмов базируется на исследовании вопросов корректности краевых или начально-краевых задач, которые данные алгоритмы призваны аппроксимировать. Под корректностью краевой задачи мы здесь понимаем её разрешимость в тех или иных классах функций, единствен-

ность её решения, а также его регулярность (то есть повышение гладкости решения при повышении гладкости исходных данных задачи). Подобные проблемы, кроме указанной выше практической ценности, имеют ещё и значительный теоретический интерес. Однако на пути исследователя возникают существенные математические трудности, так как стационарное уравнение Рейнольдса - нелинейное, допускает вырождение, и, более того, в общем случае просто не является эллиптическим.

Цель работы. Всестороннее исследование корректности задачи Дирихле и сходных с ней краевых задач для стационарного уравнения Рейнольдса теории газовой смазки, как в общем случае, при минимальных ограничениях на исходные данные задачи, так и в ряде частных, наиболее интересных с практической точки зрения случаев. Построение алгоритмов численного решения этих краевых задач и исследование их сходимости. Существенное место в работе уделяется расчётам при помощи построенных методов основных характеристик некоторых практически важных узлов, использующих в своей работе принцип газовой смазки.

Методика исследования. При доказательстве существования решения задачи Дирихле для уравнения Рейнольдса применяется техника регуляризаций. При исследовании регулярности используются разностные отношения. Для доказательства сходимости численных методов применяются энергетические оценки. Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми. Практическая ценность. Разработанные методы могут быть использованы для предварительного и численного анализа газодинамических узлов. Также в диссертации приведены результаты расчётов ряда практически важных узлов, использующих в своей работе принцип газовой смазки. Результаты исследований по теме диссертации получили свое развитие в хоздоговорных работах № 306414, 507503 и 507504 с заводом "Киров-Энергомаш" АО "Кировский завод". Апробация работы. Результаты работы докладывались на международных конференциях 1С1АМ-95 (Гамбург, июль 1995), ЕСМ1-96 (Копенгаген, июль 1996), "Дифференциальные уравнения и их применение" (Санкт-Петербург, СПбГТУ, декабрь 1996 г.), "Фундаментальные исследования в технических университетах" (Санкт-Петербург, СПбГТУ, июнь 1997 г.), а также на семинаре кафедры «Прикладная математика» под руководством д. ф. -м.н., проф. Л.В. Петухова в СПбГТУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 18 работ.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, четырёх глав, разбитых на параграфы, заключения и двух приложений. Объём диссертации - 135 страниц в MS Word 95, 52 рисунка и 4 таблицы. Список литературы содержит 113 наименований.

Краткое содержание работы Во введении даётся обоснование выбора данной темы работы, перечисляются результаты, которые выносятся на защиту, а также коротко описывается структура диссертации.

В первой главе описаны некоторые характерные типы опорных и уплотнитель-ных узлов, использующих принцип газовой смазки, и приведены постановки краевых задач для описания полей давления в таких узлах.

Поле давления в стационарном случае в смазочном слое между двумя близко расположенными поверхностями, одна из которых может быть профилирована, а другая движется, описывается уравнением Рейнольдса теории газовой смазки, которое, будучи записанным в безразмерной форме, имеет вид:

div(/j3/?V/7 - A/ipv) = 0 в Q. (1)

Здесь р - давление в смазочном слое (имеет физический смысл только р > 0); у - нормированная скорость движения одной из поверхностей относительно другой; h - функция профиля, нормированная по своей минимальной величине; flc R", п = 1,2 - ограниченная связная область (смазываемая поверхность) с гладкой или кусочно-гладкой границей ¿Ю (на рисунке 1 приведён пример смазываемого профиля); Л > 0 -физический параметр задачи - так называемое, число сжимаемости; V и div -дифференциальные операторы градиента и дивергенции соответственно. Грамотным условием к (1) служит равенство:

/7 = 1 на ■ (2)

Физический смысл соотношения (2) - равенство давления на границе смазочного слоя давлению окружающей среды.

Рис. 1

Также в этой главе приведен обзор литературы по изучаемому направлению. Отметим работу американских исследователей Г. Маккалистера, С. Роде и М. Маккалистера [4], в которой доказана разрешимость краевой задачи (1), (2) для негладких функций профиля Л при малых числах сжимаемости Л в одномерном случае, а также работы итальянского математика Чиматги [1], [2] и [3], в которых приводится доказательство разрешимости задачи Дирихле для уравнения Рейнольдса (1), (2) в пространственном случае для гладких функций профиля и при наличии ограничений на структуру профиля (требования убывания функции профиля И в направлении скорости скольжения v).

Во второй главе проводится анализ корректности математической модели, основанной на уравнении Рейнольдса теории газовой смазки. В первом параграфе приводятся различные регуляризации уравнения Рейнольдса.

Уравнение (1) в общем случае не является эллиптическим. Следовательно, непосредственный анализ уравнения (1) является затруднительным, так как к нему нельзя применить результаты теории о разрешимости эллиптических краевых задач [5], [6]. Чтобы избавиться от нелинейности в главной части оператора в (1), формально делаем замену переменных Р = р2:

¿1\(И3УР-2\Иу[Ру)=0 Р = 1 наЗП. (3)

Уравнение (3) является равномерно эллиптическим. Однако, оно имеет смысл лишь, если Р > О , поэтому вместо него (опять формально) запишем уравнение:

<И\(И3,7Р - 2= 0 в П. (4)

Нам понадобится следующая регуляризация уравнения (4):

«и^А37Р,-2ЛА5А(Р1)н) = 0, где &(г) = (г2 + к еИ (5)

На функции Лиг накладываются следующие ограничения (наиболее слабые из всех физически приемлемых):

Леф) = ¡йеГ(П),1<ад</гюп.в. в у еК(а) = [Г(Я)]2. (6) Здесь Лщах - заданная величина.

Подобные классы функций Л и у требуют обобщённых постановок краевых задач. Например, для задач (4) и (5) они выглядят следующим образом:

Р-1 еЖ01Д(а> ¡(И3ЧР-2АЬ^\Р\У)-ЧЦ±С=0, УТ| е(70''2(а); (4*) п

= О, УЛбЖ012(П). (5*)

и

Во в/порол параграфе доказываются некоторые априорные оценки решений задач (4*) и (5*).

Теорема I (Принцип сравнения)

Пусть выполнены условия (6), а функции г^.г^ 6удовлетворяют следующим неравенствам:

-2 Л/% (и,) у) г; 0; 6\\^13Чи2 -2А1щк(и2)у^ <0,

и, кроме того, м, < и2 на оП. Тогда ы, <и2 в П.

У этой теоремы имеется несколько важных следствий. Следствие /

Пусть Рк — решение задачи (5*) с некоторым, произвольно выбранным к е N. Тогда Рк> 0 в П.

Следствие 2

Пусть Рк - решение задачи (5*) с некоторым, произвольно выбранным к еИ. Пусть

СИУ(ЙУ)<0 (7)

(то есть |Ау-Уп<£с>0, У^еС^Й), т^О). а

Тогда и > 1 в П. (

Следствие 3

Решение задачи (5*) единственно для произвольного к е N.

Также в этом параграфе доказывается принцип максимума, из которого вытекают следующие оценки для решения задачи (4*):

5ирР<1 + ЛС(Л)йПп), (8)

МР>1-АС(Л)НГ(П). (9)

Здесь С(Л) ~ ек 1 , у > О.

Аналогичные оценки справедливы и для решения Рк задачи (5*). Также справедлива следующая равномерная оценка решения задачи (4*) в норме пространства Соболева

И^(0)^С,гдеС=с(л,|4Нь.(п)). (10)

В третьем параграфе доказывается существование обобщённого решения задачи (1), (2). При этом вначале двумя способами (при помощи метода Гапёрки-на и теоремы Шаудера о неподвижной точке) доказывается существование решения задачи (5 ), а затем при помощи предельного перехода при к-><я устанавливается следующая теорема о разрешимости:

Теорема 2

Пусть выполнены условия (6). Тогда краевая задача (3): <И\\(И7УР-

= 0 в П, ? = 1 на дО. — разрешима в обобщённом смысле, причём Р еИ-г,,2(Г2)П£с°(£2) и Р >0 в О. Кроме того, можно показать, что/ принадлежит пространству Гёльдера Са(<з) с некоторым показателем 0<а<1 (то есть функция 1 — непрерывна в ¿1 и для неё выполнено соотношение < С]х-_у|а, УУх,уеС2).

Рассмотрим теперь, в каком смысле разрешима ,ис^о£ндя задача (I),. (2). Определим градиент функции р при помощи следующего соотношения (в котором Р = р2 - решение задачи (3)):

УР

VР =

Р* 0

2у[р' О1)

0, Р = о

Введённый таким образом градиентр является, вообще говоря, неограниченной функцией, и мы ничего не можем сказать о его суммируемости. Следовательно, мы не можем доказать разрешимости задачи (1), (2) в пространствах Соболева в общем случае. Однако из соотношений (11) вытекает, что

Итак, определим обобщённое решение задачи (1), (2) следующим образом:

Определение 1

Обобщенным решением задачи (1), (2) называется функция р е [} (П) такая,

что рЧр е (Г5)| , и выполнено следующее интегральное тождество:

$(И3рУр-Мр\>)-Ут\с!х = О, VI-! е!Г0'-(П) (12)

о

(Здесь Vр определён при помощи соотношения (11).) Теперь мы можем сформулировать следующую теорему существования: Теорема 3

Пусть выполнены условия (6).

Тогда у задачи (1), (2) существует неотрицательное обобщённое решение р,

а/

причём р еС/2(П) (здесь а - показатель гёльдеровости решения Р задачи (3)). Замечание:

Если р > о в п, то р е ^,1'2(а)пса(а).

В четвёртом параграфе исследуется единственность решения задачи Дирихле для уравнения Рейнольдса. Сформулирована и доказана следующая теорема.

Теорема 4

Если у задачи (3) (или у задачи (1), (2)) существует отделённое от нуля обобщённое решение, то оно единственно.

Однако, если решение не отделено от нуля, то оно, вообще говоря, не единственно. Приведём пример двух различных неотрицательных решений задачи (1), (2) в одномерном случае:

Пример 1:

Пусть П = (-2;2); /» = 1; Л = 2; у = х3-2х.

Построенная нами краевая задача имеет два различных обобщённых решения (приведённых на рисунке 2): , 2

Р\ =

О, \х\<Л

Рис. 2

s

Заметим, что подобный пример неединственности носит модельный характер, так как данный вид скорости скольжения v смазываемой поверхности является технически проблематичным.

В пятом параграфе проводится исследование регулярности решения. Доказывается следующая теорема:

Теорема 5 ,

Пусть Р е IV1,2 (Q) - обобщённое решение задачи (3), причём функция И и компоненты векторной функции v принадлежат пространству fc=0,l,2,..., а

также удовлетворяют ограничению (6); решение Р отделено от нуля (Р(х) £ р0 > О, VjceCl), а граница области 3Q принадлежит классу Ск+2. Тогда решение Р принадлежит пространству lVk+2:2(Qj и справедлива оценка:

Если исходные данные задачи (функции профиля Л и скорости v, а также граница области сЮ) будут принадлежать классу С°, а решение Р будет отделено от нуля, то решение Р тоже будет принадлежать пространству , то есть бу-

дет аналитическим.

Как показывает пример 1, требование отделённое™ решения от нуля является необходимым - при аналитических исходных данных решение р\ не принадлежит пространству .

В шестом параграфе исследуется случай малых чисел сжимаемости Л. В этом случае оценка (9) гарантирует отделённость обобщённого решения р задачи (1), (2) от нуля. Кроме того, для осцилляции и градиента решения р справедливы следующие оценки:

ose р<СЛ.%, |]Vp]|L2(n)<CA (13)

f

Из неравенств (13) вытекает, что при малых числах сжимаемости Л функция р

близка к единице, причём тем ближе, чем меньше Л.

Введём избыточное давление как решение следующей краевой задачи:

div(A3Vp-Av) = 0 в £1, = 0. (14)

Величина р = \ + Ар лучше аппроксимирует решение исходной задачи р, чем величинаpi=l. Пусть w = р- р. Тогда для w имеют место следующие оценки:

05с и* < СА%, |Н|< СЛ'2' (15)

Седьмой параграф посвящен доказательству существования классического решения задачи (1), (2) при выполнении следующих условий: ЛеС''у(п),

у 6[С"(П)]-, 6ПеС2у, 0<у<1. Также предположим, что вектор скорости V не меняется по направлению:

(?1.(х)=сопзГ, (16)

где е(х) = если УхЧ * 0.

Обозначим величину |у| через V. Относительно функции V предположим, что она отделена от нуля:

у(х)>уо>0, УхеП, (17)

Тогда краевая задача (1),(2) имеет единственное решение р еС2,т(п), для которого выполняется следующее неравенство:

^(*)>р0>0, УлеП, (18)

-где р0 =р0(ЛашО,У0,|Ис,(п),|Ис1(п)).

Третья глава посвящена доказательству сходимости метода конечных элементов для уравнения Рейнольдса.

Первые два параграфа носят вспомогательный характер. В первом параграфе приведены некоторые определения и теоремы общей теории численных методов [8]. Во втором параграфе они конкретизируются для случая метода конечных элементов. Также здесь даются понятия допустимой и регулярной триангуляции области О. [7], [8].

В третьем параграфе проводится исследование сходимости метода конечных элементов для уравнения Рейнольдса.

Перепишем обобщённую постановку (4*) задачи.(4) для и=Р-1:

и е^0и(О): |(/13У+1|у)-УГ)С& = О, V)] еЩ]'1 (П); (19)

о

Дискретный аналог задачи (19) выглядит следующим образом:

ктеХт: ¡[И3^ит - 2Л/фж +1|у)• Ут^Ох = 0, УЛт (19'"")

п

Здесь т принадлежит какой-либо регулярной триангуляции М области П. Справедлива следующая теорема о сходимости метода конечных элементов для задачи (19).

Теорема б

Задача (19(т)) разрешима при Ут е М. Множество {г'т}ше1/ решений задачи (19(т)) ограничено в и имеет в пространстве }У01,2(О) слабо предельные

точки1. Кроме того, любая слабо предельная точка семейства {"т}теЛ/ будет сильно предельной, а также будет являться решением задачи (19). Если решение задачи (19) - единственно, то семейство {и„} бД, решений задач (19(т)) сходится2 к рещению задачи (19) сильно в 1У0',2(О). Например, согласно теореме 4.1 предыдущей главы, это имеет место, если решение отделено от нуля.

Итак, мы доказали, что метод конечных элементов сходится (в смысле теоремы 6) к решению задачи (19). Более того, если предельная функция Р=и+1 является отделённой от нуля, то задача (4), а вместе с ней, очевидно, и исходная задача (1), (2) имеют единственное обобщённое решение. Таким образом, для большого числа профилей Л (а. сюда относятся все известные нам практически интересные случаи) мы как бы «апостериори» доказали единственность решения уравнения Рейнольдса. Другими словами, если в данном конкретном случае приближённые решения, полученные при помощи метода конечных элементов, сходятся к отделённой от нуля функции Р=и+1, то в нашем случае решение задачи (1), (2) единственно.

Однако, в общем случае неотрицательность решения (или какого-либо из решений) задачи (4*), полученного при помощи метода конечных элементов описан-

1 Тонка хеХ называется сильно (слабо) предельной точкой множества |ха | ^, если существует последовательность {г } такая, что {* } с |г [ и (х } сходится к * сильно (слабо) в X.

2 Под сходимостью»семейства {и } к и при р(т)-»0 мы понимаем, что любая последовательность

ш } с (и 1 такая, что р(т,)->0 при /-ко сходится к и. Здесь р(т/) - параметр, характеризующий три-I ^ ^«лг 1 т'

ашуляцию ОТ/еЛ/ — максимальный из радиусов окружностей, описанных вокруг треугольников, составляющих триангуляцию

ным выше способом, не гарантируется. То есть мы знаем, что у задачи (4 ) имеется неотрицательное решение Р, однако, будет ли и=Р-1 предельной точкой семейства {"„, }тЕЛ/ > нам> вообще говоря, не известно. Следовательно, необходимо построить алгоритм, при котором последовательность приближённых решений, полученная с по,мощью метода конечных элементов, сходилась бы к заведомо неотрицательной функции. Такой алгоритм строится с использованием регуляризованного уравнения (5). В четвёртом параграфе рассматривается специальный случай, когда смазываемая

область D. имеет форму - . „ - ^ „ -

а) Спиральная б) Спиральная клиновидная

кольца. При этом ставится трапециевидная канавка канавка I типа

периодическая краевая задача для уравнения Рей-нольдса в полярных координатах.

В четвёртой главе приведены результаты расчётов некоторых практически важных узлов, использующих в своей-работе принцип газовой смазки. Первый параграф посвящен анализу применимости наиболее распространённых нереверсивных (рис. 3) и реверсивных (рис. 4) микро- в) «Ёлочная» канавка И типа

профилей, используемых Р»с. 4

некоторыми зарубежными фирмами "John Crane", "Sealol Ltd.", "Burgniann" для газодинамического уплотнения, разрабатываемого заводом «Кироа-Энергомаш» АО «Кировский завод». При этом для расчётов использовались конкретные параметры макрогеометрии и режимов работы уплотнения. Результаты расчётов основных характеристик уплотнений с нереверсивной и реверсивной микрогеометрией приведены соответственно в таблицах 1 и 2.

в) Спиральная клиновидная канавка II типа Рис. 3

а) «Треугольная» канавка —----ч-

б) «Ёлочная» канавка I типа \

Тип микроканавки Л* Ло (мкм) <2'(кг/м2-с)

Спиральная трапециевидная (рис. 3 а) 6,86 4,47 0,002646

Спиральная клиновидная (рис. 3 б) 11,19 3,50 0,001199

Спиральная клиновидная (рис. 3 в) — — —

Таблица 1

Тип микроканавки А' /¡о (мкм) б'(кг/м2-с)

Треугольная (рис. 4 а) 17,61 2,79 0,000655 .

Ёлочная I типа (рис. 4 б) 19,38 2,66 0,000563

Ёлочная II типа (рис. 4 в) 23,80 2,40 0,000411

Здесь Л*- равновесное (установившееся) число сжимаемости; Л0 - размерный рабочий зазор в уплотнении; Q' -размерный расход (протечка) газа через уплотнение. Прочерки в последней строке таблицы 1 означают, что такой тип уплотнения в данном режиме является неработоспособным. Во втором параграфе приведено решение модельной задачи о расчёте поля давления в прямоугольном подшипнике скольжения, обладающем максимальной подъёмной силой, который показан на рисунке 5. При этом полученное в результате расчётов с помощью метода конечных элементов распределение давления для данного профиля показано на рисунке 6.

В приложении I даны определения основных функциональных пространств, используемых в работе: пространства непрерывно дифференцируемых функций

Таблица 2

Рис. 6

С*(П); пространств Гёльдера ; пространств Лебега про-

странств Соболева 1¥1'Р(С1). В приложении II приведены примеры триангуляции области.

Выводы. В диссертации рассматриваются проблемы математического моделирования в теории газовой,смазки, основанной на использовании уравнения Рей-нольдса.

Основное внимание уделено следующим важнейшим аспектам задач математического моделирования:

1. Проблемы математической корректности модели теории газовой смазки.

2. Вопросы разработки численных методов решения задач теории газовой смазки.

В области математической корректности изучались следующие конкретные проблемы, в рамках которых проведено всестороннее исследование математической корректности рассматриваемой модели:

- Исследовалась разрешимость краевых задач, связанных с уравнением Рей-нольдса. При этом получено, что задача Дирихле для уравнения Рейнольдса всегда разрешима в обобщённом смысле, но, вообще говоря, не единственным образом. При этом следует отметить, что примеры неединственности решений носят модельный характер, так как являются технически проблематичными.

- Показано, что в ряде важных частных случаев - при малых числах сжимаемости; при выполнении условия (7): с1гу(/гу)<0; в случае повышенной гладкости исходных данных задачи и выполнения условий (16): е,.(х)=соп51 и (17): у(х)>го>0 — единственность имеет место.

\

- Доказана корректность процедуры линеаризации уравнения Рейнольдса в случае малых чисел сжимаемости. Другими словами, найдена асимптотика решения уравнения Рейнольдса при малых числах сжимаемости.

- Исследованы вопросы регулярности решений уравнения Рейнольдса.

I области разработки численных методов изучались следующие конкретные :роблемы:

■ Исследована сходимость метода конечных элементов для решения уравнения Рейнольдса в случае произвольной микрогеометрии формы профиля газового смазочного слоя.

- Построен алгоритм, позволяющий найти неотрицательное решение уравне ния Рейнольдса в вырожденных случаях.

- Проведён сравнительный численный анализ основных характеристик различ ных типов микрогеометрии профилей сухих газовых уплотнений при реаль ных режимах работы уплотнений.

- Проведён предварительный анализ и приведены результаты численного ре шения с помощью метода конечных элементов модельной задачи об опреде лении поля давления в прямоугольном подшипнике скольжения с заданны! профилем.

Список цитируемой литературы

1. Cimatti G. Existence and uniqueness for nonlinear Reynolds equations. // Int. J Eng. Science., 1986, V. 24, No. 5, pp. 827-834.

2. Cimatti G. Nonlinear aspects of the theory of lubrication. // Rendiconti с matematika, 1983, Y. 3, pp. 399-412.

3. Cimatti G. On certain nonlinear problems arising in the theory of lubrication. , Appl. Math. Optimiz, 1984, V. 11, No. 3, pp. 227-245

4. McAllister G. Т., Rohde S. M., McAllister M. N. Optimal bearing designs for от dimensional problems with compressible lubricants. // J. Math. Anal. Appl., 7 (1980), No.2, pp. 543-560.

5. Гилбарг Д., Трудингер H. Эллиптические дифференциальные уравнения с чс стными производными второго порядка. Москва, «Наука», 1989,464 с.

6. Ладыженская О.А., Уральцёва Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения oi липтического типа. Москва, «Наука», 1964, 538 с.

7. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. Москв; «Мир», 1980, 512 с.

8. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. Москв; «Мир», 1981,408 с.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Лупуляк С.В. Вариационная задача для одномерного реверсивного подшиг, пика скольжения с газовой смазкой. II Тезисы доклада на студенческой лау-ной конференции. СПбГТУ. 1994. 1 с.

2. Лупуляк С.В. Построение асимптотического аналога линеаризованног уравнения Рейнольдса для случая периодической микроструктуры коэффг, циентов. II Тезисы доклада на студенческой научной конференции. СПбГП 1994. 1 с.

3. Болдырев Ю.Я., Лупуляк С.В., Шиндер Ю.К. Численное решение вариационной задачи Рэлея теории газовой смазки. И Изв. РАН МЖГ. 1995. №6, с.31-38.

4. Болдырев Ю.Я., Григорьев Б.С., Лупуляк С.В., Шиндер Ю.К. Применение методов математического моделирования в теории смазки для проектирования опорных и уплртнительных узлов. II Международный научно-практический симпозиум "Трибология и транспорт", Рыбинск, май 1995, книга 2, с.20-27.

5. Болдырев Ю.Я., Григорьев Б.С., Лупуляк С.В., Лучин Г.А., Шиндер Ю.К. О применении методов математического моделирования при проектировании сухих газодинамических уплотнении. II Международная научно-техническая конференция, Казань, март 1995, 2с.

5. Boldyrev Yu.Ya., Lupuleac S.V., Shinder J.К. On spatial variational problems in the gas lubrication theory. II Contribution of the Third International Congress on Industrial and Applied Mathematics, Hamburg, 19-95.

7. Boldyrev Yu.Ya., Lupuleac S.V., Shinder J.K. Calculation of the gas slider bearings having subtle periodic microstructure. II Contribution of the Third International Congress on Industrial and Applied Mathematics, Hamburg, 1995.

3. Lupuleac S.V., Shinder J.K., Solovieva O.L. Calculation of microperiodic gas bearings using asymptotic methods II 9-th Conf. of the European Consortium for Mathematics in Industry, Copenhagen, June 25-29, 1996. Book of abstracts. P.320-321.

Boldyrev Yu.Ya., Lupuleac S.V., Shinder J.K. On optimization of turbo-compressor machine dry gas seal characteristics II 9-th Conf. of the European Consortium for Mathematics in Industry, Copenhagen, June 25-29, 1996. Book of abstracts. P.523-525.

10.Boldyrev Yu.Ya., Grigoriev B.S., Kostyuchenko S.S., Lupulcac S.V., Ognev V.V., Shinder J.K. Methods of calculation of static and dynamic characteristics of turbo-compressor machine dry gas seals И 9-th Conf. of the European Consortium for Mathematics in Industiy, Copenhagen, June 25-29, 1996. Book of abstracts. P.302-303.

Л.Болдырев Ю.Я., Лупуляк С.В., Шиндер Ю.К. Усреднение уравнения Рей-нольдса теории газовой смазки И Сборник трудов СПбГТУ, «Прикладная математика», 1996 г., с. 13-29.

12.Болдырев ЮЛ., Лупуляк C.B., Шиндер Ю.К. К проблеме построения осреднений для уравнения Рейнольдса. II Тезисы доклада на I Международной на. учно-практической конференции "Дифференциальные уравнения и их применение", СПбГТУ, 3-5 декабря 1996 г., с.38.

13.Лупуляк C.B., Шиндер Ю.К. Некоторые математические вопросы теории газовой смазки. II Тезисы доклада на I Международной научно-практической конференции "Дифференциальные уравнения и их применение", СПбГТУ, 35 декабря 1996 г., с.142.

14.Болдырев Ю.Я., Григорьев Б.С., Лупуляк C.B., Лучин Г.А. и др. Исследование возможностей по улучшению аэродинамических характеристик сухих газовых уплотнений с помощью изменения формы микрогеометрии газового слоя. Отчет по теме № 507503, Санкт-Петербург, СПбГТУ, 1996, 50 с.

15.Болдырев Ю.Я., Григорьев Б.С., Лупуляк C.B., Лучин Г.А. и др. Разработка методов расчета по определению характеристик сухих газовых уплотнений для технического проекта ряда г^нтробежных нагнетателей природного газа. Отчет по теме № 507504, Санкт-Петербург, СПбГТУ, 1996, 39 с.

lô.Boldyrev Yu.Ya., Lupuleac S.V., Shinder J.K. On spatial variational problems in the gas lubrication theory. H Proc. Ill Int. Congress on Industrial and Applied Mathematics, (ICLAM'95). ZAMM. Special Vol. "Applied Mathematics and Mechanics".Issue 5.1996. 59-61.

17.Болдырев Ю.Я., Жукова С.Б., Лупуляк C.B., Шиндер Ю.К. О рйзработке методов для расчета и проектирования сухих газодинамических уплотнений. // Научно-техническая конференция "Фундаментальные исследования в технических университетах" СПб.: СПбГТУ, 1997. С.40-42.

18.Болдырев Ю.Я., Жукова С.Б., Лупуляк C.B., Шиндер Ю.К. Построение предельного аналога для уравнения Рейнольдса в случае различной структуры коэффициентов. II Научно-техническая конференция "Фундаментальные исследования в технических университетах" СПб.: СПбГТУ, 1997. С.192-193.