автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование в вариационных задачах, связанных с уравнением Рейнольдса

РГ6 Ой

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

БОЛДЫРЕВ Юрий Яковлевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ, СВЯЗАННЫХ С УРАВНЕНИЕМ РЕЙНОЛЬДСА

Специальность: 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (машиноведение, машиностроение)

Автореферат диссертации на соискание .ученой степени доктора технических наук

Санкт-Петербург 1993

Работа выполнена в Санкт-Петербургском техническом университете

Официальные оппоненты :

доктор технических наук, профессор АЛ. Первозванский, доктор физико-математических наук, профессор ЭЛ. Тропп, доктор технических наук, профессор В.М. Фридман.

Ведущая организация: Вычислительный центр РАН (Москва).

Защита состоится ..........'Й93 г. в <^5асов на заседании

специализированного совета Д 063.38.18 в Санкт-Петербургском государственном техническом университете (,адрес:.195251, Санкт--Пегхербург, Политехническая ул., 29, ауд. х./^ корп.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке университета.

Автореферат разослан^л^.»;Г?Й^г££??19513 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук

С.И. Репин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. К числу важнейших проблем современного машиностроения относится разработка математических: моделей и программных средств для автоматизации проектирования узлов и деталей машин, обладающих наилучшими в каком либо смысле свойствами. Основные трудности, возникающие на пути создания, имеющего широкую применимость, математического обеспечения для систем автоматизированного проектирования в машиностроении связаны с отсутствием или недостаточной развитость» теоретических подходов к решению практически важных задач оптимального проектирования. Последнее в большой мере относится к задачам оптимального проектирования опорных и уплотнигелькых узлов построенных на основе газовой смазки. Решение таких задач позволяет в ряде случаев получить ощутимый выигрыш в величине выбранного критерия качества по сравнению с узлами создаваемыми без применения математического моделирования. Весьма важным является также и тот факт, что методы оптимизации позволяют дать оценки для критериев качества, т.е. конструктор получает возможность найти предельные значения характеристик той или иной конструкции. Нельзя не отметить и то обстоятельство, что математическое моделирование является единственным средством для создания узлов машин и приборов с оптимальными характеристиками, в силу принципиальной невозможности реаенил задач экспериментальным путем. Отметим также, что численное решение задач оптимизации дает возможность обнаружить и новые конструктивные решения.

С точки зрения математического моделирования, рассматриваем мые в диссертации задачи относятся к нелинейным краевым задачам для дифференциальных уравнений с обыкновенными и с частными производными. Поскольку получение решения краевой задачи в аналитическом виде практически невозможно, то еще более трудной является проблема оптимального проектирования формы газового слоя, составляющей частью которой является решение краевой задачи, По этим причинам задачу сводят к конечномерной задача математического программирования. Проблема, которая при атом возникает, связана с тем, что вообще говоря невозможно оценить близость найденного "оптимального" решения к истинному. И здесь существова*-ние решения в том, или ином классе функций приобретает отнядь

не абстрактный математический интерес.

Сказанное усиливается еще и тем обстоятельством, что основное математическое соотношение используемое в работе - уравнение Рейнольдса газовой смазки содержит управляющие функции в главной части дифференциального оператора. Известно, что в этом случае наличие в задаче кусочно-гладкого управления является скорее исключением, чем правилом и оптимальное решение представляется пространственным скользящим режимом. Б результате возникает проблема.поиска оптимального решения в "расширенной задаче" и сопутствующие ей проблемы практической пригодности такого решения, а также возможности приближения к нему (по критерию качества) "технологически интересными" функциями.

В диссертации разработана общая методология решения задач оптимального проектирования формы газового слоя в опорных и уп-лотнительных узлах и с её использованием решен широкий ряд задач для наиболее употребительных опорных узлов.

Цель работы. Работа посвящена постановке задач и разработке методологии оптимального проектирования формы газового слоя в ■ газодинамических опорных и уплотнительных узлах. В пространственных (двумерных) задачах проектирования главные цели исследования это определение качественного характера оптимального профиля, в частности установления того класса функций на которых достается оптимум и построение численной процедуры для определения микрогеометрии в случаях кусочно-гладкого решения. Б задачах, в которых отсутствует кусочно-гладкое решение, целью ис следования является получение оценок для значений функционалов

В целом проведенные исследования ориентированы на создание . математических основ для разработки алгоритмов и пакетов црог-рамм оптимального проектирования газодинамических опорных и уп лотнительных узлов.

Научная новизна. Поставлены пространственные задачи оптими зации формы микрогеометрии смазочного слоя для различных крите риев качества. Для функционалов общего вида получены необходимые условия экстремума в стационарных задачах, включая условие Еейерштрасса сильного экстремума. Указаны классы в которых разыскиваются решения квазилинейного уравнения Рейнольдса.

На основе анализа полученных необходимых условий в ряде за дач, связанных с проблемой Дирихле для уравнения Рейнольдса ус

тановлено существование кусочно-гладких управляющих функций-функций профиля.

При исследовании расширенной вариационной задачи установлена её связь с обобщенным асимптотическим уравнением Рейнольд-са, известным как уравнение Уиппла "теории уэних канавок". Указанный при этом способ вывода асимптотического уравнения, свободный от "физических" способов его построения, представляет самостоятельный интерес.

На основе развитой в работе математической методологии разработаны алгоритмы и программы для решения ряда новых задач оптимизации при проектировании газодинамических опорных узлов, найдены их численные характеристики, указаны формы И параметры оптимальных профилей и оптимальных "технологичных" профилей.

Впервые рассмотрены задачи, связанные с оптимизацией динамических характеристик опорных узлов, в частности, решены задачи максимизации критической массы роторов секторного и сферического газового подшипников в случае несжимаемого газа.

Совокупность проведенных исследований развивает новое научное направление, заключающееся в разработке методологии оптимального проектирования формы микрогеометрии опорных и уплотни-тельных узлов на газовой смазке. Развитые в диссертации подходы позволяют не только построить оптимальные решения там где это возможно, но и сколь угодно хорошо приблизиться по критерию качества с помощью более простых "технологичных" профилей, там где значение этого критерия можно лишь оценить.

Практическая значимость. Методы разработанные в диссертации позволяют решать задачи оптимального проектирования при конструировании узлов с газовой смазкой. На основе разработанных подходов решен ряд задач для конкретных опорных узлов, в частности для радиального подшипника конечной длины, для осевого секторного подпятника и для прямоугольного подпятника, где в качестве критерия оптимальности выступает их подъемная сила. Для этого же критерия качества рассмотрен ряд задач для периодического профиля.

Отдельно рассмотрены случаи малых и произвольных чисел сжимаемости.

Проведено исследование сферической газовой опоры широко применяемой в приборах инерциальной навигации. При этом рас-

сыатривались различные критерии качества, включая и динамические.

Ряд результатов работы внедрен в НПО НИИАП (Москва) и НПО "Азимут" (С.-Петербург). По итогам ряда разработок получены 4 авторские свидетельства.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Всесоюзных конференциях по оптимальному управлению в механических системах (Казань - 197?, Киев - 1979, Москва - 1982), на Всесоюзной конференции "Трение и износ в машинах" (Челябинск 1979), на семинаре - совещании по проблемам оптимизации в-машиностроении (Харьков, 1982), на Всесоюзном координационном совещании "Исследование и применение опор сколькения с газовой смазкой" (Винница, 1983), на Всесоюзной конференции "Трение и смазка в машинах" (Челябинск, 1983), на выставке "Машины и приборы на опорах с газовой смазкой" (ЕДНХ СССР, Москва,1986), на Всесоюзном научно-координационном совещании "Газовая смазка в машинах и приборах" (Новороссийск, 1969), на школе-семинаре "Надежность роторных систем на газовой смазке" (Новороссийск, 1990), на объединенном семинаре по газовой смазке ШЮ ЦНГИ и ЛГТУ (Ленинград, 1990), на школе-семинаре с международным участием "Оптимизация эксплутационных свойств опор скольжения" (Ростов Великий, 1990), на школе-семинаре "Проектирование и технология изготовления газовых опор экологически чистых машин" (Ростов-на-Дону, 1991). Результаты работы также докладывались на семинарах под руководством д.ф.-м.н., проф. Л.Г.Лойцянского (Ленинград, ДЛИ, IS80), д.ф.-м.н. К.А.Лурье в ЛФТИ Mi СССР (Ленинград, 1984), на семинарах в ЛПИ под руководством проф. д.т.н. Н.Д.Заблоцкого (1989), проф. д.ф.-м.н. Л.В.Петухова (1993), проф. д.т.н. А.,А.Первозванского (1993), а также на семинаре в Вычислительном центре РАН под руководством академика О.М.Белоцерковского (Москва, 1993).

Публикации. По теме диссертации, опубликовано 25 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, шести глав, выводов, списка литературы и приложения. В тексте содержится 26 таблиц, 56 рисунков. Общий объем работы составляет 315 страниц текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТУ

Во введении показана актуальность рассматриваемой темы и приводится, как обзор ее развития, так и современное состояние. Здесь же указаны цели работы и кратко описана структура диссертации.

Б первой главе, которая по существу является вводной дается общая характеристика работы. Здесь введены основные понятия оптимального проектирования в теории газовой смазки и приведены основные математические соотношения. Сделал также и краткий обзор имеющихся в этой области работ.

В п.1.1 рассматриваются математические вопросы, связанные с уравнением Рейпольдса газовой смазки

¿¿гГ^/ОР/* -ЛЛуогг)+ 6=<? (1)

где

Я.

А = - /¿/ч

безразмерные параметры - "число сжимаемости" У1 и "число сдавливания «¿> , в которые входят характерные геометрические параметры смазочного слоя и /С0 , характерные давление

и скорость ¿/0 , а также коэффициент вязкости газа// и характерное время 7* . В уравнении (I) давление и заг-эор /¿, отнесены к величинам и соответственно,

а время ¿к 7* . Операторы схЫ? и У , определяемые вдоль поверхности смазочного слоя нормированы по масштабу X* о •

Приведены характерные типы смазываемых областей

¿2 -

"секторный" профиль, когда смазываемая поверхность сообщается со средой на всей своей границе и периодический профиль, когда на внутренних границах, - границах периода ставятся условия периодичности по давлению и нормальной компоненте расхода.

Вводится класс управляющих функций профиля следующего

вида

Показано, что при условии

р < /) ^ /^х р <Г со

стационарное решение уравнения (I) должно удовлетворять интегральному тождеству

УрСА^р-Л/ггг, (3)

О, ¿£2

ДЛЯ /0<а.№гл С£2) . При любой £ <£ и

^ ОЗ). . < ■ = ^ ™

Й$2 - границе области ). Отдельно рассмотрен случай

малых чисел сжимаемости У\ .

В п.1.2 рассматриваются важнейшие с точки зрения практики типы газодинамических опор и критерии их оптимальности. В числе последних укажем несущую способность слоя газовой смазки, составляющие обобщенной матрицы жесткости, а также величину "критической массы" ротора в задачах динамики.

В п.1.3 на примере задачи Дирихле для линейного уравнения Рейнольдса в прямоугольной области

¿2, обсуздается постановка задачи оптимизации формы микрогеометрии смазочного слоя и рассматриваются сроблекы, возникающие яри ее решении,

В п.1.4 приведен краткий обзор работ по вариационным задачам теории газовой смазки у истоков которых стоит работа Рэлвя, опубликованная в 1918г.

Во второй 'главе рассматриваются вопросы, связанные с получением системы необходимых условий оптимальности, а такие проблемы существования оптимального решения в том или ином классе функций. Здесь же приводится процедура построения асимптотического аналога уравнения Рейнольдса.

В п.2.1 для функционалов общего вида стационарной задачи, связанной с уравнением Рейнольдса получена система необходимых условий, включая неравенство Еейерштрасса сильного минимума.

где /?? = Г//~Лг)//у^

причем здесь // допустимая функция. В формуле (4) Р^/Яъ. означает производную сопряженного множителя в направле-

нии внешней нормали /¿. к. области локального сильного варьирования.

В п.2.2 полученная в предыдущем пункте система необходимых условий применяется для качественного анализа двух важнейших пространственных задач - задачи Рэлея, связанной о задачей Дирихле для уравнения Рейнольдса и для периодической задачи. Из неравенства Вейерштрасеа (4) следует, что оно не нарушается

ПРИ ^ ^ $ если

(гЛ, > О (5)

при этом имеют место соотношения

(VI,гг)$0 Л } (гй,гг)>0

(6)

/Т)

Сформулируем задачу Рэлея (задача о0 ) Здесь = [зс„ эс2 | | аг, | ^ 0,5 ; О £ л; е? У ]

* г

¿/г/ .7= - ур^о*, А € ^ р & И^ (&) -

-решение интегрального тождества

уг^ У^ "/) (к"> ] <¿0=0 'СО) ;

¿2 ¿л Г£2)

Используя следствия из необходимого условия сильного минимума (5), (6) удается показать, что решением задачи является кусочно-гладкая функция , имеющая одну линию раз-

рыва. В основе рассуждений лежит использование принципа экстремума, а также принципа Заремба-Жиро для эллиптических уравнений

7

в областях гладкости А. . Из них следует, что градиенты решений краевых задач

¿¿¿гГ/% , А = С? ; Зъ?) = -/ ^| = о

на границе области ведут себя так, как это показано на рис Л.

Т.о. удается установить характер профи-

>

/г

4 *г

. . . О ^

/2

\ гг

ГЛГ РуО . \

ко ¿с.

рис Л

ля на АО и как следствие во всей области ¿2.

Сформулируем задачу с условиями периодичности на границах ¿С = О И

при

С- < х,<

(ПГ.ДЛ-. ^ ) : ¿2

- решение интегрального тождества:

£.2 /г .

Отметим,' что условия периодичности по /> и /г~ учтены в записи тождества, как и периодичность функции^" .

В задаче не удается показать, что Л ('¿г^ ^}

является кусочно-гладкой периодической функцией .

В п.2.3 обсуждаются вопросы существования решений вариационных задач, связанных с уравнением Рейнольдса.

Существование кусочно-гладкого решения в задаче Уе является исключительной ситуацией. Как правило решение оптимальных задач с управлением в коэффициентах главной части дифференциаль-

8

ного оператора приводит к пространственному скользящему режиму. Дело заключается в том', что неявная функция уО /^Л.) , определяемая краевой задачей для уравнения Рейнольдса не является непрерывной в смысле слабой сходимости. Говоря иначе,из слабой сходимости в минимизирующей последовательности {Л. ^

к £ не следует, что соответствующая последовательность - /эСЛ.^) краевой задачи сходится слабо в /4/

Кр^рГЛ)-*

В п.2.4 показано, что в случае уравнения Рейнольдса последовательность операторов

г /7 //3 г . Рг \ л,-,

будет сходиться к оператору вида

1 ^^ "Р-ъЫ ^

где ^ (^2) и ^ ^г . Будучи записан-

ным поточечно в

¿г

предельное (асимптотическое) нелинейное уравнение Рейнольдса имеет ввд

• -<гг) = ¿> ^ (7)

где ¿2) и /р симметричные тензоры П ранга

а «г «г и ¿¿Г диады. Собственными венторами тензоров являются вектора ¿г и £ , направленные по нормали и касательной к линии разрыва функции Л. , а , иу*г, ^/Vг их собственные числа. Для вычисления собственных чисел вводится понятие предельной поточечной концентрации "микроканавок", т.е. областей с Л + > Л . .'

(10)

¿е = —, (9)

-ье-* О ^^

где малая в сравнении с «О подобласть, часть

27 + которой занято "микроканавками", а часть отвеча-

ет "гладкой" зоне с Л = , т.е. с =

йормулы для вычисления собственных чисел ^,, , И в (8) таковы

^ = <А~3?~/, = <4~3>~*/<* = < Л >>

здесь величина

вычисляется т.о.

<ГУ&*> = эе<4*> + (/-эе)<А*>

с применением следующей операции осреднения

-- .

Будучи записанным в исходных ортогональных координатах {ссг, ) с коэффициентами Ламе <2^. и , уравнение (7) в нестационарном случав имеет вид

(II)

где , например , А и Е тдасляйтся по £о;)МУЛ?М ; 10

л =ч-ч¿г--г^-г)^^,

в которых уЗ локальный угол наклона оси "микропериода" к направлению скольжения 2/~.

Найденное уравнение представляет собой известное уравнение "теории узких канавок" или "уравнение Уиппла", вывод которого приведенный в диссертации свободен от физических соображений , а также от характера макро и микрогеометрии поверхности.

Представляется важной выявленная связь между вариационными задачами и асимптотическим уравнением Рейнольдса (II). Отметим, в этой связи, то обстоятельство, что в многочисленных работах по расчетам газовых опор и уплотнений, уравнение (II) или его приближения, используются для определения граничных (предельных) значений характеристик узлов.

В третьей главе рассмотрен ряд практически важных одномерных задач как для сжимаемого, так и для

В п.3.1 приведена система необходимых условий экстремума для одномерного случая.

В п.3.2 решена задача о радиальном подяипнике сообщающемся с атмосферой и имеющем максимальную подъемную силу. Здесь

я = I А ^ ^ причем и ^ не-

известны, и задача формулируется следующим образом

при этом /О является решением интегрального тождества

/"С'

з

4

и должно удовлетворяться изопериметрическое условие

/fi ~/)sth> fS-Vjafc = û

é>s

где V - неизвестный угол действия нагрузки.

Удается установить, что системе необходимых условий удовлетворяет кусочно-линейная функция /ifâ) с одной точкой разрыва ûj. . При этом подшипник оказывается замкнутым. Проведены расчеты для широкого диапазона чисел сжимаемости ¿1 и приведены результаты сравнения с кусочно-постоянным оптимальным "профилем Рэлея", показывающие что с ростом чисел /\ эффективность оптимального профиля становится все более существенной. Например, для /[ =100 "профиль Рэлея" имеет подъемную силу составляющую Ш% от оптимального.

В п.3.3 приведены результаты решения задачи о радиальном секторном подшипнике в рамках малых чисел сжимаемости. Отличие этой задачи от рассмотренной в п.3.2 в характере краевых условий для линейного уравнения Рейнольдса, имеющих здесь вид

где /С ' - число секторов. Показано, что решением задачи является кусочно-постоянная функция Л.(ИР) . При этом системе необходимых условий удовлетворяет и решение, которое в силу его специфики естественно назвать симметричным. Однако на нем достигается меньшее значение несущей способности.

В п.3.4 в рамках линейного уравнения Рейнольдса рассматривается динамическая задача о максимуме критической массы ротора радиального секторного подшипника. Задача решается в рамках модели периодического движения центра ротора по замкнутой траектории т.е.

Л& ¿J = ¿¿(ê)~

где ¿¿0) - "стационарная" (невозмущенная) форма профиля, а

X(¿) , Jfé^J « У — координаты центра ротора. В качестве масштаба выбрана величина 2 /c<J , что отвечает

¿ — /\ . Уравнение движения ротора имеет вид

2ЯГ

/V г - - ^р

" о

где /У = /77 сО /(/I /за А? - безразмерная масса

ротора, а /п её размерное значение.

Разыскивается такой профиль ¿¿(¿>) , при котором величина м имеет максимальное значение. Иначе говоря, необходимо построить такой профиль ¿/(&) сила реакции газового слоя на котором уравновесит ротор с максимальной массой. Оказывается, что таким является кусочно-ступенчатый профиль на каждом из секторов. Значения /V для /Г =2,3 и 4 равны соответственно 0,530; 0,472; 0,397. При этом оптимальные параметрические профили дают значения на 10-50% меньшие.

В п.3.5 рассматривается периодическая задача в следующей ' постановке .Я = { эс | (? < -X < 1 } : /

^ -/(р-/Л^ ле />&

при этом предполагаем, что /> и А являются периодическими функциями, причем функция р> также удовлетворяет условию Элрода - Бургдорф^па

с

Наличие последнего условия приводит к тому, что подинте-гральная функция.должна быть знакопеременна на [.0,17 » т*е» должны существовать зоны с р < / , что противоречит условию р > / выполнение которого дает минимум АА . Устранить противоречие позволяет выбор функции = А^^ Л

на участках с р < / , при уменьшении размеров самих этих участков. При этой обнаруживается естественная связь периодической задачи с задачей с условиями / рода. А именно, если в периодическом случае А {(?) = Аг^^ —* со , тогда как

в остальных точках Л близко к оптимальному для задачи Дирихле, то можно найти />СО) — J - /- О такое, что условие Элрода - Бургдорфера выполняется, причем значение подъемной силы стремится к её значению в задаче Дирихле.

Результаты вычислений, приведенные в таблице | подтверждают высказанные выше соображения.

Б п.3.6 решена задача о реверсивном, оптимальном по несущей способности профиле. Необходимость решения подобной задачи обусловлена тем обстоятельством, что в ряде машин необходимо, чтобы профиль обеспечивал наличие несущей способности независимо от направления скольжения.

Таблица I

л 10 50 со

-7 Р(О) -7 Р{0) -7 Р(0)

5 0,130 0,989 0,141 0,985 0,165 1,0

10 0,241 0,971 0,273 0,977 0,304 1,0

50 0,901 0,967 0,912 0,973 0,9556 1,0

Здесь £2 = [ х ) - < X < J и реверсивность ихб. записана в форме

а функционал имеет вид

Результаты численного решения приведены в таблице 2 для ряда чисел сжимаемости У\. . Профиль имеет одну точку разрыва -2*г и весьма близок к линейному.

В четвертой главе результаты предыдущих глав применены к решению грех задач оптимального проектирования микрогеометрии смазочного слоя в случае когда поле давления описывается задачей Дирихле для уравнения Рейнольдса.

Таблица Z

Л - У Afrz) fl(O^) Р ' так

I 10 100 0,002250 0,1171 0,8626 I,0552 1,1159 1,2210 1,6377 1,9217 3,6372 1,0453 1,2888 2 ,4262 0,2595 0,2467 0,2609

В п.4.1 описана специфика рассматриваемых в главе 4 задач. В п.4.2 рассматривается задача о максимуме подъемной силы пространственного подпятника для случая сжимаемого газа, т.е. задача для произвольных чисел сжимаемости (пространственная задача Рэлея для сжимаемого газа). Итак, здесь Ш. = {aCi^Ä I |ЯС,| < 0,5-, 0 £ ОС < 1 }

¿"f j, J=-fi/>-/M-Q , Л€<%?./>-/6ttto) а

где /О есть решение тождества

О.

В силу квазилинейности уравнения Рейнольдса в задаче удается сделать некоторые качественные заключения о характере профиля, который аналогичен Задаче . Результаты вычислений приведены в таблице 3 в зависимости от параметра удлинения

Г//С Л-У - характеризующего соотношения для ряда размерных длин.

В п.4.3 решена задача об оптимизации микрогеометрии упорного секторного подшипника при малых числах сжимаемости. Все сектора предполагаются имеющими

Таблица 3

5 . Ю 25

0 -3 0,165 0,304

0,5 0,138 .0,255 0,520

1,0 0,107 0,208 0,445

одинаковый угол охвата: А = ЗЗ^У'/У' . гда - число секторов. т.о. = [ч }<р | ^о ^ г < 1, <? < V £ ¿1 }

Р,А

где уО есть решение интегрального тождества

Л

Л-3А-о, о)

а

Очевидно, что задача аналогична задаче и для нее

справедлив весь качественный анализ указанный там. Вычисления проводились для значений - 0,1; 0,5 и 0,75 при числе секторов /Ь' = 1-8. Сравнение результатов проводилось с данными работ отечественных и зарубежных авторов. Например, при /V =4 и = 0,5 оптимальный профиль имеет на 23% большую подъемную силу, чем указанный оптимальный параметрический в работе Чау К., Ченга Ш. и Уиллона Д. При этом величина оптимального удлинения

— ^ ф /Ь 1 -°

'Я1

/- Ъ

указанное авторами совпадает с найденным е настоящей работе и

составляет й: 3,5. Характерный профиль линии разрыва для /1^= 3 и ?0 =0,5 приведен на рис.2.

В'п.4.4 в пространственной постановке рассмотрена одномерная задача решенная в п.3.2 для малых чисел сжимаемости, Предпо-рис.2 лагается, что подшипник

сообщается со__средой через бесконечно-тонкую питающую щель. Итак, здесь - { О ^ <9 < | | ^ }

с7, <7 ~ ЛАеЯ^р^й'яэ)

р удовлетворяет линейному интегральному товдеству и должно выполняться изопериметрическое условие

= О

Качественный анализ задачи окалывается затруднителен и она решалась численно. При этом дали себя знать все особенности, выявленные при решении одномерных задач п.3.2 и 3.3. Важным совокупным результатом вычислений является тот факт, что задача оптимизации в случае цилиндрического подшипника конечной длины имеет два решения. Подъемная сила в первом случае, например, для /_, = равна - 0,317^1 » во втором случае - 0,316у! , что в рамках суммарной погрешности вычислений дает основание считать их одинаковыми. Результаты вычислений приведены в таблице 4 для каждого из решений

Таблица 4

сю У

0,531 0,491 0,504 0,461 0,470 0,407 0,412 0,317 0,316

В п.4.5 приведены используемые в главе 4 алгоритмы, включая и вариационно-разностные схемы для решения нелинейного уравнения Рейнольдса в случае разрывных функций профиля Л. Нелинейность "устранялась" путем д'.'лтг.;:з&:г<'и уравнения по методу Ньютона. Для решения систем конечно-разностных уравнений

использовались как итерационные методы (преимущественно верхней релаксации), так и прямые. При этом на больших числах узлов, больших чем (30 х 30), преимущество прямых методов существенно. Особое место в алгоритме построения вариации функции профиля занимает вычисление градиентов /> и сопряженного множителя й ка подвижных сетках, для чего, как правило, использовались аппроксимации сплайнами.

В пятой главе изучаются периодические вариационные задачи.

В п.5.1 указаны особенности рассматриваемых в пятой главе задач.

В п.5.2 рассматривается периодическая задача в прямоугольной области (задача ¿р ) сформулированная в п.2.2. Соображения высказанные там подтверждаются в численном эксперименте. Здесь параметр удлинения А является опреде-

ляющим. Рассматривались два предельных случая. В первом

» со , т.е. область здесь является вытянутой

в направлении скольжения. Решение является симметричным и представляет собой характерный "канал" в граничных точках ко-

торого Л- - Л (рис.3). При Л -

/ —со значение подъемной силы стремится к 0. При имеется

максимум в подъемной силе отвечающий с^ 4,0.

Совершенно иная ситуа-? ция складывается при/"^ О Здесь с уменьшением профиль становится все более "сложным", поскольку в области размещается возрастающее число фрагментов соседних периодов (рис.А

рис.3 ( /-*= I)

Таким образом параметр /"* оказывается играющим роль параметра минимизирующей последовательности С ^ (?*■)} < поскольку для функционала имеем в этом случае

£

о- _ —

>0

Л

Очевидно, что с уменьшением,/"тело периодов будет нарастать до бесконечности и уравнение Рейнольдса не может быть использовано в таком случае.

В п.5.3 решается "расширенная" задача о^ , т.е. задача для определения предельной микрогеометрии, связанная с асимптотическим уравнением Рейнольдса (II) в стационарном случае:

л

Л л q

где р является решением интегрального тождества ¿2

и

В качестве класса функций

выбираются практически наиболее интересные классы для , представляющие собой "регулярные" совокупности одинаковых микропериодов с величиной периода стремящейся к нулю. В таком случае теряется и зависимость от направления скольжения и предельная функция А. м.б. охарактеризована тремя функциями "микропериода" его глубиной A , относительной шириной •КР^',) и углом наклонаJ?A;) оси микропериода к направлению скольжения ZT . При этом

всюду в дальнейшем условимся, не ограничивая общности, считать "канавки" прямоугольными в плане. Итак — £ рС^,)) причем

О < Д 1, 1^1 ^ зг/г (12)

В итоге исходная задача сводится к задаче для нескольких функций одного независимого переменного. Отдельно рассмотрены случаи малых я произвольных чисел сжимаемости У1 . Решений два, причем оба они связаны с симметрией задачи по отношению к направлению скольжения по направлению оси эсг •

Первое - симметричное с нулевым расходом и "шевронными" канавками с параметрами Л = 2,653; X. = 0,5; = ± 15,7°. При этом ¿7 = - Л 0,0228 . Второе м.б. реализовано двояко, с разным расположением "микроканавок". Например, в одном они расположены у границы = -0,5, заполняя область -0,5;

0,2292 ] , во втором,наоборот,у границы ос, = 0,5, заполняя область ^е[-0,2292; 0,5J . Естественно, что параметры канавок здесь одинаковы: Л = 3,189; ёв = 0,6537, =±18,2°. При этом подъемная сила равна 3 - - Л. 0,0218.

Таким образом при малых числах Л шевронный профиль здесь дает большее значение подъемной силы.

Совершенно аналогично обстоит дело и при произвольных числах сжимаемости Л , что иллюстрирует таблица 5, где '¿¡е* -

Таблица 5

Л симметричный профиль несимметричный профиль

-и Р(о) . х,*

0 1,0228 1,0456 1,0216 -0,229 1,0435

I 1,0228 1,0456 1,0218 -0,227 1,0436

ю 1,228 1,456 1,109 -0,212 1,434

100 3,279 5,559 3 ,С£€ -0,141 5,0371

граница области "микроканавок". При этом параметры микроканавок в симметричном случае сохраняют свои значения, в отличие от несимметричного, где они являются функциями сс1 ,

В п.5.4 в расширенной постановке решены задачи об осевых подпятниках - плоском и полусферическом. Постановка задачи и ее анализ аналогичны задаче п.5.3 поэтому ограничимся результатами

В каждой из задач оптимальным является решение с односторонними канавками, примыкающими к внешне!! границе области Это имеет очевидное объяснение - на внешней границе больше область контакта со средой (атмосферой).

Для плоского подпятника рассмотрен случай произвольных чисел сжимаемости у\ при различных значениях параметра внутреннего радиуса. Для полусферического результаты получены для случая малых чисел У[ ,

Поскольку полученная микрогеометрия оказывается сложной, то проведена параметрическая оптимизация, при этом выявлена решающая роль угла наклона микроканавок уЗ . Проведено сравнение с рядом известных работ по параметрической оптимизации опор.

В шестой главе рассматриваются задачи оптимизации характеристик сферической газовой опоры, широко используемой, в частности, в приборах инерциальной навигации. При этом применяется разработанная в предыдущих главах методология.

В п.6.1, который является вводным, приведены все важнейшие соотношения, используемые при решении,задач оптимизации микрогеометрии сферической газовой опоры в расширенной постановке.

В рамках рассматриваемых в работе "микроканавок" прямоугольных в плане, выражение для "сглаженной" функции" имеет вид

*г *

<А ГФ = {-/-£г сю ¿>-£ху¿7V' + 7-

, * . (13)

( / - ¿¿Г - ¿„^ С/-эе&))

где 0 - центральный угол сферических координат £)

а £х>. - осевая и экваториальная компоненты вектора относительного эксцентриситета, связанного с отклонением ротора от центрального положения (рис.5). Соотношение (13) позволяет,

в рамках малых <£ г и £>гу разыскивать решение стационарного уравнения (II) в форме

РСЪ Р)-Р0 ¿г^М + г^М* ОС/€/)} (14)

при этом функции />с- ¿" = 0,1,2 из условий симметрии такие что

= ЪГ^-я) > Ъ = - /> ГС, V) = /> рлг- ¿е (*).

Б форме аналогичной (14) представляются и коэффициенты уравнения (II) А, В, ... , Е . В итоге получаем систему дифференциальных уравнений вида ( $ - дифф. операторы):

Яс Сро гф о, Я, (р0Гр), />&)) = о,

(15)

при этой решение последнего уравнения м.б. представлено в виде

/f y; ~ y(Z¿>s<¡¿> +

Тогда для функций и имеем матричное уравнение,

относительно вектор функции ¿/f¿?) - f Iv^ftfJ)r

ЯгС&ГЧЪР^О (16)

Краевые условия к уравнениям (15), (16) таковы

= о ¿ = /; ¿/(¡?J = ¿fa) - О. CI7)

В п.6.2 выведены выражения для важнейших характеристик рассматриваемой опоры. Для малых чисел сжимаемости имеем такие выражения жесткостей

¿>f 4

¿?г=- ^/k =- ^^/f^JJ¿>'

4 J Я

при этом угол положения вычисляется по формуле

ф = ^ф-^/ж) .

В п. 6.3 рассмотрена задача об опоре имеющей максимальную осевую жесткость .

Сформулируем задачу

¿«S ^ ^ && ^ * е IV/Í^)

при этом уО0 и уО являются решением обобщенных краевых задач (15) , (17).

Здесь удается провести качественный анализ необходимых ус-

ловий экстремума ЗС- профиль оказывается аналогичным, тому что найден в п.5.4, т.е. "микроканавки" примыкают к ближней к экватору границе. Результаты вычислений приведены в таблице б

( - граница области "микроканавок"). Проведены сравнения с более технологичными решениями ("канавками" постоянной абс. ширины).

Сравнение с традиционно используемыми профилями показывает лучшие характеристики оптимальных решений. Например, для опоры с Д =7,5мм, Л0 =2мк и /°а = 1»033кгс/см^ имеем нормировочный множитель равным 0,2905кгс/мк. При этом для /VI (таблица 6) = - Л 0,04866 кгс/мк, а для опоры с А «=2; se =0,666, ji =-28° и =36° JC£=-A-<-0,0244кгс/мк. Рассмотрен также и случай произвольных чисел сжимаемости yi , при этом качественный характер микрогеометрии не претерпевает значительных изменений.

В п.6.4 решена задача о равнотхсткой сферической опоре, т.е. к условиям задачи п.6.3 добавляется условие равножесткос-ти

Z -Z 2 л Z.

О^ ~ ^xs ;

Последнее условие резко усложняет вычислительную процедуру решения. Качественный характер найденного оптимального решения аналогичен найденному в предыдущем пункте. В таблице 7 приведе-

Таблица 7

Л' ¿Г Г -¿п 4'

I 30 90 0,1627 0,1628 37,38°

22 £7 80 0,1266 0,1267 38,17°

3 30 85 0,1417 0,1417 37,96°

>щ результаты вычислений для-3-х вариантов опор. 24

Таблица 6

м. ¿Г О Ъ -я;

I 30 90 0,1675 36,71

2 27 80 0,1488 34,09

3 30 85 0,1487 36,75

В п.6.6 рассматривается задача об опоре с оптимальной совокупностью статических параметров. Известно, что такой является опора удовлетворяющая требованиям п.6.4 с добавлением условия минимума угла положения

Известны решения такой задачи в рамках параметрической оптимизации при произвольных числах сжимаемости. При этом в случае малых чисел не удается удовлетворить условию & «0. С аналогичной ситуацией мы сталкиваемся и при расширении класса оптимальных функций ДО

Задача является

весьма сложной в алгоритмическом плане. Достаточно сказать, что на каждом шаге процэдуры уточнения оптимальной ыикрогео-метрни необходимо решать всю систему уравнений (15-17). Результаты вычислений представлены в таблице 8 для »30°,

=90°, в сравнении с 'результатами В.С.Григорьева, полученными параметрической оптимизацией (помечены # )

Таблица 8

Л -Я'/ Г-2& *

10 1,463 1,458 17,22 0,805 0,824 16,26

20 2,944 2,943 10,25 2,119 2,147 7,08

30 4,255 4,252 1,31 2,915 2,912 0,0008

40 5,162 5,152 0,0103 3,515 3,573 0,0027

50 5,723 5,713 0,0204 4,321 4,124 0,0031

Что касается качественного характера оптимальных функций Л (^Д) то 01,0• в основном, остается анало-

гичным предыдущим задачам. '

В п.6.6 в рамках малых чисел'сжимаемости решена задача об опоре с максимальной критической массой. В принципиальном плане задача ставится аналогично тому как это сделано в п.3.4, с той разницей, что здесь поле давления описывается асимптоти-

ческим уравнением Рейнольдса (II), т.е. решается расширенная задача.

Таблица 9

/V Л зе -р • АГСо) ' 'еяг

I 30 90 56 2,5 0,666 27 6,22'Ю-2 1,20. КГ1

2 30 85 56 1,85 0,666 28 5,74* Ю-2 8,29-Ю~2

3 27 80 56 1,85 0,666 30 4,44'Ю"2 6,92-10-2

Результаты вычислений приведены в таблице 9 в сравнении с традиционно используемыми профилями. В качестве масштаба времени 7* выбиралась величина ¿2 /со /¿> — Л ) . Рассмотренная задача, в данной постановке (при малых числах ), служит шагом к решению задача для произвольных чисел сжимаемости^!

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации развивается новое научное направление посвященное разработке методологии решения задач оптимального проектирования узлов машин и механизмов на газовой смазке. В основе разрабатываемых подходов лежит численное моделирование на ЭВМ. Все разработанные в диссертации математические методы и построенные на их основе программные средства предназначены для автоматизации научных исследований в машиноведении и машиностроении.

В рамках рассматриваемого направления получены следующие результаты.

1. Изучены постановки пространственных (двумерных) задач оптимального проектирования для различных критериев качества и систем ограничений на функции состояния и управления.

2. Получена система необходимых условий экстремума, включая условие Вейерштрасса сильного экстремума, для стационарных за-

дач, как для сжимаемой так и для несжимаемой газовой пленки.

3. Показано, что в ряде задач системе необходимых условий удовлетворяют кусочно-гладкие оптимальные решения.

4. Построен асимптотический аналог для уравнения Рейнольд-са, представляющий значительный самостоятельный интерес, - особенно с позиций вычислительной практики.

5. Изучены постановки и приведены результаты решения для ряда расширенных вариационных задач, связанных с асимптотическим аналогом для уравнения Рейнольдса.

6. Решен ряд новых одномерных вариационных задач, в некоторых из которых удается получить явные формулы для искомых функций профиля и давления.

7. Разработаны и реализованы на ЭВМ ряд алгоритмов численного моделирования задач оптимального проектирования формы профиля для опорных и уплотнителышх узлов на основе условий оптимальности и их качественного анализа,

8. Решен ряд задач для динамических критериев качества.

9. Приведены результаты оптимизации характеристик ряда широко используемых опорных узлов, по некоторым из которых получены авторские свидетельства.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ОТРАЖЕНО В СЛЕДУЮЩИХ ПУБЛИКАЦИЯХ

1. Болдырев Ю.Я., Троицкий Е.А. Однь. вариационная задача газодинамической смазки. Газовые опоры турбомашин. Тр. Всесоюзного межвузовского совещания. Казань. 1975. С.23-28.

2. Болдырев Ю.Я., Троицкий В.А. Одна пространственная вариационная задача теории газовой смазки// Изв. АН СССР. МЖГ. №5. 1975. С.85-88.

3. Болдырев Ю.Я.,Гусев В.И. Численное решение вариационной задачи для аэродинамического подшипника скольжения. Прикладная, математика. Тр.Тульского политехнического института. 1976.

С.85-68.

4. Болдырев Ю.Я. О вариационных задачах теории газовой смазки. 2-я Всесоюзная конференция по оптимальному управлению в механических системах (тез.докладов). Казань.1977.С.91-92,

5. Болдырев Ю.Я. Об оптимизации подшипников с газовой смазкой по критерию устойчивости. 3-я Всесоюзная конференция по оптимальному управлению в механических системах (тез.докладов) .тКиев. 1979. С.90-91.

ф. Болдырев Ю.Я. Вариационные задачи, связанные с уравнением Рейнольдса газовой смазки. 4-я Всесоюзная конференция по оптимальному управлению в механических системах йсз.докладов). Москва. 1982. С.32-33.

7. Еолдьрев Ю.Я., Григорьев B.C. Численное решение урвв- ' нения Рейнольдса газовой смазки с помощь» метода конечных элементов. Машиноведение. 1982. К. С.78-84.

8. Болдырер Ю.Я.^оптимизации жесткостных характеристик сферических газовых опор. Всесоюзное совещание по газовой смазке, Винница. 1983. С.20-21.

9. Еолдьрев Ю.Я. Оптимальные задачи теории смазки. Вкн. Трение и смазка в машинах. Всесоюзная конференция. Челябинск. 1983. С.134-135.

10. Болдырев Ю.Я. Радиальный газовый подшипник с максимальной несущей способностью. Гидроапродинмаика. J1.: ЛПИ. 1983. С.82-88.

11. Аленсенко U.C., Болдырев Ю.Я. Оптимизация формы радиального секторного подшипника с газовой смазкой по критерии устойчивости// Маииновецение. 1064. 12. С.98-102.

12. Еолдьрев В.Я., Слесарев M. Е. Одномерный радиальный газовый подшипник с максимальной несущей способностью// Машиноведение. 1987. JJ4. G.97-103.

13. Еолдьрев ID.Я., Григорьев B.C., Смирнов В.К. Оптимизация аэродинамических характеристик сферической газовой опоры со спиральными шкроканавкэми. Вкч. Вопросы проектирования и отработки гироскопических комплексов. Л.: НТО Приборпром. 1967.

14. Еолцыргв Ю.Я., Смирнов В.11. Оптимизация аэродинамических характеристик сферической ГД0. Сб. Ракетно-космическая техника. Внл.2., сер.10,Г-С6. С.76-81.

1С.. Болдырев ЮЛ'., Бориео? Ю.В. Газовые лсигзвшияи с оптимальней микрогоомотгией сказочного слоя. !,': Зкн."Газовая смазка в уаяжчат и тп-^орэх". Тг.Всесоюзного совещания. 198?. С.32.

16. Болдырев Ю.Я., Григорьев B.C., Измайлов Г.К. Некоторые подходы К оптимизации опор на газовой смазке, В кн. " Оптими -зация эксплуатационных свойств опор скольжения". Тр. Мевду-народыой школы сеиинара-Гриболог-6 М.Росгов Великий. 1990.

С.23-27.

17. Болдырев Ю.Я., Печенкин А.П. Оптимизация по критерию устойчивости сферической газовой опоры. Тр. Всесоюзной школы-семинара (тез.докладов). Новороссийск. 1990. С.21

18. Болдырев D.H., Борисов Ю.В. Упорный секторный подшипник с газовой смазкой, имеющий максимальную несущую способность// Изв. АН СССР MIT. 1990. 16. С.35-42.

19. Болдырев D.H. К проблеме построения асимптотического уравнения Рейнольдса газовой смазки// Изв. АН СССР MIT. 1991. №6. С.8-14.

20. Болдырев Ю.Я., Смирнов В.И. Слабонагруженная сферическая газовая опора с периодическим микропрофилем, работающая при малых числах сжимаемости и имеющая максимальную осевую жесткость// Трение и износ. 1991. Т.12. »3. С.427-436.

21. Болдырев Ю.Я. Модельная пространственная вариационная задача теории газовой смазки для периодического профиля. В сб. Проектирование и технология изготовления газовых опор экологически чистых машин (тез.докл.). М. 1991. С.27.

22. Болдырев Ю.Я. Периодическая вариационная задача, связанная с линейным уравнением Рейнольдса // Изв. АН СССР МЖГ. 1992. Ж. С. 3-10.

23. Болдырев Ю.Я. Об оптимизации периодического профиля в задачах теории газовой смазки. Малые числа сжимаемости// Трение и износ. 1992. Ж. С.280-289.

24. Болдырев Ю.Я., Григорьев B.C., Печенкин А.П. Динамические коэффициенты сферической газовой опоры со спигальны-ми канавками. Прикладная математика. Сб. тр. СПбГТУ. 1992. С.25-34.

25. Болдырев Ю.Я. Оптимизация некоторых характеристик сферической газовой опоры с периодическим микропрофилем. Прикладная математика. Сб. тр. СПбГТУ. С-Пб. 1992. С.16-25