автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости около пластины со вдувом с части поверхности на основе алгоритма расщепления

005045833

На правах рукописи

Базовкин Андрей Владимирович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ОКОЛО ПЛАСТИНЫ СО ВДУВОМ С ЧАСТИ ПОВЕРХНОСТИ НА ОСНОВЕ АЛГОРИТМА РАСЩЕПЛЕНИЯ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 /> /дои 2012

Новосибирск — 2012

005045833

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук

Научный руководитель:

Ковеня Виктор Михайлович, д. ф.-м. н., проф., Институт вычислительных технологий СО РАН, г.н.с.

Официальные оппоненты:

Воеводин Анатолий Федорович, д. ф.-м. н., проф.,

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, г.н.с.

Захаров Юрий Николаевич, д. ф.-м. н., проф., Кемеровский государственный университет, заведующий кафедрой Вычислительной математики.

Ведущая организация:

Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН

Защита состоится «19» июня 2012 года в 16 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 003.061.02 на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. ак. Лаврентьева, 6

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук

Автореферат разослан «18» мая 2012 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н., проф. £ Сорокин Сергей Борисович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Диссертационная работа посвящена решению актуальной задачи — описанию течений вязкой несжимаемой жидкости около пластины со вдувом и исследованию влияния вдува на сопротивление обтекаемого тела. Возрастающее внимание к проблемам энергоэффективности делает актуальной задачу уменьшения сопротивления трения обтекаемых тел. Экспериментально установлено, что одним из способов снижения сопротивления служит микровдув с части поверхности. Приставка "микро" означает, что скорость вдуваемого газа много меньше скорости набегающего потока, а диаметр пор много меньше толщины пограничного слоя. В силу трудоёмкости лабораторных экспериментов по изучению течений с поверхностным микровдувом и их дороговизны, большое значение приобретает вычислительный эксперимент, успешная реализация которого основана на эффективном численном алгоритме, и, созданном с его помощью, программном обеспечении расчета. В наиболее полной постановке рассматриваемая задача может быть решена на основе уравнений Навье — Стокса вязкой несжимаемой жидкости. До настоящего времени моделирование данного класса течений осуществлено в отдельных работах лишь в рамках модели сжимаемого газа.

Цель работы заключается:

— в разработке численного алгоритма для решения трехмерных уравнений Навье — Стокса и замкнутых уравнений Рейнольдса вязкой несжимаемой жидкости на основе расщепления уравнений по физическим процессам и пространственным направлениям,

— в проведении вычислительных экспериментов в задачах обтекания тел вязкой несжимаемой жидкостью с микровдувом с части поверхности,

— в исследовании влияний интенсивности микровдува с части поверхности и его распределения на поведение локального и интегрального коэффициентов трения.

Основные результаты, выносимые на защиту (результаты перечислены в соответствии с пунктами паспорта специальности 05.13.18 — "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"):

1. (Пункт 1. Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений) Метод моделирования течений с микровдувом, основанный на использовании уравнений Навье — Стокса несжимаемой жидкости (для ламинарных течений), или осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье — Стокса, замкнутых по Буссинеску через турбулентную вязкость (для турбулентных течений). Результаты анализа математических моделей Навье — Стокса и уравнений пограничного слоя показывают, что адекватное моделирование течений вязкой несжимаемой

жидкости около пластины с микровдувом с части поверхности может быть получено лишь в рамках уравнений Навье - Стокса.

2. (Пункт 3. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий) Численный алгоритм для решения трехмерных уравнений вязкой несжимаемой жидкости в преобразованных криволинейных координатах, основанный на специальном расщеплении уравнений.

3. (Пункт 4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента) Комплекс программ для решения двумерных и трехмерных уравнений Навье — Стокса и замкнутых уравнений Рейнольдса вязкой несжимаемой жидкости, созданный на основе разработанного алгоритма и поддерживающий параллельные вычисления на многопроцессорных системах с общей памятью.

4. (Пункт 5. Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента) Результаты численных расчетов ламинарных и турбулентных пространственных течений вязкой несжимаемой жидкости около пластины с микровдувом в широком диапазоне параметров. Результаты исследования влияния микровдува на сопротивление трения обтекаемого тела, подтвердившие возможность снижения сопротивления при использовании микровдува.

Научная новизна.

1. Предложены модификации метода расщепления по физическим процессам и пространственным направлениям для численного решения уравнений Навье — Стокса вязкой несжимаемой жидкости (в том числе осредненных по Рейнольдсу с замыканием по Буссинеску), обобщающие метод на случай трехмерных уравнений и на случай преобразованных криволинейных координат.

2. На основе разработанного алгоритма создан комплекс программ для решения трехмерных уравнений Навье - Стокса и замкнутых уравнений Рейнольдса вязкой несжимаемой жидкости в криволинейных преобразованных координатах, с возможностью проведения вычислений на многопроцессорных системах с общей памятью. На момент создания данный комплекс является новым.

3. Показано, что при моделировании течений с поверхностным микровдувом модель уравнений Навье — Стокса дает более близкие к эксперименту результаты, чем модель пограничного слоя. Моделирование течений с микровдувом на основе уравнений Навье — Стокса несжимаемой жидкости и замкнутых уравнений Рейнольдса осуществлено впервые.

Практическая ценность результатов исследований, вошедших в диссертационную работу, определяется возможностью использования созданных автором алгоритма и комплекса программ для исследования течений вязкой несжимаемой жидкости в широком классе задач

гидродинамики, в том числе для исследования влияния вдува на уменьшение сопротивления трения движущихся тел и их элементов.

Обоснованность н достоверность результатов вытекает из: использования экономичных разностных схем, их достаточной точности; тестирования алгоритма на точных решениях и модельных задачах; сравнения с расчетами, выполненными другими авторами; сравнения с экспериментальными данными.

Представление работы. Результаты диссертации были представлены на IX Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2008); шестом совещании Российско-казахстанской рабочей группы по вычислительным и информационным технологиям (Алматы, 2009); всероссийской конференции "Математика в приложениях", приуроченной к 80-летию С. К. Годунова (Новосибирск, 2009); международной конференции Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике посвящённой 110-летию академика М. А. Лаврентьева (Новосибирск, 2010); международной конференции по методам аэрофизических исследований (Новосибирск, 2010); XVII международной конференции по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Крым, Алушта, 2011); Международной конференции "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", посвященной 90-летию со дня рождения академика Н. Н. Яненко (Новосибирск, 2011); семинарах Института вычислительных технологий СО РАН и Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН.

Публикации. Основные результаты работы изложены в публикациях [1 — 9]. Из них две работы [1 — 2] в журналах, рекомендованных ВАК; одна работа [4] в трудах совещания по вычислительным и информационным технологиям; шесть работ [3,5 — 9] в материалах международных и всероссийских конференций.

Личный вклад автора. В работах [1,3,4,7] автор участвовал в разработке экономичной разностной схемы с расщеплением по физическим процессам и пространственным направлениям, предназначенной для численного решения трехмерных уравнений Навье-Стокса и замкнутых уравнений Рейнольдса несжимаемой жидкости в системе преобразованных криволинейных координат. В работах [2, 8, 9] автором проведены:

— численное моделирование (на основе созданного комплекса программ) ламинарных и турбулентных течений вязкой несжимаемой жидкости около пластины с микровдувом газа с части поверхности;

— исследование влияний интенсивности и распределения вдува на поведение локального и интегрального коэффициентов трения;

— сопоставление расчётов с экспериментальными данными.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы. Список литературы

состоит из 139 наименований. Работа изложена на 144 страницах, содержит 64 рисунка и 10 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы цели диссертационной работы, показана актуальность решаемой задачи, дано краткое содержание работы.

В начале первой главы приведена математическая формулировка используемой модели течения в приближении осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье — Стокса вязкой несжимаемой жидкости. Данная система незамкнута, и для рейнольдсовых напряжений требуется задать дополнительные соотношения. Для этой дели использована гипотеза Буссинеска, конкретизирующая вид рейнольдсовых напряжений и вводящая понятие "турбулентной вязкости". Для моделирования турбулентной вязкости использована алгебраическая модель пути перемешивания Прандтля [1ц], включающая модифицированную формулу Ван Дриста. Для удобства численного моделирования система уравнений приведена к безразмерному виду: величины отнесены к их значениям в набегающем потоке, а пространственные координаты отнесены к длине пластины. Исходные уравнения в дивергентной форме имеют вид

31 з д

_• 1 /п- '

М— = -ді

XV,

/=і ОХ,

(I)

где

ди.

Ґр> Ґ и. ] >

М1 иг II ихи. и2и. + 31р г + 82р

+ д3р

М =

0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

ди.

_У

дх . дх.

' /

5' - символ Кронекера, определяемый как 3' = <

І

если если

^ = ^ +

сумма коэффициентов молекулярной

и турбулентной

вязкости; остальные обозначения стандартны.

Введено обобщенное невырожденное преобразование координат

д1=д1(х1,х2,х3), д2=д2(хгх2,х3), ЯЪ=ЧЪ( хгх2,хъ), (2)

позволяющее перевести исходную расчётную область в единичный куб. В практических задачах решение уравнений приходится искать, как правило, в сложной криволинейной области. Преобразование координат позволяет находить решение задачи в более простой области, в которой вводится

равномерная расчетная сетка, что упрощает аппроксимацию производных. Использование преобразования координат способно также обеспечить сгущение узлов сетки в областях больших градиентов, что важно при расчетах течений, имеющих пограничный слой. Вектор XV из (1), записанный в новых координатах, обозначим через \У. При построении разностной схемы использовался и недивергентный вид исходных уравнений:

дТ 3

М—+ ВГ = Я, В = X В , (3)

Й

где

(.1=1, 2, 3),

В. = міг/. У.,— 1 м ' '' cqt

з

-z 1=1

^ о о о о

о

1 + 5? І

о о

в„

а

J.

1=0 О

о

1 + 52 /

О

д , 'Ч

о о о

1 + <53

т , д_

" cq, " cq, ■

l8q.

і2дЯі

"dq. О

О

J.

а вектор R содержит все оставшиеся члены, т.е. смешанные производные; J.j — компоненты якобиана преобразования координат (2).

Для построения разностной схемы в расчетной области 2 = [0,l]x[0,l]x[0,l]x^,/2J введена равномерная сетка с шагами h2, h3 в

пространственных направлениях и шагом т по времени. В узлах сетки определены сеточные функции f =У(/ Л], j fi2, к hi, t\ + т /г). Матричный оператор В и векторы W и R, аппроксимировались симметричными разностными операторами ВА, Wи и R^ со вторым порядком. Для аппроксимации системы (3) рассмотрена разностная схема с весами

fn+1 rn

-1 - . -и+1

м

- + BA(af"+,+/3f") = R^, р=\-а,

которая может быть представлена в каноническом виде

f _ fn

М-+ гаВ,

/ fЛ+1

= R, — В f".

h h

В силу эквивалентности дивергентной и недивергентной формы исходных уравнений схема (4) может быть представлена в виде

|>И+1 _ гп _

(м+гаВА)---= -\УА. (5)

Схема (5) аппроксимирует исходные уравнения с порядком где

й = тах(/2(,/12,А3). Для реализации схемы (4) использована идеология

построения схем расщепления, изложенная в монографии [2ц]. Суть данного метода заключается в сведении решения исходной многомерной задачи к последовательности их одномерных аналогов или более простых задач. В упомянутой монографии метод расщепления рассматривался применительно к уравнениям газовой динамики. В силу вырожденности оператора М методы расщепления, разработанные для решения уравнений газовой динамики, не могут быть непосредственно применены для решения уравнений несжимаемой жидкости. Для решения разностного уравнения (5), записанного в декартовых координатах, в работе [Зц] предложена схема расщепления, которая в настоящей работе обобщена на трехмерный случай и на случай произвольного преобразования координат. Для оператора М + таВЛ использована приближенная факторизация:

М + таВА=(м+таВ0Л)п(1+таВ,А) + о(т2), (6)

где матричные разностные операторы В/Л имеют вид

Во„ =

В

/ 0 ¿1 I J.-A. ¡2 I Л. 13 1

Л ЛА. 11 / 0 0 0

Л 2 1 0 0 0

J ,А. К |3 I 0 0 0

Го 0 0 0 N

3 0 1 + 51 г 0 0

/=1 0 0 1 + 5? I 0

0 0 0 1 + <5.3

С учетом факторизации (6) схема (5) может быть представлена в виде

3 _ гП

(м + ШВМ)П(1 + «*Ва)—= -\УА,

или в эквивалентной форме в виде схемы в дробных шагах:

\ (7)

(1+гавзл)Г3/4 = Г2/4, (1 + гаВ0Л)Г+1=Г3/4, Г+1=Г+тг;п+1,

где !; = ^ ) - вектор невязки. Схема (7), как и (5), аппроксимирует исходные уравнения с порядком о{т+И2^. Кратко остановимся на реализации схемы (7). На нулевом дробном шаге значение вычисляется явно. Значения невязок на последующих трех шагах (, ^4+2/4, ¡;"+3/'4) находятся с помощью трехточечных скалярных прогонок. Система разностных уравнений на четвертом дробном шаге сведена к разностному аналогу уравнения Пуассона для невязки давления с,"^

та (./, Д^Л, + ^.Л^Л + = /;+1, (8)

р (1 ;2 Р2 ¡3 1=3 ТП Р

где

2 +-/,2ЛЛ2Л, +-/ПЛЛзЛ,)С

1*к

которое решается методом установления по схеме приближенной факторизации. После этого значения невязок скоростей на четвертом дробном шаге находятся явно. Функции на новом временном слое находятся

из последнего шага схемы (7). В конце I главы изложен алгоритм аппроксимации граничных условий для вектора невязок, исходя из краевых условий для искомых переменных. Если для искомой переменной на границе задано условие Дирихле, то из последнего дробного шага схемы (7) следует, что невязка на границе должна принимать нулевое значение; если для искомой переменной на границе задано условие Неймана, то из последнего шага схемы (7) следует, что для невязки должно быть задано нулевое условие Неймана. Пересчет граничных условий для искомых переменных производится также на полном шаге схемы (7).

Глава II посвящена двумерным расчетам течения несжимаемой жидкости около пластины. Показано, что в случае ламинарного течения около непроницаемой пластины результаты численных расчетов близки точному решению Блазиуса уравнений ламинарного пограничного слоя.

При моделировании течений с микровдувом рассматривалось два

способа организации вдува: в одном случае вдув задавался равномерным по

9

всей области, в другом — осуществлялся с последовательно расположенных в области вдува участков, количество которых варьировалось, но их общая площадь не менялась и составляла 19 % от площади равномерно распределенного вдува. При увеличении числа участков вдува (но с сохранением массового расхода вдуваемого газа) значение интегрального коэффициента трения приближается к значению интегрального коэффициента трения для непрерывного вдува. Этот вывод позволил в дальнейшем рассматривать лишь непрерывные области вдува, как более простые при численных расчетах. Для течений с микровдувом проведено сравнение расчетов, полученных на основе модели Навье —Стокса и на основе модели пограничного слоя [1ц]. Установлено, что хотя распределения локального коэффициента трения, полученные по этим двум моделям, сильно различаются, но интегральные значения коэффициента трения при небольших интенсивностях вдува близки, однако с возрастанием интенсивности вдува коэффициенты трения не совпадают даже в интегральном смысле. В отсутствии вдува значения с^, найденные на основе

модели Навье — Стокса и модели пограничного слоя, в широком диапазоне чисел Рейнольдса практически совпали.

Излагаемые далее результаты посвящены турбулентным течениям. При числе Рейнольдса Яе = 105 проведены тестовые расчёты течений около пластины со вдувом и показана близость решений уравнений Рейнольдса, полученных на основе предложенного алгоритма и алгоритма [2]. Для числа Рейнольдса 11е = 1,4-10б проведено сравнение численных решений с теорией турбулентного пограничного слоя и с экспериментальными данными [4ц,5ц]. В отсутствии вдува получено хорошее соответствие численных расчетов с полуэмпирической теорией турбулентного пограничного слоя на плоской пластине. Распределение локального коэффициента трения оказалось близко распределениям, найденным на основе формул Прандтля — Шлихтинга и Кармана. Для профиля скорости также получено хорошее совпадение с теорией: в ламинарном подслое профиль скорости в переменных "закона стенки" совпадает с линейным профилем и+ = , а в логарифмической области — с классическим профилем скорости и+ = 5,751о§(_у+) + 5,5 [6ц]. Отмечено, однако, небольшое различие данного профиля от профиля, полученного в работе [4ц]. Сделана попытка объяснить данное различие на основе эффекта шероховатости. Особое внимание уделено рассмотрению турбулентных течений около пластины при наличии микровдува. Показано, что в области вдува распределение коэффициента трения свычисленное

по схеме (7), удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными [4ц]: например, при интенсивности вдува Vь =1,48-Ю-3 различие значений с^ составляет приблизительно 8 %. Заметим, что решение,

полученное на основе уравнений пограничного слоя, при данной интенсивности вдува отличается от экспериментальных данных более чем на

10

Рис. I. Изменение коэффициента трения в зависимости от интенсивности вОува. Кривая 1 - расчет по модели пограничного слоя [1ц]; кривая 2 — расчет по преоложенному алгоритму; точки 3 —результаты экспериментальных измерений [4ц].

20 %. На рис. 1 представлено изменение с^ в середине области вдува в

зависимости от интенсивности вдува. Можно отметить, что при увеличении интенсивности вдува различие экспериментальных данных и расчетов по модели Навье — Стокса сокращается.

С целью сравнения с экспериментальными результатами исследовано изменение профиля скорости в переменных "закона стенки" в зависимости от интенсивности вдува. С возрастанием интенсивности вдува различие экспериментального профиля скорости от численного профиля становится более значительным. Это может свидетельствовать о несовершенстве используемой модели турбулентности. Однако следует заметить, что в переменных обобщенного (на случай вдува - отсоса) закона стенки профили скорости, вычисленные по схеме (7), хорошо описываются теоретической

зависимостью + Іп^ + С(и+) [5ц], а значения С(и+),

найденные на основе численных расчетов приблизительно соответствуют полученным в экспериментах. Отсюда можно сделать вывод, что при наличии вдува рассчитанные профили скорости находятся в удовлетворительном соответствии с экспериментальными данными. Для различных интенсивностей вдува в работе приведены линии тока осредненного течения, которые наглядно демонстрируют влияние вдува на изменение структуры пограничного слоя. В завершении главы рассматривается вопрос выбора размеров вычислительной области таким образом, чтобы верхняя граница не оказывала влияния на характеристики течения внутри пограничного слоя. Показано, что распределение коэффициента трения с^ почти не зависит от положения верхней границы,

если последняя находится от поверхности тела на расстоянии приблизнії

Рис. 2. Расчётная область в трёхмерном случае.

тельно 205, где 5 - толщина пограничного слоя.

Глава П1 посвящена расчетам трехмерных турбулентных течений около пластины с микровдувом. Расчётная область схематично представлена на рис. 2. В начале главы дана постановка начально — краевой задачи. Далее приведены результаты сравнения трехмерных расчетов с двумерными расчетами, а также с данными экспериментов [4ц, 5ц]. Рис. 3 демонстрирует изменение локального коэффициента трения по длине модели при интенсивности вдува иь = 1,48 • 10_3 и при числе Рейнольдса, вычисленному

по длине пластины, равном Яе7 = 3,24-106. Координата х нормирована

следующим образом: * = -0,1091)/(1-0,1091), где £ = 2,3136 -общая

л:

Рис. 3. Распределение местного коэффициента трения с^ на оси симметрии

пластины для = 3,24 ■ 10б. Точки 1 и кривая 2 соответствуют режиму

течения в отсутствии вдува; точки 3 и кривые 4, 5 - интенсивности вдува

иь = 1,48 ■ 10~3; точки — данные эксперимента; кривые 2, 5, — результаты

трехмерных расчетов; 4 — двумерного расчета. Вертикальные пунктирные прямые показывают границы области вдува.

длина пластины. В области вдува результаты двумерных и трехмерных расчетов очень близки, основное отличие наблюдается за областью вдува. В работе предложено качественное объяснение этому эффекту. Дано сравнение профилей скорости, полученных в двумерных и трехмерных расчетах при различных интенсивностях вдува. Поскольку экспериментальные данные по ширине пластины отсутствуют, то при исследовании характеристик течения в этом направлении пришлось ограничиться данными только численных расчетов. Сравнение профилей скорости по ширине пластины показало, что профиль скорости, представленный в переменных закона стенки, скачкообразно изменяется на боковой границе области вдува, а по ширине области вдува и за её пределами остаётся почти неизменным.

В работе приведены изолинии коэффициента трения с^ вдоль

поверхности пластины, полученные при разных интенсивностях вдува. Рис. 4 соответствует вдуву 11 ь = 1,48 ■ 10-3 при Ие^ = 3,24 • 106. На рис. 5 представлен коэффициент трения в нормировке с^с^ (<у0 - локальный коэффициент трения в отсутствии вдува) при интенсивности вдува иь = 2,76x10~3 и числе Рейнольдса Яе^ =3,24-106. При данном значении 1]ь

снижение сопротивления трения в области вдува превышает 65 %; за областью вдува имеется протяженный участок, где снижение сопротивления составляет несколько процентов.

1

0,8 0,6 0,4 0,2

0

Рис. 4. Изолинии коэффициента трения с^ - 103 вдоль поверхности

пластины.

0,8

0,6

0,4

0,2

0

Решение трехмерных уравнений Навье - Стокса требует большого числа вычислений, и вопрос параллельной организации вычислений является актуальным. Отметим, что типичный размер сетки в трехмерных расчетах содержал 253x101x416 узлов. В работе описан алгоритм, позволяющий осуществить эффективную параллельную реализацию схемы (7). На некоторых этапах реализация схемы сводится к независимому решению разностных уравнений для невязок компонент скоростей методом скалярных прогонок. Это позволяет проводить вычисления параллельно на отдельных процессорах. Подобная процедура параллельного счета была применена и при решении уравнения Пуассона. В конце главы приведены данные по ускорению счета, полученные на разных задачах посредством распараллеливания. При использовании 12 - процессорной системы с общей памятью было получено 8 — кратное ускорение вычислений.

ВЫВОДЫ

1. Разработан численный алгоритм для решения трехмерных уравнений Навье - Стокса (замкнутых уравнений Рейнольдса) в обобщенных криволинейных координатах на основе расщепления по физическим процессам и пространственным направлениям.

2. Создан комплекс программ, позволяющий моделировать двумерные и трехмерные течения вязкой несжимаемой жидкости при ламинарном и турбулентном режимах. Создана параллельная реализация программного кода, позволяющая проводить вычисления на многопроцессорных системах с общей памятью.

Рис. 5. Изолинии сг !с , вдоль поверхности пластины.

3. Проведены вычислительные эксперименты для задач обтекания тел вязкой несжимаемой жидкостью, в том числе с микровдувом с части поверхности. Получено хорошее соответствие численных расчетов с теорией ламинарного и турбулентного пограничного слоя, а также с экспериментальными данными.

4. Показано, что моделирование течений с поверхностным микровдувом в приближении уравнений Навье — Стокса дает более близкие к эксперименту результаты, чем приближение пограничного слоя.

5. Исследованы влияния распределения вдува и его интенсивности на значения локального и интегрального коэффициентов трения. Показано, что при равенстве массовых расходов вдуваемого газа, интегральный коэффициент трения пластины, имеющей область вдува, состоящую из последовательности участков, близок к интегральному коэффициенту трения пластины, имеющей непрерывную область вдува.

Список цитируемой литературы

1ц. Колобов Б. П., Попков А. Н., Моделирование двумерного пограничного слоя // Сб. Численные методы в механике жидкости и газа, ИТПМ СО АН СССР, Новосибирск, 1980.

2ц. Ковеня В. М., Яненко Н. Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981.

Зц. Ковеня В. М. Алгоритмы оптимального расщепления в задачах аэро и гидродинамики. И Матем. моделирование. 2004. Т.16, №6. С. 23-27. 4ц. Корнилов В. И., Бойко А. В., Использование микровдува воздуха через пористую стенку для снижения трения на плоской пластине // Вестник НГУ. Серия: Физика. 2010. Том 5, выпуск 3. С. 38^16;

5ц. Kornilov V. I., Boiko А. V., Efficiency of air microblowing through microperforated wall for flat plate drag reduction // AIAA Journal. 2012. V. 50. P. 724-732.

6ц. Лойцянский JI. Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа. 2003.

Список публикаций автора по теме работы

В журналах:

1. Базовкин А. В., Вавилова О. М., Ковеня В. М. Метод факторизации для численного решения уравнений вязкой несжимаемой жидкости // Вычислительные технологии. 2009. Т.14, №2. С.13—31.

2. Базовкин А. В., Ковеня В. М., Лебедев А. С. Численное моделирование течения газа около пластины с микровдувом. // Вычислительные технологии. 2012. Т. 17, № 2. С. 20-31.

В материалах конференций и совещаний:

3. Базовкин А. В. Алгоритм расщепления для решения уравнений пространственных течений вязкой несжимаемой жидкости. IX Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Кемерово, 28-30 окт. 2008 г.: Программа и тезисы докладов. — Новосибирск, 2008. стр. 17—18.

4. Базовкин А. В., Ковеня В. М. Об одном алгоритме решения уравнений вязкой несжимаемой жидкости. Российско-казахстанская рабочая группа по вычислительным и информационным технологиям, Алматы, 16-18 марта 2009 г.: Труды шестого совещания / Под общ. ред. Жумагулова Б. Т. -Алматы: Казак университет^ 2009. С. 92-100.

5. Ковеня В. М., Базовкин А. В., Слюняев А. Ю. Численное моделирование задач аэродинамики на основе метода расщепления // Математика в приложениях : всерос. конф. приуроч. к 80-летию С. К. Годунова, 20-24 июля 2009 г.: - Новосибирск : Ин-т математики СО РАН. 2009. С. 142-143.

6. Базовкин А. В., Ковеня В. М. Численный метод решения уравнений Навье — Стокса несжимаемой жидкости на основе метода расщепления. Международная конференция Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике посвященная 110-летию академикам. А. Лаврентьева. 2327 авг. 2010г. Новосибирск. Тезисы докладов, стр. 72.

7. Bazovkin А. V., Kovenya V. М. Simulation of flows of viscous fluid based on splitting algorithms. International Conference on the Methods of Aerophysical Research/ Novosibirsk, 1-6 nov. 2010. Abstracts. Part I. p. 42.

8. Базовкин А. В., Ковеня В. M., Лебедев А. С. Численное моделирование влияния вдува на сопротивление тела. // Материалы XVII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам. Алушта, 25-31 мая 2011 г., с. 476-478.

9. Базовкин А. В., Ковеня В. М., Лебедев А. С. Численное моделирование несжимаемых течений около пластины с микровдувом. Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика», посвященная 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко. Новосибирск 2011г. Тезисы докладов, стр. 81—82.

Автореферат

Подписано в печать: 16.05.2012 Объем 1 п. л.

Формат бумаги 60x84 1/16, Тираж 100 экз.

Отпечатано в типографии ЗЛО РИЦ «Прайс-курьер» г. Новосибирск, ул. Кутателадзе, 4г, оф. 310, тел. (383) 330-7202 Заказ №246

Введение.

Глава I. Исходная система уравнений и метод их решения.

1.1. Исходная система уравнений.

1.1.1. Уравнения Рейнольдса.

1.1.2. Гипотеза Буссинеска.

1.1.3. Модель пути перемешивания Прандтля.

1.2. Система уравнений в безразмерном виде.

1.3. Уравнения в матричной форме и преобразование координат.

1.4. Построение разностной схемы.

1.5. Реализация разностной схемы.

1.5.1. Решение разностных уравнений на дробных шагах.

1.5.2. Задание и реализация граничных условий на дробных шагах.

1.5.3. Задание граничных условий на полном шаге.

Глава II. Обтекание пластины в двумерном случае.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Разностная схема в двумерном случае.

2.3. Ламинарный режим течения.

2.3.1. Непроницаемая пластина.

2.3.2. Течение со вдувом с части поверхности.

2.4. Турбулентный режим течения.

2.4.1. Модификация модели турбулентности.

2.4.2. Расчёты при числе Рейнольдса Ке=105.

2.5. Турбулентный режим течения. Сравнение с экспериментальными данными.

2.5.1. Течение вдоль пластины без вдува.

2.5.2. Течение вдоль пластины со вдувом газа с части поверхности.

2.6. Размер вычислительной области и используемые сетки.

Глава III. Решение пространственных задач.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Результаты численных расчётов.

3.2.1. Сравнение пространственных расчётов с двумерными расчётами и экспериментальными данными.

3.2.2. Исследование свойств трёхмерных течений.

3.3. Об используемых сетках.

3.4. Параллельная организация численного алгоритма.

Бурное развитие вычислительной техники, начавшееся с 50-х годов XX в., и продолжающееся поныне, дало в руки учёных мощный инструмент для исследований - аппарат математического моделирования. Результаты на основе математического моделирования зачастую могут быть получены быстрее и дешевле, чем при проведении реальных натурных экспериментов. Кроме того, иногда постановка эксперимента крайне трудна или даже невозможна. Весьма плодотворно совместное использование аппарата математического моделирования и экспериментальных исследований. На основе сопоставления расчётных и экспериментальных данных можно произвести необходимую корректировку математической модели или численного алгоритма. Для экспериментатора данные численных расчётов также дают много ценной информации, например подробные распределения разнообразных величин. Иногда с помощью математического моделирования удаётся обнаружить эффекты, не замеченные прежде в эксперименте. По современным представлениям вся цепочка математического моделирования состоит из следующих звеньев [28-30]: объект исследования - математическая модель - численный алгоритм - программа - структура ЭВМ -вычисления на ЭВМ и их анализ - обработка и хранение результатов. Все эти звенья взаимосвязаны, и изменения одних способно оказать влияние на другие. Впрочем, некоторые звенья в этой цепочке можно объединить в единое целое, например, если разностную схему рассматривать как математическую модель для описания физического явления. За 50 лет

1955-2005) быстродействие ЭВМ возросло в Ю10 раз [31], однако, несмотря на это, использование экономичных численных алгоритмов является по-прежнему весьма актуальным при решении многих задач, например таких, как исследование пространственных течений в механике жидкости и газа. Приведём следующий наглядный пример. Как известно, при моделировании пространственных турбулентных течений на основе полных уравнений Навье —

Стокса (так называемое прямое численное моделирование, DNS) общий объём вычислений пропорционален числу Re (причём, если мы пожелаем, чтобы на единицу длины наименьшей вихревой структуры приходилось п узлов, то л <э общий объём вычислений будет пропорционален уже п

Re [31]). В книге

Поупа [32] приведена оценка для времени счёта Т задачи DNS с однородной турбулентностью: Т ~ (Re/800)3, причём в этой формуле время выражается в днях, а производительность ЭВМ принята равной 1 гигафлопу (109 оп/с). Число п

Рейнольдса для крыла крупного самолёта равно Re ~ 5 х 10 [33]. Поэтому если мы захотим произвести расчёт соответствующей задачи в рамках подхода DNS, то даже на самом быстром из существующих суперкомпьютеров1, в соответствии с оценкой Поупа, он будет выполняться ~66,8 тыс. лет. Этот пример показывает, что хотя прирост производительности ЭВМ является заметной движущей силой в успешном применении математического моделирования, но при этом следует совершенствовать и другие звенья всей цепочки математического моделирования. В данной работе предложен л экономичный численный метод, который допускает эффективную реализацию на многопроцессорных вычислительных системах. Построенный численный метод использован для моделирования турбулентных течений около пластины, имеющей участок поверхностного вдува, при этом основное внимание уделено влиянию вдува на снижение сопротивления трения обтекаемого тела. Поясним, в какой связи возникает данная задача.

Поиск перспективных путей уменьшения аэродинамического сопротивления обтекаемых тел является актуальной проблемой современной прикладной гидро- и аэродинамики. К настоящему времени разработан и апробирован целый ряд эффективных методов управления течением с целью уменьшения

1 Суперкомпьютер Института физико-химических исследований (Кобе, Япония), имеющий производительность

1016 оп/с (по состоянию на март 2012г.).

2 Под экономичностью подразумевается то, что затрачиваемое число операций пропорционально общему количеству расчётных узлов. сопротивления трения. В этом направлении удалось достичь определенного прогресса [34], применяя техники управления турбулентным пограничным слоем, предусматривающие использование механизмов вдува - отсоса и синтетических струй [35-37], устройств разрушения вихрей [38,39], макропористых стенок [40] и других пассивных и активных методов. Хотя на основе применения данных методов в некоторых экспериментальных работах были получены многообещающие результаты [41-44], но в большинстве случаев всё-таки не удавалось обнаружить сколько-нибудь существенного снижения полного аэродинамического сопротивления. Для разрешения трудностей, возникающих при обтекании пористых стенок, Хванг (1995) [4547] предложил метод управления пограничным слоем путем вдува через микропористую проницаемую поверхность, имеющую высококачественную обработку. В дальнейшем данный метод получил названия микровдува. Приставка "микро" здесь имеет двойной смысл: во-первых, диаметр пор должен быть на несколько порядков меньше толщины пограничного слоя, во-вторых, скорость вдуваемого газа должна быть много меньше скорости набегающего потока. Серии экспериментов, выполненных Хвангом и его коллегами [47-52], а также исследования Корнилова и других авторов [53-57] показали, что можно достичь снижения поверхностного трения до 50% и более, тем самым, продемонстрировав высокую эффективность данного подхода. В настоящей работе на основе численного моделирования течения газа (воздуха) при обтекании плоской пластины несжимаемым потоком исследуется влияния интенсивности микровдува с части поверхности и характера его распределения на поведение локального и интегрального коэффициентов трения. В классической постановке для течений пограничного слоя используется упрощённые уравнения Навье-Стокса - так называемые уравнения пограничного слоя [33], однако в зависимости от интенсивности вдува возможны режимы течения, в которых приближение пограничного слоя может стать несправедливым. Поэтому в данной работе в качестве математической модели выбраны уравнения Навье - Стокса вязкой несжимаемой жидкости для ламинарных течений, и осреднённые по Рейнольдсу замкнутые по Буссинеску уравнения Навье - Стокса несжимаемой жидкости - для турбулентных течений. Заметим, что в приближении уравнений Навье - Стокса данный класс задач до настоящего времени моделировался в отдельных работах лишь в рамках модели сжимаемого газа [58-60]. Математические вопросы (существование решения, единственность, регулярность), относящиеся к этой системе уравнений, рассматриваются в монографиях [61,62]. Аналитические решения уравнений Навье-Стокса удаётся получить лишь в простейших случаях [63], обычно когда нелинейные члены равны нулю (например, течения Куэтта и Пуазейля). Изложим основные подходы, используемые при численном решении уравнений Навье - Стокса несжимаемой жидкости.

Прежде всего, нужно сказать, что для уравнений, описывающих движение несжимаемой жидкости, применяются следующие основные математические формулировки [64-66]: формулировка в естественных переменных вектор скорости - давление (С/-р) и в переменных векторный потенциал -вектор вихря (у/-со формулировка). Каждая из этих постановок имеет свои преимущества и недостатки. При моделировании двумерных течений широко используется описание исходных уравнений в терминах функции вихря -функции тока [62, 66-68]. Преимущество такого подхода состоит в том, что уравнение неразрывности выполняется автоматически на дифференциальном уровне, а на разностном - при подходящей аппроксимации компонент вектора скорости. К недостаткам данного подхода можно отнести то, что постановка граничных условий (особенно в трёхмерном случае) может быть затруднена. В двумерном случае уравнения Навье - Стокса, записанные в переменных у/ - т сводятся к одному уравнению переноса завихренности и уравнению Пуассона для функции тока. В трёхмерном случае количество уравнений возрастает: вместо одномерного уравнения Пуассона требуется решать уже векторное уравнение Пуассона (т.е. три одномерных уравнения), а также три уравнения переноса завихренности для компонент векторного потенциала. Данное обстоятельство также уменьшает привлекательность использования формулировки у/-со для пространственного случая. Если движение вихря не представляет особого интереса, то в трехмерном случае более предпочтительно использование естественных переменных и-р. Добавим, что при решении задачи в переменных ц/ -со давление восстанавливается из уравнения Пауссона. Примеры вычислительных алгоритмов, основанных на представлении уравнений в переменных у/ -со, приведены в [69-72].

Иногда вместо у/-со формулировки используется так называемая и-со формулировка [65,66]. При таком описании сохраняется уравнение для переноса завихренности, а вместо уравнения Пуассона для векторного потенциала решается уравнение Пуассона для вектора скорости. В данной постановке упрощается задание граничных условий, но уравнение неразрывности автоматически уже не выполняется [65]. В качестве примера работ, в которых используется и -со формулировка, можно привести [73-75].

Заметим, что возможно одновременное использование разных формулировок. Например, в работе [76] применено расщепление уравнений по физическим процессам - конвекции и диффузии. Для решения уравнения конвекции использованы естественные переменные, а на этапе решения уравнения диффузии осуществлён переход к переменным ц/ -со.

С точки зрения применения разностных методов основная специфика уравнений Навье - Стокса несжимаемой жидкости, отличающая их от уравнений сжимаемой жидкости, состоит в невозможности непосредственного определения производной ф/5/ и, следовательно, давления на следующем временном слое. Расчёт течений несжимаемой жидкости на основе уравнений Навье - Стокса сжимаемой жидкости крайне затруднителен, т.к шаг интегрирования по времени в этом случае должен будет стремиться к нулю [64]. Одним из способов преодоления данной проблемы является использование идеи искусственной сжимаемости [77,78,61,71]. В этом методе в уравнение неразрывности сИуЦ = 0 вносится эволюционный член а(др/д(), который обращается в нуль, когда решение устанавливается во времени. В более общем случае добавка, вносимая в уравнение неразрывности, может быть представлена в виде К = К дР дтР дпР д*Р ТТЛ

Р, — ,-—,——,——,Е,и

РЫ дх™ дхп2 дх*ъ

Ъ<т,п,Б<2 [79-82]. В результате чего система уравнений становится системой типа Коши -Ковалевской и для неё может быть применён классический метод дробных шагов [79]. Поскольку расчёты ведутся при конечном е, то для осуществления предельного перехода £ —> 0 можно использовать экстраполяцию решений по е. Метод искусственной сжимаемости может быть применён для решения и нестационарных задач, но при этом потребуется на каждом временном шаге осуществлять внутренние итерации, позволяющие найти поле скорости, для п которого сИу17 «О (см., напр. [2,83]). Метод искусственной сжимаемости позволяет применять методы, разработанные для решения уравнений Навье-Стокса сжимаемого газа.

Для численного решения уравнений Навье - Стокса существует несколько основных подходов. При использовании конечно - разностных методов [28,64,79,84-86], производные в дифференциальных уравнениях заменяются разностными аппроксимациями. В методе конечных объёмов применяется дискретизация интегральных законов сохранения [66,87-90]. Третьим подходом является метод конечных элементов [91,92], в котором поле течения разбивается на конечное число подобластей (элементов). Для этих подобластей определяются базисные функции, подстановка которых в интегральные уравнения вариационной задачи с последующей минимизацией функционала порождает систему алгебраических уравнений, которая и подлежит решению. Преимущество методов конечных объёмов и конечных элементов заключается в том, что они позволяют конструировать аппроксимации на неструктурированных сетках, что может быть важно, например, для областей со сложными границами. Однако генерация сеток для этих алгоритмов требует больших вычислительных затрат, особенно в задачах с движущимися или деформируемыми границами. Альтернативным способом представления криволинейных границ является использование прямоугольных декартовых сеток, с дополнительными модификациями исходной системы уравнений или численной схемы для аппроксимации краевых условий (например, с помощью метода погруженной границы) [93], что делает использование конечно - разностных методов в подобных случаях предпочтительным. Эти и другие подходы (например, метод частиц в ячейках [94], метод статистических испытаний [95]) изложены также в [31,65, 66,68,96-99]. Из-за своей простоты и универсальности широкое применение при решении задач механики сплошных сред получили конечно - разностные методы.

При проведении расчётов задач гидроаэродинамики разностными схемами используются как явные, так и неявные схемы. Хотя явные схемы более просты в реализации и требуют выполнения, как правило, меньшего числа операций, но при этом они обладают меньшей устойчивостью, в результате чего при интегрировании по времени требуется использовать более мелкий шаг. Это особенно относится к случаю больших чисел Рейнольдса, когда коэффициент при вязких членах мал. Поэтому при жестких ограничениях на временной шаг использование явных разностных схем может оказаться неэффективным (особенно при решении стационарных задач методом установления). В таких случаях использование неявных схем представляется предпочтительным. Впрочем, когда физический временной шаг, необходимый для описания нестационарного течения, мал, использование явных схем может оказаться оправданным. Прямая реализация неявных схем требует обращения матриц большой размерности, что приводит к большим вычислительным затратам. Для получения экономичных неявных схем используются метод полной и приближенной факторизации и методы расщепления, позволяющие свести решение многомерной задачи к последовательности одномерных аналогов [97,100-103]. В случае нелинейных схем для их решения используют итерационные процедуры или метод линеаризации. Неявные разностные схемы, основанные на расщеплении уравнений по физическим процессам и пространственным направлениям, предложены в работах Н. Н. Яненко, В. М. Ковени и других авторов [100-106]. Они обладают свойством безусловной устойчивости в линейном приближении и реализуются на дробных шагах скалярными прогонками, что делает их экономичными. В работах [100105] схемы расщепления рассматривались применительно к задачам газовой динамики, и непосредственный их перенос на случай уравнений несжимаемой жидкости невозможен. Для решения двумерных уравнений вязкой несжимаемой жидкости, записанных в декартовых координатах в [106] была предложена схема расщепления, которая в настоящей работе обобщена на трехмерный случай и на случай криволинейных координат.

Другие неявные схемы для решения уравнений несжимаемой жидкости, как отмечалось, могут быть получены на основе метода искусственной сжимаемости. Брили и Макдональд [107], Бим и Уорминг [108] для решения уравнений Навье - Стокса сжимаемого газа использовали неявную факторизованную схему переменных направлений, реализация которой осуществляется векторными прогонками, требующих обращения матриц размером 5x5. Квак, Чанг, Шенкс и Чакраварти применили данный численный метод для несжимаемых течений [109]. В [110,111] на основе подхода искусственной сжимаемости использован метод LU — факторизации. При решении уравнений, использующих формулировку искусственной сжимаемости, требуется выполнение итераций по псевдо времени. Для ускорения сходимости итераций Маккормак, Роджерс, Квак и др. [112-114] использовали итерационный метод Гаусса - Зейделя с линейной релаксацией. Причём, в работе [114] построена схема второго порядка по времени.

Итерационным методам решения задач гидродинамики посвящена монография Ю. Н. Захарова [82]. Явная или неявная разностная схема, аппроксимирующая уравнения Навье - Стокса несжимаемой жидкости, рассматривается как система билинейных алгебраических уравнений, которые решаются итерационно. Основная трудность при этом заключается в выборе итерационных параметров. Для ускорения сходимости итераций рассмотрена возможность введения в систему алгебраических уравнений матрицы искусственной "вязкости". Компактным разностным схемам (3-го и 4-го порядка) для задач гидро- аэродинамики посвящена монография А. И. Толстых [103]. Компактные разностные схемы (3 - 5-го порядков) на основе метода искусственной сжимаемости предложены в работах [115,116].

Одна из первых неявных схем для решения уравнений несжимаемой жидкости была предложена Харлоу и Уэлчем (1965) [117]. В данной работе значение давления на новом временном слое находится из решения уравнения Пуассона, которое является следствием исходных уравнений. При этом предполагается, что на новом временном слое уравнение неразрывности выполняется точно. К данному методу близок метод SIMPLE [118], однако в нём давление находится приближённо по упрощённой процедуре. Для решения задач со свободной поверхностью Харлоу и Уэлч использовали также специальные маркеры [65,117]. Этот метод получил названия метода маркеров и ячеек (MAC).

Ещё одним подходом к решению уравнений несжимаемой жидкости является применение предобуславливающего оператора к эволюционным членам исходной системы уравнений [119]. Предобуславливающий оператор меняет своё значение в зависимости от параметров потока. Данный подход нацелен на то, чтобы в рамках одного численного алгоритма иметь возможность рассчитывать как несжимаемые ("медленные") течения, так и сжимаемые, что особенно ценно для некоторых аэродинамических задач и при моделировании многофазных течений.

Более подробные описания различных численных методов для решения уравнений несжимаемой жидкости приведены в [64-66,96,119-121,31,81].

Расчеты вязких течений в приближении полных уравнений Навье - Стокса сопряжены со значительными трудностями. Особенностью таких течений является наличие узких областей, в которых происходит резкое изменение значений искомых функций. Для получения достоверного результата необходимо обеспечить попадание в такую область достаточного количества узлов расчетной сетки. Одним из вариантов решения данной проблемы является использование адаптирующихся к решению подвижных сеток. Такие подходы рассматривались в работах А. И. Толстых [122-124], С. К. Годунова, Г. П. Прокопова, Н. Н. Яненко, В. Д. Лисейкина, Н. Т. Данаева и других [85,125-134].

Уравнения Навье - Стокса описывают как ламинарные, так и турбулентные течения. Однако, как уже отмечалось, прямое численное моделирование (DNS) турбулентных течений на основе уравнений Навье — Стокса во многих случаях оказывается невозможным для современных ЭВМ. Причина этого заключается в том, что пространственные и временные масштабы турбулентности очень малы. Поэтому на сегодняшний день для описания турбулентных структур применяются в основном полуэмпирические модели. Наиболее распространённый подход состоит в представлении искомых переменных, входящих в систему уравнений Навье - Стокса, в виде / = / + /, где / - осреднённая величина, а / - пульсационная составляющая. Представив все величины, входящие в уравнения Навье - Стокса, в таком виде, и произведя осреднение уравнений по времени (осреднение по Рейнольдсу), приходим к системе уравнений, аналогичной системе уравнений Навье - Стокса, однако содержащей дополнительные слагаемые в вязких членах - "рейнольдсовы напряжения". Таким образом, система уравнений становится незамкнутой. Для замыкания уравнений часто используется гипотеза Буссинеска, конкретизирующая вид рейнольдсовых напряжений и позволяющая ввести понятие "турбулентной вязкости". Для турбулентной вязкости используются модели различной сложности: алгебраические модели, модели с одним или двумя дифференциальными уравнениями [10]. Другой более сложный подход для замыкания осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье - Стокса, учитывающий анизотропию рейнольдсовых напряжений, состоит в моделировании самих рейнольдсовых напряжений. Уравнения для рейнольдсовых напряжений могут быть получены из системы уравнений Навье - Стокса, однако эти уравнения оказываются незамкнутыми, и для их замыкания необходимо привлекать дополнительные гипотезы.

Отметим, что при осреднении по Рейнольдсу подразумевается, что временной интервал, по которому производится осреднение, намного больше характерных временных масштабов турбулентности, с одной стороны, и намного меньше характерного макро масштаба времени рассматриваемого течения, с другой. Такой подход, вообще говоря, не всегда применим. Кроме того "пульсационная составляющая" в представлении / = / + / не является чисто случайной величиной [135]. Поэтому осреднённые по Рейнольдсу уравнения нужно изначально рассматривать как приближённые.

Промежуточный подход между использованием осреднённых уравнений и прямым численным моделированием состоит в разрешении крупных вихрей и использовании модели для мелких (LES - метод). Ещё один подход, предложенный Стрельцом и Спалартом (1997), и называемый методом отсоединённых вихрей (DES - метод), заключается в использовании метода осреднения по Рейнольдсу только в тех областях потока, где размер используемой вычислительной сетки недостаточен для разрешения турбулентных структур; в остальной области течения, используется метод Моделирования Крупных Вихрей (LES) [136].

В данной работе используется алгебраическая модель турбулентности, как наиболее простая, и в тоже время хорошо описывающая характеристики течения в пристеночной области. Теория турбулентных течений и обзор конкретных моделей турбулентности содержится в работах [136-139,11,13].

Целью настоящей работы является разработка численного алгоритма решений уравнений Навье - Стокса вязкой несжимаемой жидкости на основе расщепления по физическим процессам и пространственным направлениям и проведение вычислительного эксперимента в задачах обтекания тел вязкой несжимаемой жидкостью со вдувом газа с части поверхности.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы.

Заключение

В заключение можно привести следующие основные результаты диссертационной работы:

1. Разработан численный алгоритм для решения трехмерных уравнений Навье - Стокса (замкнутых уравнений Рейнольдса) в обобщенных криволинейных координатах на основе расщепления по физическим процессам и пространственным направлениям с использованием преобразованных координат.

2. Создан комплекс программ, позволяющий моделировать двумерные и трехмерные течения вязкой несжимаемой жидкости при ламинарном и турбулентном режимах. Создана параллельная реализация программного кода, позволяющая проводить вычисления на многопроцессорных системах с общей памятью.

3. Проведены вычислительные эксперименты для задач обтекания тел вязкой несжимаемой жидкостью, в том числе с микровдувом газа с части поверхности. Получено хорошее соответствие численных расчетов с теорией ламинарного и турбулентного пограничного слоя, а также с экспериментальными данными.

4. Показано, что моделирование течений с поверхностным микровдувом в приближении уравнений Навье-Стокса даёт более близкие к эксперименту результаты, чем приближение пограничного слоя.

5. Исследованы влияния распределения вдува и его интенсивности на значения локального и интегрального коэффициентов трения. Показано, что при равенстве массовых расходов вдуваемого газа, интегральный коэффициент трения пластины, имеющей область вдува, состоящую из последовательности участков, близок к интегральному коэффициенту трения пластины, имеющей непрерывную область вдува. Для различных режимов вдува получены пространственные распределения коэффициента трения на поверхности пластины.

Отметим, что хотя полученные расчёты удовлетворительно описывают экспериментальные данные, но имеющееся различие, возможно, связано с несовершенством используемой модели турбулентности. При дальнейших исследованиях влияния микровдува на коэффициент трения интересно применить существенно более сложную анизотропную модель турбулентности. Также представляет интерес сравнение численных расчётов с данными новых экспериментов. Это позволило бы с большей уверенностью говорить о точности той или иной модели турбулентности, о точности математической модели вообще.

1. Базовкин А. В., Вавилова О. М., Ковеня В. М. Метод факторизации для численного решения уравнений вязкой несжимаемой жидкости // Вычислительные технологии. 2009. Т. 14, №2. С. 13-31.

2. Базовкин А. В., Ковеня В. М., Лебедев А. С. Численное моделирование течения газа около пластины с микровдувом. // Вычислительные технологии. 2012. Т. 17, №2. С. 20-31.

3. Bazovkin A. V., Kovenya V. M. Simulation of flows of viscous fluid based on splitting algorithms. International Conference on the Methods of Aerophysical Research/ Novosibirsk, 1-6 nov. 2010. Abstracts. Part I. p. 42.

4. Белов И. А., Исаев С. А. Моделирование турбулентных течений: Учебное пособие. Санкт-Петербург, 2001. 107 с.

5. МонинА. С., ЯгломА. М., Статическая гидромеханика. Часть 1, М., Наука, 1965.

6. Хинце И. О. Турбулентность, её механизм и теория, М.: Физматгиз, 1963.

7. Wilcox D. С. Turbulence modeling for CFD DCW Industries, Inc. 1994.

8. BoussinesqJ. Essai sur la théorie des eaux courantes. Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des Sciences XXIII, 1 (1877) 1-680.

9. SchmittF. About Boussinesq's turbulent viscosity hypothesis: historical remarks and a direct evaluation of its validity, Comptes Rendus Mecanique 335, 9-10(2007)617-627.

10. Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, М., Дрофа, 2003.

11. Федяевский К. К., Гиневский А. С., Колесников А. В. Расчет турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости, JL, Судостроение, 1973.

12. Колобов Б. П., ПопковА. Н., Моделирование двумерного пограничного слоя, Сб. Численные методы в механике жидкости и газа, ИТПМ СО АН СССР, Новосибирск, 1980.

13. Van Driest Е. R. On turbulent flow near a wall. Journal of the Aeronautical Sciences. 1956. V. 23, No. 11. P. 1007-1011.

14. Гараев К. Г., Овчинников В. А. Об одной разностной схеме для уравнений оптимально управляемого пограничного слоя. // Изв. вузов. Авиационная техника. 2002. №3. С. 15-18.

15. Schultz-Grunov F. New frictional resistance law for smooth plates, NACA TM 986, Washington (1941).

16. Computation of Turbulent Boundary Layer: Proc. Stanford Conf. AFOSR-IFP, 1968-1969 / Eds. D. E. Coles, E. A. Hirst. Stanford, 1969. Vol. 2. 519 p.

17. Stewnson T. N., A law of the wall for turbulent boundary layers with suction or injection, The College of Aeronautics, Cranfield CoA Rept. Aero No. 166, 1963.

18. Антонцев С. Н., Кажихов А. В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983. 320 с.

19. Черный С. Г., Чирков Д. В., Лапин В. Н. и др. Численное моделирование течений в турбомашинах. Новосибирск: Наука, 2006. 202 с.

20. Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления. СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 608 с.

21. Ковеня В. М. Разностные методы решения многомерных задач: Курс лекций. Новосибирск: НГУ, 2004. - 146 с.

22. Яненко Н. Н. Вопросы модульного анализа и параллельных вычислений в задачах математической физики 1980. // Яненко Н.Н. Избранные труды. М.: Наука, 1991. - С.292-296.

23. Попов Ю. П., Самарский А. А. Вычислительный эксперимент // Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1988. -с. 16-78.

24. Hirsch С. Numerical Computation of Internal and External Flows. Volume 1 Fundamentals of Computational Fluid Dynamics. Elsevier, 2007.

25. Pope S. B. Turbulent flows. Cambridge University Press. 2000.

26. Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя, М., Наука, 1969.

27. Kornilov V. I. Reduction of turbulent friction by active and passive methods (Review) //Thermophysics and Aeromechanics. 2005. V. 12, N. 2, P. 175-196.

28. Корнилов В. И. Способ снижения сопротивления трения тела вращения и устройство для его осуществления // Патент на изобретение РФ №2357893, 2007 г.

29. Kornilov V. I., Boiko А. V. Periodic forcing of the turbulent boundary layer on a body of revolution // AIAA J.- 2008. Vol. 46, Nu. 3. -P. 653 - 663.

30. Бойко А. В., Корнилов В. И. Влияние периодического вдува/отсоса через последовательно расположенные кольцевые щели на турбулентный пограничный слой тела вращения // Теплофизика и Аэромеханика. -2008. -Т. 15, №1. -С.11 -29.

31. Корнилов В. И., ШкварЕ. А. Моделирование турбулентных пограничных слоев на теле вращения при наличии разрушителей крупных вихрей// Теплофизика и аэромеханика. -2010. -Том 17, №3. С. 613-624.

32. Корнилов В. И. Влияние вертикальных УРВ на аэродинамическое сопротивление плоской пластины//Теплофизика и аэромеханика. -2010.-Том 17, №2. С. 269-279.

33. Шиплюк А. Н., Буров Е. В., Маслов А. А., Фомин В. М. Влияние пористых покрытий на устойчивость гиперзвуковых пограничных слоев // ПМТФ. -2004. -Том. 45, №2. -С. 169-176.

34. DershinH., Gallaher W. Н., Leonard С. A. Direct Measurement of Skin Friction on a Porous Flat Plate with Mass Injection// AIAA J., 5, 1934-1939, 1967.

35. Simpson R. L., Moffat R. J., and Kays W. M. The Turbulent Boundary Layer on a Porous Plate: Experimental Skin Friction with Variable Injection and Suction // Int. J. Heat Mass Transfer 12(7), 771-789, 1969.

36. Voisinet R. L. P. Influence of Roughness and Blowing on Compressible Turbulent Boundary Layer Flow / Naval Surface Weapons Center, NSWC/TR- 79153, 1979.

37. Wildinson S. P. Influence of Wall Permeability on Turbulent Boundary-Layer Properties // AIAA Paper 83-0294, 1983.

38. Hwang D. P. Skin Friction Reduction by Micro Blowing Technique. U.S. Patent No. 5,803,410, 1998.

39. Hwang D. P. A Proof of Concept Experiment for Reducing Skin Friction by Using a Micro Blowing Technique // AIAA Paper 97-0546, 1997.

40. Hwang D. P., Biesiadny T.J. Experimental Evaluation of the Penalty Associated with Micro-Blowing for Reducing Skin Friction//AIAA Paper No. 98-0677, 1998.

41. Tillman T. G. Hwang D. P. Drag Reduction on a Large-Scale Nacelle Using a Micro-Blowing Technique // AIAA Paper 99-0130, 1999.

42. Hwang D. P. An Experimental Study of Turbulent Skin Friction Reduction in Supersonic Flow Using a Microblowing Technique // AIAA-2000-0545, 2000.

43. Welch G. E., Larosiliere L. M., Hwang D. P., Wood J. Effectiveness of Micro-Blowing Technique in Adverse Pressure Gradients//NASA TM-210690, 2001.

44. Hwang D. P. Experimental Study of Characteristics of Micro-Hole Porous Skins for Turbulent Skin Friction Reduction / the 23rd International Congress of Aeronautical Sciences, Toronto, Canada, Sept. 9-13, 2002.

45. Hwang D. P. Review of Research into the Concept of Micro-Blowing Technique for Turbulent Skin Friction Reduction//Invited Paper, Prog, in Aerospace Sciences, October, 2004.

46. Kornilov V. I., BoikoA. V. Turbulent boundary-layer control by passive and active methods. Progress and problems // Intern. Conf. on the Methods of Aerophys. Research, Nov. 1-6, 2010, Novosibirsk, Russia. Pt.l, pp. 135-136.

47. Корнилов В. И., Бойко А. В. Использование микровдува воздуха через пористую стенку для снижения трения на плоской пластине // Вестник НГУ. Серия: Физика. -2010. -Том 5, Вып.З. С. 38-44.

48. Корнилов В. И., Бойко А. В., Попков А. Н. Влияние микровдува воздуха через проницаемую стенку на турбулентный пограничный слой // Вестник НГУ. Серия: Физика. -2011. -Том 6, Вып.1. С. 77-83.

49. Kornilov V. I., Boiko А. V. Efficiency of air microblowing through microperforated wall for flat plate drag reduction//AIAA Journal. -2012. -Vol. 50, no. 3. P. 724-732.

50. Li Jian, Lee Chun-Hian, Jia Liping, Li Xuzhi. Numerical study on flow control by micro-blowing//Proc. of 47th AIAA aerospace sciences meeting including the new horizons forum and aerospace exposition, Orlando, Florida

51. USA), 5-8 January 2009. P.l -19.

52. Lin Y. L., Chyu M. K., Shih Т. I. P., et al. Skin friction reduction through micro blowing. Reno, 1998. (Paper AIAA; N98-0359).

53. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. 288 с.

54. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.-408 с.

55. Wang С. Y. Exact solutions of the steady-state Navier-Stokes equations. // Annual Review of Fluid Mechanics. 1991. V.23. P. 159-177.

56. Андерсон В. Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. Том 1-2. М.: Мир. 1990.

57. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 618 с.

58. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М.:Мир. 1991. Т.1 -504 с.

59. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984.

60. Полежаев В. И., Бунэ А. В., Верезуб Н. А. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье-Стокса. М.: Наука, 1987.

61. Ghia U., Ghia К. N., Shin С. Т. High-Re solutions for incompressible flow using the Navier-Stokes equations and a multi-grid method. // J. Сотр. Phys. 1982, Dec. V. 48 P. 387-411.

62. Пасконов В. M., Полежаев В. И., Чудов Л. А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984.

63. ТарунинЕ. Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: изд-во Иркут. ун-та, 1990.

64. Воеводин А. Ф., Юшкова Т. В. Численный метод решения начально-краевых задач для уравнений Навье — Стокса в замкнутых областях наоснове метода расщепления // Сиб. журн. вычисл. математики. 1999. Т. 2, №4. С. 321-332.

65. OrlandiP. Vorticity velocity formulation for high Re Flows// Computers Fluids. 1987. V.15, №2. P. 137-149.

66. Orszag S. A., Israeli M., Deville M. O. Boundary conditions for incompressible flows. // J. Scientic Computing. 1986. V.l. P. 75-111.

67. Liu С. Ho. Numerical solutions of three-dimensional Navier Stokes equations by a velocity - vorticity method // Intern. J. Numer. Meth. Fluids. 2001. N35. P. 533-557.

68. Воеводин А. Ф., Гончарова О. H. Метод расщепления по физическим процессам для расчета задач конвекции // Математическое моделирование. 2001. Т. 13, №5. С. 90-96.

69. Владимирова H. Н., Кузнецов Б. Г., Яненко H. Н. Численный расчет симметричного обтекания пластины плоским потоком вязкой несжимаемой жидкости. // Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск: Наука, 1966. С. 186-192.

70. Chorin A. J. A Numerical Method for Solving Incompressible Viscous Flow Problems.— J. Сотр. Phys. 1967. V. 2, p. 12—26.

71. Яненко H. H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967. - 196 с.

72. Ладыженская О. А., Ривкинд В. Я. Вопросы теории разностных схем для уравнения Навье-Стокса и некоторые результаты их численного решения // Труды ГУ Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости. — Новосибирск, 1973. — С. 3-16.

73. Langtangen Н. P., MardalK. A., WhinterR. Numerical methods for incompressible viscous flow. // Advances in Water Resources. Elsevier, 2002. V. 25, p. 1125-1146.

74. Захаров Ю. H. Градиентные итерационные методы решения задач гидродинамики. Новосибирск: Наука, 2004. 239 с.

75. Merkle С. L., Athavall M. Time-accurate unsteady incompressible flow algorithms based on artificial compressibility // AIAA Pap. 1987. N. 87-1137. P. 112.

76. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.

77. Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов М. Я., Крайко А. Н., Прокопов Г. П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. -М.: Наука, 1976.-400 с.

78. Рихтмайер Р. Д., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972, 418 с.

79. Anderson J. D. Computational fluid dynamics—The basics with applications. New York: McGraw-Hill. 1995.

80. Ferziger J. H., Peric M. Computational methods for fluid dynamics. Berlin: Springer. 1996.

81. Ковеня В. M. Схемы расщепления в методе конечных объемов // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 2001. Т. 41. №14. - с. 100 - 113.

82. Волков К. Н. Конечно-объемная дискретизация уравнений Навье-Стокса на неструктурированной сетке при помощи разностных схем повышенной разрешающей способности. Журн. вычисл. математики и матем. физики., 2008, т.48, №7, с. 1250-1273.

83. Сегерлинд. JI. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.

84. Glowinski R., Pironneau О., Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations. Annual Review of Fluid Mechanics. 1992, January. V. 24. P. 167-204.

85. МортиковЕ. В. Применение графических процессоров для численного моделирования течения вязкой несжимаемой жидкости в областях сложной конфигурации методом погруженной границы // Вычислительные методы и программирование. 2012. Т. 13. С. 177-191.

86. Харлоу Ф. X. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики. В кн. Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967, с. 316-342.

87. Белоцерковский О. М., Хлопков Ю. И. Методы Монте-Карло в прикладной математике и вычислительной аэродинамике // Журн. вычисл. математики и матем. физики., т.46, №8, 2006, с. 1494-1518.

88. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Физматлит, 1994.

89. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

90. Никитин Н. В. Спектрально-конечно-разностный метод расчета турбулентных течений несжимаемой жидкости в трубах и каналах. // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1994. Т.34, №6. С. 909-925.

91. Cebeci Т., Shao J. P., Kafyeke F., Laurendeau E. Computational Fluid Dynamics for Engineers. Springer. 2005.

92. ЯненкоН. H., КовеняВ. M. Разностная схема для решения многомерных уравнений газовой динамики // Докл. АН СССР, 1977, т. 232, №6, с. 1273-1276.

93. КовеняВ. М., ТарнавскийГ. А., ЯненкоН. Н. Неявная разностная схема для численного решения пространственных уравнений газовой динамики // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1980, т. 20, № 6, с. 1466-1482.

94. КовеняВ. М., ЯненкоН. Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1981. - 304 с.

95. Толстых А. И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах газовой динамики. М.: Наука, 1990. 230 с.

96. КовеняВ. М., Тарнавский Г. А. Метод решения пространственных уравнений газовой динамики // Ж. численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1978, т. 9, №6, с. 65-83.

97. КовеняВ. М., Тарнавский Г. А., Черный С. Г. Применение метода расщепления в задачах аэродинамики. Новосибирск: Наука, 1990. 247 с.

98. Ковеня В. М. Алгоритмы оптимального расщепления в задачах аэро и гидродинамики. // Матем. моделирование. 2004. Т. 16, №6. с. 23-27.

99. Briley W. R., McDonald H. Solution of the multidimensional compressible Navier-Stokes equations by a generalized implicit method. // J Comput Phys. 1977. V.24, №4. P.372-397.

100. BeamR. M., Warming R. F. An implicit factored scheme for the compressible Navier-Stokes equations. //AIAA J 1978. V.16. P.393-402.

101. Kwak D, Chang J. L. C., Shanks S. P., Chakravarthy S. A three-dimensional incompressible Navier-Stokes flow solver using primitive variables. // AIAA J 1986;24(3):390-6. Also, AIAA Paper 84-0253, 1984.

102. Yoon S, KwakD. LU-SGS implicit algorithm for three-dimensional incompressible Navier-Stokes equations with source term. // AIAA Paper 891964; 1989.

103. Грязин Ю. А., Черный С. Г., Шаров С. В. Шашкин П. А. Об одном методе численного решения трехмерных задач динамики несжимаемой жидкости // Доклады Академии Наук России, 1997, т.353, N4, с.478-483.

104. MacCormack R. W. Current status of numerical solutions of the Navier-Stokes equations. // AIAA Paper 85-0032; 1985.

105. Rogers S. E., Kwak D. An upwind differencing scheme for the time-accurate incompressible Navier-Stokes equations. // AIAA J 1990. V.28, №2. P. 253-262.

106. Rogers S. E, KwakD., Kiris C. Steady and unsteady solutions of the incompressible Navier-Stokes equations. // AIAA J 1991. V. 29, №4. P.603-610.

107. Shah A., Yuan Li. Flux-difference splitting-based upwind compact schemes for the incompressible Navier-Stokes equations // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 2009. V. 61. P. 552-568.

108. Hejranfar K., Khajeh-Saeed A. Implementing a high-order accurate implicit operator scheme for solving steady incompressible viscous flows using artificial compressibility method // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 2011. V. 66. P.939-962.

109. Harlow F. H., Welch J. E. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow with free surface. // Phys Fluids. 1965. V.8, №12. P. 21822189.

110. Patankar S. V., Spalding D. B. A calculation procedure for heat, mass and momentum transfer in three-dimensional parabolic flows. // Int J Heat Mass Transfer. 1972. V. 15. P. 1787-1806.

111. Kwak D., Kiris C., Housman J. Implicit methods for viscous incompressible flows // Computers & Fluids. 2011. V. 41. P. 51-64.

112. Hafez M. Numerical simulation of incompressible flows. World Scientific. 2002.

113. Gresho P. M, Sani R. L. Incompressible flow and the finite element method. John Wiley and Sons. 1998.

114. Толстых А. И. Об одном методе численного решения уравнений Навье-Стокса сжимаемого газа // Учен. зап. ЦАГИ. 1972. Т. 3, №6. С. 78-87.

115. Толстых А. И. О методе численного решения уравнений Навье-Стокса сжимаемого газа в широком диапазоне чисел Рейнольдса // Докл. АН СССР. 1983. Т. 210, №2. С. 48-51.

116. Толстых А. И. О сгущении узлов разностных сеток в процессе решения и применении схем повышенной точности при численном исследовании течений вязкого газа // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1978. Т. 18, №1. С. 139-153.

117. Гильманов А. Н. Методы адаптивных сеток в задачах газовой динамики. М.: Физматлит, 2000. - 247 с.

118. Годунов С. К. Прокопов Г. П. Об использовании подвижных сеток в газодинамических расчетах // Журнал вычисл. математики и мат. физики. 1972. Т. 12, №2. С. 429-440.

119. Годунов С. К., Прокопов Г. П. О расчетах конформных отображений и построении разностных сеток // Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1967, т.7, № 5, с. 1031-1059.

120. Прокопов Г. П. О расчете разностных сеток, близких к ортогональным, в областях с криволинейными границами // Ин-т проблем механики АН СССР, М., препринт № 17, 1974, 38 с.

121. Сидоров А. Ф. Об одном алгоритме расчета криволинейных сеток, близких к равномерным // Ж. численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1977, т. 8, № 4, с. 149-156.

122. ДанаевН. Т., Лисейкин В. Д., ЯненкоН. Н. О численном расчёте движения вязкого газа вокруг тела вращения на подвижной сетке // Ж. численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1980, т. 11, № 1, с. 51-61.

123. Лисейкин В. Д., ЯненкоН. Н. Метод подвижных координат в газовой динамике // Ж. численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1976, т. 7, №1, с. 75-82.

124. Яненко Н. Н., Данаев Н. Т., Лисейкин В. Д. О вариационном методе построения сеток // Ж. численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1977, т. 8, № 4, с. 157-163.

125. EisemanP. R. A multi-surface method of coordinate generation // J. Comput. Phys., 1979, v, 33, p. 118-150.

126. Thompson I. P., Thames P.C., Mastin C.W. Automatic numerical generation of body-fitted curvilinear coordinate system for field containing any number of arbitrary two-dimensional bodies // J. Comput.Phys., 1974, №15, p.299-319

127. Лапин Ю. В. Статическая теория турбулентности: прошлое и настоящее (краткий очерк идей) // Научно технические ведомости. 2004. № 2. С. 7-20.

128. Лапин Ю. В., Гарбарук А. В., Стрелец М. X. Алгебраические модели турбулентности для пристенных канонических течений (немного истории и некоторые новые результаты) // Научно-технические ведомости. 2004. № 236.. С. 81-95.

129. Cebeci Т. Analysis of Turbulent Flows. Elsevier, USA. 2004. 376 pp.

130. ФрикП. Г. Турбулентность: подходы и модели. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. С. 292.