автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование движения нелинейно-вязкопластичной жидкости в осесимметричном канале с внезапным сужением

ОД

Министерство образования Российской Федера^и?

ЛЯГ Ш

Хабаровский государственный технический университет

На правах рукописи

ПРОЦЕНКО МИХАИЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ НЕЛ1ШЕЙНО-ВЯЗКОПЛАСТИЧНОЙ ЖИДКОСТИ В ОСЕСИММЕТРИЧНОМ КАНАЛЕ С ВНЕЗАПНЫМ СУЖЕНИЕМ

Специальность 05.13.16 применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Хабаровск - 2000

Работу выполнена в Научно исследовательском институте компьютерных технологий при Хабаровском государственном техническом университете.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент К. А. Чехонин.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Р.В. Намм, доктор технических наук, профессор И .Г. Русяк.

Ведущая организация:

Институт прикладной механики УНЦ УрО РАН г. Ижевск.

Защита состоится 24 июля 2000 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета К 064.62.01 Хабаровского государственного технического университета по адресу: 680035, г. Хабаровск, ул. Тихоокеанская 136, ауд. 315 л.

С диссертацией можно ознакомится в научно-технической библиотеке Хабаровского государственного технического университета.

Автореферат разослан 24 июня 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н.. доцент

А 1 110. ОЗ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование реодинамических процессов ри течении нелинейно-вязкопластичных жидкостей имеет большое при-ладное значение для ряда отраслей машиностроения, добывающей, пи-1евой, перерабатывающей, химической промышленности, энергетики т.д. Численное моделирование движения нелинейно-вязкопластичной задкости представляет собой сложный класс задач механики сплошной реды. Даже медленные течения таких сред описываются нелинейными равнениями с частными производными. Применение вычислительного <сперимента для такого класса задач требует тщательного исследования обоснования используемых алгоритмов, сеточных или проекционно-ггочных аппроксимаций, получения оценок точности приближенного ;шения.

Особенности численного моделирования движения нелинейно-икопластичных сред обусловлены:

■ нелинейностью свойств жидкости в функции от скоростей деформаций и наличием у нее предела текучести;

■ наличием неизвестной поверхности текучести «вязкопластичная жидкость - жесткое ядро», приводящей к краевым задачам на вариационные неравенства1;

■ сложностью решения нелинейных плохо обусловленных систем проекционно-сеточных уравнений.

Проблемой численного решения задач о движении нелинейно-вязких вязкопластичных сред занимаются достаточно давно. Основные резуль-1ты отражены в работах A.A. Ильюшина, П.П. Мосолова, П. Мясникова, Р. Темама, Л.А. Галина, Д.Д. Ивлева, .А. Толоконникова, Г.И. Быковцева, Г. Дюво, Ж. Лионса, Армстронга, М. Крочета, М. Фортэна, М. Берковьера, М. Энгельмана,

Гунцбургера, A.M. Липатова, Г.Р. Шрагера, В.А. Якутенка, .К. Березина, В.К. Булгакова, К.А. Чехонина, М.Ю. Альеса, и др.

Несмотря на ряд важных достижений в этой области, остаются от-1ытыми вопросы корректности и точности численного решения, крите-[ев выбора конечно-элементных аппроксимаций смешанного типа, размотки методик численного расчета и эффективных алгоритмов, устой-

1 Дюво Г., Лионе Ж. Неравенства в механике и физике. - М.: Мир, '72. -587с.

чивых в широком спектре изменения реологических параметров нели-нейно-вязкопластичных сред.

Среди всего многообразия краевых задач о течении нелинейно-вязкопластичной жидкости особое место занимает задача о её движении в ■области с внезапным сужением двух цилиндров. Данный тип течения имеет важное практическое значение и реализуется в технологиях переработки полимеров, реометрических приборах и т.д. В области внезапного сужения канала поток жидкости подвергается значительной пространственной перестройке, формируется угловой вихрь вторичного течения (рис. 1). Важным в данной задаче является определение зависимости геометрических параметров подобласти углового вихря, его интенсивности, длины области перестройки течения и потерь давления от реологических параметров среды.

Цель диссертации:

■ разработка эффективных алгоритмов и методов расчета для задач о медленном движении нелинейно-вязкопластичной жидкости, устойчивых в широком диапазоне изменения реологических параметров;

• * анализ конечно-элементных аппроксимаций смешанного типа, удовлетворяющих ЬВВ-условшо2;

■ разработка устойчивых методов численного решения нелинейных, плохо обусловленных систем проекционно-сеточных уравнений;

■ исследование влияния реологических параметров жидкости Шульмана на потери давления и структуру течения в области с внезапным сужением двух цилиндров 4:1.

Научная новизна работы заключается в следующем:

На основе метода конечных элементов с использованием вариационной формулировки краевой задачи о движении нелинейно-вязкопластичной жидкости Шульмана предложен эффективный алгоритм численного моделирования, позволяющий получать устойчивые численные решения в широком спектре изменения реологических параметров модели. Проведен сравнительный анализ конечно-элементных аппроксимаций второго порядка. Предложена дивергентно-уст;ойчивая схема конечно-элементной аппроксимации смешанного типа. На основе адаптивного метода Ньютона разработан эффективный алгоритм решения нелинейных, плохо обусловленных систем проекционно-сеточных уравнений.

2 Brezzi F. On the existence uniqueness and approximation of saddle point problems arising from Lagrangian multipliers. // RAIRO, 1974. - V.8. -P.129-180.

Исследована сходимость метода при различных реологических параметрах нелинейно-вязколластичной жидкости. Исследовано влияние основных реологических параметров жидкости Шульмана на структуру течения и поправку Куэтта в области с внезапным сужением двух цилиндров '4:1.

Практическая значимость. Разработанные методики расчета, . комплексы программных средств и результаты численного моделирования могут быть использованы для исследования реодинамических процессов на гидродинамической стадии технологии изготовления изделий из высоконаполненных полимерных материалов (варьирование реологических свойств жвдкотекучего полимера возможно в рамках обобщенной реологической модели Шульмана); математического моделирования реологически сложных процессов при течении нелинейно-вязкопластичной жидкости в осесимметричных областях со сложной геометрией.

Достоверность полученных результатов следует из их согласия с известными экспериментальными данными и численными решениями.

Реализация результатов работы. На основе предложенных методик расчета разработан интегрированный программный комплекс для моделирования движения нелинейно-вязколластичной жидкости в областях со сложной геометрией. Комплекс разработан на базе среды визуального проектирования Borland С++ Builder с применением современных технологий в области объектно-ориентированного программирования. Программный продукт апробирован и внедрен в Научно-исследовательском институте компьютерных технологий при ХГТУ и используется в учебном процессе на кафедре «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Хабаровского государственного технического университета.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в работе, докладывались и обсуждались:

- на пятом Международном Российско-китайском симпозиуме «Scientific and teclinological progress on Far East», г. Хабаровск, 1997;

- на научной конференции «Физика. Фундаментальные исследования. Образование», г. Хабаровск, 1998;

- на научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», г. Томск, июль 1999;

- в Институте прикладной математики ДВО РАН, г. Владивосток;

- в Вычислительном центре ДВО РАН, г. Хабаровск;

- на семинарах «Дифференциальные уравнения» под рук. проф. Зарубина А.Г., г. Хабаровск, ХГТУ;

- на научных семинарах «Математическое моделирование» в НИИ Компьютерных технологий при ХГТУ.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 7 печатных работ и 5 научно-технических отчетов, выполненных при поддержке гранта «Интеграция» № К0560 + К0928.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения и списка цитированной литературы (126 источников) общим объемом 114 страниц, из них 94 страницы текстовой информации и 20 страниц с рисунками и графиками.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении раскрывается актуальность и практическая значимость диссертационной работы. Формулируются основные задачи исследований, определяются цели, научная новизна и практическая ценность, дается изложение работы по главам.

В первой главе в §1.1 приводится физическая постановка задачи о ползущем движении (Г1е «1) нелинейно-вязкопластичной жидкости Шульмана в области с внезапным сужением двух цилиндров 4:1 (рис. 1).

Шульмана в осесимметричном канале с внезапным сужением 4:1. 1 - угловой вихръ; Ьу - характерный размер углового вихря; Ьн - длина области перестройки течения

Математическая постановка задачи включает: - уравнения движения

- уравнение неразрывности

V,//, = 0 /,7 = 1,3, (2)

где ик - компоненты вектора скоростей, р - гидродинамическое давление, // - эффективная вязкость.

В уравнениях (1) в качестве реолопгческого уравнения принята обобщенная четырехпараметрическая модель Шульмана:

Гг.. = 2//е.., при т„ > т0, [е.. = 0, при тл < т0,

(4)

где т{. - девиатор тензора напряжений, т0 - предел текучести, рр -пластическая вязкость, /?, Ю - параметры нелинейности реологической модели, = (V,.« . + V и, )/2 - тензор скоростей деформаций,

Гц = ^ 1/2 ГуГ^ - интенсивность касательных напряжений по Мизесу,

Л = - интенсивность скоростей деформаций, = 1,3 .

Уравнения (1)-(2) с реологической моделью (3)-(4) в области О £ Я2 [рис. 1) для цилиндрической системы координат (г, г) замыкаем граничными условиями:

иг\г, =/С", а г), МГ|Г1=0, (5)

г/г|г2иГ3иГ4 = г/л|г2иг3иг4 = 0 > (6)

дп

dz ди,

дг

= 0, «г|г5=0, . (7)

= °. и,|г6=°> (8)

г6

~де О = const - расход жидкости на входе в область течения, и,, иг -чомпонснты вектора скорости.

В §1.3 приводится вариационная постановка задачи. Численное решение предлагается проводить с использованием Лагранжиана:

А>« ("(»р.*/, л) = л 2г1яч

1

е"_2

ди. ди;

+

+

с?/

'«Ч

9«, ди; — +

(9)

)

с1£1-1 tilli сТ -> шГ Бир ,

Г

( \ ( \ где ^ е..) = 2М4 е. е^ - р е^ , )4 = —,

Я • - мно-

житель Лагранжа, = [г01/п + Л^)1^"] Д*1 - регуляризованная

эффективная вязкость, Дг = + - регуляризованная интенсив-

ность скоростей деформаций, 0 < £ = сош/ «1 - коэффициент регуляризации, - вектор поверхностных нагрузок, т] - параметр устойчивости, с > 0 - константа, характеризующая влияние штрафа, - метрический тензор, у = 1, 3.

После варьирования (9) по независимым переменным и,, р , еу, Я,у, имеем:

|[(2с77г,-27(се,. + <Ю = 0 \/5щ, (10)

о

-¡Зр7и,сХ1= О (11)

а

= 0 Уд 2,, ' (12)

а

{[(2/1+077)^+77(4, -су,)] <5е,. сЮ = 0 , (13)

где (¿> ; <5 5<гу, ¿А^) - тестовые функции, уц Ч¿и,)/2.

В этом случае исходная задача расщепляется на линейную и нелинейную подзадачи. Линеаризованная часть (10)-(11) задачи решается хорошо разработанными для задачи Сгокса численными методами3, а нелинейная часть (13) представляет собой нелинейное алгебраическое уравнение с параметром устойчивости ?].'

Численное решение задачи (1)-(8) производим методом смешанных конечных элементов с использованием аппроксимации 1904 на основе конечного элемента, приведенного на рис. 2.

Л

§ • - II,

0 ■ р

Рис. 2. Изопараметрический сйу-устойчивый конечный элемент Лагранжа второго порядка ЦЮ4 в локальной системе координат £ , ;/

Во и то рой главе приводится конечно-элементная методика расчета задачи о медленном движении нелинейно-вязкопластичной жидкости в осесимметричном канале с внезапным сужением. В §2.1 рассматривается общее описание метода смешанных конечных элементов применительно к численному решению задач о движении неньютоновских жидкостей. В §2.2 проводится анализ выполнения конечно-элементными аппроксимациями смешанного типа ЬВВ-условия4

{р\ЛУ«к)

Р

< БТДр

1о

(14)

3 Темам Р. Решение уравнений Навье-Стокса методом конечных элементов. - М.: Мир, 1977. - 286 с.

4 Булгаков В.К., Чехонин К.А. Основы теории метода смешанных конечных элементов для задач гидродинамики. - Хабаровск: Изд-во ХГТУ, 1999.- 283 с.

где (•, •) - скалярное произведение в Ьг (п); | • | и || • || - нормы в

Оъ с!,(п) и сЖ,1^) соответственно; рк еОь и ик б Уь - сеточные функции давления и вектора скорости соответственно; /3 > 0 -константа, не зависящая от шага конечно-элементной сетки.

Из (14) следует, что устойчивость конечно-элементных аппроксимаций смешанного типа определяется существованием параметра ¡5 , который в общем случае зависит от шага конечно-элементной сетки /г и управляет скоростью сходимости численного решения задачи в смешанной формулировке.

Рис. 3. Зависимость величины поправки Куэтта от степени дискретизации области

В §2.2 на примере численного решения задачи о ползущем движении вязкой жидкости в осесимметричном канале с внезапным сужением производится сравнительный анализ наиболее используемых для задач гидродинамики схем конечно-элементных аппроксимаций смешанного типа, использующих второй порядок аппроксимации для компонентов скорости и билинейный базис для аппроксимации давления: 88А4 - изопара-метрический элемент второго порядка серендипова семейства, 1.9А4 -изопараметрический элемент Лагранжа второго порядка и 1.904 - изопа-раметркческий конечный элемент Лагранжа с разрывной аппроксимацией давления (рис. 2).

На рис. 3 приведена зависимость поправки Куэтта от степени дискретизации области. Значение поправки Куэтта определяется как

va

AP-A/^ -AP2 2r,

(15)

где АР - перепад давления в области О (рис. 1), АР, - перепад давления в области с радиусом 7?, и длиной , ДР2 - перепад давления в области с радиусом Я2 и длиной , - значение напряжения трения

на стенке трубы меньшего диаметра на выходе из области С1.

Экспериментальное значение поправки Куэтта для ньютоновской жидкости составляет5

= 0,589 +0,070911е, (29)

1 2 3 4 1д Ь1

О

1дР

S8A4

Рис. 4. Зависимость параметра Р от шага КЭ сетки

Из результатов расчетов, приведенных на рис. 3, следует, что для задачи о течении ньютоновской жидкости (п/т = 1, г0 = 0) в области с

внезапным сужением П (рис. 1) с уменьшением шага конечно-элементной сетки для всех типов используемых конечно-элементных аппроксимаций наблюдается уменьшение относительного отклонения численно определенного значения поправки Куэтта от экспериментального, что свидетельствует о повышении точности численных расчетов. Однако, сходимость численного решения имеет место только для аппроксимации 1.904. Это связано с тем, что параметр /? для Э8А4 и 1.9А4 является функцией шага сетки А (рис. 4). Таким образом ЬВВ-

5 Boger D. V. Circular entry flows of inelastic and viscoelastic fluids // Advances in Transport Processes, 1982. - V.2. - P.43-98.

условие (14) в конечно-элементных аппроксимациях смешанного типа играет фундаментальную роль, как при изучении точности рассматриваемых проекционных методов, так и при построении оптимальных алгоритмов решения задач гидродинамики.

В §2.3 с использованием метода'Галеркина приведены проекционно-сеточные уравнения задачи (1)-(8):

1 и МА»+) - ] аа+

+ /и«. КасГ = О,

г(»)

¡У,М^Кг=0, (17)

где , Ку - базисные функции для скорости и давления соответственно (1_904 - аппроксимация), и,р, р - значения скорости и давления в узлах конечного элемента 1904, пх -нормаль к поверхности, = 1,3,

а,0 = 0$, У =9Д2.

В третьей главе приведен обзор методов решения систем нелинейных проекционно-сеточных уравнений (16)-(17). Используемые для моделирования такого класса течений численные алгоритмы должны быть точными по отношению к степени нелинейности, учитывать особенности течения жидкости с пределом текучести и устойчивыми при решении систем с большим количеством уравнений (Ы > 20000).

В §3.1 предложен алгоритм решения системы нелинейных проекционно-сеточных уравнений (1б)-(17) с использованием адаптивного метода Ньютона. Кратко опишем его. Для этого систему нелинейных уравнений представим в виде

^(Х) = 0. (18)

Тогда алгоритм решения системы (17) можно представить в виде:

хк+] =хк -й)"Ахк+\ ■ (19)

где х = (иг,иг. р) -искомый вектор, Дг = (диг, Диг, А/;) - приращение,

со к - коэффициент релаксации, определяемый по адаптивной процедуре Хейгемана-Янга6, к - номер итерации.

релаксации со

1 - от степени нелинейности реологической модели 7 = п¡т ,

2 - от предела текучести г0

Решение системы уравнений (20), на внутренних циклах метода Ньютона производится методом Гаусса с выбором главного элемента.

Итерационный процесс производим до сходимости |ЛИ ]|< 1(Г14, | Кл || < 10-8, где Яи, Ка - невязки уравнений движения и неразрывности

соответственно, || • || - евклидова норма.

В §3.1 произведены исследования сходимости метода (19)-(20) при различных значениях реологических параметров жидкости Шульмана. Определены «оптимальные» значения коэффициента релаксации со

(рис. 5). Найденные значения коэффициентов релаксации со* в дальней-

6 Хейгеман Л., Лиг Д. Прикладные итерационные методы. - М.: Мир. 1986.-448 с.

шем используются в качестве апостериорной информации для построения решения (19)-(20) с применением адаптивных процедур.

Из результатов расчетов, приведенных на рис. 5, следует, что при сильно выраженной нелинейности (q < 0,5, q > 1,5, г0 > 10 Па наблюдается резкое уменьшение диапазона возможных значений коэффициента

релаксации СО, при которых метод (19)-(20) с со = const сходится за конечное число итераций и не приводит к значительным осцилляциям численного решения. Кроме этого, имеет место тенденция общего роста вычислительных затрат. В этом случае, для достижения численной устойчивости решения и сокращения объема вычислительных затрат, используем адаптивный метод переменных параметров7, реализуемый в виде

пы -пк + akLnM,

т"^ =тк+ alc&mk+l, (21)

т0м=гв4+а'ДгГ\

где A nk+l, А тк+], Ar*+1 - шаг изменения параметра, к - номер итерации. Начальные значения п° ,т°, Гц принимаем соответствующим устойчивому численному решению задачи методом Ньютона (рис. 5). После получения решения реологические параметры уточняются, и в качестве начального приближения используется поле решения с предыдущей итерации. Для задач реодинамики вязкопласткчных жидкостей данный подход позволяет получать устойчивые численные решения в более широком диапазоне изменения коэффициента нелинейности среды и предела текучести 0,1 < п/т <3.0 и 0 < г0 <20 соответственно.

Следует отметить, что для жидкости с пределом текучести т0 > 5 Па

оптимальный коэффициент релаксации со* в значительной мере определяется степенью адаптации конечно-элементной сетки в окрестности квазитвердого ядра течения и значением параметра регуляризации Е, .

В §3.2 предложен алгоритм решения задачи (1)-(8), построенный на основе обобщенного вариационного принципа со штрафом (9):

7 Ильюшин A.A. Пластичность. Основы общей математической теории.-М.: Изд-во АН СССР, 1963.-271 с.

1. Решаем линейную задачу Сгокса при п = т = 1, г0 = 0 и определяем начальные приближения и,0, рй, /и^ = = const.

2. Вычисляем начальные приближения , , г/0.:

/,J 2

ди° дп0

+-L

¿Эх, Эх.

V 1 1 .

10 о о о

. \ = Иг

(22)

3. Вычисляем значения скоростей деформаций

•Г]

...

V ,.к-\ ___Jr-1

JU4 +С7]

4. Вычисляем значения множителей Лагранжа

5. Решаем систему проекционно-сеточных уравнений

(23)

(24)

"У 'Ьа'

с ^ afi D3aq • ► г= « Ъа (25)

Kq DU 0 к 0

методом исключения Гаусса с выбором главного элемента по строке,

к к

шределяем компоненты вектора скорости и1 и давление р .

6. Определяем значения скоростей деформаций уц

rt =

ди)

дх.

7. Вычисляем поле эффективной вязкости д*

А - к" ^лМЧ" 4 =

8. Находим значение параметра устойчивости алгоритма 7]к [4].

9. Итерационный процесс продолжаем до выполнения условий

(26)

\

"Г

<е,<>

(28)

где £•„->. £с! - заданная точность решения. N

150

100

50

0.1 1 10 100 С

Рис. 6. Влияние параметра штрафа с (9) на количество итераций алгоритма при т0 = 5

ИЧИ, ШУ

50 Ю0 150 200 , 250 N

Рис. 7. Влияние параметра штрафа на величины невязок основных уравнений - уравнения движения, -уравнения неразрывности): с = 10;2-|^|, с=1;3-|^||, с = 0,1;

с=1;6-|^||, с = 0,1

Как показали результаты численного моделирования [7] при решении задачи о движении нелинейно-вязкопластичной жидкости с использованием приведенного алгоритма, большое влияние на сходимость численного решения оказывает коэффициент штрафа с (рис. 6, 7).

В §3.3 приведены результаты тестовых расчетов, которые хорошо согласуются с известными экспериментальными и численными результатами.

В четвертой главе исследуется влияние реологических параметров жидкости Шульмана на структуру течения и поправку Куэтта (15) в области О. с внезапным сужением 4:1, приведенной на рис. 1.

Рис. 8. Зависимость значения величины поправки Куэтта от коэффициента нелинейности среды (1) и параметра Бингама (2),

о

■ - численные расчеты

На рис. 8 приведена зависимость значения поправки Куэтта от степени нелинейности жидкости Шульмана и числа Бингама (Вг = ?й/МрЛср )■

Из результатов расчетов следует, что при п/т = 1, В\ = 0 имеем 7]^ — 0,5 8 9. Потери давления в области с внезапным сужением Г2 (рис. 1) значительно увеличиваются с ростом псевдопластичности (п/т < 1) и пластических свойств ( Вг > 0) жидкости Шульмана. В то же

8 Crochet M.J., Devis A.R., Walters К. Numerical Simulation of Non-Newtonian Flow. - New York: Eselveser, 1984 - 23 p.

время рост дилатантных свойств жидкости (п/т > 1) при Ы — 0 приводит в начале к уменьшению значения поправки Куэтта с минимумом 7]ч = 0.3 при я/ш = 1,4, а затем к сильному росту цч.

-О, 1

-0,003 -0,001

1-\- -0,0001 0005 ^0,0009

------- N

— I_~__ п— ___::_' ___

/ / / -----

/ / -1,8 -1

/

-0,5 -0,25

а)

-1,8

-0,1 -0,03 -0,005 -0,001 0,0001

ч \ \ / /

~ / 7 7

-1,8 -1 -0,5 -0,25

-0,1 -0,03 -0,005

\

б)

,0,001

:-^—^——сч ^,0,01 _ 0,03 N 0,015

/ / / т^-

/ / -1 -0,5

В)

Рис. 9. Линии тока при п/т = 0,3 (псевдопластичная жидкость) (а); при п/т ~ 1 (ньютоновская жидкость) (б); при п/т ~ 2.0 (дилатантная жидкость) (в)

в) .50 -100

Рис. 10. Поля изолиний компонентов тензора напряжений: тгг при

п/т = 0,3 (псевдопластичшш жидкость) (а); при п/т= 1 (ньютоновская

жидкость) (б); при п(т = 2,0 (дилатантная жидкость) (в)

В §4.2 исследуется влияние реологических параметров жидкости Шульмана на структуру течения в области с внезапным сужением двух цилиндров 4:1 (рис.1). На рис.9 приведены линии тока нелинейно-вязкой жидкости при различных значениях коэффициента нелинейности среды. Характерной особенностью структуры, течения является наличие углового вихря размером Ьу (рис. 1) и интенсивностью 1У = (/Гтах /£/ ,

где иу тах - максимальная радиальная скорость углового вихря, II -

среднерасходная скорость в области О.. Из результатов численных расчетов (рис. 12), следует, что размер углового вихря и его интенсивность увеличивается с ростом дилатантных свойств жидкости. Это связано с уменьшением эффективной вязкости жидкости Шульмана в области углового вихря. При этом особенности распределения вязких касательных напряжений г.г в области О. в ходе перестройки течения приведены на рис. 10. С ростом пластических свойств жидкости Шульмана (Б/ > 0) наблюдается резкое снижение интенсивности углового вихря с его вырождением в квазитвердое ядро. При Ш > 2 интенсивность 1У углового вихря достигает нулевого значения. Дальнейший рост числа Бингама приводит к росту эффективной вязкости и увеличению Ц, квазитвердой области (рис 11).

1у

0 2 4 6 8 В1

Рис. 11. Зависимость размера Ьу (1) и интенсивности 1У (2) углового вихря от числа Бингама

Рис. 12. Зависимость размера Ц, (1) и интенсивности 1У (2) углового вихря от степени нелинейности q=n[m нелинейно-вязкой жидкости, * - результат Врентаса, Дуды9

Таким образом по результатам работы можно сделать следующие выводы:

■ на основе метода конечных элементов с использованием вариационной формулировки краевой задачи о движении нелинейно-вязкопластичной жидкости Шульмана предложен численный алгоритм, позволяющий получать устойчивые численные решения в широком спектре изменения реологических параметров модели; на основе изопараметрического конечного элемента Лагранжа предложена дивергентно-устойчивая схема конечно-элементной аппроксимации смешанного типа;

■ с использованием адаптивного метода Ньютона предложен устойчивый в широком диапазоне реологических параметров алгоритм численного решения нелинейных, плохо обусловленных систем проекционно-сеточных уравнений;

■ исследовано влияние реологических параметров жидкости Шульмана на структуру течения и поправку Куэтта в области с внезапным сужением двух цилиндров 4:1;

9 Vrentas J.S., Duda J.L. Flow of a Newtonian fluid through a sudden contraction // Appl. Sci. Res. -1973. - V.28. - P.241-259

Показано, что рост псевдопласгичных свойств жидкости приводит к увеличению потерь давления в области, уменьшению характерного размера углового вихря Ly и его интенсивности 1У. Рост дилатантных свойств жидкости на потери давления и.структуру течения оказывает более сложное влияние. Так с ростом дилатантных свойств жидкости при п)т <1,4 потери давления в области падают, при этом размеры углового вихря и его интенсивность растут. Дальнейший рост дилатантных свойств (п/т > 1,4) приводит к качественной перестройке течения. Угловой вихрь разбивается на два вихря разной интенсивности (рис. 9 в). Эта перестройка течения приводит к росту потерь давления в области.

Результаты диссертационной работы изложены в следующих основных публикациях:

1. Математический анализ и численное моделирование движения вязкоупругих жидкостей. / Чехонин К.А., Потапов И.И., Процен-ко М.А. // Отчет по НИР 95/гб-ЗЗ № гос. per. 01.960.006083. - Хабаровск, 1996. - 41 с.

2. ..Моделирование реодинамических процессов в.. наследственных

средах.. / Чехонин К.А., Потапов И.И., Проценко М.А. // Отчет по НИР 96/гб-05 № гос. per. 01.970.000378. - Хабаровск, 1996. - 45 с.

3. Чехонин К.А., Потапов И.И., Проценко М.А. Сравнительный анализ схем конечно-элементных аппроксимаций при численном расчете задач о движении неньютоновских жидкостей в сужающемся канале. // Математическое моделирование Вып. 3. - Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-га, 1997. - С.70-73

4. Чехонин К.А., Проценко М.А. Аппроксимация скорости и давления при решении задач реодинамики неньютоновских жидкостей методом конечных элементов (LBB-критерий). // Математическое моделирование Вып. 3. - Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. унта, 1997. -С.73-90

5. Моделирование реодинамических процессов в наследственных средах.. / Чехонин К.А., Потапов И.И., Проценко М.А. // Отчет по НИР 96/гб-05 № гос. per. 01.970.000378. - Хабаровск, 1997.-36 с.

6. Чехонин К.А., Проценко М.А Анализ влияния схем конечно-элементных аппроксимаций на величину критериального числа Куэтга при решении задач реодинамики неньютоновских жидкостей. // Математическое моделирование. Вып. 4. - Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-та. 1998. - С.35-48

7. Чехонин К.А., Проценко МА. Конечно-элементны^ аппроксимации смешанного типа для задач реодинамики неньютоновских жидкостей. (Препринт / ДВО РАН. Хабаровское отд. Института прикладной математики; №22). - Владивосток: Дальнаука, 1998. -16 с. "

8. Чехонин К.А., Проценко М.А. Конечно-элементные аппроксимации смешанного типа для решения задач реодинамики неньютоновских жидкостей //Тезисы доклада на научно-практической конференции «Физика. Фундаментальные исследования. Образование». - Хабаровск, 1998.

9. Чехонин К.А., Проценко М.А. Метод расщепления в задачах реодинамики нелинейно-вязкопластичных жидкостей // Тезисы доклада на научно-практической конференции «Физика. Фундаментальные исследования. Образование». - Хабаровск, 1998.

10. Моделирование реодинамических процессов в наследственных средах.. / Чехонин К.А., Проценко М.А. // Отчет по НИР 96/гб-05 № гос. per. 01.970.000378. - Хабаровск, 1998. -47 с.

11. Чехонин К.А., Проценко М.А. Метод расщепления в задачах реодинамики. нелинейно-вязкопластичных жидкостей // Тезисы доклада на научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики». - Томск, 1999.

12. Моделирование реодинамических процессов в наследственных средах.. / Чехонин К.А., Проценко М.А. // Отчет по НИР 96/гб-05 № гос. per. 01.970.000378. - Хабаровск, 1999. - 52 с.

Проценко Михаил Александрович

Подписано в печать 23.06.00. Формат 60x84 1/16 Бумага писчая. Офсетная печать. Усл. печ. л. 1,0 Уч.- изд. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 59.

Издательство Хабаровского государственного технического университета, 680035, Хабаровск, ул. Тихоокеанская , 136

Перечень условных обозначений и сокращений.

Введение . б

Глава 1. Постановка задачи о движении нелинейно-вязкопластичной жидкости в области с внезапным сужением.

§1.1 Физическая постановка задачи

§1.2 Дифференциальная постановка задачи

§1.3 Вариационная постановка задачи

Глава 2. Моделирование движения вязко-пластичной жидкости в осесиммет-ричном канале.

2.1 Метод смешанных конечных элементов для задач реодинамики нелинейно-вязкопластичных жидкостей.

2.2 Условие корректности конечно-элементных аппроксимаций смешанного типа

2.3 Проекционно-сеточные уравнения задачи

Перечень условных обозначений

В список включены наиболее употребительные условные обозначения и сокращения. При изложении текста вновь встречающиеся обозначения оговариваются отдельно. Х1 - пространственные координаты/ X, у - координаты в декартовой системе; г, г - цилиндрические координаты; е1 - векторы базиса, системы;

V - объем тела;

О - расчетная область;

Г - поверхность, ограничивающая область;

Ь - характерный размер области; и - характерная скорость; щ - вектор внешней нормали к поверхности; р - гидродинамическое давление; р - плотность жидкости; f - поле внешних сил;

Я - коэффициент релаксации; / - переменная времени;

11р - пластическая вязкость среды;

Л - эффективная неньютоновская вязкость;

Г0 - предел текучести; п,т - коэффициенты нелинейности реологической модели;

Щ - компоненты вектора скорости; ггу - компоненты тензора напряжении/ б,-,- - компоненты тензора скоростей деформаций;

А = Л1 /2(ву) - интенсивность скоростей деформаций;

Тд = /2(Т/у) - интенсивность напряжений; среднее значение интенсивности скоростей деформаций.

Ду), /2(Ду) - первый и второй инварианты тензора giJ - метрический тензор; д1■■ - символ Кронекера;

7] - локальные, т.е. связанные с конечным элементом координаты, изменяющиеся а пределах [-1, 1]; Ку - линейные базисные функции;

N - квадратичные базисные функции; V,- - оператор Гамильтона; А = У^Уу. - оператор Лапласа;

N - число конечных элементов; Н - шаг конечно-элементной сетки; Яе - число Рейнольдса;

В тексте используется соглашение о суммировании по немым индексам. Нумерация формул сквозная в пределах главы. Нумерация рисунков сквозная в пределах всего текста.

Исследование peoдинамических процессов при течении нелинейно-вязкопластичных жидкостей имеет большое прикладное значение для ряда отраслей машиностроения, добывающей, пищевой, перерабатывающей, химической промышленности, энергетики и т.д. Математическое моделирование процессов течения неньютоновских сред с использованием современных средств вычислительной техники позволяет заменить громоздкий и дорогостоящий натурный эксперимент и с достаточно высокой точностью определить структуру течения и реологические свойства среды.

Многие полимерные материалы в жидкотекучем состоянии при определенных условиях деформирования проявляют неньютоновские свойства. В частности нелинейно-вязкопластичные среды, течение которых развивается только после преодоления некоторого начального напряжения сдвига (предела текучести) (торф, высоковязкие и наполненные жидкодисперсные материалы, водоугольные суспензии, шламы, топливные смеси, композиции, пастообразные и другие горючие материалы с полимерным связующим, лаки, краски, смазки, пасты и суспензии ядерного горючего, мазуты и т.д.). Механическое поведение таких текучих сред и характер протекания в них гидродинамических процессов отличаются исключительным своеобразием и особой спецификой.

Математическое моделирование данных типов течений представляет собой сложный класс задач механики сплошной среды. Даже медленные течения таких сред описываются нелинейными уравнениями с частными производными. Применение вычислительного эксперимента для такого класса задач требует тщательного исследования и обоснования используемых алгоритмов, сеточных или проекционно-сеточных аппроксимаций, получения оценок точности приближения.

При моделировании peoдинамических процессов в нелинейно-вязкопластичных жидкостях является важным выбор вида уравнения, описывающего зависимость скорости деформации сдвига в каждой точке среды от напряжения сдвига в данной точке (реологическое уравнение состояния). В настоящей работе в качестве реологического уравнения используется обобщенная четырехпараметрическая модель, впервые предложенная Шульманом З.П. в 1966 в работах [105,106]. Данная модель сочетает пластичные и вязкие свойства текучих сред. Она допускает явное выражение динамических переменных через кинематические и наоборот, что создает определенные удобства и преимущества оперирования моделью в инженерных расчетах процессов течения. Модель Шульмана является достаточно универсальной и обобщает почти все основные классические реологические модели неупругих сред (Ньютона, Сен-Венана, Шведова-Бингама, Балкли-Гершеля, Бриана, Оствальда-де Виля, Кэссона и др. [105]) .

Основной сложностью численного моделирования движения нелинейно-вязкопластичной жидкости является наличие у среды предельного напряжения сдвига (предела текучести). В этом случае математическая постановка задачи даже для простейших типов течений приводит к краевым задачам для нелинейных уравнений в областях с «неизвестными границами» (жидкость-квазитвердое тело). Общие математические методы исследования таких задач возникли совсем недавно [50] ив основном основаны на использовании вариационных неравенств [21] . Основной вклад в математическое исследование течений вязкопластичных сред внесли Мосолов П.П.,

Мясников В.П. В работах [50-52] (1964-19б5г.) ими сформулирован вариационный принцип для движения жестко-вязкопластичной среды общего вида и обоснована эквивалентность дифференциальной и вариационной постановок задачи (задача Мосолова-Мясникова).

В работах Дюво и Лионса [21] для математического описания движения жидкости Бингама [114] применен интенсивно развиваемый авторами аппарат вариационных неравенств.

Таким образом, сложности численного моделирования движения нелинейно-вязкопластичных сред обусловлены: нелинейностью свойств жидкости в функции от скорости деформаций и наличием у неё предела текучести;

- наличием неизвестной свободной границы «вязко-пластичная жидкость - жесткое ядро», приводящей к краевым задачам на вариационные неравенства; наличием сингулярности в области квазитвердого ядра, в случае использования модели эффективной вязкости (¡Л —»оо при ву -> 0) , где ¡л - эффективная вязкость, еи - тензор скорости деформаций);

- сложностью решения нелинейных плохо обусловленных систем проекционно-сеточных уравнений.

В настоящее время существует три основных подхода к решению задач течения жидкостей с пределом текучести.

Первый подход (модель двух тел) связан с моделью вязкопластичной среды как двух составляющих -нелинейно-вязкой жидкости и идеально пластичного тела в области квазитвердого ядра, описываемых различными уравнениями состояния. Так, например, для описания течения по всей области используются полные уравнения Г. Генки (Н. Непску) [146], описывающие пространственные течения вязкопластичных сред, которые в области ядра преобразуются к уравнениям Сен-Венана или Рейнера [67]. В качестве граничных условий на разделе «жидкость-квазитвердое ядро» используются условия сопряжения специального вида. Данная модель является наиболее адекватной физическому процессу и наиболее сложной в реализации. К её сложности следует отнести проблему определения границы раздела двух сред.

Следующий подход получил название двухконстантной модели вязкости [113]. Он рассматривает вязкопластич-ную жидкость как среду, описываемую одним реологическим уравнением, но с различными соотношениями для определения вязкости в зоне квазитвердого ядра и вне его. Причем величина вязкости в области квазитвердого ядра может быть больше величины вязкости в остальной части области на несколько порядков. В 1992 Теннер [113] впервые рассмотрел трехмерное течение вязкопластичной среды с использованием двухконстантной модели вязкости.

Сущность подхода, используемого в настоящей работе и получившего название модели жесткого ядра, заключается в замене полных уравнений Генки, описывающих пространственное течение вязкопластичных сред, уравнениями течения нелинейно-вязких жидкостей [23] . В этом случае возникает сложная проблема выбора коэффициента вязкости, получившего название эффективной вязкости, в уравнениях Стокса, который характеризует исследуемую вязкопластичную среду.

Использование модели жесткого ядра позволяет представить нелинейно-вязкопластичную среду в виде нелинейно-вязкой жидкости, движение которой описывается уравнениями движения Стокса (Тц > Т0 ) , и абсолютно жесткого ядра (Тц < Г0 ) . Несмотря на то, что модель жесткого ядра более проста в реализации по сравнению с двухконстантной моделью или моделью двух тел, её применение не позволяет получить решение, соответствующее чисто пластичному течению, что противоречит третьей аксиоме реологии (Астаритта, 1983 г.). При использовании модели жесткого ядра возникает неоднозначность определения скорости и напряжений, вследствие вырождения исходных данных т.е. при ву —> 0, //—>оо. Для решения этих проблем при численном решении задачи о движении нелинейно-вязкопластичной жидкости с использованием модели жесткого ядра применяется операция регуляризации (усреднения) [21,24], которая заключается в использовании малого параметра 0 = «1, приводящего к модифицированной реологической модели Шульмана: где интенсивность скоростей деформаций определяется как Л^ = . Выбор значения малого параметра производится путем численного эксперимента как наименьшее значение, приводящее к устойчивому процессу численного решения с обеспечением его заданной точности.

Следует отметить, что к такому же виду модификации реологической модели можно прийти путем введения регуляризации для недифференцируемых функционалов при постановке задачи движения для нелинейно-вязкопластичной среды в форме вариационного неравенства [21].

Среди всего многообразия краевых задач о течении нелинейно-вязкопластичной жидкости особое место занимает задача о её движении в области с внезапным сужением двух цилиндров. Данный тип течения имеет важное практическое значение и реализуется в технологиях переработки полимеров [82,105], реометри-ческих приборах и т.д. Данная задача может рассматриваться как тестовая (вытекание жидкости из бесконечного резервуара). В области внезапного сужения канала поток жидкости подвергается значительной пространственной перестройке, формируется угловой вихрь вторичного течения. Важным в этой задаче является определение зависимости геометрических парметров подобласти углового вихря, его интенсивности, длины области перестройки течения и потерь давления от реологических параметров среды. Следует отметить, что сложность численного моделирования реодинамических процессов в области с внезапным сужением в значительной степени обусловлена наличием негладких границ области в связи с сингулярной особенностью в окрестности выпуклого угла а = 270° . Впервые это обстоятельство отмечено в [50]. Более того, данная геометрия расчетной области позволяет проводить исследования по разработке эффективных алгоритмов численного расчета задач о движении неньютоновских жидкостей с различной реологией с учетом влияния сингулярности. Путем численного эксперимента возможно уточнение реологической модели конкретной исследуемой среды.

В настоящее время существует большое количество работ, посвященных исследованию течений неньютоновских жидкостей в областях с внезапным сужением [115117, 152, 173] .

В работе Врентаса (Vrentas J.S) и Дуды (Duda J.L) (1972г.) [173] для ньютоновской жидкости приведена оценка размера подобласти перестройки течения и его зависимости от критериального числа Рейнольдса. Для оценки потерь давления вследствие перестройки потока при сужении канала в работе [152] впервые введен коэффициент потерь давления Куэтта (поправка Куэтта). Боджером в 1982г. и Армстронгом в 1983г. соответственно были получены экспериментальное [116] и численное [152] значение поправки Куэтта для осесимметричных каналов с внезапным сужением 4:1, определена зависимость размера подобласти углового вихря от критериального числа Рейнольдса.

Несмотря на ряд решенных практически важных задач, полное решение проблемы численного моделирования движения нелинейно-вязкопластичной жидкости в области с внезапным сужением далеко от завершения. Так, например, вызывает интерес влияние сингулярности на структуру течения, не исследовано влияние реологических параметров среды на структуру потока, не определена зависимость поправки Куэтта от реологических параметров среды при больших значениях предела текучести и нелинейности реологической модели.

Проблемой численного решения задач о движении нелинейно-вязких и вязкопластичных сред занимаются достаточно давно. С конца 7 0-х годов наибольшее распространение для решения задач такого класса получил метод конечных разностей. Здесь в первую очередь необходимо отметить работы Васенина И.М., Шрагера Г.Р., Нефедова А.П., Козлобродова А.Н.,

Якутенка В.А. [16,17,55,104], в которых решена задача о заполнении цилиндрических емкостей вязкой жидкостью в поле силы тяжести. Развитие методик расчета отражено в работах Березина И.К. [4,5].

Для рассматриваемой задачи применение метода конечных разностей затруднено в связи с существованием неизвестной границы "жидкость-квазитвердое тело" и, как следствие, необходимостью использования адаптивных сеток [87].

С середины 80-х годов для моделирования движения неньютоновских сред интенсивное развитие получил метод конечных элементов. В работах Чехонина К.А., Булгакова В.К. [6,8-11] методом конечных элементов исследовано заполнение осесимметричных областей нелинейно-вязкопластичной жидкостью в неизотермических условиях с учетом реокинетических изменений в жидкости, исследовано влияние основных реологических параметров на характер гидродинамического процесса. Численное решение задачи основано на методе конечных элементов с использованием изопараметрических серендиповых конечных элементов второго порядка.

Работы Липанова A.M., Альеса М.Ю., Константинова Ю.М., [39] посвящены разработке устойчивых конечно-элементных алгоритмов решения задачи о движении вязкопластичной жидкости.

Задача, рассматриваемая в настоящей работе, относится к классу задач в смешанной постановке. Для задач данного типа при использовании метода конечных элементов является важным построение согласованных конечно-элементных аппроксимаций смешанного типа, обеспечивающих заданную точность и устойчивость численного решения. В работе [9] рассматриваются вопросы построения, исследования и численного решения схем метода конечных элементов смешанного типа для несжимаемых сред. Приводится ряд результатов, касающихся исследования аппроксимации, скорости сходимости и обусловленности метода смешанных конечных элементов.

Несмотря на ряд важных достижений в этой области, остаются открытыми вопросы корректности и точности численного решения, сравнительного анализа и критериев выбора конечно-элементных аппроксимаций смешанного типа, применительно к математическому моделированию краевых задач о течении нелинейно-вязкопластичной жидкости/ разработки методик численного расчета и эффективных алгоритмов, устойчивых в широком спектре изменения реологических параметров вязкопластичных сред.

Целью данной работы является:

- разработка эффективных алгоритмов и методов расчета для задач о медленном движении нелинейно-вязкопластичной жидкости, устойчивых в широком диапазоне изменения реологических параметров;

- разработка устойчивых конечно-элементных аппроксимаций смешанного типа для численного моделирования движения нелинейно-вязкопластичной жидкости;

- разработка и анализ методов численного решения нелинейных, плохо обусловленных систем проекционно-сеточных уравнений;

- численные исследования влияния реологических параметров жидкости Шульмана на потери давления и структуру течения в области внезапного сужения двух каналов цилиндрической формы 4:1.

Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения и списка цитированной литературы (178 источников) общим объемом 114 страниц.

Заключение

По результатам работы можно сделать следующие выводы:

На основе метода конечных элементов с использованием вариационной формулировки краевой задачи о движении нелинейно-вязкопластичной жидкости Шульмана предложен численный алгоритм, позволяющий получать устойчивые численные решения в широком спектре изменения реологических параметров модели; на основе изопараметрического конечного элемента Лагранжа предложена дивергентно-устойчивая схема конечно-элементной аппроксимации смешанного типа.

С использованием адаптивного метода Ньютона предложен устойчивый в широком диапазоне реологических параметров алгоритм численного решения нелинейных, плохо обусловленных систем проекционно-сеточных уравнений.

Исследовано влияние реологических параметров жидкости Шульмана на структуру течения и поправку Куэтта в области с внезапным сужением двух цилиндров 4:1.

Показано, что рост псевдопластичных свойств жидкости приводит к увеличению потерь давления в области, уменьшению характерного размера углового вихря Ьу и его интенсивности 1У . Рост дилатантных свойств жидкости на потери давления и структуру течения оказывает более сложное влияние. Так с

1. Андерсон Д.А., Теннхил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплоперенос. М. : Мир, 1986.- Т.1,2. - 387 е., 412 с.

2. Аристов П.П., Чижонков Е.В. О некоторых конечно-разностных аппроксимациях задачи Стокса // Фундаментальная и прикладная математика. 1995. - Т.1. №3. - С.573-580

3. Бахвалов Н.С., Кобельков Г.М., Чижонков Е.В. Эффективные методы решения уравнений Навье-Стокса // Численное моделирование в аэрогидродинамике. М.: Наука, 1986. - С.37-45

4. Березин И. К. Численное решение задачи о ползущем движении жидкости со свободной поверхностью // Исследования по механике полимеров и систем. -Свердловск, 1978. С.3-8

5. Березин И. К. Метод расчета течений жидкости с вязкостью зависящей от времени // Исследование течений и фазовых превращений в полимерных системах. Свердловск: УНО АН СССР, 1985. - С.1-15

6. Булгаков В.К., Липанов A.M., Чехонин К.А. Моделирование течений неньютоновских жидкостей, имеющих предел текучести // Механика композитных материалов. 1988.- №6. - С.1112-1116

7. Булгаков В.К., Потапов И.И., Чехонин К.А. Особенности реализации МКЭ для задачи Стокса // Математическое моделирование. Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-та. - 1999. - Вып.9. - С.9-12

8. Булгаков В.К., Чехонин К. А. Гидродинамика течений полимеризующейся нелинейно-вязкопластичной жидкости, имеющей свободную поверхность // ИФЖ.- 1990.- Т.59.-№4.- С.7 64-771

9. Булгаков В.К., Чехонин К. А. Основы теории метода смешанных конечных элементов для задач гидродинамики. Хабаровск: изд-во Хабар, гос. техн. ун-та, 1999. - 283 с.

10. Булгаков В.К., Чехонин К.А., Глушков И.А. Моделирование процесса формирования границы раздела двух неньютоновских жидкостей // Механика композитных материалов. 1990. - №4.- С.579-584

11. Булгаков В.К., Чехонин К.А., Липанов A.M. Заполнение области между вертикальными коаксиальными цилиндрами аномально вязкой жидкостью в неизотермических условиях // ИФЖ. 1989. - Т.57. -№4. - С.577-583

12. Бурдаков О. П. Некоторые глобально сходящиеся модификации метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений // Докл. АН СССР. 1980. -Т.254. - №3. - С.521-523

13. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гостехиздат, 1956. -344 с.

14. Вайнельт В. К численному решению вариационных неравенств // Дифференциальные уравнения. 1981. -Т.17. - №11. - С.2029-2040

15. Васенин И.М., Нефедов А.П., Шрагер Г.Р. Метод расчета течений вязкой жидкости со свободной поверхностью // Численные методы механики сплошной среды. 1985. - Т.16. - №6. - С.29-43

16. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1977. - 542 с.

17. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления.- М.: Наука, 1984. 320 с.

18. Галагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. - 428 с.

19. Гловински Р., Лионе Ж.Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979. - 574 с.

20. Гноевой A.B., Климов Д.М., Чесноков В.М. К теории течения бингамовских сред. М.: ИПМ РАН, 1998. -63 с.

21. Гноевой A.B., Климов Д.М., Чесноков В.М. Об одном методе исследования пространственных течений вязкопластичных сред // Механика твердого тела. -1986. №4. - С.150-158

22. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. - 383 с.

23. Дьяконов Е.Г. Минимизация вычислительной работы. Ассимптотические оптимальные алгоритмы для эллиптических задач. М.: Наука, 1989. - 312 с.

24. Ермаков В.В., Калиткин H.H. Оптимальный шаг и регуляризация метода Ньютона //Журнал вычислительной математики и мат. физики. 1981. - Т. 21. - №2. -С.491-497

25. Жанлав Т., Пузырин И.В. О сходимости итераций на основе непрерывного аналога метода Ньютона // Журнал вычислительной математики и мат. физики. 1992. -Т.32. - №6. - С.846-856

26. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986. - 284 с.

27. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. -1975. 541 с.

28. Каплан А. А., Тихачке Р. Вариационные неравенства и полубесконечные задачи выпуклой оптимизации //Препринт АН СССР, Сиб. Отделение. Ин-т. математики. Новосибирск, 1989. - №27. - С.46

29. Кобельков Г.М. О численных методах решения уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление // Вычислительные процессы и системы. М. : Наука, 1991. - Вып.8. - С.204-236

30. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Моск. матем. об-ва. М. : Изд-во МГУ, 1967. - Т.16. - С.209-292

31. Коннор Дж., Бреббия К. Метод конечных элементов в механике жидкостей.- Л.:Судостроение, 1979. 264 с.

32. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. -208 с.

33. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М: Наука, 1970. -250 с.

34. Ладыженская O.A., Уралыдева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. ~ М.: Наука, 1973. 456 с.

35. Лебедев К.А. Об одном способе нахождения начального приближения для метода Ньютона // Журнал вычислительной математики и мат. физики. 1996. -Т.36. - №3. - С.6-14

36. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. - 587 с.

37. Липанов A.M., Альес М.Ю., Константинов Ю.Н. Численное моделирование ползущих течений неньютоновских жидкостей со свободной поверхностью // Мат. Моделирование. 19 93. - Т.5. - №7. - С.3-9

38. Литвинов В.Г. Движение нелинейно-вязкопластичной жидкости. М.: Наука, 1982. - 376 с.

39. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. - 840 с.

40. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1989. 346 с.

41. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988. - 264 с.

42. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. - 538 с.

43. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. - 454 с.4 6. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977. - 431 с.

44. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966. - 432 с.

45. Молчанов И.Н., Николенко Л.Д. Вариационный метод в некоторых краевых задачах с разрывными коэффициентами // Численный анализ. Киев: Наукова думка, 1975. - С.71-83

46. Морозов Е.М., Никишков Г. П. Метод конечных элементов в механике разрушения. М. : Наука, 1980. - 256 с.

47. Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы в теории течений вязкопластичной среды // ПММ. -1965. Т.29. - Вып.З. - С.468-492

48. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жестко-пластических сред. М.: Наука, 1981. - 208 с.

49. Мосолов П. П. О некоторых математических вопросах теории несжимаемых вязкопластичных сред // ПММ. 1978. Т.42. - Вып.4. - С.737-746

50. Молчанов И.Н. Машинные методы решения прикладных задач. Алгебра и приближение функций. Киев.: Наук, думка, 1987. - 285 с.

51. Молчанов И.Н. О некоторых требованиях к вычислительным программам линейной алгебры // ЖВМ и МФ. -1980. Т.20 - №3. - С.590-561

52. Нефедов А.П. Численное моделирование пространственных течений вязкой жидкости со свободной поверхностью // Мат. Моделирование. 1994 . - Т. 6. -№2. - С.102-112

53. Никольский С.М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1946.- Т.10. - Вып.З. - С.207-256

54. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981. - 304 с.

55. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высш. шк., 1985.392 с.

56. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений // Дифференциальные уравнения и их применение. 1973. - Вып.5. - 3 94 с.

57. Огибалов П.М., Мирзаджанзаде А.Х. Нестационарные движения вязкопластичных сред. М. : Изд-во МГУ, 1971. - 372 с.

58. Ольшанский М.А. Об одной задаче типа Стокса с параметром // ЖВМ и МФ. 1996. - Т. 36. - №2. -С.75-86

59. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. М. : Мир, 1991. -421 с.

60. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. - 558 с.

61. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М. : Энергоатом-издат, 1984. - 152 с.

62. Потапов И.И., Чехонин К.А. Метод конечных элементов. Хабаровск: Изд-во ХГТУ, 1996. - 30 с.

63. Пухначев В.В., Солонников В. А. К вопросу о динамическом краевом угле // ПММ 1982. - Т. 46. -Вып.б.

64. Рейнер М. Реология. М., «Мир», 1965. - 447 с.

65. Ривкинд В.Я. Об оценке скорости сходимости однородных разностных схем для эллиптических и параболических уравнений с разрывными коэффициентами // Проблемы математического анализа. Л.: Изд-во ЛГУ, 1966. - С.24-36

66. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. М.: Мир, 1982. - 366 с.

67. Сабонадьер Ж.К., Кулон Ж.Л. Метод конечных элементов и САПР. М.: Мир, 1989. - 440 с.

68. Самарский A.A. Теория разностных схем. М. : Наука, 1983. - 616 с.

69. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989. - 403 с.

70. Самарский A.A., Фрязинов И.В. О разностных методах аппроксимации задач математической физики // УМН. -1976.- Т.31. №6. - С.167-197

71. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М: Мир, 1979. - 378 с.

72. Секулович М. Метод конечных элементов. М. : Стройиздат, 1993. - 368 с.

73. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950. - 225 с.

74. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. - 402 с.

75. Сухинин П.А. Численное моделирование медленного течения нелинейно-вязкопластичной жидкости, заполняющей осесимметричный объем: Автореф. диссертации канд. Физ.-мат. наук. Хабаровск: ХГТУ, 1998.22 с.

76. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. - 512 с.

77. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. - 396 с.

78. Темам Р. Решение уравнений Навье-Стокса методом конечных элементов // Численное решение задач гидродинамики. М.: Мир, 1977. - С.13 6-15 9

79. Техника переработки пластмасс / Под ред. акад. Н.И.Басова и В.Броя. М.: Наука, 1985. - 527с.

80. Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. - 563 с.

81. Уилкинсон У.Л. Неньютоновские жидкости. М.: Мир, 1964. - 340 с.

82. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М: Мир, 1991. - 4 32 с.

83. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988. - 440 с.

84. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы М.: Мир, 1986. - 448с.

85. Чехонин К.А. Гидродинамика неньютоновских жидкостей со свободной поверхностью // Изв. вузов. Авиационная техника, 1990. 20 с.

86. Чехонин К.А. Метод смешанных конечных элементов для задач реодинамики неньютоновских жидкостей. -Хабаровск: Изд-во ХГТУ, 1999. 396 с.

87. Чехонин К.А. Метод конечных элементов и обобщенный вариационный принцип для решения задач реодинамики нелинейно-вязкопластичных жидкостей // Математическое моделирование. Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-та, 1998. - Вып.4. - С.14-20

88. Чехонин К.А. Методы решения систем нелинейных уравнений. Хабаровск: Изд-во ХГТУ, 1991. - 36 с.

89. Чехонин К.А. Нелинейные краевые задачи механики в негладких областях. Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-та, 1999. - 212 с.

90. Чехонин К.А. Об одном алгоритме построения конечно-элементных сеток для задач о течении вязкой жидкости со свободной поверхностью // Сб. трудов Хабаровского политехнического института. Хабаровск: Изд-во ХПИ, 1989. - С.133-138

91. Чехонин К.А. Обобщенный вариационный принцип для задачи Мосолова-Мясникова // Математическое моделирование. Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. унта, 1998. - Вып.4. - С.4-13

92. Чехонин К.А. Эффективные алгоритмы расчета МКЭ ползущего движения нелинейно-вязкопластичной жидкости со свободной поверхностью // Математическое моделирование. Хабаровск: Изд-во ХГТУ, 1998. Вып.4. - С.21-30

93. Чехонин К.А., Булгаков В.К. Гидродинамика формирования границы раздела двух несмешивающихся вязкопластичных жидкостей // Науч.-техн. конф. Тез. докл. Хабаровск: Изд-во Хабар, политехи, ин-та, 1989. - С.5-6

94. Чехонин К.А., Потапов И.И., Сухинин П.А. Одношаго-вые итерационные алгоритмы решения неособых систем линейных уравнений и одно из направлений их развития // Математическое моделирование.- Хабаровск: Изд-во ХГТУ, 1996. Вып.2. - С.80-83

95. Чехонин К. А., Проценко М. А. Конечно-элементные аппроксимации смешанного типа для задач реодинамики неньютоновских жидкостей // Препринт. Институт прикладной математики ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1998. - №22. - 30 с.

96. Чехонин К.А., Проценко М.А. Метод расщепления в задачах реодинамики нелинейно-вязкопластичных жидкостей // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики. Томск: Изд-во ТГУ, 1998. — С. 40-42

97. Шабров Н.Н. Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловых двигателей. J1.: Машиностроение,1983. 348 с.

98. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989. - 288 с.

99. Шрагер Г.Р., Щербакова И. В. Течение жидкости в процессе заполнения цилиндрических емкостей // Механика жидкости и газа. 1990. - №1. - С.65-70

100. Шульман З.П. Конвективный тепломассоперенос реологически сложных жидкостей.- М. : Энергия, 1975.344 с.

101. Arnold D.N., Brezzi F. , Fortin M. A stable finite element for the Stokes equations }/ Calcolo.1984.- V.21. №4. - P.337-344

102. Babuska I. The finite element method with Lagrangian multipliers // Numer. Math. 1973.1. V. 20. P.179-192

103. Babuska I., Zienkiewicz O.C., Gago J., Oliveira E.R. Accuracy estimates and adaptive refinements infinite element computations. New York: Wiley, 1986. - 426 p.

104. Bercover M., Engelman M. A Finite-Element Method for Incompressible Non-Newtonian Flows. // J. Of computational Physics. 1980. - №3. - P.313-326

105. Beverly C.R., Tenner R.I. Numerical analysis of three-dimensional Fluid // Mech. 1992 . - №4. -P. 85-115

106. Bingham E.C. Fluidity and Plasticity. N.Y., McGraw-Hill, 1922.

107. Boger D.V. Circular entry flows of inelastic and viscoelastic fluids // Advances in Transport Processes. 1982. - V.2. - P.43-98

108. Boger D.V. Viscoelastic flows through contracions // Ann. Rev. Fluid. Mech. 1987. - V.19. - P.157-182.

109. Boland J.M., Nicolaides R. A. Stability of finite elements under divergence constrains // SIAM J. Numer. Anal. 1983. - V.20. - №4. - P.722-731

110. Brezzi F. On the existence uniqueness and approximation of saddle point problems arising from Lagrangian multipliers // RAIRO. 1974. - V.8. -T . 32. - P.129-180

111. Brezzi F., Douglas J. Stabilized mixed methods for the Stokes problem // Numer. Math. 1988. - V.53. -P.225-235

112. Brezzi F., Douglas J., Marini L.D. Two families of finite elements for second order elliptic problems // Numer. Math. 1985. - V.47. - P.217-235

113. Brezzi F., Fortin M. Mixed and hybrid finite element method. Paris: Dunod, 1991. - 426 p.

114. Chekhonin K. Numerical Simulation of Viscoelastic fluid flows by finite element model // The second Inter. symp. on promotion of scientific and technological progress in the Far East. Harbin, 1992. - P.52-56.

115. Chekhonin K.A., Bulgakov V.K. The Effective algorithms of simulation of Non-Newtonian Flows // The actual problems of the scientific and technological progress of the Far Eastern region -1991. P.10-20

116. Chung T.J. Finite element analysis in fluid dynamics. New York: Mc. Graw Hill, 1986. - 381 p.

117. Crisfield M.A. Now-linear finite element analysis of solids and structures. Chichester: Wiley, 1991. - 284 p.

118. Crochet M.J., Davis A.R., Walters K. Numerical simulation of non-newtonian flow. Amsterdam, Oxford, New York, Tokyo: Eselveser, 1984. - 423 p.

119. Crouzeix M., Raviart P.A. Conforming and nonconforming finite element methods for solving the stationary Stokes equation // RAIRO. 1973. - №3. -P.33-75

120. Douglas J. Global estimates for mixed methods for second order elliptic equations // Math. Comp. 1985. V.44. - P.39-5212 9.Dussan V., Davis S.H. On the motion fluid fluid interface // J. Fluid Mech. - 1974. - V.65. - P.71-78 .

121. Engelman M., Sani R.L., Gresho P.M., Bercovier M. Consistent vs. reduced integration penalty methods for incompressible media using several old and new elements // Int. J. Num. Mech. Fluids. 1982. -V.2. - P.25-43

122. Engelman M. S., Strang G. , Bathe K.J. The application of quasi-Newton methods in fluid mechanics // IJNME. 1981. - V.17. - P.707-718

123. Falk R.S., Osborn J.E. Error estimates for mixed methods // RAIRO Anal. Numer. 1980. - V.14. -P.309-324

124. Fortin M. An analysis of the convergence of mixed finite element methods // RAIRO Anal. Numer. 197 7. - V.U. - P.341-354

125. Fortin A., Cote D., Tanguy P.A. On the imposition Boundary conditions for the numerical simulation of Bingham fluid // Cornput Meth. Appl. Mech. Eng. 1991. V.88. - P.97-109

126. Fortin M. Old and new finite elements for incompressible flows // Int. J. Numer. Meths. Fluids. 1981. - V.l. - P.347-364

127. Fortin M., Glowinski R. Methodes de Lagrangies Agumente. Paris: Dunod, 1982. - 423 p.

128. Fortin M., Thomasset F. Application aux equations de Stokes et de Navier-Stokes // Methodes de Lagrangien Argumente. Paris: Dunod, 1982. - 566 p.

129. Franca L.P., Hughes T.J.R. Two classes of mixed finite element methods // Comput. Meths. Appl. Mech. Eng. 1988. - V.69. - P.89-129

130. Girault V., Raviart P.A. Finite element approximations of the Navier-Stokes equations // Lecture notes in Math. 1979. - V.749. - P.112-186

131. Glowinski R. Numerical methods for nonlinear variational problems. New York: Springer Verlag, 1984. - 345 p.

132. Gresho P.M. A modified finite element method for solving the incompressible Navier-Stokes equation // Lectures in Applied Mathematics. 1985. - V.22 -P.193-240.

133. Guenette R., Fortin M. A new mixed finite element method for computing viscoelastic flows // J. Fluid. Mech. 1995. - V.60 - №1. - P.27-52

134. Gunzburger M.D. Finite element methods for viscous incompressible flows. A guide to theory, practice and algorithms. New York: Academic Press Inc, 1989. - 426 p.

135. Heinrich J.C., Pepper D.W. The finite element method: advanced concepts. New York: Springer Verlag, 1996. - 412 p.14 6. Hencky H.Z. Langsame Stationare Strommungen in plastischen // Math und Mech. 1925. - V.2. -P.115-124

136. Herrmann L.R. Finite element bending analysis for plates // J. Eng. Mech. Div. SCF. 1967. - P.49-83

137. Johnson C. Numerical solutions of partial differential equations by the finite element method. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1987. 123 p.

138. Kawahara M., Takeuchi N. Mixed finite element method for analysis of viscoelastic fluid flow // Comp. Fluids. 1977. - №5. - P.33-45

139. Kim-E.V.E. , Brown R.A., Armstrong R. The roles of inertia and shearthinning in flow of an inelastic liguid through an axisummetric sudden contraction // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1983. - V.13. -P.341-363.

140. King R.C., Apellian M.R., Armstrong R.C., Brown R.A. Numerically stable finite element for viscoelastic calculations in smooth and singular geometries // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1988. -V. 29. - P.147-216.

141. Lee R.L., Gresho P.M., Sani R.L. Smoothing Techniques for certain primitive variable solutions of the Navier-Stokes equations // Int. J. Num. Meth. Appl. Mech. and Eng. 1979. - Y.14. - P.1785-1804

142. Malkus D.S, Olsen E.T. Obtaining error estimates for optimally constrained incompressible finite elements // Comp. Meths. Appl. Mech. Eng. 1984. -V.45. - P.331-353

143. Mercier B. A conforming finite element method for two-dimensional incompressible elasticity // Int. J. Numer. Mech. Eng. 1979. - V.14. - P.942-945

144. Raviart P.A. Mixed finite element methods // The mathematical basis of finite element methods. Oxford: Clavendon Press, 1984. P.123-156

145. Schmitt H. Normshwahere Prox-Regularisierung // Ph D. Dissertation. Universität Trier, 1996. - 186 p.

146. Shimazaki Y., Thompson E.G. Elasto-Visco-Plastic flow with special attention to boundary conditions // Int. J. Num. Meth. Eng. 1981. - V.17. - P.97-112 .

147. Silvester D.J., Thatcher R.W. A semi-stable mixed FE method for incompressible flow problem // Numerical Analysis Report Manchester, 1986. №116.

148. Stenberg R. Analysis of mixed finite element methods for the Stokes problems // Math. Comp. 1984. V.42. - P.9-23

149. Tanner R.I. Numerical analysis of three-dimensional Fluid // Phys. Fluids. 1966. - №6. -P. 1246-1247

150. Tanner R.I., Nicrell R.E., Bilger R.W. Finite element methods for the solution of some incompressible non-Newtonian fluid mechanics problem with free surfaces // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1975. - V.6. - P.155112

151. Thompson J.F. Numerical Grid Generation. -Amsterdam: Elsevier Science, 1982. 566 c.

152. Thompson M.C., Ferziger J.N. An Adaptive multigrid technique for the incompressible Navier-Stokes equations // J. of Comput. Physics. 1989. - V.82 -P.94-121

153. Vrentas J.S., Duda J.L. Flow of a Newtonian fluid through a sudden contraction // Appl. Sci. Res. 1973. V. 28 . - P.241-259

154. Wait R. Mitchel A. R. Finite element analysis and applications. New York: Wiley, 1985. - 350 p.

155. Webster M.F. A technique to solve incompressible non-Newtonian flow problem // J. Non-Newfonian Fluid Mech. 1986. - V.20. - P.227-240

156. Webster M.F., Suli E.E., Morton K.W. Numerical case study of a non-Newtonian flow problem // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1988. - V.26. - P.695-704

157. White R.E. An introduction to the finite element method with applications to nonlinear problems. New York: Wiley, 1985. 279 p.

158. Zhou T. Mixed stiffness method and its convergence analysis // Acta Aeron. 1978. - V.l. - P.44-49