автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Влияние импульсного воздействия на механическую систему с упругими элементами

на правах рукописи

ЗУБАРЕВА Мария Кузьминична

ВЛИЯНИЕ ИМПУЛЬСНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ НА МЕХАНИЧЕСКУЮ СИСТЕМУ С УПРУГИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

Специальность 05.23.17 - Строительная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Екатеринбург - 2003

Работа выполнена на кафедре строительной механики Уральского государственного технического университета (УГТУ-УПИ)

Научные руководители:

доктор технических наук, профессор, лауреат Государственной премии СССР в области науки и техники Макаров A.M.

доктор технических наук, профессор Поляков А.А.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор,

Емельянов И.Г.

кандидат технических наук, доцент, Берестова С.А.

Ведущая организация - Белоярская атомная станция (г.Заречный)

Защита состоится "30" октября 2003 г. в 1630 часов на заседании диссертационного совета Д-212.285.06 при Уральском государственном техническом университете - УПИ по адресу: Россия, 620002, Екатеринбург, ул. Мира 19, УГТУ-УПИ, ауд. С-203.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уральского государственного университета (УГТУ-УПИ).

Автореферат разослан 29 сентября 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат технических наук, доцент Алехин В.Н.

и

3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы заключается в том, что она касается решения проблемы надежности и безаварийной работы технологического оборудования в таких отраслях как атомная, химическая и др., где эти требования являются первостепенными и основными. Внезапный выход из строя несущих элементов оборудования, играющих ключевую роль в технологических комплексах, может привести не только к остановке работы, но и к созданию аварийной ситуации. Это является недопустимым, так как связано с огромными последствиями человеческого, экологического и экономического характера. Для обеспечения безопасности оборудования, его элементы, и в целом оно само, должны обладать стойкостью к импульсным воздействиям, и это требование должно выполнятся на стадиях расчетно-экспериментальной оценки, и на стадиях разработки и производства. Выполнение этих требований невозможно без решения широкого спектра задач динамического характера и связанных с ними, определения ряда динамических параметров.

Данная работа, посвященная исследованию и разработке более эффективного метода расчета стойкости промышленного оборудования при импульсных воздействиях, базируется на динамических моделях с сосредоточенными параметрами и квазиупругими связями. Вместе с этим разработанный метод расчета отличается простотой, достаточной степенью точности и является экспресс-методом. При этом данная методика может быть использована дая оценки стойкости элементов оборудования как при сейсмическом воздействии, так и при воздействиях, вызванных взрывами различного характера и др.

Целью работы является моделирование и расчет динамических процессов в стержнях, кольцевых пластинах и системах, сочетающих эти элементы с сосредоточенными параметрами с одной стороны и импульсных воздействий с другой, при различных краевых условиях

В работе решались следующие основные задачи:

На основе волновых моделей исследовать динамический процесс продольных колебаний стержня с учетом его массы, сосредоточенной массы на конце стержня и заданного импульсного смещения на другом конце стержня;

Разработать динамическую модель изгибных колебаний упругой стержневой системы, связанной с сосредоточенной массой и испытывающей импульсные поперечные смещения опорных связей;

Дать математическое описание поперечных колебаний круглой кольцевой пластины, с установлением жесткостных характеристик, у которой внешний контур связан с массивным ободом, а внутренний - с валом, подверженным продольному смещению произвольного по форме импульсного воздействия;

Осуществить моделирование динамических процессов в многоэлементной конструкции (радиального вентилятора), представленной как системы с квазистатическими связями с конечным числом степеней свободы, и при сейсмическом смещении его опоры.

Методы исследования

Базируясь на обобщенные совреме ти механики,

динамики и прочности машин, конструкций и их элементов, аппарата теории упругости, математической физики, теории подобия и размерностей, при решении поставленных задач применялись аналитические и численные методы. Среди них: метод конечных интегральных преобразований, метод обобщенного ускорения Ньюмарка-Вилсона, метод конечных разностей (МКР). Реализация полученных решений производилась на ЭВМ по специально разработанной программе, написанной на языке Мар1е7.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- Разработаны на основе современных методов математики и механики динамические модели, описывающие колебания многоэлементных упругих систем при смещении опорных связей в осевом и поперечном направлениях, как систем с конечным числом степеней свободы с квазистатическими упругими связями;

- Посредством метода конечных интегральных преобразований решены задачи продольных, поперечных колебаний стержня с учетом его массы и сосредоточенной массы на конце при импульсном концевом смещении, а также задачи поперечных колебаний круглой кольцевой пластины с массивным ободом на внешнем контуре, при различных условиях сопряжения и импульсном смещении внутреннего контура;

- Установлены зоны действия безразмерного параметра масс упругой системы, при которых без снижения ее надежности, в расчетах можно не учитывать волновые процессы, происходящие в них, при импульсном воздействии;

- Получены в систематическом виде аналитические зависимости по определению жесткости кососимметрично нагруженных круглых пластин при различных способах закрепления граничных элементов. Достоверность результатов проведенных исследований обеспечивалась

корректным выводом уравнений в рамках принятых гипотез и допущений, использованием строгих математических методов и методов механики, а также проверкой согласованности результатов расчета, полученных различными методами, в частности, решением тестовых задач численными методами: обобщенного ускорения Ньюмарка-Вилсона, конечных разностей (МКР). Практическая значимость работы состоит в следующем: На основе теоретических решений и компьютерного моделирования динамических процессов упругих, в одно и многоэлементных системах при импульсных воздействиях определены условия применимости, для элементов промышленных объектов, расчетной динамической модели сосредоточенных параметров с квазистатическими упругими связями. Это позволяет проведение быстрых и достаточно точных оценок стойкости на импульсное воздействие, в том числе и на сейсмическое различных промышленных и гражданских объектов таких как АЭС, высотных сооружения и др.

Разработан программный продукт, позволяющий моделировать динамические процессы с различными параметрами при импульсном воздействии, производить оценку их влияния на поведение системы. Для проверки достоверности результатов решение осуществлялось двумя методами: обобщенного ускорения Ньюмарка-Вилсона, конечных разностей.

Практическое применение результатов работы

На основе разработанного метода сосредоточенных параметров и программной реализации на ЭВМ был произведен расчет мощного промышленного радиального вентилятора специального назначения. Результаты работы внедрены в РФЯЦ-ВНИИТФ и в ряде др. организаций, а также в учебном процессе Снежинской государственной физико-технической академии. На защиту выносятся:

- результаты исследований и расчетов динамических процессов в стержнях, кольцевых пластинах и системах, сочетающих эти элементы, с учетом и без учета их инерционных свойств с сосредоточенными массами в концевых сечениях с одной стороны и произвольных по форме импульсных воздействий с другой, на основе волновых моделей;

- динамические модели продольных и поперечных колебаний стержней постоянного поперечного сечения с сосредоточенной массой на другом;

- динамическая модель поперечных колебаний кольцевой пластины, симметричной по угловой координате, с массивным ободом на внешнем контуре и импульсным воздействием на внутреннем контуре. Аналитические зависимости по определению жесткости кососимметрично нагруженной круглой пластины;

- динамические модели, описывающие колебания промышленного радиального вентилятора, представленного как система с конечным числом степеней свободы с упругими квазистатическими связями;

- результаты анализа разработанных динамических моделей, возможности эффективного использования предложенной методики расчета систем с сосредоточенными параметрами и упругими квазистатическими связями для оценки стойкости реальных объектов при импульсных воздействиях. Апробация работы

Основные положения и результаты диссертационной работы внедрены в РФЯЦ-ВНИИТФ, используются в учебном процессе Снежинской государственной физико-технической академии.

Доложены и обсуждены на следующих конференциях: Международной научно-практической конференции «Снежинск и наука-2003. Современные проблемы атомной науки и техники.», Россия г. Снежинск 2003г; Второй Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике.», Москва, 2003г. Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 8 печатных научных работах.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Изложена на 179 стр. машинописного текста, включая 70 рисунков, список литературы из 204 наименований, приложения на 23 стр.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность и новизна диссертационной работы, определена ее цель и изложены основные положения, выносимые на защиту. Показана ее практическая значимость и изложены основные результаты и апробация работы.

В первой главе проведен анализ и краткий обзор исследований, посвященных рассматриваемым в диссертационной работе вопросам, формируются и обосновываются задачи исследований, актуальность и методы исследований.

Вторая глава посвящена расчетам динамических процессов, осуществляемых на основе волновых моделей, происходящих в элементах (стержнях) конструкций. Колебательный процесс раскладывается на продольные и поперечные колебания. При этом, рассматриваются стержень с сосредоточенной массой, расположенной на одном его конце и импульсным смещением на другом, опорном конце.

Динамическая модель при продольном смещении опоры, в гармоническом приближении, описывается системой дифференциальных уравнений:

^ + 0<х</,Г>0,

Н Ы Ы дх2

и(0,х) = 0; ди(°>хК0, 0<х<1,

и(*,0) = /(/), !/(*,/) = <?('),'> О, (1)

Ж1 ск дх

Л

Здесь м(/,х) - смещение сечения стержня из исходного состояния покоя, смещение тела массой т из состояния покоя, 1- длина стержня, р -объемная плотность, .р — поперечное сечение. Материал стержня характеризуется модулем Юнга Е . Левый конец стержня смещается по заданному закону /(/), правый конец связан с телом массы т. Данная система

может перемещаться в направлении оси X. Эффекты затухания описываются введением эффективных сил сопротивления п ди((,х) и з <1%

д1 0 а

Данная краевая задача математической физики обычно решается методом разделения переменных - методом Фурье. Но в диссертационной работе предложен более рациональный метод решения - метод конечных интегральных преобразований по переменной X на промежутке (0, /). Применению метода конечных интегральных преобразований предшествует решение

соответствующей спектральной задачи;

= 0, 0<х<1,1 (2)

Х„(0) = 0, х„(1) = о. У

Решение спектральной задачи имеет вид

Хп(х) = у/25\п(п7гх), л = 1,2,3,..., (3)

а значения собственных чисел при этом определены выражением

Цп=ПП, П = 1,2,3,... .

Решение краевой задачи представляется рядом по системе собственных функций Д™ определения трансформант {Тп(х)} и смещения

Л=1

получается бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Если в разложении по собственным функциям взять конечное число

N

слагаемых ^Гг (х)' то получим систему (N + 1) обыкновенных

и=1

дифференциальных уравнений. Решение этой системы ищется численно методом конечных разностей (метод Ньюмарка-Вилсона). Показано, что при значении N=10 решение выходит на асимптоту, т.е. при N>10 решение мало

отличается от предыдущего. Показано, что если отношение массы стержня к массе тяжелого тела меньше -0.1, то расчет колебательного процесса можно осуществлять в гармоническом приближении.

Динамика системы "стержень-тела", а1рНа=0 1

смещение тела смещение тела Без учета инерции стержня

-0 2-

1

2 3

безразмерное время

Рис. 1

На рис.1 представлен график зависимости продольных линейных смещений сосредоточенного тела в функции времени при коэффициенте а0=0.1, представляющего собой отношение массы стержня к массе сосредоточенного

тела.

Из графиков видно, что смещения для моделей с распределенными параметрами и модели с сосредоточенными, без учета волн, практически совпадают. При этом, модель с сосредоточенными параметрами точно описывает и максимальные отклонения сосредоточенного тела от положения равновесия и фазу колебаний. При а0=1, то есть когда масса тела и стержня одинакова, расхождение результатов заметное (рис. 2) и оно увеличивается с возрастанием а0. ,

Динамика системы "стержень-тело", а1рНа=1.0

-0.2-1_•_,_,_,_

0 1 2 3 4 5

безразмерное время

Рис. 2

Это означает следующее. Вместо решения достаточно сложной выше приведенной краевой задачи математической физики достаточно решать задачу о гармоническом колебании сосредоточенной массы, соединенной с опорой посредством упругой связи, характеризующейся соответствующей продольной жесткостью. Для обоснования предлагаемой автором методики вычислений приводятся результаты расчетов той же задачи, полученные методом конечных разностей. Показано удовлетворительное согласование результатов расчетов.

В данной главе во втором параграфе рассмотрено поперечное смещение сосредоточенной массы, расположенной на конце упругой балки, в условиях смещения опоры. Методология постановки краевой задачи математической физики такая же, что приведена выше. В качестве волнового уравнения, описывающего распространение изгибных волн стержня, взято уравнение равновесия изогнутого стержня. Решение строится тоже методом конечных интегральных преобразовании.

Рассматривается колебание сосредоточенной массы ТП, представляющей собой жесткое тело, которое опирается на N одинаковых вертикальных опор. Опоры связаны с жесткой горизонтальной плитой, имеющей возможность

смещаться в горизонтальном направлении. Пусть стержни изготовлены из однородного материала с объемной плотностью V , Е —модуль Юнга, Р —

площадь поперечного сечения, J - момент инерции поперечного сечения. Пусть и- поперечное смещение оси стержня, х- смещение жесткого тела в

горизонтальном направлении, / - время, 2 — продольная координата вдоль

стержня. Сечение стержня 2 — О соответствует опорной поверхности системы,

2 — 1 соответствует месту закрепления тяжелого тела. Уравнения динамики стержня и жесткого тела имеет вид:

д Ч/,*) 0<*</,/>о,

ы ы дг4

и(0,г) = 0; ди^2К0, О<г<1, д1

м(/*,о), и (7,/) = -*(/), г > О, д"«>°)=0, = г>0, (4)

dz dz¿

dt2 0 dt dz3

jt(0) = 0; « = dt

Начальные условия рассматриваемой задачи описывают состояние покоя, граничные условия отражают характер сопряжения граничных сечений стержня с перемещениями опорной плиты и тяжелого тела и характер закрепления концов стержня: "жесткая заделка" по углу поворота начального сечения стержня и шарнирное соединение с тяжелым телом конечного конца стержня. В уравнениях учтены эффекты затухания введением сил сопротивления пропорциональных скорости движения. Смещение опорной плиты во времени /(t) считается заданным.

Система собственных функций соответствующей спектральной задачи, имеет вид

ZÁZ) = сп [(sh/i„ - sin fi„ )(chH„z - cos n„z) - (chцп - cos //„ )(sh//„z - sin nnz)\ n = 1,2,3,.... (5)

Собственные значения цп определяются как корни уравнения th/^ = х%цп ■

В третьей главе решена краевая задача осесимметричных колебаний круглой пластины при различных граничных условиях. Этим исследованиям предшествует раздел, в котором приводится вывод формул для вычисления жесткости круглой пластины при поперечном нагружении.

Вычисление жесткости круглой пластины при поперечном кососимметричном нагружении и различных способах закрепления граничных контуров является весьма трудоемкой задачей.

Для определения жесткостей различных кольцевых пластин при различных граничных условиях использовался математический пакет программ символьных вычислений MAPLE, который в ПРИЛОЖЕНИИ представлен примером вычислительного кода, написанного на языке MAPLE, для вычисления жесткостей.

Результаты расчетов по приведенной в ПРИЛОЖЕНИИ программе жесткостей круговой кольцевой пластины для случая Dh=1.0, //=0.3; bja=2...10 приведены на рис. 3.

Из анализа расчетов, в частности, из рис. 3, следует, что жесткость круглой кольцевой пластины существенно зависит от граничных условий, соотношения радиусов внешнего и внутреннего контуров.

Отношение G/D

250

200 -

G - жесткость кольца на изгиб D - цилиндрическая жесткость пластины

150

100

■ G1 G2 G3 G4

8 9 10

Отношение Ь/а

Рис. 3

Независимо от условий опор контуров, наибольшее значение жесткость пластины достигает при меньших значениях отношения радиусов. При чем, наименьшая жесткость кольцевой пластины получается при шарнирных опорах контуров на всем диапазоне отношения радиусов.

В этой главе рассматриваются осесимметричные колебания изгиба круглой пластины постоянной толщины. Внутренний контур соединен одним из способов с цилиндрическим валом, способным перемещаться вдоль своей оси, а внешний контур тем или иным способом соединен с массивным жестким осесимметричным ободом известной массы. При смещении вала внешнее воздействие передается ободу. Составлены дифференциальные уравнения прогиба пластины постоянной толщины. В качестве плотности распределения

поперечной нагрузки приняты силы инерции и силы сопротивления, а граничные условия для искомого решения в виде:

w{t,a) = f(t), 0> W(t,b) = x(t), dW> = р, (6)

Эг дг

где f(f) - известный закон движения вала вдоль его оси, дг = х(/) -зависимость смещения обода от времени, для которой уравнение движения: д2х с. dx ^ д

т-

= -0o — -D—Aw\ 2ЛЬ. (7)

dt2 '" dt дг

Л

Здесь ТП - масса обода, ¡30 - коэффициент сопротивления движению обода.

Обод движется под действием перерезывающей силы, возникающей на внешнем контуре пластины, и под действием силы сопротивления. Уравнения V = <2 и

Г — Ъ описывают окружности внутреннего и внешнего контуров пластины. Дополним постановку исходной задачи начальными условиями, считая, что движение системы начинается из состояния покоя:

w(0,r) = 0, М0,г)_0 х(0) = 0, = (Ю

dt ' dt Для решения задачи используется метод конечного интегрального преобразования по переменной Г. Соответствующая спектральная задача имеет вид

АМ„(г)-//Х(0=0, ед=о,ад=о, K(i)=o, (9)

Решение спектральной задачи представляется в виде комбинации функций Бесселя

ад = СхиМпг) + С2¥0(Лг) + СгШ„г) + C4K0(junr). (10)

Граничные условия позволяют определить постоянные интегрирования и выписать трансцендентное уравнение для определения собственных чисел /лп спектральной задачи. Решение исходной задачи - это бесконечный ряд по системе собственных функций спектральной задачи ^Т (t)Rn(r).

п

Если в ряде взять конечное число членов ряда N и ввести вектор - столбец

и = [Tx{t),T2{t),...,TN{t),x(t)]r, (11)

то систему уравнений относительно трансформант Тп (7) и переменной х(?) можно записать в матричной форме:

[М] и {t) + [В] U(t) + [К] U(t) = Ф(0, (12)

где [М] - матрица "масс", [5] - матрица "сопротивлений", [AT] - матрица "жесткости" системы, Ф(/)- вектор - столбец свободных членов. Система обыкновенных дифференциальных уравнений решалась численно.

Общий вывод.

При значениях параметра ОС <0,1 (отношение массы стержней или круглой

пластины к массе тяжелого тела) приближение гармонической системы с одной степенью свободы может оказаться вполне приемлемым, и при расчете конструкции на прочность инерционные свойства стержней или круглой пластины можно не учитывать.

Четвертая глава связана с рассмотрением динамики мощного промышленного радиального вентилятора.

На основе исследований предыдущих глав, радиальный вентилятор рассматривается как система с конечным числом элементов, соединенных между собой упругими связями с уравнениями «сила-смещение» без учета инерционных свойств этих связей. В рассматриваемых моделях динамических процессов в радиальном вентиляторе принята к использованию элементарная теория гироскопического эффекта.

В качестве одной из возможных конструктивных схем вентилятора радиального типа принят вентилятор с четырьмя одинаковыми опорами, связанными с жестким основанием, которое имеет возможность перемещаться в трех взаимно перпендикулярных направлениях.

Динамическая модель радиального вентилятора при продольном смещении опоры представлена на рис. 4.

Эта модель описывается системой дифференциальных уравнений 5-го порядка и учитывает влияние на динамические процессы в элементах вентилятора их масс, жесткостей, смещений опорной поверхности, с учетом режимов работы вентилятора в момент приложения импульса.

К,

■ ез

Ь з

к.

1В

гг

К

45

гг

К, ь

п,

А

У

ь,

п

к

10

г.

1;.*

"Р.

1:,г

X

>

Рис. 4. Динамическая модель при продольном смещении опоры

В качестве закона смещения опорной поверхности во времени использованы конкретные сейсмограммы в форме импульса Берлаге =

Система уравнений продольных смещений элементов конструкции радиального вентилятора в неподвижной системе отсчета имеет вид: с12х, „ сЬс,

т,

Л

т

с12х (Ьс

2-ТГ+т2^2-Г = к12-(Х1-Х2) + к23-(Х3-Х2)'

ш ш

с1х.

т.

т.

+ тз/Зз-^- = к23<Х2-Хз)> ёх

+ тАРл ~ = к4]- (х, -хА) + к45- (х5 -х4)>

¿2х4 Л2 й2х<

(13)

йх.

■ к45 ■ (х4 х5).

с1г Л

Осуществлено решение приведенной системы, получены результаты расчета смещений элементов конструкции вентилятора, которые показывают, что смещения изменяются по сложным законам (рис.5, 6). 0 061

Рис. 5. Смещение во времени входного патрубка относительно рабочего колеса

ООД 0.04 0.02

Рис. 6. Смещение во времени рабочего колеса относительно корпуса вентилятора

По графическим зависимостям относительных перемещений элементов конструкции во времени, можно судить: обеспечивается или нет безаварийная работа вентилятора при импульсном воздействии.

Если величина конструктивного зазора между соответствующими элементами оказалась больше максимальной величины относительного смещения рассматриваемых элементов, можно считать, что имеет место безаварийный режим работы, вентилятор является сейсмостойким.

Относительные смещения подвижных массивных элементов конструкции позволяют рассчитать напряжения, возникающие в упругих элементах конструкции.

Динамическая модель при поперечном смещении опоры представлена на рис.

7.

5 С. 1 4

гч3

а0'

1

3

т

О-п

Рис. 7. Динамическая модель при поперечном смещении опоры

Поперечное смещение опоры радиального вентилятора рассматривается при предположениях: жесткость опор вентилятора относительно растяжения-сжатия очень велика; жесткость конструкции корпуса и ротора двигателя относительно поперечного смещения очень велика, т.е. корпус двигателя и ротор двигателя можно рассматривать как единое целое; жесткость круглых пластин в конструкциях рабочего колеса (задний диск) и корпуса вентилятора (ближняя к двигателю и дальняя от двигателя пластины) относительно поперечного смещения массивных элементов конструкции очень велика.

В этих условиях корпус и ротор двигателя, рабочее колесо и входной патрубок "повторяют" поперечное смещение опорной поверхности с рассчитываемым коэффициентом усиления; ось вала двигателя сохраняет свое горизонтальное положение в процессе смещения по горизонтали; под действием сил инерции и сил реакции взаимодействующих элементов возникают соответствующие изгибающие моменты, и, естественно, вращательные

колебания элементов конструкции.

При изучении колебаний механической системы вокруг осей координатной системы, помимо масс каждого из элементов вводят соответствующие моменты инерции, а жесткости упомянутых выше колец рассчитывают на основе осесимметричной модели деформации кругового кольца.

Гироскопический эффект возникает при изменении во времени положения оси вращения рабочего колеса. Так как, рабочее колесо обладает полярным моментом инерции и вращается с заданным числом оборотов в минуту, то при попытке повернуть рабочее колесо вокруг оси Ъ (вертикальное направление)

получаем поворот вокруг оси У (поперечное направление).

Колебания массивных элементов конструкции как целых жестких тел рассматриваем относительно вертикальных осей, перпендикулярных оси вращения вала вентилятора и проходящих через соответствующие центры масс,

а при рассмотрении гироскопического эффекта - вокруг оси У.

Поперечное смещение конструкции вентилятора как целого описывается уравнением

м.^+к0-У0=к0-т> (и)

л2

где М = + т2 + тъ + от4 + т5 суммарная масса механической системы, к - жесткость опорной конструкции относительно поперечного смещения начального и конечного сечений. Движении начинается из состояния покоя.

При необходимости учесть эффекты затухания добавляется член ^. п в

0 Л

левую часть уравнения, где коэффициент /^определяется в соответствии с нормативными документами. Известная форма решения задачи дает зависимость У о = Уо(0>чт0 позволяет определить зависимость поступательного поперечного

>2

ускорения системы а0(/) =_— и рассчитать величины инерционных

с//2

нагрузок, действующих в массивных элементах конструкции вентилятора:

Г = та0(0, ^з = /и3а0(0, = т4ао(0, ^ = 0 ■ О5)

Исследование крутильных колебаний элементов конструкции вентилятора требует предварительного расчета сил взаимодействия между элементами конструкции.

щ

Щ

<ч

ш

Р%

Рис. 8

Поперечное движение каждого из элементов конструкции с ускорением а0(()

происходит под действием сил взаимодействия с соседними элементами (и с опорной поверхностью для двигателя). С учетом сказанного имеем:

Р5=т5а0(1), Р3=т3а0(0, Р4=т4а0(0 + т5а0^), (16)

Р = (т}+т2)ао(0+тъа0 (7)+(т4а0 +т5а0)= Ма0 (О-

Помимо сил взаимодействия между элементами системы необходимо еще учесть и моменты сил, возникающие при деформации упругих связей,

Рис. 9

Система уравнений колебаний элементов конструкции относительно вертикальных осей имеет вид:

Связь между относительным моментом сил и угловым смещением жестких плоских контуров упругих связей имеет вид ц-С■ А<р, где (7 - жесткость упругого элемента относительно "выламывания" одного из контуров относительно другого, тогда

А = °45(<Р4 А = С45 <9$ ~<Рь\ (18)

Моменты сил взаимодействия, помеченные индексом силы (например, // р )

вычисляются с учетом геометрии элемента как произведение соответствующей силы на плечо. Уточнения требуют только выражения для момента д/ и

момента деформации «скручивания» опорной конструкции //. Если опорная конструкция состоит из 4 вертикальных стоек (стержней), продольные координаты точек крепления этих стоек в системе отсчета, связанной с центром масс двигателя, известны х01, х02, х03, х04, то величина мР может быть рассчитана следующим образом

МЯО-*>('))• (19)

При повороте двигателя вокруг вертикальной оси на угол (р точка крепления

опорной стойки получает перемещение гй1(р, где гш = ^х2о, + у2о, - расстояние

рассматриваемой точки от оси вращения. Это перемещение вызывает поперечную деформацию опорной стойки и появление реакции опоры

^ = —к0 • г0 ■ (р ■ Очевидно, что сила имеет плечо Гд. относительно оси

вращения, поэтому /1 = МРо= ~ко Ос.2 + Ъ + г032 +гм2)-<р. Система дополняется начальными условиями <р(0) = 0; %(0) = 0; р4(0) = 0; р5(0) = 0; ^

ФФ)= 0; ^3(0) = 0; ф4ф) = 0; ф5(0) = 0.

Если оценивается сейсмостойкость неработающего вентилятора, то описание динамики механической системы можно считать законченным. При оценке сейсмостойкости работающего вентилятора, необходимо учесть проявление гироскопического эффекта. Учитывая большую жесткость опорной конструкции относительно растяжения - сжатия, можно считать, что двигатель не участвует в таких колебаниях. Рабочее колесо вентилятора поворачивается вокруг оси У. С учетом элементарной теории гироскопического эффекта имеем

^ = + Лз • <Уоз' Роз' (21)

0(0) = 0; 0(0) = 0.

Здесь 0 - угол поворота плоскости рабочего колеса вокруг оси У, -полярный момент инерции рабочего колеса относительно продольной оси вращения, £У03 - угловая скорость вращения рабочего колеса, (р^ - угловая

скорость колебаний рабочего колеса вокруг оси У.

Вертикальное смещение опорной поверхности радиального вентилятора описывается при тех же предположениях. В этих условиях массивные элементы конструкции радиального вентилятора "повторяют" вертикальное смещение опорной поверхности, вертикальное ускорение массивных элементов равно ускорению поверхности, что дает возможность рассчитать вертикальные усилия взаимодействия массивных элементов. Соотношения, полученные для случая поперечного смещения, сохраняют силу, если учесть, что соответствующие силы действуют в вертикальном направлении, а величина ускорения определяется выражением

ш

Система уравнений крутильных колебаний элементов конструкции относительно горизонтальных осей У имеет вид:

= Мл + А + Мр5 + /V, (23)

Первое уравнение позволяет рассчитывать величину ¡Л - момента сил, возникающих в элементах опорной конструкции при предотвращении колебаний двигателя вокруг оси У. В системе уравнений имеем:

Мз=°з1-9з' ^=-Огх-(рг\ /лА=-вп-<р1,

Мз = °А5 04 - <Рь ); А = С45 О45 - <Рь ) ■■ (24)

Значения коэффициентов (Э можно рассчитать по зависимостям предыдущих разделов с учетом конструктивных особенностей упругих связей между массивными элементами. Моменты сил взаимодействия, помеченные индексом силы (например, м ) вычисляются с учетом геометрии элемента, как

Рэ

произведение соответствующей силы на плечо. Система уравнений должна быть дополнена нулевыми начальными условиями. При необходимости учесть эффекты затухания в систему уравнений надо ввести члены вида Jр-(р, что принципиальных трудностей в решении задачи не создает.

Если оценивается сейсмостойкость неработающего вентилятора, то описание динамики механической системы можно считать законченным. При необходимости оценить сейсмостойкость работающего вентилятора приходится учитывать гироскопический эффект.

Система уравнений динамики механической системы в рассматриваемом

случае похожа на соответствующую систему уравнений, полученную в п.4 этой главы. Различие состоит в том, что между массивными элементами теперь действуют только моменты сил, а силы взаимодействия обращаются в нуль:

центры масс этих элементов сохраняют состояние покоя относительно оси У. •¡Ф = М + Мз+М<,

¿ъФъ =Мз +Лз '^оз -Фоп

JAФ4=M4+M5. (25) /Д = /г5.

Здесь ф - угол поворота двигателя относительно оси Х,фъ,ф4,ф5-

аналогичные углы поворота рабочего колеса, корпуса вентилятора и входного патрубка. Величина ¡1 определена в п. 4, выражения дел остальных моментов имеют вид:

-(ФЪ~ФУ, р!4=04Х-{ф4-ф), /А=°г\<Ф-Фъ)> МА=041-(ф-ф,), (26)

М'5=045-(ф5-ф4); ц'5 =045-{ф4-ф5),

,/03 - полярный момент инерции рабочего колеса относительно продольной оси вращения, ¿У03 - угловая скорость вращения рабочего колеса, ф - угловая

скорость крутильных колебаний относительно оси У.

В элементарной теории гироскопического эффекта эффектами второго порядка малости пренебрегают. Система уравнений дополняется нулевыми начальными условиями. Эффекты затухания в системе учитываются введением в левую часть уравнений движения членов вида J■ /}-ф.

ВЫВОДЫ

1. Изучен процесс колебаний в типовых упругих системах с распределенными параметрами в сопряжении с жестким тяжелым сосредоточенным элементом (продольные колебания упругого стержня конечной длины постоянного сечения с тяжелой массой на правом конце стержня, поперечные колебания упругого стержня конечной длины постоянной изгибной жесткости с тяжелой массой на правом конце стержня в отсутствие возможности поворота тяжелой массы в процессе колебаний, поперечные симметричные по угловой координате колебания круглой кольцевой пластины конечных размеров и постоянной толщины с тяжелым ободом на внешнем контуре пластины в отсутствие возможности поворота тяжелого обода в процессе колебаний) для различных условий сопряжения упругой системы с элементами внешней конструкции под действием произвольного по форме импульсного воздействия.

2. В математической формулировке начально-краевых задач выполнен переход к безразмерным переменным. В результате выявлен основной безразмерный параметр динамической системы - отношение массы упругой

части системы к массе сосредоточенного элемента, величина которого определяет количественные параметры и характер различия колебаний сосредоточенного тела в модели с учетом инерционных свойств упругого элемента системы и в модели сосредоточенных параметров с квазистатической упругой связью.

3. Аналитическое решение начально-краевых задач о нестационарных колебаниях типовых упругих систем в сопряжении с жестким тяжелым сосредоточенным элементом построено методом конечного интегрального преобразования по пространственной переменной. При этом последовательность «пространственных» функций и последовательность собственных значений определяется решением соответствующей спектральной задачи, а для последовательности «временных» функций получена нерасщепляющаяся система линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка. В предположении возможности редукции бесконечной системы дифференциальных уравнений для последовательности «временных» функций показана возможность аналитической формы записи решения исходной задачи. Практические результаты получены с использованием численного решения упомянутой системы методом обобщенного ускорения Ньюмарка-Вилсона. Решение проверено сравнением с численным решением методом конечных разностей.

4. Анализ результатов расчетов динамических процессов в описанных системах позволил установить, что при малых значениях отношения массы упругого элемента к массе сосредоточенного тела (<0,1) процесс колебаний сосредоточенного тела без учета инерционности упругого элемента практически не отличается от колебаний по модели с учетом инерционных свойств упругого элемента. При средних значениях этого безразмерного параметра (~1,0) можно говорить о качественном совпадении с различием количественных характеристик (например, амплитуда колебаний) в 10~15%. При больших значениях отношения масс (>5~10) расхождение становится значительным как по амплитуде, так и по периоду колебаний.

Практический результат проведенного анализа состоит в определении условий применимости простой в реализации модели сосредоточенных параметров с квазистатической упругой связью к исследованию импульсных воздействий на элементы промышленного оборудования.

5. С использованием полученных выше результатов построены математические модели, описывающие динамические процессы в элементах конструкции радиального вентилятора как системы с конечным числом степеней свободы с квазистатическими упругими связями (т.е. без учета инерционных свойств упругих элементов) при горизонтальном продольном импульсном смещении опорной поверхности, при горизонтальном поперечном смещении опорной поверхности и при вертикальном поперечном импульсном смещении опорной поверхности с учетом гироскопического эффекта в элементарном приближении для двух последних случаев. Решения соответствующих задач с однородными начальными условиями получены методом интегрального преобразования Лапласа. Программы расчета колебаний элементов конкретной конструкции радиального вентилятора в рамках пакета Maple 8 приведены в

Приложении. По результатам расчета параметров процесса колебаний элементов динамической системы можно судить о импульсной стойкости радиального вентилятора.

6. Разработанный подход обоснования использования модели с сосредоточенными параметрами значительно сокращает затраты на проведение оценки импульсной стойкости промышленного оборудования при необходимости проведения многовариантных расчетов.

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1. М.К. Зубарева, К.А. Макаров, A.M. Макаров. "Вопросы оценки сейсмической стойкости элементов промышленного оборудования". Тезисы докладов Второй Всероссийской конференция «Необратимые процессы в природе и технике», Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 23 - 24 января 2003 г.

2. М.К. Зубарева. "Жесткость круглой пластины при поперечном кососимметричном нагружении". Сборник научных трудов Международной научно-практической конференции «Снежинск и наука - 2003. Современные проблемы атомной науки и техники», Россия, г. Снежинск Челябинской области, 9-14 июня 2003 г.

3. М.К. Зубарева. "Изгибные колебания стержня постоянного поперечного сечения с сосредоточенной массой на конце". Сборник научных трудов Международной научно-практической конференции «Снежинск и наука - 2003. Современные проблемы атомной науки и техники», Россия, г. Снежинск Челябинской области, 9-14 июня 2003 г.

4. М.К. Зубарева "Осесимметричные колебания круглой пластины с тяжелым жестким ободом на внешнем контуре". Сборник научных трудов Международной научно-практической конференции «Снежинск и наука -2003. Современные проблемы атомной науки и техники», Россия, г. Снежинск Челябинской области, 9-14 июня 2003 г.

5. М.К. Зубарева "Метод решения системы дифференциальных уравнений". Сборник научных трудов Международной научно-практической конференции «Снежинск и наука - 2003. Современные проблемы атомной науки и техники», Россия, г. Снежинск Челябинской области, 9-14 июня 2003 г.

6. Зубарева М.К. Метод решения системы дифференциальных уравнений // Дорожно-транспортный комплекс, экономика, экология, строительство и архитектура. Материалы международной научно-практической конференции 2003 Книга 3. - Омск: Изд-во СИБАДИ, 2003. - с. 315-317.

7. Зубарева М.К. Сравнение схем расчета // Дорожно-транспортный комплекс, экономика, экология, строительство и архитектура. Материалы международной научно-практической конференции 2003 Книга 3- Омск: Изд-во СИБАДИ, 2003. - с. 315-317.

8. Зубарева М.К. Метод конечных интегральных преобразований в задачах расчета колебаний упругих механических систем. // г. Снежинск, Изд-во: Снежинской физико-технической академии. 2003. 67с.

Подписано в печать 15.09.2003 Формат 60x84 1/16 Бумага писчая

Офсетная печать Тираж 100 Заказ №60

Ризография НИЧ УГТУ 620002, г. Екатеринбург, ул. Мира 19

^ 15 2 0 2

2.0 о^-Д «52c>a

РЕФЕРАТ.

ВВЕДЕНИЕ.

1 ОБЗОР И АНАЛИЗ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

1.1 Современное состояние вопроса и основные направления исследования

1.2 Краткий обзор исследований на импульсные воздействия.

1.2.1 Сейсмические воздействия. Нормативные документы и физические модели.

1.2.2 Колебания систем с сосредоточенными и распределенными параметрами.

1.2.3 Математический аппарат.

1.2.4 Вычислительные методы.

Выводы.

2 ДИНАМИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ПРИ ИМПУЛЬСНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Продольные волны в стержне с сосредоточенной массой на конце Динамическая модель, решения.

2.3 Расчеты на ЭВМ продольных смещений.

2.4 Результаты и анализ расчетов на ЭВМ смещений при изгибных колебаниях.

Выводы.

3 КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНЫ С ВНЕШНИМ МАССИВНЫМ ОБОДОМ.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Жесткость пластины при поперечном, осесимметричном нагружении.

3.3 Жесткость пластины при поперечном, кососимметричном нагружении.

3.4 Расчет жесткостей кольцевой пластины на ЭВМ.

3.5 Осесимметричные колебания круглой пластины с массивным ободом на внешнем контуре.

3.6 Результаты динамического расчета. Анализ.

Выводы.

4 ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В РАДИАЛЬНОМ ВЕНТИЛЯТОРЕ ПРИ СЕЙСМИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ.

4.1 Постановка задачи.

4.2 Расчетная схема радиального вентилятора и его динамическая модель.

4.3 Колебания при продольном смещении опоры.

4.4 Динамический расчет радиального вентилятора при продольном смещении опоры.

4.5 Динамическая модель и исследование колебаний при поперечном смещение опоры. t 4.6 Расчеты при поперечном смещении опоры вентилятора.

4.7 Колебания при вертикальном смещении опоры вентилятора.

4.8 Расчеты при вертикальном смещении опоры.

Выводы.

Актуальность работы заключается в том, что она касается решения проблемы надежности и безаварийной работы технологического оборудования в таких отраслях как атомная, химическая и др., где эти требования являются первостепенными и основными. Внезапный выход из строя несущих элементов оборудования, играющих ключевую роль в технологических комплексах, может привести не только к остановке работы, но и к созданию аварийной ситуации. Это является недопустимым, так как связано с огромными последствиями человеческого, экологического и экономического характера. Для обеспечения безопасности оборудования, его элементы, и в целом оно само, должны обладать стойкостью к импульсным воздействиям, и это требование должно выполнятся на стадиях расчетно -экспериментальной оценки, и на стадиях разработки и производства. Выполнение этих требований невозможно без решения широкого спектра задач динамического характера и связанных с ними, определения ряда динамических параметров.

Данная работа, посвященная исследованию и разработке более эффективного метода расчета стойкости промышленного оборудования при импульсных воздействиях, базируется на динамических моделях с сосредоточенными параметрами и квазиупругими связями. Вместе с этим разработанный метод расчета отличается простотой, достаточной степенью точности и является экспресс-методом. При этом данная методика может быть использована для оценки стойкости элементов оборудования как при сейсмическом воздействии, так и при воздействиях вызванных взрывами различного характера и др.

Целью работы является моделирование и расчет динамических процессов в стержнях, кольцевых пластинах и системах, сочетающих эти элементы с сосредоточенными параметрами с одной стороны и импульсных воздействий с другой, при различных краевых условиях

В работе решались следующие основные задачи: На основе волновых моделей исследовать динамический процесс продольных колебаний стержня с учетом его массы, сосредоточенной массы на конце стержня и заданного импульсного смещения на другом конце стержня.

Разработать динамическую модель изгибных колебаний упругой стержневой системы, связанной с сосредоточенной массой и испытывающей импульсные поперечные смещения опорных связей.

Дать математическое описание поперечных колебаний круглой кольцевой пластины, с установлением жесткостных характеристик, у которой внешний контур связан с массивным ободом, а внутренний - с валом, подверженным т продольному смещению произвольного по форме импульсного воздействия.

Осуществить моделирование динамических процессов в многоэлементной конструкции (радиального вентилятора), представленной как система с квазистатическими связями, с конечным числом степеней свободы, и при сейсмическом смещении его опоры. Методы исследования

Базируясь на обобщенные современные знания в области механики, динамики и прочности машин, конструкций и их элементов, аппарата теории т упругости, математической физики, теории подобия и размерностей применялись при решении поставленных задач аналитические и численные методы. Среди них: метод конечных интегральных преобразований, численный метод обобщенного ускорения Ньюмарка-Вилсона для ОДУ, метод конечных разностей для ДУМФ. Реализация полученных решений производилась на ЭВМ по специально разработанной программе, написанной на языке Мар1е8.

Щ Научная новизна работы заключается в следующем:

- Разработаны на основе современных методов математики и механики динамические модели, описывающие колебания многоэлементных упругих систем при смещении опорных связей в осевом, поперечных направлениях, как систем с конечным числом степеней свободы с квазистатическими упругими связями;

- Посредством метода конечных интегральных преобразований решены задачи о продольных, поперечных колебаниях стержня с учетом его массы и сосредоточенной массой на конце при импульсном концевом смещении, а также о поперечных колебаниях круглой кольцевой пластины с массивным ободом на внешнем контуре, или различных условиях сопряжения и импульсном смещении внутреннего контура;

- Установлены зоны действия безразмерного параметра масс упругой системы, при которых без снижения ее надежности, в расчетах можно не учитывать волновые процессы, происходящие в них при импульсном воздействии;

- Получены в систематическом виде аналитические зависимости по определению жесткости кососимметричных круглых пластин при различных способах закрепления граничных элементов. Достоверность результатов проведенных исследований обеспечивалась корректным выводом уравнений в рамках принятых гипотез и допущений, использованием строгих математических методов и методов механики, а также проверкой согласованности результатов расчета различными методами, в частности, решением тестовых задач численными методами: обобщенного ускорения Ньюмарка-Вилсона, конечных разностей (МКР). Практическая значимость работы состоит в следующем: На основе теоретических решений и компьютерного моделирования динамических процессов упругих, в одно и многоэлементных системах при импульсных воздействиях определены условия применимости, для элементов промышленных объектов, расчетной динамической модели сосредоточенных параметров с квазистатическими упругими связями. Это позволяет проведение быстрых и достаточно точных оценок стойкости на импульсное воздействие, в том числе и сейсмическое, различных промышленных и гражданских объектов таких как АЭС, высотные сооружения и др.

Разработан программный продукт, позволяющий моделировать динамические процессы с различными параметрами при импульсном воздействии, производить оценку их влияния на поведение системы. Для проверки достоверности результатов решение осуществлялось двумя методами: обобщенного ускорения Ньюмарка-Вилсона, конечных разностей. Практическое применение результатов работы

На основе разработанного метода сосредоточенных параметров и программной реализации на ЭВМ был произведен расчет мощного промышленного радиального вентилятора специального назначения. Результаты работы внедрены в РФЯЦ-ВНИИТФ и в ряде др. организаций, а также в учебном процессе Снежинской государственной физико-технической академии.

На защиту выносятся:

- результаты исследований и расчетов динамических процессов в стержнях, кольцевых пластинах и системах, сочетающих эти элементы, с учетом и без учета инерционных их свойств на основе волновых моделей, с сосредоточенными массами в концевых сечениях с одной стороны и произвольных по форме импульсных воздействий с другой;

- математические модели продольных, поперечных колебаний стержней постоянного поперечного сечения с сосредоточенной массой на другом;

- динамическая модель поперечных колебаний кольцевой пластины, симметричной по угловой координате, с массивным ободом на внешнем контуре и импульсным воздействием на внутреннем контуре. Аналитические зависимости по определению жесткости кососимметрично нагруженной круглой пластины;

- динамические модели, описывающие колебания промышленного радиального вентилятора, представленного как система с конечным числом степеней свободы с упругими квазистатическими связями;

- результаты анализа разработанных динамических моделей, возможности эффективного использования предложенной методики расчета систем с сосредоточенными параметрами и упругими квазистатическими связями для оценки стойкости реальных объектов при импульсных воздействиях. Апробация работы

Основные положения и результаты диссертационной работы внедрены в РФЯЦ-ВНИИТФ используются в учебном процессе Снежинского государственного физико-технического института.

Доложены и обсуждены на следующих конференциях : Международной научно-практической конференции «Снежинск и наука-2003. Современные проблемы атомной науки и техники.», Россия г. Снежинск 2003г; Второй Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике.», Москва, 2003г. Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 8 печатных научных работах.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Изложена на 179 стр. машинописного текста , включая 70 рисунков, список литературы из 204 наименований, приложения на 23 стр.

Выводы зования Лапласа. Численное решение осуществлено по специальной программе расчёта колебаний элементов конструкции радиального вентилятора в рамках пакета Maple 8 приведены в приложении. По результатам расчёта параметров процесса колебаний элементов динамической системы можно судить о характере динамического процесса, изменении его параметров во времени, взаимодействии элементов друг с другом. И в конечном итоге оценить сейсмическую стойкость радиального вентилятора.

3. Проведенный динамический расчёт с использованием модели с сосредоточенными параметрами на примере радиального вентилятора показывает значительное сокращение затрат времени на проведение оценки сейсмической стойкости промышленного оборудования. Это особенно важно при необходимости проведения многовариантных расчётов. Ф

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Изучен процесс колебаний в упругих типовых системах с распределенными параметрами в сопряжении с жестким сосредоточенным элементом на одном конце (продольные колебания упругого стержня постоянного сечения, поперечные колебания упругого стержня постоянной изгибной в отсутствие возможности поворота сосредоточенной массы в процессе колебаний, поперечные, симметричные по угловой координате колебания круглой кольцевой пластины конечных размеров и постоянной толщины с ободом на внешнем контуре пластины, при отсутствии поворота обода ) для различных условий сопряжения упругой системы с элементами внешней конструкции под действием произвольного по форме импульсного воздействия.

2. В математической формулировке начально-краевых задач выполнен переход к безразмерным переменным. В результате выявлен основной безразмерный параметр динамической системы - отношение массы упругой части системы к массе сосредоточенного элемента, величина которого определяет количественные параметры и характер различия колебаний сосредоточенного тела в модели с учетом инерционных свойств упругого элемента системы и в модели сосредоточенных параметров с упругой квазистатической связью.

3. Осуществлено посредством метода конечного интегрального преобразования по пространственной переменной аналитическое решение начально-краевых задач о нестационарных колебаниях упругих типовых систем в сопряжении с жестким сосредоточенным элементом. При этом последовательность «пространственных» функций и последовательность собственных значений определяется решением соответствующей спектральной задачи, а для последовательности «временных» функций получена нерасщепляющаяся система неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка. В предположении возможности редукции бесконечной системы дифференциальных уравнений для последовательности «временных» функций показана возможность аналитической формы записи решения исходной задачи. Практические результаты получены с использованием численного решения упомянутой системы методом обобщенного ускорения Ньюмарка-Вилсона. Решение проверено сравнением с численным решением методом конечных разностей.

Выполнен анализ результатов расчетов динамических процессов в описанных системах, который позволил установить, что при малых значениях отношения массы упругого элемента к массе сосредоточенного тела (<0,1) процесс колебаний сосредоточенного тела без учета инерционности упругого элемента практически не отличается от колебаний по модели с учетом инерционных свойств упругого элемента. При средних значениях этого безразмерного параметра (~1,0) можно говорить о качественном совпадении с различием количественных характеристик (например, амплитуда колебаний) в 10-15%. При больших значениях отношения масс (>5~10) расхождение становится значительным как по амплитуде, так и по периоду колебаний. Практический результат проведенного анализа состоит в определении условий применимости простой в реализации модели сосредоточенных параметров с квазистатической упругой связью к исследованию сейсмических воздействий на элементы промышленного оборудования.

С использованием полученных выше результатов построены математические модели, описывающие динамические процессы в элементах конструкции радиального вентилятора как системы с конечным числом степеней свободы с квазистатическими упругими связями (т.е. без учета инерционных свойств упругих элементов) при горизонтальных ( продольном и поперечном) и при вертикальном (поперечном) сейсмических смещениях опоры с учетом гироскопического эффекта в элементарном приближении для двух последних случаев. Решения соответствующих задач с однородными начальными условиями получены методом интегрального преобразования Лапласа.

Для расчетов используются специальные программы расчета колебаний элементов конкретной конструкции радиального вентилятора в рамках пакета Maple 8, приведенные в Приложении. По результатам расчета параметров процесса колебаний элементов динамической системы можно судить о сейсмической стойкости радиального вентилятора.

6. В работе произведено обоснование разработанных динамических моделей с сосредоточенными параметрами, что упрощает проведение оценки стойкости промышленного оборудования (радиального вентилятора) при импульсных воздействиях, в особенности, при проведении многовариантных расчетов.

1.П., Андреев И.П., Деруга А.В. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. 425 с.

2. Айзенберг Я.М., Ульянов С.В. Построение модели сейсмического воздействия и ансамбля аналоговых аксемпрограмм для расчета сооружений. В кн.: материалы к Всесоюзному совещанию по проектированию и строительству сейсмостойких зданий и сооружений. -М.: 1971.

3. Аладьев В.З., Богдявичюс М.А. Maple 6: Решение математических, статистических и физико-технических задач. М.: Лаборатория базовых знаний. -2001.-824с.

4. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. М.: Высшая школа, 1995-560 с.

5. Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Физматгиз. 1993-224 с.

6. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. М.: Наука, 1974. 443 с.

7. Ананьев И.В. Колбин Н.М., Серебрянский Н.П. Динамика конструкций летальных аппаратов. М.: Машиностроение. 1972. 416 с.

8. Андреев А.В. Расчет деталей машин при сложном напряженном состоянии. -М.: Машиностроение. -1981.-216 с.

9. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: 1969, 380 с.

10. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчёта конструкций с применением матриц. Пер. с анг./ Под ред. Смирнова А.Ф. М.: Стройиздат, 1968. 241 с.

11. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. литературы. 1974. - 432с.

12. Б.Г. Коренев. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях. -М.: Физматгиз., 1960.

13. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Наука, 1968.

14. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Наука, 1968. 560 с.

15. Барнштейн С.А. Основы динамики сооружений М.: Госстройиздат., 1938.

16. Берштейн М.Ф. Приложение вероятных методов к расчету сооружений на сейсмические воздействия. Строительная механика и расчет сооружений. - 1960, №2.

17. Барштейн М.Ф., Бородачев Н.М., Блюмин Л.Х., ред. Коренев Б.Г., Рабинович И.М. Динамический расчет сооружений на специальные воздействия. Справочник проектировщика. М.: Стройиздат. 1981-215с.

18. Башарин А.В. Динамика нелинейных электромеханических систем с упругими связями. JL: Ленинградский электротехнический институт, 1983. 81 с.

19. Безухов Н.И. Динамика сооружений в примерах и задачах. М.: 1947.

20. Безухов Н.И., Лунин О.В. Устойчивость и динамика сооружений в примерах и задачах. М.: Гостройиздат, 1963. 371 с.

21. Беляев . Сопротивление материалов.

22. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир. - 1984. - 494с.

23. Бенерджи, Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. 496 с.

24. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: ГИМФМЛ, т.1 -1962. - 464с.; т.2 - 1960, - 620с.

25. Барштейн М.Ф., Бородачёв Н.М., Блюмина Л.Х. и др. Динамический расчёт сооружений на специальное воздействие. М.: Стройиздат, 1981. 215 с.

26. Бидерман В. Л. Механика тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1977. 488 с.

27. Бидерман В.М. Прикладная теория механических колебаний. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1972. 416 с.

28. Бергер И. А., Пановко Я. Г. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник. 1.3. М., «Машиностроение», 1968. 547 с. с ил.

29. Бергер И.А. Круглые пластинки и оболочки вращения .М.: Оборонгиз, 1961.388 с.

30. Бергер И.А. Шорр Б.Ф., Иоселевич Г.Б. Расчёты на прочность деталей машин. М.: Машиностроение, 1979. 702 с.

31. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1963, 412 с.

32. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехиздат, 1956.

33. Болотин В.В. Неконсервативные задачи упругой устойчивости. М.: Физматгиз. 1961.

34. Болотин В.В. Применение методов теории вероятностей и теории надёжности в расчётах сооружений. М.: Стройиздат, 1971. 255 с.

35. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. Изд. 2. -М. 1965.

36. Бояршинов С.В. Основы строительной механики машин./ Под ред. проф. д-ра техн. наук Соколова С.Н. JI: Машиностроение, 1973. 456 с.

37. Бондарь Н.Г. Нелинейные стационарные колебания. Киев.: Наукова думка, 1974. 209 с.

38. Булгаков Б.В. Колебания. М.: ГИТТЛ, 1954. 891 с.

39. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний М.: Наука. - 1976 (1-е изд.), 1987 (2-е изд.).

40. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения для дифференциальных уравнений в частных производных. -М.: ИЛ. 1963. -488с.

41. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М. Машиностроение, 1976.278 с. щ 42 Варвак П.М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пластинок. Кн.

42. Некоторые задачи прикладной теории упругости в конечных разностях. 41 и 2. Киев: Из. АН УССР, 1959, 1952.

43. Варданян Г.С., Андреев В.И. Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. Учеб. для вузов /Под ред. Г.С. Варданяна М: изд.АСВ1995 568с.

44. Вейц B.JI. Динамика машинных агрегатов. JL: Машиностроение, 1969. 367 с.

45. Веретенников М.И. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука. 1984.

46. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. М.: Гостехиздат, 1949. 784 с.

47. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. литературы. - 1980. —400с.

48. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука. Гл.ред. физ.-мат. литературы. - 1984. - 320с.щ 49 Вульфсон И.И. Динамические расчёты цикловых механизмов. Л.: Машиностроение, 1976. 328 с.

49. Галимов К.З., Паймушин В.Н. Теория оболочек сложной геометрии. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1985. 285 с.

50. Галлагер Р. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1984. 428 с.

51. Гейбензон Л.С. Курс теории упругости. М.: Гостехиздат. 1947.

52. Гогенерезер К., Прачер В. Динамика сооружений. ОНТИ, 1936.

53. Голдеблат И.И. Современные проблемы колебаний и устойчивости ^ инженерных сооружений. М.: Госстройиздат., 1947.(Колебания моста привстречном движении поездов).

54. Голосков Е.Г., Филипов А.П. Нестационарные колебания механических систем. Киев. Наукова думка, 1966. 336 с.4 56 Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир. - 1999. - 548с.

55. Горелик Г.С. Колебания и волны. М.: физмагиз., 1959.

56. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний М.: Высшая школа. 2001. 325с. (2 изд., изд. 1-1995).

57. ГОСТ 30546.1-98. Общие требования к машинам, приборам и другим техническим изделиям и методы расчета сложных конструкций в части сейсмостойкости.

58. ГОСТ 30546.2-98. Испытания на сейсмостойкость машин, приборов и других технических изделий. Общие положения и методы испытаний.

59. ГОСТ 30546.3-98. Методы определения сейсмостойкости машин, приборов и других технических изделий, установленных на месте эксплуатации, при аттестации их, или сертификации на сейсмическую безопасность

60. Григорьев Н.В. Нелинейные колебания элементов машин и сооружений. М.: Гостехиздат, 1961. 255 с.

61. Д. Норри, Ж. де Фриз. Введение в метод конечных элементов. Пер. с англ. М.: Мир, 1981.204 с.щ 64 Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика, М.: Высшая школа, 1986. 607 с.

62. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Мир. -1988. - 334с.

63. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир. - 1976. - 96м.

64. Ден-Гартог Д.П. Механические колебания. М.: Физматгиз, 1960. 580 с.

65. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. литературы. - 1971.1. V 288с.

66. Диментберг Ф.М., Шаталов К.Т., Гусаров А.А. Колебания машин. М.: Машиностроение, 1964. 308 с.щ 70 Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: ГИФМЛ. - 1961. - 524с.

67. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М.: Высшая школа. - 1975.-407с.

68. Емельянов И.Г. Напряженное состояние ортотропных оболочек вращения при контактном воздействии : Афтореф. дис. на соиск. уч. ст. д-ра техн. наук 1995 38с.

69. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальныхуравне-ний. Минск: Наука и техника. - 1972. - 664с.w

70. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний М.: Наука,1988 328с.

71. Завриев К.С Расчет инженерных сооружений на сейсмостойкость. Изв. Тифмесского политехнического института, 1928.

72. Завриев К.С., Назаров А.Г. и др. Основы теории сейсмостойкости зданий и сооружений. Руководство по проектированию сейсмостойких зданий и сооружений. Т.2. М.1970.щ 77 Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.

73. Зубов В.И. Теория колебаний. М.: высшая школа. 1979.

74. Игнатьев В.А. Расчет стержневых пластинок и оболочек. Метод дискретных конечных элементов. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 1988. 160 с.

75. Иориш Ю.И. Измерение вибраций. М.: Гостехиздат, 1956. 403 с.

76. Ильин М.М., Колесников К.С., Саратов Ю.С. Теория колебаний. Учебник для вузов./Под ред. К.С. Колесникова.-М:Изд-во МГТУ им . Н.Э.Баумана,1. Р 2001-272с.

77. Карман Т., Био М. Математические методы в инженерном деле. М.: Гос-техиздат., 1946.

78. Кармишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И., Фролов А.Н. Статика и динамика тонкостенных оболочных конструкций. М.: Машиностроение, 1975. 376 с.

79. Карслоу X., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике. М.: ИЛ,- 1948. -292с.

80. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир. 2001. - 575с.

81. Качанов JI.M. Основы механики разрушений, М.: Наука. 1974, - 711с.

82. Качанов JI.M. Основы теории пластичности. М.: Наука. 1969. - 420с.

83. Келдыш М.В., Гроссман Е.П., Марин Н.И. Вибрации на самолете. М.: изд-во БНТ НКАП ЦАГИ, 1942.

84. Кельдыш М.В., Пархомовский Я.М. Колебания крыла с упруго-прикрепленным мотором. Тр. ЦАГИ им. проф. Жуковского, вып. 535, с. 3-23.-1941г.

85. Клаф Р., Пепзиен Дм. Динамика сооружений. М.: Строиздат. - 1979. -320с.

86. Климанов В.И. Применение приближённых методов к исследованию деформации гибких ортотропных цилиндрических панелей// Сб. Теория оболочек и пластин. М.: Наука, 1973. с. 15-21.

87. Климанов В.И., Тимашев С.А. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. 291 с.

88. Кожевников С.Н. Динамика машин с упругими звеньями. Киев: Изд-во АН УССР, 1961. 159 с. с ил.

89. Коллатц JI. Задачи на собственные значения. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.литературы. 1968. - 504с.

90. Коловский М.З. Нелинейная теория виброзащитных систем. М.: Наука, 1966.317 с

91. Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М.: Наука, 1964. 182 с.

92. Корнишин М.С., Паймушин В.Н., Снигирев В.Ф. Вычислительная геометрия в задачах механики оболочек. М.: Наука, 1989. 208 с.

93. Коровайцев А.В., Горшков С.Б. Численные методы решения одномерных нелинейных краевых задач: Учебное пособие. М.: Изд-во МВТУ, 1987. 46 с.

94. Короткин И.Я., Постнов М.В., Сивере H.JI. Строительная механика корабля и теория упругости. JL: Судостроение, 1968. 423 с.

95. Корчинский И.Л. и др. Сейсмостойкое строительство зданий. М. 1971.

96. Корчинский И.Л. Расчет строительных конструкций на вибрационную нагрузку. М.: Стройиздат.

97. Корчинский И.Л., Шепелев В.Ф. Расчет высотных зданий на сейсмическое воздействие с учетом их протяженности. Строительство и проектирование промышленных зданий, 1965, № 2.

98. Справочник по динамике сооружений. /Под ред. Б.Г.Коренева, И.М.Рабиновича М.: Стройиздат. 1972. - 511 с.

99. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: МИР. 1972. - 276 с.

100. Кочаев В.П., Махутов Н.А., Гусенков А.П. Расчёты деталей машин и конструкций на прочность и долговечность. Справочник. М.: Машиностроение, 1985. 223 с.

101. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.Н. Уравнения в частных производ-ных математической физики. М.: Высшая школа. - 1970. 712 с.

102. Киселев В.А. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений. М.Стройиздат.1969. 432с.

103. Крылов А.Н. Вибрация судов. М.: ОНТИ, 1936.

104. Крылов Н.М., Боголюбов М.М. Введение в нелинейную механику. Киев: Изд-во АН УССР, 1037. 364 с.

105. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. 212 с.

106. Левитский Н.И. Колебания в механизмах. Учебн. пособие для вузов. М.: Наука, 1988. 336 с.

107. Лойцанский Л.Г.,А.И. Лурье Курс теоретической механики. М.:Наука, 1983. ИЗ Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.:

108. Наука. ГРФМЛ, 1981.-400 с.

109. Лукасевич С. Локальные нагрузки в пластинах и оболочках. М.: МИР, 1982. - 544 с.

110. Лукаш П.А. Основы нелинейной механики. М.: Стройиздат, 1978. 208 с.

111. Лурье А.И. Операционное исчисление и его приложения к задачам механики. М.: Гостехиздат, 1951. 432 с.

112. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука ГРФМЛ, - 1970, - 940 с.

113. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ. 1935.

114. Мак-Краген Д., Дорн У. Численные методы и программирование на фортране. М.: Мир, 1977. 584 с.

115. Маковский В.А. Динамика металлургических объектов с распределёнными параметрами. М.: Металлургия, 1971. 384 с.

116. Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям. М.: Наука. 1972.

117. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: из-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 1996. - 368с.

118. Марченко В.А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля. -Киев: Наукова Думка. 1972. - 220с.

119. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Литературы. -1977. - 456с.

120. Масленников A.M. Приложение метода конечных элементов к расчёту строительных конструкций. Д.: ЛИСИ, 1976. 84 с.

121. Маслов Г.С. Расчеты колебаний валов. М.Машиностроение, 1968. 267 с.

122. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Высшая школа. 1967. - 564с.

123. Медведев С.В. Инженерная сейсмология М. 1962.

124. Мельников Г.И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем. М., «Машиностроение», 1975, 200 с.

125. Методы расчёта стержневых систем пластин и оболочек с использованием ЭВМ в двух частях/ Под ред. Смирнова А.Ф. М.: Стройиздат, 1976.

126. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1971, 440 с.

127. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука. ГРФМЛ. 1969. - 380 с.

128. Мяченков В.И., Григорьев И.В. Расчёт оболочечных конструкций на ЭВМ: Справочник. М.: Машиностроение, 1981. 216 с.

129. Мяченков В.И., Мальцев В.П. Методы и алгоритмы расчёта пространственных конструкций на ЭВМ ЕС. М.: Машиностроение, 1984. 280 с.

130. Назаров А.Г. Метод инженерного анализа сейсмических сил. Ереван. 1959

131. Николаев Г.А., Гельман А.С. Сварные конструкции М.Л.: 1937.

132. Николаенко Н.А., Назаров Ю.П. Векторное представление сейсмического воздействия. Строительная механика и расчет сооружений. - 1980, № 1.

133. Николаенко Н.А., Назаров Ю.П. Динамика и сейсмостойкость пространственных конструкций и сооружений. В кн.: Исследования по теории сооружений. Вып. 23.-М. 1977.

134. Николаенко Н.А., Назаров Ю.П. О пространственных колебаниях сооружений при сейсмических воздействиях. Строительная механика и расчет сооружений. - 1979, № 3.

135. Обморошев А.Н. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1965. 276 с.

136. Огиевский А. Прочность сварных конструкций при повторной нагрузке.

137. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. М.: Машгиз., 1957.

138. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. Современные концепции, парадоксы и ошибки М.: Наука. ГРФМЛ., 1987. 352с.

139. Папкович П.Ф. Теория упругости. М.: Оборонгиз, 1939.

140. Поляков А.А., Рогалевич В.В. Напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки трубопроводов при температурном воздействии. Строительная механика пластин и оболочек. Сб. статей УГТУ-УПИ, Екатеринбург 2000 с.56-61

141. Поляков А. А., Поляков А. А. Динамика полишарнирной системы. /Строительство и образование . Сб. научных трудов. Екатеринбург ГОУ УГТУ-УПИ,2003 Вып.5 с 110-113

142. Поляков А.А. Напряженно-деформированное состояние пологой оболочки при температурном воздействии ./Строительство и образование. Сб. научных трудов. Екатеринбург. ГОУ УГТУ-УПИ 1999 Вып.2.с.58-61

143. Писаренко Г.С. Колебания механических систем с учётом несовершенной упругости металла. Киев: Наукова думка, 1970. 376 с.

144. Пономарев С.Д. и др. Расчеты на прочность в машиностроении. Т.1 1956, Т.2 - 1958, Т.З - 1959.-М.: Машгиз.

145. Понтрягин Л.С. Дифференциальные уравнения и их приложения. М.: Нау-ка. Гл. ред. физ.-мат. литературы. - 1988,- 208с.

146. Постнов В.А., Корнеев B.C., Слезина И.Г. Расчёт тонких оболочек вращения произвольной формы методом конечных элементов// Строительная механика корабля, 1970. В.148. с.5-18.

147. Постнов В.А., Хархурим И.А. Метод конечных элементов в расчётах судовых конструкций. JL: Судостроение, 1974. 344 с.

148. Проектирование и расчет динамических систем. Под ред. Проф. В.А.Климова. JL: Машиностроение 1974, 360с

149. Правила и Нормы в атомной энергетике. Нормы проектирования сейсмостойких атомных станций (ПН АЭ Г-5-006-87). М.: Энергоатомиздат. - 1989г.

150. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник. М: Машиностроение. 1968, 364 с.

151. Рабинович И.М. Курс строительной механики, т.2 М.: Госстройиздат., 1954. (последовательность импульсов)

152. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. -М.: Наука, 1984.

153. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир.- 1972.-418с.

154. Рогалевич В.В. Решение краевых задач теории пластин и оболочек методом коллокаций (обзор)// Прочность и устойчивость оболочек: Труды семинара. Вып. 13. Казань, Казан, физ.-техн. ин-т КФАН СССР, 1980. с.5-20.

155. Рогалевич В.В. Коллокационные методы. Сущность. Примеры. -Екатеринбург : изд. АМБ, 2001-298с.

156. Розин JI.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977. 77 с.

157. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. -М.: наука. Гл. ред. физ.-мат. литературы. 1971. - 552с.

158. Строительная механика стержневых систем. М.:Стройиздат, 1981. 512 с.

159. Снитко Н.К. Динамика сооружений. М.: Госстроиздат, 1960.

160. Снитко Н.К. Методы расчета сооружений на вибрацию и удар. JI-M: Гостройиздат 1953, 288с.

161. Сорокин Е.С. Метод учета неупругого сопротивления материала при расчете конструкций на колебания. В кн.: Исследования по динамике сооружений. -М.-Л.: Строиздат, - 1951, 160 с. (стр. 5-90).

162. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: ГИФМЛ. - 1959. -468с.

163. Стокер Д. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. М., ИЛ, 1952. 256 с. с ил.

164. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. М.: Наука. 1964.

165. Строительство в сейсмических районах. СНиП 11-7-81*. М.: Госстрой России, 2001.

166. Тимашев С.А. Устойчивость подкреплённых оболочек. М.: Стройиздат, 1974. 256 с.

167. Тимошенко С.И. Теория колебаний в инженерном деле. М.-Л.: Гос. Научно-техническое издательство. 1931.

168. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов т. 1, т.2.

169. Титимарш ЭЛ. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. М.: ИЛ. - 1 том - 1960. -279с.; т. 2-1961.-556с.

170. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. литературы. - 1972. - 736с.

171. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. -Л.: Наука, Ленинградское отделение, 1967, 402 с.

172. Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов, М.: Наука. 1986.

173. Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов, М.: Наука. 1986.

174. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: им. Н.Э. Маумана, 1999. -592 с.

175. Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И., Николенко Л.Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений. Киев; Наукова думка, -1966.-252 с.

176. Филин А.П. Прикладная механика твёрдого деформируемого тела. T.III. М.: Наука, 1981.480 с.

177. Филин А.П. Элементы теории оболочек. Л.: Стройиздат. Ленинградское отделение, - 1987. - 384 с.

178. Филиппов А.П. Колебания механических систем. Киев: Наукова думка, 1965.

179. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. М.: Гостехиздат., 1947.

180. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир. - 1980.

181. Фролов К.В. Методы совершенствования машин и современные проблемы машиноведения. М.: Машиностроение, 1984. 224 с.

182. Фролов К.В., Фурман Ф.А. Прикладная теория виброзащитных систем. М.: Машиностроение, 1980. 279 с.

183. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: мир. - 1990. - 512с.

184. Хапаев М.М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний. М.: Высшая школа, 1968. 184 с.

185. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1968. 432 с.

186. Чегурин С.Л. Параметрические колебания и устойчивость периодического движения. Л.: изд-во ЛГУ, 1983.