автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.06, диссертация на тему:Вероятностные модели и алгоритмы взвешенного усреднения параметров в информационных технологиях восстановления функции

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

- ХЕРСОНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

■І й ^ г \ «

л л С Ц £

І У " Хомченко Богдан Анатолійович

УДІС 681.3:519.6

ЙМОВІРНІСНІ МОДЕЛІ ТА АЛГОРИТМИ ЗВАЖЕНОГО УСЕРЕДНЕННЯ ПАРАМЕТРІВ В ІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЯХ ВІДНОВЛЕННЯ ФУНКЦІЙ

05.13.06 - Автоматизовані системи управління і прогресивні інформаційні технології

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

Херсон-2000

Дисертацією е рукопис

Робота виконана в Херсонському державному технічному університеті Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор Ходаков Віктор Єгорович,

Херсонський державний технічний університет, завідувач кафедри програмного забезпечення ЕОМ

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Петров Едуард Георгійович,

Харківський державний технічний університет радіоелектроніки, завідувач кафедри системотехніки

доктор технічних наук, професор Усов Анатолій Васильович,

Одеський політехнічний університет, завідувач кафедри вищої математики

Провідна установа: Київський національний університет будівництва та

архітектури Міністерства освіти і науки України

Захист відбудеться 03 " Мпн 9і - 2000р. о

годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К67.052.01 при Херсонському державному технічному університеті за адресою: 73008, Херсон-8. Бериславське шосе, 24, корпус 3, ауд. 320.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Херсонського державного технічного університету за адресою: 73008, Херсон-8, Бериславське шосе, 24.

Актуальність теми. Задачі відновлення- (поповнення) функцій ;кладають основу сучасних інформаційних технологій в різноманітних ббіїас--ях наукової та інженерно-технічної діяльності: метеорології, геології, топо-•рафії, при інтерпретації різних геофізичних експериментальних даних, в екологічних дослідженнях тощо. Відновлення функціональних залежностей і сомп'ютерні розрахунки на їх основі - найбільш відповідальний етап процесу іроектування. Дуже важливу роль відіграють технології відновлення функцій іри створенні методів комп’ютерної графікИі тобто при розробці методів ана-іітичного опису поверхонь різних предметів (автомобіль, літак, деталь, що іиготовляється на верстаті і т.і.), їх перерізів, різних проекцій тощо. В останні >оки для наближеного відновлення функцій (кривих і поверхонь) широко іикористовуються апроксимації (інтерполяції) кусково-поліноміальними фун-здіями (сплайнами) одного і багатьох аргументів. Тепер подібні апроксимації :истематично застосовуються в обчислювальній математиці при розв'язуванні іізних теоретичних і прикладних задач, які наповнили термін "відновлення функцій" новим змістом. Наприклад, задача, що звелася до рівняння з частин-гами похідними, розв'язується різницевим методом, а потім теорія наближеній функцій використовується для відновлення і розповсюдження розв'язку із :ітки на всю область. При відновленні функцій багатьох змінних в складних >бластях автоматично виникають дві задачі - апроксимація функції і апроксимація області. Майже всім методам алгебраїзації притаманні відомі недоліки :іткової дискретизації. Наслідки цих недоліків створюють суттєві проблеми, ікі не завжди вдається вирішити в рамках матричної алгебри. В сучасних нформаційних технологіях відновлення функцій одною із актуальних задач є творення несіткових простих, наочних і надійних методів, здатних забезпе-шти побудову полів "першого наближення" і полів допустимих відхилень прогностичні поля). До актуальних питань також належить розробка нових імовірнісних моделей, що враховують не тільки геометричні особливості >бчислювальних шаблонів, але і фізичні характеристики середовища.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Мета роботи, її основні задачі відповідають державним науково-технічним програмам, ікі сформульовані в Законі України "Про наукову і науково-технічну діяль-гість" та в Законі України "Про національну програму інформатизації", а та-сож планам найважливіших науково-технічних робіт Міністерства освіти і іауки України:

6. - Інформатика, автоматизація і приладобудування;

6.2.1. - Інтелектуалізація процесів прийняття рішень;

6.2.2. - Перспективні інформаційні технології і системи;

Дисертація виконана в рамках теми БД 7/97 Херсонського державного техніч-того університету. .

Мета і задачі дослідження. Мета роботи - розробка математичного і програмного забезпечення сучасних технологій відновлення функцій для задач обчислювальної математики, зокрема, для чисельного розв'язування задач математичної фізики, що моделюються диференціальними рівняннями П.Лапласа, С.Пуассона, С.Жермен, на основі нової ймовірнісно-геометрично) версії дискретизації і монте-карловського оцінювання параметрів. Для досягнення поставленої мети сформульовані і вирішені наступні задачі:

- дослідити можливість моделювання двовимірних і тривимірних випадкових блукань за допомогою суперпозиції одновимірних блукань;

- довести аналітично і підтвердити комп'ютерними експериментами

твердження про те, що перехідна ймовірність у схемах випадкових блукань на дискретному елементі не залежить від форми маршруту броунівської частинки; - ' ’, ‘

- обгрунтувати вибір барицентричних координат симплекса у якості перехідних (апріорних) ймовірностей для несіткової моделі випадкових блукань - методу барицентричного усереднення (МБУ);

- виконати теоретичне обгрунтування і комп'ютерне тестування обчислювального шаблону типу "хрест", і відповідної розрахункової формули МБУ для задач відновлення гармонічних функцій в областях з криволінійними границями;

- розробити новий варіант МБУ (математичну модель, алгоритм і програму) для технологій відновлення функцій в задачах з фізичною ортотропією;

- довести на різноманітних прикладах, що запропонований в роботі принцип зваженого усереднення вузлових параметрів зумовлює побудову працездатних і ефективних математичних моделей та обчислювальних схем дискретних методів: ермітова інтерполяція, сплайнова інтерполяція, ітерацій-на схема Ейткена-Невілла, спосіб побудови поліномів Бернштейна, дискретні аналоги метода контрольних об'ємів (Сполдінга-Патанкара);

- дослідити можливість розповсюдження МБУ на бігармонічні рівняння, що моделюють деформації згину пружних пластин складної форми;

- на основі мембранної аналогії розробити математичну модель, алгоритм і програму обчислення максимальних згинаючих моментів і максимальних прогинів вільно опертих пластин.

Теоретичною базою для дисертаційних досліджень стали роботи вітчизняних та зарубіжних науковців: Аргириса, Бахвалова М.С., Василеяка А.В., Гальоркіна Б.Г., Гнеденка Б.В., Годунова С.К., Григоренка Я.М., Дейнеки B.C., Дородніцина А.А., Зенкевича, Клафа, Марчука Г.І., Михайлёнка В.М., Михайлова Г.А., Міхліна С.Г., Молчанова І.Н., Моргана, Немчинова Ю.І., Патанкара, Петрова Е.Г., Савули Я.Г-., Самарського О.А., Саусвелла, Сахарова

О.С., Сергієнка І.В., Скопецького В.В., Соболя І.М., Сполдінга, Стренга, Тернера, Тимошенка С.П., Тихонова А.М., Усова А.В., Феллера, Фікса, Ходакова

В.Є., Хомченка А.Н., Шинкаренка Г.А., Яненко М.М.

з

Наукова новизна одержаних результатів. До нових результатів належить принцип зваженого усереднення вузлових параметрів дискретних елементів, па якому грунтуються працездатні, прості і ефективні математичні

моделі і алгоритми прогресивних технологій відновленій функцій. Дістав _______

подальшого розвитку метод барицентричного усереднення (МБУ), зокрема доведена правильність і доцільність використання барицентричних координат симплекса у якості перехідних (апріорних) ймовірностей нееіткової схеми випадкових блукань. Побудована процедура МБУ на шаблоні з ортогональними маршрутами типу "хрест", що добре адаптується до криволінійних границь області. Відмінність МБУ від МСР і MCE полягає в тому, що відмовляючись від нанесення сітки на розрахункову область, ми вилучаємо із алгоритму громіздкі процедури складання і розв'язування CJIAP, що помітно спрощує дослідження стаціонарних полів і суттєво зменшує об'єм обчислень. Відмінність МБУ від класичного варіанта метода Монте-Карло полягає в тому, що замість багатокрокових, зигзагоподібних і багаторазових "прогулянок" броунівської частинки моделюється стрибок частинки безпосередньо в граничний вузол. У цьому випадку переваги МБУ ще більш виразні. Вперше розроблений варіант МБУ, що враховує фізичну ортотропію середовища у дво- і тривимірних задачах. Алгоритм МБУ. пристосовано до задач дослідження напружено-деформованого стану пружних пластин, що згинаються. Цей підхід використовує редукцію бігармонічного рівняння С.Жермен до системи двох рівнянь С.Пуассона (мембранна аналогія). З точки зору принципу зваженого усереднення вперше розглядаються ермітова інтерполяція, сплайнова інтерполяція, ітераційна схема Ейткена-Невілла, спосіб побудови поліномів Бернштейна, дискретні аналоги метода контрольних об'ємів, згладжені апроксимації на серендипових елементах. Створені комп'ютерні програми для задач відновлення гармонічних і бігармонічних функцій, зокрема, програмний комплекс "Restoration of functions", що перекладається як "Відновлення функцій" (RESTFUN), що дозволяє досліджувати напружено-деформований стан пластин складної форми. Нова технологія відновлення функцій на основі ортотропного варіанта МБУ суттєво розширює клас досліджуваних задач, а універсальний програмний комплекс допомагає, істотно скоротити час розв’язування актуальних інженерно-технічних задач.

Вірогідність та обгрунтованість одержаних результатів забезпечується коректним використанням математичних ймовірнісних методів в порівнянні з результатами, одержаними іншими методами та іншими авторами, серією обчислювальних експериментів за традиційним методом Монте-Карло і нетрадиційним МБУ, а також фізичними експериментами, що свідчать про задовільну узгодженість результатів обчислень і фізичних експериментів.

Практичне значення одержаних результатів. Практичну цінність роботи складають прості і ефективні ймовірнісні моделі, алгоритми зваженого усереднення параметрів і прикладні програми для задач відновлення функцій. Найбільш суттєві практичні результати пов’язані з розробкою інформаційної

технології метода барицентричного усереднення (МБУ) для дослідження стаціонарних полів в ортотропних середовищах. Важливе практичне значенш має пакет прикладних програм для дослідження деформацій і напружень згину пластин довільної форми.

Нові математичні моделі, алгоритми та комп'ютерні програми впроваджено в ТОВ фірмі "Дифузія" (м.Київ), ТОВ "КІВЦ. Лтд" (м.Херсон), ООО "ПКБ АСУ" (м.Кам'янець-Подільський). У ВАТ "НИКОНД" (м.Миколаїв) проведено серію лабораторних експериментів, що підтверджує достатню точність розрахунків за допомогою програмного комплексу ЯЕЗТРІЖ.

Особистий внесок здобувана. З 14 робіт, що відображають основний зміст дисертації, 12 виконано в співавторстві, де особисто автором отримані такі результати: досліджено можливість моделювання двовимірних і тривимірних блукань броунівських частинок в симплексах за допомогою суперпозиції одновимірних блукань; доведено аналітично і підтверджено комп'ютерними експериментами, що перехідна ймовірність у схемах випадкових блукань на дискретному елементі не залежить від форми маршруту броунівської частинки; обгрунтовано вибір барицентричних координат симплекса у якості перехідних (апріорних) ймовірностей для несіткової моделі блукань - методу барицентричного усереднення (МБУ); виконано теоретичне обгрунтування і комп'ютерне тестування МБУ на основі обчислювального шаблона "хрест" для задач відновлення гармонічних функцій в областях з криволінійними границями; розроблено новий варіант МБУ (математична модель, алгоритм і програма) для комп'ютерних технологій відновлення функцій в задачах з фізичною ортотропією; розглянуто приклади ефективного використання принципу зваженого усереднення вузлових параметрів для побудови працездатних математичних моделей і надійних обчислювальних схем дискретних методів; досліджена можливість розповсюдження МБУ на бігармонічні рівняння, що моделюють деформації згину пружних пластин складної конфігурації; на основі мембранної аналогії розроблені математична модель, алгоритм і програма обчислення максимальних згинаючих моментів, максимальних прогинів вільно опертих пластин.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертації доповідались та обговорювались на: V науковій конференції вчених Росії, Білорусії та України "Прикладні проблеми механіки рідини і газу" (м.Севастополь, 1996); міжнародному науковому симпозіумі "Нарисна геометрія, інженерна та комп'ютерна графіка" (мЛьвів, 1996); III міжнародній науково-методичній конференції "Математика в вузе - стандарты образования - базовая подготовка" (С.-Петербург, 1996); III, IV, V, VI міжнародних науково-практичних конференціях "Сучасні проблеми геометричного моделювання" (м.Мелітополь,

1996, 1997, 1999; м.Харків, 1998); науково-методичній конференції "Інженерна графіка та геометричне моделювання із застосуванням комп'ютерних технологій" (м.Рівне, 1997); V і VIII міжнародних наукових конференціях ім. акад. М.Кравчука (м.Київ, 1996, 2000); всеукраїнському семінарі "Нелінійні

ійові задачі математичної фізики та їх застосування" (м.Кам'янець-дільський, 1996); VII міжнародному симпозіумі "Методи дискретних особ-юстей в задачах математичної фізики" (м.Феодосія, 1997); міжнародній /ковій конференції "Сучасні проблеми математики" (м.Чернівці, 1998). В ому дисертація доповідалась на: VIII міжнародному симпозіумі "Методи жретних особливостей в задачах математичної фізики" (м.Феодосія, 1999); яковому семінарі кафедри інформатики та обчислювальної техніки Таврій-;ої державної агротехнічної академії під керівництвом проф. А.В.Найдиша Мелітополь, 1999); міжкафедральному семінарі Херсонського державного щічного університету під керівництвом доц. Ф.Б.Рогальського (м.Херсон, }0); науково-методичній конференції "Інформаційні технології в освіті та равлінні” (м.Н.-Каховка, 2000). •

Публікації'. За темою дисертації опубліковано 14 друкованих праць: 10 ітей у збірниках наукових праць, 2 публікації у матеріалах наукових конфе-ицій та семінарів, 2 тези доповідей.

Структура і обсяг дисертаційної роботи. Дисертація складається із супу, п'яти розділів, висновків, які викладені на 143 сторінках, списку вико-станих джерел із 178 найменувань, додатків. Роботу проілюстровано 42 люнками та 6 таблицями. '

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкрито сутність і стан існуючих технологій відновлення фу-цій, обгрунтовується необхідність розробки алгоритмів зваженого усеред-ння параметрів на основі ймовірнісних моделей. Шляхом критичного аналі-та порівняння з відомими підходами до задач відновлення функцій обгрун-вуегься актуальність та доцільність розробки простих, зручних, наочних горитмів барицентричного усереднення. Сформульовані мета та задачі до-ідження, відбиті наукова новизна та практична цінність роботи. Зазначено нкретний особистий внесок здобувача у ті розробки, які виконані і опублі-вані разом із співавторами. Подано відомості про апробацію і публікації зультатів дисертації. ....

У першому розділі подано огляд літератури, в якому окреслено основні апи (особливо комп'ютерний період) розвитку ідей дискретизації в задачах дновлення функцій. Головна увага в групі дискретних методів приділяється лодам чисельного розв'язування диференціальних рівнянь з частинними «ідними. Тут розглядаються’ методи скінчених різниць (МСР), скінчених іементів (MCE), контрольних об'ємів (МКО), що орієнтовані на ефективне [користання ЕОМ: До цієї групи сіткових методів включено методи Монте-їрло, які використовують сіткову дискретизацію для маршрутизації випадних блукань і комп'ютерного моделювання поведінки броунівських части-зк. Зроблено важливий для вибору напрямку досліджень висновок про те, що льшість дискретних методів об'єднує в спільну сім'ю не тільки і не стільки

спільна для них процедура дискретизації, скільки ймовірнісний характер < числювальних технологій. Наведена коротка ретроспектива прикладів ко труктивного використання ідеї випадковості. Критично висвітлені роб( попередників, названі питання, що залишились невирішеними. Необхідні подальшого розвитку ймовірнісної концепції зваженого усереднення обум лена актуальними задачами створення простих, зручних і надійних техноло відновлення функцій. ,

У другому розділі обгрунтовується вибір напрямку досліджень. Наве, но методи розв'язування задач відновлення функцій та їх порівняльні оцін Розроблено загальну методику проведення дисертаційних досліджень. В р< ках ймовірнісної концепції здійснюється спроба побудувати докорінно сп] щені математичні моделі відновлення функцій, створити швидкі, зручні і і дійні алгоритми методів дискретних елементів, звільнитися від зайвих ПОД] биць, що перевантажують комп'ютерну програму. Для обчислювальних техі логій відновлення функцій у якості універсального методу обрано мон-карловську оцінку математичного сподівання. Всі гіпотези, що використан роботі мають експериментальне підтвердження. Широко застосовуються п метричні та фізичні (механічні, електростатичні) аналогії. Доведено, що ді кретизації і обчислювальні технології відновлення функцій в дискретних л тодах можна підпорядковувати єдиному правилу зваженого усереднення г раметрів. Один із важливих результатів полягає в тому, що вагові коефіцієн монте-карловської оцінки здатні враховувати не тільки геометрію обчислюї льного шаблона, але і фізичні характеристики середовища. Ці питання надзі чайно актуальні для розрахунків в неоднорідних середовищах. В розроблен технологіях відновлення функцій виняткова роль належить барицентрично: численню. Дисертація містить нові змістовні застосування барицентрично підходу. ...

Розділ 3 присвячено узагальненню на дво- і тривимірні елементи проі. дур відновлення функцій за Лагранжем. Встановлюються тісні зв'язки м перехідними ймовірностями в схемах випадкових блукань та базисними фу кціями (функціями форми) дискретних елементів. Докладно розглядають симплекси: трикутні елементи Тернера, а також їх тривимірні аналог тетраедри. Барицентричні координати симплекса дають можливість вирази відновлену функцію безпосередньо через її вузлові значення у вигляді матем тичного сподівання (барицентричного усереднення). При цьому незалежно і орієнтації симплекс-елемента у просторі ми отримуємо гармонічну функції В дисертації ця дуже важлива властивість симплексів використовується д. розробки методів барицентричного усереднення (МБУ) граничних потенці лів. Встановлено, що дво- і тривимірні блукання в дискретному елементі мо; на розглядати як суперпозицію одновимірних блукань. Доведено твердженн що перехідна ймовірність у схемах випадкових блукань в дискретному елем нті не залежить від форми маршруту. Вона визначається лише координата!» початкової і кінцевої точок усіх маршрутів, що з'єднують ці точки. В розді

досліджується важливий приклад двовимірної стаціонарної теплопровідності в ортотропному середовищі.

Нехай коефіцієнти внутрішньої теплопровідності у прямокутних координатах не співпадають: кх 1- kv. В дисертації розроблено два варіанти МБУ і

запропоновано дві моделі теплопровідності в ортотропному середовиші. У першому варіанті МБУ використовується обчислювальний шаблон типу "хрест", що адаптований до криволінійних границь області (рис. 1 .а). Шаблон моделює випадкові блукання із 4-ма маршрутами, що виходять із досліджуваної точки М у граничні вузли А, В, С, D. В першому варіанті МБУ формулюються дві гіпотези:

Н{ - {частинка вибрана напрям а },

/72 = {частинка вибрала напрям ~ + а}.

Ймовірності гіпотез: для першої моделі теплопровідності

,ч Icosal + ylsinal , г ч /jcos а| + jsin а!

ОТ ~г т/і ----------1—і—Нт» —кті— і,—Чг. Для Другої моде-

0+/)(iC0S а\+ИП а|) 0+f)i\C0S а\+Nn «І)

. /„ч cos2a + /sin2a Jrr \ sin2 а +/cos2 аг k ■ .

лі /з(Я,) =----------------, ДЯ2) =------------—-—---------, /=~ - коефіцієнт

1 + J І + / кх

ортотропії середовища.

Рис. 1. Варіанти МБУ для областей з криволінійними границями.

Щоб знайти умовні ймовірності, треба скласти рівняння прямих А В і СБ, визначити точки перетину прямих з границею області і скористатися геометричною ймовірністю. Барицентричне усереднення на одному "стоп-кадрі" (рис. 1 .а) має вигляд

им = Дя,) • Рщ{А) ■ иА + р(я,)-рНі{В)-ив +

+р(я2) • рИг (с) • ис+р(нг) ■ рНг (х>) • ий.

До речі, формула (1) - це дискретний аналог двовимірного лапласіана для ортотропного середовища. Вона містить, як окремий випадок, формулу арифметичного усереднення, якщо середовище ізотропне, а довжини всіх маршрутів однакові! Монте-карловська оцінка на множині "стоп-кадрів" визначається за формулою: .

им - — У]Ци , де я - кількість "стоп-кадрів".

«/=і

Зрозуміло, що на практиці досить обмежитись діапазоном 0< а < ^.

В другому варіанті МБУ використовується обчислювальний шаблон (симплекс) із 3-ма маршрутами для моделювання випадкових блукань в орто-тропному середовищі (рис. 1.6.). Барицентричне усереднення на одному "стоп-кадрі" здійснюється за формулою:

(2)

. V н ) .

де 4 - барицентричні координати точки М в симплексі;

- відомі граничні вузлові значення функції; ' к) - коефіцієнт теплопровідності середовища в напрямку маршруту М—> і. Формула (2) здатна враховувати не тільки координати досліджуваної точки М (геометричний аспект), але і ортотропію середовища (фізичний аспект), якщо кх = ку = к, вона перетворюється у відому формулу для ізотропного середовища. У тривимірному випадку / ку Ф обчислювальна формула на

"стоп-кадрі" відрізняється від формули (2) лише наявністю іще одного доданка, що відповідає четвертому маршруту в тетраедрі. При розробці алгоритмів МБУ і створенні комп’ютерних програм всі залежності в обчислювальних формулах зручніше визначати через координати розрахункових вузлів і досліджуваної точки М. Саме так і зроблено в дисертації.

У четвертому розділі наведені приклади нетрадиційного застосування ймовірнісних, моделей в.технологіях відновлення функцій. Задачі, що'розв'язані в розділі, переконливо свідчать про те, що принцип зваженого усереднення параметрів є універсальним, він складає основу ефективних обчислювальних технологій. Вивчаються ймовірнісні аспекти сплайнової інтерполяції. З точки зору зваженого усереднення розглядається ієрархічна процедура Кокса-

де Бура побудови В -сплайна довільного порядку. Доведено, що для побудови "дочірнього" сплайна у "родинному дереві" достатньо на кожній ітерації визначити-^атематичне_ сподівання двох сплайнів-"батьків". На основі математичного сподівання будується іще одна' ітераційна процедура відновлення інтерполяційних поліномів - схема Ейткена-Невілла.

Розглядається алгоритм відновлення функцій за допомогою поліномів Бернштейна. Відомо, що з них почалися систематичні дослідження в конструктивній теорії функцій. С.Н.Бернштейн у 1912р. вперше запропонував коротке і просте ймовірнісне доведення відомої теореми К.Вейєрштрасса. Він довів, що будь-яку неперервну на відрізку функцію можна з будь-якою точністю наблизити лінійною комбінацією (у вигляді зваженого середнього) спеціальних поліномів (базисних функцій). У дисертації показано, що ці базисні поліноми також можна сконструювати, спираючись на геометрігчну ймовірність, формулу множення ймовірностей незалежних подій і формулу додавання ймовірностей повної групи подій. Основні властивості поліномів Бернштейна інтерпретуються в термінах ймовірностей.

Наступний результат стосується метода контрольних об'ємів (Сполдінга-Патанкара), за допомогою якого будуються дискретні аналоги диференціальних рівнянь математичної фізики. Традиційно для побудови дискретних аналогів МКО використовуються методи зважених нев'язок, тейлорівські розвинення, мінімізація відповідного функціоналу. В дисертації запропоновано нетрадиційний спосіб алгебраїзації задачі, що грунтується на схемах випадкових блукань по контрольних об'ємах. Показано, що моделі випадкових блукань можна розповсюдити на нерегулярні решітки та неоднорідні середовища. Для цього достатньо перехідні ймовірності визначити так, щоб вони враховували як геометричні параметри решітки, так і фізичні характеристики середовища. Показано, що для створення працездатного і ефективного алгоритму дискретного метода вирішальним є правильне узгодження фізичних і геометричних аспектів моделі.

Іще один приклад конструктивного використання зваженого усереднення (геометрична модель) стосується побудови субститут-базиса (зиЬїгіПНе-замінник) на дискретному елементі серендипової сім'ї. За допомогою субсти-тут-базисів здійснюється згладжування апроксимацій на серендипових елементах. Докладно розглядається двовимірний елемент із 8-ма вузлами (біквадра-тична інтерполяція). Стандартний інтерполяційний поліном такого елемента, як відомо, містить 8 параметрів. Проте повний поліном другого степеня відносно двох аргументів містить лише б параметрів. Наявність двох "зайвих” параметрів у стандартному поліномі призводить до того, що в довільному напрямку, (наприклад, г] = к£) порушується квадратичний характер поведінки поля. В деяких задачах це зумовлює виникнення паразитних ефектів (нефізич-них аномалій). Вилучити "зайві" члени в базисних функціях означає звільнитися від нефізичних аномалій або послабити їх вплив на розв’язок. Такі згладжені базисні функції і називають субститут-базисами. Відомі способи побу-

дови субститут-базиса спираються на метод найменших квадратів, що зводить задачу до складання і розв'язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь. В дисертації запропоновано спрощений спосіб згладжування серендипових апроксимацій, який використовує зважене усереднення (лінійну комбінацію) площини і поверхні другого порядку (еліптичний параболоїд або параболічний циліндр), що призводить до нового базису у вигляді:

Л", = + пл) + “(~1 + £2 + + V2)

і = 1,3,5,7 - кутові вузли; ^,^ = ±1, (3]

+ ' = 2,6; і/, = ±1,

/ = 4,8; £- = ±1.

Вузли 2, 6 розташовані на серединах сторін ?/= ±1,^ вузли 4, 8 - на серединах сторін £ = ±1. Одиниця в кожній точці елемента (у тому числі і вузловій) накопичується за рахунок внесків базисних функцій сусідніх вузлів (кумулятивна одиниця). Виявляється, що існує тісний зв'язок між кількістю граничних вузлів, що належать поверхні другого порядку в формулах (3), і кількістю параметрів повного полінома другого степеня відносно аргументів £, і г]. Так, еліптичні параболоїди, що використовуються для конструювання базисних функцій в кутових вузлах, проходять через шість вузлів елемента. Для функцій, асоційованих з проміжними вузлами, використовуються параболічні циліндри, що також проходять через шість вузлів на границі. В кожному випадку за рахунок накладання площини здійснюється масштабування поверхні.

Далі розглядається процедура відновлення функцій за допомогою поліномів Ерміта. До цих поліномів, як правило, звертаються при досліджуванні деформацій згину балок і пластин. Доведено, що ермітову інтерполяцію за допомогою вибору додаткових вузлів можна звести до лагранжевої інтерполяції. Це відкриває можливості для ймовірнісного моделювання поліномів Ерміта. Розглядаються 12-параметрична і 16-параметрична моделі прямокутних елементів згинної пластини. Знайдено обгрунтоване пояснення парадокса додаткової гладкості функції скруту на міжелементних границях. Доведена ефективність використання алгоритмів МБУ в задачах відновлення бігармоні-чних функцій. На цьому шляху відкриваються можливості дослідження на-пружено-деформованого стану пружних пластин довільної форми. Редукція диференціального рівняння С.Жермен на основі мембранної аналогії зводить задачу до системи двох рівнянь Пуассона з однорідними граничними умовами (для вільно опертих пластин). Рівняння Пуассона за допомогою належної заміни шуканих функцій (згинальний момент М і прогин IV) перетворюються в рівняння Лапласа з неоднорідними граничними умовами. Таким чином,

и

задача згину пластини зводиться до послідовності двох задач усереднення граничних потенціалів (М і IV), які зручно розв'язувати за допомогою МБУ.

--------У п’ятому розділі докладно розглядається реалізований на БеІрЬі 5.0

програмний комплекс КЕБТРиЫ, що орієнтований на задачі відновлення фун- _ кцій одного і багатьох аргументів. Цей комплекс поєднує достатньо широку предметну область з відносного простотою, компактністю і зручністю для користувача. Комплекс КЕБТРЦМ містить бібліотеку дискретних моделей, серед яких найважливішими є дискретні обчислювальні шаблони МБУ, здатні реалізувати спрощені (однокрокові) схеми випадкових блукань.

Передбачена можливість вибору моделі та методу дослідження функціональної залежності. Вперше розроблена обчислювальна технологія МБУ для відновлення функцій в задачах з фізичною ортотропією, В обчислювальному комплексі - зручний інтуїтивно зрозумілий інтерфейс. Цьому сприяли використання МОІ-технології, простий спосіб формування початкових даних, зручне оперування графічними файлами. В комплексі Ш^ТРНЫ реалізовано спеціальний модуль розрахунку та візуалізації напружено-деформованого стану згинних пластин довільної форми, який містить технологію обчислення максимальних згинальних моментів і прогинів пластин з візулізацією напружень і прогинів у вигляді поверхонь, що асоціюються з пластиною. На рис.2 зображено епюру еквівалентного згинального моменту вільно опертої пластини у формі правильного шестикутника.

Рис.2 Епюра еквівалентного згинального моменту вільно опертої пластини у формі правильного шестикутника.

Введення коефіцієнту , ортотропії

Введення методу усереднення (середнє арнфме- . тнчне, середнє зважене)

Обчислення для “хреста'*; Обчислення для ‘‘хреста*’; Обчисленая для '‘симплек- Обчислення для “симплек-

модельКаІ ' модель №2 су”; модель № І су”; модель №2

Рис.З Блок-схема підпрограми "МБУ"

В комплексі передбачено модулі, що реалізують ймовірнісний метод побудови В-сплайнів та поліномів Бернштейна з наступною візуалізацією ієрархічної процедури.

Наведені в 5 розділі таблиці з порівнянням результатів, що були отримані за допомогою лабораторних експериментів, дискретних методів та МБУ, переконливо свідчать про повну придатність МБУ для інженерних розрахунків. А враховуючи його оперативність та простоту використання, в більшості випадках можна було б облишити фізичні експерименти та. повністю перейти на комп’ютерне моделювання явищ та процесів (табл.1).

Таблиця І

Вузлові температури ортотропної пластини

Вузли X У МСР Монте- Карло 105 досл. Монте- Карло 106 досл. БУ-4С БУ-ЗМ

1 -0,5 -0,5 14,46 14,38 14,44 15,63 , 14,86

2 -0,5 0 19,36 19,34 19,36 18,75 19,21

3 -0,5 0,5 22,55 22,42 22,56 21,88 22,15

4 0 -0,5 35,54 35,59 35,54 37,50 35,88

5 0 0 42,16 42,09 42,17 41,67 42,13

6 0 0,5 46,57 46,65 46,56 45,83 46,24

7 0,5 -0,5 64,46 64,47 64,46 65,63 65,12

8 0,5 0 69,36 69,43 69,41 68,75 69,07

9 0,5 0,5 72,55 ■ 72,57 72,55 71,88 72,19

В табл.1 порівнюються результати використання ортотропного варіанта МБУ з точним розв'язком задачі про відновлення температурного поля о'ртот-ропної пластини (Ы < !,Ы < і). Граничні умови: на границях х = -1 і х = \ підтримуються.сталі, температури відповідно 0"С і 100°С. Вздовж границі V = — 1 температура підвищується за законом квадратичної параболи, вздовж границі У — 1 - за лінійним законом. Дев'ять розрахункових вузлів всередині пластини розташовані регулярно із кроком Ь — 0,5.

В табл.1 наведені результати визначення вузлових температур за допомогою різних методів. Використовуються наступні позначення: МСР - метод

скінчених різниць. В цьому випадку складено і розв'язано методом Гаусса систему рівнянь 9x9 відносно невідомих температур всередині пластини. Ті ж результати підтверджуються процедурою Лібмана, збіжність якої до розв'язку МСР досягається за 24 ітерації. Отриманий таким чином розв'язок приймається за точний. БУ-4С - барицентричне усереднення на статичному (нерухомому) шаблоні із 4-ма маршрутами. БУ-ЗМ - барицентричне усереднення на симплексі із 3-ма маршрутами і багаторазовими (multi) повтореннями обчислень на "стоп-кадрах" різної орієнтації. У даному випадку були використані 25 "стоп-кадрів" в залежності від відстані розрахункового вузла до центру області.

Аналіз результатів показує, що прості методи барицентричного усереднення забезпечують придатну точність, особливо, якщо врахувати, що

розбіг теплофізичних характеристик в ортотропних матеріалах сягає 15%.

. ВИСНОВКИ

1. Розроблена інформаційна технологія (математичні моделі, алгоритми і програми) відновлення функцій одного і багатьох аргументів, в основу якої покладено ймовірнісні принципи зваженого усереднення параметрів.

2. З точки зору зваженого усереднення параметрів розглядається відновлення функцій за допомогою поліномів Лагранжа, поліномів Ерміта (моделі деформацій згину пружних балок і пластин), сплайнової інтерполяції, ітерацій-ної схеми Ейткена-Невілла, поліномів Бернштейна. За допомогою зваженого усереднення будуються дискретні аналоги метода контрольних об'ємів (Сполдінга-Патанкара), а також згладжені апроксимації на серендипових елементах.

3. Теоретично обгрунтовані і експериментально підтверджені правильність і доцільність вибору барицентричних координат симплексів в якості апріорних перехідних ймовірностей метода барицентричного усереднення. Розроблений новий варіант МБУ з ортогональними маршрутами випадкових переходів на обчислювальному шаблоні типу "хрест", що добре адаптується до криволінійних границь області. Результати роботи підтверджують ефективність МБУ в задачах відновлення гармонічних та бігармонічних функцій.

4. Вперше розроблено два різновиди МБУ для задач з фізичною ортотропією. Запропоновано дві моделі залежності коефіцієнта внутрішньої теплопровідності ортотропного середовища від напрямку маршрута броунівської частинки. Комп’ютерне тестування цих залежностей підтверджує якісну і кількісну схожість цих моделей та їх придатність до практичних розрахунків.

5. Точність МБУ залежить від кількості та розташування граничних вузлів, а також від кількості "стоп-кадрів", що використовуються в розрахунках. Побудовано інтервальні оцінки для розв'язку задачі відновлення функцій. Ця

процедура розповсюджена на бігармонічні функції в задачах згину вільно --------опертих пластин довільної форми.

6. Створений і реалізований на мові програмування ОеІрЬі 5.0 обчислювальний комплекс КЕБТРІЖ, до складу якого включено модуль розрахунку та візуалізації на основі МБУ напружено-деформованого стану пластин довільної форми, що згинаються; модуль ієрархічної процедури побудови і візуалізації В-сплайнів; модуль побудови і візуалізації поліномів Бернштейна; модуль МБУ для відновлення гармонічних функцій в середовишах з фізичною ортотропіею.

7. Нові математичні моделі, алгоритми та комп'ютерні програми, впроваджено в ТОВ фірмі "Дифузія" (м.Київ), ТОВ "КІВЦ. Лтд" (м.Херсон), ООО "ПКБ АСУ" (м.Кам’янець-Подільський). У ВАТ "НИКОНД" (м.Миколаїв) проведено серію лабораторних експериментів, що підтверджує достатню точність розрахунків за допомогою програмного комплексу Ш^ТРІШ.

Основні положення дисертації опубліковані, в таких роботах:

1. Ходаков В.Є., Хомченко А.Н., Хомченко Б.А. Задачі еліптичного типу в екологічних дослідженнях II Вісник ТУП. - Том 2. - Хмельницький; ТУП. -

1997.-С. 14-16. , ,

2. Ходаков В.Є., Хомченко Б.А., Зуб П.М. Випадкові блукання і комп'ютерні експерименти на симплексних решітках // Математические модели и современные информационные технологии. Сб. науч. тр. - К.: Ин-т математики НАН Украины. - 1998. - С. 248-151.

3. Хомченко А.Н., Левая Т.П., Хомченко Б.А. Вероятностно-геометрические

аспекты полиномиальной интерполяции функций. // Математическое моделирование. Сб. науч. тр. - Киев: Ин-т математики НАНУ. - 1996. - с. 236241. ,

4. Хомченко А.Н., Хомченко Б.А. Про інтегральне квадратичне апроксиму-вання на сирендипових елементах. // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Сб. науч. тр. - К.: НАН Украины. Институт математики. - 1996. - С. 270-272.

5. Хомченко А.Н., Хомченко Б.А. Про точність способу обертання симплекса // Вісник ТДТУ. - Том 3. - Тернопіль: ТДТУ.' - 1998. - С. 108-110.

6. Хомченко Б.А Алгоритм СВС для бигармонических задач // ААЭКС. -

1999. -№1. -С. 172. '

7. Хомченко Б.А. Матричный анализ установившейся фильтрации. Математическое моделирование. // Математическое моделирование. Сб. науч. тр. -Киев: Ин-т математики НАНУ. - 1996. - с. 241-244.

8. Хомченко А.Н., Хомченко Б.А. Моделирование случайных блужданий по контрольным объёмам // Матеріали міжнар. наук. конф. "Сучасні проблеми математики". - Частина 3. - Чернівці-К.: Ін-т математики НАН України. -

1998.-С. 182-185.

9. Хомченко А. Н„ Хомченко Б.А., Зуб П.М. Ортотропные модели барицентри-

ческого усреднения граничных потенциалов в областях сложной геометрии // Вестник Херсонского государственного технического университета. -Херсон: ХГТУ.- 2000.- №1(7) -С.24-28. '

10. Хомченко А.Н., Гучек П.И., Хомченко Б.А. Вероятностно-геометрическая интерпретация рекуррентных соотношений Кокса-Де Бура для В-сплайнов // Труды ТГАТА. Выпуск 4. Прикладная геометрия и инженерная графика. -Том 9. - Мелитополь: ТГАТА. - 1999. - С.3-6.

П.Ходаков В.Є., Хомченко А. Н., Хомченко Б.А. Геометричні моделі та задачі відновлення функцій. // Збірник статей науково-методичної конференції "Інженерна графіка та геометричне моделювання із застосуванням комп'ютерноїтехнології". - Рівне: УДАВГ. - 1997. - С. 57-58.

12. Моделирование конечных элементов сирендипова семейства. / Камаева Л.И., Кучеренко Ю.М., Хомченко Б.А:; Ивано-Франковский институт нефти и газа. - Ивано-Франковск, 1987. - 13с. - Рус. - Деп. в УкрНИИНТИ 28.12.87., №3291-Ук87.

13. Хомченко А.Н.; Хомченко Б.А. Геометрическая вероятность и приближающие многочлены Бернштейна // Сб. трудов III Междунар. науч.-практ. конф. " Современные проблемы геометрического моделирования". - Мелитополь: ТТАТА. -1996. - С. 40.

14. Хомченко Б.А., Крючковський В.В., Хомченко А.Н. Метод барицентричного усереднення для еліптичних задач з фізичною орто-тропією // Тези доп. VIII Міжнар. наук. конф. ім. акад. М.Кравчука. - К.: НТУУ(КПІ).-2000.-С.385.

Хомченко Б.А. Ймовірнісні моделі та алгоритми зваженого усереднення параметрів в інформаційних технологіях відновлення функцій. - Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 05.13.06 - Автоматизовані системи управління та прогресивні інформаційні технології. Херсонський державний технічний університет, Херсон, 2000.

Дисертацію присв'ячено питанням розробки інформаційних технологій відновлення функцій на основі ймовірнісних моделей та алгоритмів зваженого усереднення параметрів.

В роботі доведено аналітично та підтверджено комп’ютерними експериментами, що перехідна ймовірність в схемах випадкових блукань по дискретному елементу не залежить від форми маршруту броунівської частинки. Розроблено новий варіант МБУ (математична модель, алгоритм та програма) для технологій відновлення функцій в задачах з фізичною ортотропією. Алгоритм МБУ пристосовано до задач дослідження пружних згинних пластин.

Основні результати дисертації впроваджено в системах автоматизованого проектування підприємств: ТОВ фірма "Дифузія" (м.Київ), ТОВ "К1ВЦ. Лтд" (м.Хереон), ТОВ "ПКБ АСУ" (м.Кам'янець-Подільський).

Ключові слова: інформаційна технологія, ймовірнісна модель,

відновлення функцій, алгоритм, принцип зваженого усереднення параметрів, монте-карловські оцінки._______

Хомченко Б.А. Вероятностные модели и алгоритмы взвешенного усреднения параметров в информационных технологиях восстановления функций. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 05.13.06. - Автоматизированные системы управления и прогрессивные информационные технологии. Херсонский государственный технический университет, Херсон, 2000,

Диссертация посвящена вопросам разработки информационных технологий восстановления функций на основе вероятностных моделей и алгоритмов взвешенного усреднения параметров. Задачи восстановления функциональных зависимостей актуальны в различных областях научной и инженерно-технической деятельности: метеорологии, геологии, топографии, при интерпретации разнообразных геофизических экспериментальных данных, в экологических исследованиях и т.п. Восстановление функций и компьютерные расчеты на их основе - наиболее ответственный этап процесса проектирования. Очень важна роль технологий восстановления функций в создании методов компьютерной графики. В последние годы для приближенного восстановления функций (кривых и поверхностей) широко используются аппроксимации кусочно-полиномиальными функциями (сплайнами) одного и многих аргументов. Подобные аппроксимации систематически используются в вычислительной математике при решении различных теоретических и прикладных задач, что наполняет новым содержанием термин "восстановление функций". Практически всем методам восстановления функций присущи известные недостатки сеточной дискретизации. Последствия сеточной дискретизации часто создают существенные проблемы, которые не всегда удается разрешить в рамках матричной алгебры. Для современных информационных технологий восстановления функций одной из актуальных задач является создание несеточных простых, наглядных и надежных методов, способных обеспечить построение полей "первого приближения" и полей допустимых отклонений (прогностические поля). К актуальным вопросам также относится разработка новых вероятностных моделей, учитывающих не только геометрические особенности вычислительных шаблонов, но и физические характеристики среды.

Цель диссертации - разработка математического и программного обеспечения современных технологий восстановления функций для задач вычислительной математики, в частности, для численного решения задач математической физики, моделируемых дифференциальными уравнениями П.Лапласа,

С.Пуассона, С.Жермен, на основе оригинальной вероятностно-геометрической версии дискретизации и монте-карловского оценивания параметров.

В работе доказано аналитически и подтверждено компьютерными экспериментами, что переходная вероятность в схемах случайных блужданий по дискретному элементу не зависит от формы маршрута броуновской частицы. Это позволяет обосновать выбор барицентрических координат симплекса в качестве переходных (априорных) вероятностей для несеточной модели случайных блужданий - метода барицентрического усреднения (МБУ). Выполнено теоретическое обоснование и компьютерное тестирование вычислительного шаблона типа "крест" и соотвествующей расчетной формулы МБУ для задач восстановления гармонических функций в областях с криволинейными границами. Разработан новый вариант МБУ (математическая модель, алгоритм и программа) для технологий восстановления функций в задачах с физической ортотропией. Алгоритм МБУ приспособлен к задачам исследования упругих изгибаемых пластин. Этот подход использует редукцию бигармони-ческого уравнения С.Жермен к системе двух уравнений С.Пуассона (мембранная аналогия). С точки зрения принципа взвешенного усреднения впервые рассматриваються эрмитова интерполяция, сплайновая интерполяция, итерационная схема Эйткена-Невилла, способ построения полиномов Бернштейна, дискретные аналоги метода контрольных объемов, сглаженные аппроксимации на серендиповых элементах. Созданы компьютерные программы для задач восстановления гармонических и бигармонических функций, в частности, программный комплекс RESTFUN, позволяющий исследовать напряженно-деформированное состояние пластин сложной конфигурации. Новая технология восстановления функций на основе ортотропного варианта МБУ существенно расширяет класс исследуемых задач, а универсальный программный комплекс помогает заметно сократить время решения актуальных инженерно-технических задач. Проведена серия лабораторных физических экспериментов в ОАО "НИКОНД" (г.Николаев), подтверждающая достаточную точность вычислений с помощью программного комплекса RESTFUN.

Основные результаты диссертации внедрены в системах автоматизированного проектирования предприятий: ООО фирма "Дифузгя" (г.Киев), ООО "К1ВЦ. Лтд" (г.Херсон), ООО "ПКБ АСУ" (г.Каменец-Подольский).

Ключевые слова: информационная технология, вероятностная модель, восстановление функций, алгоритм, принцип взвешенного усреднения параметров, монте-карловские оценки.

Kltomchenko В.А. "Probabilistic models and algorithms of weighed mean of parameters in informative technologies of restoration offunctions. "

Typescript

The dissertation for acquiring Scientific Degree of Candidate of Engineering Sciences in speciality: 05.13.06 - Automated control systems and progressive informative technologies. - Kherson State Technical University, Kherson, 2000.

The dissertation is dedicated to the problems of developing of informative technologies of restoration of functions on the base of the probabilistic models and algorithms of weighed mean of parameters. The varieties of an effective method of

barycentric mean (MBM) for recovering of harmonic and biharmonic functions are proposed. The special alternative MBM for physical orthotropic problems is designed. The principle of weighed mean of parameters is applied to recover polynomials of Lagrange, Hermite, Bemstain, B-splines.

The new results of dissertation are introduced in the computer complexes of automated design engineering systems.

Keywords: information technology, probabilistic models, restoration of functions, algorithm, principle of weighed mean of parameters, Monte-Carlo merthod’s estimations.