автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка алгоритмов обработки данных с декомпозицией информационной матрицы

На правах рукописи

САЛФЕТНИКОВ Александр Иванович

РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ С ДЕКОМПОЗИЦИЕЙ ИНФОРМАЦИОННОЙ МАТРИЦЫ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в технических системах)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 2004 г.

Работа выполнена в Саша-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

кандидат технических наук, доцент Хабалов Владимир Викторович

доктор технических наук, профессор Фокин Александр Леонидович

кандидат технических наук, старший научный сотрудник Карсаев Олег Владиславович

Ведущая организация: Открытое акционерное общество

(ОАО) «Техприбор»

Защита состоится 7 декабря 2004 г. в \5Ш на заседании диссертационного совета Д.212.227.03 в Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики по адресу: 197101, Санкт-Петербург, ул.Саблинская 14, СПбГУ ИТМО

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики

Автореферат разослан 25 октября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.т.н., доцент

Лямин А.В.

ftoos-q

lOlQb

ОБШДЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Предметом диссертационной работы является задача идентификации нестационарных параметров линейного объекта в режиме его нормального функционирования при отсутствии априорной информации о характере вариаций идентифицируемых параметров. Для решения данной задачи в работе исследованы рекуррентные процедуры взвешивания накопленных измерений и, на их основе, получен комплексный модифицированный метод взвешенных наименьших квадратов (МВНК).

Объекты с нестационарными параметрами используются в таких отраслях техники как авиационная, космическая, нефтедобывающая, робототехническая, а также в таких направлениях науки как экономика, геодезия, гидравлика (см. работы Круговой И.Н., Киселева С.К., Наумова А.И., Рутковского В.Ю., Ермиловой В. А., Павлова Б.В., Ахметзянова А.В., Кулибанова В.Н., Фролова А.И., Хисамова Р.С., Завалищина СТ., ЧебанаА.В., ЦирлинаАМ., Бобрика Г.И.,

Голована А.А., Матасова А.И.) и т.д. Так как, в большинстве случаев, системы автоматического управления работают в режиме реального времени, для получения оценок вариаций параметров требуются эффективные и достаточно простые с вычислительной точки зрения рекуррентные алгоритмы оценивания. Наиболее предпочтительным в данном случае оказывается МВНК (см. работы Л. Льюнга, А. Алберта, Н. Каминскаса, Д. Себера). .Данный метод основан на классическом методе наименьших квадратов (МНК), способном оценивать стационарные параметры систем в условиях помех измерений.

Постановка эксперимента с целью получения необходимых наблюдений для расчета оценки предполагает выполнение ряда определенных условий влияющих на функционирование оцениваемого объекта. Например, тестовый сигнал на входе объекта должен возбуждать все его собственные колебания, в этом случае можно получить измерения, содержащие полную информацию о значениях параметров объекта. Но, довольно часто для идентификации параметров используются измерения, полученные в режиме нормального функционирования идентифицируемого объекта. В этом случае приходится ограничиваться пассивными наблюдениями. В традиционном МВНК никак не учитываются свойства сигнала на входе объекта оценивания - из-за постоянного скалярного коэффициента взвешивания старые измерения продолжают обесцениваться независимо от того содержат или нет последние измерения новую «информацию» о вариациях параметров. В этом случае, использование традиционного МВНК может привес

матрицы (ИМ) Фишера метода наименьших квадратов и, как следует из неравенства Крамера-Рао, резкому увеличению ошибки оценивания параметров (см. работы П. Эйкхоффа, Н. Каминскаса, М.М. Kogan, J.I. Neimark, S. Dasgupta, B.D.Anderson, R.Kaye, K. Tsakalis, B.D.O. Anderson). Вырождение ИМ приводит к стремлению к нулю некоторых ее собственных чисел. Поэтому, алгоритм теряет способность оценивать параметры в «направлениях» связанных с данными собственными числами.

Традиционно коэффициент взвешивания (KB) метода наименьших квадратов выбирался постоянным что является его

существенным недостатком, так как на практике, при оценивании нестационарных параметров с переменной динамикой (частотой, скоростью, и т.д.) вариаций, должен быть учтен следующий компромисс: чем меньше KB, тем меньше последних измерений участвует в формировании оценки и тем более способность алгоритма расчета оценки своевременно отслеживать вариации нестационарных параметров, но, в этом случае, повышается чувствительность алгоритма к помехам измерений и, наоборот, чем больше KB тем лучше действует эффект усреднения помех измерений, но также теряется способность своевременного реагирования алгоритма на вариации параметров. Поэтому, задача настройки переменного KB является довольно сложной - требуется, чтобы полученный алгоритм как эффективно отслеживал вариации нестационарных параметров, так и максимально исключал воздействие на оценку помех измерений, в то же время сохраняя простоту с вычислительной точки зрения.

Основываясь на вышесказанном задача взвешивания измерений, в данной работе, разбита на две подзадачи:

1) процедура взвешивания должна зависеть от накопленных и текущих измерений, для того, чтобы исключить вырождение информационной матрицы МВНК;

2) процедура взвешивания должна зависеть от динамики изменения оцениваемых нестационарных параметров, для того, чтобы своевременно отслеживать их вариации.

Для решения первого аспекта задачи в настоящее время предлагается концепция направленного взвешивания. В этом случае используется векторный KB и старые измерения ИМ обесцениваются только в том «направлению), в котором поступает новая информация. На различной трактовке понятия «направления» поступления новой информации основываются различные алгоритмы направленного взвешивания (см. работы R. Kulhavy, M. Kamy, Hagglund Т., Bertin D., Bittanti S., Bolzern P., Campi M., L. Cao, H. Schwartz.).

Для решения .второго аспекта задачи предлагается использовать принятьш критерий количества информации, который, в большинстве

случаев, является функционалом от погрешности оценивания (см. работы G. Goodwin, К. Sin., Widrow В., Steams S., T.R. Fortescue, S. Kershenbaum, B.E. Ydstie., W. Sargent, E. Fogel, Y. Huang., R. Middleton.).

Данная работа посвящена исследованию процедур взвешивания информации решающих вышеуказанные задачи и синтезу на их основе комплексного МВНК, с KB зависимым как от измерений так и от динамики вариаций параметров.

Целью диссертационной работы является разработка алгоритмов обработки данных с декомпозицией информационной матрицы, что предполагает решение следующих задач:

1) найти причины вырождения ИМ традиционного МВНК при работе в режиме нормального функционирования идентифицируемого объекта; исходя из полученных условий обосновать целесообразность использования новой концепции «направленного» взвешивания;

2) синтез (независимого от свойств сигнала на входе объекта оценивания) алгоритма расчета оценок основе выбранной схемы направленного взвешивания ИМ; анализ сходимости и изучение свойств полученного алгоритма;

3) путем объединения предыдущего алгоритма с алгоритмом адаптивной настройки KB, который позволяет эффективно отслеживать вариации нестационарных параметров с переменой динамикой — синтез комплексного метода оценивания;

4) верификация полученного алгоритма с помощью пакета программного обеспечения MATLAB.

Методы исследования. Для получения теоретических результатов использовались методы теории идентификации. На основе методов теории вероятности и теории устойчивости систем доказана сходимость полученного метода оценивания к истинным оценкам и найдены его свойства. Также анализ свойств данного метода проводился с использованием процедур пакета программного математического моделирования MATLAB. Достоверность результатов подтверждается аналитически и результатами моделирования.

Научная новизна работы:

предложена универсальная концепция взвешивания данных с ортогональной декомпозицией линейного многообразия построенного на векторах измерений (п. 2.4);

на основе преобразования традиционного МВНК, с использованием вышеуказанной процедуры взвешивания, получен новый метод оценивания, исключающий вырождение его ИМ (п. 3.1-3.3);

- разработан комплексный алгоритм оценивания с ортогональной декомпозицией ИМ и адаптивной настойкой КВ зависимой от динамики вариаций нестационарных параметров (п. 4.3).

Практическая значимость и реализация результатов. Результаты диссертационной работы могут быть использованы в устройствах идентификации параметров, либо в системах адаптивного управления авиационной, космической, нефтедобывающей, робототехнической технике и т.д. Полученный в диссертационной работе комплексный алгоритм оценивания был использован для оценки нестационарных параметров пьезокерамического преобразователя (глава 5).

Апробация работы. Работа выполнена на кафедре систем управления и информатики Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на XXXI, ХХХП и XXXIII Научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава СП6ТУИТМО (Санкт-Петербург, 2002, 2003 и 2004 гг.), Всероссийской научной конференции «Управление и информационные технологии» (Санкт-Петербург, 2003 г.).

Публикации работы. По материалам диссертации опубликовано 6 работ.

Структура и объем работы. Диссертация содержит введение, пять глав, заключение, приложение и список литературы, насчитьшающий 74 наименования. Основная часть работы изложена на 141 странице машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе был выбран класс моделей для исследования, приведены недостатки традиционного МВНК и доказано, что, при определенных условиях, использование традиционной концепции взвешивания приводит к вырождению информационной матрицы МВНК

Ввиду повсеместного распространения цифровой техники в работе исследуется линейный нестационарный объект, списываемый дискретным разностным уравнением вида

у(к+п) + а, (*)>{£+л -1)+...+о, (к)у{к) = \(к)и(к+т)+..лЬ„ (к)и(к) (1)

В достаточно большом количестве работ по идентификации используется модель объекта оценивания в виде линейной регрессии

ГДе р1 (4 = 1X1—1) ... у(к-п+1) у(к-п) и(к) ... и(к-т +1) и{к-т)\~ вектор

регрессоров составленный из результатов измерений величин входа и выхода объекта; вТ(к) = \а,{к) ... а„(к) Ъ,{к) ... Ь„{к)\" вектор оцениваемых параметров; ¿¡(к)- нормально распределенная помеха измерений. Данная модель является достаточно простой и удобной для исследований и не искажает основных результатов работы.

При использовании МВНК с традиционной концепцией взвешивания каждому измерению соответствует свой вес, причем, более новые измерения имеют большие веса и, соответственно, влияние на формирование текущей оценки, чем старые:

(3)

Р(Ы,1) = Л-Р01-\1), 1<1<Н-1

Длг,ЛГ)=1.

Д(Л0 = Л-Л(/-1)+?>(Л0/(ЛГ), Л(0) = о,

*.=<>■

(4)

(5)

(6)

где. N текущее количество измерений, J^N)- критерий минимизации МВНК, Я - коэффициент взвешивания, ДА)- информационная матрица МВНК, 0№- текущая оценка.

Для получения оценок МВНК требуется чтобы сигнал на входе идентифицируемого объекта возбуждал все его собственные колебания. На практике, в режиме нормального функционирования объекта, данное условие не всегда соблюдается.

Например допустим, что разность и-го порядка сигнала на входе равна нулю а разность порядка равна постоянной

величине

дпЧиО)=ие=соял; /=и-

(7)

Тогда, при условии что система устойчива, по известному выражению зависимости разности -го порядка выхода объекта от разности

п -1 -го порядка входа объекта (7) получим:

Нт = соШ >

(8)

т.е. разность «-1-го порядка выхода объекта также стремиться к постоянной величине. Тогда, опустив предельные соотношения и пользуясь (8), получим:

А"~гу(к +1) = А"'гу{к) + сот!.

(9)

Раскрыв выражение (9) (с помощью определений разности дискретной функции / -го порядка), получим:

где постоянные, не зависимые от времени

коэффициенты. Тогда, если производная я-ного порядка, где л-порядок идентифицируемого объекта, входного сигнала равна нулю, то составляющая в наборе вектора регрессоров будет

линейной комбинацией остальных составляющих

При использовании МВНК с традиционной концепцией взвешивания, поступающие измерения обесцениваются равномерно, независимо от характеристик входного сигнала. В данном случае это приведет к вырождению информационной матрицы (5) МВНК и, как следует из неравенства Крамера-Рао, к неограниченному росту погрешности оценивания.

Вырождение матрицы (5) приводит к стремлению к нулю некоторых ее собственных чисел. Таким образом, алгоритм теряет способность оценивать параметры в «направлениях» связанных с данными собственными числами. Данное обстоятельство обосновывает целесообразность применения векторного, зависимого от измерений КВ.

Во второй главе проведено сравнение различных концепций направленного взвешивания и, по определенному критерию, выбрана наилучшая.

Упрощенно, традиционную концепцию направленного взвешивания можно представить следующим выражением:

Таким образом, если в МВНК информационная матрица обесценивается по всем направлениям (5), то в случае (11), взвешивание происходит в направлении вектора р(к), гапк[р(к)<рТ (к)] =1- Это означает, что взвешивание происходит в направлении поступления новой информации.

у(к+п -1) = 1Л,у(к + п - 2 - /) + согМ.

(10)

ЖЛГ) =Л(АГ-1)+а-<р(Ю<рТ(Ю ■

(П)

Недостатком традиционной концепции направленного взвешивания является отсутствие нижней границы (константа с) в следующем неравенстве:

c1/<Ä(i)<c2/, / = 1.....iV-

(12)

Данный недостаток, в определенных случаях, приводит к потере алгоритмом способности к отслеживанию вариаций нестационарных параметров.

Рассмотрим далее современную концепцию направленного взвешивания с ортогональной декомпозицией линейного многообразия измерений. Пусть / = ,— наблюдаемая последовательность (не

обязательно линейно независимых) векторов измерений, размерности п, образующая линейное многообразие натянутое на

вектора ,=£77- Также задан ортонормированный базис из векторов

такой, что линейное многообразие представленное данными

векторами совпадает с ¿, . Используемая модель наблюдений (2)

предполагает, что линейное многообразие натянутое на

детерминированные вектора принадлежит евклидову

пространству, ^ сЕ.

Рассмотрим в данном контексте традиционную схему взвешивания. В этом случае информационная матрица преобразуется к виду Н1УН„> где

V=diag^(i,N),i = \,N}, ß(i,N) = Xß(i-\,N), ß{N,N) = 1, Я е[ОД]■ Тогда

Тогда, при Я = const, вектора измерений постепенно обесцениваются, т.е. при }f _>оо ]jm - о • Так как не всегда последовательность векторов

является линейно независимой, то практически это приводит к вырождению информационной матрицы ■ Это

обосновывает целесообразность разработки новой концепции взвешивания приведенной далее.

Пусть новый вектор измерений. Так как может и не

содержаться в его можно представить в виде двух

компонент:

щн1т„) = Lt

(13)

'/MW)

где проекция на а

Разобьем линейное многообразие

.....гт на два линейных многообразия .....?\Ы)]с1Ьгт и

где щн%)=ЩН^Н1я)=1}гт, = = Глг} и

щи1т) = щн1тн1) = 1}^, 0.'=^}- Также иу^ ¿и бУДет

таким, что проекция нового вектора измерений на линейное

многообразие будет ортогональна Другими

словами, проекция будет принадлежать ядру матрицы

^(М +1) е И(Я^) ■ Тогда новая концепция взвешивания будет следующей:

где V = dlag\p(i,N), г = 1^/} — матрица коэффициентов взвешивания.

Так как в данном случае не взвешиваются вектора линейного многообразия ортогональные данный метод взвешивания не

может понизить размерность линейного многообразия а

как следствие и ранг информационной матрицы Поэтому если

Аг ДГ ^(А/)

содержит количество линейно независимых векторов большее чем п, данный метод взвешивания не приводит к вырождению информационной матрицы НТКН„-

Принципиальное отличие метода направленного взвешивания с ортогональной декомпозицией информационной матрицы от метода направленного взвешивания, приведенного в предыдущем разделе в том, что в предыдущем методе информационная матрица Д(.ДГ-1) взвешивается в направлении в то время как в методе с ортогональной

декомпозицией информация обесценивается в направлении вектора который является образом вектора новых измерений

в пространстве измерений матрицы Я(ЛТ-1)- Это предотвращает возможный неограниченный рост собственных чисел информационной матрицы.

Введем обозначения Д(ДГ) = нткН„, 1\(М) = Н1„ТН1Ы, Л2(ЛГ) = Нг/Н1-

Тогда задача получения алгоритма взвешивания с декомпозицией информационной матрицы для МНК сводится к нахождению такого

разложения матрицы #(ЛГ), что д(лг) = +Лг(ЛГ)> при этом Представим информационную матрицу д(,у) в виде двух слагаемых:

(16)

где /?1(Лг-1)<р(Лг) = О, $>(#) ф 0 • Тогда, можно получить следующие рекуррентные соотношения:

1

щу -1) = Д(ЛГ -1) - ^(ЛГ -1)

Общий алгоритм взвешивания МНК с декомпозицией информационной матрицы определяется следующим выражением:

Я(ЛГ) = ДДЛГ -1)+ЛЯ2 СЛГ -1)+<р(Ы)<рт (ЛГ),

(18)

где - коэффициент взвешивания. При использовании алгоритма взвешивания (18) полностью соблюдается неравенство (12).

В третьей главе разработан алгоритм получения оценок параметров МНК с ортогональной декомпозицией информационной матрицы, приведены свойства данного алгоритма и доказана сходимость получаемых оценок к истинным значениям параметров.

Критерий минимизации ошибки оценивания является отправной точкой в исследовании многих алгоритмов основанных на вычислении оценки по накопленным данным. Исходя из основополагающей концепции ортогональной декомпозиции, приведенной во второй главе, найден критерий минимизации для МНК с декомпозицией информационной матрицы следующего вида:

(19)

Выражение для расчета оценки вектора параметров выведен после приравнивания к нулю первой производной критерия минимизации по данному вектору оценки

гдеДЛ) рассчитывается согласно (17) и (18).

Для того чтобы провести анализ сходимости метода, была найдена соответствующая функция Ляпунова, вид которой однозначно свидетельствует о сходимости оценок параметров к их истинным значениям при соблюдении известных ограничений на данную функцию.

Для детерминированного случая, когда помеха измерений в уравнении (2) отсутствует, путем разложения критерия минимизации (19) в ряд Тейлора

получено выражение для первой разности функции Ляпунова следующего вида

где

- матрица, положительно определенная на интервале N = o,...,ao. Из этого следует, что разность функций Ляпунова является определенно отрицательной величиной, что доказывает сходимость оценок метода наименьших квадратов с декомпозицией информационной матрицы к их истинным значениям. Данное обстоятельство служит доказательством следующей теоремы:

Теорема 1. Оценки метода наименьших квадратов с течением времени сходятся к их истинным значениям:

Для случая расчета оценок с воздействием помехи измерений, получены и сформулированы в виде следующей теоремы свойства алгоритма:

Теорема 2. Если помеха измерений имеет нулевое математическое

ожидание, то метод наименьших квадратов обладает свойствами несмещенности и состоятельности:

(26) (27)

для сколь угодно малогое > 0.

Таким образом, полученный алгоритм расчета оценки нестационарных параметров методом наименьших квадратов с ортогональной декомпозицией информационной матрицы способен работать в режиме нормального функционирования идентифицируемого объекта, обладает свойством состоятельности и несмещенности и способен отслеживать вариации нестационарных параметров в присутствии помехи измерений.

В четвертой главе приведен алгоритм адаптивной настройки скалярной составляющий Я векторного коэффициента взвешивания МНК с декомпозицией информационной матрицы в соответствии с динамикой вариаций нестационарных параметров.

Весовой коэффициент метода наименьших квадратов позволяет обесценивать устаревшие результаты измерений, тогда на формирование текущей оценки влияют только новые данные. Но, для того чтобы определить измерения устаревшими, следует выбрать меру или критерий дающие такое определение.

При получении оценок объекта методом наименьших квадратов о состоянии алгоритма оценивания можно судить по величине ошибки прогнозирования:

Если ошибка (28) достаточно мала, можно сделать вывод о том, что алгоритм слишком чувствителен для отслеживания вариаций параметров, т.е. на формирование оценки значительно влияет помеха измерений. В этом случае мы должны оставить как можно больше информации о процессе, то есть не обесценивать измерения. Значит, весовой коэффициент должен быть близок к единице. С другой стороны, если ошибка прогнозирования слишком велика, следует увеличить чувствительность алгоритма путем уменьшения величины коэффициента взвешивания На данных

основаниях можно вывести меру информации для метода наименьших квадратов как взвешенную сумму квадратов ошибок прогнозирования:

Правило расчета коэффициента взвешивания должно быть таким, что количество информации, содержащейся в предыдущих, уже обесцененных, результатах измерений, должно соответствовать количеству вновь полученной информации, содержащейся в новом результате измерений. В этом случае коэффициент взвешивания следует выбирать так, чтобы на каждом шаге сумма квадратов ошибок прогнозирования оставалась бы постоянной величиной:

Е(1) = Ц2) = ... = Е(ЛГ-1) = £(Л0 = Ео

(30)

Тогда, согласно (29) и (30), коэффициент взвешивания рассчитывается по следующей формуле:

Л =1 (31)

Так как нет гарантии, что рассчитанный по формуле (31) коэффициент взвешивания будет находиться в пределах &я е (0,1], следует применять

(31) с ограничениями:

Полностью алгоритм рекуррентного расчета оценки методом наименьших квадратов с декомпозицией информационной матрицы и адаптивным расчетом коэффициента взвешивания будет определяться следующими формулами:

В пятой главе получены оценки нестационарных параметров математической модели статической характеристики пьезокерамического преобразователя (1111) методом наименьших квадратов с декомпозицией информационной матрицы.

При линейном изменении управляющего напряжения, статическая характеристика ГШ, имеет форму гистерезисной петли. Указанная особенность статической характеристики должна учитываться при синтезе систем автоматического регулирования с целью повышения качества процессов регулирования.

Особенностью исследуемого ПП является нестационарность величин отражающих физические свойства данного объекта. Данная особенность отражается на виде его статической характеристики. Для эффективного использования исследуемого ПП в контуре системы автоматического регулирования, требуется в реальном режиме времени отслеживать вариации нестационарных параметров уравнения его статической характеристики. Данная информация может быть использована для достижения стабильных показателей качества системы автоматического управления (САУ).

Предполагается, что исследуемый ПП является исполнительным механизмом контура САУ, отрабатывающей постоянные задающие воздействия. Датчик, измеряющий значения выхода ПП, является статическим и, в общем случае, не измеряет динамику переходного процесса.

На основании описанных выше сведений о режиме работы ПП сформированы требования к алгоритму оценивания:

1) во-первых, так как работа САУ в установившемся режиме может быть произвольно долгой, требуется алгоритм независимый от сигнала на входе;

2) во-вторых, нестационарность статической характеристики ПП проявляется лишь на начальном этапе работы, с течением времени его параметры устанавливаются в постоянные значения; таким образом, требуется не просто алгоритм с взвешиванием информации, а алгоритм с адаптивной настройкой коэффициента взвешивания.

Как было доказано в данной работе, традиционный МВНК, в данном случае, не гарантирует сходимость оценок к истинным значениям и его применение может привести к появлению неограниченной погрешности оценивания.

Наиболее целесообразно, в данном случае, использовать МВНК с ортогональной декомпозицией информационной матрицы. Данный алгоритм полностью удовлетворяет всем поставленным выше требованиям.

Результаты работы алгоритмов проверены практически с помощью пакета моделирования МАИАВ. Результаты исследования отражены на графиках, и таблицах сходимости оценок параметров.

Доказательства; основных положений работы приведены в . Приложениях 1,3-6.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе проведено исследование методов идентификации параметров нестационарных линейных объектов в режиме их нормального функционирования, основанные на технологии рекуррентных процедур метода наименьших квадратов в линейной схеме наблюдений. В ходе исследований получены следующие научно-технические результаты:

1. Причины вырождения информационной матрицы метода взвешенных наименьших квадратов и условия, при которых вырождения информационной матрицы не происходит.

2. Общая (применимая для любого метода оценивания по накопленным измерениям) концепция направленного взвешивания с ортогональной декомпозицией линейного многообразия построенного на векторах измерений.

3. Алгоритм расчета оценки параметров методом наименьших квадратов с ортогональной декомпозицией информационной

матрицы, получен критерий минимизации и доказана сходимость данного алгоритма.

4. Комплексный метод взвешенных наименьших квадратов с ортогональной декомпозицией информационной матрицы и адаптивной настройкой коэффициента взвешивания, работающий в режиме нормального функционирования идентифицируемого объекта и при отсутствии априорной информации о характере вариаций оцениваемых нестационарных параметров.

5. Оценки нестационарных параметров математической модели нелинейной статической характеристики пьезокерамического преобразователя, рассчитанные методом оценивания, полученным в данной работе.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Салфетников А.И., ХабаловВ.В. Идентификация линейных операций [Текст] /СалфетниковА.И., ХабаловВ.В. //Научно-технический вестник СП6ТУ ИТМО. Выпуск 6, Информационные, вычислительные и управляющие системы. /Гл.Ред. В.Н. Васильев.—СПб., СП6ТУ ИТМО, 2002. - С. 263-265.

2. Салфетников А.И. Геометрический аспект взвешивания в методе наименьших квадратов [Текст] /Салфетников А.И. //Сборник научных статей СПбТУ ИТМО. Современные технологии. /Под. Ред. С.А Козлова. - СПб., СПбГУ ИТМО, 2003. - С.272-277.

3. Салфетников А.И., Хабалов В.В. Алгоритм оценивания методом наименьших квадратов с декомпозицией ковариационной матрицы [Текст] /СалфетниковА.И., ХабаловВ.В. //Сборник научных статей. Всероссийская научная конференция «Управление и информационные технологии» (УИТ-2003). ~ СПб., СПбГУ ИТМО, 2003. - С. 138-142.

4. Салфетников А.И., ХабаловВ.В. Адаптивная настройка коэффициента взвешивания метода наименьших квадратов [Текст] /Салфетников А.И., Хабалов В.В. //Информационно-аналитический журнал. Естественные и технические науки. М., Спутник+, 2004. Т(10). №1. С.98-101.

5. Салфетников А. И., ХабаловВ.В. Особенности поведения информационной матрицы метода взвешенных наименьших квадратов в режиме нормального функционирования объекта оценивания [Текст] /Салфетников АИ., ХабаловВ.В. //Информационно-аналитический журнал. Естественные и технические науки. М., Спутник+, 2004. Т(10). №1. С. 102-104.

6. Салфетников А.И., ХабаловВ.В. Сходимость метода наименьших квадратов с декомпозицией ковариационной матрицы [Текст] /Салфетников А.И, ХабаловВВ. //Информационно-аналитический журнал. Актуальные проблемы современной науки. М., Спутник+, 2004. Т(17) №2. С.204-207.

Тиражирование и брошюровка выполнены в учреждении «Университетские телекоммуникации» 197101, Санкт-Петербург, Саблинская ул., 14, тел.(812)233-46-69 Тираж 100 экз.

Введение.

1. Состояние проблемы оценивания традиционным методом взвешенных наименьших квадратов. Обоснование новой концепции направленного взвешивания.

1.1. Выбор класса моделей наблюдения в алгоритмах оценивания.

1.2. Традиционная концепция взвешивания метода наименьших квадратов.

1.3. Работа традиционного метода взвешенных наименьших квадратов в условиях нормального функционирования идентифицируемого объекта. Недостатки традиционной концепции взвешивания.

1.4. Вырождение информационной матрицы традиционного метода взвешенных наименьших квадратов. Предпосылки для выработки новой концепции «направленного» взвешивания.

2. Концепции направленного взвешивания в методе наименьших квадратов.

2.1. Причины появления и сущность направленного взвешивания.

2.2. Метод наименьших квадратов с взвешиванием поступающих измерений.

2.3. Ограниченность сверху и снизу информационной матрицы метода наименьших квадратов с направленным взвешиванием.

2.4. Метод направленного взвешивания основанный на декомпозиции информационной матрицы R(i).

2.5. Ограниченность информационной матрицы метода наименьших квадратов с декомпозицией.

3. Разработка алгоритма оценивания методом наименьших квадратов с декомпозицией информационной матрицы.

3.1. Критерий метода наименьших квадратов с декомпозицией информационной матрицы.

3.2. Оценка вектора параметров методом наименьших квадратов с ортогональной декомпозицией информационной матрицы.

3.3. Анализ сходимости и свойства метода наименьших квадратов с декомпозицией информационной матрицы.

4. Метод наименьших квадратов с адаптивной настройкой коэффициента взвешивания.

4.1. Адаптивная настройка скалярного коэффициента взвешивания.

4.2. Меры количества информации в методе наименьших квадратов

4.3. Адаптивная настройка коэффициента взвешивания метода наименьших квадратов с декомпозицией информационной матрицы.

5. Оценка нестационарных параметров статической характеристики пьезокерамического преобразователя.

5.1. Уравнение статической характеристики пьезокерамического преобразователя с нестационарными параметрами.

1.2. Выбор алгоритма оценивания нестационарных параметров пьезокерамического преобразователя.

1.3. Оценка параметров пьезокерамического преобразователя методом наименьших квадратов с ортогональной декомпозицией информационной матрицы.

Задача идентификации систем является одним из важнейших направлений современной теории автоматического управления. Значительная часть объектов управления и систем описывается уравнениями с нестационарными параметрами, при этом, как правило, априорная информация о вариациях нестационарных параметров практически отсутствует. Как следует, из многочисленных публикаций к этой категории принадлежат системы из самых различных отраслей промышленности и направлений инженерной деятельности, например, таких как авиационная [1,2,3], космическая [4,5,6], нефтедобывающая [7], робототехническая [8], а также в таких направлениях науки как экономика [9], геодезия [10], гидравлика [11] и т.д. И если методы для оценки стационарных параметров разработаны довольно глубоко, то методы для оценки меняющихся во времени параметров продолжают в настоящее время активно развиваться. Так как, системы автоматического управления работают в режиме реального времени, для получения оценок вариаций параметров требуются эффективные и достаточно простые с вычислительной точки зрения рекуррентные алгоритмы оценивания. Наиболее предпочтительным в большинстве случаев, оказывается метод взвешенных наименьших квадратов [12]. Данный метод основан на классическом методе наименьших квадратов, разработанном Гауссом в XVIII веке и способном оценивать стационарные параметры систем в условиях помех измерений.

В связи с повсеместным распространением цифровой техники уравнения объектов и алгоритмы оценивания будут представлены в дискретной форме. Пусть наблюдения описываются линейным уравнением регрессии и §N -- текущая оценка метода взвешенных наименьших квадратов. Благодаря коэффициенту взвешивания на формирование новой оценки в момент времени п влияет лишь несколько последних измерений A=N-K (К>0). Таким образом, в каждый момент времени N оценка §N аппроксимирует истинную функцию вариаций параметров. На данном свойстве и основывается способность метода взвешенных наименьших квадратов оценивать нестационарные параметры.

Постановка эксперимента с целью получения необходимых наблюдений для расчета оценки предполагает выполнение ряда определенных условий влияющих на функционирование оцениваемого объекта. Например, тестовый сигнал на входе должен возбуждать все собственные колебания данного объекта, только в этом случае мы можем получить измерения, содержащие полную информацию о значениях параметров объекта. Но довольно часто для идентификации параметров * объекта используются измерения полученные в режиме нормального функционирования объекта оценивания [13,14]. В этом случае приходится ограничиваться пассивными наблюдениями. В традиционном методе взвешенных наименьших квадратов никак не учитываются свойства сигнала на входе объекта оценивания - благодаря постоянному скалярному коэффициенту взвешивания старые измерения продолжают обесцениваться независимо от того содержат или нет последние измерения новую «информацию» о вариациях параметров. Например, система может периодически достаточно долгое время находиться в установившемся режиме и каждое новое поступающее измерение равно предыдущим и не несет в себе новой информации, но, тем не менее, из-за постоянного (■% скалярного коэффициента взвешивания предыдущие измерения продолжают обесцениваться. В этом случае, использование традиционного метода взвешенных наименьших квадратов со скалярным коэффициентом взвешивания может привести к вырождению информационной матрицы Фишера метода наименьших квадратов и, как следует из неравенства Крамера-Рао, резкому увеличению ошибки оценивания параметров [15]. Вырождение информационной матрицы приводит к стремлению к нулю некоторых ее собственных чисел. Поэтому, данный алгоритм теряет способность оценивать параметры в «направлениях» связанных с этими собственными числами. Для решения данной проблемы в настоящее время предлагается концепция «направленного» взвешивания. В этом случае используется векторный коэффициент взвешивания, и старые измерения информационной матрицы обесцениваются только в том «направлении», в котором поступает новая информация. На различной трактовке понятия «направления» поступления новой информации основываются различные алгоритмы «направленного» взвешивания [16-20].

Традиционно коэффициент взвешивания выбирался постоянным (X=const), что является существенным недостатком метода взвешенных наименьших квадратов. Очевидно, что существует некоторая закономерность, позволяющая рассчитать коэффициент взвешивания исходя из динамики (частота, скорость, дисперсия и т.д.) изменения параметров. При этом, должен быть учтен следующий компромисс: чем меньше коэффициент взвешивания, тем меньше последних измерений участвует в формировании оценки и тем более способность алгоритма расчета оценки своевременно отслеживать вариации нестационарных параметров, но, в этом случае, повышается чувствительность алгоритма к помехам измерений и, наоборот, чем больше коэффициент взвешивания тем лучше действует эффект усреднения помех измерений, но также теряется способность своевременного реагирования алгоритма на вариации параметров. Таким образом, задача нахождения указанной закономерности является довольно сложной — требуется, чтобы полученный алгоритм как эффективно отслеживал вариации нестационарных параметров, так и максимально исключал воздействие на оценку помех измерений, в то же время сохраняя остальные привлекательные свойства метода наименьших квадратов, в том числе, и простоту вычислительной реализации. В настоящий момент это направление интенсивно разрабатывается, подтверждением чему является ряд публикаций, например [21-29].

Целью данной работы является:

1) Найти причины вырождения информационной матрицы метода наименьших квадратов и, как следствие, появления резких неограниченных всплесков оценок в случае использования традиционной концепции взвешивания измерений в режиме нормальной работы объекта оценивания;

2) исходя из условий вырождения информационной матрицы традиционного метода взвешенных наименьших квадратов, выявить предпосылки появления и обосновать целесообразность использования новой концепции «направленного» взвешивания;

3) анализ свойств существующих алгоритмов «направленного» взвешивания информационной матрицы метода наименьших квадратов и выявление наилучшего;

4) синтез (независимого от свойств сигнала на входе объекта оценивания) алгоритма расчета оценок неизвестных параметров объекта на основе выбранной схемы «направленного» взвешивания матрицы измерений; анализ сходимости и изучение свойств полученного алгоритма;

5) анализ алгоритмов адаптивной настройки коэффициента взвешивания позволяющих эффективно отслеживать вариации нестационарных параметров с переменой динамикой; выявление наилучшего и, путем объединения его с алгоритмом полученным на предыдущем этапе, синтез комплексного метода оценивания позволяющего как эффективно отслеживать вариации параметров с переменной динамикой, так и независимого к свойствам сигнала на входе объекта оценивания;

6) верификация полученного алгоритма на дискретной модели пьезокерамического преобразователя с помощью пакета программного обеспечения MATLAB;

7) вывод рекомендаций к практическому применению полученного комплексного алгоритма оценивания нестационарных параметров объекта.

Результаты работы данного алгоритма отражены в нижеследующей таблице.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе разрабатывались методы идентификации параметров нестационарных линейных объектов в режиме их нормального функционирования, основанные на технологии рекуррентных процедур метода наименьших квадратов в линейной схеме наблюдений.

В первой главе приведены классы нестационарных моделей и систем, уравнения которых приводятся к стандартному уравнению линейной регрессии , представляющему основной объект проводимых исследований, а в качестве базового алгоритма рассмотрен рекуррентный вариант традиционного метода взвешенных наименьших квадратов, соответствующий задаче идентификации в режиме нормального функционирования объекта. Показано, что работа данного класса алгоритмов может привести к вырождению матрицы измерений и, как следствие, к неограниченному росту погрешности оценивания, что делает невозможным дальнейшие вычисления оценок. Отмеченное обстоятельство является существенным недостатком традиционной схемы взвешивания и требует дополнительных исследований в этой области. В этой связи были выявлены причины вырождения информационной матрицы, и сформулирована содержательная основа предлагаемой концепции направленного взвешивания: смысл данного подхода состоит в том, что в процессе обработки данных решения задачи идентификации, обесцениваются только те вновь поступающие измерения, которые могут быть заменены новыми.

Во второй главе анализируются существующие методы направленного взвешивания с целью выбора наилучшей в смысле структурных свойств матрицы измерений. Показано, что наиболее предпочтительной является концепция направленного взвешивания с ортогональной декомпозицией информационной матрицы. В этом случае вектора составляющие линейное многообразие измерений обесцениваются в направлении ортогональной проекции нового вектора измерений на данное линейное многообразие. При этом, что существенно, информационная матрица остается ограниченной как сверху так и снизу.

В третьей главе на основе концепции направленного взвешивания с ортогональной декомпозицией информационной матрицы разработан рекуррентный алгоритм вычисления оценок нестационарных параметров объекта, а также получен отвечающий этой процедуре критерий минимизации разработанного алгоритма. На основе выведенного критерия минимизации доказана сходимость оценок данного алгоритма в детерминированном случае. Далее, на основе полученных результатов выведены свойства несмещенности и состоятельности получаемых в результате вычислений оценок.

В четвертой главе решена задача о настройке скалярной составляющей коэффициента взвешивания метода наименьших квадратов с декомпозицией информационной матрицы. Данная составляющая позволяет обесценивать накопленные измерения в соответствии с динамикой вариаций параметров. В этой связи , в четвертой главе были проанализированы алгоритмы адаптивной настройки коэффициента взвешивания и выбран наиболее оптимальный с вычислительной точки зрения вариант .

Полученный в результате проведенных исследований метод оценивания представляет собой комплексный алгоритм оценивания нестационарных параметров объекта в условиях нормального функционирования идентифицируемого объекта. Направленное взвешивание с ортогональной декомпозицией информационной матрицы предотвращает ее вырождение в условиях текущих наблюдений , а адаптивная настройка скалярной составляющей коэффициента взвешивания позволяет своевременно отслеживать вариации нестационарных параметров объекта оценивания. При этом, важным обстоятельством является то, что предлагаемому алгоритму не требуется априорной информации о вариациях параметров и характеристиках помехи наблюдений. Данные особенности делают возможным использовать полученные результаты при решении широкого класса нестационарных задач обработки данных, в том числе, в контурах адаптивных систем управления.

В пятой главе результаты проведенных исследований были использованы для расчета оценок нестационарных параметров уравнения статической характеристики пьезокерамического преобразователя. Предлагается полученные оценки использовать как для формирования адаптивного закона управления, так и для последующего изучения характеристик сигнала на выходе преобразователя в режиме текущих наблюдений.

В целом, результаты проведенных исследований обосновывают целесообразность взвешивания измерений в задачах идентификации, свидетельствуют о высокой работоспособности и эффективности разработанных рекуррентных процедур с ортогональной декомпозицией линейного многообразия измерений, позволяют рекомендовать эти алгоритмы для решения широкого класса нестационарных задач обработки данных.

1. Крутова И.Н. Обеспечение настраиваемых свойств системы управления самолета методом адаптивной идентификации. Автоматика и телемеханика. 1996. №3. С. 103-107.

2. Киселев С.К. Авиационные магнитометрические системы навигации и перспективы их практического использования. Автоматика и телемеханика. 2001. №7. С. 129-138.

3. Наумов А.И. Применение аналитических прогнозируемых моделей в системах управления летательных аппаратов и в авиационных тренажерах. Автоматика и телемеханика. 2002. №7. С. 178.

4. Рутковский В.Ю., Суханов В.М. Динамическая модель свободнолетающего космического робототехнического модуля. Автоматика и телемеханика. 2000. №5. С. 39.

5. Рутковский В.Ю. Работы Института проблем управления в области беспоисковых адаптивных систем и систем управления космическими аппаратами. Автоматика и телемеханика. 1999. №6. С. 42.

6. Ермилова В.А., Павлов Б.В., Рутковский В.Ю. Оптимизация процессов настройки коэффициентов адаптивного автопилота в условиях действия помех. Автоматика и телемеханика. 1996. №12. С. 84.

7. Ахметзянов А.В., Кулибанов В.Н., Фролов А.И., Хисамов Р.С. Выбор оптимальных режимов отбора жидкости из многопластовых нефтяных месторождений. Автоматика и телемеханика. 1998. №6. С. 67.

8. Завалищин С.Т., Чебан А.В. Транспортный манипулятор в вязкой среде: энергосберегающие алгоритмы перемещения. Автоматика и телемеханика. 1999. №12. С. 166.

9. Цирлин A.M. Оптимальное управление обменом ресурсами в экономических системах. Автоматика и телемеханика. 1995. №3. С. 116.

10. Бобрик Г.И., Голован А.А., Матасов А.И. Фильтр Калмана при гарантирующем подходе к решению задачи топографической привязки. Автоматика и телемеханика. 1997. №10. С. 34.

11. Чипулис В.П. Дискретные диагностические модели в задачах диагностирования гидравлических цепей. Автоматика и телемеханика. 1997. №9. С. 146.

12. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория пользователя. М.: Наука, 1991.

13. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975.

14. Балонин Н.А., Габитов Е.А. Численные алгоритмы идентификации параметров систем в режиме нормального функционирования. Автоматика и телемеханика. 1997. №2. С. 140.

15. Каминскас Н. Статистические методы идентификации динамических систем. Вильнюс.: Минитис, 1975.

16. R. Kulhavy, М. Karny. Tacking of slowly varying parameters by directional forgetting. 9th IFAC World Congress, Budapest. 1984. pp.687-692.

17. Hagglund T. Recursive estimation of slowly time-varying parameters. IFAC Symp. On Identification and System Parameter Estimation. York. 1985. pp.1137-1142.

18. Bertin D., Bittanti S., Bolzern P. Tracking of nonstationary systems by means of different prediction error directional forgetting techniques. 2th IFAC Workshop on Adaptive Systems in Control and Signal Processing. Lund. Sweden. 1990. Pp.91-96.

19. Bittanti S., Bolzern P., Campi M. Convergence and exponential convergence of identification algorithms with directional forgetting factor. Automatica, Vol.26, No.5, pp.929-932,1990.

20. L. Cao, H. Schwartz. A directional forgetting algorithm based on the decomposition of the information matrix. Automatica, Vol.36, pp.17251731, 2000.

21. G. Goodwin, K. Sin. Adaptive filtering, prediction and control. Pretence-Hall, INC. Englewood Cliffs. New Jersey. 1984.

22. Widrow В., Stearns S. Adaptive signal processing. Pretence-Hall, INC. Englewood Cliffs. 1985.

23. Клейман Е.Г. Идентификация нестационарных объектов (обзор). Автоматика и телемеханика. 1999. №10. С. 3.

24. Дроздов A.JI. Алгоритм идентификации характеристик динамической системы по данным наблюдений. Автоматика и телемеханика. 2000. №5. С. 58.

25. Другарян И.С., Пащенко Ф.Ф. Идентификация объектов по критерию максимума количества информации. Автоматика и телемеханика. 2001. №7. С. 91.

26. T.R. Fortescue, S.Kershenbaum, В.Е. Ydstie. Implementation of self-turning regulators with variable forgetting factors. Automatica, Vol.17, No.6, pp.831-835,1981.

27. B. Ydstie, W. Sargent. Convergence and stability properties of an adaptive regulator with variable forgetting factor. Automatica, Vol.22, No.6, pp.749-751,1986.

28. E. Fogel, Y. Huang. On the value of information in system identification -bounded noise case. Automatica, Vol.18, No.2, pp.229-238,1982.

29. L. Ljung, S. Gunnarsson. Adaptation and tracking in system identification -a survey. Automatica, Vol.26, No.l, pp.7-21,1990.

30. А.Д. Вирцер, Ю.Л. Николаев. Математическая модель статических характеристик пьезокерамических преобразователей. Автоматика и телемеханика. 1992. С. 172-185.

31. Изерман Н. Цифровые системы управления. М.: Наука. 1991.

32. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. М:. Наука, 1984.

33. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия. М.: Финансы и статистика, 1981.

34. Себер Д. Линейный регрессионный анализ. М.: Мир. 1980.

35. Рао С. Линейные статистические методы и их применение. М.: Наука. 1968.

36. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1977.

37. Бессонов А.А. Методы и средства идентификации динамических объектов. А. Энергоиздат. 1989.

38. А.И. Салфетников, В.В. Хабалов. Геометрический аспект взвешивания в методе наименьших квадратов. // Сборник научных статей «Современные технологии». Санкт-Петербург. 2003.

39. М. Campi. On the convergence of minimum-variance directional-forgetting adaptive control scheme. Automatica, Vol.28, No.l, pp.221-225,1992.

40. Bittanti S., Bolzern P., Campi M. Adaptive identification via prediction-error directional-forgetting factor: convergence analysis. Int. J. Control, 1989, Vol. 50, No. 6, 2407-2421.

41. M. Salgado, G. Goodwin, R. Middleton. Modified least squares algorithm incorporating exponential resetting and forgetting. Int. J. Control, 1988, Vol. 47, No. 2, 477-491.

42. Astrom K.J., Wittenmark B. Adaptive control (2nd ed.) MA.: Addition-Wesley.

43. Johstone R., Johsone J., Bitmead R., Anderson B. Exponential convergence of recursive least squares with exponential forgetting factor. Systems & Control Letters, 2, pp. 77-82,1982.

44. Салфетников А.И., Хабалов B.B. Алгоритм оценивания методом наименьших квадратов с декомпозицией информационной матрицы. // Сборник докладов Всероссийской научной конференции «Управление и информационные технологии». Санкт-Петербург, 2003.

45. Салфетников А.И., Хабалов В.В. Сходимость метода наименьших квадратов с декомпозицией информационной матрицы. Актуальные проблемы современной науки. №2 (17), 2004, С.204-207.

46. Пропой А.И. О построении функций Ляпунова I. Автоматика и телемеханика. №5, 2000. С. 32.

47. Пропой А.И. О построении функций Ляпунова И. Автоматика и телемеханика. №6, 2000. С. 61.

48. Развитие и применение метода функций Ляпунова. Ред. Матросов. М.: Машиностроение, 1987.

49. F. Schweppe. Recursive state estimation: unknown but bounded error and system inputs. IEEE Transactions on Automatic Control, Vol.AC-13, No.l, 1968, pp.22-28.

50. D. Bertsekas, I. Rhodes. Recursive state estimation for a set-membership description of uncertainty. IEEE Transactions on Automatic Control, Vol.AC-16, No.2,1971, pp.l 17-127.

51. E. Fogel. System identification via membership set constraints with energy constrained noise. IEEE Transactions on Automatic Control, Vol.AC-24, No.5,1979, pp.752-759.

52. A.K. Rao, Y. Huang, S. Dasgupta. ARMA parameter estimation using a novel recursive estimation algorithm with selective updating. IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing, Vol.38, No.3, 1990, pp.447-457.

53. Салфетников А.И., Хабалов В.В. Адаптивная настройка коэффициента взвешивания метода наименьших квадратов. Естественные и технические науки. №1 (10), 2004. С.98-101.

54. Никольский А.А. Точные двухканальные электроприводы с пьезокомпенсаторами. М.: Энергия, 1988.

55. Джагупов Р.Г., Ерофеев А.А. Пьезокерамические устройства автоматики. JL: Машиностроение, 1986.

56. Джакупов Р.Г., Ерофеев А.А. Пьезоэлектронные устройства вычислительной техники, систем контроля и управления. Справочник. Санкт-Петербург, 1994.

57. Ерофеев А.А. Пьезоэлектронные устройства автоматики. Л.:Машинострение, 1982.

58. Сыркин Л.Н. Пьезомагнитная керамика. 2-е изд. Л.: Энергия, 1980.

59. Харкевич А.А. Теория электроакустических преобразователей. Избранные труды. Т. 1, 1953.

60. Попов Е.П., Пальтов И.П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. М.:Наука, 1960.

61. М.М. Kogan, J.I. Neimark. Locally optimal adaptive control without persistent excitation. Automatica, Vol.32, No.10, pp. 1463-1467,1996.

62. Буштрук А.Д., Буштрук Т.Н. Структурная идентификация нелинейных динамичеких объектов в режиме пассивного эксперимента. Автоматика и телемеханика, №8, 2001. С. 61-68.

63. S. Dasgupta, B.D. Anderson, R. Кауе. Persistence excitation conditions for partially known systems. Automatica, Vol.30, No.3, pp. 547-550,1994.

64. K. Tsakalis. Performance limitations of adaptive parameter estimation and system identification algorithms in the absence of excitation. Automatica, Vol.32, No.4, pp. 549-560, 1996.

65. B.D.O. Anderson. Adaptive systems, lack of persistency of excitation and bursting phenomena. Automatica, Vol.21, No.3, pp. 247-258,1985.

66. Салфетников А.И., Хабалов В.В. Особенности поведения информационной матрицы метода взвешенных наименьших квадратов в режиме нормального функционирования объекта оценивания. Естественные и технические науки №1(10), 2004. С. 102-104.

67. Салфетников А.И., Хабалов В.В. Идентификация линейных операций. Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного института точной механики и оптики №6, 2002. С.263-265.

68. Гаджиев Ч.М. Прогнозирование технического состояния динамических систем по обновляющей последовательности фильтра Калмана. Автоматика и телемеханика, №5, 1993. С. 163-168.

69. Гаджиев Ч.М. Проверка обобщенной дисперсии обновляющей последовательности фильтра Калмана в задачах динамического диагностирования. Автоматика и телемеханика, №8, 1994. С. 98-106.

70. Гаджиев Ч.М. Проверка ковариационной матрицы обновляющей последовательности при оперативном контроле фильтра Калмана. Автоматика и телемеханика, №7, 1996. С. 170-179.

71. Q. Xia, М. Rao, Y. Ying, X. Shen. Adaptive fading Kalman filter with an Application. Automatica, Vol.30, No.8, pp. 1333-1338,1994.

72. L. Ozbek, F. Aliev. Comments on "Adaptive fading Kalman filter with an Application". Automatica, Vol.34, No.12, pp. 1663-1664,1998.

73. Нефтеперерабатывающая промышленность. Ред. A.M. Сухотин, Ю.И.Арчаков. Л.: «Химия», 1990.

74. П.Д. Лебедев. Теплообменные, сушильные и холодильные установки. Л.: «Энергия», 1966.1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1

75. В соответствии с (П. 1.2) возьмем первую частную производную от (П.4) по 9:дО

76. Используя (П. 1.5) получим вторую частную производную:1. П. 1.5)1. M^ (Шб)

77. Другими словами, подставив (П. 1.3) в (П.1.2) и взяв частные производные по 9, для информационной матрицы Фишера получим 13.:1. J = EHtN-1H. (П. 1.7)

78. Так как информационная матрица шума неизвестна, удобно предположить, что и делается в методе наименьших квадратов, что шум белый. Тогда обратная информационная матрица помехи N'1 примет следующий вид:1. N'1 =-V, (ПЛ. 8)где а\ дисперсия помехи.

79. С учетом (П. 1.8) окончательно получим информационную матрицу J:

80. J = \ЕНтН. = -\[НТН]. (П.1.9)

81. Символ математического ожидания в (П.1.9) был опущен так как в соответствии с (П. 1.1) вектора регрессоров (р{к0 +i), составляющие матрицу Я, не содержат ошибок.

82. Но, как было указано выше матрица НТН является вырожденной тогда, с учетом (П. 1.9), очевидно, что и информационная матрица Фишера J является вырожденной. Рассмотрим неравенство Рао-Крамера 15.:v.*дв