автореферат диссертации по энергетике, 05.14.02, диссертация на тему:Вероятностное эквивалентирование в задачах надежности электроэнергетических систем

Подстановка полученного выражения, например, в первое уравнение определяет квадратное уравнение относительно ух

ау2х+Ьу х+с=0,

где коэффициенты

Ъ = 7-Х- 7-у ~ СхСу + ЯМ '

с = гхсу-гупу. Решение уравнения не представляет сложности.

Следует заметить, что квадратное относительно вероятностей уравнение приводит к существованию двух корней. Несмотря на то, что оба корня приводят к одинаковому результату, предпочтение следует отдать тому из них, который ближе по значению к составным вероятностям узлов и связей. Один из корней может быть отрицательным. В этом случае предпочтение отдается положительному корню.

Интенсивности отказов эквивалентных ветвей х, у определяются после расчетов qx, qy для невосстанавливаемых или ух, уу - для восстанавливаемых систем. В первом случае система уравнений, соответствующая логическим формулам (1.3) имеет вид:

КЧуь» + = - - дх (Лкк +Л„);

КЧу + ЛуЯф, = в = 4 - Л* - чу (4 + К). где Цщы с^ - вероятности отказов последовательных цепей, состоящих из элементов соответственно х^^и у, к, \у.

В результате решения системы уравнений получаем:

К = -ВЯх)! (Я^Чуы - ЧАУ) ;

Л- = ^ВЧуы -Му)! {ЧфЯуы ~ ЧАу ) ■

46

1.3.2.3. Одностороннее электроснабжение узла второго ранга

Третий вариант электроснабжения восстанавливаемого узла, где питание осуществляется со стороны лишь одного из смежных узлов (Рис. 1.4), рассматривается особо, поскольку здесь не требуется ввод дополнительных ветвей х, у. Показатели надежности узла 1 определяются в результате расчета последовательно-параллельной цепи из последовательных элементов: элемент с результирующими показателями надежности питающего узла а, узел I с собственными параметрами отказов, схема из двух параллельных связей а~ \ и из последовательно соединенных элементов а-р, рр,. р-{. Данная структура описывается логической формулой

Рис. 1.4 Односто- 4 = Ав + Л + + Ак + . (¿-9)

роннее питание.

Так, для показателя ух узла 1 получаем следующую расчетную формулу:

У а/3 + У рр + У

у . — у + у .. + у . -

1 а " аг1 + У + V + V + V

1 + У а, + У ар ^ У рр + У р1

Остальные показатели надежности определяются по аналогии.

1.3.2.4. Совместные отказы Рассмотренные выше вероятностные модели недостаточно полно учитывают события, приводящие к одновременному отказу инцидентных узлов. В то же время в реальных схемах часто встречаются последовательные элементы, отключение которых приводит к нарушению электроснабжения некоторого района электрической сети. Кроме того, сами источники питания характеризуются некоторыми показате-

А

А|/

а

С

В

С

Рис. 1.6. Преобразование "треугольник-зье'АЯД

Формула эквивалентирования должна быть нечувствительной к схеме внешней сети, поэтому выражения для qx, цу, можно получить, исходя из трех режимов работы схемы:

1. Источник питания находится в узле А, сток - в узле В, узел С ненагружен;

2. Источник питания находится в узле А, сток - в узле С, узел В ненагружен;

3. Источник питания находится в узле В, сток - в узле С, узел А ненагружен;

Из этих трех опытов путем эквивалентного преобразования параллельно-последовательных схем можно вывести систему алгебраических уравнений относительно искомых неизвестных:

В правой части а,р,у - используемые далее представления соответствующих арифметических выражений.

Представленная система уравнений имеет ярко выраженный нелинейный характер. Для её решения могут быть использованы методы

Чг ■ {ч, + Чу~ ЧхЧу) = (Р = Ча+ Чс - ЧаЧсУ, (1.12 )

Чу ■ (ч. + Чг~ ЧА г) = (Г = Чъ + Чс - ЧьЧс)-

Расчеты показывают, что погрешность начальных приближений qx, с\г для рассмотренного примера составляет не более 6,5% и будет уменьшаться с уменьшением исходных qa, яс. Итерационный процесс практически можно было ограничить тремя итерациями.

При преобразовании треугольника в звезду более удобно оперировать не с вероятностями отказов элементов, а с вероятностями их безотказной работы р=1-я. Принимая во внимание, что при последовательном соединении перемножаются вероятности безотказной работы, а при параллельном - вероятности отказов, получаем следующую систему алгебраических уравнений:

РаРь = а = Рх + РуРг ~ РхРуРг', РаРс =Р = Рг+ РХРу - РхРуР г I РъРс = У=Ру + РхРг - РхРуР: ■

Умножая первое уравнение на второе и поделив полученное произведение на третье, получаем выражение для квадрата р2а. По аналогии можно вычислить и остальные вероятности:

Ра=&рТг->

Интенсивности отказов ребер эквивалентных графиков (треугольника или звезды) определяются исходя из тех же трёх опытов, которые были положены в основу при построении расчетных выражений для вероятности отказов. Используя формулы для интенсивностей отказов параллельного и последовательного соединений элементов, получаем систему линейных уравнений, связывающую интенсивности отказов ребер треугольника и звезды:

Кчу + + Кчу = Л + 4; (1-17)

+ \чх = 4 +4-

где ЯхУ, Чуг - вероятности последовательного соединения соответственно элементов х, у; х, ъ\ у, г. например, ^ =чх+чу-чхчу.

Следует отметить, что для расчета интенсивностей отказов необходимы вероятности отказов сторон треугольника, поэтому расчет интенсивностей должен следовать за расчетом вероятностей.

В Приложении П 4 рассмотрено обратное преобразование для приведенного выше примера.

В результате преобразования звезды в треугольник в общем случае могут быть получены отрицательные значения интенсивности отказов эквивалентных ветвей, что никак не согласуется с физическим представлением об отказах элементов. Данный факт вызывает негативное отношение инженеров - исследователей к методу эквивалентирования. Однако, большое число реальных расчетов, выполненных автором, показывает, что в процессе дальнейшего эквивалентирования расчетной схемы знак минус устраняется, и несмотря на то, что на промежуточных этапах получаются величины, далёкие от реальных, результирующие показатели надежности близки к истинным.

Положительные интенсивности, как правило, имеют место при эквивалентном преобразовании из треугольника в звезду. Кроме того, здесь упрощается расчетная процедура. Запишем систему (1.17) в виде:

К + Л = а;

где а,р,у - левые части соответствующих уравнений системы.

ратном преобразовании решение имеет вид ( 1.18 ), где А, В, С -левые части уравнений системы (1.24 ).

При ручных расчетах целесообразно считать коэффициенты готовности равными единице (если они действительно близки к единице), а коэффициенты неготовности равными у. В этом случае система приводится к более простому виду:

К(уУ +у2)+Ку*+Кух = К + Л; Ку, + К (ух + г2)+Кгу = Л + К; (1 •25)

Кг г + Кг г + К(Ух + уу) = К+ Дополученная система линейных уравнений по своей структуре эквивалентна (1.17), следовательно, аналогичны и её решения. В частности, при преобразовании из треугольника в звезду решение имеет вид (1.1^ где а,р,у - левые части уравнений (1.25).

Оценивая в целом полученные расчетные выражения с точки зрения их трудоёмкости, следует отметить, что более предпочтительным является преобразование из треугольника в звезду. Здесь решение имеет вид аналитических формул. Преобразование звезды в треугольник связано с итерационными процессами. При сравнении показателей д и у по тем же причинам следует отдать предпочтение у.

1.3.4.Эквивалентные преобразования узлов ранга три и выше

Замена треугольника звездой дает возможность уменьшить ранги узлов исходного треугольника на единицу, но при этом увеличивается число узлов за счет введения дополнительного узла ранга 3. Данная процедура может стать достаточно эффективной, если некоторые узлы треугольника имеют ранг 3, что при последующем понижении ранга по-

нию, а не упрощению расчетной схемы. Поэтому преобразование "треугольник - звезда" или "звезда -треугольник" можно рекомендовать для ручных расчетов, где наглядность расчетной схемы позволяет человеку легче оценивать последствия эквивалентирования. При расчетах на ЭВМ данные преобразования целесообразны лишь для тех частных видов схем, где можно гарантировать дальнейшее упрощение схемы, например для случаев, описанных выше.

1.4. Итерационный метод расчета показателей надежности

Одним из перспективных направлений расчета показателей структурной надежности на ЭВМ является использование итерационных процедур. Трудности в точном аналитическом представлении функциональных связей между показателями надежности сложных схем явились объективной причиной задержки в развитии итерационных методов решения упомянутого класса задач. Ниже приводится один из подходов, позволяющих сформировать рекуррентные соотношения и с их помощью выполнить оценку таких показателей структурной надежности распределительных электрических сетей, как вероятность, интенсивность и относительная длительность отказа узлов. Напомним, что в качестве исходных данных задаются вероятности безотказной работы ветвей ру и узлов р„ графа, интенсивности отказов ц и ?ць математические ожидания (МО) длительностей восстановления Ту и та. Согласно численным значениям X, т вычисляются относительные длительности простоев уу=уЦ Т1 и х,.

Отказу электроснабжения узла [ далее соответствует вероятность интенсивность МО длительности восстановления ть относительная длительность простоев уь

0п = П(**+/уа„);

у=П

- для восстанавливаемых систем

У, =У„ +

п*

НО)

1-Цти)'

У у 1 / И]

(1.28)

где

к

Г„+Г,и

н О)

1 7, У, ■

Условные вероятности интенсивности и относительные длительности простоев у1/к могут быть вычислены по аналогичным формулам при к в соответствии с логическим соотношением:

Однако расчеты сокращаются в объёме, если использовать полученные СЬ, Ьъ у!. При этом расчетные выражения для невосстанавливаемых систем имеют вид:

о „к = я +

= +

О, - д„

</« + Р :л ■ <Л , '

- К - <2г, +

где

Чю = я,к +р,к-<2к,-

Для расчета восстанавливаемых систем следует сохранить численную величину произведения, полученную на этапе определения %

ни) ■

бой через узел {, поэтому неизбежный отказ узла ] связан с одновременным отказом узла к, следовательно, узел БУ„ является одновременно базовым узлом и для к. Аналогичный вывод можно сделать и относительно БУк. Отсюда: данные базовые узлы совпадают, т.е. представляют собой один узел, который является базовым и для узла к. Обозначим для определенности общий базовый узел через р.

Отказ узла г можно разделить на две составные части: событие Ар -отказ по вине связи ИП-р (включая собственный отказ узла (3) и отказ узла / по причине нарушения связи р - { (событие А/р, включающее и собственный отказ узла /). Поскольку при рассмотрении А/р,нельзя выделить причину, из-за которой возможен одновременный отказ узлов <= Гг, то условные события а*„ъ заключающиеся в отказе узла / е Г, при условии отсутствия связи с узлом / и отсутствии отказа в связи с ИП-р, можно считать практически независимыми. В этом случае отказ узла / может быть описан логической формулой

Д = Аи + Ар+\\{АЬ + А* ]Н). (1.29)

Данная формула по своей структуре мало отличается от(1.26) поэтому для её реализации могут быть использованы формулы, полученные для безбазовой модели. Однако исходные и результирующие показатели требуют коррекции из-за наличия последовательной связи ИП-р. В частности, показатели СЬ/у, у*//должны быть заменены на

тому же узлу могут соответствовать различные УБУ. Случай, когда сов падают все УБУ, сводится к монобазовой модели.

процедура эквивалентирования полибазо-

Рис. 1.10. Условные базо- „ „ _

вой структуры к монобазовои. Так, напри-

{ъые узлы " ^ ^

мер, граф на Рис.1.9 приводится к виду (Рис.1.11).

Рассмотрим более детально данную процедуру эквивалентирования. По-существу, она сводится к эквивалентированию последовательно-параллельного соединения к параллельной схеме. Для получения расчетных выражений рассмотрим параллельное подключение элемента х к обобщённому элементу с в исходной схеме (Рис. 1.12) и элемента г к элементу й в эквивалентной схеме (Рис. 1.13).

Наряду с результирующими показателями надежности узла \ требуется определить условные О,/к, и/к, уик- Это можно сделать повторением расчетной процедуры после отбрасывания той или иной связи, что для сильно связанной структуры приводит к большим затратам машинного времени. Существенную экономию времени дает

Г;

Рис. 1.11. Эквивалентный расчетный гра<р

Критерием эквивалентности является равенство результирующих показателей надежности, что выражается логическим уравнением:

А, = Ау + АсАх = АлАг ■

Принимая во внимание, что ал = ас + получаем

Ш у

х

г

Рис. 1.12. Монобазовый граф Рис. 1.13. Безбазовый граф

Вероятность отказа

Чу+(}-Яу)4х=(Яу+РуЧМ

отсюда

Чу +РуЧх

Чу +'РуЯс

условных показателей надежности О^, Ц, ^/¡.Указанные факторы по-

уо го

зволяют предложить упрощение полибазовой модели за счет^то непосредственным условным родителям ставятся в соответствие не УБУ, а абсолютные БУ (АБУ), как в монобазовой модели. Поскольку между условными родителями имеется непосредственная связь через узел ¡, то все УБУ - родители имеют единственного абсолютного прародителя (АБУ). Таким образом, генеалогическое дерево состоит из четырех уровней: ИП- прародитель; прародитель - условные родители; условные родители - узлы из Г,; узлы из П; - узел К Значит, для каждого узла необходимо хранить дополнительную информацию об УБУ, число которых равно числу связей данного узла.

Среди УБУ могут быть одинаковые, а так же УБУ р. Обозначим множество УБУ, отличающихся от р, через б, а подмножество П, для которого УБУ совпадают с р, через к. Тогда условие отказа узла может быть записано в виде:

а = А,+Аабу+11

П (А,+А^) + А

V

■1\(Ак + лкл

(1.33)

к£К

Случай, когда все УБУ, соответствующие П совпадают, сводится к МБМ.

Алгоритм расчета показателей надежности

1. Ввод исходных данных и начальные присвоения.

2. Цепочечное отключение узлов ранга 1.

3. Исключение узлов ранга 2 с эквивалентированием последовательного соединения элементов.

4. Анализ структуры оставшейся части схемы на предмет целесообразности выполнения эквивалентирования "треугольник - звезда", "звезда - треугольник".

5. Начальное определение системы базовых узлов.

6. Идентификация очередного базового узла.

7. Выделение множества Г, узлов, непосредственно связанных с рассматриваемым.

8. Построение генеалогического дерева.

9. Вычисление показателей надежности рассматриваемого узла.

10 Пп. 6-9 выполнить для всех неисключенных узлов.

11. Завершить итерационный процесс, если показатели надежности двух смежных итераций отличаются на величину, меньшую допустимой; в противном случае выполнить пп. 6-10.

12. Выполнить эквивалентирование и получить показатели надежности узлов ранга 2.

13. Вычислить показатели надежности исключенных узлов ранга 1.

14. Закончить процедуру расчета показателей структурной надёжности ненаправленных графов с отказами элементов типа "обрыв".

1.5. Расчет ориентированных графов

Рис. 1.14 Электрическая схема с резервированием

Специфика электроэнергетических систем определяется в основном действием системной автоматики, которая выполняет сложные коммутации схемы в зависимости от режима работы ЭЭС. Так устройство автоматического ввода резерва (АВР) при исчезновении напряжения на шинах включает шиносоедини-тельный выключатель резерв-

ной магистрали. Таким образом, в нормальном режиме, например, секции А и В (Рис. 1.14) не связаны между собой, а при определенной аварийной ситуации соединены. При этом по отношению к потребителю С с точки зрения надежности подстанция 1 ведет себя как система из двух параллельных связей (выключатель ВС включен), в то время как по отношению к узлу Е подстанция считается разомкнутой между узлами А и В (выключатель ВС отключен). Такая неоднозначность функций вынуждает составлять свою расчетную схему для каждого узла ЭЭС, что приводит к большому объему подготовительных трудозатрат и затрат машинного времени на выполнение расчетных работ.

лению погрешностей [61, 13] и в каждом конкретном случае должна быть обоснована по критериям допустимости (Фишера и др.).

Пропускная способность межсистемных связей обычно представляется своим вероятностным рядом. Здесь аппроксимация функции распределения непрерывным распределением просто недопустима, поскольку число состояний связи, как правило, невелико (при одной линии - это два состояния: включена, отключена).

Таким образом, оценка балансовой надежности ЭЭС, работающих в составе объединения, заключается в определении параметров результирующих (с учетом взаимопомощи) функций распределения небаланса мощности при заданных показателях надежности генерирующих агрегатов и вероятностных рядах пропускных способностей межсистемных связей. Алгоритмически расчет балансовой надежности сложной радиальной ОЭЭС разделяется на ряд этапов, основными из которых являются: построение функции распределения небаланса мощности изолированной ЭЭС, учет ограничивающего воздействия межсистемных связей, объединение ЭЭС, определение результирующих ПН. Рассмотрим математические аспекты п