автореферат диссертации по авиационной и ракетно-космической технике, 05.07.09, диссертация на тему:Вероятностно-гарантирующий анализ и оптимизация наведения Солнечного зонда

ргб од

2 1 ДЕ"

На правах рукописи

Тычинский Юрий Дмитриевич

Вероятностно-гарантирующий анализ и оптимизация наведения Солнечного зонда

Специальность 05.07.09 Динамика, баллистика и управление движением ЛА

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 1998

Работа выполнена на кафедре системного анализа и управлен аэрокосмического факультета Московского государственного авиационно института (технического университета).

Научный руководитель - доктор технических наук,

профессор В. В. Малышев.

Официальные оппоненты - доктор технических наук,

профессор Н. М. Иванов;

кандидат технических наук, доцент В. Д. Дишель

Ведущая организация - НПО им. С. А. Лавочкина

Защита состоится «_»_ 199_ года в _ часов на заседай

диссертационного Совета Д 053.18.08 Московского государственного авиационно института по адресу: 125871, Москва, ГСП, Волоколамское шоссе, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МАИ.

Автореферат разослан «_»_199_ года.

Отзыв, заверенный печатью, просим направить в 2-х экземплярах по адре! 125871, Москва, ГСП, Волоколамское шоссе, 4.

Ученый секретарь диссертационного

Совета Д 053.18.08 д. т. н., прр<}>;.

К. А. Карп

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Мировое сообщество ученых определило контактные следования Солнца как одно из наиболее приоритетных направлений следования дальнего космического пространства. В связи с этим, на протяжении 1следних десяти лет ведущие космические агентства мира, такие как РКА, NASA и >А разрабатывают аппараты для полета в ближайшую окрестность Солнца. 1рианты российского космического комплекса для прямых исследований Солнца зрабатываются с 1985 года. В разработке участвуют ведущие отечественные едприятия космической промышленности такие, как НПО им. С.А. Лавочкина, СИ РАН, ЦНИИ МАШ и др. Начиная с 1994 года, исследования ведутся совместно ^IASA в рамках российско-американского проекта «Пламя».

Одной из проблем реализации контактных исследований является обеспечение сокой точности доставки аппарата в корону Солнца. Нарушение точностных гбований может привести к выходу аппарата из строя или потере связи с ним. Для еспечения требуемой точности доставки необходимы коррекции траектории, ебуется определить их оптимальное количество и план. Критерием является тас топлива на борту КА - Солнечного зонда (СЗ).

Из-за большой длительности полета (около четырех лет) на траекторию цественно влияют, накапливаясь интегрально, небольшие, но плохо изученные кторы, такие как ускорения центра масс СЗ, вызываемые несимметричностью ^положения исполнительных органов постоянно действующей системы 1билизации и т. п. Эти ускорения малы настолько, что измерить их невозможно и зется только теоретически оценить их предельные значения. В то же время другие !мущения изучены лучше. Например, статистические характеристики разбросов и корректирующей двигательной установки и т. п. могут быть достаточно точно :нены на испытательных стендах. Таким образом, при анализе наведения СЗ збходимо одновременно учитывать стохастические и ограниченно шределенные возмущения.

Проблема одновременного учета стохастических и ограниченно )пределенных (комбинированных) возмущающих факторов исследуется, фимер, в работах М.Л. Лидова, П.Е. Эльясберга, Б.Ц. Бахшияна, P.P. Назирова,

Богуславского, И.К. Бажинова, В.И. Почукаева, Н.М. Иванова, B.C. Полякова, 5. Малышева, М.Н. Красилыцикова, В.И. Карлова, И.Я. Каца, Н.И. Зонова и др. нструктивные методики учета комбинированных возмущений разработаны 1ько для задачи оценивания параметров движения КА по результатам измерений, я анализа корректируемого движения КА в условиях воздействия «бинированных возмущений требуется разработка соответствующего годического аппарата.

В диссертационной работе рассматривается задача априорного анализа и имизации наведения российского СЗ в рамках международного проекта имя». В силу сказанного выше тема диссертации актуальна потому, что: во-1вых, она посвящена одному из приоритетных направлений исследования мического пространства, во-вторых, точность доставки СЗ в корону Солнца

существенно влияет на успех экспедиции, в-третьих, для решения требует« разработка нового методического аппарата, который представляет самостоятельнь теоретический и практический интерес.

Цель работы заключается в оценке точностных и энергетических показателе качества наведения СЗ в условиях воздействия комбинированных возмущений, также в последующей оптимизации плана коррекций и алгоритма их расче' Критерием оптимальности является запас топлива на коррекции, обеспечивающ1 выполнение точностных ограничений с вероятностью не меньшей заданной.

Методы исследования. Для решения задачи использован обобщеннь минимаксный подход. Используются также методы теорий моделирования управления движением КА, элементы экспериментальной космической баллистик методы математического программирования.

Научная новизна работы заключается в разработке новых эффективш аналитических и численных методик анализа и оптимизации наведен межпланетного КА, учитывающих комбинированные возмущения.

Практическая значимость работы заключается в решении задачи анализа оптимизации наведения российского СЗ, возникшей на этапе НИР международно проекта «Пламя». Результаты решения подтвердили возможность реализац; траектории зонда с требуемой точностью при помощи существующих техническ средств. Другим практическим результатом работы является создание объект ориентированной библиотеки на языке программирования С++ для анализа оптимизации наведения межпланетных КА (библиотека использовалась ; исследования и оптимизации наведения СЗ). Разработки диссертации внедре] также в учебный процесс кафедры 604 Московского государственного авиационно института. Все результаты получены лично автором.

Достоверность результатов подтверждается: численной оценк допустимости линеаризации и дискретизации модели наведения СЗ; строп математическим доказательством впервые используемых утверждений; совпадени результатов с известными решениями для случаев стохастических и ограничен неопределенных возмущений; сравнением результатов анализа и оптимизац наведения российского СЗ с соответствующими результатами, полученны: специалистами NASA для американского СЗ.

На защиту выносятся:

- методика расчета аналитических верхних оценок терминальных показател точности наведения и необходимого запаса топлива на коррекции, а так численной верхней оценки запаса топлива;

- методика учета ограниченно неопределенного непрерывного возмущающе процесса;

- методика учета аддитивных и мультипликативных как продольных, так боковых ошибок исполнения коррекций;

алгоритм численной оптимизации плана коррекций и методика расчет матриц обратной связи между расчетными значениями корректирующих т,:т-,~льсов и результатами предшествующих измерений;

результаты априорного анализа и оптимизации наведения российского СЗ в рамках проекта «Пламя», подтверждающие возможность реализации его траектории с требуемой точностью.

Апробация работы. Методика анализа и оптимизации наведения кпланетного КА, а также результаты анализа и оптимизации наведения сийского СЗ неоднократно обсуждались на международных семинарах с стаем представителей NASA, докладывались на 48-м и 49-м конгрессах ждународной Астронавтической Федерации, ХХП-х всероссийских научных ниях по космонавтике, международной конференции «Бортовые егрированные комплексы и современные проблемы управления», в ИПМ М.В. Келдыша, МГУ им. Ломоносова, НПО им. С.А. Лавочкина.

Публикации. Основное содержание работы отражено в 12-и публикациях, ди которых статьи в журналах «Известия РАН. Теория и системы управления», :стник МАИ», депоненты в ВИНИТИ и тезисы докладов. Результаты работы ши также в 10 научно-технических отчетов по теме РКА «СОЛНЕЧНЫЙ ЗОНД».

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, пючения и списка использованных источников. Основной текст содержит страниц, включая 2 таблицы и 19 рисунков. Список литературы состоит из наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность темы диссертации, ее место среди-тих работ. Дается характеристика выполненной работы и ее краткое содержание.

В главе I формируется математическая модель процесса наведения кпланетного КА и дается математическая постановка задачи.

При формировании математической модели используются некоторые отличия традиционного способа. Причиной этому послужило наличие, наряду со хастическими возмущениями, неопределенных. Последнее обстоятельство чет за собой неопределенность корреляции возмущающих воздействий на тачных участках движения. Поскольку корреляция неопределена, то учесть ее с ющью формирующих фильтров затруднительно. Задача существенно упрощается [ переходе от рекуррентной модели наведения к статической. Однако, при таком еходе необходимо разрабатывать соответствующие алгоритмы управления. В то время, существующие алгоритмы рекуррентного оценивания и управления таточно точны, надежны и удобны для реализации. Их использование крайне ительно с точки зрения преемственности. По этой причине разработана [промиссная модель наведения, которая, с одной стороны, позволяет внительно просто учесть неизвестную корреляцию возмущений, а, с другой роны, - использовать существующие алгоритмы управления.

Д . общем .случае движение КА моделируется с помощью следующей систем] дифференциальных уравнений: .

q(0=/(q(0,«(0,c(0,b,0, te[t0,T]- (1

где q(/) е R?- фазовый вектор, и(/) еЯ"- реализация управляющего воздействш с(/) е Rc - реализация неконтролируемого (возмущающего) процесса, b е Ra неконтролируемые параметры модели, te R - время.

■ Согласно традиционной стратегии управления движением межпланетного К/ до полета рассчитывается его номинальная траектория q (■) для некоторы (номинальных) значений u*(-), с"(<), Ь* На практике программа управления и*(' обычно реализуется ракетой носителем й дополнительными разгонными ступеням* Из-за того, что реальные значения неконтролируемых факторов отличаются о номинальных, а также из-за ошибок исполнения номинальной программ! управления и*(-)> реальная траектория q(-) будет отличаться от номинальной q (■).

Для компенсации отклонения реальной q(-) траектории от номинальной q*(-), процессе движения производят дополнительные управляющие (корректирующие воздействия Аи(-), которые осуществляются с помощью корректирующе; двигательной установки относительно небольшой тяги и массово-габаритны характеристик. Значения этих воздействий определяются- в процессе полета н основе измерений ряда функций, зависящих от параметров реальной траектории Измеряться могут, например, наклонная дальность и радиальная скорость КА относительно наземного измерительного пункта.

В общем случае измеряемые функции можно представить в виде: у( q(/), b, t ) R' х Ré х R Rr. В силу технических ограничений, измерения производятс; дискретно в моменты {Sj, /=1,...,К} и сопровождаются инструментальным] ошибками 8И(5>), поэтому связь результатов измерений у у с реальными значениям! измеряемых функций имеет вид:

y.r y(qfe), Му)-. 5„(л>). ... .

В общем случае корректирующее воздействие рассчитывается на ochobi результатов всех предшествующих измерений:

Ди(/) = Aû(/, ут, yjm,..., у2, yi) + Su(0; (3;

где Дц - расчетное корректирующее воздействие, 8и(/) - инструментальная ошибк; исполнения, j(t) - номер последнего измерения, предшествующего моменту t.

Как показывает практика межпланетных полетов, отклонения действительно! траектории q(-) от номинальной q*(-) таковы, что с точки зрения точносп моделирования допустима , линеаризация модели движения относительно q*(-) Допустимо также и пренебрежение длительностями корректирующих воздействш

u(-) и моделирование последних в виде мгновенных импульсов и, в некоторые оменты времени {z'=l,...,N }.

Реальные факторы представляются в виде суммы их номинальных значений и гклонений: q(-) = q'(-) + Aq(-), u(-) = u*(-) + Au(-), c(-) = c'(-) + Ac(-), b = b*+Ab; равая часть системы (1) раскладывается в ряд Тейлора и опускаются слагаемые горого порядка малости и выше.

При дискретизации модели на сетке {t¡} возникают следующие трудности, зязанные с учетом непрерывного возмущающего процесса Дс(-). Обычно эличество коррекций N составляет две-три, а длительность полета месяцы и годы.

большинстве практических случаев для дискретизация процесса Ас(-) с риемлемой точностью требуется более плотная сетка, число узлов которой эстигает десятки и сотни.

Для решения указанной проблемы, в данной работе вводится дополнительная ;тка { ти, &=1,...,М }, независимо от сеток {?,, z'=l,...,N } и { sj, у=1,...,К }. На этой :тке реализация процесса Дс(-) приближенно представляется в виде кусочно-эстоянной функции (см. рис.1). На рисунке, в качестве примера, изображена трубка )зможных значения Ас(-) для случая, когда процесс является неопределенным.

Реализация неконтролируемого ступенчатого процесса однозначно феделяется последовательностью { Ас/} (Ас/ - высотау-й ступеньки в одномерном [учае). Для удобства учета взаимной корреляции между значениями Дсу и Ас*, на □личных участках а также для упрощения последующих выкладок, величины у вводятся в состав расширенного вектора фазового состояния х,. В состав этого ; вектора входят параметры АЬ:

х, = (AqT(/,), AbT, Ас,т, Ас/,..., Асмт)т, х, е R", n=q + b+ Мс. (4)

Рис. 1 Моделирование неконтролируемого процесса.

Для принятого расширенного фазового вектора модель движения представлена следующем виде:

XI = А« - хс; = + х1+1 = А,- • х,+; 1 = 1...К. (5)

Вводя обозначение В, = А, • I, , можно представить модель (5) в виде, который широко распространен в литературе: х,+] = А,- • х, + В, • и,.

В работе также показывается, что ошибки линеаризации модели (1) можнс учитывать аналогично неконтролируемому процессу Ас(-)-

Модель измерений (2) также линеаризуется относительно номинальной траектории я (■). В рассматриваемом случае коррекции проводятся в моменты { а измерения— в моменты {.£/}. Во многих методах анализа и синтеза корректируемого движения предполагается, что измерения и коррекции производятся на общей сетке {}, поэтому для преемственности методов анализа и синтеза, модель измерений на сетке { Sj} приводится к аналогичной модели, но на сетке {}. Для этого вводятся в рассмотрение совокупные вектора измерений и их ошибок на участках движения /ж):

У' = (У Ут/№2, У\,п))\ 8у' = (5уту^+1, 5ут^+2,..., Ьутт>)\ г = 0...№

Здесь 5уу = 8у(лу) + 8и(.?у) - инструментальная ошибка /-го измерения, 5у(.ьу) -ошибка линеаризации модели измерений (2); - номер последнего измерения, предшествующего г-й коррекции. С учетом принятых обозначений, линеаризованная модель измерений записывается в следующем виде:

у' = Н,-х,+ + 5у', г = 0,...,Ы. (6)

Предполагается, что связь /-го расчетного корректирующего импульса и, с результатами измерений, проведенными на участке Г е [(„, ?,), - линейна, а его реальное значение и, отличается от расчетного на величину ошибки исполнения 6и,:

м

и, = й, + 5и, = £ и- у1 + 5и, /= (7)

/=о

Согласно принятой стратегии наведения, при известных результатах измерений расчетные корректирующие импульсы {и,-, г=1,...,1Я} определяются однозначно, если фиксированы следующие параметры:

ю = {N. /ь Н, .... 'к, /=1, ..., N. у=0,..., 1-1} }, со 6 П; (8)

где П = {со : N < Мтах, е(/0, Т), /,- >//, / >/, г,у =1,...,Ы }■

При фиксированных параметрах стратегии наведения ю, реализация траектории однозначно определяется значением следующих неконтролируемых факторов: Хо, 5у°,...,8у""', 8и,т,...,5иы . Эти факторы сведены в один вектор

§ = ( ХоТ, (5у°)т,..., (8у"-')т, 8и,т,..., 5иыт у

(9)

Возмущения предполагаются гауссовскими, что условно записывается так: Т = пн, О»), где У ~ функция распределения вектора пц- матемап-сческое зжидание и О^ - ковариационная матрица Предполагается, что элементы г<ц и Щ шслючены в известных пределах: т( < < Т>1 <

Информация о распределении вектора \ представима в компакпюм виде:

^€0, где ©={ Л^т^Щ) : т*" < пи < пц, }. (Ю)

Представление (10) описывает широкий ряд гипотез о природе вектора ¡апример, если = ш?=+ и Б» = ф 0, то множество 0 состоит из одного лемента и модель возмущений является стохастической. Если же т{ < пц+ и = = 0, то модель возмущений будет ограниченно неопределенной. Возможны авгже и другие ситуации, например, когда некоторые из возмущений являются ограниченно неопределенными, а другие - стохастическими, или когда ограниченно ^определены коэффициенты корреляции.

Качество наведения КА оценивается по точностным и энергетическому оказателям. Точность реализации траектории характеризуется значением вектора ерминальных параметров р е л', линеаризованная связь которого с фазовым ектором КА на момент окончания движения имеет вид:

Р = Р • Хгм . (11)

Требуемая точность реализации траектории достигается в том случае, когда гктор р принадлежит /-мерныму параллелепипеду П:

реПс]*', П={р: \п\<Р;, Р;>0, з = (12)

В качестве энергетического показателя реализации наведения рассматривается /ммарная характеристическая скорость коррекций:

N Т1п

и = 111,1 + |и,| +...+

Поскольку вектор £ является случайным и его значение априори неизвестно, то возможно априори вычислить значения показателей р = р(ш,4) и и = и(ш,£), ээтому необходимо рассматривать некоторые их свертки на множестве возможных ганений £,. Наиболее точно соответствуют целям наведения КА квантильные и :роятностные показатели.

Успешным исходом наведения считается событие, когда выполняется раничение (12). Требуется, чтобы вероятность этого события была не меньше данного уровня а:

^[р(ю,5)£П] > а.

(13)

Вероятность успешного исхода наведения зависит от значения парам с стратегии наведения ю. Однако, стратегия (7) не учитывает количество (з; топлива- ф на борту КА и допускает неограниченно большие знач корректирующего импульса; в том числе и превосходящие ф. Поэтому успей исходом наведения считается событие 5ф1Ш, когда выполняются ограничени точности (12), а расчетный расход топлива и не превышает имеющегося запаса с

V = ( е П } п { и(ш,£) < <р }.

С учетом сказанного, вместо (13) следует рассматривать ограничение:

«Ч S9№ ) > а.

Поскольку вероятность события 5Ф)Ю зависит от ф, га и 5Р{ 5ф|Ш ) = Р( ф, ш, ? ), то, учитывая неопределенность функции распредел -?"е 0, выполнение условия (14) может оказаться неоднозначным. В таких сл; рассматривают гарантированную вероятность события 5Ф)Ш:

Ргар(ф, ю) = min Р( ф, ©,/■ ), /60

а вместо (14), следующее ограничение: 1 '

^гар(ф,ш) > а.

Если существуют такие ф и со ё Q, для которых выполняется (15), то крит определяется по формуле: . ■ - ■ ■ -

иа(ю) = min { ф : Ргар (ф, со) > а }.

Требуется найти параметры стратегии наведения са* е i2, при которых крит будет минимальным:

<й* = arg min иа(ш). . »

ю е fi

Таким образом, в главе I получена линеаризованная дискретная мо наведения (5)-(7), (9), (10) и сформулирована задача оптимизации (16).

С целью увеличения точности модели введены три независимые сетки дискретизации соответственно корректирующих воздействий, непрерыв возмущающего процесса и измерений. Для преемственности методов анали оптимизации наведения, модель наведения приведена к одной с< соответствующей моментам проведения коррекций. Для полученной модели мс использовать известные решения, которые предназначены для модели наведен одной сеткой, например, - аналитические соотношения для оптималь: среднеквадратического управления по неполным данным и т. п.

Все возмущения (ошибки реализации начального состояния, измерений, полнения коррекций, параметров динамической системы, а также пар^ллры, |делирующие непрерывный возмущающий процесс) сведены в совокупный ктор. Такое представление позволяет в дальнейшем учитывать взаимную рреляцию между различными возмущениями (в том числе и неопределенную), [пример, ошибки исполнения коррекций, производимых в разные моменты емени, могут быть коррелированны между собой. Это также касается змущающего процесса, ошибок измерений и т. д.

Совокупный вектор возмущений считается гауссовским, но элементы его тематического ожидания и ковариационной матрицы ограниченно неопределены. стными случаями такой модели возмущений являются стохастические, эаниченно неопределенные и комбинированные.

Важно отметить, что сформированная модель наведения применима для ализа наведения всех осуществлявшихся до настоящего времени межпланетных летов, а не только для Солнечного зонда.

В главе II рассматривается методика решения задачи оптимизации наведения жпланетного КА. Для решения используется обобщенный минимаксный или верительный подход, согласно которому задача (5)-(7), (9), (10), (16) эквивалентна едующей:

со* = arg min min max u(cö,^); (17)

шей Ее 8 £e£

г через & обозначено семейство всевозможных множеств Е значений Е, ^верительных множеств) таких, что р(са, Е) а П и ¡У (Е) > а при V/eö (здесь (Е) - вероятностная мера множества Е, р(ш, Е) - образ множества Е в пространстве зминальных параметров р).

Решение задачи (17) рассматривается в соответствии с уровнями вложенности экстремальных подзадач. Сначала решается подзадача анализа:

ua(ca) = min max u(co,§); (18)

EeS Е

предположении, что параметры со стратегии наведения фиксированы. После эго - задача внешней оптимизации по о (см. рис.2).

Решение (18) совпадает с решением следующей эквивалентной ей задачи свивалентность доказывается):

u» = min max u'(z); (19)

Эе SS геЭ

е вектор z = (pT, U]T, U2T,..., Unt )т; Ж- семейство всевозможных множеств Э в остранстве значений вектора г таких, что р'(Э) с П и вероятностная мера

множества Э не меньше а. Введенные функции и': К/+тЫ —> Я и р' имеют вид:

:R/4mN->

"'(*)= £.Х*?.т+/+г = *=1,..„/. (2(

Отличие задачи (19) от (18) заключается в том, что в качестве вероятностно] пространства рассматривается не пространство возмущений, а составляюиц вектора г, т. е. пространство точностных показателей и составляют! корректирующих скоростей.

Задача (19) проще (18), поскольку для вычисления показателей качества (20) ] требуются промежуточные вычисления (5)-(7), описывающие динамику процеа наведения КА. Кроме этого размерность вектора г равна 1+тЫ и в практичесю задачах составляет обычно около десяти, в то время, когда размерность вектора равна п+тЫ+гК и может достигать нескольких сотен (см. (9)).

дная задача

пил тах

£е8 Е

и(аЛ)

Задача анализа (т - фиксирован)

иа(ю) = min max и(со,£)

Ееё

Задача оптимиза е> = arg min

шеП

дии

ua((ö)

Рис. 2 Декомпозиция исходной минимаксной задачи на

подзадачу анализа и внешнюю задачу оптимизации.

Для того, чтобы воспользоваться формулой (19) необходимо знать функцию распределения случайного вектора ъ. Поскольку значение г определяется значение а функция 7 распределения Е, определена с точностью до множества 0 (см. (10) то Я также будет принадлежать некоторому множеству 4х.

Линейные зависимости (5)-(7), (9), (11) позволяют получить линейную свя: между векторами г и Так как вектор £ гауссовский, то с учето

линейности полученной связи, вектор г также будет гауссовским, поэтом множество ¥ функций Н. распределения вектора г имеет вид:

Т = { Jf( Z-пц, Z D4 Zt) : т(< m* < т{, Dif < <

(21

При решении (19) внешняя операция минимизации не производилась, а в ачестве доверительного множества Э рассматривалось объединение О всех тлипсоидов равной плотности вероятности с мерой а (неопределенность (21) ункции Н е допускает множество эллипсоидов равной плотности вероятности), ак как множество О может быть не оптимальным, то получаемые оценки эказателей качества являются оценками сверху.

Показано, что модули 12/ [ составляющих вектора ъ на множестве О не эевосходят следующих величин:

г/ = гп}+ г(а)--у[Б]; /=1 ,...,тяЫ+/;

1е г(а) - параметр эллипсоидов равной плотности вероятности с мерой а, , = [ \UrnC)| +г/(шЕ+- т{ )]/2, ц = +ъ;(о{-в{) (г/)т ]/2, -

1 строка матрицы Z, г/- матрица, составленная из модулей элементов матрицы Z^.

Чтобы множество О было доверительным, необходимо выполнение условия (О) с: П. Показано, что это условие выполняется, если имеют место соотношения:

2/< р/, у=1,..„/. (22)

1е р/ - параметры параллелепипеда П (см. (12)). Графическая иллюстрация шючения р'(О) с П для стохастического случая и 1=2, от=Ы=1 представлена на

1с.з.

Рис. 3 Геометрическая интерпретация выполнения точностных ограничений.

Для оценки необходимого запаса характеристической скорости получено отношение:

Квадратные корни в правой части соотношения представляют собой оценю максимальных модулей 1-х корректирующих импульсов. Их геометрическа интерпретация для стохастического случая при т = 2 представлена на рис.4.

Рис.4 Оценка максимальной величины /-го корректирующего импульса.

В оценке (23) для каждой /-й коррекции ищется экстремальное значенш вектора г независимо от остальных. В действительности в полете реализуете* только одно значение г, а не N различных, поэтому оценка (23) завышена.

Более точную оценку запаса топлива можно получить, если искат! экстремальное в смысле максимума функции и'(г) (см. (20)) значение г на всем множестве О, а не на N его проекциях на подпространства составляющих /'-> корректирующих импульсов по отдельности. На основе этой идеи разработав численный алгоритм, который при решении практических задач оказало; соизмеримым по скорости вычислений с аналитическим и на 20^40% точнее последнего.

Численный алгоритм оценки запаса топлива основан на следующем свойстве и'(г') > и'(г") при | г' | > | х" |. Для множества О это означает, что решение лежит ш его границе. Алгоритм сводится к поиску луча е с началом в некоторой точке, лежащей внутри О, для которого значение и'(г(е)) максимально, где г(е) -определяемая аналитически точка пересечения луча с границей доверительного множества. Таким образом, оценка запаса топлива сводится к задаче математического программирования и может быть решена соответствующими методами.

В представленной выше методике анализа наведения КА предполагалось, что все возмущения, в том числе и ошибки исполнения коррекций 8и„ гауссовские с ограниченно неопределенными элементами ковариационной матрицы и математического ожидания. В действительности для межпланетного КА ошибки

полнения 8и,- не являются гауссовскими в силу того, что порождающие ?-гх ошибки стемы управления зависят от величины и направления корректирующего шульса.

Такие ошибки системы управления, как разбросы импульса последействия игательной установки и времени срабатывания автоматики при выключении игателя, разбросы пропорциональной составляющей ошибок акселерометров, шбки возникающие вследствие переходного процесса в системе угловой Абилизации КА, ошибки ориентации КА, традиционно моделируются в виде одольных и боковых, как аддитивных, так и мультипликативных возмущений.

На практике, для учета перечисленных ошибок системы управления пользуется идея метода стохастической линеаризации. Реальные ошибки полнения 5и,- приближенно моделируются гауссовскими, хотя в действительности и не являются таковыми. Критерием подобия является совпадение тематического ожидания и ковариащионной матрицы действительных и /ссовских ошибок. Но такой прием не решает всех проблем потому, что в общем /чае не удается аналитически вычислить точньш значения математического идания и ковариационной матрицы ошибки исполнения, а применение численных годов, основанных на вычислении многомерных вероятностных интегралов, не фективно. В связи с этим, на практике пользуются эвристическими иближенными способами вычисления указанных моментов.

Описанный традиционный способ моделирования ошибок исполнения тользуют в случае стохастических возмущений. Постановка рассматриваемой (ачи наведения допускает не только стохастические возмущения, но и )аниченно неопределенные. В данной работе для учета ошибок исполнения также юльзуется идея метода стохастической линеаризации. Вектора 5и, моделируются 'ссовскими, но их точные математические ожидания и ковариационные матрицы ищутся, а вычисляются пределы, в которых заключены искомые моменты. Далее эеделяются наихудшие значения моментов в найденных пределах по аналогии с /тми рассмотренными ранее возмущениями.

Выше описана методика анализа наведения межпланетного КА для случая, -да параметры со стратегии наведения фиксированы. Эти параметры подлежат ■имизации (см. (17) и рис.2). Формально для оптимизации можно применять годы математического программирования, но при этом возникают следующие )блемы, связанные с их численной реализацией. Во-первых, критерий (16) и аничения (10), (15) нелинейны, во-вторых, количество оптимизируемых >аметров © в практических задачах может достигать сотен и тысяч (из-за (дящих в и матриц обратной связи).

В силу отмеченных трудностей, для оптимизации о используется традиционное

разделение на два подвектора га = ( о со )т, первый из которых определяет и коррекций со 1= {И, /, ; /=1,...,Н}, а составляющими второго = { г=1,...,М, 7=0,..., г-1 } являются элементы матриц обратной связи, эизводится двухуровневый расчет св. На внутреннем уровне определяются

матрицы обратной связи со ь при фиксированном плане коррекций со 4 • На внешн< уровне численно оптимизируется Ю(.

В качестве матриц обратной связи используется эвристическое аналитическ решение, получаемое путем упрощения модели наведения. В частности, упрощенной модели возмущения предполагаются стохастическими, что позволи использовать богатый опыт решения соответствующих задач, могут так использоваться: другой состав возмущений, другие критерии и т. д. Исходная зада управления по неполной информации разделяется на задачу оценки текуще состояния КА и задачу управления на основе этой оценки. Первая из них мож решаться с помощью любого линейного фильтра как рекуррентного, так и полной выборке, например, методом наименьших квадратов. Связь меж расчетным значением корректирующего воздействия и оценкой текущего состоян КА считается линейной. Для расчета соответствующих матриц связи мог использоваться известные решения, например, для задач со среднеквадратичнь критерием, или часто использующийся на практике метод компенсащ прогнозируемых значений корректируемых параметров. Такой способ расче матриц обратной связи обеспечивает преемственность средств и алгоритм наведения КА.

Разработанная методика анализа и оптимизации наведения межпланетных I реализована в виде объектно ориентированной библиотеки на языке С++, описан] которой приводится в отдельном параграфе. Библиотека предоставляет тиг данных (классы) и методы, которые могут использоваться для решен] рассматриваемой задачи. Для переносимости программного обеспечения на разнь платформы в ней используются только стандартные АЫБ1-функции.

Для пользования библиотекой необходимо написать вызывающую программу ряд модулей, конкретизирующих модель наведения, характеристики возмущени показатели качества наведения и т. п. Для ряда предположений, например, кеплеровости номинальной траектории и др. пользователю достаточно написа' только вызывающую программу, в которой определяются необходимые параметр задачи (используются предоставляемые библиотекой типы данных и функции).

Таким образом, в главе II разработана и представлена методика анализа оптимизации наведения межпланетного КА.

Методика основана на впервые сформулированной и доказанной эквивалента« минимаксной задаче. Сформулированная задача обладает теми же преимуществам что и соответствующая задача обобщенного минимаксного подхода. В частност ограниченно неопределенные и стохастические возмущения учитывают! однотипно. Однако, по сравнению с последней, сформулированная задача имеет д] преимущества. Во-первых, исключаются соотношения, описывающие динамш процесса наведения, во-вторых, - существенно уменьшается размерность задачи практических задачах более чем на порядок).

С помощью эквивалентной минимаксной задачи впервые для случ комбинированных возмущений получены аналитические верхние оцет

эминальных показателей точности и необходимого запаса характеристической эрости на коррекции.

Разработана численная методика оценки необходимого запаса рактеристической скорости, сводящаяся к задаче математического ограммирования.

Впервые для случая комбинированных возмущений получены аналитические эхние и нижние оценки для элементов ковариационных матриц ошибок полнения коррекций, которые порождаются продольными и боковыми, как цитивными, так и мультипликативными ошибками системы управления шример, ошибками ориентации КА). В найденных пределах определяются яхудшие значения этих моментов.

Представленная во главе II методика пригодна для исследования наведения актически любого межпланетного КА, оснащенного корректирующей ягательной установкой химической тяги, а не только Солнечного зонда.

В главе III представлено решение задачи оптимизации наведения Солнечного ада на этапе проектных исследований совместного российско-американского эекта «Пламя». Используется методика, разработанная в предыдущих главах. !

Схема полета по проекту «Пламя» представлена на рис. 5. Связка российского и ериканского Солнечных зондов (СЗ) выводится ракетой-носителем «Протон», ¡гонными блоками «Д» и «STAR-48B» на межпланетную траекторию полета к титеру, после чего зонды разводятся и продолжают свой полет независимо. Облет 1 итера российским СЗ производится таким образом, чтобы сформировать :ледующий гелиоцентрический участок траектории с радиусом перигелия-радиусов Солнца (Rs), наклонением к эклиптике - 90°, углом Солнце-СЗ-Земля в мент пролета перигелия - 90°.

Длительность экспедиции: 1331 сут (3,6 г).

Асимптотическая скорость отлета от Земли: 10,6 км/с.

_ Орбита з.

N

/

/Облет Юпитера

американским СЗ 30/4/2005

---Орбита Юпитер3

Рис. 5 Схема полета зондов в корону Солнца по проекту «Пламя».

Сложные тепловые условия и условия радиосвязи при пролете короны Солнц ставят следующие требования к точности реализации траектории российского СЗ н момент достижения перигелия:

r*=10±lRs; i = 90 +1°; т* = т*' ± 1 час; (24

здесь гк - радиус перигелия, i - наклонение к эклиптике, - момент проле: перигелия, хх - номинальный момент пролета перигелия, совпадающий номинальным моментом перигелия американского СЗ.

В качестве исходной модели движения (1) принята следующая систем непрерывных дифференциальных уравнений (фазовый векто q = ( гт Vх )т = (х у z Vx Vy Vz )т, фигурирующий в (1), состоит из составляющи радиуса вектора г и скорости V СЗ в reo-, йови- или гелиоцентрическо эклиптической невращающейся декартовой системе координат в зависимости с того, находится ли СЗ в сферах действия Земли, Юпитера или нет):

Г f = V + 5(/-ui)-r3 - 8(М)з)-г10 + 5(/-и4)-гю;

\ V = -рт/г3 + 5(/-Oi)-V3 + 6(/-u2)-AV - 5(?-и3)-Ую + 5(/-и4)-Ую + с + и; (25

здесь г3, гю, V3, VK) - радиус-векторы и скорости Земли и Юпитера; р гравитационный параметр Земли, Юпитера или Солнца, в зависимости от топ находится ли СЗ в сферах действия Земли, Юпитера или нет; AV- приращени скорости СЗ во время маневра разделения; с = (схсу Czf ~ возмущающее ускорени центра масс СЗ; u = (uxuyuz)T- корректирующее воздействие; = /] - момеи проведения маневра (совмещенного с первой коррекцией), v>2, Оз, и4, - момент: входа и выхода в/из сфер действия Земли и Юпитера; 5 - дельта-функция Дирак; Слагаемые с дельта-функциями моделируют скачкообразные изменения фазовог вектора СЗ в моменты маневра и смены систем координат.

Номинальное значение фазового вектора в момент отделения от разгонног блока (размерности указываются в км и км/с):

q*(f0) = ( 5525 4238 3397 -8.506 11.269 3.956 )т.

После линеаризации и дискретизации (25) получена модель вида (5), в которо расширенный фазовый вектор имеет вид:

х, = (Aqfy) Ацг ДЦю Аре Ar3T(ui) Дгют(и3) Ас,т Ас/... Асмт )т; (26

где {Ас/, у=1 ...М} - трехмерные вектора, моделирующие непрерывны возмущающий процесс (см. рис.1). В результате численного моделирования был выяснено, что достаточная точность модели достигается в случае, если ускорена с(-) дискретизировать с шагом 25 сут на участке траектории Земля-Юпитер и шагом 100 сут на участке Юпитер-Солнце. В этом случае М=30, а размерной вектора х, равна 105.

Во время полета производятся измерения наклонной дальности D и радиальной скорости D СЗ относительно наземного измерительного пункта. Связь измеряемых параметров с параметрами движения следующая:

D= л/(1Ъ-Пт)т- (га-гип) = л/(хсз-Хип)2 + (Уа -Уип)2 + (zc3-z„n)2 ;

здесь гсз> гшь VC3, V„„ - радиус-векторы и скорости СЗ и измерительного пункта в гелиоцентрической эклиптической системе координат.

Для функций (27) получены их производные по составляющим расширенного фазового вектора х,- и модель измерений представлена в виде (6).

Влияние частоты измерений на точность оценки состояния СЗ исследовалось специалистами NASA. Основываясь на этих результатах, а также на опыте отечественных межпланетных, полетов был выбран следующий план измерений. До первой коррекции измерения проводятся ежедневно, во время нахождения СЗ в сфере действия Юпитера - еженедельно, в остальное время - раз в два месяца.

Разбросы учитываемых возмущающих факторов, представлены в табл.1. В таблице приведены утроенные среднеквадратические отклонения, звездочкой помечены ограниченно неопределенные факторы и приведены максимальные отклонения от их номинальных значений. Задержки проведения коррекций моделируют нештатные ситуации.

Таблица 1

Разбросы учитываемых возмущающих факторов

№..Возмущающий фактор:......................................................................Разброс_

1. Ошибка реализации начальных координат СЗ:................................30 км/ось

2. Ошибка реализации начальной скорости СЗ: ..................................15 м/с/ось

3. Ошибка знания гравитационного параметра Солнца: .....................2.7-10 км 3/с2

4. Ошибка знания гравитационного параметра Земли: .......................3 км3/с2

5. Ошибка знания гравитационного параметра Юпитера: .................. 1500 км3/с2

6. Ошибка знания координат Земли: ....................................................30 км/ось

7. Ошибка знания координат Юпитера: ............................................... 1000 км/ось

8. Ошибка измерения наклонной дальности:.......................................20 м

9'. Ошибка измерения радиальной скорости:........................................2 мм/с

10. Продольная аддитивная ошибка исполнения коррекции: ...............0.4 м/с

11. Боковая аддитивная ошибка исполнения коррекции:......................0.4 м/с/ось

12. Продольная мультипликативная ошибка исполнения коррекции:.. 0.001

13. Угловая ошибка ориентации СЗ при коррекции:.............................015°

14. Возмущающее ускорение центра масс СЗ:*......................................±10"9м/с2/ось

15. Возможная задержка исполнения коррекций: ........................;........до 10 сут

Согласно разработанной в главе II методике, для расчета матриц обрат связи может использоваться модель наведения, отличная от модели, применяе; для анализа качества. Предварительные расчеты показали, что в случае, е ошибки 8и, исполнения коррекций не оцениваются в алгоритме обрабо измерительной информации, то требуемая точность наведения не реализуема. Кр этого выяснилось, что если при расчете матриц обратной связи учитыв возмущающее ускорение с шагом 50 сут на участке Земля-Юпитер, а на учас Юпитер-Солнце не учитывать, то показатели качества наведения практически ухудшаются. В связи с этим, при расчете матриц обратной связи использовал модель движения, у которой расширенный фазовый вектор х, отличен от (используемого для оценки показателей качества см. (26)) и имеет вид:

х, = (Аат(Г,) ДЦз Лцю ¿Не Дг3т(о,) Дгют(о3) 5и,т... би„т Дс,т... Асмт )т. С

В этом случае М=14. Размерность вектора х, при трех коррекциях равна 66.

В главе Ш представлены результаты решения и проведен их анализ. Отмечае монотонное убывание эффективности (в смысле энергоемкости) коррекций большей части траектории (рис.6-7). Резкое падение эффективности происходит время гравитационного маневра у Юпитера (см. рис.7, где перийовий- это то1 наибольшего сближения с Юпитером).

Рис. 6 Зависимость предельной Рис. 7 Зависимость предельной величин]

величины первой коррекции второй коррекций от момента

(совмещенной с маневром) от времени ее проведения

момента времени ее проведения. (первая коррекция - на 5-е сут).

После перийовия существенно улучшается точность прогноза движения СЗ. перийовия точность прогноза времени пролета перигелия составляет ±46 (предельное вероятное отклонение для уровня 0.997), а через неделю пос перийовия: ±8 час.

Оптимальный план коррекций включает две коррекции до Юпитера: на 5-е 475-е сут»; полета и одну после- на 620-е сутки. Необходимый заг.

цстеристической скорости составляет 160 м/с, чему соответствует 22 кг топлива разина). Первые две коррекции исправляют координаты и момент времени тета прицельной плоскости Юпитера. Последняя коррекция компенсирует >ко момент времени пролета перигелия.

На рис. 8 представлено изменение необходимого запаса характеристической юсти при вариациях моментов проведения коррекций. Из графиков можно ить вывод о том, что найденный план коррекций является оптимальным, по шей мере, локально. При поиске оптимума перебирались все возможные 1анты расположения коррекций на сетке с шагом не более 30 сут. Это дает >вания полагать, что найденный план является глобально оптимальным.

иа, м/с

'ь сут

1 1 1 1 1

10 20 Рис. 8. а

30

и", м/с! : |

Область нарушения точностных ограничений

® ¡

--------

h, сут

' I 1 I 1 1 1 ' 1

] 600 650 700 750 800

Рис. 8. в

400 440 480 520

Рис. 8. б

Рис. 8 Изменение необходимого запаса характеристической скорости при вариации моментов времени проведения коррекций относительно оптимального плана.

а). Варьируется момент времени проведения первой коррекции;

б). варьируется момент времени проведения второй коррекции;

в), варьируется момент времени проведения третьей коррекции.

Рис. 8 позволяет сделать вывод, что задержка первой коррекции на 10 сут ;одит к наибольшему (15%) увеличению необходимого запаса ктеристической скорости по сравнению с остальными двумя коррекциями.

Проведен анализ влияния каждого из возмущений на показатели качес наведения. О влиянии возмущения можно судить по изменению показателей I обнулении разбросов исследуемого возмущения. Изменение запаса топл представлено на рис. 9. а. Изменение терминальной точности реализш траектории представлено на примере разброса момента времени пролета периге. (рис. 9. б). Разброс координаты £ прицельной плоскости Юпитера (рис. 9. в) д представление о точности пролета Юпитера.

и"? м/с

1,о-гт

0,8

0,6

0,4 Т

0,2

D D r0 V„ цс щ РИС. 9. а

6и

5т, , час

D D г0 у, Ис Из Рис. 9. б

гю 5i

1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0

5i| , тыс. км

D D г<

. V0 Ис Рис. 9. в

6и

Показатели качества: иа- зап

характеристической скорости; 5т„, ошиб реализации времени перигелия и координаты прицельной плоскости Юпитера.

Возмущения: с - возмущ. ускорение; D, I ошибки измерений наклон, дальности радиальн. скорости; г0, V0 - ошибки реализац начальных координат и скорости СЗ; Цс, Из, И» ошибки знания гравитационных параметр Солнца, Земли и Юпитера; г3, гю- ошиб знания координат Земли и Юпитера; 6i ошибки исполнения коррекций.

Рис. 9 Влияние возмущений на показатели качества наведения.

Из рисунка следует, что наибольшее влияние на все рассмотренные показат< качества оказывают ошибки исполнения коррекций. Несколько меньшее влияние все показатели оказывает возмущающее ускорение. Неточность знания коорди: Юпитера заметно влияет на необходимый запас топлива и на точность прол Юпитера, а ошибки выведения - только на запас топлива. Остальные возмущают факторы оказывают незначительное влияние на рассмотренные показатели.

Таким образом, если потребуется улучшить показатели наведения, наибольшего эффекта можно добиться, уменьшая ошибки исполнения коррек! (увеличивая точность системы управления СЗ). Очевидно по этой прич! американские межпланетные КА, начиная с «Galileo», производят коррекц траектории с помощью серии импульсов, а не с помощью одного включе! корректирующей двигательной установки, добиваясь тем самым уменьши мультипликативных составляющих ошибки исполнения (достигаемая оши! исполнения коррекции - менее 0.1 м/с).

с

Улучшить показатели качества можно, уменьшая возмущающее ускорение ггра масс зонда. Этого можно добиться, например, отказавшись от поддержания на пассивных участках траектории в режиме дежурной трехосной стабилизации, результате чего снизится " возмущающее ускорение центра масс зонда, тользование негерметичных отсеков зонда также снизится возмущающее орение, т. к. уменьшается утечка вещества из подсистем СЗ.

Таким образом, в третьей главе .сформирована модель движения Солнечного да, найден оптимальный план коррекций (состоящий из двух коррекций до [итера и одной - после), проанализировано влияние каждого из возмущений на :азатели качества наведения и даны рекомендации для их улучшения. Результаты 1ения подтвердили возможность реализации траектории с требуемой точность [ помощи существующих технических средств. Необходимый; запас актеристической скорости на коррекции составляет 160 м/с.

ВЫВОДЫ

Основные результаты работы следующие: ''

Разработана методика получения аналитических верхних оценок терминальных юказателей точности и необходимого запаса характеристической скорости на соррекции для случая комбинированных возмущений. и .

эазработана численная методика оценки необходимого запаса саракгеристической скорости, сводящаяся к задаче математического грограммирования. Важной особенностью оценок является отсутствие операций юрашения и разложения матриц.

'азработанаметодика учета непрерывного возмущающего процесса. Зозмущающий процесс дискретизируется (параметризируется) на сетке, (езависящей от моментов проведения коррекций и измерений. Параметры, гапроксимирующие реальный процесс вводятся в состав расширенного фазового ;екгора и рассматриваются аналогично ошибкам выведения.

1дя случая комбинированных возмущений получены аналитические верхние и [ижние оценки для элементов ковариационных матриц ошибок исполнения :оррекций, которые порождаются продольными и боковыми, как аддитивными, ак и мультипликативными ошибками системы управления (например, ошибками риентации КА). При анализе наведения определяются наихудшие значения лементов этих матриц в найденных пределах.

>азработана методика анализа и оптимизации наведения межпланетного КА на тапе проектных исследований, которая позволяет учитывать стохастические, граниченно неопределенные и комбинированные возмущения.

Методика анализа и оптимизации наведения межпланетного КА реализована в иде объекгао-ориентированной библиотеки на языке С++.

7. Найден оптимальный план коррекций российского Солнечного зонда в рамка международного проекта «Пламя». План включает две коррекции до Юпитерг на 5-е и 475-е сутки полета и одну после - на 620-е сутки. Необходимый запа характеристической скорости составляет 160 м/с (22 кг гидразина).

8. Проанализировано влияние различных возмущающих факторов на показател качества наведения Солнечного зонда. Даны рекомендации по улучшеки: качества наведения. В частности, наибольшего улучшения всех показателе] качества можно добиться, уменьшая ошибки исполнения коррекций.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Малышев В.В., Тычинский Ю.Д., Усачов В.Е. Анализ и оптимизация наведеш Солнечного зонда с учетом стохастических и неопределенных возмущенш // Известия РАН. Теория и системы управления. Принята к публикации.

2. Малышев В.В., Усачов В.Е., Тычинский Ю.Д. Анализ и оптимизация наведени Солнечного зонда. //Прикладная небесная механика и управление движением Тез. докл. XXII-x научных чтений по космонавтике. -Москва. IM.: Изд-в ИИЕТ РАН, 1998.

3. Малышев В.В., Усачов В.Е., Тычинский Ю.Д. Наведение российског Солнечного зонда в рамках международного проекта «Пламя». //Бортовы интегрированные комплексы и современные проблемы управленш Международная конференция. 8-11 июня, 1998, Ярополец.

4. Малышев В.В., Усачов В.Е., Чуян Р.К., Тычинский Ю.Д., Ганин И.Ю. Системны анализ вариантов космического комплекса для прямых исследований Солнца использованием ЭРД. // Прикладная небесная механика и управление движение!» Тез. докл. ХХП-х научных чтений по космонавтике. -Москва. /М.: Изд-в ИИЕТ РАН, 1998.

5. Рыжов Ю.А., Малышев В.В., Усачов В.Е., Тычинский Ю.Д. и др. Анализ и синте космического комплекса на базе РН «Союз-2» для научно-исследовательског полета в корону Солнца» // Вестник МАИ, 1998, т.5, № 2.

6. Тычинский Ю.Д. Априорный анализ и оптимизация наведения межпланетног КА с учетом ограниченно неопределенных и стохастических возмущений. Деп. ВИНИТИ № 244-В98,30.01.1998 г.

7. Тычинский Ю.Д. Оптимизация стратегии наведения межпланетного КА п проекту «Пламя». Деп. в ВИНИТИ № 3796-В96,25.12.1996 г.

8. Mission to the Sun with Low Thrust. / K.M. Pichkhadse, V.V. Malyshe1 V.E. Usachov, Y.D. Tychinski and others. // First LAA symposium on realistic neaj term advanced scientific space missions. Politécnico di Torino, Torino, Ital; June 25-27,1996.

9. The Guidance Strategy for the Russian Solar Probe within «Fire» Missioi / V.V. Malyshev, V.E. Usachov, Y.D. Tychinski. //48th International Astronautic; Congress, Section A7.07, October 6-10,1997, Turin, Italy.

). The Optimal Flight into the Solar Crown with Electro-Rocket Thrusters. / S.D. Kulikov, V.V. Malyshev, V.E. Usachov, Y.D. Tychinski and others. //49th International Astronautical Congress, Section A4.06, September 28 - October 2, 1998, Melbourne, Australia.

I. The Preliminary Analysis of the Low Cost Mission to the Sun. / V.V. Malyshev, V.E. Usachov, Y.D. Tychinski and others. // 48th International Astronautical Congress, Section A4.07, October 6-10,1997, Turin, Italy.

I. The Solar Probe Guidance Analysis and Optimization. / V.V. Malyshev, V.E. Usachov, Y.D. Tychinski. // 49th International Astronautical Congress, Section A3.06, September 28 - October 2,1998, Melbourne, Australia.