автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Увлечение жидкости движущейся поверхностью

>Г8 ОД

- 5 АПР Î9S3

КИЕВСКИЙ !1НИ0Е1'€И ГЕТ П2ЕШ1 TSPftCft УьВ'ИШКО На правах рукописи s а X то в s р г о я в fi л и газх i р Вохзйзарчвич У/п; 532,62:519.52

"'¿íl'OC'!1! П0пЕР!;;Н!£Тк!';

JH.13.ÎD. - Прмуечен:!" зичаг.пите^ьно:) техники,

ГМ-'-*. ; iriíC '<ГР ;. > ' "'" ';v О !} - г

В ' 'Л<_г1 г.i¡^ - .

fi ¡» т f> р ? ? р и г l'HCrzpi euml I'-' !:0!!ск.?н!!э учрнся стрп>?!'ч ;|,п.э 7 и : : э ~.? Nf а г ä ; ч с ; í ; í -.'лук

f; !( , г . Р93 г.

Работа выполнена в Киевском университете ииенп Тараса Шевченко,

Научный руководитель - доктор Фкзико-цатеиатнческих

наук, профессор Макаров В,Л.

Официальное оппоненты: - доктор технических наук,

профессор Гаращенио Ф.Г.

кандидат физико-математических наук Боденко £.15.

Ведущая организация - Институт электродинамики

1)Н Украина.

Защита состоится " 135£г.

_чзсов

на заседании специализированного еогетэ в Киев-

ском университете имени Тараса Шевченко по адресу: 25212?, г, Киев-12?, пр. «падении? Гяушкогя 6, ^акучнтвт кибернетики,

С диссертаций кояно ознзчвннться в библиотеке Киевского университета им. Торзса Иевченко,

Автореферат разослан "3. " . Ш^г.

УчениС' ':е!'Г'Г'тарь и-Ф.-ч.н.,

г.цвиюш^ч•^•»»по' о мкчта ' ¿/{у & Шк« О

'Обзаз характеристика р¿йоты

Диссертация посвяцена задаче построения математически/! пи-дали процесса увльчениа жидкости ^и^уцзися поверхность!!, ешзли-зу этой задачи и ее численному решения,

Актуальность темы. Во многих технологических процессах требуется покрывать поверхность изделии специальник веществом. Например, при изготовлении кино-Ф&тоиатериалов, магнитных лент, печатних плат для электронных приборов, нанесении покрнтий на проволоку и т.п.. Часто требуемое вецьстсо покивтия растворяет и изделие вытаскивает через раствор. После того как в результате вынимания изделия из раствора [¡.пенка жидкости покрывает его, растворитель испаряют и на поверхности изделия остается рошши слой требуемого вещества. Здесь однпи из наиболее актуальных и ва;-;ннх в практическом отношении является задаче, определения профиля пленки, ос таящейся на поверхности изделий. Так как --пето изделия имепт простую геометрический Форму, например, форму-пластины или кругового цилиндра, то в диссертации рассмотрен» именно задачи увлечения жидкости движущейся лентой н цилиндрон, ¡[ель работ» состоит в построении математических моделей, адекватных процессу увлечения жидкости движущейся поверхностью, их анализу, разработке алгоритмов для реяения получающихся задач и создания соответствующих ни программ.

Научная новизна. В диссертации построены новые модели процесса увлечения жидкости двкздовйся поверхностью. Разработан« алгоритма для численного рвяения получении;; па тематических задач. Созданы программу на языке Фортран 77, реализующие соответствующие алгоритмы и получены численние результаты. Для некоторых дифференциальных уравнений, являвшихся составной частьп модели, доказана теорены об отсутствии реяения. о существовании рспения, о неустойчивости стационарного речения, о характере поведения реаений на бесконзчности.

Иетодн исследования основнваптса на теории обнктвенных дифференциальна-« уравнений, вычислительной математик" и функционального анализа, а тонко на законах механики вязкой гидке.ти.

Обоснованность и практическая значимость, Обчсеотч-ность используеинх моделей подтверзяена хорогеС! гчг.'-чссг-?*? ■ностьа с результатами физически/ зкеперим'чпоп. Гг..ч-гч ли эффективность нспользог-анннх алгоритм."?, п чгм ».»мг.-т.т? ~

ствует прилагаемый к работе акт цкедрениа. Экономический эффект от внедрения составил 107 тис. 365 руб. в 1903 г.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и об-сулдались;

- на семинарах лаборатории математической реологии и фильтрации (рун. проф. Саттарсв Н.Й.) и Отдела прикладных проблем «атекатики (рук. проф. Мухамадиев З.И.) Математического института г БЦ АН Республики Тадяикистан (Дусанбе), кафедры Численных методов математической физики (.рук. проф. Макаров З.Я.) Киевского университета им, Тараса'йевченко:

- на всесоюзных научно-технических конференциях по проблемам изготовления аппаратуры, сг.ецнагначения (Иосква, 1988г.) и неразрувааи.нх методов контроля полимерных изделий (Косква, 1383г. >:

- на ссесокгицх семинарах "Праблека Физико-химических взаимодействий в механике сплошных сред" (Укгород, 1989г.) и "Предсказание к математическое моделирование катастрофических явлений н их последствий (Киев,1991г.):

- на первой невдцнародной конференции по вычислительному моделировании процессов со свободной и движущейся границаки, ССаутгеиптон, 1991г..йнглия).

Структура и объем работ». Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка литературы, вклячавцего 74 наименования и приложения, включает 8 рисунков и 4 таблицы. Общий объем работы - 86 страниц.

Публикации. По теке диссертации опубликовано 6 работ, в которых отрааены основные результаты.

Краткое содержание работы

Во введение приводятся краткий обзор исследований по теме диссертации, анализируются известные математические модели, описывающие процесс увлечения ендкости движущейся пластиной и дается краткое содермание работы по главам.

Б первой главе рассматривается увлечение кидкости двиЕуцей-ся лентой.

В п.1 приведена постановка задачи увлечения кидкости двиву-щейся вертикальной лентой.

Известно, что при кедленнок вытягивании вертикальной ленгк

u„

л /

/ \

/ \

't

Л

у- -/

- а -

(или пластины) из сосуда с жидкостью, смачивающей ее поверх- х мость, на ней остается некоторой слой жидкости. Как правило, по мире удаления от горизонтальной свободной поверхности жидкости эта толщина убывает и далее становится постоянной. Эту толщину называ-ит предельной и задача состоит в тон, чтобы определить ее значение к0 как функции скорости вытягивания и0 ленты и реологических характеристик жидкости (вязкости/и , плотности р , поверхностного ната-яениЕ б ), При этом предполагается, что жидкость ньютоновская, а процесс извлечения происходит изотермически. Так как жидкость течет под влиянием силы тяяеети, то Нв зависит такяе от ускорения силы тяжести д ,

Исходя из известных уравнений погранслоя Прандтля и уравнения Лапласа для определения профиля статического мениска у бесконечной пластины, получена следующая модель, которая описывает в целом профиль свободной поверхности аидкости:

Рис.1.

h(x> =

' ht(X) J X с 0° ,

h (X) , О < X £ ,

>1

К«х>) = hg , h't(СО)* о,

.Эр

(1)

(2)

f" 1 t h'x(0) = - со ,

(3)

(4)

ItW .(II

ilj. = hZC X„);

где хв - точка смыкания решений толаииа, порлетацие определению. па согласно рис.1.

К и h,

г- 0,1,2,3,

(5>

- предельная Здесь система координат еыбра-

- е -

Предполагая существование и единственность решения этой задачи, ножно на?{ти его численными методами, как это описано ниже. Подстановка \j(hltb,0)=- ihL)2 где kx новая независимая переменная, а Н0 параметр, приведет уравнение П) к следующему виду

¿ihaК)- г (3 !f°ckrh-ЫЫАЬ}6>

с условиями

y^ho, ho) ~ С J m

Для уравнения (3) с условием (4) решение выписывается з яв пом виде

hex) = с - сгаг-*>)1/я- ZU2aln[x/cz\izal-xi!1i\l 91 1/2

где С - const, <z капиллярная длина.

Тогда задачу Ci) - (5) ковно свести к реяению следующего нелинейного алгебраического уравнения

ц/коХ) - (К(х0>>г = о,

№шЬ0)-гК.<*.)*о> с3)

&К, Ь(уА™>К))иг + 2 Кс*-0) - о,

относительно hiQ, h0 , х.в . где hi0- толщина профиля свободной поверхности в точке смыкания, h > h0 •

Ясно, что если решение системы (Э) уяо найдено, то из (8) ксяно определить с и тем самым вычислить профиль свободной поверхности для х (г СО, ха1 , а.интегрипование (1) как зада-

f Ci) / сi) *

чу Коши с начальными условиями Пс <л"0>= (_х0) f i= 0,1,2 позволяет найти профиль пленки для х > х0 и тем самым задача в целой окаяе_тся решенной.

Пусть Fix) вектор, компоненты которого тождественно равны левой части равенства (S), а х = (hu>/Ь0 Ха). Ввиду отсутствия теоремы о существовании и единственности решения _систеин (9) был составлен квадратичный фднкционал ?(х)= O.S//F(x.)//J глобальный минимум которого объявлялся искомым решением, если оно приемлемо. Метод поиска минимума будет изложен ниже.

Начальная точка интегрирования не является точкой непрерывности пророй части Сб), эта точка для уравнения (б) является

- ■ ? -

особой. Так как непосредственно кзкмм-лиоо пошаговым ыетодим типа Рунге-Кутта эту систему с точки ht - h0 интегрировать нельзя, то для некоторого £ > О предложено строить решение в вида рыда Тейлора

ydlth0)= aichrhayli.alcht-hD)1+.^ НО)

который сходится в некоторой окрестности точки hi-h0 , как это показано е п.З гл.1.

В п.2 анализируются параметры, определяющие процесс увлечения, приведена сведения об их величине и относительных онибках. В этом параграфе введением некоторых характерных величин и безразмерных переменных уравнения и краевые условия, приведенные в п.1, записаны в безразмерной Форме.

В п.З приведен алгоритм решения задачи увлечения вертикальной лентой.

5 этом параграфе используются безразмерные переменные Н10 , ci , t , которые соответствуют прежним переменным hL0 , kt ,Х0. Пусть и Fix.) имеют тот яз смысл, что ранее, а ком-

понентами вектора х считаются переменные (H^^cAj t) . Таким образом, fix) = OS/fFCx)//* и задача заключается в том, чтобы вычислить min fix).

Минимум fix.) вычислялся следующим образом: бралось некоторое начальное значение хс , близкое к экспериментальным данным , далее на каждом шаге применялся итерационный процесс Ньютона

5и-и" < FcxjfFlxj , п-0,1,2,..., ( И)

если иаг существенно уменьшал значение f CxJ , В противном случае производилось дробление яага 5<п + 1)Ле = + с уменьвением значений Як , к - 0,1,2,.,. до тех пор, пока либо значение нэ унеиьвалось до приемлемого значения, либо совпадал с с некоторой предельной точностью £mivi> О ■ Если имел место первый случай, то опять производился ньютоновский aar, если второй,- то процесс считался завзряениым.

Значения компонент якобиана F (£„), которых надо вычислять на каядом паге, определялись п следуваем порядке. Пчсть Y,. означает обезразиереннув «рднпви» . a Yt = YJ . и ß(Hi)ci) рсть ппязая часть t5>, учнсченпая на Y, /2 . fii^t-npfiuiwr"?»«'«®

- s -

обезразкерениой системы (3) по Hi0 , t даст часть значений компонент F (Хп) , Так как для вычисления F (хп) требувтса еще и значения /7)сс , t=l, 2, то дифференцируя обезраз-

меренное уравнение (6) по об как по параметру, получаем

dHj. ^ и '

с начальники условиями

У3(с<,od) = О, \с<х,ы.) ~ -2(3-6оС2)2П/аг, ИЗ) которые с предыдущим уравнением (6) дают систему дифференциальных уравнений четвертого порядка. Интегрирование этой системы от точки U до И,0 позволяет для кагдого вага алгоритма вычислять значение ( • rRe хл - '¡-0,1,2____

Tai; как точка = и для системы С В). С 7), (12), (13) является особой, то функции У{ , ( i = i ,2,3,4) в окрестности точки Hj (г (Ы.,с(+£.), £ >0 били разложены в ряд Тейлора и интегрирование системы велось от точки HL-<x+E.

В п.4 приведена постановка задачи, увлечения жидкости наклонной лентой. Показано, что профиль свободной поверхности описывается Функцией ht , где hL решение уравнения

/г% = 8, с \сх>, h0) + , (14)

/it(0o) = hoj k^Cco)- о, (15)

ütcht,he)* л

*i№blh0-Ki-£$9casr)/h\ + , (16)

в первой области, и функцией во второй обпасти, параме-

трически определяемой равенствами

X(G) - -rlQ)&i>ny + z(Q)COS# ,

htl9)= Г (в) cos ^ + ZW*»?, П7)

Ц ~ Угол наклона ленты от вертикали, а

г (в) - а (1 + С&лв)1'*

с - некоторая постоянная, О - параметр.

Здесь требуется находить такие значения h0 , & , чтобы

функция hL (х) , являющаяся решением уравнения (14) с условиями (15), и функция h2(x) в некоторой точке хо>0 удовлетворяли бы условиям

/ 1'= (í3)

Подстановка ^chl,h0) - \ преобразует уравнение (14) к

/= /у (2о)

с начальными условиями

y(K,ho) = 0, ¡f'cK^o) - ^ch0) , . (20а)

где С± единственный Естественный корень некоторого кубического уравнения. Тогда условия (19) в переменных hto , А , 9 будут иметь вид ych,olh0)- ct^íQ-^i-o,

¡fiKtyy'dxcA) -¿a+^&ñcisúite-p^o, (2i)

или кратко

FСЯ) = О . (21а)

аналогично п.1 поиск решения последнего нелинейного уравнения^ такие заменен поискон минимума Функционала

В п.5 описан метод репен.ия задачи увлечения жидкости наклонной лентой. Он аналогичен методу, который уке бкл описан вн-ие, в п.З. Отличие этого параграфа от предыдущего состоит в том. что в нем использованы другие переменные, а такие доказанп, что если реиение уравнения (20) с условиями (21а) существует, то оно разлагаотся в ряд Тейлора по степеням ht- hg , который сходится в некоторой окрестности точки и указан его

радиус сходимости,

В п.6 приводятся результаты численных расчетов н виде таблиц к графиков и сравнения с данными физических опытов. Из полученных численных результатов следует, что предложенная модель достаточно хорошо согласуется с экспериментальными данными при

G^IO"^ гдв Q = fJ.u0/Q безразмерный параметр. Например, сравнение между численными результатами и опытом для минерального масла с следующими реологическими характеристиками

10* ь,

о(теср)

О

б

4

3

10* и0

Рис. 2. меняется гораздо

= 980 кг/м3,^ = 0Л6 кг/ы.с, 6 = 0.03*? н/м показывает, что относительное отклонение полученных результатов от опытных для скорости вытягивания меньшей чек и0 = 0.036 м/с не превосходит 10/. и оно убывает с уненыаением и0 , На рис,2 приведен график характерного результата,где параметр Сг изменялся от 2.14-10 до 1,60х хЮ~2 . На практике, при нанесении фоторезиста на подложку, скорость вытягивания подложки обычно имела порядок 0.01 м/с. Для получения заданной толщины Нф целесообразнее всего управлять скоростью вытягивания и0 . Если жидкость такова, что ее вязкость /а меняется в широком интервале при изменении температуры, а коэффициент, поверхностного натякения медленнее, то выгодно также установить и поддержать ту температуру, которая дает необходимое значение & . Кроме того, на практике требуется, чтобы увлекаемый слой имел одинаковую толцину. Из полученных численных результатов следует, что предельная тол-цина устанавливается примерно на расстоянии 2а( а-капиллярная длина) от горизонтальной поверхности яидкости, следовательно, выяе этой точки слой будет иметь требуемое свойство.

Численне эксперименты такве показали, что при уменьввнии скорости вытягивания И0 , ас ней и Q значение приблизает-ся к капиллярной длине <Х , что также подтверждает правильность модели, т.к. если лента не движется и имеет несто полное смачивание , то х0 - а .

Во второй главе рассмотрена задача увлечения яидкости полны круговым вертикальный цилиндром, извлекаемым из сосуда со сиачмвавчсй его хидкостье,

В п.1 анализированы ранее существующие постановки задачи определения предельной толщины пленки.

йкписаны нелинейные дифференциальные уравнения, описнваю-чие свободный профиль видкости в двух характерных областях.

Пчсть , , , , , .2

Н^Х) = <г+к?[г1-к*К-2(г*1г?иг(1+к/г)}/2 Н2гк + к .

Тогда профиль пленки ¡1(Х)~ 8 первой области, в промэ-

путке < со определяется уравнением

k™ = 2[(щА)-kr0Ji0))/a4G(2rak+Йггге fabj]I^az^ ^

(10вилми

hLCOO) - h0) кц(00) = О,

с условиями

...... _ (22а)

где he - предельная толщина, Г0 - радиус цилиндра, а величин« а - капиллярная длина и Сг yse ранее были определены. Во второй области профиль оппснвается уравнением

хУанх'Г)1\ хуссг0+ ¡1гх1+(х')Ч,г) - 2 х/а3 (25)

с краевым условием

эсСоо)=0 (23а)

где х = л: с7гг.) функция, обратная к к(х)~ ¡1гСх1 япя х0.

Решения уравнения (22) и (23) должны сминаться в некоторой

точкехо>0 так, чтобы были выполнены условия . а> /СО

111 (ха) - п2(х0) ^ / ал,2,3. (24)

Пусть /?, . = ТагДа ИРав-

нвние (22) перейдет в слздущуп систему

' (25)

У/ ' <¡1 '

с начальннаи условиями

(25а)

где функция 2Вл(к1) Н0) тождественно равна правой части (22).

Далее в этом параграфе показано, что задача определения профиля км окагется решенной, если найти корень нелинейной алгебраической системы уравнений

кщко,Ь+х"(Ко>г°)№)3= с 28,

2 = о

и > / ,

где значения ас (п10)хо) («=2,3) определяются из уравнения (23) с краевыми условиями

Ь10, Я0'> = я' X ССО; (27 )

При численном решении системы (26) главной проблемой является нахождение решения краевой задачи (23), (2?). Численный метод решения этой задачи описан в п.2.

В этом параграфе использованы безразмерные неременные / = ~(г0+Ьг)/а и и-х/а , где О, и а - радиус цилиндра и капиллярная длина соответственно. Число а^,' в (27) заменено тангенсом некоторого угла ^ . Решаются задачи

и/ЩШ1)1^2 4 и'Л (1+ (и>)*)1/2 = 2 и 128,

с краевыми условиями

у и.их»*0, (28а)

и (О) =0 , и'(Ц0) = (28Ь)

. или

Задача (28),(28а) названа вневней, а ( 28),(28Ь) внутренней, Ясно, что реюение зтих краевых задач зависит от и , так что мокно писать u(t) = у0> . Внешняя задача решена в

два этапа. На первой этапе решалась краевая задача (28),(28а) для некоторых специально подобранных значений [0.008, 6,0]

(г=1,2.....30) при %й=Л/2 и определялись значения ^ { -

Промежуток значений для Щд был выбран, исходя из технологических интересов. Далее по точкам был построен интерполяционный кубический сплайн . На втором этапе для-углов (О, ^) решалось скалярное уравнение

+ =0 ^ (29)

относительно , 0 * Ц * .где через обозначе-

но решение задачи Ком для уравнения (28) с начальными условиями /

ихц)=_ гаО]) , и. (ц) - - <*> . (зо)

Внутренний задачу такае можно решать аналогичным образом, т.!?. для функции = литературе имеется из-

вестное аппроксимирующее внракение,

Рассмотренная вневняя краевая задача ранее была исследована

в работах Вринсенэ X. и ИеАсопл С, Ьайта Д. и Тоаиейй»а Ля., Хъз Ч. н Скриеена Я. Подход, прсдлокочивй я диссертации, отличается от работ уппмянутых агтор"» слсдчяадт: а) осувгствлен* проверка приеалр.яостн пол«ч?ниого прнолияекного рвзекил; Ь> при = ~ н Щ £ 10,006, 0.01 знзчение ревесиа ко лево» крас «овне получить непосредственно по формуле ) ,

внаеуказанний вуОлчвсвлй сплайн со специально подобранна»;! чзла-к н, обсспсчив-эяаий вне окую точность «в предыдущих работах кмрвт-пя только таблиц« некоторых днечений И) (Щ0) с неравпоиерной точность»); с) при (0> решение коаевей задачи сведено ревенип ислинзйчого алгебраического уравнения (е предал"?!« работах использовалась линейная интерполяция табличных значений, точность которой является неудовлетворительной).

В п.З подробно описан метод вычисления составных частей алгоритма глобального поиска решения уравнения (25).

В третьей главе доказан ряд теория, использузиих я диссертации . Первые две теоремы показывают, что ранее использовзвзнг-ся математические ¡¡одели расходятся с фнзичееккки требованиями к ним. В третьей теореме доказывается законность замер:;.' краевых условий на начальные путем понижения порядка дифференциального уравнения. Из теоремы 4 следует, что уравнение (5) имеет хотя бы едко решение, Теореиа 3 эквивалентна утверядекив п том, что решение Н.вИо урагнения (1) неустойчиво.

Теорема 1, Резение уравнения

</"''с*> +Т (31.

обладавшее свойства«!!

= , = ^Чсэ; = О, (32)

,гдеТ><7, ха не существует.

Теорема 2. Если реиениа уравнения (31) при обладавшее

свойствами (32) существует» то необходимо х0 = — со .

Теорема 3. Пусть резеняе уравнения

у "г*) = 2 + сЗос-2 а3)//с*) - 3/уг(х) (зз) 1

где О * оС < , с краевыми условиями

|СсО) = сС , ^ЧоО) = О (34>

существует. Тогда =

Далее рассматривается следующее нелинейное интегральное уравнение

г* &*) .

у(х) = 2 ] и-¿Г Н у0)) , 1ЗЙ ,

где 0<Ы<хз 6, ^ функция такая, что

О < ах $ < г £ &,/?>']. (3б)

Вводится в -рассмотрение множество

к.= уст) = У б с°ы;1в]. (37)

Показано, что К - является непустым, выпуклым, ограниченным и замкнутым множеством банахова пространства непрерывных функций С°£с<^1. а оператор А (Хгу0)) вполне непрерывным на // , Доказана следующая

Теорема 4. Пусть выполнено условие (36). Тогда уравнение (35) на иночестве И имеет по крайней пере одно реиение.

Доказано танке следующее утверждение о неустойчивости нуле вого ремения.

Теорема 5,' Нулевое решение дифференциального уравнения

у'"= 13 , 2 " (38,

с (<х -1-у )3 ^ V »

где О < Ы. < ~ , & > О , тг , неустойчиво,

В заключении приводятся основное результаты диссертации:

1, Построены и исследованы новые математические модели, описывающие процесс увлечения мдкостн двикувейса лентой и прямым круговым цилиндром в случае калах чисел Рейнольдса.

2, /¡оказаны теоремы о существовании, об ограниченных решениях и об. устойчивости некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих свободнув поверхность увлекаемой жидкости.

3, Разработана вычислительные алгоритмы, позволяицие находить профиль свободной поверхности увлекаемой'жидкости.

«

4, Нз основе разработанннх алгоритмов создан» программы на язаке Ф0РТРШ{-7? и покачена числечичс результаты.

5. Проведено сравнение численных результатов с дзнтшп физических опытов и определена граница прписикчости предло*»ш;кх и а т s к а т и1ч е с к « ;; иоде ло и,

8. Разработанная методика расчета била внедрена в практику на предприятии п/я fl-7368 г. Киева.

По теме диссертации опубликованы 5 работ, в которых отражены основные результаты работы.

1. Еахтоваршоев ft.И., Кузьмин, fi,В. Численный иетод рекения задачи нанесений видкой пленки на дсияипи^ся вертикальною ленту. К., 1389, 13с. Дзп. в УкрНИИИТ!! 06.02.83. H 510.

2. Бахтоваршоев ft,8., Биввч П.И, и др. (Ризико-иатемятичес-кач модель ^сриировэшш слоя Фоторезиста на полиаииднвя подлок-кч. //Впкрочлектрппнне устройства, 1983,сер.10, вип. 5( 296 ).

3. Бзхтовэртсев ft.9.. Кузьмин ft.В. 00 однок численном методе реиения зав-rm нанесения кидкой пленки на двкечвдося верти-кзльнуп ленту. //Докл. ПН Тадг.ССР. 1953, т.32, H 10, с.о43-0П2.

4. О^хтовареоев ft,8,. Бидвк й.й. и др. Математическое моделирование некоторых процессов фнзиви полупроводников. К.. l?3t, 72 с. Дон, в ЧкрНЙЙИТЙ 30 .03 .9!., H 1303~'Jk9I .

5. Makarnv U.L., Koînin <i.V., Pakhtowiboev ft.Sh. Hothefa-tic lodelhiig of the process of adhering <?,' the viscous liqoio to д s 1 о ч ! / nithdraua sur fas?. In book: Computational Modelling of Fre;! anri Movinp Poonnarv Ргг-Ызаг, t'K, C!-'P, Southanp*on, 193! ,0,1.

P. Пахf"плряпев fl.'l., Кчзьякн O.P.. !'!аточат'1чг"'чое мояежро рзннр i»iuect>H44 tei'Kiro спор влгппй ir.vncm чк п*сл*каек?я под углчн 1-ct'.oi!--mw) пят: тану, /> . ;; ¡тррг». «ат?катякз. К, : Г"б!'дь, ri-T, ?чп. 7 5. с . "^7- 01 .

Под.". Ii нсч. IG,OI.S3. космат &};/:".oiv -i--::¡. Cv'-c, пета-:». Усл. неч. л. 9,S3. Усл. кр.-oi-r. О,УЗ. Уч.-гьд.л. 0,8. Тяте»« 100 окз. läK. 21. Босп.яч?но.

Стпечтаяо в Институтг «гхемашж ДН Улршггла 252601 Кизы <1. ГСП, ул. Терецеяколскйя, 3