автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Устойчивые явные разностные методы и многочлены Чебышева в задачах гидродинамики

на правах рукописи

Ушаков Константин Викторович

Устойчивые явные разностные методы и многочлены Чебышева в задачах гидродинамики

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва 2009

003460139

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте вычислительной математики РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Лебедев В.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Василевский Ю.В.,

кандидат физико-математических наук, доцент Попов A.B.

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН.

Защита состоится "УЗ »грайрлиА 2009 г. в 15- ч. ЗИ мин. на заседании диссертационного совета Д 002.045.01 в, Учреждении Российской академии наук Институте вычислительной математики РАН по адресу 119333, г. Москва, ул. Губкина, д. 8, ауд. 727.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Института вычислительной математики РАН.

Автореферат разослан " Л. ." января 2009 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д 002.045.01 доктор физико-математических наук

Бочаров Г.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Задами поиска оптимальных б том или ином смысле многочленом часто возникают при анализе и построении численных методов. В теории явных разностных схем для решения нестационарных задач ими являются многочлены перехода от начальных данных к решению в выбранный момент времени. В современных условиях особенно ценным является свойство лёгкой и эффективной распараллеливаемое,™ таких схем. Вместе с тем при их использовании для решения жестких задач математической физики шаги по времени обычно существенно ограничены условием устойчивости, что делает актуальной проблему нахождения многочлена перехода, форма области устойчивости которого наиболее полно соответствует характеру спектра поставленной задачи. Близкие идеи находят применение при построении линейных итерационных методов, когда задача оптимизации сводится к нахождению многочлена перехода, наиболее эффективно подавляющего ошибку. В качестве такого многочлена обычно берётся многочлен, например, чебышев-ский, обладающий некоторыми экстремальными свойствами на множестве, содержащем спектр оператора решаемой задачи. Общими проблемами в этих двух приложениях теории многочленов являются, во-первых, организация вычислений, устойчивых по отношению к ошибкам округления внутри серии шагов метода, реализующей выбранный многочлен перехода, и, во-вторых, получение количественных данных о спектре задачи. Первая из них на сегодняшний день в значительной степени решена с помощью рекурсивных алгоритмов построения устойчивых перестановок параметров. Вторая является гораздо более трудной, сё детальное решение в конкретном случае может оказаться сравнимо по сложности с решением исходной задачи. Однако часто можно дать приближённое описание спектра, исходя из физических или каких-либо иных соображений, и выбрать многочлен перехода, по возможности близко соответствующий этому описанию. При этом выборе бывает очень полезно учитывать также свойства многочленов, связанные с удобством реализации, объёмом требуемых для осуществления шага вычислительных ресурсов, а также возможностью использования данных, полученных на предшествующих шагах. Перспективной темой для исследования является учёт в расчётах эффектов взаимного влияния методов различного назначения, использующих общую идею оптимизации многочленов перехода. Экстремальные свойства многочленов Чебышева также отвечают запросам цифровой фильтрации. Внедрение специальных многочленов от характерных операторов в этом случае позволит рассчитывать на качественную фильтрацию с учётом особенностей источников данных. В качестве приложения исследуе-

мых алгоритмов выбраны задачи гидродинамики. Их решение является важным направлением математического моделирования и требует эффективных численных методов.

Цель работы.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании эффективности и оптимизации применения устойчивых явных разностных схем программы DUMKA, методов с функциями перехода, основанными на чебышевских многочленах, и вихревой формы Громеки-Лэмба в задачах гидродинамики.

Научная новизна.

Основными новыми результатами работы являются:

- исследование эффективности схем программы DUMKA с переменными шагами по времени, ориентированных на расположенный вблизи мнимой оси спектр, в задаче вихреразрешающего моделирования и в сравнении со схемой Адамса-Бэшфорта;

- блочный вариационный метод получения начального приближения при решении уравнения Пуассона для давления, учитывающий характер последовательности временных шагов схемы DUMKA-8;

- метод удвоения устойчивой перестановки итерационных параметров для одношагового чебышевского метода;

- метод неявной операторной чебышевской фильтрации. Все разработанные методы программно реализованы.

Практическая значимость.

Исследованные и программно реализованные в рамках диссертационной работы методы могут быть применены для ускорения расчётов и повышения точности фильтрации при численном моделировании турбулентных течений.

Апробация работы.

Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались на научном семинаре Института вычислительной математики РАН и на следующих конференциях:

- Научные конференции МФТИ (Москва-Долгопрудный, 2004-2006, 2008),

- VIII Международный семинар-совещание "Кубатурные формулы и их приложения" (Улан-Удэ, 2005),

- III Международная конференция "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания" (Обнинск, 2006),

- Международные конференции по информационным технологиям для наук об окружающей среде "CITES" и "ENVIROMIS" (Томск, 2006-2008),

- XVI Всероссийская конференция "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам" (Дюрсо, 2006).

Результаты части работы были представлены в рамках совместного доклада на 14-м Симпозиуме АЕ11 по ядерным реакторам (Финляндия, 2004).

Публикации.

Результаты изложены в 11 печатных работах, из них 2 опубликованы в реферируемом журнале, рекомендованном ВАК РФ для защиты кандидатских диссертаций. Список основных работ приведён в конце автореферата.

Личный вклад автора.

Вклад автора в работы [1] и [3] заключается в совместной разработке алгоритма неявной чсбышевской фильтрации и его программной реализации.

Структура и объём диссертации.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы из 74 наименований, содержит 15 иллюстраций и 1 таблицу. Объём диссертации составляет 110 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается рассматриваемая задача и описывается структура диссертации.

Глава 1 диссертации посвящена теоретическому исследованию проблем оптимизации многочленов перехода в свете решения задач гидродинамики.

Для составления основы рассматриваемых методов приведены базовые сведения о многочленах Чебышева, касающиеся возможных вариантов определения, формул для корней, точек экстремума и композиции многочленов, формулировки экстремальных теорем Чебышева и Маркова. Так, корни многочлена Чебышева степени п первого рода Тп(х), приведённого к отрезку [т, М] действительной оси, задаются формулой

2]к ~ 1

М + т-(М-т) сов^тг' ТЗк 2п

где {]к}, к = 1, ...,п - перестановка чисел от 1 до п.

В данной работе исследование численных методов для решения нестационарных задач ограничено явными разностными схемами по времени, которые обычно легко описываются при помощи многочленов перехода, построенных для линейной задачи

— = -Аи, и|(=0 = щ, (2)

от начального условия к решению на выбранном слое по времени:

идг = Ры{А)щ.

Хк = л, , „, (Л/Г ^ „„„,.;..,■ = > (!)

Для задач, приводящихся линеаризацией и отбрасыванием свободного члена в правой части к виду (2) со спектром оператора А, лежащим на или тесно вблизи мнимой оси (например, расчётов течений с большими числами Рейнольдса) будем использовать явные разностные схемы DUMKA-7 и DUMKA-8 (В.И. Лебедев, ИВМ РАН). Этим схемам соответствует многочлен перехода

P4(z) = 1 -Uz+ (kz)2/2 - (kz)3/6 + {kz)4/24, (3)

область устойчивости которого при суммарном шаге длины k захватывает отрезок мнимой оси Корни многочлена (3) разбивают-

ся на комплексно сопряженные пары, поэтому соответствующие временнйе шаги могут быть реализованы в действительной арифметике. Приведённый устойчивый отрезок мнимой оси является максимально возможным по длине для многочленов перехода степени 4 с действительными коэффициентами вида 1 — kz + az2 + bz3 + cz4, а при увеличении степени многочлена для задач с наличием мнимого спектра увеличение среднего шага ограничено. Поэтому для гидродинамических задач с большими числами Рейнольдса оправдано применение указанных схем, входящих в свободно доступную программу DUMKA.

В рамках диссертационной работы исследуемые численные методы были внедрены в динамическую вихреразрешающую модель течения вязкой несжимаемой жидкости A.B. Глазунова (ИВМ РАН). Для используемой в ней разностной схемы Адамса-Бэшфорта проведён аналогичный анализ области устойчивости. Показано, что эта область касается мнимой оси в нуле. При этом приближённое решение ujv, соответствующее мнимому собственному значению Л оператора А, может расти при малом |А|, как 1 + 7V|A|4/4. Показано также, что в случае наличия действительного спектра использование схемы Адамса-Бэшфорта может приводить к возникновению в решении двухшагового шума. На основании этих результатов можно сделать вывод о нежелательности применения этой схемы напрямую для интегрирования по времени в моделях турбулентности.

Также в первой главе исследуется блочный чебышевский итерационный метод решения уравнения Пуассона для нахождения давления на каждом временном шаге. Записанный для уравнения в "красно-чёрном" виде

-Сг D2) (р2) = (/О ' (4)

G

его шаг представляет собой итерацию Гаусса-Зейделя с поправкой

о2 р1+1/2 = с2Р\^ + /2,

рк2+1=рк2 + аш(рк2+1/2-р*).

Для ошибки е приближённого решения изменение за цикл из N итераций описывается многочленом перехода Р±\- для второго блока неизвестных, так что

N

Mt) = П(1 - $ = PnV - Тт = D^CiD^Ct

(5)

¿=i

Для применяемой в вихреразрешающей модели дискретной записи уравнения Пуассона в диссертации доказано с использованием результатов работ Д. Янга, что оператор I — Т обладает базисом из собственных векторов и его спектр лежит на некотором отрезке действительной оси [д, 1],д > 0.

Пусть с помощью некоторых дополнительных данных получена оценка спектра Бр(/ — Т) £ [гп,М] (например, ш = q, М — 1). Тогда в качестве .Рдг возьмем нормированный в соответствии с первым равенством (5) многочлен Чебышева первого рода, приведённый к отрезку [тп, М]. Этот многочлен наименее отклоняется от нуля на данном отрезке, обеспечивая таким образом наилучшее среди многочленов вида (5) подавление ошибки. Соответствующее отклонение равно

En —

2 а

N

1

T2JV '

где а =

1 - у/m/M 1 + у/m/M'

и уменьшается с ростом И, поэтому имеет смысл использовать достаточно большие итерационные циклы. Итерационные параметры а^ являются величинами, обратными к корням многочлена перехода, вычисляющимся по формуле (1).

Для обеспечения устойчивости этого метода по отношению к ошибкам округления и получения хорошей общей оценки погрешности необходима такая перестановка чисел а^, чтобы величины

rf =

max

te[m,M]

N

Па -ajt)

J=1

= max

t£[m,M]

N

JJ(l-ayi)

j=t+i

— 1), a также ifi SiL 1<1?г? были ограничены постоянными, зависящими только от m/M. Метод получения таких перестановок путём разложения многочлена перехода в произведение дробно-рациональных функций,

зависящих от тригонометрического параметра, в случае N = 2Р3Г предложен в работах В.И. Лебедева и С.А. Финогенова. Его можно упростить, исключив анализ тригонометрических параметров, с помощью следующей доказанной в диссертации леммы.

ЛЕММА 1. Пусть Щ < 1, тогда

Тф) -р _

— ЙцРПСЛ)

2зп(в)-/3

где

_ Тп(х) - Р1 _ Тп(х) - р2 __ тп(х) - р3 М + тп а" Тп{в)-Р1'°п Тп(е)-р2>Сп Тп(0)-рз' м-т'

|Р1,2,з| <1, Р1> 0, Рз < 0, вщп(р2) = -81еп(/3), РЗ<Р2< ри причём

а„<Ьп< сп, |с„| < 1, {спЬ^ < 1.

Основываясь на лемме, сформулируем метод упорядочивания итерационных параметров в виде последовательного разбиения (перед приведением к отрезку [т,М]) многочленов перехода степени щ, кратной трём, вида на множители (многочлены) степени тц/З при р < 0 в порядке сГ(1/з, 6П1/з, аП1/з-Если же в разбиваемом многочлене р > 0, то множители и соответствующие им корни будем брать в порядке Ьщ/3, сП1/3, аП1/3. В диссертации приведён также алгоритм аналогичного разбиения многочленов перехода чётной степени. Осуществляя последовательно эти два алгоритма, мы сможем строить устойчивые перестановки параметров длины N = 2Р3Г, дающие оптимальный по Чебышеву многочлен перехода после промежуточных итераций с номерами 1,2,4,8,..., 2Р, 3 ■ 2Р, 9 • 2Р,3Г2Р.

Дополнительно в диссертации предложен и протестирован следующий приём удвоения длины устойчивой перестановки параметров: если - корень

многочлена Тп(х), то пара корни многочлена Т2„{х). Корень с

минусом определяет итерацию, многочлен перехода которой меньше единицы по модулю на отрезке [ш, М]. Поэтому её будем осуществлять первой в соответствующей паре итераций.

Поскольку первое уравнение из (4) после каждой итерации выполняется точно, в качестве критерия остановки итераций возьмём малость ошибки второго уравнения, разрешенного относительно Соответствующая невязка определяется простой формулой, не требующей дополнительного вычисления каких-либо операторов

гк _ _ <=+1/2 г2 — Рг Рг 1

а для ошибки справедливо неравенство

11411 < на -ТГЧШ <^11411

в некоторой норме || • ||. Выбор в качестве индикатора сходимости нормы ошибки (а не невязки) является желательным, т.к. норма невязки может уменьшаться в процессе счёта не только вследствие сходимости, но и из-за изменения спектрального состава. Определение величины т является сложной задачей, она может быть приближённо решена опытным путём с помощью наблюдения скорости сходимости во вспомогательном численном эксперименте с решением заданного уравнения (4).

Для ускорения сходимости блочного чебышевского метода можно применить один из алгоритмов нахождения начального приближения но результатам предшествующих временных шагов. Мы применим "физический" подход, используя полученную ранее информацию о характере поля давления, не требующую большого объёма памяти.

Если записать уравнение Пуассона на новом слое для поправки к давлению

Д*Р(* + т) = Р(* + т)-.Р(*) = Ф(4 + т)> 8РЦ + т) = Р$ + т)-Р$),

с соответствующими краевыми условиями, то начальное приближение для итерационного поиска + т) можно взять равным а(Ь + т)5Р(£), где коэффициент определить методом Ритца, используя знакоопределёный оператор из уравнения для второго блока неизвестных. Дополнительно учтём, что схема БиМКА-8, реализующая метод Гилла 4-ого порядка, предполагает ис-. пользование нулевых и ненулевых шагов по времени. Определим для каждого из этих двух типов шагов начальное приближение по поправке с предыдущего шага того же типа. Отметим, что можно также использовать метод наименьших квадратов вместо метода Ритца, а в качестве второго базисного вектора взять величину (Пу Ри, имеющую смысл "переноса" давления потоком жидкости.

Глава 2 посвящена основам методологии вихреразрешающего моделирования, описанию численной реализации применяемой модели и проведённых расчётов.

Исследуемые методы были протестированы на примере режима модели, использующего турбулентное замыкание Смагоринского, для задачи моделирования течения несжимаемой жидкости в плоском канале с препятствием в виде прямоугольного цилиндра. В главе описаны способы разностной аппроксимации нелинейных слагаемых в уравнениях Навье-Стокса в различных формах на октаэдральных (смещённых) сетках с постоянными шагами вдоль координатных направлений, предложенных впервые в работах В.И. Лебедева

(в западной литературе - staggered grid). Основное внимание мы уделим вихревой форме (форме Громеки-Лэмба). Её применение наиболее естественно при использовании центральноразностных аппроксимаций но пространству в силу ортогональности на дифференциальном уровне вектора скорости и вектора, составленного из нелинейных членов уравнений Навье-Стокса в вихревой форме. Кроме того она позволяет исключить часть нелинейных членов из проблем замыкания и построения аппроксимации, перенося их в состав обобщённого давления Бернулли. На используемых сетках различные компоненты скорости определены в различных точках, поэтому для вихревой формы используется аппроксимация в дивергентном виде, такая что скалярное произведение вектора скорости на вектор, соответствующий вихревой форме нелинейных членов, можно записать (в обозначениях ~1х', для операторов интерполяции и конечной разности вдоль г-ого координатного направления с шаблоном из двух точек, по повторяющимся индексам производится суммирование) в виде

_ix.

-ix< _ (Siu]1Xim1Xj isjT^'Tr^'^

VARot-32), • = , (6)

где через S2 обозначены ошибки дискретизации второго порядка. В диссертации доказана лемма, характеризующая точность выполнения свойства ортогональности вектору скорости для исследуемой разностной аппроксимации вихревой формы.

ЛЕММА 2. При достаточно гладком поле скорости выражение (6) является малой величиной порядка 0(h2) в каждой внутренней точке области, где h -максимальный из шагов сетки вдоль координатных направлений.

Кроме того для остаточного члена получено явное выражение

да^1*=U (<*» - Ы Ш+о<л<>'

где тензор

Ri. = dui_d_ui

1 dxj dxi состоит из компонент ротора скорости.

Далее в данной главе описаны программа DUMKA и реализация вихрераз-решающей модели в сложной области, включающая вихревую форму нелинейных членов, блочный чебышевский итерационный метод и вычисление улучшенного начального приближения методом Ритца. Предложен вариант задания граничных условий для давления Бернулли. Реализован на языке Фортран с расширением MPI общий параллельный интерфейс для вихрераз-решающей модели и схем DUMKA и Адамса-Бэшфорта (АВ), включающий

ю

использование многомерных массивов с атрибутами TARGET и POINTER. Для оператора левой части (4) в условиях данной реализации модели доказана симметричность и положительная определённость.

При проведении численных экспериментов, поставленных для проверки эффективности исследуемых в работе методов, получены следующие основные результаты:

1) В исследуемой задаче вихреразрешающего моделирования предпочтительными режимами программы DUMKA являются режимы DUMKA-7 и DUMKA-8, ориентированные на мнимый спектр. Они позволяют получить решение, близкое но статистическим характеристикам к решению, полученному с использованием схемы АВ.

2) На стандартном разрешении 288 х 72 х 144 максимальный средний шаг, позволяющий устойчиво считать с помощью схемы DUMKA-8, на 12% превосходит аналогичный шаг схемы АВ. На разрешении 96 х 24 х 48 средний шаг схемы DUMKA-7 на 15% больше шага АВ. При искусственном уменьшении членов замыкания Смагоринского в 10 раз схема DUMKA-8 даёт 27% преимущество в длине среднего шага по сравнению с АВ.

3) В периодическом канале без препятствия и без заданной явно диссипации средний шаг в схеме DUMKA-7 оказался на 70% больше среднего шага в схеме АВ при одинаковой но модулю ошибке сохранения энергии.

4) Разработанный метод получения перестановок итерационных параметров позволяет устойчиво использовать чебышевские многочлены перехода. В расчётах применялись многочлены степени до 648.

5) Введение улучшенного начального приближения в режиме DUMKA-8 на стандартном разрешении позволяет сократить количество итераций для давления в статистически установившемся режиме на 24%. В этом случае существенным оказалось взятие в качестве базисного вектора в методе Ритца поправки к давлению с предыдущего временного шага того же типа (нулевого или ненулевого).

Глава 3 посвящена разработке и тестированию неявных чебышевских операторных фильтров.

После базовых сведений из теории фильтрации и описания явного че-бышевского фильтра приведена конструкция разработанного в диссертации неявного чебышевского фильтра. Пусть выбран некоторый оператор L, обладающий полной системой собственных функций и собственные значения щ которого лежат на отрезке [0,1], 5 > 0, п - порядок фильтра. Определим фильтр и —> uF неявно с помощью уравнения

(Pn(L) + 8Ln)uF = Pn(L)u, (7)

и

где

1=1

а Ьп - п-ая степень оператора Ь. Тогда преобразование коэффициентов в разложении фильтруемого элемента описывается переходной функцией так что

и = иР = Л = 1 +

Задав параметры специальным образом через корни многочлена Чсбышева первого рода степени п, получим переходную функцию, близкую к единице на отрезке пропускания, далее быстро спадающую в соответствии с теоремой Маркова и обладающую чебышсвским альтернантом величины ц на некотором отрезке подавления вида V £ [(1-1-2а)-1,1]. Выбирая оператор Ь, можно осуществлять фильтрацию по различным наборам собственных функций.

Дополнительные приёмы улучшения фильтрации могут заключаться в следующем. Подлежащий фильтрации элемент и представим в виде и — V + ги и подвергнем фильтрации лишь ги. Правильный выбор V позволит добиться того, чтобы частичные суммы в разложении ги но собственным функциям оператора Ь достаточно быстро стремились к своему пределу, что ослабит эффект Гиббса. Например, для и = (щ,.., ит)т, п — 3

1 . . . . т + 1 - 2к

Ук = ^ ("1 +ит + («1 -ит)у{4)1, 4 = —^—,

15 / 2 з . 1

y{z) = — ^ - -з* + -z'j , у(± 1) = ±1, у (±1) = у (±1) = 0.

В случае сильной неоднородности массива и его также можно предварительно разделить на характерную форм-функцию, например, экспоненциальную для задач ядерной физики. В случае возникновения проблем с постановкой неоднородных граничных условий в (7) запишем уравнение для поправки Ф = и — uF с однородными краевыми условиями.

Построенные фильтры реализованы в программе на языке Фортран, выполнен ряд тестов, в том числе с двумерными данными. Проведено сравнение неявных чебышевских фильтров с фильтрами Поттера с использованием результатов H.A. Сальникова и показано, что первые являются более близкими к оптимальным с точки зрения критерия Валле-Пуссена.

В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

- Экспериментально и теоретически исследована эффективность устойчивых явных разностных схем программы БИМКА с переменными шагами но времени, ориентированных на расположенный вблизи мнимой оси спектр, в задаче вихреразрешающего моделирования и в сравнении со схемой Адамса-Бэшфорта.

- Рассмотрен и реализован новый комбинированный итерационный метод получения поправки к обобщённому давлению из уравнения Пуассона, учитывающий характер изменения решений на последовательности временных шагов схем БиМКА-7, Б1ШКА-8, а также сочетающий обобщённый метод Ритца с характерными для задачи базисными функциями и блочный чебы-шевский вариационный метод. Предложена новая модификация алгоритма вычисления параметров в устойчивом блочном чебышевском бесконечно продолжаемом итерационном методе с длиной цикла N — N(r,p) — 3Г2Р.

- Предложена и реализована трёхмерная разностная аппроксимация нелинейного члена уравнений Навье-Стокса на октаэдральных (смещённых) сетках в вихревой форме с заменой классического давления на обобщённое давление Берпулли, имеющая дивергентный вид и ортогональная с точностью не ниже О (К1) сеточному вектору скорости.

- Создан и реализован в программе алгоритм неявной чебышевской фильтрации, в том числе многомерной. Проведённое сравнение с фильтрами Пот-тера показало лучшее соответствие построенных чебышевских фильтров критерию оптимальности Валле-Пуссена.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Лебедев В.И., Ушаков К.В. Явные и неявные чебышевские фильтры и их приложения // Вычислительные технологии. 2006. Т. 11, спецвыпуск. С. 67-75.

2. Ушаков К.В. Явные разностные схемы с переменными шагами по времени в задаче вихреразрешающего моделирования течения несжимаемой жидкости над шероховатой поверхностью // Вычислительные технологии. 2006. Т. 11, спецвыпуск, ч. 2. С. 17-23.

3. Ушаков К.В., Лебедев В.И. Неявные чебышевские фильтры // Труды III Международной конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания", Обнинск, 14-18 мая 2006 года. С. 161-166.

4. Ushakov К. V. Optimization of numerical methods foi large-eddy simulation // International Conference on Environmental Observations, Modeling and Information Systems ENVIROMIS-2008, 28 June - С July 2008, Tomsk, Russia. Abstracts. P. 58.

5. Ушаков К.В. Оптимизация многочленов для вычислительных методов вихреразрешающего моделирования // Труды 51 Научной конференции МФТИ. Москва-Долгопрудный, 2008. Часть VIII. С. 236-239.

Бумага для множительных аппаратов. Печать офсетная.

Формат 60x84/16. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз.

Типография ООО "ФЭД+", Москва, ул. Кедрова, д. 15, тел. 774-26-96

Введение

Глава 1. Многочлены Чебышева и оптимизация численных методов.

1.1. Многочлены Чебышева и их свойства.

1.2. Явные разностные схемы и решение жёстких задач математической физики.

1.2.1. Формулировка явных методов.

1.2.2. Общий анализ явных разностных методов с переменными шагами по времени.

1.2.3. Метод Адамса-Бэшфорта.

1.2.4. Явные разностные схемы для мнимого спектра.

1.3. Блочные чебышсвские итерационные методы.

1.3.1. Чебышевский набор параметров.

1.3.2. Устойчивое упорядочивание итерационных параметров.

1.3.3. Критерий окончания итераций.

1.3.4. Поиск улучшенного начального приближения методом Ритца.

1.4. Выводы по главе 1.

Глава 2. Вихреразрешающая модель, разностные аппроксимации и численные эксперименты.

2.1. Описание модели.

2.2. Разностная аппроксимация уравнений модели.

2.2.1. Вихревая форма записи адвективных слагаемых.

2.3. Программная реализация модели.

2.3.1. Задание расчётной области с помощью логических масок.

2.3.2. Исследование операторов Ca,Da и Т.

2.3.3. Внедрение программы DUMKA.

2.3.4. Распараллеливание.

2.4. Численные эксперименты.

2.5. Выводы по главе 2.

Глава 3. Чебышевские цифровые фильтры

3.1. Явный чебышевский фильтр.

3.2. Алгоритм неявной чебышевской операторной фильтрации.

3.3. Особенности численной реализации неявного чебышевского фильтра.

3.4. О сравнении фильтров.

3.5. Выводы по главе 3.

Настоящая работа посвящена изучению особенностей применения в задачах гидродинамики численных методов, общей особенностью которых является удобная представимость через многочлены перехода. Анализ свойств этих методов, таким образом, сводится к анализу свойств многочленов. Так, при применении явных разностных схем для нестационарных задач математической физики решение на каждом слое по времени в случае линейной правой части представляет собой результат действия некоторого многочлена от оператора правой части на начальное значение решения. Считается [4, 34, 41], что простые тестовые задачи такого типа в достаточной степени отражают с точки зрения устойчивости характеристики того или иного явного метода. Для жёстких задач математической физики именно ограничения на устойчивость, как правило, определяют величину шагов по времени. Поэтому, имея данные о расположении спектра задачи, естественно будет выбрать для её численного решения разностный метод, определяемый многочленом, область устойчивости которого (область комплексной плоскости внутри единичной лемнискаты) содержит в себе этот спектр при как можно большем среднем шаге по времени. В совокупности с возможностью хорошего распараллеливания явных схем это даёт основания ожидать высокой эффективности использования современных вычислительных ресурсов. В данной работе мы ограничимся исследованием именно явных схем.

Близкие идеи находят применение при построении линейных итерационных методов [17, 9], когда задача оптимизации сводится к построению многочлена перехода для серии итераций, наиболее эффективно подавляющего ошибку. В качестве такого многочлена обычно берётся многочлен, обладающий некоторыми экстремальными свойствами на множестве, содержащем спектр оператора решаемой задачи.

Общими проблемами в этих двух областях приложения теории многочленов являются, во-первых, организация вычислений, устойчивых по отношению к ошибкам округления внутри серии шагов метода, реализующей выбранный многочлен перехода, и во-вторых, получение количественных данных о спектре задачи. Первая из них в значительной степени решена с помощью рекурсивных алгоритмов построения устойчивых перестановок параметров [23]-[25], [17]. Вторая является гораздо более трудной, её детальное решение может оказаться сравнимо по сложности с решением исходной задачи. Однако часто можно дать общее описание спектра, исходя из физических или каких-либо иных соображений, и выбрать многочлен перехода, по возможности близко соответствующий этому описанию. При этом выборе бывает очень полезно учитывать также свойства многочленов, касающиеся удобства реализации, объёма требуемых для осуществления шага вычислительных ресурсов, а также возможности использования данных, полученных на предшествующих шагах [48, 49, 50, 72]. Перспективной темой для исследования является учёт в расчётах эффектов взаимного влияния методов различного назначения, использующих общую идею оптимизации многочленов перехода.

Идеи, аналогичные чебышевским итерационным методам, могут с успехом применяться также в цифровой фильтрации [44]. Например, в [16] для сглаживания решения или правой части системы уравнений был использован явный фильтр второго порядка, функция перехода которого обладает свойством альтернанса в области подавления. В [62] для улучшения устойчивости счёта к правой части применялись псевдоразностные операторы, аналогичные исследовавшимся в [38].

Практические задачи гидродинамики, выбранные в качестве области приложения исследуемых методов, являются динамично развивающимся разделом численного моделирования [45]. Их решение осложняется многими факторами, в частности - наличием нелинейных членов. В этом свете представляет интерес вихревая форма записи таких слагаемых (форма Громеки-Лэмба), стабилизирующие свойства которой исследовались, например, в работах [30, 65], а также в [56]. Она позволяет исключить существенную часть нелинейных слагаемых из проблем построения аппроксимации и турбулентного замыкания.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании эффективности и оптимизации применения устойчивых явных разностных схем программы DUMKA, методов с функциями перехода, основанными на че-бышевских многочленах, и вихревой формы Громеки-Лэмба в задачах гидродинамики.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы, включающего 74 наименования.

Основные результаты диссертационной работы

• Экспериментально и теоретически исследована эффективность устойчивых явных разностных схем программы DUMKA с переменными шагами по времени, ориентированных на расположенный вблизи мнимой оси спектр, в задаче вихреразрешающего моделирования и в сравнении со схемой Адамса-Бэшфорта.

• Рассмотрен и реализован новый комбинированный итерационный метод для получения поправки к обобщённому давлению, учитывающий характер изменения решений на последовательности временных шагов схем DUMKA-7, DUMKA-8, а также сочетающий обобщённый метод Ритца с характерными для задачи базисными функциями и блочный чебышевский вариационный метод. Предложена новая модификация алгоритма вычисления параметров в устойчивом блочном чебышевском бесконечно продолжаемом итерационном методе с длиной цикла N = N(r,p) = 3Г2Р.

• Предложена и реализована трёхмерная разностная аппроксимация нелинейного члена уравнений Навье-Стокса на октаэдральных сетках в вихревой форме с заменой классического давления на обобщённое давление Бернулли, имеющая дивергентный вид и ортогональная с точностью не ниже 0(h2) сеточному вектору скорости.

• Создан и реализован в программе алгоритм неявной чебышевской фильтрации, в том числе многомерной. Проведённый анализ показал оптимальность построенных фильтров по сравнению с фильтрами Поттера.

Заключение

Проведено исследование серии проблем, возникающих при применении программы DUMKA и чебышевских методов в вихреразрешающей модели, использующей вихревую форму записи адвективных слагаемых. Предложенные алгоритмы для вихреразрешающих моделей реализованы в программах на языке Фортран для многопроцессорных вычислительных систем. Построены неявные чебышеские фильтры, нашедшие применение в модели общей циркуляции океана.

1. Агошков В.И., Дубовский П.В., Шутяев В.П. Методы решения задач математической физики. М: ИВМ РАН, 2001.

2. Антонов А.С. Параллельное программирование с использованием технологии MPI. М:Изд-во МГУ, 2004

3. Антопыо А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование. М: Радио и связь, 1983.

4. Бахвалов Н.С., Кобельков Г.М., Кузнецов Ю.А., Лебедев В.И., Ли-фанов И.К., Нечепуренко Ю.М., Шайдуров В.В. Численные методы решения задач математической физики. М: Наука, 2005. §3.

5. Богатырёв А.Б. Экстремальные многочлены и римановы поверхности. М: МЦНМО, 2005.

6. Волков К.Н., Емельянов В.Н. Моделирование крупных вихрей в расчетах турбулентных течений. М: Физматлит, 2008.

7. Глазунов А.В. Моделирование нейтрально стратифицированного турбулентного потока воздуха над горизонтальной шероховатой поверхностью // Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 2006, т. 42, № 3, с. 307-325

8. Давыдов А.В. Цифровая обработка сигналов. Курс лекций, http://prodav.narod.rn.

9. Забелин В.В. О свойствах оптимальных с весом трёхчленных итерационных методов и соответствующих им систем многочленов. Дисс. канд. ф.-м. наук. МГУ, 1988.

10. Кацнельсон М.И., Трефилов А.В. Коллективные явления в динамике решётки и механизмы возникновения структурной неустойчивости // Физика металллов и металловед. 1987. Т. 64, № 4. С. 629-642.

11. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейиольдса // Доклады Академии наук СССР, 1941, т. 30, № 4, с. 99-102.

12. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М: Наука, 1970.

13. Ладыженская О.А. О модификациях уравнений Навье-Стокса для больших градиентов скоростей // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1968. N7. С. 126-154.

14. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6: Гидродинамика. М: Наука, 1986.

15. Лебедев В.И. Как решать явными методами жёсткие системы дифференциальных уравнений // Вычислительные процессы и системы, вып. 8. М:Наука, 1991.

16. Лебедев В.И. Явные разностные схемы для решения жестких задач с комплексным или разделимым спектром //ЖВМиМФ.2000.том 40. Nol2.с. 1801-1812

17. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М:Физматлит, 2005.

18. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений, основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики // ЖВМиМФ. 1964. Т.4, N3. С. 449-465

19. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений, основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики // ЖВМиМФ. 1964. Т.4, N4. С. 649-659.

20. Лебедев В.И. О методе сеток для одной системы уравнений в частных производных // Изв. АН СССР, Серия математическая. 1958. Т. 22. С. 717-734.

21. Лебедев В.И., Медовиков А.А. Методы второго порядка точности с переменными шагами по времени // Изв. вузов, математика. 1998. № 9, С. 1-10.

22. Лебедев В.И., Ушаков К.В. Явные и неявные чебышевские фильтры и их приложения // Вычислительные технологии, 2006, Т. 11, Спецвыпуск 3. С. 67-75.

23. Лебедев В.И., Финогепов С.А. О порядке выбора итерационных параметров в чебышевском циклическом итерационном методе // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1971. Т. 11. N2 2. С. 425-438.

24. Лебедев В.И., Финогепов С.А. Решение проблемы упорядочения параметров в чебышевксих итерационных методах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1973. Т. 13. № 1. С. 18-33.

25. Лебедев В.И., Финогенов С.А. Об использовании упорядоченных параметров в чебышевских итерационных методах // Решение проблемы упорядочения параметров в чебышевксих итерационных методах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1976. Т. 16. № 1. С. 896-907.

26. Лебедев В.И. Экстремальные многочлены и методы оптимизации вычислительных алгоритмов // Математический сборник. 2004. Т. 195, № 10. С. 21-66.

27. Лебедев В.И. О нахождении многочленов наилучшего с весом приближения // Математический сборник. 2008. Т.199, № 2.

28. Луценко С.В. Исследование динамики и структуры конвективного пограничного слоя атмосферы при наличии почвенного аэрозоля с помощью вихреразрешающего моделирования. Магистерская диссертация. М: ИВМ РАН, 1999.

29. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М,Л: ГИТТЛ, 1950.

30. Ольшанский М.А. Равномерные по параметру многосеточные и итерационные методы. Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических паук. МГУ, 2006.

31. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. М:Мир, 1991.

32. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М:Наука, 1983.

33. Сальников Н.А. Сравнительный анализ методов околополюсной цифровой фильтрации характеристик для модели циркуляции океана. Бакалаврская диссертация. М: ИВМ РАН, 2008.

34. Самарский А.А. Введение в численные методы. М: Наука, 1987.

35. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М: Наука, 1978.

36. Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т.1,2. М: Наука, 1970.

37. Смирнов В.И., Лебедев Н.А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М:Наука, 1964.

38. Соболев С.JI. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.

39. Ушаков К.В., Лебедев В.И. Неявные чебышевские фильтры // Труды III Международной конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания", Обнинск, 2006.

40. Ушаков К.В. Исследование эффективности устойчивых явных методов при вихреразрешающем моделировании пограничного слоя атмосферы на параллельных вычислительных системах. Магистерская диссертация. ИВМ РАН, 2005.

41. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жёсткие и дифференциально-алгебраические задачи. М: Мир, 1999.

42. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежёсткие задачи. М: Мир, 1990.

43. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. М:Мир, 1986.

44. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры. М.: Недра, 1987.

45. Arakawa A. Lamb V. Computational design of the basic dynamical processes of the ucla general circulation model // Meth. in Сотр. Phys. 1977. V. 17. P. 174-267.

46. Bardina J, Ferziger J.H., Reynolds W.C. Improved subgrid scale models for large-eddy simulation // Am. Inst. Aeronaut. Astronaut., 1980, Paper 80-1357.

47. Chan T.F., Wan W.L. Analysis of projection methods for solving linear systems with multiple right-hand sides // SIAM J. Sci. Comput. 1997. V. 1, N. 6. P. 1698-1721.

48. Erhel J., Guyomarc'h F. An augmented conjugate gradient method for solving consecutive symmetric positive definite linear systems // SIAM J. Matrix Analys. Appl. 2000. V. 2, N. 4. P. 1279-1299.

49. Fiscer P.F. Projection techniques for iterative solution of Ax = b with successive right-hand sides // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 1998. V. 16, N. 1-4. P. 193-204.

50. Berselli L.C., Iliescu Т., Layton W.J. Mathematics of Large Eddy Simulation of Turbulent Flows. // Springer. Series: Scientific Computation. 2006, XVIII, 348 p.

51. Germano M., Piomelli U., Moin P., Cabot W. H. A dynamic subgrid-scale eddy viscosity model // Phys. Fluids. A, 1991, 3, pp. 1760-1765.

52. Ghosal S. An analysis of numerical errors in large-eddy simulations of turbulence. // J. Comput. Phys., 1996, 125, 187-206.

53. Gill S. A process for the step-by-step integration of differential equations in an automatic digital computing machine // Proc. Cambridge philos. soc. 1951. V. 47. P. 95-108.

54. Glazunov A.V., Lykossov V.N. Large-eddy simulation of interaction of ocean and atmospheric boundary layers. Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, vol. 18, No 4, 2003,pp. 279-296

55. Horiuti K. Comparison of conservative and rotational forms in large eddy simulation of turbulent channel flow //J. сотр. phys. 1987. V. 71. P. 343-370.

56. Van der Houwen P.J. Explicit Runge-Kutta Formulas with Increased Stability Boundaries // Num.Math. 1972,V. 20, P. 149-164.

57. Katopodes F.C., Street R.L., Xue M. and Ferziger J.H. Explicit Filtering and Reconstruction Turbulence Modeling for Large-Eddy Simulation of Neutral Boundary Layer Flow. // J. Of The Atm. Sc., 2005, 62, pp. 2058-2076.

58. Lebedev V.I. Explicit difference schemes with variable time steps for solving stiff systems of equations // Lect.Notes in Comput.Sci. 1196. Numer. Analys. and its Applic, Springer, 1997. P.274-283.

59. Lebedev V.I. Explicit difference schemes with variable time steps for solving stiff systems of equations // Sov. J. Numer. Analys. Math. Modelling. 1989. V.4, № 2, P. 111-135.

60. Lebedev V.I. Zolotarev polynomials and extremum problem // Russ. J. Numer. Analys. Math. Modelling. 1994. V.9, № 3, P. 191-314.

61. Lebedev V.I., Loutsenko S.V., Lykossov V.N. Large-eddy simulation of convective boundary layer using explicit difference schemes. Russ. J. Numer. Analys. Math. Modelling, vol. 15, No 1, 2000, pp. 95-110

62. Morinishi Y., Lund T.S., Vasilyev O.V., Moin P. Fully Conservative Higher Order Finite Difference Schemes for Incompressible Flow // J. Сотр. Phys. 1998, V. 143, P. 90-124.

63. Olshanskii M.A., Reusken A. Navier-Stokes equations in rotation form: a robust multigrid solver for the velocity problem // SIAM J.Sci.Comp. 2002. V. 23. P. 1682-1706.

64. Piomelli U.,Scotti A., Balaras E. Large-eddy simulations of turbulent flows, from desktop to supercomputer. Vector and Parallel Processing -VECPAR 2000. Berlin:Springer, 2001

65. Porte-Agel F., Meneveau C., Parlange M.B. A scale-dependent dynamic model for large-eddy simulation: application to a neutral atmospheric boundary layer. //J. Fluid Mech, 2000, v. 415, pp. 261-284.

66. Potter R.W. Compilation of Time Windows and Time Shapes for Fourier Analysis // 02-5952-0705, Hewlett-Packard, 1971.

67. Raymond W.H. High-Order Low-Pass Implicit Tangent Filters for Use in Finite Area Calculations // Mon. Wea. Rev. 1988. V. 116. P. 2132-2141.

68. Sagaut P. Large eddy simulation for incompressible flows. Springer, 2006.

69. Smagorinsky J. General circulation experiments with the primitive equations // Mon. wea. rev. 1963. V. 91, N 3. P. 99-164.

70. Tromeur-Dervout D., Vassilevski Yu. Choice of initial guess in iterative solution of series of systems arising in fluid flow simulations //J. Сотр. Phys, 2006, V. 219, P. 210-227.

71. Verstappen R.W.C.P., Veldman A.E.P. Symmetry-preserving discretization of turbulent flow // Journal of Computational Physics, 2003,. V. 187, P. 343-368.

72. Yoshizawa A. A statistically-derived subgrid model for the large-eddy simulation of turbulence // Phys. Fluids, 1982, V. 25, N 9.стр. 38, строка 4 снизуп>1. V—^у1. Замеченные опечаткинапечатано6