автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Устойчивость систем в распределенными параметрами с запаздывающим аргументом и приложением к исследованию устойчивости упругих колебаний крыла

Министерство науки, высмей школы и технической политики

Казанский ордена Трудового Красного Знамени и ордена Друнбы народов Государственный технический университет им. Я.Н.Туполева (КГТУ),

Г Г 1 0 1 пРавах рукописи

1; ■

ХУЗЯТОВ ШЙФЙК ШАЕХОВИЧ

УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ И ПРИЛОЖЕНИЕМ К ИССЛЕДОВАНИЮ УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ КОЛЕБАНИИ КРЫЛА

Специальность: 05.13.01 - Управление в технических системах

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Казань - 1993

Работа выполнена в Казанском ордена Трудового Красного Знамени и ордена Дружбы Народов Государственной техническом университете им. А.Н,Туполева.

Научный руководитель - Заслуженный деятель науки и техники

РФ и РТ, академик АНТ, доктор технических наук, профессор Т.К.Сиразетдинов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ф.Д.Байрамов, кандидат технических наук, доцент Г.Г.Бильченко.

Ведущее предприятие : Опытно-конструкторское бюро "Сокол".

Защита состоится "<И-" 199>£_ г. в часов

на заседании специализированного совета К.065,043.05 Казанского ордена Трудового Красного Знамени и ордена Дружбы Народов'Государственного технического университета им, А.Н.Туполева, 420ГП, Казань, ул. К.Маркса, д. 10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского технического университета. г

Автореферат разослан "Л?—" -----199^_г.

Нченый секретарь, , специализированного совета ^

кандидат технических наук . {Л.А.Шацилло

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Широкий класс процессов или отдельные звенья обьектов в современной технике достаточно адекватно описываются только дифференциальными уравнениями в частных производных с запаздывающим аргументом. При описании процессов функции содержащие запаздывания (или последействия) обычно появляются из-за запаздываний в обратной связи в управляемых процессах или могут появиться из-за особенностей описываемых процессов. Многие такие процессы описываются системой линейных дифференциальных уравнений в частных производных, часть уравнений которой не содержит производных по времени. Например, уравнение неразрывности несжимаемой жидкости.

Одним из основных методов исследования устойчивости процессов с распределенными параметрами и с запаздывающим аргументом является метод функций Ляпунова. Разработкой метода функций Ляпунова и исследованием вопросов устойчивости систем с распределенными параметрами с запаздывающим аргументом занимались H.H. Красовский, В.Н. Матросов, Б.С. Разумихин, В,В. Румянцев, A.A. Мовчан, Т.К. Сиразетдинов, Г.Л. Дегтярев, П.К. Ванг, Ю.М. Зайцев, П.К. Семенов, Ф.Д. Байрамов, В.Б. Кол-мановский и многие другие исследователи. Но тем не менее исследования устойчивости как систем с распределенными параметрами, так и с запаздывающим аргументом остается актуальной научной проблемой при проектировании современных инженерных обьектов.

Прежде всего следует отметить, что при этом возникает проблема построения функций Ляпунова, удовлетворяющих условиям теорем об устойчивости и исследования их знакооопределеннности, которые в настоящее время недостаточно разработаны, что затрудняет практическое применение метода к решению конкретных инженерных задач. Другой проблемой при исследовании устойчивости систем с запаздыванием является отсутствие простых и в то же время точных методов оценки производных по времени от функций Ляпунова, которые приемлимы для разработки алгоритмов и программ построения области устойчивости в пространстве

параметров.

Таким образом, недостаточная разработанность метода функций Ляпунова для исследования устойчивости таких систем задераивает решение многих прикладных задач, что и обусловило актуальность темы диссертационной работы.

Целью работы является построение критериев знакооопределенности функционалов, разработка эффективных для приложений методов исследования устойчивости систем с распределенными параметрами с запаздывающим аргументом, решение некоторых прикладных задач устойчивости.

Научная новизна заключается в следующем:

1. Доказаны необходимые и достаточные условия знакоопределенности функционалов, построенных в виде интегралов от функций и определенных в различных функциональных пространствах.

2. Получен рекуррентный критерий знакоопределенности интегральных квадратичных форм в случае, когда коэффициенты подынтегральной функции зависят от времени и от пространственных координат. Дан рекуррентный критерий постоянно положительности квадратичных форм.

3. Методом функций Ляпунова получены достаточные условия устойчивости линейных систем с распределенными параметрами с запаздывающим аргументом в случае, когда часть уравнений системы не содержит производных по времени,

4. В случае, когда функция Ляпунова строится в виде интегральной квадратичной формы, предложены методы оценки производной по времени от функций Ляпунова, которые, как показывают примеры, являются достаточно наглядными и более точными, чем методы, предложенные ранее в других работах.

5. Рассмотрены вопросы исследования устойчивости изгибно-крутильных колебаний стреловидного крыла под действием аэродинамических сил, сил упругости и управления, некоторые компоненты которых содержат запаздывающий аргумент.

6. Разработаны алгоритмы и программы построения области устойчивости в пространстве параметров уравнений, описывающих колебания упругого крыла.

Практическая ценность диссертационной работы заключается в том, что разработанные методы исследования устойчивости позволяют конструктивно строить функции Ляпунова, проверять условия

устойчивости по достаточно простым рекуррентным критериям. Использование простых и з то не время точных оценок производной по времени от функции Ляпунова позволяет строить достаточно широкие области устойчивости в пространстве параметров уравнений, описывающих процессы.

С использованием зтих методов получены достаточные условия устойчивости упругих колебаний крыла, разработаны алгоритмы и программы для определения области устойчивости и в частных случаях построены области устойчивости в пространстве параметров.

Поскольку методы исследования устойчивости разработаны для случая произвольной линейной системы дифференциальных уравнений в частных производных с запаздывающим аргументом, то полученные результаты могут быть использованы на предприятиях машиностроения, автомобилестроения, самолетостроения, при проектировании упругих элементов космических летательных аппаратов.

Реализация и внедрение. Результаты диссертационной работы использованы при улучшении динамических характеристик двигателей внутреннего сгорания в НТЦ КамАЗа (г,Наб. Челны), при исследовании колебаний упругих тел и оболочек в институте механики и машиностроения РАН, в учебном процессе в КамПИ, о чем имеются соответствующие акты.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены и обсуждены на 11-й и VI 1-й Республиканских научно-технической конференциях КамАЗ-КамПИ (г.Наб. Челны, 1986 г., 1990 г.), Международной математической конференции "Ляпуновские чтения" (г.Харьков, 1992 г.), научно-технической конференции "Научный потенциал вузов - программе "Конверсия"" (г.Казань, 1993 г.). Отдельные результаты работы были использованы при составлении двух отчетов плановых научно-исследовательских работ, проводимых в АНТ.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликованы 3 научные статьи, 4 тезиса доклада научно-технических конференций, 3 научно-технических отчета.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений, списка литературы из 53 наименования и 7 рисунков. Полный обьем диссертации

составляет страниц.

СОДЕРШАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении даются обоснования актуальности темы, краткий обзор литературы, освящена научная новизна выполненных исследований и практическая значимость полученных результатов.

В первой главе получены необходимые и достаточные условия определенно положительности функционалов, построенных в виде однократных интегралов от функции Ляпунова, В случае, когда подынтегральная функция является квадратичной формой, необходимые и достаточные условия представлены в виде рекуррентных соотношений.

Рассматривается множество = (В) измеримых

вектор-функций у/х) = '), .. . , уп(х))т с равномерным приращением, т.е. удовлетворяющие неравенству:

£ Ц р /у. (Л*) - ч. и"Л < Н (¡=1> я)

где Л - ограниченная односвязная область в евклидовом пространстве /С"1 , М заданное положительное число. Этому классу принадлежат класс равномерно ограниченных функций, класс равностепенно непрерывных функций. Сам класс Ям Щ) принадлежит пространству ¿г(И) суммируемых функций.

Для исследования устойчивости возмущенного процесса вводится мера отклонения процесса.

$ Щ = / ^и/а' * - -

Рассматривается функция такая, что л> О,

х&и, /г* и множество Г»? вектор-функций у(х) е Гц

таких, что функция является суммируемой в Л

при всех 1о .На множестве функций у>(*) введем

функционал:

Ц,I% // = / а о( х

л

Определение 1. Функция

называется определенно

положительной по мере f[f(x)] почти всюду в Л , если для любого положительного числа £ 4 h, h>0 и для всех векторов-функций *f(x) , удовлетворяющих неравенству e^ffyfrj]^ 4 fj, xt U , каким бы малым числом уЧ>0 не задавались, существует число $= Т (£,Ц)>0 такое, что мера множества

= xel7; t] < S}

удовлетворяет неравенству {£)<_/* ПРИ всех t^-ie*

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1, Для определенно положительности функционала [iff{] по мере у f(f] для функций if(x) , принадлежащих классу /у необходимо и достаточно, чтобы функция i] была

определенно положительна по мере f>[<f(x)] почти всюду в Л для всех функций if{x) из области f^lfl ^ R,

Далее рассматривается некоторое множество вектор-функций ipir, sj = (у> (r,s), tfn(je;sj) , заданных на множестве G=l}x£

где S=[-'?> о] . Предположим, что при каждом фиксированном se £ вектор-функция f(x?s) принадлежит классу функций с

равномерным приращением и при каждом фиксированном же Л принадлежит классу /f равностепенно непрерывных функций, т.е. yix,s)e F#x К.

На множестве х К функций y>(x,s) введем функционал с

Vnr [if, l]= j ¡ s)f x,s,ij dx ds

-г Л

Теорема 2. Для определенно положительности функционала l/jy^j по мере f/V"/ для функций (f(x,s)e F&y. К достаточно, чтобы функция х, s, I] была определенно положительна по

мере f [if] почти всюду в Q =■ Цх 3 для всех функций <{(*>*) из области R , Se R>0.

Таким образом, задача исследования знакоопределенности функционалов, построенных в виде интегралов, сводится к исследованию знакоопределенности подынтегральных функций. Рассмотрим случай, когда подынтегральная функция является квадратичной формой, коэффициенты которой являются функциями х и I . Известным критерием знакоопределенности квадратичных форм является критерий Сильвестера. Трудностью или недостатком его в пользовании является необходимость раскрытия'

определителей высокого порядка при увеличении числа переменных квадратичной формы. Здесь предлагается новый рекуррентный критерий знакоопределенности квадратичных форм, который удобен при использовании ЭВМ при проверке знакоопределенности.

Теорема 3. Для определенно положительности квадратичной формы по мере почти всюду в Л

необходимо, а в случае ограниченности элементов =

и достаточно, чтобы существовала половительная почти всюду в Л функция ¡{(х,1) такая, что при всех выполнялись неравенства:

¡7 ^ _

где функции вычисляются по рекуррентным

формулам:

4 -Я См)"*,

К=!

<х> V

и (х, I) = О при С = п ; ¡<1.

Разработаны алгоритмы и программы для проверки знакоопределенности квадратичной формы у по этим

рекуррентным критериям.

Получены аналогичные рекуррентные критерии проверки знакопостоянства квадратичных форм.

Во второй главе исследуется устойчивость процессов, описываемых системой линейных дифференциальных уравнений в частных производных с запаздывающим аргументом следующего вида:

Е (£,(')¥■ + + г+ -о, ¡г>

хе Л , 10,

где <Р=Ч>(х,4) - п-мерный вектор фазовых функций, ф^^Сх^) - ш-мерный вектор фазовых функций, (\к(х), Вк (х), Ек(х) (х)

(k=o,s), Q;(x) (¿=ifi) - матрицы, элементы которых принадлежат классу абсолютно непрерывных функций, Г/ (t-постоянные, характеризующие величину запаздывания аргумента -L.

Граничные условия задаются на некоторой части "ЭД, границы D D области Л в виде:

сL (fix, i} 4f! f(x; i) = О , xehl)„СЪЛ W

где fi = p !ir) - матрицы, элементы которых

непрерывные ограниченные функции времени.

При исследовании устойчивости нулевого решения системы У) - (з) методом функций Ляпунова имеется два различных способа построения функций Ляпунова.

Первый способ построения функций Ляпунова. Для решения вышепоставленной задачи используем функцию Ляпунова в виде интегральной квадратичной формы

Кг/М// =¡^,1) *(х) с1х

и

Вычислим производную в силу (1) - (3)

некоторых преобразований приведем его к виду

¿V, г / _т., 01

и после

где

di *

= VV/?, fjc/r (5)

(6)

и) =z Щ^яМ.ЫА.+ Р<ЕвП*>А.>Ь в/

кч о оск

Здесь Pi и Рг матрицы, которые используются при вычислении производной dVn/d-i для учета системы

уравнений (¿) , которые не содержат производных по времени от фазовых функций.

Согласно теоремы об устойчивости, нулевое решение системы (1) - (5) устойчиво, если функционал Vn Itf] определенно положителен по мере ^[у] и производная dV3/di неположительна на множестве состояний, удовлетворяющих неравенству: 4 Vilfht)] .

Здесь для оценки производной ¿к, /di в силу вышеописанных условий предлагается следующая

Лемма. Билинейная форма угг?Q ifr при условии

допускает следующую оценку:

С использованием этой леммы условие неположительности производной dV-ц/сИ записывается в виде:

у у ¡£ j2 л мах -L^-/—(Ч)

г (rwtf ¿ь-иык*

Макси мум этой функции зависит только от направления вектора if . Поэтому для определения максимума достаточно рассмотреть единичные вектора. При заданных коэффициентах системы (1J; (2) и элементов матрицы tf определение максимума этой функции можно провести численными методами.

Для 'определения области устойчивости в пространстве параметров по оценке (Ч) на языке Turbo Paskal была составлена программа.

При этом размерность пространства параметров считалась произвольной. Локальный максимум (минимум) в оценке 1ч) определялся методом скорейшего спуска, область предполагаемого глобального максимума определялась методом сеток. Время расчета при решении различных задач на машине PC/fiT 5-40 минут. Если использовать экстремальные свойства регулярных пучков квадратичных форм, то оценка (4J представляется в виде:

где ff{(x) I ! - максимальные собственные

числа матриц и)~Чх) и со'Чг) ^ (г) в точке л-е Л .

Заметим, что эта оценка является более удобной в практическом использовании, но несколько грубой оценкой. Как показывают примеры, области устойчивости, построенные с использованием оценки (Ч) ' и (S) шире, чем области, построенные с использованием оценок, предложенных ранее в других работах.

Второй способ построения функций Ляпунова. Для получения достаточных условий устойчивости нулевого решения системы (О - (3) используется функционал:

[у] = Уг(*М(х)1)с1х ± 27 / (9)

Л ¿-г,-Я

Повторяя преобразования, проведенные при вычислении

производной по времени от функционала , получается

М*т ГГ..г., 1 ... -I

№

где СОс = со - 27 и). .

Пусть квадратичная форма уг ^^ ^ определенно

полонительна почти всюду в Л , квадратичные формы 4>ти)/(х■) ¡1 = 1, {) неотрицательны, а квадратичная

форма

/ /

из, % (н)

¿=1 ' /--у ''

>7 ( { + 1) ~ переменных является неотрицательной при всех хеЛ • Тогда выполняется условие теоремы об устойчивости нулевого решения системы (1) -(5).

Для определения области устойчивости в пространстве параметров разработаны алгоритмы и программы. Условие неотрицательности квадратичной формы • •

проверяется по рекуррентным критериям, полученным в главе i

В качестве примера рассмотрена задача исследования устойчивости колебаний мембраны, струны в вязко-упругой среде. Области устойчивости, полученные с использованием функционала' вида У„1(?1 (3) шире, чем области устойчивости, полученные с использованием функционалов вида ^[^(',1)1 (4), Для сравнения эффективности полученных оценок методом функций Ляпунова и методом .77 - разбиений построены области устойчивости нулевого решения дифференциального уравнения

оЦг с11

Область устойчивости, определенная методом функций Ляпунова, приблизительно одинакова с предельной областью устойчивости, определенной методой Л -разбиений при всех запаздываниях 7* . Это говорит о том, что достаточные условия устойчивости,

полученные методом функций Ляпунова, близки с необходимыми условиями устойчивости при всех запаздываниях,

В третьей главе исследуется устойчивость изгибно-крутиль-ных колебаний стреловидного крыла при действии аэродинамических сил, сил упругости и сил воздействия органов управления, некоторые компоненты которых содержат запаздывание. При некоторых предположениях, крыло заменяется эквивалентной балкой, ось которой совпадает с осью жесткости крыла. Изгибно-крутиль-ные колебания крыла рассматриваются как изгиб оси жесткости крыла (/> = у ¿) и закручивания сечений крыла вокруг оси жесткости на угол I) , где 2 - координата

сечения, отсчитываемая от корневого сечения крыла. Тогда, при некоторых допущениях, уравнения изгибно-крутильных колебаний крыла под действием сил упругости, аэродинамических сил и сил воздействия органов управления имеют вид:

№

Здесь м - погонная масса; (> - расстояние от центра тяжести сечения крыла до оси жесткости; - распределенный

момент инерции сечения относительно оси жесткости; Е1ц; £ Зк - же.сткость крыла на изгиб и на кручение; Уа , М« распределенные аэродинамические нагрузки: подьемная сила крыла, момент относительно оси жесткости крыла; !Л - угол отклонения управляющей поверхности крыла; и

задают соответственно распределение управляющих аэродинамических сил и моментов при отклонении органа управления, где г е ¿¿) с [0,4) ; 1у{г) !Л

управляющая сила; И - управляющий момент. Заметим,

что здесь все переменные приведены в безразмерном виде.

При малых значениях деформаций, при использовании гипотезы квазистационарности, аэродинамические силы и моменты представ-

ляится в виде линейных комбинаций от В, ъв/дг,

управляющие силы и моменты представляются в виде линейных комбинаций значений б, 99/91, 2^/91 в момент времени 1-т.

Разрешая систему 02] относительно высших производных повремени З'У/Р/'^, 0л6/д1г и вводя новые переменные

эту систему запишем в виде системы уравнений (1] , (2) . При выполнении этих преобразований введена новая система обозначений коэффициентов уравнений, согласно которой коэффициенты уравнения представлены в виде рядов от расстояния ^ . Эта система обозначений значительно облегчает построение функций Ляпунова, удовлетворяющих условиям теоремы об устойчивости и физическую интерпретацию коэффициентов, входящих в уравнения колебаний и функции Ляпунова.

Используя функционалы вида (4) И (9)

построены функции Ляпунова, удовлетворяющие условиям устойчивости. Из условий представления производной в виде (9) непосредственно определяются некоторые элементы матрицы т}1х.) или выражаются через другие элементы матрицы

\>(х)\ 1}1Ч = г}ч( = = /£1„ , ^-"¿йе/!»

= Дале8( если предполагать

Е-Гь ~ £ X ^з* , то из этих же условий получается = ю , = 1/(6Ук), Заметим, что эти

элементы матрицы и совпадают с коэффициентами

полной энергии консервативной системы, т.е. системы, описываемой уравнениями (12] в случае Уа-Ма ~Ы~0. Остальные элементы матрицы с некоторой степенью

произвольности определяются из условий определенно полоаитель-ности матриц г/ и О .

Используя алгоритмы и программы, разработанные в главе £ ,

для некоторых численных значений параметров крыла и потока построены области устойчивости в пространстве параметров > где /гс, - коэффициент статической устойчивости крыла, ; - параметры, характеризующие структуру управления.

Основные результаты работы :

1, Доказаны необходимые и достаточные условия знакоопределенности функционалов, построенных в виде интегралов от функций и определенных в различных функциональных пространствах,

2, Получен рекуррентный критерий знакоопределенности интегральных квадратичных форм в случае, когда коэффициенты подынтегральной функции зависят от времени и от пространственных координат. Дан рекуррентный критерий постоянно положительности квадратичных форм.

3. Методом функций Ляпунова получены достаточные условия устойчивости линейных систем с распределенными параметрами с запаздывающим аргументом в случае, когда часть уравнений системы не содеряит производных по времени.

4. В случае, когда функция Ляпунова строится в виде интегральной квадратичной формы, предложены методы оценки производной по времени от функции Ляпунова, которые, как показывают примеры, являются достаточно наглядными и более точными, чем методы, предложенные ранее в других работах.

5. Рассмотрены вопросы исследования устойчивости изгибно-крутильных колебаний стреловидного крыла под действием аэродинамических сил, сил упругости и управления, некоторые компоненты которых содержат запаздывающий аргумент.

6, Разработаны алгоритмы и программы построения области устойчивости в пространстве параметров уравнений, описывающих колебания упругого крыла.

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1. Сиразетдинов Т.К., Хузятов И,И. Об устойчивости систем с распределенными параметрами. ПНН.-1993,-т.5?,вып.6.-с,14-21,

2. Сиразетдинов Т.К., Хузятов Ш.1. Необходимые и достаточные условия определенно положительности некоторых функционалов (Часть I) //Автоматика-1993-т.24, N 4.-с.102-110.

3, Сиразетдинов Т.К., Хузятов ffl.ll. Устойчивость многомерных процессов с распределенными параметрами и запаздывающим аргументом (Часть II) //Автоматика-1993.-т,24, N 5.-с.65-74,

4, Сиразетдинов Т.К., Хузятов 1.1. Устойчивость процессов с распределенными параметрами с запаздывающим аргументом, Международная математическая конференция "Ляпуновские чтения": Тез. докл., Харьков, 1992,-с.146,

5, Хузятов Ш.Ш. К устойчивости систем с распределенными параметрами с запаздывающим аргументом. Научно-техническая конференция "Научный потенциал вузов-программе "Конверсия""; Тез. докл., Казань, 1993,-с.82.

6, Хузятов I.I., Саляхиев Ш.Г. Аналитическое построение управления для нагрева тонких тел. Научно-техническая конференция "КамАЗ-КамПИ": Тез, докл., г,Наб.Челны, 1986. - с.205.

7, Хузятов 1.Ш., Байрамов Ф.Д. К устойчивости систем с распределенными параметрами. Научно-техническая конференция "КамАЗ-КамПИ", Тез. докл., г.Наб.Челны, 1990.-с.315,