автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Устойчивость по Ляпунову механических систем, описываемых дифференциальными уравнениями

УДЕРЖАНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ЛАВА I. О ЗНАКООПРЕДЕЛЕННОСТИ ФОРМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА В НЕКОТОРОМ КОНУСЕ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ.

§ I. 1. Знакоопределенность форм третьего порядка в некотором конусе.

§ I. 2. О методах решения нелинейных систем алгебраических уравнений.

§ I. 3. Формула Пика и ее аналоги.

§ 1.4. О локализации решений систем нелинейных алгебраических уравнений полиномиального типа.

§1.5. Применение форм третьего порядка к задаче о монотонной устойчивости.

ГЛАВА II. НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В КОНУСЕ.

§ II. 1. Модель динамики взаимодействий в биологическом сообществе.

§ II. 2. Об устойчивости систем дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями.

§ II. 3. Модель пространственного маневра самолета.

ЛАВА III. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ПОВЕДЕНИИ ТРАЕКТОРИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ

СИСТЕМ.

§ III. 1. Один частный случай модели взаимодействий в биологическом сообществе в частотной форме.

§ III. 2. О поведении траекторий систем дифференциальных уравнений в некоторой области пространства.

§ III. 3. О построении функции Ляпунова с заданными свойствами для системы второго порядка.

ЛАВА IV. ЗНАКООПРЕДЕЛЕННОСТЬ ОДНОРОДНЫХ ПОЛИНОМОВ НЕКОТОРОЙ СТЕПЕНИ т > 3 в КОНУСЕ, СОВПАДАЮЩЕМ С ОДНИМ ИЗ КООРДИНАТНЫХ

УГЛОВ. ••••

§ IV. 1. Один метод исследования знакоопределенности формы произвольно высокого порядка в конусе.

§ IV. 2. Необходимые и достаточные условия знакоопределенности формы некоторого т ~ го порядка в конусе.

§ IV. 3. О монотонной устойчивости одного типа систем дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями.

§ IV. 4. Теорема Эрмита и некоторое ее приложение в задаче устойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями.

§ IV. 5. Об условиях асимптотической устойчивости при , • одном резонансе четного порядка.

§ IV.6. Некоторые дополнения к вопросу о построении функций Ляпунова в виде форм т ~ го порядка.

ЛАВА V. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СЛОЖНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПОМОЩЬЮ ФОРМ ПОРЯДКА.

УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ С ВЫСОКОГО

§ V. 1. Модификация одной теоремы об экспоненциальной устойчивости с помощью форм высокого порядка.

§ V. 2. Об устойчивости уравнений продольного движения самолета.

§ V. 3. Об устойчивости по Липшицу сложных систем дифференциальных уравнений.

§ V. 4. О модификации одного результата М.

Араки.

ЛАВА VI. МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА Ф.Н. БЕЙЛИ С ПОМОЩЬЮФОРМ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА И ЕЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В ЗАДАЧЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ.

§ VI. 1. Модификация метода Ф.Н. Бейли с помощью форм произвольного высокого порядка.

§ VI. 2. Исследование устойчивости уравнений продольного движения самолета модифицированным методом Ф.Н. Бейли.

§ VI. 3. Применение форм высокого порядка к системам уравнений с запаздыванием.

§ VI. 4. Заключительные замечания к главе VI.

Понятие устойчивости движения, устойчивости динамических процессов родилось и получило существенное развитие главным образом в механике, го вполне естественно, так как это прежде всего характеристика собственных зижений системы, порождаемых начальными условиями или возмущениями и ; внутренними свойствами. В силу этого, системы уравнений, описывающие зижение или процесс, должны быть замкнуты, а движения свободными.

Для определения большинства понятий устойчивости как правило ^пользуется евклидово пространство состояний, что вовсе не является эязательным и возможны обобщения на любые другие метрические эостранства.

Настоящая работа посвящена изучению вопросов, связанных с понятием ггойчивости лишь некоторых классов так называемых эволюционных систем, а описательном уровне под эволюционной системой можно понимать хническую, физическую, биологическую, экологическую и любую иную [стему, для которой изучаются изменения, протекающие в ней с течением 1емени. Математически эволюционные системы могут описываться □личными способами. Наиболее часто встречающиеся классы эволюционных [стем и способы их описания таковы:

• непрерывные системы, рписываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями;

• дискретные системы, описываемые конечно-разностными уравнениями;

• системы с распределенными параметрами, описываемые уравнениями в частных производных;

• системы с последействием, для описания которых используются функционально-дифференциальные уравнения. Такие системы возникают тогда, когда протекающие процессы определяются не только состоянием системы в данный момент, но так же и своей предысторией;

• стохастические системы. Стохастической может быть любая из выше перечисленных систем, для описания которой используются вероятностные понятия и методы.

Ограничимся некоторыми конкретными классами таких систем и в >едварительном изложении дадим для них необходимые определения.

Как уже отмечалось выше, термин «устойчивость» является весьма [разительным и имеет множество различных значений. Под устойчивостью 'ычно понимается свойство системы или какого-либо состояния сохраняться in малых изменениях начальных состояний, внешних воздействий, параметров стемы и т.п.

Вообще говоря, как видится автору, исследование поведения различных олюционных систем - задача, состоящая из трех основных этапов:

1. качественной оценки устойчивости, которая позволяет определить соотношения параметров системы, при которых соответствующие равновесные положения в принципе устойчивы;

2. оценка обусловленности системы или аналогичных ее качеств;

3. количественные оценки устойчивости, связанные с. необходимостью устранения возможных погрешностей численного счета, возникающих при получении решений с использованием тех или иных численных методов.

Настоящая работа посвящена в основном решению первой задачи, - в ньшей степени второй и третьей.

В основе решения первой задачи лежит метод функций Ляпунова. Третья задача, главным образом, связана с понятием корректности.

Корректность и некорректность по Ада мару: задача решения операторного уравнения (дифференциального, интегрального, алгебраического, нелинейного.)

Ay = f, ye Г, fel<\ (1)

Y и F-некоторые метрические пространства (например Ь2) называется корректной (корректно поставленной, well-passed), если

1. решение задачи существует;

2. решение задачи единственно;

3. решение задачи устойчиво.

В случае некорректно поставленной задачи, оператор А - вполне непрерывен. Тогда [33]: у = A~\f, |jj-,|j = -l~ = cx3, // = Л[ЛАГА. min

А - сопряженный оператор.

Если хотя бы один из пунктов определения не выполняется, то задача будет некорректна. Обычно задача некорректна из-за нарушения пункта 3. Метод регуляризации Тихонова (обобщение метода псевдорешения или наименьших квадратов Гаусса и метода псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза): минимизируется функционал

- ~l2 II II2

А у - / | г + а\\у\\= min, (2) F 0 - параметр регуляризации. Если а = 0, то

Ay- f = min - МНК (метод наименьших квадратов) Гаусса F т оольших а ~

II II2 больших а ~ \\y\\Y =mm- метод псевдообратной: матрицы Мура-Пенроуза. неопределенный множитель Лагранжа. Из (2) следует уравнение Эйлера ccya+A'Aya=A'f, а а ш а - 0: А*Ауа = ^'/-МНК1 Гаусса. По Гауссу - решение существует, то ть по Тихонову (1) выполнено при выполнении условий Гаусса, а (2) - за счет .толнения условий Мура-Пенроуза.

Выбором а (существует довольно много методов выбора а - невязки, )дбора.) обеспечивается устойчивость решения. В этом случае можно ) биться того, что бы все три пункта определения были выполнены орректность по Адамару):

Зратный оператор ограничен (за счет сдвига собственных значений).

Диссертация главным образом связана с непрерывными эволюционными стемами, дадим для них основные определения теории устойчивости. етод наименьших квадратов. уа={аЕ + А'АУ -A'f, е

Пусть непрерывная эволюционная система описывается системой ^ыкновенных дифференциальных уравнений i = (3)

Здесь /- независимая переменная - время; х,(г)- непрерывные функции; /0 .хю-заданные начальные условия. Функции ^(Z,^,.^)- непрерывные щественные функции. В векторной записи система выглядит так х(0 = f(t, X), x(t0 ) = х0, х = colon (х1,. ) Е R\

Обозначим через SH шар радиуса Н с центром в начале координат в клидовом пространстве R" с нормой тервал изменения параметра t обозначим I. Здесь отметим, что как правило = [я;+со)5 где а либо конечное число (обычно а = 0), либо й = —оо . Будем атать, что функция: /iIxSh-^GcR" непрерывна по обоим аргументам и эвлетворяет условиям Липшица по второму аргументу, что обеспечивает цествование и единственность решения. г' *

Рассмотрим некоторое решение z(t) системы, которое существует на гервале I = |/0 такое, что z(/)eSH, tel (z(r0) = z0). пределение 1. Решение z(t) называют устойчивым no Ляпунову, если я любого сколь угодно малого S существует S(£,i0)> 0 такое, что все решения x(t) (x(t0) = xQ) бесконечно юдолжимы вправо, и как только х0 - z0 <S следует, чт \x(t)-z(t)\ <s для ex t^t0.

Следуя Ляпунову, решение z(t) называют невозмущенным решением, а /)- возмущенным.

Исследование устойчивости любого решения z(t) системы уравнений (3) зжно свести к исследованию устойчивости нулевого решения некоторой )угой системы. Например, функция y(t)=x(t)—z(t) удовлетворяет системе >авнений

КО =f(?,y + z) -f(t,z) = g(t,y) (4) и этом g(t,0) = 0. В дальнейшем можно исследовать устойчивость только 'левого решения системы (4). Тогда определение устойчивости молено юрмулировать по-иному. пределение 2. Тривиальное решение X = 0 системы (2) называют тойчивым по Ляпунову, если для любого £ > О существует 8{s,t^) >0 такое,

10 неравенство выполняется при всех f>tQ, как только

Исторически, современная постановка задачи устойчивости движения инадлежит русскому ученому, механику A.M. Ляпунову. Многие щдаментальные результаты теории устойчивости были получены им. )зданная теория нашла многочисленные применения в самых различных ластях естествознания. В своей знаменитой работе «Общая задача об тойчивости движения», написанной в 1892 году, он предложил новые, строго основанные, общие методы решения задач, связанных с устойчивостью ижений. Один из них основан на разложении решений системы (3) или ответственно системы (4) в ряды специального вида.

Второй метод, или, как принято сейчас говорить - прямой метод, получил ибольшее распространение, благодаря своей простоте и эффективности. Суть э заключается в построении для исследуемой системы дифференциальных авнений некоторой непрерывной однозначной функции, так называемой 'нкции Ляпунова такой, что по свойствам этой функции и ее лной производной, взятой в силу системы окно говорить о поведении нулевого решения системы, в смысле его гойчивости (здесь gi(t,xправые части исследуемой системы).

В частности, самим A.M. Ляпуновым была сформулирована следующая эрема. орем a (A.M. Ляпунова) Если дифференциальные уравнения возмущенного ижения таковы, что возможно найти знакоопределенную функцию V, оизводная которой V в силу этих уравнений была бы или знакоопределенной

V(t,x) dV dV dt dt знакопостоянной) функцией противоположного знака с V, или тождественно авной нулю, то невозмущенное движение устойчиво.

В настоящее время существует целый ряд модификаций общей теоремы l.M. Ляпунова. Функциям Ляпунова и прямому методу посвящена обширная итература. Однако, как не странно, универсального метода построения )ункций Ляпунова до сих пор не существует, хотя имеется большое число астных способов, включая в последнее время и машинные методы. Поэтому ;ентральной в методе остается проблема построения функции Ляпунова с ребуемыми свойствами для конкретных систем. В этом плане многие, ставшие же классическими, результаты в теории и приложениях метода функций Ьшунова связаны с именами таких ученых как Н.Г. Четаев, К.П. Персидский, 1.Г. Малкин, Г.В. Каменков, Е.А. Барбашин, В.И. Зубов, Н.Н. Красовский, 5.М. Матросов, В.В. Румянцев и других.

Метод функций Ляпунова нашел широкое применение также и в [сследовании динамики систем автоматического регулирования. Здесь ггправным моментом считается появление работы А.И. Лурье [55], в которой усматривается задача исследования вопросов устойчивости в целом нулевого юшения системы х = Ах + Ь^(сг), а = СТ х, xeR", де А- матрица размерности пхп, для которой а^ = consteR; (i,j —\./i) с ;обственными числами = 1,.,п), имеющими отрицательные вещественные [асти. Вещественная функция <р(&) непрерывна и обладает свойством: т ■ ср{а) > 0.

Функция Ляпунова для такой системы представляет собой так зываемую функцию Лурье: а о е а = const, a Q - симметричная относительно главной диагонали матрица змерности пхп.

Как отмечалось выше, результаты, полученные А.И. Лурье, стали правным моментом для дальнейших исследований свойств абсолютной гойчивости таких систем, Здесь, прежде всего, важно отметить работы ечественных ученых A.M. Летова [54], И.Г. Малкина [57], Е.А. Барбашина 29], М.А. Айзермана и Ф.Р. Гантмахера [23], В.А. Якубовича [87], В.В. мянцева [72], работы американских ученых Р.Э. Калмана [10], Ж. Ла-Салля и Лефшеца [13, 52], а также румынского ученого В.М. Попова [69], которому инадлежит частотный критерий устойчивости движения, последнее время второй метод Ляпунова завоевал внимание математиков и хаников как метод исследования устойчивости так называемых «сложных» стем дифференциальных уравнений. Причисление определенной элюционной системы к сложным (далее по тексту будем опускать кавычки) сит довольно условный характер, из-за отсутствия строгого определения ожной системы. Согласно [50], одним из признаков сложных систем является югосвязность ее элементов (взаимосвязь подсистем в одном уровне и между зличными уровнями), а также многокритериальность (наличие различных кальных критериев для 'подсистем и глобального критерия для системы в лом). Подавляющее большинство современных сложных систем - это стемы, состоящие из ряда простых «изолированных» подсистем, гдиняемых между собой сетью внутрисистемных связей. Несомненно, что истемы автоматического регулирования можно рассматривать как азновидность сложных систем, как это было сделано, например, в работах А.А. 1артынюка [59], JI.T. Груйича, А.А. Мартынюка и М.-К. Риббенс-Павела [36], .С, Землякова [39], С.А. Житникова [37] и ряда других авторов.

В основу изучения вопросов устойчивости таких систем положены ринципы сравнения и мажоризадии.

Метод сравнения состоит в том что для исходной системы строится истема сравнения, имеющая положение равновесия, свойства устойчивости эторого известны. Аналог функции Ляпунова исходной системы, о знаке роизводной которой информация отсутствует, должен удовлетворять условиям гммы С.А. Чаплыгина [85]. При этом по известным свойствам устойчивости астемы сравнения делается вывод об аналогичных свойствах исходной ястемы.

Останавливаясь на более простом скалярном случае, рассмотрим входную нелинейную систему

X = f(x,t\ /(0,0 = 0 (5) будем предполагать. Что известно скалярное дифференциальное уравнение u = C0(u,t), бу(0,О = 0- (б) емма (С.А. Чаплыгина) Пусть правая часть Co(u,f)~ непрерывна при 0, и < Н и уравнение (6) имеет единственное решение. Пусть также гкоторая функция &{t) удовлетворяет условиям &(t0)<uQi $(t)<CO($(tlt). (1) эгда ^ u(t) при всех t > 0, для которых определены решение уравнения ') и неравенства (7).

Искомое неравенство выполняется в начальный момент; в следствие ^прерывности оно выполняется также и на некотором отрезке. Допуская, что ближайшая к tQ точка, в которой неравенство нарушается <9(0 < u(t), то ггь ) < u(tx ), приходим к тому, что кривые $(/) и u(t) пересекаются или

1саются. Тогда 1^ 6)(u(t^), t}) , что приводит к противоречию с (7). е о р е м а (теорема сравнения) Пусть существует функция )(и, t), (й)(0,/) = О), непрерывная при t > О, wj < Н и такая, что оавнение (6) имеет единственное решение. Пусть, кроме того, в этой же эласти определена функция &{x,t), такая что х, 0 > а О), «9(0,0 = 0, где а(х) — положительно определена и йполняется неравенство 3(x,t) < cy(i9(x, t\ t). Тогда из устойчивости

0 следует устойчивость точки X = 0 для системы (5).

Согласно Лемме С.А. Чаплыгина, вдоль решений систем (5) и (6) имеем а(х) < &{х, t) < u(t, и(0)). (8) ли точка U — 0 устойчива, то для любого £ > 0 найдется 8(<£") > 0 такое, :о при и(0) <8 и t > О будем иметь u(t, и(0)) < a(s). Найдется также жое 8 (^)>0, что из неравенства |*0||<£ (£) следует неравенство

0 = i9(x0,0) < 8. При этом, из (8) следует *0)| ^ £ для любого t > 0 и, гедовательно, точка JC = 0 устойчива.

Заметим, что если Co(u,t) < 0, то получается теорема Ляпунова об ггойчивости.

В более общем случае, первый этап исследований заключается в ^композиции - расчленении системы на подсистемы и внутрисистемные связи. дин из наиболее часто встречающихся видов подсистем, выделяемых в :зультате декомпозиции таков:

- K=gs<$>Xs) + K(f& S — \.Ji (9) ie xs - вектор размерности ns, gs- «собственная» функция подсистемы, a hs-ункция связей подсистемы с другими подсистемами. Далее, вместо связей и :обственных» функций в правых частях системы рассматривают только юбственные» функции, то есть рассматриваются так называемые оолированные» подсистемы, которые имеют вид s = X.,k. (10)

Таким образом, задача высокой размерности сводится к нескольким дачам более низкой размерности.

Следующим этапом исследования системы, является процесс регирования изолированных подсистем в объединенную систему. В процессе регирования используется упрощенное представление как подсистем, так и ■язей. Наиболее распространен следующий способ агрегирования:

• от векторного представления каждой подсистемы переходят к скалярному, заменяя Yls переменных одной обобщенной переменной Ss - локальной, составленной для одной изолированной подсистемы, функцией Ляпунова;

• функции считают компонентами некоторой векторной функции

V(x) - colon(l91 (jCj ),. Д (хк))

Поэтому при некоторых условиях новая, более простая система змерности к (к- число подсистем) будет представлять собой так называемую азываемую систему сравнения, процессы в которой мажорируют процессы, эоисходящие в исходной системе.

Понятие векторной функции Ляпунова (ВФЛ) было введено в ассмотрение в работах Р. Беллмана [4] и В.М. Матросова [60]. Это было :уществлено благодаря «синтезу» метода дифференциальных неравенств С.А. аплыгина [85], теоремы Т. Важевского [21] и концепции применения звокупности нескольких функций Ляпунова с целью упрощения исследований, та мысль высказывалась в работах многих авторов. Однако, наряду с выше юмянутыми работами, важно отметить результаты Н.Г. Четаева [86], А.А. 'ельдбаума [82] о построении мажорант и минорант процессов, описываемых шейными системами регулирования; Н.Н. Красовского [47] об оценках ункций Ляпунова экспоненциально устойчивых систем, которые дали аачительный импульс в развитии этой идеи.

Метод, суть которого заключается в возможности декомпозиции системы зльшой размерности на изолированные подсистемы и получении критериев лчшчивости с использованием свойств внутрисистемных связей, был эедложен Ф.Н. Бейли [3].

В работе [47] доказано, что у экспоненциально устойчивых систем ^фференциальных уравнений в окрестности состояния равновесия существует ункция Ляпунова, удовлетворяющая неравенствам:

II ||2 п ц2 cj-xjj <V(x)<c2\x\ ,

V(x)<-cM2, (9)

JgradK(^)|| < iq ci >0 (/' = 1,.,4) - некоторые вещественные постоянные.

Условия Н.Н. Красовского всегда выполняются для асимптотически стойчивых линейных стационарных систем. В случае нелинейных тационарных систем, асимптотическая устойчивость не всегда будет кспоненциальной и не всегда будет существовать функция V с оценками (9). )днако, если экспоненциальная устойчивость налицо, то этого достаточно для уществования функции с такими оценками.

Следует отметить, что одним из направлений в исследовании сложных истем можно считать подход, связанный с использованием скалярной функции 1япунова (СФЛ), представляющей собой некоторую линейную комбинацию :омпонент соответствующей ВФЛ, и не требующей построения системы равнения. Здесь, необходимо отметить важный результат, полученный С.К. 1ерсидским [66], где использовалась функция Ляпунова, построенная в классе инейных форм от абсолютных значений фазовых переменных

Скалярная функция (10) использовалась С.К. Персидским также в работах 54] и [65], а, кроме того, М.Б. Кудаевым в [48], при исследовании егулируемых систем с многими исполнительными органами:

В исследовании устойчивости сложных систем известное место занимает яд работ, связанных использованием СФЛ вида

10) s=l к

П) e: Vi - функции с квадратичными оценками. Например, в работе JI.T. Груйича экспоненциальной устойчивости сложных систем [7] в качестве функций V{ пользовались квадратичные формы, а в качестве критерия акоопределенности - критерий Сильвестра.

Несмотря на значительное развитие второго метода Ляпунова и на ярокое его применение - решение сложных инженерных задач имеет ачительные трудности из-за отсутствия общих методов построения функций шунова, а также способов выявления свойств знакоопределенности довольно ирюкого класса функций. В связи с этим, исследователь вынужден либо >именять по возможности наиболее простую функцию Ляпунова, либо менить методику исследования. При этом, очевидно, что особенно часто тшеняемая в настоящее время квадратичная форма не всегда позволяет статочно полно исследовать качественную сторону вопроса.

Отметим, что существуют простые подходы, указывающие на сам факт тойчивости в целом и охватывающие значительно широкий класс систем фференциальных уравнений, например [5]. Вместе с тем, совершенствование тематического аппарата в этом плане стало основываться и на возможности пользования функций знакоопределенных не во всем рассматриваемом остранстве, а на некоторой его части. Изначально, идея рассматривать ераторы и преобразования на некоторой части пространства была едложена М.А. Красносельским в работе [46], в которой дано определение к называемого «конуса» пространства. пределение 3: Пусть X"- вещественное банахово пространство, южество К пространства X" называется конусом, если:

• множество К замкнуто;

• из каждой пары векторов X и - X по крайней мере один принадлежит к(х*0, ОеХ");

• для любых СС, J3>0 вещественных постоянных и любых элементов и, v б К следует, что аи + flv еК.

В работах С.К. Персидского [65] и С.А. Житникова [37] рассматривался .учай конуса, совпадающего с одним из координатных углов. Некоторые дачи удобно рассматривать в таких областях. Например, задачи о аимодействиях в биологических сообществах. Здесь не имеет смысла понятие рицательной биомассы и все траектории системы дифференциальных >авнений, описывающей процесс, находятся в первом координатном углу. 1ким образом, существует возможность использовать в качестве функции тунова функции знакоопределенные в конусе. К примеру, это могут быть 1же формы нечетного порядка.

Применение в задачах устойчивости форм произвольного высокого рядка знакоопределенных в некотором конусе пространства R", позволяет 1вершенствовать традиционные подходы в исследованиях, модифицировать ;вестные теоретические результаты, полученные ранее. Например, С.А. итников в работе [38] показал возможность модификации теоремы Л.Т. )уйича об экспоненциальной устойчивости сложных систем с помощью адратичных форм, знакоопределенных в некотором конусе пространства R", впадающем с одним из координатных углов. Задача решалась с пользованием критерия знакоопределенности квадратичной формы в юрдинатном углу, который накладывает менее жесткие условия на форму, чем !итерий Сильвестра.

Задача получения условий знакоопределенности квадратичных форм в которой части пространства R", существовала уже сравнительно давно, шример, в работе Guddum J.W. [8] решалась задача о знакоопределенности адратичной формы при условии неотрицательности произвольного числа ременных, то есть в условиях первого координатного угла пространства R". зоблема получения различных критериев знакоопределенности квадратичных зрм в некотором конусе и сейчас привлекает внимание многих следователей. В настоящее время предложен целый ряд подходов в решении ой задачи. В работе [37] рассмотрена задача знакоопределенности адратичной формы в выпуклом конусе гильбертова пространства. В работах Б. Рапопорта [70, 71], предложен критерий знакоопределенности адратичной формы, основанный на исследовании свойств матриц ециальных конструкций, построенных из коэффициентов исследуемой )рмы. Во многом схожая идея была предложена в известной работе З.А. жендера-Заде [35], где дается критерий знакоопределенности квадратичной )рмы в положительном конусе. бственно сама работа посвящена вопросам исследования свойств >нотонной устойчивости системы вида п s=\ сонусе X > 0. Было показано, что монотонная устойчивость системы вытекает I свойств знакоопределенности соответствующей квадратичной формы. В эю очередь, так как система исследовалась в конусе, а не во всем остранстве, то достаточным было, чтобы форма обладала необходимыми жствами только в конусе. Идея, предложенная З.А. Искендером-Заде, была общена С.А. Житниковым [37]. При этом условия знакоопределенности адратичной формы были обобщены на случай произвольного конуса остранства R", совпадающего с одним из координатных углов. Они сводятся неразрешимости в рассматриваемой области соответствующим образом строенных систем алгебраических уравнений. Важно отметить, что каждое авнение таких систем будет линейным, а матрицы систем имеют нструкцию аналогичную, приведенной в работе [70, 71]. Условия, едложенные С.А. Житниковым, представляются более перспективными с :числительной точки зрения, поскольку они довольно просто горитмизируются2, более того, как было в последствии доказано С.К. :рсидским, условия, полученные в [70, 71], всего лишь достаточные. фобация результатов работы. Основные результаты настоящей ссертационной работы являются развитием идей, заложенных в диссертации гора на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук «О именении форм высокого порядка в качестве функций Ляпунова», которая :ла защищена в Специализированном совете Института прикладной тематики и механики НАН УКРАИНЫ (г. Донецк) в 1989 году. Основные ложения настоящей работы обсуждались на научных семинарах кафедры гоматики и телемеханики и кафедры измерительных технологий и мпьютерной томографии Санкт-Петербургского государственного института чной механики и оптики (технического университета), а так же кафедры икладной математики и механики Санкт-Петербургского государственного иверситета. элучен пакет прикладных программ, реализующий процесс исследования автоматически.

Далее, результаты работы публиковались в журналах:

• Прикладная математика и механика (научный журнал Российской Академии наук);

• Известия Вузов. Математика;

• Динамические системы (межведомственный научный сборник Министерства образования Украины), так же представлялись на научных конференциях:

• Крымская математическая Школа: «Метод функций Ляпунова и его приложения» (статус: международная»);

• International Conference «Dynamical Systems: Stability, Control, Optimization» (DSSCO'98, Belarus, Minsk);

• International Workshop IFAC «Nonsmooth and Discontinuous Problems of Control and Optimization» (NDPCO'98, Russia, Chelyabinsk)

• Международный Конгресс «Слабые и сверхслабые поля и излучения в биологии и медицине» (Санкт-Петербург, Россия).

Исследования в данном направлении3 являются одним из основных 1учно-исследовательских направлений Региональной Лаборатории «Динамики ^равновесных процессов» Международной Кафедры ЮНЕСКО Санкт-етербургского Научного Центра РАН. стойчивость динамических систем.

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

1. Критерий знакоопределенности однородных полиномов высокой степени в некотором конусе пространства R", совпадающем с одним из координатных углов;

2. Обобщения и аналоги формулы Г. Пика о решениях систем нелинейных алгебраических уравнений, а так же обобщение теоремы Ш. Эрмита;

3. Утверждения о монотонной устойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений с однородной полиномиальной правой частью (критический случай);

4. Обобщение теоремы JI.T. Груйича об устойчивости сложных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а так же обобщение результатов М. Араки с помощью форм произвольно высокого порядка, знакоопределенных в положительном конусе;

5. Обобщение метода Ф.Н. Бейли исследования свойств устойчивости сложных систем различных классов;

6. Практические результаты исследований динамических свойств системы, моделирующей движения системы «объект - планирующий парашют».

Автор выражает признательность доктору технических наук, профессору В.А. Иванову заведующему кафедрой Измерительных технологий и компьютерной томографии СПб ГИТМО (ТУ) за возможность выступления на

I'' научных семинарах кафедры и ряд ценных замечаний по существу работы; доктору физико-математических наук, профессору С.В. Зубову за возможность выступления на научном семинаре факультета прикладной математики и

26 механики СПбГУ и конструктивное обсуждение основных теоретических положений диссертационной работы, а так же кандидату физико-математических наук, сотруднику СПИИРАН И.Я. Боготушину за участие в обсуждении приложений, полученных в работе результатов и ряд ценных советов. Отдельные слова благодарности автор выражает в адрес кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Таврического национального университета и ее заведующего - доктора физико-математических наук, профессора С.К. Персидского.

1. Araki М. Application of M-matrices to the stability problems of composite dinamical systems // J. of mathem. anal, and appl. , 1975. - V. 52, № 2. - P. 309321.

2. Becker E., VVormann T. On the trace formula for quadratic forms // Contemp. Math., 1994, 155, pp. 271-291.

3. Beily F.N. The application of Lyapunov's second method to interconnected systems // SIAM, 1965. V. 3, № 3. - P. 443-463.

4. Bellman R. Vector Lyapunov Function /7 J. Soc. Industr. And Appl. Math., ser. A., Control, 1962. V. 1. - P. 32-34.

5. Dannan F.V., Elaydi S. Lipshitz stabilty of nonlinear systems of differential equations / Lyapunov function // J. Math. And Appl. 1989. V. 143. - P. 517-529.

6. Genesio R., Vicino A. New techniques for constructing asymptotic stability regions for nonlinear systems // IEEE. J. Trans. Circuits and syst., 1984,- V. 31., № 6 P. 545-581.

7. Kronecker L. Zur Theorie der Elimination einer Variabeln aus zwei algebraischen Gleichungen // Werke. Leipzig: Teubner, 1897. V. 2., pp. 113-192.

8. La Salle J.R. Some extensions of Lyapunov's second method // IRE. Trans. Circuits Theory, I960,- V-CT-17.- P. 520-527.M.Michel A.N., Porther D.W. Styability analysis of composite systems // IEEE Trans. Autom. Control, 1972. V. AC - 17. - P. 222-226.

9. Federsen P., Roy M.-i Szpirglas A. Counting real zeros in the multivariate case // Berlin: Spnnger, Progress Math. 1993, 109, pp. 203-223.

10. Pick G. Geometnsches zur Zahlenlehre.- Z.d.Verienes Lotos, Praga,1899.

11. Reijn J.VV. A bibliography of the qualitative theory of quadratic systems of differential equations in the plane // REPORT 89-71,- Delft University of Technology, 1989,- 158 p.

12. Stepanov A.V. The sign-definite criterion of a homogeneous polynomial in a cone // J. Appl. Maths. Mechs, vol. 56, № 4, 1992. PP. 576-580.

13. Uteshev A.Yu., Shulyak S.G. Hermite's method of separation of solutions of algebraic equations and its applications // Linear Algebra Appl. 1992. 177, pp. 49-88.

14. Vanelli A., Vidyasagar M. Maximal Liapunov functions and domain of attraction for autonomous nonlinear systems // Automatic, 1985,- V. 21., № 1. P. 69-80.

15. Wazewski T. Systems des equations et des inequalites differentiales ordinaries et leurs applications // Ann. Soc. Pol. Math., 1950. V. 23. - P. 112-166.

16. Wolfgang J. A permanence theorem for replicator and Volterra-Lotka systems // J. Of mathematical Biology.- 1987. № 25. - P. 411-422.

17. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Абсолютная устойчивость регулируемых систем. М.: АН СССР, 1963. 140 с.

18. Аминов А.Б., Сиразетдинов Т.К. Метод функций Ляпунова в задачах полиустойчивости движения // Прикладная математика и механика. 1987. -Т. 51, Вып. 5. - С 709-716.

19. Аминов А.Б., Сиразетдинов Т.К. Условия знакоопределенности четных форм и устойчивость в целом нелинейных однородных систем // Прикладная математика и механика, 1984. Т. 48, Вып. 3. - С. 339-347.

20. Арнольд В.И. Алгебраическая неразрешимость проблемы устойчивости и проблемы топологической классификации особых точек аналитических систем дифференциальных уравнений// УМН, 1970, т. 25, вып. 2, С. 256-266.

21. Арутюнов А.В., Тынянский Н.Т. Знакоопределенность квадратичных форм в конусе// Успехи математических наук. 1984. - Т. 39, Вып. 2. - С. 133-134.

22. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. 233 с.

23. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

24. Березин И.С., Жидков Н.И. Методы вычислений. М.: Физматгиз. - Т. 2. 1960. - 620 с.

25. Валеев К.Г., Финин Г.С. Построение функций Ляпунова. Киев: Наукова думка, 1984., 420 с.

26. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1984. - 320 с.

27. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегшральные уравнения. Методы, алгоритмы, программы /Справочное пособие,- Киев: Наукова думка, 1986, 543 с.

28. Годунов С.К. Квадратичные функции Ляпунова // Учебное пособие. Изд-во НГУ: Новосибирск, 1982. -80 с.

29. Громова П.С. Метод векторных функций Ляпунова для систем с отклоняющимся аргументом /7 Прямой метод в теории устойчивости и его приложения. Новосибирск: Наука, 1981. - С. 46-54.

30. Груйич Л.Т., Мартынюк А.А., Риббенс-Павела М.-К. Устойчивость крупномасштабных систем при структурных и сингулярных возмущениях. -Киев: Наукова Думка, 1984. 307 с.

31. Житников С.А. К вопросу о знакоопределенности и знакопостоянстве квадратичных форм в некотором конусе // Дифференциальные уравнения и их приложения. Алма-Ата: КазГУ, 1979. - С. 25-34.

32. Житников С.А. О некоторых достаточных условиях устойчивости одной системы дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения и их приложения. Алма-Ата: КазГУ, 1980. - С. 25-32.

33. Земляков А.С. О способах построения вектор-функций Ляпунова для нелинейных систем и получение некоторых оценок // Проблемы аналитической механики, теории устойчивости и управления. Казань, 1976. -Т. 2. - С. 145-163.

34. Зубов В.И. Теория уравнений управляемого движения // Учебное пособие. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1979., 288 с.

35. Иртегов В.Д., Новиков М.А. Знакоопределенность форм четвертого порядка от двух переменных П Метод функций Ляпунова и его приложения. Новосибирск: Наука, 1984.

36. Искендер-Заде З.А. Монотонная устойчивость движения в случае нейтральности линейного приближения // Доклады АН АзербССР 1986. Т. 22, №3. -С. 13-16.

37. Каменков Г.В. Избранные труды. М.: Наука, Т. 1. - 1971. - 260 с.

38. Кокс Д., Литтл Дж., О'Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы /Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры,- М.: Мир, 2000, 687 с.

39. Костров А.В. Движение осесимметричных баллистических аппратов. М: Машиностроение, 1984. - 272 с.

40. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. -М: Физматгиз, 1959. 211 с.

41. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движений. М.: Физматгиз, 1959. - 211 с.

42. Кудаев М.В. Абсолютная устойчивость регулируемых систем /7 Уч. Записки Кабардино-Балкарского унив. Сер. физ.-мат., 1965. Т. 24. - С. 144-145.

43. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968. - 432 с.ЗО.Кухтенко А.И. Основные задачи теории управления сложными системами //'Сложные системы управления. Изд-во ин-та Кибернетики АН УССР, Киев, 1968. - Вып. 1. - С. 3-40.

44. Кэррол Дж. СВЧ-генераторы на горячих электронах. М.: Мир, 1972. - 382 с.

45. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964.

46. Лебедев Д.В. Об управлении движением твердого тела в процессе ориентации // Прикладная механика. Отделение математики, механики и кибернетики АН УССР. 1975, Т. 11, вып. 3. С. 83-88.

47. Летов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: Физматгиз, 1962. 483 с.j 5. Лурье А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.: Гостехиздат, 1951. 250 с.

48. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М-Л: ГИТТЛ. -1950.- 427 с.

49. Малкин И.Г. Об устойчивости систем автоматического регулирования // Прикладная математика и механика, 1952,- Т. 16, № 4,- С. 495-498.

50. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. -М.: Наука, 1972. 232 с.

51. Маргыннж А.А. Устойчивость движения сложных систем. Киев: Наукова Думка, 1975.- 352 с.

52. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова в анализе сложных систем с распределенными параметрами УУ Автоматика и телемеханика, 1972.9. С. 63-73.

53. Медведев С.В. Об одном алгоритме нормализации негамильтоновых систем 7 Рукопись депон. ВИНИТИ, 1979, № 2719-78, деп. 33 с.

54. Методы синтеза динамических моделей биологических систем У/ Методы математической биологии, кн. 3. Под ред. Ханина М.А., Киев: Вища школа, 1981. 328 с.

55. Персидский К.П. Теория устойчивости дифференциальных уравнений. Теория вероятностей // Избр. Труды в 2-х томах. Т. 1, Алма-Ата: Наука, 1976. - 271 с.

56. Персидский С.К. К вопросу об абсолютной устойчивости // Автоматика и телемеханика, 1969. № 1 2. - С. 5-11.

57. Персидский С.К. К исследованию устойчивости решений систем дифференциальных уравнений /У Прикладная математика и механика, 1970. -Т. 3, № 2. С. 219-226.

58. Персидский С.К. К исследованию устойчивости сложных систем дифференциальных уравнений, когда подсистемы нелинейно связаны между собой /У Тезисы докл. IV Казахск. Научной конференции по механ. и матем., Алма-Ата: Наука, 1971.,

59. Персидский С.К., Степанов А.В. О применении форм произвольного высокого порядка в качестве функций Ляпунова У/ Динамические системы. -1988. Вып. 7. - С. 89-95.

60. Пионтковский А.А., Рутковская Л.Д. Исследование некоторых задач теории устойчивости с помощью векторных функций Ляпунова // Автоматика и телемеханика, 1967. № 10. - С. 23-32.

61. Попов В.М. Гиперустойчивость автоматических систем. М.: Наука, 1970. 456 с.

62. Рапопорт Л.Б. О задаче абсолютной устойчивости систем управления с несколькими нелинейными стационарными элементами // Автоматика и телемеханика, 1987. № 5. - С. 66-74.

63. Рапопорт Л.Б. Устойчивость по Ляпунову и знакоопределенность квадратичной формы в конусе /7 Прикладная математика и механика, 1986. -Т. 50, №4. С 674-679.

64. Румянцев В.В. К теории устойчивости регулируемых систем /7 Прикладная математика и механика, 1956. Т. 20, № 6. - С. 714-722.

65. Рыбников М.С. Исследование динамики пространственного движения одного класса парашютных систем // Динамические системы. Киев: Вища школа. - Вып. 9. - 1990. - С. 99-102.

66. Свирижев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. -М.: Наука, 1978. 352 с.

67. Свирижев Ю.М., Пасеков В.П. Основы математической генетики. М.: Наука, 1982. - 511 с.

68. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными параметрами. Казань, 1971.- 180 с.

69. Сиразетдинов Т.К., Семенов П.К. Исследование устойчивости систем с распределенными параметрами методом функций Ляпунова // Устойчивость движения. Новосибирск: Наука, ИрВЦ СО АН СССР. 1985., с. 3-22.

70. Степанов А.В. Критерий знакоопределенности однородных полиномов в конусе // ПММ. 1992. Вып. 4. С. 676-679.

71. Утешев А.Ю., Шуляк С.Г. Критерий асимптотической устойчивости систем двух дифференциальных уравнений с однородными правыми частями // Дифференциальные уравнения, 1987. Т. 23, № 6. - С 1009-1020.

72. Фелъдбаум А.А. О распределении корней характеристического уравнения системы регулирования // Автоматика и телемеханика, 1948. № 4. - С.

73. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. М.: Мир, 1982.

74. Хапаев М.М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний: Учеб. Пособие для вузов,- М.: Высш. Шк., 1988 -184 с.

75. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1950. 120 с.

76. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Гостехиздат, 1955ю - 207 с.

77. Якубович В.А. Методы теории абсолютной устойчивости // Методы исследования нелинейных систем автоматического регулирования. Под. Ред. Р. А. Нелепина. М.: Наука, 1975. -С. 74-175.