автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Устойчивость и стабилизация нелинейных 2D систем

На правах рукописи

Емельянова Юлия Павловна

УСТОЙЧИВОСТЬ И СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ 2Б

СИСТЕМ

Специальность 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (в науке и промышленности)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

11 ДЕК 2014

005556656

Нижний Новгород — 2014

005556656

Работа выполнена в Арзамасском политехническом институте (филиале) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Нижегородский государственный технический университет им. Р. Е. Алексеева»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор,

Пакшин Павел Владимирович

Официальные оппоненты: Коган Марк Михайлович,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет», (ННГАСУ), заведующий кафедрой математики, г. Нижний Новгород;

Фуртат Игорь Борисович,

доктор технических наук, доцент, ФГБУН Институт проблем машиноведения Российской академии наук, (ИПМаш РАН), ведущий научный сотрудник лаборатории «Управление сложными системами», г. Санкт-Петербург.

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учре-

ждение науки Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова Российской академии наук (ИПУ РАН), г. Москва.

Защита диссертации состоится «12» февраля 2015 г. в II00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.165.05 при ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет им. Р. Е. Алексеева» по адресу: 603950, Нижний Новгород, ул. Минина, 24, НГТУ, корпус 1, аудитория 1258.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет им. Р: Е. Алексеева» по адресу: 603950, Нижний Новгород, ул. Минина, 24, НГТУ, корпус 1, аудитория 1258 и на сайте университета по адресу http://www.nntu.ги/соп1еп1/а.чр1гап1ига-1-с1ок1огап1ига/¿¡.чзегЬасп

Автореферат разослан «_1_» декабря 2014 г.

Отзывы на автореферат с подписью, заверенный печатью организации, просим отправлять в 2-х экземплярах по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, ул. Минина, 24, ученому секретарю диссертационного совета Д 212.165.05

Ученый секретарь оу Суркова Анна Сергеевна

диссертационного совета <7'

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Модели с двумерной (2D) динамикой появились в ноле зрения теории управления в середине 70-х годов прошлого века. Они были связаны с задачами обработки изображений и построения сложных электрических фильтров. Позднее такие модели и их модификации, в форме так называемых повторяющихся процессов, появились в задачах робототехники и при автоматизации процессов в горнодобывающей промышленности'1'.

Наиболее наглядное представление о таких моделях дают процессы управления с итеративным обучением. Идея итеративного обучения впервые была заявлена в 1971 году в патенте США №3555252, но получила широкое распространение после публикации работ С. Аримото, С. Кавамура, Ф. Миязаки'2'. Суть идеи состоит в следующем. Если система многократно повторяет однородные операции, всякий раз возвращаясь к исходному состоянию, целесообразно сделать попытку запомнить входные и выходные переменные на текущем шаге с целью их использования для повышения точности выполнения операций на следующем шаге. В этом случае естественным образом возникают два динамических процесса: динамический процесс на отдельном шаге повторения операции и динамический процесс перехода от одного шага повторения операции к другому. Эта идея оказалась эффективной и плодотворной, достаточно указать один из недавних обзоров'3', в котором упомянуто свыше 500 публикаций, число которых, как показывает анализ литературы в диссертации, продолжает расти.

Многие современные технологические процессы и технические устройства, в которых целесообразно применение управления с итеративным обучением описываются нелинейными и нестационарными моделями. Примерами могут служить процесс высокоточного лазерного напыления металла, системы повышения аэродинамической эффективности ветровых турбин и т.п. В то же время в подавляющем большинстве имеющихся публикаций исследуются лишь линейные системы с постоянными параметрами. Число работ, посвященных исследованию нелинейных моделей, а также линейных нестационарных моделей, крайне невелико'4'.

^'Rogers, Е. Control Systems Theory and Applications for Linear Repetitive Processes / E. Rogers, K. Galkowski, D. H. Owens // Lecture Notes in Control and Inform. Sei. - 2007 - Vol. 349. - 460 p.

'2'Ariinoto, S. Bettering operation of robots by learning / S. Arimoto , S. Kawamma , F. Miyazaki // J. Robot. Syst. - 1984. - Vol. 1. - P. 123-140.

MHyo-Simg, Alm. Itcratiuc Laiming Control: Brief Survey and Categorization // Hyo-Sung Ahn, Yang Quail Clien, and Kevin L. Moore. — IEEE Transactions on systems, man, and cybernetics - part C: Applications and reviews. - 2007. - Vol. 37. - uo.6. — P. 1099-1121.

I4'Yeganefar, N. Lyapunov Theory for 2~D Nonlinear Roesser Models: Application to Asymptotic and Exponcntitil Stability / Nima Yeganefar, Nader Yeganefar, M. Gliamgui, E. Moulay // IEEE TYansact.. Automat.. Control. - 2013. - V. 58. - P. 1299-1304.

В связи с этим заявленное направление исследований представляется актуальным.

Цель работы состоит в получении конструктивных условий устойчивости и стабилизации различных классов нелинейных и нестационарных 2В систем с последующим применением результатов к задачам управления с итеративным обучением.

Задачи работы. Исходя из целей работы, были поставлены следующие задачи.

1. Развить метод функций Ляпунова для исследования устойчивости нелинейных и нестационарных 2Б систем.

2. Развить метод функций накопления для исследования пассивности нелинейных 20 систем и решения задач стабилизации.

3. Применить полученные результаты к задачам управления с итеративным обучением в условиях нестационарных неопределенностей и возможных нарушений.

Методы исследования. Особенности 20 систем состоят в том, что их математические модели или задают частные приращения переменных состояния (в случае дискретных моделей), или не разрешены явно относительно производных всех переменных состояния (в случае непрерывных моделей). В связи с этим стандартное применение второго метода Ляпунова не представляется возможным, поскольку для нахождения полного приращения или полной производной функции Ляпунова в силу системы, пришлось бы находить решение системы, что сводит на нет идею метода.

Поэтому основным методом исследования является нестандартное развитие метода векторных функций Ляпунова. Суть метода состоит в том, что здесь не используются, как обычно, системы сравнения, а изучаются свойства дивергенции векторных функций Ляпунова или ее дискретного аналога. Такой подход к исследованию нелинейных 20 систем ранее не применялся в мировой литературе. Для обычных (Ш) систем идея использования дивергенции векторного поля ранее использовалась в работах В. П. Жукова и А. Рантцера. Аналогично для исследования пассивности предлагается использовать метод векторных функций накопления.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью математических постановок и доказательств утверждений, корректным использованием методов системного анализа и математического аппарата, подтверждением теоретических результатов математическим моделированием, совпадением результатов с известными в случае линейных 20 систем с постоянными параметрами.

Научная новизна. Основные новые научные результаты состоят в следующем.

1. Получены условия экспоненциальной устойчивости нелинейных и нестационарных 20 систем в терминах свойств оператора дивергенции векторных функций Ляпунова или его дискретного аналога.

2. Получены условия пассивности нелинейных дискретных повторяющихся процессов в терминах свойств аналога оператора дивергенции векторных функций накопления, на основе которых решена задача стабилизации таких систем управлением с обратной связью.

3. Предложенные условия устойчивости и стабилизации применены для решения задач управления с итеративным обучением в условиях неопределенности и возможных нарушений.

Практическая значимость работы состоит в том, что ее результаты могут служить основой программно-алгоритмического обеспечения решения задач во всех многочисленных областях применения управления с итеративным обучением.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Условия экспоненциальной устойчивости в терминах свойств оператора дивергенции векторных функций Ляпунова или его дискретного аналога для следующих классов нелинейных 20 систем: систем Форназини-Маркезини, дискретных систем Роессера, непрерывных систем Роессера, дискретных повторяющихся процессов.

2. Условия пассивности нелинейных дискретных повторяющихся процессов в терминах свойств аналога оператора дивергенции векторных функций накопления и решение на основе этих условий задачи стабилизации указанных систем управлением с обратной связью.

3. Метод синтеза алгоритмов управления с итеративным обучением в условиях неопределенности и возможных нарушений на основе предложенных условий устойчивости и стабилизации.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности. В

диссертации теоретические основы автоматического управления применены и развиты для исследования нелинейных и нестационарных 20 систем. Предложены новые методы и подходы применены к исследованию устойчивости и стабилизации таких систем, на основе которых разработаны новые алгоритмы управления с итеративным обучением. Полученные теоретические результаты подтверждены расчетами и моделированием в среде МАТЪАВ (области исследования 1, 2, 4, 5 специальности 05.13.01).

Апробация полученных результатов. Основные результаты работы

докладывались и обсуждались на следующих научных мероприятиях.

Международные конференции за рубежом:

1. 2014 IEEE Multi-conference on Systems and Control, Nice/Antibes, France. October 8-10, 2014;

2. The 19th World Congress of the International Federation of Automatic Control, Cape Town, South Africa, 24-29 August, 2014;

3. XX международная конференция по автоматическому управлению, посвященная 100-летию со дня рождения академика А.Г. Ивахненко, Николаев, Украина, 2527 сентября, 2013;

4. The Eighth International Workshop on Multidimensional (nD) Systems nDS 2013, Erlangen, Germany, September 9-11, 2013;

5. The 11th IFAC International Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing (ALCOSP'2013), Caen, France, 03-05 July, 2013;

G. 2012 IEEE Multi-conference on Systems and Control, Croatia, October 3-5,- 2012;

7. The 20th International Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems, Melbourne, Australia, July 9-13, 2012;

8. 17 Международная научная конференция «Системный анализ управление и навигация», Евпатория, Украина, 1-8 июля, 2012;

9. International Conference «Cybernetic and Informatics», Slovak Society for Cybernetics and Informatics at the SAS. Slovak Republic, January 31-February 4. 2012;

10. 1G международная конференция «Системный анализ, управление и навигация». Евпатория, Украина, 3-10 июля, 2011.

Международные конференции в России:

1. The 9th IFAC Symposium Advances in Control Education The International Federation of Automatic Control, Nizhny Novgorod, Russia, June 19-21, 2012;

2. X Международная Четаевская конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление», Казань, Россия, 12-1G июня, 2012;

3. XII Международная конференция «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», Москва, Россия, ИПУ РАН, 5-8 июня, 2012;

4. XII Международная молодежная научно-техническая конференция, Нижний Новгород, Россия, НГТУ им. Р. Е. Алексеева, 18 мая, 2012;

5. The 14th International Student Olympiad on Automatic Control. Saint Petersburg, Russia, 21-23 September, 2011.

Всероссийские конференции:

1. XII Всероссийское совещание по проблемам управления, Москва, Россия. ИПУ РАН, 16-19 июня 2014;

2. XV конференция молодых ученых «Навигация и управление движением», Санкт-Петербург, Россия, ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 11-14 марта, 2014;

3. X Всероссийская школа-конференция молодых ученых, Уфа, Россия, УГАТУ. 5-7 июня, 2013;

4. XIV конференция молодых ученых «Навигация и управление движением», Санкт-Петербург. Россия, ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 13-10 марта, 2012;

5. XV конференция молодых ученых «Навигация и управление движением», Санкт-Петербург, Россия, ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 12-15 марта, 2013;

С. Конференции «Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах» (УТЭОСС-2012), Санкт-Петербург, Россия, ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 9-11 октября, 2012;

7. XIII конференция молодых ученых «Навигация и управление движением», Санкт-Петербурх-, Россия, ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор». 15-18 марта, 2011.

Региональные конференции:

1. XVIII Нижегородская сессия молодых ученых. Естественные, математические науки. Нижний Новгород, Россия, НИУ РАНХиГС, 28-31 марта, 2013.

2. XVII Нижегородская сессия молодых ученых. Технические науки. Нижний Новгород, Россия, НИУ РАНХиГС, 19-22 марта, 2012.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 22 научных статьях и получено 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. 7 статей входят в издания из перечня ВАК [1-7], из которых 3 статьи входит в мировую научную базу данных Web of Science [3,6,7], 4 статьи — в базу данных Scopus [3,4,5,7], 4 статьи в базу РИНЦ [1,2,6,17].

Личный вклад автора. В совместных работах научному руководителю принадлежат постановки задач и идеи доказательств и алгоритмов. Доказательства теорем, разработка методов, алгоритмов и пакета программ принадлежат автору.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №-№10-08-00843-а, 10-08-09297-моб_з, 12-08-09332-моб_з, 13-08-01092_а, 12-08-31440-мол_а); IEEE CSS Student Travel Support Award for Multiscience Conference MSC2012 и MSC2014; Федеральной целевой программы «Научные и научно-недагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (соглашение № 8846). Часть работы, связанная с исследованием пассивности, выполнена в рамках конкурсной части государственного задания Минобрнауки России №2.1748. 2014/К.

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит введение, пять глав, заключение, список литературы, включающий 93 наименования. Работа изложена на 100 страницах, содержит 11 рисунков.

Содержание диссертации

Во введении дается общая характеристика работы, обоснование актуальности темы диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, аргументированы научная новизна работы и ее практическая ценность, коротко изложено содержание глав диссертации и сформулированы основные результаты выносимые на защиту.

В первой главе дается общая характеристика состояния проблемы и описание основных моделей.

В второй главе рассматриваются нелинейные дискретные 20 системы, описываемые моделью Роессера, моделью Форназини-Маркезини, моделью в форме повторяющегося процесса. Вводится понятие экспоненциальной устойчивости таких систем. Для получения условий экспоненциальной устойчивости предлагается нестандартное развития метода векторных функций Ляпунова с использованием дивергентного подхода. Эти условия распространяются на 20 модели указанных типов со случайными изменениями структуры. В линейном случае эти условия выражаются в терминах линейных матричных неравенств.

Модель Роессера описывается следующими уравнениями состояния

М* + 1.7) =

+ = ¡2{Н{1^),ь(г,з),и{г,з)),

где — целочисленные вертикальная и горизонтальная координаты соответственно, к 6 К'"1 — горизонтальная составляющая вектора состояния, у 6 К"- — вертикальная составляющая вектора состояния, [ ) 6 М("*+п"> - вектор состояния, /х е К'"-, /2 е К"- -

нелинейные функции такие, что /1(0,0,0) = /2(0,0,0) = 0.

Граничные условия имеют вид и(<ь0) = уЦг) для любого ^ > 0, и /г(0, £2) = М£2) для любого £2 > 0.

Модель Форназини-Маркезини в пространстве состояний имеет вид

Хк+1,г+1 = 1\{хк,1+и Щл+1) + /2(хк+1,г,Щ+и), Укл = Ыхк:г,ик,ь), к, Ь = 0,1,...,

где хк£ € К" — вектор состояния, икл £ К7' - входной вектор, укл е Ега —

выходной вектор /ь /2, f:\ — нелинейные векторные функции, удовлетворяющие требованию Л (0,0) = 0, /2(0,0) = 0, /ч(0,0) = 0.

Граничные условия задаются в виде последовательностей хк.о и x0.t, к = 0,1,..., t = 0,1,..., где хк.а € М" и xa t € М" — известные векторы.

Заметим, что в модели Форназини-Маркезини вектор состояния не делится на вертикальную и горизонтальную составляющие.

Модель в форме повторяющегося процесса в пространстве состояний описывается уравнениями

xfc+i(i+l) = Mxk+1(t),yk(t)),

Vk+l(t) = f2(Xk+i(t),yk(t)), (1)

0< t < T, к = 0,1,2,...,

где к - номер повторения; t — дискретное время на fc-м повторении, Xk(t) в R"* — вектор состояния текущего повторения, yk(t) g Rn» — вектор профиля повторения, /i и /2 — нелинейные функции такие, что /,(0,0) = 0, /2(0,0) = 0.

Граничные условия задаются в виде последовательности начальных значений вектора состояния текущего повторения и начального профиля повторения:

Zfc+i(0) = dk+1, к > 0,

y0(t) = f(t), 0 < t < T, (2)

ya(t) = 0, t>T,

где dk+i и f(t) —- известные векторы размерности пх х 1 и щ х 1 соответственно.

В дальнейшем предполагается, что граничные условия dk+1 и /(£) удовлетворяют неравенствам

|/(i)|2<M/, |4+i|2 < K,izji+1, к = 0,1,..., (3)

где Mf >0, k,i -- некоторые действительные числа и 0 < z,i < 1. Число z,{ определяет скорость сходимости последовательности начальных значений вектора состояния.

Для повторяющихся процессов характерной особенностью является то, что одна из переменных, а именно вектор профиля повторения, всегда изменяется на конечном интервале времени. В связи с этим в теории линейных повторяющихся процессов вводится, учитывающее этот факт, понятие

: л Ii-

устойчивости вдоль повторений'5'. Это понятие основано на свойствах .... нейного оператора в банаховом пространстве и не может быть непосредственно перенесено на нелинейные системы. Поэтому для класса нелинейных повторяющихся процессов целесообразно ввести понятие устойчивость по профилю повторения, которое является разновидностью экспоненциальной устойчивости и согласуется с принятым понятием устойчивости вдоль повторений в линейном случае. Определим норму вектора профиля повторения как

1Ы1 = лЕЫг)12 (4)

«=0

и введем следующее понятие устойчивости

Определение 1. Система (1) называется экспоненциально устойчивой по профилю повторения, если для любых граничных условий, удовлетворяющих (3),

1Ы1 < «Л 0 < г < 1, (5)

где к зависит от длины профиля повторения Тих зависит от г^.

Чтобы найти условия экспоненциальной устойчивости но профилю повторения системы (1), используем метод векторных функций Ляпунова в следующей форме.

Рассмотрим векторную функцию

V(xk+1( t),yk(t)) =

Vi(zfc+1(i)) ЩуШ))

(6)

где Vi{x) > 0, x ф 0, V2(y) > 0, у ф 0, Vi(0) = О, У2(0) = 0.

Для этой функции определим дискретный аналог оператора дивергенции в силу системы (1):

VV(xk+1(t),yk(t)) = AtVi (**+!(«)) + AkV2(yk(t)), (7)

где AtVl(xfc+1(i)) = V^x^t+l^-VxixMit) и ДkV2(yk(t)) = V2(yk+1(t))~ V2(yk(t).

Теорема 1. Рассмотрим систему (1) с граничными условиями, удовлетворяющими (3), и предположим, что существуют положительные константы сь с2, с3 такие, что функция (6) и её оператор Т> (7) вдоль

'''Rogers Е., Galkowski К., Owens D.H. Control Systems Theory and Applications for Linear Repetitive Processes /,/ Lccture Notes in Control and Inform. Sei. - 2007. - Vol. 349 - 4G6 p.

траекторий системы (1) удовлетворяют неравенствам

С1\хк+1(1)\2 < Уг(хк+1(1)) < с2\хк+1(1)\\ (8)

сМ)\2) < У2Ы$) < с2ЫЬ)\\ (9)

ЪУ(хк+1(г),Ук(г)) < -сфк+1(ь)\2 + Ыг)12)- (ю)

Тогда система (1) экспоненциально устойчива по профилю повторения.

Результаты обобщаются на случай нелинейных повторяющихся процессов с возможными нарушениями.

Модель в форме повторяющегося процесса с возможными нарушениями

имеет следующий вид

нарушения г(<) > 0) моделируются однородной марковской цепью с конечным числом состояний N = {1,..., и} и вероятностями перехода

Р(г(«+1)=Лг(«)=») = *у, (12)

где >р\ и <рг - нелинейные функции такие, что для любых г е N Р1(0,0, г) =0, <р2(0,0,г) = 0.

Остальные обозначения соответствуют принятым в предыдущем пункте.

Граничные условия предполагаются заданными в виде последовательности начальных значений вектора состояний и начального профиля повторения

(2) и удовлетворяют требованиям (3). Выбор модели нарушений (12) мотивирован тем фактом, что переменная Ь - время на текущем повторении, а переменная к - номер повторения, и естественно считать, что процесс нарушений представляет собой стационарный марковский процесс, развивающийся во времени. Определим норму вектора профиля повторения как

1Ы1е =

\

Е£|»(!)1!, (13)

(=0

где Е - оператор математического ожидания.

Введем следующее определение экспоненциальной устойчивости по профилю повторения в среднем квадратическом.

Определение 2. Система (11) называется экспоненциально устойчивой по профилю повторения в среднем квадратическом, если для любых

граничных условий (2), удовлетворяющих (3), существуют постоянные к > 0 и О < 2 < 1 такие, что

1Ы1е <

(14)

Для получения условий экспоненциальной устойчивости по профилю повторения в среднем квадратическом системы (11), рассмотрим следующую векторную функцию Ляпунова

У2(Ук(Ь), г(Ь))

(15)

где Ц(®,г) > 0, х ф 0, К2(у,г) > 0, у ф О, И(0, г) = 0, Ц(0,г) = 0.

Введем операторы Т>г и Т>к вдоль траекторий системы (11):

= Е[Ц(а*+1(4 + 1),г(« + 1) - VI (:«*+! (¿),г(4)) |

I хк+1(г) = £,ук(г) = щ,г{{) = г],

= ЕтУм{Ь),г{1)) - У2(щ,1) I

I хк+1(г) = $к+1,Ук№ = Ш,г{Ь) = г]

и определим оператор V как стохастический аналог оператора дивергенции предыдущего случая:

ЭЩ!;, 7?, г) = ту, г) + т}, г). (16)

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Рассмотрим нелинейный повторяющийся процесс (11), (12) с граничными условиями (2), удовлетворяющими (3). Предполоэ/сим, что существуют положительные постоянные сь с2, с3 такие, что функция (15) и её оператор V (16) вдоль траекторий системы (11), (12) удовлетворяет неравенствам

с1|е|2<1/1(е,г)<с2|е|2, (17)

С1Ы2)<Ш г) <с2Ы2, (18)

^(^,г)<-с3(|£|2 + Ы2), (19)

Тогда повторяющийся процесс (11), (12) экспоненциально устойчив по профилю повторения в среднем квадратическом.

Аналогичные результаты получены для систем Роессера и Форназини-

Маркезини. Но, важно отметить, что для систем Роессера и для систем и Форназини-Маркезини обе независимые переменные могут изменяться в бесконечных пределах и для этих систем вводится следующее понятие экспоненциальной устойчивости.

Определение 3. Нелинейный повторяющийся процесс (1), (2), где и = О, называется экспоненциально устойчивым, если

где £ не зависит от Т.

В силу ограниченности объёма автореферата, результаты, полученные для этих систем, не приводятся.

Результаты обобщаются для систем Роессера и Форназини-Маркезини с возможными нарушениями.

Во третьей главе рассматриваются нелинейные непрерывные 20 системы, описываемые моделью Роессера. Для получения условий экспоненциальной устойчивости таких систем предлагается использование метода векторных функций Ляпунова. Развита теория абсолютной устойчивости для анализа и синтеза стабилизирующего управления в классе дискретных линейных 20 систем, описываемых непрерывной моделью Роессера, с нелинейной обратной связью по выходу и марковскими переключениями параметров структуры.

Экспоненциальная устойчивость детерминированных непрерывных систем Роессера. Рассмотрим систему, описываемую нелинейной моделью Роессера в пространстве состояний

где к € Кп'' и и € ЖПг - горизонтальная и вертикальная компоненты вектора состояния, /1 и /2 - нелинейные функции такие, что /1 (0,0, ¿1, ¿2) = О, /2(0, 0, £1, ¿2) = 0. Предполагается, что при указанных далее граничных условиях существует единственное непрерывное по £1 и ¿2 решение системы (21) ограниченное при любом ограниченном £ = + ¿2-

Граничные условия имеют вид г;(£ьО) = й(^) для любого £1 > 0, и МО, £2) = МЫ для любого £2 > 0. Будем рассматривать два вида функций у{1\) и /г(£г). В первом случае эти функции предполагаются ограниченными по норме на ограниченных интервалах и равными нулю вне этих

Ы^ + Ыг)!2^^', о < с < 1,

(20)

щНь, £2) = /1 (Л(«1, £2), «(«1, £2), ¿1, ¿2), Щ-Мк, £2) = /2(Л(*Ь £2), «(* 1, £2), ¿1, £2),

(21)

интервалов, т.е.

1М*)1 < Мьесли 0 < Ь < Т1; Л(г)=0,если* >7ь (22)

|г)(<)| < М2,есяи 0 < í < Т2; г>(£) = 0,если г > Т2. (23)

Во втором случае нормы этих функции предполагаются ограниченными сверху убывающими экспонентами:

1М01 < К1ехр(-£1<), |г)(й)| < к2ехр(-е2^), £1 > 0, «т2 > 0. (24)

Определение 4. Систему (21) назовем экспоненциалыю устойчивой, если при граничных условиях вида (22), (23) или (24)

\Кт,г-т)\ + \у{т,г-т)\<Рехр(-с*г), а > 0, 0 > 0. (25)

Согласно этому определению нормы горизонтальной и вертикальной переменных состояния /1(^1, £2), ^(¿1, ¿2), рассматриваемые вдоль линии ¿1-И2 = стремятся к состоянию равновесия /1 = 0, и = 0 при Ь -> оо не медленнее чем экспонента с показателем —а.

Рассмотрим векторную функцию

У(М) =

где к е « 6 К"-, VI(0) = 0, у2(0) = 0, Уг(Л) >0, к ф 0, У2(у) > 0, и ф 0. Для этой функции определим оператор дивергенции в силу системы

с= дЩН^м)) + (27)

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. Рассмотрим систему (21) с граничными условиями вида (22), (23)

или (24). Пусть существуют, положительные постоянные с\, с2, с3 такие, что функция (26) и её дивергенция (27) в силу системы удовлетворяют неравенствам

С1\к(1г,12)\2 < К,(Л(«,,42)) < с2\к{и,12)\\ (28)

схН^,^2 < У2(у(ги12)) < с2|фь*2)|2, (29)

(ИуУЩЬ,^)^,^)) < -с3(|/г(£ь£2)|2 + |г)(гь£2)|2). (30)

Тогда система (21) экспоненциально устойчива.

К(А)

(26)

Результаты обобщаются на случай систем с возможными нарушениями.

В четвертой главе рассматриваются нелинейные дискретные 2D системы в форме повторяющегося процесса. Для решения задач стабилизации рассматриваемой системы вводится и используется понятие пассивности, называемое G-пассивностыо, и новое понятие векторной функции накопления. Результаты обобщаются на случай повторяющихся процессов с возможными нарушениями.

Рассмотрим нелинейный дискретный повторяющийся процесс, описываемый следующей моделью в пространстве состояний

хк+1 (t + 1) = Mxk+i(t),yk(t),uk+i(t)), Vk+i(t) = f2(xk+i(t),yk(t),uk+x{t)), zk+i(t) = g(xk+1(t),yk(t),uk+i(t)),

0 < t < T, к = 0,1,2,...,

где xk(t) £ R"» — вектор состояния на текущем шаге повторения к, yk(t) G К"» — вектор профиля текущего повторения, zk(t) € R"* — вспомогательный вектор для анализа и синтеза закона управления и /i, /2 и д — нелинейные функции такие, что /i(0,0,0) = 0, /2(0,0,0) = 0, д(0,0,0) = 0.

Граничные условия заданы в виде (2) и предполагается, что существуют действительные числа М/ > 0 и 0 < Q < 1 такие, что (4+1 и /(£) удовлетворяют соотношениям

|/(i)|2 < Mf, 12 < СА1+\ к = 0,1,..., (32)

где |.| означает евклидову норму вектора, величина А а характеризует скорость сходимости последовательности начальных значений вектора состояния. Далее будем считать, что граничные условия удовлетворяют (32).

Основная цель — найти такой закон управления с обратной связью и(х, у), который обеспечивал бы экспоненциальную устойчивость системы (31), (2). Последующий анализ основан на расширении понятия пассивности на класс дискретных нелинейных повторяющихся процессов с использованием следующей векторной функции накопления

V(xk+1(t),yk(t)) =

Vi(xk+1 (t))

V2(yk{t))

(33)

где ВД > О, I ± 0, У2(у) > 0, у ± 0, Ц(0) = 0, Ц(0) = 0.

Оператор дивергенции этой функции вдоль траекторий системы (31) имеет вид

ЪУ{хк+1{1),ук№) = ЬМ(хк+1{г)) + ^У2(уШ (34)

где

AtVi(xfc+i(i)) = Щхк+1(Ь + 1)) - Уг(хк+1 (t)), A kV2{yk{t)) = V2(yk+1(t))-V2(yk(t)).

Определение 5. Нелинейный дискретный повторяющийся процесс (31), (2) называется экспоненциально G-пассивным, если существует векторная функция (33), скалярная функция S(x,y) и положительные скаляры сг,с2,сз такие, что

CiM2 < Vi(x) < с2\х\2,

ci\y\2 < V2{y)<c2\y\\

VV(xk+1(t),yk(t)) < zJ+1(t)Guk+1(t)-S(xk+1(t),yk(t)), (35)

S(x,y) > c3(М2 + Ы2),

где G — постоянная матрица соответствующего размера.

Это определение является 2D аналогом определения, данного в!с' для ID систем.

Следующая теорема развивает хорошо известные результаты теории пассивности 1D систем на нелинейные дискретные повторяющиеся процессы.

Теорема 4. Пусть нелинейный дискретный повторяющийся процесс (31), (2) G -пассивен. Предположим также, что существует функция (p(z) такая, что <р(0) = 0 и zTG(p(z) > 0, если z ф 0. Тогда система (31), (2) с законом управления

u*+i(t) = u(zk+1(t)) = -<p(zk+i(t)) (36)

является экспоненциально устойчивой.

Заметим, что функция накопления (33) может рассматриваться как векторная функция Ляпунова для системы (31) с законом управления (36), который гарантирует экспоненциальную устойчивость.

Рассмотрим случай, когда (31) имеет вид

xk+i(t) = Anxk+l(t) + A12yk{t) + &(a;fc+i(i),fffc(i))ujfc+i(i). yk+1(t) = A2Xxk+l{t) + A22yk{t) + Mxk+i(t),yk(t))uk+1(t), W

и выберем функцию накопления в виде (33), где Vi(xk+i(t)) — xk+i(t)pixk+i(t) и V2(yk(t)) = yl(t)P2yk(t), и Рг и Р2 - симметричные

l°lEradkov A., Hill D. Exponential feedback passivity and stabilizability of nonlinear systems /'/' Automatica - 1998. - Vol. 34, - P. 697-703.

положительно определенные матрицы (обозначим это как > 0) соответствующих размерностей Рх = Р? > 0 и Р2 = Р2Т > 0, удовлетворяющие неравенству Ляпунова

где А =

Аи А\2

сумму матриц. Обозначим

АТРА -Р + С)< 0, (38)

Р = Р\ <Э) Р'2, С? > 0, символ Ф означает прямую

Ф(хк+х(г),Укф) = [Ф?(хк+1(1),ук(г)) Ф%(хк+1(1),Ук{Щт и определим вспомогательный выходной вектор для (37) в виде

гш(1) = 2фт(хш(1),ук(г))РА{хтм(1) утк(1)}т+

+ фт(хш(£), ук(Ь))Рф(хк+1{1), ук(1))ик+1(1). (39)

Вычисляя дивергенцию векторной функции (33) получим

ж(хк+1{г),Ук(1)) = [х^и¡Ш{АтРА-

< г1+1(1)ик+1{1) - \х1+1{Ь),утк{Шх1+1{1), уШ^. (40)

Из (40) следует, что система (37)-(39) С-пассивна при й — I (где I — единичная матрица соответствующей размерности).

Тогда согласно теореме 4 закон управления

«*+1(0 = ~{1 + ФТ(хк+1(1),ук(1))Рф{хк+1^),ук(Щ-1х

X 2фт(хк+1(г),Ук(1))РА[хтк+1(1),У1(г)}т (41)

обеспечит экспоненциальную устойчивость системы (37)-(41).

В пятой главе показана возможность применения полученных результатов к задачам синтеза управления с итеративным обучением в условиях неопределенности и возможных нарушений. Результаты обобщаются на случай сетевого управления.

Рассматривается множество линейных дискретных систем с неопределенными параметрами:

Хг(1 + 1) = М6(1))Х&) + ^(¿(£))и;(£) , .

= Сщ(Ь), ¿ = 1,2,лг, 0 < I < Т,

где Xi G R"1 — вектор состояния i-й системы, щ 6 R"" — вектор управления г-й системы, у, € К"» - вектор выходных переменных г-й системы, 6(t) 6 R1 - вектор неопределенных параметров (для компактности записи далее для него зависимость от t не указывается), Ai(S), Bi(S), Сг — матрицы параметров системы, г — номер системы, N - число систем. Зависимость матриц А{(6), Bi{6) от неопределенных параметров задается аффинной моделью

I I

Ai(6) = л-+= В'+Л

¿=1 7=1

где Sj G [¿j, <У - , 6j — нижняя и верхняя границы интервала допустимых значений неопределенного параметра Sj; А,, Вг, Ajj, Д_, — известные матрицы, г = 1,2,..., TV, j = 1,2,...,/.

Обозначим Д = {¿ = [<5Ь ...,<ЭДТ : Sj 6 {Д,,<5у}}, j = 1,2,...,/.

Множество Д содержит все возможные последовательности длины I верхних и нижних границ интервалов допустимых значений неопределенных параметров и является конечным множеством из 2' элементов.

Системы (42) работают в повторяющемся режиме на заданном конечном интервале времени [0,Т] с известными начальными условиями. Задача состоит в обеспечении повторения заданной траектории движения yre/(t) всеми системами на конечном интервале t S [0,Т] с ошибкой не более е > 0.

Предполагается, что только одна из систем (лидер или ведущий) получает информацию о заданной траектории непосредственно, а остальные (ведомые) получают эту информацию от лидера. В сети возможны информационные нарушения, вызванные недостаточной надежностью коммуникационной структуры, вследствие чего одна из ведомых систем может терять связь с лидером. В таком случае указанная система начинает получать информацию от другой ведомой системы, информация от которой в текущий момент для неё доступна. Если связь с лидером восстанавливается, то система вновь переключается на получение информации от лидера.

При таких условиях для достижения требуемой точности вновь воспользуемся методом управления с итеративным обучением. Используя информацию с предыдущего шага, для каждой из систем построим алгоритм изменения входной переменной (управления), который позволит повысить точность на текущем повторении. Следуя концепции итеративного, обучения входную переменную (управление) на (к + 1)-м повторении (шаге) зададим в виде

Uj(i, к + 1) = Ui(t, к) + Am(t, А + 1), (43)

где к + 1) — корректирующая добавка к управлению г-й системы на

текущем к-м шаге для формирования управления для следующего (А; + 1)-го шага. Таким образом, система (42) с законом управления (43) может быть представлена как 2 Б система

+ 1, к) = к) + . *0. ш, У1{1,к) = С^{1,к), 1 = 1,2,...,^ >

со следующими граничными условиями

х,(0 ,к) = х0,к = 0,1,..., "¿(<,0) = 0,£ = 0,1,...,Т.

Введем в рассмотрение вектор ошибки с координатами

еДг, /с) = уге}№, к) - ух(£, А;)

еД«, Л) = /г) - А:), г = 2,3,..., ДГ,

где С1 — ошибка обучения ведущей системы, у\ — вектор выходных переменных ведущей системы, е,- — ошибка обучения г-ой ведомой системы, у; — вектор выходных переменных г-ой ведомой системы, /¿[р(£)] — индекс коммуникационной структуры сети, который может принимать любые значения от 1 до N, исключая свое собственное состояние г; это означает, что при потере связи с лидером на вход г-ой системы поступает выходной сигнал любой другой системы, связь с которой ей доступна. Состояние связей между лидером и ведомыми системами описывается марковской цепью р[р) с конечным числом состояний N = {1,2,..., и} и известными вероятностями перехода

Р[р(г + 1) = чШ =г] ^тгГ7.

Очевидно, что для достижения требуемой точности корректирующая добавка к управлению Дм,(£, к + 1) должна выбираться из условия сходимости алгоритма управления (43).

С учетом стохастического характера информационных нарушений введем следующее определение сходимости.

Определение 6. Алгоритм управления с итеративным обучением (43) называется сходящимся в среднем квадратическом, если для любых начальных условий хю и для любой начальной управляющей последовательности {ш(£,0)} он задает такую последовательность иг(£, А;) для системы (42), что Нпц^эо Е[|е/(£, А;)|] = 0, Е[|и;(£, А:) — оо)|] = 0 при к —> оо, £ = [0, Т], г = 1,..., ./V, где Е — оператор математического ожидания.

Условия сходимости алгоритмов управления с итеративным обучением. Для дальнейшего анализа введем следующую вспомогательную переменную:

fk(t + 1, Л + 1) = Xi(t, к + 1) - Xi(t, к), 1 = 1,2,..., N.

В терминах переменных 77 и е система (42) опишется моделью с двумерной динамикой в стандартной форме линейного дискретного повторяющегося процесса:

7](t + l,k+l) = À11(S)r}(t,k + l) + Â12(S)e(t,k) +

e(t,k+l) = A21{5,p{t))r1{t,k + \) + Â22e{t,k) + (45) + B2{S(t),p(t))Au(t-l,k+l),

где An = diag^j ... An], A22 = /, B1 = diag^j ... BN], À12 - нулевая матрица соответствующего размера, матрицы Л2Ь В2 имеют случайную структуру, определяемую нарушениями. В частности, когда каждая система получает информацию от лидера, эти матрицы имеют вид

-С1Л1 0 0 0 0 -Cl в, 0 0 0

с, л, -С2Л2 0 0 0 Cl я, -С2В2 0 . 0

0 0 -С3А, 0 0 ,-в2 = 0 0 -СзВз . 0

с, Ai 0 0 0 -СмАн . . С, В! 0 0 0

где зависимость от S для компактности записи не указана. При нарушениях элементы — QAi и -СгВг будут оставаться на своих позициях, а другие элементы будут менять значения и позицию на соответствующей строке в зависимости от значения Ii[p(t)]. Рассмотрим случай, когда переменные состояния доступны измерению и сформируем корректирующую поправку в виде

AUi{t, к + 1) = F:(r)T?(i + 1, к + 1) + F2(r)ei(t + 1, к),

если p(t) = r, г е N, (46)

где Fi(r), F2(r) — матрицы усиления.

Тогда уравнения замкнутой системы (45), (46) запишутся следующим образом:

t?(i +1, к +1) = (Лц(г(*)) + B1(s(t))F1(p(t -1))) v(t, к +1) +

+ (Ai2 + B\{6{t))F2p{t — 1))) e(t,k), e(t, k+ 1) = (A21(6(t), p[t)) + B2(S(t), p(i))Fi(p(i - 1))) V(t, k + 1) + (47)

+ (A22 + B2{5{t),p(t))F2p{t - 1))) e(t, k).

Если поправка (46) обеспечивает экспоненциальную устойчивость по про-

Желае»*^ выксд»

Рис. 1: Портальный робот

Рис. 2: Желаемый выходной сигнал

филю повторения системы (47), то это будет гарантировать сходимость алгоритма управления (43).

Если выбрать компоненты векторной функции Ляпунова в виде квадратичных форм с постоянными матрицами:

Ц. =т7т(£,А;+1)Р17/(гД- + 1), У2 = ет(1,к)Р2е(г)к),

где Р\ = ... Р\м], Ръ = с^[Р21 ••■ Лглг], получим условия

устойчивости в виде системы линейных матричных неравенств.

X (А{6,г)Х + В(6,г)У)т X

А(5,г)Х + В(5,г)У X О

X о О-1

> О, X > о,

где <5 е Д, г е м, А(6,г) =

, В{6,г) =

_ Ап А12(6) __ А21{5,Г) А-22 ^ X = с11а§[Р1"1 Р^1], У = РХ, Р = Р2]. Если система (48) разрешима, матрицы Рг и Р2 вычисляются по формулам

В1(6) Шг)

= ВД-1, = У2Х21.

(49)

Это консервативное решение целесообразно использовать, когда в модели нарушений вероятности перехода неизвестны.

Пример. С использованием полученных результатов были проведены синтез управления с постоянной обратной связью (49) и моделирование для упрощенной модели динамики вертикального канала портального робота. Данные о параметрах робота были предоставлены коллегой из университета Саутгемптона (Великобритания). На рисунке 1 представлена фотография робота, на рисунке 2 — желаемая траектория робота вдоль вертикальной оси.

Т

Будем предполагать, что таких роботов три и они связаны локальной сетью. При этом один из роботов (лидер или ведущий) получает информацию о заданной траектории непосредственно, остальные либо от лидера, либо друг от друга в случае потери связи с лидером. Одновременная потеря связи с лидером двумя ведомыми система невозможна. Ведущая система имеет следующие матрицы параметров

¿1 =

-0.002961 1

-0.0008363 -0.002961 0 0

0

0.03035 1

Вг = [ 0 0 0.01563 ]Т, Сл = [ 0.0003718 0.007077 0.02335 ] .

Матрицы параметров ведомых систем А2, В2, С2, А3, Вл, Сз, имеют отклонения в пределах 10% от матриц параметров ведущей системы Ль В\, С\.

В результате моделирования были получены следующие графики (рисунки 3-5). На этих графиках представлен случай, когда обе ведомые системы берут информацию у лидера. Первая ведомая система теряет связь с лидером с 5-го по 7-й шаг и на этом интервале берет информацию у второй ведомой (рисунок 4). Вторая же ведомая система теряет связь с 10-го по 15-й шаг и на этом интервале берет информацию у первой ведомой (рисунок 5).

Выходной сигнал у

Ошибка обучения е

ШМл. ■I ,

Номер итерации к

Рис. 3: выходной сигнал (слева) и ошибка обучения (справа, проекция на плоскость ОуОк) ведущей системы

Из графиков видно, что сходимость сохраняется, но в случае потери связи с лидером и замене при этом информации от лидера информацией от другой ведомой системы, скорость сходимости снижается. В случае потери связи с лидером нарушается и монотонность убывания ошибки, чего не наблюдается при наличии связи с лидером.

Рис. 4: выходной сигнал (слева) и ошибка обучения (справа, проекция на плоскость ОуОк) первой ведомой системы при потере связи с лидером с 5-го ио 7-ой шаг

Рис. 5: выходной сигнал (слева) и ошибка обучения (справа, проекция на плоскость ОуОк) второй ведомой системы при потере связи с лидером с 10-го по 15-й шаг

В заключении подведены основные итоги работы и предложены перспективные направления дальнейших исследований 20 систем.

Выходной сигнал у ^

Номер итерации к

Выходной сигналу 3

Номер итерации к

Ошибка обучения е

Номер итеркдии к

Заключение

Главной новой идеей данной работы является нестандартное развитие метода векторных функций Ляпунова для исследования нелинейных и нестационарных 20 систем, основанное на свойствах дивергенции этой функции. С использованием этой идеи получены следующие новые научные результаты.

1. Условия экспоненциальной устойчивости в терминах свойств оператора дивергенции векторных функций Ляпунова или его дискретного

аналога для следующих классов нелинейных и нестационарных 2Б систем:

• систем Форназини-Маркезини;

• дискретных систем Роессера;

• непрерывных систем Роессера;

• дискретных повторяющихся процессов.

Эти условия обобщены на случай систем с возможными нарушениями, моделируемыми марковской цепью.

2. Условия пассивности нелинейных дискретных повторяющихся процессов в терминах свойств оператора дивергенции векторных функций накопления и решение на основе этих условий задачи стабилизации указанных систем управлением с обратной связью.

3. Методы синтеза алгоритмов управления с итеративным обучением в условиях неопределенности и информационных нарушений на основе предложенных условий устойчивости и стабилизации.

В дальнейшем представляется перспективным распространение результатов на другие классы 20 систем, в частности, на дифференциальные повторяющиеся процессы, а также вывод теорем обращения для условий экспоненциальной устойчивости.

Публикации в изданиях, входящих в перечень ВАК

1. Емельянова, Ю. П. Устойчивость двумерных нелинейных систем, описываемых непрерывной моделью Роессера / Ю. П. Емелыюва, П. В. Пакшин, К. Галковский, Э. Роджерс // Автоматика и телемеханика. - 2014. - № 5. - С. 157-173.

2. Емельянова Ю. П. Экспоненциальная устойчивость нелинейных дискретных SD-систем / Ю. П.Емельянова // Управление большими системами. Выпуск 47. М ■ ИПУ РАН - 2014 - С. 18-44.

3. Емельянова, Ю. П. Устойчивость нелинейных повторяющихся процессов с возможными нарушениями j Ю. П.Емельянова // Электронное научно-техническое издание «Наука и образование». МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2014. - N4. - С. 308-415. - Режим доступа: http://technomag.bmstu. ru/doc/704664.html

4. Emelianova, J. Passivity Based Stabilization of Nonlinear ZD Systems with Application to Iterative Learning Control [Электронный ресурс] / J. Emelianova, P. Paksliin, K. Galkowski, E. Rogers 11 Proceedings of the 2014 IEEE Multi-conference on Systems and Control, Nice/Antibes Franco October 8-10. - 2014. -P. 548-553.

5. Emelianova, J. Vector Lyapunov Function Based Stability of a Class of Applications Relevant 2D Nonlinear Systems [Электронный ресурс] / J. Emelianova, P. Paksliin, K. Galkowski, E. Rogers // Proceedings of the 19th World Congress of the International Federation of Automatic Control, Cape Town, South Africa, 24-29 August. - 2014: - P. 8247-8252. - Режим доступа: http://www.ifac-papersonline.net/Detailed/67865.html

С. Emelianova, J. Stability and Stabilization of Nonlinear 2D Markovian Jump Systems with Applications [Электронный ресурс] / J. Emelianova, P. Pakslun, K. Galkowski, E. Rogers // Proceedings of the 11th IFAC International Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing (ALCOSP'2013), Caen - France, 03-05 July. - 2013. - P. G95-700. - Режим доступа: http://www.ifac-papcrsonline.net/Detailed/59GG7.htinl

7. Pakshin, P. Iterative Learning Control under Parameter Uncertainty and Failures [Электронный ресурс] / P. Pakslun, J. Emelianova, K. Galkowski, E. Rogers // Proceedings of the 2012 IEEE Multi-conference on Systems and Control, Croatia, October 3-5. - 2012. - P. 1249-1254. - Режим доступа: http://ieeexplore.ieee.org/xpl/login.jsp?tp=&arnumber=63982G8

Публикации в других изданиях

8. Emelianova, J. Absolute Stability of 2D Continuous Roesser System / J. Emelianova // Proceedings of the 14th International Student Olympiad on Automatic Control, Saint Petersburg, Russia, 21-23 September. - 2011.

9. Емельянова, Ю. П. Алгоритм синтеза робастпого управления с обратной связью по выходу на основе линейных матричных неравенств / Ю. П. Емельянова // Навигация и управление движением: Материалы докладов XIII конференции молодых ученых «Навигация и управление движением» / Науч. редактор д.т.н. О. А. Степанов. Псд общ. ред. академика РАН В. Г. Пе-шехонова. - СПб.: ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор». - 2011. - С. 320-332.

10. Emelianova, J. Absolute Stability of 2D Continuous Roesser System with Possible Failures /J. Emelianova // Abstracts of International Conference «Cybernetics and Informatics», Slovak Republic, January 31 - February 4. - 2012. - P. 21-22.

11. Емельянова, Ю. П. Абсолютная устойчивость непрерывных систем Россссра с возможными нарушениями / Ю. П.Емельянова // Межвузовский сборник аспирантских и студенческих научных работ «Информационные технологии и прикладная математика», вып. 2, часть 1, Арзамас. - 2012. - С. 33-44.

12. Емельянова, Ю. П. Устойчивость и стабилизация одного класса 2D систем / Ю. П.Емельянова, П. В. Пакшип // Материалы конкуренции «Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах» (УТЭОСС-2012). - СПб.: ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор». - 2012. - С. 127-130.

13. Емельянова, Ю. П. Алгоритмы синтеза управления с итеративным обучением / Ю. П.Емельянова // XVII Нижегородская сессия молодых ученых. Технические науки. 1922 марта 2012 г. / Отв. за вып. И.А. Зверева. - Нижний Новгород: НИУ РАНХиГС. - 2012.

- С. 87-90.

14. Емельянова, Ю. П. Алгоритм управления с итеративным обучением системами с неопределенными параметрами и возможными нарушениями / Ю. П.Емельянова // Навигация и управление движением: Материалы докладов XIV конференции молодых ученых «Навигация и управление движение» / Науч. редактор д.т.н. О. А. Степанов. Под общ. ред. академика РАН В. Г. Пешехонова. - СПб.:ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор». - 2012.

- С. 484-490.

15. Paksliin, P. Exponential Stability of Repetitive Processes with Markovian Switching [Электронный ресурс] / P. Paksliin, J. Emelianova, K. Galkowski, E. Hogers // Proceedings of the 20th International Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems, Melbourne, Australia, July 9-13. - 2012. - P. 1-8. - CD-ROM.

16. Емельянова, Ю. П. Устойчивость и стабилизация систем Форназини-Маркезини / Ю. П. Емельянова, П. В. Пакшип // Проблемы устойчивости и управления. Сборник научных статей, посвященный 80-летию академика Владимира Мефодьевича Матросова. - М.: Физмат-лит. - 2013. - С. 1G1-170.

17. Емельянова, Ю. П. Построение алгоритмов сетевого управления с итеративным обучением на основе моделей с двумерной динамикой / Ю. П.Емельянова // Навигация и управление движением: Материалы докладов XV конференции молодых ученых «Навигация и управление движением» / Науч. редактор д.т.н. О. А. Степанов. Под общ. ред. академика РАН В. Г. Пешехонова. - СПб.: ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор». - 2013. - С. 357-3G3.

18. Емельянова, Ю. П. Устойчивость и стабилизация систем Фор1имини-Марксзини с неопределенными параметралш и возможными нару^исниями / Ю. П.Емсльяпова // Математический вестник педвузов и униисрситстов Волго-Вятского региона. Выпуск 15: периодический межвузовский сборник научно-методических 1>абот. - Киров: Изд-во ООО «Радуга-ПРЕС». - 2013. - С. 78-85.

19. Емельянова, Ю. П. Сетевое управление с итеративным обучением системами с неопределенными параметрами и информационными нарушениями / Ю. П.Емельянова // Управление большими системами: материалы X Всероссийской школы-конференции молодых ученых. Том 1 / Уфимск. гос. авиац. тех. ун-т. - Уфа: УГАТУ, 2013. - С. 50-53.

20. Emeliauova, J. Stabilization and Control of 2D Systems (Электронный ресурс] / J. Eelianova, P. Pakshin, K. Galkowski, E. Rogers // Proceedings of the 8th Int. Workshop on Multidimensional Systems (nDS'13), Erlangen, Germany, Sep. 9-11 2013. VDE-Verlag. Berlin. - 2013. - P. 1-G. -Режим доступа: liltp://ie{«xplore.ie(«.org/xpl/aiticleDetails.jsp?tp=&arnuinber=C623842

21. Емельянова, Ю. П. Стабилизация нелинейных дискретных повторяющихся процессов (Электронный ресурс] / Ю. П.Емельянова, П. В. Пакшин // XII Всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ-2014. Москва, 1G-19 июня 2014 г.: Труды. М.: Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН. - 2014. - С. 849-8G0. - DVD-ROM.

22. Емельянова, Ю. П. Пассивность и стабилизация нелинейных 2D систем с прилижением к задачам управления с итеративным обучением ¡Электронный ресурс] / Ю. П.Емельянова // Управление большими системами (УБС 2014) (Электронный ресурс]: Материалы XI Всероссийской школы-кош1>ере1щии молодых ученых, 9-12 сент. 2U14 г. Арзамас / Ин-т проблем упр. им. В.А. Трапезникова; Арзамас, политехнический ин-т Нижегородец гос. техн. ун-та; под общ. Ред. ДА. Новикова, П.В. Пакшина. - Электрон, текстовые дан. (108 файл.: 78,8 Мб).- М.: ИПУ РАН. - 2014. - С. 159-176. - CD-ROM.

Свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ

23. Программа «Robust static output feedback (RSOF)» для вычисления матрицы обратной связи / П. В. Пакшин, М. А. Емельянов, Ю. П. Емельянова // СПб., 2013. 12 с. (ФГБУН Институт проблем машиноведения РАН; входящий номер ВНТИЦ: Ш31Ю9151203)

Подписано в печать 21.11.2014. Формат 60 х 84 '/16. Бумага офсетная. _Печать офсетная. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 797._

Нижегородский государственный технический университет им. P.E. Алексеева.

Типография НГТУ. Адрес университета и полиграфического предприятия: 603950, ГСП-41, г. Нижний Новгород, ул. Минина, 24.