автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Универсальные законы управления механическими системами

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ? 2 Г Г '/

'•'л i / '

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ РАН им. В.А. Трапезникова

На правах рукописи

МАТЮХИН Владимир Иванович

УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ УПРАВЛЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

Специальность: 05.13.01 - Управление в технических системах

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2000

Работа выполнена в Институте проблем управления РАН

Научный консультант: доктор технических наук, профессор Е.С. Пятницкий

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН Ю.Н. Павловский

доктор физико-математических наук, профессор A.M. Формальский

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Э.М. Солнечный

Ведущее предприятие: Институт проблем механики РАН

Защита состоится 15 июня 2000 г. в 1ф часов на заседании Диссертационного совета Д 002.68.03 при Институте проблем управления РАН по адресу: 117806 ГСП7, Москва, Профсоюзная ул. 65

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем управления.

Автореферат разослан "_"_2000 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета кандидат технических наук /Власов С. А. /

KW5.0

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Среди объектов управления существенное место занимают объекты механической природы. Такие системы включают практически важные объекты управления: роботы-манипуляторы и другие подобные системы (типа крана, центрифуги и т.д.), летательные и плавательные аппараты, транспортные средства различного назначения. Проблема синтеза законов управления такими объектами является одной из центральной задач теории и практики управления. Основы решения этой задачи заложены в работах Н.Г. Четаева, В.В. Румянцева, Д.Е. Охоцимского, Е.П. Попова, В.М. Матросова, A.M. Фор-мальского, A.A. Первозванского.

Вопросы сохранения свойств динамических систем при вариациях их параметров (коэффициентов, характеристик) имеют существенное значение в решении проблемы управления. Исследование грубости (робастности) моделей, нечувствительности их свойств к изменениям параметров было начато в работах A.A. Андронова, JI.C. Понтрягина. H.H. Красовским и И.Г. Малкиным сформулированы критерии устойчивости динамических систем по отношению к различного рода возмущающим факторам, которые возникают при учете изменений динамических параметров системы.

В работах Ф.Л. Черноусько, И.М. Ананьевского задача управления исследуется в условиях, когда динамические параметры механической системы известны не полностью. В работах Е.С. Пятницкого сформулирована задача управления для «черного ящика

механической природы», где рассматривается предельная ситуация, когда информация о динамических параметрах системы является по существу недоступной. Выдвинут «принцип декомпозиции», который является одним из подходов к решению такой задачи.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В работе исследуются проблемы управления механическими системами. Особенность работы связана с построением универсальных (многорежимных, многоцелевых) законов управления. Эти законы обладают двумя свойствами. Законы стабилизируют любое движение механической системы, если только движение отвечает ее динамике. Законы не содержат информации о динамических параметрах объекта управления. Законы, обладающие такими свойствами, позволяют эффективно решить задачу управления. Такие законы, например, требуют минимальных вычислительных затрат и времени для построения выходного управляющего сигнала.

Управляемые механические системы являются по существу многорежимными многоцелевыми системами широкого назначения. Поэтому естественной оказывается ситуация, когда цель управления, динамические параметры объекта управления и внешней среды непрерывно изменяются. Система управления механическим объектом должна отвечать этим условиям. Именно, система должна обеспечивать устойчивость достаточно широкого спектра различных режимов движения объекта управления. Причем это должно осу-

ществляться, несмотря на изменения динамических параметров объекта управления и внешней среды.

В указанных условиях получить решение задачи управления затруднительно, если ограничиваться линейными законами управления. Например, известные ПИД-регуляторы предназначены для стабилизации по существу только одного режима движения объекта управления. Действительно, изменение цели управления или параметров объекта управления в общем случае требует новой настройки коэффициентов регулятора. Эта процедура достаточно громоздка (в общем случае требует существенных вычислительных затрат и времени). Аналогичная ситуация имеет место и по отношению к нелинейным законам управления. Как правило, эти законы являются достаточно громоздкими, явно зависят от динамики объекта управления и поэтому требуют значительных вычислительных затрат и времени при построении выходного управляющего сигнала.

В связи с этим возникает задача построения универсальных (многорежимных, многоцелевых) законов управления, отвечающих новым условиям эксплуатации механических систем. Проблема построения таких законов управления изучается в настоящей работе [1-37].

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Общая цель работы состоит в том, чтобы разработать метод построения универсальных законов управления механическими системами. Такой закон должен обладать следующими свойствами:

1. Закон должен обеспечивать устойчивость любого целевого движения из множества допустимых. Это множество должно содержать практически любые реализуемые движения (т.е. движения, отвечающие динамике рассматриваемой системы).

2. Закон не должен зависеть от динамических параметров объекта управления и должен требовать только минимальных затрат вычислительных ресурсов и времени при построении выходного управляющего сигнала.

Метод построения управлений должен быть применим в условиях, когда:

- система подвержена возмущениям;

- цель управления в задается в общем виде (в форме общих требований к движению системы);

- существенна динамика управляющих приводов;

- на систему наложены неголономные связи;

- задача управления связана с регулировкой силового взаимодействия элементов механической системы и т. д.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе используются методы аналитической механики, теории устойчивости, прямой метод функций Ляпунова, метод вектор функций Ляпунова. Для исследования устойчивости механических систем используется класс функций Ляпунова энергетического типа, например, полная энергия механической системы. В работе исследуется также, например, функции

Ляпунова типа энергии ускорений механической системы (глава IV,§2), или - энергии ее квазискоростей (глава IV,§4).

Решение задачи управления в работе опирается на специфику, особенности механической системы как объекта управления. Для описания динамики механических систем наряду с известными уравнениями Лагранжа, Эйлера используются, например, уравнения Рауса. Эти уравнения оказываются более выразительными в задаче анализа упругих механических систем, жесткость которых достаточно велика. По той же причине для исследования силового взаимодействия в механических системах используются уравнения Аппеля.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Научная новизна работы связана с анализом следующей предельной ситуации. В работе инерционные характеристики и внешние силы, воздействующие на механическую систему, считаются неизвестными (известны только общие свойства этих величин типа гладкости, ограниченности). Иначе говоря, задача построения закона управления решается для «черного ящика механической природы» (Пятницкий Е.С., 1989). В этих условиях необходимо построить закон управления, который стабилизирует любое движение механической системы, если только оно отвечает ее динамике.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ результатов работы определяется тем, что законы управления не содержат информацию о динамичь-ских параметрах объекта управления и среды, получение которой

представляет самостоятельную проблему. Поэтому построение выходного сигнала соответствующего регулятора требует минимальных затрат и может осуществляться в реальном масштабе времени. Замкнутая система является устойчивой. Это будет верно при достаточно широких изменениях цели управления, динамических параметров механической системы и внешней среды. Показано, что соответствующий регулятор является грубым, допускает цели управления в общей форме. Все это справедливо для механических систем общего вида.

^ РЕАЛИЗАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ осуществлена при разработке систем управления для реальных практически важных механических систем различного назначения.

Результаты работы использовались при построении экспериментальной установки на базе серийного промышленного робота-манипулятора ТУР-10 (который эксплуатируется в Институте проблем управления в исследовательских целях).

Результаты работы были также использованы при разработке научно-технических тем Института проблем управления, связанных с г робототехнической проблематикой (отчеты 1982, 1985, 1986, 1990, 1997-1999 годов). Результаты использовались при разработке систем управления для механических систем, подобных манипуляторам, например, для центрифуги ЦФ-18 в Центре подготовки космонавтов.

Результаты работы широко использовались для разработки систем управления подвижными объектами, например, летательными

аппаратами различного назначения. Эти исследования проводились совместно с ЦАГИ, ЛИИ, КБ им. Микояна, НПО Энергия (отчеты ИПУ 1987, 1988, 1989, 1992, 1993). Здесь исследовался, в частности, вопрос об управлении летательным аппаратом, динамика которого У известна не полностью, например, после повреждения.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались и обсуждались на многих всесоюзных и международных семинарах: "Гибкие автоматизированные производства и роботы" (Суздаль, 1984), Всесоюзной школе-семинаре "Оценки параметров автоматизированных систем" (Ворошиловград, 1985), Всесоюзной конференции "Декомпозиция и координация в сложных системах" (Челябинск, 1986), Всесоюзном семинаре "Гибкие автоматизированные производства и роботы" (Челябинск, 1988), Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (1996, 1998, 2000), Force ECPD International Conference on Advanced robotics, Inteligent Automation and Active Systems (1998), Международной конференции по проблемам управления (1999, Институт проблем управления).

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация содержит предисловие, введение, пять глав, список литературы из 249 наименований. Основная часть работы содержит 247 машинописных страниц и 18 рисунков.

ЛИЧНЫЙ ВКЛАД ДИССЕРТАНТА. Все результаты, вынесенные автором на защиту, получены самостоятельно. В работах 1,3,5,6,

8,9,11,13,16,17,20,23,32, выполненных в соавторстве, диссертанту принадлежит формализация задачи, формулировка и доказательство теорем, обобщение.

РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ. В работе обоснованы теоретические положения, совокупность которых отвечает перспективному направлению исследований, связанных с построением универсальных законов управления для динамических систем механической природы. Эти законы стабилизируют любое реализуемое движение системы, не содержат информации о ее динамических параметрах, обладают иными важными свойствами (например, получены в классе ограниченных законов управления, требуют минимальных вычислительных затрат и времени). Именно, в работе:

1. Разработан метод построения универсальных законов управления. Он основан на использовании функций Ляпунова, которые имеют энергетический смысл. Эти функции используются как компоненты в рамках метода вектор функций Ляпунова.

2. Обоснована грубость законов управления по отношению к различного рода возмущающим факторам. Исследовано три наиболее критических фактора: неидеальности устройств управления, постоянно действующие возмущения, деформации элементов системы.

3. Построен закон управления для цели управления, которая задана в форме общих требований к движению механической системы.

4. Решена задача стабилизации движения системы в условиях, когда существенна динамика ее управляющих приводов.

5. Построен закон управления, который не содержит обобщенных скоростей объекта управления. Это важно при управлении, например, манипулятором, звенья которого обладают высокой жесткостью. В этом случае обобщенные скорости затруднительно использовать в законе управления, поскольку они измеряются с существенной погрешностью.

6. Решена задача управления механическими системами общего вида, которые могут содержать неголономные связи. Этот класс содержит системы с качением (автомобиль, поезд, самолет на взлетной полосе и т.д.), электромеханические системы со скользящими контактами.

7. Построен закон управления, который стабилизирует не только движение механической системы, но и ее силовое воздействие на окружающие объекты.

8. Решена задача стабилизации движений твердого тела. В частности, построены законы управления, которые стабилизируют движения самолета в условиях, когда эффективность органов управления оказывается низкой, когда приходится учитывать эффекты неустановившегося обтекания корпуса самолета (например, скос воздушного потока). Исследованы другие вопросы динамики полета.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение

Введение посвящено обзору существующих методов управления механическими системами. Здесь формулируется проблема управления механическими системами. На интуитивном уровне вводится понятие универсального закона управления. Приводятся основные мотивы, которые определяют задачу построения таких законов управления.

Постановка задачи управления механическими системами

Объектом исследования являются динамические системы, движение которых могут описываться уравнениями Лагранжа второго ро-

или А(с1,0с1 = <3+М. Через я;,с[; обозначены обобщенные координаты и скорости механической системы. Т - кинетическая энергия. М, - ограниченные управляющие обобщенные силы (управления)

Неравенства (2) описывают естественные ограничения на величину выходного сигнала управляющих устройств механической системы.

В работе решается следующая задача управления. Задано множество Ф функций вида

(Глава I)

да

(1.1)

м^о^Н;, { = и.

(1.2)

я = = (1-3)

каждая из которых может быть выбрана в качестве целевого движения системы (1). В классе (2) ограниченных управлений требуется построить такой закон управления, который, во-первых, стабилизирует любое движение (3) из множества Ф, во-вторых, не зависит от динамических параметров объекта управления и внешней среды (не содержит масс, моментов инерции элементов механической системы, коэффициентов трения и т.д.). Такой закон будем называть универсальным.

В предположении, что состояние системы доступно,

универсальный закон имеет следующий вид (рис.1)

М1 I = 1. п.

с==0|

Унипсрс Механ.

закон система

->

Рис.1.

Множество Ф имеет следующее описание [5,10,11]. Именно, каждый элемент множества Ф должен удовлетворять уравнениям (1), т.е. должны быть выполнены тожества

А(ч^)^д(ч\<ь0+мЧ0. (1.4)

Функции М*(1) в (4) представляют собой некоторые программные управления, которые отвечают движению Эти управления

должны принадлежать классу допустимых управлений (2), т.е.

М*(фН;, ¡ = й. (1.5)

Движение я*(0 будем называть реализуемым, т.е. q*(t)eФ, если для него условия (4),(5) выполнены.

Задача построения стабилизирующего управления имеет смысл только для реализуемого движения. Множество Ф по существу является множеством всех возможных движений рассматриваемого объекта управления. Таким образом, универсальный закон управления должен обладать следующим важным свойством - должен стабилизировать практически любое такое движение.

Кроме того, универсальный закон управления должен отвечать требованиям, которые обычно предъявляются к законам управления.

1. Универсальный закон должен требовать только минимальных затрат (вычислительных ресурсов и времени) на построение выходного управляющего сигнала. Это требование важно с прикладной точки зрения.

2. Закон должен допускать возмущающие воздействия различных видов. В частности закон должен быть грубым, т.е. должен сохранять свои основные свойства при малых вариациях параметров задачи управления. Например - при учете малых неидеальностей исполнительных и измерительных устройств

системы управления, при учете нежесткости звеньев механической системы и т.д. (глава III).

3. Законы управления с надлежащими изменениями должны быть применимыми к механическим системам общего вида, например - к неголономным системам; к системам, в которых существенно влияние динамики приводов и т.д. (глава IV).

4. Закон должен допускать цели управления, заданные в общей форме. Именно, программа (3) явно может быть не задана, а цель задается в форме общих соотношений (глава IV,§ 1).

5. Метод синтеза универсальных закон управления должен допускать решение специальных задач управления. В частности, задача управления может быть связана не только с изменением положения элементов механической системы, но с ее силовым воздействием на окружающие объекты (глава IV,§5).

Метод построения универсальных законов управления

(глава И)

В главе дан метод построения универсальных законов управления механическими системами. Метод основан на использовании функций Ляпунова энергетического типа. Строится производная в силу уравнений движения системы. Закон управления выбирается из условий убывания функции Ляпунова до нуля вдоль траектории движения системы.

В работе рассматриваются функции Ляпунова энергетического типа

¿.а^ч' + ЛсьОЛя, Аяк, (2.1) 21,к=1

Лq = q-q"(t). При Aq = q, когда q*(t)=0, функция (1) совпадает с кинетической энергией 0=Т=—^а^с^ рассматриваемой механической системы (1.1) (глава I). В силу свойств коэффициентов а,к функция О является положительно определенной по переменным А^;, причем

п и

Ая,2 < в < А4,2 , ЯеашРЧ). (2.2)

1=1 ¡=1

Для оценки величин Дц^ в работе вводится вторая функция Ляпунова § = ё(Д(], 0 , которая является положительно определенной по этим переменным. В качестве функции g рассматривается функция

В = ЕК|. (23)

¡=1

в и § можно рассматривать как компоненты вектор-функции Ляпунова (Матросов В.М.) [10-15]. Условия Ляпунова

6(м\ Дя, Д<3,1)< О, ¿(ДЧ, 0 < 0 (2.4)

об устойчивости заданного движения лежат в основе построения закона управления М1 = М'(^,Лс1,1:). Полные производные функций О!^ в силу уравнений движения механической системы (1.1) имеют вид

6 = 61(АЧ,А4,1)+АЧТ(М-МЧ0), ¿ = 2Дя;85§ПОЧ), (2.5)

¡=1

1=1

При построении (5) используются уравнения движения системы (1.1), записанные в отклонениях Ад = q- q*(t), т.е.

АДс} = ДА<1* + ДС> + АМ. (2.6)

Неравенство

ё(м2,Ая,А4,1) = т!п 6(М,ДЧ,А<1д) (2.7)

|М1|<Н1

рассматривается в работе как принцип построения закона управления. Такое управление минимизирует значения производной функции Ляпунова на движении механической системы. Решение задачи (7) на минимум при учете (5) имеет вид

м. = М? = -Н^апй; - чГ(1)), 1 = £. (2.8)

Закон (8) отвечает условию М; (0| < Ц, т.е. управление принадлежит классу допустимых управлений и имеет следующий механический смысл. Функция О в (7) представляет собой величину кинетической энергии механической системы (6), где в качестве обоб-

17

щенных координат выбраны отклонения Дqi. Соотношение (5) выражает теорему механики об изменении этой энергии. Правая часть (5) имеет смысл мощности сил, действующих на механическую систему. Закон (8) характеризуется тем, что он согласно (7) обеспечивает в каждой точке наибольшую локальную скорость диссипации энергии в [10-15].

Рис. 2. Соотношение (8) может рассматриваться как закон управления механической системой Условия Ляпунова (4) можно рассматривать как условия устойчивости для замкнутой механической системы, которые имеют общий характер.

Теорема 2.1. Пусть для движения q=q*(t) системы (1.1) неравенства (4) выполнены при некотором управлении М=М\ Тогда закон управления (8) обеспечивает устойчивость этого движения.

Более конструктивные условия устойчивости задает утверждение Теорема 2.2. Пусть для движения q=q*(t) выполнены усиленные условия (1.5) реализуемости вида

|M*(t)|< Hj -n, i-i.n. (2.9)

Тогда закон управления (8) обеспечивает устойчивость этого движения.

Теорема 2 следует из предположения (9). Здесь константа т)>0 имеет смысл минимального запаса управления, который в общем случае может быть использован для стабилизации заданного движения q=q*(t). При учете (9) равенства (5) принимают вид

G< Gt-чХ\Ы> S = tMi sign(Aqi), (2.10)

i=l i—1

или G<G,-Tb/G, g<dVG, где учитываются также неравенства (2) для функции Ляпунова G ( rj, d = const > 0 ).

При учете предположения о гладкости рассматриваемых механических систем и некоторых несущественных предположений из (10) устанавливается система неравенств

G<a|A<i|2 + b|Aq||Aq|-^VG, g<dyfo , (2.11) a,b,d=const>0. При учете (2) из (11) следует система

G < -s/G(n - aVG - ц/g ), g < dVG . (2.12) При малых начальных отклонениях

G(t°)<5, g(t°) < 5 (2.13) решения системы (12) удовлетворяют соотношениям G{t)<G(t0), при t°<t<t°4-t, G(t) = 0, при t>t°+t, (2.1-М

Отсюда устанавливается устойчивость движения я=я*(1:) механической системы при управлении (8) согласно теореме 2 [10-15].

Соотношения (14) приводят к принципу декомпозиции.

Принцип декомпозиции (Пятницкий Е.С.,1989). Из соотношений (14) следует, что через конечный интервал времени т механическая система будет двигаться в скользящем режиме вида

ЧЁ = 4Г(0, ¡-и. (2.15)

Иначе говоря, что за счет разрывных обратных связей (8) нелинейная многосвязная механическая система становится идеальным повторителем сигналов с[; (1) (рис.3).

чГ(0

Замкнутая механическая система

Рис. 3. Идеальный повторитель назначенных скоростей СЦ •

Это значит, что разрывные обратные связи (8) компенсируют динамическое взаимовлияние элементов механической системы, и система начинает двигаться в силу системы (15) несвязных невзаимодействующих подсистем (т.е. в режиме декомпозиции).

Таким образом, исходная задача теперь сведена к задаче управления для простейшего объекта (15) вида

1-1,11. (2.16)

Величины v, можно рассматривать в качестве новых управлений. Новые управления выбираются в зависимости от тех или иных обстоятельств (например, с учетом поставленной цели управления, принимая во внимание ограничения на фазовые координаты, исходя из условий устойчивости и т.д.).

Получение указанного эффекта идеального повторителя составляет основную цель и вызывает основные затруднения в анализе разрывных механических систем. Эффект известен для некоторых разрывных динамических систем. В настоящей работе этот эффект получен для динамических систем механической природы общего вида.

Универсальность закона управления. Построенный закон управления (8) отвечает поставленным выше требованиям. Именно, теорема 2 содержит только одно существенное условие (9). Это условие при малом т| практически совладает с исходным условием (1.5) реализуемости движения |м*(1:)|<Н;. Это значит, что закон (8)

обеспечивает устойчивость практически любого движения q(t) = с}*(1) механической системы, если это движение реализуемо.

Закон (8) не зависит от динамических параметров объекта управления, обратная связь (8) является достаточно простой. Это значит, что для построения выходного управляющего сигнала требуется минимум затрат вычислительных ресурсов и времени. Именно

поэтому закон (8) может быть оперативно использован для стабилизации всех реализуемых движений механической системы. Закон применим и при изменении динамики объекта управления.

Грубость универсальных законов управления (глава III)

При построении универсальных законов управления предполагалось, что звенья манипулятора являются абсолютно твердыми телами; координаты и скорости системы измеряются абсолютно точно; управляющие силы могут мгновенно изменяться на конечную величину и т.д. В главе устанавливается важное свойство универсальных законов управления, связанное с их грубостью. Именно, показывается, что замкнутая механическая система будет сохранять свои основные свойства (например, устойчивость) при малых вариациях указанных предположений. Например - при учете малых неидеаль-ностей исполнительных и измерительных устройств управления механической системы, при учете нежесткости ее элементов и т.д. [14,15,21].

УСТОЙЧИВОСТЬ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ УЧЕТЕ

НЕИДЕАЛЬНОСТЕЙ УСТРОЙСТВ УПРАВЛЕНИЯ (§1) В разделе показывается, что универсальные разрывные законы управления оказываются грубыми по отношению к предположению о возможности формирования разрывного выходного управляющего сигнала, например, вида

М, =-Н^еп|х1], (3.1)

С этой целью учитываются неидеальности управляющих устройств системы, которые по управляющему сигналу формируют управляющие силы М;. Речь идет об учете малых погрешностей измерительных устройств, слабой динамике управляющих приводов, люфтах механических передач, упругости звеньев механической системы и т.д. [ 14,15,21 ].

При учете погрешностей v, измерения переменных qi,qi "идеальный" закон управления (1) примет вид его возмущенного аналога

; = !,„. (3.2)

Пусть погрешности малы

<5, 1-й, (3.3)

где 5>0 мало. На вопрос, сохраниться ли устойчивость возмущенной системы (1.1)

¿а&С[к 1 = 1,11, (3.4)

к=1

положительный ответ дает следующая

Теорема 3.1. Пусть движение ч=я*0;) системы (4) является реализуемым. Тогда для любого числа в>0 существуют числа 5г>0 и 62>0, что из неравенств jдqi(t0)<51, |л<^(г0)|<5;, 1=1,п и

неравенств (3) вида |у;|<62,1 = 1,п следуют неравенства

Аналогичные утверждения справедливы при учете других неиде-альностей системы управления. При учете малого (постоянного) запаздывания х > 0 в системе измерения состояния объекта закон управления примет вид

М^-Ида^-т)], ГГ^. (3.5) Если запаздывание т в соотношениях (5) может быть малым, то справедлив аналог теоремы 1. При учете малой инерционности приводов системы управляющие силы описываются уравнениями

у^ + = -Н^п[х;], « = 1,П . (3.6) Если число у>0 в уравнениях (6) может быть малым, то также справедлив аналог теоремы 1.

УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ПОСТОЯННО ДЕЙСТВУЮЩИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ (§2) В работе исследована задача об устойчивости движения системы (1.1),(1) вида

п ^ _

Езде =0!-ндаЬсЛ+г;, ¡ = 1.» (3.7)

к=1

при постоянно действующих возмущениях [14,15,21]. Найдены условия, при выполнении которых движение системы (7) является устойчивым.

Постоянно действующие возмущения (ПДВ) в (7) рассматриваются как дополнительные обобщенные силы, действующие на систему помимо сил СЬ и М*. В отличие от функции Zi гладкими могут не являться. Источником сил могут быть реальные возмущения любой природы. Например, в форме ПДВ вида

2; = -Нда[Х;+У;]+Н;а§п[х;], ¡ = 1,п. (3.8) может быть учтено возмущающее влияние погрешностей измерения, которое описывается соотношениями (2).

В работе исследован класс возмущающих сил Ъх, для которых справедливы неравенства

ЪХЦ< А, ¡ = м, (3.9)

где Л>0 достаточно малое число. Неравенства (9) следуют из неравенств (3) <5, если число 5>0 достаточно мало. Величины Ъ\

в правой части уравнений Лагранжа (7) имеют физический смысл обобщенных сил, сигнал х> имеет размерность скорости. Поэтому величина N ] = Zixi в (9) имеет размерность мощности. Следовательно, неравенства (9) отражают ограниченность мощности N1 возмущающей силы Ъх. Справедливо утверждение [14,15,21].

Теорема 3.2. Пусть движение q=q*(t) механической системы является реализуемым и выполнен критерий (9). Тогда система (7) является устойчивой при постоянно действующих возмущениях ограниченных по мощности.

Неравенства (9) задают достаточно слабые условия, и допускает к рассмотрению достаточно широкий класс различных возмущений, возникающих в механических системах.

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ МАНИПУЛЯТОРА ПРИ УЧЕТЕ УПРУГОСТИ ЗВЕНЬЕВ (§3) Универсальные законы управления выше были построены в предположении, что элементы механической системы, например, звенья манипулятора не допускают деформаций и являются абсолютно твердыми телами. Известно, что деформации реальных механических систем могут оказывать существенное влияние на их динамику. В разделе найдены естественные условия, при которых законы управления стабилизируют движение манипулятора, звенья которого допускают (малые) деформации.

Указанная проблема сводится к следующей задаче устойчивости [14,15,21,22,25,27,29,37]. Для описания динамики манипулятора вводятся две модели: жесткая и упругая. В рамках жесткой модели звенья манипулятора, рассматриваются как абсолютно твердые тела, а в упругой модели допустимы их деформации. Необходимо, чтобы движения этих моделей были близки.

Жесткая модель задается уравнениями (1.1) при учете (1)

2>;кФк = Qi -Hjsignjxi], TTZi, (зло)

к=1

Аф{, Дф;=ф{-ф{, i = in, X=const > 0, ф i - состояние шарниров манипулятора, ф ¡*(t) - целевое движение. В рамках упругой модели звено манипулятора, рассматривается как система (цепь), содержащая m элементов (абсолютно твердых тел), которые соединены между собой шарнирами. Эти шарниры введены для формального описания сосредоточенных деформаций звеньев \j/ = (i|/n+1,...i|/N), N=nm. Упругая модель механической системы задается уравнениями

Sa!k4k = Qi ~ H;sign[x;], i = (3.11)

k=l

la^-Qi + Mi, ¡-¡Ton, (3.12)

k=l

где q=(q,,...^iN)=(q>,\{/), M;,i = n+i,n - компоненты обобщенных сил, которые имеют смысл напряжений, т.е. являются функциями вида =Mi(v|/,v}/,t). Эти напряжения возникают в выбранных сечениях звеньев системы, и соответствуют деформациям , i = nHN.

Пусть напряжения звеньев манипулятора описываются соотношениями

M^-HjSign^+Vi/i), (3.13)

где ?ч>0 являются достаточно малыми константами. Константы Н, имеют смысл максимально возможного значения размаха напряжений. Тогда справедливо утверждение [14,15,21,22,25,27,29,37]

Теорема 3.3. Пусть функция описывает реализуемое движение жесткой модели (10). Пусть на невозмущенном движении Ч(1)=(ф*(0»О) напряжения звеньев манипулятора ограничены |м*|<Н;-т1, т]=соп51>0. Тогда движение (ф,\|/)=(ф*(г),0) уп-

ругой системы (11)-(13) является устойчивым.

Теорема 3 обоснована и в общем случае, когда напряжения звеньев манипулятора удовлетворяют более слабым условиям, например, не являются разрывными (как это предполагается в соотношениях (13)). Такое описание напряжений полностью отвечает общим положениям теории упругости механических систем.

Управление движением многозвенного манипулятора

(глава IV)

В главе IV метод построения универсальных законов управления используется для решения таких задач управления, которые ориентированы на реальные проблемы управления механическими системами.

ОПИСАНИЕ ЦЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ В ОБЩЕЙ ФОРМЕ.

СТАБИЛИЗАЦИЯ ДВИЖЕНИЯ (§1) В главе I цель управления механической системой задавалась в форме программы q=q*(t) изменения ее обобщенных координат. Однако цель управления механической системой не всегда удобно задавать непосредственно в терминах ее движений. Например, для ■траекторной задачи управления манипулятором цель может описываться в форме Х1^Д)=Х(1), 9/^,0=6(0,1=1,3. Через х, здесь обозначены декартовы координаты схвата манипулятора, углы Э; - описывают его ориентацию. Ограничения на допустимые значения обобщенных координат механической системы (фазовые ограничения) удобно задать в форме неравенств а^,<вь 1=1,п. Неравенства общего вида ф;^,С1,0<0, ¡=^т могут описывать области фазового пространства самолета, в которых возможно возникновение нештатных режимов движения (штопор, глубокое сваливание [13,17,20,23]).

Цели управления в указанных формах сводятся к виду

=§¡(4,0, ¡ = '.п (4.1)

(при введении естественных предположений, Пятницкий Е.С., 1989, Мухаметзянов И.А., 1972). Соотношения (1) описывают поверхность (многообразие) фазового пространства механической системы, вдоль которого она должна двигаться. Для цели управления механической системой в общей форме (1) построены универсальные законы управления.

Идея связана с выводом механической системы на скользящий режим в силу системы (1). Для этого управления М; выбираются в форме

М;=М1 = -Нда[44-81(я,1)], (4.2)

и далее исследуется замкнутая механическая система вида

¿адк = Т^Гп. (4.з)

к=1

Теорема 4.1. Пусть многообразие (1) является реализуемым. Тогда (1) будет устойчивым многообразием системы (3) в соответствии с определением [9-11,28].

Предполагаемая в теореме 1 реализуемость многообразия (1) имеет тот же смысл, что и реализуемость программы я=я*(С). Необходимо, чтобы на различных движениях я=я+(0 системы вдоль многообразия (1) соответствующие значения управлений МрМ^О не выходили из области допустимости вида |м^ < Н; - т|,

т|=ч;оп5С>0.

Доказательство теоремы следует схеме доказательства теорем выше. При изменении цели управления д -» достаточно осуществить замену £ —> § в законе управления (2). Если многообразие

СЦ = Е^Ч.Ои 1>п является реализуемым, то стабилизация новой цели управления в соответствующей замкнутой системе будет обеспечена. В этом смысле закон управления (2) является универсальным, т.е. является единым законом управления, стабилизирующим по существу любое реализуемое многообразие вида (1). Теорема 1

носит общий характер. Например, из теоремы 1 следует основное утверждение главы II об устойчивости программного движения q=q*(t) механической системы. Это будет справедливо, если многообразие (1) записать, например, в виде = q*(t), i = i.n .

ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ УЧЕТЕ ДИНАМИКИ ЕЕ ПРИВОДОВ (§2) Влияние динамики исполнительных управляющих приводов механической системы рассматривалась в главе III. Там исследовался частный случай, когда управляющие привода оказывают только слабое влияние на движение механической системы. В настоящем разделе исследуется общий случай, когда динамика приводов может быть существенной. Построен соответствующий универсальный закон управления [5,9-11].

В разделе исследуется система вида

i>ikqk =Qi+Mi5 i = Mi=F1[M,q,4,t]+Ui, i = (4.4) k=l

Первые n уравнений описывают динамику механической системы, остальные п уравнений описывают динамику ее приводов. Идея решения задачи синтеза управления связана с приведением уравнений (4) к такой форме, которая подобна уравнениям движения для чисто механических систем. Приведение основано на специальной замене переменных. Вместо переменных М; системы (4) вводятся переменные cj;. Иначе говоря, обобщенные ускорения механической

системы рассматриваются как новые переменные. С этой целью

31

первые п уравнений (4) рассматриваются как соотношения, определяющие такую замену

1 = 1,п . (4.5)

к=1

Вторая группа уравнений (4) при подстановке (5) принимает вид

А

или вид

Ха*^ "О; к=1

I а1к (ч, Л = {ч, 4, ч, 1}+и;, I = 1, п.

(4.6)

к=1

Система (6) подобна чисто механическим системам, которые рассматривались выше. Поэтому по аналог™ для системы (6) рассматриваются управления, например, вида [5,9-11]

и; = -Н^п [£;], ¡ = и, (4.7)

¡> ^ 1—4£—ЧУ,Х = сош1>0. Особенность закона (7) связана с использованием ускорений механической системы.

Теорема 4.2. Движение (я, я, я) = (я*, я*, я*) системы (6)-(7) является экспоненциально устойчивым, если q*(t) является реализуемым движением системы в смысле выполнения неравенств

Л к 1 4 '

Доказательство теоремы 2 следует схемам доказательств аналогичных утверждений выше. Утверждение теоремы 2 будет по суще-

ству справедливым и в том случае, когда привода механической системы описываются уравнениями общего вида

М<т) =Р;[М(1),М(2),..., М^-^.я.фй;, ГГ^. (4.8) В отличие от (4) уравнения (8) могут иметь порядок ш>1.

СТАБИЛИЗАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ МАНИПУЛЯТОРА С ЖЕСТКИМИ ЗВЕНЬЯМИ (§3) Рассматриваются такие механические системы, деформируемые элементы которой обладают достаточно высокой жесткостью. Напряжения жестких звеньев манипулятора могут принимать достаточно большие значения, т.е. речь идет по существу о сингулярно возмущенных механических системах. Поэтому обобщенные скорости звеньев оказываются достаточно быстрыми переменными (могут содержать высокочастотные составляющие). При измерении таких сигналов и реализации соответствующего управляющего сигнала могут возникать затруднения. Они связаны с инерционностью и другими неидеалыюстями устройств измерения состояния системы (глава III). Поэтому задача управления жесткими механическими системами может быть связана с построением такого закона управления, который содержит только медленные переменные [29].

В связи с этим в работе для описания динамики манипулятора с

жесткими звеньями используется система уравнений Рауса

Ж. _ л, --. Ж - /л пч

-+ <2а+Ма, а=1,п, Фа = » (4.9)

Зфа Фес

д ж ж _ , . . .. - _ » •

д\\11 д\\11 а=1

Эта система эквивалентна системе уравнений Лагранжа выше. Система (9) может быть получена из уравнений Лагранжа при замене обобщенных скоростей сра на новые переменные - обобщенные

импульсы ра механической системы. В отличие от переменных Лагранжа (<р, \{/, ф, V}/) переменными системы (9) являются

(ф>Р»> где р=(рьр2,...,рп) - обобщенные импульсы [29]. К -функция Рауса, Ма - управления.

Через М, в (9) обозначены напряжения звеньев манипулятора, которые могут принимать достаточно большие значения. Поэтому обобщенные скорости ц/ { системы (9) являются быстрыми переменными. Однако импульсы ра в (9) таковыми не являются. Необходимо построить такой закон управления, который содержит только медленные переменные (ра и ра (и не содержит фа). Такой закон управления имеет вид

Ма =-На8*8а[(рв-р:(1) + Хв(фв.-ф1(1)1 (4.10)

Напряжения звеньев могут задаваться, например, в форме (3.13)

М; =-Н^§п(ф; 1 = п + 1, и, Х^ош^О. (4.11)

Теорема 4.3. Пусть ф*0) - реализуемое движение жесткого манипулятора (где деформации не учитываются), и |м* < Н^ — г[, „-и-

Пусть на невозмущенном движении (ф,1|/,р,\]/)=(ф* Др*,0) напря-

34

жения звеньев ограничены |М(|<Н; -г|, ) = п + 1,ы, т^сопзР-О. Тогда

движение (ф^Р^) = (ф*Лр*Д) будет экспоненциально устойчивым движением системы (9)-(11).

Заметим, что теорема 3 будет справедливой и в общем случае, когда закон управления (10) и соотношения (11), описывающие напряжения в системе, имеют общий вид [29].

СТАБИЛИЗАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩЕЙ НЕГОЛОНОМНЫЕ СВЯЗИ (§4) В разделе исследуется класс объектов управления, который содержит неголономные механические системы. В общем случае него-лономными следует рассматривать такие системы как автомобиль, поезд, самолет на взлетной полосе и другие системы с качением. Не-голономными необходимо считать электромеханические системы, содержащие скользящие контакты [30,31,33-36].

Законы выше, вообще говоря, не могут быть использованы для управления указанными системами. Это связано с тем, что движение неголономных систем не может быть описано в форме уравнений Лагранжа (или - в эквивалентной форме, например, в форме уравнений Рауса). Динамика неголономных систем описывается в более общей форме. В разделе для таких объектов управления строится универсальный закон управления.

Уравнения движения неголономной механической системы имеют вид

d ST <3T . m -

■r-=Qi(q,q.t) + Mi+ i-».-. (412)

dt dq; k=n+1

2 f ki Qi + fк = к = n + 1, m . (4.13)

i=l

Соотношение (13) является описанием неголономных связей механической системы, обобщенные силы

к=л+1

отвечают реакциям этих связей, Х^ - неопределенные множители Лагранжа.

Для построения универсального закона управления уравнения (12)-(13) записываются в эквивалентной форме уравнений Аппеля

~-=ZQibis + ^s, sTT^, (4.15)

п

q> = bi + 2]bik7ik, ¡-иг, (4.16)

k=l

где ца =]ГМ;Ьк,5 = 1.п - новые управления, и = тс,71,1) - функ-¡=1

ция ускорений рассматриваемой механической системы. Уравнения (12),(13) переходят в (15),(16), если переменные <}; заменяются новыми переменными - квазискоростями [30,31,33-36]

i=l

rank(F)=m, F=|4|££, FB=E, Вф^.

При 7Ck=0 соотношения (17),k=n+l,m принимают вид связей (13).

36

Теорема 4.4. Пусть движение я=я*0:) системы (15),(16) является реализуемым

обеспечивает экспоненциальную устойчивость движения (Я,тс) = (д* (0,0) неголономной системы (15),(16).

В доказательстве теоремы 4 используется функция Ляпунова типа кинетической энергии квазискоростей. Построенный закон управления (20) является универсальным, грубым и т.д., т.е. отвечает постановке задачи управления.

СТАБИЛИЗАЦИЯ СИЛОВОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА ОКРУЖАЮЩИЕ ОБЪЕКТЫ (§5) Выше рассматривались такие задачи управления, которые связаны со стабилизацией положения элементов механической системы. Однако существует достаточно широкий класс задач управления иного рода - когда необходимо регулировать силовое воздействие механической системы на окружающие объекты внешней среды. Например, актуальной является задача управления силовым воздействием манипуляционного робота, например, в процессе сборки.

«-й- (4-18)

(4.18)

Пусть является экспоненциально устойчивым движением

системы (16) вида

Идея решения задачи по существу связана с управлением реак-

m

циями связей (14) r. = ^Г ЯкГй ■ Эта возможность обусловлена

тем, что Rj соответствуют контактным силам между элементами механической системы и внешними телами [30,31,33-36]. Изменение Ri достигается за счет изменения величин

Aj = JA- dt , (4.21)

где h из (12). Поэтому цель управления силовым воздействием механической системы задается в следующем стандартном виде

q;=q*(t), ¡ = 1Я А; = A*(t), i = (4.22)

где q*(t),A*(t) - заданные программы изменения обобщенных координат q, системы и интегралов Л, для множителей Лагранжа X,. Задача - стабилизировать режим (22) механической системы.

С этой целью также используются уравнения Аппеля (15),(16) выше. Однако, записываются они в расширенной форме, где дополнительно учитываются уравнения

ятт m -

. = - + «.». (4.23)

Эти соотношения рассматриваются как уравнения для переменных

Л5,1(A,)=V dt

Теорема 4.5. Пусть справедлива теорема 4. Пусть управления Hi, i = n+i,m выбраны в форме

р.; = -hiSign [А; - A* J, i=n+i,m . (4.24)

Пусть дополнительно для механической системы выполнены условия реализуемости заданного движения (%7г,Л) = (д*,0,Л*) вида

ц;(фЬ;-т1, (4.25)

т.е. условия (18) расширены. Тогда движение (^71;Л)=(я*ЛХ) системы (15).( 16),(23),(20),(24) является экспоненциально устойчивым.

Управление движением твердого тела. Приложения к динамике полета (Глава V)

Глава посвящена исследованию механических систем, которые содержат только одно твердое тело. В первом приближении модель твердого тела может использоваться для описания движения самолета, космического аппарата, наземных и плавательных транспортных средств различного назначения и т.д. В рамках таких относительно простых моделей механических систем удается исследовать ряд важных, но достаточно трудных вопросов управления.

Именно, в главе исследуется возможность построения универсальных законов управления, когда уравнения движения системы нелинейно зависят от управлений, когда эффективность управлений оказывается достаточно малой, когда в системе имеется дефицит управлений и т.д. Изучены проблемы, связанные с распределенным характером внешних (например, аэродинамических) сил, действующих на систему. Получены решения специальных задач управления. Речь, в частности, идет о практически важной задаче дестабилиза-

ции (нарушения) нештатных режимов движения самолета (планирования, глубокого сваливания, штопора и т.д.) [8,13,17,20,23].

УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА (§1) Уравнения движения твердого тела (ТТ) имеют следующий стандартный вид

ш(у -ь ю х у)= Р(у,со , г, 9, и, 1:), (5.1) 1со + о х 1о = М(у,о,г, 9,и,1), (5.2)

г = А(г,9>, 9 = В(9)ю, (5.3)

где (2) - динамические уравнения Эйлера, (3) - кинематические уравнения Эйлера. Переменными системы являются г,9,у,со.

г = |[х,у,г|[Т - радиус-вектор положения твердого тела (ТТ), углы

Эйлера 9 = ||ф,&,у]|Т задают его ориентацию, "Т" - знак транспонирования. т - масса ТТ, 1 - тензор инерции, Р,М - главный вектор и главный момент внешних сил, действующих на ТТ, и - управление, © х 1(0 - векторное произведение векторов со и 1®. Цель управления ТТ задается соотношениями

г=г*(0, » = 9*0). (54)

Идея стабилизации программы (г* 0),&*(!:)) связана с выводом системы на скоростной режим движения

г = г* + £(г-г*), 5 = +з(3(5.5) (г'О),9*(г)) предполагается устойчивым движением системы (5),

которая может иметь, например, вид

40

Ыг' + Цг-г'), » = + О, Т^оад^О. (5.6) При умножении (5) слева на матрицы А(г, Э),В(Э) > получим формализацию режима (5) непосредственно в переменных г, 3, V, со системы (1)-(3)

у = \У(г,Э,1), о=П(М), (5.7)

\У = А(г,8)[г* +Мг-г")} П = -&*)].

Соотношения (7) рассматриваются как описание новой цели управления ТТ, из которой следует исходная (4). Отклонениями от цели являются

5у = у-\У, 5ю=а-0, Дг = г-г\ = (5.8)

В новых переменных (8) уравнения (1)-(3) принимают вид

ш(5у + Л\У) + тД(ш х у) = ДБ, (5.9)

1(5(0 + АО) + Д(со х .ко) = ЛМ,

Аг=А-1(5у+Д\У-ААГ*), ДЭ=В_1(5(О + АП-ДВ»*).

В соотношениях (9) приняты обозначения

ДР=Р-1*\ Ду=у-у*, бш = Д©-АП.

Задача управления - стабилизировать тривиальное движение 6\' = 0,6© = 0, Дг=0, ДЗ=0 системы (9).

СТАБИЛИЗАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА (§2) Для анализа устойчивости системы (9) используются функции Ляпунова [8,13,17,20,23]

О = 1/25ут5У + 1/25ЮтТ5(0, § = §(Аг, Д . (5.10) 41

Функция G в (10) является аналогом кинетической энергии Т=1 / 2vTv -f 1 / 2corJo.) твердого тела. Причем

pf(|Sv|2+j5ca|2)<G<p2(j5v|2 + |5a |2), (5.11)

2 3

|6v| =2]5Vj, р2 > рх > 0. g =g(Ar,AS,t) является функцией Ляпу-i=l

нова, устанавливающей предполагаемую экспоненциальную устойчивость движения r = r*(t),S = S*(t) системы (5). g - положительно определенная по координатам Ar, А Э (как и везде выше).

Условия Ляпунова об устойчивости движения имеют вид G(Ar,M,5v,5ffl,u,t)<0, g(Ar, A&,5v,5©,u,t) < 0 , (5.12) G = Gu + 5vTAF(u,...) + 5oTAM(u,...), g^-Ag+B^Gg , A,B=konst>0, AF = AF(u,5v, 5©, Ar, A», t),

xmv) + mAWj -5cot[a(cox Jco) + JA^J. (12) можно рассматривать как условие существования управления u=u', стабилизирующего режим (5). Такое управление может быть построено на основе принципа (глава II)

¿(u1,...) = min G (и,...), (5.13)

|uj]<H j

u'=argmin [8vtAF(u,...)+5cötAM(u,...)]. (5.14) |ui|<Hi

Релейный закон (14) характеризуется тем, что он обеспечивает в каждой точке наибольшую локальную скорость диссипации энергии отклонений G из (10).

Заметим, что везде выше исследовался случай, когда управления входили линейно в уравнения движения механической системы. Это позволяло решение задачи (14) на минимум получить в аналитическом виде. Рассмотрим кратко общую ситуацию, когда имеет место

Нелинейная зависимость от управлений. В этом случае из условий Ляпунова (12) удается получить утверждения общего характера Теорема 5.1. Пусть выполнены неравенства (12) (при некотором управлении). Тогда управление (14) стабилизирует заданное движение твердого тела (г* (0,9' (1)).

Закон управление можепг иметь вид

з

Е к=1

Ui = u*(t) -HjSign

„. sFk емк

£6vk-г-^+бсо —^

i = 1, ш

Sll; 5Uj

Такое управление требует выполнения следующих условий

. (5.15)

rank

dF/du

ам / du

= 6,

(5.16)

rank (А) = 3 , rank (В) = 3. (5.17) Условие (16) имеет смысл эффективности управлений, когда управления могут оказывать воздействия по всем шести степеням свободы ТТ. Это условие выполнялось везде выше (например, для уравнений Лагранжа, куда управления входят линейно). Предположение (17) выражает условие невырожденности кинематических соотношений Эйлера (3).

Теорема 5.2. Пусть выполнены условия (16),(17). Тогда управление (15) стабилизирует реализуемое движение твердого тела

(r*(t),9*(t))-

Особенность закона управления (15) состоит в том, что он в отличие от законов выше явно содержит функции и,*(0 (балансировочные управления). Построение этих функций требует существенных затрат. Поэтому (15) может не являться универсальным законом управления. Более простой вид обратной связи

э

2>кР'+8а,кМ1,

1_к=1

I = 1, т

(5.18)

можно использовать для управления движением ТТ, если имеет место

Линейная зависимость от управлений

Р = Р°+Р,и, М=М°+М,и. (5.19)

Подобные предположения являются общепринятыми в динамике полета.

Теорема 5.3 Пусть соотношения (16),(17) выполнены в области гэ"*, ... Пусть управления входят линейно. Тогда управление

(18) стабилизирует реализуемое движение твердого тела

Поясним кратко схему доказательства теоремы 3. При учете

(19) выражение для С в (12) существенно упрощается

6=^+ пип

кк

(5.20)

При выборе закона управления в виде (18) из соотношений (20) сле-

дует система неравенств

¡=1

к=1

-Ag+ЪyfGg. (5.21)

1=1 1к=1

Числа Ь;>0 определяют условия реализуемости заданной цели управления (4)

^(фн,-^, (5.22)

При учете условий (16) эффективности органов управления система (21) примет вид системы неравенств

(}<(}2и-С&, ¿¿-Аё + В^сЦ, (5.23)

которая аналогична системам выше. Отсюда устанавливается теорема 3.

Заметим, что построенный закон управления (18) является универсальным и отвечает постановке задачи управления. Заметим также, что приведенные в §1,2 результаты являются аналогами утверждений выше. Кроме того, для рассматриваемых механических систем справедливы и другие результаты: устойчивость при постоянно действующих возмущениях (§2 главы III), устойчивость при учете динамики приводов системы (§3 главы IV) и т.д. Ниже приводятся постановки задач управления и их решения, которые не рассматривались в главах П-1У, но широко исследовались в динамике полета.

СТАБИЛИЗАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ САМОЛЕТА. ДЕФИЦИТ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ (§3) Выше предполагалось, что управления входят по всем степеням свободы твердого тела, т.е. ш>6. Однако, например, для самолета типовой конструкции гражданского назначения это неверно. Он оснащен всего четырьмя органами управления, которым соответству-

45

ют отклонения рулевых аэродинамических плоскостей 5) и тяга двигателя р [8,13,17,20,23]

и=||51,52,52,рЛт, ш=4. (5.24)

Найдено решение задачи управления такими механическими системами.

Выше, в отсутствии дефицита управлений, силы и моменты, действующие на твердое тело, можно было по существу записать в форме

Р = Р°+Р1и = Р°+ир, М=М0+М!и = М°+им (5.25) где и?, IIм - новые управления. Иначе говоря, в этом случае управления по существу воздействовали по всем шести степеням свободы ТТ. Это позволяло за счет управлений демпфировать возмущения сил и моментов Б0, М° и стабилизировать заданное движение.

При дефиците управлений этого сделать нельзя. Идея состоит в том, чтобы при стабилизации движения учесть особенности аэродинамических сил и моментов Б, М. Оказывается, такая возможность обеспечивается из известных аэродинамических зависимостей

Суа<0, с; «0, С? «О, С" «0 (5.26)

[13]. Соотношения (26) выполняются для самолетов обычной компоновки при малых углах атаки и скольжения

а»0, {3-0 (5.27)

в широком диапазоне изменения аргументов. В этом случае закон управления

5; = H j sign

Z5cokML

k=l

¡ = 1,3, p = H 4 sign [5v, F,4 ]j (5.28)

5у = Ау-АШ,5ш =/ко -АП, обеспечивает устойчивость любого реализуемого движения г =г*(1),3=Э*(1) самолета. При этом предпо-

лагается, что

3

»=1

i=l

, F1 u = jjpF^, 0, о| т, (5.29)

а условия эффективности управлений (16) имеют вид

rank

М

= 3, rank JFxx4

= 1.

(5.30)

Эти предположения - обычные в динамике полета. Таким образом, дефицит управлений в механических системах может быть естественным образом преодолен за счет их диссипативных свойств.

УЧЕТ ВЛИЯНИЯ СКОСА ПОТОКА (В ФОРМЕ ЗАПАЗДЫВАНИЯ) НА ДВИЖЕНИЕ САМОЛЕТА (§4) В разделе исследуются уравнения движения ЛА общего характера. Эти уравнения в отличие от рассмотренных выше дополнительно содержат переменные с запаздывающим аргументом. Здесь главный вектор и главный момент зависят от значений скоростей ^ не только в текущий момент времени, но и в предыдущие моменты

Р = Р(у,у(1:-т),<о,гАги), М= М(у,у(1-т:),е>,г,&,иД), (5.31) где х^сопзОО - величина запаздывания. Введение переменных у,=у,(1-т) связано с учетом распределенного характера аэродинамических сил действующих на ЛА в полете. Например, это

необходимо для учета явления скоса потока [8,13,17,20,23]. Именно, горизонтальное оперение находится в условиях возмущенного обтекания. Это может быть обусловлено, в частности, скосом воздушного потока за крылом самолета. Поэтому условия обтекания горизонтального оперения нельзя оценивать только на основе значений кинематических параметров движения в текущий момент времени, (как это делается для крыла). Необходимо учитывать также характер движения ЛА в предыдущие моменты времени.

Основной факт, который представлен в разделе, состоит в том, что универсальные законы управления выше можно использовать и в том случае, когда учитывается скос потока. Именно, в этом случае теоремы выше также будут справедливы, если только влияние запаздывания в системе ограниченно

Число в (32) характеризует величину демпфирования, которое обусловлено свойствами (26) аэродинамических характеристик.

Для обоснования этого утверждения используется функционал Ляпунова-Красовского вида

(33) рассматривается в качестве меры отклонения движения от заданного режима движения ЛА. Для функционала (33) из равенства

(5.32)

Ь = С + щ ц^сопв^О, (5.33)

1-т

где функция в = (л[6о,5у] из (10), <ад=С[5®(0,5Ч1)]. Функционал

Ь(0=0 вытекает выполнение равенств 5со-0,5у=0, т.е. равенств со=£2, V =\У на всем интервале времени запаздывания [ЬтД].

ЗАДАЧА ДЕСТАБИЛИЗАЦИИ НЕШТАТНЫХ РЕЖИМОВ ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА (§5) Выше речь шла о штатных режимах движения ЛА, например, о режимах взлета, набора высоты, разворота по курсу, о режимах прямолинейного движения, снижения и т.д. В настоящем разделе рассматриваются нештатные режимы движения ЛА: режимы планирования, глубокого сваливания, штопора и т.д. [8,13,17,20,23]. Этим режимам движения ЛА отвечают значительные углы атаки и скольжения. Поэтому задача дестабилизации нештатных режимов по существу сводится к обеспечению малых значений этих углов.

Проблема состоит в том, что нештатные режимы являются устойчивыми, а эффективность управлений оказывается малой

ар/ди «0, 5М/Зи « 0 . (5.34)

Поэтому даже при предельных отклонениях управляющих поверхностей ЛА не всегда удается их разрушить (дестабилизировать) и вывести ЛА на штатный режим. Таким образом, в нештатном режиме самолет становится по существу неуправляемым. В связи с этим в динамике полета проблема дестабилизации нештатных режимов движения имеет важное значение.

Для упрощенных уравнений движения ЛА одно из возможных решений такой задачи имеет вид

бв =5*+Авт(т). (5.35)

49

Через 5В в (34) обозначено балансировочное значение управления,

- собственная частота колебаний ЛА.

Смысл управления (35) состоит в следующем. Основная особенность нештатных режимов связана с низкой эффективностью управлений ЛА, причем такие режимы являются устойчивыми. Поэтому слабые управляющие воздействия не позволяют добиться значительных отклонений от нештатного режима и не обеспечивают вывод ЛА в область штатных режимов движения. Идея обеспечения значительных отклонений от нештатного режима связана с реализацией в системе явления типа резонанса. На это направлен закон (35).

В связи с этим заметим, что измерение (оценка) собственной частоты, а также способы ее использования в управлении, является проблемой даже для линейных объектов управления. В нелинейной системе понятие собственной частоты, вообще говоря, не всегда можно ввести. В связи с этим в работе исследовано решение задачи дестабилизации нештатного режима ЛА в форме

5В = АБ1£п(Аа). (5.36)

При использовании законов (35) или (36) в системе образуются колебания возрастающей амплитуды (это устанавливается для упрощенных уравнений движения ЛА при малом демпфировании), т.е. необходимое условие выхода в область штатных режимов движения ЛА выполнено. В случае (35) речь идет о накачке энергии в систему на частоте собственных колебаний. В случае решения (36) можно говорить о накачке энергии с наибольшей скоростью.

<x(t)f

30°

60°

5c

Рис.1. Убывание угла атаки при выходе из штопора (резуль-

Закон (36) дестабилизации нештатного режима движения ЛА в общем случае имеет вид

Этот закон исследовался на ЭВМ и в полунатурных экспериментах совместно с ЦАГИ для нелинейных уравнений движения типичного маневренного самолета и дал удовлетворительные результаты

1. В.И. Матюхин, Соболев Г.Н. Алгоритм оперативного планирования для активных автономных систем. - В кн.: Проблемы управления в технике, экономике, биологии, -М.: ИПУ, 1981, с. 170-177. 27"Матюхин В.И. Множество движений манипулятора в режиме декомпозиции. - В кн. "Декомпозиции и координация в сложных системах". Тезисы докл. Всесоюзной конф., Челябинск, март 1986, Челябинский политехнический институт, ч. 2, с. 27-28. 3. Матюхин В.И., Пятницкий, Е.С. Декомпозиция и координация в механических системах. Материалы Всесоюзной конф. "Декомпозиция и координация в сложных системах", Челябинский политехнический институт, 1987, с. 58-70.

таты моделирования на ЭВМ).

(5.37)

[8,13,17,20,23].

Публикации

4. Матюхин В.И. Устойчивость движения манипулятора в режиме декомпозиции. - В кн. "Синтез систем управления манипуляцион-ными роботами на принципе декомпозиции", - М: Институт проблем управления, 1987, с. 15-25.

5. Матюхин В.И., Пятнш(кий ЕС. Устойчивость движения манипулятора в режиме декомпозиции при учете динамики приводов. - В кн. "Синтез систем управления манипуляционными роботами на принципе декомпозиции", - М.: Институт проблем управления, 1987, с. 25-36.

6. Пятницкий Е.С., Матюхин В.И., Баранов В.В. Система управления манипуляционным роботом. Изобретение N4343430/08 (1833459), приоритет 14.12.87.

7. Матюхин В.И. Режимы декомпозиции манипулятора при учете малой инерционности приводов. Тезисы докл. II Всесоюзного семинара "Роботы и гибкие производственные системы", Челябинск, -М.: Институт проблем управления, 1988, с.20.

8. Аверьянов Г.В., Матюхин В.И. Законы управления буровым судном на принципе декомпозиции // Сб. трудов Совета по управлению движением судов и кораблей. Севастополь 1989. -М.: ИЛУ,1989. С. 116-117.

9. Матюхин В.И., Пятницкий Е.С. Синтез систем управления многозвенными механизмами на принципе декомпозиции при учете динамики приводов. - М.: Машиноведение, 1989, N3, с. 42-48.

10. Матюхин В.И. Устойчивость движения манипуляционных роботов в режиме декомпозиции. // Автоматика и телемеханика. 1989. N3. С. 33-44.

11. Матюхин В.И., Пятницкий ЕС. Управление движением манипуляционных роботов на принципе декомпозиции при учете динамики приводов // Автоматика и телемеханика. 1989. N9. С. 67-81.

12. Матюхин В.И. Сильная устойчивость движений в Лагранжевых системах. Тезисы докл. Международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Июнь 1992. -М.: Институт проблем управления РАН. С.22.

13. Бюшгенс Г.С., Гоман М.Г., Загайнов Г.И., Матюхин В.И, Пятницкий Е.С. Метод функций Ляпунова в задачах синтеза управления пространственным движением самолета. Препринт Института проблем управления. -М.: 1992. 75 С.

14. Матюхин В.И. Устойчивость движений манипулятора при постоянно действующих возмущениях//А и Т. 1993. N11. С. 124-134.

15. Матюхин В.И. Устойчивость движений манипулятора при учете неидеальностей системы управления (СУ). Тезисы докл. III международного семинара "Устойчивость и нелинейные колебания систем управления". Июль. 1994. Самара. С. 75.

16. Бородянский Л.Х., Матюхин В.И., Пятницкий Е.С., Чапчаев А.А. Универсальная система управления двигателями внутреннего сгорания на принципе декомпозиции. Препринт Института проблем управления. -М.: 1995. 52 С.

17. Бюшгенс Г.С., Гоман М.Г., Матюхин В.И., Пятницкий Е.С. Ста-билизируемость и универсальные законы управления движением твердого тела при учете аэродинамических воздействий // Докл. ДАН РФ. 1995. Т.342. N1. С.49-52.

18. Матюхин В.И. Сильная устойчивость движений механических систем // А и Т. 1996. N1. С. 37-56.

19. Матюхин В.И Движение упругого звена манипулятора как абсолютно твердого тела. Тезисы докл. на VI Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Москва. Институт проблем управления. 4-7 июня. 1996. с. 123.

20. S. Dodds, V. Matyukhin, Е. Pyatnitskiy. Complete controllability and multipurpose control system. Тезисы докл. на VI Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". М. Институт проблем управления. Июнь. 1996. С. 131.

21. Матюхин В.И. Устойчивость движений манипулятора при учете слабой динамики управляющих устройств // А и Т. 1996. N4. С.24-38.

22. Матюхин В.И. Непрерывные универсальные законы управления манипуляционным роботом // А и Т. 1997. N4. С.69-82.

23. Гоман М.Г., Матюхин В.И, Пятницкий Е.С. Управление ориентацией твердого тела, движущегося в аэродинамической среде // Докл. РАН 1997. Т.353. N6. С.751-755.

24. Матюхин В.И. Стабилизация движений лагранжевых систем за конечное время переходного процесса //Докл. РАН. Т.353. N4. 1997.

25. Матюхин В.И. Стабилизация движений упругого манипулятора //А и Т. 1997. N9. С. 15-30.

26. Матюхин В.И. Универсальные законы управления самолетом и другими JLA. Сборник материалов. Первый межведомственный на-

учно-практический семинар "Новые задачи, пути совершенствования перспективных средств РКТ и технологии их создания". Москва. 1997. С.99.

27. Матюхин В.И. Эффект движения звена упругого манипулятора как абсолютно твердого тела // МТТ. N6. 1997. с. 49-59.

28. Матюхин В.И. Устойчивость многообразий управляемых движений манипулятора. А и Т. 1998. N4. С.47-56.

29. Матюхин В.И. Метод медленных переменных в задаче управления движением упругого манипулятора //ПММ. Том 62. Вып.З 1998. С. 61-71.

30. Матюхин В.И. "Стабилизация силового воздействия манипуля-ционного робота при неполной информации о его динамике". Тезисы докл. на V Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Москва. Институт проблем управления. 3-5 июня. 1998. с.90.

31. Matyukhin V.I. Force/motion control of manipulator with incomplete information. Force ECPD International Conference on Advanced Robotics, Intelligent Automation and Active Systems. Moscow. Russia. August 24-26. 1998. Pp. 72-77.

32. Матюхин В.И., Пятницкий E.C. Decoupling principle and multipurpose control systems of robot manipulator. Workshop of AMETMAS-NoE. International Technology Transfer in Russian Federation: Challenges and Opportunities. 27-28 July 1998. Moscow. Russia.

33. Матюхин В.И. О реализации неголономных механических связей. МТТ. N6. 1999. С. 3-11.

34. Матюхин В.И. Стабилизация движений механических систем с неголономными связями. ПММ. Т.63. Вып.5. 1999. С. 725-735.

35. Матюхин В. И. Стабилизация силового воздействия манипуля-ционного робота при неполной информации о его динамике. Труды Института проблем управления РАН. Москва. 1999. T.V. С. 105-118.

36. Матюхин В.И. Универсальные законы управления механическими системами с неголономными связями. Тезисы докладов. Международная конференция по проблемам управления. 29 июня - 2 июля 1999. Т. 3. С. 149-152. -М.: Институт проблем управления.

37. Матюхин В.И. Об условиях допустимости описания движения звена манипулятора как абсолютно твердого тела. ТСУ. 2000. N3. С. 124-132.

Тир. 120. Зак.54. ИПУ.

54

ПРЕДИСЛОВИЕ ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

§1. Механическая система как объект управления

§2. Цель управления механической системой

§3. Задача построения универсальных законов управления

ГЛАВА II. МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ

§1. Функции Ляпунова энергетического типа

§2. Построение законов управления

§3. Устойчивость механической системы

§4. Универсальность законов управления

ГЛАВА Ш. ГРУБОСТЬ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ

§1. Устойчивость механической системы при учете неидеальностей устройств управления

§2. Устойчивость механической системы при учете постоянно действующих возмущений

§3. Устойчивость механической системы при учете деформаций ее звеньев

ГЛАВА IV. УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ МНОГОЗВЕННОГО МАНИПУЛЯТОРА

§1. Описание цели управления в общей форме. Стабилизация движения

§2. Построение законов управления механической системой при учете динамики ее приводов

§3. Стабилизация движений манипулятора высокой жесткости

§4. Стабилизация движений механической системы, содержащей неголономные связи

§5. Стабилизация силового воздействия манипулятора на окружающие объекты

ГЛАВА V. УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ТВЕРДОГО ТЕЛА. ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИНАМИКЕ ПОЛЕТА

§1. Уравнения динамики твердого тела

§2. Стабилизация движений твердого тела

§3. Стабилизация движений летательного аппарата в условиях дефицита управляющих воздействий

§4. Учет влияния скоса потока (в форме запаздывания) на движение самолета

§5. Задача дестабилизации нештатных режимов движения самолета СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРЕДИСЛОВИЕ

Объектом исследования в работе являются динамические системы, которые имеют механическую природу. Здесь можно иметь в виду известные, практически важные объекты управления: роботы-манипуляторы, подъемные устройства различного вида (типа крана), тренажеры (типа центрифуги и других видов). К указанному классу относятся также системы, содержащие одно твердое тело - самолет, ракета, космический аппарат, наземные подвижные объекты (включая системы с качением), плавательные аппараты, транспортные средства различного назначения и т.д.

Механические системы всегда были предметом исследования многих авторов (еще в работах Лагранжа, Эйлера, Дирихле, Рауса, Пэнлеве, Аппе-ля, Ляпунова и др.). Это связано с тем, что уравнения механики достаточно хорошо описывают движения различных динамических объектов. В отличие от систем общего вида, механические системы имеют существенную специфику, которая используется в работе.

Одной из центральной задач теории и практики управления является проблема синтеза законов управления указанными системами. Основы решения этой задачи заложены в работах Н.Г. Четаева, В.В. Румянцева, Д.Е. Охоцимского, Е.П. Попова, В.М. Матросова, A.A., A.M. Летова, A.M. Формальского, A.A. Первозванского, Уткина В.И.

Существенное значение в решении проблемы управления являются вопросы сохранения свойств замкнутой динамической системы в условиях, когда ее параметры (коэффициенты, характеристики) изменяются. Такого рода грубость (робастность) систем, нечувствительность их свойств к изменениям параметров исследовалась в работах A.A. Андронова, Л.С. Пон-трягина. Критерии устойчивости динамических систем по отношению к различного рода возмущающим факторам, которые возникают при учете изменений параметров систем, получены H.H. Красовским и И .Г. Малки-ным.

В работах Ф.Л. Черноусько, И.М. Ананьевского задача управления исследуется в условиях, когда динамические параметры механической системы известны не полностью. В работах Е.С. Пятницкого сформулирована задача управления для «черного ящика механической природы», когда информация о динамических параметрах системы является по существу недоступной. Выдвинут «принцип декомпозиции», который является одним из подходов к решению такой задачи управления.

Тенденция развития современных управляемых механических систем связана с тем, что эти объекты становятся по существу многорежимными многоцелевыми системами широкого назначения. Поэтому естественной оказывается ситуация, когда цель управления, динамические параметры объекта управления и внешней среды непрерывно изменяются.

Именно, механическая система (манипулятор, самолет, плавательный аппарат, транспортное средство и т.д.) является объектом управления многоцелевого использования [15-16,21,24,33,36-37,41,52,60,80-81,83, 86,9192,96,102,103,135,137,140,145,152,154,167,176,179,183,185,193,196, 199, 236]. Это непосредственно связано с назначением и применением указанных систем. Например, многорежимным объектом управления является самолет. К штатным режимам самолета можно отнести: вход и выход из виража, перевороты через крыло при входе в пикирование, быстрые и медленные бочки, режимы посадки и прицеливания, режим стыковки при дозаправке в воздухе и т.д. Таким образом, механическая система должна рассматриваться как многоцелевой, многорежимный объект управления широкого назначения.

Заметим, что переход от одного заданного штатного режима движения системы к другому должен осуществляться оперативно. Смену режимов движения самолета летчик осуществляет по существу непрерывно. Иначе говоря, в реальной управляемой механической системе должно допускаться оперативное изменение цели управления. Естественно, что при всех таких изменениях движение системы должно оставаться устойчивым.

Аналогичная ситуация должна иметь место и при изменении динамических параметров объекта управления. Например, манипулятор должен доставлять груз в назначенное место и в том случае, если масса переносимого груза меняется (в пределах грузоподъемности манипулятора). Система управления летательным аппаратом должна обеспечить устойчивость движения, если его динамические характеристики меняются. Например -при изменении стреловидности крыла летательного аппарата, при повреждениях летательных аппаратов военного назначения, или - при пуске ракет. Аналогичная ситуация должна иметь место при изменении объема присоединенных масс подводного судна; при изменении массы транспортного средства после загрузки топливом; при изменении плотности атмосферы с высотой в задаче управления спускаемым аппаратом; при нестационарности коэффициента сцепления в системах с качением и т.д. Естественно, что при всех таких изменениях построение выходного управляющего сигнала должно осуществляться оперативно (в реальном масштабе времени).

Система автоматического управления механическим объектом должна отвечать указанным условиям. Это значит, что система управления должна обеспечивать устойчивость достаточно широкого спектра различных режимов движения объекта управления, причем это должно осуществляться в условиях оперативного изменения цели управления, непрерывных изменений динамических параметров объекта управления и внешней среды. Эти требования составляют по существу наиболее полное содержание постановки задачи управления.

В связи с этим заметим, что многие существующие законы управления [15-19,21,25,36-38,52,67-69,73,74,80-81,86-90,91,92,99-100,102,103, 135137,143-145,152-154,176-179,182-185,193] предназначены для стабилизации практически только одного режима движения объекта управления. Например, для известных ПИД-регуляторов изменение цели управления или параметров объекта управления, вообще говоря, требует новой настройки коэффициентов регулятора. В общем случае эта процедура оказывается достаточно трудоемкой. Поэтому оперативное использование ПИД-регуляторов для стабилизации новой цели управления в новых условиях по существу может оказаться неэффективным или даже невозможным.

Аналогичная ситуация имеет место и по отношению к существующим нелинейным законам управления. Как правило, эти законы являются достаточно громоздкими, явно зависят от динамических параметров объекта управления и поэтому могут потребовать значительных вычислительных затрат и времени при построении выходного управляющего сигнала.

Общая цель настоящей работы связана с исследованием возможности построения таких универсальных законов управления, которые могли бы стабилизировать движения механической системы в достаточно широких условиях. Закон, отвечающий прикладным и практическим требованиям, должен допускать достаточно широкий круг различных целей управления. В общем случае такой многорежимный закон должен допус

- кать любую цель, если только она отвечает динамическим возможностям объекта управления.

Естественно также, что закон не должен быть достаточно громоздким (и требовать существенных вычислительных затрат и времени). Это возможно, если только закон явно не содержит динамических параметров объекта управления и внешней среды (поскольку получение такой информации является самостоятельной проблемой). Поэтому механическая система должна рассматриваться как объект управления, динамика которого известна не полностью.

Приведенные мотивы учитываются в исследованиях многих авторов. Их стремление ослабить зависимость законов управления от динамических параметров системы представляется естественным. Так в исследованиях (Ф.Л. Черноусько, 1990) внешние силы, действующие на механическую систему, не считаются известными. Предполагается только, что управляющие силы системы доминируют. Построенный закон управления решает задачу терминального управления в рамках игрового подхода. Здесь внешние силы трактуются по существу как проявление действий противника.

В других исследованиях (И.М. Ананьвский, 1997) неизвестными дополнительно предполагаются также динамические характеристики механической системы. Известен только интервал, где могут изменяться собственные числа матрицы кинетической энергии. В этих условиях построен кусочно-линейный закон, который переводит механическую систему в заданное терминальное положение.

Настоящее исследование представляет собой развитие идей, заложенных в рамках принципа декомпозиции и проблемы управления черным ящиком механической природы (Е.С.Пятницкий, 1989). Изучается следующая по существу предельная ситуация. Известным предполагается только сам факт существования конечных интервалов, где изменяются инерционные характеристики механической системы и внешние силы, которые на нее воздействуют. Требуется построить управление, которое должно стабилизировать практически любое движение системы, которое отвечает ее динамике. Универсальные законы управления, отвечающие приведенным условиям, строятся в настоящей работе.

Универсальные (многорежимные, многоцелевые) законы управления в наибольшей степени отвечают указанным выше особенностям динамики управляемых механических систем [19-20,30-31,46,49,54,57,110-134,156158,162-165]. Такой закон управления должен обеспечивать стабилизацию не одного, а любого из целого множества различных режимов движения системы. В качестве такого множества должно быть принято множество всех реализуемых движений объекта управления (т.е. тех движений, которые отвечают его динамике). Иначе говоря, универсальный закон управления должен обеспечить стабилизацию любой допустимой цели управления механической системы.

Построение управляющего сигнала для универсального закона управления должно обеспечиваться при минимальных затратах вычислительных ресурсов и времени. Это - существенное требование для законов управления. Его выполнение возможно только в том случае, если закон слабо зависит от динамических параметров объекта управления и внешней среды. Это связано с тем, что получение такой информации является самостоятельной проблемой, причем весьма трудной. Поэтому закон управления должен строится в форме функции, зависящей только от состояния объекта управления и параметров цели управления. Только в этом случае возможен оперативный переход к новой цели управления. Переход сведется только к простейшим вычислениям функции (обратной связи) при новых значениях аргументов, связанных с описанием новой цели управления. При изменении динамических параметров объекта управления - аналогично. Настоящая работа посвящена задаче построения таких универсальных законов управления.

Цель настоящей работы состоит в том, чтобы разработать метод построения универсальных законов управления механическими системами. В решении этой задачи необходимо учитывать следующие факторы:

- замкнутая система должна быть устойчивой, включая условия, когда система подвержена влиянию различного рода возмущений;

- метод построения законов должен быть применим к объектам управления общего вида, включая неголономные механические системы;

- законы управления (с надлежащими изменениями) должны быть применимы к системам, где существенно влияние динамики управляющих приводов;

- закон управления должен допускать задание цели управления в общей форме (в форме общих требований к движению системы);

- метод синтеза закона управления должен обеспечивать решение специальных задач управления, связанных, например, с регулированием силового воздействия механической системы на объекты внешней среды и т.д.

Методы исследования настоящей работы опираются на методы аналитической механики, теории устойчивости, прямой метод функций Ляпунова, метод вектор функций Ляпунова. Для исследования устойчивости механических систем используется класс функций Ляпунова энергетического типа. Кинетическая энергия или полная энергия системы лежали в основе подобных функций Ляпунова, которые исследовались в еще работах Лагранжа, Дирихле, Ляпунова и др. В работе исследуются также, например, функции Ляпунова типа энергии ускорений механической системы, или - энергии ее квазискоростей. Для описания динамики механических систем, как правило, используются известные уравнения Лагранжа, Эйлера. В работе исследуются также, например, уравнения Рауса. Эти уравнения оказываются более выразительными в задаче анализа упругих механических систем, жесткость которых достаточно велика. По той же причине для исследования силового взаимодействия в механических сис

К темах используются уравнения Аппеля.

Научная новизна. Как уже говорилось выше, многие законы управления существенно зависят от динамических параметров объекта управления. Некоторые из них удается построить в таких условиях, когда не полной оказывается информация об инерционных характеристиках и внешних силах, воздействующих на механическую систему.

Научная новизна в работе связана с анализом следующей по существу предельной ситуации. В работе инерционные характеристики и внешние силы, воздействующие на механическую систему, предполагаются по существу неизвестными (известны только общие свойства этих величин типа гладкости, ограниченности). Задача построения закона управления решается для «черного ящика механической природы» (Пятницкий Е.С., 1989). Строится закон управления, который стабилизирует практически любое движение системы, если только оно отвечает ее динамике. Разработанный метод построения таких законов управления является новым.

Практическая ценность результатов работы непосредственно определяется свойствами универсальных законов управления. Эти свойства по существу отвечают практическим требованиям, которые предъявляются к законам управления. Здесь можно отметить следующие. Условия применимости универсальных законов управления являются естественными, конструктивно проверяемыми. Законы не содержат информацию о динамических параметрах объекта управления и среды, получение которых представляет собой проблему. Поэтому построение выходного сигнала соответствующего регулятора требует минимальных затрат и может осуществляться в реальном масштабе времени. Замкнутая система является устойчивой. Это будет верно при достаточно широком изменении цели управления, динамических параметров механической системы и внешней среды. Соответствующий регулятор является грубым, допускает цели управления в общей форме. Все это справедливо для механических систем общего вида.

Реализация результатов работы осуществлена при разработке систем управления для реальных практически важных механических систем различного назначения. Результаты работы использовались при построении экспериментальной установки на базе серийного промышленного робота-манипулятора ТУР-10, который используется в Институте проблем управления в исследовательских целях. Результаты работы были также ис

12 пользованы при разработке ряда научно-технических тем Института проблем управления, связанных с робототехнической проблематикой (отчеты 1982, 1985, 1986, 1990, 1997, 1998 годов). Результаты использовались при разработке систем управления для механических систем, подобных манипуляторам, например, для центрифуги ЦФ-18 в Центре подготовки космонавтов. Результаты работы использовались в ходе выполнения ряда Российских проектов (проекты. N94-01-00508, N94-01-00485, N96-01-01542, N97-010-00039 Фонда РФФИ).

Результата работы использовались при разработке систем управления подвижными объектами, например, летательными аппаратами различного назначения. Эти исследования проводились совместно с ЦАГИ, ЛИИ, КБ имени Микояна, НПО Энергия (отчеты Института проблем управления 1987, 1988, 1989, 1992, 1993). Здесь исследовался, в частности, вопрос об управлении летательным аппаратом, динамика которого известна не полностью (например, после повреждения).

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на многих всесоюзных и международных семинарах: "Гибкие автоматизированные производства и роботы" (Суздаль, 1984), Всесоюзной школе-семинаре "Оценки параметров автоматизированных систем" (Ворошиловград, 1985), Всесоюзной конференции "Декомпозиция и координация в

-■ ■ К сложных системах" (Челябинск, 1986), Всесоюзном семинаре "Гибкие автоматизированные производства и роботы" (Челябинск, 1988), международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (1996, 1998, 2000), Force ECPD International Conference on Advanced robotics, Inteligent Automation and Active Systems (1998), Международной конференции по проблемам управления (1999, Институт проблем управления).

В главе I дается постановка задачи настоящей работы. Приводится описание динамики механической системы как объекта управления, вводятся основные предположения о его свойствах, описывается задача управления механической системой. Вводится понятие универсального закона управления. Формулируется задача построения универсальных законов управления, указываются трудности ее решения

В главе II представлен метод построения универсальных законов управления. Приводится общая схема построения таких законов управления. Описывается класс функций Ляпунова, имеющих энергетический смысл, которые используются для обоснования устойчивости замкнутой системы. Помимо кинетической энергии механической системы (Лагранж, Дирихле, Ляпунов и др.) в качестве основы функции Ляпунова рассматриваются: энергия ускорений механической системы, энергия ее квазискоростей и т.д. Описывается метод обоснования устойчивости замкнутой системы (развивающий прямой метод функций Ляпунова, метод вектор функций Ляпунова).

В главе III устанавливается важное свойство универсальных законов управления, связанное с их грубостью. Иначе говоря, показывается, что замкнутая механическая система будет сохранять свои основные свойства (например, устойчивость) при малых вариациях исходных предположений задачи управления. Например - при учете малых неидеальностей исполнительных и измерительных устройств управления механической системы, при учете нежесткости ее элементов и т.д.

Вопрос о грубости возникает в связи со следующими обстоятельствами. Сильные свойства универсальных законов управления выше естественно могут быть получены в классе существенно нелинейных законов управления. Универсальные законы управления, как правило, удается построить в классе релейных (разрывных) законов управления. Поэтому в работе речь идет о движениях разрывных динамических систем механической природы, о скользящих режимах и т.д.

Разрывные обобщенные силы не являются исключительными в рамках динамики механических систем. Например, к таким относят общепринятое описание сил сухого трения в форме Кулона. Однако общеизвестными являются проблемы чувствительности разрывных динамических систем (скользящих режимов и т.д.) по отношению к различного рода неучтенным параметрам динамической модели. Именно в связи с этим в работе проведено специальное исследование, устанавливающее грубость разрывных универсальных законов управления.

В главе IV разработанный метод синтеза управлений используется для решения задачи управления при дополнительных условиях. Здесь законы строятся для таких задач управления, которые ориентированы на реальные проблемы управления механическими системами. В главе получены такие законы управления, которые допускают цели управления, заданные в общем виде (в форме общих требований к движению системы); которые применимы к механическим системам общего вида (в том числе - к него-лономным системам). Получено также решение специальной задачи управления, которая связана не только с изменением положения элементов механической системы, но и с ее силовым воздействием на окружающие К объекты.

Глава V посвящена управлению механическими системами, которые содержат только одно твердое тело. В первом приближении такими часто рассматриваются: самолет, космический аппарат, наземные и плавательные транспортные средства различного назначения и т.д. В рамках модели твердого тела удается исследовать ряд важных, актуальных, но достаточно сложных вопросов управления. Именно, исследуется возможность построения универсальных законов управления, когда управления входят не

15 линейно в уравнения движения, когда эффективность управлений оказывается достаточно малой, когда в системе имеется дефицит управлений и т.д. Изучены проблемы, связанные с распределенным характером внешних (например, аэродинамических) сил, действующих на механическую систему (что приводит к введению в систему переменных состояния с запаздывающим аргументом). Получены решения ряда специальных задач управления. Речь, в частности, идет о практически важной задаче дестабилизации (нарушения) нештатных режимов движения самолета (планирование, глубокого сваливание, штопор и т.д.).

1. Аверьянов Г.В., Матюхин В.И. Законы управления буровым судном на принципе декомпозиции // Сб. трудов Совета по управлению движением судов и кораблей, Севастополь, 1989, -М.: ИПУ, 1989.

2. Аветисян В.В., Акуленко Л.Д., Болотник H.H. Оптимизация режимов управления манипуляционными роботами с учетом энергозатрат // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, N3, 1987.

3. Аветисян В.В., Болотник H.H., Черноусько Ф.Р. Оптимальные программные движения двухзвенного манипулятора // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, N3, 1985. С. 123-131.

4. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем // 1,П.- Автоматика и телемеханика, 1974, N 7,8.

5. Айзерман М.А. Классическая механика. М.: Наука, 1974. 367 с.

6. Акуленко Л.Д., Болотник H.H. Об управлении поворотом упругого звена манипулятора// Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, N1, 1984. С. 167-173.

7. Акуленко Л.Д., Михайлов С.А. Анализ уравнений упругого манипулятора с электромеханическими приводами // МТТ. N1. 1988. С.75-81.

8. Амензаде Ю.А. Теория упругости. М.: Изд. Высшая школа, 1971.

9. Ананьевский И.М., Колмановский В.Б. Об управлении некоторыми механическими системами при неполной информации // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика// N1. 1989. С. 30-36.

10. Ананьевский И.М. Управление механической системой с неизвестными параметрами посредством ограниченной силы // ПММ, Т.61, Вып.1, 1997.

11. Ананьевский И.М. Управление линейной механической системой с упругими элементами в условиях неопределенности // Изв. РАН. ТСУ, N4, 1997.

12. Ананьевский И.М. Управление двухмассовой системой с неизвестными параметрами // Изв. РАН. ТСУ, N2, с.72-82, 1998.

13. Аппель П. Теоретическая механика. М: Физматгиз. 1960. Т.1., Т.2.

14. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. -М.: Наука. 1979. 431 с.

15. Артоболевский И.И., Кобринский А.Е. Робототехника: современное состояние, проблемы // Вестник АН СССР, 1974, N9, с. 32-45.

16. Артоболевский И.И., Кобринский А.Е. Научные проблемы робототехники // В кн.: YI Всесоюз. симпозиум по теории и принципам устройства манипуляторов. Тольятти, 1976, с.2-18.

17. Афонин В.Л., Пожаринский A.A., Чинаев П.И. Алгоритмы оптимального управления упругой манипуляционной системой при выполнении силовых технологических операций // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, N3,1987.

18. Ахромеев В.И., Гоман М.Г., Калугин A.B. и др. Автоматизация вывода маневренного самолета из режима штопора // Техника воздушного флота. 1991. N3. С. 491.

19. Баранов В.В. Координация движения звеньев манипулятора в режиме декомпозиции. В кн.: Синтез систем управлениям манипуляци-онными роботами на принципе декомпозиции. М.: Институт проблем управления, 1987. с. 36-45.-

20. Белянин П.Н. Промышленные роботы. М.: Машиностроение, 1975.

21. Болграбская И.А. Обоснование исследования динамических свойств упругого стержня на основе модели системы связанных твердых тел // ПММ. 1996. Т.60. Вып.2.

22. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1966, 308 с.

23. Бородянский JI.X., Матюхин В.И., Пятницкий Е.С., Чапчаев A.A. Универсальная система управления двигателями внутреннего сгорания на принципе декомпозиции. Препринт Института проблем управления. М.: 1995. 52 С.

24. Браверман Г.Б., Гусев В.П. и др. Ручное управление манипулятором. Сб. статей "Теория и устройство манипуляторов" под ред. И.И. Артоболевского. М.: Наука, 1973, с. 78-84.

25. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973.

26. Бурков И.В., Первозванский A.A., Фрейдович Л.Б. Стабилизация положения упругого робота ПД-регулятором // ТСУ. N6. 1996. С. 159-165.

27. Бюшгенс Г.С., Студнев P.B. Аэродинамика самолета. Динамика продольного и бокового движения. -М.: Машиностроение, 1979.

28. Бюшгенс Г.С., Студнев Р.В. Динамика самолета. Пространственное движение. М.: Машиностроение, 1983.

29. Бюшгенс Г.С., Гоман М.Г., Загайнов Г.И., Матюхин В.И., Пятницкий Е.С., Метод функций Ляпунова в задачах синтеза управления пространственным движением самолета. Препринт Института проблем управления. Москва. 1992. 75 С.

30. Бюшгенс Г.С., Гоман М.Г., Матюхин В.И., Пятницкий Е.С. Стаби-лизируемость и универсальные законы управления движением твердого тела при учете аэродинамических воздействий // Докл. ДАН РФ. 1995. Т.342. N1. С.49-52.

31. Бэйо Е., Серна М.А. Методы штрафных функций в динамическом анализе механизмов с упругими звеньями. // М.: Современное машиностроение. Сер. Б. 1990. N4. С. 79-87.

32. Ведров B.C., Тайц М.А. Летные испытания самолетов. М.: Оборон-гиз, 1975.229

33. Верещагин И.Ф., Генерозов B.JI. Планирование траекторий исполнительного органа манипуляционного робота. -М.: Техническая кибернетика, N2,1978.

34. Виттенбург И. Динамика систем твердых тел. -М.: Мир, 1980. 292 с.

35. Вукобратович М., Стокич Д. Управление манипуляционными роботами. Теория и приложения. -М.: Наука, 1985.

36. Вукобратович М., Стокич Д., Кирчанский Н. Неадаптивное и адаптивное управление манипуляционными роботами. -М.: Мир, 1989.

37. Гориневский Д.М., Формальский A.M., Шнейдер А.Ю. Управление манипуляционными системами на основе информации об усилиях. М.: Наука. 1994. 336 с.

38. Галиуллин A.C., Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г., Фурасов В.Д. Построение систем программного движения. М.: Наука. 1971. 352 с.

39. Галиуллин A.C. Обратные задачи динамики. М. Наука. 1981. 143 с.

40. Гамынин Н.С. Основы следящего гидравлического привода. -М.: Обо-ронгиз, 1962, 294 с.

41. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. -М: Физмат-гиз. 1960. 296 с.

42. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. -М.: Наука, 1967.

43. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. -М.: Наука. 1978.

44. Гирко В.Л., Крак Ю.В. Адаптивный подход к управлению движением манипулятора // Доклады АН УССР, А, N12, 1985.

45. Гоман М.Г. Дифференциальный метод продолжения решений систем конечных нелинейных уравнений, зависящих от параметра // Ученые записки ЦАГИ. -1986. Том XYII. N5.

46. Гоман М.Г. А.В. Храмцовский. Расчет границы области асимптотической устойчивости динамической системы // Ученые записки ЦАГИ. 1990. Том XXI. N3.

47. Гоман М.Г., Матюхин В.И.,. Пятницкий Е.С. Управление ориентацией твердого тела, движущегося в аэродинамической среде // Докл. АН РФ 1997. T.353.N6. С.751-755

48. Груйич JI.T. Согласованная Ляпуновская методология для стационарных нелинейных систем // А и Т. 1997. N12.

49. Гусев С.В., Якубович В.А. Алгоритм адаптивного управления роботом-манипулятором // Автоматика и телемеханика, N9,1980.

50. Гуськов Ю.П., Загайнов Г.И. Управление полетом самолетов. -М.: Машиностроение, 1980.

51. Дерябин М.В., Козлов В.В. К теории систем с односторонними связями //ПММ. Т.59. Вып.4, 1995. С. 531-539.

52. Додцз С., Матюхин В.И., Пятницкий Е.С. Полная управляемость и многорежимные системы управления. Тезисы докл. на VI Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления".М. Институт проблем управления. Июнь. 1996. С. 131.

53. Дунская Н.В., Пятницкий Е.С. Адаптивное управление манипулятором. Алгоритмы обучения движению // Автоматика и телемеханика, 1983, N2, С. 124-134.

54. Дунская Н.В., Пятницкий Е.С. Метод потенциала цели в задачах синтеза управления манипуляционными роботами // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1988. N4. С. 14-24.

55. Дунская Н.В., Пятницкий Е.С. Метод синтеза управления упругими системами // ДАН. 1994. Т. 338. N-2.231

56. Журавлев В.Ф. Уравнения движения механических систем с идеальными односторонними связями//ПММ. 1978. Т.42. Вып. 5. С. 781-788.

57. Журавлев В.Ф. Об одной форме уравнений движения симметричного твердого тела // МТТ. 1986. N3. С. 5-11.

58. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука. 1988. 326 с.

59. Журавченко А.И. Опыт исследования установившегося движения выхода самолета из штопора // Труды ЦАГИ. 1938. Вып.353.

60. Емельянов C.B. Системы автоматического управления с переменной структурой. -М.: Наука. 1967.

61. Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую // ПММ, 1952, вып. 2.

62. Зак B.JI., Перумов Г.У., Рогов H.H. Моделирование динамики манипуляторов с упругими шарнирами // Изв. АН СССР, Механика твердого тела, N3, 1987.

63. Зубов В.И. Методы A.M. Ляпунова и их применение. Изд. Ленинградского университета, 1957, 241 с.

64. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями М. Международная программа образования. 1997. 336 с.

65. Игнатьев М.Б., Кулаков Ф.М., Покровский A.M. Алгоритмы управления роботами манипуляторами. Л.: Машиностроение, 1977.

66. Интегральные роботы. Сборник статей. Под ред. Г.Е. Поздняка. М.: Мир, 1975.

67. Исследования робототехнических систем. Сб. статей. М.: Наука, 1982.

68. Карапетян A.B. О реализации неголономных связей силами вязкого трения и устойчивости кельтских камней // Прикладная математика и механика. 1981. Т.45. Вып.1. С. 42-51.

69. Карапетян A.B., Румянцев B.B. Устойчивость консервативных и дисси-пативных систем. Итоги науки и техники. Сер. Общая механика. М.: ВИНИТИ. 1983. Т.6.128 с.

70. Кириченко Н.Ф., Крак Ю.В., Сорока P.A. Математическое моделирование механики и процессов управления манипуляционными роботами // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, N3,1987.

71. Клумов A.C. Продольная устойчивость и управляемость маневренного самолета. -М.: Машиностроение, 1988.

72. Кобринский А.Е., Корендясев А.И. и др. Автоматические манипуляторы с программным управлением. Промышленные роботы. Состояние, перспективы, проблемы // Станки и инструменты. 1974, N11, с. 411.

73. Козлов В.В. Реализация неинтегрируемых связей в классической механике // Докл. АН СССР. 1983. Т.272. N3. С. 550-554.

74. Козлов В.В., Нейштадт А.И. Реализация голономных связей //ПММ. 1990. Т.54. Вып.5. С. 858-861.

75. Козлов В.В. Об устойчивости равновесия неголономных систем // Докл. АН СССР. 1986. Т.288. N2. С. 289-291.

76. Козлов В.В., Макарычев В.П., Тимофеев A.B., Юревич Е.И. Динамика управления роботами, М.: Наука, 1984.

77. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимыкрегулируемых систем с последействием. М.: Наука. 1981.

78. Коренев Г.В. Введение в механику управляемого тела. М.: Наука, 1964.

79. Коренев Г.В. Целенаправленная механика управляемых манипуляторов. М.: Наука, 1979.

80. Королев С.М., Мирошник И.В. Анализ динамики и управление пространственным движением нелинейных динамических систем // А и Т. 1999. N1

81. Красовский A.A., Ермилов A.C. Боевое применение и эффективность пилотажно-навигационных комплексов летательных аппаратов. -М.: ВВИА им. проф. Жуковского, 1989.

82. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз. 1959. 211 с.

83. Кристенсен Р. Введение в теорию вязко упругости. М.: Мир, 1974. 338 с.

84. Крымов Б.Г., Рабинович JI.B., Стеблецов В.Г. Исполнительные устройства систем управления летательными аппаратами. -М.: Машиностроение, 1987.

85. Крутько П.Д., Лакота H.A. Метод обратных задач динамики в теории конструирования алгоритмов управления манипуляционных роботов. Задача стабилизации // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, N3, N4, 1987.

86. Крутько П.Д., Попов Е.П. Кинематические алгоритмы управления движением манипуляционных роботов // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1979, N4, с. 77-86.

87. Крутько П.Д. Управление движением лагранжевых систем. Синтез алгоритмов методом обратных задач динамики. ТСУ. N6. 1995. С. 19-37.

88. Крутько П.Д. Управление движением Эйлеровых систем. Синтез алгоритмов методом обратных задач динамики. ТСУ. N1. 1995. С. 34-53.

89. Кулаков Ф.М. Супервизорное управление манипуляционными роботами. М.: Наука, 1980.

90. Кулешов B.C., Лакота H.A. Динамика систем управления манипуляторами. М.: Энергия, 1971.

91. Лавровский Е.К., Формальский A.M. Управление упругим звеном манипулятора при помощи обратной связи по положению и скорости груза //ПММ. 1993. Т.57. Вып.6.

92. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.7. Теория упругости. М.: Наука, 1965. 203 с.234

93. Летов A.M. Устойчивость регулируемых нелинейных систем. Государственное издательство физико-математической литературы. М. 1962. 483 с.

94. Летов A.M. Динамика полета и управление. -М.: Наука, 1969. 359 с.

95. Лурье А.И. Аналитическая механика. -М: Физматгиз. 1961. 824 с.

96. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. -М.-Л.: ГИТТЛ.1951.

97. Макаров И.А., Фрадков А.Л. Линеаризация неголономных систем управления//А и Т. N5. 1996. С. 3-16.

98. Макаров И.М., Охоцимский Д.Е., Платонов А.К. Программное обеспечение робототехнических систем // Вестник АН СССР, N8,1984.

99. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.;Л.: Изд-во технико-теоретической лит., 1959.

100. Матвеев В.Н. Расчет возмущенного движения самолета. -М.: Обо-ронгиз, 1960.

101. Материалы Международной конференции ICOLASS-93 по крупногабаритным космическим конструкциям. Новгород: Изд. Новгородского политехнического института. 1993. 95 с.

102. Матросов В.М. Об устойчивости движения // ПММ 1962. Т.26. Вып.5. С. 885-895.

103. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Васильев С.Н. Метод сравнения в математической теории систем. Новосибирск. Наука. 1980. 479.

104. Матросов В.М. Финогенко И.А. О разрешимости уравнений движения механических систем с трением скольжения // ПММ 1994. Т.58. Вып.6. С. 3-13.

105. Матросов В.М. Финогенко И.А. О решениях дифференциальных уравнений динамики механических систем с трением скольжения // Докл. РАН 1994. Т.336. N1. Вып.6. С.57-60.

106. Матросов В.М. Финогенко И.А. О притяжении для автономных механических систем с трением скольжения // ПММ 1998. Т.62. Вып.1. С.100-120.

107. Матросов В.М. Финогенко И.А. Об устойчивости положения равновесия автономных механических систем с трением скольжения // ПММ 1994. Т.62. Вып.6. С. 934-944.

108. Матюхин В.И. Устойчивость движения манипулятора в режиме декомпозиции // Синтез систем управления манипуляционными роботами на принципе декомпозиции. -М.: Институт проблем управления. 1987. С.15-25.

109. Матюхин В.И., Пятницкий Е.С. Устойчивость движения манипулятора в режиме декомпозиции при учете динамики приводов // Синтез систем управления манипуляционными роботами на принципе декомпозиции. М.: Институт проблем управления. 1987. С.25-36.

110. Матюхин В.И., Пятницкий Е.С. Синтез систем управления многозвенными механизмами на принципе декомпозиции при учете динамики приводов // Машиноведение, 1989, N3, с. 42-48.

111. Матюхин В.И. Устойчивость движения манипуляционных роботов в режиме декомпозиции // Автоматика и телемеханика. 1989. N3. С.33-44.

112. Матюхин В.И., Пятницкий Е.С. Управление движением манипуляционных роботов на принципе декомпозиции при учете динамики приводов//Автоматика и телемеханика. 1989. N9. С. 67-82.

113. Матюхин В.И. Сильная устойчивость движений в Лагранжевых системах, Тезисы докл. Международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Июнь. 1992. М. Институт проблем управления РАН. С.22.

114. Матюхин В.И. Устойчивость движения механических систем при учете постоянно действующих возмущений // А и Т. 1993. N11. С. 124134.

115. Матюхин В.И. Устойчивость движений манипулятора при учете не-идеальностей системы управления (СУ). Тезисы докл. III международного семинара "Устойчивость и нелинейные колебания систем управления". Июль. 1994. Самара. С.75.

116. Матюхин В.И. Сильная устойчивость движений механических систем //А и Т. 1996. N1. С. 37-56.

117. Матюхин В.И. Движение упругого звена манипулятора как абсолютно твердого тела. Тезисы докл. на VI Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Москва. Институт проблем управления. 4-7 июня. 1996. с. 123.

118. Матюхин В.И. Устойчивость движений манипулятора при учете слабой динамики управляющих устройств // А и Т. 1996. N4. 1С.24-38.

119. Матюхин В.И. Непрерывные универсальные законы управления ма-нипуляционным роботом // А и Т. 1997. N4. С.69-82.

120. Матюхин В.И. Стабилизация движений лагранжевых систем за конечное время переходного процесса // Докл. АН РФ. Т.353. N4. 1997. С. 484-487.

121. Матюхин В.И. Стабилизация движений упругого манипулятора // А и Т. 1997. N9. С.15-30.

122. Манохин В.И. Эффект движения звена упругого манипулятора как абсолютно твердого тела // МТТ. N6. 1997. с. 49-59.

123. Матюхин В.И. Устойчивость многообразий управляемых движений манипулятора. А и Т. 1998. N4. С.47-56.

124. Матюхин В.И. Метод медленных переменных в задаче управления движением упругого манипулятора //ПММ. Том 62. Вып.З 1998. С. 6171.

125. Матюхин В.И. Об условиях допустимости описания движения звена манипулятора как абсолютно твердого тела // Изв. РАН. ТСУ. С. 124-132. 1999.

126. Матюхин В.И. Стабилизация механических систем с неголономными связями //ПММ. Т.63. Вып.5. С.725-735. 1999.

127. Матюхин В.И. О реализации неголономных механических связей // МТТ. N6. 1999.

128. Матюхин В.И. Стабилизация силового воздействия манипуля-ционного робота при неполной информации о его динамике. Труды Ин-статута проблем управления РАН. Москва. 1999.Т.V. С. 105-118.

129. Matyukhin V.l. Force/motion control of manipulator with incomplete information. Force ECRD International Conference on Advanced Robotics, Intelligent Automation and Active Systems. Moscow. Russia. August 24-26. 1998. pp.

130. Медведев B.C., Лесков А.Г., Ющенко A.C. Системы управления ма-нипуляционных роботов. -М.: Наука, 1978.

131. Медведев B.C., Лесков А.Г., Ющенко A.C. Системы управления ма-нипуляционных роботов. М.: Наука, 1978.

132. Михалев И.А., Окоемов Б.Н., Павлина И.Г. и др. Системы автоматического управления самолетом. Методы анализа и расчета. -М.: Машиностроение, 1971.

133. Мухарлямов Р.Г. О построении множества систем дифференциальных уравнений устойчивого движения по интегральному многообразию. Диф. уравнения. 1.969. T.V. N4. С. 688-699.

134. Мухарлямов Р.Г. Об уравнениях движения механических систем. Диф. уравнения. 1983. Т.19. N12. С. 2047-2056.

135. Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Динамика неголономных систем. М.: Наука. 1967. 519 с.

136. Озиранер A.C. Об устойчивости движения относительно части переменных при постоянно действующих возмущениях // ПММ. Т.45. Вып.З. 1981.419-427.

137. Остославский И.В. Аэродинамика самолета. М.: Оборонгиз, 1957.

138. Охоцимский Д.Е., Платонов А.К. Алгоритмы управления шагающим аппаратом, способным преодолевать препятствия // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1973. N5. С.3-10.

139. Охоцимский Д.Е., Платонов А.К., Кугушев Е.И., Ярошевский B.C. Расчет динамических параметров движения шагающего аппарата на ЭВМ. В сб. Исследование робототехнических систем. М.: Наука, 1982."

140. Охоцимский Д.Е., Голубев Ю.Ф. Механика и управление движением автоматического шагающего аппарата, М.: Наука, 1984.

141. Павловский Ю.Н. Теория факторизации и декомпозиция управляемых динамических систем и ее приложения // Известия АН СССР. Техническая кибернетика 1984. N2. С. 45-57.

142. Павловский Ю.Н., Смирнова Т.Г. Проблема декомпозиции в математическом моделировании. М.: Фазис. 1998. 226 с.

143. Первозванский A.A., Фрейдович Л.Б. Об астатизме нелинейных систем//А и Т. N5. 1998.

144. Первозванский A.A. Системы с разрывными нелинейностями при высокочастотных возмущениях // А и Т. 1999 (принята к печати)

145. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961.

146. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Физматгиз, 1961. 311 с.

147. Пол Р. Моделирование, планирование траекторий и управление движением робота-манипулятора. Перевод с англ. -М.: Наука, 1976.

148. Попов Э.В., Фирдман Г.Р. Алгоритмические основы интеллектуальных роботов и искусственного интеллекта. М.: Наука, 1976.

149. Попов Е.П., Верещагин А.Ф., Зенкевич С.Л. Манипуляционные роботы: динамика и алгоритмы. М.: Наука, 1978.

150. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник под ред. Бир-гера И.А., Пановко Я.Г., Т.1. М.: Машиностроение, 1968.

151. Пятницкий Е.С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами. В кн.: "Синтез систем управления манипуляционны-ми роботами на принципе декомпозиции". -М.: Институт проблем управления, 1987, с. 4-15.

152. Пятницкий Е.С., Синтез систем управления манипуляционными роботами на принципе декомпозиции // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, N3,1987.

153. Пятницкий Е.С. Декомпозиция управляемых механических систем и синтез двухуровневой системы управления манипулятором. В кн.: IX Всесоюзное совещание по проблемам управления. Тезисы докл. Ереван, 1983, М.: ВИНИТИ, 1983, с. 21-22.

154. Пятницкий Е.С., Сергеева H.A. Поисковые процедуры обучения манипулятора движению. Всесоюзная конф. "Теория адаптивных систем и их применение". -М.-Л, 1983, Тезисы докл. АН СССР. Научный совет по проблеме "Кибернетика".

155. Пятницкий Е.С., Трухан М.Н., Ханукаев Ю.И. и др. Сборник задач по аналитической механике. -М.: Наука, 1980.

156. Пятницкий Е.С. О структурной устойчивости систем регулирования при наличии запаздывания // Автоматика и телемеханика. 1972. N7.

157. Пятницкий Е.С. Синтез иерархических систем управления механическими объектами на принципе декомпозиции // Автоматика и телемеханика. 1989. N1. С.87-99. N2. С.71-86.

158. Пятницкий Е.С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами//Докл. АН СССР. 1988. Т. 300. N2. С. 300-303.

159. Пятницкий Е.С. Критерий полной робастной управляемости механических систем с ограниченными управлениями // Докл. АН СССР. 1997. Т. 352. N5. С. 620-623.

160. Пятницкий Е.С. Критерий полной управляемости классов механических систем с ограниченными управлениями // ПММ. Том 60. Вып. 5. 1996. С. 707-718.

161. Румянцев В.В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных. Вестник МГУ, серия Математика и механика, 1957, N 4, с. 9- >\16.

162. Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений спутников // Математические методы в динамике космических аппаратов. Вып 4. ВЦ АН СССР. 1967. 140 с.

163. Румянцев В.В. О некоторых вариационных принципах механики. Сборник научно-методических статей по теоретической механике // Вып.6. М.: Высшая школа. 1976. С. 32-43.

164. Румянцев В.В. Об оптимальной стабилизации управляемых систем // ПММ Т.34. 1970. С.440-456.

165. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. М.: Изд. Высшая школа, 1970.

166. Солнечный Э.М. Исследование условий грубости линейной системы с одноканальной обратной связью по отношению к малым параметрам \\ Автоматика и телемеханика. N2. 1998. С. 68-81.

167. Солнечный Э.М. Условия физической реализуемости линейных распределенных динамических систем \\ Автоматика и телемеханика. N5. 1996. С. 58-69.

168. Суслов Г.К. Теоретическая механика. M.-JI. Гостехиздат. 1946. 655.

169. Татаринов Я.В. Следствия неинтегрируемого возмущения интегрируемых связей: нелинейные эффекты движения вблизи многообразий равновесия // Прикладная математика и механика. 1992. Т.56. Вып.4. С.604-614.

170. Тертычный В.Ю. Интегральное оценивание и адаптивная стабилизация управляемых неголономных систем // Прикладная математика и механика. 1992. Т.56. Вып.6. С.976-984.

171. Тимофеев A.B. Адаптивное управление роботами // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, N1,1989.

172. Тимофеев A.B., Экало Ю.В. Устойчивость и стабилизация программных движений робота манипулятора // Автоматика и телемеханика, N10,1976.

173. Тывес Л.И. К задаче динамической развязки движений манипулятора по обобщенным координатам // Машиноведение, 1986, N 2, с. 17-23.

174. Управление робототехническими системами и их очувствление. Сб. статей. М.: Наука, 1983.

175. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. -М.: Наука. 1981. 368 С.

176. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. -М.: Наука. 1985. 224 С.

177. Фомин В.Н., Фрадков Ф.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. -М.: Наука, 1981.

178. Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. -М.: Наука. 1974. 368 с.

179. Формальский A.M. Перемещение антропоморфных механизмов. -М.: Наука, 1982.

180. Фомин В.И., Фрадков А.Л., Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. -М.: Наука. 1981.

181. Фрадков А.Л. Схема скоростного градиента и ее применение в задачах адаптивного управления // А и Т. 1979. N9. С. 90-101.

182. Фридман Л.М. Анализ «грубости » скользящих режимов систем с разрывными управлениями // А и Т. 1985. N5. С. 172-175.

183. Фридман Л.М. О «грубости » скользящих режимов систем с разрывными управлениями // А и Т. 1985. N11. С. 172-176.

184. Fridman L.M. Chattering control in sliding mode systems: possibility of using of additional dynamics of actuators. Proceedings of the Workshop on Robust Control via Variable Structure & Lyapunov Techniques. 1994. Bene-vento. Italy. Pp. 310-314.

185. Хрусталев M.M. Точное описание множества достижимости и условия глобальной оптимальности динамических систем // А и Т, I, N 4, с. 62-71, П, N 5, с. 70-81,1988.

186. Хрусталев М.М., Бахито Р.У. Синтез оптимального управления в линейных системах // Известия АН СССР, Техн. кибернетика, 1978, N1. С.165-173.

187. Черноусько Ф.Л. Динамика систем с упругими элементами большой жесткости // Изв. АН СССР. МТТ. 1983. N-4.

188. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М. Наука. 1980. 383 с.

189. Черноусько Ф.Л. Декомпозиция и субоптимальное управление в динамических системах //ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 6. С. 883-893.

190. Черноусько Ф.Л. Динамика управляемых движений упругого манипулятора // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1991. N5. С. 142-152.

191. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. -М.: Изд. Ан СССР. 1962. 535 с.

192. Chernousko F.L. Nonlinear feedback design in Lagrangian systems // Proc. Of 3rd European Control Conference. Rome. Italy. 1995. Pp. 1098-1102.

193. Черноусько Ф.Л. Построение управления при смешанных ограничениях//ТСУ. N6. 1995. С. 3-18.

194. Чиликин Н.С., Соколов Н.Н., Шинянский А.В. Основы автоматизированного привода. М.: Энергия, 1974.

195. Anderson S. В. Handling qualities related to sat roll/spin accidents of supersonic fighter aircraft. Journal of aircraft, 1985, Vol.22, N10, p. 875-880.

196. Arimoto S., Miyazaki F., Asymptotic stability of feedback control laws for robot manipulators. Symp. on robot control" 85, Barcelona, 6-8 November 1985.

197. Arimoto S., Naviwa Т., Nakayama Т., Parra-Vega V., Liu Y.H. A hyper-stability theoretic consideration on coordinated control of multiple robot arms // Proc. of 3rd European Control Conference. Rome. Italy. September 1995. Pp. 1894-1899.

198. Balestrino A., De Maria G., Sciavicco L. An adaptive model following control system for robotic manipulators // ASME J. of Dynamic Systems, Measurement and Control, v. 105, N3, 1983.

199. Baruch I.S., Mikhailov L.K., Two-layer hierarchical control of robot arms. 1st. IFAC Symp. Robot Control, Barcelona, Nov. 6-8, 1985, Prep. Barcelona, 1985.

200. Bejczy A.K., Robot arm dynamics and control. JPL TM-33669, Feb. 1974.

201. Bloch A.M., Reyhanoglu M., Mc Clamroch N.H. Control and Stabilization of Nonholonomic Dynamic System // IEEE Transaction on automatic control, November 1992, Vol.37, N11, p. 1748-1757.

202. Burkov I. V., Freidovich L.B. Stabilization of the program position of elastic robot via control with saturation // Proc. of 10-th IF AC Workshop on Control Appl. of Optimization. 19-21- December 1995. Haifa. Izrael.

203. Chernousko F.L. Nonlinear feedback design in Lagrangian systems // Proc. of 3-th European Control Conference. Rome. Italy. September 1995. Pp. 1098-1102.

204. Dubowsky S., Desforges D.T. The application of model-reference adaptive control to robotics manipulators // ASME J. of Dynamic Systems, Measurement and Control, v. 101, N3, 1979.

205. Gilbert E.G., Ha I.J. An approach to nonlinear feedback control with applications to robots // IEEE Trans. Syst., Man and Cybern., 14, N6, 1984.

206. Gruijc L.T. Natural trackability and control perturbed robots. IF AC Control of Industrial Systems. Belfort. France. 1997. Pp. 1641-1646.• • К

207. Guldner J., Utkin V.I. Sliding mode control of mobile robots // Proc. of the Workshop on Robust Control via Variable Structure & Lyapunov Techniques //Benevento. Italy. September 1995.

208. Hsia T.C. Adaptive control of robot manipulators a review. Proc. IEEE Int. Conf. Rob. and Autom., San Francisco, Calif., Apr.7-10, 1986, vol.1, Washington, D.C., 1986.

209. Hsiao-Dong Chang, Morris W., Hirsch, Felix F.WU Stability Regions of Nonlinear Autonomous Dynamic Systems// IEEE Transaction on Automatic Control., Vol. 33, N0 1, January 1988.245

210. Ibib J. Bettering operations of dynamic systems by learning a new control theory for servomechanism or mechatronics system, Proc. of the 23rd ШЕЕ Conf. Decision and Control, Las Vegas, 1984.

211. Joshi S.M., Kelkar A.G., and Wen T.Y. Robust attitude Stabilization of Spacecraft using Nonlinear quaternion feedback // IEEE Transaction on automatic control. Vol.40. N10. October 1995. Pp. 1800-1803.

212. Kawamura S., Miyazaki F., Arimoto S., Realization of robot motion based on a learning method // IEEE Trans. Syst. Man and Cybern., 18, N1, 1988.

213. Kawasaki H., Nishimura K., Terminal-link parameter estimation of robotics manipulators // IEEE J. of Robotics and Automation, vol.4, N5, Oct. 1988.

214. Keijee A.M., Ballard D.H. Self-calibration in robot manipulators // in Proc. IEEE Conf. on Robotics and Automation, 1985.

215. Khatib O., Le Maitre J.F. Dynamic control of manipulators operating in a complex environment. In Proc. 3rd CISM-I FTMM Symp. Theory and Practice of Robots and Manipulators. New York: Elsevier, 1979.

216. Khosla P.K., Kanade Т., Parameter identification of robot dynamics. In Proc. 24th Conf. on Decision and Control, 1985.

217. Lee C.S.G., Chung M.J. An adaptive control strategy for mechanical manipulators // IEEE Trans. Autom. Contr., 29, N9, 1984.

218. Lee C.S.G., Lee B.H., Resolved motion adaptive control for mechanical manipulators // Trans. ASME. J. Syst., Meas. and Contr., 106, N9, 1984.

219. Li C.J. A new method for dynamic analysis of robot // IEEE Trans, on Systems, man and cybernetics Jan/Feb., vol.18, num.1,1980.

220. Liu Y.H., Arimoto S. Implicit and explicit force controllers for rheo-holonomicaly constrained manipulator and their extensions to distributed cooperation control // Proc. IF AC 13th Triennial World Congress. 1996. San Francisco. USA. Pp. lb-01 1.

221. Luo G.L., Saridis G.N. Optimal/PID formulation for control of robotics manipulators. IEEE Int. Cont. Rob. and Autom., St. Louis, Mo., March 2528,1985, Silver Spring, Md., 1984.

222. Marinov P., Kiriazov P. Optimal adjustment of feedback gains in point-to-point control systems of manipulators dynamics. Symposium on robot con-trol'85, preprints IF AC, Barcelona, 6-8 November 1985.

223. Mayeda H., Osuka K., Kangawa A. A new identification method for serial manipulator arms, 9th IF AC Congr., 1984.

224. Morris H.M. Robotics control systems: more then simply collections of servo loops // Contr. Eng., 31, N5,1984.

225. Miroshnic I. V., Korolev S.M. Dynamic models and Control of Spatial Motion of Nonlinear Systems // Proc. of 3-rd European Control Conference. Rome. Italy. September 1995

226. Neuman C.P., Tourassis V.D. Discrete dynamic robot models // IEEE Trans. Syst., Man and Cybern., 15, N2,1985.

227. Nicosia S., Tomei P. Model reference adaptive control algorithms for industrial robots // Automatica, 20,1984.

228. Olsen H. В., Bekey G.A. Identification on robot dynamics, in Proc. IEEE Conf. on Robotics and Automation, 1984.

229. Parker J.K., Paul F.W. Controlling impact forces in pneumatic robot hand designs // J. of Dynamic Systems, Measurement, and Control. December 1987, vol.109.

230. Paul R.P. Robot Manipulators: Mathematics, Programming, and Control. Cambridge, MA: The MIT Press, 1981.

231. Skaar S.B., Michel A.N., Miller R.K. Stability of viscoelastic Control Systems // IEEE Trans, on Automatic Control. 1988. V.33. N-4.

232. Song G., Cai L., Li Z., Li S. A new approach to motion/force control of robot manipulators during constrained tasks // Proc. IF AC 13th Triennial World Congress. 1996. San Francisco. USA. Pp.509-514.247

233. Takegaki M., Arimoto S. A new feedback method for dynamic control of manipulators // ASME Trans., J. Dynam. Syst. Measure. Control. 1981.

234. Togia M., Yamano O., Learning control of robot manipulators. SLAM Conf. Geometric modeling and robotics, Albany, NY, July 15-17,1985.

235. Uicker J.J. On the Dynamic analysis of spatial linkage using 4x4 matrices. Ph. Dissertation. Northwestern University, Evanston, IL, Aug. 1965.

236. Vukobratovich M., Stojic R. The role of environment dynamics in the position/force control of manipulation robots // TCY. 1996. N6. C. 144-151.

237. Vukobratovich M.K., Surdilovic D.T. Control of robotic systems in contact tasks: an overview // TCY. 1996. N6. C. 144-151.

238. Walker M.W., Orin D.E. Efficient dynamic computer simulation of robot mechanisms // Trans. ASME J. Dynam. Syst. Meas. and Contr., vol.104, Sept., 1982.

239. Wazewski T. Systemes des equations et des inequalites differentielles ordinaries aux deuxiemes membres monotones et leurs applications // Ann. Pol. Math. 1950. V.23. P.l 12-166.

240. Wen J.T., Desrochers A. Sub-time-optimal control strategies for robotics manipulators. Proc. IEEE Int. Cont. Rob. and Autom., Sun Francisco, Calif., Apr.7-10, 1986, vol.1, Washington, D.C., 1986.

241. Zagaynov G.I., Goman M.G. Bifurcation Analysis of Aircraft CriticalFlight Regimes. ICAS Proceedings, Toulouse, 1984, Vol. 1.a

242. Yun X. Dynamic state feedback control of constrained robot manipulators //Proc. of 27thConference on Decision and Control. Austin. Texas. 1988. Pp. 622-626.

243. Zhu S.Q., Lewis F.L., Hunt L.R. Robust stabilization of the internal dynamics of flexible robots without measuring the velocity of the deflection // Proc. 33rd Conf. on decision and control. Lake Buena Vista, FL-December, 1994.