автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Ударное взаимодействие колеса и рельса

Министерство путей сообщения Российской Федерации

Московский государственный университет путей сообщения

(МИИТ)

На правах рукописи

РГБ ОД

Кузнецов Аркадий Викторович

' ¿у;]

УДК 625.143: 629.4.027.118

УДАРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОЛЕСА И РЕЛЬСА

Специальность 05.23.17 - «Строительная механика»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 2000

Работа выполнена на кафедре "Теоретическая механика" в Московском государственном университете путей сообщения (МИИТе)

Научный руководитель: Доктор технических наук, профессор

МЕЩЕРЯКОВ Владимир Борисович

Официальные оппоненты: Доктор технических наук,

профессор, академик РАА и СН, заслуженный деятель науки РФ АЛЕКСАНДРОВ Анатолий Васильевич

Кандидат технических наук КУРНАВИН Сергей Александрович

Ведущая организация: Сибирский государственный университет путей сообщения (СГУПС)

Защита состоится «29» февраля 2000 года в 15.00 на заседании диссертационного совета Д 114.05.02 при Московском государственном университете путей сообщения.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью, просим присылать по адресу университета: 101475, ГСП, г.Москва, Л-55, ул. Образцова, 15.

С диссертацией можно познакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан « » января 2000 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 114^ доктор технических наук, профессор

В.П. МАЛЬЦЕВ

Ом.-о^-о*,0

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Среди разнообразных динамических воздействий на сооружения в целом и на их составные части (балки, плиты, колонны) особое место занимает ударная нагрузка. Теория соударения деформируемых твердых тел претерпела несколько периодов в своем историческом развитии. Однако до сих пор многие вопросы остаются не до конца исследованными. При сравнительно небольших начальных скоростях соударения не возникает зон пластических деформаций, ввиду этого можно использовать известную теорию, предложенную Г. Герцем. При этом для определения параметров ударной силы возникает необходимость решать нелинейное интегральное уравнение. Это обстоятельство затрудняет проведение исследования, многими авторами строились различные приближенные подходы для получения обозримых результатов. При этом упрощение можно получить, выбирая в качестве моделей соударяющихся тел твердые тела, материальные точки и т.п.

Для железнодорожного транспорта большое значение имеет проблема динамического взаимодействия подвижного состава с рельсовым путем. Выделяя ударное взаимодействие, отметим такие ситуации: удар стандартного колеса на стыке, поперечной трещине или на местном выступе у рельса; удар колеса с дефектом (в виде ползуна или навара) по нормальному рельсу. Возможны повторные удары при сочетании этих условий. Исследованием этой проблемы занимались многие ученые, как в нашей стране, так и за рубежом. Как показал анализ публикаций, при ее решении использовались различные модели для рельса, а также гипотезы и предположения, в том числе так называемая "приведенная масса" рельса.

Цель работы состоит в анализе современного состояния проблемы с точки зрения строительной механики, а именно - динамики сооружений. При этом в общих чертах обрисована совокупность тех задач, которые желательно рассмотреть и, по возможности, решить. На первом этапе исследования надлежит выбрать адекватные модели взаимодействующих при соударении тел; обосновать возможность использования теории Г. Герца. Полученные расчетные уравнения требуют построения численных алгоритмов и программного обеспечения. Желателен достаточно широкий диапазон вариации параметров, характеризующих рассматриваемые объекты. Особое внимание требуется к исходным параметрам. Среди них немало имеющих стохастический характер (прежде всего - жесткость основания). Непростой задачей является определение начальной скорости соударения. Существенную роль играет контактная жесткость, зависящая от материала и геометрии соударяющихся тел в зоне контакта. Для достоверности получаемых результатов исследования необходимо их сопоставление с экспериментальными данными.

Ввиду явной невозможности в рамках одной диссертационной работы выполнить все перечисленное - был сделан выбор некоторой части, но

приняты меры для достаточно глубокого изучения выбранных вопросов. По необходимости было ослаблено внимание к колесу. Оно считается деформируемым твердым телом, в нем явно учитываются только местные упругие напряжения и деформации. Такой подход оправдан с двух точек зрения. Во-первых, получаемые данные о параметрах ударной нагрузки передавались на кафедру "Вагоны" МИИТа, где они служили исходными данными при прочностном расчете колеса по методу конечных элементов. Аналогичные исследования проводятся в Отраслевой научно-исследовательской лаборатории прочности элементов верхнего строения пути на кафедре "Строительная механика" Сибирского государственного университета путей сообщения. Во-вторых, в перспективе возможно построение единого алгоритма, объединяющего полученные в данной работе результаты с результатами специалистов, изучающих поведение колесной пары.

Основным объектом исследования явилась балка на упругом линейно деформируемом основании, испытывающая поперечный удар массивного тела. Эта задача имеет общий характер, ее результаты могут быть использованы во многих отраслях техники. В данной работе в качестве конкретной задачи выбрано ударное взаимодействие колеса и рельса. При этом возникла необходимость решения специфической задачи определения начальной скорости, а также уточнение параметра контактной жесткости.

Научная новизна работы состоит в следующем:

Предложен метод расчетной оценки дополнительного напряженно-деформированного состояния рельса при ударном взаимодействии с колесной парой. Для сравнения рассматривается также основное напряженно-деформированное состояние, возникающее при равномерном качении колесной пары по идеальному рельсовому пути. При построении метода выполнено:

• Выбор модели, описывающей динамическое поведение балки при действии ударной нагрузки, проведен довольно тщательно. В качестве основной выбрана модель, предложенная С.П. Тимошенко. Для балки моносимметричного поперечного сечения использована система дифференциальных уравнений, построенная В.Б. Мещеряковым. Она распространяет модель С.П. Тимошенко на пространственную задачу. Кроме этого для сравнения использовались модели Релея-Власова и Эйлера-Бернулли.

• Для моделей С.П. Тимошенко и Рэлея с помощью интегрального преобразования Лапласа получены изображения прогиба балки (рельса) на упругом основании на действие сосредоточенной силы, а также изгибающего момента и поперечной силы в сечении. С целью сравнения приведено известное выражение прогиба для модели Эйлера, оригинал которого может быть получен в аналитическом виде (с использованием таблиц).

• Создан достаточно универсальный численный алгоритм обратного преобразования по Лапласу, который успешно применяется ко всем рассмот-

репным моделям. При этом большое внимание было уделено выбору параметров, обеспечивающих точность и достоверность расчетов. С этой целью алгоритм содержит несколько взаимосвязанных итерационных процедур, оптимизирующих расчетные параметры.

• Применение теории Г. Герца обосновано количественными показателями, некоторые положения остались в качестве гипотез до экспериментальной проверки. Решение нелинейного интегрального уравнения проводилось в основном численным способом с предварительной его линеаризацией на основе энергетического критерия.

Практическая ценность работы заключается в реализации численных алгоритмов на основе специально созданного обширного программного обеспечения. На этой базе проведены расчеты многих примеров, иллюстрирующих возможности построенного метода. Для практического использования построенной теории дополнительно выполнено:

• Задача определения начальной скорости соударения колеса с рельсом решена с помощью предложенных автором двух моделей. Результаты для первой модели хорошо согласуются с аналогичными данными У. ЗаШЬ.

• Расчетным путем найдены числовые значения контактной жесткости для четырех типов рельса.

• Рассмотрены ситуации, при которых происходят повторные удары: удар колеса с наваром, удар при одновременном наличии на колесе ползуна и навара.

• Показано, что параметры дополнительного напряженно-деформированного состояния, возникающего при ударе, значительно превышают таковые в основном состоянии.

• Изучен вопрос определения крутильной жесткости рельса, получены числовые результаты для четырех типов рельса. Они могут быть использованы в дальнейшем при решении более общей задачи об нзгибно-крутильном движении рельса.

Достоверность результатов исследования

• Применяемые в теоретическом исследовании методы и способы хорошо известны и прошли необходимую проверку во многих работах. Для большей убедительности было решено много тестовых примеров, организованы численные эксперименты, обосновывающие принятые в расчетах шаги по независимым переменным.

• При участии автора проведен натурный эксперимент по определению вертикальных ускорений в рельсах от ударов колесной пары с ползунами. Характер акселерограмм сопоставлен с расчетными результатами при тех же значениях исходных параметров. Обнаружено удовлетворительное качественное согласование результатов.

• Приводится сравнение расчетов с экспериментальными данными других авторов. (H.H. Кудрявцев, П.С. Анисимов). Они свидетельствуют об удовлетворительном согласовании результатов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на заседаниях кафедр в МИИТе ("Теоретическая механика", "Вагоны"), на трех научных конференциях (см. список публикаций): в Новосибирске, Санкт-Петербурге и Москве.

Публикации. По материалам диссертации опубликованы четыре статьи, а также тезисы трех докладов на конференциях.

Объем п структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованных источников (136 наименований). Материал изложен на 88 страницах, содержит 20 рисунков, 11 таблиц.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность рассматриваемой проблемы.

В первой главе дается обзор литературных источников.

Решением проблемы воздействия подвижных нагрузок на сооружения (мосты) занимались многие известные ученые. Прежде всего были решены задачи для предельных случаев, когда можно пренебречь массой сооружения в сравнении с массой нагрузки (R. Willis) , или, наоборот, масса нагрузки мала в сравнении с массой сооружения (G. Stokes, А.Н. Крылов).

Применительно к взаимодействию подвижного состава с рельсовым путем в ряде статей С.П. Тимошенко (1915 г.) была показана возможность перехода от рельса на упругих опорах к рельсу на сплошном упругом основании.

Однако проблемы не могут быть решены однозначно для всех случаев; исследования повсеместно продолжаются. Фундаментальные монографии:

B.К. Гарг и Р.В. Дуккипати (1988), К. Джонсон (1989), J.J. Kalker (1990) содержат новые оригинальные решения многих вопросов, связанных с динамическим взаимодействием пути и подвижного состава.

Коллективы ученых в вузах и научных институтах изучали и продолжают изучать различные аспекты рассматриваемой проблемы. Отмстим публикации В.М. Александрова, М.Х. Ахмстзянова, П.М. Белоцерковско-го, Г.П Бурчака, С.А. Зегжды, И.И. Иванченко, А.Д. Гершгорина, E.H. Курбацкого, С.А. Курнавина, Г.Б. Муравского.

Первые исследования ударного воздействия колесной пары с ползуном на рельсовый путь были выполнены в начале века Н.П. Петровым,

C.П. Тимошенко, A.A. Холодецким, а позднее Н.Т. Мнтюшиным, Г.М. Шахунянцем, М.Ф. Вериго. Отметим статьи М.П. Пахомова, H.H. Кудрявцева, М.В. Блоха, В.Ф. Яковлева.

Несимметричное расположение ползуна - на одном колесе рассмотрено П.И. Горьковым. Вопрос взаимодействия колеса и рельса в зоне стыка рассмотрен в работах A.M. Годыцкого-Цвирко, Г.А. Андреева, М.П. Па-

хомова. Влияние параметров пути на вертикальные динамические силы взаимодействия колеса и рельса, в том числе с учетом дефектов рельса, рассмотрен X. Дженкинсом и др.

Вопросы экспериментального определения сил взаимодействия колеса с ползуном и рельса рассмотрены в статьях Г1.С. Анисимова, А.М. За-рембски, Ю. Сато, К. Эсвельда и А.К. Шафрановского.

Изучением статистических характеристик несовершенств пути и подвижного состава занимаются ученые многих кафедр и лабораторий. Результаты проведенных исследований обсуждаются на регулярно проводящихся конференциях в транспортных вузах (МИИТ, СГ1ГУПС, СГУПС, РГОТУПС, ДИИТ).

С 1961 г. во ВНИИЖТе функционирует отделение комплексных испытаний, в работе которого уделяется большое внимание динамическому взаимодействию пути и подвижного состава. Достаточно полно современное состояние проблем взаимодействия пути н подвижного состава изложено в монографиях М.Ф. Вериго и А.Я. Когана (1986), И.В. Бирюкова, А.Н. Савоськина и Г.П. Бурчака (1992), А.Я. Когана (1997).

Следует отметить, что во всех работах, посвященных проблеме взаимодействия дефектного колеса с рельсом, постановка задач несовершенна. Либо рельс заменяется некоторой "приведенной" массой, либо ударное воздействие представлено априорно, без рассмотрения процесса удара, мгновенным импульсом, равным произведению массы колеса на начальную скорость удара. В монографии А.Я. Когана (1997) отмечается, что случай отрывного движения колеса не рассматривается. В работе Ю. Сато, где получено выражение для начальной скорости удара, отсутствует теоретическое решение задачи удара.

На основе анализа источников сформулирована основная цель работы и перечислены задачи, которые необходимо решить для достижения этой цели.

Во второй главе приведены исходные дифференциальные уравнения, описывающие динамическое поведение балки на линейно деформируемом упругом основании. Применительно к конкретной задаче (рассмотренной в работе детально) - распространении ударных волн в плоскости наибольшей жесткости рельса от действия сосредоточенной поперечной силы — можно опираться на систему двух дифференциальных уравнения второго порядка:

(1)

Здесь введены обозначения

— Перемещение центра изгиба поперечного сечения,

Фу - Угол поворота поперечного сечения, I, - Главный осевой момент инерции сечения, Продольная координата сечения балки, Р(0 - Закон изменения контактной силы во времени, 5(г) - Дельта-функция Дирака, Е.в - Модули упругости материала рельса, р- Плотность материала, Ц - Жесткость упругого основания, ^ — Коэффициент формы поперечного сечения рельса. Уравнения (1-2) соответствуют модели С.П. Тимошенко. В них учитываются деформации сдвига. Если свести два уравнения (1-2) к одному, а затем игнорировать сдвиги, то получим уравнение модели Релея-Власова:

•*=адр(1)" О)

Пренебрегая инерцией поворота сечений, приходим к уравнению Эй-лера-Бернулли:

Иу-%+рА—Ь- + их§х=5(г)Р(1). (4)

Зг 81 .

Контактная сила Р(0 может быть определена из решения нелинейного интегрального уравнения в соответствии с теорией Г. Герца:

-т*'3

Здесь Ко - параметр контактной жесткости, зависящий от геометрии зоны контакта и материала соударяющихся тел; тк - масса колеса, V,-, -начальная скорость соударения. Вертикальное (точнее сказать - в плоскости наибольшей жесткости) перемещение рельса §Г(Р. О равно перемещению центра изгиба поперечного сечения рельса по направлению главной оси. Это перемещение в диссертации получено на основе использования различных динамических моделей (1-2), (3), (4) для рельса.

Уравнение (5) можно линеаризовать, заменяя нелинейность в левой части на Р(1)/С, где С - приведенная контактная жесткость, определяемая по критерию равенства энергии местных деформаций:

С = -^Р™ К 20 . (6)

Здесь 1>*м - априорно задаваемый максимум ударной силы. Его величину можно уточнять итерациями; это реализовано в разработанном алгоритме.

Во второй главе рассмотрены также вопросы, связанные с определением необходимых для расчета характеристик. На интенсивность ударного

= У01-— | Р<х)а- х) <1 х - <Р, 0. (5)

тк о

процесса существенно влияет начальная скорость удара V,,. При малых скоростях движения поезда она пропорциональна длине хорды ползуна на колесе. Имеется такое предельное значение скорости поезда, при котором колесо не давит на рельс:

V = ^(1 + ^/114),

где g - ускорение силы тяжести, О — нагрузка на колесо, ц - динамический коэффициент (от вибрации).

Автором предложены две модели для описания движения колеса, имеющего ползун. В расчетах приняты формулы, соответствующие первой модели автора:

при V < У У0=^; при V > V

где Ь = 2 V2КЬ - Ь 2 - хорда ползуна, Ь - глубина ползуна, V - скорость поезда.

На рис. 1 показаны результаты расчетов и дано сравнение с данными, принадлежащими У. БаШЬ. Рассмотрен также вопрос определения контактной жесткости. На основании анализа литературных источников предложены формулы для расчетной оценки контактной жесткости. Предполагается, что область контакта имеет форму эллипса с полуосями а и Ь, Ь < а

и эксцентриситетом е = л/1-Ь2/а2 . Значение контактной жесткости в общем случае можно вычислить по формуле:

К 2п I Т' /Е(с) Г 2 (7)

0 3(Ь/а)К(е)[ Е, Е2 ] V К (е) VI ' / Я и ' где Ц|,Е,- коэффициент Пуассона и модуль Юнга для ¡-го тела, К(е) и Е(е) -полные эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно, вычисленные при параметре е, Кч - главные радиусы кривизны поверхностей тел в малой окрестности точки контакта. Понятно, что длины полуосей а и Ь зависят от контактной силы и геометрии тел в области контакта. Однако для определения контактной жесткости требуется лишь их отношение, которое в случае а/Ь < 4 (не слишком вытянутый эллипс) приближенно можно вычислить по формуле:

Ь/а.^ + ^ОД^'+КГ-Г3 (8)

При контакте рельса и колеса без дефектов или с дефектом в виде навара контактная жесткость вычисляется по формуле (7) с учетом (8). В случае контакта рельса и колеса с ползуном, который можно представить плоской площадкой эллиптического очертания, в формуле (7) будет только один конечный радиус кривизны - радиус головки рельса, а отношение Ь/а можно вычислить явно:

Ь _ й Гк7 (9)

Зависимость начальной скорости уда та от скорости поезда (§>

Оо Мой»<\ь Сото. ГлуЛчна. полаунл 1 сн ■ ил<У> , в/'« Поавдк Саю. Глубина пол«ух« С ни

0-85*00 0.72 0.ЛЗ 0.54 0.45 0.Э6 0.27 0.19 О.ОЭ 0 1.9102 1.6 1.4 1.2 1 0.6 О. в О. 4 0.2 О /

Оо< Ц>, т/я Иоа*ль 1. Г ловима ползуча 1 т УоСО-),*/* I. Глубже«» ползума 5 ин

о.е5бйв СХ/2 0.63 0.54 0.45. о.з< 0.27 0.10 0.09 ........-.........................-р.............. 1.3102 1.6 1.4 1.2 1 0.6 0.6 0.4 0.2 0 .....................................у...............

^^

| 1ЛХУ>,*. * Повель 2. Глхвича ползуна 1 чи Г4оЭ*л* 2. Глувиио полэуна 5 ич

и.-48 0.4 2 0.3« аз 0.24 0.16 0.12 0.0« 0 j 100 1.2^ 1 ав а« 0.4 0.2 0 Э 100

Рис. 1. Начальная скорость удара

где Г<г и Я„ - радиус головки рельса и радиус круга катания колеса, Н -глубина ползуна. Поскольку Ь - достаточно малая величина, то ее квадратом можно пренебречь, поэтому выражение (9) не зависит от размеров ползуна. В табл.1 приведены результаты расчетов контактной жесткости. Для получения этих числовых результатов была составлена и отлажена специальная программа.

Таблица 1

Значения контактной жесткости

Тип Рельса Прос )иль колеса Профиль с ползуном Профиль с наваром

Новый Изношенный

Р43 9.04-10ш 1.55-10" 1.15-10" 7.59-10|и

Р50, Р65, Р75 1.02-10" 2.41-10" 1.47-10" 8.71-10'°

Обсуждается вопрос о жесткости упругого основания. Ввиду существенного влияния на его величину конструкции и состояния верхнего строения железнодорожного пути этот параметр должен определяться в экспериментах.

Важные для практики задачи об ударном взаимодействии колеса и рельса при наличии относа и виляния могут быть рассмотрены на основе более полной системы дифференциальных уравнений. В диссертации приведена система четырех дифференциальных уравнений второго порядка, описывающая распространение совместных изгибно-крутильных

волн в балке моносимметричного профиля на упругом основании. Построение решения в области изображений требует вычисления корней характеристического уравнения. Это уравнение имеет восьмой порядок, поэтому для продолжения решения задачи нужно значительно усложнить процедуру численного расчета.

В порядке подготовки к решению подобных задач рассмотрен вопрос определения крутильной жесткости рельса. Автором построен алгоритм, в котором на основании известных решений теории упругости для балок (стержней) простого очертания находится общая крутильная жесткость рельса, поперечное сечение которого разбито в нескольких вариантах на простые элементы. В табл. 2 приведены итоговые числовые данные.

Таблица 2

Средние значения геометрической жесткости кручения

Типы рельсов Р43 Р50 Р65 Р75

и (см1) 110 126 177 279

В третьей главе приведены результаты аналитического решения задач динамического взаимодействия колеса и рельса. Новыми являются полученные автором для моделей С.П. Тимошенко и Рэлея решения (в изображениях по Лапласу) для силовых и кинематических факторов ударного процесса. Аналитические выражения для оригиналов но этим моделям получить невозможно; будет применяться численный метод. Для модели Эйлера при г=0 могут быть получены (с помощью таблиц) аналитические выражения искомых оригиналов. Эти выражения приводились ранее в работах Г.Б. Муравского, И.И. Иванченко.

Дополнительное напряженное состояние при ударах накладывается на основное напряженное состояние при безударном качении колесной пары по рельсовому пути. Следуя С.П. Тимошенко, для приближенной оценки можно искать напряженно-деформированное состояние, решая статическую задачу. При этом следует иметь в виду, что решение будет записываться в подвижной системе координат, начало которой совпадает с точкой контакта колеса с рельсом. Получив решение статической задачи, в него следует ввести коррекцию за счет учета скорости движения колесной пары.

Если ограничиться изгибом в плоскости наибольшей жесткости, то динамическое поведение рельса может быть описано системой двух уравнений (1-2). При переходе к статической задаче (опуская силы инерции) эта система принимает вид:

дг~ дг

(Ю)

дг- ог

Здесь Р - постоянная сила давления колеса на рельс, приложенная в начале координат подвижной системы. Уравнения (10) дают возможность учесть деформации сдвига при изгибе рельса. Пренебрегая сдвигами, получим известное уравнение по теории Эйлера-Бернулли.

Отметим, что учет деформаций сдвига в полученном решении дает возможность уточнить прогибы. Поправки растут с увеличение жесткости упругого основания и достигают 12%. Напряжения, найденные с использованием уравнений (10), при учете сдвигов не уточняются.

Рассмотрим теперь влияние скорости движения поезда на напряженно-деформированное состояние рельса. Как показано С.П. Тимошенко, динамический эффект движущейся с постоянной скоростью силы по балке (подразумевается модель Эйлера-Бернулли) на упругом основании аналогичен действию продольной сжимающей силы. Решая соответствующую задачу, можно получить выражение для прогиба балки под действием этой продольной силы при одновременном действии изгибающей силы Р. При определенном значении продольной силы наступает критическое состояние - балка выпучивается. На основании математической аналогии можно получить такое выражение для критического значения скорости движения нагрузки (скорости поезда):

<п)

Физический смысл критической скорости состоит в том, что она является скоростью прохождения длины волны, образующейся при изгибе рельса сосредоточенной силой Р, за время, равное периоду собственных колебаний рельса.

Определяемая выражением (11) критическая скорость оказывается на порядок больше реальной скорости движения поезда. Скорость поезда можно учесть, если в выражения силовых и кинематических факторов ввести такой множитель:

1/V'1-(V/VKP)2 .

Для практических расчетов этот множитель можно не учитывать.

В малой окрестности зоны контакта колеса с рельсом возникают местные напряжения. Экспериментальным путем эти напряжения были обнаружены С. Wilson. Расчетным способом они могут быть определены на основании решения соответствующей задачи теории упругости. В работе С.П. Тимошенко приведены теоретические результаты, которыми мы воспользовались. В точке приложения сосредоточенной силы Р действует самоуравновешенная система двух сил, каждая из них равна V/п. От действия этих сил возникает равномерное растяо/сение с напряжением ам=Р/(лА), а также появляется дополнительный изгибающий момент, растягивающий верхние волокна. Эти дополнительные напряжения быстро затухают по мере удаления от точки приложения силы.

Рассмотрим теперь вопрос о поперечном надавливании волокон в рельсе. Опираясь на теорию, изложенную А.Ф. Смирновым в учебнике по сопротивлению материалов (1975 г.), можно выразить напряжения в горизонтальных площадках:

¡7 = —^—[1--L- fs (х)dx ].

* b(x) Iy - (12)

Зная напряжение, можно вычислить деформацию поперечного сжатия волокон. Для балки прямоугольного сечения b(x) = Const; напряжения в соответствии с формулой (12) распределяются по закону кубической параболы. Для рельса, имеющего более сложное поперечное сечение, этот закон другой. В точке контакта на головке рельса получаем выражение для контактного напряжения:

CT*(hl) = Mh7T= MHTW- '

где h, - расстояние от центра тяжести сечения до головки рельса, b(hi) - ширина зоны контакта на уровне головки рельса,

гк - длина зоны контакта; она определяется по формуле: Г1 =

4Е,

Кстати сказать, вычисление rk по этой формуле было использовано для обоснования применимости теории Г. Герца к решению рассматриваемой задачи.

В четвертой главе описаны численные алгоритмы расчетов. Применяя к системе (1-2) прямое преобразование Лапласа по времени, мы получили аналитические выражения для изображений искомых функций \ (z, s) и ç (z, s), (s - параметр преобразования Лапласа), которые представляют собой мероморфные функции. В общем случае оригиналы - искомые функции ç(z, t) и q>(z, t) - не могут быть записаны в удобной аналитической форме, и обращение приходится выполнять численно. Для решения уравнения удара используется линеаризация по условию (б), после применения к обеим его частям прямого преобразования Лапласа получаем выражение для изображения ударной силы P(s) :

УрСШк ___ С + mks2(l + CB(s)) '

где B(s) - изображение Лапласа для перемещения балки в соответствии с моделью.

Далее применяется алгоритм, основанный на разложении оригиналов в ряд Фурье на некотором интервале времени Т. В нашем случае неизвестный оригинал, действительнозначная функция действительного переменного, выражается через известное изображение F(s) - комплеснозначную функцию комплексного переменного так:

."„s,.». (13)

f(t)«—1 spfcr+2 £ReF(i ki)$R cP(i ко) cos (teot) —I mB(i ко) s i n (kffit)) j ) (]4)

где Sp = ReP(O) = jP(t)dt - импульс силы, fCT = ReF(0), i - мнимая единица,

о

со=2л/Т - круговая частота, Т - период Фурье.

При отладке алгоритма обратного преобразования решались тестовые примеры для различных задаваемых законов изменения P(t). В результате были определены оптимальные параметры вычислительного процесса. Расчеты показывают, что результаты существенно зависят от Т. Поиск наиболее адекватного периода организован по условию mm{Pmax(T)}. В этом случае выполняемый на каждом шаге по Т итерационный процесс определения приведенной жесткости С сходится с наибольшей скоростью. Затем в окрестности полученного Т происходит его коррекция по заданному начальному условию Р(0)=0.

Затем численно выполняется прямое преобразование Лапласа для полученной зависимости P(t) и определяются оригиналы силовых и кинематических факторов в соответствии с (14).

Специально разработанное для реализации изложенных численных алгоритмов программное обеспечение состоит из основного блока программ, а также дополнительных программ. В табл. 3. приведены краткие характеристики программных продуктов.

На всех этапах используются операции комплексной алгебры. Для блока IMPACT автором написано 23 подпрограммы (исключая стандартные). Во время работы основные параметры расчета отображаются на экране монитора, что позволяет следить за ходом процесса. Исходные параметры программа читает из отдельного текстового файла, поэтому они могут быть лег ко изменены. Комплекс занимает менее 30 Кбайт дисковой памяти вместе с файлами параметров. Быстродействие позволяет ему работать даже на ПК с 386-м процессором (расчет параметров во времени или спектральных плотностей длится менее одной минуты, а на современных ПК -несколько секунд). Разработанное программное обеспечение обладает достаточной универсальностью, позволяя варьировать в широких пределах исходные данные и характеристики рассматриваемой системы, имеет достаточное быстродействие.

В пятой главе представлены результаты расчетов. Построенный численный алгоритм позволяет находить решение поставленной задачи для трех рассмотренных моделей поведения рельса при ударе. После решения большого числа конкретных примеров утвердилось априорное мнение о том, что модель С.П. Тимошенко дает наиболее достоверные результаты.

На рис. 2 показаны результаты определения силовых и кинематических параметров удара для трех рассмотренных моделей поведения бал-

ки на упругом основании. Как видно из графиков на рнс. 2, для контактной силы, перемещения и изгибающего момента результаты для сравниваемых моделей мало отличаются. Это было подмечено Г.Б. Муравскнм, построившим импульсную переходную функцию для рассматриваемой задачи. Что касается ускорений, то для них заметен вклад деформаций сдвига, отсутствующих в классически моделях. Особо стоит подчеркнуть, что перемещения и ускорения, определяемые в точке удара (г=0) на основе моделей Эйлера и Рэлея, не затухают во времени. Для изучения поведения рельса после окончания удара обязательно требуется вводить в исходные уравнения диссипативные силы. В модели С.П. Тимошенко затухание обеспечивается свойствами упругого основания.

Таблица 3.

Перечень основных программ

Название Язык Основное назначение программы

IMPACT (комплекс) С++ Расчет силовых и кинематических характеристик рельса при ударе во времени, их максимальных значений по продольной оси рельса с выбором модели рельса. Расчет спектральных плотностей

IMPVAR (комплекс) С++ Получение зависимостей максимальных значений параме!ров ударного процесса при изменении характеристик Ux, V0, К0, At, N (число членов ряда)

IMPFUR С++ Определение зависимостей Ртах(Т), Ро(Т)

COMPARE С++ Расчет балок по различным моделям на заданную силу P(t) - тестовые примеры

READER (комплекс) С++ Вывод на экран результатов расчета или натурных измерений в наглядной графической форме

LOADRAIL BASIC Вычисление параметров напряженно-деформированного состояния рельса при качении колесной пары с дефектами

V0 С++ Вычисление начальной скорости соударения, предельной скорости движения поезда

CONTACT С++ Определение параметра контактной жесткости Ко соударяющихся тел (с численным нахождением эллиптических интегралов)

ID С++ Вычисление геометрической жесткости рельса при кручении

На рис. 3 показан характер затухания максимальных значений параметров удара вдоль оси рельса по мере удаления от точки удара. Как ви-

дим, затухание всех параметров удара вдоль оси балки обеспечивается для модели С.П. Тимошенко без учета диссипативных сил.

Рис. 2. Сравнение параметров удара по трем динамическим моделям для рельса

В ноябре 1998 г. в депо "Сокол" Московского метрополитена при участии автора были проведены натурные измерения ускорений рельса при прохождении состава, имевшего одну колесную пару с ползуном глубиной 4.5 мм. Для записи ускорений использовались акселерометры с пьезокри-сталлами. Датчики были установлены на внутреннем скосе подошвы рельса в четырех сечениях с шагом 0.5 метра. Запись показаний датчиков продолжалась в течение 5 секунд с шагом по времени 0.001 с. Скорость движения состава в условиях депо не могла быть большой, она составила 5.0 и 8.9 км/ч. Было выполнено 4 рейса, записан большой объем информации. С помощью аналого-цифрового преобразователя информация в виде числовых файлов сохранялась в памяти портативного персонального

компьютера. При тарировке датчиков был учтен наклон рельса на основании и уклон скоса подошвы рельса.

Рис. 3. Затухание максимальных значений параметров удара по длине рельса

На рис. 4 приведены графики ускорений, записанные при выполнении рейса N4. На рис. 5 приведены расчетные графики изменения ускорений в четырех сечениях рельса. Расчет проведен при тех же исходных данных. Общий характер расчетных графиков ускорений удовлетворительно согласуется с их экспериментальными аналогами.

Кроме обработки данных собственного эксперимента, проведено сопоставление расчета с опытами других авторов: H.H. Кудрявцева и П.С. Анисимова. Согласованность результатов вполне удовлетворительная.

Еергикплъпы? угкп]>етгг релиз» при скорости поезда 8.9 км/ч ¿1=0.001 с=1мс Рейс 4-(Ш

4.2 3.6 3 2.4 1.0 1.2 О.« О -О.Й -1.2 -1.8 -2.4 -Э -3.9Э-»! «'0,1./С/с Коиол 1 , БТр *<Х>,нус*Г. К см ал 3

ч 1 10 е 6 4 2 О —2 -5. 4371 | ¡-......;......»...........«......\......ч.......>------ .....»......Г-.....1-.....<............<.....->......

УТ£Р «<^),и/с/с КОНОА 2 Комол 4

4.8815 4 2 О -2 -е —ю -17 6.6Ъ07 -2 -3 -4.1673 1 7x1 40 «¡0 1.П.С

Рис. 4. Экспериментальные акселерограммы, записанные с шагом 0.001 с

©

¿¿47<Р 1.0 1.9 1.9 0.9 о. а С J с -о. э -о. в --{......<.......1......{.....-1...... 4Л ¿6 1 . 0.5 - о.э • 0.2 • О. 1 — —о. ^ -о.з -—о. л --о.ь - -О.^Я-Ро? _ 2' Э л!> АО >.

- 1.4 1.2 О-в О. С О. 0.2 -О-В -о.звзвз II э й.е)э?£>а -О.Я • о. 4 • и.з о.? с). 1 -о.э 1 ^рШЙ j ' "Уо 1 ло * . й.г

Рис.5. Расчетные графики ускорений для условий эксперимента при шаге 0.001 с

Кроме довольно распространенного дефекта на колесных парах - ползуна - встречается так называемый навар. Это небольшое утолщение на ободе колеса мы моделируем, очертив его дугой окружности. Несложные формулы для определения начальной скорости удара позволяют проводить расчеты по той же самой программе. Опасность навара в том, что он обеспечивает обязательно два соударения, причем начальная скорость пер-

вого удара растет пропорционально скорости поезда, никакой разгрузки не происходит.

На рис. 6 показан результат расчета тройного удара. Предполагая такое неудачное (и маловероятное) сочетание дефектов (ползун, следом яа-вар), можно прогнозировать параметры ударного процесса и в этом особом случае.

Рис.6. Сравнение параметров тройного удара по трем моделям

На рис. 7 показана зависимость максимальных значений параметров удара от важнейших исходных характеристик: жесткости основания (погонного коэффициента постели) Их, начальной скорости удара Уо , контактной жесткости Ко.

Следует обратить внимание на почти линейную зависимость параметров от значения начальной скорости удара. Это позволяет прогнозировать результаты решения задач через эталонное решение при фиксированной скорости.

Особенным образом ведут себя зависимости параметров удара от жесткости основания. Как видно из левых окон рис. 7, имеются зоны нестабильного поведения, причем для всех рассматриваемых параметров они наблюдаются в окрестностях двух значений аргумента.

Рис.7 Характер влияния исходных данных на параметры ударного процесса

.Для получения полной картины напряженно-деформированного состояния в сечении рельса под точкой контакта необходимо параметры основного состояния. возникающего при равномерном качении колесной пары, сложить с дополнительными, возникающими от ударного действия колесной пары при наличии ползунов (или навара). Внутренние силовые факторы основного напряженного состояния и прогибы оси рельса определяются выражениями, полученными из системы (10). Для нормальных напряжений в сечении под силой могут быть учтены местные напряжения

На рис. 8 показан характер эпюр напряжений в сечении под колесом. Крайняя правая эпюра отражает распределение нормальных напряжений в горизонтальных площадках сечения рельса. Величина ах1 является контакгным напряжением в малой окрестности точки соударения. Величина стх2 дает представление о порядке внутренних напряжений сжатия в точке, находящейся ниже головки рельса в самом начале его стенки.

В табл. 4 приведены результаты расчетов. В первой строке данные соответствуют равномерному качению колесной пары без ползунов. Через £ (х) обозначена деформация сжатия. Нормальные напряжения в крайних волокнах рельса даны в виде дроби: в числителе - без учета местных напряжений, в знаменателе - с учетом. Знак минус принят для растяжения. Как видно из данных табл. 4, местные напряжения дают ощутимую по-

правку; дополнительные напряжения, возникающие при ударе, существенно увеличивают суммарное напряжение.

Напряжения сдвига изгиба + местные = сумма

С>х1

<3x2

Рис. 8. Эпюры напряжений в поперечном сечении рельса

Таблица 4

Результаты расчетов напряженно-деформированного состояния рельса при качении колесной пары с дефектом в виде ползуна

н, Тх, Сх1, <Уу.2,

мм м/с мм МПа МПа МПа МПа МПа мм

0 0 0.75 47/34 -38/-35 20 1275 441 0.1067

0.5 0.61 1.25 86/53 -71/-57 38 2375 822 0.1987

1.0 0.86 1.46 103/65 -85/-70 45 2825 978 0.2363

1.5 1.05 1.61 117/76 -96/-80 50 3175 1099 0.2556

2.0 1.21 1.75 128/84 -106/-89 55 3475 Г] 203 0.2907

2.5 1.35 1.85 137/90 -113/-95 59 3725 1289 0.3116

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выполнено теоретическое исследование специальной задачи динамики сооружений - ударного взаимодействия массивного тела с континуальной одномерной средой.

Несмотря на логическую завершенность работы, она может быть продолжена по двум направлениям. Во-первых, результаты могут быть использованы заинтересованными службами и организациями для проведения практических расчетов.

Во-вторых, целесообразно дальнейшее развитие в теоретическом отношении. Могут быть уточнены модельные представления о колесе; в общих чертах ясен порядок рассмотрения пространственных изгибно-крутильных деформаций рельса от ударов при наличии относа и виляния колесной пары.

Исходная более полная система дифференциальных уравнений имеется; преобразование но Лапласу для нахождения реакции рельса выполнено. Значения крутильной жесткости рельса, без которых решение нельзя довести до числа, найдены. Однако необходимость раскрытия определителя высокого порядка существенно усложняет задачу, численный алгоритм должен начаться раньше; его построение, отладка и реализация потребуют определенных усилий.

Заманчиво было бы учесть стохастический характер некоторых параметров, влияющих на решение задачи. Прежде всего, это относится к параметрам жесткости упругого основания. Но все это далеко выходит за рамки одной диссертации.

По работе могут быть сделаны такие основные выводы

1. Предложен метод расчетной оценки дополнительного напряженно-деформированного состояния в рельсах при ударах колесных пар с дефектами. Построенный метод расчета и его программное обеспечение позволяют решать задачу удара массивного тела по балке на упругом основании при варьировании в широких пределах всех исходных данных.

2. На базе решения вспомогательных задач (начальная скорость удара, контактная жесткость) необходимые для расчета исходные данные уточнены. Возможности предложенного метода проиллюстрированы достаточным количеством примеров.

3. Дополнительное напряженно-деформированное состояние сопоставлено с основным, найденным с учетом деформаций сдвига. Учтены также местные напряжения в зоне удара. Важность полученного результата состоит в том, что дополнительные напряжения в несколько раз превышают основные, не связанные с ударами.

4. Достоверность полученных результатов подтверждена близостью результатов, полученных по различным моделям, а также данными экспериментов (проведенных при участии автора, а также другими исследователями).

5. Полученные результаты и отлаженные программы могут быть использованы в практических расчетах, нацеленных на уточнение ограничений в части эксплуатации подвижного состава с дефектными колесными парами.

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1. Кузнецов A.B., Мещеряков В.Б. Динамическое взаимодействие колеса и рельса. Тезисы доклада на научно-тсхн. конф. "Проблемы железнодорожного транспорта и транспортного строительства Сибири". Новосибирск, СГУПС, 1997. С. 105-106.

2. Мещеряков В.Б., Кузнецов A.B.. Динамическое взаимодействие колесной пары с рельсовым путем. Доклад на третьей Всероссийской научно-практической конференции с международным участием "Новое в экологии и безопасности жизнедеятельности". С.- Петербург, 16-18 июня 1998. 3 с.

3. Емельянова Г.А., Кузнецов A.B., Титов А.Ю. Результаты натурного измерения ускорений рельса при прохождении состава с дефектной колесной парой \ Моск. гос. ун-т путей сообщ. (МИИТ).-1999 —6 с.-Деп.в ЦИИИТЭИ МПС 20.06.99. № 6217

4. Кузнецов A.B. Об уточнении поведения рельса при ударном нагру-жении. Тезисы доклада на 2-ой научно-практической конференции "Безопасность движения поездов". Москва, МИ1-ГГ, 1999. - С. V-22.

5. Кузнецов A.B. Динамика балки на упругом основании при поперечном ударе массивного тела. Вестник МИИТа, вып. 2, 1999, с. 120126.

6. Кузнецов А. В, К определению жесткости рельса па кручение \ Моск. гос. ун-т путей сообщ. (МИИТ).-1999.- 5 с. - Деп. в ЦНИИТЭИ МПС 16.11.99. № 6265 -жд 99.

7. Кузнецов A.B. К определению начальной скорости удара колеса с ползуном по рельсу. \ Моск. гос. ун-т путей сообщ. (МИИТ).-1999.-5 с. -Деп.в ЦНИИТЭИ МПС 16.11.99. № 6266-жд 99.

Кузнецов Аркадий Викторович УДАРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОЛЕСА И РЕЛЬСА 05.23.17 - «Строительная механика»

с

Сдано в набор 20.01.2000. Подписано к печати 21.01.2000. Формат 60x90 1/6 Объем 1.5 п.л. Заказ Тираж 80 экз.

Типография МИИТа, 101475, ГСП, г.Москва, А-55, ул. Образцова, 15

1. ОБЗОР СОСТОЯНИЯ ПРОБЛЕМЫ И ЦЕЛИ РАБОТЫ

1.1. Действие подвижной нагрузки на путь в вертикальной плоскости

1.2. Ударное взаимодействие колеса и рельса

1.3. Пространственные воздействия колесного экипажа на рельсовый путь

1.4. Основные цели работы и общая прстановка решаемых задач

2. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ

2.1. Динамические уравнения моносимметричного стержня на упругом основании . л

2.2. Динамические уравнения, соответствующие классическим и приближенным моделям

2.3. Интегральное уравнение удара по теории Герца и его возможная линеаризация

2.4. Начальная скорость удара по рельсу колеса с ползуном

2.5. Начальная скорость удара по рельсу колеса с наваром

2.6. Контактная жесткость в точке удара

2.7. Крутильная жесткость рельса

2.8. Жесткость упругого основания "

3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КОЛЕСА И РЕЛЬСА

3.1. Применение преобразования Лапласа к динамическим уравнениям

3.2. Аналитические решения задачи удара в области изображений для случая плоского изгиба

3.3. Задача изгиба с кручением в горизонтальной плоскости

3.4. Аналитические выражения реакции рельса в оригиналах при плоском изгибе

3.5. Основное напряженно-деформированное состояние идеального рельсового пути при равномерном качении колесной пары

3.6. Местные и контактные напряжения в сечении под колесом

4. ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТОВ

4.1. Обратное интегральное преобразование Лапласа при заданной форме импульса

4.2. Решение линеаризованного уравнения удара с использованием численного обращения преобразования Лапласа

4.3. Решение нелинейного уравнения удара методом Эйлера 53 на основе аналитических выражений реакции рельса

4.4. Краткое описание программного комплекса

5. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ И СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ

5.1. Сравнение параметров удара по различным моделям

5.2. Сравнение результатов расчета с данными экспериментов

5.3. Влияние различных параметров на дополнительное напряженное состояние при ударах

5.4. Основное напряженное состояние рельса при равномерном качении колесного экипажа

5.5. Полная картина напряженно-деформированного состояния

Среди разнообразных динамических воздействий на сооружения в целом и на их составные части (балки, плиты, колонны) особое место занимает ударная нагрузка. Теория соударения деформируемых твердых тел претерпела несколько периодов в своем историческом развитии. Однако до сих пор многие вопросы остаются не до конца исследованными. При сравнительно небольших начальных скоростях соударения не возникает зон пластических деформаций, ввиду этого в расчетах можно использовать известную теорию, предложенную Г. Герцем. При этом для определения параметров ударной силы возникает необходимость решать нелинейное интегральное уравнение. Это обстоятельство затрудняет проведение исследования, многими авторами строились различные приближенные подходы для получения обозримых результатов. При этом упрощение можно получить, выбирая в качестве моделей соударяющихся тел твердые тела, материальные точки и т.п.

Для железнодорожного транспорта большое значение имеет проблема динамического взаимодействия подвижного состава с рельсовым путем. Выделяя ударное взаимодействие, отметим такие ситуации: удар стандартного колеса на стыке, поперечной трещине или местном выступе на рельсе; удар колеса с дефектом (в виде ползуна или навара) по нормальному рельсу. Возможны повторные удары при сочетании этих условий. Исследованием этой проблемы занимались многие ученые. Как показал анализ публикаций, при ее решении использовались различные гипотезы и предположения, в том числе так называемая "приведенная масса" рельса.

Цель работы состоит в анализе современного состояния проблемы с точки зрения строительной механики, а именно - динамики сооружений. При этом в общих чертах обрисована совокупность тех задач, которые желательно рассмотреть и, по возможности, решить. На первом этапе исследования надлежит выбрать адекватные модели взаимодействующих тел; обосновать возможность использования теории Г. Герца. Полученные расчетные уравнения требуют построения численных алгоритмов и программного обеспечения. Желателен достаточно широкий диапазон вариации параметров, характеризующих рассматриваемые объекты. Особое внимание требуется к исходным характеристикам. Например, непростой задачей является определение начальной скорости соударения. Некоторые характеристики на практике могут иметь случайный характер. Для достоверности получаемых результатов исследования необходимо их сопоставление с экспериментальными данными.

Ввиду явной невозможности в рампах одной диссертационной работы выполнить все перечисленное - был сделан выбор некоторой части, но приняты меры для достаточно глубокого изучения выбранных вопросов. По необходимости было ослаблено внимание к колесу. Оно считается деформируемым твердым телом, но в нем явно учитываются только местные упругие напряжения и деформации. Такой подход оправдан с двух точек зрения: во-первых, полученные данные о параметрах ударной нагрузки передавались на кафедру "Вагоны" МИИТа, где изучается работа колеса с использованием метода конечных элементов. Аналогичные исследования проводятся в Сибирском государственном университете путей сообщения. Во-вторых, в перспективе возможно построение единого алгоритма, объединяющего полученные в данной работе результаты с результатами специалистов, изучающих поведение колесной пары.

Нумерация формул, таблиц и рисунков выполнена раздельно по главам: первое число - номер главы, второе число - номер в данной главе. При внутренних ссылках в пределах данной главы первое число (номер главы) - опускается. Список использованных источников составлен в алфавитном порядке -единый для всего текста диссертации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выполнено теоретическое исследование специальной задачи динамики сооружений - ударного взаимодействия массивного тела с континуальной одномерной средой.

Несмотря на логическую завершенность работы, она может быть продолжена по двум направлениям. Во-первых, результаты могут быть использованы заинтересованными службами и организациями для проведения практических расчетов.

Во-вторых, целесообразно дальнейшее развитие в теоретическом отношении. Могут быть уточнены модельные представления о колесе; в общих чертах ясен порядок рассмотрения пространственных изгибно-крутильных деформаций рельса от ударов при наличии относа и виляния колесной пары.

Исходная более полная система дифференциальных уравнений имеется (она приведена в главе 2); преобразование по Лапласу для нахождения реакции рельса выполнено. Значения крутильной жесткости рельса, без которых решение нельзя довести до числа, найдены. Однако необходимость раскрытия определителя высокого порядка существенно усложняет задачу, численный алгоритм должен начаться раньше, его построение, отладка и реализация потребуют определенных усилий.

Заманчиво было бы учесть стохастический характер некоторых параметров, влияющих на решение задачи. Прежде всего это относится к параметрам жесткости упругого основания. Но все это далеко выходит за рамки одной диссертации.

По работе могут быть сделаны следующие основные выводы

1. Предложен метод расчетной оценки дополнительного напряженно-деформированного состояния в рельсах от ударов колесных пар на стыках, а также при наличии дефектов в виде ползунов или навара. Построенный метод и его программное обеспечение позволяют решать задачу удара массивного тела по балке на упругом основании при варьировании в широких пределах всех исходных данных.

2. На базе решения вспомогательных задач (начальная скорость удара, контактная жесткость) необходимые для расчета исходные данные уточнены. Возможности предложенного метода проиллюстрированы достаточным количеством примеров.

3. Дополнительное напряженно-деформированное состояние сопоставлено с основным, найденным с учетом деформаций сдвига. Учтены также местные напряжения в зоне удара. Важность полученного результата состоит в том, что дополнительные напряжения могут в несколько раз превышать основные, не связанные с ударами.

4. Достоверность полученных результатов подтверждена близостью результатов, полученных по различным моделям, а также данными экспериментов (проведенных при участии автора, а также другими исследователями).

5. Полученные результаты и отлаженные программы могут быть использованы в практических расчетах, нацеленных на уточнение ограничений в части эксплуатации подвижного состава с дефектными колесными парами.

1. Александров A.B., Зылев В.Б., Соловьев Г.П., Штейн A.B. Численное исследование переходных динамических процессов при соударении вагонов.// Строительная механика и расчет сооружений. М., Строй-издат, 1989. №5, с. 14-17.

2. Александров A.B., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. М.: Высшая школа, 1995. - 560 е.: ил.

3. Амосов A.A., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. М.: Высшая школа, 1994. -544 е.: ил.

4. Андреев Г. А. К вопросу взаимодействия пути и колеса в зоне стыка //труды ЛИИЖТа, -Л, -1959, -Вып. 166, с. 53-70.

5. Анисимов П.С. Взаимодействие колеса с ползуном и рельса // Вестник ВНИИЖТ. 1963. №1. с.42-47.

6. Арутюнян Н.Х, Абрамян Б. Л. Кручение упругих тел. М., Физ-матгиз, 1963. 610 с.

7. Ахметзянов М.Х., Тихомиров В.М., Шабанов А.П. Исследование напряженного состояния вагонного колеса и рельса // Экспериментальные и расчетные методы строительной механики. Сб. науч. тр. Новосибирск, СГАПС, 1997. с. 11-18.

8. Багреев В.В. Протекание процесса удара за пределами применимости теории Герца. Инженерный журнал АН СССР. Том V. Выпуск 4, 1965.

9. Багреев B.B. О численном решении задачи удара по методу Сирса-Тимошенко // Труды МИИТа. М., 1966. Вып. 225.

10. Белецкий Я. Энциклопедия языка Си: Пер. с польск. М.: Мир, 1992.-687 е.: ил.

11. Белоцерковский П.М. Высокочастотные вертикальные колебания рельса под действием подвижной гармонической силы.// Известия РАН. Механика твердого тела. М. №3, 1995. - С. 197 - 206.

12. Belotserkovskiy Р. М. On the oscillations of infinite periodic beams subjected to a moving concentrated force. // Journal of Sound and Vibration. 1996, N193(3). pp. 705 - 712.

13. Бирюков И.В., Савоськин А.H., Бурчак Т.П. Механическая часть тягового подвижного состава. Учебник для студентов Вузов железнодорожного транспорта. -М: Транспорт, -1992, -440 с.

14. Блох М.В. Удар в системах с распределенными параметрами// Исследования по теории сооружений. М.: Стройиздат, 1965, - с. 35-66.

15. Блох М.В. Поперечный удар по рельсу//Вестник ВНИИЖТа,-1968,-N 9,-с. 16-20.

16. Болотин В.В. Об оценке погрешностей уравнений в прикладной теории упругости. Сб. статей "Строительная механика", поев. 80-летию проф. Рабиновича И.М., Стройиздат, 1966.

17. Бромберг Е.М., Вериго М.Ф., Данилов В.Н., Фриш-ман M. А. Взаимодействие пути и подвижного состава. М.: Трансжелдориз-дат, 1956. 280 с.

18. Бурчак Г.П., Вольнов М.В. Определение инерционных и дис-сипативных характеристик пути из опыта на вынужденные колебания // Механика наземного транспорта, Киев: Наукова думка, 1977. - С. 75-79.

19. Бурчак Г.П., Бузаев A.B. Колебания балки на упругом основании с переменным по длине коэффициентом постели от подвижной нагрузки.

20. Вопросы механики в применении к железнодорожному транспорту и строительству. Межвуз. сб. вып. 643. М.: МИИТ. 1979. С. 42 - 50.

21. Бурчак Г.П., Винник JI.B. Модель для описания извилистого движения колесной пары с посадкой с зазором кольца на центр // Фундаментальные проблемы динамики и прочности подвижного состава / Юбилейный сб. науч. тр. Вып. 912. - М.: МИИТ, 1997. - с. 33-42.

22. Ваксман С.М., Мещеряков В.Б. О динамическом поведении балок при кратковременном поперечном воздействии. Межвуз. темат. сб. тр. ЛИСИ: " Исследования по механике строительных конструкций и материалов". Л.: 1986. с. 19-23.

23. Вериго М.Ф. Вертикальные силы, действующие на путь при прохождении состава//Труды ВНИИЖТа, -1955, -вып. 97, С. 25-28.

24. Вериго М.Ф., Алексеев М.В. Исследование работы пути с рельсами, пораженными дефектами. Тр. НИИЖТ, 1970, вып. 96, с. 189-198.

25. Вериго М.Ф., Коган А.Я. Взаимодействие пути и подвижного состава. М.: Транспорт, 1986. 559 с.

26. Вершинский C.B., Данилов В.Н., Хусидов В.Д. Динамика вагона. -М., Транспорт, -1991. -360 с.

27. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.-512 с.

28. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. М., Физматгиз, 1959. 568 с.

29. Власов В.З., Леонтьев H.H. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М.: Физматгиз, 1960. 492 с.

30. Г ар г В. К., Дуккипати Р. В. Динамика подвижного состава. Пер. с англ. / Под ред. H.A. Панькина. М.: Транспорт, 1988. 391 с.

31. Гасанов А.И. О приведенной массе пути. Вестник ВНИИЖТ, 1968, №6, с. 52-53.л .

32. Гершгорин А.Д. Линеаризация контактной жесткости в системе колесо-рельс. Межвузовский сб. науч. тр., МИИТ, 1983, вып. 720, с. 28.33.

33. Годыцкий-Цвирко A.M. Изгибающий момент в рельсовом стыке// Труды ЛИИЖТа, -Л., -1948, -Вып. 137.-е. 41-50.

34. Гольдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяющихся тел. М.: Стройиздат, 1965. - 447 с.

35. Горьков П.И. Ударное взаимодействие колеса и рельса при наличии выбоины на бандаже // Труды МИИТа, -1955, -Вып. 80 (I), с. 189-211.

36. Данилов В.Н. Железнодорожный путь и его взаимодействие с подвижным составом. -М, Трансжелдориздат, -1961,-112 с.

37. Дейвис P.M. Волны напряжений в твердых телах. Пер. с англ. Под ред. Г.С. Шапиро. М., Изд. иностр. лит., 1961. 103 с.

38. Дженкинс Х.Х., Стефенсон Д.Е., Клейтон Г.А. Мор-ланд Г.В., Лайон Д. Влияние параметров пути на вертикальные динамические силы взаимодействия колеса и рельса.// Железные дороги мира.-1974, -N 11, с.14-31.

39. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия . М.: Мир, 1989. 510 с.

40. Добычин И. А. Основы теории механического удара с приложением к задачам железнодорожного транспорта: Учеб. пособие. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 1994. - 144 с.

41. Емельянова Г.А., Кузнецов A.B., Титов А.Ю. Результаты натурного измерения ускорений рельса при прохождении состава с дефектной колесной парой \ Моск. гос. ун-т путей сообщ. (МИИТ).-1999.-6 с. Деп. в ЦНИИТЭИ МПС 20.06.99. № 6217.

42. Зылев В.Б. Вычислительные методы в нелинейной механике конструкций. М.: Науч. изд. центр "ИНЖЕНЕР", 1999. 145 с.

43. Зегжда С.А. Соударение упругих тел. Спб: Издательство С.9 .

44. Петербургского университета, 1997. 316 с.

45. Иванченко И.И. К расчету стержневой системы методом жестких конечных элементов на неустановившиеся воздействия // Исследование динамики транспортных и строительных конструкций / Межвузовский сб. науч. тр. Вып. 776. - М. МИИТ, 1986. - с. 43-52.

46. Иванченко И.И. Вычислительный комплекс для изучения нестационарной динамики мостов // Мосты и тоннели история и современность / Юбилейный сб. науч. тр. - Вып. 898. - М.: МИИТ, 1998. - с. 50-52.

47. Кильчевский H.A. Динамическое контактное сжатие твердых тел. Киев: Hayкова думка, 1976.

48. Кильчевский H.A. Теория соударения твердых тел. Киев: Наукова думка, 1969.

49. Коган А.Я. Динамика пути и его взаимодействие с подвижным составом. М.: Транспорт, 1997. - 326 с.

50. Коган А.Я, Верхотин А. А. Расчет воздействия на путь колесной пары с ползуном // Исследования возможности повышения скоростей движения поездов. Сб. науч. тр. / Под. ред. В.М. Богданова. М.: ВНИИЖТ, 1984. с. 31-37.

51. Коган А.Я., Данович В.Д. Представление балки бесконечной длины, лежащей на упругом основании, в виде системы с сосредоточенными параметрами. Ростов-на-Дону: 1980, с. 12-20.

52. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах. Пер. с англ. М., Изд. иностр. лит., 1955. 192 с.

53. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Издание 4-е. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,1977.-832 с.

54. Кравченко Н.Д. Новые конструкции железнодорожного пути для метрополитенов. М.: Транспорт, 1994. 143 с.

55. Коренев Б.Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопровод•9 .ности, решаемые в бесселевых функциях. Физматгиз, М.: 1960.

56. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. Справочная книга. М.: Наука, 1974. - 224 с.

57. Кудрявцев H.H. Динамика движения колеса с ползуном // Вестник ВНИИЖТ. 1960. №2. С.30.34.

58. Кузнецов A.B., Мещеряков В.Б. Динамическое взаимодействие колеса и рельса. // Тезисы доклада на научно-техн. конф. " Проблемы железнодорожного транспорта и транспортного строительства Сибири". Новосибирск, СГУПС, 1997. С. 105.106.

59. Кузнецов A.B. Динамика балки на упругом основании при поперечном ударе массивного тела. Вестник МИИТа, вып. 2. М.: МИИТ, 1999. С. 120- 126.

60. Кузнецов A.B. К определению жесткости рельса на кручение. \ Моск. гос. ун-т путей сообщ. (МИИТ).-1999.-6 с. Деп. в ЦНИИТЭИ МПС 16.11.99. № 6265-жл^

61. Кузнецов A.B. К определению начальной скорости удара колеса с ползуном по рельсу. \ Моск. гос. ун-т путей сообщ. (МИИТ).-1999- 6 с.-Деп. в ЦНИИТЭИ МПС 16.11.99. № 6266 -ХА99.

62. Курбацкий E.H. Воздействие подвижного состава на продольные балки железнодорожных мостов. Вопросы механики на транспорте и в строительстве. Труды МИИТа, вып 476. 1976. С. 57 - 63.

63. Курбацкий E.H. Методические указания по решению задач механики с использованием преобразования Фурье. Вып. 1. М., Изд-во МИИТ, 1979.-44 с.

64. Курбацкий E.H. Оценка эффективности виброизолирующих устройств в железнодорожных тоннелях // Исследование динамики транспортных и строительных конструкций. Межвуз. сб. науч. тр. МИИТ, 1983. Вып. 720. С. 19-21.

65. Курнавин С. А. Продольный удар сосредоточенной массы по полубесконечному стержню, снабженному наковальней. Вопросы механики в применении к железнодорожному транспорту и строительству. Межвуз. сб. М. МИИТ, вып. 643, 1979. С. 128 130.

66. Курнавин С.А. Реконструкция Манежной площади и проблема виброзащиты сооружений. // Подземное пространство мира. Инф. изд. центр "ТИМР". 1995, N2. С. 32 - 35.

67. Курнавин С.А. Оценка динамического воздействия подвижного состава метрополитена на тоннельные конструкции, окружающее подземное и наземное пространство.// Подземное пространство мира. Инф. -изд. центр "ТИМР". 1996, N5-6. С. 42 - 47.

68. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. Изд. 4-е, испр. М.: Наука, 1973. - 736 е.: ил.

69. Лаз ар ян В. А. Динамика транспортных средств: Избранные труды. Киев: Наукова думка, 1985. 528 с.

70. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. Справочное руководство. Пер. с англ. Под. ред. A.M. Лопшица. М., 1961. 524 с.

71. Мазуров Е.А., Позняков И.П. Пособие слесарю по техническому обслуживанию вагонов. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Транспорт, 1990. - 223 с.

72. Марьямова Ф.А. О поперечном ударе тела о стержень // Сопро-тивл. материалов и теория сооруж. Респ. межвед. научно-техн. сб. Киев, 1975. Вып. 27.

73. Мещеряков В.Б. Общие уравнения теории тонкостенных стержней открытого профиля с учетом сдвигов // Вопросы прикладной механики: Труды МИИТа, М.: Стройиздат, 1968, вып. 260. С. 82.93.

74. Мещеряков В.Б. Изгибно-крутильные колебания и динамическая устойчивость тонкостенных стержней открытого профиля с учетом сдвигов. Тр. Моск. ин-та инж. трансп., 1970, вып. 311. С. 75.81.

75. Мещеряков В.Б. О распространении изгибно-крутильных волн в тонкостенных стержнях открытого профиля. ПММ, 1977, т. 41, вып. 2. С. 372375.

76. Мещеряков В.Б., Исаев В.И., Емельянова Г.А. Ударное взаимодействие рельсового пути и колесной пары, имеющей ползуны. Тезисы доклада на 8-ой Международной конференции "Проблемы механики железнодорожного транспорта". Днепропетровск, 1992 г. с. 62-63.

77. Мещеряков В.Б., Пономарева Е.В. Динамические уравнения тонкостенного стержня открытого профиля с учетом деформаций сдвига. Межвузовский тематический сборник научных трудов. ОмГАПС, Омск, 1995, С. 1419.

78. Мещеряков В.Б., Исаев В.И., Емельянова Г.А. О возможности уточнения уровня изгибных напряжений в рельсах при ударах колесных пар с ползунами// Вестник ВНИИЖТ. 1996. N4. С. 16.19.

79. Мещеряков В.Б., Кравцева Е.И. К вопросу эффективности сглаживания хорды ползуна колесной пары. В докладах Международного симпозиума "Безопасность перевозочных процессов", Москва, 1996. С.41-44.

80. Митюшин Н.Т. Влияние выбоин на динамические напряжения в рельсах // Труды МИИТа, -1932.,- вып. 22, с. 35-51.

81. Муравский Г.Б. Действие подвижной нагрузки на балку бесконечной длины, лежащую на упругом основании. Тр. МИИТа, 1961, вып. 134, с. 54-84.

82. Муравский Г.Б. К расчету балки бесконечной длины, лежащей на упругом основании, на действие мгновенного сосредоточенного импульса. Известия АН СССР, ОТН. Механика и машиностроение. 1962, №6.

83. Муравский Г.Б. Колебания бесконечной балки Тимошенко на упругом основании. Строительная механика и расчет сооружений, МИИТ, 1979, №6, с. 56-61.

84. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. JL, 1976.

85. Пановко Я.Г. Введение в теорию механического удара. M., 1977.

86. Пахомов М.П. Воздействие электровоза на путь в зоне стыка // Вестник ВНИИЖТа, -М., -1957, -N 4, с. 30-34.

87. Пахомов М.П. Воздействие колеса с ползуном на рельс // Вестник ВНИИЖТа, -1959,-N 5, с. 22-27.

88. Петров Н.П. Влияние поступательной скорости на напряжения в рельсе. Записки РТО, кн. 2-я. С.-Петербург, 1903. 89 с.

89. Петров Н.П. Напряжения в рельсах от вертикальных давлений катящихся колес. Влияние скорости и неправильного вида колес. С.-Петербург, 1907. 120 с.

90. Пешль Т. Сопротивление материалов. M.-JI. ОГИЗ, 1948. 250 с.

91. Подбельский В.В. Язык Си++: Учеб. пособие. 3-е изд., дораб. -М.: Финансы и статистика, 1998. - 560 е.: ил.

92. Правила технической эксплуатации железных дорог Российской Федерации. Официальное издание. М. Транспорт, 1995. - 161 с.

93. Прокофьев Б.П., Сухарев Н.Н., Храмов Ю.Е. Графические средства Turbo С и Turbo С++ / Под. ред. Г.В. Генса, Ю.Е. Храмова. М.: Финансы и статистика, СП " Ланит", 1992. - 160 с.

94. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник в 3-х томах. Том 1. Под. ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. М.: Машиностр., 1968. 831 с.

95. Путевое хозяйство: Учебник для вузов ж.-д. трансп. / И.Б. Лехно, С.М. Бельфер, Э.В. Воробьев и др.; Под ред. И.Б. Лехно. М.: Транспорт, 1990. -472 с.

96. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. М.: Госстройиздат. 1960. 120 с.

97. Сато Ю. Динамическое воздействие колеса с ползуном на деформацию пути.// Ежемесячный бюллетень международной ассоциации железнодорожных конгрессов Вестник ВНИИЖТа.,-1966,-М 1,-С.55-60.

98. Смирнов А.Ф., Александров А.В. и др. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. М.: Высшая школа, 1975. - 480 е.: с ил.

99. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами. Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. М.: Наука, 1979. - 832 с.

100. Тимошенко С.П. К вопросу о вибрациях рельсов. Изв. электро-техн. ин-та, т. XIII, 1905. 17 с.

101. Тимошенко С.П. К вопросу о действии удара на балку // Изв. С.-Петербургского политех, ин-та. Т. 17. Вып. 2. 1912.

102. Тимошенко С.П.О динамических напряжениях в рельсах // Вестник инженеров,-1915, -т. 1, N 4, С. 143-152.

103. Тимошенко С.П. К вопросу о прочности рельс. Отд. оттиск, Петроград, тип. А.Э. Коллинса, 1915, 42 с. (Ин-т инж. путей сообщения).

104. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Физматгиз, 1967.-444 с.

105. Тимошенко С.П. Прочность и колебания элементов конструкций. -М.: Наука, 1975.-576 с.

106. Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов.-М.: Гос. изд. техн.- теор. лит-ры. 1957. 536 е.: ил.

107. Ш.Тимошенко С.П. Теория упругости. М., Л., ОНТИ, 1934. 451 с.

108. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975.-576 с.

109. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. М.: Машиностроение, 1985. 472 с.

110. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970. 734 с.

111. Хемминг Р.В. Численные методы. Для научных работников и инженеров. Изд. 2-е, испр. М.: Наука, 1972. 400 с.

112. Холодецкий А.А. К вопросу о влиянии скорости и неправильного вида колес на динамические прогибы рельсов.-М.,-1915,-93 с.

113. Шафрановский А.К. Измерение и непрерывная регистрация сил взаимодействия колесных пар локомотивов с рельсами.// Труды ВНИИЖ-Та, -1969, -Вып. 389. -120 с.

114. Шахунянц Г.М. Устройство железнодорожного пути. -М., Трансжелдориздат., 1944, -Том 3,-238 с.

115. Шахунянц Г.М. Железнодорожный путь. М.: Трансжелдориздат, 1969. 535 с.

116. Шевандин В.М. Оценка нагруженности элементов колеса грузового вагона. Канд. дисс., МИИТ, 1999.

117. Шикин А.В., Борее ко в А.В. Компьютерная графика. Динамика, реалистические изображения. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1998. - 288 с.

118. Эсвельд К. и др. Воздействие на путь повышенных осевых нагрузок.// Железные дороги мира. -1991, -N 3, с. 53-56.

119. Яковлев В.Ф. О параметрах расчетной схемы сил взаимодействия в контакте колеса и рельса// Труды ЛИИЖТа, -1964, -Вып.22, с.42-48.

120. Bibliography on shock and shock excited vibrations. Vol.1 and 2. / Ed. Brennan J.N. Pennsylvania. Vol. 1. 1957. Vol. 2. - 1958.

121. Hertz H. Uber die Beruhrung fester elastisher Korper (On the contact of the elastic solids). -J. reine und angewandte Mathematik, 1882, B.92, S. 156-171.

122. К a 1 k e r J.J. The transmission of a force and couple between two elasti-cally similar rolling spheres. Proc. Con. Ned. Akad. van Westenschappen, 1964, B67,p.l35.

123. Kalker J.J. On the rolling contact of two elastic bodies in the presence of dry friction. Doctoral dissertation, Technical University Delft (Nad. Drukkering Bedrigf NY-Leiden), 1967.

124. Kalker J.J. Three-dimensional elastic bodies in rolling contact. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht / Boston / London, XXVI + 314 pp.

125. Kalker J.J. Simplified theory of rolling contact. Delft Progress Report, Ser. C, 1973, 1, p.l - 10.

126. Kriloff A.' Uber die erzwungenen Schwingungen von gleichförmigen elastischen Stäben. Mathematische Annalen, 1905, Bd. 61, SS. 211 234.

127. Meshcheryakov V.B. Shock interaction of a wheel-couple with a railway. Proceeding of the 2nd mini conference on contact mechanics and wear of rail \ wheel systems. Budapest, 29-31 july, 1996. Technical University of Budapest, p. 62-68.

128. Sat oh Y. Dynamic effect of a flat wheel on track deformation. (Translated from "Tetsudo Senro", Bulletin of Permanent Way Society of Japan, Vol. 12, No. 7, July, 1964).

129. Stokes G.G. Mathematical and physical papers. Vol. 2. Cambridge, University press, 1883, 366 p.; Discussion of a differential equation relating to the breaking of railway bridges, pp. 178 220.

130. Willis R. Report of the Commissioners appointed to inquire into the application of Iron to Railway Structures. London, 1849, 435 p.

131. Wilson C. "Phil. Mag.", vol. 32, 1891, p. 481.

132. Zarembski A.M. The impact of rail surface defects// Railway track and Structures. -1984, -N 11, p. 23-28.