автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Трехмерная численная модель динамики ультрарелятивистских пучков заряженных частиц

На правах рукописи

004603731

Воронина Марина Андреевна

ТРЕХМЕРНАЯ ЧИСЛЕННАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИХ ПУЧКОВ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2010

1 О июн 2910

004603731

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Вшивков Виталий Андреевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Свешников Виктор Митрофанович,

доктор физико-математических наук Дудникова Галина Ильинична.

Ведущая организация:

Томский Государственный Университет.

Защита состоится 24 июня 2010 года в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 003.061.02 при Учреждении Российской академии наук Институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, проспект Академика Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН.

Автореферат разослан 18 мая 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Современное состояние фундаментальной физики и ее успехи неразрывно связаны с работой ускорителей заряженных частиц. Ввиду большой стоимости и сложности ускорителей, очень важно уже на этапе проектирования этих установок проводить численное моделирование и оптимизацию их параметров, имея в арсенале надежные теоретические и экспериментальные данные. Одно из направлений такой деятельности связано с развитием новых физических и технических идей с целью увеличить светимость, которая является главным показателем эффективности коллайдера - ускорителя для экспериментов по физике высоких энергий на встречных пучках.

В настоящее время разрабатывается проект линейного суперколлайдера (ILC) с энергией встречных электронных и позитронных пучков в системе центра масс до 2x500 ГэВ для поиска хиггсовских бозонов. Предложены и рассматриваются варианты проекта Super B-Factory, асимметричного циклического электрон-позитронного коллайдера с энергиями встречных пучков 4x7 ГэВ, для изучения новой физики b-кварков. Важной проблемой указанных проектов являются эффекты встречи при очень высокой плотности частиц в сгустках из-за их предельно малых размеров, необходимых для получения высокой светимости. Плотность пучков в линейном суперколлайдере может быть близкой к критической, при которой происходит сильное разрушение в месте встречи. Картина взаимодействия осложняется наличием сравнительно большого угла пересечения пучков, а также эффектом дополнительной нелинейной фокусировки, как в новейшем предложении для схемы встречи в циклическом коллайдере Super B-Factory. Наиболее полно такая задача может быть решена методами математического моделирования, учитывающими трехмерный характер взаимодействия. Но прежде требуется развить алгоритмы расчета динамики миллиарда и более заряженных макрочастиц в самосогласованном электромагнитном поле, а затем разработать и отладить соответствующие коды для параллельных вычислений на Супер-ЭВМ.

В настоящее время в соответствии с имеющимися техническими характеристиками обычных ЭВМ наиболее развитый подход к решению задач о встрече сгустков частиц с такими параметрами основан на разделении пучков вдоль оси коллективного движения на тонкие слои частиц ("слайсы"), взаимодействие которых происходит при совпадении продольных координат, при этом частицы одного слоя через поле сил влияют на динамику частиц

другого слоя (см., например, '). Однако, сведение полностью трехмерной задачи к двумерной, в которой продольное движение моделируется путем перестановки слоев, затрудняет наиболее полный учет продольных эффектов. Например, в случае линейных пучков со сверхвысокими плотностями за очень короткий промежуток времени становится возможным многократное сильное сжатие сгустка вдоль его длины в поле встречного пучка с противоположным знаком заряда, а также его разрушение.

С точки зрения математического моделирования задачи с большими значениями релятивистского фактора (у > 103) имеют существенное отличие от задач с малыми значениями (например, у ~ 5). Известно, что при движении заряженной частицы ее поле в лабораторной системе координат вытягивается в у раз поперек оси движения и сокращается в у2 раз вдоль этой оси, так, например, при значениях релятивистского фактора у ~ 103 отношение поперечных размеров к продольному, на которых поля близки по абсолютной величине, составляет ~109. Использование таких традиционных путей решения, как измельчение сетки в продольном направлении и увеличение области в поперечном, становится попросту невозможным - катастрофически увеличиваются требования к ресурсам ЭВМ. Именно неприемлемость стандартных методов в имеющихся технических условиях вынуждает развивать новые взгляды, создавать специальные модели и высокоэффективные методы исследования динамики пучков заряженных частиц.

Строгий анализ эффектов встречи с целью оптимизации параметров пучка, особенно в критических режимах, возможен в подходе, использующем полностью трехмерный метод частиц-в-ячейках. Этот метод, как наиболее близко отвечающий физической формулировке задачи, необходим для проверки уже существующих кодов с присущими им ограничениями "слайсовой" модели. С развитием этого метода для параллельных вычислений на суперкомпьютерах станут возможными расчеты эффектов встречи по большому числу оборотов в циклических коллайдерах.

В диссертационной работе предложен новый Р1С-алгоритм для численного моделирования динамики встречных ультрарелятивистских пучков. В основе метода лежат два допущения, связанных с проблемой начальных и граничных условий для таких задач. Первое из них заключается в том, что расчетная область находится в ближней зоне, где запаздывание потенциала еще не играет существенной роли. Вторым допущением является представление пучка не в качестве набора отдельных частиц, а в виде

' Yokoya K. Computer Simulation Code for the Beam-Beam Interaction in Linear Colliders // KEK report 85-9, Oct, 1985.

непрерывной среды. Реализация таких предположений в программном коде впервые позволила моделировать полностью трехмерные и ультрарелятивистские задачи.

Актуальность работы обуславливается потребностями современной науки в изучении физики встречных пучков в супер-коллайдерах и в то же время отсутствием программ, основанных на полностью трехмерных моделях.

Таким образом, целью диссертационной работы является создание и исследование модели и соответствующих алгоритмов, направленных на изучение нестационарных задач динамики пучков заряженных частиц в самосогласованных электромагнитных полях коллайдеров нового поколения, движение частиц в которых носит ультрарелятивистский характер, а плотности сгустков достигают критических значений. Научная новизна работы заключается в том, что:

• впервые разработана модель полностью трехмерного ультрарелятивистского движения пучков заряженных частиц в самосогласованных электромагнитных полях;

• исследованы различные методы задания начальных и граничных условий для электромагнитных полей, проведена их оптимизация в условиях ультрарелятивизма;

• создан комплекс программ, позволяющий моделировать динамику заряженных частиц в поле встречного сгустка, а также динамику встречных электрон-позитронных пучков в однопролетном режиме;

• исследована работа алгоритма в задачах взаимодействия модельных пучков с веером пробных частиц, проведено математическое моделирование эффектов встречи на примере встречных пучков с учетом фокусировки.

Научная н практическая ценность работы заключается в создании модели и алгоритма решения задач динамики ультрарелятивистских пучков в полностью трехмерном случае, что существенно расширяет возможности математического моделирования.

Программный комплекс представляет собой эффективный инструмент при разработке ускорительных установок и оптимизации их параметров для получения наиболее высокой светимости. На защиту выносятся:

• численная модель динамики заряженных частиц в самосогласованных электромагнитных полях в полностью трехмерном случае с учетом ультрарелятивизма;

• реализованный на языке Fortran 77 алгоритм на основе этой модели;

• методы задания начальных и граничных условий, их оптимизация с учетом релятивизма;

• результаты расчетов динамики веера пробных частиц в поле встречного пучка и результаты взаимодействия двух встречных пучков.

• результаты исследования влияния физических и технических параметров задачи на решение и пороги разрушения пучков при их взаимодействии. В частности, показано, что при критических параметрах наблюдается спиральная неустойчивость.

Достоверность полученных результатов подтверждена тестированием работы как каждой процедуры программы в отдельности, так и программы в целом, данными численных экспериментов для задач, имеющих аналитическое решение, а также сравнением с результатами программных кодов, основанных на "слайсовых" моделях встречных пучков.

Апробация работы проводилась на Международных научных студенческих конференциях МНСК-2004, 2006, 2007, VI Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2007, 5th European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering 2008, Ускорительном семинаре ИЯФ (2008), на семинарах «Математическое моделирование больших задач» лаборатории под руководством д.ф.-м.н. В.А. Вшивкова, на семинаре «Математическое и архитектурное обеспечение параллельных вычислений» под руководством д.т.н. В. Э. Малышкина, а также на научном семинаре отдела математических задач геофизики под руководством академика Михайленко Б.Г.

Личный вклад соискателя заключается в обсуждении постановки задачи, разработке алгоритмов и методов решения, создании и тестировании алгоритмов и программ, проведении расчетов и интерпретации результатов численных экспериментов. Все выносимые на защиту результаты принадлежат лично автору. Представление изложенных в диссертации и выносимых на защиту результатов, полученных в совместных исследованиях, согласовано с соавторами.

Структура и объем работы. Содержание работы представлено во введении, четырех главах и заключении. Работа содержит 130 страниц, 3 таблицы, 68 рисунков, список литературы состоит из 77 источников. Рисунки, формулы, таблицы и библиографические ссылки имеют сквозную нумерацию по всей работе.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении сформулирована основная цель диссертационной работы, кратко приведены полученные результаты, их научная новизна и ценность.

В первой главе представлен обзор методов моделирования эффектов встречи. В первом разделе рассмотрены общие характеристики применяемых методов для решения задач бесстолкновительного движения заряженных частиц, большое внимание уделено методу частиц, который является основным при решении задач физики встречных пучков в ускорителях. Второй раздел посвящен современным методам моделирования, основанным на квазитрехмерных моделях пучков.

Во второй главе диссертации описана постановка задачи, используемые уравнения математической физики. В частности, в лабораторной системе координат в области, имеющей форму параллелепипеда, с релятивистской скоростью двигаются друг навстречу другу два пучка заряженных частиц. Движение пучков происходит в вакууме в самосогласованных электромагнитных полях с учетом внешней составляющей, которая характеризует фокусирующее поле ускорителя, например, продольное магнитное поле детектора. Каждый пучок характеризуется формой, линейными размерами, положением в пространстве и времени, количеством реальных заряженных частиц и неоднородным распределением плотности заряда. Модельный пучок представляет собой набор достаточно большого количества частиц с соответствующими параметрами.

Такое движение моделируется с помощью кинетического уравнения Власова для функции распределения позитронов = /+ (г,р,() или

электронов /_ = /_(г,/М):

ад. „ з/ - э/+._

— + к _ ——+ _ —— = 0.

а

дг

др

Сила Лоренца _, действующая на заряженную частицу, определяется из соотношения

Импульс частицы р+ _ связан со скоростью релятивистским фактором у+ _

формулой р+ _ = y+_mev+_, при этом _ = l/^l-v^./c2 , где с - скорость света.

Система уравнений Максвелла связывает между собой плотности заряда и+, п_, ток j и напряженности электрического и магнитного полей

Е и H :

с dt

Гт An - 1 dÉ

rotH = — j+--,

с с dt

divE = An {n+e- n_e), divfl = 0.

Входящие в эти уравнения плотность заряда и плотность тока определяются через моменты функции распределения частиц:

= j f.,-dV, 7 = J(/+vV-/J-е) dV.

v v

Уравнения характеристик кинетического уравнения Власова совпадают с уравнениями движения частиц:

Ф+,- г. àf -

-= —L- = v. .

dt ' dt

Далее в работе приведены характерные величины и а также соответствующие безразмерные переменные и обезразмеренные уравнения.

В следующих параграфах данной главы описаны начальные и граничные условия для электромагнитных полей и частиц.

В третьей главе представлены разработанные алгоритмы, используемые разностные схемы и их свойства.

За основу решения системы уравнения Власова взят метод частиц с применением ядра PIC, уравнения Максвелла решаются конечно-разностным методом. Так как в уравнения входят первые производные и по времени, и по пространству, то применяется схема с перешагиванием. Компоненты всех величин вычисляются на сдвинутых друг относительно друга на полшага по времени и по пространству сетках. При этом все производные, участвующие

в уравнениях, записываются через центральные разности, что обеспечивает при использовании этой схемы второй порядок по времени и по пространству.

Для решения уравнений Максвелла используются следующие схемы:

1 1 т+— т—

Н 2-Н * -го,ЬЕ"

Ет+Х-Ет »4 ™4 ■ = j 2+го1иН 2,

т

где, например, ротор магнитного поля вычисляется следующим образом:

- Нг(,к-\,1-~ Ну1,к-1,1-Ну1,к-1,1-\

Иу К

НХ1-~,к,1 - НХ1-~,к,1 -1 2 Нг1,к,1 -4- Нп-\,к,1 -4 2 2

К К

К Ьу

при этом верхний индекс обозначает слой по времени, а нижние индексы указывают на узлы пространственной сетки в направлениях х,у,г соответственно.

Импульсы вычисляются в три этапа, что позволяет реализовать со вторым порядком аппроксимации неявную схему для расчета скоростей:

1

т+— т

Р 2~Р

I

тл—

[7 2

■=ч

Ет +

+ у

Требование к устойчивости метода имеет вид г(у+с)/И<1, где Л = тт{Их, ку, И:}. Вследствие того, что размеры пучков в разных направлениях отличаются в сотни раз, временной шаг выбирается не из соображений точности, а из соображений устойчивости.

Сходимость метода была экспериментально подтверждена уменьшением временного шага и пространственного шага в каждом из направлений.

В параграфе 3.2 приведено описание схемы вычисления токов, использование которой позволяет точно выполнить разностный закон Гаусса, что значительно уменьшает ошибки аппроксимации и делает алгоритм более устойчивым.

Параграф 3.3. посвящен проблеме задания электромагнитных полей, которую создают большие значения релятивистского фактора, являющегося неотъемлемой частью задачи. При движении заряда его электрическое поле в лабораторной системе координат определяется с помощью преобразований Лоренца формулой в размерных переменных

1 1 еП

3 р3'

Г (1

где Я - радиус-вектор точки пространства, в которой определяется значение поля, в - угол между направлением движения заряда и радиус-вектором Я, /? - отношение модуля скорости движения заряда к скорости света. В соответствии с этой формулой поле увеличивается в поперечном направлении в у раз и сокращается в у2 раз в продольном. С учетом того, что фактор у в ультрарелятивистском случае равен как минимум 103, объем области вырастает минимум в 106 раз, следовательно, появляются очень жесткие требования к ресурсам ЭВМ. Кроме того, для качественного описания полей в области ввиду больших градиентов необходимо мельчить пространственный шаг в продольном направлении в у2 раз по сравнению с электростатическим случаем, что при требованиях к количеству частиц в несколько миллионов делает задачу нерешаемой численными методами даже с применением параллельных алгоритмов и современных суперкомпьютеров.

Поэтому предлагается решение, основанное на допущении, что расчетная область расположена в ближней зоне, то есть границы ее находятся достаточно близко к пучку. В этом случае не требуется проводить расчеты в большей части расчетной области, где частицы отсутствуют. Кроме того, в этом случае можно пренебречь эффектами запаздывания, которое за такое малое время не успевает развиться. Однако, вместе с тем возникают трудности при задании начальных и граничных условий для электромагнитных полей. Поэтому предлагается четыре алгоритма расчета полей в начальный момент во всей расчетной области:

• наиболее очевидный способ: суммирование вкладов от отдельных частиц.

• представление пучка не в виде набора отдельных частиц, а в виде сплошной среды. В этом случае по координатам частиц вычисляется

плотность пучка и уже от нее считаются вклады в электромагнитные поля.

• введение искусственного потенциала в лабораторной системе координат по формулам

Е =-— Е =-— Е 1 дФ дх ' у ду': уг дг

Значения этого потенциала во всей области рассчитываются по плотности частиц

д2Ф дгФ 1 дгФ , ч

методом верхней релаксации с параметром релаксации со= 1.8, а далее дифференцированием этого потенциала вычисляется электрическое поле.

• представление частиц в виде тонких игл, направленных вдоль оси движения пучка и длиной с продольный шаг, при этом каждая частица дает вклад только в узлы с координатой ближайшего узла по продольной оси, уменьшая сложность алгоритма.

В параграфе 3.4 описаны алгоритмы задания граничных условий с использованием приемов, аналогичных приемам из параграфа 3.3.

В параграфе 3.5 приведены формулы для расчета различных видов энергии.

Проверка такого сложного алгоритма является трудной задачей, и тестирование существенно осложняется трехмерностью используемой модели. Поэтому естественным способом тестирования является проверка по отдельности таких элементов программы как решатели уравнений движения, решатели уравнений Максвелла, процедуры вычисления начальных и граничных условий.

В параграфе 4.1. представлены результаты тестирования кода на простейших задачах - движение заряженной частицы в постоянных электромагнитных полях, для описания которого существуют аналитические формулы. Результаты численных экспериментов свидетельствуют о корректной работе схемы для решения уравнений движения и сходимости метода при измельчении временного шага.

В параграфе 4.2. представлены результаты сравнения алгоритмов вычисления начальных и граничных условий на примере равномерно заряженного шара. Показано, что для расчета граничных условий для поперечной компоненты поля наиболее оптимальным является способ с

использованием модельных частиц в виде игл. Поле через суммирование по точечным модельным частицам дает менее гладкие результаты при тех же параметрах, и требует колоссальных временных затрат. Вычисление полей через плотность пучка требует намного меньше времени при тех же параметрах, однако обладает очень большой погрешностью. Заметим, что метод, использующий модельные частицы в виде игл, не применим для вычисления продольной компоненты поля, поэтому для вычисления электромагнитных полей в начальный момент времени применяется введение искусственного потенциала.

В этом же параграфе приведены графики поведения относительного изменения различных видов энергии в зависимости от времени для движения одного сфокусированного пучка с небольшим зарядом. При этом происходит обмен энергией между частицами и электромагнитными полями, но изменение полной энергии не превышает 4-10'8, что говорит о хорошей согласованности различных частей метода.

В параграфе 4.3 приведены результаты моделирования динамики пробных частиц в поле встречного сфокусированного пучка. Веер частиц представляет собой набор частиц с различными смещениями по каждому из направлений и позволяет изучать структуру полей пучка. На рисунке 1 изображено отклонение частиц Ду, координаты которых заданы по формуле (лу^)=(0.005, 0.005-ст(/'-7)/100, 1.1), у'=1..1000. Разброс частиц по координатам и импульсам в соответствующих направлениях) определяются через значения ^-функции в плоскости фокусировки рх=ру=0Л см и эммиттанс ех=еу=410'7 см рад. Разброс координат в продольном направлении оу=0.1 см. Заряд пучка равен 1010 зарядов электронов, каждая пробная частица имеет заряд позитрона. Релятивистский фактор у для всех частиц равен 6.85-103. Временной шаг т= 776000, где Т=2\0'9с - время полета пучка. Количество модельных частиц в каждом пучке равно 105. Толстая линия на графике соответствуют сетке в 40x40x40 узлов, тонкая - 80x80x40, линия точками -160x160x40. По горизонтальной оси отложено начальное смещение частицу выраженное в единицах а, а по вертикальной - отклонение частиц Ау в сантиметрах.

Как видно из рисунка, поле встречного пучка оказывает фокусирующий эффект на частицы. В центре пучка поперечные силы отсутствуют в силу симметрии. На расстояниях, меньших а, силы возрастают линейно с увеличением смещения, в районе 2а имеется перегиб, соответствующий максимуму действующих поперечных сил. При увеличении начального смещения пробных частиц влияние пучка ослабляется, и изменение параметров частиц несущественно. Продемонстрирована сходимость метода при измельчении пространственного шага.

0.00025

5

Рис. 1. Зависимость отклонения частицы от начального смещения для различных шагов ку

Как показали расчеты с другими параметрами, при больших начальных смещениях ослабляются осцилляции, которые в отличие от пучков с малыми зарядами ((2<Ю10) в силу перефокусировки присутствуют в движении пробных частиц, проходящих через пучки с критическими зарядами ((3>1012).

В параграфе 4.4 приведены результаты моделирования динамики двух встречных сфокусированных пучков противоположных зарядов. Исследовано поведение пучков в зависимости от физических и технических параметров программы.

На рисунке 2 представлены координаты пучка (г,х) в лабораторной системе координат при свободном его пролете через область времени г=3/4Г. На рисунке 3 представлены координаты пучка (~,х) в тот же момент времени но при движении в поле встречного пучка.

Рис. 2. Координаты (г,х) пучка, Рис. 3. Координаты (г,х) пучка,

летящего свободно в области летящего в поле встречного пучка

Релятивистские факторы частиц, параметры фокусировки пучка совпадают с соответствующими значениями из параграфа 4.3. Один из пучков имеет заряд -10й зарядов электронов, другой пучок - 10". Пространственная сетка имеет 80 узлов в каждом направлении, временной шаг т=7У6000, количество модельных частиц в каждом пучке 105. Как видно из рисунков, поле встречного пучка при таких больших зарядах оказывает существенное фокусирующее действие.

При увеличении зарядов, пучки не только деформируются, но и разрушаются. В той части пространства, в которой уже произошло взаимопроникновение пучков, образуются перетяжки из-за действия поля встречного сгустка как нелинейной линзы. Так на рисунке 4 показаны координаты пучка (z,x) в момент времени М).67. Параметры пучков те же самые, что и для предыдущих рисунков, но заряд каждого пучка равен 1012 зарядов электрона. Впоследствии такие перетяжки трансформируются в спираль, радиус которой увеличивается с течением времени - на рисунке 5 представлены координаты пучка (z,x) в момент времени 0.97.

0.01)8 ...........................................................................................

удм

0.006

^фффт

0.004 -

ZQM

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.5) 1 1.1

Рис. 4. Координаты пучка (z,x), /=0.67*

В этом же параграфе приведено сравнение результатов использования трехмерной модели с результатами, полученными с помощью известной программы Guinea-Pig, основанной на «слайсовой» модели. При некритических параметрах получено качественное и количественное соответствие. С увеличением зарядов пучок только деформируется при использовании полностью трехмерного кода, в то время как код Guinea-Pig уже демонстрирует неустойчивость. При критических параметрах неустойчивость наблюдается в обоих случаях, причем, в обоих случаях с появлением спиральной структуры.

удм

0.1X12

0.5 0.6 0 Л 0.8 0.9 ! 1.1 1.2

Рис. 5. Координаты пучка (z,x), t=T

В последнем параграфе данной главы описан параллельный алгоритм, позволяющий моделировать многопролетные режимы взаимодействия пучков при количестве пролетов 103. Параллельный алгоритм дает возможность использовать реальные физические параметры и брать достаточно мелкие шаги по пространству и времени для достижения большей точности расчетов. Приведены данные о работе алгоритма и эффективность распараллеливания.

В заключении перечислены основные результаты диссертации и выводы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Создана модель для решения задач динамики встречных пучков в самосогласованных электромагнитных полях. Модель наиболее полно учитывает трехмерность, ультрарелятивизм задачи (релятивистские факторы у~ 103) и основана на двух допущениях. Одно из них - перенос границы расчетной области в ближнюю зону, позволяющий существенно сократить требования к ресурсам ЭВМ. Второе допущение заключается в представлении пучка частиц в качестве непрерывной среды и дает возможность проводить вычисления с большим шагом в продольном направлении.

2. Создан комплекс программ, позволяющий моделировать динамику заряженных частиц в поле встречного сгустка, а также динамику встречных электрон-позитронных пучков в однопролетном режиме.

3. Исследованы различные методы задания начальных и граничных условий для электромагнитных полей, проведена их оптимизация в условиях ультрарелятивизма.

4. Проведены расчеты для исследования взаимодействия веера пробных частиц со сфокусированным пучком и двух сфокусированных встречных пучков. Показано, что при параметрах пучка, превышающих критические, наблюдается спиральная неустойчивость.

5. Проведено сравнение с известным кодом для моделирования эффектов встречи Gumea-Píg, основанным на "слайсовой" модели. Получено, что при некритических параметрах имеется качественное и количественное соответствие. Результаты численных экспериментов подтвердили правильность выбранной модели и работоспособность алгоритма.

6. Реализован параллельный алгоритм для возможности проведения расчетов динамики пучков в многооборотных режимах, использования реальных физических параметров, а также для достижения большей точности вычислений.

ПУБЛИКАЦИИ

1. Воронина М.А., Вшивков В.А., Левичев Е.Б., Никитин С.А., Снытников В.Н. Алгоритм для трехмерного моделирования ультрарелятивистских пучков // Вычислительные методы и программирование. 2007. Т.8, №2. С. 203-210.

2. М.А. Воронина, В.А. Вшивков, Е.Б. Левичев, С.А. Никитин, Е.А. Симонов, В.Н. Снытников. ЗБ-код для моделирования ультрарелятивистских пучков // Вычислительные технологии. 2009. Т. 14, №5. С. 18-30.

Marina Boronina, Vitaly Vshivkov, Evgeny Levichev, Sergei Nikitin, Valery Snytnikov. 3D PIC Method Development For Simulation Of Beam-Beam Effects In Supercolliders // Proceedings of Particle Accelerator Physics 2007. Albuquerque, New Mexico, USA. P. 3366-3368.

3. Воронина M.A. Исследование различных модификаций метода частиц // Материалы XLII Международной Научной Студенческой Конференции «Студент и научно-технический прогресс» 2004. Новосибирск. С. 162163.

4. Боронина М.А. Код для исследования взаимодействия пучков заряженных частиц, трехмерный электромагнитный релятивистский случай // Программа и тезисы докладов VI Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых). 2005. Кемерово. С. 32.

5. Боронина М.А., Вшивков В.А., Левичев Е.Б., Никитин С.А., Симонов Е.А., Снытников В.Н. Моделирование эффектов встречи в коллайдерах методом "частица-в-ячейке". 2005. Препринт ИЯФ СО РАН.

6. Боронина М.А. Моделирование движения ультрарелятивистских пучков заряженных частиц // Материалы XLIV Международной Научной Студенческой Конференции «Студент и научно-технический прогресс». 2006. Новосибирск. С. 132.

7. Boronina М.А., Snytnikov V.N. and Vshivkov V.A. 3D Beam-Beam Effects Simulation Algorithm // 5th European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering. 2008. Venice, Italy.

8. Boronina M., Nikitin S., Simonov E., Vshivkov V., Snytnikov V. Simulation of 3D Beam-Beam Effects in Supercolliders // HERCMA 2009 - Book of Abstracts, The 9th Hellenic European Research on Computer Mathematics & its Applications Conference. 2009. Athens, Greece. P. 66-67.

Подписано в печать 12.05.2010г. Усл. печ. л. 1,0 Заказ № 65

Формат 60x84 1\16 Тираж 100 экз.

Отпечатано в типографии ООО « Омега Принт» 630090, г. Новосибирск, пр. Ак.Лаврентьева,6, оф.3-021 тел/факс ( 383) 335-65-23 email: omegap@yandex.ru

Введение.

1. Обзор исследований.

1.1. Численные методы решения задач динамики заряженных частиц.

1.2. Обзор кодов для моделирования эффектов встречи.

2. Постановка задачи.

2.1. Основные уравнения модели.

2.2. Характерные величины и безразмерные переменные.

2.3. Начальные и граничные условия.

3. Описание алгоритмов.

3.1. Общая схема метода.

3.2. Схема для вычисления токов.

3.3. Алгоритмы расчета электромагнитных полей.

3.5. Вычисление энергии, светимости и параметра разрушения.

4. Результаты численных экспериментов.

4.1. Движение заряженной частицы в постоянных полях.

4.2. Исследование алгоритмов расчета начальных и граничных условий.

4.3. Динамика веера частиц в поле встречного пучка.

4.4. Динамика двух встречных пучков.

4.5. Распараллеливание алгоритма.

Современное состояние ядерной физики и ее успехи неразрывно связаны с работой ускорителей заряженных частиц. Меньше века потребовалось, чтобы ускорители из сравнительно небольших установок превратились в сложнейшие сооружения, занимающие сотни метров [1]. Все большее и большее распространение получают ускорители для практических целей народного хозяйства и медицины.

Важнейшая цель создания ускорителей - исследование мельчайших частиц материи, из которых состоит мир. В силу принципа неопределенности, для изучения процессов с меньшими масштабами требуется увеличивать энергию частиц. Переход к высоким энергиям всегда сопровождался наблюдением принципиально новых физических явлений. В связи с этим были созданы ускорители со встречными пучками, в которых выигрыш в энергии достигается за счет неподвижности центра инерции частиц. Но при значительных энергиях пучков возникают достаточно большие поля, в которых частицы приобретают большие поперечные скорости, что уменьшает плотность пучка, и, следовательно, вероятности рождения частиц. Поэтому постоянно требуются все новые физические, технические идеи и исследования по оптимизации параметров ускорителей для достижения все больших светимостей и энергий [2]. Проектируются и строятся новые ускорительные установки, работа которых направлена на проведение фундаментальных исследований, например, новой физики Ь-кварков и поиск бозонов Хиггса.

На рисунке 1 из презентации Г. Финокьяро на XXXVII Международном собрании по фундаментальной физике [3] представлены предельно достижимые параметры различных установок на встречных пучках. По горизонтальной из осей отложена энергия частиц в системе центра масс в ГэВ, по вертикальной оси - светимость в см2/сек-1. Зеленым цветом отмечено старшее поколение

31 2 1 коллайдеров, для которых характерны светимости не более 10 см /сек" , 3 красным - новые установки, где светимости достигают больших на три порядка значений.

Рис. 1. Параметры ускорительных установок

Синим цветом обозначены параметры проектирующихся ускорителей -Международного Линейного Коллайдера (ILC) [4] и Super В-фабрики [5][6][7]. Важной проблемой проектов ILC и Super В-фабрики являются эффекты встречи, возникающие при взаимодействии сгустков высокой плотности, значения которой могут быть близкими к критическим. В этом случае пучок может не только сильно сжиматься, но и разрушаться [8]. Поэтому особой задачей является исследование устойчивости встречных ультрарелятивистских электрон-позитронных пучков с предельно высокой плотностью зарядов.

Ввиду колоссальной стоимости и сложности ускорителей, очень важно уже на этапе проектирования ускорителей проводить численное моделирование и оптимизацию их параметров, имея в арсенале надежные теоретические и экспериментальные данные. Постоянно требуются все новые физические, 4 технические идеи с целью увеличить светимость, которая является главным показателем эффективности коллайдера для экспериментов по физике высоких энергий [9].

В связи с бурным развитием ЭВМ появились новые технические возможности и новые методы решения задач движения пучков заряженных релятивистских частиц, но для трехмерных задач быстродействия компьютеров не хватает и сейчас - на данный момент решение возможно только в суперкомпьютерной параллельной реализации кодов, так как требуется воспроизводить динамические коллективные эффекты для миллиарда и более заряженных частиц, при этом значения параметров, влияющих на устойчивость пучка, близки к критическим. В связи с этим, прежде требуется развить алгоритмы расчета динамики заряженных частиц в самосогласованном электромагнитном поле.

В настоящее время, в соответствии с имеющимися техническими характеристиками ЭВМ, наиболее развитый подход к решению задач о встрече сгустков частиц с такими параметрами является квазитрехмерным и основан на разделении пучков вдоль оси коллективного движения на тонкие слои частиц ("слайсы"), взаимодействие которых происходит при совпадении продольных координат - частицы одного слоя через поле сил влияют на динамику частиц другого слоя. Однако, сведение полностью трехмерной задачи к двумерной, в которой продольное движение моделируется путем перестановки слоев, затрудняет наиболее полный учет продольных эффектов в линейных пучках со сверхвысокими плотностями [10], когда за очень короткий промежуток времени становится возможным сильное сжатие (пинчирование) пучка. Кроме того, учет возникающих эффектов важен при исследовании пучков при сравнительно большом угле пересечения пучков [11] (20 мрад в ILC и до 50 мрад в новейшем предложении для схемы встречи в Super В, известной под названием Crab Waist [12]), а также при наличии дополнительной нелинейной фокусировки.

С точки зрения математического моделирования в задачах с большими значениями релятивистского фактора (у ~ 103) имеется существенное отличие от задач с малыми значениями (у ~ 5). Известно, что поле движущейся заряженной частицы в лабораторной системе координат вытягивается в у раз поперек оси движения и сокращается в у2 раз вдоль этой оси. Так, например, при значениях релятивистского фактора у ~ 10 отношение поперечных размеров к продольному, на которых поля близки по абсолютной величине, составляет ~ 109. Использование таких традиционных путей решения, как измельчение сетки в продольном направлении и увеличение области в поперечном, становится попросту невозможным - катастрофически увеличиваются требования к ресурсам ЭВМ. Именно неприемлемость стандартных методов в имеющихся технических условиях вынуждает развивать новые взгляды, создавать специальные модели и высокоэффективные методы исследования динамики пучков заряженных частиц.

Строгий анализ эффектов встречи с целью оптимизации параметров пучка, особенно в критических режимах, возможен в подходе, использующем полностью трехмерный метод частиц-в-ячейках [13][14]. Этот метод, как наиболее близко отвечающий физической формулировке задачи, необходим для проверки уже существующих кодов с присущими им ограничениями "слайсовой" модели. С развитием этого метода для параллельных вычислений на суперкомпьютерах станут возможными расчеты эффектов встречи по большому числу оборотов в циклических коллайдерах [15].

В диссертационной работе предложен новый Р1С-алгоритм для численного моделирования динамики встречных пучков. В основе метода лежат два допущения, связанные с проблемой начальных и граничных условий для таких задач. Первое из них заключается в том, что расчетная область находится в ближней зоне, где запаздывание потенциала еще не играет существенной роли. Вторым допущением является представление пучка не в качестве набора отдельных частиц, а в виде непрерывной среды. Реализация таких предположений в программном коде впервые позволила моделировать полностью трехмерные и ультрарелятивистские задачи.

Актуальность работы обусловлена потребностями современной науки в изучении физики встречных пучков в супер-коллайдерах и в то же время отсутствием программных кодов, основанных на полностью трехмерных моделях.

Таким образом, целью диссертационной работы является создание и исследование модели и соответствующих алгоритмов, направленных на изучение нестационарных задач динамики пучков заряженных частиц в самосогласованных электромагнитных полях коллайдеров нового поколения, движение частиц в которых носит ультрарелятивистский характер, а плотности сгустков достигают критических значений.

Научная новизна работы заключается в том, что:

• впервые разработана модель полностью трехмерного ультрарелятивистского движения пучков заряженных частиц в самосогласованных электромагнитных полях;

• исследованы различные методы задания начальных и граничных условий для электромагнитных полей, проведена их оптимизация в условиях ультрарелятивизма;

• создан комплекс программ, позволяющий моделировать динамику заряженных частиц в поле встречного сгустка, а также динамику встречных электрон-позитронных пучков в однопролетном режиме;

• исследована работа алгоритма в задачах взаимодействия модельных пучков с веером пробных частиц, проведено математическое моделирование эффектов встречи на примере встречных пучков с учетом фокусировки.

На защиту выносятся:

• численная модель динамики заряженных частиц в самосогласованных электромагнитных полях в полностью трехмерном случае с учетом ультрарелятивизма;

• реализованный на языке Fortran 77 алгоритм на основе этой модели;

• методы задания начальных и граничных условий, их оптимизация с учетом релятивизма;

• результаты расчетов динамики веера пробных частиц в поле встречного пучка и результаты взаимодействия двух встречных пучков.

• результаты исследования влияния физических и технических параметров задачи на решение и пороги разрушения пучков при их взаимодействии. В частности, показано, что при критических параметрах наблюдается спиральная неустойчивость.

Достоверность полученных результатов подтверждена тестированием работы каждой процедуры программы, данными численных экспериментов для задач, имеющих аналитическое решение, а также сравнением с результатами программных кодов, основанных на "слайсовых" моделях встречных пучков.

Апробация работы проводилась на XLIV Международной научной студенческой конференции МНСК-2004, 2006, 2007, VI Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых), Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2007, 5th European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering 2008, Ускорительном семинаре ИЯФ (2008), а также на семинарах "Математическое моделирование больших задач" лаборатории под руководством д.ф.-м.н. Вшивкова В.А., на семинаре "Математическое и архитектурное обеспечение параллельных вычислений" под руководством д.т.н. Малышкина В.Э., а также на научном семинаре отдела математических задач геофизики под руководством академика Михайленко Б.Г.

По теме диссертации опубликованы статьи и тезисы конференций: 1. Воронина М.А., Вшивков В.А., Левичев Е.Б., Никитин С.А., Снытников В.Н. Алгоритм для трехмерного моделирования ультрарелятивистских пучков.// Вычислительные методы и программирование, т.8, № 2, стр. 203-210, 2007.

2. М.А. Воронина, В.А. Вшивков, Е.Б. Левичев, С.А. Никитин, Е.А. Симонов, В.Н. Снытников. ЗБ-код для моделирования ультрарелятивистских пучков// Вычислительные технологии, т. 14, № 5, стр. 18-30, 2009.

3. Marina Boronina, Vitaly Vshivkov, Evgeny Levichev, Sergei Nikitin, Valery Snytnikov, 3D PIC Method Development For Simulation Of Beam-Beam Effects In Supercolliders// Proceedings of Particle Accelerator Physics 07, 3366-3368.

4. Boronina M.A., Snytnikov V.N. and Vshivkov V.A. 3D Beam-Beam Effects Simulation Algorithm// Диск с тезисами конференции 5th European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering, 2008, Italy.

5. Boronina M., Nikitin S., Simonov E., Vshivkov V., Snytnikov V. Simulation of 3D Beam-Beam Effects in Supercolliders// HERCMA 2009 - Book of Abstracts, The 9th Hellenic European Research on Computer Mathematics & its Applications Conference, Athens, 2009, p. 66-67.

6. Исследование различных модификаций метода частиц// Материалы XLII Международной Научной Студенческой Конференции "Студент и научно-технический прогресс", 2004, стр. 162-163.

7. Код для исследования взаимодействия пучков заряженных частиц, трехмерный электромагнитный релятивистский случай// Программа и тезисы докладов VI Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (с участием иностранных ученых), 2005, стр. 32.

8. Моделирование движения ультрарелятивистских пучков заряженных частиц// Материалы XLIV Международной Научной Студенческой Конференции "Студент и научно-технический прогресс", 2006, стр. 132.

Содержание диссертации изложено во введении, 4 главах и заключении.

В первой главе представлен обзор методов моделирования эффектов встречи. В первом разделе рассмотрены общие характеристики применяемых методов для решения задач бесстолкновительного движения заряженных частиц, большое внимание уделено методу частиц, который является основным при решении задач физики встречных пучков в ускорителях. Второй раздел посвящен современным методам моделирования, основанным на квазитрехмерных моделях пучков.

Во второй главе диссертации описана постановка задачи, используемые уравнения математической физики, сделанные допущения, а также сформулированы проблемы задания начальных и граничных условий при ультрарелятивистском движении частиц.

В третьей главе представлены используемые алгоритмы, разностные схемы, и их свойства.

В четвертой главе изложены результаты численных экспериментов на примерах пучков с равномерным и гауссовым распределением плотности и динамики встречных частиц, проходящих через поле таких пучков.

В Заключении перечислены основные результаты диссертационной работы.

Личный вклад соискателя заключается в обсуждении постановки задачи, разработке алгоритмов и методов решения, создании и тестировании алгоритмов и программ, проведении расчетов и интерпретации результатов численных экспериментов. Все выносимые на защиту результаты принадлежат лично автору. Представление изложенных в диссертации и выносимых на защиту результатов, полученных в совместных исследованиях, согласовано с соавторами.

Я выражаю благодарность Вшивкову Виталию Андреевичу за научное руководство, постоянное внимание к работе и неиссякаемый энтузиазм,

Никитину Сергею Алексеевичу за плодотворные дискуссии и советы в области релятивистской физики, Снытникову Валерию Николаевичу за ценные замечания и сотрудничество, а также я выражаю признательность своим родителям и близким мне людям за терпение, поддержку и живой интерес к моей работе.

1. Обзор исследований

Заключение

1. Создана модель для решения задач динамики встречных пучков в самосогласованных электромагнитных полях. Модель наиболее полно учитывает трехмерность, ультрарелятивизм задачи (релятивистские факторы у~ 103) и основана на двух допущениях. Одно из них - перенос границы расчетной области в ближнюю зону, позволяющий существенно сократить требования к ресурсам ЭВМ. Второе допущение заключается в представлении пучка частиц в качестве непрерывной среды и дает возможность проводить вычисления с большим шагом в продольном направлении.

2. Создан комплекс программ, позволяющий моделировать динамику заряженных частиц в поле встреченного сгустка, а также динамику встречных электрон-позитронных пучков в однопролетном режиме.

3. Исследованы различные методы задания начальных и граничных условий для электромагнитных полей, проведена их оптимизация в условиях ультрарелятивизма.

4. Проведены расчеты для исследования взаимодействия веера частиц со сфокусированным пучком и двух сфокусированных встречных пучков. При параметрах пучка, превышающих критические, наблюдается спиральная неустойчивость.

5. Проведено сравнение с известным кодом для моделирования эффектов встречи Guinea-Pig, основанным на "слайсовой" модели. Получено, что при некритических параметрах имеется качественное и количественное соответствие. Результаты численных экспериментов подтвердили правильность выбранной модели и работоспособность алгоритма.

6. Реализован параллельный алгоритм для возможности проведения расчетов динамики пучков в многооборотных режимах, использования реальных физических параметров, а также для достижения большей точности вычислений.

1. Комар Г.Е. Основы ускорительной техники. - М. : Атомиздат, 1975.

2. P. Raimondi. Towards Higher Luminosities in В and Phi Factories // Proceedings of EPAC 2004. 2004. - P. 286-289.

3. G. Finocchiaro. The scientific case for Super Flavor Factories // XXXVII International Meeting on Fundamental Physics. 2009.

4. Yokoya K. ILC Conceptual Design and R&D Status // Talk on the 8th ICFA Seminar on "Future Perspectives in High Energy Physics", Daegu, Korea. 2005.

5. M.E. Biagini. SuperB project status and prospectives // Journal of Physics: Conference Series 110 112001. 2008. - Vol. 10, Part 11.

6. J. Seeman, Y. Cai, S. Ecklund, et al. Parameters Of A Super-B-Factory Design // SLAC-PUB-11726. 2005.

7. M. Giorgi. Introduction, motivation and status of the Superb project in Italy // Report at Super B-Factory Meeting at LNF, Frascati. 2005.

8. Kaoru Yokoya, Pisin Chen. Beam-beam phenomena in linear colliders // Frontiers of Particle Beams: Intensity Limitations. 1992. - Vol. 400. - P. 415-445.

9. Achim G. Denig. Future Perspectives for DA<I>NE // SIGHAD03, Proceedings of the Workshop on Hadronic Cross Section at Low Energy. 2004. - Vol. 131. - P. 88-94.

10. B.E. Балакин, Г.И. Будкер, A.H. Скринский. О возможности создания установки со встречными электрон-позитронными пучками на сверхвысокие энергии // Труды VI Всесоюзного совещания по ускорителям заряженных частиц, Дубна. 1978. - Р. 27-32.

11. И. К. Hirata. Don't Be Afraid of Beam-Beam Interactions With a Large Crossing Angle // SLAC-PUB. 1994. - Vol. 6375. - P.l 8.

12. P. Raimondi. Proceedings of EPAC08, Genoa, Italy // Crabbed Waist Collisions in DAFNE and Super-B Design. 2008. - Vol. WEXG02. - P. 1898-1902.

13. Хокни P., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. М. : Мир, 1962.

14. Вшивков В.А., Григорьев Ю.Н. Численные методы "частицы-в-ячейках". -Новосибирск, Наука, 2000.

15. Ливингуд Дж. Принципы работы циклических ускорителей. М. : Издательство иностранной литературы, 1963.

16. А.С. Рошаль. Моделирование заряженных пучков. М. : Атомиздат, 1979.

17. Ю.А.Березин, В.А. Вшивков. Метод частиц в динамике разреженной плазмы. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1980.

18. Buneman О. Dissipation of currents in ionized media // Physical Review. -1959.-Vol. 115, № 3. P. 503-519.

19. Dawson J. One-dimensional plasma model // Phys. Fluids. 1962. - Vol. 5, № 4. p. 445-459.

20. Бедселл Ч., Ленгдон А. Физика плазмы и численное моделирование // М. : Атомиздат, 1985.

21. Вшивков В.А., Вшивков К.В., Г.И. Дудникова. Алгоритмы решения задачи взаимодействия лазерного импульса с плазмой // Вычислительные технологии. 2001. - Т. 6, № 2. - С. 47-63.

22. C.K.Birdsall, D.Fuss. Clouds-in-Clouds, Clouds-in-Cells Physics for Many-Body Plasma Simulation // J. Comput. Phys. 1969. - Vol. 3. - P. 494-511.

23. Esirkepov T.Zh. Exact charge conservation scheme for Particle-in-Cell simulation with an arbitrary form-factor // Computer Physics Computations. 2001. -Vol. 135.-P. 144-153.

24. Bulanov S.V., Esirkepov T.Zh., Tajima T. Ultrahigh light intensification by a counter-propagating breaking plasma wave-relativistic flying mirror // Physical Review Letters. 2003. - Vol. 91, 085001.

25. Bulanov S.V., Esirkepov T.Zh., Naumova N.M., Sokolov LV. Relativistic Whistle: high order harmonics induced by the ultra-intense laser propagating inside the fiber // Physical review E. 2003. - Vol. 67, 016405.

26. Воронина M.A. Исследование различных модификаций метода частиц // Материалы XLII Международной Научной Студенческой Конференции «Студент и научно-технический прогресс». 2004. - С. 162-163.

27. Вшивков В. А., Снытников В.Н. О методе частиц для решения кинетического уравнения Власова // ЖВМИМФ. 1998. - Т. 38, № 11. - С. 18771883.

28. Langdon А.В., Lasinski B.F. Electromagnetic and relativistic plasma simulation models // Meth. Comput. Phys. 1976. - Vol. 16.

29. C. Biscari. Future Plans for e+e- factories // Proceedings of the 2003 Particle Accelerator Conference. 2003. - P. 335-339.

30. Капчинский И.М. Динамика частиц в линейных резонансных ускорителях. М. : Атомиздат, 1966.

31. S.I. Molokovsky, A.D. Sushkov. Intense Electron and Ion Beams. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag, 2005.

32. Лоусон Дж. Физика пучков заряженных частиц М.: Мир, 1980.

33. Y. Cai, W. Colocho, al. Luminosity Improvement at PEP-II Based on Optics Model and Beam-Beam Simulation // SLAC-PUB. 2006. - Vol. 11912.

34. S. Myers Review of beam-beam simulations // Proc. Nonlinear Dynamics Aspects of Particle Accelerators, Sardinia. 1985.

35. Schulte D. Study of Electromagnetic and Hadronic Background in the Interaction Region of the Tesla Collider // Tesla Reports, Hamburg. 1996. - Vol. 9708.

36. Yokoya K. Computer Simulation Code for the Beam-Beam Interaction in Linear Colliders // KEK report 85-9, Oct. 1985.

37. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теоретическая физика (Том 2. Теория поля). -М.: Наука, 1988.

38. М. Bassetti, G. Erskine. Closed Expression for the Electric Field of a Two-Dimensional Gaussian Charge // CERNISR-ISR-TH/80-06. 1980.

39. Miguel A. Furman. Beam-Beam Simulations with the Gaussian Code TRS // SLAC-AP 119, LBNL 42669/CBP, СВР 272. 1999.

40. Kaoru Yokoya. Limitation of the Gaussian approximation in beam-beam simulations // Physical Review Special Topics Accelerators and Beams. - 2000. -Vol. 3, 124401.

41. Rui Li, Joseph J. Bisognano. Strong-strong simulation on the Beam-Beam effect in a Linac/Ring B-factory // Physical Review E. 1993. - Vol. 48, № 5. - P. 3965-3979.

42. E. B. Anderson, Т. I. Banks, J. T. Rogers. ODYSSEUS: A Dynamic Strong-Strong Beam-Beam Simulation for Storage Rings // International Computational Accelerator Physics Conference. 1998.

43. Ji Qiang, Miguel A. Furman, Robert D. Ryne. Strong-strong beam-beam simulation using a Green function approach // Physical Review Special Topics -Accelerators and Beams. 2002. - Vol. 5,104402.

44. M. Alabau, P. Bambade, O. Dadoun, G. Le Meur, C. Rimbault, F. Touze, D. Schulte. Guinea-Pig: Beam-beam interaction simulation tool status // ILC Software and Tools Workshop. 2007.

45. G. Le Meur, F. Touze, M. Alabau, Ph. Bambade, O. Dadoun, C. Rimbault, D. Schulte. Development and improvement of the Guinea-Pig beam-beam simulation // European LC Workshop, Daresbury. 2007.

46. D. Schulte. Beam-Beam Simulations With Guinea-Pig // Proceedings of International Computational Accelerator Physics Conference (ICAP 98), Monterey, California. 1998. - P. 127-131.

47. C. Rimbault. GUINEA-PIG: A tool for beam-beam effect study // EUROTeV workshop. 2006. - Vol. Daresbury, 26-27 April.

48. S. Krishnagopal. Luminosity-Limiting Coherent Phenomena in Electron-Positron Colliders // 1996. - Vol. 76, № 2.

49. S. Krishnagopal, M. A. Furman, W. C. Turner. Studies of the beam-beam interaction for the LHC // Proceedings of the 1999 Particle Accelerator Conference, New York. 1999.

50. JI. В. Бобылева, Э. А. Перельштейн. Моделирование динамики пучков методом моментов с использованием степенных разложений плотности заряда // ОИЯИ, Р5-2003-124. 2003.

51. К. Ohmi. Simulation of beam-beam effects in a circular e+e- collider // Phys. Rev. E. 2000. - Vol. 62 7287.

52. F.W. Jones, W. Herr, T. Pieloni. Parallel Beam-Beam Simulation Incorporating Multiple Bunches and Multiple Interaction Regions // Proceedings of PAC07, Albuquerque, New Mexico, USA. 2007. - P. 3235-3237.

53. A. Kabel, Y. Cai. A Multi-bunch, Three-dimensional, Strong-strong Beam-beam Simulation Code for Parallel Computers // 9th European Particle Accelerator Conference. 2004.

54. J. Qiang, M. Borland, A. Kabel, et al. SciDAC Advances in Beam Dynamics Simulation: From Light Sources to Colliders // Journal of Physics: Conference Series. 2008. - Vol. 125.

55. Hongzhang Shan, Erich Strohmaier, Ji Qiang, David H. Bailey, Kathy Yelick. Performance Modeling and Optimization of a High Energy Colliding Beam Simulation Code // Proceedings of the 2006 ACM/IEEE conference on Supercomputing. 2006. - P. 48.

56. Ji Qiang, Miguel Furman, Robert D. Ryne, Wolfram Fischer, Tanaji Sen, Meiqin Xiao. Parallel Strong-Strong/Strong-Weak Simulations of Beam-Beam Interaction in Hadron Accelerators // AIP Conference Proceedings. 2003. - Vol. 693.-P. 278-281.

57. R. Ryne, D. Abell, A. Adelmann, al. SciDAC Advances and Applications in Computational Beam Dynamics // J. Phys.: Conf. Ser. 2005. - Vol. 16. - P. 210214.

58. P. Raimondi. Talk at II Workshop on Super B, Frascati, Italy. 2006.

59. P. Chen, K. Yokoya. Disruption effects from the interaction of round e+e" beams // Physical Review D. 1988. - Vol. 38, 3. - P. 987-1000.

60. О.А. Вальднер, А.Д. Власов, А.В. Шальнов. Линейные ускорители. М. : Атомиздат, 1969.

61. М. Tigner, A. Chao. Handbook of Accelerator Physics and Engineering. -World Scientific, 1999.

62. A.A. Zholents. Beam-beam effects in electron-positron storage rings // Препринт ИЯФ CO АН СССР. 1991. - Vol. 91-18.

63. Allen Taflove, Susan C. Hagness. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method, Third Edition. Artech House Publishers, 2005.128

64. J. Villancenor, О. Buneman. Rigorous Charge Conservation for Local Electromagnetic Field Solvers // Сотр. Phys. Comm. 1992. - Vol. 69.

65. Воронина M.A., Вшивков В.А., Левичев Е.Б., Никитин С.А., Снытников В.Н. Алгоритм для трехмерного моделирования ультрарелятивистских пучков // Вычислительные методы и программирование. 2007. - Т. 8, № 2. - С. 203-210.

66. Турчановский И.Ю. Параллельная реализация алгоритма решения задач динамики пучков заряженных частиц методом "частицы-в-ячейках" // Международная конференция "Математические и информационные технологии". 2009.

67. S. Kheifets. Potential of a three-dimensional Gauss bunch // PETRA note 119.1976.

68. K. Takayama. Potential of a 3-Dimensional Halo Charge Distribution // IEEE Transactions on Nuclear Science. 1983. - Vol. NS-30, No. 4.

69. K. Takayama. A new method for the potential of a 3-dimensional nonuniform charge distribution // Lettere A1 Nuovo Cimento. 1982. - Vol. 34, № 7. - P. 190-192.

70. P. Raimondi. Exotic approach to a Super B-FACTORY // Report at the Super B-Factory Workshop, Hawaii. 2005.

71. Marina Boronina, Vitaly Vshivkov, Evgeny Levichev, Sergei Nikitin, Valery Snytnikov. 3D PIC Method Development For Simulation Of Beam-Beam Effects In Supercolliders // Proceedings of Particle Accelerator Physics 07. 2007. - P. 33663368.

72. Boronina M.A., Snytnikov V.N. and Vshivkov V.A. 3D Beam-Beam Effects Simulation Algorithm // 5th European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering. 2008.

73. M.A. Воронина, В.А. Вшивков, Е.Б. Левичев, С.А. Никитин, Е.А. Симонов, В.Н. Снытников. ЗО-код для моделирования ультрарелятивистских пучков // Вычислительные технологии. 2009. - Т. 14, № 5. - Р. 18-30.

74. Воронина М.А. Моделирование движения ультрарелятивистских пучков заряженных частиц // Материалы XLIV Международной Научной Студенческой Конференции «Студент и научно-технический прогресс». 2006. -С. 132.