автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Эффективный метод расчёта электрического поля пучка заряженных частиц в ускорителе ионов

003450280

на правах рукописи

ч/л

Оржеховская Анна Александровна

ЭФФЕКТИВНЫЙ МЕТОД РАСЧЁТА ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПУЧКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В УСКОРИТЕЛЕ ИОНОВ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 з ОПТ 2008

Екатеринбург 2008

003450280

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Уральский государственный университет им. А.М. Горького" на кафедре математической физики и в Центре по Изучению Тяжёлых Ионов (Gesellschaft für Schwerionenforschung), Darmstadt, Германия

Научмый доктор физико-математических наук,

руководитель: профессор Зубарев Андрей Юрьевич

Официальные доктор физико-математических наук,

оппоненты: профессор Селезнев Владимир Дмитриевич

кандидат физико-математических наук Ульянов Олег Николаевич

Ведущая Федеральное Государственное Унитарное

организация: Предприятие "Государственный Научный

Центр Российской Федерации - Институт Теоретической и Экспериментальной Физики" ФГУП "ГНЦ РФ - ИТЭФ"

Залщта состоялся 200йг. в 45 часов на заседании

диссертационного совета Д 212.286.10 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Уральском государственном университете им. А. М. Горького по адресу: 620083, г. Екатеринбург, пр. Ленина, 51, комн. 248.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Уральского государственного университета им. А. М. Горького.

Автореферат разослан « 12у>о№3$РЛгш г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор В. Г.Пименов

к

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы

В настоящее время роль математического моделирования во всех областях науки резко возросла, в особенности благодаря развитию вычислительной техники. Для рада задач математическое моделирование является единственным средством предварительного изучения явления. К таким вопросам, в частности, относятся исследования в рамках ускорительной физики. Построение математической модели динамики пучка заряженных частиц позволяет быстро и достаточно точно описать поведение частиц в ускорителе, не прибегая к проведению дорогостоящих тестовых экспериментов; на базе имеющихся экспериментальных данных определить значения неизвестных параметров; спрогнозировать поведение пучка не только в режиме нормальной эксплуатации, но и в экстремальных условиях. Аналитические решения играют важную роль как эталонные для оценки качества численных методов, применяемых при моделировании динамики пучка заряженных частиц.

Современное развитие ускорителей происходит как в направлении увеличения энергии ускоренных частиц, так и наращивания интенсивности пучка. Для новых сильноточных ускорителей особенно актуальна проблема потерь частиц высокой энергии. Уход из пучка и столкновение со стенками даже небольшого количества быстрых частиц является причиной радиационной активации ускорителя, требует удалённого управления установкой и

строительства защитных сооружений. Это приводит к значительному удорожанию всего комплекса. Ухудшение качества пучка снижает эффективность использования дорогостоящего оборудования. Более того, даже сравнительно небольшие потери частиц могут привести к выходу установки из строя. Таким образом, физические, экономические и экологические причины заставляют обратить пристальное внимание на уменьшение разброса частиц по энергии, поперечным координатам и скоростям. Потери частиц могут возникать, в частности, под влиянием собственного кулоновского поля пучка и нелинейности ускоряюще-фокусирующих структур.

Однако, моделирование динамики пучка по известным методикам либо требует существенных ограничений, либо не позволяет получить достаточную точность, либо обладает большим расчётным временем. Кроме того, при моделировании динамики пучка в многооборотном сильноточном циклическом ускорителе нужно учитывать нефизичные эффекты, возникающие при компьютерных расчётах из-за накапливания погрешности в стандартных решениях уравнения Пуассона

с различными граничными условиями, где Е(х,у,г) - собственное электрическое поле пучка ионов, р(х,у,г) - функция распределения плотности заряда пучка, ео - диэлектрическая константа. По этой причине возникает необходимость разработки новых методов вычисления собственного поля пучка, достаточно точных и экономичных по времени.

Цель диссертации

Разработка аналитического и численного метода вычисления собственного электрического поля пучка ионов, эллиптического в поперечном сечении. Реализация метода в виде комплекса программ, обеспечивающего высокую достоверность результатов вычислений в сочетании со скоростью расчётов, значительно превышающей скорость существующих методов. Использование комплекса программ для расчёта динамики пучка в линейном и кольцевом ускорителе при решении актуальных задач физики ускорителей.

Научная новизна

1. Разработан аналитический метод дня расчета собственного электрического поля аксиально-симметричного эллипсоидального сгустка заряженных частиц. Этот метод был использован при сравнении компьютерных программ для расчёта динамики пучка в линейном ускорителе в рамках международного проекта High Intensity Pulsed Proton Injector (HIPPI) с участием ведущих ускорительных центров России, Германии, Англии, Италии, США, Франции, Швейцарии.

2. Разработан аналитический метод для расчета собственного электрического поля пучка заряженных частиц в двумерном эллиптическом случае. Для дальнейшего повышения скорости расчётов предлагаемый метод был развит до алгоритма вычисления поля на эллиптической сетке.

3. Разработаны экономичные по времени численно-аналитические методы расчёта собственного электрического поля п^чка с произвольной в продольном направлении формой и эллиптического в поперечном сечении.

4. Предложенные аналитический и численный методы вычисления собственного электрического поля пучка ионов, эллиптического в поперечном сечении, могут быть использованы для пучка с произвольной функцией распределения заряда в пространстве.

5. На базе предлагаемых методов создан комплекс компьютерных программ FSC (Fast Space Charge) по расчёту собственного электрического поля пучка ионов, эллиптического в поперечном сечении, как в линейных, так и в кольцевых ускорителях, обеспечивающий надёжную точность и высокую скорость вычислений.

Основные результаты, выносимые на защиту

с

1. Алгоритмы расчёта собственного поля пучка ионов с произвольной функцией распределения плотности заряда, с произвольной продольной формой и эллиптического в поперечном сечении, использующие аналитический и численный методы вычисления интегралов.

2. Комплекс компьютерных программ FSC для вычисления собственного поля пучка, включенный в программы по расчёту динамики пучка в линейном ускорителе (DYNAMION) и в кольцевом ускорителе (MCROMAP).

3. Использование результатов расчёта собственного поля пучка предлагаемым аналитическим методом при сравнении различных

компьютерных программ для вычисления динамики пучка ионов в линейном ускорителе.

Личный вклад автора

Автор

• предложил аналитический метод нахождения собственного электрического поля пучка заряженных частиц для аксиально-симметричного эллипсоидального пучка и для двумерного пучка эллиптического сечения;

• разработал численно-аналитические методы нахождения собственного электрического шля пучка с произвольной продольной формой и эллиптического в поперечном сечении;

• предложил эффективное определение границ пучка ускоренных частиц для повышения скорости расчётов собственного поля пучка;

• создал комплекс программ FSC для расчёта собственного электрического поля пучка заряженных частиц с произвольной продольной формой и эллиптического в поперечном сечении;

• внедрил комплекс программ FSC в программы по расчёту динамики пучка в линейном ускорителе (DYNAMON) и в кольцевом ускорителе (MCROMAP);

• использовал аналитический метод вычисления собственного поля пучка ионов при сравнении компьютерных программ для расчёта динамики пучка ионов в линейном ускорителе в рамках проекта High Intensity Pulsed Proton Injector (HIPPI).

Достоверность научных положений

Для проверки достоверности предлагаемых методов вычисления интегралов и алгоритмов расчёта собственного электрического поля пучка ионов были проведены сравнения с известными в ряде случаев аналитическими решениями и с результатами, полученными другими численными методами и подтвержденными экспериментом. Все тесты показали полное соответствие результатов расчётов с теорией и ранее использовавшимися моделями.

• Область применения результатов

Результаты исследований, вошедшие в диссертацию, наиболее полно были использованы для расчёта собственного поля заряженного пучка ионов в линейном и кольцевом ускорителях. Кроме того, общий численный метод вычисления исследуемого класса интегралов может быть применён к обширному списку других проблем, требующих решения интегро-дифференциальных уравнений, описывающих различные природные и технологические процессы; а также для вычисления интегралов, полученных при решении дифференциальных уравнений, и для расчёта интегральных характеристик вычисляемых величин.

Практическая ценность результатов

- Созданный комплекс программ /ФС для расчёта собственного электрического поля пучка заряженных частиц был внедрен в одну из наиболее развитых многочастичных программ йШАМЮЫ для расчёта динамики пучка заряженных частиц в резонансных линейных ускорителях.

- Созданный пакет программ внедрён в библиотеку ШСЯОМАР для моделирования динамики пучка, исследования резонансных явлений и потерь частиц в кольцевых ускорителях.

- Результаты расчётов собственного поля пучка аналитическим методом явились базовыми при сравнении программ для моделирования динамики пучка, созданных в различных лабораториях мира.

- Одним из ближайших перспективных приложений данного метода является его использование при проектировании сильноточных линейных ускорителей большой мощности для трансмутации ядерных отходов.

Апробация результатов

Результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в ведущем реферируемом журнале "Математическое моделирование" (2008 г., т. 20, №9),

докладывались на международных конференциях по ускорительной физике: ЕРАС 2004, ICFA 2004, РАС 2005, L1NAC 2006, ЮАР 2006 и опубликованы в трудах этих конференций,

представлены автором на симпозиуме по международному проекту HIPPI (High Intensity Pulsed Proton Injector, Darmstadt, Германия, 2004 г.); на семинарах и во внутренних отчётах ускорительного отдела GSI (Darmstadt, Германия, 2003-2008 гг.), на семинарах отдела прикладных задач Института математики и механики УрО РАН (Екатеринбург, июнь 2008 г.) и кафедры математической физики математико-механического факультета Уральского государственного университета им. А.М.Горького (Екатеринбург, июнь 2008 г.).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 3 глав и заключения. Материал работы, изложенный на 111 страницах текста, включает 25 рисунков, 4 таблицы, 2 приложения и список литературы, содержащий 67 наименований.

Список публикаций

Результаты исследований, вошедшие в диссертацию, опубликованы в 7 печатных работах.

2. Основное содержание работы

Во Введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, излагается состояние вопроса на момент исследования, формулируются цели и задачи исследования, приводятся основные результаты, выносимые на защиту, описывается структура диссертационной работы.

В Главе 1 предложен эффективный метод расчёта собственного поля пучка заряженных частиц. Рассматриваются ограниченные пучки с эллипсоидальной симметрией и функцией распределения плотности заряда, задаваемой соотношением

4 тос

где 0 ~ полный зарад сгустка, а,Ь,с- оси эллипсоида, * - параметр:

1=х2/а2+у2/Ъ2+г2/сг. Функция п(1) удовлетворяет условию нормировки

со

|и(>2)Лй = 1.

о

Общие формулы для собственного электрического поля трёхмерного эллипсоидального сгустка, выведенные О. Д. Келлоггом, имеют следующий вид:

Е -6Л "(ТУ* ш

1 2

где

аг+5 Й2+5 с1 + «'

Выражения для компонент и Ег записываются аналогичный образом. Функция распределения плотности заряда п(г) интерполируется полиномом Лагранжа степени Ы, выбирающейся из соображений минимизации относительной или абсолютной ошибки интерполяции на отрезке рассмотрения либо минимизации ошибки в условиях нормировки. Представление функции распределения плотности заряда полиномом Лагранжа было опробовано, в частности, на наиболее часто использующейся в ускорительной физике Гауссовой функции распределения п(г)

В разделе 1 решается задача нахождения собственного поля эллипсоидального пучка ионов с функцией распределения плотности заряда, заданной в эллипсоиде полиномом некоторой степени

и=0

Параметр < в случае аксиально-симметричного пучка с полуосями а~Ъ, а«с приобретает следующий вид:

1=//а2+г2/с2,г>=у?+у2.

Утверждение 1

Формулы Келлога (1) для аксиально-симметрического пучка после подстановки полиномиальной функции распределения выглядят следующим образом

<0 ^

Нижний предел интегрирования 5 в формуле (2), предложенной Д.Франкетги, зависит от положения частицы, для которой вычисляется

электрическое поле: • 5=0>

если частица находится внутри пучка, • í -В/2+(В2/4+С)'/2, гдеВ^+^Л-с2, С=г2с2+х2а2-с?с2, если частица попала за пределы пучка

Утверждение 2

Функции представленные интегралом (2), могут быть вычислены по следующей формуле

г Ъ (1 +1,1/2+/+/,3/2 + »+у, О) I /у»-_:_с

Здесь 2Р, - гипергеометрическая функция, задаваемая соотношением

па 1\ 1 , ¡т / 1(1 + 1)т(т + \) ,2 2 /={ (/, т, п, к) = 1 +—* + -^г—тг"1 * +...

Условия применения этой формулы

>-Ш, I—

выполняются для всех значений г,/ а<с.

Вычисление интегралов с использованием формулы (3) более экономично, чем с применением рекуррентных соотношений, полученных ранее Д. Франкетш. Кроме того, в диссертации предлагается выбрать границу пучка столь удалённой от его центра (достаточно большие величины полуосей а, Ь, с), чтобы можно было считать, что все частицы лежат внутри пучка. В этом случае величина интеграла для всех частиц определяется как 1^-1^(0) и

вычисляется однократно до процедуры расчёта поля для конкретных частиц. Этот подход принципиально сокращает время вычислений, особенно когда рассмотрению подлежат большие коллективы частиц (порядка 106 частиц) и вычисления производятся многократно.

Утверждение 3

Формулы Келлога (1) для эллипсоидального пучка с произвольными радиусами имеют следующий вид

~ 1{а2+4)1/Мф2 +|)1/2+/(с2 Н)Ш+к

1

(4)

Утверждение 4

Для функций /щ , определённых соотношением (4), справедлива следующая формула

_ ,о,о (-2)***_

да'дЬ'дс" [1 - 3 -... • (2г—1)] • [1 - 3 •...• (2у—1)]• [1 • 3 -...■ (2Аг—1)]

Однако, использование этого соотношения требует предварительного составления таблиц значений интеграла для больших значений уД. Поэтому предлагается вычислять интеграл (4) сведением к интегрированию по отрезку [0,1] путём замены переменных £=<р/(1-<р). Для повышения точности расчётов отрезок [0,1] разбивается на подынтервалы. На каждом подынтервале интегрирование производится численно с помощью квадратурной формулы Гаусса для N00*5* точек. Так, для функции распределения п^)-е'',/2, представленной полиномом 22 степени, было выбрано четыре подынтервала: [0,10'10], [Ш10,Ю'5], [Ю-5, Ю-3], [10-\1], а квадратурная формула Гаусса использует 96 точек, что было обосновано специально проведённым исследованием.

В разделе 2 предложен численно-аналитический метод расчёта собственного поля пучка с произвольной продольной формой и эллиптического в поперечном сечении. Выражение для плотности заряда записывается в данном случае в следующем виде:

Я(г) х2 у2 Р~ 4т(г)Ыг)М а2(г) +Ь2(г) '

где Х(г) - локальная продольная плотность заряда в данном поперечном сечении, а а(г), Ь(г) - характеристики локальных поперечных размеров сгустка, определяемые по следующим формулам:

Здесь величины е„ еу - эмиттансы пучка, т.е. площади проекции пучка на фазовые плоскости координата-угол (х, <Мск), (у,с1уМг) соответственно, рх(г), ру(г) - периодические (в силу периодичности фокусирующей структуры ускорителя) функции. По этой причине можно ограничиться рассмотрением одного периода [0,Р] функций Р/г), РУ(г). Каждое поперечное сечение пучка с продольной координатой г представляет собой двумерный эллипс с полиномиальной функцией распределения плотности заряда

«(0 = |>/\

я=0

где

1=х?/а2(г)+у2/Ь2(г). Формулы Келлога (3) в этом случае приобретают следующий вид:

(5)

где

» 1

Для всех i, j таких, что i+j<N+l, на интервале [0,Р] рассматриваются функции 1ц(г). Для фиксированной координаты z их значение можно вычислить с высокой степенью точности (например, с помощью гипергеометрической функции). Однако, для большого числа частиц время расчётов поля не приемлемо возрастает. Для сокращения времени расчетов предлагается применить интерполяцию функции 1ц(г) на отрезке [0,Р].

Вычисление собственного поля пучка ионов произвольной продольной формы и эллиптического в сечении проводилось при расчёте движения частиц в существующем синхротроне SIS 18 и в разрабатываемом синхротроне SIS100, включённых в программу FAIR в Центре по Изучению Тяжёлых Ионов (GSI, Darmstadt, Германия). Аналогичные расчёты могут быть произведены для произвольной ускоряюще-фокусирующей структуры. Результаты расчётов по предложенным для всех случаев алгоритмам показали высокую точность и скорость расчётов созданных методов по сравнению с известными аналитическими и численными результатами.

Глава 2 посвящена практическому применению методов вычисления собственного поля пучка. Описанные в главе 1 методы вычисления собственного электрического поля пучка заряженных частиц были реализованы в виде комплекса компьютерных программ FSC (Fast Space Charge) на языке Фортран 77.

Комплекс FSC был внедрён в многочастичную программу DYNAMION для существенного ускорения расчётов динамики пучка в линейном ускорителе. Проведённые тесты показали хорошее совпадение результатов расчётов динамики пучка (средняя

погрешность составила 2%) в совокупности с принципиальным увеличением скорости вычислений. В таб.1 приводится сравнение времени расчёта динамики пучка для основной части ускорителя ЦМЬАС с помощью программы £> ШАМОК Расчёты поля проводились для разного числа частиц ранее использовавшимся методом парных взаимодействий и предлагаемым в диссертации численно-аналитическим методом. Из-за ограниченных возможностей вычислительной техники практические расчёты динамики пучка программой ИШАШОИ со старым методом вычисления собственного поля пучка были ограничены 15.000 частицами. Новый метод делает возможным моделирование динамики для большого числа частиц (105106) за реалистичное время, что является перспективным приложением предлагаемого алгоритма вычисления собственного поля пучка.

Таб.1. Время расчёта динамики пучка для первой части ускорителя 1ШИАС с помощью программы ВШАШОИ

метод 10* частиц 104 частиц 105 частиц

парные взаимодействия 10 минут 48 часов -

численно-аналитический 1 час 2 часа 10 часов

Созданный комплекс программ FSC был включен в библиотеку MICROMAP для расчёта динамики пучка в кольцевых ускорителях, использующуюся при проектировании новых синхротронов S/S100 и £/5300 (программа FAIR). Внедрение предлагаемых методов дало заметный выигрыш в скорости вычисления собственного поля пучка

(для 105 частиц примерно в 5 раз). Дополнительно для ускорения расчётов в поперечном двумерном сечении был предложен численный метод вычисления поля на эллиптической сетке.

Аналитический метод вычисления собственного поля пучка явился базовым при сравнении различных компьютерных программ для вычисления динамики пучка в линейном ускорителе в рамках международного проекта High Intensity Pulsed Proton Injector (HIPPI) с участием ведущих ускорительных центров России, Германии, Англии, Италии, США, Франции, Швейцарии. Проведённые оценки показали хорошее совпадение результатов расчёта поля для всех пакетов.

На рис.1 показано сравнительное время вычислений собственного поля аксиально-симметрического эллипсоидального пучка (105 частиц) в статическом случае с применением предлагаемого аналитического метода и широко используемых программ HALODYN, IMPACT, PARMLA, PARTRAN, PATH.

Рис. 1. Сравнительное время вычислений собственного поля 1& частиц для аксиально-симметрического эллипсоидального пучка разными методами (статический случай)

Данные программы используют незначительно отличающиеся в реализации стандартные методы решения уравнения Пуассона на сетке с помощью быстрого преобразования Фурье. Как видно на рис.1, скорость вычислений при использовании предлагаемого в диссертации алгоритма значительно превышает скорость расчётов по другим методикам. ,

Одним из ближайших перспективных приложений созданного комплекса программ, является его использование для расчёта динамики пучка при проектировании сильноточных высокоэнергетичных линейных ускорителей для трансмутации, ядерных отходов.

В Главе 3 описан численный метод вычисления интегралов вида

а

использовавшийся в Главе 1. В основе метода лежит идея разложения части подынтегрального выражения - функции /{х)еСг[а,Ь] - в виде полинома Лагранжа

п=0

по узлам Чебышева. На функцию /(х) могут быть наложены некоторые критерии оценки, например, условия нормировки вида

]кШх)))(к = А,

где к,<р е СДи,у], А - константа. Эти условия могут быть использованы при выборе степени интерполяционного полинома. Тогда вычисление интеграла (6) сводится к вычислению- следующего интеграла:

Как правило, функция g(x) выбирается таким образом, чтобы интеграл (7) легко вычислялся. Проведённые тесты показали высокую точность расчётов по предлагаемому методу, а также позволили оценить "эффективную" степень интерполяционного полинома (N~ 20).

В Заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.

• На основе эффективного метода вычисления одного класса интегралов разработан алгоритм расчёта собственного поля пучка ионов произвольной продольной формы и эллиптического в поперечном сечении. Функция распределения пространственного заряда может быте задана как произвольной аналитической функцией, так и представлена набором частиц. Высокая точность численно-аналитических решений подтверждена многочисленными тестами по сравнению с аналитическими расчётами и известными численными методами.

• Аналитические и численные методы были реализованы в виде комплекса программ FSC (Fast Space. Charge) для использования при расчёте динамики пучка как в линейных (программа DYNAMION), так и

в кольцевых (программа MICROMAP) ускорителях. Результаты расчётов поля аналитическим методом легли в основу сравнения программ для расчётов динамики пучка в линейном ускорителе в рамках международного проекта High Intensity Pidsed Proton Injector (HIPPI).

• Значительный выигрыш в скорости расчётов по предлагаемым методам продемонстрирован в сравнении с широко используемыми компьютерными программами для расчёта динамики пучка DYNAMION (ИТЭФ, Москва и GSI, Darmstadt), HALODYN (Университет г. Болонья), IMPACT (LANL, Лос-Аламос и LBNL, Беркли), LORASR {IAP, Университет Гёте, Франкфурт), PARMILA (LANL, Лос-Аламос), PARTRAN {СЕЛ, Сакле), PATH (CERN, Женева), TOUT ATIS (СЕА, Сакле).

• Таким образом, предлагаемые алгоритмы вычисления собственного поля пучка произвольной продольной формы и эллиптического в поперечном сечении сочетают высокую скорость с достаточной точностью расчётов. Методы имеют широкую практическую реализацию в решении актуальных задач ускорительной физики. Созданная библиотека программ FSC применялась и будет применяться при проектировании различных линейных и кольцевых ускорителей, расчёте динамики пучка заряженных частиц, исследовании резонансных явлений и т.д.

Приложения содержат:

• блок-схему комплекса программ,

• описание внешних параметров, использующихся при работе библиотеки,

• запись вызова процедур для вычисления собственного поля пучка из внешней программы,

• список основных внутренних подпрограмм пакета.

3. Список публикаций

Статья, опубликованная в ведущем рецензируемом журнале, определенном ВАК:

1. А. Оржеховская, Эффективный численно-аналитический метод вычисления одного класса интегралов, встречающихся в ускорительной физике И "Математическое моделирование", 2008, т.20, №9, стр. 67-74, 0.67 п. л .

Другие публикации:

2. A. Orzhekhovskaya, G. Franchetti, A Space Charge Algorithm for Ellipsoidal Bunches with Arbitrary Beam Sizes and Particle Distribution //

Proc. of European Particle Accelerator Conference, EPAC 2004, ed. J. Chrin, pp. 1975-1977

3. A. Franchi, W. Bayer, G. Franchetti, L. Groening, I. Hofmann, A. Orzhekhovskaya, S. Yaramyshev, X. Yin, A. Sauer, R. Tiede, C. Clemente, R. Dupurrier, D. Uriot, G. Bellodi, F. Gerigk, A. Lombardi, T. Mutze, Benchmarking Linac Codes for the HIPPI Project U Proc. of 33rd ICFA Advanced Beam Dynamics Workshop: High Intensity High Brightness Hadron Beams (AIP, New York, 2005), 773, pp. 110-113

4. G. Franchetti, I. Hofmann, P.Spiller, A. Orzhekhovskaya, Intensity and Bunch-Shape Dependent Beam Loss Simulation for the SIS100 // Proc. of Particle Accelerator Conference, РАС 2005, ed. C. Horak, pp. 3807-3809

5. A. Franchi, W. Bayer, G. Franchetti, L. Groening, I. Hofmann, A. Orzhekhovskaya, S. Yaramyshev, X. Yin, A. Sauer, R. Tiede, C. Clemente, R. Dupurrier, D. Uriot, G. Bellodi, F. Gerigk, A. Lombardi, T. Mutze, Linac Codes Benchmarking in Preparation of the UNILAC experiment!) CARE-Note-2006-011-HIPPI, CERN, 2006, pp. 1-29

6. A. Franchi, W. Bayer, G. Franchetti, L. Groening, I. Hofmann, A. Orzhekhovskaya, S. Yaramyshev, X. Yin, A. Sauer, R. Tiede, C. Clemente, R. Dupurrier, D. Uriot, G. Bellodi, F. Gerigk, A. Lombardi, T. Mutze, Linac Codes Benchmarking for the UNILAC experiment H Proc. of Linear Accelerator Conference, LINAC 06, pp. 460-462

7. A. Orzhekhovskaya, G. Franchetti, A Space Charge Algorithm for the Bunches of Elliptical Cross Section with Arbitrary Beam Sizes and Particle Distribution II Proc. of International Computational Accelerator Physics, ICAP 2006, TUPPP05, pp. 106-109

Оглавление.

Введение.

Глава 1. Методы расчёта собственного электрического поля пучка эллиптического < сечения в сильноточном ионном ускорителе.

1.1 Собственное поле эллипсоидального пучка с функцией распределения n(t), заданной полиномом.

1.1.1 Аксиально-симметричный трёхмерный случай.

1.1.2 Эффективное определение размеров пучка.

1.1.3 Случай пучка с произвольными осями.

1.1.4 Оценка точности вычисления собственного поля эллипсоидального пучка.

1.2 Электрическое поле произвольного трёхмерного пучка, эллиптического в сечении.

1.2.1 Общая концепция.

1.2.2 Алгоритм вычисления поля для пучка с переменной структурой.

Многие процессы и явления, происходящие в природе или в обществе, можно описать с помощью уравнений и систем уравнений, то есть составить их математическую модель. Эти уравнения характеризуют начальное состояние объекта, его поведение под действием внешних воздействий, сами внешние воздействия и свойства материалов объекта. Роль математического моделирования в различных областях особенно возросла благодаря прогрессу вычислительной техники. Для ряда задач математическое моделирование является единственным средством предварительного изучения явления. К таким вопросам, в частности, относятся исследования в рамках ускорительной физики.

Ускорители заряженных частиц начали создаваться в начале 20 века для получения потоков частиц высокой энергии, необходимых при изучении строения атомного ядра. Существующие в настоящее время ускорители различных типов (линейные и циклические, резонансные и нерезонансные) служат приборами для физики высоких энергий при изучении природы и свойств элементарных частиц, используются в программе поисков новых источников энергии, являются перспективным средством решения проблемы уничтожения радиоактивных отходов. Всё большее применение они находят в различных областях: химии, биологии, медицине, металлургии и т.д.

Строительство современного ускорительного комплекса требует значительных финансовых вложений. Так, например, бюджет новой программы Facility for Antiproton and Ion Research (FAIR) [1] в Центре по Изучению Тяжёлых Ионов / Gesellschaft fur Schwerionenforschung (GST), 4

Дармштадт, Германия составляет примерно 1,5 млрд. евро. Поэтому изготовлению частей ускорителя, его сборке и запуску предшествует многолетняя расчётная работа по моделированию динамики пучка заряженных частиц при разных параметрах, определяющих работу ускорителя. Построение математической модели позволяет быстро и достаточно точно описать поведение заряженных частиц, как в линейном, так и в многооборотном циклическом (до 105 оборотов) ускорителе, не прибегая к дорогостоящему эксперименту. Меняя те или иные параметры, можно спрогнозировать результат эксперимента и определить оптимальные настройки всей установки для его успешной реализации.

В распоряжении исследователей обычно имеются данные, полученные экспериментальным путём. Однако, в силу структуры ускорительного комплекса нет возможности производить измерения того или иного параметра в любой требуемой части ускорителя и при любых необходимых для проектирования настройках. С помощью математической модели можно на базе имеющихся результатов измерений определить требуемые величины.

Для новых типов сильноточных ускорителей особенно актуальна проблема потерь частиц высокой энергии, которые могут приводить к возникновению радиоактивности в ускорительном комплексе. Необходимость прогнозирования поведения заряженного пучка и всей установки в целом не только в режиме нормальной эксплуатации, но и в экстремальных условиях, резко повышает роль математического моделирования.

Проверка или эмпирическое подтверждение свойств модели делаются, как правило, путем сравнения результатов расчетов с экспериментом или аналитическими методами для некоторых частных случаев. Погрешность математического эксперимента складывается из погрешностей физической и математической моделей. Применение аналитических решений позволяет управлять условиями проведения численного эксперимента для того, чтобы сделать математическую часть погрешности существенно меньше физической. Аналитические решения играют важную роль в качестве эталонных решений для оценки свойств численных методов, применяемых для математического моделирования динамики пучка заряженных частиц.

Актуальность темы

Современное развитие ускорителей идёт как по пути увеличения энергии ускоренных частиц, так и по пути наращивания интенсивности ускоренного пучка. Для новых сильноточных ускорителей особенно актуальна проблема потерь частиц высокой энергии. Столкновение даже небольшого количества частиц со стенками ускорителя является причиной его радиационной активации, требует удалённого управления установкой и строительства защитных сооружений. Это приводит к значительному удорожанию всего комплекса. Ухудшение качества пучка снижает эффективность использования дорогостоящего оборудования. Более того, даже сравнительно небольшие потери частиц могут привести к выходу установки из строя. Таким образом, физические, экономические и экологические причины заставляют обратить пристальное внимание на уменьшение разброса частиц по энергии, поперечным координатам и скоростям. Потери частиц могут возникать под влиянием собственного поля пучка и из-за нелинейности ускоряюще-фокусирующих структур.

Для расчётов электрического поля пучка обычно рассматриваются следующие модели:

1. Метод парных взаимодействий с использованием закона Кулона, лежащий в основе, например, многочастичной программы DYNAMION [2]. Сложность данных вычислений составляет 0(п2) («-число частиц), поэтому временные затраты, требуемые на расчёты поля для реального пучка с 109-Ю10 частицами, не представляются возможными. В связи с этим в

1 А программе DYNAMION осуществляется переход к модели с ЮМО* частицами. Для этой модели с помощью метода парных взаимодействий можно достаточно точно вычислить величину поля. Сравнение расчётов поля с аналитическими решениями и результатами работы других программ, а также сопоставление моделирования динамики пучка с экспериментальными данными показали, что данный метод удовлетворительно описывает динамику пучка в линейном ускорителе. Однако, вынужденное уменьшение числа частиц в этой модели ведёт к недостаточно точному описанию особенностей распределения частиц в пучке. Кроме того, из-за дискретного шага интегрирования наблюдаются "нефизичные" эффекты, связанные с возникновением в рассматриваемой модели столкновений частиц, отсутствующих в реальности. Это требует введения специального метода для устранения "нефизичного" эффекта, что приводит к ухудшению точности модели.

2. Функция собственного электрического поля пучка E(x,y,z) является решением уравнения Пуассона

VE(x,y,z) = p(x,y,z) с различными граничными условиями. Здесь p(x,y,z) - функция распределения плотности заряда пучка, е0 - диэлектрическая постоянная. Решение уравнения Пуассона в свободном пространстве или внутри ограниченной области выписывается в виде интегральных выражений с помощью функции Грина [3]. Однако, вычисление полученных интегралов является нетривиальной задачей.

Для упрощения расчётов этих интегралов рассматриваются частные случаи пучков определённой формы и/или пучков с конкретной функцией распределения пространственного заряда, а также моделей в свободном пространстве или с учётом окружающих поверхностей.

• Расчет электрического поля для трехмерного эллипсоида с постоянной плотностью заряда в свободном пространстве был предложен в работах А. Власова [4] и А. Ахиезера [5].

• Самосогласованное уравнение [6] для равномерно заряженного эллиптического цилиндра ("микроканоническос" распределение Капчинского-Владимирского) приводит к аналитической формуле для потенциала [7].

• Аналитические формулы для электрического поля бесконечного цилиндрического пучка эллиптического сечения и конечного цилиндрического пучка круглого сечения с произвольной функцией распределения плотности заряда получены М. Феррарио [8]. Точность предложенных в этой же работе численных методов нахождения собственного поля конечного цилиндрического пучка, эллиптического сечения зависит от отношения радиусов пучка и его продольной длины.

• Аналитическое решение для двумерного Гауссова пучка выведено через комплексный интеграл вероятностей Р. Тальманом [9].

• Проблемой модели "замороженного пучка" [10] является не самосогласованное приближение [5]. Такое приближение может быть использовано для анализа динамики пучка в относительно редких случаях, когда потери частиц малы и изменения эмиттанса невелики [7]. Эмиттанс (площадь проекций пучка на фазовые плоскости координата-угол) является важной характеристикой пучка: чем меньше эмиттанс, тем выше качество пучка заряженных частиц.

• Для эллипсоидального пучка круглого сечения в работе Л.Бобылёвой и Э. Перелыптейна [11] предложен численно-аналитический метод вычисления собственного поля пучка. Функция распределения плотности заряда разлагается в степенной рад с использованием моментов высших порядков.

3. Метод быстрого преобразования Фурье [12] для двумерных и трехмерных моделей широко используется для численного решения уравнения Пуассона в программах для расчётов динамики пучка: HALODYN [13], LORASR [14], BEAMDULAC [15] и др. Как было показано в различных работах, для достоверного представления распределения частиц и высокой точности вычислений нужна достаточно частая сетка (не менее 64x64*64, а, как правило, и 128x128x128 ячеек). Число частиц на каждую ячейку должно быть в среднем 10 . Таким образом, в данной схеме должно рассматриваться порядка 107-108 частиц. При сложности вычислений данного метода 0{п 1п(п)+п) требуемое для расчётов время оказывается значительным и превышает время вычисления поля методом парных взаимодействий для 104 частиц. Поэтому реально в указанных программах число частиц не превышает 106, что заметно снижает точность вычислений, так как для сетки меньшей размерности или модели с меньшим числом частиц, флуктуации функции распределения частиц не учитываются достаточным образом. Иначе говоря, должен быть найден компромисс между скоростью и точностью расчётов.

Таким образом, моделирование движения частиц по известным методикам либо требует существенных ограничений, либо не позволяет получить нужную точность, либо характеризуется большим расчётным временем. Кроме того, при моделировании динамики пучка в многооборотном сильноточном циклическом ускорителе (~105 оборотов) нужно учитывать "нефизичные" эффекты, возникающие при компьютерных расчётах из-за накопления погрешности в стандартных решениях уравнения Пуассона. По этой причине возникает необходимость в разработке экономичных по времени, но достаточно точных методов вычисления собственного поля пучка.

В диссертационной работе развивается метод, предложенный О.Д. Келлогом [16], и исследуется случай пучка, симметричного относительно продольной оси, в свободном пространстве. В данной модели не учитывается влияние стенок канала и наведённого заряда. В кольцевом ускорителе в силу симметрии проводящей структуры наведённый заряд можно считать скомпенсированным. Из-за сложной структуры линейного ускорителя (чередование трубок дрейфа и ускоряющих зазоров), а также размеров пучка, сравнимых с характерными продольными размерами элементов ускоряюще-фокусирующей структуры, учёт влияния наведённого заряда является трудно решаемой задачей. Необходимые упрощения в этой модели, которые позволили бы учитывать влияние наведенного заряда, могут привести к ошибкам, превышающим собственно эффект влияния наведённого заряда.

Цель диссертации

Разработка аналитического и численного метода вычисления собственного электрического поля пучка ионов, эллиптического в поперечном сечении. Реализация метода в виде комплекса программ, обеспечивающего высокую достоверность результатов вычислений в сочетании со скоростью расчётов, значительно превышающей скорость существующих методов. Использование комплекса программ для расчёта динамики пучка в линейном и кольцевом ускорителе при решении актуальных задач физики ускорителей.

Научная новизна

1. Разработан аналитический метод для расчета собственного электрического поля аксиально-симметричного эллипсоидального сгустка заряженных частиц. Этот метод был использован, в качестве базового, при, сравнении компьютерных программ для расчёта динамики пучка в линейном ускорителе в рамках международного проекта High Intensity Pulsed Proton Injector (HIPPI) с участием ведущих ускорительных центров России, Германии, Англии, Италии, США, Франции, Швейцарии.

2. Разработан аналитический метод для расчета собственного электрического поля пучка заряженных частиц в двумерном эллиптическом случае. Для дальнейшего повышения скорости расчётов предлагаемый метод был развит до алгоритма вычисления поля на эллиптической сетке.

3. Разработаны экономичные по времени численно-аналитические методы расчёта собственного электрического поля пучка с произвольной в продольном направлении формой и эллиптического в поперечном сечении.

11

4. Предложенные аналитический и численный методы вычисления собственного электрического поля пучка ионов, эллиптического в поперечном сечении, могут быть использованы для описания пучка с произвольной функцией распределения заряда в пространстве.

5. Получены эмпирические формулы, позволяющие оптимально выбирать степень полинома Лагранжа для интерполяции Гауссовой функции распределения плотности заряда.

6. Разработан метод восстановления функции распределения плотности заряда по дискретному набору частиц.

7. На базе предлагаемых методов создан комплекс компьютерных программ FSC (Fast Space Charge) по расчёту собственного электрического поля пучка ионов, эллиптического в поперечном сечении, как в линейных, так и в кольцевых ускорителях, обеспечивающий надёжную точность и высокую скорость вычислений.

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Алгоритмы расчёта собственного поля пучка ионов с произвольной функцией распределения плотности заряда, с произвольной продольной формой и эллиптического в поперечном сечении, использующие аналитический и численный методы вычисления интегралов.

2. Комплекс компьютерных программ FSC для вычисления собственного поля пучка, включенный в программы по расчёту динамики пучка в линейном ускорителе {DYNAMION) и в кольцевом ускорителе (.MICROMAP).

3. Использование результатов расчёта собственного поля пучка предлагаемым аналитическим методом при сравнении различных компьютерных программ для вычисления динамики пучка ионов в линейном ускорителе.

Личный вклад автора Автор

• предложил аналитический метод нахождения собственного электрического поля пучка заряженных частиц для аксиально-симметрического эллипсоидального пучка и для двумерного пучка, эллиптического в сечении ;

• развил аналитический метод расчёта для двумерного пучка, эллиптического в сечении, до алгоритма вычисления поля на » эллиптической сетке для дальнейшего повышения скорости расчётов;

• разработал численно-аналитические методы нахождения , собственного электрического поля пучка с произвольной продольной формой и эллиптического в поперечном сечении;

• предложил эффективное определение границ пучка ускоренных частиц для повышения скорости расчётов собственного поля пучка. При этом часть вычислений, требующая значительного расчётного времени, выделяется в блок, выполняемый однократно для всех частиц;

• вывел эмпирические формулы для выбора степени интерполяционного полинома в случае эллипсоидального пучка с Гауссовой функцией распределения плотности заряда;

• создал комплекс программ FSC для расчёта собственного электрического поля пучка заряженных частиц с произвольной продольной формой и эллиптического в поперечном сечении; подготовил его к использованию в существующих программах для расчёта динамики пучка в линейных и кольцевых ускорителях;

• внедрил метод расчёта собственного поля пучка в программу DYNAMION, разработав алгоритм восстановления функции распределения плотности заряда пучка по дискретному набору частиц, что позволило принципиально повысить скорость расчётов без потери точности вычислений;

• с помощью предложенного метода вычисления собственного поля пучка исследовал выбор значений параметров в программе DYNAMION;

• использовал аналитический метод вычисления собственного поля пучка при сравнении компьютерных программ для расчёта динамики пучка ионов в линейном ускорителе в рамках проекта High Intensity Pulsed Proton Injector (HIPPI).

Достоверность научных положений

Для проверки достоверности предлагаемых методов вычисления интегралов и алгоритмов расчёта собственного электрического поля пучка ионов были проведены сравнения с известными в ряде случаев аналитическими решениями и с результатами, полученными другими численными методами и подтвержденными экспериментом. Все тесты показали полное соответствие результатов расчётов с теорией и ранее использовавшимися моделями.

Область применения результатов

Результаты исследований, вошедшие в диссертацию, наиболее полно были использованы для расчёта собственного поля заряженного пучка в линейном и кольцевом ускорителях. Кроме того, общий численный метод вычисления исследуемого класса интегралов может быть применён к обширному списку других проблем, требующих решения интегро-дифференциальных уравнений, описывающих различные природные и технологические процессы; а также для вычисления интегралов, полученных при решении дифференциальных уравнений, и для расчёта интегральных характеристик вычисляемых величин.

Практическая ценность результатов

- Созданный комплекс программ FSC для расчёта собственного электрического поля пучка заряженных частиц был внедрен в одну из наиболее развитых многочастичных программ DYNAMION для расчёта динамики пучка заряженных частиц в резонансных линейных ускорителях.

- Созданный пакет программ FSC внедрён в библиотеку MCROMAP для моделирования динамики пучка, исследования резонансных явлений и потерь частиц в кольцевых ускорителях.

- Результаты расчётов собственного поля пучка аналитическим методом явились базовыми при сравнении программ для моделирования динамики пучка, созданных в различных лабораториях мира.

- Одним из ближайших перспективных приложений данного метода является его использование при проектировании сильноточных линейных ускорителей большой мощности для трансмутации ядерных отходов.

Апробация результатов

Результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в ведущем реферируемом журнале "Математическое моделирование" (2008 г., т. 20, №9), докладывались на международных конференциях по ускорительной физике: European Particle Accelerator Conference, EPAC {Lucerne, Швейцария, 2004), ICFA Advanced Beam Dynamics Workshop (Bensheim, Германия, 2004), Particle Accelerator Conference, РАС (Knoxville, США, 2005), Linear Accelerator Conference, LIN AC (.Knoxville, США, 2006), в том числе лично автором - на международной конференции International Computational Accelerator Physics, ЮАР (Chamonix, Франция, 2006 г.), и опубликованы в трудах этих конференций, представлены автором на симпозиуме по международному проекту HIPPI (High Intensity Pulsed Proton Injector, Darmstadt, Германия, 2004 г.); на семинарах и во внутренних отчётах ускорительного отдела GSI {Darmstadt, Германия, 2003-2008 гг.), на семинарах отдела прикладных задач Института математики и механики УрО РАН (Екатеринбург, июнь 2008 г.) и кафедры математической физики математико-механического факультета Уральского государственного университета им. А.М.Горького (Екатеринбург, июнь 2008 г.).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 3 глав и заключения. Материал работы, изложенный на 111 страницах текста, включает 25 рисунков, 4 таблицы, 2 приложения и список литературы, содержащий 67 наименований.

Основные результаты главы 3

В Главе 3 представлен численный метод вычисления интегралов вида f{x)g{x)dx а с помощью разложения части подынтегрального выражения - функции f{x) е Cr[a,b] - в виде полинома Лагранжа fA*) = t,cnxn п=О по узлам Чебышева. На функцию f(x) могут быть наложены некоторые критерии оценки, например, условия нормировки вида h(f{cp{x)))dx = А, и где h,<p е C5[w,v], А - константа. Эти условия могут быть использованы при выборе степени интерполяционного полинома. Проведённые тесты показали высокую точность расчётов по предлагаемому методу, а также позволили оценить "эффективную" степень интерполяционного полинома (N~ 20).

Заключение

Увеличение энергии ускоренных частиц и интенсивности заряженного пучка требуется как при решении задач фундаментальной физики, так и для практических приложений ускорителей заряженных частиц. В то же время, проблема потерь частиц высокой энергии, приводящих к радиационной активации ускорителя и ухудшающих качество ускоренного пучка, заставляет отнестись с повышенным вниманием к влиянию собственного поля пучка на движение частиц. Недостатками существующих методик расчёта собственного поля пучка являются невысокая скорость и/или заметная погрешность, связанная с существенными упрощениями модели.

В диссертационной работе предложен метод вычисления интегралов одного класса путём разложения части подынтегрального выражения в виде полинома Лагранжа по узлам Чебышева. Одним из приложений данного метода является решение уравнения Пуассона, описывающего собственное поле пучка заряженных частиц. С целью устранения перечисленных выше недостатков в расчётах собственного поля пучка предлагаются эффективные аналитические и численные методы для пучка произвольной продольной формы и эллиптического в сечении с произвольной функцией распределения плотности пространственного заряда.

• Для двух классов задач - вычисление собственного поля аксиально-симметричного эллипсоидального пучка и вычисление поля в эллиптическом сечении произвольного пучка - предложены аналитические решения.

• Предложено эффективное определение границ пучка ускоренных частиц для повышения скорости расчётов собственного поля пучка. При этом часть вычислений, требующая значительного расчётного времени, выделяется в блок, выполняемый однократно для всех частиц.

• Эмпирические формулы, определяющие степень интерполяционного полинома для Гауссовой функции распределения плотности заряда пучка, также позволяют сократить время расчётов.

Методы были реализованы в виде комплекса программ FSC (Fast Space Charge) и внедрены в библиотеки для моделирования динамики пучка как в линейных, так и в кольцевых ускорителях.

• Внедрение предлагаемого алгоритма в программу для расчёта динамики пучка в линейном ускорителе DYNAMION позволяет принципиально увеличить скорость вычислений без потери точности и тем самым делает практически возможным моделирование динамики пучка с большим количеством частиц. Сравнение результатов вычислений собственного поля пучка методом парных взаимодействий и предлагаемым в диссертации алгоритмом позволяет оптимизировать выбор параметров в программе DYNAMION.

• Программа MICROMAP для расчёта динамики пучка в кольцевом ускорителе с предлагаемым алгоритмом вычисления собственного поля пучка работала, в том числе, при проектировании новых синхротронов 575100 и 5/5300 (проект FAIR).

• Расчёты поля аналитическим методом легли в основу сравнения программ для расчётов динамики пучка в линейном ускорителе в рамках международного проекта High Intensity Pulsed Proton Injector (HIPPI).

Многочисленные проведённые тесты подтверждают высокую точность численно-аналитических решений по сравнению с аналитическими расчётами и известными численными методами.

Значительный выигрыш в скорости расчётов по предлагаемым методам продемонстрирован в сравнении с широко используемыми компьютерными программами для расчёта динамики пучка DYNAMION (ИТЭФ, Москва и GSI, Дармштадт), HALODYN (Университет г. Болонья), IMPACT (.LANL, Лос Аламос и LBNL, Беркли), LORASR (ТАР, Университет Гёте, Франкфурт), PARMILA (LANL, Лос Аламос), PARTRAN (СЕА, Сакле), PATH (CERN, Женева), TOUTATIS (СЕА, Сакле).

Таким образом, на основе эффективного метода вычисления одного класса интегралов разработан алгоритм расчёта собственного поля пучка произвольной продольной формы и эллиптического в поперечном сечении. Функция распределения пространственного заряда может быть, как задана произвольной аналитической функцией, так и представлена набором частиц. Методы сочетают высокую скорость с достаточной точностью расчётов. Данные алгоритмы имеют практическую реализацию в решении актуальных задач ускорительной физики. Созданный комплекс программ FSC применялся и будет применяться для расчёта динамики пучка заряженных частиц и исследования резонансных явлений при проектировании различных линейных и кольцевых ускорителей, в том числе для проведения фундаментальных исследований, трансмутации ядерных отходов и т.д.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю Андрею Юрьевичу Зубареву за неформальный подход к руководству, помощь в подготовке диссертации, понимание и заботу;

Инго Хофманну и Джулиано Франкетти за постановку физических задач, обсуждение физических вопросов и руководство работой в отделе кольцевых ускорителей GSI;

Винфриду Барту за руководство работой в отделе линейных ускорителей GSI, поддержку в практической реализации алгоритмов и постоянную заботу;

Степану Григорьевичу Ярамышеву за постановку физической задачи, научные консультации, мотивирующие дискуссии и моральную поддержку;

Павлу Романовичу Зенкевичу за плодотворное обсуждение научных вопросов и ценные замечания в процессе работы над диссертацией; Владимиру Германовичу Пименову за помощь и поддержку в решении организационных вопросов;

Александру Илларионовичу Короткому за ценные советы и предоставленную возможность выступить с докладом в отделе прикладных задач ИММ УрО РАН; оппонентам и рецензентам за отзывы на диссертационную работу; а также всем соавторам и коллегам по ускорительному отделу GSI, в особенности Андреа Франке, за сотрудничество.

1. D. Kraemer, FA1. - an International Facility for Antiproton and Ion Research // Proc. of Russian Particle Accelerator Conference, RuPAC 2006, MOAOOl, pp. 1-3

2. A. Kolomiets et al, DYNAMION The Code for Beam Dynamics Simulation in High Current Ion Linac // Proc. of European Particle Accelerator Conference, EPAC 1998, pp. 1201-1203

3. P. Курант, Уравнения с частными производными. М.: "МИР", 1964, 830 стр.

4. А.Д. Власов, Теория линейных ускорителей. М.:Атомиздат, 1965, 307 стр.

5. А.И. Ахиезер и др., Теория и расчёт линейных ускорителей. М.: Госатомиздат, 1962, 114 стр.

6. А.Д. Власов, Теория многих частиц. Л.: Гостехиздат, 1950, 348 стр.

7. КМ. Капчинский, Теория линейных резонансных ускорителей: Динамика частиц. М.: Энергоиздат, 1982, 240 стр.

8. М. Ferrario et.al., Electric Field for a uniformly charget cylindrical bunch with elliptical crossection // SPARC-BD-03/002, Apr. 2003

9. R. Talman, Multiparticle phenomena and Landau damping // Proc. of AIP Conference 153 ed. by M. Month and M. Dienes (1987) pp. 789834

10. H. Okamoto, Frozen beams // Proc. of Particle Accelerator Conference, РАС 2005, pp. 4-8

11. JI.B. Бобылева, Э.А. Перелъштейн, Моделирование динамики пучков методом моментов с использованием степенныхразложений плотности заряда, Лаборатория ядерных реакций им. Г.Н. Флерова ОИЯИ, 2003, Р5-2003-124

12. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков, Численные методы. М.: Наука, 1987, 598 с.

13. A. Franchi et al, HALODYN A 3D Poisson-Vlasov Code to Simulate the Space-Charge Effects in the High Intensity TRASCO Linac // Proc. of Linear Accelerator Conference, LINAC 2002, pp. 653-655

14. R. Tiede et al, LORASR code development // Proc. of European Particle Accelerator Conference, EPAC 2006 , pp. 2194-96

15. E.S. Masunov, S.M. Polozov, BEAMDULAC code for numerical simulation of 3D beam dynamics in a high-intensity undulator linac // NIM A, 558, 2006, pp. 184-187

16. O.D. Kellogg, Foundation of Potentional Theory. Dover Publications, New York, USA, 1953, 192 p.

17. GSI http://www.gsi.de/portrait/index.html

18. S. Hofmann, G. Miinzenberg, The discovery of the heaviest elements // Reviews of Modern Physics, vol. 72, # 3, pp. 733-767, July 2000

19. H. Brand et al, Heavy Ion Cancer Therapy @ GSI Slow Control and Online Monitoring // International Conference on Accelerator and Large Experimental Physics Control Systems, 1999, pp. 394-396

20. H. Eickhoff et al, ШСАТ the german hospital-based light ion cancer therapy project // Proc. of Particle Accelerator Conference, РАС 2003, pp. 694-698

21. HIT (Heidelberg) http://www.klinikum.uni-heidelberg.de/Heidelberger-Ionenstrahlen-Therapie-HIT. 1165.0.html

22. W. Barth et al, Development of the UNILAC towards a Megawatt Beam Injector // Proc. of Linear Accelerator Conference, LINAC 2004, pp. 246-250

23. D. Boehne et al, The Performance of SIS and Developments at GSI // Proc. of European Particle Accelerator Conference, EPAC 1990, pp. 18-19

24. P. Spiller, G. Franchetti, The FAIR accelerator project at GSI // Nucl. Instr. and Meth. A 561, (2006), pp. 305-309

25. L. Groening et al, The 70-MeVProton Linac for the Facility for Antiproton and Ion Research FAIR // Proc. of Linear Accelerator Conference, LINAC 2006, pp. 186-188

26. G. Franchetti, I. Hofmann, Beam loss modeling for the SIS 100 // Proc. of European Particle Accelerator Conference, EPAC 2004, ed. J. Chrin, pp. 1978-1980.

27. G. Franchetti et al, Space charge and octupole driven resonance trapping observed at the CERN proton synchrotron // Phis.Rev. ST Accel. Beams 6, pp. 124201-124209 (2003)

28. И.С. Градштейн, И.М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (4-е издание). М.: Наука, 1963, 1097 с.

29. Г. Корн, Т. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973, 698 стр.

30. CERNLIB http://wwwasd.web.cern.ch/wwwasd/cernlib/

31. Research Computing Center MSU http://www.srcc.msu.su/

32. A.A. Оржеховская, Эффективный численно-аналитический метод вычисления одного класса интегралов, встречающихся в ускорительной физике // Математическое моделирование, т. 20, №9, 2008 г., стр. 67-74

33. A. Orzhekhovskaya, G. Franchetti, A Space Charge Algorithm for Ellipsoidal Bunches with Arbitrary Beam Sizes and Particle Distribution // Proc. of European Particle Accelerator Conference, EPAC 2004, ed. J. Chrin, pp. 1975-1977

34. A. Orzhekhovskaya, G. Franchetti, A Space Charge Algorithm for the Bunches of Elliptical Cross Section with Arbitrary Beam Sizes and Particle Distribution // Proc. of International Computational Accelerator Physics Conf., ЮАР 2006, TUPPP05, pp.106-109

35. S. Yaramishev et al, Development of the versatile multi-particle code DYNAMION // Nuclear Inst, and Methods in Physics Research A, Vol. 558/1, pp. 90-94, 2005

36. А. И. Балабин и др., Основные физические параметры протонного линейного ускорителя "ИСТРА-36" (Часть I)// М., Препринт ИТЭФ, 1989, №157

37. И.А. Воробьев и др., Основные физические параметры протонного линейного ускорителя "ИСТРА-36" (Часть II)// М., Препринт ИТЭФ, 1989, №158

38. A. Fertman et al, Investigation of 110 keV/u heavy ion beams interaction with hydrogen plasma // 30th EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys., St. Petersburg, 7-11 July 2003, ECA Vol. 27A, P-3.63

39. S. Richter, W. Earth, Development and progress in the UNILAC high intensity upgrade programm // Proc. of European Particle Accelerator Conference, EPAC 2002, pp.1181-1183

40. W. Barth, L. Dahl, L. Groening, S. Yaramyshev, The GSI-UNILAC a megawatt beam injector for FAIR // Proc. of International Workshop on Charged Particle Accelerators, IWCPA 2005, Prob.Atomic Sci.Technol. No 3, 2006, pp. 37-39

41. A. Kolomiets, D. Kashinsky, S. Minaev, P. Ostroumov, V. Pershin and S. Yaramishev, Design of 57.5 MHz cw RFQ for medium energy heavy ion superconducting linac // Phys. Rev. ST Accel. Beams 5, pp. 060101-1 060101-9 (2002)

42. L. К Kravchuk et ah, Moscow Meson Factory Linac Operation and Improvement// Proc. of Linear Accelerator Conference, LINAC 1998, pp. 433-435

43. A. Kolomiets and S. Yaramishev, Study of Nonlinearities and Small Particle Losses in High Power Linac // Proc. of Linear Accelerator Conference, LINAC 2000, pp. 797-799

44. A. Lombardi et al., The New Positive Ion Injector PIAVE at LNL // Proc. of Particle Accelerator Conference, РАС 1997, Bulletin of the American Phys. Soc., May 1997, Vol. 42, N3, pp. 139-141

45. MICROMAP library http://www-linux.gsi.de/giuliano/

46. F. Bergamini, G. Franchetti, G. Turchetti, The micromaps description of a beam with space charge // Nuovo Cim.Al 12: pp. 429-436, 1999

47. G. Franchetti, I. Hofmann, G. Turchetti, Micromap approach to space charge in a synchrotron Proc. of Workshop on Space Charge Physics in High Intensity Hadron Rings // AIP, New York, 1998, 448, ed. A.U.Luccio, W.T.Weng, pp. 233-244

48. G. Franchetti and I. Hofmann, Modeling of space charge induced resonance loss // Proc. of ICFA Advanced Beam Dynamics Workshop: High Intensity High Brightness Hadron Beams (AIP, New York, 2002), 642, pp. 260-262

49. G. Franchetti, I. Hofmann, Beam loss modeling for the SIS 100 // Proc. of European Particle Accelerator Conference, EPAC 2004, ed. J. Chrin, pp. 1978-1980

50. G. Franchetti, I. Hofmann, P.Spiller, A. Orzhekhovskaya, Intensity and Bunch-Shape Dependent Beam Loss Simulation for the SIS100 // Proc. of Particle Accelerator Conference, РАС 2005, ed. C. Horak, pp.38073809

51. E. Metral, G. Franchetti, M. Giovannozzi, I. Hofmann, M. Martini, R. Steerenberg, Observation of octupole driven resonance phenomena with space charge at the CERN Proton Synchrotron // Nucl. Instr. and Meth. A 561, (2006), pp. 257-265

52. A. Bazzani et al, A Normal Form Approach to thr Theory of Nonlinear Betatronic Motion // CERN 94-02, 1994

53. N. Lazarev et al., Technical realization of the safe linear accelerator at increased norm of particle losses // Third ISTC Workshop of Project 17, February 5-8, 1996, S.-Peterburg

54. A. Franchi, W. Bayer, G. Franchetti, L. Groening, I. Hofmann, A. Orzhekhovskaya, S. Yaramyshev, X. Yin, A. Sauer, R. Tiede, C.

55. Clemente, R. Dupurrier, D. Uriot, G. Bellodi, F. Gerigk, A. Lombardi, T. Mutze, Linac Codes Benchmarking for the UNILAC experiment // Proc. of Linear Accelerator Conference, LINAC 2006, pp. 460-462

56. J. Quang et al., An Object Oriented Parallel Particle-in-Cell Code for Beam Dynamics Simulation in Linear Accelerator // Jo. of Сотр. Phys., 163,2000, pp. 434-445

57. J.H. Billen, PARMBLA // LA-UR-98-4478, 2001

58. R. Dupurrier, N. Pichoff, D. Uriot, CEA Saclay Codes Review for High Intensities Linacs Computations // Proc. of International Conference Computational Science, ICCS 2002, Volume 2331/2008, pp. 411-418

59. R. Dupurrier, TOUTATIS: A radio frequency quadrupole code // Phys. Rev. STAB, 3, 2000, pp. 124201-06

60. B.A. Бомко, И.М. Карнаухов, Комплекс ускоритель-реактор — будущее ядерной энергетики // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Плазменная электроника и новые методы ускорения (2) 2000, № 1, с. 126-134.

61. В. Швецов, Трансмутация отработанного ядерного топлива и радиоактивных отходов один из вариантов стратегического развития атомной отрасли // Еженедельник ОИЯИ Дубна №6 (2003)

62. M. Kapchinskiy et al, Linear Accelerator for Transmutation // Preprint ITEP 100-92, Moscow, 1992

63. A. Kolomiets et al., Some new ITEP Approach to Design of High Intencity Proton Linac for Transmutation // Proc. of Linear Accelerator Conference, LINAC 1996, pp. 420-422

64. В.И. Крылов, Приближённое вычисление интегралов. М.: Физматгиз, 1959, 327 стр.

65. О. В. Локуциевский, М.Б. Гавриков, Начала численного анализа. -М.: ТОО "Янус", 1995, 580 стр.