автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.06, диссертация на тему:Топологическое построение связанных моделей поверхностей деталей на основе аналитических сплайнов для программирования обработки на станках с ЧПУ

На правах рукописи

Пирогов Владимир Викторович

Топологическое построение связанных моделей поверхностей деталей на основе аналитических сплайнов для программирования обработки на станках с ЧПУ

Специальность: 05.13.06 - Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (промышленность)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Москва-2004

Работа выполнена в Московском государственном технологическом университете «СТАНКИН»

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Кутин А. А.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Цырков А. В.

кандидат технических наук, профессор ¡Немеинн В. К.

Ведущее предприятие:

ОАО НПО «НАУКА»

Защита состоится « 1.6.» декабря 2004 г. в 10 часов на заседании диссертационного Совета К 212. 142. 01 в Московском государственном технологическом университете «СТАНКИН» по адресу: 127055, Москва, Вадковский переулок, д. 3-а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного технологического университета «СТАНКИН».

Автореферат разослан »Ми'с;^' 2004 г.

Учёный секретарь

диссертационного Совета к. т. н. Тарарин И. М.

20Q1-Ч 4WS3

2 S3ÖC4J

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. За последние несколько лет резко возрос объём проектно-конструкторских и проектно-технологических работ. Это связано прежде всего с тем, что отечественные предприятия смогли адаптироваться к современным условиям работы. Новый менеджмент предприятий увеличивает количество заказчиков, а следовательно расширяется номенклатура выпускаемых изделий. При этом проходит очень большое число модификаций этих изделий, но в целом серийность, то есть количество одного выпускаемого наименования, уменьшается. Одновременно с этим, резко сократилось число высококлассных станочников, но появились молодые специалисты. Они с одной стороны активно перенимают накопленный опыт и знания «старой гвардии», а с другой стороны свободно работают с современными вычислительными средствами. Кроме того, всё более актуальными становятся проблемы увеличения производительности труда разработчиков новых изделий, сокращения сроков проектирования, повышения качества разработки проектов, решение которых определяет уровень научно-технического прогресса общества.

Всё это является определяющим фактором для активного использования в современном производстве станков с ЧПУ, а это в свою очередь увеличивает потребность в автоматизированных CAD/CAM системах. Также необходимо отметить, что произошло очень существенное сокращение времени, отводимого на подготовку производства. Это ещё один довод в пользу CAD/CAM систем, так как разработка и отладка электронной модели изделия и управляющей программы в соответствии с созданной электронной моделью и технологией изготовления изделия являются одним из важнейших этапов подготовки производства.

Ещё больше перечисленные проблемы усугубляются при производстве деталей с пространственно-сложными поверхностями. Это связано с существенными ограничениями технологических решений, применяемых при обработке, которые в свою очередь вызваны функциональными возможностями существующей инструментально-станочной базы.

Анализ систем, который проводится на предприятиях, позволяет сформулировать ряд требований к программным продуктам данного типа:

- система должна строиться по модульному принципу. Это означает, что различные части (или единицы) системы достаточно независимы от системы и друг от друга. Вообще система может быть разделена на ядро и состыкованные модули;

- ядро должно управлять функциями других модулей. Это означает, что все сервисные (или мы можем называть их клиентскими) функции автономны;

- стыкуемые модули обладают собственным математическим обеспечением, отвечающим, в том числе, за геометрическое проектирование, постпроцес-сирование и другие фуны

- на уровне реализации все модули, сделаны как DLL (динамические библиотеки связи). Пользователь может добавлять новые пользовательские функции, то есть свои собственные DLL модули. Это очень эффективно: пользователь не делает существенных изменений в ядре, и в то же время может реализовать именно те функции, в которых он действительно нуждается.

Цель работы. Целью работы является повышение эффективности процесса проектирования обработки и обеспечение точности обработки поверхностей изделий на основе использования топологических моделей аналитических сплайн-поверхностей.

Решаемые научные задачи

¡.Разработка способов определения геометрических характеристик составных элементов математической модели детали при задании топологических структур связи на этапе описания проектных связей;

2. разработка алгоритмического обеспечения топологического моделирования многосвязных математических моделей с применением аналитических сплайн функций;

3. подготовка исходных расчётных математических моделей примитивов, используемых для реализации топологических структур детали на этапе поверхностного и твёрдотельного описания;

4. определение методов вспомогательного аппарата вероятностных алгоритмов дискретизации модели математических объектов с учётом минимизации расчётного времени затрачиваемого на подготовительных этапах структурирования;

5. разработка программной реализации математической модели топологических структур геометрических объектов с использованием расчётных алгоритмов аналитических сплайнов.

Основные положения, выносимые на защиту.

¡.Подготовленные расчётные математические модели примитивов для реализации топологических структур детали.

2. Информационно-алгоритмическое обеспечение топологического моделирования с использованием аналитических сплайнов.

3. Методы использования вероятностных алгоритмов на этапе структурирования математических объектов.

4. Программные функции, реализующие математические модели топологических структур геометрии деталей с использованием аналитических сплайнов.

Методы исследования. В работе использовались основные положения технологии машиностроения, методы системного анализа, методы структурного анализа, основные методы вычислительной геометрии, основные положения теории сплайнов и ряд других научных методов и теорий.

Научная новизна состоит в:

-разработке способа задания топологии связанных моделей поверхностей путём аппроксимации их аналитическими сплайнами;

-разработке метода представления геометрических данных топологических структур по моделям поверхностей деталей; -разработке математического аппарата описания, модификации и хране-. ния топологических моделей поверхностей для программирования обработки на станках с ЧПУ. В результате исследований сущности процесса проектирования обработки на станках с ЧПУ, разработана непрерывная и кусочная аппроксимация аналитическими сплайн функциями высокого порядка позволяющая с высокой степенью точности приблизить геометрический образ изделия к его техническому прототипу.

Практическая полезность заключается в:

-разработке комплекса алгоритмического и программного обеспечения для функционирования в составе интегрированной CAD/CAM - системы; -методики построения топологической модели в модифицированной интегрированной CAD/CAM - системы для эффективного проектирования процесса обработки поверхностей деталей, в том числе пространственно-сложных;

-обеспечении регламентированной точности за счёт использования топологических моделей аналитических сплайн функций при проектировании процесса обработки. Реализация результатов работы. Данная работа проводилась в рамках программы «Межотраслевое научно-техническое сотрудничество Минпромнауки России и Минобразования» по теме «Разработка эскизного проекта и опытное внедрение интегрированной системы конструкторско-технологической подготовки производства и изготовления изделий». Результаты работы внедрены на 5-ти машиностроительных предприятиях.

Аппробация работы. Основные положения и результаты работы представлялись на «V Международной научно-технической конференции по динамике технологических систем» в г. Ростове-на-Дону в 1997 г., на научном семинаре «Информационные технологии НИЦ АСК в машиностроении» в ОАО «Научно - Исследовательский Центр Автоматизированных Систем Конструирования» в г. Москве в 1998 г., а также, начиная с 1999 г., на ежегодных семинарах «Российский программный комплекс T-FLEX» в г. Москве.

Публикации. По результатам исследований опубликовано 10 печатных работ.

Структура и объём работы. Работа состоит из введения, 4 глав; изложена на 145 страницах машинописного текста, содержит 56 рисунков, 2 таблицы, 2 приложения; список литературы включает в себя 76 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность решаемых в диссертационной работе проблем, а также определяется её цель.

Первая глава содержит анализ наиболее широко используемых методов представления геометрической информации внутри автоматизированных систем, методов представления геометрической информации в ряде современных обменных форматах и некоторые вспомогательные функции часто встречающиеся в современных системах.

Известно, что наиболее важной структурной составляющей любой автоматизированной системы проектирования является математическое обеспечение, в основе которого лежат математические методы, на базе которых строятся модели, описывающие объекты проектирования. Кроме того, к математическому обеспечению можно отнести методы численного решения алгебраических и дифференциальных уравнений, поиски экстремума и так далее. Особенную роль отводят математическому обеспечению в тех программных конструктор-ско-технологических пакетах, которые применяются при проектировании и изготовлении деталей, содержащих сложные, комплексные поверхности.

В главе вводятся некоторые понятия, которые используются в дальнейшей работе. При проектировании новых изделий и процессов их обработки, реальному объекту ставится в соответствие модель. Над нею, а точнее над её графическим изображением, технолог или конструктор осуществляет различные преобразования, которые базируются на методах вычислительной математики, описанных в математическом обеспечении. В основном эти методы описывают тот или иной геометрический объект, а также возможную работу осуществляемую с ним, например использование объекта в качестве составной части изделия, или над ним, например отображение процесса резания на объекте при моделировании технологического процесса изготовления изделия.

На основании изложенного в главе материала можно сделать вывод, что чем больше методов обработки геометрической информации включает в себя система, тем более она универсальна. В последнее время прослеживается именно эта тенденция: работа на базе множества методов моделирования. Из-за того, что широкое распространение получили приближённые интерполяционные методы, очень часто возникает проблема при моделировании пространственно-сложных комплексных поверхностей. Понятно, что ошибка конструирования переходит и на этап моделирования технологического процесса обработки поверхности детали и далее на процесс разработки программы для станков с ЧПУ. Более же активное применение точных аналитических методов моделирования снимает такую проблему. Тем самым универсальность и незамкнутость системы ещё больше повышается.

Проблема, которая также решается в математическом обеспечении, связана с обменом данными геометрической информации. Активное участие в её разрешении принимали разработчики таких автоматизированных систем, кото-

рые нацелены на работу с деталями, содержащими свободные, комплексные поверхности. В этом случае очень важно обеспечить единство графической информации от компьютера конструктора и технолога, до компьютера станка. Были разработаны современные форматы представления конструкторско-технологической информации. Например, VDA FS, который появился в связи с тем, что существовала задача организовать обмен графическими данными между разработчиками автомобилей и станкостроительными предприятиями. Также в качестве дополнительного требования была выдвинута простота работы с VDA FS и простота его реализации внутри автоматизированных систем. Все геометрические данные на этапах конструирования и этапах технологического проектирования представляются в виде одного файла, который затем, при добавлении необходимых команд, можно преобразовать в готовую программу для станка с ЧПУ.

Другой графико-технологический формат STEP интегрирует понятия в предметной области «промышленное производство продукцию), то есть представляет единую информационную модель этих понятий в виде, формализованном на уровне спецификаций объектно-ориентированного языка Express. STEP обеспечивает единое представление информации модели изделия в форме группы ресурсов (описаний и структуры), которые вместе поддерживают полное и однозначное определение изделия. Вся геометрическая часть формата STEP, написанная на языке Express, кроме некоторых подтипов точек, представляется в системе координат, образованной правой тройкой векторов.

Во второй главе разбирается проблема повышения скорости и точности расчёта траекторий движения инструмента при обработке деталей сложной групповой формы, то есть деталей, включающих в себя поверхности совмещённой двойной кривизны.

В последнее время возможности вычислительной техники очень существенно возросли, что позволяет, с одной стороны, увеличить скорость расчёта с использованием широко распространённых методов в десятки раз. С другой стороны, в технологических процессах появляются всё новые виды формообразующих движений инструмента, что обусловлено новым классом оборудования и инструмента. Если оба приведённых факта практически уравновешивают друг друга, то новые современные требования конструкций окончательно ставят точку в использовании старых принципов создания математического образа детали для обработки. Можно привести несколько примеров, которые наиболее точно отображают появляющиеся проблемы. Эти проблемы невозможно решить с использованием широко распространённых известных алгоритмов.

В качестве примера рассмотрим турбинное колесо с формообразующей поверхностью лопатки двойной кривизны. Конструктора, для увеличения нагнетающей способности, удвоили число полных лопаток и соответственно число усечённых. При этом уменьшилась толщина лопаток. Реальное время обработки такого колеса должно удвоиться, но на самом деле время изготовления увеличилось почти в 25 раз. Раньше на один канал уходил 1 час, а теперь 12 часов 20 минут. Это обусловлено:

1) использованием инструмента меньшего диаметра, из-за чего рабочую подачу снизили с 200 мм/мин до 40 мм/мин;

2) введением дополнительных получистовых проходов, так как из-за уменьшения толщины лопатки при большом съёме материала её стало отгибать.

Таким образом, появился ряд технологических задач, связанных с формированием новых формообразующих движений инструмента. Было принято решение об изменении принципиальной схемы и стратегии обработки. Во-первых, основной режим выборки необходимо формировать методом обтекания в «разбег» (рис. 1), а во-вторых, процесс формирования профиля лопатки необходимо объединить и совместить выпуклую («спинка») и вогнутую («корыто») части в одно целое (рис. 2). Кроме того, решили использовать дополнительные условия, накладываемые на траектории движения инструмента, чтобы в дальнейшем перейти к технологии высокоскоростного резания.

С точки зрения алгоритмического обеспечения функций математической модели, получив общий вычислительный метод для всех видов кривых, расчётную базу наиболее удобно построить на основе матричных произведений. Определим совокупности коэффициентов, а именно вектор коэффициентов а (1) и вектор коэффициентов Ь (2):

единая траектория обработки ступицы единая траектория обработки

сверху вниз с обтекания малой лопатки выпуклой "спинки" и вогнутой

"корыто" частей лопатки

Рис. 1 Рис. 2

асО =(ах0>ау0>а20) ас\ = (.axbayUaz\)

acN = (axN 9 ayN >azlV )

Ьс0 =(0,0,0)

¿el =(bxí,byi,bzl) bcN = (bxN,byN,bzN)

(2)

Для выбора значения числа N наиболее логично применить правило наивысшего значащего коэффициента:

N=max(nx,ny,nz). (3)

Исходя из принятых уравнений (1) и (2), запишем общую вычислительную структуру:

1 N 2 п In

C(t) = -ас0 + cos(fc—i) + Ъск sin(fc—/)) , (4)

2 k=\ 1 1 где N=max(nx,ny,nz).

Далее, сформировав матрицы коэффициентов в виде векторов N-oro измерения и внеся поправку, которая составляет 1/2, внутрь вектора асо, определим:

A =(ac\>ac2>--->acN)

вс ={ьс\,ьс2,...,ъсх) .11 1 . ас =(.2a*0'2a->'0'",'2az0

(5)

Для расчётной части зададимся векторами N-1 измерения косинусов и синусов:

Сс =(cos(yO>cos(yO>-..,cos(WyO

,2jz

Аж

,2п

Sc = (sin(— í), sin(— í),..., sm(N—0

(6)

Из (5) и (6) получаем общую математическую структуру вычислений:

Наиболее ёмкой частью вычислений в рамках всей математической модели является нахождение точек, лежащих на поверхности, а также определение нормалей, касательных и кривизны в них. Причём, если нахождение точки не-

обходимо для определения касания инструментом детали, так как определение нормали и касательных в этой точке отвечают за формирование припуска и положения инструмента в алгоритмах формообразования, то расчёт кривизны является неотъемлемой частью всех аппроксимационных алгоритмов и, кроме того, прогнозирующих вероятностных вычислений поведения поверхности в окрестностях инструментальных базовых точек. Приведём основные характеристики к поверхностному виду, исключив все дополнительные преобразования (рис. 3). Определим все перечисленные выше параметры для поверхности 5 (и, у):

1)точка - Р = 3(ир,ур);

с18(ир,гр) (I5(М„,У„)

2) нормаль в точке - ЛГ = [Гм(ыр, ур) • Гу(ыр,ур )]=[-^---^ ];

1

3) радиус кривизны по направлению и - Яи =

йи-1

Рис.3

4) точка- 4 Р' р'\

(¡8(ив,уп) с18(ив,\в) М = [Ти(ир,ур)-Ту(ир,Ур)Ы \р'р}. Ур'р>]

5) нормаль в точке- "" «V ;

л 1 1

6) радиус кривизны по направлению и - Ки = -

Он(ир,ур) <125{ир, ур)

йиг

•74 О 1 1

7) радиус кривизны по направлению V - ку = -

Оу(ир,ур) ¿25(н у.)'

с1У2

d2S(u„,vp)

8) обобщённая кривизна - D=--——;

dudv

9) изопараметрическая кривая по направлению и Си (0=S(t, vu ) где t е [и0, щ ], vu = const,уи е [v0, v, ];

10) изопараметрическая кривая по направлению v Cv(0 = S(uv,t)где i е[v0,v,],wv =const,uv s[w0j"i3-

Исходя из однородности свойств поверхностного моделирования, внутри математических структур все задачи параллельного разрешения областей можно свести к интегральным величинам. Кроме того, набирая совокупности различных областей определения, параметрические зависимости можно превратить в матрицу переходных коэффициентов линейных порций аналитических многочленов. Опираясь на интеграл Фурье и общие преобразования таких матриц внутри математической модели детали, можно однозначно составить топологические структуры и связи математической модели детали. Если рассмотреть отдельно взятые рёбра не только как трёхмерные кривые, а определить двумерную кривую, лежащую в параметрической области поверхности, задача обратного формирования инструментальной образующей превратится в гармонические разложения ряда Фурье. Взяв за основу косинус-преобразование Фурье Cc(v)sFc[f(t)] и синус-преобразование Фурье Cy(v)=Fy[/(Y)] матрицу определения можно убрать из расчётного алгоритма, так как номера опорных вершин превратятся в соответствующие весовые коэффициенты полюсов порционной поверхности. Такая поверхность обладает рядом специфических свойств, заключающихся в упрощении построения алгоритмов связанных с объединением поверхностей математической модели в единую поверхность и перетеканием рёбер, определяющих обрезку поверхностей в образующие кривые порций обратной видовой области определения. Таким образом, получается, что математическая модель лишается неопределённости связей в узловых вершинах, то есть когда в одной вершине сходится несколько поверхностей, становится возможным однозначно определить направление отступа инструмента.

Основная потребность топологической структуризации геометрических элементов модели возникает на этапе технологической подготовки управляющих программ (УП). Для задания геометрии граней топологической структуры твёрдотельной модели изделия, необходимо выбрать единую типовую зависимость. Такая зависимость наиболее удобна в виде двупараметрической области x(u,v)

у(и, v), где и е [м0; Щ ] v е [v0; vt ]. Для переходных порций зафикси-z(u,v)

S(u,v)~ руем:

S(u,vcom) = Cv (").Silicons,,V) = Си (V) . (8)

Если параметрические ряды граничных условий свести к конечной последовательности порций, то:

иуе[у0;у,;...;уу-]. (9)

Совмещённую картину можно выразить следующим образом: и е [м0;"1], V е [у0; ¿4)1 («»V), и € [и0\щ], V е у2]

и е ["ь«2]> ^ е [У0;

И € [и^и2\ V € [УьУ2]

S(u,v) = -

S\j(u,v), и е [ц-.мг], V е [v;;v

5fo(«»v), u € K;ui+1], V € [v0;v!3 -S'/iCw.v), м e [м/;м/+1], v € [vi;v2]

Syfav), и <= [щ;им], v e [vy;vy+1].

(10)

Совместим (10) и (8), выберем граничные изопараметрические кривые: c0vM (и),ие[и0;щ] С1у^(и),ие[щ;и2] C2v (м),ие[м2;"з1

(П)

00 =

Civma(.u)'ue[uhui+\]

Co^CvXvsfvoiv,] Cv), v e [v!;v2]

C2u^(v),ve[v2;v3]

(12)

В графическом виде отобразим представленное математическое обеспечение в формулах (11) и (12) на рис. 4. Видно, что порция поверхности окружена условными изопараметрическими кривыми. Из этих 4-х кривых каждая имеет своё описание и вершины. Переход к уровню обобщённого представления изо-параметрической порции необходимо проделать на основе (11) и (12), разделив их на два частных случая, каждый из которых имеет только по одному ненулевому коэффициенту.

Рис.4

Представим:

1 п 2тс 2 к

*(") = гах0 + Ц(ахк С05(к —-и)+ Ьхк —■ и))

1 к=\ 1 1

1 и 2 к 2 к

у(и) = -ау0 + ^ауксо<к^-и) + Ьукьт{к—-и)) , (13)

1 к=\ 1 1

1 и 2 п 2 тг <») = ~аго + Е(а1к —-и)+ ЬЛ вш(Л--и))

2 Ы 1 г

где

ахк I х(т)соа(к^т)с1т

Ъхк=^ ¡^х(ф\п(кут)с1т

~2 Г

2 2 2к

~2 Т

~2 Г

2 2 2тг

Ьгк Ю^угуг

Ле[0;и]

Кроме того:

С(у) =

1

1

+-ЬуУа • V + 0(0) ,

(14)

n = <Щ.ахк)

Ы

bvxa n = *(Zbxk)

k=1

n =<lLayk)

Ы

n = <Tbyk)

k=1

<4 n = *CZa2k)

k=\

= т{Ъгк) k=\

7се[0;и]

где л=1 . Для представления поверхностной порции в ито-

ге рассмотрим упрощения интегральной связи для ухода 0(0). Для этого объединим (14), (13) и (9) получим:

С(») =

X(v) = iv(x(f| ) - х(ий )) + x(ltg )

^(v) = rv(>(tí| )-X"0 ))+X"0 ) z(v) = tv(z(u¡ )-z(uo))+z(«o )

(15)

r 1 1 1 1 , „

где re[—;—;—;•••;-]. Тогда для переходной порционнои поверхности,

vo v, v2 vj+1

основанной на и и v кривых можно представить следующий вид:

S(u,v)=

1 " 2л

*("> v) = т Ко + "feo ~ flx0)) + Z ((ахк + п(схк - ахк)) • eos (к—и) + 1 *=1 '

+ (Ьхк +Tv(dxk -bxk))-ún(k~u)

y(u,v) = UayQ+rv(cy0-ayQ))+Y,((t>yk+™(cyk ~ayk))-cos(k^-u) + > (16)

jui

2л

+ (byk + ™(dyk ~byk )),S]n(k—u)

I " 2л

z(w,v) = -(aí0 +п(сг0 ~аг0))+ £((йг* + ™(сгк ~azk ))•««(*-—и) +

Ы 2л

+ (bzk + n>(dtk - blk)) ■ sin (к—u)

т г

ахк ~~ \ *|(*)со8(&уг)<Мхкв|; ^Х[(г)%ш{кЩ-т)<1т

~2 ~2 г г

Схк=~ \ хг(т)со5(к^-т)(1г,с1хк=^; / хг(т)жх{к^т)<1т

I т 1 I у 1

~2 ~2 Г Г

аук \ У1Ю^^ 1ГЫ = Ь I ЛООяпФ^Г*)'*т

•, &е[0;лх]

2 г

2 Г

где

ке[0;п2]

2 2 2;г 2 ^ 27Г

Т "I

11 Г

~2 ~2 Г Г

СгА: ^гг(т)со%(кЩ-т)йг,= ^ \^г{т)ып(кЦ-т)<1г

~ ~2 Таким образом, вся топологическая структура математической модели детали будет представлена геометрией, описываемой разработанным математическим аппаратом на основе (13) и (16). Исходя из вышеописанных условий формирования геометрических структур, модель детали однозначно определена и имеет единую форму представления, что и является решением основной проблемы при формировании траекторий обработки.

В третьей главе представлены алгоритмы, лежащие в основе алгоритмического обеспечения, которое используется некоторыми программными продуктами отечественных разработчиков. Эти алгоритмы преобразуют разработанное и описанное выше математическое обеспечение в вид, с которым оперирует программное обеспечение. Другими словами, посредством разработанного алгоритмического обеспечения осуществляется переход от классической математики к программной математике. Алгоритмическое обеспечение, после математического обеспечения, является наиболее ответственной частью любого программного продукта. Оно объединяет в себе всю точность математического обеспечения и его сложность. Именно алгоритмическое обеспечение отвечает в целом за правильную работу программных продуктов.

Для получения математической модели применяются следующие алгоритмы:

1. алгоритм формирования топологических граничных условий с переходными коэффициентами;

2. алгоритм вероятностного анализа топологических структур модели для вы-

бора типа доопределения;

3. алгоритм формирования матрицы коэффициентов а, b и с для вероятностно-

го моделирования совмещения граничных условий и условия чётного, нечётного или смешанного доопределения (рис. 5), где: 4,Я„С, - промежуточные матрицы совмещения граничных условий и условия доопределения;

4. алгоритм формирования матрицы точностной корректировки математической модели детали с учётом совмещённого доопределения при непрерывной и кусочной аппроксимации;

5. алгоритм математического анализа и дискретизации синхронного расчёта матриц аналитических зависимостей для поверхностей и кривых.

В основе алгоритмического обеспечения для представления геометрических данных для программирования обработки на станках с ЧПУ лежат два главных алгоритма:

1. алгоритм прямого конвертирования данных из VDA FS/STEP/IGES файлов для линейных и ветвящихся информационных потоков;

2. алгоритм обратного конвертирования данных в файлы форматов VDA FS/STEP/IGES для ветвящихся информационных потоков.

В четвёртой главе рассмотрены методы обеспечения точности обработки при многокоординатном фрезеровании. Для этого вида обработки возникает ряд принципиально новых задач, которые можно разбить на три основные группы:

1. обеспечение максимальной скорости обработки и сокращение сроков выпуска готового изделия;

2. сокращение количества технологических операций над изделием за счёт повышения точности промежуточных этапов обработки;

3. повышение эффективной геометрической точности изделия для обеспечения гибкости конструкторского моделирования и снижения количества бракованных деталей.

Объяснений возникшим задачам несколько. В первую очередь, это продиктовано требованиями качества, предъявляемых к изготавливаемым деталям, а также постоянное стремление к сокращению времени их изготовления. С другой стороны, наблюдается рост количества многокоординатного станочного оборудования, используемого в машиностроительной отрасли. Причём эта динамика происходит не только за счёт обновления производства современными станками, а также вследствие модернизации существующего станочного парка. Что позволяет на 3-х, 4-х координатном оборудовании, заменив систему управления повысить координатность до 5-ти одновременно управляемых осей и производить обработку деталей с пространственно-сложными поверхностями (ПСП) за один установ. Вторым критерием использования 5-ти осевой обработки является сокращение серийности выпускаемых изделий, но при этом повышается суммарная номенклатура, что приводит к необходимости реализации гибкого производственного цикла.

Формирование матриц совмещения коэффициентов граничных условий и коэффициентов чётного, нечётного и смешанного доопределения

/•О ««1 Ы т-0

с,=р(а,++•■р■ в,)

/«О тш\

•ТЩЦ _ { _

Ы

4 = с,=

+ Ку +А,-В,

ы

РА = -К., =» РВ, = в;-±±кт]-к,„ =>

/•о мц) ;-о »«О

рс< - -

^=(РА,/щ)чт(к, ■Х)=ь¥1=(РВ1/со1)-со${км

с,={рс,/*),)-^, ■ л,)-соз(л:, • а,)

хво«^-*^ -О))

/•О 1*0

_ и / и

Ы «М А»1

с/=Е#5>*<>5

/•о «г»0 1*0

Формирование матриц коэффициентов а и Ь

КО 1-0

Цвт^гс^-/ -А~'лТ

У1

V «-о /

" " / I— —г —1—г

-л В

ст»0

р <"у_

7 I--г —|—г

-»Двт^гс/я^-С -С С

кх

ХСОБ-

Л.1-л

. Ьг хеш*

£

У-"

^ ж-0

. ¿я-

Х81П=—=

Рис.5

Решение подобных задач продемонстрируем на примере расчёта УП для деталей с ПСП, выполненных в системе Т-Йех ЧПУ.

Пространственная сложность поверхностей рассматриваемых деталей определяется следующими особенностями (рис. 6):

1. геометрическая сложность. Детали состоят из поверхностей двойной кривизны. Это не позволяет при расчёте траектории движения инструмента использовать метод проходов, подобных ограничивающим путям. Необходимо знать координаты точек на поверхностях и направления нормалей в них для точного расчёта координат положения и наклона инструмента;

2. технологическая сложность. Взаимное расположение поверхностей с образованием «теневых зон» и сужениями. Наклон инструмента в этом случае необходимо задавать так, чтобы исключить задевание периферийной частью инструмента других поверхностей;

3. геометрическо-технологическая. Соотношение геометрических размеров элементов детали (например, высота и толщина лопатки) не позволяет использовать постоянные технологические параметры (припуск на обработку). Переменная жёсткость в зависимости от высоты лопатки заставляет учитывать это влияние при расчётах УП.

В систему Т-Р1ех ЧПУ встроены специализированные функции, которые разработаны с использованием математического и алгоритмического аппарата, представленного в данной работе. Кроме того, эти функции позволяют учесть особенности, описанные выше. К ним относятся:

- расчёт траектории движения инструмента по объединённой поверхности;

- способы задания угла опережения инструмента;

- переменный параметрический припуск.

Лучшими показателями эффективности применения приведённых специализированных функций, реализованных в системе Т-Р1ех ЧПУ, являются изготовленные детали с их использованием (рис. 7).

Хотелось бы подчеркнуть пользовательские преимущества рассмотренных выше возможностей.

1.Простота. Минимальное количество геометрических элементов необходимо выбрать при разработке стратегии обработки

2.Геометрическая точность. Формообразование реализовано с использованием эквидистантных поверхностей.

3.Технологическая гибкость. Задание ориентации инструмента в зависимости от технологических особенностей обработки деталей.

4.Точность обработки. Учёт заданных требований точности геометрических размеров.

Рис. 6

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. В работе решена новая научная задача топологического моделирования поверхностей деталей на основе аналитических сплайн функций.

2. Для автоматизации программирования обработки сложных деталей на станках с ЧПУ необходимо развитие и совершенствование метода описания геометрической информации на основе аналитических сплайн функций, который сочетает в себе преимущества точного и приближённого способов работы с такой информацией.

3. Система представления геометрических данных для моделирования траекторий требует разработки методов построения топологических моделей.

4. Топологические модели поверхностей деталей должны определять связи на основе аналитических сплайн функций.

5. Получен ряд аналитических зависимостей для построения непрерывной аппроксимации свободных поверхностей аналитическими сплайн функциями в топологических моделях геометрической информации, обеспечивающих расчёт функциональных матриц разделяющих задачу обработки деталей в целом на обработку габаритных структур, входящих в состав обрабатываемой детали.

6. Показано преимущество использования топологических моделей на основе аналитических сплайн функций при моделировании обработки свободных и комбинированных технических поверхностей по сравнению с моделированием обработки таких же поверхностей при помощи стандартных сплайн функций (полиномиальных сплайнов, NURBS - сплайнов, сплайнов Безье, бикубических сплайнов), которое заключается в уменьшении погрешности моделирования и сокращении времени обработки.

7. При использовании существующих алгоритмов необходимо оптимизировать их к расчётной математике для топологического построения связанных моделей поверхностей деталей, что позволит расширить диапазон их применения.

8. Для оригинальной математики программирования обработки на станках с ЧПУ, необходимо разрабатывать свои алгоритмы в сочетании с существующими, что обеспечит наиболее полное использование разработанного оригинального математического обеспечения и переход от него к программной математике.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В РАБОТАХ:

1) Пирогов В. В., Пирогов И. В., Синельников А. А., Щеглов Д. В. Некоторые вопросы, возникающие при реализации функции "OFFSET" в интегрированных CAD/CAM-системах. // V Международная научно-техническая конференция по динамике технологических систем. Тезисы докладов. Том I. -Ростов-на-Дону: ДГТУ, 1997. С. 99-102.

2) Щеглов Д. В., Пирогов И. В., Пирогов В. В., Синельников А. А. Некоторые вопросы организации информационного обеспечения CAD/CAM-систем. // V Международная научно-техническая конференция по динамике технологических систем. Тезисы докладов. Том I. - Ростов-на-Дону: ДГТУ, 1997. С. 102-104.

3) Синельников А. А., Пирогов И. В., Пирогов В. В., Щеглов Д. В. Модуль конвертирования интегрированной CAD/CAM-системы для малогабаритных станков. // V Международная научно-техническая конференция по динамике технологических систем. Тезисы докладов. Том I. - Ростов-на-Дону: ДГТУ, 1997. С. 104-106.

4) Пуш А. В., Милькин А. В., Пирогов В. В., Пирогов И. В. Обеспечение точности проектирования свободных поверхностей. // Проектирование технологических машин. Сборник научных трудов. Выпуск 17 - Москва, издательство «Станкин», 2000. С. 23-35.

5) Пирогов И. В., Пирогов В. В., Степанов А. В. T-FLEX ЧПУ - новый продукт фирмы «Топ Системы» для подготовки управляющих программ. - «САПР и графика», №7 2000. С. 71-75.

6) Мазурин А. Г., Пирогов И. В., Пирогов В. В. Раскрой материала и ЧПУ - обработка на базе T-FLEX CAD. - «САПР и графика», №10 2000. С. 39-43.

7) Пирогов В. В., Пирогов И. В., Степанов А. В. Новые возможности T-FLEX CAD/CAM при обработке сложных деталей. - «САПР и графика», №5 2001, С. 73-75.

8) Пирогов И. В., Пирогов В. В., Степанов А. В., Магас А. В. Стратегия современного производства на базе системы T-FLEX ЧПУ. - «САПР и графика», №7 2002, С. 56-60.

9) Магас А. В., Пирогов В. В., Пирогов И. В., Степанов А. В. Новые возможности T-FLEX ЧПУ 8.0. - «САПР и графика», №7 2003, С. 24-26.

10) Чекарьков Д. М., Хоменко Ю. Г., Калинин А. А., Пирогов И. В., Пирогов В. В. Опыт внедрения и эксплуатации системы T-FLEX ЧПУ при производстве деталей со сложными поверхностями. - «Компрессорная техника и пневматика», №5/август 2003, С. 30-35.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Пирогов Владимир Викторович

Топологическое построение связанных моделей поверхностей деталей на основе аналитических сплайнов для программирования обработки на станках с ЧПУ

Лицензия на издательскую деятельность ЛР №01741 от 11.05.2000 Подписано в печать 10.11.2004. Формат 60х90'/|б Уч.изд. л. 1,5. Тираж 50 экз. Заказ № 209

Отпечатано в Издательском Центре МГТУ «СТАНКИН» 103055, Москва, Вадковский пер., д.За

РНБ Русский фонд

2007-4 18133

ВВЕДЕНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ t

1.1 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ НЕКОТОРЫХ МЕТОДОВ ПРОЕКТИРОВАНИЯ МОДЕЛЕЙ ДЕТАЛЕЙ И ИХ ОБРАБОТКИ? 8:

1.2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ; ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ДАННЫХ В ФОРМАТЕ VDA FS 22 :

1.3 ОПИСАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ДАННЫХ В ФОРМАТЕ STEP

1.4 ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ?

ГЛАВА 2. ИЗМЕНЯЮЩИЕСЯ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ КРИВЫХ ПРИ СОЗДАНИИ? ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СТРУКТУР МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЕТАЛЕЙз

2.1 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СТРУКТУР ПРИ'

СОЗДАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОБРАБОТКИ ДЕТАЛЕЙ:

2.2 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ТОПОЛОГИЧЕСКИМИ СТРУКТУРАМИ С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ОПИСАНИЕМ

2.3 ОПИСАНИЕ БАЗОВОГО ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ЭЛЕМЕНТА ДЛЯ г ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГРАНЕЙ ДЕТАЛИ

2.4 СТРУКТУРА ЕДИНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ ОПИСАНИЯ ПОРЦИОННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

2.5 ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

ГЛАВА 3. БАЗОВЫЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ ТОПОЛОГИЧЕСКОГО

ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ НА ОСНОВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ

СПЛАЙНОВ

3.1 НЕКОТОРЫЕ АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ СВЯЗАННЫХ

МОДЕЛЕЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ

3.2 АЛГОРИТМИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЛЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ДАННЫХ

3.3 ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

ГЛАВА 4. МЕТОДЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТИ ОБРАБОТКИ С УЧЁТОМ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЕЙ МНОГОКООРДИНАТНОГО ФРЕЗЕРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ?

АНАЛИТИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ

4.1 СОЗДАНИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕДИНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ДЛЯ РАСЧЁТА ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ ИНСТРУМЕНТА

4.2 РАСЧЁТ ТРАЕКТОРИЙ ДВИЖЕНИЯ ИНСТРУМЕНТА С УЧЁТОМ ОСОБЕННОСТЕЙ МНОГОКООРДИНАТНОГО ФРЕЗЕРОВАНИЯ

4.3 ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

За последние несколько лет резко возрос объём проектно - конструкторских и проектно - технологических работ. Это связано прежде всего с тем, что отечественные предприятия смогли адаптироваться к современным условиям работы; Новый менеджмент предприятий увеличивает количество заказчиков, а следовательно расширяется номенклатура выпускаемых изделий. При этом проходит очень большое число модификаций этих изделий, но в целом: серийность, то есть количество одного выпускаемого наименования, уменьшается. Одновременно с этим, резко сократилось число высококлассных станочников, но появились молодые специалисты. Они с одной стороны активно перенимают накопленный опыт и знания «старой гвардии», а с другой,стороны, свободно работают с современными вычислительными средствами. Кроме того, всё более актуальными, становятся проблемы увеличения, производительности труда разработчиков новых изделий, сокращения; сроков проектирования, повышения качества разработки проектов, решение которых определяет уровень научно - технического прогресса общества.

Всё это является определяющим фактором для активного использования в; современном производстве станков с ЧПУ, а это в свою очередь увеличивает потребность в. автоматизированных CAD/CAM системах. Также необходимо отметить, что произошло очень существенное сокращение • времени, отводимого на подготовку производства. Это ещё один довод в пользу CAD/CAM систем, так как разработка, и отладка электронной, модели изделия; и* управляющей? программы в соответствии с созданной электронной моделью и технологией изготовления изделия являются одним из важнейших этапов подготовки производства.

Ещё больше перечисленные проблемы усугубляются при производстве деталей с пространственно - сложными поверхностями. Это связано с существенными ограничениями технологических решений, применяемых при обработке, которые в свою очередь вызваны функциональными возможностями существующей инструментально - станочной базы.

Анализ систем, который проводится на предприятиях, позволяет сформулировать ряд требований к программным продуктам данного типа:

- система должна строиться по модульному принципу. Это означает, что различные части (или единицы) системы достаточно независимы от системы и друг от друга. Вообще система может быть разделена на ядро и состыкованные модули;

- ядро должно управлять функциями других модулей. Это означает, что все сервисные (или мы можем называть их клиентскими) функции автономны;

- стыкуемые модули обладают собственным математическим обеспечением, отвечающим, в том числе, за: геометрическое проектирование, постпроцессирование и другие функции;

- на уровне реализации все модули, сделаны как DLL (динамические библиотеки связи). Пользователь может добавлять новые пользовательские функции, то есть свои собственные DLL модули. Это очень эффективно: пользователь не делает существенных изменений в ядре, и в то же время может реализовать именно те функции, в которых он действительно нуждается.

Целью работы является повышение эффективности процесса проектирования обработки и обеспечение точности обработки поверхностей изделий на основе использования топологических моделей аналитических сплайн-поверхностей.

В работе решаются следующие научные задачи:

- разработка способов определения геометрических характеристик составных элементов математической модели детали при задании топологических структур связи на этапе описания проектных связей;

- разработка алгоритмического обеспечения топологического моделирования многосвязных математических моделей с применением аналитических сплайн функций;

- подготовка исходных расчётных математических моделей примитивов, используемых для реализации топологических структур детали на этапе поверхностного и твёрдотельного описания;

- определение методов вспомогательного аппарата вероятностных алгоритмов дискретизации модели математических объектов с учётом минимизации расчётного времени затрачиваемого на подготовительных этапах структурирования;

- разработка программной реализации математической модели топологических структур геометрических объектов с использованием расчётных алгоритмов аналитических сплайнов.

На защиту выносятся следующие основные положения:

- подготовленные расчётные математические модели примитивов для реализации топологических структур детали;

- информационно-алгоритмическое обеспечение топологического моделирования с использованием аналитических сплайнов;

- методы использования вероятностных алгоритмов на этапе структурирования математических объектов;

- программные функции реализующие математические модели топологических структур геометрии деталей с использованием аналитических сплайнов.^

Методы исследования. В работе использовались основные положения технологии машиностроения, методы системного анализа, методы структурного анализа, основные методы вычислительной геометрии, основные положения теории сплайнов и ряд других научных методов и теорий.

Научная новизна состоит в:

- разработке способа задания топологии связанных моделей поверхностей путём аппроксимации их аналитическими сплайнами;

- разработке метода представления геометрических данных топологических структур по моделям поверхностей деталей;

- разработке математического аппарата описания, модификации и хранения топологических моделей поверхностей для программирования обработки на станках с ЧПУ.

В результате исследований сущности процесса проектирования обработки на станках с ЧПУ разработана непрерывная и кусочная аппроксимация аналитическими сплайн функциями высокого порядка позволяющая с высокой степенью точности приблизить геометрический образ изделия к его техническому прототипу.

Практическая полезность заключается в:

- разработке комплекса алгоритмического и программного обеспечения для функционирования в составе интегрированной CAD/CAM - системы;

- методики построения топологической модели в модифицированной интегрированной CAD/CAM - системы для эффективного проектирования процесса обработки поверхностей деталей, в том числе пространственно -сложных;

- обеспечении регламентированной точности за счёт использования топологических моделей аналитических сплайн функций при проектировании процесса обработки.

Реализация результатов работы. Данная работа проводилась в рамках программы «Межотраслевое научно-техническое сотрудничество Минпромнауки России и Минобразования» по теме «Разработка эскизного проекта и опытное внедрение интегрированной системы конструкторско-технологической подготовки производства и изготовления изделий».

Апробация работы. Основные положения и результаты работы представлялись на «V Международной научно-технической конференции по динамике технологических систем» в г. Ростове-на-Дону в 1997 г., на научном семинаре «Информационные технологии НИЦ АСК в машиностроении» в ОАО «Научно - Исследовательский Центр Автоматизированных Систем Конструирования» в г. Москве в 1998 г., а также, начиная с 1999 г., на ежегодных семинарах «Российский программный комплекс Т-FLEX» в г. Москве.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ ПО РАБОТЕ

Для достижения цели, сформулированной; в первой главе работы, был проведён ряд, исследований и разработана методология топологического моделирования для использования в прикладных задачах по расчёту траекторий при; подготовке управляющих программ, что позволяет сделать следующие выводы:

1. В работе решена новая научная задача топологического моделирования поверхностей деталей на основе аналитических сплайн функций.

2. Для автоматизации; программирования обработки? сложных деталей на станках с ЧПУ необходимо развитие и совершенствование метода описания; геометрической информации на основе аналитических сплайн функций, который сочетает в себе. преимущества точного и; приближённого способов работы с такой информацией.

3. Система представления геометрических данных для; моделирования траекторий требует разработки методов построения: топологических моделей.

4. Топологические модели поверхностей деталей должны определять связи на основе аналитических сплайн функций.

5. Получен ряд аналитических зависимостей для построения непрерывной аппроксимации свободных поверхностей аналитическими сплайн функциями в топологических моделях геометрической информации, обеспечивающих расчёт функциональных матриц «разделяющихзадачу обработки деталей в целом^ на обработку габаритных структур, входящих в состав обрабатываемой детали.

6. Показано преимущество использования топологических моделей на основе аналитических сплайн функций при моделировании обработки свободных и комбинированных: технических поверхностей по сравнению с моделированием обработки таких же поверхностей при помощи стандартных сплайн функций (полиномиальных сплайнов, NURBS - сплайнов, сплайнов Безье, бикубических сплайнов), которое заключается в уменьшении погрешности моделирования и сокращении времени обработки.

7. При использовании существующих алгоритмов необходимо оптимизировать их к расчётной математике для топологического построения связанных моделей поверхностей деталей, что позволит расширить диапазон их применения.

8. Для оригинальной математики программирования обработки на станках с ЧПУ, необходимо разрабатывать свои алгоритмы в сочетании с существующими, что обеспечит наиболее полное использование разработанного оригинального математического обеспечения и переход от него к программной математике.

1. Автоматизированное проектирование и производство в машиностроении, под редакцией Ю. М. Соломенцева, В .Г. Митрофанова М.: Высшая школа, 1986.

2. Н. И. Ахиезер. Лекции по теории аппроксимации М.: Наука, 1965.

3. Л. Баранов, С. Бикулов, А. Ефремов, С. Козлов, Д. Ксенофонтов, С. Кураксин. Т-FLEX CAD новая технология построения САПР, в журнале "Автоматизация проектирования", №1 1996.

4. Н. С. Бахвалов. Численные методы М.: Наука, 1973.

5. Р. Беллман. Динамическое программирование М.: Наука, 1960.

6. И. С. Березин, Н. П. Жидков. Методы вычислений, тт. 1,2 М.: Наука, 1966.

7. С. Бикулов, С. Кураксин. T-FLEX CAD российская параметрическая САПР, в журнале "Компьютер Пресс", №4 1997.

8. В. Г. Болтянский. Оптимальное управление дискретными системами М.: Наука, 1973.

9. А. А. Боровков. Курс теории вероятностей М.: Наука, 1972.

10. В. Вермель, С. Зарубин, П. Николаев. Геометрическое моделирование и программирование обработки на станках с ЧПУ, в журнале "Компьютер Пресс", №4 1997.

11. Д. А. Владимиров. Булевы алгебры М.: Наука, 1969.

12. Ф. Р. Гантмахер. Теория матриц М.: Наука, 1966.

13. И. М. Гельфанд, С. В. Фомин. Вариационное исчисление М.: Физматгиз, 1962.

14. А. О. Гельфонд. Исчисление конечных разностей М.: Наука, 1967.

15. В. Гилой. Интерактивная машинная графика М.: Мир, 1982.

16. Дж. Альберг, Э. Нилсон, Дж. Уолш. Теория сплайнов и их приложения М.: Наука, 1972.

17. Г. Данциг. Линейное программирование М.: Прогресс, 1966.

18. К. Де Бор. Практическое руководство по сплайнам М.: Наука, 1983.

19. С. М. Ермаков. Методы Монте-Карло и смежные вопросы М.: Наука, 1971.

20. Н. В. Ефимов. Квадратичные формы и матрицы М.: Наука, 1972.

21. Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов, В. Л. Мирошниченко. Методы сплайн функций -М.: Наука, 1980.

22. В. П. Иванов, А. С. Батраков. Трёхмерная компьютерная графика М.: Радио и связь, 1994.

23. В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Аналитическая геометрия М.: Наука, 1971.

24. Интегральные уравнения М.: Наука, 1968.

25. Л. В. Канторович, В. И. Крылов. Приближённые методы высшего анализа М.: Физматгиз, 1962.

26. Л. Коллатц. Функциональный анализ и вычислительная математика М.: Мир, 1969.

27. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров М.: Наука, 1973.

28. В. П. Корячко, В. М. Курейчик, И. П. Норенков. Теоретические основы САПР -М.: Энергоатомиздат, 1987.

29. Н. Е. Кочин. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления М.: изд-во АН СССР, 1961.

30. А. Крючков. Новая технология автоматизированного решения инженерных задач, в журнале "Компьютер Пресс", №4 1997.

31. Л. Д. Кудрявцев. Математический анализ, тт. 1,2 М.: Высшая школа, 1971.

32. А. М. Летов. Устойчивость нелинейных регулируемых систем М.: Физматгиз, 1962.

33. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) М.: Физматгиз, 1962.

34. С. Г. Михлин, X. Л. Смолицкий. Приближённые методы решения дифференциальных и интегральных уравнений М.: Наука, 1965.

35. Н. Н. Моисеев. Численные методы в проблемах синтеза оптимальных систем -М.: Наука, 1972.

36. П. С. Новиков. Элементы математической логики М.: Наука, 1973.

37. И. П. Норенков. Введение в автоматизированное проектирование М.: Высшая школа, 1986.

38. И. П. Норенков. Разработка систем автоматизированного проектирования М.: изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1994.

39. У. Ньюмен, Р. Спрулл. Основы интерактивной графики М.: Мир, 1985.

40. А. И. Петренко, О. И. Семенков. Основы построения систем автоматизированного проектирования Киев: Высшая школа, 1984.

41. А. В. Петров, В. М. Чёрненький. Разработка САПР в 10-ти книгах М.: Высшая школа, 1990.

42. Ю. А. Розанов. Случайные процессы М.: Наука, 1971.

43. Б. Саймон. Стиль программирования пользовательский интерфейс WINDOWS 95, в журнале PC Magazine / Russian edition, №9 1995.

44. И. С. Сокольников. Тензорный анализ (теория и применения в геометрии и в механике сплошных сред) М.: Наука, 1971.

45. С. Б. Стечкин, Ю. Н. Субботин. Сплайны в вычислительной математике М.: Наука, 1976.

46. С. Уилкс. Математическая статистика М.: Наука, 1967.

47. Д. К. Фаддеев, В. Н. Фаддеева. Вычислительные методы линейной алгебры -М.: Физматгиз, 1963.

48. Ф. Факс, Mi Пратт. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве М.: Мир, 1982.

49. С. Феферман. Числовые системы. Основания алгебры и анализа М.: Наука,1971.

50. А. В. Фролов, Г. В: Фролов. Операционная система WINDOWS 95 для программистов М.: Диалог - МИФИ, 1996.

51. Функциональный анализ М.: Наука, 1972.

52. П. Халмош. Конечномерные векторные пространства М.: Физматгиз, 1963.

53. Д. Хедли. Нелинейное и динамическое программирование М.: Мир, 1967.

54. Р. В. Хемминг. Численные методы М.: Наука, 1972.

55. В. Н. Четвериков, Э. Н. Самохвалов, Г. И. Ревунков. Базы и банки данных М.: Высшая школа, 1987.

56. Е. В. Шикин, А. В. Боресков. Компьютерная графика М.: Диалог - МИФИ, 1995.

57. Е. В. Шикин, А. И. Плис. Кривые и поверхности на экране компьютера. Руководство по сплайнам для пользователей М.: Диалог - МИФИ, 1996.

58. Г. Шпур, Ф. -Л. Краузе. Автоматизированное проектирование в машиностроении М.: Машиностроение, 1988.

59. Р. Эдварде. Функциональный анализ М.: Мир, 1969.

60. CAD Systeme CATIA, Informationszeitschrift - Stuttgart: 1995.

61. J. Encarnacao. Computer Graphics, eine Einfuehrung in die Programmierung und Anwendung von graphischen Systemen Oldenbourg Munich, 1975.

62. J. Encarnacao, W. Giloi, J. Saniter, W. Strasser, K. Waldschmidt. Programmierungs und geraetetechnische Realisierung einer 4x4 Matrix fuer Koordinatentransforma-tionen auf Computer Bildschirmgeraeten - in Zeitschrift "Rechenanlagen", №51972.

63. Exapt Anwendund, Informationszeitschrift Frankfurt: 1995.

64. J. D. Foley, A. vom Dam, S. K. Feiner, J. F. Hugues. Computer graphics. Principles and practice Addison Wesley Pub. Com., 1991.

65. ICE M Anwendung, Informationszeitschrift- Frankfurt: 1994.

66. ICE Magazin, Informationszeitschrift, №9 November Frankfurt: 1995.

67. W. Kestner. Ueber die Erzeugung und Handhabung graphischer Objekte in digi-talen Rechenanlagen, Ph. D. thesis Technical University of Berlin, 1974.

68. A. Mund. VDA Flaechenschnittstelle (VDA FS), Version 2.0 - Frankfurt: Verband der Deutschen Automobilindustrie, 1987.

69. U. Rembold, В. O. Nnaji, A. Storr. CIM: Computeranwendung in der Produktion -Bonn: Addison Wesley Company, 1996.

70. E. G. Schlechtendahl. CAD Data Interface for Solid Models Berlin: Springer, 1989.

71. W. Strasser. Schnelle Kurven und Flaechendarstellung auf graphischen Sichtger-aeten, Ph. D. thesis - Technical University of Berlin, 1974.

72. Tebis Anwendung, Informationszeitschrift Muenchen: 1995.

73. VDA FS: Flaechenschnittstelle, Version 1.0 Frankfurt: Verband der Deutschen Automobilindustrie, 1984.

74. Y. S. Lee and H. Ji. Surface interrogation and machining evaluation for 5-axis CNC die and mold machining, Int. J. Prod. Res., 1997.

75. S. X. Li and R. B. Jerard. Five axis machining of sculptured surfaces with flat-end cutter, Computer-Aided Design, 1994.

76. S. Marshall and J. G. Griffiths. A new cutter-path topology for milling machines, Computer-Aided Design, 1994.