автореферат диссертации по химической технологии, 05.17.08, диссертация на тему:Термодинамическая оценка эффективности теплообмена. Нелокальный подход

Майков Илья Сергеевич

На правах рукописи

илу

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ЭФФЕК ТИВНОСТИ ТЕПЛООБМЕНА. НЕЛОКАЛЬНЫЙ ПОДХОД.

17 08- Процессы и аппараты химических технологий

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель д т н , проф Каталымов Анатолий Васильевич

Москва 2005

Работа выполнена в Московском государственном универси1е1е инженерной эколо! ии

Научный руководитель доктор технических наук, профессор

Каталымов Анатолий Васильевич Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор

Тимонин Александр Семенович, доктор технических наук, профессор Арутюнов Борис Ашотович

Ведущая организация Российский химико-технологический

университет им Д И Менделеева

Защита состоится «16» июня 2005 года в 14— часов на заседании диссертационного совета Д 212 145 01 в Московском государственном университете инженерной экологии по адресу 105066, Москва, ул Старая Басманная, 21/4, ауд Л-207

С диссертацией можно ознакомиться в библи01еке МГУИЭ Автореферат разослан « » мая 2005 года

диссертационного совета

Ученый секретарь

Бутков В В

Актуальность. С необходимостью практического расчета плотности теплового потока сталкивается каждый инженер при проектировании теплообменного оборудования Четкое представление о процессе теплообмена, знание методов расчета и оценки эффективности конструкции необходимо для достижения высокого качества проектируемого оборудования или процесса

Новые возможности для достижения этих целей предоставляет нелокальная версия классической термодинамики, освоение и развитие которой в области обменных процессов, как показывает настоящая работа, является актуальной

Нелокальная версия термодинамики (НВТ), применительно к тепло и массообменным процессам в последние годы успешно развивается в Московском государственном университете инженерной экологии.

Основная идея этого направления заключается в том, что квантованным является не только микромир (квантовая механика), а также и понимаемый нами классически макромир (нелокальная термодинамика).

В этом отношении макроквантование является, как бы, дополнительной процедурой к микроквантованию квантовой механики со своими особенностями Эти особенности заключаются в необходимости перехода от математически бесконечно малых величин к физически предельно малым значениям макроскопических параметров

В работе на этой основе формулируется термодинамическая оценка эффективности теплообменных аппаратов

Цель работы. Отыскание аналога КПД классической термодинамики в нелокальном подходе

Научная новизна. В теорию теплообмена введен новый термодинамический параметр - теоретически предельная плотность теплового потока в условиях термодинамически линейной задачи Найденная плотность теплового потока обеспечивает максимальную передачу теплоты от стенки к флюиду при максимальной загруженности поверхности теплообмена

Практическая значимость работы. На основе теоретических и экспериментальных исследований в работе показана практическая

I КИ&ЛИОТЕКА

! ¿"чяйг}

значимость введенной термодинамической оценки для характеристики режимных и конструктивных параметров теплообменной аппаратуры В рамках особенностей настоящей работы была разработана методика для проведения лабораторных работ

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических конференциях

1 Математические методы в технике и технологиях XV Международная научная конференция, Тамбов, Тамбовский государственный технический университет, 2002 г

2 Математические методы в технике и технологиях XVI Международная научная конференция, Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский государственный технологический институт, 2003 г

3 Инженерная защита окружающей среды V Международная конференция, Москва, Московский государственный университет инженерной экологии, 2003 г

4 Математические методы в технике и технологиях XVII Международная научная конференция, Кострома, Костромской государственный технологический университет, 2004 г

Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в шести публикациях

Структура и объем диссертации. Работа объемом 101 страница состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений

Содержание работы

В первой главе, которая называется «Плотность теплового потока, как объект исследования» показано, что новые возможноеIи получения термодинамических оценок эффективности теплообмена появились сравни 1ельно недавно вместе с разработкой расширенной версии термодинамики на основе дискретных свойств энтропии Традиционно, речь шла всегда об интенсивности процесса теплообмена, как правило, без четких граничных оценок предельных термодинамических возможностей такой интенсификации В связи с этим литературный обзор работы был призван познакомить читателя в первую очередь с особенностями расширенной версии термодинамики, поскольку речь идет о термодинамической оценке плотности теплового потока В гла-

ве выделены работы Адиутори, который, по-видимому, первым обратил внимание на важность этого понятия в практике расчета теплооб-менного оборудования

Элементы теории теплопередачи с использованием коэффициентов теплообмена для характеристики интенсивности процесса хорошо известны и в работе не рассматриваются

Таким образом, в обзоре изложены известные из литературы предпосылки методологического характера, которые легли в основу работы или с ней связаны К ним относятся имеющиеся в литературе оценки плотности теплового (массообменного) потока в идеальном газе (М Трайбус) и принятый в работе подход нелокальной термодинамики

Основная идея НВТ сводится к введению гипотезы о квантован-ности энтропии с квантом равным постоянной Больцмана - к Эта гипотеза позволяет ввести элементарную термодинамическую энергию -кТ. Далее используются два соотношения неопределенностей квантовой механики, записанные со знаком равенства (рассматривается термодинамическое равновесие)

АЕМ = П/2 (1)

ДрДх = /г/2 (2)

Использование АЕ=кТ в соотношении неопределенностей (1) позволяет установить для макроскопических процессов минимальный интервал времени, зависящий только от температуры Й

А/ =--(3)

2 кТ

(например, при Г=293 К А? = 1,3-10"14с)

Энергии кТ можно поставить в соответствие эквивалентную массу (ш=кТ/с', отвечающую некоторой псевдочастице - кванту коллективного возбуждения Полагая в соотношении неопределенностей Гейзенберга (2) Ар=Атс, Ах=сА( (с - пока неизвестная скорость псевдочастицы), убеждаемся, что возбуждение распрос граняечея со скоростью света в вакууме с

Радиус г и объем V возбуждения в среде за характерное время А/ составляют.

сЬ.

г = сД/ =--(4)

2 кТ

V = — Дг1 = 3

я-

ч~6/

с/г

(5)

(например, при Т= 293 К г= 3,9-Ю"6 м, К = 2,5-КГ16 м3)

Объем К, полученный с использованием минимальных величин АЕ, АI по физическому смыслу является минимальным макроскопическим (максимальным микроскопическим) объемом Например, для газа в нормальных условиях объем К содержит около 10ю частиц 06-лас!ь просфанс1ва, офаничснная эшм объемом, в НВТ получила название макроячейки Макроячейку можно рассматривать как корот-коживущий (мерцающий) физический класгер, своеобразный надмолекулярный уровень в иерархии макроскопической системы.

В макроквантовом подходе принимается, что использование объема V и других полученных параметров (к, А?, Аг и т д ) в соотношениях термодинамики позволяет произвести замену дифференциально малых величин конечными, физически предельно малыми Последние трактуются как неопределенности или макроквантовые флуктуации макроскопических параметров

Существенное отличие вводимых таким образом макроквантовых флуктуаций от классических состоит в том, что они определены лишь для числа частиц в макроячейке Неопределенности параметров макроячейки фасуются как параметры соответствующих псевдочастиц Псевдочастицы участвуют в термодинамическом описании взаимодействия макроячейки с окружением (термостатом) Процессы же внутри макроячейки за исключением приповерхностных деформированных объемов макроячейки в рамках данного подхода относятся к микроскопическим и детально не описываются нелокальной термодинамикой

В результате макроквантовых флуктуаций параметры макроячейки за характерное время А/ отличаются от параметров окружения, и в этом смысле любая равновесная материальная среда неоднородна Такого рода неоднородность приводит к появлению на границе макроячейки с окружением флуктуирующих напряжений и вызывает объемную, а также сдвиговую деформацию приповерхностного объема макроячейки Последние существуют не одновременно, а с характер-

ным пространственным и временным сдвигом Деформация приводит к появлению электрических и магнитных полей, а, следовательно, токов и т.д

Согласование совокупности получаемых соотношений показывает, что состояние термодинамического равновесия можно представить в динамической форме как обратимый круговой процесс (цикл) ненаблюдаемого (виртуального) характера, протекающий в объеме макроячейки V за характерные интервалы времени А/ Цикл образован двумя изотермами и двумя изоэнтропами (4 фазы), причем роль разностей температур и энтропии в цикле выполняют неопределенности этих параметров АТ и А5.

Подробное описание процедуры макроквантования можно найти в монографии Майков В П Расширенная версия классической термодинамики - физика дискретного пространства-времени - М МГУИЭ; 1997.

Далее приведем лишь ряд используемых в работе характерных макроквантовых параметров ранее не упомянутых

Собственная масса макроячейки, кг т - V р, где р - плотность, кг/м3

Минимальное приращение объема макроячейки, м3

А У =

V,

кТ

где V = , |— - коллективная скорость частиц в макроячейке, м/с, V т

СркТ

с ---скорость фононов для газа, м/с,

\Сутр

Ср, Су - изобарная и изохорная мольные теплоемкости, Дж/(кг-К); тр- масса частицы, кг Скорость фононов для жидкости

где Кл - с^р- адиабатический модуль ежа! ия, Н/м2, р- плотность

жидкости, о - поверхностное натяжение, Н/м

Минимальное приращение плотности энергии макроячейки,

Дж/м3

Во второй главе - «Оценка эффективности теплообменных аппаратов Нелокальный подход» - показано, что в отличие от классического подхода, в нелокальной интерпретации термодинамическое равновесие представляет собой динамическое состояние с характерными пространственными и временными масштабами. В таком описании уже в термодинамическом равновесии присутствуют параметры, обычно относящиеся к кинетическим градиенты, скорости, ускорения, интервалы времени и т д , которые при нелокальной интерпретации, строго говоря, носят ненаблюдаемый (виртуальный) характер Отсюда появляется возможность теоретически воспроизвести некоторые термодинамические оценки коэффициентов переноса на динамически равновесной основе

Ниже показан вывод плотное I и теплового потока (с позиций НВТ) от греющей поверхности с температурой Т к газу в условиях близких к равновесному состоянию

Запишем уравнение сохранения энергии

др>- +й&у]=О, д(

где для однородной изотропной среды дг г

или с учетом последнего выражения имеем д( дг г

Одним из приемов нелокальной термодинамики является перевод дифференциальных уравнений к физически предельно-разностной форме, поскольку НВТ не принимает понятие точки (материальной,

пространственной, временной), в качестве объекта реальности Тогда получим'

= 0 (6)

А/ Аг г

Еще раз обратим внимание, что в этом выражении приращения имеют смысл физически предельно малых величин соответствующих параметров согласно свойствам минимальной макроскопической ячейки НВТ

Очевидно, что плотность потока у для макроячейки в равновесных условиях будет минимально возможной, т е у=А/ Кроме того радиус макроячейки г много больше его элементарного приращения (г»Аг)

Тогда в выражении (6)

А]!Аг»1){Г

Учитывая последнее, из (6) получим для плотности теплового потока'

Ар Аг

(7)

А/

Из четырех циклических фазовых состояний макроячейки, проходящих за общее время цикла 4Д^ только в двух из них наблюдается макроскопический перепад температур с последующей передачей флуктуационной энергии ± кТ. Следовательно, однонаправленная передача тепла за счет создания внешней движущей силы может произойти только в одном из четырех пройденных состояний макроячейки Таким образом, неравновесная плотность теплового потока вблизи равновесия должна быть уменьшена в четыре раза (одна результирующая фаза макроячейки из четырех) Аналогичный вывод относительно значения этого коэффициента был сделан ранее для процесса массообмена Заметим, что такие выводы нельзя сделать, оперируя непрерывным временем, т е вне НВТ.

С учетом сделанных замечаний получим плотность теплового потока вблизи термодинамического равновесия и попутно учтем, что, согласно НВТ Ар, = кТ/А V, а также Дг=уД? Следовательно, из (7) имеем'

кТу

3=- (8)

4АУ

Подставляя значения для сформулированных ранее предельно минимальных приращений параметров макроячейки (см стр 5-6) в общую формулу (8), получаем плотность теплового потока вблизи термодинамического равновесия для газа

Представляет интерес сравнить это выражение с плотностью теплового потока полученного M Трайбусом для частного случая идеальною газа Для этой цели подставим в (9) выражение для плотности идеального газа р = PmJkT и теплоемкости Ср - 4R и Су = 3R

Toi да получим выражение для плотности теплового потока в идеальном газе

Сравним частное решение (10) с аналогичной формулой М Трай-бусадля идеального газа, полученной классическим методом

Как видно, структура формул одинакова Различие заключается в том, что в механическом выражении Трайбуса используется масса единичной частицы тр, в то время как в квантово-макроскопическом аналоге, участвует большой ансамбль частиц, составляющих термодинамическую макроячейку

Физически это объясняется тем, что в нелокальной термодинамике основным объектом исследования, как было указано выше, является минимальный макроскопический объем - макроячейка Последняя является граничным элементом, с которого, собственно, начинается термодинамика, как раздел физики

Следует отметить, что формула М Трайбуса не получила распро-с[ранения в расчетной практике Анализ показывает на несопоставимо высокие значения плотности теплового потока в сравнении с экспериментальными данными при обычных температурах

В диссертации также показано, что по аналогичной схеме можно получить плотность теплового потока для жидкости

(9)

(10)

У/ =

4 \гп[

(Н)

Как видно, структура формул (10) и (11) одинакова Остановимся на физическом смысле полученных зависимостей для плотности теплового потока в газе и жидкости

Нелокальная термодинамика, как уже упоминалось, показывает, что выход из равновесного состояния в неравновесное возможен лишь скачкообразно, т е макроячейка может находиться лишь в динамически равновесном (невозбужденном) либо в неравновесном (возбужденном) состоянии Например, для того, чтобы сдвинуть предмет с места и вывести его, таким образом, из равновесия, требуется предварительно приложить к предмету определенную силу

Согласно термодинамическому циклу макроячейки минимальный выход в неравновесную область возможен только на один шаг АТ, который при термодинамическом равновесии означает для макроячейки размер квантовой флуктуации температуры ± А Т. Это соответствует передаче кванта теплоты кТ за дискретное время полного цикла макроячейки 4А/ Режим теплообмена в этой области термодинамически оптимален, поскольку при этом обеспечивается минимальное производство энтропии Это, так называемая, линейная область, находящаяся на границе раздела вблизи равновесия Реально возможно наблюдать работу аппаратов с нагрузками меньшими термодинамически предельных Это объясняется тем, что отдельные участки теплооб-менной поверхности могут находиться в термодинамическом равновесии, т е совсем не принимать учасшя в процессе теплообмена.

Таким образом, полученные выражения для плотности теплового потока в газе и жидкости можно рассматривать, как термодинамически предельные плотности теплового потока для полностью вовлеченной поверхности в процесс теплообмена.

На этой основе был сформулирован тсрмоэкономический КПД теплообменного аппарата

где - экспериментальная плотность теплового потока или средняя плотность теплового потока, рассчитанная классическими методами, Вт/м2,у- предельная плотность теплового потока, Вт/м2

(12)

N

]

В отличие от классического термодинамического КПД полученный критерий оценивает не только энергетическое совершенство системы, но и требуемую при этом поверхность теплообмена (капитальные затраты) Например, классический термодинамический КПД максимален и равен единице при движущих силах, стремящихся к нулю и неограниченно больших значениях поверхности теплообмена Достаточно сказать, что значение нового термоэкономического КПД для сформулированных условий вместо единицы станет равным нулю

Полученными в данной работе результатами можно воспользоваться и в случае применения классических методов расчета для термодинамической оценки правильности выбора осредненных движущих сил в теплообменнике или правильности выбора необходимой поверхности теплообмена

Самопроизвольный процесс перехода системы в состояние термодинамического равновесия называется релаксацией, а время, затрачиваемое на такой переход - временем релаксации Как известно, при измерении времени релаксации никогда не ожидают момента, когда наступает полное термодинамическое равновесие Вместо этого измеряют время, по истечении которого система переходит в какое-то неравновесное состояние, которое, однако, с требуемой точностью может быть принято за равновесное. Это время и принимают за время релаксации Таким образом, во всех случаях речь идет не о точном определении времени релаксации, а о его приближенных оценках

Практически это означает, что время достижения равновесия теоретически бесконечно велико Если быть строгим и перевести это утверждение с языка математики на язык физики, то последнее равносильно противоречивому утверждению, что наиболее вероятное состояние, каким является термодинамическое равновесие, физически не достижимо. НВТ легко объясняет и снимает это логическое противоречие, связанное с концепцией сплошности (непрерывности) принятой в физике Такое положение приводит к естественному использованию движущих сил процесса, которые формально соответствуют бесконечному времени релаксации при стремлении движущих сил к нулю

В работе приведены соответствующие расчетные формулы для условий конечного времени релаксации

Дополнительно, во второй главе продолжено обсуждение проблемы появления бесконечно больших значений параметров в классиче-

ских методах расчета Здесь обсуждается одна из смежных термодинамических задач - появление бесконечно больших значений тепло-емкостей в критическом состоянии вещества с точки зрения классической термодинамики

Эта проблема была перенесена в область НВТ. Критическое состояние вещества, как известно, является наиболее флуктуационным и здесь должны особенно проявляться дискретные свойства НВТ

Запишем значение теплоемкости для макроячейки по определению, имея ввиду критическое состояние

(dQ/dT),:r=Ccr

Перейдем к предельно разностной форме НВТ

{AQ/M\r=Ccr

Пользуясь аппаратом НВТ, для термодинамического равновесия имеем

AQ~kTcr;

A TLr=(Tv2/ch2)cr;

vcr=(kTJmcr)l/2

Для критического состояния справедливо максимальное значение ch=c Скорость тепловых фононов ch тесно связана с энтропией макроячейки Она тем выше, чем больше значение энтропии макроячейки Очевидно, критическое состояние наиболее неупорядоченное и значение энтропии принимает высокое значение С другой стороны классическое решение о бесконечности значения ch требует неограниченно больших скоростей, что физически не допустимо Ограничивая ch предельно физически допустимой скоростью, принимаем ch=c

Обращая внимание па сказанное, теплоемкость макроячейки составит'

с2тс/Тсг

Окончательно, удельная массовая теплоемкость

Например, для воды в критическом состоянии удельная теплоемкость Ссг равна 2,5-1015 (Дж/кг-К), что отличается от значения теплоемкости при нормальных условиях на 18 порядков

Третья глава посвящена экспериментальной проверке метода Экспериментальная проверка проводилась на одном из блоков стенда пластинчатых теплообменников (см рисунок).

На системе воздух-вода (охлаждался предварительно нагретый воздух) снимались обычные для таких исследований показатели входных и выходных параметров потоков На их основе вычислялись традиционным методом средние плотности теплового потока в теплообменнике Полученная на основе эксперимента плотность теплового потока затем сравнивалась с теоретической (10) Смотри таблицу, в которой так же указываются экспериментальные данные, взятые из литературных источников

и

I I !

Рис. Схема экспериментальной установки

Анализ проведенных экспериментов и обработка литературных и экспериментальных данных показал, что, как и ожидалось, рабочие режимы теплообменной аппаратуры соответствуют работе «вблизи» равновесия, те в термодинамически линейной области Этот вывод соответствует исследованиям, проведенным ранее в области рабочих режимов массообменных аппаратов

г а *

Таблица

Результаты расчета термоэкономического КПД на основе экспериментальных данных

Расход воздуха, УУо кг/ч Температура Эксперим плотность теплового потока, /ехр [ВТ/М2] Теор предельная плотность теплового потока, J [Вт/м2] Термоэкономч КПД,/; Средняя движущая сила

на входе, на выходе, С

возд на входе, в\ °С возд на выходе, "С пласт-ы средняя, 1°С

19,1 74 36 22 424 1245 0,34 52 14

19,1 78 40 22 424 1245 0,34 56 18

19,1 80 25 25 614 1277 <0,48 55 «0

19,1 81 42 34 436 1376 0,32 47 8

19,1 81 33 33 536 1364 <0,39 48 «0

20,2 76 20 17 661 1193 0,55 59 3

20,2 75 20 18 649 1203 0,54 57 2

25,9 66 19 19 713 1214 <0,59 47 « 0

25,9 65 20 20 683 1224 <0,56 45

29,5 62 21 21 709 1234 <0.57 41 «0

34,9 59 22 22 756 1245 <0,61 37 «0

34,9 58 21 21 756 1234 <0,61 37 «0

Были обработаны также литературные данные для промышленных теплообменных аппаратов Они показали, что введенные термоэкономический КПД для них составлял 7/ = 0,3 + 0,9

Основные результаты и выводы.

1 На основе нелокальной версии термодинамики (НВТ) показано существование термодинамически предельной (в линейном приближении) плотности теплового потока в температурном пограничном слое

2 Предложена дискретная интерпретация теплообмена в температурном пограничном слое

3 В рамках НВТ показана конечность времени релаксации процесса теплообмена к равновесию Получены соответствующие расчетные формулы

4 На основе предельной плотности теплового потока в температурном пограничном слое сформулирован термоэкономический КПД теплообменника

5 Показана системность критерия - термоэкономический КПД оценивает не только энергетическое совершенство процесса, но и учитывает требуемую при этом поверхность теплообмена. Если классический термодинамический КПД равен единице для теоретического теплообменника с нулевыми движущими силами, то новый критерий оценивает такую конструкцию, как нулевую

6 Оценка предельной плотности теплового потока в температурном пограничном слое апробирована экспериментально на основе собственных и литературных данных

7 Невозможность реального существования бесконечно больших величин (например, времени релаксации) в работе дополнительно подтверждается конечностью значений удельных тсплоёмкостей в критическом состоянии вещества (бесконечно большие значения в классической термодинамике)

Основные обозначения

с - фундаментальная скорость, с = 2,998-108 м/с Cj - скорость акустических фононов, м/с Cfj - скорость тепловых фононов, м/с

Ср, Су - изобарная и изохорная удельные массовые теплоемкости, Дж/(кг-К)

h - посюянная Планка, h = 1,055-10"34Дж-с

] - плотность потока тепла, Вт/м2

jir - плотность потока тепла по М Трайбусу, Вт/м2

к - постоянная Больцмана , к = 1,381 • 10"23 Дж/К

Ks - адиабатический модуль сжатия, Н/м2

т - масса макроячейки, кг

тр - масса частицы, кг

Р - давление, Н/м2

R газовая постоянная, R = 8314 Дж/ кмоль-К г - радиус макроячейки, м Г - абсолютная температура, К / - температура пластины, °С

V - коллективная скорость частиц макроячейки относительно окружения, м/с

V - объем макроячейки, м1 W(i - массовый расход, кг/с

r¡ - термоэкономический КПД в - температура потока, ОС р - плотность, кг/м3

а- поверхностное натяжение на границе с вакуумом, Н/м Подстрочные индексы:

1 - отношение к входному потоку, 2 - отношение к выходному потоку, сг - отношение к критическому состоянию вещества, g - отношение к газовому состоянию, / - отношение к жидкостному состоянию; ig - отношение к идеальному газу, reí - отношение к процессу релаксации, ехр - отношение к эксперименту

Список публикаций

1 Майков И С , Куликова Т А Плотность теплового потока в газе вблизи равновесия Нелокальный подход - Математические методы в технике и технологиях' Сб трудов XV Международ науч. конф Т 1 Секция 1/ Под общ ред В С Балакирева Тамбов' Изд-во Тамб гос техн ун-та, 2002, стр. 97-99

2 Майков И С Расчет теплового потока в щелевом канале Нелокальный подход - Математические методы в технике и технологиях Сб трудов XVI Международ науч конф Т 10 Секция 11/Под общ ред ВС Балакирева Санкт-Петербург Изд-во Санкт-Петербургского гос технол. ин-та (техн ун-та) 2003, стр 24-25

3. Майков И С., Майков В П. О плотности теплового потока Нелокальный подход - Инженерная защита окружающей среды Сб докладов V Международной конференции / Под ред Д А Баранова , H Е Николайкиной - M • МГУИЭ, 2003, стр. 119-120

4 Майков И С , Каталымов А В , Майков В П. Энтропия и теплоемкость критического состояния вещества Нелокальная термодинамика - Математические методы в технике и технологиях' Сб трудов XVII Международ науч конф Т 1 Секция 1 / Под общ ред В С Балакирева Кострома Изд-во Костромского гос технол унта, 2004, стр 186-187

с

Заказ № 730 Подписало в печать 05.05.05 Тираж 100 экз. Усл. п.л. 0,67

ООО "Цифроиичок", тел. (095) 797-75-76 \vw\v сЛ га

IM 08 64

РНБ Русский фонд

2006-4 7616

!