автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Теория и практика выбора квазиоптимальных регрессий в условиях нарушения классических предложений при разработке систем контроля и управления технологическими процессами

МОСКОВСКИЙ ордена ЛЕНИНА и ордена ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

ЛВЕРБУХ Елена Абрамовна

УДК 681.51.015:519.20:681.51.033

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА ВЫБОРА КВАЗИОПТИМЛЛЬНЫХ РЕГРЕССИЙ В УСЛОВИЯХ НАРУШЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ ПРИ РАЗРАБОТКЕ СИСТЕМ КОНТРОЛЯ И УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ

05.13.01 - Управление а технических системах

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва - 1991

Работа выполнена во Всесоюзном научно-исследовательском институте геофизических исследований, контроля и испытаний нефтяных и газоразведочных скважин НПО "Союзпромгеофизика"

Официальные оппоненты: т,о:.'гср техн.:чооках 1кук, академик

Дкг.кин Я.З.

доктор технических нчук, доцент Зчтуев З.А.

•¡.октор техииис.::'их наук, профессор Фрзлоч Л.Б.

Ведущее предприятие: Центральный экономико-математический институт АН РСФСР

Защита состоится ".'-.'", " текп^ря 1991 г. в 16 час!5 мин

в ауд. N МАЗ __ на заседании специализированного совета

Д 053.16.14 при Московском ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции энергетическом институте, 105835 ГСП, Москва Е-250, Красноказарменная, 14

Отзывы н двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 105835 ГСП, Москва Е-250, Красноказарменная , 14, Совет МЭИ

С диссертацией можно с ------------' ' се МЭИ.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета кандидат технических наук

доцент

А.Ф.Бочков

. ■ 3

,. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ. Возрастающие требования к качеству контроля' it' управления технологическими процессами , к темпам разработки и тиражирования АСУ ТП побуждают к алгоритмизации и автоматизации поддержки принятия решений (ПР), в частности, при идентификации объектов управления. Особенно важно решение этой крупной народно-хозяйственной проблемы применительно к статистическим методам исследования и,в частности, регрессионному анализу, на их долю только на стадии проектирования АСУ ТП приходится более 40% трудозатрат высококвалифицированных специалистов.

Вопросы создания гибких информационных технологий статистической обработки данных получили серьезное развитие в трудах советских ученых В.В.Александрова, М.А.Айзермана, Ш. Ю.Раудиса, а также С.Л.Айвазяна, Ю.Н.Благовещенского,Л.Д. Мешалкина (т.н. ABM-технология) и многих зарубежных ученых.

В реальных условиях проведения идентификации по данным пассивного эксперимента ошибки наблюдений входных .переменных, их коррелированность между собой и т.д. приводят к одновременному нарушению сразу нескольких предпосылок использования традиционных методов статистического анализа. Более того условия обучения моделей и их практического использования при тиражировании систем могут существенно различаться по уровню помех из-за различных неконтролируемых факторов. Это делает особенно важным создание гибких робастных технологий идентификации.

Крупный вклад в теорию робастной идентификации, в частности, методами регрессионного анализа внесли советские ученые Ю.П.Адлер, В.П.Бородюк, В.Н.Вапник, В.Г.Горский, Е.3.Демиденко, А.Н. Дмитриев, Н.Г.Загоруйко, А.Г.Ивахненко, В.А.Каминскас, Г.К.Круг, Э.К.Лецкий.В.А.Лотоцкий, В.В.Налимов, М.Л.Петрович, В.С.Пугачев, Н.С.Райбман, Л.А.Растригин, В.В.Солодовников, А.Н. Тихонов, Я.З.Цыпкин, В.М.Чадеев, В.В.Федоров и др.

В то же время большинство отечественных и зарубежных пакетов трограмм по прикладной статистике,таких как ППСА, МАРС, ОТЭКС, 3TATGRAPHICS, SAS, SPSS/PC и другие создавались, в основном, хак инструмент исследователя, работающего в лабораторных условиях, без учета реальных условий обучения и предполагаемого ис-юльзования моделей.Это отрицательно сказывается на результатах IX применения при идентификации объектов управления по следую-цим причинам:

- исследователь, т.е. лицо, принимающее решення (ЛПР), часто не !Нает, какой метод и/или статистический критерий для проверки ^ипотез выбрать и как его выбрать, не нарушая их соответствия

стоящей перед ним задаче и экспериментальным данным, имеющимся в распоряжении; в результате эффективность выбора моделей, несмотря на оптимальные свойства отдельных процедур, оказывается низкой из-за несоблюдения принципов вложенности и согласованности решений, в особенности при нарушении классических предположений ;

- в среднем в 40 - 50 %% случаев ЛПР нечего выбрать (даже при квадратичной фукции риска) , так как конструкции выбора квазиоптимальных регрессий при одновременном нарушении классических предположений и неоднородности данных алгоритмически не полны ;

- время, отведенное на принятие такого рода решений,ограниченно;

- оперативный учет возможного несовпадения условий обучения и предполагаемого использования моделей практически не формализован; это приводит к затягиванию сроков внедрения и тиражирования систем на родственные технологические объекты.

В связи с этим особую актуальность приобретают системные исследования по развитию теоретических и алгоритмических конструкций поддержки выбора регрессий по данным пассивного эксперимента в окрестности оптимальных и,с этой точки зрения,квазиопти-мальных при нарушении классических предположений и созданию на их основе гибкой робастной технологиии идентификации объектов контроля и управления с возможностью оперативной настройки на конкретные условия обучения и использования моделей.

Настоящая работа является обобщением теоретических и экспериментальных исследований широкого профиля, проведенных автором и при его непосредственном участии в рамках Отраслевой программы "Качество" на 1981-1985 гг. и на период до 1990.Г- Министерства электронной промышленности СССР и завершеных во Всесоюзном научно исследовательском институте геофизических исследований, испытаний и контроля нефтяных и газоразведочных скважин НПО "Союзпромгеофи-зика" в соответствии с планами госбюджетных и хоздоговорных работ в рамках общесоюзной целевой научно-технической программой ГКНТ СССР 0.50.03 (задание 03.02.0211), с Постановлением СМ СССР N369 от 06.05.1985 г. "0 мерах по усилению геолого-разведочных работ н нефть и газ" и с планами госбюджетных работ Министерства нефтега зовой промышленности.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Построение единых теоретических принципов и алгоритмически полных конструкций оперативной поддержки выбора квазиоптимальных регрессий с учетом реальных условий их обучения и предполагаемого использования при нарушении классических предположений.

ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ. 5

1. Разработать комплексный подход к развитию процедур оперативной поддержки выбора квазиоптималышх регрессий с учетом условий их обучения и предполагаемого использования при нарушениях классических предположений.

2. На базе этого подхода разработать теоретические основы гибкой технологии идентификации объектов управления по данным пассивного эксперимента и ее настройки на конкретные условия обучения и использования моделей.

3. Разработать взаимно согласованные методы оценивания и мате-матико-статистические критерии для проверки гипотез, необходимые для реализации технологии п.2 и ее настройки при квадратичной функции риска в условиях ошибок в независимых переменных и/или мультиколлинеарности и/или неоднородности данных.

4. Исследовать эффективность предложенных теоретических принципов и алгоритмических конструкций поддержки принятия решении при настройке технологии идентификации и проверить работоспособность на конкретных примерах.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА состоит в разработке на базе единого подхода теоретических и алгоритмических основ гибкой технологии выбора квазиоптимальных регрессий по данным пассивного эксперимента при идентификации объектов управления. Технология впервые характеризуется робастностью по отношению к нескольким источникам возмущений: объективным (ошибкам в независимых переменных и/или мультиколлинеарности и/или неоднородности данных) и субъективным (некорректным и/или взаимно не согласованным действиям ЛПР при выборе алгоритмов на разных этапах идентификации). Полнота алгоритмических конструкций выбора, включая ситуацию несовпадения условий обучения и использования моделей при тиражировании систем, впервые обеспечивает возможность гибкой настройки технологии на очередной объект внедрения.

Наиболее важными результатами, составляющими научную новизну, являются:

- постановка методических задач и построение технологии оперативной поддержки выбора квазиоптимальных регрессий по данным пассивного эксперимента, учитывающей возможные нарушения классических предположений и различия в условиях обучения и предполагаемого использования моделей;

- аналитическое решение базовых математических задач, необходимых для реализации технологии при квадратичной функции риска, возможной неравноточности наблюдений и (или) мультиколлинеарнос-

ти в условиях обучения и использования моделей;

- создание методологии формирования алгоритмически полных и взаимно согласованных конструкций выбора квазиоптимальных регрессий путем унифицированного распространения базовых решений на случай нарушения классических предположений;

- разработка принципиально новых технологий, защищенных авторскими свидетельствами на изобретения, при апробации методологии выбора квазиоптималышх регрессий, а именно: способа дозирования стекольной шихты и способа изменения цвета стекла ,- при создании автоматизированной системы стабилизации качественных показателей стекла и стеклоизделий.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты теоретических и экспериментальных исследований использованы при создании автоматизированной системы стабилизации качественных показателей стекла и стеклоизделий, в частности, подсистемы управления процессом окрашивания электровакуумных стекол: с 1.01.1985 г. она внедрена на всех предприятиях ПО МЭЛЗ в виде стандарта предприятия СТП СУО 005.202-84 при изготовлении экранов кинескопов типа 32ЛК1.2 Ц (100% кинескопов, выпускаемых в СССР) и 61ЛК5Ц (20% кинескопов, выпускаемых в СССР)и на 1.01.1990 г. обеспечила экономию свыше 200 тыс.руб.( в расчете на одну стекловаренную печь).

1.01.1990 г. срок действия стандарта продлен еще на 5 лет.

Результаты исследований использованы при создании новых информационных технологий в геофизике. Их применение для обоснования способа интерпретации геофизических исследований в сложных коллекторах бассейна Северный Кембей (Индия) дало положительные результаты при поиске нефтенасыщенных горизонтов в разведочных скважинах: получены промышленные притоки нефти. Кроме того с положительным эффектом они прошли опытно-промышленную проверку и приняты к внедрению в ПО "Тюменнефтегеофизи-ка" в рамках автоматизированных систем обработки информации геофизических исследований скважин (АСОИГИС) и петрофизической информации (АСПОИГИС). Эти системы ежегодно обрабатывают данные более чем по 60 месторождениям Западной Сибири с целью контроля и управления процессами их разработки и эксплуатации.

Отдельные аспекты работы использованы при проектировании ряда погрузочно-разгрузочных устройств, а также автоматических и автоматизированных устройств дозирования сыпучих материалов, защищенных шестью авторскими свидетельствами на изобретение.

В СООТВЕТСТВИИ С ИЗЛОЖЕННЫМ ЗАЩИЩАЮТСЯ:

1. Комплексный подход к развитию процедур оперативной поддери-

ки выбора квазиоптимальных регрессий при нарушениях классических предположений.

2. Гибкая технология оперативной поддержки выбора квазиоптимальных регрессий по данным пассивного эксперимента с учетом реальных условий их обучения и предполагаемого использования при нарушении классических предположений.

3. Методология формирования алгоритмически полных и взаимно согласованных конструкций выбора квазиоптимальных регрессий на основе базовых решений и их редукции путем:

- рациональной последовательности развития процедур поддержки ПР начиная с выбора метода оценивания параметров;

- обоснованного ограничения класса оценок параметров , струк-турц выборок неоднородных данных пассивного эксперимента, характера различий в условиях обучения и предполагаемого использования моделей, а также типа критериев для проверки гипотез;

- гибкого использования эквивалентных моделей ошибок в независимых переменных: стохастической и детерминированной,- в зависимости от специфики задач, решаемых на различных этапах выбора регрессий;

- единого подхода к распространению базовых решений на случай нарушения классических предположений.

4. Решения базовых математических задач, необходимых для реализации теории п.2 при квадратичной функции риска в виде:

4.1. квазиоптимального метода оценивания параметров регрессии в классе ридж-оценок при неравноточных независимых переменных;

4.2. оригинальных методов оценивания и математико-статистичес-ких критериев для проверки гипотез при отсутствии ошибок в независимых переменных, как-то:

- метода несмещенного оценивания параметров регрессионной модели в условиях мультиколлинеарности с минимальной дисперсией прогноза зависимой переменной в априорно заданной области;

- метода несмещенной регуляризации оценок параметров регрессии;

- Р-критерия для проверки одновременной статистической значимости ш>1 групп некоррелированных между собой параметров;

- Е-критерия для проверки целесообразности смещенного оценивания параметров;

- критерия априорной целесообразности объединения в обучающей выборке неравноточных наблюдений из области обучения и(или) прогноза;

- Г-критерия для проверки прогнозирующей способности модели на экзаменующей выборке наблюдений из области ее предполагав-

мого использования с учетом возможной неполноты априорной ин- / формации об обучающей выборке и (или) неоднородности данных; - модифицированного критерия Янга для выбора наилучшего вида регрессии по суммарной нормированной невязке в среднем квадратичном на обучающей и экзаменующей выборках с возможной неоднородностью данных в условиях обучения и использования модели; 5.Новые технологические схемы и конструктивные решения в системах контроля и управления.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты работы экспонировались на тематической выставке "Физико-химические основы получения новых жаростойких неорганических материалов" павильона "Химия" АН СССР ВДНХ (1984) и удостоены высшей награды ВДНХ СССР - Диплома почета, одной серебрянной (автор) и двух бронзовых медалей; докладывались и обсуждались на Всесоюзной конференции "Автоматизация и роботизация в химической промышленности" (Тамбов, 1986, 1987,

1988); Всесоюзной конференции "Использование ЭВМ в учебном процессе" (Калинин, 1987); Всесоюзной научно-технической школе по геофизическим методам исследований скважин (ВДНХ СССР, Москва, 1987);Отраслевой конференции молодых ученых и специалистов "Повышение эффективности геофизических методов исследований скважин" (Октябрьский, БЛССР, 1988); Всесоюзном научно-техническом семинаре "Новая технология геофизических исследований в нефтегазовых скважинах" (Киев,1988); Научном семинаре "Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов" Научного Совета АН СССР "Оптимальное планирование и управление народным хозяйством" и Постоянной рабочей группы но библиотеке программ Совета по автоматизации научных исследований при Президиуме АН СССР (ЦЭИИ АН СССР, Москва, 1988); Всесоюзной конференции "Математические методы в химии" (Новочеркасск,

1989); IV Всесоюзной конференции "Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценке качества продукции" (Тарту,1989); IX Всесоюзной конференции "Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях"(Москва, 1989); Учредительной конференции Секции статистических методов и их применения в естествознании и технике Ассоциации советских статистиков (Москва,1990); IV Всесоюзной конференции "Перспективы и опыт внедрения статистических методов в АСУ ТП" (Тула,

1990); Научно-техническом семинаре ГФ ВНИНМЛШ (Горький, 1990); Всесоюзной научно-технической школе по глубокому бурению (Тверь, 1990).

ПУБЛИКАЦИИ. По результатам исследований опубликованы болге 55

печатных работ. Из них 9 авторских свидетельств на изобретения, а также 9 научно-технических отчетов.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка используемой литературы из 329 наименований и приложений; содержит страниц основного текста, 15 рисунков'И 18 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ВО ВВЕДЕНИИ обоснована актуальность работы. Конкретизируется класс рассматриваемых объектов идентификации по данным пассивного эксперимента - многомерные объекты, которые описываются стандартной детерминированной моделью множественной регрессии:

У =Г(Хо.Ё)ЬЕ , Г(Хо,ВЬХ0В, (1)

где У - вектор (п х 1) наблюдений случайной зависимой (выходной) переменной; Хо - матрица (п х к) истинных значений неслучайных независимых переменных (регрессоров); В - вектор (к х 1) значений неизвестных коэффициентов модели (параметров); Е - вектор (п х 1) неизвестных значений случайной ошибки, обладающий предполагаемыми свойствами:

Е ~1\1П (О, V) , Ч-йг1п (2)

с характерными нарушениями классических предположений типа:

а) ошибок в независимых переменных:

Х= Х0 + ЛХ . .х« ок (3)

и (или)

б) мультиколлинеарности:

(4)

аапд (Т)* к , 1 = ХТХ.

Показано,что схема (1)-(4)достаточно универсальна,поскольку к ней с помощью известных преобразований приводятся многие распространенные на практике модели объектов идентификации без изменения механизма их выбора.Изложено краткое содержание и приведены новые научные и практические результаты.

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ проанализированы известные способы поддержки принятия решений при выборе квазиоптимальных регрессий по данным пассивного эксперимента. Предложен комплексный подход к их развитию и созданию гибкой технологии идентификации объектов контроля и управления.

Традиционными "технологическими" этапами идентификации объектов контроля и управления являются: формирование обучающей выборки экспериментальных данных; оценивание параметров и анализ "качества" модели на обучающей выборке; формирование независимой от обучающей, так называемой экзаменующей выборки данных; анализ "качества" модели на экзаменующей выборке.

Их эффективность зависит от: - робастности технологии на всех этапах к различным источникам возмущений:

(1) со стороны типового объекта идентификации (например, ошибкам в независимых переменных и/или мультиколлинеарности);

(П) со стороны очередного объекта внедрения системы управления ( дополнительной неоднородности данных);

(П1)со стороны ЛПР (например, неправильной формализованной постановке задачи, нерациональному "управлению" ограниченным объемом данных пассивного эксперимента, нецеленаправленным действиям и(или) некорректному применению методов оценивания и статистических критериев и т.п.);

- гибкости технологии и возможности оперативой настройки каждого ее этапа на решаемую задачу и конкретные условия решения;

- формализованное™ и, следовательно, уровня алгоритмизации и автоматизации настройки технологии выбора регрессий.

Представление настройки технологии идентификации в виде актов выбора соответствующих алгоритмов со сложным многоступенчатым механизмом позволяет формализовать ее в виде многокритериальных задач условной оптимизации и установить основные факторы, определяющие ее эффективность.Исходя из этого предложен комплексный подход к развитию процедур поддержки выбора квазиоптимальных регрессий. Он включает следующие этапы: -Формулировка проблемы и глобальной цели (в!,) идентификации. -Построение генерального дерева целей (вС) для достаточно широкого круга методических задач идентификации; при этом следует ограничиться уровнями иерархии,существенно влияющими на механизм выбора регрессий. Подчиненность уровней должна соответствовать их информативности по отношению к глобальной цели идентификации , а также способствовать редукции алгоритмического обеспечения выбора регрессий.

-Составление формализованного описания внешней по отношению к процессу настройки среды (БЕ).

-Декомпозиция процесса принятия решений как сложной динамической системы с К разновременно выполняемыми функциями выбора.

-Построение подчиненного дерева целей (GCÍL) для каждого í-ro из Н этапов выбора с учетом их функционального назначения.

- Составление взаимно согласованных матриц теоретического и алгоритмического обеспечения каждого этапа выбора (¡1=1,¡1). Входами матриц, с одной стороны, являются основания деревьев целей GCi, а, с другой стороны, вектор возможных состояний внешней среды SR. При этом заполненные ячейки матриц отражают современные представления о способах решения соответствующих задач идентификации на i -том этапе, т.е. состояние матриц, а пустые ячейки - задачи, требующие решения.

- Выработка унифицированной методологии"заполнения"матриц алгоритмического обеспечения и ее последовательная реализация .

Показано, что осуществление такого подхода при взаимной согласованности информационного, теоретического и методического обеспечение каждого этапа принятия решений и методологии их развития, позволит создать систему поддержки выбора квазиоптимальных регрессий со всеми необходимыми признаками: физичности, целенаправленности, моделируемости и иерархичности структуры.

Широкая распространенность в теории и практике статистических исследований и управления технологическими процессами, эквивалентность с точки зрения сходимости решений с другими метриками, физическая реализуемость и наибольшая проработанность алгоритмического обеспечения наряду с.ее существенной неполнотой делает актуальным рассмотрение в качестве глобальной цели GL минимизацию квадратичной функции риска:

GL: rmn (M[(u*-afTB)V-x*TB)]:lBTBII<í,í>OfSRl. (5)

где зс* - произвольный вектор (к х 1) из области предполагаемого

0к л \

;В - искомый вектор (к х 1) оценок параметров модели, состоятельных по крайней мере в среднем квадратичном. Ограничение неизвестного вектора параметров в GL не является активным, поскольку фактически всегда выполняется на практике. Тем не менее оно позволяет повысить реализуемость поиска квазиоптимальных значений В, в частности, их единственность в классе смещенных ридж-оценок и потому учтено в выражении (5).

В соответствии с предложенным подходом выделены четыре уровня иерархии генерального дерева целей, изображенного на рис. 1 и формализующего выбор 10-ти методических задач GC(z), z=l,10.

Описание внешней среды по отношению к процессу выбора per-

Глобальная цель

НАЗНАЧЕНИЕ

¡¿сдали

оценивание прогноз

ВСЗаСШОСТЬ ШЕЙНИН

есть

нет

СС(1)

УСЛОВИЯ ОБУЧ]

нет

НИЯ Л ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЦОДЕ

ШУШИ

АЛРПОРНОИ

идентичные различные идентичные различные

Ш

аОРЛАЦйй ОБ

ОБЛАСТИ 11Р0Г

¿ОВА

[ость 11 нет 1[есть11 нет 11 есть 1[ нет 1 1есть 1 [нет |

сЖсЖс шсЖсшс ШЙс ш) 1сш

Рис. I. Генеральное дерево целей СС

ВНЕШНЯЯ СРЕДА ( Б Я ) = МОДЕЛЬ + ПРЕДООЛСШНШ; 'ГШОВАЯ МАТРИЦА

_л---

г

цульти-коллинеарность

сшийки в

независимых

переменных

л

нет

нет

есть

гь]-

нет

есть

-5Ш -5Ш

ъ ЦССг)

I ... г ... 10

I —

? — г и

3 ? г ? —= г

4 ? =

Рис. 2. Формализованное списание пнеаней среды ( 3Н ) и типовой

матрицы подцер-кки выбора

Г). - алгоритм решения г -той методической задачи .1г идентификации при j - тых предположениях

рЁЩ - известные алгоритмы; [ | -алгоритмы,подлежащие ' ' развитие

рессий формализовано в виде четырехмерного вектора вН С з), ¿=1~, условно представленного на рис.2.

Таким образом в рамках задач настоящего исследования предъявляемое для выбора множество вариантов представляет собой матрицу

¿=1,4; 2=1,10 (см.рис.2), а выбираемые из них подмножества - это элемент матрицы, стоящий на пересечении ¿-ой строки и 2 -го столбца, либо пустое множество (в случае отказа от выбора).

Более детальный анализ процесса принятия решений позволяет представить его в виде сложной динамической системы с N=9 разновременно выполняемыми этапами, изображенной на рис.3. Ввиду цикличности этого процесса очередность выполнения этапов выбора может неоднократно меняться и в этом плане носит условный характер. _

Совокупность вышеупомянутых матриц 1=1,9 служит внешним описанием выбора и может быть условно представлена в виде "ящика" 9 х 4 х 10 предъявляемых вариантов.

Для поддержки выбора каждого из этих вариантов формализованы соответствующие правила и алгоритмические структуры, составляющие так называемое внутреннее описание или механизм выбора.

Выделены традиционные три правила, общие для всех £=178 этапов выбора, за исключением последнего: проверка необходимости, возможности и априорной целесообразности выбора. Очевидно, что на последнем этапе 1=9 анализируется дополнительно их апостериорная целесообразность. Поэтому в качестве внутреннего описания, порождающего рассмотренную выше функцию выбора, можно использовать многоступенчатый механизм выбора в виде правил:

Зч •• Л (Й., ) -I1 н -1

'3, 1=1,8; ¿=1.4; г=1,Ю ,

(6)

.4, 5=9 __ _

базирующихся на алгоритмических структурах }, 1=1, [.¡¿=1,4; 2=

Г710,который условно можно представить в виде 8 "ящиков" 3 х 4 х 10 алгоритмических конструкций поддержки выбора соответствующих вариантов и одного "ящика" 4 х 4 х 10, изображенных на рис,4.

Тогда оперативная настройка такой "матричной" технологии идентификации объектов будет включать:

- формализованный анализ непротиворечивости экспериментальных данных и априорной информации об объекте, которыми располагает ЛПР, и предварительно сделанным им выбором (возможно в интерактивном режиме формализованной постановки задачи , г=17Т0, описания внешней среды БИ^), ¿=ГГ4 и вида базовой модели, например, типовой для данного класса объектов идентификации;

I ВЫБОР

Фор|.'алилованной постановки задачи

2 ВЫБОР

Базового вида модели

3 ВЫБОР

Способа изменения вида »/одели

4 ВЫБОР

Про(.екуточного вида модели

5 ВЫБОР

Способа формирования выборки

6 ВЫБОР

Метода оценивания параметров

7 ВЫБОР

Способа оценки "качества" модели

8 ВЫБОР

Способа оценки "качества" выборки

9 ВЫБОР

Этапа, подлежащего повторению

Рис. 3. Декомпозиция процесса настройки идентификации аС(г),2=О0

«ЬЧф.Нч }

!? этапа выбора

ВНЕШНЕЕ ОПИСАНИЕ ВЫБОРА

ГС!г) г--1 V

ичч,' ''"ВНУТРЕННЕЕ ОПИСАНИЕ ВЫБОРА < г 16?• я <о

А» ступени механизма выбора

ШЛЖорная целесообразность аТюстериорнан целесообразность

рис. 4. Схема поддержки выбора

- формализованную многоступенчатую проверку (6) достоверности предварительного выбора алгоритма У^г для реализации каждого 1-го этапа идентификации: соответствие алгоритма решаемой методической задаче и конкретным условиям обучения и использования модели. При установлении априорной и/или апостериорной нецелесообразности того или иного выбора предпочтение всегда будет отдаваться альтернативному более простому в вычислительном отношении и менее информационно емкому варианту.

Последний принцип настройки позволит ЛПР рационально распорядиться ограниченным объемом данных пассивного эксперимента.например, зарезервировав часть для проверки прогнозирующей способности модели в условиях очередного объекта внедрения системы управления, не опасаясь при этом ухудшить ее точность, и/или обоснованно воздержаться от непосредственного использования грубых априорных данных об объекте в вычислительных процедурах, не опасаясь при этом ухудшения их робастности .

Вместе с тем размерность описанной выше системы уже чрезмерно высока и требуется решить не менее пятисот математических задач для обеспечения алгоритмической полноты е конструкций.

Обособленное решение такого количества задач делает физическую реализуемость предлагаемой технологии, гибкость ее настройки и дальнейшее развитие весьма проблематичными. Поэтому предлагаются следующие методологические приемы, позволяющие ограничить число задач , требующих принципиально новых решений(условно назовем такие задачи базовыми):

1)Начать развитие концепции поддержки принятия решений с этапа 1=6 выбора метода оценивания. При этом основополагающим должно стать развитие внешнего описания , обеспечивающее возможность:

- унифицированного описания методов оценивания;

- максимального использования известных процедур поддержки выбора как на данном этапе, так и на других этапах (1= 5,7, 8,9) без существенного изменения;

- упрощения развития процедур поддержки ПР на других этапах выбора, согласованного с развитием функции выбора на этапе 4=6.

Учитывая состояние теории и практики поддержки выбора квазиоптимальных регрессий на начальных этапах (1=174), а также сформулированные выше задачи исследования, принято допущение, что на этих этапах ЛПР делает выбор преимущественно исходя из априорной информации.

2)0граничить класс предъявляемых для выбора вариантов : -оценок параметров регрессии - линейными комбинациями

ридж-оценок;

-структур выборок - линейными комбинациями неравноточных наблюдений;

- критериев для проверки гипотез - Г-критериями.

3)Использовать произвольную из эквивалентных моделей ошибок в независимых переменных:

- стохастическую модель, для которой в частном случае выполняются следующие соотношения:

М[ЛХ]=0; соу{Х0ДХ}=0; соу{йХ,Е}=0; соу{йХ)=(|,2. .0гу*2, (7)

или 0 5 к

- детерминированную модель:

йxj < Е; V 0=17к, (8)

в которых значения или априорно заданы,-в соответствии со спецификой задач, решаемых на различных этапах выбора квазиоптимальных регрессий .

4)Допустить, что условия обучения и использования модели описываются одинаковой схемой вида:

У^Х^В-Еь, Е^МО.^гч). (9)

где 1=1 - индекс выборочных данных из условий обучения модели, а 1=2 - из условий предполагаемого использования; и в общем случае не совпадают дисперсии шума на выходе объекта ^

Возможность различия в уровне шума на входе объекта: по дисперсии для стохастической модели ошибок (7) или по их верхней грани для детерминированной модели (8), - также допускается.

5) Обеспечить учет различий в уровне шума на выходе объекта путем совмещения проверки традиционных гипотез с проверкой гипотезы вида: г / 2

Но: £ =1 против = • рбг/^ . (Ю)

6) Ограничить способы распространения Р-критериев на случай ошибок в независимых переменных единым минимаксным подходом.

Дальнейшее изложение материала соответствует последовательной

реализации этих методологических приемов в виде аналитического решения базовых математических задач для поддержки разных этапов выбора регрессий.

ВО ВТОРОЙ ГЛАВЕ проведен системный анализ методов квазиоптимального оценивания регрессий, обоснована и реализована методология их развития при неравноточных наблюдениях независимых переменных и мультиколлинеарности.

При построении подчиненного дерева целей данного этапа 1=6 идентификации возможна свертка функции выбора в соответствии с табл. 1. Здесь приняты следующие обозначения: 2 - матрица„(кх к) среднего квадрата ошибки оценок В, равная Е = ДВЛБт+'соу {Ь} ; № - вектор (к х 1) смещения оценок В: йЬ = М[В]-Е>.

Таблица 1

Таблица соответствия генерального Дерева целей СС и подчиненного дерева целей СС6 для этапа выбора метода оценивани

йС Ы г' СС(г') 6

4 • 6 Г шш (Ы2): ИВтВ1НгД>0, бЯ)

1 3 5 2' цш (х»тХх«:х*сбк;|1БтВКг>1?.5Я^ 6=|ЪК

8 10 3' пап

2 7 9 4« шп {х"си?1Ь}х*: ДЙ-О;11ВтЫ1<гд>0,5ЯЗ

Первоначально формируются матрицы состояния теоретического и алгоритмического обеспечения внешнего описания выбора. Анализ существующих методов оценивания при ошибках в независимых переменных и (или) мультиколлииеарности показал, что с позиций сформулированных выше требований целесообразно ограничить класс допустимых решений В линейными ридя-оценками вида:

а • г,хту=(1к-А1вмнк> (и)

где Т.Т*С»0, А = 1к- ик+ГсГ.Бинк.ГТУ.

Это обусловлено следующими причинами:

. 1) Частными случаями оценок (11) являются широко распространенные в практике идентификации объектов управления: (а) м.н.к. оценки Вмнк(С=0);

(б) ридж-оценки (C=c/rIK Лг>0 );

(в) скорректированные асимптотически несмещенные оценки для стохастической модели (6) ошибок в равноточных наблюдениях независимых переменных (С = -(П-К-0 S ) !

(г) регуляризованные по Тихонову H.A. оценки(С-е(г1 к

(д) смещенные оценки Вош с минимальным средним средним квадратом ошибок (ССКО) для модели (6) с равноточными наблюдениями независимых переменных ( С (п-К-OS/^ow ,

d - ёнк (MS-'J- пЫТо"))/(п-к-1) - вте> 0Ш* ЬТЕ> v36^tr(To') ' (12)

2) Эти оценки обеспечивают заполнение примерно 60% ячеек матрицы внешнего описания при целостном задании функции выбора метода оце нивания.

3) Состояние матриц теоретического обеспечения внешнего описания и механизма выбора метода оценивания примерно одинаковы.

4) Использование ридж-оценок (11) в классических t- и F- крите-

л

риях вместо Вмнк не приводит к увеличению объема эллипсоидов рассеивания статистик и значимому смещению их центров ввиду ограниченности вектора параметров (5) и ошибок (7),(8) и потому возможно и целесообразно без модификаций вида этих критериев. Таким образом, принятое ограничение класса предъявляемых для выбора вариантов на этапе [=6 обеспечивает существенную редукцию процедур поддержки выбора и потому особенно эффективно.

Доказывается,что для заполнения матрицы внешнего описания выбора в классе оценок JbK можно ограничиться двумя базовыми решениями, которые позволят в условиях мультиколлинеарности снизить дисперсию несмещенных оценок параметров и прогноза зависимой переменной в произвольной либо априори заданной области, как-то (для унификации обозначений продолжим буквенную нумерацию вариантов): л

(е) несмещенные регуляризованные оценки , в которых плохо-обусловленная матрица £ под знаком обращения приравнивается к матрице

Ун :

J Зн'" (^^нГк-^нТкУ^ак-^н^Т'^,

' (13)

* 3" 1к ; ? 0.

Число обусловленности значительно ниже, чем у матрицы Т и в

(14)

то,же время справедливы соотношения:

М [ Ьн з1 ; ест {Вн

(ж) линейная комбинация m векторов(КрМ.) оценок,соответствующих некоррелированным группам переменныхВр с [Ь* V Р5^111 •

л Л Л. Л т

, Ьт= (cL,B,T ... dp dp ... ámBm ) ; я1

. Л Bp = 0 ; 5dp = l,

м r p»i

которая при оптимальных значениях весовых коэффициентов

dT- Я Üpq / ^ ^

Р g = i ' д^ "о г ГДе U r 1 Upg Ь ; Т7~= iüpg^); Upg = Хр'ТТр_<Хр Xg Зд'э;* .

обеспечивает минимизацию дисперсии прогноза зависимой переменной в произвольной точке СС* из области предполагаемого использования модели, т. е.

dорт = (С...¿Г) «arg rnúv {GC6(г'): Щ),]-^}.

р=| Г

Для модели (1), (2) получено выражение для соответствующего доверительного интервала отклика регерессии ( при уровне значимости q):

(Sáp<0p)±[rnbpC¿TI/d)F(m,rm,1-o)/rni]V2f (15)

P=i w ■ рч '

Ггп = mn- 21,кР,

где 5р - остаточная сумма квадратов для р-го набора информативных переменных; F(rri,rm)1-Ij)- квантиль центрального распределения Фишера для числа степеней свободы m и Гт и уровня значимости

Использование новых базовых решений (е) и (ж) в сочетании с известными (а) т (д) позволяет создать алгоритмически полную конструкцию предъявляемых для выбора методов оценивания в классе |ЪК, которая условно представлена в виде матрицы в табл. 2.

Это объясняется тем, что методы (е) и (ж) по условию являются линейными положительно определенными операторами преобразования

л

исходных оценок В (11) в евклидовой метрике Е . Поэтому закон распределения и смещение в асимптотике оценок В в результате таких преобразований ( при фиксированных значениях dp и р)

остается прежним.

Таблица 2

Заполненная матрица теоретического обеспечения внешнего описания выбора метода оценивания

БЛ ОС (г')

1' 2' 1 з-1 4'

1 (б)| 1 1 (а) |

2 (д)| 1 1 (в)|

3 ( г ) | | ((а)л(е)) (а)л[((еМж)) (е)Л(ж))]

4 ((д)л(е)) (д)лК(еМн)) V ((е)Л (ж)) | ((в)Л(е)) 1 (в)лК(еМк)) У((е)Л(ж))1

В табл. 2 использованы следующие обозначения:

- логический знак конъюнкции "Л "любого из методов, обозначенных (а), (в), (д) с методом (е) означает, что обращение соответствующей матрицы 7 (11) осуществляется методом несмещенной регуляризации (13), то есть определяется как ?н ;

- сложные логические функции, например,вида (а)л[((е)у(ж))у((е)л (ж))] означают, что с использованием процедур поддержки могут быть выбраны регуляризованные по формуле (13) оценки параметров (а), т.е. (а)А(е), либо линейные комбинации (14) этих оценок параметров ,т.е. (а)Л(ж), либо линейные комбинации (14) регуля-ризованных по (13) оценок (а), т.е. (а)Л. (е)Л (ж).

Таким образом, развитие недостающих 40% алгоритмических конструкций внешнего описания выбора метода оценивания обеспечивается двумя принципиальными решениями, что составляет примерно 13% от общего числа вариантов. Цифровое моделирование подтвердило работоспособность и эффективность этих решений даже в условиях "строгой" мультиколлинеарности.

Далее развивается соответствующий механизм выбора. Анализ его состояния в соответствии с принятой ранее мерой "заполненности" матриц показывает, что в среднем она не превышает 54%.

Выявляются недостающие базовые гипотезы и критерии их проверки. Предлагается следующая методология их развития, обеспечивающая полноту и возможную унификацию алгоритмических конструкций.

£max - максимальное значение дисперсии ошибок в независимых переменных;

52 С tr 2,"1 " n trT"1 )/(п-К-1)г - ЕГй

^ош

6ТВ + 3S2tr Т'УСп-к")

Доказывается, что с вероятностью (1-q) гипотезу (17) можно проверить по выполнению условия:

 Й/Г™ ('-< 0. N

X - матрица (га x îikp)U ''^ /.

Кроме того, с вероятностью (1-q) гипотезу (18) предлагается проверять по выполнению неравенства

Ь' <20>

где S2 - остаточная сумма квадратов на обучающей выборке экспериментальных данных; S2 = YT(In-H)Y ; |/]1 - целая часть числа; Не = ^2ЙТ\\/о1; г^ = {( К П+ у»/ • ■

Представленные решения после развития F- критериев (19) и (20) на случай ошибок в независимых переменных фактически "заполняют" недостающие 46% алгоритмических конструкций механизма выбора метода оценивания. При этом их доля в общем объеме новых процедур поддержки на данном этапе выбора не превышает в среднем 7%, что вполне соответствует принятой концепции.

Предложенная теория выбора метода оценивания распространена на случай неравноточных наблюдений независимых переменных. Рассматривается более общий по сравнению с (1),(3),(7) вид модели:

; П LEtbO-, co^iE£V-6sInt Xt. X.t ♦ AXt ; П [ su 1 ■ 0 Lc0*2t ;

c» ÎAXt, Ej » О V l*\,L -, j-G; _ __ i (21) '

где У^, Хог, Xg, E^, Sj ~ имеют размерность соответствен-

но (ntx 1), (ntx k), (ntx k), (rijX k), (n^x 1), (k x k); 2 nfc= n, t. Vt.

При этом соблюдаются единые методологические принципы, как-то:

1. Вывод критериев для проверки следующих правил:

- возможности выбора метода смещенного оценивания регрессии в классе при мультиколлинеарности и ошибках в независимых переменных, обозначенного ранее в табл. 3 (д)л(е), в виде условия сходимости оценок:

(16)

где 1" - норма матрицы;

- возможности (целесообразности) выбора линейной комбинации оценок Вр, р=1,т (14) в виде гипотезы:

Н„: ВР =Ср \/р=Ст против И,: ЗреЦт] ВР£ср, <")

где Ср - заданный (кр х 1) вектор;

- целесообразности смещенного оценивания (б) и (или) однопа-раметрической регуляризации (г) в виде гипотезы:

Н.:- 2. {В}г против

Нг. 2 {В}^о ^ <«>

2. Использование К-статистик для проверки гипотез (17) и (13).

3. Распространение Р-критериев на случай ошибок в независимых • переменных на базе единой методологии для всех этапов выбора

квазиоптимальных регрессий.

Первые два принципа реализуются в данной главе, а последний - в четвертой главе диссертации.

Проведенный анализ подтвердил, что область (16) не пуста и с ухудшением обусловленности матрицы?, стоящей под знаком обращения в выражении (11), справедливо предельное соотношение: Иш <^оп = -1/3. МТо"' )-*■<-

Показано, что правило (16) базируется на следующей структуре:

где ЯкШ- минимальное собственное число матрицы Т = ХТХ-(п-к-1)2,которая является асимптотически несмещенной оценкой То;

1) Объединение t-групп п неравноточных наблюдений в выборку ведется с фиксированными ненулевыми в общем случае весовыми коэффициентами ш=

V'Wob+Ё , W-'Wo+b'W",

WT-UX7... «otXtT...4 x: ) ; Vr=U 4T...u,tyi... u)tyl).

2) Поиск решения в окрестности оптимального

В = argmin { GC,(zr), z'=l',4' : Вв с ; SR) (22)

йу 0 6 1

осуществляется аналитически в классе ридж-оценок

Сь- о13>в; L(n-K-0/n] ^ nl44St - (23)

Ы

путем последовательной минимизации функции риска сначала по гребневому параметру oi , а затем по СЗ.

Доказательство ряда теорем позволило проработать полную аналогию теоретических и алгоритмических аспектов выбора квазиоптимальных оценок Вв<= jb / базовыми из которых являются следующие .

Для фиксированных значений йЗ^ 0 предлагаются альтернативные описанным выше вариантам (в) и (д) оценок параметров В (11) -соответственно ( вв ) и (дв) для оценок Б>ь(23). Они отличаются между собой значениями гребневого параметра : (вь): = -1j Вв - асимптотически несмещенные и состоятельные в среднем квадратичном оценки В, при условии, чтоОа0)п = г0~ь)п|до.q ~ сильно регулярная матрица (k х к);

(ДЬ): U*-—- ^ {*e:|KVTOTJI<1j. (.24)

Ьт6+ Ъ1г ( Фь) Вв имеют минимальный ССКО при wИ 0 , Др," 1в0

Предложены конкретные алгоритмы выбора квазиоптимальных значений I (23).

В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ предложены квазиоптимальные процедуры регрессионного анализа неоднородных данных пассивного эксперимента при нарушении классических предположений.

Традиционные способы разделения массива данных пассивного эксперимента на подмножества включают методы "перепроверки" (crossvalidation) и "складного ножа" (jack-knife), а также элементы метода "бутстреп"(bootstrap).Ввиду их близости можно ограничиться анализом распространенного случая формирования независимых обучающей и экзаменующей выборок наблюдений,описываемых моделью (9).

Показано, что даже свертка функции выбора не позволяет оценить заполненность соответствующих матриц выше50%, поскольку оперативная оценка целесообразности выбора на данном этапе идентификации (1=5) до настоящего времени слабо формализована.

Условимся считать отказ от резервирования наблюдений для проведения "экзамена" модели целесообразным, если объединение двух независимых выборок наблюдений (возможно неравноточных) с некоторыми весовыми коэффициентами приведет к значимому уменьшению невязки GL (5) по сравнению с неопределенностью последней из-за неполноты и (или) неточности априорной информации.

Своевременное решение позволит исследователю оценить последствия выбора с точки зрения его информативности и сложности: естественно , что предпочтение следует отдавать наиболее простому и наименее информационно емкому способу формирования выборок при соизмеримых уровнях невязки GL (5).

Формализованная постановка базовых задач и их решение проведены в два этапа.

Сначала самостоятельно решается проблема целесообразности объединения двух выборок с неравноточными наблюдениями зависимых переменных, описываемых моделью (9) , предназначенной для прогноза в условиях второго объекта (i=2) при ЛХ=0.

Соответствующие методические задачи дерева целей GC(z), z=3,4, 7,9 в принципе допускают оптимистичную возможность формирования выборки п,наблюдений (Xlt Y,) из области обучения модели Qkh независимых выборок (Хг, Уг) и (Xм, Y*) объемом соответственно пги п* из области прогноза . Это позволяет унифицировать описание обучающей выборки в виде:

wt= t dхг! о- л)х; ]; ■vT- [ i у; s «-<£) у; ], (26)

для которого выполняется соотношение

V=WB + E,E~Nni+n (0,6где

е

ifPA

i(i-t£)aI

О

(27)

V О

где 0 , V, И, Е - имеют размерность соответственно

1{п,*г\г)> [К+Пг^иДСп^ + Па^хк!, С(пипгМ].

При таком способе объединения альтернативные варианты отличаются значением весового коэффициента СМ ¿<51 и наличием выборки (X*, У*). Наиболее сложные из них с точки зрения принятия решения перечислены в табл.3 и позволяют свести многокритериальную задачу выбора целесообразного варианта к одномерной задаче минимизации соответствующей функции риска СС(г) по сР^Х.

Таблица 3

Альтернативные структуры выборок неоднородных данных пассивного

эксперимента

условное обозначение 1 оценки параметров выборки

обучающая экзаменующая

(и) сЫ (В=ВЛ) (X, ,УЛ ) (х2,у2)

(л) о< с!<< (В=Воб) (!Г .V ) отсутствует

(м) с1=0 (В=Вг ) (Хг,У2) отсутствует

Характеризуя прогнозирующую способность регрессионных моделей с оценками Воб относительной среднеквадратичной ошибкой прогноза

с* А К

зависимой переменной а0{Воб} в произвольной точке ха<£} из области предполагаемого использования и нормируя функцию риска, можно так сформулировать задачу ,не нарушая корректности преобразования (Ьункшш выбора: найти

Аналитически доказано,что решением (^8) являются оценки параметров Воб=Во.м.н.к., вычисляемые обобщенным методом наименьших квадратов при (£ = ),а вид функции, характеризующей

различие прогнозирующей способности альтернативных вариантов (и), (л) и (м) зависит от соотношения дисперсий шума и изображен на рис.5.

Поскольку классические м.н.к. оценки , вычисляемые по одной из выборок (X^,У^ ) или (Х2,Уг), проще в вычислительном отношении по сравнению с о.м.н.к. оценками и в то же время менее информационно емкие ,вполне естественно отдать им предпочтение при незначимом различии прогнозирующей способности вариантов по сравне-

c£* id

Рис.5. Зависимость прогнозирующей способности моделей от е£ а - ^ <1 ; б - 1

41/216 ~ область неразличимости решений'

нию с неопределенностью последней из-за неточного знания AHcnep--сионной матрицы.

Тогда, комплексируя базовые гипотезы с проверкой гипотезы (10), правила неразличимости вариантов с разными значениями весового коэффициента dt можно представить в виде:

(Н. »1) V [ и. 1&ОН-Л- (ЬЛ1 >е\ ЬоинЛ V i'1,2 j (Hv ^ Л) Л [ |Го [ EwV L ^ Ь i Г В0МНк ,

t-org min , (29)

I Г

где - символ предпочтения.

При этом для проверки простой гипотезы (10) с вероятностью (1-q) при ^>1 предложен F-критерий :

JiSji(ni-K-2)/sJinl-K)j'F(nirKln1-K-2, Н) (30)

( в числителе статистики стоит^большая по величине оценка остаточной дисперсии S^1 У;. (int-Xj У(_, в данном контексте S*, , 1-2) ' .

Доказано, что при-выполнении условия (30),т.е. в случае если гипотезу Но (10) можно с вероятностью (1-q) отвергнуть, правило предпочтения (29) сводится к бинарному отношению вариантов (и) • и (л) и базируется на алгоритмической структуре вида:

Z

и) (11Ш1Ш

Щ »0*

(НТ,1Ы1Шг ||Т,||!

v(ciM-a(3i)

где Sy - абсолютная погрешность определения }f ;

Это выражение свидетельствует о том, что вероятность отдать предпочтение модели с оценками Ь, возрастает не только с увеличением ^ , но и с ростом погрешности его оценивания и уменьшением НТгЦ , т.е. объема и размаха выборки экспериментальных данных , собранных в условиях второго объекта.

Аналогично при ^<1 ,т.е. при^г^и вначале следует с заданной доверительной вероятностью проверить значимость этого раз личия с помощью Г-критерия

Уг * р (Пл-К-а, пг-к(32)

и при положительном результате дополнительно оценить степень неразличимости вариантов (л) и (м) по правилу (30) с помощью алгоритмической структуры вида:

s, № +\)

[{} +1)(гаыгщ

1

(ШЫ1Ш ШГ

Невыполнение условий (30) npn^jl или (32) npn^Vl означает, что различие условий обучения модели и ее преполагаемого использования статистически незначимо и соответствующие наблюдения , если это целесообразно по (31) и по (33) соответственно, следует объединять с одинаковыми весовыми коэффициентами.

Выполнение условия (31) или (33) означает, что эффект от объединения наблюдений будет существенным в плане минимизации соответствующей решаемой задаче функции риска . При этом окончательный выбор все же остается за ЛПР.

Далее предложенная технология распространена на случай формирования обучающей выборки с неравноточнь:ми независимыми переменными (21). Обоснована возможность построения алгоритмически полных конструкций формирования выборок неоднородных данных пассивного эксперимента с использованием описанных базовых решений при одновременном нарушении классических предположений. При этом доля принципиально новых решений .обеспечивших развитие примерно 50% недостающих процедур на данном этапе выбора регрессий, составила в среднем 2%.

В ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ проведен системный анализ способов оценки качества регрессионных моделей при нарушении классических предположений в условиях обучения и эксплуатации моделей.

Обоснована и реализована методология его развития; достоверность выводов,а также их эффективность в сравнении с альтернативными, известными из литературы подтверждены результатами цифрового моделирования.

Традиционные способы оценки качества регрессий (внешнее описание выбора)можно условно разделить на две независимые группы:

1) проверка гипотез, приводимых к канонической форме: '

Но: Л В = с против Н : А В t с, (34)

с помощью , в частности, F - критериев для проверки статистической значимости регрессии (Л=1к,с=0) (условно обозначим этот вариант буквой (и)) или равенства двух линий регрессий ( Л= (1к,-1к), с=0)- вариант (р). Здесь: А - фиксированная матрица (g х к); с- заданный вектор (g х 1);

2) процедуры поиска наилучшего вида или структуры регрессионных уравнений из числа статистически значимых по различным критериальным шкалам, связанным с невязкой, как правило, в среднем квадратичном и (или) устойчивостью на различных подвы-борках ( в схемах jack-knife).

Показано, что в рамках первой группы подчиненное дерево целей охватывает решение трех разных задач, отличающихся технологией проверки качества моделей или алгоритмическими конструкциями. Свертка соответствующей функции выбора и состояние внешнего описания выбора ( 33%) условно изображено в табл.4.

Таблица 4

Внешнее описание выбора F -критериев

SR J GC (z)

1 2 4 6 8 10.. 3 7 5 9

1' 2' 3'

1,3 + (н) + (н)А(р) + (н)Л(рл)

2,4 + (о) + (о)Л(р) + (о)А(рд)

Здесь продолжена условная нумерация предъявляемых вариантов: (о) соответствует модификации Р-критерия для проверки значимое-

ти регрессии при нарушении классических предположений, выведенной в более ранних исследованиях; (р) и (рЛ)~ взаимно согласованным Г- критериям для проверки равенства линий регрессии, при £ =1 и при ££ 1 соответственно; знаком "+" отмечены известные решения.

В рамках предложенного комплексного подхода полнота алгоритмических конструкций выбора обеспечена путем постановки и решения следующей базовой задачи. Доказано, что гипотезу

Но: В,=В1 против Н : В, И Вг (35)

проверки прогнозирующей способности или точности прогноза в среднем квадратичном на независимой выборке данных из области предполагаемого использования модели при ^ 1 в классической схеме регрессии с возможной мультиколлинеарностью с вероятностью можно отвергнуть при выполнении неравенства :

Ы«" 7Т7Г- Хг^

где Ни-Х.Ь^^ЧУа-У^Тап.ЛЛ^ХГГЧУх-У«).

Усложнение (35) путем одновременной проверки гипотезы равенства относительных средних квадратов ошибки прогноза по двум линиям регрессии:

. л г л

Но: (В, = Ва )Л Ь0{в, )

= Ь0 {Вг ) против

Н : (В, Ф Ва ) V $„{8, } ф $„ {Вг ],

позволило распространить критерий (36) на случай, когда обучающая выборка неизвестна, а известны лишь оценки В1 и их точность, например, остаточная дисперсия либо соотношение^:

> Г(пг,П,-К,^) (37)

Где А 4 А

г'. (чг-а*г^хгт.-'х:)-'(ц,-ццупг

Ъгг /(Пг-к)

Такая ситуация часто возникает на практике при тиражировании типовых систем управления.

Показано, что в условиях мультиколлинеарности мощность критерия (36) не уменьшается, а (37) - инвариантна к степени обус-

ловленности информационных матриц. Это означает, что предложенные принципиальные решения составляют но более 8% и в то же время обеспечивают возможность развития свыше 70% недостающих алгоритмических конструкций для данного этапа выбора.

Далее предложен единый минимаксный подход к развитию Е-критериев для проверки гипотез на случай интервальной неопределенности независимых переменных.

Переход к детерминированной модели ошибок (8) обусловлен тем, что при таком допущении Е-статистики имеют нецентральный закон распределения Фишера с прежним числом степеней свободы, тогда как при стохастической модели ошибок (7) теоретический анализ их законов распределения и сведение этих законов к стандартным практически нереализуемы.

Используя известную аппроксимацию Патнайка нецентрального распределения Фишера центральным с другим числом степеней свободы показано, что для проверки некоторой гипотезы Но с доверительной вероятностью (1~ч) при (8) вместо традиционного Е -критерия

следует применять критерий вида:

^а-К/ч^И-О-^^М); (38)

где •- квадратичные формы с числом степеней свободы и

параметром нецентралыюсти А3 , 3=1,2; ¡Г" (Ч3+А3 /(№** 2Л3Й;

31- ^ . .. .

Поскольку • 11 ^ 3=1,2, как правило, явля-

ются функциями неизвестных матриц АХ . значений В и 6"* , поставлена и решена задача разработки ^трехступенчатого механизма (6) выбора оценок этих величин, подчиненного глобальной цели идентификации 0Ь.

Вводя новый уровень иерархии в подчиненные деревья целей соответствующих технологических этапов идентификации , разделим каждую подцель СС(г),2=1,10 на две подчиненные подцели:СС1(г) -минимизацию ошибки 1-го рода при решении задачи СС(г), и СС^(г)-минимизацию соответствующей ошибки II - го рода. При этом допускаем, что выбор конечной подцели производит ЛПР на базе априорной информации и профессионального опыта.

Правила выбора соответствующих оценок имеют вид:

•. (Я1 >-*>($? V 5 о1-- Р_ { Р: Ь -с; С (г); БЯ ф);

_ _4 1ЬХ\<£ '

1.1.5; 1,Ц ; г-4.10

1 о d с d

Для канонической формы гипотез в регрессии (36) аналитически получены следующие минимаксные оценки:

mm max <3U ЬсЛ1 ). (39)

л^л йХЬ 1* А« Л,-Тл КЬ

где ~'"г-

А« • С Л /„ ВТ £Т (X ГУ - Н) £ В А „ „.О . .-77

Л,-«* ;

Кроме того путем имитационного моделирования установлены алгоритмические структуры априорной целесообразности минимаксных оценок чисел степеней свободы С|, по сравнению с числом степеней свободы исходных г-статистик.

Формализованы основные этапы минимаксного подхода и дан дополнительный пример его реализации для Г-критерпя обнаружения аномальных наблюдений (Р.Кука и С. Вейсберга). Достоверность выводов подтверждена результатами цифрового моделирования.

В рамках второй группы задач выбора структуры регрессий по критериальным шкалам предложено развитие поддержки выбора вести в классе универсальной статистики Янга вида:

где Р"7®- весовой множитель; , - остаточные суммы квадратов на обучающей выборке для моделей с Ка~ мерным подмножеством Зс 3 всевозможных наборов информативных переменных и с полным набором Ю информативных переменных. Эта статистика согласована с глобальной целью ОЬ (5), является несмещенной оценкой величины !Ш(р) , 1=1_

Мр)=2 [(^'М^Р'ПШГА1 •

?я£гц>-ичь11>? ■ <<0)

-нормированной суммы дисперсии прогноза зависимой переменней на обучающей выборке и извещенного квадрата его смещения по модели В, . Кроме того частными случаями этой статистики при р =1 является Ср - статистика, при р = к/(п. -к) - статистика АЕУ, при р >1 - статистика Л1С, при р =1 и п. >>к - МЭЕР и т.д. Введение весового множителяр в критериальной шкале (40) позволяет не нарушая корректности преобразования функции выбора, подчиненной И, (5), учесть предполагаемое использование модели: поскольку "перебор" регрессоров ведет к увеличению дисперсии прогноза, а "недобор" - к увеличению его смещения, наилучшими ( по ".нгу Р.) для оценивания будут подмножества ЗсЭ, являющиеся

решениями оптимизационной задачи вида:

3= ага тип { С,, (р) , 1=р^О^

для ре [0.6; 1 ] ,а наилучшими для прогноза в условиях, идентичных условиям обучения - соответственно дляр£ [0.2;0.6].

Поскольку данная статистика обеспечивает поддержку выбора не более 8% требуемых вариантов только при классической схеме регрессии, в соответствии с предложенными методическими принципами развитие 92% недостающих конструкций достигнуто путем решения одной базовой задачи (2.5% принципиально новых решений),а именно: предложен модифицированный критерий Янга вида

С(р) = 2iC.Jp),

- 2, ч (41)

где П[С(р)]= ПШрН; Н(р)* .ЙНчС?) ;

и доказана его инвариантность к нарушениям классических предположений (3) и (4) для рассматриваемого класса оценок параметров.

Методом цифрового моделирования произведено сравнение предложенного модифицированного критерия Янга с альтернативными, известными из литературы и доказаны его работоспособность и области предпочтительного использования. В частности, показано:

- При идентичных условиях обучения и использования модели(^=1) достоверность заключения о "наилучшем" виде модели по С (р) выше по сравнению с ИБЕР и Ср-критериями и возрастает с увеличением объема обучающей выборки п, и уровня внешнего шума 6) = ^ . При . условии равенства объемов обучающей л экзаменующей выборок П<=пг и близости их структур (в частности, размаха) достоверность заключенияво^озрастает по сравнению с критерием АЕ\Г и исходным критерием Янга .

- При ^ Ф 1 достоверность заключения по критерию слабо чувствительна к изменению и структуры обучающей выборки при сохранении равенства п, =пг .Погрешность из-за неточного знания ¡^ снижается с ростом различия В, и €>г., а также объемов выборок п, и па и с уменьшением уровня шума в условиях обучения , делая эффективным использования предлагаемого критерия даже при^й т 3.

В ПЯТОЙ ГЛАВЕ проведен анализ эффективности результатов диссертационного исследования и приведены примеры их практического использования при проектировании , внедрении и тиражи-

ровании систем контроля и управления в ряде отраслей промышленности.

Объект настоящего исследования можно условно представить в виде следующих нововведений в структуре деятельности ЛПР : -продуктивные (п), связанные с повышением эффективности научной деятельности за счет передачи ряда трудоемких звеньев ЭВМ; - компенсирующие (к), обеспечивающие возможность эффективного решения задач, остающихся за ЛПР, за счет поддержки и контроля правильности выбора;

с формализованными (ф) и неформализовашшми (нф) компонентами.

Принимая за 1С0% условные действия ЛПР, необходимые для решения методических задач идентификации GC(z),z=l,lO при предположениях, формализованных в виде вектора SR(j)=1,4, полученные в - работе научные результаты можно обобщить в виде схемы на рис.6. Эта схема иллюстрирует эффективность предложенной методологии комплексного развития 40 - 50%% процедур выбора регрессий,которая позволила ограничить число принципиально новых (базовых) решений в среднем в пределах 10 - 20% %.

П К

ф нф ф нф

100% 80_| 60J

40_|

20_|

0J

П К

ф нф ф нф

П КПК

ф нф ф нф ф нф ф нф

П К

ф нф ф нф

i=l ВЫБОР

постановки

задачи

100%

80_|

60_| 40_| 20_| 0J

Ü

i=5 ВЫБОР способа формирования выборки

1=9 ВЫБОР этапа для повторения

i=6 ВЫБОР i=7 ВЫБОР метода оценивания тва модели

1=8 ВЫБОР метода оце- метода оценки качес- нки качества выборки

состояние;

- принципиальные реиения

развитие;

"¡¡с. 6. Изигпения в структуре деятельности ЛПР

управления процессом эксплуатации 10 тысяч скважин в год в рамках ПО "Тюменнефтегеофизика".

Высокий уровень помех (иногда порядка 10 - 20%%) и близкая к строгой мультиколлинеарность, связанная с технологией измерения одних и тех же свойств пород различными методами, с одной стороны, и сильное различие условий обучения и эксплуатации моделей даже на соседних скважинах одного месторождения из-за различия геолого-технологических условий, с другой стороны, обеспечили широкое применение предложенной в работе гибкой технологии выбора квазиоптимальных регрессий практически для всего спектра рассмотренных методических задач СС(г), г=1,10.

Созданная помехоустойчивая методика увязки геофизических диаграмм по глубине прошла с положительным эффектом опытную апробацию и принята к внедрению в АСОИГИС; ожидаемый экономический эффект 300. тыс. рублей в год.

Методика построения линейных по параметрам регрессий для прогноза петрофизических свойств пород также успешно прошла опытно-опромышленную апробацию и принята к внедрению в АСП0ИГИС; ожидаемый эффект от внедрения 350 тыс. рублей в год за счет повышения точности прогноза коэффициентов пористости, глинистости и остаточной водонасыщенности пород в среднем на 1.5% .

Результаты апробации приведены в приложении к диссертации.

Кроме того методика построения аддитивных регрессионных моделей прогноза (14) использовалась для обоснования способа интерпретации геофизических исследований скважин в сложных коллекторах бассейна Северный Кембей (Индия).Способ . дал положительные результаты при поиске нефтенасыщенных горизонтовв разведочных скважинах: получены промышленные притоки нефти.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации сформулирована и решена актуальная научная проблема создания единых теоретических принципов и алгоритмически полных конструкций оперативной поддержки выбора квазиоптимальных регрессий в условиях нарушений классических предположений, которые легли в основу гибкой технологии идентификации объектов контроля и управления с возможностью настройки на конкретные условия обучения и использования моделей, имеющая важное народно-хозяйственное значение, в рамках выполнения ряда общесоюзных целевых и отраслевых научно-технических программ.

Эффективность теоретических результатов работы подтверждается практикой их,использования в различных областях науки и техники, как-то:

1. При проектировании автоматизированных устройств для дозирования сыпучих материалов и погрузо-разгрузочных работ. В результате созданы принципиально новые механизмы и технологии, защищенные пятью авторскими свидетельствами на изобретения.

2. В электронной промышленности при создании подсистемы управления процессом окрашивания электровакуумных стекол.

Эта подсистема создавалась в рамках системы стабилизации качественных показателей стекла и стеклоизделий и предназначена для обеспечения наилучшей передачи свечения люминофоров экранов кинескопов за счет поддержания оптимального содержания красителей в стекле с нейтральной окраской. Подсистема функционирует при непрерывной работе стекловаренной печи, не допуская ухудшения качества стекломассы и появления дефектов типа свилей, пузырьков, трещин и т.п.

Использование предложенной гибкой технологии позволило :

(I) Формализовать задачу идентификации в'виде поиска типовых и настроенных на конкретный объект внедрения квазиоптималышх регрессионных уравнений прогноза показателей "качества" окрашивания стекол (монохроматических и интегральных коэффициентов пропускания, координат цветности, коэффициента преломления) по содержанию компонентов состава стекла, в частности, красителей, измеряемых со значительной погрешностью ( >10%) и коррелированных между собой ( задача СС (9), предположения БЯ(4)).

(II) За один год разработать и в ходе эксплуатации внедрить новую автоматизированную технологию окрашивания стекла С95-5, защищенную авторским свидетельством на изобретение, на всех предприятиях Производственного объединения МЭЛЗ. в виде Стандарта ПО МЭЛЗ.Стандарт введен впервые в 1.02.1984г. и 1.01.1990г срок его действия продлен на 5 лет. При этом помимо технического эффекта (поддержания координат цветности стекла на уровне, соответствующем достижениям передовых зарубежных фирм) фактическая экономия превысила 200 тыс.руб. в расчете на одну стекловаренную печь.

3. В нефтегазовой промышленности в рамках автоматизированных систем обработки данных геофизических (АСОИГИС) и петрофи-зических (АСПОИГИС) исследований скважин.

Указанные системы обрабатывают информацию более чем по 60 месторождениям Западной Сибири с целью оперативного контроля и

Ниже формулируются основные итоги работы.

1. На базе комплексного подхода разработаны научно-методические основы оперативной поддержки выбора квазиоптимальных регрессий по данным пассивного эксперимента при нарушении классических предположений: ошибках в независимых переменных и /или мультиколлинеарности,- и неоднородности данных в условиях обучения и конкретного использования моделей объектов управления. Выработаны единые принципы анализа состояния и методологические приемы развития процедур выбора с точки зрения их редукции, взаимной согласованности и физической реализуемости.

2. Предложена гибкая технология идентификации объектов управления с формализованным многоступенчатым механизмом настройки на реальные условия обучения и использования моделей. Показано, что за счет целенаправленного и взаимносогласованно-го выбора алгоритмов регрессионного анализа на всех этапах идентификации предлагаемая технология будет робастной не только к нарушению классических предположений, т.е. к объекту, но и к действиям исследователя, т.е. субъекта идентификации.

3.Дана формализованная постановка и получены аналитические, решения базовых математических задач, необходимых для реализации технологии п.2 при квадратичной функции риска.

4. В результате решения базовых математических задач п.З разработаны и исследованы :

- квазноптимальный метод оценивания параметров регрессии в классе ридж-оценок при неравноточных независимых переменных; доказаны теоремы о предельных статистических свойствах оценок;

- методы несмещенного оценивания параметров регрессий в условиях мультиколлинеарности путем несмещенной регуляризации матриц под знаком обращения и/или линейных комбинаций одновременно статистически значимых регрессий с квазиоптимальными весовыми коэффициентами¡формализованы алгоритмы определения весовых коэффициентов , ориентированные на решаемую методическую задачу идентификации;

- критерий априорной целесообразности объединения в обучающей выборке неравноточных наблюдений из области обучения и/или прогноза; он позволяет рационально "управлять" ограниченным объемом данных пассивного эксперимента, настраивая обучающую выборку на получение регрессий с квазиоптимальной прогнозирующей способностью в условиях очередного объекта внедрения при тиражировании систем;

- статистические критерии с использованием Г-статистик для проверки гипотез:

<1) одновременной статистической значимости ш>1 групп некоррелированных между собой параметров; (11) целесообразности смещенного оценивания параметров; (Ш)прогнозирующей способности регрессионной модели на экзаменующей выборке из области ее предполагаемого использования; последний учитывает возможную неполноту априорной информации об обучающей выборке и/или неоднородность данных в условиях обучения и использования модели;

- минимаксный подход к распространению Г-критериев на случай интервальной неопределенности; цаны конкретные примеры реализации и проверка методом цифрового моделирования;

- модифицированный критерий Янга для выбора квазииоптимальной структуры регрессии с возможностью одновременного учета нормированной невязке на обучающей и экзаменующей выборках при возможной неоднородности данных.

5. Реализованы единые методологические принципы п.З и завершено формирование алгоритмически полных конструкций поддержки процесса настройки технологии идентификации с учетом назначения и условий использования моделей.

6. Научные результаты диссертации легли в основу разработок ряда принципиально новых устройств и технологических решений, защищенных авторскими свидетельствами СССР и применяемых при автоматизации процессов в различных отраслях промышленности.

Работа прошла промышленную апробацию при идентификации объектов контроля и управления с последующим широкомасштабным тиражированием систем в химической промышленности и в промысловой геофизике,а также ( на уровне опитно-промишленной апробации) в нефтегазовой промышленности.

Основные результаты диссертации отражены в следующих работах:

1. Лвербух Е.А., Комиссарчик В.Ф. Оптимальное оценивание параметров регрессионных моделей в условиях измерения независимых переменных с ошибками //Заводская лаборатория. - 1983. -Ч 3. - С. 62-64.

2. Юрков Л.Ф., Лвербух Е.А., Комиссарчик В.Ф., Суркова С.И., "инсбург И.Е. Прогнозирование физических свойств электровакуум-юго стекла фильтром наименьших квадратов // Стекло и керамика . - 1923. '17. - С. 12-14.

3. Лвербух Е.Л., Комиссарчик В.Ф. Алгоритмы оптимальной иде тифнкации статических характеристик объектов управления при ошибках измерения // Автоматические системы оптимального управления технологическими процессами : Сб. науч. тр. - Тула: Изд-во Политехи, ин-та, 1983. - С. 65-69.

4. Комиссарчик В.Ф., Авербух Е.А., Суркова С.И. Прогнозирование временных рядов с пропусками данных // Модели и системы управления химико-технологическими процессами. Сб. научн. тр.

- Калинин: Изд-во Гос. ун-та, - 1984. - С. 17-21.

• 5. Лвербух Е.Л., Гинсбург U.E., Комиссарчик В.Ф., Юрков Л.Ф., Юркова Т.А. Уточнение зависимостей между химическим составом и физическими свойствами электровакуумных стекол С94-1 и С94-3 // Электронная техника. Сер. материалы. - 1985. - Вып. 9 (208). -С. 56-60. .

6. Лвербух Е.Л., Сукова Г.Л. Моделирование статического многомерного объекта уравнения // Моделирование и управление химико-технологическими процессами: Сб. науч. тр. - Калинин: Изд -во Гос. ун-та, 1986. - С. 44-46.

7. Дмитриев Г.Л., Лвербух Е.А. Моделирование химико-технологических процессов с неточно измеренными переменными // Моделирование и управление химико-технологическими процессами: Сб. науч. тр. - Калинин: Изд-во Гос. ун-та, - 1986. - С. 73-76.

8. Комиссарчик В.Ф., Лвербух Е.А. К вопросу построения регрессионных моделей в условиях измерения независимых переменных с ошибками // Заводская лаборатория. - 1986. - N7. - С. 43-46.

9. Автоматизация моделирования химико-технологических процессов с неточно измеренными переменными при проектировании систем управления / Лвербух Е.А. // Автоматизация в химической промышленности: Тез. докл. Всесоюз. ^научн. конф., г. Тамбов, 1986. - С. 216-218.

10. Авербух Е.Л. Проверка прогнозирующей способности регрессионной модели на вторичной выборке // Заводская лаборатория.

- 1987. - N1. - С. 62-63.

11. Лвербух Е.Л.,. Сукова Г.А. К вопросу построения моделей прогноза в условиях мультиколлинеарности при синтезе систем управления технологическими процессами // Информационные и системные аспекты моделирования и автоматизации химико-технологических процессов: Сб. науч. тр. - Калинин: Изд-во Гос. унта , - С. 3-5.

12. Лвербух Е.Л., Дмитриев Г.А. Автоматизация выбора вида регрессионных моделей при проектировании систем уравнения //

Автоматизированное проектирование химических производств. Кеж-вуз. Сб. науч. тр. - Г.ШХМ, 1987. - С. 83-86.

13. Однопараметрическая регуляризация неустойчивых обратных задач при проектировании систем управления / Дмитриев Г.Л., Авербух Е.А. // Автоматизация и роботизация в промышленности: Тез. докл. Всесоюз. научи. конф., г. Тамбов, 5-7 сентября 1938 - С. 103-104.

14. Авербух Е.А. Метод нахождения оценок ПИК в плохообуслов-ленных регрессиях // Вероятностно-статистические методы в экономико-математическом моделировании : Труди ЦЭМ! АН СССР. -М., 1988. - С. 35-41.

15. Авербух Е.А. Улучшение прогнозирующей способности регрессионных моделей с несмещенными оценками параметров в условиях мультиколлинеарности // Вероятностно-статистические методы в экономико-математическом моделировании: Труди Ц31.Ш АН СССР. -М. , 1988. - С.42-48.

16. Авербух Е.А. Регуляризация неустойчивых задач прогнозирования надежности электромеханических объектов // Вопроси электроснабжения и автоматизированного электропривода промышленных предприятий: Сб. науч. тр. - Калшп'.и: Изд-ьо Гос. ун-та, 1988/ - С. 95-99.

17. Авербух Е.А. Об одном подходе к проверке гипотез в регрессии с ошибками в независимых переменных // Заводская лаборатория. - 1988. -N7.-0. 104-108.

18. Авербух Е.А., Белосток Ю.В., Паруенъес Н. Д. , СсхраиовН .11. Контроль качества геофизических данных на буровой // Разведочная геофизика. - 1988. - Вып. 8. - С. 1-5.

19. Авербух Е.А., Белосток Ю.В., Парфеньев Н.Д.,СохрановН.Н. К вопросу о перспективах применения микро-ЭВМ в промысловой геофизике // Разведочная геофизика,- 1а8а.- Вып. 8,- С. 13-17.

20. Дмитриев Г.Л., Авербух Е.А. Анализ пригодности моделей для прогноза в различных условиях условиях эксплуатации .

М. , МИХМ. 1989. - 122 С. - Деп. 3 ВШШТИ. 4419-пр38.

21. Авербух Е.А. Статистический критерии проверки гипотезы о точности прогнозов одной функции // Экономика и математические методы. - 1989. - Том XXV. - Еь:п. 1. - С. 153-167.

. 22. Принципы интеллектуализации статических исследований / Авербух Е.А. // Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценке качества продукции: Тез. докл. IV Зсе-союз. науч. конф., г.Тарту, 5-/ се.:тчОр;: 1'>39 г. - Тарту, 1989. - 4.1. - С. 1о7.

23. Дмитриев Г.А., Лвербух Е.А. Автоматизация инерционных технологических процессов / Автоматизация и роботизация химических производств // Межвуз. сб. науч. тр. - И.: МИХМ, 1989. - С. 76-81.

24. Лвербух Е.А. Выбор наилучшей регрессии для прогноза с использованием экзаменующей выборки // Экономика и математические методы. - 1990. - Т. 26. - Вып. 3. - С. 530-538.

25. Теория и практика выбора квазиоптимальных регрессий в АСУ ТП при нарушении классических предположений / Авербух Е.А. // Перспективы и опыт внедрения статистических методов в АСУ ТП / Тез. докл. IV Всесоюз. конф., г.Тула, 22-24 мая 1990. - Тула, 1990. - С. 82-84.

26. Авербух Е.А. К вопросу о выборе вида регрессионных моделей с учетом их прогнозирующей способности // Заводская лаборатория. - 1990. - N 3. - С. 92-96.

Подписано к печати

[Ь< д ^^__

Зака} Бесплатно.

Тиму: рафия МЭИ, Красноказарменная, 13.