автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.12, диссертация на тему:Теоретико-множественный и информационный анализы методов геометрического моделирования в САПР изделий машиностроения

На правах рукописи

УДК 04.03(92):514.122.2

ЛОЖКИН Александр Гермогентович

ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ И ИНФОРМАЦИОННЫЙ АНАЛИЗЫ МЕТОДОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В САПР ИЗДЕЛИЙ МАШИНОСТРОЕНИЯ

Специальности:

05.13.12. - Системы автоматизации проектирования (машиностроение); 05.13.01. - Системный анализ, управление и обработка информации (в науке и технике)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Ижевск 2013

31 ОКТ 2013

Работа выполнена на кафедрах «Программное обеспечение» и «Автоматизированные системы обработки информации и управления» в ФГБОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова»

Научный консультант: —Лялин Вадим Евгеньевич,

доктор технических наук, профессор, ИжГТУ имени М.Т.Калашникова, декан факультета «Информатика и вычислительная техника», заслуженный изобретатель РФ Официальные оппоненты: — Кондратьев Вячеслав Васильевич,

член-корреспондент РАН, доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет имени P.E. Алексеева», кафедра вычислительных систем и технологий, заведующий кафедрой, заслуженный деятель науки РФ.

- Дикусар Василий Васильевич,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБУН «Вычислительный центр имени A.A. Дородницына РАН», Отдел проблем моделирования, ведущий научный сотрудник.

- Малина Ольга Васильевна,

доктор технических наук, профессор, ИжГТУ имени М.Т. Калашникова, кафедра "Конструкторско-техноло-гическая подготовка машиностроительных производств".

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики»

Защита состоится "29" ноября 2013 г. в 14:00 часов на заседании диссертационного совета Д.212.065.01 в ИжГТУ имени М.Т.Калашникова по адресу. 426069, г. Ижевск, ул. Студенческая, 7.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИжГТУ имени М.Т. Калашникова. С авторефератом можно ознакомиться по адресу http://vak.ed.gov.ru/ru/dissertation.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью организации, просим направлять по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета. Автореферат разослан "21" октября 2013 г.

Ученый секретарь уу

диссертационного совета, //К^/,/

д.т.н., профессор ¿7 A.B. Щенятский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Точность изготовления продукции машиностроения влияет не только на потребительские качества изделий, но и, в конечном счете, на саму человеческую жизнь. Поэтому точность геометрического моделирования в САПР должна быть как можно более высока. NURBS и R-функции хорошо определяют различные сложные поверхности, но с помощью них нельзя обеспечить высокую точность по их определению. Таким образом, решение задачи увеличения точности в геометрическом моделировании вместе с улучшением дизайна изделия позволят увеличить потребительские свойства выпускаемой в нашей стране продукции и успешно конкурировать в условиях глобализации российским фирмам.

Для повышения эффективности поддержки жизненного цикла, в течение последних четырех десятилетий разрабатывается набор международных стандартов для CALS-технологий. Технологии обогатили информатику шаблонами IDEFIX, DFD и т.д., которые успешно применяются в документообороте, проектирования реляционных баз данных и других составляющих поддержки жизненного цикла изделия. Для обмена геометрическими моделями (ГМ) предназначен язык Express-G стандарта STEP. Отсутствие результатов в геометрических исследованиях форм сложнее, чем квадратичная, определенных для всех значений метода для линейных преобразований, привело к тому, что описание ГМ ведется преимущественно лингвистическими средствами. Ответственность за интерпретацию возлагается то на производителя ГМ, то на конечного пользователя. Как результат такого подхода является разработка и отмена различных эталонов обмена ГМ в рамках стандарта STEP. Мало того, современное толкование CALS-технологий подразумевается исключительно обмен геометрическими моделями между информационными системами. Современное производство требует работы с объемной ГМ на самых ранних стадиях проектирования изделия. Вместе с тем, невозможность однозначной передачи заставляет фирмы производители САПР либо разрабатывать модель в глобальной сети (AutoCAD, САТ1А, Pro/ENGINEER) либо проектировать прямые трансляторы (Pro/ENGINEER, Solid Works).

В современных производственных технологиях, например, в быстром прототипировании наиболее трудозатратным этапом является создание ГМ. Вместе с тем, точность и правильность проектирования значительно возрастают, так как ГМ является эталоном для проверки изготовляемой продукции. Сложилась парадоксальная ситуация, когда точность ГМ ниже точности оборудования, на котором выпускается деталь. Точность проектирования зависит от математических методов расчета ГМ заложенных в САПР. Применение аналитических методов расчета невозможно в связи с недостаточной их развитостью в различных частях геометрии. Основой же САПР является аналитическая геометрия. Считая, что основой пространства Е" является евклидова плоскость,

основные работы по решению геометрических проблем должны быть сосредоточены именно на К2.

Аналитическая геометрия является базовой математической дисциплиной естественных наук. В последние 50 лет развития аналитической геометрии стало принято рассматривать декартово произведение, как основу построения пространства. Данный результат принято связывать с работами группы Бурбаки и, в частности, с работами Дьедонне. Последние работы в области аналитической геометрии в СССР можно связать с именами Н.В. Ефимова, П.С. Александрова, Н.И. Мусхешвили. С точки зрения данной работы, главным теоретическим результатом этих исследований является утверждение о том, что вырожденное преобразование трансформирует плоскость в прямую линию по Ефимову. В настоящее время исследования по аналитической геометрии переместились в вычислительную геометрию.

Вычислительная геометрия - это дисциплина предназначенная, прежде всего, для получения практических результатов. В алгоритмах, используемых в ней, принято употреблять результаты исследований различных наук. К собственным методам вычислительной геометрии следует отнести цепочки преобразований, описанные в работах П. Шенена, М. Коснара, И. Гардана. В задачах вычислительной геометрии необходимо находить не только точки пересечения фигур, но и определить принадлежность данной точки множеству точек ограниченной части фигуры. В вычислительном процессе последняя задача может занимать большее время, чем непосредственно расчет. Цепочки преобразований позволяют свести количество данных проверок к минимуму. К сожалению, алгоритмы и методы вычислительной геометрии не всегда могут обеспечить требуемую точность геометрического моделирования, что вынуждает проводить исследования в области математики.

Бурное развитие информационных технологий, начиная с середины двадцатого века, принесло множество научных результатов, напрямую не связанных с геометрией, но оперирующих с тем же декартовым произведением. Операция «декартово произведение» является частью теории множеств. Одним из главных результатов является построение аксиоматики на основе автоморф-ного отношения принадлежности множеству, предложенное А. Френкелем. Соединение теории множеств и геометрии в настоящее время активно осуществляется в рамках дискретной или конвексной геометрий. Следуя тому же принципу, можно соединить геометрию и реляционную алгебру, как науку, вытекающую из теории множеств. При этом необходимо отметить работы Э. Кодда, предложившего, что отношения определяются перед множеством, а не наоборот. Сравнительный системный анализ применения декартова произведения в реляционной алгебре (информационные технологии), теории множеств и геометрии может привести к получению новых результатов.

Вместе с тем, еще Гильберт предполагал, что для решения геометрических задач следует изучить лингвистическими правила построения плоскости. Поэтому предлагается дополнительно использовать структурную лингвистику в интерпретации В.А. Звегинцева.

Базисные работы исследования - это труды Кантора в области теории чисел, Г. Вейля и Дьедонне, развивших фундаментальный принцип подобия Лейбница, Ефимова в геометрии, Бахмана и Яглома в симметрической аксиоматике, Цермело и Френкеля в теории множеств, Кодда в реляционной алгебре; Звегинцева в структурной лингвистике. Многие из этих направлений вышли из геометрических исследований. Главные теоретические результаты теорий, сформулированы. Настал момент системно проанализировать их вместе, что, возможно, позволит решить три основные проблемы САПР, унификацию протоколов обмена, увеличение точности проектирования, соединения в единую математической теорию лингвистического, математического и дизайнерского обеспечения САПР.

Область исследования. Диссертационная работа выполнена в соответствии с пунктами «2. Разработка научных основ создания систем автоматизации проектирования и автоматизации технологической подготовки производства (САПР и АСТГТП)», «6. Разработка научных основ реализации жизненного цикла проектирование — производство — эксплуатация, построения интегрированных средств управления проектными работами и унификации прикладных протоколов информационной поддержки», «8. Разработка научных основ построения средств компьютерной графики, методов геометрического моделирования проектируемых объектов и синтеза виртуальной реальности» паспорта специальности 05.13.12 «Системы автоматизации проектирования», «8. Теоретико-множественный и теоретико-информационный анализ сложных систем», «13. Методы получения, анализа и обработки экспертной информации» паспорта специальности 05.13.01 «Системный анализ, управление и обработка информации».

Объект исследования: методология создания геометрической модели в САПР, построенной с учетом внутренних свойств евклидовой плоскости К х К.

Предметом исследования является теоретическое обоснование и математическое моделирование внутренних свойств евклидовой плоскости для задач САПР, а именно, трансформаций плоских кривых, методы увеличения точности геометрического моделирования в САПР, принципы применения теории в нематематических задачах автоматизированного проектирования.

Цель работы состоит в получении теоретических разработок, программно-инструментальных средств и методических решений, направленных на создание информационно-лингвистической интерпретации геометрии изделия, на получение единства линейных преобразований на эвклидовой плоскости, позволяющее улучшить ядро математического обеспечения САПР, обоснование и исследование прямого аналитического метода непроективных произвольных линейных преобразований конических сечений, что будет способствовать получению решений для нахождения единого базиса для двух квадратичных форм, унифицированию лингвистическое обеспечение САПР для создания протоколов информационной поддержки, связи математически описываемых и неформализованных обеспечений САПР.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- выявить ограничения существующих теоретических геометрических исследований и практических реализаций, не позволяющих развивать математическое и лингвистическое обеспечение САПР;

- уточнить и развить теорию геометрического моделирования в САПР, разработать методологические принципы, математические модели, методы и алгоритмы, предложив системные связи между геометрией, теорией множеств и информационными технологиями, на основе которых обосновать новые принципы математического обеспечения САПР путем теоретико-множественного и теоретико-информационного анализа;

- описать правила теории, предназначенной для решения вычислительных задач САПР, на основе структурной языковой лингвистики, реляционной алгебры, методов искусственного интеллекта для вычислительных задач, решаемых в компьютерной графике САПР;

- развить на основе системного анализа методологию аналитической геометрии посредством построения адекватных математических моделей вычислительных процессов, методов и алгоритмов, позволяющих решать типовые задачи проектирования и расчета, обеспечивая оптимальные варианты компьютерного моделирования в САПР;

- сформулировать и дать решения практических задач проектирования и расчета геометрических параметров жордановых кривых в условиях реального времени, позволяющих повысить эффективность, количественные и качественные показатели функционирования графических построений в САПР;

- разработать рекомендации и предложения по обеспечению внедрения прикладного программно-методического комплекса в практику реального проектирования машиностроительных изделий, по их использованию для получения перспективных решений задач геометрического построения в САПР и по унификации прикладных протоколов информационной поддержки.

Методы исследования. В работе применялись теоретические и экспериментальные методы исследования.

Теоретические исследования базируются на использовании теории аналитической геометрии в части метода получения параметров линейного преобразования с использованием обратной матрицы в собственном базисе, понятием вырожденного преобразования по Ефимову, бинарным представлением симметрии Бахмана, определением симметрии в интерпретации М.Борна; универсальная алгебра представлена алгебраическим методом получения решений, некоторыми аксиомами; теория множеств используется на уровне определения базового ав-томорфного отношения Френкеля, понятия декартово произведение и аксиоматики теории множеств; теория лингвистики представлена структурной лингвистикой в интерпретации Звегинцева, а именно, бинарными правилами внутреннего представления языка; из реляционной алгебры взят принцип первенства отношения над множеством, применимость выборки из множества вне зависимости от мощности множества; теория чисел представлена базовыми отношениями Кантора на числовых множествах, аксиомой Дедекинда; теория подобия берется по работам Дьедонне с учетом таблицы автоморфизмов Вейля и другими сим-метриями, представленными в его работах; из вычислительной геометрии взято

понятие цепочки преобразований; из теории искусственного интеллекта метод семиотический анализа и логический вывод.

Информационная модель интерпретирующих систем создана с учетом объектно-ориентированных принципов разработки программных комплексов. Математического моделирование реализовано на алгоритмическом языке высокого уровня - Object Pascal, интерфейс пользователя разработан в интегрированной среде Borland Delphi 2006. Методическое обеспечение проверялось в учебном процессе в ФБГОУ ВПО ИжГТУ им. М.Т. Калашникова на протяжении десяти лет.

Достоверность и обоснованность полученных в работе результатов и выводов: обеспечены строгими математическими доказательствами теорем, выполненными в ходе исследований, или экспериментальной проверкой; подтверждены сопоставлением результатов теоретических исследований с экспериментальными данными, полученными путем моделирования. Достигнутые результаты дополняют современные научные представления и данные отечественных и зарубежных информационных источников. Они также подтверждаются их представительным обсуждением в научных изданиях и выступлениях на научных конференциях международного и российского уровней. Некоторые технические решения внедрены в производство.

Основные положения, выносимые на защиту:

Методология расчета параметров вырожденных преобразований жорда-новых кривых, как не противоречащая внутренним свойствам ГМ в САПР.

Информационно-множественный (системный) анализ для обоснования синтаксического правила взаимодействий внутренних свойств евклидовой плоскости - гипотезы сохранения баланса симметрии и собственного неортогонального постоянного базиса квадратичных и более сложных форм.

Методология прямого аналитического расчета непроективного линейного преобразования конического сечения, объединяющего вырожденные и линейно-независимые преобразования, как основа геометрического моделирования в САПР.

Математическая модель и алгоритм построения, компьютерное моделирование цепочки линейных преобразований для нахождения точек пересечения двух эллипсов.

Методология решения прикладных геометрических задач:

- принципы представления и хранения ГМ в стандартах обмена информацией на основе канонических формул пространственных и плоских кривых;

- траектория расположения точки, расположенной вне оси плоского шатуна при его движении применительно для проектирования шлифовальных и строгальных станков;

- траектория обработки сложных эллиптических поверхностей для фрезерной и токарной обработки;

- автоморфизмы евклидовой плоскости в произведениях живописи и исследованиях человека для задач дизайна проектируемого изделия;

- основы методики обучения работы в САПР.

Постановка и алгоритмы решения вычислительных задач:

- оценка точности действительных команд на компьютере;

- расчет мгновенного центра деформаций плоского стального высокоточного профиля.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие основные резул ьтаты:

1. На основе системного подхода построена информационно-лингвистическая интерпретация геометрии, базирующаяся на внутренних отношениях евклидовой плоскости и гипотезы их взаимодействий, которая, в отличие от известных интерпретаций, позволяет: оптимизировать структуру и процессы построения для создания геометрического решателя предметно ориентированной САПР, унифицировать лингвистическое обеспечение САПР для создания протоколов информационной поддержки.

2. Выявлено единство линейных преобразований на эвклидовой плоскости, позволяющая улучшить ядро математического обеспечения САПР и принимать любые решения при проектировании геометрии объекта.

3. Выявлен и исследован собственный неортогональный постоянный базис квадратичной формы, позволяющий избавиться в расчетах от радикалов и получать аналитические решения на всех этапах проектирования формы тела в САПР.

4. Математически аргументирован и изучен прямой аналитический метод непроективных произвольных линейных преобразований конических сечений. Доказана применимость метода для более сложных кривых, что позволило сформулировать и предложить новые принципы лингвистического обеспечения САПР для обмена геометрической моделью (ГМ) на основе канонической математической записи и матрицы линейного преобразования, спроектированной пользователем.

5. Выделена и математически обоснована цепочка линейных преобразований для нахождения точек пересечения двух эллипсов. Полученное решение позволяет найти единый базис для двух квадратичных форм и является основой для нахождения точных действительных координат точек пересечений между различными кривыми для математического обеспечения САПР.

6. Предложен и промоделирован метод оценки точности действительных команд на вычислительных устройствах, позволяющий на ранних этапах произвести исследования процессора для решения задач САПР.

7. Определены новые смыслы геометрических объектов, таких как, автоморфизмы теории множеств и геометрии, собственный угол, квадратичная форма Клейна, термин «канонический», что позволило связать единой теорией математическое и лингвистическое обеспечение САПР.

Практическая значимость результатов диссертационной работы:

- теоретические исследования и научные результаты работы доведены до инженерных решений в виде методик и алгоритмов, пригодных для практического использования при разработке математического и программного обеспечения САПР технических систем различного назначения и программных средств, реализующих предложенные и разработанные модели, методы и алгоритмы геометрического моделирования;

- предложенный прямой аналитический метод произвольных линейных преобразований позволяет разработчику предметной САПР получать точные результаты при использовании быстрых алгоритмов и отказаться от сложных и трудозатратных методов, таких как конечно-элементный анализ;

- на основе теоретических разработок получена возможность непосредственного представления сложных геометрических моделей за счет хранения геометрии в виде аналитической поверхности или кривой, а не в виде массива вертексов, что позволяет уменьшить объем передаваемой информации;

- разработан метод сохранения семантики спроектированной геометрической модели при межплатформенных и межсистемных обменах;

- создана методика точной оценки действительных вычислений;

- предложенные методы, модели и алгоритмы, позволяют при их модификации для пространства более быстро и точно рассчитывать движение конструктивных объектов в машиностроительной обработке.

Реализация и внедрение работы. Теоретические и прикладные результаты диссертационной работы апробированы и внедрены:

- в ОАО «Ижсталь» при разработке методологии геометрического ядра САПР высокоточных стальных фасонных профилей, а также в инжиниринговых фирмах международного холдинга ADEM, ОАО «Ижевский мотозавод «Аксион-холдинг»;

- в Фонде алгоритмов и программ зарегистрирован ПГТП «Система решения уравнения 4-ой степени методом Декарта-Эйлера и нахождения точек пересечения 2-ух эллипсов методами информационно-лингвистического интерпретации геометрии». Свидетельство о гос. per. программы для ЭВМ № 2009614746 от 3.09.2009г.;

- в учебном процессе на кафедре «Автоматизированные системы обработки информации и управления» и «Программное обеспечение» ИжГТУ при чтении лекций, проведении практических и лабораторных занятий студентов и магистрантов по дисциплинам учебного плана направлений 220200, 230100, 230100.62, и 230100.68-12, 230100.68-27 «Автоматизированные системы обработки информации и управления», «САПР и компьютерная графика», «Системы мультимедиа и компьютерная графика», «Компьютерная графика и Web-дизайн» при выполнении курсовых и дипломных проектов.

Апробация результатов работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических семинарах и конференциях: научных семинарах кафедры ПО и АСОИУ ИжГТУ (Ижевск, 1994-2013 гг.); научно-технические конференциях факультета информатики и вычислительной техники ИжГТУ (Ижевск, 19942013 гг.), Чайковского филиала ИжГТУ (Чайковский 2005г.); всероссийских научно-технических конференциях и научных конференциях: (математика) «Теория управления и математическое моделирование» (Ижевск, 2008г.); «Конференция по математике и механике» (Томск, 2008г.); «Математика и математическое моделирование» (Саранск, 2011г.) (математическое моделирование) «Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-хххх)» (Анжеро-Судженск, 2008, 2009, 2011гг.); (информационные технологии)

«Проведение научных исследований в области обработки, хранения, передачи и защиты информации» (Ульяновск, 2009г.); «Микроэлектроника и информатика» (Москва, 2009г.); «Информационные технологии в профессиональной деятельности и научной работе» (Йошкар-Ола, 2010г.); «Информатика и вычислительная техника» (Ульяновск, 2011г.); (педагогика) II Всероссийская конференция по информатике и математике (Иркутск, 2009г.) (дизайн) «Актуальные проблемы архитектуры, градостроительства и дизайна» (Магнитогорск, 2011г.) (лингвистика) «Язык как система и деятельность» (Елец, 2011г.) международных научно-технических и научных конференциях: (САПР) «Информационные технологии в промышленности (1Т1*хххх)» (Минск, 2008, 2010, 2012гг.); «Информатизация процессов формирования открытых систем на основе СУБД, САПР, АСНИ и систем искусственного интеллекта (ИНФОС-2009)» (Вологда, 2009г.); «Интеллектуальные системы» AIS и «Интеллектуальные САПР» CAD (Дивноморское, 2008, 2009гг.); «Математические методы в технике и технических науках - ММТТ-22» (Псков, 2009г.); (компьютерная графика) «Graphicon'95» (С.Петербург, 1995г.); (математика) «Геометрия в Одессе» (Одесса, 2008, 2010гг.); «Современная математика и математическое образование, проблемы истории и философии математики» (Тамбов, 2008г.); «Геометрия «в целом», топология и их приложения» (Харьков, 2009г.); «Математика. Образование» (Чебоксары, 2009г.); «Геометрия многообразий и ее приложения» (Улан-Удэ, 2010г.); «Геометрия, топология, алгебра и теория чисел. Применения. Конференция в честь 120-ия Б.Н. Делоне» (Москва, 2010г.); «Математика. Экономика. Образование» (Ростов на Дону, 2010г.); «Алгебра и геометрия» (Екатеринбург, 2011г.); «Современные проблемы топологии и приложения» (Ташкент, 2013г.); «Алгебра и комбинаторика» (Екатеринбург, 2013г.); (дизайн) «Современные проблемы дизайна, архитектуры и изобразительного искусства» (Магнитогорск, 2010г.); «Традиции и инновации в дизайне» (Новочеркасск, 2010г.) (искусственный интеллект) «Интерактивные системы и технологии проблем общения человек-компьютер» (Ульяновск, 2011г.); «Современные информационные технологии и ИТ-образование» (Москва, 2011г.); (информационные технологии) «VIII. конференции «НИТиС - 2008»» (Пенза, 2008г.); «Информационные процессы и технологии «Информатика — хххх» (Севастополь, 2009, 2012, 2013гг. в 2012,2013гг.- член оргкомитета конференции).

Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 70 печатных работах: трех монографиях (две в РФ, одна в ФРГ); 15 представлены в научных изданиях, рекомендуемых ВАК Министерства образования и науки РФ; две статьи опубликованы в межвузовских и ведомственных тематических сборниках; 22 работы в сборниках трудов международных и 14 работ-всероссийских научно-технических конференций.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 6 глав, заключения, списка использованной литературы и 4 приложений. Работа содержит 681 рисунок, 13 таблиц. Список использованной литературы включает 175 наименований. Объем работы без учета приложений составляет 338 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обоснование актуальности, описываются объект, предметы и методы исследования, указаны средства обеспечения достоверности и обоснованности полученных результатов и выводов, отмечены научная новизна и практическая значимость результатов, приведены основные положения диссертационной работы, выносимые на защиту, а также сведения об апробации, реализации и внедрении результатов работы, сведения о публикациях и личном вкладе соискателя в работах, опубликованных в соавторстве. Приведены сведения об объеме и структуре работы.

В первой главе «Проблемы математического и лингвистического обеспечения в машиностроительных САПР» приводится характеристика рассматриваемой предметной области и проводится анализ современного состояния, тенденций и перспектив развития методов и алгоритмов математического и программного обеспечения САПР, формулируются цель и задачи исследования.

Для повышения эффективности поддержки жизненного цикла военной продукции, производимой в США, в течение последних четырех десятилетий разрабатывается набор международных стандартов CALS. Для обмена геометрическими моделями (ГМ) предназначен язык Express-G, а так же некоторые другие стандарты. Разработчикам систем геометрического моделирования и САПР предлагалось описать языковыми средствами процесс и все алгоритмы создания модели. При создании самого сложного пакета прикладных программ предполагалось двойное описание включаемых модулей и затруднялось модификации программ. Решение не могло быть поддержано разработчиками программного обеспечения. В настоящее время, предполагается, что в состав передаваемой модели могут входить части программного кода, например на языке С. Предполагается доработка ГМ «на лету». Как результат такого подхода является разработка и отмена различных эталонов обмена ГМ в рамках стандарта STEP и выводы о невозможности обмена трехмерными моделями.

Функции САПР с твердотельным моделированием SolidWoiks 2008 AutoCAD 2013 КОМПАС-3Dv11 Pro/ENGINEER Wildfire 3.0 CATTA 5 3ds Max Design 2013

Тесты (5) по проблеме Кардано 4 3 4 5 5 5

Встроенные языки нет Visual Lisp, AutoLisp нет Есть нет нет

Возможность программирования Plug&Play j VBA, DIESEL. Java Plug&Play .lava Plug& Play Plug&Play

Количество форматов обмена 30 ! 22 1 12 17 _ II 19

Количество ЗЭ форматов 17 14 6 12 ¡71 9 1 !

Количество ЗГ) БоШ форматов 7 5 4 ~ 7 " " | 4 1 3 ' i i

Специальные средства обмена Прямые Сетевое проек-трансляторы 1 тнрование ; нет Прямые ! Сетевое трансляторы. ] проек-Сетевое проек- j ти ротирование [ вание Сетевое проектирование

В рамках исследования были протестированы САПР. При этом употреблялись демонстрационные версии или модификации для бесплатной инсталляции в учреждениях образования (таб.). Первая строка таблицы отражает количество пройденных тестов при сборке детали состоящей из трех элементарных объемных тел.

Проблема Кардана заключается в том, что любой вектор (х,у), где jr,j>e]R, (х,у)&хОу, (х,у) е хО:, (x,y)ezOy можно представить комбинацией

как минимум 2 из 12 поворотов а, вектора (*,,<)), где х, = ^Jx2 +у2, a, exOj> или а, exOz или а, е zOу. Проблема разрешается применением кватернионов Гамильтона: xj + yl + zk + w = 0, где x,y,z,w е 3 , j,k,l - гиперкомплексные числа. Кватернионы применяются во всех развитых современных геометрических библиотеках, например в OpenGL и DirectX. В кандидатской работе автора было доказано, что проводить анализ даже на эвклидовой плоскости геометрической модели изделия САПР необходимо с представлением информации на нижнем уровне в виде кватернионов.

Первые три теста не имеют сложных поворотов и редактирования сборки. Параметры объемных тел создавались с использованием положительных и отрицательных чисел. Последние два - это сложные сборки с поворотами. В том числе, последний имеет редактирование положения тела после финальной сборки. С простыми тестами справились все САПР. С установкой после сложного поворота 5 из 6. С редактированием трехмерного поворота только половина. С высокой долей вероятности можно говорить об отсутствии в первых трех САПРах кватернионов. Вместе с тем, так как AutoCAD и 3ds МАХ выпускается одной фирмой, то можно вести речь только об употреблении или неприменении соответствующих библиотек в отвечающих командах. Хотелось бы так же заметить, что применение кватернионов усложняет диалог при задании трехмерной сцены. Поэтому во многих подсистемах геометрического моделирования кватернионы явно не задаются.

Следующие две строки таблицы показывают возможность доработки программного и математического обеспечения внутренними средствами САПР. В двух системах из шести доработка математического обеспечения возможна с минимальными трудовыми затратами и без необходимости изучения внутреннего представления геометрической информации в системе. Следующие две строки отражают количество форматов обмена ГМ.

Так как возникающие при передаче ошибки не позволяют однозначно передать объемную модель, то многие САПР применяют специальные организационно-методические средства для проектирования машиностроительного изделия (последняя строка таблицы). Для успешной передачи объемной геометрической модели, в основном, используется метод сетевого проектирования. Прямая трансляция предполагает договоренность фирм производителей САПР о формате используемой объемной модели. Насколько прямая трансляция лучше обычной передачи очень сложно судить по демонстрационным версиям, так как у них эти средства, как правило, отключены.

Таким образом, решения проблемы межсистемной передачи по прежнему решается организационно-методическими средствами. При этом проблемы сохранения семантики и минимальности набора информации остаются, в том числе, даже для двумерной модели.

Вместе с тем, теория аналитической геометрии, лежащая в основе геометрического решателя САПР остается на уровне если не XVII века, то максимум начала XX. Любое линейное преобразования да же для конического сечения произвести нельзя, сложные (жордановы) кривые после трансформации вообще не представимы через единый объект. За прошедшие сто пятьдесят лет крупные результаты были достигнуты в такой науке, как теория множеств. Появилась прикладная ветвь математики - информатика. Все эти дисциплины работают с декартовым произведением - основой евклидовой плоскости КхК. Применяя метод подобия Лейбница, попытаемся получить новые результаты и в теории построения геометрической модели в машиностроительных САПР.

Для решения задачи обмена геометрическими моделями необходимо решить следующие проблемы теоретической геометрии:

- нахождение параметров любого линейного преобразования;

- поиск аналитической формулы для линии пересечения двух тел;

- поиск канонической аналитической формулы линии пересечения при

произвольном линейном преобразовании.

После решения данных задач так же необходима строгая классификация плоских кривых - сечений трехмерных тел для унификации стандарта. Последние классификации на основе алгебраических формул проводились в XVII и XVIII веках.

Одной из нерешенных задач математического обеспечения САПР, исследуемой в работе, является получение точных координат пересечения двух эллипсов. Пусть имеются два эллипса £,: Е: =<х1,у1,а1,Ь1,(р1 >, где /е{1,2}, (хпУ,) ~ координаты центра эллипса, апЬ1 - полуоси, <р, - угол наклона эллипса. е К, ср, е]-я,я]. Необходимо получить аналитическое решение для вычисления точек пересечения. Классически задача решается последовательным применением методов Декарта-Эйлера и Кардано-Тартальи для нахождения корней соответственно уравнений четвертой степени и третьей. В некоторых случаях получаются решения с комплексной составляющей: хп = -хлк + и - количество корней, хп1{,хпС е К. При этом величины хпН и х„г иногда сопоставимы, что затрудняет вывод о существовании точки пересечения в действительности. Исходная задача формулировалась так: найти только действительные точки пересечения двух эллипсов, используя метод цепочек преобразований вычислительной геометрии.

Вторая проблема геометрического моделирования - это точность модели. Одним из важнейших вопросов геометрического моделирования в САПР является представление поверхностей и кривых. Для решения данной проблемы, по теории французских прикладных математиков, предполагается разбиение данной тематики на три класса задач: интерполяцию, сглаживание и аппроксимацию. На рассматриваемое п-мерное множество П, где П е К", накладываются

отображения - функции /, ставящие для каждой функции в соответствие число S,(/), где 8,(/) е К. При этом предпочтение отдается методам:

- результат которых линейно зависит от данных;

- решение сводится к рассмотрению системы линейных уравнений;

- обычно используется ортогональный или собственный базис.

Задача интерполяции решается с помощью интерполяционных полиномов Лагранжа или Эрмита, базисных полиномов Ньютона, полиномиальных или кубических сплайнов. Для сглаживания наиболее популярными методами являются: метод наименьших квадратов; сглаживающие сплайны; сплайны Бе-зье и В-сплайны. Теория сплайнов хорошо развита и применяется во многих приложениях.

В результате такого подхода для хранения плоских кривых и трехмерных поверхностей наиболее часто используются функции Рвачева (R -функции) и NURBS (кривые и поверхности, построенные с помощью сплайнов Безье и В-сплайнов). Данные виды математического описания кривых, к сожалению, обладают одним существенным недостатком - приближенным значением точки в пространстве ПГ. Особенно остро проблема точности встает при проектировании геометрических моделей изделий машиностроения, где зачастую точность обработки значительно превышает точность моделирования.

Поэтому для увеличения точности геометрического моделирования необходимо:

- получение параметров произвольного линейного преобразования над

плоской кривой, описанной с помощью канонических формул;

- исследование насколько методы, употребляющиеся для квадратичной

формы, применимы для более сложных форм

- исследовать само понятие «каноническая формула» в аналитической

геометрии.

Существующий математический аппарат расчета проектируемого изделия, межсистемной передачи данных и дизайна образца, как правило, не связан друг с другом. Поэтому создание единой теории могло устранить вышеизложенные недостатки. Для решения задачи предполагается использовать метод подобия Лейбница, так как все функциональные подсистемы САПР работают с одним проектируемым образцом и с одним типом математической операции -декартовым произведением.

Современная геометрия предполагает две основные ветви: неалгебраическую и алгебраическую. Движение точки по фигуре определяет формулу ее описания или наоборот. Остановимся в данной работе на тезисе об определении формулы движением.

Следующим важнейшим вопросом является толкование евклидовой плоскости К . В данной работе под евклидовой плоскостью будем понимать такую систему, в которой система координат неподвижна, а плоскость деформируется. Будем употреблять только декартову систему координат, так как в большинстве САПР применяется только она.

Следующими терминами, требующими уточнения, являются каноническое форма и каноническое уравнение. В связи с отсутствием термина «канонический» в Советских и Российских математических энциклопедиях и словарях, примем расширенное толкование по П.С. Александрову.

Будем считать, что квадратичная форма может иметь как ортогональный, так и неортогональный базис. Рассмотрен классический метод приведения к каноническому виду уравнения линии второго порядка с центром в начале координат на плоскости и выделены его недостатки:

- метод не определяет формулы для линейно-зависимых преобразований М , когда Л/ = О. Математическая теория противоречит единой сущности представления ГМ в САПР. Мешает изучению сложных плоских и пространственных кривых, описывающихся вырожденной системой параметрических урав-

[*=/

нении, например для параболы с параметрической системой <!

и = (2/7)"'г'

- не любое преобразование обладает базисом из собственных векторов, в качестве примера приводится преобразование с матрицей ^ 11.

Так как для нахождения параметров преобразования в нем используется характеристическое уравнение, назовем метод характеристическим. Развитием характеристического метода является метод ортогонального инварианта Клейна. Наряду с квадратичной формой рассматривается форма Ах~ +2Вху + Су- + Ох1 + Еу[ + ГГ = 0, где / не имеет геометрического смысла.

В связи с тем, что одним из недостатков характеристического метода является невозможность его применения для вырожденных преобразований, рассмотрены определения вырожденного преобразования по П.С. Александрову

„ (а ь\ (а а\ (преобразования с матрицами 5, = и 52 = ) и Н.В. Ефимову (пре-

Vя Ь)

образование плоскости в прямую).

Так же кратко проанализирован неортогональный базис Картана. К сожалению, подбор базиса по 12 параметрам в трехмерном пространстве более затруднителен, чем обычная линейная интерполяция и так же не может дать точных результатов, так как обладает недостатками интерполяции.

Работы Лейбница были развиты Г. Вейлем, который предположил, что принципы подобия формируются на основе симметрии (автоморфизмов) евклидовой плоскости (пространства). Кратко описаны классические автоморфизмы Г. Вейля. Сообщается о попытке Ф. Бахмана построить аксиомы пространства на основе симметрии. Из его работ берется понятие бинарной симметрии, как наиболее глубокое. Понятие автоморфизма (симметрии, внутреннего отношения пространства) в работе берется по Максу Борну.

Описывается аксиоматика векторных пространств Дьедоне, построенная на основании аксиом Гильберта. Главными тезисом, взятым из работ этого автора, является отказ от рассмотрения отображений £х£->£, 1х£->£,

£х£—на КхК->КхМ. Таким образом, происходит попытка сохранить декартово произведение. Кроме того, из его работ взято два автоморфизма: знаковый (зеркальный, кососимметрия) и переставной (симметрия). К сожалению,

[О Р

Дьедонне основывает переставную симметрию I ^ 3? х К -> К. Кроме того, некоторые базовые выкладки основаны на равенстве

, определенный, как третий автоморфизм (суше-

на отображении

отображения матрице

ч0 V

ствования).

В связи с тем, что переставная симметрия определяет операцию перестановки у и данная операция не относится к алгебраическим, предлагается рассмотреть родственные виды неалгебраических геометрий.

Кратко рассмотрены понятия конвексной или дискретной геометрии. Конвексную геометрию и данное исследование объединяют: объект исследования - евклидова плоскость (пространство); наличие как алгебраических, так и неалгебраических правил; рассмотрение задач исследования в локальных окрестностях; прямая связь исследований с вычислительной геометрией. При этом хотелось бы отметить один существенный факт, упущенный в конвексной геометрии: кроме теоретико-множественных операций над множествами объединение, пересечение и разница, существует еще одно действие - декартово произведение, которое зачислено по традиции к алгебраическим аксиомам.

Последняя теоретико-множественная операция рассматривается далее в смежных областях знаний как математических, так и не математических.

Анализируется понятие декартова (прямого) произведения на примере разных по элементам множеств и ограниченного множества (локальной окрестности) евклидовой плоскости. Дана ZFC аксиоматика по Горбатову. Из трех существующих альтернатив при доработке теории множеств Френкель выбрал формулировки Лейбница, то есть пытался выделить автоморфизмы универсального множества. Таким автоморфизмом он считал выражение аеЛ. Главным определением является определение отношения включения, из которого следуют все аксиомы. Дан анализ работ Куратовского, который пытался вывести из 2РС аксиом аксиому отношения. Доказывается, что данная аксиома противоречит понятию отношения принадлежности Френкеля. Определение упорядоченной пары декартова произведения как <х,у >={{дг},{х,_к}} из {х,у}с!иК и {.г}сХиК так же не хранит порядок. Констатируется утверждение Горбатова об отсутствии в 7ЯС аксиомах аксиомы порядка.

Основываясь на мысли Гильберта о синтаксических правилах построения плоскости (пространства) рассматриваются правила анализа текстов. За последние 50 лет Хомским и др. в лингвистику внесено много математических идей. Впрочем, влияние математики на лингвистику следует начинать еще с работ Клейна. Из лингвистики в дальнейшей работе предлагается использовать этапы семиотического (синтаксический, семиотический, прагматический) анализа для рассмотрения характеристик объекта на всех возможных этапах его

применения, а так же деление правил на классифицирующие и модифицирующие. Уделено внимание работам В.А. Звегинцева в его интерпретации структурной лингвистике. Но в отличие от предыдущей работы автора диссертации подчеркивается бинарный характер уровней изучения предметной области. В этой мысли, рассуждения Звегинцева совпадают с мыслями Бахмана и Яглома о сущности симметрии в пространстве.

Далее дается краткое описание сведений из реляционной алгебры Э. Код-да. Данный раздел взят потому, что он так же работает с декартовым произведением и имеет широкое практическое применение. Описано понятие таблицы реляционной базы данных, как расширение декартова произведения. Рассмотрена первая нормальная форма таблицы при которой (даются требования только нужные для исследования):

- в таблице отсутствуют одинаковые кортежи;

- имя каждого столбца уникально;

- каждый атрибут связан с определенным доменом;

- элементы кортежа, имеющие функциональную зависимость, фиксируются;

- записи упорядочены.

Два определения (декартова произведения и отношения) взяты из реляционной алгебры.

Констатируются факты того, что в реляционной алгебре принято рассматривать порядок (отношение) до определения множества, а так же теория реляционной алгебры не зависит от конечности множества.

Указывается, что отношение одинаково в теории множеств и геометрии, но другое в реляционной алгебре. Таким образом, отношения на эвклидовой плоскости требуют дополнительных исследований.

Во второй главе «Системный анализ внутренних отношений объекта проектирования машиностроительных изделий» выведены некоторые формулы, ранее отсутствующие в аналитической геометрии, проанализировано поведение автоморфизмов в реляционной базе данных и сформулированы основные понятия единой математической теории представления проектируемого изделия.

В соответствии с определением 1 выведены формулы для произвольного линейно-независимого преобразования окружности без поворота образа на собственный угол (в ортонормированном базисе).

Пусть окружность х2+у2= I2 преобразована с матрицей Р = \а А

. Тогда

/

угол поворота определиться по формуле

,2\_/,2-ГГ' а каноническое уравнение будет:

(1-1§2а )(аЬ-8И)2 Х + (\-tg2a ){aЬ-gh)1 У

Проанализированы результаты подстановки в общую формулу окружности конкретных значений для именных преобразований, наиболее употребляемые в машиностроительных САПР: поворот, гомотетия, сжатие вдоль оси X

(\ /А

(У), сдвиг вдоль оси Х (У) с матрицей преобразования

V" 'У \д£

Параметры поворота и гомотетии можно вычислить без подсчета собственного угла а. Сжатие вдоль оси вычисляется по значению а = 0. Формулы дают

.1

правильный результат. Для преобразования сдвиг с матрицей

О 1

получены

„ 2 х'г у" значения: tg2a = —, —5—н—;— h ctg a tg" a

= 1. Для преобразования сдвиг с матрицей

1 О

8 У

получены значения: tg2a = —

У

• = 1. Для произвольного

g tg-a ctg a

линейно-независимого преобразования решение существует всегда.

Далее на основе леммы Н.В. Ефимова исследованы линейно-зависимые преобразования. Пусть имеется окружность, расположенная в начале координат, с

х ~ cos/

параметрическим уравнением: -J . . Осуществим над ней вырожденное пре-

образование \x = djism{nl 4+t)

x = dx + dy у = сх + су

у = sin/

x = dcost + ds\nt 5> = csin/ + ccos/'

/- V2 -Л . s

х = dj 2(—cos t + —sin/) 2 2

r- -J2 . V2

j> = cv2(—sin/ + —cos/)

2 2

. Исследуя систему, получаем, что для параметра /е[-я,л]

[у = с^25\п(п/4 + 1)

существует множество неравных между собой действительных точек, а не одна. Считается, что вырожденный эллипс с формулой т2х2 + п2у = 0 разложим в (тх + ¡пу){тх - ту) = 0. Разложение эллипса игнорирует декартово произведение. Теорема 1

Формула образа единичной окружности трансформированной преобразо-

{л А

ванием с матрицей 5, = эквивалентна формуле мнимого эллипса

Iе с)

*> 2 2 2 г\

т'х +п у = 0.

Введены дополнительные группы вырожденных преобразований

5,=

О с О d

S4 =

с о d О

. s5 =

с d

О о)

и 56 =

/0 0N

из равенства определите-

ля 0. Как будет видно из дальнейших материалов, ноль нельзя считать колли-

неарным множителем двух действительных чисел для вырожденных преобразований.

Теорема 2

Любое вырожденное преобразование произвольной фигуры - жордановои кривой, принадлежащей плоскости, описываемой параметрической системой уравнений, с непрерывными функциями, заданными на интервале вещественной оси, трансформирует данную фигуру в прямую линию, отрезок прямой или луч.

Следствие 2.1

Вырожденное преобразование =

а Ь

эквивалентно единичному вы-

рожденному преобразованию

Ь

Теорема 3

Симметричная фигура, подвергнутая линейно-зависимому преобразованию, трансформируется без учета области определения параметра и наличия точек разрыва, в две части одной прямой, если матрица вырожденного преобразования не имеет нулевых коэффициентов. При этом образы симметричных непрерывных дуг этой прямой могут иметь разную длину.

Выделены некоторые случаи для групп 5, и 5, когда отрезки будут

иметь одинаковую длину.

Предположено, что автоморфизмы плоскости должны выполняться для

любых линейных преобразований.

Рассмотрены группы симметрии линейно-зависимых преобразований, выделяют присущие трансформациям уникальные автоморфизмы.

Из следствия 2.1 теоремы 2, а так же матричного равенства

'ск ск\ (к 0\(с сЛ (к 0Ус 0У1 1

О 1

с с

О 1

О с

для рассмотрения групп сим-

метрии вырожденных преобразований 5,, где /е {1,2,3,4} достаточно рассмот-

(\ П

. По таблице Г. Вейля получаем группы:

реть преобразование с матрицей

С,=£

«4 =

С„ =

'1 О

(со5(ТГ/2) -5Ш<71/2)у1 о О -1

-1 О 0 -1

-1 0У1 О

Е,

С05 71 —Б1ПЯ ^Бтя С05 71 у

'о -Г

>1 о'"

комбинацией знаковых симметрий и переставной. Группы и вместо

'1 0 О -1

зт(л/2) со&(п/2) нацией знаковых с

группы Дд имеют группу Ох

о 1 До -1

Последняя группа является

и не имеют переставной симметрии.

К автоморфизмам Дьедонне-Бахмана отнесем известные автоморфизмы евклидовой плоскости:

знаковую симметрию по абсциссе с матрицей преобразования:

Симметрию существования, определяемую первой аксиомой теории множеств и употребляемую при исследовании автоморфизмов Дьедонне, обозначим как

Теорема 4

Переставная симметрия не выразима через суперпозиции знаковых симметрий. Рассмотрим множество () = {(х,у)\/(х,у):х = у). Для данного подмно-

этом множестве полностью совпадают элементы в каждой паре, но это подмножество задано функциональной зависимостью f(x,y).

Базовым автоморфизмом теории множеств является одно атомарное предложение принадлежности множеству «е». Все отношения вытекают из построенных множеств. Исключение может составлять только автоморфизм существования, неявно выраженный в определении «отношения включения» между множествами. Для существования отношения принадлежности множеству множество должно отличаться от пустого. Или другими словами, должно существовать по крайне мере одно непустое множество.

Поскольку то же утверждает реляционная алгебра необходимо проанализировать автоморфизмы с учетом ее теории.

Определены первичные базовые наборы автоморфизмов теории множеств и плоскости. Наименее исследованной является симметрия перестановки у . Определим ее особенности при использовании в большинстве решаемых задач. В геометрии эту проблему, на первый взгляд, решить затруднительно. Поэтому попробуем сделать такую попытку в реляционной алгебре, как работающей с такими же типами теоретико-множественных операций, как геометрия с учетом новой аксиомы.

Приступим к теоретико-информационному анализу влияния переставной симметрии на таблицу реляционной базы данных. Для широкого толкования второго правила Кодда, применим лингвистику, как раздел науки, занимающийся изучением смыслов текстов. Рассмотрим этого правило как категорий-ное понятие во всех разделах семиотического анализа. Назовем определение основателя реляционной алгебры синтаксическим. С точки зрения теории мно-

- симметрию перестановки: Y =

жества 2 с К2 переставная симметрия выразима через знаковую, так как на

жеств имя таблицы - это имя подмножества совокупного декартова произведения всех возможных множеств, определяющего весь окружающий мир и его знания. Имя столбца определяет уникальный идентификатор, определяющий как имя подмножества, так и его вычислительные свойства. Данный совокупный объект принято называть в реляционной алгебре доменом. Первичный ключ определяет некоторый порядок кортежей в таблице и обеспечивает уникальность каждого. На этом этапе применение операции перестановка возможна для имени столбца и для любого кортежа до тех пор, пока порядок не зафиксирован.

Семантическую и прагматическую интерпретацию рассматриваем принятыми в реляционной алгебре способами: анализом применения теоретической конструкции в алгоритме использования БД и соответствием интерпретации предметной области. Будем считать, что операция перестановки является атакой на базу данных. На синтаксическом уровне операция перестановки возможна. На семантическом уровне была рассмотрена атака по замене налогового удержания и суммы на руки для реляционной таблицы начисления заработной платы. Атака в современных СУБД известна и не возможна.

Для примера прагматической интерпретации второго правила Кодда использована многотабличная реляционная база данных, отражающая информационные потоки в супермаркете. Показано, что при атаке целостность БД может не меняться, так как данной покупке может соответствовать другая покупка: клубники по цене картошки, товара по заниженной цене, большого объема товара по цене меньшего. Данная атака на БД встречается и может быть решена появлением другой таблицы с реальными параметрами продаваемого товара. Нарушено 5 правило первой нормальной формы.

Таким образом, в широкой интерпретации второго правила Кодда, операция перестановки нарушает адекватность информации. Вообще, операция перестановки разрешена реляционной алгеброй. Она часто используется при вводе новых значений в ячейку таблицы.

Для интерпретации математического закона полученных в предыдущем материале результатов рассмотрим формулу ху = ух определяющую порядок расположения атомов в кристалле с точки зрения автоморфизмов плоскости. Пусть х,уе?7/, тогда трансляция ху = ух содержит переставную симметрию Ур. Кроме того, для создания полного набора значений используется симметрия

переноса определяемая порядком множества Назовем эту симметрию Ут и симметрией порядка. До сих пор она применялась практически только в кристаллографии и химии.

Рассмотрим взаимодействие симметрий У и Ут. Очевидно, что симметрии оказываются взаимоисключающими. Если есть два элемента множества х и у, между которыми существует отношение «о», то переставная симметрия не нарушит симметрию переноса тогда и только тогда, когда

(симметрия Ут определяется формулой х, = у1 для любых двух элементов множества или множеств).

Рассмотрим множество К с точки зрения симметрии переноса. На данном множестве существует ритм, определяемый отношением г, но не существует такого ДеМ, что А =г1+]-гг Можно ли считать данный ритм симметрией порядка - очевидно, что да. Таким образом, симметрия переноса может и не содержать величины переноса. Очевидно, что так же существует дополнительное свойство для каждого элемента г/- - изображение его в алфавите цифр, запятой или точки, знаков минус и плюс уникально. Предположим, что алфавит А1 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,.,-,+} заменен другим алфавитом, содержащим, например символы английской азбуки и цифры. Некоторые правила образования могут порождать слова в данном алфавите и известно, что все слова уникальны. Очевидно, симметрия порядка будет и на нечисловом множестве рожденным и изображенным не только цифровыми символами. Уникальность изображения элемента множества образует порядок (симметрию переноса) на множестве. Лингвистический порядок подчиняется отношению«*». На евклидовой плоскости, определяемой декартовым произведением, имя каждого множества (координаты) уникально.

Вспомним результат прагматического анализа второго правила Кодда. Автоморфизм Ур нарушил симметрию порядка Ут следования кортежей в таблице. Поскольку, как правило, первичный индекс таблицы принадлежит множеству К, то симметрия УтЧ вполне числовая и выражает симметрию переноса При семантическом анализе применения второго правила Кодда нарушается порядок следования элементов в кортеже. При нарушении порядка следования элементов в кортеже мы имеем случай использования нечисловой символьной симметрии переноса К,1- Очевидно, что порядок, определяемый автоморфизмом Ут, значительно важнее, чем переставная симметрия Ур. Соединение синтетической геометрии и алгебры сразу содержало в себе неалгебраические свойства.

Таким образом, важнейшим автоморфизмом декартова произведения после симметрии существования множества Уь, выступает симметрия порядка Ут, которая может быть как математической УтМ, так и лингвистической Ут1. Можно только подтвердить правильность теории реляционной алгебры, рассматривающей порядок раньше, чем операции на множестве. Более низкий приоритет имеет переставная симметрия У Самой слабой симметрией,

определенной только на некоторых множествах, является знаковая.

Для решения проблем представления ГМ в САПР применим теоретико-множественный анализ. Рассмотрим эвклидову плоскость, как объект реляционной алгебры и сформулируем теоремы.

Теорема 5

При интерпретации евклидовой плоскости как таблицы реляционной БД

является синтаксическим правилом ее построения.

Доказательство.

Каждая таблица реляционной базы данных строится как декартово произведение V\xV2x...xVn, где y,={vn ,vl2,...,vlti} —домен, v/(, —элемент некоторого множества, i,n,k„j,l eZ. Операция перестановки в декартовом произведении К, х V} х... х Vn допустима, но нельзя выполнять операцию перестановки элементов множеств vlk <r>v/k, где К = F . по второму правилу Кодда, так как

нарушается уникальность полей БД. На декартовом произведении F, х V2 х... х Vn допускается отношение S czP\xV2x...xVn.

Пусть п = 2, V, = К, к, - 2К", ./,/ £ 5, v, (. = j, v,, = /, тогда \\ х К2 — евклидова плоскость. Параметр А, является мощностью континуума, Х0 — мощность множества Ъ. Из множества преобразований плоскости определяемых

"1 А* fl Г

, где a,b,h,ge ik, выделим одно с матрицей

матрицей

a h Ь

1 О

. Данное

преобразование называется симметрией. Пусть имеется кортеж <г1/,у,/>, называемый в геометрии радиус-вектором 0'1/,у2/), тогда

'V (0 П

Ли J 0,

21J <-» v,.

Получен результат, противоречащий второму правилу Кодда, так как Так как допустимо У2*У,, то переставная симметрия есть синтаксическое правило евклидовой плоскости, поскольку порядок в декартовом произведении определяется синтаксисом создания таблицы. □

Теорема 6

Симметрия порядка является синтаксическим правилом построения евклидовой плоскости структурно более ранним, чем переставная симметрия.

Доказательство.

Предположим противное, что первичным автоморфизмов является переставная симметрия. Симметрия порядка на евклидовой плоскости разложима на лингвистическую \т, хранящую порядок следования декартова произведения и математическую УтМ, определяющую порядок на множестве К.

1. Рассмотрим лингвистическую симметрия порядка Ут1. Евклидова плоскость является частным случаем таблицы реляционных баз данных. Декартово произведение не может быть разным в реляционной алгебре и геометрии. Рассмотрим декартово произведение множеств А = {а,Ь} и В = {0,1}:

а,0 >,< а,1 >,< 6,0 >,< 6,1 >}. Поменяем с помощью переставной симметрии произвольный элемент множества, например, второй и получим множество с : С = {< а,0 >,< \,а >,<Ь.0>,<Ь,\ >}. Но множества АхВфС, следовательно, переставная симметрия уничтожает порядок декартова произведения и не может быть старшим автоморфизмом.

2. Рассмотрим математическую симметрия порядка УпМ. Пусть имеются два действительных числа таких, что г, Поменяем их местами. Для двух элементов вместо отношения г; -< гм получим отношение /- >- гм. Порядок

множества н нарушен. Переставная симметрия не может являться старшим автоморфизмом. □

Таким образом, обнаружены автоморфизмы евклидовой плоскости и порядок на них (приоритет каждого автоморфизма): 1.Симметрия существования; 2. Симметрия принадлежности элемента множеству; 3. Симметрия лингвистического порядка; 4. Симметрия математического порядка, не всегда определяемая алгебраическими формулами; 5. Симметрия перестановки; 6. Знаковая симметрия.

Вопрос о полноте системы автоморфизмов решается просто: согласно таблице Вейля не рассмотрены группы, оставляющие инвариантными, соответственно, правильный тетраэдр, куб (или октаэдр) и додекаэдр (или икосаэдр). Попробуем для решения текущих задач вычислительной геометрии обойтись без них.

Рассмотрим взаимодействие уровней изучения симметрии в таблице между собой. При анализе будем руководствоваться правилом, найденным для анализа языка машиностроительного чертежа: каждый уровень с номером < семантически связан с уровнем /-2 и / + 2.

Зеркальная симметрия (уровень 6) связана с симметрией математического порядка (уровень 4) за счет употребления знака который в случае употребления полного кольца присутствует у некоторых элементов множеств 2,<3,Е,С и т.д. Переставная симметрия (уровень 5) связана с симметрией лингвистического порядка как единственная операция возможная на данном множестве. Симметрия математического порядка (уровень 4) связана с симметрией А. Френкеля слабо. Из принадлежности элемента множеству не следует определенный порядок на кольце. Предположим, что существует некоторая симметрия существования универсального отношения с номером 2'. Симметрия А.Френкеля, наоборот, слишком связана с симметрией существования и возможно пропущена симметрия существования порядка на множестве, как таковом. При доказательстве приоритета симметрий 4 и 5, и по второму правилу Кодда она была не явно употреблена. Между первой и второй симметриями должна существовать симметрия Г.

Предыдущие выводы основаны на предположении Кодда: отношение первично, множество вторично. Вообще, противоречие между 2Р-теорией множеств и реляционной алгеброй отсутствует. Рассмотрим отношение автоморфизма Френкеля ае А. Оно не имеет смысла без отношения «е». Отношение идет впереди множества. С другой стороны, реляционная алгебра работает с непустым множеством. Непустое множество первично. Кроме того, основная теорема реляционной алгебры (о выборке) действительна как для ограниченного множества, так и для бесконечного.

Поскольку используемое в САПР евклидово пространство вполне конформно, то универсальным отношением будет являться формула Эйлера: еп = -1. Кроме того, после рассмотрения произвольных линейных преобразования над жордановыми кривыми (гл. 4) будут сформулированы еще две симметрии, следующие за симметрией Эйлера: сохранения мощности множества и сохранения мощности отношения (порядка вычислений).

Таким образом, бинарная таблица автоморфизмов примет вид (второе название автоморфизма в честь первооткрывателя):

1. Симметрия существования множества-симметрия Цермело.

2. Симметрия существования отношения - симметрия Кодда.

3. Симметрия принадлежности множеству - симметрия Френкеля.

4. Симметрия универсального отношения - симметрия Эйлера.

5. Симметрия сохранения мощности множества - симметрия Лагранжа.

6. Симметрия сохранения мощности отношения - симметрия Клейна.

7. Симметрия лингвистического порядка - симметрия Декарта.

8. Симметрия математического порядка - симметрия Кантора.

9. Переставная симметрия.

10. Зеркальная симметрия.

Четные автоморфизмы являются частью универсальной алгебры, а нечетные-теории множеств.

Правилом соединений симметрий в единую таблицу является автоморфизм знаний. Пусть имеется некоторая область знаний К. Предположим, что знания продуцируются на основе двух теорий: К| и К^. Теория к; обладает уровнями изучения ¿(/, где / - номер теории, у - текущий номер уровней изучения (автоморфизма). В общем случае мощность уровней изучения может быть разной.

Пусть применена некоторая нормализация ¿^ = /(¿,,), переводящая правило ¿0 в бинарное правило Цг Любое ¿,' е В, где В - булева алгебра. Тогда над уровнями изучения возможно применение структурной лингвистики. Главным вопросом в теории К тогда будет вопрос о том, как соотносятся между собой и /Д,.

По аналогии с симметрией переноса можно предположить, что в суммирующей теории К уровни изучения расположатся по закону: ¿,',,¿4,,...,Цт,Ц,„ (симметрия знаний). Заметим, что любое правило уникально. Практика применения показывает, что если множества обладают разной мощностью, количество уровней изучения К; и К'2 разное, в теории К появляются дополнительные правила и следует говорить о последовательности: ¿^ если мощность ш(К|) обладает: т(К|)<т(К2).

Пусть на уровне изучения Иц имеется набор семантических правил Б, . Набор содержит некоторые семантики разрешимые на данном уровне и неразрешимые на ¿/; где зф(х„...,хПк)е В, х, -некоторые

факторы. Решая проблемы семиотического анализа машиностроительных чертежей были выявлены связи семантик: -> л-,/+2я =1 или 5ук = 1. Данные отношения определяется автоморфизмом знаний.

Определим синтаксические правила автоморфизма знаний. Уровни изучения знаний для области знаний К( могут быть сформулированы на описа-

тельном языке далеком от математики, поэтому для формализации уровней изучения необходимы следующие правила:

1. Бинарности: е В, ^ е В;

2. Точности формулировки. Примером точности формулировки следует считать правило принадлежности элемента множеству Френкеля, из которого следует 2Р-аксиоматика.

3. Импликации семантик: —> .?,/+2„ = 1.

Симметрию знаний так же можно назвать симметрией Гильберта, так как именно он впервые установил связь между аксиоматикой упорядоченного множества чисел и аксиоматикой плоскости.

Определение 4. Информационно-лингвистическая интерпретация геометрии

Назовем интерпретацию геометрии информационно-лингвистической, так как порядок (отношение) на ней ставятся впереди аксиом, как в реляционной алгебре, и кроме математического порядка существует лингвистический.

Переставная симметрия фигурирует в нескольких аксиомах множества Е, следовательно, и на евклидовой плоскости. К данным видам аксиом необходимо отнести: аксиому коммутативностих + у = у + ассоциативности сложения и умножения (х + у) + г = х + (у + :) и х(ух) = (ху)г. Поскольку симметрия порядка и перестановки являются преимущественно антагонизмами и автоморфизмами евклидовой плоскости одновременно, то сформулируем гипотезу симметрии.

Определение 5. Гипотеза баланса автоморфизмов

Любое отношение, отображение, функция, операция, оператор, морфизм, преобразование на эвклидовой плоскости осуществляется таким образом, чтобы выполнить симметрию с младшим номером с сохранением симметрий следующих за ней.

Все симметрии предназначены только для одной цели - сохранения декартова произведения. Декартово произведение может быть уничтожено только

некоторыми вырожденными преобразованиями.

Вернемся к ранее рассмотренному множеству (). На данном множестве переставная симметрия и симметрия порядка не противоречат друг другу. Определение 6

Главная ось симметрии (ось баланса симметрий) евклидовой плоскости проходит по прямой х = у.

Согласно определению 5 любое преобразование происходит с сохранением баланса симметрий. Тогда понятие собственного базиса квадратичной формы

можно трактовать следующим образом.

Определение 7

Собственный базис квадратичной формы определяет систему координат обеспечивающую непротиворечивость симметрий порядка и переставной.

Далее рассмотрим, как влияют полученные нами новые определения на конкретные проблемы морфизмов на эвклидовой плоскости.

В главе 3 «Изменения математического обеспечения САПР при проектировании изделия с использованием новой теории» обоснован неортогональный базис и приведены первые теоремы по обоснованию прямого аналитического метода произвольных преобразований жордановых кривых, доказана непротиворечивость данной интерпретации геометрии и алгебраической.

В начале рассматривается окружность, как совершенная фигура, подчиняющая всем автоморфизмам плоскости.

Теорема 7

Переставная симметрия определяется собственным базисом эллипса.

таксическому правилу построения плоскости, поэтому для собственного ортогонального базиса Ое,е2 должен существовать симметричный репер §е\е'г относительно прямой АВ (рис. 1). Базис Ое[е'2 является ортогональным, но совокупность векторов реперов даст четыре неортогональных базиса: Ое,^', СЦе,, Ое,е[, 0е2е'2. Особенно интересны из них два первых, так как именно вектор с, определяет угол наклона фигуры. Гипотеза сохранения баланса симметрий, как синтаксическое правило построения евклидовой плоскости, приводит к появлению локального собственного базиса. Базис назван собственным неортогональным постоянным (СНОП), в отличие от базиса Картана псевдоевклидовой плоскости.

Далее рассматривается преобразования сдвиг для центрально-симметрических конических сечений, как менее изученное именное преобразование.

Впервые дополнительный угол р вместе с собственным углом а в параметрической системе описывающей эллипс был употреблен С.А. Канторовичем (студент автора в 1994г.) для преобразованием сжатие/растяжение повернутого на произвольный угол ф эллипса. При этом автор выкладок рассматривал второй угол р как сдвиг фазы при движении точки по орбите.

Теорема 8

Из главы 2 симметрия

(переставная симметрия) относится к син-

Для окружности, имеющей параметрическое уравнение

X = /?СОБ/

у = Лет/'

при

сдвиге

результирующий эллипс получается с углом наклона а

tga = tg(3-A, где угол р определяется tg2p = ——, с полуосями g, = R S'" ^ и

h sin а

b¡ = R C0S^ , коэффициентом сжатия к = . cosa tga

Теорема 9

Параметры эллипса, полученного при преобразовании сдвиг с использованием косоугольного репера переставной симметрии, совпадают с параметрами, полученными классическим способом.

Если применить к формулам предыдущего параграфа расширение над множеством действительных чисел и предположить, что нечетное число коэффициентов h,g,a,b&С, при этом, если коэффициент ce{a,b,g,h}, принадлежит множеству комплексных чисел, то Re с = 0, можно получить расширение формул для гиперболы. Теорема 10

Изменение параметров произвольной гиперболы, находящейся в начале координат, после преобразования сдвиг можно выразить через углы a и р, аналогично изменениям окружности и эллипса.

На основе предложенного в предыдущем пункте метода для преобразования сдвиг сформулируем общие правила нахождения параметров после приме-

(a hЛ

нения произвольного линеиного преобразования , получены формулы:

U ь)

I. Исходная для применения метода система уравнений: я, cos(í + a) = acos(/ + Р) + Asin(í + Р) ¿i sin(/ + a) = 6sin(í + P) + gcos(/ + P)'

2 jgb + ha) a1-h2-b2+gz

3. Величина угла a определиться no формулам: tga, _at8P ^

ó-gtgp

¿tgP + g tga, = а ; ' a + htgp

2. Величина угла P определиться по формуле: —^—^-^—j- = tg2p;

..... acosp + ftsinp ésinP+ecos8

4. Коэффициент a¡ будет равен: аи =---- и а,, =--—---;

cosa " sina

. ., , , , , asinP-/icosP , ¿cosP-psinP

5. Коэффициент о, будет равен: Ьи =---— и о,, =--—---.

sina " cosa

Теорема 11

Углы а, полученные по формулам метода, равны. Теорема 12

Параметры преобразований a,, 2 при ¿sinp + gcosp^o и Ьи2 ПРИ

¿соэР-^втР^О равны между собой.

Далее исследуется применимость метода для именных преобразований в САПР. Из анализа применения метода видно, что формулы применимы для большинства преобразований. Для простых преобразований (гомотетия, поворот) СНОП базис не существует, но в близких преобразованиях принимает значения, сохраняющие основные свойства данных трансформаций. Для более сложных (сжатие), базис вырожден, но существует. Для самых сложных (сдвиг) - без базиса невозможно получить параметры, но обязательно возникает проблема двойного увеличения возникающих значений параметров, которая впрочем, позволяет проверять правильность найденных коэффициентов. Для вырожденных преобразований, определяемых группами 5,, где /е {1,2,3,4}, метод так же применим. Для групп 55 и Sь метод дает другие результаты:

а, е {—,оо,0,С }, Ь, е {—,оо,0,-——}, что позволяет сформулировать тео-0 с 0 й

рему.

Теорема 13

Информационно-лингвистическая интерпретация геометрии допускает алгебраическую геометрию. Доказательство

(с с!^

Рассмотрим получившееся общее уравнение для сингуляра = ^ ^

использованием только действительных коэффициентов а, и 6, из

п с2+с!2 2 С2-(12 2 „

не равных 0: -х н--у =0. Поскольку при этом

с с1

ах и ^ могут быть так же не определены на множестве К, то вполне допустимо

£Г С2+й?2 2 С2-й2 2 л л

алгебраическое разложение уравнения -х л--у =0. Алгеораиче-

с с!

екая геометрия допустима в данной интерпретации. Аналогично для сингуляра (0 0^1

В главе 4 «Создание базы лингвистического обеспечения САПР на основе предлагаемой теории» исследуется применимость прямого аналитического метода линейных преобразований для плоских кривых представленных формами сложнее, чем квадратичная.

Пусть имеется произвольная фигура Ф - жорданова кривая в декартовой

{*=/•,(/)

системе координат, определяемая параметрическим уравнением < , где

= гу( О

х,у,1е Я. Функции и ГД/) кусочно-непрерывные. Если уравнение фигу-

(с <г (х)

4° о,

x = t

ры задано в виде у = f(x), то всегда можно записать | ) ^ласс ФИГУР>

определяемых только неявной функцией F(x,y) = 0, рассматривать не будем.

Осуществим произвольное преобразование над фигурой Ф, определяемое (a h\

матрицей , где a,b,h,g е R. Необходимо получить параметры преобра-

U Ь)

зованной фигуры.

Определение 8

Назовем функцию /.(?), гДе трансформированной, если у функ-

ции есть действительный множитель не равный 1 или 0. Определение 9

Назовем элементарную функцию /.(/), где v е {х,у} нетрансформиро-ванной, если множитель функции равен 1. Теорема 14

Алгебраически найденный угол поворота произвольно преобразованной

(а /Л \x = kjx

по матрице фигуры ф с параметрическим уравнением

, , , не за-Ь) 1 " 1 ' " {У = кг/у

висит от вида не трансформированных функций и параметров к{, к2.

Теорема 15

Угол поворота произвольной фигуры и собственный угол поворота окружности из канонического уравнения при произвольном преобразовании с

'а ЪЛ

равны.

матрицей преобразования

U ь

Теорема 16

Параметры произвольного преобразования фигуры не возможно получить прямым методом, рассматривая только собственный ортогональный базис.

Далее на примере параболы показано, что формулы, полученные в теореме 14, не выполняются. Методами математического моделирования показано не

'1 ^

выполнимость формул для преобразования сдвиг

0

для астроиды.

Исследуется свойство косоэрмитивости и эрмитовости для преобразова-

ния сдвиг с матрицами

1 ±/Л 0 !

1 0 ±* 1.

окружности. Для сдвига с матрицей

h\ 0 1

2 2

формулы углов получаются: tg23 = —, tg2a = —. Для сдвига с матри-

h h

цеи

1 (Л 2 2

формулы углов: tg2p = —, tg2a =--. Алгебраическое равенство

В и 8 8

на лицо, но оно не может применяться непосредственно, так как

ил ' 1 0^

Ь

выполняется в неортогональном базисе. Описаны вычислительные опыты. Описывается авторство участников вычислительных экспериментов.

В некоторых математических методах различных прикладных дисциплин

используется преобразование матрицы

к угловому виду

О

. После данной трансформации находятся новые параметры полу-

чающегося тела, маршруты, циклы и т.д.. Если с нахождением параметров можно согласиться, то результирующее положение всей системы будет отличаться от реального, так как трансформация не учитывает неортогональность базиса, в котором существует свойство косоэрмитовости. Преобразование не учитывает изменения порядка базовых множеств при использовании переставной или знаковой симметрии.

Найдено, что для ортогональных преобразований поворот и гомотетия

угол Ре {0,-}. Исходя из этого свойства, выводятся три группы канонических

(угол между векторами базиса равен л/2) преобразований: //, =

кт пЛ (т кп .

«з =1 , I • Вычислительные эксперименты над жордано-

т —п т п

Н- ■ , г I

^-кл т) \-п кт^

выми кривыми подтверждают, что формулы прямого аналитического метода выполняются для этих групп. Эксперименты проводились над астроидой, неф-роидой, эпициклоидой. Параметры не любой преобразованной кривой с матрицей принадлежащей каноническим группам могут быть рассчитаны. Частично

решена задача передачи информации между САПР. Подтверждена гипотеза о балансе симметрии, поскольку матрицы преобразования в некоторых случаях не разложимы в суперпозицию поворота и гомотетии.

Определение 10

Назовем преобразование вырожденным, если собственный угол распадается на два неравных.

Определение 11

п - г- „ Назовем преобразование каноническим, ес-

Рис. 2. «1 еометрическии» ' „ , ,

декартов лист ЛИ УГ0Л симметрии (3 е {0,0/0}.

Попробуем исследовать применимость метода над какой-нибудь плоской кривой не обладающей центральной симметрией с формой сложнее чем квадратичная.

Далее описывается попытка вывести формулу произвольного линейного преобразования для данной кривой. Предложена гипотеза о том, что поскольку ветвь рассматриваемой геометрии не только алгебраическая, то формула кривой может выводиться непосредственно из геометрических построений.

Для декартова листа упрощенная (без слагаемого по оси абсцисс) система параметрических уравнений, вытекающая непосредственно из геометрических построений, будет:

Х=

/1 + 2созЛ (рис. 2). Она отличается от общепринятых:

у = Ksmt

3at

х =-т

1+/3

, или 3 at2

1 + cos/ )

asin3T 3sinT asin3t

1+/3

У =

3j3

cost

Теорема 17

Параметры декартова листа по «геометрическому» уравнению при произ-

вольном линейном преобразовании

Я

не могут быть найдены.

Исследование параметрической системы основных широко используемых в технических приложениях кривых сложно, поэтому предлагается остановиться на кривой с более простой параметрической системой уравнений.

Следующие гипотезы исследования линейных преобразований жордано-вых кривых проверяются на лемнискате Жероно. Лемниската Жероно выбрана,

fx=cos/

как имеющая простейшую формулы описания: <! . Для данной кри-

[у = sin/cosí

вой математические выкладки получаются минимальными.

Осуществим произвольное преобразование с матрицей Р =

, „ где g Ьj

a,b,h,gнад лемнискатой Жероно. В процессе движения точки по данной траектории элементарное приращение Al может иметь как положительный знак, так и отрицательный в силу знаковой аксиомы. При вычислении координаты по оси ординат для функции cos/, возникает новый угол <р, отличающийся от собственного угла а для функций cos/ для координаты х и sin/ для координаты у. Другими словами, предположим, что для кривых, имеющих функции разного порядка от параметра /, происходит разложение собственного угла

поворота формы на два разных угла. Такой же механизм у вырожденных преобразований. Назовем это предположение гипотезой 2. Теорема 18

Гипотеза 2 для лемнискаты Жероно не выполняется.

íjc = £rcos(f + a)

В теореме 18 проанализированы две системы: sin(/+ a)cos(/+<р) И

jx = а cos(/ + Р) + Asin(/ + p)cos(? + у) [у = g cos(t + P) + ¿>sin(í + Р) cos(/ + у)

Выдвинем гипотезу с номером 3. Пусть можно определить лингвистическую конструкцию с отображением, которая приведет уравнение симплициссы умножения к морфизму порядка каждого уравнения. Таких параметрических

{x = cos/sinx fx = cos/cost

и < , где т - след лингвистического

у = sin/cos/ [у = sin/cos/

автоморфизма порядка. Теорема 19

Гипотеза 3 для лемнискаты Жероно не выполняется. Выдвинем еще одну гипотезу с номером 4. Пусть можно употребить арифметическую операцию, чтобы получить симметрию порядка между уравнениями параметрической системы. Тогда, после преобразования с матрицей

(a h\ \x2 -к2х cos(/ + a)cos(í + а)

Р= необходимо рассмотреть системы: . . „ •>

[g b) [.у = к у sin(/ + a)cos(/ + а)

fx2 = acos(t + p)cos(/ + P) + Asin(/ + P)cos(/ + P) [y = gcos(/ + P)cos(/ + P) + èsin(/ + P)cos(/ + P) Теорема 20

Алгебраическое получение параметров преобразования с использованием гипотезы 4 для лемнискаты Жероно возможно.

К сожалению, вычислительные эксперименты показывают не правиль-

-Í1 -о

ность выведенных формул. Каноническое преобразование с матрицей ^ ,

выполняемое для любой плоской кривой (суперпозиция гомотетии с коэффициентом л/2 и поворота на угол л/4) не выполняется.

Получен результат, что для лемнискаты Жеромо при сохранении порядка вычислений возможно получение решения для произвольного линейно-независимого преобразования. Данный тезис совпадает с аксиомой сохранения мощности отношения Дедекинда. Поэтому следует проанализировать дополнительную симметрию - симметрию сохранения мощности отношения. Данное выражение является более мощным, чем аксиома. Оно явно не присутствует на множествах Z,H,C и т.д.

Рассмотрим ортогональный инвариант по П.С. Александрову: Ах2 + 2Вху + Су2 + ОхГ + Еу1 + Гг = 0. Для обозначения третьей координаты используется символ /. Для обозначения операций в пространстве Ш" для каждой координаты Ф. Клейн используется значок х,. Автор ортогонального инварианта вместо переменной / употреблял переменную х3 и считал данный инвариант проективным отображением. Очевидно, что П.С. Александров не считал переменную I следом третьей координаты. В интерпретации данной работы будем считать переменную / следом лингвистического автоморфизма порядка, а ор-

В О"

матрицей лингвистического автоморфиз-

тогональный инвариант

ВСЕ D Е F

ма порядка квадратичной формы на плоскости.

Вообще, работы Клейна в нашем изложении являются не работами по проективной геометрии, а первыми работами по соединению геометрии и лингвистики. Несмотря на то, что сохранение порядка вычислений был обнаружено до Клейна, за его инвариант, дадим симметрии имя этого математика. Мало того, только за счет зеркальной симметрии можно уменьшить порядок вычислений в два раза.

Вместе с тем, для симметрии Клейна должна существовать парная симметрия из теории множеств. В результате получаем новый автоморфизм сохранения мощности множества. Если же проанализировать его подробней в других областях математики, то можно обнаружить, что он так же употребляется очень давно. Для решения линейных дифференциальных уравнений используется метод Лагранжа, когда решение линейного неоднородного уравнения y" + p(x)y' + q(x)y = f(x), где у", у' соответствующие производные, p(x),q(x),f(x) - функционалы, получается из однородного у" + р(х)у' + q(x)y = 0. Назовем симметрию сохранения мощности множества-

симметрией Лагранжа.

В главе 5 «Методы увеличения точности геометрического моделирования в САПР» методами на основе симметрии и метода произвольного линейного преобразования (цепочка преобразований) решается задача о сведении уравнения четвертой степени к квадратному для нахождения точек пересечения двух эллипсов.

Разбор начинается с самых простейших фигур цепочки преобразований для нахождения точек пересечений. Представлены случаи: пересечения двух отрезков прямых; отрезка прямой и дуги окружности; двух дуг окружности; дуги эллипса и отрезка прямой. Цель любой цепочки преобразований расположить комбинацию фигур таким образом, чтобы точки пересечения образовывали множество с симметрией. При этом координаты точек определялись на основе зеркального автоморфизма. Показано, что для нахождения пересечения сложных фигур, используются простые. Цепочки преобразований строятся по повторяющемуся алгоритму. Цепочки преобразований могут состоять только из имен-

ных преобразований. Кроме того, разобран случай, когда точки пересечения окружности и эллипса можно найти используя только квадратное уравнение.

Далее рассмотрены первые три шага цепочки преобразований; параллельный перенос, поворот и сжатие/растяжение вдоль оси. Поворот и параллельный перенос совпадают со всеми ранее рассмотренными случаями нахождения точек пересечения. Параметры трансформации сжатие/растяжение нужно определить используя формулы прямого аналитического метода произвольного линейного преобразования.

Для решения задачи необходимо найти такой случай, когда две фигуры будут иметь одинаковый базис. Исходя из результатов, можно сделать вывод, что применение сжатия для случаев эллипс и окружность не применимо, так как базисы всегда будут разные (0 и не нулевой). Для двух повернутых эллипсов может быть существовать одинаковый базис, но тогда более простой случай пересечения эллипс-окружность надо искусственно преобразовывать к более сложному - эллипс-эллипс. Другие простые преобразования не применимы из-за того, что они не изменяют форму фигуры. Общее преобразование не применимо, так как не имеет физического смысла и не предполагает разложения по именным аффинным преобразованиям, в чем заключается метод разложения сложного преобразования на цепочку простых.

Определение 13

Назовем преобразование избыточным, если оно включает в себя как минимум два перехода к новому базису (преобразование поворота).

Лемма 5.1

Преобразование сдвиг состоит из взаимосвязанных преобразований сжатие и поворот из главы 3.

Лемма 5.2

К единому СНОП-базису можно прейти через одно именное преобразование «сдвиг». Исходя выводов главы 3.

Теорема 21

Одинаковый СНОП-базис существует для двух эллипсов для избыточного преобразования одной из них, когда одно из преобразований для данной фигуры -сдвиг.

Следствие

Для нахождения равных базисов двух фигур необходимо рассмотреть случай, когда первая фигура представлена нетрансформированными функциями, а вторая трансформированными функциями. При этом вторая фигура должна быть обязательно повернута на произвольный угол не равный 0, ±%/2.

В случае поворота на угол +я/4 точки пересечения получаются без трансформации, только за счет поворота. Для случая эллипсов, это будет окружность и повернутый относительно оси .V эллипс.

Таким образом, найден вид именного преобразования, с помощью которого можно осуществить трансформацию произвольного расположения эллипсов к случаю симметричного расположения эллипса и окружности. Для решения этой задачи дополнительно необходимо проанализировать:

1. Какое преобразование сдвига

'1 (Г

К или

^ к

необходимо выбрать;

для разных матриц сдвига

2. Насколько соотносятся сдвиг вдоль оси абсцисс и оси ординат;

3. По какому углу СНОП базиса, собственному углу наклона квадратичной формы а или углу хранения симметрии р, необходимо осуществить расчет.

Выведены формулы для сдвига эллипса, повернутого на некоторый угол,

'1 АД (\ (Л „

^ или ^ Далее рассматривается реше-

ние, по которому для нахождения параметра сдвига происходит вывод формулы по углу симметрии р определяемому СНОП-базисом. В результате выкладок необходимо решить кубическое уравнение:

(а- ¿О^аэт2ср + бсоэ2<р) , (а2+Ь2), „ а1-Ь2 „

0 = А +2-*---А" +2--—А + 2-. Решение не от-

аЬът!^) аЬ а6зт2ф

личается от классического. Кратко рассмотрено ограничение на нахождение результата. Полуось по оси абсцисс должна быть больше полуоси по оси ординат. Напомнен метод решения кубического уравнения. Далее рассмотрен поиск параметра по значению собственного угла а. Параметр сдвига и линейно определяется по формуле: A = tg(p-tg~'<p, где ф - угол поворота второго эллипса перед

(I (Л

сдвигом. Параметр сдвига « преобразования с матрицей определиться,

и и

как g = -h. Кратко рассмотрены рекомендации по применению сдвигов.

Приводим цепочку преобразований к случаю расположения эллипса и окружности симметрично координатной оси, рассмотренному ранее.

Перед преобразованием сдвиг необходимо повернуть эллипс таким образом, чтобы в результате сдвига полуоси эллипсов лежали на одной прямой, проходящей через начало координат и точку центра второго эллипса. Искомый угол может быть найден из любой из двух систем тригонометрических уравнений:

А

усовЕ

tga =-5—--2--или

лсоб?; - .увш +//(хэш^ + .усов^)

2(б2со5ф|(Асозф, -зшф^ + а^тфДсоэф, +А5Шф,)|

8 (а2(С05ф, + АвШф,)2 +62(Ас05ф, -8тф,)2)-(б2С05:!ф, +Д2 5Ш2ф,)

£

(а2соз2ф, + £2зт2ф,)-(б2(со8ф1 -ЯБтф,)2 -кгфпср, + £С05ф,)2) Теорема 22

Угол поворота £, предшествующий преобразованию сдвиг | | или

10 0

1 0)

не зависит от вида сдвига.

8 и

Из теоремы 22 угол ^^ ^^^^

(Х'-у )С08ф + 2луБ1Пф

(I и

преобразования: поворот на угол Е; сдвиг

0 1

\ '1 о4

или

/ ^ К

; поворот на угол

-------------^ ^««.".■^....ы^чиа! гн. адило пиирдипа|нии иии. гас-

считываем корни из квадратного уравнения, осуществляем обратные преобразования. Таким образом, получаем решение более простое, чем в классических методах. Так как решение может быть найдено и классически (через угол Р ), то геометрической сущностью кубической резольвенты является поиск преобразования через угол симметрии р определяемом СНОП-базисом.

Поскольку параметры преобразования сдвига и поворота перед сдвигом не зависят от значения полуосей, да и фактически от вида матрицы сдвига, они могут быть использованы для вычисления пересечений других конических сечений.

Описываются результаты математического моделирования коэффициента матрицы сдвига для осуществления главного шага в цепочке преобразований для получения точек пересечения эллипса. Так как коэффициент может принимать комплексное значение, то комплексные параметры могут быть и получающихся координат точек пересечения. Дополнительно доказано непротиворечивость предлагаемого метода расчета и классического. Описаны вычислительные эксперименты по моделированию цепочки. Результаты экспериментов показали, что несмотря на найденный общий базис эллипсов, точное решение не получается. Дополнительное применение дополнительных преобразований псевдоэвклидовой (преобразований Лоренца) плоскости так же не привели к необходимому результату. Очевидно, что алгоритм должен учитывать не только младшие четыре симметрии, но и более старшие.

В главе 6 «Применения теории в решении задач машиностроительных САПР» рассматриваются вычислительные эксперименты и некоторые за-

дачи, решаемые в проектировании машиностроительных САПР, в которых используются результаты полученной теории.

В п. 6.1. «Оценка точности действительной арифметики» предлагается метод оценки точности действительных вычислений на вычислительном устройстве. Для решения данной проблемы предлагается использовать оценку параметров, получающихся в процессах, использующих симметрию, а именно, в прямом аналитическом методе произвольных преобразований центрально-симметрических конических сечений (простой тест) и в методе расчета точек пересечения двух эллипсов (усложненный тест). Приведены результаты практического применения. Действительные вычисления на математическом сопроцессоре процессора Pentium!I оказались незначительно выше, чем такие же вычисления на калькуляторе Casio fx-901.

В п. 6.2. «Траектория движения точки вне оси шатуна» рассматривается задача механики об определении траектории движения третьей, находящейся вне оси плоского шатуна. Задача решается при проектировании строгальных и шлифовальных станков, вакуумных насосов и т.д. Система уравнений, описывающая движение третьей точки: (x = ecos/+csin/

Рис. 3 Плоский шатун

Решение предлагаемым методом:

х = (е + ctga)cos(/ + a) у = (i/-e-ctga)sin(/+a)' 2 с

>> = с cos f + (d - е) s in f х = (d - е + с ctg a) cos(/ + a) у = (e -cctga)sin(/ + a)

или

где tg2a = -

. Решение модифицированным классическим методом (в ор-

2 e-d

тонормированном базисе):

((d - е)1 + g V) - tg2 a(e2 + с2 (d - е)2) у2 + (е2 + с2(d - е)2) - tg2 a((rf - ef + сV) 2 = х eV-e)2(l-tg2a) * + e2(d-efiX-Xg1 а)

Решение классическим методом (в собственном базисе):

х = cos(/ + a) у = A.2sin(/ + a)

d± yjd2 -4((d-e)e-c2) 2 ({d-e)e-c2)

. Как видно из результатов,

х = Х2 соб(/ + а)

, где /

у = Л,зт(Г + а)

решение предлагаемым методом позволяет с легкостью использовать формулы в последующих расчетах, например, для вывода дифференциального уравнения.

В п. 6.3. «Точный расчет траектории фрезерной и токарной обработки» рассматривается задача технологии машиностроения по обработке на стан-

ке с ЧПУ сложной эллиптической поверхности для фрезерной или токарной обработки.

|х = есоз/

Пусть имеется эллипс с параметрическим уравнением -I , тогда его

[>> = сзш/

эволюта описывается уравнением

-С ч ■-cos /

.У = -

е2 -с2 . з -csin I

Классический матема-

тический аппарат описывает преобразования эволюты только для групп

Для

к О

cosa -sina sina cosa km n \ (m kn

а /Л Jim —n

,s b J Hm n )'{-kn m j[-n km

0 ky преобразования

где m, n,ke. К формула преобразован-

ной

А =

эволюты будет

acosP + AsinP _ 6sinP + gcosP

-с

х = А-cos(/ + a)

у = -В

е

е'-с" с

где

csin (/ + a)

tg2p =

cosa 2 (gb + ha)

sina и tg2a = -

где В = 2 (bh + ag)

asinp-Acosp _ ¿cosp-gsinp

a2-h2-b2+g2 (^+/;2)-(62+g2)

-г. Получены аналитические

формулы для фрезерования тела по траектории эллипса, такие же формулы можно получить для эволютоиды (токарной обработки резцом).

В п. 6.4. «Проблемы передачи геометрической модели» предложены рекомендации по применению информационно-лингвистической интерпретации геометрии для передачи трехмерных моделей.

Первоначально рассмотрен вопрос о количестве измерений, которым будет обладать пространственное тело, построенная в соответствии предлагаемой интерпретации геометрии.

Теорема 23

Размерность пространства четно.

Следствие

Пространство нечетной размерности п есть проекция пространства как минимум размерности п +1.

При обмене геометрическими моделями между различными системами принято рассматривать два типа обмена: обмен данными о чертеже и обмен объемной модели. К настоящему времени наиболее распространенными стандартами обмена являются: DXF, IGES и STEP (Express-G). Разбираются под-

робно принципы построения каждого стандарта и делается вывод об их схожести. При разборе стандарта STEP вспоминается его предшественник - эталон GKS. Упоминается факт столкновения создателей стандарта STEP с проблемой порядка на множествах.

Для решения проблем передачи информации предлагается использовать следующие правила:

1. Замена лингвистического описания математическим и лингвистическим, приблизив описание к математическому.

2. Ввести понятия сущностей: «плоская кривая» и «пространственная кривая».

3. Сузить классы пространственных тел.

4. Хранить уравнения геометрических примитивов в виде системы параметрических уравнений или каноническом виде.

5. В качестве дополнительного сущности хранить матрицу канонического преобразования с необходимыми атрибутами.

6. Решить однозначно проблему поворотов в пространстве, точек привязки и осей симметрии тел.

7. Ввести дополнительную сущность «область применения» с необходимыми атрибутами для необходимой интерпретации геометрического примитива.

8. По возможности не использовать при передаче последовательность трехмерных вертексов.

В п. 6.5 «Расчет высокоточных стальных профилен» кратко обрисовываются системы, в котором применялась на основе предлагаемой теории.

Описан опыт разработки ядра графической системы для САПР высокоточных стальных фасонных профилей для объединения «Ижсталь» корпорации «Мечел».

Основные подсистемы существующей САПР высокоточных стальных фасонных профилей ОАО «Ижсталь»:

1. Ввод и визуализация плоской геометрической модели на языке ФАП-КФ (дуги окружности, отрезки прямых);

2. Аппроксимация геометрических примитивов, расчет центров мгновенной деформации профиля и построения массива точек;

3. Задание технологических параметров обработки.

Предложено использовать новое геометрическое ядро: добавить геометрический примитив дуга эллипса, использовать цепочки преобразований для расчетов.

Разработан программный продукт на языке Free Turbo Delphi 2006. Использование дуг эллипсов, применение цепочек преобразований позволило увеличить скорость обработки геометрической информации в два-три раза. Ускорение процесса работы связано не только с новыми алгоритмами, но и с уменьшением количества разнообразных проверок. Чем сложнее геометрический примитив, тем быстрее происходит его обработка.

В п. 6.6 «Применения теории в нематематических задачах автоматизированного проектирования» кратко описывается применение таблицы би-

парных автоморфизмов в шедеврах мировой живописи, а так же в психологических тестах и физиологии, педагогике.

Описываются автоморфизмы, присуствующие в работах таких мастеров как: Малевич, Рембрандт, Хокусай, Джозеф Поллак, Энди Уорокал, Караваджо,' Пукирев, Кранах Старший, Леонардо да Винчи, Пикассо, Кандинский. Все существующие автоморфизмы в работах художников удалось обнаружить.

Рассмотрены невербальные (проективные) психологические тесты: чернильных пятен Роршаха (зеркальный автоморфизм); Люшера и психогеометрический Делинжер (автоморфизм лингвистического порядка); кинетический рисунок семьи (множество автоморфизмов). Психологическое состояние анализируется с использованием автоморфизмов. А так как некоторые тесты применяются ранее, чем у человека появляется цветовое зрение, делается вывод о бессознательном характере хранения автоморфизмов и наличии у человека дополнительной системы ориентации в пространстве. Таким образом, теория может быть применена и для задач дизайна проектируемого в САПР изделия.

Теория может быть использована для обучения работе в САПР. Для примера, был структурирован курс «Практикум на ЭВМ» из курсов «Компьютерной графики» и «Системное программное обеспечение» на основе симметрии Гильберта. Экспериментальное исследование методики проводилось на группе из 20 человек студентов 1 семестра УдГУ, обучающихся на кафедре «Теоретические основы информатики». Адаптации студентов прошла достаточно успешно. Качество школьного образования по информатике разительно отличается не только в пределах одного города, но и иногда катастрофично, когда ребенок получал образование в сельской местности. Из 20 человек 4 прекратили посещать занятия. Очевидно, что они быстро поняли, что попали не на ту специальность. Еще двое могут учиться по усложненной программе. Впервые в тридцатилетней педагогической практике автора к нему стали подходить студенты с просьбами дать им новые задания на лабораторные работы. Очевидно, что данная методика показывает учащемуся красоту предмета, если он настроен на его изучение. И, наоборот, курс казался «не его» если человек не обладает соответствующими способностями. Метод примененный в педагогике позволит подготавливать высококлассных специалистов в САПР и выявить работников не способных проектировать в автоматизированном режиме.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Установлено, что работы по стандарту обмена ГМ в рамках международного стандарта STEP не привели к приемлемому результату. Работы были акцентированы на организационно-методическую составляющую САПР. В процессе обмена информации семантика геометрической модели, как правило, уничтожается. Поэтому широкий термин CALS-технологии в настоящее время сужен до процесса обмена ГМ. Вместе с тем, классическая аналитическая геометрия обладает недостаточными исследованиями в теории линейных преобразований, широко ис-

пользуемых в САПР. Термины геометрии, на основе которых работают математические методы САПР, не четко определены, что не позволяет как однозначно передавать ГМ, так и точно вычислять все параметры ГМ. Другие виды геометрии не акцентированы на применение в САПР. Поэтому исследования по унификации протоколов обмена должны быть перенесены в математическом и структурно-лингвистическом направлении в аналитической геометрии.

2. На базе теории собственных правил построения пространства Лейбни-ца-Вейля предложен новый принцип описания евклидовой плоскости в виде таблицы симметрий, объединивший теорию Дьедонне и 2Р-теорию множеств. Принцип основан на фундаментальном утверждении Лейбница о подобиях позволивший сформулировать новый взгляд на геометрию в математическом обеспечении САПР, показавший единую сущность геометрической модели, базы данных, эстетических принципов восприятия проектируемого изделия человеком. Таким образом, сформирована единая теория, объединяющая большинство составляющих компонент автоматизированной конструкторской подготовки производства

3. Показано, что структурная лингвистика в интерпретации Звегинцева позволила описать приоритет автоморфизмов (симметрий), реляционная алгебра Кодда разрешила сформулировать отношения между ними. В диссертации для решения задач автоматизированного проектирования даны математические определения информационно-лингвистической интерпретации геометрии, такие как собственный неортогональный постоянный базис, метод непроективных произвольных линейных преобразований жордановых кривых на плоскости. Сформулированы новые интерпретации или определены геометрические смыслы таких понятий, как каноническая формула, инвариант Клейна и т.д. Все это вместе позволило обосновать новые математические методологии построения САПР, объединяющие универсальную алгебру и теорию множеств.

4. Исследован прямой аналитический метод непроективных произвольных линейных преобразований для жордановых кривых на плоскости для обоснования использования цепочек линейных преобразований в математическом обеспечении САПР. На основании теоретических и вычислительных тестов были выделены шесть групп вырожденных преобразований разных по их свойствам. Доказана непротиворечивость теоретико-информационной интерпретации и алгебраической геометрии, как наиболее развитому к настоящему времени виду теоретической геометрии.

5. Впервые выделены три группы канонических линейных преобразований плоских и пространственных кривых, позволяющие однозначно передавать ГМ между системами и платформами для большинства ГМ, проектируемых в САПР. Теоретически обоснован, промоделирован и исследован метод нахождения точек пересечения эллипсов, позволяющий получать точные некомплексные решения. Показана инвариантность метода по отношению к другим коническим сечениям. Дана цепочка преобразований для получения точек пересечения. Найден общий базис. Разработаны алгоритмы и написаны программы.

6. Показана возможность применения новой теории представления ГМ в математическом обеспечении САПР на примере механики, оценки действи-

тельных вычислений. Даны рекомендации для изменения стандартов обмена ГМ, объединяющие лингвистическое описание тела и канонической формулы из геометрии. Разработаны методики и алгоритмы, позволяющие создать новый тип графического ядра систем геометрического моделирования. Проведено экспериментальное исследование на примере САПР высокоточных стальных фасонных профилей. Применение новых методов позволяет ускорить расчеты в два-три раза. Проанализировано употребление симметрий в гуманитарных науках для проверки адекватности теоретико-множественного метода и решения задач дизайна проектируемых изделий.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОТРАЖЕНО В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ АВТОРА:

1. Монографии

1. Ложкин, А.Г. Вычислительная планиметрия с вырожденными преобразованиями/ А.Г. Ложкин. - Екатеринбург: Изд-во ИЭ Уро РАН, 2009. - 158с.

2. Ложкин, А.Г. Автоморфизмы: от зеркального к симметрии знаний / А.Г. Ложкин, Н.Г. Дюкина. - Ижевск; Глазов: А.Г. Ложкин, 2011. - 1 83с.

3. Ложкин, А. Структурирование аналитической геометрии на основе симметрий / А. Ложкин, Н. Дюкина. - Saarbrucken: LAP Lambert Academic Publishing, 2012. - 176c.

H. Научные статьи в центральных изданиях, рекомендованных ВАК РФ

4. Ложкин, А.Г. Система графического инженерного диалога ГИД / В.Н. Кучуганов, Р.В. Вознюк, А.Г. Ложкин, Ю.А. Лопаткин, Н.В. Поличенкова, А.Ю. Шадрин - Программирование. - №2 - 1996. - С. 76-80.

5. Ложкин, А.Г. Канонические формулы при исследовании системы двух линейных параметрических уравнений с тригонометрическими функциями / А.Г. Ложкин, М.С. Масленникова, Е.А. Горбашева, A.B. Черных - Вестник ИжГТУ. - №3(35) - 2007. - С. 123-128.

6. Ложкин, А.Г. Об одной неточности в литературе по аналитической геометрии - Вестник ИжГТУ. - №2(38) - 2008. - С. 135-141.

7. Ложкин, А.Г. Переставная симметрия на плоскости - Вестник ИжГТУ -№3(39)-2008.-С. 141-144.

8. Ложкин, А.Г. Прямой аналитический метод линейных преобразований фигур на плоскости - Вестник СамГУ. Серия Естественные науки. Математика - №3(62) - 2008. - С. 149-154.

9. Ложкин А.Г. Собственный неортогональный постоянный базис квадратичной формы - Вестник ИжГТУ. - №4(40) - 2008. - С. 206-209.

10. Ложкин, А.Г. Исследован ие СНОП-базиса квадратичных форм/ А.Г. Ложкин, И.Б. Гетманюк. - Вестник ИжГТУ. -№4(40) - 2008. - С. 210-213.

11. Ложкин, А.Г. Наиболее сложное преобразование для нахождения точек пересечения двух эллипсов - Интеллектуальные системы в производстве -№1(11)-2008.-С. 231-237.

12. Ложкин, А.Г. Оценка точности действительных вычислений - Вестник ИжГТУ. -№1(41)-2009.-С. 141-143.

13. Ложкин, А.Г. Исследование формул преобразования с использованием СНОП-базиса - Вестник ИжГТУ. - №2(42) - 2009. - С. 155-159.

14. Ложкин, А.Г. Траектория движения точки при работе шатуна - Вестник ИжГТУ №3(43), Изд-во ИжГТУ, Ижевск, 2009 - Стр. 54-56.

15. Ложкин, А.Г. Применение цепочек преобразований для проектирования высокоточных стальных фасонных профилей / А.Г. Ложкин, М.А. Яхнис, А.И. Ипатов. - Вестник ИжГТУ. - №3(43) - 2009. - С. 135-137.

16. Ложкин, А.Г. О решении одной технологической задачи методами вычислительной геометрии / А.Г. Ложкин, М.А. Яхнис, А.И. Ипатов. - Программные продукты и системы. - №3(87) - 2009.-С. 105-107.

17. Ложкин, А.Г. О едином повороте двух эллипсов перед разными преобразованиями / А.Г. Ложкин, А.И. Тимофеев - Вестник ИжГТУ. - №1(45) -2010.-С. 210-213.

18. Ложкин, А.Г. Продукция знаний с использованием автоморфизмов. — Вестник ИжГТУ.-№4(52)-2011 -С. 130-132.

19. Ложкин А.Г. Система решения уравнения 4-ой степени методом Декарта-Эйлера и нахождения точек пересечения 2-ух эллипсов методами информационно-лингвистической интерпретации геометрии / А.Г. Ложкин, А.И. Тимофеев. - Свидетельство о гос. per. программы для ЭВМ № 2009614746 от 3.09.2009г.

III. Статьи в региональных и международных журналах, сборниках научных трудов, а также материалы конференций

20. Lozhkin A.G. About the graphic primitive presentation: Abstracts of 5th International Conference of Computer Graphics and Visualization in Russia / A.G.Lozhkin, S.A Kantorovich - Vol. 2, St. Petersburg, 1995. - Pp. 15.

21. Ложкин А.Г. О двойственности при определении точек пересечения эллипсов: Труды конференции AIS'08, CAD-2008, т. 2 - М.: Физматлит, 2008. -С. 283-284.

22. Ложкин А.Г. Симметрия и евклидова плоскость: труды межд. науч. конференции «Современная математика и математическое образование, проблемы истории и философии математики» - Тамбов, 2008, - С. 49-52.

23. Lozhkin A. Singular transformations at symmetrical figures: Abstract of the Intern. Conf. "Geometry in Odessa - 2008" - Odessa: "Science" Foundation, 2008.-P. 183.

24. Ложкин, А.Г. Точки пересечения двух эллипсов [Электронный ресурс]//Прикладная геометрия, вып. 10. - 2008. - № 1(21). - С. 1-28

25. Ложкин, А.Г. Аналитический расчет точек пересечения коник : тезисы докл. Всеросс. конф. по математике и механике / А.Г. Ложкин, И.Б. Гет-манюк, Е.А. Горбашева, М.С. Масленникова - Томск, 2008. - С. 102-103.

26. Ложкин, А.Г. Исследование астроиды при произвольном линейном преобразовании: труды VIII межд. науч.- техн. конференции «НИТиС - 2008». Ч. 2 - Пенза, 2008. - Стр. 84-87.

27. Ложкин А.Г. Исследование метода Кардано-Тартальи: материалы VII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2008)» - Томск, 2008. - Ч. 2. С. 150-152.

28. Ложкин, А.Г. Линейные преобразования и действительные вычисления: материалы VII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием « Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2008)» - Томск, 2008. - Ч. 2. С. 152-153.

29. Ложкин, А.Г. О повышении точности моделирования кривых: тезисы докл: V межд. науч.-техн. конференции «Информационные технологии в промышленности (ITP2008)» - Минск: ОИПИ HAH Беларуси, 2008 -С. 159-160.

30. Ложкин, А.Г. Опыт преподавания курса «Вычислительная геометрия»: материалы II Всероссийской науч.-практ. конференции. - Hdkvtck- Изд-воИГПУ, 2009.-С. 115-116. '

31. Ложкин, А.Г. Теория реляционных баз данных и геометрия: доклады всероссийской научн.-техн. конф «Приоритетные направления развития науки и технологий» - Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. - С. 70

32. Ложкин, А.Г. Вычислительные исследования алгоритмов для получения точек пересечения эллипсов: мат. II Всеукр. студ. науч.-техн. конференции «Информатика - 2009»/ А.Г. Ложкин, А.И. Тимофеев - Севастополь- Изд-во СевИТУ, 2009. - С. 114-115.

33. Ложкин, А.Г. Поиск комплексного слагаемого при определении точек пересечения эллипсов: тезисы докл. 16-я Всерос. межвуз. научно-техн. конф. студентов и аспирантов «Микроэлектроника и информатика - 2009» / А.И. Тимофеев, А.Г. Ложкин. -М.: МИЭТ, 2009. - С. 141.

34. Ложкин, А.Г. Автоматизированное проектирование фасонных профилей: мат. 5-й межд. научно-техн. конф. «Информатизация процессов формирования открытых систем на основе СУБД, САПР, АСНИ и систем искусственного интеллекта (ИНФОС-2009) / А.Г. Ложкин, М.А. Яхнис, А.И Ипатовю -Вологда: ВоГТУ, 2009 - С. 157-159.

35. Lozhkin, A.G. Euclidean plane as data base: сбор. тез. межд. научн. конф. посвященная 90-летию со дня рождения A.B. Погорелова «Геометрия "в целом", топология и их приложения» - Харьков: ФТИНТ им Б И Веркина HAH Украины, 2009. - С. 59-60.

36. Ложкин, А.Г. Комплексные составляющие действительных точек пересечения эллипсов : мат. XIII Всеросс. научно-техн. конференции «Научное творчество молодежи», Ч. I. / А.И. Тимофеев, А.Г. Ложкин - Томск* Изд-во Том. ун-та, 2009.-С. 91.

37. Ложкин А.Г. Об одной интерпретации: мат. XVII межд. конференции «Математика. Образование» - Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2009. - С. 296.

38. Ложкин А.Г. Об увеличении точности геометрического моделирования: сб. трудов XXII Межд. науч. конф.: в 10 т. «Математические методы в технике и технических науках - ММТТ-22: Т. 10.» - Псков: Изд-во ПГПИ 2009.-С. 191-193.

39. Ложкин А.Г. О возможности линейных преобразований плоских кривых: труды конференции AIS'09, CAD-2009, т. 1 - М.: Физматлит, 2009 -С. 524-526.

40. Ложкин, А.Г. Об обмене геометрическими моделями : сборник научных трудов Всероссийской конференции «Проведение научных исследований в области обработки, хранения, передачи и защиты информации» в 4 т. / А.Г. Ложкин, О.Ф. Валеев, В.А. Андреев - Ульяновск: УлГТУ, 2009, Т. 3. - С. 3-9.

41. Ложкин, А.Г. О симметрии линейных преобразований: материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2009)» - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2009. - Ч. 2. С. 140.

42. Ложкин, А.Г. Проблемы расчета точек пересечения двух эллипсов: мат. межд. научной конференции «Геометрия многообразий и ее приложения» / А.Г. Ложкин, А.И. Тимофеев. - Улан-Удэ: Изд-во Бурят, ун-та, 2010. - С. 108-109.

43. Lozhkin, A.G. Symmetries of Euclidean plane and masterpieces of fine art. - arXiv:submit/0074088 [math.GM] [12 July 2010].

44. Lozhkin, A. About definition of singular transformation by N.V. Efimov: Abstracts of International conference dedicate to the 120th anniversary of B.N. De-Ione «Geometry, topology, algebra and number theory, applications» - M.: Steklov mathematical institute of RAS, 2010. - Pp. 160-162.

45. Ложкин, А.Г. О возможности передачи геометрической модели кривой; сборник материалов Всеросс. научн.-практ. конференции с межд. участием «Информационные технологии в профессиональной деятельности и научной работе» - Йошкар-Ола: Изд-во Марийского гос. техн. ун-та, 2010. - С 121-123.

46. Ложкин, А.Г. О математической гармонии: материалы междунар. науч.-практ. конф. «Современные проблемы дизайна, архитектуры и изобразительного искусства» - Магнитогорск: МаГУ, 2010. - С. 35-39.

47. Ложкин, А.Г. Гипотеза баланса симметрий: тез. докл. XVIII Межд. конф. «Математика. Экономика. Образование»- Ростов на Дону: Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ, 2010 - С. 95.

48. Ложкин, А.Г. О возможности обмена сложными геометрическими моделями: тезисы докл. VI межд. науч.-техн. конференции «Информационные технологии в промышленности (1Т1*2010)» - Минск: ОИПИ НАН Беларуси, 2010-С. 52-53.

49. Ложкин, А.Г. Симметрия как единое свойство пространства и живого организма. - Тиетта -№3(13) - 2010 - С. 23-32.

50. Ложкин, А. О цепочке преобразований: тезисы докладов межд. конф. "Геометрия в Одессе - 2011" - Одесса: "Science" Foundation - С. 45.

51. Ложкин, А.Г. О каноническом уравнении: тезисы докладов межд. конф. "Алгебра и геометрия" - Екатеринбург: "УМЦ-УПИ", 2011. - С. 101-104.

52. Ложкин, А.Г. Главный автоморфизм в традиционном русском дизайне: материалы I межд. науч.-метод, конференции «Традиции и инновации в дизайне» - Новочеркасск: ЮРГТУ, 2010 - С. 17-18.

53. Lozhkin, A. About problem of structuring of knowledge: collection of scientific papers «Interactive systems and technologies: the problem of humancomputer interaction». - Ulyanovsk: UISTU, 2011 - Pp. 246-247.

54. Ложкин А. Г. О бинарных отношениях на эвклидовой плоскости: труды Всероссийской научно- практической конференции «Математика и математическое моделирование». - Саранск: МГПИ им. М.Е. Евсевьева, 2011. - С. 207-211.

55. Ложкин А.Г. Автоморфизмы и структуризация знаний: материалы Всероссийской научной конференции. «Язык как система и деятельность». Часть 1. - Елец: ЕГУ им И.А. Бунина, 2011 - С. 521-524.

56. Ложкин А.Г. Об определении Френкеля: сборник науч. трудов VI Межд. научно-практич. конференции «Современные информационные технологии и ИТ-образование». Т. 1. - Москва: МГУ, 2011. - С. 485-487.

57. Ложкин А.Г. О применении симметрий в дизайне сайтов: материалы межд. науч.-практ. конференции «Информационные процессы и технологии «Информатика - 2012» / А.А. Рябова, А.Г. Ложкин. - Севастополь: СевНГУ,

2012. - С. 159-161.

58. Ложкин А.Г. Об аналитических расчетах геометрической модели: тезисы докл. VII межд. науч.-техн. конференции «Информационные технологии в промышленности (1Т1*2012)» - Минск: ОИПИ НАН Беларуси, 2012 - С. 137-138.

59. Ложкин А.Г. Применение метода подобия в педагогике: материалы межд. науч.-практ. конференции «Информационные процессы и технологии «Информатика - 2013» / Н.Г. Дюкина, А.Г. Ложкин. - Севастополь: Вебер,

2013.-С. 56-57.

60. Lozhkin A.G. Extension of Duedonne symmetries: Abstracts of International conference «Problems of modern topology and its applications» - Tashkent, TSPU named after Nizami, 2013. - Pp. 56-58.

Авторская редакция

Отпечатано с оригинал-макета заказчика

Подписано в печать 14.10.13. Формат 60x84 У!6. Усл. печ. л. 2,0. Тираж 100 экз. Заказ № 1532.

Типография ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет» 426034, Ижевск, ул. Университетская, 1, корп. 2. Тел.68-57-18

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова»

На правах рукописи

УДК 04.03(92):514.122.2 ^^

05201450499

ЛОЖКИН Александр Гермогентович

ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ И ИНФОРМАЦИОННЫЙ АНАЛИЗЫ МЕТОДОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В САПР ИЗДЕЛИЙ МАШИНОСТРОЕНИЯ

Специальности:

05.13.12. - Системы автоматизации проектирования (машиностроение)/ 05.13.01. - Системный анализ, управление и обработка информации

(в науке и технике)

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени доктора технических наук

Научный консультант: -Лялин Вадим Евгеньевич,

доктор технических наук, профессор, ИжГТУ имени М.Т. Калашникова, декан факультета Информатики и вычислительной техники, заслуженный изобретатель РФ

Ижевск 2013

Содержание

Введение 8

1. Проблемы математического и лингвистического обеспечения в машиностроительных САПР 63

1.1. Основные проблемы современного геометрического моделирования в машиностроительных САПР 64

1.1.1 Обмен геометрическими моделями 64

1.1.2. Точность геометрического моделирования. 70

1.2. Аналитическая геометрия и дискретная математика, как основы математического обеспечения САПР 72

1.3. Теоретические основы представления проектируемого изделия в САПР 79

1.3.1. Классическое представление о симметрии 79

1.3.2. Конвексная геометрия 83

1.4. Негеометрические методы для создания модели изделия 86

1.4.1. Декартово произведение и аксиоматика множеств 86

1.4.2. Лингвистические методы и термины 90

1.4.3. Реляционная алгебра и отношения на множестве 93 1.5 Фундаментальное свойство подобия как единый механизм объединяющий геометрическое моделирование, расчеты и дизайн 96

2. Системный анализ внутренних отношений объекта

проектирования машиностроительных изделий 100

2.1. Канонические формулы системы двух линейных параметрических уравнений с тригонометрическими функциями в ортонормированном базисе 100

2.2. Канонические формулы и именные преобразования в САПР 105

2.3. Непротиворечивость вырожденных преобразований ГМ 110 2.3. Исследование симметрий Дьедонне 124

2.4. Теоретико-информационный анализ применения переставной

симметрии в реляционной алгебре 130

2.5. Теоретико-множественный анализ внутренних отношений 132 евклидовой плоскости. Гипотеза баланса симметрий

2.6. Выводы по главе 140

3. Изменения математического обеспечения САПР при проектировании изделия с использованием новой теории 142

3.1 Окружность. Понятие СНОП базиса 142

3.2 Эллипс в СНОП базисе 146

3.3 Гипербола в СНОП-базисе 152

3.4. Метод решения системы двух линейных параметрических уравнений с тригонометрическими функциями 155 3.5 Исследование значений полученных параметров 159 3.6. Выводы по главе 173

4. Создание базы лингвистического обеспечения САПР на основе предлагаемой теории 175

4.1. Алгебраическое обоснование 175

4.2. Математическое моделирование трансформаций плоских кривых 184

4.2.1. Исследование свойств симметрии матриц преобразования 184

4.2.2. Канонические преобразования плоских кривых 187

4.3 Исследования преобразований декартова листа 191

4.4 Исследования преобразований лемнискаты Жероно 202

4.5. Выводы по главе 217

5. Методы увеличения точности геометрического моделирования в САПР 219

5.1 Некоторые случаи нахождения точек пересечений 219

5.1.1 Пересечение двух отрезков прямых. 219

5.1.2 Пересечение дуги окружности и отрезка прямой. 221

5.1.3 Пересечение дуг окружностей. 223

5.1.4 Пересечение дуги эллипса и отрезка прямой. 226

5.1.5 Пересечение дуги окружности и дуги эллипса 227 5.2. Первые шаги цепочки преобразований 231 5.3 Выбор вида именного преобразования 233

5.4. Исследование преобразования сдвиг 237 5.4.1 Параметры эллипса при сдвиге вдоль оси X 238 5.4.2. Параметры эллипса при сдвиге вдоль оси Y 242

5.4.3 Приведение к единому СНОП базису по углу симметрии 247

5.4.4 Решение по сдвигу 252

5.5. Последние шаги цепочки преобразований 256

5.6. Моделирование нахождения параметра сдвига 264

5.7. Другие вычислительные эксперименты 268

5.8. Выводы по главе 276 6. Применения теории в решении задач машиностроительных САПР 278

6.1. Оценка точности действительной арифметики для расчетов 278

6.2. Траектория движения точки вне оси шатуна 283

6.3. Точный расчет фрезерной и токарной обработки 287

6.4. Проблемы передачи геометрической модели 289

6.5. Расчет высокоточных стальных профилей 296

6.6. Применения теории в нематематических задачах автоматизированного проектирования 304

6.6.1. Геометрическая модель и восприятие человеком изделия

в задачах дизайна 304

6.6.2. Методика обучения для работы в машиностроительном САПР 318

6.7. Выводы по главе 320 Основные выводы и результаты 322

Список литературы 325

Приложение 1.

Таблицы моделирования линейных преобразований плоских кривых 339 Приложение 2.

Программа расчета точек пересечений двух эллипсов 366

Приложение 3.

Свидетельство о регистрации программы 371

Приложение 4.

Акты внедрения 372

Список сокращений и условных обозначений

1. Общие обозначения

1.1. Уы - автоморфизм теории множеств, автоморфизм эвклидовой

плоскости.

2. Теория множеств и реляционная алгебра

2.1. Большие латинские буквы - обозначения множеств (доменов), кроме

2.2. Маленькие латинские буквы - обозначение элементов множеств.

2.3. М - множество действительных чисел.

2.4. Ъ - множество целых чисел.

2.5. С - множество комплексных чисел.

2.6. N - множество натуральных чисел (начиная с 0).

2.7. К0 - мощность множества Ъ.

3. Геометрия и алгебра

3.1. - группа вырожденных преобразований.

3.2. Нм - группа канонических преобразований.

3.3. Ом, Сы - группа симметрии Г. Вейля.

3.4. Р, М - матрица произвольного линейного преобразования.

3.5. Х,У - координатные оси евклидовой плоскости.

3.6. Все другие заглавные латинские буквы - скаляры множества М. а К

Я ъ,

3.9. х,у - соответствующие координаты евклидовой плоскости.

3.9. ? - параметр функции.

3.10. Все остальные строчные латинские буквы - скаляры множества

3.11. Вектор обозначается стрелкой. Например: V .

3.7.

- коэффициенты матрицы преобразования.

3.12. а - собственный угол наклона формы.

3.13. (3 - угол переставной симметрии формы.

3.14. ф, £ - дополнительные углы.

3.15. л: - число пи.

3.16. т - параметр функции.

3.17. Ф - фигура.

3.18. я,, 6, - полуоси эллипса.

3.19. Все остальные греческие буквы - скаляры множества М.

3.20. Область определения функций синуса и косинуса берется за промежуток:

[-71,71].

Примечание

За перечисленными символами употреблены другие обозначения, если используется прямое цитирование определения из литературы. В этом случае дается дополнительная информация. Тоже самое употребляется при описании формул в лингвистике, математическом анализе, теории искусственного интеллекта и т.д..

Введение

Актуальность исследования. Точность изготовления продукции машиностроения влияет не только на потребительские качества изделий, но и, в конечном счете, на саму человеческую жизнь. Поэтому точность геометрического моделирования в САПР должна быть как можно более высока. NURBS и R-функции хорошо определяют различные сложные поверхности, но с помощью них нельзя обеспечить высокую точность по их определению. Таким образом, решение задачи увеличения точности в геометрическом моделировании вместе с улучшением дизайна изделия позволят увеличить потребительские свойства выпускаемой в нашей стране продукции и успешно конкурировать в условиях глобализации российским фирмам.

Для повышения эффективности поддержки жизненного цикла, в течение последних четырех десятилетий разрабатывается набор международных стандартов для CALS-технологий. Технологии обогатили информатику шаблонами IDEFIX, DFD и т.д., которые успешно применяются в документообороте, проектирования реляционных баз данных и других составляющих поддержки жизненного цикла изделия. Для обмена геометрическими моделями (ГМ) предназначен язык Express-G стандарта STEP. Отсутствие результатов в геометрических исследованиях форм сложнее, чем квадратичная, определенных для всех значений метода для линейных преобразований, привело к тому, что описание ГМ ведется преимущественно лингвистическими средствами. Ответственность за интерпретацию возлагается то на производителя ГМ, то на конечного пользователя. Как результат такого подхода является разработка и отмена различных эталонов обмена ГМ в рамках стандарта STEP. Мало того, современное толкование CALS-технологий подразумевается исключительно обмен геометрическими моделями между информационными системами. Современное производство требует работы с объемной ГМ на самых ранних стадиях проектирования изделия. Вместе с тем, невозможность однозначной передачи заставляет фирмы производители САПР

либо разрабатывать модель в глобальной сети (AutoCAD, CATIA, Pro/ENGINEER) либо проектировать прямые трансляторы (Pro/ENGINEER, Solid Works).

В современных производственных технологиях, например, в быстром про-тотипировании наиболее трудозатратным этапом является создание ГМ. Вместе с тем, точность и правильность проектирования значительно возрастают, так как ГМ явлется эталоном для проверки изготовляемой продукции. Сложилась парадоксальная ситуация, когда точность ГМ ниже точности оборудования, на котором выпускается деталь. Точность проектирования зависит от математических методов расчета ГМ заложенных в САПР. Применение аналитических методов расчета невозможно в связи с недостаточной их развитостью в различных частях геометрии. Основой же САПР является аналитическая. Считая, что основой пространства Ш" является евклидова плоскость, основные работы по решению геометрических проблем должны быть сосредоточены именно на К2.

Аналитическая геометрия является базовой математической дисциплиной естественных наук. В последние 50 лет развития аналитической геометрии стало принято рассматривать декартово произведение, как основу построения пространства. Данный результат принято связывать с работами группы Бурбаки и, в частности, с работами Дьедонне. Последние работы в области аналитической геометрии в СССР можно связать с именами Н.В. Ефимова, П.С. Александрова, Н.И. Мусхешвили. С точки зрения данной работы, главным теоретическим результатом этих исследований является утверждение о том, что вырожденное преобразование трансформирует плоскость в прямую по Ефимову. В настоящее время исследования по аналитической геометрии переместились в вычислительную геометрию.

Вычислительная геометрия - это дисциплина предназначенная, прежде всего, для получения практических результатов. В алгоритмах, используемых в ней, принято употреблять результаты исследований различных наук. К собственным методам вычислительной геометрии следует отнести цепочки преобразований, описанные в работах П. Шенена, М. Коснара, И. Гардана. В задачах вычислитель-

ной геометрии необходимо находить не только точки пересечения фигур, но и определить принадлежность данной точки множеству точек ограниченной части фигуры. В вычислительном процессе последняя задача может занимать большее время, чем непосредственно расчет. Цепочки преобразований позволяют свести количество данных проверок к минимуму. К сожалению, алгоритмы и методы вычислительной геометрии не всегда могут обеспечить требуемую точность геометрического моделирования, что вынуждает проводить исследования в области математики.

Бурное развитие информационных технологий, начиная с середины двадцатого века, принесло множество научных результатов, напрямую не связанных с геометрией, но оперирующих с тем же декартовым произведением. Операция «декартово произведения» является частью теории множеств. Одним из главных результатов является построение аксиоматики на основе автоморфного отношения принадлежности множеству, предложенное А. Френкелем. Соединение теории множеств и геометрии в настоящее время активно осуществляется в рамках дискретной или конвексной геометрий. Следуя тому же принципу, можно соединить геометрию и реляционную алгебру, как науку, вытекающую из теории множеств. При этом необходимо отметить работы Э. Кодда, предложившего, что отношения определяются перед множеством, а не наоборот. Сравнительный системный анализ применения декартова произведения в реляционной алгебре (информационные технологии), теории множеств и геометрии может привести к получению новых результатов.

Вместе с тем, еще Гильберт предполагал, что для решения геометрических задач следует заняться лингвистическими правилами построения плоскости. Поэтому предлагается дополнительно использовать структурную лингвистику в интерпретации Звегинцев В.А.

Базисные работы исследования - это труды Кантора в области теории чисел, Г. Вейля и Дьедонне, развивших фундаментальный принцип подобия Лейбница, Ефимова в геометрии, Бахмана и Яглома в симметрической аксиоматике,

Цермело и Френкеля в теории множеств, Кодда в реляционной алгебре; Звегинце-ва в структурной лингвистике. Многие из этих направлений вышли из геометрических исследований. Главные теоретические результаты теорий сформулированы. Настал момент системно проанализировать их вместе, что, возможно, позволит решить три основные проблемы САПР, унификацию протоколов обмена, увеличение точности проектирования, соединения в единую математической теорию лингвистического, математического и дизайнерского обеспечения САПР.

Область исследования. Диссертационная работа выполнена в соответствии с пунктами «2. Разработка научных основ создания систем автоматизации проектирования и автоматизации технологической подготовки производства (САПР и АСТПП)», «6. Разработка научных основ реализации жизненного цикла проектирование - производство - эксплуатация, построения интегрированных средств управления проектными работами и унификации прикладных протоколов информационной поддержки», «8. Разработка научных основ построения средств компьютерной графики, методов геометрического моделирования проектируемых объектов и синтеза виртуальной реальности» паспорта специальности 05.13.12 «Системы автоматизации проектирования», «8. Теоретико-множественный и теоретико-информационный анализ сложных систем», «13. Методы получения, анализа и обработки экспертной информации» паспорта специальности 05.13.22 «Системный анализ, управление и обработка информации».

Объект исследования: методология создания геометрической модели в САПР, построенной с учетом внутренних свойств евклидовой плоскости К х Ж.

Предметом исследования является теоретическое обоснование и математическое моделирование внутренних свойств евклидовой плоскости для задач САПР, а именно, трансформаций плоских кривых, методы увеличения точности геометрического моделирования в САПР, принципы применения теории в нематематических задачах автоматизированного проектирования.

Цель и задачи диссертационной работы является совершенствование существующих и разработка новых научных основ математического и лингвистиче-

ского обеспечения САПР на базе новых методов геометрического моделирования, исходя из внутренних отношений (автоморфизмов), присущих евклидовой плоскости, что повысить эффективность новых САПР путем увеличения точности геометрических расчетов и унификации протоколов спроектированной информации для передачи без потери семантики.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- выявить ограничения существующих теоретических геометрических исследований и практических реализаций, не позволяющие развивать математическое и лингвистическое обеспечение САПР;

- уточнить и развить теорию геометрического моделирования в САПР, разработать методологические принципы, математические модели, методы и алгоритмы, предложив системные связи между геометрией, теорией множеств и информационными технологиями, на основе которых обосновать новые принципы математического обеспечения САПР путем теоретико-множественного и теоретико-информационного анализа;

- описать правила теории, предназначенной для решения вычислительных задач САПР, на основе структурной языковой лингвистики, реляционной алгебры, методов искусственного интеллекта к вычислительным задачам, решаемым в компьютерной графике САПР;

- развить на основе системного анализа методологию аналитической геометрии посредством построения адекватных математических моделей вычислительных процессов, методов и алгоритмов, позволяющих решать типовые задачи проектирования и расчета, обеспечивая оптимальные варианты компьютерного моделирования в САПР;

- сформулировать и дать решения практических задач проектирования и расчета геометрических параметров жордановых кривых в условиях реального времени, позволяющих повысить эффективность, количественные и качественные показатели функционирования графических построений в САПР;

- разработать рекомендации и предложения п�