автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Теоретико-игровые модели согласования экономических интересов субъектов в производственной системе

Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Тверской государственный университет

ГГ и ОД

На правах рукописи

/. О и а!

Лесик Александра Ильинична

ТЕОРЕТИКО-ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ СОГЛАСОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ИНТЕРЕСОВ СУБЪЕКТОВ В ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ СИСТЕМЕ

05.13.18- теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тверь, 1995

Работа выполнена в Тверском государственном университете. Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

A. Ф. Кононеняо

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

B. В. Федоров кандидат физико-математических наук, доцент

В. А. Хижняк

Ведущая организация: Институт проблем управления РАН

Защита состоится пР§ " и&сС-^/эЛ- 1995 г. в /3 часов на заседании специадазированного совета Д 002.32.05 по математике Вычислительного центра РАН по адресу:

Москва, В-333, ул. Вавилова-40. С диссертацией мото ознакомиться в библиотеке МИЛН РАН

Автореферат разослан " С'У" ^1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат физико-иатеиатических наук д Бушенков

I. Общая характеристика работы.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ.

Одной из особенностей расширяющихся рыночных структур в экономике является тенденция к выделению экономически самостоятельных субъектов, являющихся элементами одной производственной системы. При этом необходимо учитывать наличие у субъектов собственных и не совпадающих интересов. Возникают дае задачи: задача согласования интересов всех субъектов производственной системы за счет ЕЫбора экономических рычагов управления {в частности цен), там, где

применяется регулирование взаимоотношений, и задача

определения состояний равновесия производственной системы в условиях рыночного ценообразования.

Математическим аппаратом, позволяющим исследовать этот аспект функционирования производственной системы является теория игр. Использование результатов теоретико-игрового анализа, однако, требует определенной математической подготовки, что в известной мере ограничивает сферу их применения и делает весьма актуальной проблему создания на их основе компьютерных систем поддержки принятия решений (к.с.п.п.р.).

Создание к.с.п.п.р. позволяет моделировать процесс принятия решений и вырабатывать соответствующие предложения для руководства производственной системы, а ее использование во многом сможет определить эффективность АСУ производственной системы.

Возможность практической реализации компьютерной системы

поддержки принятия решений обусловлена развитием и широким распространением ПЭВМ.

Поэтому настоящая работа, представляющая собой исследование одного класса теоретико- игровых моделей согласования экономических интересов субъектов в производственной системе и разработка численных методов решения рассматриваемых задач является актуальной.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ состоит в:

- построении оптимизационной и динамической модели согласования экономических интересов субъектов производственной системы;

- выделении различных типов производственных систем и построении для двухуровневой иерархической цроизводственной системы статической модели, разработке механизма

регулирования экономических взаимоотношений между субъектами;

- построении игровой модели производственной системы в условиях рыночного ценообразования, для которой формулируется понятие равновесия и описании способа построения точек равновесия;

- обосновании возможности и эффективности использования аппарата негладкой оптимизации при построении численных методов решения задач;

- разработке и реализации расчетного блока к.с.п.п.р., основанной на результатах теоретико- игрового анализа.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА работы заключается в: 1) построении моделей производственных систем, связанных с

проектированием механизма управления и описнвавдих

взаимоотношения между субъектами производственной системы, которые позволяют за счет внутрихозяйственных цен (или отчислений) согласовать экономические интересы субъектов;

2) построении теоретике- игровой модели производственной системы в условиях рыночного ценообразования;

3) применении к новому кругу задач численных методов, основанных на известных результатах негладкой оптимизации;

4) реалиации расчетного блока к.с.п.п.р.;

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ работы заключается в постановке и теоретическом исследовании ряда задач математической экономики, связанных с производственными системами, и сведении их решения к задачам математического программирования, для решения которых построены численные методы. Подобная редукция позволяет говорить о возможности перехода к практическому использованию результатов теоретико- игрового анализа. Предложена методика расчета внутрихозяйственных цен , простота которой позволяет использовать ее на предприятии.

Тема диссертации соответствует теме "Математический анализ теоретико- игровых моделей принятия решений в организационных системах" ВЦ РАН, НГР: 01.82 7043929, проблема 0.80.07, п.1. АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ И ПУБЛИКАЦИИ

Материалы диссертации докладывались на семинарах по математическому моделированию конфликтных ситуаций ВЦ РАН (1990-1994), на 11-й Всесоюзной школе-семинаре

"Управление большими системами" (Вильнюс, 1988 г.), на конференции школа молодых ученых Уральского отделения РАН (Свердловск, 1990 г.).

По теме дисссертации опубликованы работы [1-6]. СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 36 наименований, приложений 1,2. Основной текст занимает 76 машинописных страниц.

2. Содержание работы.

Во введении дается обоснование актуальности, новизны, практической ценности работы, определяются цели исследования.

Глава 1 посвящена построению моделей согласования экономических интересов субъектов- элементов производственной системы. В } 1 рассматривается оптимизационная модель предприятия, в которой за счет выбора стоимостных параметров управления удается согласовать интересы подразделений, связанных единой технологией.

Положим, что предприятие состоит из двух экономически самостоятельных подразделений, 2-ое подразделение выпускает товарную продукцию ш видов, а 1-ое подразделение выпускает продукцию п видов, которая полностью используется на внутренние нувды предприятия. Обозначим: и=(и1,...,1^)- вектор

товарной продукции, с.= (с<1.....е<п)-вектор внутрихозяйственных

цен на продукцию 1-го подразделения, р=(м1,...,^п)-вектор затрат на производство продукции 1-го подразделения, исключая оплату труда, г-(г^,...,гт)-вектор цен на товарную продукцию 2-го подразделения, <5= ,..., <5т) -вектор себестоимости

продукции 2-го подразделения, не связанной с затратами на корма и оплатой труда, А=|а1^|-матрица (п*т) затрат продукции

1-го подразделения на производство единицы продукции 2-го подразделения (а^- количество 1-го вида продукции 1-го подразделения для производства 3-го вида продукции 2-го подразделения), и°=(и°,...,и®)-вектор предельных значений объемов продукции, определяемый производственными мощностями

2-го подразделения, -вектор предельных значений

производства продукции 1-ым подразделением, определяемый его производственными мощностями, п2=(п|,...)-вектор удельных трудозатрат (в часах) на производство единицы продукции 2-го подразделения, п1=(п],...,п^)-вектор удельных трудозатрат (в часах) на производство единицы продукции 1-го подразделения, Я2,Н2-число и минимальная численность работников 2-го подразделения, ^.^-число и минимальная численность работников 1-го подразделения, Л-общая численность работников предприятия, Ф-годовой фонд рабочего времени (в часах) работника предприятия. Параметрами управления являются и.с.,^ ,И2.

Задачу согласования интересов 1-го и 2-го подразделений можно записать в виде:

при ограничениях

Аи<г°, (Ки^и0, <п2,и>«Ш2Ф, <А*п1,и>^1Ф (2)

Н1+Н2=И, Н2^ , (3)

Рассмотрим две вспомогательные задачи, максимизирующие доход

предприятия в целом.

Первая задача имеет вид:

«Г, (и)=<и,}'-А*р-б> —> шах 1 и (4)

при ограничениях (2)

Вторая задача -

3? (и)=<и,^-А*А1-б> —> шах (5)

с и

при ограничениях

Аи<й°, (Киса0, <п2+А*п1 (6)

Задачи (4)-(2), (5)-(6) являются задачами линейного программирования, для их решения может быть использован симплекс-метод.

Пусть и* является некоторым фиксированным решением задачи (5)-(6), при этом максимальное значение целевой функции задачи (5)-(б) будет

Теорема 1. Любые и*,а*, удовлетворяющие неравенству

т*

шах

N

„га <А*п1 ,и*> д1*

Ф

<и*, А* (<*%)>«

< <1| (1-

N

тах

N5,

<п2,и*> ф

(?)

являются решением задачи (1)-(2)-(3) вместе с

N

<и\А*(а%)>- „

Теорема 1 представляет достаточное условие, позволяющее

А *

непосредственно определить векторы и и а , которые являются решением задачи (1)-(2)-(3). Практическое значение теоремы 1 состоит в том, что определить и*,а*, удовлетворяющих

неравенству (Т), является более простым (с вычислительной точки зрения) делом, чем решение с этой целью задачи математического программирования (1)-(2)-(3).

В §2 рассматривается производственная система, состоящая из к экономически самостоятельных субъектов. Деятельность каждого подразделения оценивается величиной валового дохода,

получаемого подразделением на конечный момент времени.

Поставлен вопрос согласования экономических интересов субъектов системы на всем промежутке дискретного времени.

Рассматривается задача оптимального управления дискретным процессом изменения экономического состояния предприятия..

Положим, что для данного предприятия на основе балансового отчета составлена матрица В (К«Х) прямых затрат предприятия, полностью описывающая его технологию. Положим, что матрица В невырожденная.

В каздый дискретный момент времени 1;а деятельность

предприятия можно охарактеризовать вектором (У3.....у|)

з=0,... валового выпуска продукции. Обозначим и3=(и|,.. з=0,...,Т-1 вектор товарной продукции предприятия. Изменение

о

вектора у во времени описывается равенством:

У34"1 =Р3 (У3 .и8 )=(Вт )"1 (у3-)!3) и у3 можно рассматривать как фазовый вектор дискретного управляемого процесса изменения экономического состояния предприятия. В каждый момент экономическое состояние можно . оценить величинами валовых доходов, получаемых, всеми подразделениями.

Начальное условие имеет вид:

У°=У°

Вводятся в рассмотрение ограничения, накладываемые на фазовый вектор. Множество у3, удовлетворяющих введенным ограничениям обозначим через У3 (з=1,...,Т). Управление осуществляется, вектором Си3]=(и°,...,иТ-1). Пусть и-множвство дискретных управлений 1и31=(и°,...,иТ-1), удовлетворяющих ограничению огаАгу3.

Введем обозначения: а=(а1...с^)-вектор внутрихозяйственных цен на продукцию подразделений, г=(г1, - - • .у^)-вектор цен на товарную продукцию, -вектор цен на покупаемые

предприятием продукты.

с^Вца+В

В21а+В22>'+§26

аеА= I a^Ej.: 11 12 J [ .

I Г^Вр^+ВррУ+Врб J

где B^, B12» B21, В22. , Н2- подматрицы матрицы В.

Деятельность каждого подразделения в момент времени tg

(s=0,...,Т) дискретного управляемого процесса можно оценить

величиной суммарного валового дохода I®, получаемого 1-ым

подразделением к s-му моменту времени.

В качестве критерия эффективности данного дискретного

управляемого процесса примем

J(a,[US])= min J^a.tu3]), где J, (a,[US])=HMc.,yT)=I?+1,

ia<k 1 Iii

1=1,... ,k.

m m

Обозначим Ф(а,у )= min Ф*(«,У ),

l€L<k 1

т.е. оптимизируется валовой доход "худшего" подразделения на конец рассматриваемого периода времени. Рассмотрим следующую задачу оптимального управления дискретным процессом изменения экономического состояния предприятия:

J(a,[u3])=®(o.,yT) — > max, fus]eU

где ГуТ]=(у°,...,ут)-траектория динамической системы

q Л ф—1

соответствущая управлению tua]=(u ,...,и ) в силу уравнения движения

y3+1=Fs(ys,u3)=(BT) (у3-!!3)

и начального условия

Обозначим М(а)= max J(a,tu8]) . tu3]eU

Рассмотрим следувдую задачу параметрической оптимизации: М(а) —> max, аеА.

Далее в 52 получены соотношения, достаточные для того, чтобы предложить для решения последней задачи численный метод квазиградаентного типа. Возможность нахождения оптимального управления и соответствующей ему оптимальной траектории производственной системы сможет оказаться полезной при прогнозировании хозяйственной деятельности на длительный период времени.

53,4 посвящены двухуровневым иерархическим производственным системами (д.и.п.с.). Задачей центра в д.и.п.с. является согласование интересов всех субъектов системы (в том числе центра) за счет соответствующего выбора параметров управления. Решение этой задачи может служить основой для регулирования взаимоотношений экономических субъектов в

д.и.п.с. Роль таких стоимостных параметров могут играть

рассматриваемые в 53 внутрихозяйственные цены . Постановка и исследование задачи управления д.и.п.с. проведена на детерминированной модели предприятия, основу производства и управления которого составляют К хозрасчетных подразделений, управляемых центром. Для данной модели определяется максимальный гарантированный результат центра. .

Пусть р-количество видов продуктов, которые находятся в производственной сфере предприятия, 1-количество технологий, используемых на данном предприятии . В отличие от 6 2 каждое

из к подразделений может производить любой из р продуктов , кавдый из которых может быть произведен с использованием любой из 1 технологий.

Обозначим «=(<^,...,0^) -вектор внутрихозяйственных цен и

А={а=(а^ 1=1 ----

Производственные возможности каждого 3-го подразделения (3=1,...,к) можно охарактеризовать вектором интенсивности Элементы т^ (3=1,...,к,1=1,...,1) представляют величину мощности, отводимой 3-ым подразделением под технологию 1 (1=1 ,...,1). Для кавдого 3 (3=1 определим множество

Здесь .вектор коэффициентов (1=1 ,...,11), а

величина представляет ограничения на мощности.

Пусть для предприятия составлена матрица Т= 11:^1 размерности (1 * р), описнваицая все используемые технологии.

Обозначим г={ггр)- вектор цен, по которым предприятие рассчитывается с закупочными и оптовыми организациями.

В качестве критерия эффективности 3-го подразделения

примем функцию (3=1.....к). Относительно будем

предполагать, что они являются строго вогнутыми дважды непрерывно дифференцируемыми функциями. Для каждого 3-го подразделения при заданном векторе г построим функцию

к .

ПОЛОЖИМ РдСа.Ш^ ,... 2 ^(а,!!^).

Величина Р0(а,т1,...п^) представляет собой разницу, получаемую

центром за счет введения внутрихозяйственных цен. В качестве

критерия эффективности центра рассмотрим критерий вида 1 к 3 д 2

где «.j- положительные весовые коэффициенты. Центр, управляя внутрихозяйственными ценами а и мощностями пц ,....стремиться максимизировать эту величину. Таким образом, оптимальным управлением центра будут такие векторы

а*еА, т|еЫ1,...ЧТО

F* =F(a*,ra*,...m£)=max rain т^Р^а.т^) aeA, О^Кк т1еМ1,

.....< обеспечат уравнивание финансовых результатов

всех 3 (3=0,...,к) подразделений. Величина F* представляет максимальный результат центра.

В }4 рассматриваются возможности центра по согласованию интересов экономических субъектов д.и.п.с. в том случае, когда параметрами управления центра являются отчисления в

централизованные фонды. Постановка и исследование задачи

управления д.и.п.с. проведена на детерминированной модели предприятия, основу производства и управления которого составляют два подразделения, управляемых центром.

Пусть подразделение 2 с численностью работников rig производит т видов товарной продукции, составляющей вектор u=(ii,,...,um) и продаваемой центру по закупочным ценам подразделение 1 с численность работников и, производит и продает подразделению 2 п видов внутрихозяйственной продукции по

внутрихозяйственным ценам а=(а^.....Од). Обозначим п®, -

минимальные численности работников подразделений 1 и 2 соответственно, ^, величины отчислений подразделений 1 и 2 соответственно, д.,,л2- минимальная оплата труда работников подразделений 1 и 2 соответственно.

Критерием деятельности подразделения 2 будем считать выражение

<и ,г-ч5>-<а,Аи> <Аи,а-^>-г1

-, а подразделения 1-

У «а ши »1 ^ •

Действия каждого подразделения характеризуются стремлением к увеличению значения своего критерия. На вектор а наложены ограничения <и0,г-<5>-<:с1,Аи0>-1;2^0. Критерием

деятельности центра будем считать величину централизованных фондов, которые центр стремиться увеличить. При этом естественно считать, что на величину отчислений в централизованные фонды, производимых, подразделениями 1 и 2 наложено ограничение.

Регулирование связей в данной системе происходит на основе экономических взаимоотношений. Игровая постановка задачи заключается в следувдем. Центр выбирает и сообщает подразделениям 1 и 2 механизмы отчислений, а подразделения управляют величиной внутрихозяйственной цены а, численностью работников в своих подразделениях п1 и стремясь к

максимизации своих критериев.

В данной модели центр может подобрать такие отчисления в фонда, которые позволяют подразделениям максимизировать свои критерии при одновременном выполнении некоторого условия справедливости мезду ними и достижении максимума критерия

центра.

Итак, если 1;},1;2 заданы центром, то множество управлений подразделений 1 и 2 есть

А(г1,г2)=( а:с>о,<Аи0,а-м>-г1гл1, <и°,?'-б>-<а,Аи0>-1;25д2} (8) Кроме того, для 1-го подразделения множеством управлений является

П}.- п^Ю, п^сп^ ), 1=1,2. (9)

Оптимальная внутрихозяйственная цена а0^,-^) и оптимальная численность работников п^еН^ подразделения 1 определяется из условия:

Г1 (а°(г1,и),п?)= тах -=--(Ю)

1 1 ^ П ссеА^,"^) П1

П1е1,1

Оптимальная внутрихозяйственная цена о^СЦД2) и оптимальная численность работников подразделения 2 определяется из

условия:

<и° ,г-6>-<0,, Аи°>-г2

и{сР(X,,%?)шах -=--(11)

1 г ^ аеАСЦ,^) "2

гъ^Мг,

Обозначим

т={(г1,г2): 11?о,г2?о,г1+г2$<и0,у-б-А*м>} ' (12)

Задача выбора оптимального управления примет вид:

шх И,^) (13)

При фиксированных внутрихозяйственная цена от.д(г1^2) с

точки зрения подразделений должна удовлетворять некоторому условию справедливости, в качестве которого примем

П1 "2

Установлено условие, при котором множество элементов аедсц д2), удовлетворяющих равенству (14) непусто.

Заметим, что в силу линейности по каждой переменной критерия центра, в точке максимума выполняется равенство

(15)

Теорема 2. Для любых найдутся а0^,"^), п®, п^ такие, что

п0 = "ОТ

П1 °2

Теорема 2 показывает, что интересы всех субъектов в системе (8)-(14) согласованы в том смысле,что при любых отчислениях, устанавливаемых центром для. подразделений всегда найдется вектор внутрихозяйственных цен а, и величины работников в подразделениях п.,,!^, которые позволят подразделениям максимизировать свои критерии при выполнении условия (14).

Теорема 3. Пусть <и0,?—б-А*м>^<и0,Ар>, тогда для любых а0(Т;0,г0), п®, п^ найдутся фиксированные отчисления , при

которых равенство

-д„0 0/+0 +0» ч +0 , 4* 0,+0 »О,, +.0

<Аи ,а (Т^ <и а

П1 Й2

выполняется тогда и только тогда, когда

<Аи°,с.°(^) >=<и°,Г-6-к*»>.

Теорема 3 устанавливает, что при выполнении некоторого условия центр может достичь максимума своего критерия при одновременном выполнении равенства (14), т.е. интересы в системе (8)-(14) могут быть идеально согласованы .

Исследуются возможности центра по управлению в системе, допускающей экономическую самостоятельность подразделений. Для любых п®, т^ введем множество

Задача выбора оптимального управления центра ^Д® примет вид:

шх (г1+12 > (17)

Теорема 4. Для любых сР, п^ найдутся Тф^.г^,)

такие,что

Теорема 5. Для любых а°(г1, 1;2), п®, п^ найдутся , Х^ определяемые (16)-(17) при которых равенство

ТО = ГО выполняется

П1

тогда и только тогда, когда

<Аи°,с,°(^,^)>= 0 0 <и°,г-&-Аш»>.

Теорема 5 показывает, что центр, управляя ^ Д2 может достичь максимума своего критерия при одновременном выполнении равенства (18). Это означает, что в системе (8-11,14,16,17) интересы могут быть идеально согласованы.

В случае предоставления подразделениям некоторой экономической самостоятельности и расширения их прав в принятии решений центру удается согласовать интересы всех субъектов производственной системы за счет изменения своего пространства управлений. Использование центром управления с обратной связью (по типу игры Г2) приводит и в этом случае к идеальной согласованности интересов субъектов. Наличие согласованности интересов экономических субъектов д.и.п.с. позволяет сделать вывод о ее устойчивости и эффективности функционирования.

Глава 2 посвящена модели экономического равновесия производственной системы, находящейся в условиях рыночного ценообразования. Положим, что производственная система

состоит из двух подразделений, и в технологическом процессе участвуют два продукта, при чем каждое подразделение может использовать любой из этих видов для производства одного вида продукта. Обозначим У1-множество затрат 1-го

подразделения (1=1,2). Положим,что У1(1=1,2)-выпуклые

компактные в Е2 подмножества. Рассмотрим ®У2, которое будет выпуклым компактным в Е4 подмножеством , и определим на У для 1-го агента (1=1,2) его производственную функцию (1=1,2), Относительно .(1=1,2) будем предполагать, что они

являются строго вогнутыми, дважды дифференцируемыми на У функциями. Поскольку агенты могут произвести затраты каждого вида продукта в размере, не превышающем их выпуска, то в У можно выделить множество

г={уеУ: у|+у| <Р1(у1,у2), <Р2(у1,у2)}.

Положим, что 1 является компактным в У подмножеством и Ъ* в.

Предположим, что агенты находятся в условиях рыночного ценообразования...

Обозначим р=(р1,р2)- вектор цен на затраты. В качестве критерия деятельности 1-го агента (1=1,2) примем его валовой доход, т.е. определенную на 1 функцию

^1(У1 .У2)=Р1Г1(У1 ,У2)~<Р,У1> (1=1,2).

Функции <^(1=1,2) того же класса,что и Р1(1=1,2). Действия 1-го агента (1=1,2) характеризуются стремлением к максимизации

В 56 описана вогнутая игра двух лиц, соответствующая сформулированной модели. Определены условия, при которых точка равновесия будет устойчивой по отношению к вектору цен на затраты. В главе 3 излагаются численные методы решения

поставленных в главах 1,2 задач, основанные на известных результатах теории негладкой оптимизации. . Для задачи, описанной в 5 3 и представлящей наибольший практический интерес, изложенный в 5 9 метод реализован на ГОШ. 55 13, 14 посвящены практическому приложению результатов теоретико -игрового моделирования согласования экономических интересов субъектов производственной системы. Рассмотрен вопрос об использовании предлагаемых алгоритмов в компьютерной системе поддержки принятия решений, определяется их место в этой

системе, а также приведена методика расчета

внутрихозяйственных цен для предприятия на основе баланса.

В заключении диссертации изложены основные вывода и даны рекомендации по практической реализации результатов диссертации. 3. Основные результаты.

1. Построена оптимизационная и динамическая модели согласования экономических интересов субъектов производственной системы.

2. Для двухуровневой иерархической производственной системы построена статическая модель и разработан механизм регулирования экономических взаимоотношений между субъектами.

3. Построена игровая модель производственной системы в условиях рыночного ценообразования, и описан способ построения точек равновесия.

4. Обоснована возможность и эффективность использования известных результатов теории негладкой оптимизации при построении численных методов решения нового круга задач.

5. Разработан и программно реализован расчетный блок к.с.п.п.р..

6. Разработана методика расчета внутрихозяйственных цен.

Публикации

1. Лесик А.И. Об- одной модели внутрихозяйственного расчета сельскохозяйственного предприятия// Системы: математические методы описания, САПР и управления.Калинин: Из-во КГУ, 1989, с.147-152..

2. Лесик А.И. Динамическая модель внутрихозяйственного расчета сельскохозяйственного предприятия// Математические методы исследования систем. Тверь: Из-во ТГУ, 1991, с. 93-99.

3. Лесик .А.И., Перевозчиков А.Г. Об одном методе решения игр 2-х лиц с запрещенными ситуациями// Системное программирование и модели исследования операций. М.: Из-во МГУ, 1992, с.159-164.

4. Лесик А.И. О компьютерной системе поддержки принятия решений в задаче управления предприятием// Вопросы теории и практики автоматизированной обработки экономической информации. Тверь: Из-во ТГУ, 1993, с.64-67.

5. Лесик А.И., Грицюк Е.П. Синтез хозяйственного механизма сельскохозяйственного предприятия на основе хозрасчетных отношений. Тез. докл. II Всесоюзной школы-семинара "Управление большими системами", Вильнюс, 1988.

6. Лесик А.И. Об одном методе решения задачи параметрической оптимизации не дифференцируемой функции// Проблемы теоретической и прикладной математики. Свердловск, 1990, с.19-21.