автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Теоретические основы иерархии фрактальных моделей разрушения конструкционных материалов

На правах рукописи

ХАЛ КЕЧЕ В Кемал Владимирович

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЕРАРХИИ ФРАКТАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ РАЗРУШЕНИЯ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

Специальность

05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена в Московском государственном горном университете.

Научный консультант

доктор технических наук, профессор РЕДКОЗУБОВ Сергей Алексеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

ИВЛЕВ Дюис Данилович; доктор физико-математических наук, профессор

ФОРМАЛЕВ Владимир Федорович; доктор физико-математических наук, профессор ШЕВЕЛЕВ Валентин Владимирович.

Ведущая организация - Институт проблем управления РАН.

Защита состоится 24 октября 2006 года в 15— час. на заседании диссертационного совета Д-212.128.02 при Московском государственном горном университете по адресу: 119991, Москва, Ленинский проспект, д.6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного горного университета.

Автореферат разослан 22 сентября 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

канд. техн. наук, доц. А.Э, Адигамов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Изучение процесса разрушения твердого тела требует одновременного рассмотрения широкой шкалы, в пределах которой происходят как. микроскопические явления в местах возникновения и развития разрушения, состав и структура материала и макроскопические эффекты (например, напряженное состояние вокруг макроскопических концентраторов, где вероятность возникновения разрушения наиболее высока).

На нижнем конце этой шкалы происходит процесс разрыва связей, осуществляющих сцепление в материале. В этом интервале масштабов интересны явления, происходящие в материале на расстояниях порядка 10_9м. Аппаратом, пригодным для изучения этих явлений, служит квантовая механика. На верхнем. же конце этой шкалы, границы которой не определены однозначно (величина их зависит от особенностей структуры), материал можно считать однородной сплошной средой; для изучения происходящих в нем явлений можно использовать аппарат классической механики сплошных сред. Явления, которые происходят в материале между этими двумя крайними масштабами, такие, как движение линейных и точных дефектов, всегда присутствующих в твердом материале, зависят от его структуры и требуют разработки новых математических моделей. В настоящее время, из-за отсутствия достаточно мощных математических средств, не существует последовательной единой теории,-охватывающей все масштабные уровни, относящиеся к разрушению, В существующих теориях проблема разрушения рассматривается только с какой-либо одной из трех точек зрения: статистической механики, микроструктуры или классической механики сплошной среды.

Теории разрушения, основанные на статистической механике, с одной стороны, упрощают и идеализируют материал в отношении кинетики его атомной структуры, а с другой стороны, игнорируют его локальную геометрию и механику в отношений микроструктуры и напряженного состояния. Они, следовательно, дают некоторый феноменологический взгляд на явления,. а не удовлетворительную количественную теорию (Понселет Е.Ф., Журков С.Н.). На

этом уровне статистический подход является общим, и применим ко всем твердым телам.

Поскольку начало процесса разрушения означает образование трещин или пустот, которые зависят от микроструктуры материала и условия нагружения, это означает, что механизм разрушения может быть различным для кристаллических твердых тел различной структуры. Современное состояние различных теорий, рассматривающих зарождение трещины и ее рост до определенного размера, для кристаллических материалов обсуждалось в работах следующих авторов: Котрелла А.Х., Гилмана Дж. Дж., Хана Г. Т. , Макклинтока Ф. А., Аргона А. С., Орована Е., Строха А. Н., Томпсона Н.. Поскольку главное внимание во всех этих микроструктурных теориях уделяется выяснению механизма начала разрушения, они в основном носят качественный характер.

С другой стороны, в макроскопических теориях разрушения предполагается существование трещин, пустот или других дефектов, которые могут легко служить очагами разрушения. Чтобы оправдать использование методов классической "механики сплошной среды, принимается, что размеры этих дефектов достаточно велики по сравнению с характерными размерами микроструктуры. При этом необходимо заметить, что характерные размеры неизвестны. В этих теориях материал рассматривают как однородную сплошную среду, и многочисленные аналитические и численные исследования с применением ЭВМ, как правило, выполняются методами механики сплошной среды и классической термодинамики. Среди работ, выполненных в рамках механики сплошной среды, для исследования процессов разрушения принципиальное значение имеют труды Александрова В.М., Баренблатта Г.И. Грифитса А. А., Ершова Л.В., Ивлева Д.Д., Ирвина Г.Р., Ишлинского AJO., Качанова Л.М., Каштанов А.В.,. Лурье А.И., Любовица Г., Макклинтока Ф.А., Мусхелишвшш Н.И., Морозова Н.Ф, Орована Е.О., Партона В.З., Покасюка В.В., Париса П., Петрова Ю.В, Работнова Ю.И., Си Д., Снеддона ИН., Серова М.В., Тернера У.И., Уолша И.Б., Хеялана К., Холанда АЛ., Черепанова Г.П., Шемякина Е.И., Эрдогана Ф., Ягера И.С. и др.

Если поставить й решить задачу о разрушении тел, имеющих тонкий разрез, в рамках теории деформируемых твердых тел, то в полученное решение в виде параметра войдет длина разреза наравне с другими геометрическими размерами тела. Но при этом в нем не содержатся связи внешнего усилия с длиной разреза

при заданной нагрузке (при заданной нагрузке можно произвольно менять " размеры тела, что отражается только на напряженно-деформированном состоянии). Для того, чтобы получить такую связь, необходимо к полученному решению добавить некоторое условие или критерий разрушения, который переводит разрез в трещину. Такой критерий устанавливает величину усилия, при котором разрез начинает распространяться. В этом случае величина нагрузки и длина трещины становятся взаимосвязанными. При этом нельзя изменить длину трещины, не изменив и саму нагрузку. Если разрез получает возможность распространяться быстро или медленно, то такое состояние тела называют предельным или критическим, при этом критерий разрушения удовлетворяется. В таких моделях учитываются трещины с помощью поля напряжений, все остальные трещины, слияние которых образуют излом, в этих моделях не учитываются.

Критерий разрушения ставит условие наступления предельного состояния. равновесия. В состоянии предельного равновесия внешнее усилие и характерный размер трещины связаны функциональной зависимостью. Критерий разрушения является дополнительным уравнением к уравнениям теории упругости и пластичности. Поэтому наличие решений теории упругости для тел с тонкими разрезами еще не создает теорию трещин, в то же время, основной вопрос теории трещин — установление и изучение критерия разрушения.

При макроскопическом подходе необходимо сформулировать модель реального явления и постулировать «критерий» разрушения. Среди таких критериев могут быть упомянуты: критерии линейной и развитой линейной механики разрушения; локальные и глобальные энергетические критерии разрушения; использование интеграла Райса — Черепанова и его критического значения в виде критерия страгивания трещины; модели с силами сцепления у вершины трещины; локальные критерии разрушения, выраженные через критические напряжения или деформации; критическое раскрытие трещины; критерии разрушения, базирующиеся на критической глобальной деформации; двухкритериальный метод.

Некоторые критерии в общем виде описывают различные предельные состояния, в частности линейноупругое разрушение, упругопластическое разрушение, пластическую неустойчивость. В этом . направлении ряд исследователей (Ивлев Д.Д., Ишлинский А. Ю., Гвоздев А. А., Прандтль Л., Хилл

Р., Прагер В., Соколовский В. В., Койтер В. и др.) получили весьма ценные результаты, сохранившие свое значение и в настоящее время. В тоже время нельзя не отметить, что многие из этих критериев разрушения содержат один параметр, который рассматривается как характеристика материала, но зависящий от скорости деформирования, т. е. от условия опыта, что, конечно же, ■ недопустимо.

В некоторых материалах при заданных температуре и скорости деформирования у вершины трещины наблюдают достаточно мало развитую пластическую деформацию. Поэтому можно рассматривать поведение таких материалов как линейноупругое. Этот подход известен под названием линейной механики трещин. Среди работ, выполненных в данном направлении, для исследования разрушения принципиальное значение имеют труды Баренблатга Г. И., Черепанова Г. П., Ирвина Г. Р., Грифитса А. А. Ивлева Д. Д., Ершова Л. В. и др. При таком подходе к решению проблем разрушения конструкционных материалов трещины как объекты, существующие над внутренним строением, независимы от последнего, что, конечно же, является недопустимым предположением для конструкционных материалов.

Поэтому дальнейшее развитие решение проблем разрушения было связано с введением понятий длительной прочности и долговечности материала (Журков С.Н., Бюссе У .И., Ильюшин A.A.). В ряде работ были установлены соотношения, выражающие зависимость между временем до разрушения и действующими напряжениями, т.е. созданы феноменологические теории длительной прочности. Кинетический подход к разрушению трактуется по-разному. Некоторые авторы временную зависимость разрушения объясняют химическими явлениями (Орован Е. О.), другие — неоднородностью структуры тела и связанной с нею неоднородностью локального деформирования и разрушения. Есть авторы, которые рассматривают временную зависимость разрушения как органическое свойство материала, что недопустимо. Время, согласно требованиям термодинамики, не, может быть параметром состояния. Поэтому необходимо согласиться с тем,'.что временная зависимость разрушения- должна быть истолкована неоднородностью структуры тела и связанной с нею неоднородностью локального разрушения. В связи с этим необходимо отметить работы Карташова Э. М., Цоя Б., Шевелева В. В., Маргетройда Дж. Б., Гольдштейна Р.В., Осипенко Н.М. Гузь А.Н., Бабича И.Ю. и др.

Итак, мы в полной мере наблюдаем реализацию опасений, связанных с переносом линейного опыта нелинейную почву, высказанных в свое время Л. И. Мандельштамом. Не располагая готовым математическим аппаратом или не успев выбрать подходящее оружие в обширном арсенале математических средств и методов, специалисты по теории разрушения встали на путь своего рода «математического старательства» и приступили к решению как нелинейных, так и линейных проблем «поштучно»,-используя их индивидуальные специфические особенности. На этом пути ряд исследователей получили весьма' ценные результаты, сохранившие свое значение и в настоящее время. И сейчас иногда удобно в том или ином случае идти по этому пути. Каждое из них отражает некоторые существенные особенности явления разрушения, а в совокупности феноменологические теории, теории трещин и статистические теории позволяют воспроизвести достаточно полную картину макроразрушений, что указывает на перспективность синтеза методов этих теорий в рамках единого подхода.

Но при этом каждая из них по отдельности, так и все они вместе, не могут составить теоретическую основу для последовательной единой теории, охватывающей все аспекты, относящиеся к разрушению. Фактически такие решения разрозненных отдельных задач не имели достаточного математического обоснования в развитии общей теории разрушения. Такой подход вряд ли целесообразен, так как он не ведет к установлению тех общих точек зрения, той базы, как математической, так и физической, которая необходима для достаточно полного и всестороннего охвата области нелинейной теории разрушения в уже известной нам ее части, и, что еще важнее, для успешного дальнейшего планомерного развития.

Формулировка основных положений математической модели, призванной отразить наиболее существенные стороны явления разрушения, задача чрезвычайно сложная, ввиду большого многообразия определяющих факторов и форм разрушения. В связи с этим естественно отправляться от ключевых, характеристических черт явления.

В конструкционных материалах всегда в изобилии присутствуют неоднородности в различных масштабах, и разрушение путем образования поверхностей — характеристическая черта явления. Причем, если эти вновь образованные поверхности при разрушении становятся поверхностями трещин, то они являются фрактальными поверхностями, на что указывали многие авторы.

Мандельброт Б. Б., Пассоджа Д. Я, Пауллей А.Дж. установили, что структура поверхности трещин в металле превосходно моделируется фрактальными поверхностями, несмотря на то, что поверхность трещин имеет предел извилистости, который ограничен снизу характерным размером микроструктурных неоднородностей, в то время как фракталы бесконечно извилисты (Лунг Ч.). Проведенные этими авторами эксперименты по разрушению металла показали, что фрактальная размерность D имеет вполне определенное значение для различных образцов одного и того же металла. В свою очередь величина фрактальной размерности напрямую зависит от числа факторов, влияющих на рассматриваемый процесс разрушения.

Аналогичная ситуация наблюдается в работах других авторов, которые занимались исследованием поверхности трещин в геоматериалах (Стаховский И. Р., Белоусов Т. П., Шерман С. И., Гладков А. С.). При этом необходимо отметить, что несколько предпринятых теоретических попыток (Мехер Дж., Перке С. В., Хомси Г. М., Ленорменд Р.) с целью выяснить, можно ли считать геометрию поверхности трещин фрактальной, не привели пока к глубокому пониманию существа проблемы.

В работе авторов Луис Э-, Гинеа Ф., Флорес Ф. конфигурация трещин в материалах исследовалась с помощью модели, включающей в себя уравнения упругости и простые правила распространения трещин (вероятность образования трещины в данной части образца пропорциональна действующему на нее напряжению). Предложенная модель, которая воспроизводит распространение трещин в идеальном моно — или поликристалле, позволяет исследовать различные изотропные материалы при различных граничных условиях: деформация сдвига, одноосное сжатие, равномерное всестороннее сжатие и т. д. Автомодельные конфигурации получены при фрактальных размерностях, близких к 1.6. Здесь уместно отметить, что при фрактальной размерности, равной 1.6, невозможно получить реальную конфигурацию трещин, которая определяется поверхностью трещин, имеющей фрактальный размер, больше двух.

Поскольку решающую роль в явлениях трещинообразования играют многие факторы, такие, как структура материала, дефекты, примеси и т. д., что обусловливает существование обширного семейства механизмов растрескивания, которые не учитываются в данном исследовании, то предложенную модель следует считать простой моделью, позволяющей довести до конца анализ возможной

фрактальной природы поверхности трещин. Результаты, полученные в данной работе, необходимо расценивать так, что конфигурации образующихся в данной простой модели трещин действительно обладают фрактальным характером, что стимулирует дальнейшие исследования более реалистических систем.

Характер всех без исключения опытных данных по разрушению указывает на то, что в основе разрушения лежат случайные механизмы. Проявляются они в основном в случайном характере поверхностей изломов, образующихся при разрушении. Это свидетельствует о том, что трещины являются иерархически организованными системами. Но, в отличие от других иерархических систем, трещины не могут существовать сами по : себе, они образуются в конструкционных материалах. Трещины в них должны рассматриваться как составляющие внутреннего строения, особенности последних определяются в рамках теории сложных систем. Согласно этой теории конструкционные материалы — это макроскопические системы, динамика которых определяется взаимодействием большого числа микроскопических частей. Макроскопические системы обладают большим количеством степеней свободы. Системы со многими степенями свободы с необходимостью стохастические. В свою очередь стохастические системы де-факто иерархические в том смысле, что допускают дополнительное описание, по крайней мере, на двух различных уровнях: на микроскопическом уровне, на котором большое число частиц, вступает во взаимодействие друг с другом; и на макроскопическом, феноменологическом уровне, на котором для многих (но не для всех) практических целей система может быть описана небольшим числом макроскопических переменных; эти макроскопические переменные возникают как коллективные свойства динамики, происходящей на микроскопическом уровне.

С учетом приведенного выше определения иерархичности, трещина не является иерархически организованной системой в полном смысле этого слова. Ее иерархичность обусловлена иерархическим строением конструкционного материала и должна быть согласована с ним.

Таким образом, трещина — это фрактальный объект в иерархически организованной системе, каждый уровень которого имеет свой характер взаимодействия и условия формирования коллективного свййства, и требует разработки новых математических моделей для каждого уровня, связанных между собой на иерархической основе.

В связи с изложенным, разработка, теоретических основ иерархии фрактальных моделей разрушения конструкционных материалов — последовательной единой теории, охватывающей все уровни разрушения, является актуальной.

Цель исследования — разработать математические методы и средства для построения последовательной единой теории, охватывающей все иерархические уровни разрушения конструкционных материалов.

Основная идея работы. Трещина как фрактальный объект в иерархической среде должен описываться иерархией фрактальных моделей. Основные научные положения, выносимые на защиту:

— алгоритмы рещения задач синтеза для совокупности конструкционных материалов на основании требований к иерархичности и масштабу однородности, позволяющие отличить на базе математической модели однокомпонентные (однофазные) от композиционных материалов, и технические материалы от геоматериалов;

— алгоритм решения задач синтеза для совокупности дефектов, трещиноподобных образований и трещин на основании требований к иерархичности, который позволяет на базе математической модели отличить друг от друга дефекты, и трещины от трещиноподобных дефектов;

— случайно-фрактальная (перколяционная) модель разрушения конструкционных материалов на основе неоднородных напряжений и иерархической кластеризации, описывающая поэтапное разрушение структурного, композиционного и породно

— массивного иерархических уровней;

— модель сплошной среды со структурой, разработанная на базе отображений связных множеств, соответствующих элементарным объемам различных иерархических уровней конструкционных материалов.

-причиной нарушения масштабной инвариантности интеграла Раиса — Черепанова является наличие в конструкционных материалах незавершенных иерархических уровней, которым соответствует топологическая конструкция в виде несвязных пространств; границы области нарушения масштабной инвариантности интеграла Раиса — Черепанова определяются границей применимости сплошных сред со структурой;

— иерархия фрактальных моделей стохастической устойчивости и неустойчивости распространения трещин в конструкционных материалах на всех завершенных и незавершенных иерархических уровнях разрушения;

— качественная модель как критерий адекватности устойчивого и неустойчивого распространения трещин.

Научная новизна работы состоит в

— алгоритмизации решения задач синтеза для совокупности конструкционных материалов на основании требований к иерархичности и масштабу однородности;

— алгоритмизации решения задач синтеза для совокупности дефектов, трещиноподобных образований и трещин на основании требований. к иерархичности;

— разработке модели сплошной среды со структурой на базе топологического свойства — отображений связных множеств, соответствующих элементарным объемам различных иерархических уровней конструкционных материалов;

— разработке случайно-фрактальной (перколяционной) модели разрушения конструкционных материалов на основе неоднородных напряжений и иерархической кластеризации;

— определении причин и границ области нарушения масштабной инвариантности интеграла Райса — Черепанова;

— разработке иерархии фрактальных моделей стохастически устойчивого и неустойчивого распространения трещин на всех завершенных и незавершенных иерархических уровнях конструкционных материалов;

— разработке критерия адекватности на базе качественной. модели распространения устойчивого и не устойчивого распространения трещин. Достоверность и обоснованность научных положений и результатов исследований подтверждается следующим:

— корректностью применения апробированного математического аппарата (теории обобщенных функций, тензорного исчисления, теории краевых задач для эллиптических псевдодифференциальных уравнений, теории уравнений математической физики и интегро-дифференциальных уравнений, методов фрактальной геометрии, стохастической и нелинейной динамики, перколяционной теории);

-совпадением результатов исследований качественным методом как первым приближением, результаты которого совпадают с результатами защищаемой работы в частном (линейном) случае;

— согласованием результатов, вытекающих из предложенных математических моделей разрушения, с экспериментальными данными других исследователей.

Результаты диссертационной работы могут иметь практическую ценность:

— при исследовании трещин в конструкциях транспортных средств;

— при исследовании устойчивости горных выработок и откосов бортов карьеров;

— при определении параметров эффективного дробления и измельчения;

— в расчетах разрушения неоднородных сред, которые могут быть как изотропными, так н анизотропными.

Результаты исследования реализованы в разработке спецкурсов для студентов, специализирующихся по профилям: теория обобщенных функций и ее приложения, материаловедение, механика, прикладная математика, а также для студентов горных специальностей. .

Апробация работы. Основные результаты работы по мере их получения докладывались:

— на шестой Международной Петрозаводской конференции «Вероятностные методы в дискретной математике» (2004г.);

— на пятом, шестом н седьмом Всероссийском симпозиуме по Прикладной и Промышленной математике (2004г., 2005г., 2006г.);

— на второй Международной конференции по Физическим проблемам разрушения горных пород (Санкт-Петербург 2001г.)

— на семинарах кафедры «Высшая математика» Ml 1 У (Москва, 2001 — 2006 г.г.) Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы

в монографии и 25 научных статьях, из которых 7 статей опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК России.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы из 491 наименования, содержит 13 рисунков.

Основное содержание работы .

Во введении обоснованна актуальность выбранной темы, определены цель и задачи исследования, раскрыты научная новизна и перечисляются результаты, выносимые на защипу,

В первой главе проведен, анализ свойств существующих методов. и математических моделей разрушения. Сделанный анализ позволил сделать вывод о том, что каждая из теорий по отдельности, так и вместе, не могут составить

основу для последовательной единой теории, охватывающей все аспекты, относящиеся к разрушению.

Во второй главе построены алгоритмы решения задач синтеза: для совокупности конструкционных материалов на основании требований к иерархичности и масштабу неоднородности; для совокупности дефектов, трещиноподобных образований и трещин на основании требований к иерархичности и особенностям движения. В задачах синтеза имеют целью выбор объекта из некоторой совокупности на основании каких-то требований.

При построении. содержательной модели задач синтеза, будем исходить из того, что конструкционные материалы — иерархически организованные системы. Отсюда очевидно, что первое требование в задаче синтеза должно быть связано с иерархичностью. Второе требование должно быть связано с возможностью формирования коллективного свойства на более низком уровне, то есть с масштабом однородности, которое и обеспечит эту возможность.

Химический состав и внутреннее строение ответственны за «проектные» свойства материалов,' которые зависят от особенностей «правильной» структуры, предопределенных первичными свойствами — свойствами атомов. Но многие важные реальные свойства конструкционных материалов зависят и от случайных дефектов, приводящих к значительным отклонениям от «проекта». Так, например, наличие дефектов приводит к тому, что реальная прочность конструкционных материалов почти в тысячу раз меньше теоретической, «проектной», прочности.

Поскольку каждый дефект в отдельности в данном случае не является макроскопической системой, но при этом его местоположение носит случайный характер, то совокупность дефектов может составить иерархию. А движение их может привести к устойчивой или неустойчивой конфигурации, ответственной за образование и распространение трещин.

Итак, необходимо решить следующие задачи синтеза: для совокупности конструкционных материалов на основании требований к иерархичности, к масштабу однородности; и задачи синтеза для совокупности дефектов .на основании требований к иерархичности дефектов и трегциноватости, а для совокупности дефектов и трещиноподобных образований на основании требований к особенностям движения. " ' •■ •

Математическая модель задачи синтеза для совокупности конструкционных материалов на основании требований к иерархичности не может.быть сведена к

уравнениям, так как условия, на основании которых требуется выбрать объект, не имеют вид каких-либо равенств. И поэтому алгоритм С;ьш решения данной задачи синтеза имеет следующий вид. При построении данного и последующих алгоритмов, использованы правила, предусмотренные Д. Э. Кнутом.

Алгоритм Сцоп (Синтез по иерархичности конструкционных материалов). В этом алгоритме в качестве входных датгых используется генеральная совокупность конструкционных материалов (металлы, композиты, геоматериалы и т.д.). Выходные данные состоят из выборок конструкционных материалов с числом иерархических уровней.

Снып 1 • [Выборка]. Из генеральной совокупности сделать выборку. Акт2. [Выбор элемента]. Выбрать элемент выборки.

СдицЗ. [Элемент кристаллической структуры?]. Если из атомов складывается отдельная фаза путем правильного, регулярного расположения, то перейти к шагу 4, иначе перейти к шагу 5.

С;цш4. [Вывод: конструкционный материал кристаллической структуры]. Конструкционный материал имеет кристаллическую структуру. Перейти к шагу 6. С(кга5. [Вывод: конструкционный материал аморфной структуры]. Конструкционный материал обладает аморфной структурой. Перейти к шагу 2. С|кщ6. [п 4-1]. Установить значение счетчика уровней п<—1. ^¡кт?. [Определение угла поворота в]. Определить значение угла поворота в одного участка кристалла относительно другого.

С;кщ8. [0 = 0?]. Если в = 0, то перейти к шагу 14, иначе перейти к шагу 9.

С|кш9. [п «-2]. Установить п<~2 (Совокупность взаимодействующих зерен определяет следующий уровень — структурный).

С!ит10. [Присутствует композиционный (текстурный) уровень?]. Если выбранный элемент представляет собой сочетание хотя бы двух химически разнородных материалов (минералов) с четкой границей раздела между этими компонентами (фазами), то перейти к шагу 11, иначе перейти к шагу 15. Слш,! 1. [п3].Установить п<— 3(композиционный(текстурный)уровень).

С1кт12. [Присутствует породно-массивный уровень?]. Если выбранный элемент представляет собой сочетание хотя бы двух горных пород с четкой границей раздела между этими компонентами (фазами), то перейти к шаху 13, иначе перейти к шагу 16.

СчкпДЗ. [п <—4 ]. Установить п 4 (породно-массивный уровень). Перейти к шагу 17.

С(ьт14. [Вывод: кристаллическая структура]. Выбранный элемент — кристаллическая структура. Перейти к шагу 18.

С*т15. [Вывод: однокомпонентный конструкционный материал]. Выбранный элемент — однокомпонентный (однофазный) конструкционный материал с числом иерархических уровней равным двум. Перейти к шагу 18.

Снип1б- [Вывод: композиционный конструкционный материал]. Выбранный элемент — композиционный конструкционный материал с тремя иерархическими уровнями. Перейти к шагу 18. , .

С|ьт17. [Вывод: породный массив]. Выбранный элемент — породный массив с четырьмя иерархическими уровнями. С!кт18. [Конец]. Выполнение алгоритма прекратить.

Таким образом, решение задачи синтеза на основании требований к иерархичности дает возможность отличить друг от друга однокомпонентные (однофазные) и композиционные конструкционные материалы по числу иерархических уровней; при этом невозможно отличить технические материалы от геоматериалов, так металлы невозможно отличить от мономинеральных горных пород, а композиты — от полиминеральных горных пород.

Математическая модель задачи синтеза для совокупности конструкционных материалов на основании требований к масштабу однородности может быть сведена к уравнениям, так как условия, на основании которых требуется выбрать объект, имеют вид равенств.

Алгоритм СоЬт (Синтез по однородности). В этом алгоритме в качестве входных данных используется конструкционный материал в виде породного массива с четырьмя уровнями: атомный, структурный, композиционный, породно-массивный. Расчет масштаба однородности для каждого из уровней

позволяет решить задачу по определению масштабов однородности для однокомпонентных (однородных) и композиционных конструкционных материалов. Выходными данными является иерархические уровни с масштабами однородности.

Colon 1. [Установление п 1]. Установить значения счетчика уровней n <— 1 Сокш 2. [П = 1 ?]. Если n = 1, то перейти к шагу 40 , иначе перейти к шагу 3. Cokm 3. [п = 2 ?]. Если п = 2, то перейти к шагу 4, иначе перейти к шагу 12. Cokm 4. [Определение ljs J. Определить ljs — совокупность радиус векторов зародышей кристаллизации.

C0km 5. [Определение р\$(<р)~\. Определить pis((р) — набор функций которые

описывают форму i -го зерна в полярной системе координат.

Cokm 6. [Определение в13]. Определить dis-характеристики отдельного зерна.

Cokm 7. [Определение Ps]. Определить параметр структуры Ps, как совокупность

характеристик {r^AsO^is}-

C0km 8. [Присвоение Tt Г;3 ]. Г; <— ris.

Cokm 9. [Присвоение р\ <г- р-х ph.

Cokm Ю- [Присвоение^; <— 0Х <г-91%.

Cokm 11- [Замена Ps]. Р <— Ps. Перейти к шагу 30.

Cokm 12. [П = 3 ?]. Если П = 3, то перейти к шагу 13, иначе перейти к шагу 21. Cokm 13. [Определение rik]. Определить rik - совокупность радиус векторов зародышей кристаллизации.

Cokm 14. [Определение Определить p-^Sfp)- набор функций которые

описывают форму i -го зерна в полярной системе координат.

Cokm 15. [Определение 0^]. Определить характеристики отдельного зерна.

Cokm 16- [Определение Р^]. Определить параметр структуры Р^, как совокупность характеристик {гц,, р^(<р),0^}. Cokm 17. [Присвоение Tj <— г^ ]. ij <— г^.

Сокш 18, [Присвоение />, <- р^]. р\ р1к.

С0кт 19- [Присвоение в1 <— £?1к]. в\

Сокт 20. [Присвоение Рк]. Р Рк. Перейти к шагу 30.

С0кт 21. [п = 4]. Если П = 4, то перейти к шагу 22, иначе перейти к шагу 41.

Сокт 22. [Определение Г;р]. Определить Гц, — совокупность радиус векторов

зародышей кристаллизации.

Сокш 23. [Определение (?>)]. Определить р-1р (<р)~ набор функций которые

описывают форму 1 -го зерна в полярной системе координат.

С0кт 24. [Определение Определить 0хр—характеристики отдельного зерна.

Сокш 25. [Определение Рр ]. Определить параметр структуры Рр, как

совокупность характеристик |г;р, /3;р (<£>), <9;р|.

Сокш 26. [Присвоение г; г1р]. г- <- г;р.

С0кт 27. [Присвоение рх <-р;р]. р\ <г- рхр.

Сокт 28. [Присвоение вх в1р]. Э\ <—01р.

Сокт 29. [Присвоение Р <- Рр]. Р Рр.

Сокт 30. [Построение Р(Р)]. Построить функцию распределения Р(Р). Сокт 31. [Преобразование Р]. Преобразовать параметр Р с помощью трансляций г. С0кт 32. [Определение IР]. Определить параметр IР как совокупность характеристик {ц, ру ((р), 0Х}.

Сокт 33. [Построить Р(Ч Р)]. Построить функцию распределения БО Р). С0кт 34. [Инициализация а ]. Установить уровень значимости а <— 0,05. Сокт 35. [ Инициализация %т]. Установить нормативное значение критерия

/¿<-7,815

С0кш Зб.[Сопоставления критерия согласия]. Сопоставить F(P) и F(t Р) с критерием согласия *t2(t,V) (^2{Fv(P),Fv(tP)} = ^t2(t,V))

Colon 37. [ jft2(t, V) < Xm ] Если *t2(t,V) < Xm то перейти к шагу 38, иначе

вывод: Незавершенный иерархический уровень и перейти к шагу 40

Cokm 38. [Определение масштаба однородности /] Определить минимальное

значение размера / рассматриваемого объема V.

C0km 39. [Вывод/]. Вывод масштаба однородности / п-го уровня.

Cokm 40. [п<—П + 1]. П<—п + 1 (Переходим на следующий уровень) и перейти к шагу 2.

Cokm 41. [Конец]. Выполнение алгоритма прекратить.

Таким образом, решенная задача синтеза на основании требований к масштабам однородности дает возможность отличить технические материалы от геоматериалов, и в тоже время не всегда дает возможность отличить друг от друга однокомпонентные (однофазные) и композиционные конструкционные материалы, так каменные соли неотличимы от пород с текстурой вкрапленной, псевдооолитовой, оолитовой и модулярной.

Если теперь объединить два требования, то получим решение задачи синтеза для совокупности конструкционных материалов на основании требований к иерархичности и масштабам однородности, что дает возможность достигнуть необходимого результата — осуществить выбор объекта (конструкционного материала) из совокупности, не путая его с другими.

Решенная задача синтеза на основании требований к масштабам однородности позволяет повысить полноту описания конструкционных материалов как иерархически организованных систем за счет выделения дополнительно к существующим иерархическим уровням незавершенные уровни, на которых не могут быть определены макроскопические переменные как коллективные свойства. В результате этого целесообразно выделить следующие уровни: уровень кристаллической структуры; незавершенный структурный уровень, образованный совокупностью взаимодействующих зерен, характерный размер которой меньше характерного размера масштаба однородности структурного уровня; структурный уровень образован совокупностью взаимодействующих зерен, характерный

размер которой равен или больше характерного размера масштаба однородности структурного уровня, но меньше или равен характерным размерам химически разноднородных материалов (минералов) как составных частей композиционных материалов (полиминеральных горных пород); незавершенный композиционный (текстурный) уровень образован совокупностью взаимодействующих химически разнородных материалов (минералов), характерный размер которой меньше характерного размера масштаба однородности композиционного (текстурного) уровня; композиционный (текстурный) уровень образован совокупностью взаимодействующих химически разнородных материалов ' (минералов), характерный размер которой больше характерного размера масштаба однородности композиционного (текстурного) уровня, но меньше для геоматериалов характерных размеров горных пород; незавершенный породно — массивный уровень образован совокупностью взаимодействующих горных пород, характерный размер которой меньше характерного размера масштаба однородности породно — массивного уровня; породно — массивный уровень образован совокупностью взаимодействующих горных пород, характерный размер которой равен или больше характерного размера масштаба однородности этого уровня, но меньше или равен характерным размерам породного массива.

Математическая модель задачи синтеза для совокупности дефектов и трещиноватости конструкционных материалов на основании требований к иерархичности не может быть сведена к уравнениям, так как условия, на основании которых требуется выбрать объект, не имеют вид каких-либо равенств.

Алгоритм решения данной задачи имеет следующий вид.

Алгоритм С;яс1 (Синтез по иерархичности структурных дефектов). В этом алгоритме в качестве входных данных используется генеральная совокупность дефектов структуры. Выходные данные состоят из выборок: 1) точечные дефекты; 2) линейные дефекты; 3) поверхностные дефекты, а также место их пребывания на соответствующих структурных уровнях.

Сы1. [Осуществление выборки]. Из генеральной совокупности дефектов в конструкционном материале сделать выборку. Сай2. [Выбрать дефект]. Из выборки выбрать дефект.

С1я|3. [Точечный дефект?]. Если дефект во всех трех измерениях создает искажение в области, размеры которой сравнимы с межатомными расстояниями, то перейти к шагу 4, иначе перейти к шагу 5.

Сьл4. [Вывод: точечный дефект]. Выбранный дефект — точечный, и располагается на атомном уровне. Перейти к шагу 26.

Сьл5. [Линейный дефект?]. Если дефект характеризуется тем, что размеры искаженной области в двух измерениях сравнимы с межатомным расстояниям, а в третьем измерении значительно превосходит расстояния между соседними атомами в кристалле, то перейти к шагу 6, иначе перейти к шагу 7. Смб. [Вывод: линейный дефект]. Выбранный дефект —линейный, и располагается на уровне кристаллической структуры. Перейти к шагу 26.

Сы|7. [Поверхностный дефект?]. Если дефект характеризуется тем, что размеры искаженной области в двух измерениях значительно превосходит расстояния между соседними атомами в кристалле, то перейти к шагу 8, иначе 19. Сы8. [Вывод: поверхностный дефект]. Выбранный дефект — поверхностный и перейти к шагу 9.

Сиа9. [Определение Яд ]. Определить характерный размер поверхностного дефекта Яд.

См 10. [Определение Л,]. Определить характерный размер зерна конструкционного материала Л,.

С|1()11- [Определение /?,]. Определить размеры границ между химически разнородными материалами (минералы) Як.

Сы12. [Определение Я^]. Определить размеры границ между горными породами Ягп-

См13. [Кд =Д3 ?]. Если Яд =Я3, то перейти к шагу 14, иначе перейти к шагу 15.

Си<|14. [Вывод: межзеренная граница в поликристаллическом материале]. Выбранный поверхностный дефект является межзеренной границей в поликристаллическом конструкционном материале. Совокупность поверхностных дефектов находиться на структурном уровне. Перейти к шагу 26. См15. [Яд-Як ?]. Если Яд =ЯК, то перейти к шагу 16, иначе перейти к шагу 17. Сил 16. [Вывод: граница между химически разнородными материалами (минералами)]. Выбранный поверхностный дефект является границей между

химически разнородными материалами (минералами). Совокупность эткх поверхностных дефектов находиться на конструкционном уровне. Перейти к шаг>' 26.

СаЛ\1. [Лд =ЯГП ?]. Если Яд =ЯГП, то перейти к шагу 18, иначе перейти к шагу 19.

Сиа18. [Вывод: граница между горными породами]. Выбранный поверхностный дефект является границей между горными породами. Совокупность этих поверхностных дефектов находиться на пародно-массивном уровне. Перейти к шагу 26.

Сиа19. [Вывод: дефект в виде полости]. Выбранный дефект — дефект в виде полости. Наименьший размер дефекта в виде полости превышает радиус действия межатомных сил, т.е. превосходит 2-3 межатомных расстояния. Сы20. [Определение и]. Определить количество характерных размеров полости и.

Си<]21. [к = 1 ?]. Если п = 1, то перейти к шагу 22, иначе перейти к шагу 23 Сйд22. [Вывод: пора]. Выбранный дефект является порой и может находиться только на одном (любом) из уровней конструкционного материала. Перейти к шагу 26.

Сы23. [Дефект находиться на атомарном уровне?]. Если дефект находиться на

атомарном уровне, то перейти к шагу 24, иначе перейти к шагу 25.

Скл24. [Вывод: трещина]. Выбранный дефект — трещина. Перейти к шагу 26.

Сца25. [Вывод: трещиноподобный дефект]. Выбранный дефект является

трещиноподобным дефектом.

СкЛ26. [Конец]. Выполнение алгоритма прекратить.

Таким образом, решенная задача синтеза для совокупности дефектов на основании требований к иерархичности дефектов и трещиноватости даег возможность отличить друг от друга дефекты по расположению на иерархических уровнях конструкционных материалов, и трещины от трещиноподобных дефектов по обязательному присутствию трещины на самом нижнем иерархическом уровне — атомном.

На базе этого можно выделить следующие масштабы трещиноватости: 1) кристаллически незавершенный, или кп масштаб, имеет характерный линейный размер, превосходящий 2-3 межатомных расстояния, и меньше расстояния до блшкайшего поверхностного дефекта. Дефект такого масштаба не может

считаться трещиной в полном смысле этого слова, так как он не является иерархически организованной системой — находится на одном уровне. При этом необходимо отметить, что он ближе к трещине, чем любые другие дефекты. Поэтому целесообразно такие дефекты считать незавершенными трещинами; 2) кристаллически завершенный, или к - масштаб, имеет характерный линейный размер, сравнимый или меньше характерного размера зерна; 3) структурно незавершенный, или Сп - масштаб, имеет характерный линейный размер, больше характерного размера отдельного зерна и меньше характерного размера масштаба однородности структурного уровня конструкционного материала; 3) структурный, или С — масштаб, имеет характерный линейный размер, равный или больше характерного линейного размера масштаба однородности структурного уровня и меньше или равный характерному линейному размеру химически разнородных материалов, как составных частей композиционного материала; 4) композиционно (текстурно) незавершенный, или Кп - масштаб, размеры его велики по сравнению с характерным линейным размером химически разнородных материалов, как составных частей композиционного материала и меньше характерного линейного размера масштаба однородности композиционного (текстурного) уровня; 5) композиционный (текстурный), или К- масштаб, имеет характерный линейный размер, равный или больше характерного линейного размера масштаба однородности композиционного (текстурного) уровня и равный или меньше характерного линейного размера композиционного материала (горных пород); 6) породно — массивный незавершенный, или РМп — масштаб, имеет характерный размер, больше характерного линейного размера отдельно взятой горной породы в массиве и меньше характерного линейного размера масштаба однородности породно-массивного уровня; 7) породно - массивный, или РМ масштаб, имеет характерный линейный размер, равный или больше характерного линейного размера масштаба однородности породно — массивного уровня и меньше или равный характерному линейному размеру породного массива.

Однако следует отметить, что в существующих определениях понятий «трещина» и «дефект» и решенной задаче синтеза для совокупности дефектов на основании требований к иерархичности дефектов и трещиноватости

конструкционных материалов, не отражено, по крайней мере, в явном виде отношение к разрушению, за которое они являются ответственными.

Эксперименты показывают, что предел текучести СТт и разрушающее напряжение <7р зависят от параметров структур и от подвижности дефектов. Этот экспериментальный факт указывает на необходимость исследования разрушения на основе тщательного рассмотрения особенностей их движения.

Анализ работ по исследованию движения дефектов позволяют решить задачу синтеза для совокупности дефектов и трещиноподобных образований на основании требований к особенностям движения. В результате решения данной задачи синтеза получено следующее.

Точечные, и линейные дефекты (микродефекты) могут перемещаться в твердых телах как целые образования под действием внешних факторов, неконсервативное движение которых может осуществлять массоперенос в кристалле. В то время как устойчивые дефекты в форме поверхностей не могут перемещаться как целое в твердом теле под воздействием внешних факторов. Нет на сегодняшний день не экспериментальных, не теоретических работ, которые опровергали бы это утверждение. Отсюда, как следствие, трещина также не может перемещаться в конструкционных материалах как целое. Это связано с тем, что трещина является дефектом в двух измерениях — поверхностным дефектом. Поэтому трещина может только увеличиваться в размерах, что обычно интерпретируют как распространение трещины. Причем это увеличение происходит в основном с конца трещины, который и является наимелыним размером трещины, обеспечивающим его пребывание на атомном уровне. Остается предположить, что это перемещение возможно только за счет движения точечных и линейных дефектов к трещине, которое подтверждается экспериментальный факт — размещение другой трещины перед вершиной, распространяющейся трещины, прекращает распространение последней. Причем, в первом случае имеем рост трещины, связанный с движением точечных дефектов (хрупкое разрушение), во втором — рост затупленной трещины, который связан с движением дислокаций и, как следствие, с пластической деформацией в ее вершине. Это связано с тем, что наименьший размер хрупкой трещины обеспечивает ему пребывание на уровне, где находятся точечные дефекты, В то время как наименьший размер вязкой трещины обеспечивает пребывание на

уровне дислокаций. А что касается трещиноподобных дефектов, то они тоже не могут перемещаться как целое. Они не могут также распространяться как трещина за счет движения точечных и линейных дефектов, так как точечные и линейные дефекты находятся на самом нижнем иерархическом уровне - на уровне атомов, в то время как наименьшие размеры трещиноподобного дефекта не обеспечивают ему пребывания на этом уровне. Решенные задачи синтеза позволяют дать более общее определение понятию «трещина». Большое число похожих и не похожих друг на друга определений понятия «трещина» означает, что общепринятого определения еще нет. Более того, нет даже четкого понимания сути этого явления, хотя потребность в нем уже назрела. Сейчас область применимости подхода к разрушению на основании трещин существенно расширилась. Понятие трещина используется при исследовании всех процессов разрушения.-.При этом актуальным становится вопрос о возникновении трещины и ее эволюции. Здесь без определения понятий уже не обойтись. Выбор определения зависит от аппарата и цели исследования, иными словами, определение должно быть конструктивным, т.е. пригодным для использования в рамках аппарата. Мы будем использовать аппарат теории иерархии фрактальных моделей разрушения конструкционных материалов — последовательной единой теории,: охватывающей все уровни разрушения. Этим условиям в наибольшей степени удовлетворяет определение трещины с учетом решенных задач синтеза и существующих определений понятия «трещина». Таким образом, можно сформулировать следующее более общее определение: Трещина — это иерархически организованная полость в конструкционном материале, наименьший размер которой (вершина) обеспечивает обязательное присутствие на атомном уровне, распространяющаяся за счет движения точечных и линейных дефектов к вершине.

В третьей главе разработана модель сплошной среды со структурой на базе топологического свойства — отображений связных множеств, соответствующих элементарным объемам различных иерархических уровней конструкционных материалов, и построена случайно-фрактальная (перколяционная) модель разрушения на основе неоднородных напряжений.

При переходе к модели сплошной среды со структурой каждой точке этой среды соответствует элементарный объем реального конструкционного

материала. В основе определения элементарного объема лежит понятие единого целого. В математике в основе единого целого лежит понятие связности — топологического свойства пространств. Поэтому целесообразно формализовать элементарный объем с помощью связности. Поскольку таких объемов для конструкционных материалов всего может встретиться три, то необходимо ввести понятие «связность» трех типов: 1) структурная связность; 2) композиционная (текстурная) связность и породно-массивная связность. Отсюда модель сплошной среды со структурой обладает свойством связности. Еще по одной причине сплошная среда со структурой должна быть связной.

Это топологическое свойство сохраняется при гладком отображении согласно теореме: непрерывный образ связного пространства связен. С другой стороны, п -мерное евклидово пространство при любом п связно согласно теореме: всякое выпуклое множество связно. Отсюда при гладком вложении сплошной среды со структурой в эвклидово пространство не возникает противоречие: подтверждается требование о сохранении связности при отображении сплошной среды в эвклидово пространство. Таким образом, модель сплошной среды со структурой обладает свойством связности.

Итак, если совокупность структурных, композиционных (текстурных) элементов и совокупность горных пород состоялись по отдельности как единое целое, то есть им отвечают структурный, композиционный (текстурный), — породно — массивный элементарные объемы соответственно, то они могут быть представлены как связные пространства, а именно: структурные, композиционные (текстурные) и массиво — породные связные пространства. Преобразуя совокупность структурных связных пространств, соответствующих структурным элементарным объемам, таким образом, что каждому структурному связному пространству соответствует связное пространство — точка, получим сплошную среду со структурой. Причем это преобразование (Т : X —> X) должно быть сжимающим отображением, которое для метрического пространства (Х,с1). имеет вид: с1(Т{х),Т(у))< ас!{х, у), 0 <« < 1, х,уеХ. Отображая совокупность композиционных (текстурных) связных пространств с помощью сжимающего отображения по предыдущей схеме получим сплошную среду с композицией (текстурой), которая моделирует композиционный иерархический уровень как континуум. И, наконец, аналогичное отображение совокупности

породно — массивных связных пространств дает сплошную среду, способную описать породно-массивный уровень.

В противном случае, когда мы имеем дело с незавершенными уровнями, совокуш гость зерен, компонент композиционного конструкционного материала и горных пород может быть представлена только в виде несвязных пространств. Отображение этих несвязных пространств невозможно в связное пространство — точку, ибо нарушается теорема о непрерывном образе связных пространств. Действительно, пусть Р непрерывное отображение несвязного пространства X на связное пространство У.- Но при этом образы и множеств Ф, и Ф2 осуществляют разбиение пространства У на два дизъюнктных замкнутых множества. Прообразы ^ и ^ множеств Ф\ и Ф2 такие, что был бы пустым один из них, так как Б отображает X на все У, что противоречит его несвязности.

В рамках изложенного исследуем интеграла Раиса — Черепанова на предмет его использования как критерия разрушения. Теперь обоснованно можно утверждать, что эффективность использования интеграла Райса - Черепанова как критерия разрушения базируется на основном свойстве этого контурного интеграла — инвариантности относительна контура интегрирования, т. е. фракТальности.

Экспериментальные исследования и вычисления с помощью метода конечных элементов наглядно показали независимость интеграла Райса — Черепанова от длины контура интегрирования. Вместе с тем, некоторые вычисления по небольшим контурам интегрирования, расположенным очень близко к трещине, показывают, что это свойство не сохраняется (Плювинаж Г.). Это нарушение связано с тем, что все величины, входящие в определение этого интеграла, являются макроскопическими и, как следствие, определимы в рамках сплошной среды. Следовательно, свойство инвариантности интеграла Райса — Черепанова тесно . связано ■ с применимостью модели сплошной среды для описания разрушения конструкционных материалов.

Обратимся к масштабам трегциноватости, определенным при решении задачи синтеза для совокупности трещин. Отсюда является очевидным, что для всех трещин незавершенного масштаба: Сп, Кп,РМп в общем случае свойство инвариантности интеграла Черепанова — Райса при любых масштабах не имеет места. Это связано с тем, что трещина находится на незавершенном уровне, где невозможно определить какие бы либо макроскопические параметры, и где

неприменима модель сплошной среды. Для трещин завершенного масштаба: к, С, К, РМ для любого контура в пределах завершенного уровня наблюдается инвариантность интеграла Райса - Черепанова; для контуров интегрирования в пределах интервала незавершенных уровней нарушается свойство инвариантности интеграла Райса - Черепанова.

Для построения фрактальной модели неоднородного упругого поля напряжений в конструкционных материалах (задача анализа), согласно процедуре, обратимся к содержательной модели, предположения которой имеют вид: деформации упругие; материал неоднородный и анизотропный на структурном уровне; концентратор напряжений на границе зерен из-за сосредоточенности в малой области не влияет на поле напряжений внутри зерна, а если и влияет, то напряжения пренебрежимо малы по величине; каждое зерно испытывает влияние остальных зерен через упругое поле; упругие свойства зерен и внешнее поле напряжений считаем известными; неизвестным считается поле напряжений внутри зерна, и непосредственно измерить его величину невозможно.

На основе этой содержательной модели переходим к следующей математической модели: неограниченная упругая трехмерная анизотропная среда, которую назовем основной с неоднородностями в эллипсоидальных областях У(х), где х(х,,х2,х3) — точка среды. Эти эллипсоидальные области плотно прилегают друг к другу и соответствуют зернам мономинеральных гео - и однокомпонентных (однофазных) конструкционных материалов. Пусть С-тензор упругих модулей зерна, значения которого определены экспериментально, а С0 — постоянный тензор упругих модулей основной среды, равный осредненным значениям тензора упругих модулей отдельного зерна < С >, С0 + С,— то же для эллипсоидальной неоднородности. Тогда тензор упругих модулей среды с неоднородностями можно представить в виде кусочно-постоянной функции С(х) = С0 +С, У(х), где У(х) - характеристическая функция области V, занятой неоднородностями, т.е. У(х) = 1 при х <= V и У(х}=0 при х 6 V . Но так как в рассматриваемой модели неоднородности плотно прилегают друг к другу, то всегда х е V, а значит У(х) = 1. Будем иметь в виду, что С, принимает различные значения в зависимости от ориентации эллипсоидальной неоднородности. В свою очередь, ориентация последних случайна, следовательно

С,- случайный тензор, постоянный в пределах каждой неоднородности. Обозначим через £в(х) . непрерывное внешнее поле деформаций, которое существовало бы при С, = 0 в однородной основной среде при заданных внешних силах и через £■(*) — кусочно-непрерывное поле деформаций в среде с неоднородностями при тех же внешних условиях.

Смещение мДх) в этой среде с неоднородностями в произвольной аффинной системе координат удовлетворяет уравнению:

Ъ} [С]и {х)дкщ О)] = -/'■ О), и, О) и° (х) при X -> со . (1)

Оно понимается в смысле обобщенных функций. Внешние силы - /'(х) не содержат сингулярности типа простого и двойного слоев в силу предположения о непрерывности внешнего поля деформаций. Из-за отсутствия двойных слоев решение ы(х) предполагается принадлежащим к классу непрерывных функций, отсутствие же простых слоев является достаточным условием для непрерывности нормальной составляющей напряжений сг(х) = С(х)гг(х) на границе области V.

Функция Грина позволяет преобразовать дифференциальное уравнение в частных производных (1), в интегральное уравнение. Для этого применим к обеим частям последнего оператор с!е£ во (оператор <1е£ соответствует симметризованному градиенту, С0 — функция Грина основной среды). В результате имеем

(2)

V V

где оператор К0 = —с1е/О0с1е/ имеет ядро

(3)

круглые скобки ((/),(&, 0 обозначают симметризацию по индексам (/ и Ы соответственно; - функция Грина основной среды; Оператор является псевдодифференциальным оператором с однородным символом Ка(4)е 0°. В рамках псевдодифференциальных ■ уравнений 1 и предположений метода самосогласованного поля уравнение (1) допускает решение. В результате

получаем общее выражение для определения поля напряжений СГ в неоднородности при известном внешнем поле О"0;

сг= Са+АС,)"1 <С(1+АС,)-1>-1сг0. (4)

Уравнение для определения неоднородного поля напряжений на композиционном (текстурном) уровне, и его решение соответственно имеет вид:

К (г - ОС^ОО = - ¡Кэ(г - г)С?ей{г')с1г, (5)

V V

где оператор Кэ = —с1е^эс1е/; Оэ— тензорная функция Грина основной среды, соответствующей структурному уровню.

ст = С,(/ + А,С?ТХ < Сэ{1 + АЭС*)~1 >"' ст0, (6)

где Сэ — тензор эффективных упругих модулей структурного уровня; (< >) - знак усреднения по ансамблю полей неоднородностей.

Аналогичное уравнение для породно—массивного уровня, и его решение соответственно имеют вид:

е1(.г)+\Кэ/{г-г)С^е1{г) = -\КэГ(<г-г)С^ей{г)с1г, (7)

V V

где оператор = —с!е/03^с1е/; — тензорная функция Грина основной среды, соответствующей композиционному (текстурному) уровню.

сг = Сэ/(1 + Аз/С*Г'£3. (8)

где А3у — среднее значение на единичной сфере Фурье — образа тензорной функции Грина основной среды; Сэу — эффективные свойства композиционного

(текстурного) уровня.

Сравнивая уравнения (2), (5), (7) и их решения (4), (6) (8), приходим к выводу, что математические модели неоднородного поля напряжений являются фрактальными, позволяющим их отнести к масштабно — инвариантному множеству, а совокупность математических моделей неоднородного поля

напряжений для структурного, композитного (текстурного) и породно-массивного иерархических уровней составляют иерархию математических моделей.

Таким образом, построена иерархия фрактальных моделей неоднородного поля напряжений на структурном, композиционном (текстурном) и породно-массивном иерархических уровнях конструкционных материалов и породных массивов..

Для построения перколяционной (кластерной) модели разрушения конструкционных материалов поступим следующим образом. Проведем мысленно через рассматриваемую среду с эллипсоидальными неоднородностями произвольную плоскость. Поскольку мы имеем дело со -случайным полем неоднородностей, то в результате получим вне зависимости от ориентации плоскости одну и туже картину. Это будет плоскость, разделенная на области в виде эллипса. Поскольку аффинным преобразованием можем эллипс превратить в окружность, то принципиальной разницы между ними нет, и можно рассмотреть плоскость, разделенную на окружности. Опишем возле каждой окружности квадрат, и не будем брать во внимание эти вписанные окружности. В результате этих преобразований получим квадратную решетку и предположим, что каждый квадрат, или «ячейка» может находиться в двух состояниях: «занято трещиной» или «пусто». Каждая ячейка занимается трещиной с вероятностью р независимо от состояния соседних областей. Эта модель называется ячеечной перколяцией. Занятые трещиной ячейки либо изолированы друг от друга,- либо образуют группы, состоящие из ближайших соседей. Мы определим кластер как группу занятых трещиной ячеек, связанных с ближайшим соседом по стороне ячейки. Две занятые ячейки принадлежат одному кластеру, если они соединены путем, состоящим из занятых ячеек.

Для' изучения перколяции используем случайное поле напряжений, которое может быть подсчитано по формуле (4), позволяющей определить вероятность р

для каждого фиксированного внешнего поля напряжений <Т0. Теперь вся процедура изучения перколяции сводится к тому, чтобы сгенерировать случайное число,- а' затем-'занять ячейку решетки, если случайное число меньше р. Выполним эту процедуру для каждой ячейки решетки. Если вероятность занятия трещиной'ячейки мала, то можно ожидать, что будут ■ присутствовать только небольшие изолированные кластеры. Такое малое значение вероятности, как

показывает компьютерный эксперимент над результатом (4), получается при условии, когда внешнее поле напряжений сг0 = О.бсг^. Подсчет поля напряжений показал, что число неоднородностей, в которых растягивающие напряжения достигли предела прочности на разрыв, составляет 0.1 от их общего числа. Отсюда можно предположить, что ячейка занимается трещиной с вероятностью /7 = 0.1. При таком значении действительно присутствуют только небольшие изолированные кластеры.

Расчет поля напряжений при внешнем напряжении сг0 = 0.8(7^ показал, что число неоднородностей, в которых растягивающие напряжения достигли предела прочности на разрыв, составляет 03 от их общего числа. Отсюда можно предположить, что ячейка занимается трещиной с вероятностью р = 0.3. При таком значении присутствуют хотя и не маленькие, но изолированные кластеры.

Определение упругого поля напряжений при условии, когда внешнее поле напряжений равно пределу прочности на сжатие <х0 = а^, показал, что число неоднородностей, в. которых растягивающие напряжения достигли предела прочности на разрыв, составляет 0.4 от их общего числа. Отсюда можно предположить, что ячейка занимается трещиной с вероятностью р = 0.4. При таком значении присутствует один соединяющий кластер в вертикальном направлении, который «соединяет» стороны решетки в вертикальном направлении, но не в горизонтальном.

Это соответствует полному вертикальному разрушению (разделению тела на две части) вдоль направления действия внешней нагрузки путем соединения трещин, в результате чего образуются свободные поверхности, на которых полностью нарушены нормальные связи.

Из проведенного компьютерного эксперимента выяснилось, что в пределе бесконечной решетки существует вполне определенная пороговая вероятность рк такая, что для всех рй рк существует один соединяющий кластер; для р-&рк нет ни одного соединяющего кластера и все кластеры конечны. При этом первое условие соответствует состоянию неустойчивого распространения трещин, второе — равновесным трещинам, которые могут распространяться на конечное расстояние.

Таким образом, разработанная перколяционная случайная фрактальная модель описывает процессы разрушения на следующих иерархических уровнях: структурном, композиционном (текстурном), породно-массивном иерархическом.

Данная модель, в принятой терминологии, описывает вторую и третью стадии разрушения — стадию квазиравновесного прорастания макротрещин и стадию неравновесного, лавинообразного распространения магистральных трещин. При этом в ней учитываются случайные трещины с помощью поля напряжений, созданного в конструкционном материале. Все остальные трещины, слияние которых с микродефектами образуют излом с фрактальной поверхностью, в этой модели не учитываются.

В четвертой главе разрабатывается нелинейная математическая модель стохастически устойчивого и неустойчивого распространения трещины и обосновывается адекватность предложенных моделей путем применения новых математических методов проверки.

Согласно процедуре, очевидный, но важнейший начальный этап построения математической модели — это получение по возможности более четкого представления о моделируемом объекте и уточнение его содержательной модели, основанное на неформальных обсуждениях.

В задачах тех типов, которые мы здесь рассматриваем, этот этап обычно заключается в уточнении структуры изучаемого объекта, существенных для проводимого исследования свойств его компонентов и характера их взаимодействия. Для этого обратимся к решенным задачам синтеза. Поскольку в данной главе решается задача о распространении трещины в конструкционном материале, то речь должна идти, в первую очередь, о кончике трещины, который находиться на уровне атомов в случае хрупкого разрушения и на уровне кристаллической структуры при вязком разрушении. Прорастание кончика трещины при хрупком разрушении связано с движением точечных дефектов, а при вязком — с движением дислокаций.

Из решения задачи синтеза для совокупности конструкционных материалов на основании требований к масштабу однородности можно заключить, что к уровням нахождения кончика трещины и, как следствие, к уровням, на котором находятся точечные и линейные дефекты, не применимы методы механики сплошной среды. Значит, на этих уровнях не определимы такие макроскопические величины, как напряжение и связанные с ним силы,

деформация, плотность и т.п. Поэтому эти величины не могут быть использованы при математическом моделировании распространения трещин.

Таким образом, уточненная структура изучаемого объекта состоит из трещины и совокупности точечных и линейных дефектов. Причем существенными для проводимого исследования свойствами трещины является ее нахождение в иерархически организованной системе и обязательное пребывание на атомарном уровне или уровне кристаллической структуры, а для точечных и линейных дефектов — их движение. Причем движение, в основу которого заложен атомный механизм, который не предполагает участия характеристик, определяемых в рамках сплошной среды.

Для дальнейшего уточнения содержательной модели и определения управляющих параметров, изменение которых определяет характер процесса, в качестве имеющейся информации используем ряд экспериментальных фактов, лежащих в основе механики разрушения: Л. Трещина на атомном уровне. При изучении динамики распространения трещин на атомном уровне обнаружено, что распространение трещины сопровождается появлением дислокаций вблизи вершины тр^лданы через регулярные промежутки времени и их распространением [Уайнер Дж. X., Пиар М.]; Б. Движение дислокаций. Исследование трещин в тонких пленках из алюминия и сплавов алюминия с 4% медью с помощью электронной микроскопии позволили авторам различить типы разрушения, каждый из которых включает быстрое движение дислокаций [Форсиф П.Дж., Уилсон РЛ.]. В. Распространение трещины. Имеется много экспериментальных данных, подтверждающих предположение о том, что распространение трещины представляет по существу дискретный процесс и что период колебаний уменьшается, когда увеличивается скорость трещины [Эрдоган Ф.] Г. Макроразрушение. Сколь бы ни было велико число Испытываемых образцов в серии, тождественные изломы не наблюдаются. Это наблюдение может быть квалифицировано как существенная зависимость от начальных условий (при сколь угодно малом изменении начальных условий опыта происходит неадекватно большое изменение конечного результата в виде перестройки «портрета» излома) - основная черта, присущая стохастическим динамическим системам. Д. Критическое напряжение. Трещины в твердых конструкционных материалах (стекла, металлы, горные породы, бетон) сохраняют свои исходные размеры или распространяются устойчиво (действующая нагрузка как раз

достаточна для того, чтобы вызвать продвижение трещины на конечное расстояние) при напряжениях ниже критического и неустойчиво — самопроизвольно растет при напряжениях выше критического.

При математическом моделировании необходимо иметь в виду, что существуют принципиально нелинейные объекты (в том числе явления), для которых применение линейных моделей приводит к грубым искажениям. Существенно нелинейной является задача об изучении околокритического состояния объекта, зависящего от параметров, при изменении которых устойчивость сменяется неустойчивостью или один тип движения другим. Во всех этих случаях надо применять методы нелинейного математического моделирования.

Из вышеприведенных рассуждений и экспериментальных фактов можно сделать следующие уточняющие выводы, которые необходимы при построении математической модели: распространение трещин в конструкционных материалах обусловлено взаимодействием вершины трещины с ансамблем микродефектов, каждый из которых находится в быстром движении под действием внешних нагрузок. Как следствие система «трещина — ансамбль дефектов» является термодинамически открытой; рассматриваемая задача о распространении трещин в иерархической среде является существенно нелинейной, и применение линейных моделей недопустимо; динамические уравнения, описывающие системы, дискретны, нелинейны и должны быть исследованы в рамках стохастической динамики. Параметрами, однозначно характеризующими данную систему, являются длина и скорость распространения трещины, скорость и расстояние между движущимися микродефектами.

Следует также отметить, что формально математическая теория хрупкого и вязкого разрушения является одинаковой. Под действием возрастающих внешних нагрузок и самодиффузии происходит дрейф микродефектов, размерами которых мы пренебрегаем. Поскольку скорости микродефектов распределены хаотически, можно сказать, что число микродефектов, движущихся в одном направлении примерно равно числу микродефектов, движущихся в противоположном направлении. Это означает, что у вершины трещины будет поглощаться те микродефекты, скорость которых направлена навстречу трещине.

Рассмотрим следующую математическую модель. Пусть / — первоначальная длина трещины; 2 S- расстояние между движущимися в направлении кончика трещины микродефектами. Предполагается, что длина трещины намного больше, чем расстояние между микродефектами. Введем фазу при п-м поглощении в виде Xn=tn/T, 0<Х<1, (9)

где tn — момент времени поглощения; Т — период между поглощением микродефекгов. Через y(t) обозначим координату периодически появляющихся микродефектов перед кончиком трещины, отсчитываемую навстречу трещине, в момент времени t .Из способа введения У if) следует, что она имеет дискретную природу, и поэтому при изучении системы «трещина — ансамбль микродефектов» необходимо использовать нелинейные модели в виде дискретных отображений.

Так как y(t~) и Хп ответственны за появление и поглощение микродефекгов, то y(t) представим, не нарушая общности, в виде квадратичного отображения

- y(t) = vTx(l-x), (10)

где V - параметр, имеющий размерность скорости. Поскольку

у(0) = у(Т) = 0, y(0,5T) = S, (il)

из (10) и (11) следует соотношение

T-AS/V, (12)

и закон изменения скорости микродефектов

v(t) = vQ.-2x) (13)

Итак, формулы (9) — (13) полностью определяют движение микродефектов.

Пусть теперь V(f) - скорость трещины, &Vn- ее скорость перед поглощением

И-го микродефекта. С учетом того, что S / / << 1 и V «V, можно записать уравнение в конечных разностях:

Vn+l=Vn+2v(l-2xï,

Г lv lv2 ]

---т(1~2хп)[, (14)

И+1 1 " 2 SV„ SV?

и преобразование растяжения имеет вид

5х,

п+1

5х_

1 +

21у

5К„2

Отсюда следует, что существует условие:

21уг

Н

>1,

(16)

при котором проявляется стохастичность, т.е. наблюдается стохастически неустойчивое распространение трещины и, наоборот, условие Н < 1 является условием устойчивости или квазипериодического движения. Решение (16) позволяет получить аналитическую зависимость для определения скорости распространения трещин, которая имеет вид:

V < \fllv4s . (17)

Параметр Н играет в теории разрушения такую же роль, какую в гидродинамике - играют число Рейнольдса (при переходе от ламинарного к турбулентному течению), число Релея (при развитии конвективной неустойчивости), число Тейлора (при течении жидкости между вращающимися цилиндрами).

Необходимо отметить, что данная нелинейная математическая модель охватывает процессы, протекающие на всех незавершенных и завершенных иерархических уровнях, определяемых масштабами трещин, что в свою очередь соответствует реальному явлению разрушения. Причем соответствующие уравнения и их решения являются фрактальными, позволяющими их отнести к масштабно-инвариантному множеству. В результате разработана иерархия фрактальных моделей стохастической устойчивости и неустойчивости распространения трещин в конструкционных материалах на различных уровнях разрушения.

При такой постановке задачи и принятой математической модели остается не совсем ясным, как учитывается многофакторность разрушения и фрактальность поверхности трещин, но это на первый взгляд, На самом деле совокупность микродефектов имеет геометрический образ в виде точечных множеств нулевой меры с несчетно бесконечным числом членов. Размерность Хаусдорфа полезна для описания не только фрактальных кривых и поверхностей с бесконечной

длиной и площадью, но и точечных множеств нулевой меры. Для таких множеств величина фрактальной размерности, как правило, меньше единицы. Причем изменение алгоритма построения бесконечного множества нулевой меры меняет фрактальную размерность. Так, например, если даже слепка изменить алгоритм получения пыли Кантора, а именно, делить каждый отрезок не три части, а на пять, и выбрасывать не одну долю, а две, то мы вместо размерности 0, 63093 получим размерность 0, 68261. Величина фрактальной размерности напрямую зависит от числа факторов, влияющих на рассматриваемый процесс. Если она близка к нулю, то на рассматриваемый процесс действует один доминирующий фактор влияния, при размерности 0,5, поведение системы близко к гауссовскому, при фрактальной размерности, стремящейся к 1, на систему оказывает влияние сразу много равновеликих факторов. С изменением конфигурации микродефектов будет изменяться размерность геометрического образа в виде точечного множества, которая учитывается в математической модели через расстояние между дефектами у вершины трещины. В результате учитывается многофакторность процесса разрушения. Фрактальность поверхности трещин ,не влияет на процесс разрушения, и он должен быть воспринят как постфактум — это результат поглощения микродефектов, геометрический образ которого имеет фрактальную природу. Причем фрактальная поверхность трещин будет зависеть от фрактальной размерности геометрических образов поглощенных микродефектов. Если фрактальная размерность трещины близка к единице, то эта трещина поглотила микродефекты с геометрическими образами, фрактальный размер которых близок к единице, и на нее действует один доминирующий фактор — длина трещины. Такой предельный случай, когда трещину представляют макроскопическим тонким разрезом, который может быть рассмотрен в рамках сплошных сред, можно сравнивать с результатами других теоретических и экспериментальных работ. Они дают удовлетворительную сходимость, что говорит об адекватности модели.

Для обоснования адекватности в общем случае необходим другой критерий. В рамках разработанной модели проведена проверка адекватности путем разработки качественной модели, основанной на методе размерности в динамике трещин. Из экспериментальных данных, приведенных выше, и согласовано выбранной модели, очевидно, что в качестве определяющих параметров можно взять следующую систему

Численные значения всех остальных величин определяются полностью значениями этих параметров. Следовательно, можно записать

К = К{1, у,5) (19)

Численные значения функции К не должны зависеть от системы единиц измерения. Из четырех определяющих параметров (18) можно образовать только одну независимую безразмерную комбинацию =

IV ..

- (20)

Все безразмерные величины, зависящие от указанных четырех параметров, являются функциями числа К. При малых значениях числа К <1 распространение трещин устойчиво, а для К >1 неустойчиво.

Таким образом, полученное выражение (20) подтверждает в первом приближении адекватность нелинейной математической модели стохастически устойчивого и неустойчивого распространения " трещин в конструкционных материалах. -

Заключение

В диссертационной работе в результате выполненных исследований на основе использования предложенной иерархии фрактальных моделей разработаны теоретические положения, которые можно квалифицировать как новое крупное научное достижение в математическом моделировании разрушения конструкционных материалов. Основные результаты, полученные лично автором:

1. Решена задача синтеза для совокупности конструкционных материалов на основании требований к иерархичности, которая на базе математической модели отличает однокомпонентные (однофазные) от композиционных конструкционных материалов по числу, иерархических уровней, при этом невозможно отличить технические материалы от геоматериалов, так металлы невозможно отличить от мономинеральных горных пород, а композиты — от полиминеральных горных пород.

2. Решена задача синтеза для совокупности конструкционных материалов на основании требований к масштабу однородности, которая на базе математической модели отличает технические материалы от геоматериалов, и в тоже время не всегда дает возможность отличить . однокомпонентные (однофазные) от композиционных конструкционных материалов. Так каменные соли неотличимы от пород с текстурой: вкрапленной, псевдооолитовой, оолитовой и нодулярной. Если объединить два требования, то получим решение задачи синтеза для совокупности конструкционных материалов на основании требований к иерархичности и масштабам однородности, что дает возможность достигнуть необходимого результата — осуществить выбор объекта (конструкционного материала) из совокупности, не путая его с другими.

3. Решена задача синтеза для совокупности дефектов на основании требований к иерархичности дефектов и трещиноватости, которая на базе математической модели дает возможность отличить друг от друга дефекты по расположению на иерархических уровнях конструкционных материалов, и трещины от трещиноподобных дефектов по обязательному присутствию трещины на самом нижнем иерархическом уровне — на атомном уровне.

4. Решена задача синтеза для совокупности дефектов на основании требований к особенностям движения, которая позволила выявить, что точечные и линейные дефекты могут перемещаться в твердых телах как целые образования под действием внешних факторов. Дефекты в форме поверхностей и трещины не могут перемещаться как целое в твердом теле под воздействием внешних факторов. Трещина может увеличиваться в размерах только за счет движения точечных и линейных дефектов к вершине трещины, которые ведут к массопереносу от трещины. На основе этого дано однозначное более общее определение понятия «трещина»: Трещина — это иерархически организованная полость в конструкционном материале, наименьший размер которой (вершина) обеспечивает обязательное присутствие на атомном уровне, и распространяется за счет движения точечных и линейных дефектов к вершине.

5. Разработана случайно — фрактальная (перколяционная) модель разрушения конструкционных материалов на основе неоднородных напряжений и иерархической кластеризации, охватывающая структурный, композиционный и породно-массивные уровни.

6. Разработана иерархия фрактальных моделей распространения трещин как на завершенных, так и на незавершенных иерархических уровнях.

7. Предложена качественная математическая модель, основанная на теории размерности, указывающая на адекватность иерархии фрактальных моделей распространения трещин (метод двойной проверки).

8. Определен управляющий параметр, критическое значение которого обнаруживает условия перехода от стохастически устойчивого распространения трещины в стохастически неустойчивое.

9. Получена аналитическая зависимость для определения скорости трещин при известных значениях длины трещины, скорости перемещения микродефектов и расстояния между ними.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Халкечев К. В. Иерархия случайно — фрактальных моделей разрушения конструкционных материалов. - М.: Обозрение. прикладной и промышленной математики. - т. 13 вып.3,2006, С.409-433;

2. - Халкечев К.В. Перколяционнокластерная модель разрушения поликристаллов- М.: Обозрение прикладной и промышленной математики. — т.13, вып.4,2006, С.738- 739.

3. Халкечев К.В. Нелинейная математическая модель как основа для определения управляющего параметра разрушения / Вестник Воронежского государственного технического университета. — 2001. — Т. 2. № 5. - С. 47-54.

4. Халкечев К.В. Математическая модель задачи синтеза для совокупности конструкционных материалов на основании требований к иерархичности / Изв. высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. — 2006 -№ 4. -С. 15-18.

5. Халкечев К.В. Иерархия масштабов статической неоднородности породного массива . — М.: Обозрение прикладной и промышленной математики. — т.И, вып.4,2004, с.952.

6. Халкечев К.В. Масштаб статистической неоднородности мономинеральных горных пород. — М.: Обозрение прикладной и промышленной математики. — т.И, вып.4, 2004, с. 953.

7. Халкечев К.В. Статистическая неоднородность материалов и инвариантность интеграла Раиса. — М.: Обозрение прикладной и промышленной математики,— т. 11 вып.2, 2004, с.420;

8. Халкечев К.В. Стохастическая неустойчивость динамики трещин. - М.: Обозрение прикладной и промышленной математики. - т. 11 вып.2,2004, с.421;

9. Халкечев К.В. Иерархия математических моделей стохастической неустойчивости распространения трещин в геоматериалах. — М.: Обозрение прикладной и промышленной математики. — т. 12, вып. 1,2005, с.199-200;

10. Халкечев К.В. Математические критерии при построении содержательных моделей механики. — М.: Обозрение прикладной и промышленной математики. — т. 12, вып.1,2005, с.201-202;

11. Халкечев К.В. Случайное поле напряжений в поликристаллах и критерий разрушения. — М.: Обозрение прикладной и промышленной математики. - т. 12, вып.2,2005, с.548-550;

12. Халкечев К.В. Качественный анализ или методы размерности в динамике трещин. — М.: Обозрение прикладной и промышленной математики. — т. 12, вып-.4, 2005, с.1119-1121;

13. Халкечев К.В. Математическая модель возникновения трещин в кристаллах. — М.: Обозрение прикладной и промышленной математики. — т. 12, вып.4, 2005, с.1121-1122;

14. Халкечев К.В. Решение задачи синтеза для совокупности дефектов и трещиноподобных образований на основании требований к особенностям движения / Изв. высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. - 2006 -№ 4. - С. 18-21.

15. Халкечев К.В. Непрерывная математическая модель потока микродефектов к вершине трещины. — М.: Обозрение прикладной и промышленной математики. — т. 12, вып.4,2005, с.1121-1123;

16. Халкечев К.В. Динамика стохастической неустойчивости и фрактальная природа трещин. - Санкт-Петербург.: Записки горного института, СГПТИ (Технический университет). — т. 148,2001, с.159-162;

17. Халкечев К.В. Механика неоднородных горных пород. - Бишкек: ИЛИМ, Академия наук Республики Кыргызстан, 1991,226с.

18. Халкечев К.В. Динамика иерархии стохастической неустойчивости трещин в горной породе. — Н.: Известия КБНЦ РАН. - №2, 2001, с 65-68.

19. Халкечев К.В. Математическая модель задачи синтеза для совокупности конструкционных материалов на основании требований к масштабу однородности / Изв. высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки.-2006-№4.-С. 21-24.

20. Халкечев К.В. Об одной распространенной ошибке в статистической теории разрушения. — М.г Обозрение прикладной и промышленной математики. -т.13, вып.5,2006, а 929 - 930.

21. Халкечев К.В. Алгоритм решения задачи синтеза для совокупности дефектов и трещиноватости на основании требований к иерархичности / Изв. высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Технические науки. -2006 -№ 4. - С. 24-26

22. Халкечев К.В. Фрактальное моделирование неоднородного упругого поля напряжений в конструкционных материалах. - М.: Обозрение прикладной и промышленной математики. - т. 13, вып.5, 2006, с. 931 — 932.

23. Халкечев К.В Фрактальная модель неоднородного упругого поля напряжений в породном массиве - М.: Обозрение прикладной и промышленной математики. - т.12, вып.4, 2005, с.881-882.

24. Халкечев К. В. Топологическое свойство сплошной среды со структурой и инвариантность интеграла Райса - Черепанова. — Москва-Воронеж.: Системы управления и информационные технологии. 2006 — № 1.1 (23) с. 195 — 200.

Подписано в печать 14.07.2006г. Формат 60x90/16

Объем печ. л. 2,5 Тираж 100 экз. Заказ №-/8У

Типография МГГУ. Ленинский пр., 6

ВВЕДЕНИЕ.

1. АНАЛИЗ СВОЙСТВ СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ РАЗРУШЕНИЯ.

1.1. Анализ линейной механики разрушения.

1.1.1 Классические теории прочности.

1.1.2. Феноменологические теории длительной прочности.

1.1.3. Линейная механика трещин.

1.1.4. Обобщения линейной механики трещин.

1.2. Анализ упругопластической механики трещин.

1.2.1. Метод предельного анализа.

1.2.2. Энергетические критерии разрушения.

1.2.3. Локальные глобальные энергетические критерии разрушения

1.2.4. Интеграл Райса - Черепанова.

1.2.5. Критерий критических деформаций.

1.2.6. Критерии как непрерывный переход между двумя предельными состояниями.

1.2.7. Критерии нелинейной механики трещин.

1.2.8. Модель, учитывающая силы сцепления у вершины трещины.

1.2.9. Критерий критического раскрытия трещины.

1.2.10. Двухкритериальный метод.

1.2.11. Локальные критерии разрушения.

1.2.12. Критерии разрушения на основе глобальной деформации.

1.3. Статистические теории разрушения.

1.4. Микромеханизмы разрушения.

1.5. Формулирование задач исследований.

2. АЛГОРИТМЫ ЗАДАЧ СИНТЕЗА ДЛЯ СОВОКУПНОСТИ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ И ИХ ДЕФЕКТОВ.

2.1. Формулирование математической задачи.

2.1.1. Задачи синтеза для совокупности конструкционных материалов на основании требований к иерархичности.

2.1.2. Задачи синтеза для совокупности конструкционных материалов на основании требований к масштабу однородности.

2.1.3 Задача синтеза для совокупности дефектов на основании требований к иерархичности дефектов и трещиноватости конструкционных материалов.

2.1.4. Задача синтеза для совокупности дефектов и трещиноподобных образований на основании требований к особенностям движения.

3. СЛУЧАЙНО - ФРАКТАЛЬНОЕ (ПЕРКОЛЯЦИОННОЕ) МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗРУШЕНИЯ НА ОСНОВЕ НЕОДНОРОДНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ.

3.1. Топологическое свойство - связность, сплошная среда со структурой и инвариантность интеграла Райса - Черепанова.

3.2. Фрактальная модель неоднородного упругого поля напряжений в конструкционных материалах (задача анализа).

3.3. Перколяционная (кластерная) модель разрушения поликристаллических конструкционных материалов.

4. ФРАКТАЛЬНОЕ НЕЛИНЕЙНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ДИНАМИКЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТРЕЩИН.

4.1. Фрактальная природа трещин.

4.2. Иерархия фрактальных моделей стохастической устойчивости и неустойчивости распространения трещин в конструкционных материалах.

4.3 Математическая модель возникновения трещины в кристаллических конструкционных материалах.

Актуальность работы. Изучение процесса разрушения твердого тела требует одновременного рассмотрения таких разных факторов, как микроскопические явления в местах возникновения и развития разрушения, состав и структура материала и макроскопические эффекты (например, напряженное состояние вокруг макроскопических концентраторов, где вероятность возникновения разрушения наиболее высокая).

На нижнем конце этой шкалы происходит процесс разрыва связей, осуществляющих сцепление в материале. В этом интервале масштабов интересны явления, происходящие в материале на расстояниях порядка 10"9м. Аппаратом, пригодным для изучения этих явлений, служит квантовая механика. На верхнем же конце этой шкалы, границы которой не определены однозначно (величина их зависит от особенностей структуры), материал можно считать однородной сплошной средой; для изучения происходящих в нем явлений можно использовать аппарат классической механики сплошных сред. Явления, которые происходят в материале между этими двумя крайними масштабами, такие, как движение линейных и точных дефектов, всегда присутствующих в структуре твердого материала, очень сильно зависят от структуры материала и требуют иного подхода. Так, например, разработка новых математических моделей. Таким образом, вследствие очень сложной природы явления и связанного с этим отсутствия полного физического понимания его сущности, а также отсутствия достаточно мощных математических средств в настоящее время не существует последовательной единой теории, охватывающей все аспекты, относящиеся к разрушению. В существующих теориях проблема разрушения рассматривается только с какой-либо одной из трех точек зрения: статистической механики, микроструктуры или классической механики сплошной среды.

Теории разрушения, основанные на статистической механике, с одной стороны, упрощают и идеализируют материал в отношении кинетики его атомной структуры, а с другой стороны, игнорируют его локальную геометрию и механику в отношении микроструктуры и напряженного состояния. Они, следовательно, дают некоторый феноменологический взгляд на явления, а не удовлетворительную количественную теорию [242, 291]. На этом уровне статистический подход является общим и применим ко всем твердым телам.

Поскольку начало процесса разрушения означает образование трещин или пустот, которые зависят от микроструктуры материала и условия нагружения, это означает, что механизм разрушения может быть различным для кристаллических твердых тел различной структуры. Современное состояние различных теорий, рассматривающих зарождение трещины и ее рост до определенного размера, для кристаллических материалов обсуждалось в работах следующих авторов: Котрелла А.Х., Гилмана Дж. Дж., Хана Г. Т., Макклинтока Ф. А., Аргона А. С., Орована Е., Строха А. Н., Томпсона Н. [135, 158, 176, 234, 267, 268] для кристаллических материалов. Поскольку главное внимание во всех микроструктурных теориях уделяется выяснению механизма начала разрушения, они в основном носят качественный характер.

С другой стороны, в макроскопических теориях разрушения предполагается существование трещин, пустот или других дефектов, которые могут легко служить очагами разрушения. Чтобы оправдать использование методов классической механики сплошной среды, принимается, что размеры этих дефектов достаточно велики по сравнению с характерными размерами микроструктуры. При этом необходимо заметить, что характерные размеры неизвестны. В этих теориях материал рассматривают как однородную сплошную среду, и многочисленные аналитические и численные исследования с применением ЭВМ, как правило, выполняются методами механики сплошной среды и классической термодинамики. Среди работ, выполненных в рамках механики сплошной среды, для исследования процессов разрушения принципиальное значение имеют труды Александрова

В. М., Баренблатта Г.И., Грифитса А. А., Ершова JI.B., Ивлева Д.Д., Ирвина Г.Р., Ишлинского А.Ю., Каштанова А. В., Качанова JI.M., Лурье А.И., Любовица Г., Макклинтока Ф.А., Мусхелишвили Н.И., Орована Е.О., Партона В.З., Понасюка В.В., Париса П., Петрова Ю. В., Работнова Ю.И., Си Д., Снедцона И.Н., Тернера У.И., Уолша И.Б., Хеллана К., Холанда А.И., Черепанова Г.П., Шемякина Е.И., Эрдогана Ф., Ягера И.С. и др.[2,40, 41, 92, 164, 165].

Таким образом, поскольку в основе теории деформируемых твердых тел и механики разрушения лежит модель классической сплошной среды, то необходимо определить различие задач в этих теориях. Если поставить и решить задачу теории деформируемых твердых тел, имеющих тонкий разрез, то в полученное решение в виде параметра войдет размер разреза, как и иные размеры тела. При заданных и фиксированных внешних усилиях ряду значений длины разреза соответствует ряд значений компонентов напряженного и деформированного состояний. В полученном решении задачи теории деформируемых твердых тел содержится длина разреза наравне с другими геометрическими размерами тела. Но при этом в нем не содержится связи внешнего усилия с длиной разреза при заданной нагрузке (при заданной нагрузке можно произвольно менять размеры тела, что отражается только на напряженно-деформированном состоянии). Для того, чтобы получить такую связь, необходимо к полученному решению добавить некоторое условие или критерий разрушения, который переводит разрез в трещину. Такой критерий устанавливает величину усилия, при котором разрез начинает распространяться. В этом случае величина нагрузки и длина трещины становятся взаимосвязанными. При этом нельзя изменить длину трещины, не изменив и саму нагрузку. Если разрез получает возможность распространяться быстро или медленно, то такое состояние тела называют предельным или критическим, при этом критерий разрушения удовлетворяется. В таких моделях учитываются трещины с помощью поля напряжений, все остальные трещины, слияние которых образуют излом, в этих моделях не учитываются.

Критерий разрушения ставит условие наступления предельного состояния равновесия. В состоянии предельного равновесия внешнее усилие и характерный размер трещины связаны функциональной зависимостью. Критерий разрушения является дополнительным уравнением к уравнениям теории упругости и пластичности. Поэтому наличие решений теории упругости для тел с тонкими разрезами еще не создает теорию трещин, в то же время основной вопрос теории трещин — установление и изучение критерия разрушения.

При макроскопическом подходе необходимо сформулировать модель реального явления и постулировать «критерий» разрушения. Среди таких критериев могут быть упомянуты: критерии линейной и развитой механики разрушения; локальные и глобальные энергетические критерии разрушения; использование интеграла Райса - Черепанова и его критического значения в виде критерия страгивания трещины; модели с силами сцепления у вершины трещины; локальные критерии разрушения, выраженные через критические напряжения или деформации; критическое раскрытие трещины; критерии разрушения, базирующиеся на критической глобальной деформации; двухкритериальный метод.

Некоторые критерии в общем виде описывают различные предельные состояния, в частности линейноупругое разрушение, упругопластическое разрушение, пластическую неустойчивость. В этом направлении ряд исследователей (Ивлев Д.Д., Ишлинский А. Ю., Гвоздев А. А., Прандтль JL, Хилл Р., Прагер В., Соколовский В. В., Койтер В. и др.) [13, 28, 29, 33, 74, 185, 208, 243] получили весьма ценные результаты, сохранившие свое значение и в настоящее время. В тоже время нельзя не отметить, что многие из этих критериев разрушения содержат один параметр, который рассматривается как характеристика материала, но зависящий от скорости деформирования, т. е. от условия опыта, что, конечно же, недопустимо.

В некоторых материалах при заданных температуре и скорости деформирования у вершины трещины наблюдают достаточно мало развитую пластическую деформацию. Поэтому можно рассматривать поведение таких материалов как линейноупругое. Этот подход известен под названием линейной механики трещин. Среди работ, выполненных в данном направлении, для исследования разрушения принципиальное значение имеют труды Баренблатта Г. И., Черепанова Г. П., Ирвина Г. Р., Грифитса А. А. Ивлева Д. Д., Ершова Л. В. и др. [2,27, 89, 90]

При таком подходе к решению проблем разрушения конструкционных материалов трещины как объекты, существующие над внутренним строением, независимы от последнего, что, конечно же, является недопустимым предположением для конструкционных материалов.

Поэтому дальнейшее развитие решение проблем разрушения было связано с введением понятий длительной прочности и долговечности материала (Журков С.Н., Бюссе У.И., Ильюшин А.А.). В ряде работ были установлены соотношения, выражающие зависимость между временем до разрушения и действующими напряжениями, т.е. созданы феноменологические теории длительной прочности. Кинетический подход к разрушению трактуется по-разному. Некоторые авторы временную зависимость разрушения объясняют химическими явлениями (Орован Е. О.), другие - неоднородностью структуры тела и связанной с нею неоднородностью локального деформирования и разрушения. Есть авторы, которые рассматривают временную зависимость разрушения как органическое свойство материала, что недопустимо. Время, согласно требованиям термодинамики, не может быть параметром состояния. Поэтому необходимо согласиться с тем, что временная зависимость разрушения должна быть истолкована неоднородностью структуры тела и связанной с нею неоднородностью локального разрушения. В связи с этим необходимо отметить работы Гольдштейна Р. В., Гузь А.Н., Бабича И. Ю., Карташова Э. М., Цоя Б., Шевелева В. В., Маргетройда Дж. Б и др. [15,17,37,38].

Итак, мы в полной мере наблюдаем реализацию опасений, связанных с переносом линейного опыта на нелинейную почву, высказанных в свое время JI. И. Мандельштамом. Не располагая готовым математическим аппаратом или не успев выбрать подходящее оружие в обширном арсенале математических средств и методов, специалисты по теории разрушения встали на путь своего рода «математического старательства», и приступили к решению как нелинейных, так и линейных проблем «поштучно», используя их индивидуальные специфические особенности. На этом пути ряд исследователей получили весьма ценные результаты, сохранившие свое значение и в настоящее время. И сейчас, иногда, удобно в том или ином случае идти по этому пути. Каждое из них отражает некоторые существенные особенности явления разрушения, а в совокупности феноменологические теории, теории трещин и статистические теории позволяют воспроизвести достаточно полную картину макроразрушений, что указывает на перспективность синтеза методов этих теорий в рамках единого подхода. Но при этом, каждая из них по отдельности так и вместе не могут составить основу для последовательной единой теории, охватывающей все аспекты, относящиеся к разрушению.

Фактически такие решения разрозненных отдельных задач не имели достаточного математического обоснования в развитии общей теории разрушения. Такой подход вряд ли целесообразен, так как он не ведет к установлению тех общих точек зрения, той базы, как математической, так и физической, которая необходима для достаточно полного и всестороннего охвата области нелинейной теории разрушения в уже известной нам ее части, и, что еще важнее, для успешного дальнейшего планомерного развития.

Формулировка основных положений математической модели, призванной отразить наиболее существенные стороны явления разрушения, задача чрезвычайно сложная, ввиду большого многообразия определяющих факторов и форм разрушения. В связи с этим естественно отправляться от ключевых, характеристических черт явления.

1. В конструкционных материалах всегда в изобилии присутствуют неоднородности в различных масштабах и разрушение путем образования поверхностей - характеристическая черта явления. Причем, если эти вновь образованные поверхности при разрушении становятся поверхностями трещин, то они являются фрактальными поверхностями, на что указывали многие авторы. Мандельброт и другие авторы [217-219] установили, что структура поверхности трещин в металле превосходно моделируется фрактальными поверхностями, несмотря на то, что поверхность трещин имеет предел извилистости, который ограничен снизу характерным размером микроструктурных неоднородностей, в то время как фракталы бесконечно извилисты [50]. Проведенные этими авторами эксперименты по разрушению металла показали, что фрактальная размерность D имеет вполне определенное значение для различных образцов одного и того же металла. В свою очередь величина фрактальной размерности напрямую зависит от числа факторов, влияющих на рассматриваемый процесс разрушения.

По мнению автора работы [50] нерегулярности связанные с размерами и ориентацией зерен во многих поликристаллических металлах, да и с распределением примесей, дефектов и других источников внутренних напряжений, возможно, и являются физической основой того, что поверхности трещин в металле успешно моделируются фракталами. К этому мнению необходимо относиться не больше, чем к предположению, которое, конечно же, требует доказательства, ибо оно впрямую не следует из выше обозначенного эксперимента и проведенного анализа последним автором (как размер зерна влияет на разрушение металла в фрактальных моделях).

Аналогичная ситуация наблюдается в работах других авторов, которые занимались исследованием поверхности трещин в геоматериалах [77, 78, 93]. В работе [49] конфигурация трещин в материалах исследовалась с помощью модели, включающей в себя уравнения упругости и простые правила распространения трещин (вероятность образования трещины в данной части образца пропорциональна действующему на нее напряжению). Предложенная модель, которая воспроизводит распространение трещин в идеальном моно -или поликристалле, позволяет исследовать различные изотропные материалы при различных граничных условиях: деформация сдвига, одноосное сжатие, равномерное сжатие и т. д. Автомодельные конфигурации получены при фрактальных размерностях, близких к 1.6. Здесь уместно отметить, что при фрактальной размерности равной 1.5, поведение системы близко к гауссовскому, при фрактальной размерности временного процесса, стремящейся к 2, на систему оказывает влияние сразу много равновеликих факторов влияния.

Поскольку решающую роль в явлениях растрескивания играют многие факторы, такие, как структура материала, дефекты, примеси и т. д. (не учитывается в данном исследовании), что обусловливает существование обширного семейства механизмов растрескивания, то предложенную модель следует считать простой моделью, позволяющей довести до конца анализ возможной фрактальной природы поверхности трещин. Полученные результаты в данной работе необходимо расценивать так, что конфигурации образующихся в данной простой модели трещин действительно обладают фрактальным характером, что стимулирует дальнейшие исследования более реалистических систем.

2. Случайный характер всех без исключения опытных данных по разрушению указывают на то, что в основе лежат случайные механизмы. Проявляются они в основном в случайном характере поверхностей изломов, образующихся при разрушении. Это свидетельствует о том, что трещины являются иерархически организованными системами. Но в отличие от других иерархических систем, трещины не могут существовать сами по себе, они образуются в конструкционных материалах. Трещины в консрукционных материалах должны рассматриваться, как составляющие внутреннего строения и быть согласованы с ним, особенности которого определяются в рамках теории сложных систем. Согласно этой терии, конструкционные материалы - это макроскопические системы, динамика которых определяется взаимодействием большого числа микроскопических частей. Макроскопические системы обладают большим количеством степеней свободы. Системы со многими степенями свободы с необходимостью стохастические. В свою очередь стохастические системы де-факто иерархические в том смысле, что допускают дополнительное описание, по крайней мере, на двух различных уровнях. На микроскопическом уровне, на котором большое число, равное или большее числа Авогадро, частиц вступает во взаимодействие друг с другом на основе обратимой гамильтоновой динамики. И на макроскопическом, феноменологическом уровне, на котором для многих (но не для всех) практических целей система может быть описана небольшим числом макроскопических переменных; эти макроскопические переменные возникают как коллективные свойства динамики, происходящей на микроскопическом уровне.

Таким образом, трещина это фрактальный объект в иерархически организованной системе, каждый уровень которого имеет свой характер взаимодействия и условия формирования коллективного свойства, и требует разработки новых математических моделей для каждого уровня, связанных между собой на иерархической основе.

В связи с изложенным, разработка теоретических основ иерархии фрактальных моделей разрушения конструкционных материалов -последовательной единой теории, охватывающей все уровни разрушения, является актуальной.

Цель исследования - разработать математические методы и средства для построения последовательной единой теории, охватывающей все иерархические уровни разрушения конструкционных материалов.

Основная идея работы. Трещина как фрактальный объект в иерархической среде должен описываться иерархией фрактальных моделей.

Основные научные положения, выносимые на защиту: - алгоритмы решения задач синтеза для совокупности конструкционных материалов на основании требований к иерархичности и масштабу однородности, позволяющие отличить на базе математической модели однокомпонентные (однофазные) от композиционных материалов, и технические материалы от геоматериалов;

- алгоритм решения задач синтеза для совокупности дефектов, трещиноподобных образований и трещин на основании требований к иерархичности, который позволяет на базе математической модели отличить друг от друга дефекты, и трещины от трещиноподобных дефектов;

- случайно-фрактальная (перколяционная) модель разрушения конструкционных материалов на основе неоднородных напряжений и иерархической кластеризации, описывающая поэтапное разрушение структурного, композиционного и породно-массивного иерархических уровней;

- модель сплошной среды со структурой, разработанная на базе отображений связных множеств, соответствующих элементарным объемам различных иерархических уровней конструкционных материалов;

-причиной нарушения масштабной инвариантности интеграла Райса -Черепанова является наличие в конструкционных материалах незавершенных иерархических уровней, которым соответствует топологическая конструкция в виде несвязных пространств; границы области нарушения масштабной инвариантности интеграла Райса - Черепанова определяются границей применимости сплошных сред со структурой;

- иерархия фрактальных моделей стохастической устойчивости и неустойчивости распространения трещин в конструкционных материалах на всех завершенных и незавершенных иерархических уровнях разрушения;

- качественная модель как критерий адекватности устойчивого и неустойчивого распространения трещин.

Научная новизна работы состоит в

- алгоритмизации решения задач синтеза для совокупности конструкционных материалов на основании требований к иерархичности и масштабу однородности;

- алгоритмизации решения задач синтеза для совокупности дефектов, трещиноподобных образований и трещин на основании требований к иерархичности;

- разработке модели сплошной среды со структурой на базе топологического свойства - отображений связных множеств, соответствующих элементарным объемам различных иерархических уровней конструкционных материалов;

- разработке случайно-фрактальной (перколяционной) модели разрушения конструкционных материалов на основе неоднородных напряжений и иерархической кластеризации;

- определении причин и границ области нарушения масштабной инвариантности интеграла Райса - Черепанова;

- разработке иерархии фрактальных моделей стохастически устойчивого и неустойчивого распространения трещин на всех завершенных и незавершенных иерархических уровнях конструкционных материалов;

- разработке критерия адекватности на базе качественной модели распространения устойчивого и неустойчивого распространения трещин. Достоверность и обоснованность научных положений и результатов исследований подтверждается следующим:

- корректностью применения апробированного математического аппарата (теории обобщенных функций, тензорного исчисления, теории краевых задач для эллиптических псевдодифференциальных уравнений, теории уравнений математической физики и интегро-дифференциальных уравнений, методов фрактальной геометрии, стохастической и нелинейной динамики, перколяционной теории);

-совпадением результатов исследований качественным методом как первым приближением, результаты которого совпадают с результатами защищаемой работы в частном (линейном) случае;

- согласованием результатов, вытекающих из предложенных математических моделей разрушения, с экспериментальными данными других исследователей.

Результаты диссертационной работы могут иметь практическую ценность:

- при исследовании трещин в конструкциях транспортных средств;

- при исследовании устойчивости горных выработок и откосов бортов карьеров;

- при определении параметров эффективного дробления и измельчения;

- в расчетах разрушения неоднородных сред, которые могут быть как изотропными, так и анизотропными.

Результаты исследования реализованы в разработке спецкурсов для студентов, специализирующихся по профилям: теория обобщенных функций и ее приложения, материаловедение, механика, прикладная математика, а также для студентов горных специальностей.

Апробация работы. Основные результаты работы по мере их получения докладывались:

- на шестой Международной Петрозаводской конференции «Вероятностные методы в дискретной математике» (2004г.);

- на пятом, шестом и седьмом Всероссийском симпозиуме по Прикладной и Промышленной математике (2004г., 2005г.);

- на второй Международной конференции по Физическим проблемам разрушения горных пород (Санкт-Петербург 2001г.)

- на семинарах кафедры «Высшая математика» МГГУ (Москва, 2001 - 2006 г.г.)

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в монографии и 25 научных статьях, из которых 7 статей опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК России.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы из 291 наименований, содержит 13рисунков.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе в результате выполненных исследований на основе использования предложенной иерархии фрактальных моделей разработаны теоретические положения, которые можно квалифицировать как новое крупное научное достижение в математическом моделировании разрушения конструкционных материалов. Основные результаты, полученные лично автором:

1. Решена задача синтеза для совокупности конструкционных материалов на основании требований к иерархичности, которая на базе математической модели отличает однокомпонентные (однофазные) от композиционных конструкционных материалов по числу иерархических уровней, при этом невозможно отличить технические материалы от геоматериалов, так металлы невозможно отличить от мономинеральных горных пород, а композиты - от полиминеральных горных пород.

2. Решена задача синтеза для совокупности конструкционных материалов на основании требований к масштабу однородности, которая на базе математической модели отличает технические материалы от геоматериалов, и в тоже время не всегда дает возможность отличить однокомпонентные (однофазные) от композиционных конструкционных материалов. Так каменные соли неотличимы от пород с текстурой: вкрапленной, псевдооолитовой, оолитовой и нодулярной.

Если объединить два требования, то получим решение задачи синтеза для совокупности конструкционных материалов на основании требований к иерархичности и масштабам однородности, что дает возможность достигнуть необходимого результата - осуществить выбор объекта (конструкционного материала) из совокупности, не путая его с другими.

3. Решена задача синтеза для совокупности дефектов на основании требований к иерархичности дефектов и трещиноватости, которая на базе математической модели дает возможность отличить друг от друга дефекты по расположению на иерархических уровнях конструкционных материалов, и трещины от трещиноподобных дефектов по обязательному присутствию трещины на самом нижнем иерархическом уровне - на атомном уровне.

4. Решена задача синтеза для совокупности дефектов на основании требований к особенностям движения, которая позволила выявить, что точечные и линейные дефекты могут перемещаться в твердых телах как целые образования под действием внешних факторов. Дефекты в форме поверхностей и трещины не могут перемещаться как целое в твердом теле под воздействием внешних факторов. Трещина может увеличиваться в размерах только за счет движения точечных и линейных дефектов к вершине трещины, которые ведут к массопереносу от трещины. На основе этого дано однозначное более общее определение понятия «трещина»: Трещина - это иерархически организованная полость в конструкционном материале, наименьший размер которой (вершина) обеспечивает обязательное присутствие на атомном уровне, и распространяется за счет движения точечных и линейных дефектов к вершине.

5. Разработана случайно - фрактальная (перколяционная) модель разрушения конструкционных материалов на основе неоднородных напряжений и иерархической кластеризации, охватывающая структурный, композиционный и породно-массивные уровни.

6. Разработана иерархия фрактальных моделей распространения трещин как на завершенных, так и на незавершенных иерархических уровнях.

7. Предложена качественная математическая модель, основанная на теории размерности, указывающая на адекватность иерархии фрактальных моделей распространения трещин (метод двойной проверки).

8. Определен управляющий параметр, критическое значение которого обнаруживает условия перехода от стохастически устойчивого распространения трещины в стохастически неустойчивое.

9. Получена аналитическая зависимость для определения скорости трещин при известных значениях длины трещины, скорости перемещения микродефектов и расстояния между ними.

1. Александров А. П., Журков С. Н. Явление хрупкого отрыва, ГИТИ, 1938.

2. Александров В.М., Серов М.В. Продольная трещина в преднапряженном упругом слое с защемленными гранями //Сборник статей к 75-летию

3. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. -М.: Наука, 1977.367с.

4. Афанасьев Н.Н. Статистическая теория усталостной прочности материалов -Киев: АН УССР 1953.

5. Баренблат Г.И. О равновесных трещинах, образующихся при хрупком разрушении. ПММ, 1959, т. 23, №3-5.

6. Баренблатт Г.И. Об основных представлениях равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении // В сб. Проблемы механики сплошных сред. М-Л. 1977

7. Болотин В.В. Некоторые вопросы хрупкого разрушения/В сб. Расчеты на прочность, 1962.

8. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. М.: Стройиздат, 1965

9. Борн М., Хуан Кунь, Динамическая теория кристаллической решетки. -М.: ИЛ, 1958.

10. Ван Бюрен. Дефекты в кристаллах. М: ИЛ, 1962.

11. Витзитцкий П.М., Леонов М.Я. Про руйнування пластинки з щшиною. -Прикладна механжа, 1961, т. 7, в. 5.

12. Волков С.Д. Статистическая теория прочности. М.: - Свердловск: Машгиз. 1960.

13. Гвоздев А.А. Расчет несущей способности конструкций по методу предельного равновесия. М.: Стройиздат, 1949.

14. Гегузин Я.Е. Живой кристалл. М.: Наука, 1981. 191 е.

15. Гольдштейн Р.В., Осипенко Н.М. Структуры разрушения в условиях интенсивного сжатия //Сборник статей к 75-летию Шемякина/Под ред. Д.Д. Ивлева, Н.Ф. Морозова. М. :ФИЗМАТЛИТ,2006. с. 152-165.

16. Гудьер Дж. Математическая теория равновесных трещин. В кн.: Разрушение т. 2. -М.: Мир, 1975. С. 14-82.

17. Гузь А.Н., Бабич И.Ю. Структурная неустойчивость и предел прочности при сжатии однонаправленных композитных материалов //Сборник статей к 75-летию Шемякина/Под ред. Д.Д. Ивлева, Н.Ф. Морозова. М.: ФИЗМАТЛИТ,2006. с. 199-203.

18. Гузь А.Н., Зозуля В.В., Меньшиков А.В. Контактное взаимодействие берегов эллиптической трещины под воздействием нормальной гармонической нагрузки //Сборник статей к 75-летию Шемякина/Под ред. Д.Д. Ивлева, Н.Ф. Морозова. М.: ФИЗМАТЛИТ,2006. с.204-220.

19. Гумбель Э. Статистика экстремальных значений М.: Мир 1965.

20. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. М.: Мир, 1980, 610,27с.

21. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. М: Мир, 1974, С. 103-138.

22. Жирифалько Л. Статистическая физика твердого тела. М: Мир, 1975, С. 299-323.

23. Журков С.Н. Проблема прочности твердых тел. Вестник АН СССР 1957 №11

24. Займан Дж. Принципы теории твердого тела. М.: Мир, 1974,472с.

25. Иванова В. С., Терентьев В. Ф., Природа усталости металлов. -М.: Металлургия, 1975. 266.

26. Иванова B.C., Баланкин А.С., Бунин И.Ж., Оксогоев А.А. Синергетика и фракталы в материаловедении. М: Наука, 1994, 384с.

27. Ивлев Д.Д. О теории трещин квазихрупкого разрушения. ПТМФ 1967 №6

28. Ивлев Д.Д. Об идеях и результатах Е.И. Шемякина в механике предельного состояния твердых деформируемых тел и горных пород // Сборник статей к 75-летию Шемякина/Под ред. Д.Д. Ивлева, Н.Ф. Морозова. -М.: ФИЗМАТЛИТ,2006. с.46-51.

29. Ивлев Д.Д., Матченко Н.М. О предельном состоянии при отрыве //Сборник статей к 75-летию Шемякина/Под ред. ДД. Ивлева, Н.Ф. Морозова. М.: ФИЗМАТЛИТ,2006. с.288-290.

30. Ильницкая Е.И. Влияние масштабного фактора на проч-ностные свойства горных пород. // Физико-механические свойства давления и разрушения горных пород. М.: АН СССР, 1962. 128с.

31. Ильницкая Е.И., Тедер Р.И., Ватолин Е.С. Свойства гор-ных пород и методы их определения. М.: Недра, 1969,304с.

32. Ильюшин А. А. Об одной теории длительной прочности, МТТ, 1967, №8.

33. Ишлинский А.Ю. О разрушении не вполне упругих материалов. // Ученые записки МГУ. 1946

34. Канаун С. К., Чудновский А. И. О квазихрупком разрушении М: МТТ, №3,1973.

35. Канаун С.К. О приближении самосогласованного поля для упругой композитной среды // ПМТФ. 1977. N 2 . С. 234-237.

36. Канчеев О.Д., Изв. АН СССР, Металлы, № 3, 1985. 144с.

37. Карташов Э.М., Цой Б., Шевелев В.В., Структурно-статистическая кинетика разрушения полимеров, М.: Химия, 2002, 736.

38. Карташов Э.М., Шевелев В.В., Цой Б., Прогнозирование долговечности полимерных материалов на основе структурно-статистической и кинетической теории их разрушения. Проблемы машиностроения, 2001, т. 4, №3-4, с.48-60.

39. Качанов Л. М. О времени разрушения в условиях ползучести, Изв. АН СССР. ОТН, 1958, № 8

40. Качанов Л.М. Основы механики разрушения-М.: Наука, 1974.

41. Каштанов А.В., Петров Ю.В. Континуальный подход к описанию процесса динамического разрушения //Сборник статей к 75-летию Шемякина/Под ред. Д.Д. Ивлева, Н.Ф. Морозова. М.: ФИЗМАТЛИТ,2006. с.296-304.

42. Келли А., Высокопрочные материалы. М.: Мир, 1976.

43. Кендалл К., Моран П. Геометрические вероятности. М.: Наука, 1966. 267с.

44. Койфман М.И. О влиянии размеров на прочность горных пород // Исследование физико-механических свойств горных пород. М.: АНСССР.-1962. С.87-91.

45. Конторова Т.А. Статистическая теория долговечности твердого тела, ФТТ, т. 17, №7 1975.

46. Конторова Т.А. Френкель Я.Н. Статистическая теория прочности реальных кристаллов, ЖТФ, т. 2, №3 1941.

47. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Постмаркет, 2000. 352с.

48. Кунин И.А., Соснина Э.Г. Эллипсоидальная неоднород-ность в упругой среде //Доклады АН СССР. Т. 199 №3.1971. С. 127-130.

49. Луис Э., Гинеа Ф., Флорес Ф. Фрактальная природа трещин. Фракталы в физике / Труды VI международного симпозиума по фракталам в физике. -М.: Мир, 1988. С. 244-248.

50. Лунг Ч. Фракталы и разрушение металлов с трещинами / Фракталы в физике. М.: Мир, 1995. С. 260-265.

51. МакКлинток Ф. А., Ирвин Дж. Приклодные вопросы вязкости разрушения М.: Мир 1968.

52. Макклинток Ф. Пластические аспекты разрушения. В кн.: Разрушение./Пер. с англ. М.: Мир, 1976, т. 3, с. 67-262.

53. Макклинток Ф., Аргон А. Деформация и разрушение материалов. М.: Мир, 1970. 197с.

54. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 656с.

55. Морозов А.Д., Драгунов Т.Н. Визуализация и анализ инвариантных множеств динамических систем ИКИ, М-И: 2003. 303с.

56. Олемской А. И., Кациельсон А. А. Синергетика конденсированной среды -М: УРСС, 2003, 335с.

57. Олемской А. И., Наумов И. И., в сб.: Синергетика усталостное разрушение металлов.-М.: Наука, 1989, С.200.

58. Орлов А. Н. Введение в теорию дефектов в кристаллах. М: Высшая школа, 1983. 144с.

59. Остапенко Г. Т., Термодинамика негидростатических систем и ее применение в теории метаморфизма. Киев: Наукова думка, 1977.

60. Павлов П.В., Хохлов А.Ф. Физика твердого тела. М.: Высшая школа, 1985.384с.

61. Партон В.З. Механика разрушения. М.: Наука, 1990, 239с.

62. Партон В.З., Борисковский В.Г. Динамика хрупкого разрушения. М.: Машиностроение, 1989. 239с.

63. Петров В.А., Орлов А.Н. Статистическая кинетика термоактивированного разрушения, ФТТ, т. 17, №3 1975

64. Петров В.А., Орлов А.Н. Термофлуктоационная природа разброса долговечности твердых тел под нагрузкой, ФТТ, т. 17, №3 1975.

65. Плювинаж Г., Механика упругопластического разрушения. М: Мир, 1993. 448с.

66. Победря Б.Е. О термодинамических критериях прочности в механике композитов //Сборник статей к 75-летию Шемякина/Под ред. Д.Д. Ивлева, Н.Ф. Морозова. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. с.545-568.

67. Поль Б. Критерии пластического течения и хрупкого разрушения В кн. Разрушение / под ред. Г. Либовица М.: Мир, 1975. Т. 2, С. 336 - 520.

68. Предводителев А. А., Тяпунина Н. А., Зиненкова Г. М., Бушуева Г. В. Физика кристаллов с дефектами. М.: Издательство МГУ 239с.

69. Работнов Ю.Н. Механизм длительного разрушения. В кн. Вопросы прочности материалов и конструкций, 1959.

70. Регель В.Р., Слуцкер А.И., Томашевский Э.Е. Кинетическая теория прочности твердых тел. М.: Наука, 1977.

71. Свелин Р. А. Термодинамика твердого состояния. М: Металлургия, 1967.

72. Сиротин Ю.И., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики. М.: Наука, 1979. 639с.

73. Слэтер К. Дж. Методы самосогласованного поля для молекулы и твердых тел. М.: Мир, 1977.662с.

74. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Гостехиздат, 1946.

75. Ставрогин А.Н. Статистические основы прочности и деформации горных пород при сложных напряженных состояниях ФТПРПИ, 1974 №4. Разрушение / под ред. Г. Либовица - М.: Мир, 1975. - Т. 1, - 560с.

76. Станюкович А. В. Прочность и пластичность жаропрочных материалов. --М: Металлургия, 1967.

77. Стаховский И. Р. Моделирование агрегации трещин в неравновесной среде // Математическое моделирование. 1995. Т. 7. № 6. С. 54 63.

78. Стаховский И. Р., Белоусов Т. П. Масштабные инварианты в сейсмотектонике // ДАН СССР. Т.347. № 42. 1966. С. 252 255.

79. Степанов А.В., Милькаманович Е.А. ЖЭТФ, 1951, т.21, №3, С.401-408.

80. Тамуж В. П., Лачздиньш А.Ж. Вариант построения феноменологической теории разрушения М.: «Механика полимеров» № 4 1968.

81. Томсон Р. Атомистика разрушения. -М.: Мир, 1987. С. 105-106.

82. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М: Мир, 1977. 622с.

83. Финкель В.М. Портрет трещины. М.: Металлургия, 1989. 192с.

84. Финкель В.М. Физика разрушения М.: Металлургия, 1970. 376с.

85. Фридель Ж. Дислокации. М.: Мир 1967,644 с; Dislocations by J. Friedel, Pergamon Press, Oxford - London - Edinburgh - New York - Paris - Frankfurt, 1964.

86. Хеллан К. Введение в механику разрушения М.: Мир, 1988.364с.

87. Черепанов Г. П. Механика разрушения горных пород в процессе бурения. -М: Недра, 1987,308с.

88. Черепанов Г. П. О распространении трещин в сплошной среде. ПММ, 1967, т. 11, № 3, с. 476-488.

89. Черепанов Г.П. Ершов J1.B. Механика разрушения М.: Машиностроение 1974.

90. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения ПМТФ 1967 №6

91. Чуличков А.И. Математические методы нелинейной динамики. М.: Физматлит, 2000.294с.

92. Шемякин Е.И. Вопросы прочности твердых тел и горных пород //Сборник статей к 75-летию Шемякина/Под ред. Д.Д. Ивлева, Н.Ф. Морозова. -М.:ФИЗМАТЛИТ,2006. с.26-45.

93. Шерман С. И., Гладков А. С. Новые данные о фрактальной размерности разлома и сейсмичности в Байкальской рифтовой зоне // ДАН РФ. 1988. Т. 361, №5 С. 685-688.

94. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. М.-И.: РХД, 2001. 527с.

95. Эрдоган Ф. Теория распространения трещин. В кн.: Разрушение // под редакцией Любовица Г., М., Мир, 1975, Т2, с. 521 615

96. Эрдоган Ф. Теория распространения трещин. В кн.: Разрушение т. 2. М.: Мир, 1975. С. 522-540.

97. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдо дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973.370с.

98. Ярема С.Я. // Проблемы прочности. 1981. №9, С. 20-28.

99. Ainsworth R. Н. Fracture behaviour in the presence of thermal strains. -Tolerance of flaws ii, pressured components, Institute of Mechanical Engineering of London, 1978.

100. Allen R.J. The calculation and use of the plasticity correction in toughness. -British Rail Research Department, Report ME/70/74,1971.

101. Almond E. A., Timbres D. H., Embury J. D., Fracture 1969, edited by P. L. Pratt, Chapman and Hall, London, p. 254.

102. Amazigo J.C. Some mathematical problems of elastic-plastic crack growth. -(SIAM-ASM Proceedings) Fracture Mechanics, 1978,12, p. 125.

103. Andrews E. H., Bhathy J.I. Generalized fracture mechanics of ductile steels. -International Journal of Fracture Mechanics, 1982,20, p. 65-77.

104. Andrews E. H., Stevenson A. Adhesive failure of epoxy-titanium bonds in aqueous environments. Journal of Adhesion, 1980, vol. 11, p. 17-40.

105. Andrews E.H. A generalized theory of fracture mechanics. Journal of Materials Sciences, 1974,9, p. 887-894.

106. Andrews E.H. Fracture in Polymers, Oliver and Boyd Edinburgh (eds), 1968, p. 138.

107. Andrews E.H. Recent development in the fracture mechanics of polymers. -Macromol. Chem., Supl. 2, 1979, p. 189-206.

108. AshbyMJF.- Phil. Mag., 1966, 14, p. 1157-1178.

109. Atkinson C., Eshelby J.D. International Journal of Fracture Mechanics, 1968, 4, p. 3.

110. Barenblatt G.I. The mathematical theory of equilibrium cracks in brittle fracture. Advances in Applied Mechanics, Academic Press, N.Y., 1962, v. 7.

111. Barsom J.M., Pellegrino J.V. Relationship between Klc and plane-strain tensile ductility and microscopic mode of fracture. Engineering Fracture Mechanics, 1973, v. 5, p. 209-221.

112. Barsoum R.S. Int. Journal for Numerical Methods in Engineering, 1977, 11, p. 85.

113. Bayes P.J., Williams J.G. International Journal of Fracture, 1972, 8.3, p. 239-256.

114. Beachem C.D. Trans. AIME, 56,318,1963.

115. Beachem С D., Yoder G. R., Met. Trans., 4, 1145 (1973).

116. Bergkvist H., Anderson H. International Journal of Fracture, 1972, v. 2

117. Bergkvist H., Huong G.L. Energy release rate in cases of axial symmetry. -International Journal of Fracture, 1977, 13, p. 556.

118. Bilby B.A., Cottrell A.H., Swinden K.H. Proc. Roy. Soc. A, 1963, p. 272304.

119. Bilby et al. Plastic yielding from sharp notches. Proceedings Royal Society, Ser. A., 279, p. 1-9.

120. Blackburn W.S. Path independent integral to predict onset of crack instability in an elastic-plastic material. International Journal of Fracture, 1973, 8, p. 343346.

121. British standard Methods of test for plane strait, fracture toughness (Klc) of metallic materials. British standard BS 5447,1977.

122. Broberg K.B. The importance of stable crack extension in linear and nonlinear fracture mechanics. Prospects in fracture mechanics, G.C. Sih et al. (eds), Norrdhofflnt. Publ. Leyden, 1974, p. 125-138.

123. Brown L. M., Embury J. D., Microstructure and Design of Alloys, Cambridge, Iron and Steel Inst./Inst. Metals, 1, 164,1973.

124. Brozzo P., Buzzichelli G., Mascanzoni A., Mirabile M., Report CSM 426V Centro Sperimentale Metallurgico, Rome, April, 1976.

125. Bui H. D. Dual-path independent integrals in the boundary-value problems of cracks. Engineering Fracture Mechanics, 1974, 6, p. 287-296.

126. Burdekin F.M., Stone D.E.W. The crack opening displacement approach fracture mechanics in yielding materials. Journal of Strain Analysis, 1966, No. 2, p. 145-153.

127. Busse W.E. Lessing E.T. Larrick I. Fatigue of fabrics Appl. Phys. 1942 vl3 №11

128. Botger H., Principles of the theory of latice dynamics. Berlin: Academie Verlag, 1983.

129. Chell G.G. A new approach to the analysis of invalid fracture toughness. Materials Science and Engineering, 1976,22, p. 249-253.

130. Chell G.G. Bilby, Cottrell and Swinden model solutions for center and edge cracked plates subjected to arbitrary mode I loading. International Journal of Fracture, 1976,12, No. 1, p. 135-147.

131. Cherepanov G.P. International Journal of Solids and Structures, 1968,4, p. 811.

132. Clayton J. Q., Knott J. F., Metal Science, 10,63 (1976).

133. Cottrel A.H. Proc. Roy. Soc. London, Ser. A., 285, 10,1965.

134. Cottrel 1 A. H., Fracture 1959, edited by B. L. Averbach et al, John Wiley/Chapman and Hall, 1959, p. 20.

135. Cottrel 1 A. H., In "Fracture", Wiley, New York, 1959, p. 20. Gilman J. J. Trans. AIME200, 1954, p. 621.

136. Cottrell A. H., Symposium on "The Relation Between the Structure and Mechanical Properties of Metals", National Physical Laboratory, HMSO (London), 1963, p. 456.

137. Cottrell A. H., Tewksbury Symposiunron Fracture, University of Melbour-ne, 1963, p. 16.

138. Cottrell A.H. In Fracture. C.J. Osborn (ed.), Butterworths, p. 1, London.

139. Cottrell A.H. Theoretical aspects of radiation damage and brittle fracture in steel pressure vessels. Iron Steel Inst. Spec. Report, 1961, No. 69, p.281-29d.

140. Curry D.A., Knott J.F. Metal Science, 1976, v. 10, p. 1-6.

141. Darlaston B.L., Harrison R.P., Mime I. Proc. of 3rd Conf. on Periodic Inspection of Pressure Vessels, London, 1976.

142. Dolby R. E., Knott J. F., J. Iron and Steel Inst., 210, 857 (1972).

143. Dowling A.R., Townley Ch.A. The effects of defects on structural failure: a two criteria approach. International Journal of Pressure Vessel and Piping, 1975, 3, p. 77-107.

144. Dugdale D.S. Yielding of sheets containing slits. Journal of Mechanics and Physics of Solids, 1960,8, p. 100-104.

145. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits. Journal of Mechanics and Physics of Solids, 1960, 8, 100-104.

146. Eftis J., Liebowitz H. On fracture toughness evaluation for semi brittle fracture. Engineering Fracture Mechanics, 1975, 7, p. 101-135.

147. Eshelby J.D. A continuum theory of lattice defects. On progress in solid state physics, Academic Press, N.Y., 1956,3, p. 79.

148. Eshelby J.D. Phil. Trans, 1951, A 244, p. 87.

149. Ewings D.J.F., Richards C.E. Journal of Mechanics and Physics of Solids, 1974; vol. 22, p. 27-36.

150. Fearnehough G. D., M. Sc. Thesis, University of Manchester, 1964.

151. Fischer K.F. On a formal extension of fracture criteria. Proc. of Symp. on Absorbed Specific Energy/Strain Energy Density, G.C. Sih, E. Czoboly, F. Guillemot (eds), 1982, p. 107-129.

152. Ford H., Lianis G. Zeitschrifl for Angewandte Matematik und Physik, 1957, vol. 8, p. 360-382.

153. Forsyth P.J.E., Wilson R.N., J. Inst. Metals, 92,1963, 82.

154. Frennd L. D. Crack propagation, in an elastic solid subjected to general loading. Stress wave loading. Journal of Mechanics and Physics of Solids, 1973, vol. 21, p. 47-61.

155. Furth, Prok. Roy. Soc., 177A, 1969 p. 217.

156. G.T. CCRS. Etude critique de la methode de l'ecartement de fissure COD. -Document 11WX90 1-78. 1978.

157. Garwood S.J. The use of elastic-plastic fracture analysis in the assessment of pressure vessel integrity. Report 3645/2/83 Welding Institute, 1983.

158. Gilman J. J. Trans. AIME 200,1954, p. 621.

159. Green G., Knott J. F., Micromechanical Modeling of Flow and Fracture, Troy, 1975.

160. Green G., Ph. D. Thesis, Cambridge University, 1975.

161. Green G., Smith R. F., Knott J. F., Mechanics and Mechanisms of Crack.

162. Green, Hundy B.B. Journal of Mechanics and Physics of Solids, 1956, vol. 4, p. 128-144.

163. Griffis С A., Spretnak J. W., Trans. Iron and Steel Inst., Japan, 9,372. 1969.

164. Griffith A. A.- In Proceedings of the 1st International Congress on Applied Mechanics Delft 1924 I. Waltman Ir. Delft 1925.

165. Griffith A.A. Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1920, A 221, p. 163-198.

166. Griffith A.A. Proceeding of First International Conference of Applied Mechanics, Delf, Hollande, 1924,1924, p. 55-63.

167. Griffiths J.R., Owen D.R.J. Journal of Mechanics and Physics at Solids, 1971, v. 19, p. 419-431.

168. Groom J. D. G., Knott J. F., Metal Science, 9,390 1975.

169. Guidance on some methods for the derivation of acceptance levels for defects in fusion welded joints. PD 6494,1980.

170. Guillemot L., Sinay G. Academy of Sciences, Hungary, 1958, XXII, p. 149173.

171. Guillemot L.F. Brittle fracture on welded materials. Second Commonwealth Welding Conference, London, C.7,1965, p. 353-382.

172. Guillemot L.F. Criterion of crack initiation and spreading. Doc. X. 873.77 IIS, 1977.

173. Gunther W. Abh.-Brausch. Wiss. Ges., 1962,14, p. 54.

174. Gurson A.L. Continuum theory of ductile rupture per voids nucleation and growth. Part 1: Yield criteria and flow rules of porous ductile media. Journal of Engineering Materials and Technology, 1977,99, p. 2-15.

175. Hageyama K., Miyamoto H. Extension of J integral to the general elastic-plastic problem and suggestion of a new method for its evaluation. Numerical Methods in Fracture Mechanics, 197S, 1, p. 479-486.

176. Hahn G. Т., Averbach B. L., Owen W.S., Cohen M., In "Fracture" Wiley, New York, 1959, p. 91.

177. Hahn G.T., Rosenfield A.R. Local yielding and extension of a crack under plane stress. Acta Metallurgica, 1965,13, p. 293-306.

178. Hahn G.T., Rosenfield A.R. Trans. ASM, 1966, 59, p. 909-919.

179. Hahn G.T., Rosenfield A.R. Sources of fracture toughness. The relation between Klc and the ordinary tensile properties of metal. ASTM STP 432,1968.

180. Hahn G.T., Rosenfield J.R. Metallurgical factors affecting fracture toughness of aluminium alloys. Metallurgical Transactions, 1975, v. 6 A, p. 653-668.

181. Harrison R.P., Mime I., Loosmore K. Assessment of the integrity of structures containing defects. Central Electricity Generating Board Report R/H/R6, Revision 1, Leatherhead, Surrey, U.K., 1977.

182. Hata M. Fractals in mathematics // Patterns and Waves. Qualitative analysis of nonlinear differential equations. Tokyo: Kinokuniya, 1988. p. 259-273.

183. Heald P.T., Spink G.M., Worthington P.l. Materials Sciences and Engineering, 1972, 10, p. 129.

184. Heald P.T., Spink G.M., Worthington P.J. Post-yield fracture mechanics. -Materials Science and Engineering, 1972, 10, p. 129-137.

185. Hill R. Mathemetical theory of plasticity. Oxford 1950.

186. Holland A.I. Turner W.E.S The effect of sustained loaoling on the breaking strength class I of Soc. of class technology 1940 v24 №101

187. Hungarian standard MSZ 4939-76 "On the determination of absorbed specific fracture energy of metals", 1976.

188. Hutchinson J.W., Paris P.C. Stability analysis of J controlled crack growth. -ASTM STP 668,1979, p. 37-64.

189. Hutchinson J.W., Shih C.F. Recent advances in engineering science. -Gordon and Breach, Londres, 1976, vol. 6, p. 245.

190. Iaeger I.C. Ceofis, 1959 Pure Appl, 43.

191. Irvine W.H., Quirk A. A strain concentration approach to fracture mechanics. Practical Application of Fracture Mechanics to Pressure Vessel Technology, C2/7, Londres, 1971, p. 76-84.

192. Irwin G. R. Handbuh der Physik, V ol. VI. Berlin: Springer, 1958.

193. Irwin G.R Analysis of Stresses and strains near the end of a crach IAM 1957 t.24 №3.

194. Irwin G.R. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate. Transactions of Journal of Applied Mechanics, 1948, p. 361-364.

195. Irwin G.R. Fracture: Springen Encyclopedia of Physics т.6 1958

196. Irwin G.R., Kies J.A. Welding Journal, 1954,33, p. 1935-1985.

197. Irwin J.R., Kraft J.M., Paris P.C., Wells A. Basic aspects of growth and fracture. Report ORNL-NS IC-21, December 1967.

198. Jodin P., Pluvinage G. Validation experimentale des criteres de rupture en condition polymodale mode I + II. Mecanique Materiaux Electricite, 1978,337, p. 101-112.

199. Jodin P., Pluvinage G., Loubignac G., Serres D. Experimental and theoretical study of cracks in mixed mode conditions. Fracture and Fatigue Editeur RADON, 1980, p. 349-358.

200. Jones G.T. Post-yield fracture mechanics analysis and its application to turbogenerator design. 3rd International Conference on Fracture, Munich, 1973.

201. Kishimoto K., Aoki S., Sakata M. On the path-independent integral J. -Engineering Fracture Mechanics, 1980, vol. 13, p. 841-850.

202. Knott J. F., J. Iron and Steel Inst., 204, 104, 1966.

203. Knott J. F., Mechanics and Physics of Fracture, Inst, of Physics and Metals. Society, Cambridge, 1975, p. 86.

204. Knott J.F.-Proc. Roy. Soc., 1965, A 285, p. 150-159.

205. Knott J.F. Fundamentals of Fracture Mechanics London: Butterworths, 1973.- p. 20.

206. Knowles J .K., Sternberg E. On a class of conservation laws in linearized and finite elastostatic. Arch. Rat. Mech. Anal., 1972, 44, No. 3, p. 187.

207. Koiter W. Stress-strain relation uniqueness for elastic-plastic materials with singular yield surfage. // Qart. J. Appl. Math. 1953

208. Kumar V. German M.D., Shih C.F. An engineering approach for elastic-plastic fracture analyses. EPRI Report NP 1931, Palo Alto, July 1981.

209. Larsson S. G., Carlsson A. J., J. Mech. and Phys. Solids, 21, 263 (1973).

210. Liebowitz H., Eftis J. On non-linear effects in fracture mechanics. -Engineering Fracture Mechanics, 1971, 3, p. 267-281.

211. Lindley Т. C, Oates G., Richards С. E., Ada Met., 18, 1127 (1973).

212. Low J. R., Symposium on Relation of Properties to Microstructure, ASM, 1954, p. 163.

213. Maclintock F.A. Wolsh I.B. In Proceedings of the 4th National Congress of Applied Mechanics 1962.

214. Mai Y., Cottrell B. Effects of pre-strain on plane stress ductile fracture in brass. Journal of Materials Sciences, 1979,14, p. 2296-2306.

215. Mai Y.W., Cottrell B. The essential work of fracture for tearing of ductile metal. International Journal of Fracture, 1984, 24, p. 229-236.

216. Mandelbrot В. B. The Fractal Geometry of Nature, Freeman, San-Francisco, 1983, p. 25,29,469.

217. Mandelbrot В. B. The Fractal, Freeman, San-Francisco, 1983, p. 25,29,469.

218. Mandelbrot В. В., Passoja D. E., Paullay A. J., Nature, 308, 721,1984.

219. Margatroyed J. B. Mechanism of Brittli Rupture, 1944, v. 154, № 3697.

220. McMahon J. A., Thomas G., Microstructure and Design of Alloys, Cambridge, Iron and Steel Inst./Inst. Metals, 1, 180, 1973.

221. McMahon С J., Cohen M., Ada Met, 13,591,1965.

222. Merkle J.G. Fracture safety analysis concepts for nuclear pressure vessels, considering the effects of irradiation. Journal of Engineering, June 1971, p. 265273.

223. Merkle J.G., Corten H.T. Journal of Pressure Vessel and Technology, Trans. ASME, 1974, vol. 96, p. 286-292.

224. Mudry F. Methodology and applications of local criteria for the prediction of ductile tearing. Advanced Seminar on Fracture Mechanics, Ispra, 1983.

225. Naylor J., Grain Boundaries, Jersey, 1976, Institution of Metallurgists, F. 13.

226. Newman J .C. Fracture analysis of various cracked configurations in sheet and plate materials. ASTM STP 605,1976, p. 104-123.

227. Newmann J.C. Fracture analysis of surface and through cracked sheets and plates. Engineering Fracture Mechanics, 1973, 5, p. 667-689.

228. Nilson F. A note on the stress singularity at a non-uniformly moving crack tip. Journal of Elasticity, 1975,4, p. 73-75.

229. Noether E. Gottinger Nachrichten (Math. Phys. Klasse), 1918, p. 235.

230. Norme anglaise. British standards institution. Methods for crack opening displacement (COD) testing. BS 5762,1979.

231. Norme chinoise. Crack opening displacement (COD) testing method. GB 2358.80, 1980.

232. Orowan E. Cleavage fracture of metals. Rep. Prog. Phy., 1948,12, p. 185.

233. Orowan E. In "Fracture", Wiley, New York, 1959, p. 147.

234. Orowan E. Welding Journal, 1955, 34, p. 1574-1605.

235. Orowan E.O. The fatige of Glass stress, Nature, 1944, v. 154, № 3906

236. Owen D. R. J., Nayak G. C, Kfouri A. P., Griffiths J. R., Int. J. Num.Meth. Engng., 6, 63 1973.

237. Petch N. J., Fracture 1959, edited by B. L. Averbach et al, John Wiley/Chapman and Hall, 1959, p. 54.

238. Pluvinage G. Aspect theoriques et experimentaux de I'ouverture critique de fissure. Journee de l'ATS, Dunkerque, Mai 1971.

239. Pluvinage G. Ecartement Critique de Fissure, These Lille, 1973.

240. Pluvinage G. Tenacite des aciers a basse et moyenne resistance: application du critere d'ecartement critique de fissuration. These, Lille, 1973.

241. Poncelet E. F., In "Fracture of Metals", ASM, Cleveland, 1948, p. 201.

242. Prager W. a. Hodge F Theory of perfectly plastic solids. New-York-London, 1951.

243. Randall P.N., Merkie J.G. Effects of strain gradients on the gross strain crack tolerance of A 533 В steel. ASTM STP 536,1973, 80, p. 404-422.

244. Randall P.N., Merkie J.G. Effects of crack on the gross strain crack tolerance of A 533 В steel. Journal of Engineering Industry ASME, 1972, В 95, No. 1, p. 935-944.

245. Rice J R. The surface crack: physical problems and computational solutions. J.L. Sweldow (ed.), ASME, New York, 1972, p.171-186.

246. Rice J. R. A path independent integral and the approximate analysis of strain, concentration by notches and cracks. Journal of Applied Mechanics, 1968,35, p. 379-386.

247. Rice J. R., Johnson M. A., Inelastic Behaviour of Solids, edited by M. F.Kanninen et al, McGraw-Hill, New York, 1970, p. 641.

248. Rice J.R., Johnson M.A. The role of large crack tip geometry changes in plane strain fracture. Claus. Inelastic Behaviour of Solids, Kanninen (ed.), 1979, p. 641-669.

249. Ritchie R.O., Knott J.F., Rice J.R. On the relationship between critical tensile stress and fracture toughness in mild steel. Journal of Mechanics and Physics of Solids, 1973, 21, p. 359-410.

250. Ritchie R.O., Server W.L., Wullaert R.A. Critical fracture stress and fracture strain models for the prediction of lower and upper shelf toughness in nuclear pressure vessels steels. Metallurgical Transactions, 1979, v. 10 A, p. 1557-1570.

251. Rousselier R. Finite deformation constitutive relation including fracture damage. Three Dimensional Constitutive Relations and Ductile Fracture, Nemat Nasser Editor, 1981, p. 331-355.

252. Saunders G. G., Knott J. F., The Welding Institute Research Bulletin, 16,106, 1975.

253. Saunders G. G., Ph. D. Thesis, Cambridge University, 1975.

254. Shih C.F., Germain M.D. Requirements for a one-parameter characterization of crack-tip fields by the HRR singularity. International Journal of Fracture, 1981,19, p. 17-27.

255. Shih C.F., Kumar V., German M.P. Studies on the failure assessment diagram using the estimation method and J controlled crack growth approach. ASTM STP 803, 1983, p. 239-261.

256. Shih CF. Relationship between the J integral and the crack opening displacement for stationary and extending cracks. Journal of Mechanics and Physics of Solids, 1981, v. 29, No. 4, p. 305-326.

257. Sih G. Strain energy density factor applied to mixed mode crack problems. -International Journal of Fracture, 1974, vol. 10, No. 3.

258. Sih G.C. Application of the strain energy theory to fundamental fracture problems. Proc. of 10th SES Annual Meeting, Boston, 1975, p. 221-234.

259. Sih G.C. Strain energy density factor applied to mixed mode crack problems. International Journal of Fracture, 1976, v. 10, No. 3, p. 305-321.

260. Smith E., Proceedings of the Conference on The Physical Basis of Yield and Fracture, Inst, of Physics and Phys. Soc, 1966, p. 36.

261. Smith R. F., Knott J. F., Practical Applications of Fracture Mechanics in Pressure-Vessel Technology, Inst. Mech. Engrs., 1971, p. 65.

262. Soete W. An experimental approach to fracture initiation in structural steels. -Fracture, ICF4, 1977, p. 775-804.

263. Soete W. The wide plate tests and the gross strain criterion. Fracture toughness testing, Londres, June 1982.

264. Soete W., Denyi, R. The development of a new technique to de termine the mechanical properties of butt welds. — Revue de la Soudure, 1975,4.

265. Strifors H. Int. Journal of Solids and Structures, 1974, vol. 10, p. 1389-1404.

266. Stroh A. N. Philos. Mag., 46, 1955, p. 968.

267. Stroh A.N. Proc. Roy. Society, 1954, A 223, p. 404.

268. Stroh A.N. The Formation of Cracks as a Result of Plastik Flow, Proc. Roy. Soc. London, A223, 1954, p. 404-414.

269. Termonia Y., Meakin P., The Formation of Fractal Cracks in a Kinetic Fracture Model, preprint

270. Thomason P.F. A theory for ductile fracture by internal necking of cavities. -J. Inst, of Metals, 1968,96, p. 360-365.

271. Thompson A.W., Williams J.C., Fracture, 1977, ICF4 2, 1977, p. 343-348.

272. Tolba A., Becker P., Pluvinage G. Tenacite en dynamique d'une ceramique. -Proceedings of 7th International Conference on the Strength of Metals and Alloys, Montreal, August 1985.

273. Toth L., Naggy Gy. // Proc. of the Congr. On material testing. Budapest, 1982. p. 327-377.

274. Townley C.H. The integrity of cracked structures under thermal loading. -International Journal Pressure Vessel and Piping, 4, p. 207-221.

275. Tracey D. M., Ph. D. Thesis, Brown University, 1973; Rice J. R., Third International Congress on Fracture, Munich, 1973, paper 1-441.

276. Turner C.E. Methods for post-yield fracture safety assessment. Post-Yield Fracture Mechanics, D.G.H. Latzko (ed.), 1979, p.23-210.

277. Weibull W. A statistical theory of the strength of materials. Royal Swedish Institution of Engineering Research Report No. 151,1939.

278. Weiner J.H., Pear M. Crack and dislocation propagation in an idealized crystal model. J. Appl. Phys., 46,1975,2398.

279. Wells A. A. Application of fracture mechanics at and beyond general yielding. British Welding Journal, 1963, 10-11, p. 563-570.

280. Wells A. A. Proc. Canadian Congress of Applied Mechanics, Calgary, Canada, 1971, p. 59-71.

281. Wells A.A. Unstable crack propagation in metal cleavage and fast fracture. -Symposium on Crack Propagation, Granfield, 1961, p. 210-230.

282. Wells A. A., Burdekin F.M. Discussion on the sharpness of crack compared with Wells COD. International Journal of Fracture Mechanics, 1971, 7, p. 233241.

283. Wessel E.T., Clark W.G., Pryle W. Fracture mechanics technology applied to heavy section steel structures. Proc. of 2nd International Conference on Fracture, Brighton, 1969.

284. Wilshaw T.R., Rau C.A., Tetelman A.S. Engineering Fracture Mechanics, 1968, l,p. 191.

285. Witt F.J. Equivalent energy procedures for predicting gross plastic fracture. -4th National Symposium on Fracture Mechanics, Pittsburgh, 1970.

286. Witt F.J. The application of the equivalent energy procedure for predicting fracture in thick pressure vessels. Practical Application of Fracture Mechanics to Pressure Vessel Technology, 1970, p. 163-167.

287. Witt F.J., Mager T.R. Fracture toughness Klc values at temperatures up to 550°F for ASTM A533 grade В class 1 steel. Nuclear Engineering and Design, 1973, 17, p. 91-102.

288. Witt J.F. Equivalent energy procedures for predicting gross plastic fracture. 4th Nat. Symposium Fracture Mechanics, Pittsburgh, 1970.

289. Zener C.Mikro Mehnizm of Frakture, Fraturing of Metals, ASM, Novelty, Ohio, 1949, p. 3-31.

290. Zhurkov S. N. Intern. J. Frakture Mech., 1,1965, p.311.